Algortmica III Divide y Vencers Docente: Carlos A. Ruiz De La
Cruz Melo Correo: [email protected] 2 Divide y Vencers
Divideyvencersesunatcnicaparadisear algoritmos que consiste en:
Descomponer el casoque haya que resolveren
unciertonmerodesub-casosmspequeos del mismo problema.
Resolverdemanerasucesivaeindependiente cada uno de estos sub-casos.
Combinarlassolucionesobtenidasdeesta manera para obtener la solucin
original. 3 Caso General Consideremosunproblema
arbitrario,yseacasounalgoritmo sencillocapazderesolverel problema.
Se le llama sub-algoritmo bsico. 4 Caso General algoritmoDivVen(x):
tipo de dato Si (x suficientemente pequeo o sencillo) entonces
retornar caso(x) finsi //Descomponer x en casos ms pequeos x1,x2,..
xk para i 1 hasta k hacer Yi DivVen(xi) finpara //Recombinar los Yi
para obtener Y de x para i 1 hasta k hacer Y Y + Yi finpara
retornar Y finalgoritmo Algunosalgoritmosdedividey
vencersnosiguenexactamenteeste esquema: por ejemplo, puede
necesitar queelprimersubcasoestresuelto antes de formar el segundo
subcaso. Elnmerodesub-ejemplaresn, sueleserpequeoe independiente
del caso particular que haya que resolver. Dividir x en
sub-ejemplares algoritmoDivVen(x): tipo de dato Si (x
suficientemente pequeo o sencillo) entonces retornar caso(x) finsi
//Descomponer x en casos ms pequeos x1,x2,.. xk para i 1 hasta k
hacer Yi DivVen(xi) finpara //Recombinar los Yi para obtener Y de x
para i 1 hasta k hacer Y Y + Yi finpara retornar Y finalgoritmo
algoritmoDivVen(x): tipo de dato Si (x suficientemente pequeo o
sencillo) entonces retornar caso(x) finsi //Descomponer x en casos
ms pequeos x1,x2,.. xk para i 1 hasta k hacer Yi DivVen(xi) finpara
//Recombinar los Yi para obtener Y de x para i 1 hasta k hacer Y Y
+ Yi finpara retornar Y finalgoritmo Determinacin del umbral
dndecolocarelumbral?, estoes,cundoseconsideraque unsub-problemaes
suficientementepequeocomo paranotenerquedividirlopara resolverlo
Cuandon=1,notienemucho sentido descomponer x en un caso ms sencillo
x1 Lamayoradealgoritmosdedividey vencerssontalesqueeltamaode
losksub-casosesaproximadamente (n/k)paraalgunaconstantek,en
dondeneseltamaodelcaso original. k sub-casos algoritmoDivVen(x):
tipo de dato Si (x suficientemente pequeo o sencillo) entonces
retornar caso(x) finsi //Descomponer x en casos ms pequeos x1,x2,..
xk para i 1 hasta k hacer Yi DivVen(xi) finpara //Recombinar los Yi
para obtener Y de x para i 1 hasta k hacer Y Y + Yi finpara
retornar Y finalgoritmo 8 Combinar las soluciones
Eltiemponecesariopara combinar las soluciones de los
sub-problemasparahallarla solucindeloriginal;
normalmenteesO(nk).Por tanto el tiempo total es: Siemprequensea
suficientemente grande. ) ( ) ( * ) (kn O k n t k n t +
=algoritmoDivVen(x): tipo de dato Si (x suficientemente pequeo o
sencillo) entonces retornar caso(x) finsi //Descomponer x en casos
ms pequeos x1,x2,.. xk para i 1 hasta k hacer Yi DivVen(xi) finpara
//Recombinar los Yi para obtener Y de x para i 1 hasta k hacer Y Y
+ Yi finpara retornar Y finalgoritmo 9 Justificacin del Divide y
Vencers Para que se justifique divide yvencers se necesitan tres
condiciones. Tienequeserposibledescomponerelcaso
ensub-casosyrecomponerlassoluciones parciales de forma bastante
eficiente. Lossub-casosdebenserenloposible aproximadamente del
mismo tamao. La decisin de utilizar el sub-algoritmo bsico
enlugardehacerllamadasrecursivasdebe tomarse cuidadosamente.
Eficienciade Divide y Vencers
Laeficienciadeestatcnicadependedecmoseresuelvanlos sub-casos.
Esquema de la Tcnica de Divide y Vencers Divisin.
Divideelproblemaoriginalenksub-problemas de menor tamao Conquistar.
Estossub-problemasseresuelvenindependientemente: Directamente si
son simples Reduciendoacasosmssimples (tpicamente de forma
recursiva) Combinar.Secombinansussolucionesparcialespara obtener la
solucin del problema original. 12 Recursin
Larecursinpermitedefinirunobjeto (problemas,estructurasdedatos)en
trminos de s mismo. Un procedimiento recursivo debe tener:
Uncriteriollamadocriteriobsico, por el que el mtodo no se llame a s
mismo,sinoquellegueauna solucin directa. Cadavezqueelmtodosellamea
smismo(directaoindirectamente), debeestarmscercadelcriterio base.
13 Tipos de Recursin Recursin Directa: El subprograma se llama
directamente a s mismo. LlamadaaP Sub ProgramaP 14 Tipos de
Recursin Recursin Indirecta Elsubprogramallamaaotro
subprograma,ysteasuvezllamaal primero de lo contrario a un tercero.
Llamada a Q Llamada a V Sub Programa P Sub Programa Q Sub Programa
V Llamada a Q Llamada a P Sub Programa P Sub Programa Q 15
Propiedades de la Recursin Unprocedimientorecursivocon
criteriobaseyaproximacin constante a este criterio base, se dice
que est bien definido. Sediceprofundidadrecursivaal
nmerodevecesquesellama recursivamente un subprograma. La
representacin en forma grfica se puederealizarpormediodeunrbol
recursivo. 16 Funcionamiento Interno de la Recursin
Cuandounprogramallamaaun subprograma,debeguardarsevarios elementos:
Debe guardarse los valores de los parmetrosdelsubprogramaque
llama;parapoderencontrarlos despusqueretornaelcontrola este
subprograma. Debeguardarseladireccindela instruccin que se debe
ejecutar a continuacindelsubprograma llamado,pararetornarelcontrola
esta instruccin. 17 Funcionamiento Interno de la Recursin Pila Es
una lista de elementos a la cual se le puede insertar o eliminar
elementos, slo por uno de sus extremos. (LIFO)
Internamenteseutilizaunaestructura tipopila,queguardarunacopiadelos
valoresdevariablesyconstantes locales del subprograma que efecta la
llamada. Adems, se guarda una referencia a la siguiente instruccin
a ejecutar. Proceso 18 Funcionamiento Interno de la Recursin
Seprocedeaejecutarlas instruccionesdelsubprograma llamado.
Concluidalaejecucindel subprogramallamado,se
recuperalacopiadelosvalores del tope de la pila.
Seretornaelcontrolala direccindelasiguiente
instruccinaejecutar,para continuar operando.
Estoserepitehastaquelapila est vaca. Proceso funcinm(3) funcin m(2)
funcin m(1)
m(1) m(2) m(3) P I L A Exponenciacin
Unejemplomssencillodelatcnicadividey
vencersquenodejadeserinteresanteesun
algoritmoquecalculalapotenciaan.paraun enteroa
yunnaturaln.Laversinmsingenua de dicho algoritmo es la siguiente:
Algoritmo potencia(a, n)resu 1 para x 1 hastanhacer resu resu * a
finpara retornarresu fincnumero resu= an Exponenciacin
Sibienelcostodeuna multiplicacinvara considerablementeconel
tamaodelosnmerosa multiplicar,concentremospor
ahoralaatencinencontarel nmerodemultiplicaciones
querealizaestealgoritmoen funcindensinpreocuparnos
poreltamaodelosnmeros a multiplicar. Evidentementeelnmerode
multiplicaciones es n. Estealgoritmorequiereun tiempo que est en
u(n). Algoritmo potencia(a, n) : entero resu 1 para x 1 hastanhacer
resu resu * a finpara retornarresu fincnumero Escribiendo de otra
manera Exponenciacin Sepuedehaceralgomejor?S,
utilizandolatcnicadedividey vencersyobservandoquepara n par an = (a
n /2) 2. Esto nos permite escribir la funcin anterior de otra
manera: Algoritmo potencia2(a, n) : entero si n=0 entonces resu 1
sinosi n es par entonces resupotencia2(a, n/2) resu resu * resu
sino resua* potencia2(a, n-1) finsi finsi retornarresu Fincnumero
Exponenciacin Algoritmo potencia2(a, n) : entero si n=0 entonces
resu 1 sinosi n es par entonces resupotencia2(a, n/2) resu resu *
resu sino resua* potencia2(a, n-1) finsi finsi retornarresu
Fincnumero SeaN(n)elnmerodemultiplicaciones
realizadasporestealgoritmoparaelexponente n.
Sinespar,N(n)=N(n/2)+1.staesuna
recurrenciadivideyvencerscona=1,b=2y k= 0.
Porello,a=bkyN(n)eu(logn)paran mltiplo de 2. Se puede comprobar que
el mismo resultado se obtiene para los dems ns. Exponenciacin
Comparado con el mtodo original de multiplicar x por s mismo
nveces, este algoritmo slo utiliza O(log n)
multiplicacionesyaceleraelclculodean tremendamente; ms o menos de
la misma forma que elalgoritmodelamultiplicacinacelerauna
multiplicacinsobreelmtodomslentoderealizar una suma repetida.
Algoritmo potencia2(a, n) : entero si n=0 entonces resu 1 sinosi n
es par entonces resupotencia2(a, n/2) resu resu * resu sino resua*
potencia2(a, n-1) finsi finsi retornarresu Fincnumero
Multiplicacinde nmeros grandes Comoafirmamosrecin,noeslomismo
multiplicarnmerospequeosque nmerosgrandes.Repasemosconun
ejemploelalgoritmodemultiplicacin usual: 3476 1593 10428 31284
17380 3476 5537268 Multiplicacinde nmeros grandes 3476 1593 10428
31284 17380 3476 5537268 Porcadadgitode1593escribimosun trmino a
sumar. Paraelcmputodecadatermino, debemos recorrer los dgitos de
3476. Seanelnmerodedgitosdelos nmerosamultiplicar(asumiendoque
losfactorestienenaproximadamenteel mismo nmero de dgitos).
Elcmputodelasnlneasinsume tiempou(n2),ylasumadelosn
trminostambin.seeselordendel algoritmo usual de multiplicacin.
Aplicando Divide y Venceras Separemos cada factor en dos mitades:
el primero en 34 y 76, y el segundo en 15 y 93: 34 * 15 = 510
000034 * 93 = 3162 00 76 * 15 = 1140 00 76 * 93 = 70 68 5537268
Esta es una manera correcta de multiplicar dado que 3476 = 102*34 +
76 y 1593 =102*15 + 93, luego 3476*1593 = 104 * (34*15) + 102* (34*
93 + 76*15) + 76*93. Engeneralqueremosmultiplicar2nmerosa ybden
dgitosdecimales.Asumimosporsimplicidadquenes par.
Elmtodoqueestamosconsiderandodescomponeay b: a = 10 n/2 w +x y b =
10 n/2 y +z. Luego, a *b = 10 n wy +10 n/2(wz +xy)+xz.
Esdecir,pararealizarunamultiplicacinentrenmeros de longitud decimal
n se realizan 4 multiplicaciones entre
nmerosdelongituddecimaln/2,ademsde3sumas de nmeros de longitud
decimal n ymultiplicaciones por potencias de 10, que no son
verdaderas multiplicaciones
sinoslodesplazamientoshacialaizquierda,o
equivalentemente,elsimpleagregadode0sala derecha Aplicando Divide y
Venceras 34 * 15 = 510 0000 34 * 93 =3162 00 76 * 15 =1140 00 76 *
93 = 7068 5537268 Valedecirquesereduceelproblemade
realizarunamultiplicacinentrenmerosde longitud n al de realizar 4
multiplicaciones entre nmerosdelongitudn/2msciertas
operaciones(sumas,shifts)quesondeorden u(n).
Paraanalizarestealgoritmo,consideramosla recurrencia resultante:
Aplicando Divide y Venceras t(n) = 4t(n/2) + u(n) Como 4 > 21,
resulta que t(n)eu (nlog 24) = u(n2). Es
decir,nohemosganadonadasobreelalgoritmo original, el que todos
utilizamos en la prctica. 34 * 15 = 510 34 * 93 =3162 76 * 15 =1140
76 * 93 = 7068 5537268 Sinembargo,steesfcildemejorar. Llamemos p =
wy, q = xz y r = (w+x)(y+z). Con slo 3 multiplicaciones entre
nmeros de longitud n/2 (o n/2+1 en el ltimo caso) obtenemos p, q y
r. Observemos adems que r resulta igual ar = wy +wz +xy +xz =p+wz
+xy +q. Porello,a*b=10np+10n/2(rpq)+q,es
decir,3multiplicacionesyvariassumasy
restas.Larecurrenciaasociadaaeste algoritmo es: Aplicando Divide y
Venceras t(n) = 3t(n/2) + u(n) 34 * 15 = 510 34 * 93 =3162 76 * 15
=1140 76 * 93 = 7068 5537268 Aplicando Divide y Venceras Como an
tenemos 3 > 21, resulta que t(n) eu(nlog 23 ). Esto es t(n)
eO(n1.6 ) y t(n)e O (n1.5). Es decir, este algoritmo es
significativamente mejor que el que utilizamos en la prctica. t(n)
= 3t(n/2) + u(n) 34 * 15 = 510 34 * 93 =3162 76 * 15 =1140 76 * 93
= 7068 5537268 Factoriales El factorial de un nmero entero positivo
n se define como el producto de los nmeros comprendidos entre 1 y
n. La expresinn!simboliza el factorial de n. > ==1 )! 1 ( *1 1)
(n n nnn fMtodo factorial(nvalor) si (nvalor 1) entonces retornar
1// estado bsico sino retornar nvalor*factorial(nvalor-1) fsi
finfactorial Factoriales Mtodo factorial(nvalor) si (nvalor 1)
entonces retornar 1// estado bsico sino retornar
nvalor*factorial(nvalor-1) fsi finfactorial Para las primeras
instrucciones cuando nValor es 1 0 tenemos O(1) Para la llamada
recursiva tenemos T(n) = 1 + T(n-1)paranValor > 1 ... (A) Si
suponemos quen = n-1 en (A) T(n-1) = 1 + T(n-2)....(B) Remplazando
lo anterior en (A): T(n) = 1 +1 + T(n-2) = 2 + T(n-2) .... (C) Por
tanto tenemos:T(n) = 2 + T(n-2) paranValor > 2 ...(C)Factoriales
Mtodo factorial() si (nvalor 1) entonces retornar 1// estado bsico
sino retornar nvalor*factorial(nvalor-1) fsi finfactorial Si
suponemos quen = n-2 en (A) T(n-2) = 1 + T(n-3)... (D) Remplazando
lo anterior en (C): T(n) = 2 +1 + T(n-3) = 3 + T(n-3) ... (D) En la
siguiente llamada tenemos: T(n) =3 + T(n-3) paranValor > 3 ...
(D) Por tanto en la penltima llamada tenemos: T(n) = (n-1) + T(1)
Con lo cual T(n) = n 1 +1 = n Concluyendo con O(n) PASO N PILA
RETORNO PROX. 0 4 41 4 4*, 32 3 4*,3*, 23 2 4*,3*,2*, 14 1
4*,3*,2*,1*, 05 0 4*,3*,2*,1*, 1 16 1 4*,3*,2*, 1(1*1) 27 2 4*,3*,
2(2*1) 38 3 4*, 6(3*2) 49 4 24(4*6)Funcionamiento Interno de la
Recursin Calculo recursivo del Factorial(n=4) Fibonacci La
determuinacin de la serie Fibonacci: 0, 1 ,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21
....se obtiene de la suma de los dos nmeros anteriores. Es decir:
Fibonacci(0) = 0 Fibonacci(1) = 1 Fibonacci(2) = Fibonacci(1) +
Fibonacci(0) = 1 + 0 = 1 Fibonacci(3) = Fibonacci(2) + Fibonacci(1)
= 1 + 1 = 2 Fibonacci(4) = Fibonacci(3) + Fibonacci(2) = 2 + 1 = 3
Fibonacci(5) = Fibonacci(4) + Fibonacci(3) = 3 + 2
=algoritmoFibona(n) Si ((n = 0)v (n = 1)) Entonces Retornarn sino
RetornarFibona(n-1)+Fibona(n-2) fSi fMetodoFibonacci anlisis Sea
T(1) para el control del bucle. Sea de un tiempo T(n-1) para la
primera llamada recursiva SeadeuntiempoT(n-2)paralasegundallamada
recursiva Entonces: T(n) = 1 + T(n-1) + T(n-2) Tomando n-1 en vez
de n:T(n-1) = 1 + T(n-2) + T(n-3) Tomando n-2 en vez de n:T(n-2) =
1 + T(n-3) + T(n-4) Por tanto en el ltimo ciclo :T(2) = 1 + T(1) +
T(0) algoritmoFibona(n) Si ((n = 0)v (n = 1)) Entonces Retornarn
sino RetornarFibona(n-1)+Fibona(n-2) fSi fMetodoFibonacci anlisis
algoritmoFibona(n) Si ((n = 0)v (n = 1)) Entonces Retornarn sino
RetornarFibona(n-1)+Fibona(n-2) fSi fMetodo T(n) = (n-1) + T(n-2) +
T(n-3) + T(n-4) + . + T(1) + T(0) T(n) = n + {T(n-2) + T(n-3) +
T(n-4) + . + T(1) } T(n) = n + n*T(n) = n + n2 Por tanto O(n2 )
Sumandoaambosladosdelas ecuaciones se tiene: PASO N PILA FIBONACI
PROX0 4 41 4 Fibo(2)+, 32 3 Fibo(2)+,Fibo(1)+, 23 2
Fibo(2)+,Fibo(1)+,Fibo(0)+, 14 1 Fibo(2)+,Fibo(1)+,Fibo(0)+, 1 25 2
Fibo(2)+,Fibo(1)+,Fibo(0)+, 1 06 0 Fibo(2)+,Fibo(1)+, 0 27 2
Fibo(2)+,Fibo(1)+, 1(1+0) 38 3 Fibo(2)+,Fibo(1)+, 1 19 1 Fibo(2)+,
1 310 3 Fibo(2)+, 2(1+1) 411 4 Fibo(2)+, 2 212 2 Fibo(0)+, 113 1
Fibo(0)+, 1 214 2 Fibo(0)+, 1 015 0 0 216 2 1(1+0) 417 4
3(2+1)Funcionamiento Interno de la Recursin Calculo recursivo del
Fibonacci(n=4) 39 El problema de Torres de Hanoi Tenemos 3 torres y
N discos de diferentes tamaos; cada uno con una perforacin en el
centro que le permite deslizarse por las torres. Inicialmente los N
discos estn ordenados de mayor a menor en la primera de las torres.
Sedebepasarlosdiscosaotratorreenel mismo orden, utilizando la
tercera torre como auxiliar. En cada movimiento slo se puede mover
un discoynopuedequedarunodemayor tamao sobre uno menor tamao.A ABCB
C A: Origen B: Destino C:Auxiliar El problema de Torres de Hanoi
algoritmohanoi (n, A, B, C) si (n = 1) entoncesescribir(mover disco
de A a B) sinohanoi(n-1, A, C, B) escribir(mover disco de A a B)
hanoi( n-1, C, B, A) finhanoi A ABCB C A: Origen B: Destino
C:Auxiliar 41 El problema de Torres de Hanoi
Concluimosquerbolrecursivonos permitecalcularenfuncindel#de hojas,
cuantas llamadas recursivas se dan: 2n - 1
rbolrecursivodeTorresdeHanoi para n =
3H(3,1,2,3)H(2,3,2,1)H(1,1,2,1)H(2,1,3,2)H(1,1,2,3)H(1,3,1,2)H(1,2,3,1)1-22-32-3
1-23-13-21-242 Conclusiones Divideyvencersesadecuadopara
reducirunproblemaavarioscasosms pequeos de si mismo
Larecursinesadecuadaparalasolucin
queconsisteenhacersucesivasllamadas a si mismo.
Estosmtodosdebentenerunareglade detencin que indique que el
problema est terminado. Estosmtodosnodamayorrapidez,ni ahorra
espacio de memoria; pero elcdigo esmascompactoyenciertoscasosms
fcil de aprender. LABORATORIO
Realicelossiguienteprogramasdeformarecursivausandola tcnica dyv e
implemntelo en java o C++. 1.
SetieneunarregloAdeenteros,detamaoN>0,connmerosenteros
positivosynegativos.RealiceunalgoritmoDyVqueencuentreelmenor nmero
entero que se encuentre en este arreglo y retorne su posicin, en
caso no existir retorne -1. Muestre su analisis. 2.
SetieneunarregloAdeenteros,detamaoN>0,ordenado
ascendentemente.RealiceunalgoritmoDyVqueencuentreunndicei
talque:1
