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Distribuzioni di probabilità

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Distribuzioni di probabilità. Sia X una variabile aleatoria discreta definita su uno spazio campionario S : f ( x ) = P (‘ X=x’ ) P(‘X A’)=. Valore atteso di una variabile aleatoria discreta. - PowerPoint PPT Presentation

Text of Distribuzioni di probabilità

  • Distribuzioni di probabilit

    Sia X una variabile aleatoria discreta definita su uno spazio campionario S :

    f (x) = P (X=x )

    P(XA)=

  • Valore atteso di una variabile aleatoria discreta

    Esempio: Distribuzione di probabilit del numero di episodi di otite media nei primi 2 anni

    E(X)=0(.129)+1(.264)+2(.271)+3(.185)+4(.095)+5(.039)+6(.017)=2.038

    x0123456P(X=x).129.264.271.185.095.039.017

  • Varianza (della popolazione) di una variabile aleatoria discreta

    Esempio:

  • Funzione di distribuzione cumulativaLa funzione di distribuzione cumulativa (c.d.f.) di una variabile aleatoria indicata con F(X ) ed definita da F(x ) = P(X x)EsempioF(x) = 0 se x < 0F(x) = .129 se 0 x < 1F(x) = .393se 1 x < 2F(x) = .664se 2 x < 3...

  • Rappresentazione grafica della c.d.f.

    Funzione a scalino = step function

  • Distribuzione di probabilit continuaSi riferisce a una variabile aleatoria continua definita su un sottoinsieme S di R:

    = area sotto il grafico di f di base A

  • Distribuzione normale: formula

    indica la media della popolazione indica la deviazione standard della popolazione

  • Distribuzione normale: m=3, s=1

  • La probabilit che cada in un intervallo centrato sulla media di raggio z volte la deviazione standard dipende solo da z, da cui segue la regola empirica.z non necessariamente un intero.Esempio: la media della altezza di un uomo adulto 70 inches e s=4.0 inches.In base alla regola, 0.95 la probabilit che un uomo adulto scelto a caso abbia un altezza compresa fra 62 e 78 inches.

  • Sia X una v. a. continua normale con media m e deviazione standard s:

  • Funzione di distribuzione cumulativa

    0 F(x) 1;Monotona crescente

  • Quando trattiamo un campione di dati provenienti da una serie di misure e riteniamo che i dati siano distribuiti secondo una normale, se decidiamo di associare alla nostra stima una incertezza pari a una deviazione standard confidiamo che leffettivo valore della grandezza misurata giaccia nellintervallo da noi definito con una probabilit del 68%.

  • Distribuzione binomialeSi applica a variabili aleatorie che possono assumere solo 2 valori: ad esempio, un certo evento si verifica oppure no. Possono quindi essere codificate con 0 e 1. La distribuzione binomiale descrive il possibile numero di volte che la variabile assume il valore 0 (rispettiv. 1) in una sequenza di osservazioni, sapendo che la probabilit di verificarsi di 0 in una osservazione p.

  • Distribuzione binomialeLa probabilit di k successi in n prove indipendenti sapendo chela probabilit di successo in 1 prova p:

  • Lancio della monetaAd esempio, lanciando 4 volte una moneta equa sappiamo che P(Zero T)=1/16 P(esatt. 1 T)=4/16P(esatt. 2 T)=6/16 P(esatt. 3 T)=4/16P(esatt. 4 T)=1/16Se la moneta non equa ma T ha probabilit p:P(k T su n prove)=

  • Distribuzione binomiale: grafico

  • EsempioNellemocromo si misura anche il numero di globuli bianchi. Questi si dividono in 5 categorie: neutrofili, linfociti, monociti e basofili. Interessa la distribuzione di neutrofili k su 100 globuli bianchi.Qual la probabilit che su 5 cellule 2 siano neutrofili sapendo che la probabilit che 1 cellula sia un neutrofilo 0.6?

  • Ricordiamo che

    In quanto ad ogni sottoinsieme di k oggetti associato il suo complementare che ha n-k oggetti. Qui i sottoinsiemi di k oggetti sono tanti quanti quelli di n-k oggetti.

  • Quando una statistica eseguita su una campione stima un parametro della popolazione, la stima dipende dal campione e ci si pone la domanda quanto la stima prossima al valore del parametro della popolazione.Cos la media campionaria, una proporzione campionaria sono variabili aleatorie e possiedono una distribuzione:sampling distribution

  • la proporzione di individui che votano per la lista A la percentuale di donne facenti parte di una giuria il numero medio di carcerati gi condannati ad una pena detentiva su un campione di 100 detenuti del carcere XY

  • Distribuzione campionaria di medie campionarieLa media una variabile che cambia da campione a campione.La media della distribuzione campionaria uguale a m, cio, misurandola su campioni di dimensione n al tendere del numero dei campioni allinfinito la media delle medie campionarie tende alla media della popolazione m.

  • Errore standardLa deviazione standard della distribuzione campionaria di si chiama errore standard.

    Vale la formula:

    Errore di campionamentom -

  • Teorema centrale del limiteLa distribuzione campionaria di un campione random tende ad una distribuzione normale al tendere della dimensione del campione allinfinito.

  • Osservazioni:La approssimata normalit della distribuzione campionaria delle medie si applica indipendente dal tipo della distribuzione della popolazione!!!