Distribuzioni di probabilità nel

continuo Prof.ssa Fabbri Francesca

Classe 5C

Variabili casuali continue Introduzione:

Una Variabile Casuale o Aleatoria è una grandezza che, nel corso di un esperimento aleatorio, può assumere valori non noti a priori.

E1, E2,…, En

Se X assume tutti i valori di un intervallo [a;b], allora X è una Variabile Casuale (o Aleatoria) Continua.

Esempi:

1.  le altezze o i pesi di un gruppo di persone;

2.  i diametri delle sfere di un cuscinetto;

3.  le lunghezze delle viti;

4.  la durata di un tipo di lampadine;

5.  il tempo impiegato a svolgere una certa attività (si dice spesso “il tempo varia con continuità”…)…

Funzione densità di probabilità

Osservazione:

Per le Variabili Casuali Continue non ha senso calcolare la probabilità che X assuma un particolare valore x0 di X ma piuttosto ci si concentra sulla probabilità che X assuma valori compresi fra x1 e x2, dove

Per il calcolo si usa allora di funzione di densità di probabilità f(x) che è definita come segue:

�  (la funzione, non negativa, racchiude con l’asse delle x un’area uguale a 1)

x1, x2 ∈ a;b[ ]⊂ !

Funzione densità di probabilità

Con le condizioni indicate in definizione, la probabilità che X assuma valori compresi fra x1 e x2 è allora:

Il valore della probabilità è uguale all’area compresa fra il grafico di f(x) e l’asse delle ascisse nell’intervallo [x1;x2].

f x( ) = 0, per x < a∨ x > bSe l’intervallo [a;b] è finito, si ha:

P x1 ≤ X ≤ x2( ) = f x( )x1

x2∫ dx

così l’area coincide con quella relativa all’intervallo [a;b].

Funzione di ripartizione Analogamente al caso delle V. C. Discrete, si può parlare di:

1.  F(x) è uguale all’area compresa fra il grafico della funzione di densità f(x) e l’asse delle ascisse in (-inf;x];

2.  F(x) è una primitiva di f(x): 3.  si ha:

′F (x) = f (x)P x1 ≤ X ≤ x2( ) = F x2( )− F x1( )

M X( ) = x ⋅ f x( )dx−∞

+∞

∫ var X( ) = x −M (X)[ ]2 ⋅ f x( )dx−∞

+∞

∫ = M X 2( )− M X( )⎡⎣ ⎤⎦2

Valore atteso e Varianza di V.C.C.

Esempio risolto Se una V.C.C. varia in [0;2] con funzione densità di probabilità:

f (x) =x3

4 se 0 ≤ x ≤ 2

0 se x < 0∨ x > 2

⎧⎨⎪

⎩⎪

Verificare che sia veramente una funzione di densità: •  f(x)>=0 per ogni x appartenente all’intervallo [0;2] à ok •  Inoltre à ok x3

4dx =

0

2

∫ x4

16⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

2

= 1 La funzione di ripartizione è:

F(x) =

0 se x < 0

t 3

4dt =

0

x

∫ x4

16 se 0 ≤ x ≤ 2

1 se x > 2

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

M X( ) = x ⋅ f x( )dx−∞

+∞

∫ = x ⋅ x3

4dx = ...= 8

50

2

∫

var X( ) = x −M (X)[ ]2 ⋅ f x( )dx−∞

+∞

∫ = x − 85

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

2

∫2

⋅ x3

4dx = ...= 8

75

oppure = M (X 2 )− M (X)[ ]2 = x20

2

∫ ⋅ x3

4dx − 8

5⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= ...= 875

P 1≤ X ≤1,5( ) = x3

41

1,5

∫ dx = ...= 0,25

oppure = F(1,5)− F(1) = x4

16⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = ...= 0,25

Se si chiede, ad es:

Distribuzione uniforme continua

P x1 ≤ X ≤ x2( ) = 1b − ax1

x2∫ dx = x2 − x1b − a

Vale: La funzione di ripartizione è:

F(x) =

0 se x < ax − ab − a

se a ≤ x ≤ b

1 se x > b

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

M X( ) = x ⋅ f x( )dx−∞

+∞

∫ = a + b2

var X( ) = x −M (X)[ ]2 ⋅ f x( )dx−∞

+∞

∫ =b − a( )212

Si dimostra che:

Distribuzione normale o gaussiana

Fra tutte le funzioni di densità di probabilità, quella normale è fra le più importanti perché approssima in modo soddisfacente tutte le situazioni in cui la maggior parte dei valori di X si concentra attorno ad uno particolare.

N µ;σ 2( )indica una V.C. Normale dove i parametri � e � indicano il valor medio e la deviazione standard della variabile casuale.

Distribuzione normale o gaussiana

La curva che rappresenta la funzione gaussiana è nota come curva degli errori accidentali o curva a campana •  è simmetrica rispetto

alla retta x=�; •  ha un massimo in

•  l’asse delle ascisse è asintoto orizzontale;

•  ha due flessi in corrispondenza di

M µ; 1σ 2π

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

µ −σ ;µ +σ

Distribuzione normale o gaussiana

A parità di valore medio � ma diversi �, si osserva che si ha: •  � basso è curva

“appuntita” (ossia i valori di X si avvicinano in gran parte al valore medio �)

•  � alto è curva “appiattita” (ossia i valori di X sono piuttosto distribuiti rispetto al valore medio �)

Distribuzione normale standardizzata

Per il calcolo dei valori di probabilità ci si riconduce sempre però alla normale standardizzata che ha valore medio �= 0 e deviazione standard �=1

N(0;1) Essa corrisponde alla funzione gaussiana

dove ossia si “standarizza” la variabile casuale X nella variabile casuale

f z( ) = 12π

e− z

2

2

z = x − µσ

Z = X − µσ

Distribuzione normale o gaussiana

�  N.B.

�  I valori della funzione di ripartizione della normale standardizzata sono calcolati in apposite tabelle (Tavole di Sheppard) che consentono di determinare qualsiasi valore di probabilità abbastanza agevolmente, altrimenti si usano dei software matematici per risolvere gli integrali coinvolti.

�  Tali tabelle forniscono il valore delle aree sottostanti la curva f(z) in un particolare intervallo; quella del nostro testo, per l’intervallo [0;z], quindi

altre per l’intervallo per cui

F(z) = P(0 < Z < z)−∞;z] [ F(z) = P(−∞ < Z < z)

Come si legge la Tavola di Sheppard

128

La parte annerita rappresenta l’area sottostante la distribuzione normale standardizzata dalla media aritmetica a z.

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 00000 00399 00792 01197 01595 01994 02392 02790 03188 035860,1 03983 04380 04776 05172 05567 05962 06356 06749 07142 075350,2 07926 08317 08706 09095 09483 09871 10257 10642 11026 114090,3 11791 12172 12552 12930 13307 13683 14058 14431 14803 151730,4 15542 15910 16276 16640 17003 17364 17724 18082 18439 187930,5 19146 19497 19847 20194 20540 20884 21226 21566 21904 222400,6 22575 22907 23237 23565 23891 24215 24537 24857 25175 254900,7 25804 26115 26424 26730 27035 27337 27637 27935 28230 285240,8 28814 29103 29389 29673 29955 30234 30511 30785 31057 313270,9 31594 31859 32121 32381 32639 32';94 33147 33398 33646 338911,0 34134 34375 34614 34849 35083 35314 35543 35769 35993 362141,1 36433 36650 36864 37076 37286 37493 37698 37900 38100 382981,2 38493 38686 38877 39065 39251 39435 39617 39796 39973 401471,3 40320 40490 40658 40824 40988 41149 41309 41466 41621 417741,4 41924 42073 42220 42364 42507 42647 42786 42922 43056 431891,5 43319 43448 43574 43699 43822 43943 44062 44179 44295 444081,6 44520 44630 44738 44845 44950 45053 45154 45254 45352 454491,7 45543 45637 45728 45818 45907 45994 46080 46164 46246 463271,8 46407 46485 46562 46637 46712 46784 46856 46926 46995 470621.9 47128 47193 47257 47320 47381 47441 47500 47558 47615 476702,0 47725 47778 47831 47882 47932 47982 48030 48077 48124 481692,1 48214 48257 48300 48341 48382 48422 48461 48500 48537 485742,2 48610 48645 48679 48713 48745 48778 48809 48840 48870 488992,3 48928 48956 48983 49010 49036 49061 49086 49111 49134 491582,4 49180 49202 49224 49245 49266 49286 49305 49324 49343 493612,5 49379 49396 49413 49430 49446 49461 49477 49492 49506 495202,6 49534 49547 49560 49573 49585 49598 49609 49621 49632 496432,7 49653 49664 49674 49683 49693 49702 49711 49720 49728 497362,8 49745 49752 49760 49767 49774 49781 49788 49795 49801 498072,9 49813 49819 49825 49831 49836 49841 49846 49851 49856 498613,0 49865 49869 49874 49878 49882 49886 49889 49893 49897 499003,1 49903 49906 49910 49913 49916 49918 49921 49924 49926 499293,2 49931 49934 49936 49938 49940 49942 49944 49946 49948 499503,3 49952 49953 49955 49957 49958 49960 49961 49962 49964 499653,4 49966 49968 49969 49970 49971 49972 49973 49974 49975 499763,5 49977 49978 49978 49979 49980 49981 49981 49982 49983 499833,6 49984 49985 49985 49986 49986 49987 49987 49988 49988 499893,7 49989 49990 49990 49990 49991 49991 49991 49992 49992 499923,8 49993 49993 49993 49994 49994 49994 49994 49995 49995 499953,9 49995 49995 49995 49996 49996 49996 49996 49996 49997 49997

Valori dell’integrale di probabilità della distribuzione normale standardizzata

F(z) = P(0 < Z < z)

N.B. La stessa tavola di Sheppard, data la simmetria della curva gaussiana, può essere usata anche per valori negativi della variabile Z:

P −z < Z < 0( ) = P 0 < Z < z( )inoltreP −∞ < Z < −z( ) = P z < Z < +∞( ) == P 0 < Z < +∞( )− P 0 < Z < z( ) =

= 12− P 0 < Z < z( )

Come si legge la Tavola di Sheppard

Esempio Per calcolare P(1,43<Z<2,56) occorre fare, con la prima delle tavole allegate: P(0<Z<2,56)-P(0<Z<1,43)= =0,4948-0,4236=0,0712 Con la seconda tavola: P(Z<2,56)-P(Z<1,43)= 0,9948-0,9236=0,0712

F(z) = P(−∞ < Z < z)

In questa tavola sono indicati i valori per cui è:

La curva normale

Di questo risultato se ne era già parlato lo scorso anno!

La curva normale e…

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