Topografia Aplicada Agronomia Baitelli / Weschenfelder

DIVISO DE TERRAS

Mtodo Grfico 1. Diviso de uma rea triangular

a. Dividir um tringulo em duas partes, que estejam entre si segundo uma dada relao, por meio

de uma reta paralela a um dos lados do tringulo.

Seja o tringulo ABC que se quer dividir em duas partes que estejam entre si para "m" e "n" por meio de uma reta MN que seja paralela, por exemplo, ao lado AC.

B

C

m

n

A

ABC : MBN = (m + n) : m ABCMBN

BA

BM=

2

2

Igualando-se as duas razes temos: BA

BM

m nm

2

2 =+( )

BM BAm

m n=

+( )BN BC

mm n

=+( )

Da qual se obtm:

Ou, pela simples razo: BMBA

BNBC

= BNBC BM

BA=

BM e BN = distncias at a linha divisria]

b. Dividir um tringulo em duas partes equivalentes por meio de retas que passem por um ponto situado sobre um de seus lados.

Seja o tringulo ABC que se quer dividir em partes iguais ou equivalentes e, P, o ponto dado sobre um dos lados, no caso, AB. Em primeiro lugar determina-se o ponto mdio Q entre B e C. Do vrtice A traa-se uma reta paralela a PQ at o lado BC gerando assim o ponto M. A reta PM a reta divisria. Os tringulos AQM e APM so equivalentes pois tm a mesma base e a mesma altura. O tringulo AQC equivalente metade do tringulo dado ABC. Tirando-se o tringulo AQM do tringulo ACQ e substituindo pelo tringulo APM, chegamos a concluso de que o quadriltero APMC equivalente a metade do tringulo dado ABC. No terreno mede-se BA, BP e BC e, depois, calcula-se BM.

B

C

A

PontoMdio

Sabe-se que: BQ BC=12

BQ =BC2

Dos tringulos BAM e BPQ deduz-se: BA

BP

BM

BQ

BA

BP

BM

BC

2

= = BM

BA BC

2 BP=

Se houver a necessidade de dividir um tringulo em 3, 4, ..., n partes, divide-se o lado BC em tantos quantos forem as partes desejadas e procede-se do mesmo modo.

2. Diviso de uma rea trapezoidal

a. Diviso de uma rea trapezoidal em duas partes proporcionais a "m" e "n" e paralelas a base.

Seja o trapzio ABCD a ser dividido em duas partes proporcionais aos nmeros m e n por uma paralela a base.

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Geocincias Departamento de Geodsia 1

L1 paralelo a L3, logo: h = L2 sen rea Total do trapzio ABCD:

B

C

A

D

Zm

n

L1

L2

L3

L4

L1 - L3H A1

A2x yhG

rea TotalL1 L3

2h=

+

( ) ( )EF Z

L32 n L12 m

m n= =

+

+

Pela semelhana dos tringulos DEG e DAH, calcula-se o comprimento da linha EF.

Topografia Aplicada Agronomia Baitelli / Weschenfelder

( )

DE xL4 Z L3

L1 L3= =

( )CF y

L2 Z L3

L1 L3= =

Clculo da posio dos pontos E e F:

Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Geocincias Departamento de Geodsia 2

Clculo das reas A1 e A2: A1

m

m nAtotal A2

n

m nAtotal= +

=+

3. Diviso de Polgonos a. Dividir um polgono em partes equivalentes por meio de retas que passem por um ponto situado

sobre um dos lados.

B

C

A

D

E

Seja o polgono ABCDE que se quer dividir em 3 partes equivalentes por meio de retas que passem pelo ponto P. Com os dados do levantamento determina-se a rea do polgono. Supondo-se:

PCBASt e P CBAE

St

3 3pelo menos uma das linhas divisrias dever se deslocar sobre AE. Diminumos de St/3 a rea do polgono PCBA e dividimos esta diferena pela metade da perpendicular baixada do ponto P sobre o lado AE.

reaPCBA

St

3 = Diferenadereas

Diferenadereas

PaAE

2

AM

=

Une-se P a M e teremos assim uma das divisrias. Se PDESt3 a outra diviso cair sobre DE.

Se dividirmos St/3 pela metade da perpendicular baixada de P DE, obteremos DN. Unindo-se P N obteremos a segunda linha divisria. b. Dividir um quadriltero de modo que a diviso (linha divisria) seja paralela a um dos lados

do quadriltero.

B

C

A

m

nL1

L2

L3

L4

S1

S2x

D

y

Seja o quadriltero ABCD de rea St a ser dividido por meio de uma reta paralela ao lado DA em dois lotes de rea S1 e S2. Com os dados de campo L1, L2, L3, L4, , , , e R1, calcula-se analiticamente as coordenadas dos vrtices e a rea total. De acordo com a proporcionalidade m:n, calcula-se as reas S1 e S2. A determinao de x e y resulta das relaes:

B b

2h S2

L4 x

2y S2

+ =

+ = ( )L4 x y 2 S2+ = y

2 S2

L4 x=

+

( ) ( )L4 x y ctg ctg x = L4-y ctg ctg = + + Substituindo-se y por seu valor temos:

( ) ( )x L4 2S2L4 x

ctg ctg x2 L42 2S2 ctg ctg = +

+ = + ( ) x L42 2S2 ctg ctg = +

Para os segmentos AM e DN, temos: AMy

sen =

DN

y

sen =

Mtodo Grfico