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Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Anno Accademico 2018/2019 Elettromagnetismo Distribuzioni di carica. Esempi. Potenziale elettrostatico Superfici equipotenziali Campo elettrico gradiente del potenziale Lezione n. 3 – 5.10.2018

Distribuzioni di carica. Esempi. Potenziale elettrostatico ...ragusa/2018-2019/elettromagnetismo/elettromagnetismo 1 - Lezione n. 03...Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa

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Prof. Francesco RagusaUniversità degli Studi di Milano

Anno Accademico 2018/2019

Elettromagnetismo

Distribuzioni di carica. Esempi.Potenziale elettrostaticoSuperfici equipotenziali

Campo elettrico gradiente del potenziale

Lezione n. 3 – 5.10.2018

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 48

Distribuzioni di carica• Fino ad ora abbiamo considerato solo cariche puntiformi• Particelle cariche di dimensioni trascurabili• Matematicamente punti senza dimensione• Risulta tuttavia conveniente generalizzare il concetto di carica e ammettere che la carica possa essere una sorta di sostanza continua caratterizzata da una densità volumetrica di carica ρ ( Coulomb/m3)• Un volume dV = dxdydz contiene una carica dq

• Abbiamo già visto che la materia contiene dell'ordine di 1023 elettroni per cm3

• Un numero estremamente elevato che giustifica la trattazione continua• Almeno finché dV è piccolo ma sempre di dimensioni macroscopiche, non atomiche

• Naturalmente la densità di carica è, in generale, una funzione della posizione• Accanto alla densità volumetrica si usano anche

• La densità superficiale σ: dq = σ dS

• La densità lineare λ: dq = λ dl

dq dVρ=

dq dSσ=

dq dlλ=0r →

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 49

Distribuzioni di carica• Richiamiamo la formula scritta per il calcolo del campo elettrico• Per una data configurazione di cariche puntiformi

• La formula può essere generalizzata al caso di distribuzioni continue di carica• Consideriamo un oggetto con una generica

distribuzione di carica descritta dalla funzione ρ(r)• Individuiamo un volume dV = dxdydz ≡ d3r all'interno• La sua carica è dq = ρ(r)d3r• È la generalizzazione di qj

• La somma è sostituita da un integrale• Il campo in r0 è

• Il versore punta dalla carica al punto r0

• L'integrale è esteso a tutto il volume dell'oggetto

( )0 02100

4

Nj

jj

j

q

πε =

=−

∑E r rr r

3

1

N

jj V

q dρ=

→∑ ∫ r

x

y

z

r0

r

3

0 20 0

( )1ˆ( )

4 V

dρπε

=−∫ r r

E r ur r

0

0

ˆ−

=−

r ru

r r

u

( ) ( )jq dq dVρ→ =r r

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 50

Campo generato da un anello• Consideriamo un anello di carica Q e di raggio r.Calcolare il campo elettrico in un generico punto sull'asse• Supponiamo che le dimensioni trasversali

dell'anello siano trascurabili rispetto al raggio r• Possiamo modellizzarlo come una distribuzionelineare di carica di densità λ = Q/(2πr)

• Consideriamo un elemento di carica sull'anello• La lunghezza dell'elemento è dl = r dθ• La carica dell'elemento è dQ = λdl• Consideriamo un punto ad altezza h dal piano che contiene l'anello di carica• La distanza del punto considerato dall'elemento di carica è d• Il modulo del campo elettrico è dE = |dE|• Il campo elettrico generato dall'elemento forma un angolo α con l'asse z• La proiezione lungo l'asse zdel campo è dEz = dE cosα• La proiezione perpendicolare all'asse z si elide con il contributo dell'elemento sull'anello posto ad un angolo θ + π

• Il campo elettrico totale si trova integrando Ez su θ• Per z < 0 il campo cambia segno• Sufficiente considerare h con segno

2 2 2 20

14zrd h

dEr h r h

λ θπε

=+ +

x

y

z

θ

h α2 2d r h= +

20

14rd

dEd

λ θπε

=

coshd

α =

2

2 20 2 20

2 14z zr h

E dEr h r h

π πλπε

= =+ +

dE

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 51

Campo all'interno di un guscio sferico• Calcolare il campo elettrico all'interno di un guscio sferico cavo di raggio R e carica totale Q distribuita uniformemente sulla superficie• Il guscio può essere modellizzato come una distribuzione

di carica superficiale uniforme σ = Q/4πR2

• Consideriamo un generico punto P all'interno del guscio, a distanza c dal centro• Non si perde generalità nella soluzione se si

considera il punto P sull'asse z• Il problema può adesso essere risolto suddividendo ilguscio in tanti anelli e utilizzare la soluzione trovataper il campo generato da un anello (sull'asse)• Un generico anello è individuato dall'angolo polare θ• E dalla sua estensione trasversale infinitesima dθ• La superficie dell'anello è

• La carica dell'anello è

• L'altezza (con segno) del punto P sul piano dell'anello

x

y

z

RPc

P

θ

c

c2 sinda R Rdθπ θ= 22 sinR dπ θ θ= dθ

dq daσ= 22 sinR dσ π θ θ=

cosh c R θ= −

θ0

0cos cosh R Rθ θ= −

sinr R θ=

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 52

Campo all'interno di un guscio sferico• Riepilogando

• Il campo generato dall'anello è

• Sostituendo

θc

dθ θ0

( )0cos cosh R θ θ= −22 sindq R dσ π θ θ=

02 2 22

14z

r

hd

r hh

qE

πε ++=

( )( )

( )22 2 2

022 2 20

0

0

2

sin cos co

14 sin cos c

cos co2 si

s os

snzdE

R RR R

RR dσ π θ θ θ

πε θ θ

θ

θ θ θ θ=

+ −+ −

( )( )

( )0

2 22 20 0 0

cos cos2 sin 14 sin cos cos sin cos cos

zd

dEθ θσ π θ θ

πε θ θ θ θ θ θ

−=

+ − + −

( )32

0

20 20

cos cossin2

sin cos cosz

ddE

θ θσ θ θε

θ θ θ

−=

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

sinr R θ=

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 53

Campo all'interno di un guscio sferico

• Pertanto

• Operiamo un cambio di variabile

• I limiti di integrazione diventano• Sostituendo (cambiando l'ordine di integrazione)

( )32

0

20 20

cos cossin2

sin cos cosz

ddE

θ θσ θ θε

θ θ θ

−=

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )32

0

20 200

cos cossin2

sin cos cosz

dE

πθ θσ θ θ

εθ θ θ

−=

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫( )

32

10

20 210

21

x xdx

x x x

σε

+

−=

⎡ ⎤− + −⎢ ⎥⎣ ⎦

32

10

2010 0

2 1 2z

x xE dx

x x x

σε

+

−=

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎣ ⎦∫

dx dy= −0x x y− =

01 1x− → + 01 1x+ → −

( )

0

32

0

1

20 10 0 0

2 1 2

x

zx

yE dy

x x x y

σε

+

=⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫0

32

0

1

20 10 0

2 1 2

x

x

ydy

x x y

σε

+

=⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦

cosx θ=

0 0cosx θ=

sindx dθ θ= −

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 54

Campo all'interno di un guscio sferico

• L'integrale si trova nelle tabelle di integrali• Posto

• Nel nostro problema

• Calcoliamo esteso fra gli estremi di integrazione

0

32

0

1

20 10 0

2 1 2

x

zx

yE dy

x x y

σε

+

=⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )1122X a bx= +

12

3 12 2

2

2xdx aX

bX X

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∫20 01 2a x b x= − =

12X

( )1122 2

0 01 2X x x x= − +

( )( ) ( )1 112 22

0

2 20 0 0 0 0 0

11 2 1 1 2 1

x xX x x x x x x

= −= − + − = + − = −

( )( ) ( )1 112 22

0

2 20 0 0 0 0 0

11 2 1 1 2 1

x xX x x x x x x

= += − + + = + + = +

0012

3 12 2

0 0

11 20

21 0 1

12

4

xx

x x

xxdxX

xX X

++

− −

⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠∫2 20 0

0 020 00

1 121 1

1 14

x xx x

x xx

⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤− −⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜= + + − − +⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )0 0 0 020

21 1 1 1

4x x x x

x⎡ ⎤= + + − − − + +⎣ ⎦ ( )

20

12 2 0

2x= − =

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 55

Il potenziale elettrico• Abbiamo visto che la forza elettrica è conservativa• Il lavoro che una forza meccanica in equilibrio

con la forza elettrica compie su una carica non dipende dalla traiettoria ma solo dai punti di partenza e di arrivo

• Ad ogni istante Fm = −Fel

• Abbiamo inoltre visto che la forza elettrica è• Quindi, indipendentemente dal percorso, per spostare una carica da A a B si compie un lavoro WBA

• Il lavoro meccanico che scompare può essere recuperato compiendo il percorso opposto

• Pertanto WBA definisce l'energia potenziale UBA che la carica q acquista nel campo elettrico E spostata da A a B

x

y

A

B

1

1 mC

W d= ⋅∫ F s

C2

C1

2

2 mC

W d= ⋅∫ F s 1 2W W=

el q=F E

m

B

BAA

W d= ⋅∫ F sB

Aq d= − ⋅∫ E s

B

BAA

U q d= − ⋅∫ E s

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 56

Il potenziale elettrico• Il campo elettrico è generato da un sistema di cariche arbitrario• La cosa importante è conoscere E(r)• Il campo elettrico modifica lo spazio• In analogia a quanto fatto per il campo elettrico (forza per unità di carica) èconveniente definire una energia potenziale per unità di carica• Il potenziale elettrico

• Più correttamente VBA è definito come differenza di potenziale fra B e A• Naturalmente la proprietà dell'integrale di essere indipendente dal cammino vale anche per il campo elettrico E• Questa proprietà viene espressa dicendo che l'integrale lungo un cammino

chiuso è nullo

x

y

A

B

C2

C1

BBA

BA B AA

UV d V V

q= = − ⋅ ≡ −∫ E s

1Cd⋅∫ E s

2Cd= ⋅∫ E s

1 2

0C C

d d⋅ − ⋅ =∫ ∫E s E s

2 2C Cd d

−− ⋅ = ⋅∫ ∫E s E s

1 2

0C C

d d−

⋅ + ⋅ =∫ ∫E s E s

0d⋅ =∫ E s

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 57

Il potenziale elettrico

• L'equazione appena trovata stabilisce un'importantissima proprietà del campo elettrostatico• Il campo elettrostatico è conservativo• Vedremo che questo non sarà più vero per campi variabili nel tempo• Induzione elettromagnetica • Si tratta di una equazione integrale• La riscriveremo in forma differenziale• È un caso particolare di una delle 4 equazioni di Maxwell• Nel caso statico (campi non variabili nel tempo)• Espressa in forma integrale• Per finire le unità di misura del campo elettrico e del potenziale• Dimensioni V: Energia per unità di carica [V] = ML2T−2Q−1

• L'unità di misura è il Volt (V)• Dimensioni: E forza per unità di carica [E] = MLT−2Q−1

• L'unità di misura è il Volt/metro (V/m)

0d⋅ =∫ E s

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 58

Il potenziale elettrico• Ricordiamo ancora l'equazione fondamentale

• Il fatto che l'integrale dipenda solo dai punti A e Bimplica che deve esistere una funzione φ(r) tale che

• L'equazione precedente esprime anche la circostanza che solo differenze di potenziale hanno un senso fisico• Tuttavia si può decidere di associare ad ogni punto dello spazio il valore di

una funzione scalare φ(r) (campo scalare) rispetto ad un potenziale arbitrario di un punto rA scelto come punto di riferimento

• Di solito il potenziale di riferimento φ(rA) è posto uguale a zero: φ(rA) = 0

1 2C Cd d⋅ = ⋅∫ ∫E s E s0d⋅ =∫ E s

x

y

A

B

C2

C1

( ) ( )B

B AA

d φ φ− ⋅ = −∫ E s r r

( ) ( )B

B AA

dφ φ= − ⋅ +∫r E s r

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 59

Il potenziale elettrico• Chiariamo meglio questo punto• Calcoliamo la differenza di potenziale fra i punti r1 e r2

• Possiamo scegliere una traiettoria arbitraria• Da r1 a rA e successivamente da rA a r2

• Otteniamo evidentemente

• Se scegliamo rA come punto di riferimento,in accordo con la definizione di potenziale, abbiamo

• È evidente che il risultato è indipendentedal valore del potenziale di riferimento φ(rA)

y

z

Ar

1r2r

2

121V d= − ⋅∫

r

rE s

2

121V d= − ⋅∫

r

rE s 2

1 A

Add⋅ −− ⋅= ∫ ∫

r

r

r

rE sE s

( ) ( )1

1A

Adφ φ= − ⋅ +∫r

rr E s r ( ) ( )

11

A

Ad φ φ− ⋅ = −∫r

rE s r r

( ) ( )2

2A

Ad φ φ− ⋅ = −∫r

rE s r r( ) ( )2

2A

Adφ φ= − ⋅ +∫r

rr E s r

( ) ( ) ( ) ( )221 1A AV φ φ φ φ⎡ ⎤+− − ⎦= ⎣r r rr ( ) ( )121 2V φ φ= −r r

x

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 60

Il potenziale elettrico• Illustriamo i concetti appena introdotti con un esempio• Il potenziale di una carica puntiforme q• Abbiamo visto che il campo elettrico di una carica puntiforme è

• Calcoliamo il potenziale rispetto ad un punto all'infinito per il quale assumiamo che il potenziale sia nullo• Scegliamo una traiettoria semplice: radiale• Abbiamo già fatto questo calcolo

( )2

0

4q

rπε=E r r

( ) ( )B

B AA

dφ φ= − ⋅ +∫r E s r

y

z

q

A = ∞r

B =r r

( ) ( )2

0

4

rq

dr

φ φπε

= − ⋅ + ∞∫r r s2

04r

q dr

rπε

= ∫0

14 r

qrπε

∞⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣ ⎦ 0

14qrπε

=

( )0

14q

rr

φπε

=

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 61

Energia potenziale• Sottolineiamo che il potenziale è stato definito come l'energia potenziale per unità di carica• Pertanto se φ(r) è il potenziale generato dalla carica q1

posta nell'origine ….• …. L'energia potenziale del sistema che si ottiene ponendo

una carica q2 in r2 ( a distanza d dall'origine ) è

• Questo ragionamento può essere esteso a N cariche• L'energia potenziale del sistema si trova sommando

l'energia potenziale di tutte le coppie

• Il fattore ½ tiene conto che nella somma ogni termine compare 2 volte• Infine, tornando all'energia U12 notiamo che essa rappresenta il lavoro che è stato fatto dalla forza esterna per portare la carica dall'infinito a d• È anche il lavoro che farebbe la forza elettrica per portare la carica da d

all'infinito

x

y

z

r

( )0

14q

rr

φπε

=

( ) 112 2 2 2

0

14

qU q q

πε= =r

014

12

1N

i jN

iji j

q qU

rπε≠ =

= ∑

d 2r

1q

2q

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 62

Energia potenziale• Notiamo che se le cariche hanno lo stesso segno U12 è positiva• Se le cariche hanno lo stesso segno la forza è repulsiva• Nello spostamento da d all'infinito il campo elettrico compie lavoro sul

sistema esterno• Cede energia

• Viceversa, se le cariche hanno segno opposto U12 è negativa• Se le cariche hanno segno opposto la forza è attrattiva• Nello spostamento da d all'infinito il campo elettrico "assorbe" lavoro dal

sistema esterno• Assorbe energia

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 63

Il potenziale elettrico• Come nel caso del campo elettrico, noto il valore e la posizione delle cariche che compongono un sistema elettrostatico il potenziale può essere facilmente calcolato• Utilizzando il principio di sovrapposizione

• Notiamo che il calcolo del potenziale è meno laborioso del calcolo del campo elettrico• È una funzione scalare; ha una sola componente• Infine sottolineiamo che stiamo considerando un sistema in cui le posizioni

delle cariche sono fisse• Analogamente, se abbiamo un sistema in cui la carica ha una distribuzione continua ρ(r)

( )0 0210 0

4

Nj

jj

j

q

πε =

=−

∑E r rr r

( )010 0

14

Nj

j j

qV

πε =

=−∑r

r r

( ) ( ) 3

0

14

V

dV

ρ

πε

′ ′=

′−∫r r

rr r

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 64

Superfici equipotenziali• Il potenziale elettrico è una funzione scalare• Per un dato potenziale la relazione seguente definisce, al variare di c,

una famiglia di superfici

• Le superfici prendono il nome di superfici equipotenziali• Il valore del potenziale è lo stesso (φ = c) in ogni punto delle superficie

• Esaminiamo, ad esempio, le superfici equipotenziali del potenziale di una caricapuntiforme

• La relazione che definisce la superficie equipotenziale è

• Pertanto le superfici equipotenziali sono delle sferecentrate sulla posizione della carica

• Al variare della costante c cambia la superficie• Una famiglia infinita di sfere concentriche

( ) ( ), ,x y z cφ φ≡ =r

( )0

14q

rr

φπε

=

( )r cφ = 2 2 2cr x y z R= + + =

04cq

Rcπε

=

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 65

Superfici equipotenziali• La rappresentazione delle superfici equipotenziali è complicata• Si preferisce rappresentare le "sezioni" delle superfici• Intersezioni delle superfici equipotenziali con opportuni piani• Ad esempio, consideriamo le superfici equipotenziali di una carica puntiforme

• Ovviamente le sezioni delle superfici equipotenziali sono delle circonferenze• Consideriamo anche altri due esempi• Una carica positiva e una negativa di uguale valore (dipolo)• Due cariche positive uguali• Notiamo che vicino alle cariche le sezioni diventano circolari• Notiamo anche che linee di campo e superfici equipotenziali sono perpendicolari

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 66

Superfici equipotenziali• La circostanza che il campo elettrico sia perpendicolare alle superfici equipotenziali non è limitata agli esempi considerati• Ha una motivazione fisica ben precisa• Consideriamo una superficie equipotenziale arbitraria• Per definizione tutti i punti di questa superficie si

trovano allo stesso potenziale• Consideriamo uno spostamento infinitesimo ds che giaccia sulla superficie a partire da un punto arbitrario r• I vettori ds giacciono sul piano tangente alla

superficie nel punto r• La variazione di potenziale per uno

spostamento ds sulla superficie è

• Questa variazione deve essere nulla altrimenti due punti sulla superficie avrebbero potenziale differente• Pertanto deve essere

• Il campo elettrico è perpendicolare alla superficie

x

y

z

E

r ds

0d dφ = − ⋅ =E s d⊥E s

d dφ = − ⋅E s

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 67

Il campo elettrico come gradiente• Abbiamo visto come noto il campo elettrico si può sempre definire un potenziale attraverso la relazione integrale

• L'integrando è il differenziale del potenziale dφ = − E⋅dr

• Dall'analisi sappiamo calcolare il differenziale di una arbitraria funzione delle coordinate (una funzione continua)

• Il differenziale dφ (uno scalare) può essere visto come il risultato del prodotto scalare di due vettori

• Confrontando con l'integrando dell'integrale del potenziale dφ

( ) ( )B

B AA

dφ φ= − ⋅ +∫r E r r ( ) dφ = − ⋅∫r E ro anche comeintegrale indefinito

( ) ( , , )x y zφ φ≡r d dx dy dzx y zφ φ φ

φ∂ ∂ ∂

≡ + +∂ ∂ ∂

ˆ ˆ ˆx y zd dx dy dz= + +r e e eˆ ˆ ˆx y zx y zφ φ φ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

X e e e d dφ = ⋅X r

= −E X ˆ ˆ ˆx y zx y zφ φ φ∂ ∂ ∂

= − − −∂ ∂ ∂

E e e e

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 68

Il campo elettrico come gradiente

• Abbiamo così trovato la relazione "inversa" che ci permette di passare dal potenziale al campo elettrico• Si dice che il campo elettrico è uguale al gradiente del potenziale

cambiato di segno• Esiste anche un simbolo, ormai un po' obsoleto ma ancora usato

• Una notazione più diffusa utilizza l'operatore vettoriale "del" o "nabla"

• Si tratta di un operatore differenziale• Il campo elettrico si scrive

• Questa relazione è conseguenza del fatto che esiste il potenziale• In ultima analisi dipende dal fatto che il campo E è conservativo

ˆ ˆ ˆx y zx y zφ φ φ∂ ∂ ∂

= − − −∂ ∂ ∂

E e e e

φ= −E grad

ˆ ˆ ˆx y zx y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

e e e∇

φ= −E ∇

0d⋅ =∫ E s ( ) ( )B

B AAdφ φ= − ⋅ +∫r E r r φ= −E ∇

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 69

Il campo elettrico come gradiente• La relazione fra potenziale e campo elettrico appena trovata consente una strategia conveniente per il calcolo del campo elettrico• Data una distribuzione di cariche si calcola il potenziale elettrico• È una quantità scalare; è un calcolo più semplice• Trovato il potenziale si calcola il campo elettrico

come gradiente del potenziale• Illustriamo il metodo con un semplice esempio• Il campo di una carica puntiforme nell'origine

• Calcoliamo la derivata rispetto a x

x

y

z

r

( )0

14q

rr

φπε

=

2 2 2r x y z= + +

( )122 2 2

04q

x y zx xφ

πε

−∂ ∂= + +

∂ ∂( )

322 2 2

0

12

4 2q

x y z xπε

−⎛ ⎞⎟⎜= − + +⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )12

12 2 2 2 2 2

04qx y z x y z x

πε

− −= − + + + +

20

14q x

rrπε= −

1r 2

1

r

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Elettromagnetismo – Prof. Francesco Ragusa 70

Il campo elettrico come gradiente

• Per la simmetria dell'espressione le derivate rispetto alle altre coordinate sono

• Riconosciamo le tre componenti del versore

• Richiamiamo la definizione

• Otteniamo

20

14q x

x rr

φπε

∂= −

20

14q y

y rr

φπε

∂= −

∂ 20

14q z

z rr

φπε

∂= −

xx

rr

= yy

rr= z

zr

r=

r

φ= −E ∇ ˆ ˆ ˆx y zx y zφ φ φ∂ ∂ ∂

= − − −∂ ∂ ∂

E e e e

20

4q

rπε=E r

2 2 20 0 0

1 1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ4 4 4x x y y z zq q q

r r rr r rπε πε πε

= + +E e e e2

0

1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ

4 x x y y z zq

r r rrπε

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦e e e

r