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Distribuzioni di probabilità Sia X una variabile aleatoria discreta definita su uno spazio campionario S : f (x) = P (‘X=x’ ) P(‘XA’)= () x A fx

Distribuzioni di probabilità

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Distribuzioni di probabilità. Sia X una variabile aleatoria discreta definita su uno spazio campionario S : f ( x ) = P (‘ X=x’ ) P(‘X A’)=. Valore atteso di una variabile aleatoria discreta. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Distribuzioni di probabilità

Distribuzioni di probabilità

Sia X una variabile aleatoria discreta definita su uno spazio campionario S :

f (x) = P (‘X=x’ )

P(‘XA’)=

( )x A

f x

Page 2: Distribuzioni di probabilità

Valore atteso di una variabile aleatoria discreta

Esempio: Distribuzione di probabilità del numero di episodi di otite media nei primi 2 anni

E(X)=0(.129)+1(.264)+2(.271)+3(.185)+4(.095)+5(.039)+6(.017)=2.038

1( ) (' ')

ni i

iE X x P X x

x 0 1 2 3 4 5 6

P(‘X=x’) .129 .264 .271 .185 .095 .039 .017

Page 3: Distribuzioni di probabilità

Varianza (della popolazione) di una variabile aleatoria discreta

Esempio:

2 2

1

2 2

1

( ) ( ) (' ')

(' ')

n

i ii

n

i ii

Var x x P X x

x P X x

2 2 2 2

2

( ) 0 (.129) 1 (.264) 2 (.271) ... (2.038)

6.12 (2.038) 1.967

Var x

1.967

Page 4: Distribuzioni di probabilità

Funzione di distribuzione cumulativa

La funzione di distribuzione cumulativa (c.d.f.) di una variabile aleatoria è indicata con F(X ) ed è definita da

F(x ) = P(‘X x’)EsempioF(x) = 0 se x < 0F(x) = .129 se 0 x < 1F(x) = .393 se 1 x < 2F(x) = .664 se 2 x < 3………….. …………….

Page 5: Distribuzioni di probabilità

Rappresentazione grafica della c.d.f.

Funzione a scalino = step function

cdf. per numero episodi otite media nei primi 2

anni

00,20,40,60,811,2

0 2 4 6 8

numero episodi

prob

abili

Page 6: Distribuzioni di probabilità

Distribuzione di probabilità continua

Si riferisce a una variabile aleatoria continua definita su un sottoinsieme S di R:

= area sotto il grafico di f di base A

( ) 0,

(' ') ( )A

f x x S

P X A f x dx

( ) 1Sf x dx

Page 7: Distribuzioni di probabilità

Distribuzione normale: formula

indica la media della popolazione indica la deviazione standard della popolazione

2

2

( )21

( )2

x

f x e

Page 8: Distribuzioni di probabilità

Distribuzione normale:

Page 9: Distribuzioni di probabilità

La probabilità che cada in un intervallo centrato sulla media di raggio z volte la deviazione standard dipende solo da z, da cui segue la regola empirica.z non è necessariamente un intero.Esempio: la media della altezza di un uomo adulto è 70 inches e =4.0 inches.In base alla regola, 0.95 è la probabilità che un uomo adulto scelto a caso abbia un altezza compresa fra 62 e 78 inches.

Page 10: Distribuzioni di probabilità

Sia X una v. a. continua normale con media e deviazione standard :

2( )221

P( -z < X < +z )=2

z

z

x

e dt

Page 11: Distribuzioni di probabilità

Funzione di distribuzione cumulativa

1. 0 F(x) 1;2. Monotona crescente

2( )

221( )

2

(' ')

tx

F x e dt

P X x

Page 12: Distribuzioni di probabilità

0

0,6827

0,954 0,997

0 1 2 3

z

Page 13: Distribuzioni di probabilità

Quando trattiamo un campione di dati provenienti da una serie di misure e riteniamo che i dati siano distribuiti secondo una normale, se decidiamo di associare alla nostra stima una incertezza pari a una deviazione standard confidiamo che l’effettivo valore della grandezza misurata giaccia nell’intervallo da noi definito con una probabilità del 68%.

Page 14: Distribuzioni di probabilità

Distribuzione binomiale

Si applica a variabili aleatorie che possono assumere solo 2 valori: ad esempio, un certo evento si verifica oppure no. Possono quindi essere codificate con 0 e 1. La distribuzione binomiale descrive il possibile numero di volte che la variabile assume il valore 0 (rispettiv. 1) in una sequenza di osservazioni, sapendo che la probabilità di verificarsi di 0 in una osservazione è p.

Page 15: Distribuzioni di probabilità

Distribuzione binomiale

La probabilità di k successi in n prove indipendenti sapendo chela probabilità di successo in 1 prova è p:

(' ') (1 )k n knP X k p p

k

Page 16: Distribuzioni di probabilità

Lancio della moneta

Ad esempio, lanciando 4 volte una moneta equa sappiamo che P(‘Zero T’)=1/16 P(‘esatt. 1 T’)=4/16P(‘esatt. 2 T’)=6/16 P(‘esatt. 3 T’)=4/16P(‘esatt. 4 T’)=1/16Se la moneta non è equa ma T ha probabilità p:P(‘k T su n prove’)=

(1 )k n knp p

k

Page 17: Distribuzioni di probabilità

Distribuzione binomiale: grafico

Page 18: Distribuzioni di probabilità

Esempio

Nell’emocromo si misura anche il numero di globuli bianchi. Questi si dividono in 5 categorie: neutrofili, linfociti, monociti e basofili. Interessa la distribuzione di neutrofili k su 100 globuli bianchi.Qual è la probabilità che su 5 cellule 2 siano neutrofili sapendo che la probabilità che 1 cellula sia un neutrofilo è 0.6?

2 35.6 .4 .230

2

Page 19: Distribuzioni di probabilità

Ricordiamo che

In quanto ad ogni sottoinsieme di k oggetti è associato il suo complementare che ha n-k oggetti. Qui i sottoinsiemi di k oggetti sono tanti quanti quelli di n-k oggetti.

n n

k n k

Page 20: Distribuzioni di probabilità

0 5

1 4

2 3

3 2

4 1

5 0

5(' 0') .6 .4 .0102

0

5(' 1') .6 .4 .0768

1

5(' 2') .6 .4 .2304

2

5(' 3') .6 .4 .3456

3

5(' 4') .6 .4 .2592

4

5(' 5') .6 .4 .0778

5

P X

P X

P X

P X

P X

P X

Page 21: Distribuzioni di probabilità

Quando una statistica eseguita su una campione stima un parametro della popolazione, la stima dipende dal campione e ci si pone la domanda quanto la stima è prossima al valore del parametro della popolazione.Così la media campionaria, una proporzione campionaria sono variabili aleatorie e possiedono una distribuzione:

sampling distribution

Page 22: Distribuzioni di probabilità

la proporzione di individui che votano per la lista A la percentuale di donne facenti parte di una giuria il numero medio di carcerati già condannati ad una pena detentiva su un campione di 100 detenuti del carcere XY

Page 23: Distribuzioni di probabilità

Distribuzione campionaria di medie campionarie

La media è una variabile che cambia da campione a campione.La media della distribuzione campionaria è uguale a , cioè, misurandola su campioni di dimensione n al tendere del numero dei campioni all’infinito la media delle medie campionarie tende alla media della popolazione

Y

Page 24: Distribuzioni di probabilità

Errore standardLa deviazione standard della distribuzione campionaria di si chiama errore standard.

Vale la formula:

Errore di campionamento-

YY

Y n

Y

Page 25: Distribuzioni di probabilità

Teorema centrale del limite

La distribuzione campionaria di un campione random tende ad una distribuzione normale al tendere della dimensione del campione all’infinito.

Y

Page 26: Distribuzioni di probabilità

Osservazioni:

La approssimata normalità della distribuzione campionaria delle medie si applica indipendente dal tipo della distribuzione della popolazione!!!