DISTRIBUCIONES DE PROBABILI-DAD

INTRODUCCION Y CONCEPTOS.

Sonia Almanza.

2C

Distribución de Bernoulli

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito () y valor 0 para la probabilidad de fracaso ().

Si es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro .

es un experimento aleatorio en el que sólo se pueden obtener dos resultados (habitualmente etiquetados como éxito y fracaso). Se denomina así en honor a Jakob Bernoulli.

Desde el punto de vista de la teoría de la probabilidad, estos ensa-yos están modelados por una variable aleatoria que puede tomar sólo dos valores, 0 y 1. Habitualmente, se utiza el 1 para represen-tar el éxito.

Distribución Binomial

En estadística, la distribución binomial es una distribución de pro-babilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una proba-bilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se deno-mina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fra-caso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una dis-tribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribu-ción binomial de parámetros n y p, se escribe:

Para una distribución de probabilidad binomial, deben darse las si-guientes condiciones

En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso "éxito" y su contrario el suceso "fracaso".

El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los re-sultados obtenidos anteriormente, esto es que el valor de la pro-babilidad de cada prueba no se afecta por pruebas anteriores, ni afecta pruebas futuras.

La probabilidad del suceso "éxito" es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de el suce-so "fracaso" es 1- p y la representamos por q .

Distribución Poisson

En este modulo se describe el uso de la distribución de Poisson para obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros cuyo resultado lo representa una variable discreta.

La Distribucion de Poisson se llama asi en honor a su creador, el francés Simeón Dennis Poisson (1781-1840), esta distribución de probabilidad fue uno de los multiples trabajos matematicos que Dennis completo en su productiva trayectoria.

La distribución de probabilidad de poisson es un ejemplo de distri-bución de probabilidad discreta.

La distribución de Poisson parte de la distribución

Distribucion Binomial.

Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento mu-chas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribu-ción Poisson.

LA FUNCION P(X=K)

A continuación veremos la función de probabilidad de la distribu-ción de Poisson:

Donde:

P(x=k) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta x toma un valor finito K.

λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo,volu-men, area, etc.). es igual a P por el segmento dado. La constante e tiene un valor aproximado de 2.711828.

K= es el numero de éxitos por unidad.

Aquí se muestran las formulas para determinar la media, la varian-za y la desviación.

Media μ= λ

Varianza σ2 =λ

Desviación típica σ = λ

Distribución NORMAL

Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se desig-na por N (μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

Distribución normal estándar

N (0, 1)

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla

Tipificación de la variable

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N (μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N (0, 1).

Cálculo de probabilidades en distribuciones normales

La tabla nos da las probabilidades de P (z ≤ k), siendo z la variable tipificada.

Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ (k).

Φ (k) = P (z ≤ k)

Distribución GAMMA

La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetros a= nlambda(escala) y p=n (forma). Se denota

Gamma(a,p).

Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de elementos físicos (tiempo de vida).

Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fia-bilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).

Distribución t StudentEn probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de esti-mar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la des-viación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

donde

Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1 V tiene una distribución ji-cuadrado con   grados de libertad Z y V son independientes

Si μ es una constante no nula, el cociente   es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad  .

Aparición y especificaciones de la distribución t de Student

Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independien-tes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ2. Sea

la media muestral. Entonces

sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.

Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relaciona-do,

Donde

Es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es

Donde   es igual a n − 1.

La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.

El parámetro   representa el número de grados de li-bertad. La distribución depende de  , pero no de   o  , lo cual es muy importante en la práctica.