Diszkr et matematika 2. el}oad as - ms.sapientia.romgyongyi/DiszkretMat/2_Szamtart.pdf · Diszkr et matematika 2. el}oad as MARTON Gy ongyv er [email protected] Sapientia Egyetem,

Diszkret matematika2. eloadas

MARTON [email protected]

Sapientia Egyetem,Matematika-Informatika TanszekMarosvasarhely, Romania

2018, oszi felev

October 10, 2018

MARTON Gyongyver 2018, Diszkret matematika

Mirol volt szo az elmult eloadason?

kovetelmenyek, osztalyozas, konyveszet

attekinto

Python: tulajdonsagok, teleptes, hasznalat

Python, alapfogalmak: valtozok, tpusok, utastasok (for, if),fuggvenyek, algoritmusok


Mirol lesz szo?

szamtartomanyok: termeszetes szamok, egesz szamok

Python alapfogalmak: utastasok (while), fuggvenyhvasok (rekurzio), alista, a tuple tpusu adatszerkezetek

a faktorialis fuggveny - iteratv, rekurzv valtozatok

a gyorshatvanyozas algoritmusa - iteratv, rekurzv valtozatok

allomanykezeles, bevezeto fogalmak


Szamok

szamtartomanyok: termeszetes szamok, egesz szamok, racionalis szamok,irracionalis szamok, valos szamok, komplex szamok,

alapmuveletek szamokkal: osszegzes, kulonbseg, szorzas, osztas,hatvanyozas, logaritmalas,

termeszetes szamok, egesz szamok: a diszkret matematika gerincetalkotjak,


Termeszetes szamok

halmazjeloles: N = {0, 1, 2, 3, . . . },

tulajdonsagok:

az osszeadas, szorzas kommutatv:a, b N, a + b = b + a, a b = b aaz osszeadas, szorzas asszociatv:a, b, c N, (a + b) + c = a + (b + c), (a b) c = a (b c)az osszeadas a szorzasra nezve disztributv: barmelya, b, c N, (a + b) c = a c + b ca termeszetes szamok halmaza zart az osszeadasra, szorzasra nezve:barmely ket termeszetes szam osszeadhato, szorozhato az eredmenyszinten termeszetes szam lesz, ez nem igaz a kulonbseg es osztasmuveletekre,a 0 az osszeadasra nezve semleges, az 1 a szorzasra nezve semlegeselem,jol rendezettseg: a termeszetes szamok minden nem uresreszhalmazanak van egy legkisebb eleme.


Algoritmusok Pythonban

1. feladat

Hatarozzuk meg n! erteket, azaz az osszes n-nel kisebb pozitv szam szorzatat.

Beeptett konyvtarfuggveny hasznalataval:

>>> from math import factorial

>>> factorial(10)

3628800

Sajat fuggvenyt rva, a for ciklusutastassal:

def my_factorial(n):

res = 1

for i in range(1, n+1):

res *= i

return res

>>> my_factorial(100)

9332621544394415268169923885626670049071596826438162146859296389521759

9993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000

000000000000000000



2. feladat

Hatarozzuk meg n! erteket, azaz hatarozzuk meg az osszes n-nel kisebb pozitvszam szorzatat.

while ciklusutastassal:

def myFakt(n):

res = 1

while n >= 1:

res = res * n

n = n - 1

return res

rekurzvan:

def myFakt_(n):

if n == 0: return 1

return n * myFakt_(n-1)

>>> myFakt_(10)

3628800


Python, szintaxis

a while ciklusutastas definialasa:

while :

A ciklustorzs addig kerul ismetelten vegrehajtasra, ameddig akifejezes logikai erteke igaz

megfelelo tordelessel (egy tabulatornyi hellyel bennebb) kell jelezni, hogymelyek azok az utastasok amelyek a ciklustorzshoz tartoznak.

barmely kifejezes logikai erteke igaznak minosul, ha az nullatolkulonbozik.

ha a kifejezes erteke indulasbol hamis, akkor egyszer sem hajtodikvegre a ciklustorzs.



3. feladat

Hatarozzuk meg hany nullas szamjegy van n! vegen, anelkul, hogy meghataroznank n!erteket. Pl. hany nullas van 1000! vegen.

Megszamoljuk hogy az hany 5-el, 52-el, 53-al, stb. oszthato szam van n-ig.

Ha n = 91, akkor osszesen 18 + 3 = 21 nullas szamjegy van 91! vegen, mert

5-el oszthato szamok szama: 91 // 5 = 1852-el oszthato szamok szama: 18 // 5 = 353-al oszthato szamok szama: 3 // 5 = 0

def fel(n):

res = 0

while n > 0:

temp = n // 5

res += temp

n = temp

return res

def fel_(n):

res = 0

while n > 0:

res += n // 5

n = n // 5

return res

>>> fel(1000)

249



4. feladat

Hatarozzuk meg xn erteket a gyorshatvanyozas algoritmusaval.

Letezik olyan algoritmus, amely 2100 meghatarozasakor 9 darab szorzast vegez.Hogyan?? a gyorshatvanyozas algoritmusaval, amely logaritmikus futasiideju.

def my_pow (x, n):

res = 1

while n != 0:

if n % 2 == 1:

res = res * x

n = n // 2

x = x * x

return res

>>> my_pow(2, 100)

1267650600228229401496703205376L

def my_pow_ (x, n):

res = 1

while True:

if n % 2 == 1:

res = res * x

n = n // 2

if n == 0: break

x = x * x

return res


A gyorshatvanyozas algoritmus, pelda

3100 meghatarozasa:

def my_pow (x, n):

res = 1

while n != 0:

if n % 2 == 1: res = res * x

n = n // 2

x = x * x

return res

x n res1

3 100 1

32 = 9 50 1

34 = 81 25 81

38 = 6561 12 81

316 = 43046721 6 81

332 = 1853020188851841 3 150094635296999121

364 = 3433683820292512484657849089281 1 515377520732011331036461129765621272702107522001

3128 = 117 . . . 961 0

Az eredmeny: 3100 = 34 332 364 = 515377520732011331036461129765621272702107522001.



5. feladat

Hatarozzuk meg xn erteket, rekurzv I. valtozat

def my_pow1 (x, n):

if n == 0: return 1

if n % 2 == 1: return x * my_pow1 (x * x, n // 2)

return my_pow1 (x * x, n // 2)

>>> my_pow1(2, 100)

1267650600228229401496703205376



6. feladat

Hatarozzuk meg xn erteket, rekurzv II. valtozat.

def my_pow2 (x, n):

if n == 0: return 1

temp = my_pow2 (x, n // 2)

if n % 2 == 1: return x * temp * temp

else: return temp * temp


Python, szintaxis

A rendezett ennes (tuple) tpus

megvaltoztathatatlan elemek/adatok szekvenciaja

letrehozasakor szogletes zarojelet hasznalunk, helyenkent ez elhagyhato

ha azt szeretnenk, hogy egy fuggveny egynel tobb erteket tertsen vissza,akkor nagyon elonyos a hasznalatuk

Peldak:

>>> t = (1, "karakterlanc", 5.4)

>>> t[0]

1

>>> t[1]

karakterlanc

>>> t[2]

5.4

>>> t = t + ("masik karakterlanc",) #hozzafuzes - append

(1, karakterlanc, 5.4, masik karakterlanc)

>>> len(t)

4



7. feladat

Hatarozzuk meg hogy hany szorzast vegez a gyorshatvanyozas algoritmusanakII. rekurzv valtozata.

def my_pow2_ (x, n):

if n == 0: return 1, 0

temp, nr = my_pow2_ (x, n // 2)

if n % 2 == 1: return x * temp * temp, nr + 2

return temp * temp, nr + 1

def SzorSzama (x, n):

res, nr = my_pow2_(x, n)

print ("Szorzasok szama: ", nr)

#print(res)

A my pow2 fuggveny visszatertesi erteke egy tuple tpusu ertek (szampar),ahol a kerek zarojeleket elhagytuk.



>>> SzorSzama(2, 1023)

Szorzasok szama: 20


Szorzasok szama: 12


Szorzasok szama: 13

Miert van ekkora elteres a szorzasok szamatilletoen, a harom kulonbozo hatvanykitevoeseteben?

Meghatarozzuk a kitevok kettes szamrendszerbeli alakjat, hasznaljuk a beeptett binfuggvenyt:

>>> bin(1023)

0b1111111111

>>> bin(1024)

0b10000000000

>>> bin(1025)

0b10000000001

A szorzasok szamat az hatarozza meg, hogy a hatvanykitevo kettes szamrendszerbeli

alakja hany bites, illetve hany 1-es szerepel benne!!


Python fuggvenyek

Tovabbi szamrendszerek kozotti atalaktasokat is vegezhetunk; 8-as, illetve 16-osszamrendszerbeli erteket hataroz meg a kovetkezo ket fuggveny, az eredmeny stringtpusu lesz:

>>> oct(1023)

01777

>>> hex(1023)

0x3ff

Az int fuggveny a stringkent megadott hexadecimalis, binaris, stb, alak alapjanmeghatarozza a tzes szamrendszerbeli alakot:

>>> int(3FF, 16)

1023

>>> int(1111111111, 2)

1023


Python fuggvenyek

A format ketparameteres, alkalmas binaris, oktalis, hexadecimalis alakmeghatarozasara:

>>> format(1023, b) #binaris (2-es) alak

1111111111

>>> format(1023, o) #oktalis (8-as) alak

1777

>>> format(1023, x) #hexa (16-os) alak

3ff

>>> format(1023, X)

3FF


Egesz szamok

halmazjeloles: Z = {. . . ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . . },

tulajdonsagok:

N Z, es a ket halmaz szamossaga ugyanaz,ket halmaz szamossaga, akkor egyezik meg, ha a ket halmaz kozott

letezik egy bijekcio, pl: f (x) =

{2x ha x 0,2x 1 ha x < 0,

kommutatvitas, asszociativitas, disztributivitas,az egesz szamok halmaza zart az osszeadasra, kivonasra, szorzasranezve, de ez nem igaz az osztasra,az osszeadasra nezve minden elemnek van inverz eleme,rendezettseg: a b, ha b a N.


Python, szintaxis

A lista (list) tpus

elemek/adatok szekvenciaja, amelyek erteket meg lehet valtoztatni

letrehozasakor zart zarojelet hasznalunk

hasonlo a tuple adatszerkezethez, a programozo donti el mikor melyiketelonyosebb hasznalni

azonos tpusu adatok eseteben lista tpust, kulonbozo tpusu adatokeseteben tuple tpust szoktak hasznalni

Peldak:

>>> L = list(range(10))

>>> print (L)

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

>>> print (L[2])

2

>>> L[2] = -2

>>> print (L)

[0, 1, -2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]


Python, szintaxis

>>> L = L + [10] #hozzafuzes - append

>>> print (L)

[0, 1, -2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

>>> print (a lista forditott sorrendben: , L[::-1])

a lista forditott sorrendben: [10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, -2, 1, 0]

L = L + [kar lanc]

>>> print (L)

[0, 1, -2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, kar lanc]

>>> L[:3]

[0, 1, -2]

>>> L[3:]

[3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, kar lanc]

>>> L1 = 5 * [helo]

>>> print(L1)

[helo, helo, helo, helo, helo]


Python, szintaxis

Mit rnak ki a kepernyore a kovetkezo fuggvenyhvasok?

def valtozok():

x = 6

y = x

x += 1

print(x: , x)

print(y: , y)

print(id_x: , id(x))

print(id_y: , id(y))

print (x == y)

def objektumok2():

X = [6, 7]

Y = X

X = X + [8]

print(X: , X)

print(Y: , Y)

print(id_X: , id(X))

print(id_Y: , id(Y))

print (X == Y)

def objektumok1():

X = [6, 7]

Y = X

X += [8]

print(X: , X)

print(Y: , Y)

print(id_X: , id(X))

print(id_Y: , id(Y))

print (X == Y)

def objektumok3():

x = (6, 7)

y = x

x += (8,)

print(x: , x)

print(y: , y)

print(id_x: , id(x))

print(id_y: , id(y))

print (x == y)


Logikai kifejezesek, muveletek, operatorok

Osszehasonlto operatorok:

a == b, ha a egyenlo b-vel, akkor True erteket ada != b, ha a nem egyenlo b-vel, akkor True erteket ada > b, ha a nagyobb, mint b, akkor True erteket ada >= b, ha a nagyobb vagy egyenlo, mint b, akkor True erteket ada < b, ha a kisebb, mint b, akkor True erteket ada >> x = 760

>>> if x % 2 == 0 and x % 5 == 0: print (a szam oszthato 10-el)

else: print (a szam nem oszthato 10-el)

>>> mStr = Helo vilag!

>>> if mStr[-1] == ! or mStr[-1] == ?:

print (nem kijelento mondat)

else: print (kijelento mondat)


Egesz szamok

8. feladat

A honapokL a honapok neveit, a minHomersekletL a honapokhoz tartozohomersekleti ertekeket taroljak. Hatarozzuk meg, hogy mely honapokban volt negatva homerseklet.

hL = [januar,februar,marcius,aprilis,majus, junius,

julius,augusztus,szeptember,oktober,november,december]

homL = [-7,-5,-1,4,8,10,12,12,9,4,-1,-5]

def homerseklet1(honapL, homersekletL):

resL = []

for i in range(0,12):

if homersekletL[i] < 0:

resL += [ honapL[i] ]

return resL

A fuggveny meghvasa:>>> homerseklet1(hL, homL)

[januar, februar, marcius, november, december]


Egesz szamok

Az elozo feladat masik implementacioja: ebben az esetben, a bemeneti lista egyertekparokbol allo lista lesz:

Lista = [(januar, -7),(februar, -5),(marcius, -1),(aprilis, 4),

(majus,8), (junius, 10), (julius,12),(augusztus,12),

(szeptember,9), (oktober, 4), (november,-1,), (december,-5)]

def homerseklet1_(L):

resL = []

for elem in L:

honap, homerseklet = elem

if homerseklet < 0:

resL += [ honap ]

return resL

>>> homerseklet1_(Lista)

[januar, februar, marcius, november, december]


Egesz szamok

9. feladat

A homerseklet.txt a honapok neveit, illetve a honapokhoz tartozo homersekletiertekeket tarolja. Olvassuk ki ezeket az adatokat az allomanybol, es hatarozzuk meg,hogy mely honapokban volt negatv a homerseklet.

A homerseklet.txt tartalma legyen a kovetkezo, ahol minden honapnev kulon sorbanvan megadva es a honapok es a honaphoz tartozo homersekleti ertekek kozott egyspace van:

januar -7

februar -5

marcius -1

aprilis 4

majus 8

junius 10

julius 12

augusztus 12

szeptember 9

oktober 4

november -1

december -5


Egesz szamok

A feladat megoldasahoz runk egy kiolvas fuggvenyt, majd az adatok feldolgozasahoz,ugy a homerseklet1, mint a homerseklet2, mar megrt fuggvenyeket hasznalhatjuk:

def feladat():

L = kiolvas()

resL = homerseklet1_(L)

return resL

def kiolvas():

inf = open(homerseklet.txt, rt)

L = []

while True:

temp = inf.readline()

if not temp: break

temp = temp.strip(\n)honap, homerseklet = temp.split( )

L += [(honap, int(homerseklet))]

inf.close()

return L


mbtn@1: fd@audio2: mbtn@0: fd@audio1:

Documents

Diszkr et matematika 2. el}oad as - ms.sapientia.romgyongyi/DiszkretMat/2_Szamtart.pdf · Diszkr et matematika 2. el}oad as MARTON Gy ongyv er [email protected] Sapientia Egyetem,