Độ đo thực và khoảng cách xác suất

8/2/2019 Độ đo thực và khoảng cách xác suất

http://slidepdf.com/reader/full/do-do-thuc-va-khoang-cach-xac-suat 1/42

TRƯNG CĐSP KON TUM

KHOA T NHIÊN - TIN HC NGOI NG

...I wake up in the morning so far away from home

...Many miles are between us ...

L NGUYÊN - TRÌNH VĂN DŨNG

Đ ĐO THCVÀ KHONG CÁCH XÁC SUT

MTV



2

Mc lc

Trang

Mc lc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1. Kin thc chun b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1. Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Các bt đng thc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Chương 2. Đ đo thc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1. Khái nim đ đo thc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 . 2 . K ha i t r i n Ha l n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Khai trin Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Chương 3. Mt s kt qu nhn đưc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

3.1. Tính duy nht ca khai trin Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

3.2. Mt s kt qu khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Chương 4. Khong cách xác sut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1. Khong cách bin phân toàn phn và khong cách Hellinger . . . . . . . .25

4.2. Mi liên h gia khong cách bin phân toàn phn và khong cách

H e l l i n g e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

4.3. Mt s ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4. Các khong cách xác sut khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Tài liu tham kho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2



Chương 1

Kin thc chun b

Trong chương này chúng tôi nhc li mt cách ngn gn các kin thc, thutng và kí hiu cn thit cho các chương sau.

1.1 Tích phân Lebesgue

Cho không gian đ đo ( X,A,µ), trong đó A là σ-đi s trên X.

Đnh lý 1.1.1. [DH ] Cho f là hàm đo đưc trên X. Nu f

≥0 trên A, A

∈ A,

A ⊂ X và A

f dµ = 0 thì f = 0 hu khp nơi trên A.

Đnh lý 1.1.2. [DH ] Gi s f là mt hàm xác đnh trên X vi giá tr trong R

và có tích phân trên X. Xét hàm tp đnh nghĩa bi:

λ :A −→ R

A

−→λ(A) =

A

f dµ

Khi đó hàm tp λ là σ-cng tính.

Đnh lý 1.1.3 (Levi). [DH ] Cho A ∈ A. Nu 0 ≤ f n f trên A thì

limn→∞

A

f ndµ = A

f dµ.

Đnh lý 1.1.4. [DH ] Mi hàm f : [a, b] −→ R kh tích Riemann đu kh tích

3



4

Lebesgue và hai tích phân đó trùng nhau, nghĩa là:

(R)

b

a

f (x)dx =

b

a

fdµ.

Đnh lý 1.1.5. Gi s µ là mt đ đo trên A. Khi đó nu An ∈ A, An ⊂ An+1,

mi n ∈ N, và A =∞n=1

An ∈ A thì limn→∞

µ(An) = µ(A).

1.2 Các bt đng thc

Đnh lý 1.2.1 (Bt đng thc Holder). [N L] Cho A mt tp con khác∅

đo

đưc ca X, p, q là hai s thc liên hip ( p ≥ 0, q ≥ 0 và 1 p

+ 1q

= 1). Gi s f,

g là hai hàm đo đưc trên A. Khi đó ta có bt đng thc A

f g|dµ ≤ A

|f | pdµ 1p A

|g|qdµ 1q .

Bt đng thc này đưc gi là bt đng thc H older.

Đnh lý 1.2.2 ( Bt đng thc Minkowski). [N L] Cho A ∈ A, f, g là hai hàm s đo đưc trên A và 1 ≤ p < +∞. Khi đó

A

f + g| pdµ 1p ≤

A

|f | pdµ 1p +

A

|g| pdµ 1p .



Chương 2

Đ đo thc

2.1 Khái nim đ đo thc

Đnh nghĩa 2.1.1. Cho không gian đo đưc (X, A) trong đó X là tp hp tùy

ý cho trưc, A là mt σ-đi s các tp con ca X, ánh x ϕ : A −→ R đưc gi

là mt đ đo thc hay đ đo suy rng (đ đo du) nu nó tha mãn điu kin

sau:

Vi mi dãy An∞n=1 ⊂ A, An ∩ Am = ∅, n = m ta có

ϕ ∞n=1

An

=

∞n=1

ϕ(An).

Nhn xét 2.1.2.

(i)Rõ ràng ϕ(∅) = 0.Tht vy ta hãy xét dãy An∞n=1 trong đó A1 = A2 =

A3 = ... = An = ... = ∅, ta có ϕ(∅) =∞n=1

ϕ(∅) ∈ R. Do đó ϕ(∅) = limn→∞

nϕ(∅) ∈R. Suy ra ϕ(

∅) = 0.

(ii)ϕ là mt đ đo thc thì ϕ có tính cht cng tính hu hn.

(iii) Nu A, B ∈ A, A ⊂ B thì ϕ(B \ A) = ϕ(B) − ϕ(A).

(iv) Đ đo xét trưc đây có th không phi là mt đ đo thc vì nó có th

bng +∞.

Đnh nghĩa 2.1.3. Mt tp E ⊂ X đưc gi là dương nu E ∈ A và nu mi

A ⊂ E , A ∈ A đu có đ đo không âm. Tương t tp E ⊂ X đưc gi là tp

5



6

âm nu E ∈ A và nu mi A ⊂ E , A ∈ A đu có đ đo không dương. Mt tp

E ⊂ X đng thi dương và âm đưc gi là tp không.

Mnh đ 2.1.4. Mi tp con đo đưc ca mt tp con dương ca X là mt tpcon dương; hp ca mt h đm đưc nhng tp con dương ca X là mt tp

dương.

Chng minh. Phn đu ca mnh đ là hin nhiên ,đ chng minh phn sau ta

gi s E =∞n=1

E n là dãy nhng tp con dương ca X (Đ ý rng ∅ là mt tp

con dương ca X).

Gi s A là mt tp con đo đưc tùy ý ca E.Vi mi n ∈ N ta đt An =A ∩ E n ∩ (X \ E 1) ∩ ... ∩ (X \ E n−1) th thì: An ⊂ E n, An ∈ A vì vy ϕ(An) ≥ 0.

Rõ ràng An ∩ Am = ∅, n = m và A =∞n=1

An nên ta có:

ϕ(A) =∞n=1

ϕ(An) ≥ 0

điu đó chng t rng E là mt tp dương.

Bng cách lp lun tương t ta có mnh đ sau:

Mnh đ 2.1.5. Mi tp con đo đưc ca mt tp con âm ca X là mt tp

âm. Hp ca mt h đm đưc nhng tp con âm ca X là mt tp âm.

Mnh đ 2.1.6. Mi tp con đo đưc E ca X mà ϕ(E ) < 0, đu cha mt

tp con âm D vi ϕ(D) < 0.

Chng minh. Nu E là mt tp con âm thì ta ly D = E và mnh đ đưc

chng minh. Ngưc li E cha nhng tp con có đ đo dương. Gi n1 là s t

nhiên nh nht sao cho tn ti mt tp con đo đưc E 1 ca E vi

ϕ(E 1) >1

n1

do đó

ϕ(E \ E 1) = ϕ(E ) − ϕ(E 1) < 0.



7

Nu E \ E 1 là mt tp âm thì ta ly D = E \ E 1 và mnh đ đưc chng

minh. Trong trưng hp ngưc li E \ E 1 cha các tp con có đ đo dương. Gi

n2

là s t nhiên nh nht sao cho tn ti mt tp con đo đưc E 2

ca E vi

ϕ(E 2) >1

n2,

ta thy ϕ(E 2) và ϕ(E \ (E 1 ∪ E 2)) ∈ R nên

ϕ(E \ (E 1 ∪ E 2)) = ϕ(E ) − ϕ(E 1) − ϕ(E 2) < 0.

Tip tc quá trình này ta s đưc hoc mt tp con âm D ca E vi ϕ(D) < 0

hoc mt dãy ni∞i=1 nhng s t nhiên và mt dãy E i∞i=1 nhng tp con đođưc ri nhau ca E vi

1

ni

< ϕ(E i), ∀i ∈ N.

Trong trưng hp th hai ta đt D = E \ ∞i=1

E i) ta có ϕ(E ) = ϕ(D) +

ϕ ∞i=1

E i) = ϕ(D) +∞i=1

ϕ(E i) > ϕ(D) +∞i=1

1ni

vì ϕ(E ) ∈ R nên∞i=1

1ni

có tng

hu hn, do đó limi→+∞

1

ni= 0.

Ta có

ϕ(D) < ϕ(E ) −∞i=1

1

ni

< 0

chúng ta chng t D là tp âm.

Gi s A là mt tp con tùy ý, đo đưc ca D. Vi mi i ∈ N ta có

A ⊂ D ⊂ E \ i−1

k=1

E k)

do cách chn ni nên ta có

ϕ(A) ≤ 1

ni − 1

điu này đúng vi ∀i ∈ N, do 1ni

→ 0 khi i → +∞ nên ta phi có ϕ(A) ≤ 0.

Như vy D là mt tp âm, mnh đ đưc chng minh hoàn toàn.



8

2.2 Khai trin Haln

Đnh lý 2.2.1 (Đnh lý phân tích Haln). Gi s ϕ là mt đ đo thc trên σ-đi s A ca không gian X. Khi đó tn ti mt tp con dương P và mt tp

con âm Q ca X đi vi ϕ sao cho

X = P ∪ Q; P ∩ Q = ∅

Chng minh. Ta xem F là h tt c các tp con âm ca X và đt λ = inf E ∈F

ϕ(E ).

Khi đó tn ti dãy E n∞n=1 ⊂ F sao cho limn→+∞

ϕ(E n) = λ.

Gi Q =∞n=1

E n theo mnh đ trên thì Q là mt tp con âm ca X vì vy

ta có ϕ(Q) ≥ λ. Mt khác xem tp con Q \ E n ca Q, vì Q là tp âm nên

ϕ(Q \ E n) ≤ 0 do đó

ϕ(Q) = ϕ(E n) + ϕ(Q \ E n) ≤ ϕ(E n),

điu này đúng vi mi n ∈ N nên ta phi có ϕ(Q) ≤ λ. Vy ϕ(Q) = λ ≤ 0.

Ta hãy chng minh P = X

\Q là tp dương. Gi s P không phi là tp

dương, khi đó theo đnh nghĩa tn ti mt tp con đo đưc E ca P vi ϕ(E ) < 0

suy ra E cha mt tp con âm D ca X vi ϕ(D) < 0, vì D và Q là nhng tp

con âm ri nhau ca X nên D ∪ Q là mt tp âm hơn na

λ ≤ ϕ(D ∪ Q) = ϕ(D) + ϕ(Q) = ϕ(D) + λ,

thành th ϕ(D) ≥ 0 mâu thun vi điu kin ϕ(D) < 0. Do đó ta có điu phi

chng minh.Nhn xét 2.2.2. Cp P, Q trong đnh lý trên đưc gi là mt khai trin

Haln ca X đi vi đ đo thc, d dàng thy rng khai trin Haln nói chung

không phi là duy nht vì ta có th chuyn mt tp con không, không rng t

thành phn này sang thành phn kia mà không nh hưng đn s phân tích.

Chng hn gi s A là tp con không ca P khi đó ta có

(P \ A) ∪ (P ∪ Q) = X ; (P \ A) ∩ (A ∪ Q) = ∅



9

và

ϕ(P \ A) = ϕ(P ) + ϕ(A) = ϕ(P ) ≥ 0

ϕ(Q ∪ A) = ϕ(A) + ϕ(Q) = ϕ(Q) ≤ 0.

Hơn na vi mi B ∈ A, B ⊂ (P \ A) thì B ⊂ P do đó ϕ(B) ≥ 0 (P là tp

dương).

Vi mi B ∈ A, B ⊂ (A ∪ Q) thì B = B ∩ (A ∪ Q) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Q) do

đó

ϕ(B) = ϕ(B ∩ A) = ϕ(B ∩ Q) = ϕ(B ∩ A) ≤ 0.

Như vy khai trin Haln nói chung là không duy nht, tuy nhiên s phântích y là hu duy nht theo nghĩa ca đnh lý sau:

Đnh lý 2.2.3. Gi s P, Q và P

, Q là hai phân tích Haln ca X đi vi

cùng mt đ đo thc ϕ : A −→ R. Khi đó ta có

ϕ(E ∩ P ) = ϕ(E ∩ P

); ϕ(E ∩ Q) = ϕ(E ∩ Q

)

vi ∀E ∈ A.

Chng minh. Ta có

E ∩ (P \ P

) ⊂ E ∩ P (2.1)

E ∩ (P \ P

) ⊂ E ∩ (X \ P

). (2.2)

T (2.1) suy ra

ϕ(E ∩ (P \ P

)) ≥ 0,

t (2.2) suy ra

ϕ(E ∩ (P \ P

)) ≤ 0.

Do đó ϕ(E ∩ (P \ P

)) = 0 tương t ϕ(E ∩ (P \ P )) = 0 T đây ta có

ϕ(E ∩ P ) = ϕE ∩ (P ∩ P

) + ϕE ∩ (P \ P

) = ϕE ∩ (P ∩ P

)

ϕ(E ∩ P

) = ϕE ∩ (P ∩ P

) + ϕE ∩ (P

\ P ) = ϕE ∩ (P ∩ P

).



10

Như vy ta có

ϕ(E ∩ P ) = ϕ(E ∩ P

)

tương t ta cng có đưc

ϕ(E ∩ Q) = ϕ(E ∩ Q

).

Ta đi xây dng các hàm sau:

Đnh nghĩa 2.2.4. Vi mt đ đo thc ϕ :

A −→R tùy ý, t khai trin

Haln và đnh lý trên ta xây dng đưc ba hàm xác đnh mt cách duy nht

ϕ+, ϕ−, |ϕ| : A −→ R như sau:

Gi s P, Q là mt khai trin Haln ca X đi vi ϕ, các hàm y đưc đnh

nghĩa bi:

ϕ+(E ) = ϕ(E ∩ P )

ϕ−(E ) =

−ϕ(E

∩Q)

|ϕ|(E ) = ϕ+(E ) + ϕ−(E )

vi mi E ⊂ X, E ∈ A.

Nhn xét 2.2.5. Theo cách đnh nghĩa trên thì rõ ràng ϕ+, ϕ−, |ϕ| là nhng

hàm không âm tc là ϕ+(A) ≥ 0; ϕ−(A) ≥ 0; |ϕ|(A) ≥ 0 vi ∀A ∈ A.

Ta có th kim tra d dàng rng ϕ+, ϕ−, |ϕ| là nhng đ đo hu hn (theo

nghĩa thưng) trên σ-đi s A. Chng hn ta đi chng t ϕ+

là mt đ đo trênA.

Ta có

ϕ+(A) = ϕ(A ∩ P ) ≥ 0, ∀A ∈ Aϕ+(∅) = ϕ(∅ ∩ P ) = ϕ(∅) = 0.



11

Xét dãy E i∞i=1 ⊂ A, E n ∩ E m = ∅, n = m đt E =∞n=1

E n, khi đó E ∈ A và

ϕ+(E ) = ϕ(E ∩

P ) = ϕ

(∞

n=1

E n)∩

P

= ϕ∞n=1

(E n ∩ P ) =∞n=1

ϕ(E n ∩ P )

=∞n=1

ϕ+(E n),

do đó ϕ+ là mt đ đo trên σ - đi s A, tương t như vy ta d dàng chng

minh đưc ϕ−, |ϕ| là các đ đo trên A.

Đ ý rng ϕ(E ) = ϕE ∩ (P ∪Q) = ϕ(E ∩P ) + ϕ(E ∩Q) = ϕ+(E )−ϕ−(E )

vi ∀E ∈ A.

Như vy

ϕ = ϕ+ − ϕ−

hay là

ϕ(E ) = ϕ+(E ) − ϕ−(E ), ∀E ∈ A.

Đnh nghĩa 2.2.6. Cho ϕ là mt đ đo thc trên A. Ta nói rng đ đo ϕ tptrung trên tp A0 ∈ A nu ϕ(E ) = 0 vi ∀E ∈ A, E ⊂ (X \ A0).

Hai đ đo thc ϕ1,ϕ2 đưc gi là kì d đi vi nhau nu chúng tp trung trên

các tp ri nhau. Khi đó ta vit ϕ1⊥ϕ2.

2.3 Khai trin Jordan

Đnh lý 2.3.1. Cho ϕ là mt đ đo thc trên A và A ∈ A .Ta đt V (ϕ, A) =

V (ϕ, A) + |V (ϕ, A)| trong đó

V (ϕ, A) = supA1⊂A,A1∈A

ϕ(A1)

V (ϕ, A) = inf A1⊂A,A1∈A

ϕ(A1)

khi đó

V (ϕ, X ) < +∞.



12

Chng minh. Gi s ngưc li V (ϕ, X ) = +∞, khi đó bng quy np ta chng

minh đưc rng tn ti mt dãy An∞n=1 ⊂ A sao cho V (ϕ, An) = +∞;

|ϕ(An)

| ≥n

−1.

Tht vy vi n = 1 ly A1 = X ta có V (ϕ, A1) = V (ϕ, X ) = +∞; |ϕ(A1)| =

|ϕ(X )| ≥ 1 − 1 = 0.

Gi s A1, A2, A3, ... , Ak, đã đưc xác đnh sao cho các tp hp này

tha mãn điu kin đã nêu. Vì V (ϕ, Ak) = +∞ nên V (ϕ, Ak) = +∞ hoc

|V (ϕ, Ak)| = +∞, do đó tn ti A ∈ A sao cho A ⊂ Ak và |ϕ(A)| ≥ |ϕ(Ak)|+ k.

Nu V (ϕ, A) = +∞ ta đt Ak+1 = A ngưc li nu V (ϕ, A) < +∞ ta đt

Ak+1 = Ak \ A.

Khi đó ta có V (ϕ, Ak \ A) = +∞ tht vy nu ngưc li V (ϕ, Ak \ A) < +∞thì ta có

V (ϕ, Ak) = supB1⊂Ak,B1∈A

ϕ(B1) = supB1⊂Ak,B1∈A

ϕB1 ∩ A ∪ (Ak \ A)

= supB1⊂Ak,B1∈A

ϕ(B1 ∩ A) + ϕ

B1 ∩ (Ak \ A)

≤ supB1⊂Ak,B1∈Aϕ(B1 ∩ A) + supB1⊂Ak,B1∈Aϕ

B1 ∩ (Ak \ A)

≤ supC ⊂Ak,C ∈A

ϕ(C ) + supC ⊂Ak\A,C ∈A

ϕ(C )

= V (ϕ, A) + V (ϕ, Ak \ A) < +∞,

tương t |V (ϕ, Ak)| < +∞ (đ ý rng − inf B⊂Ak,B∈A

ϕ(B) = supB⊂Ak,B∈A

− ϕ(B)

), cho nên V (ϕ, Ak) < +∞, mâu thun vi tính cht ca tp Ak, do đó

V (ϕ, Ak+1) = V (ϕ, Ak+1 \ A) = +∞ và ta có|ϕ(Ak+1)| = |ϕ(Ak \ A)| = |ϕ(Ak) − ϕ(A)| ≥ |ϕ(A)| − |ϕ(Ak)|

≥ |ϕ(Ak)| + k − |ϕ(Ak)| = k = (k + 1) − 1.

Như vy ta đã xác đnh đưc dãy An∞n=1 có các tính cht đã nêu, hơn na

vì dãy An∞n=1 gim nên ta có

X

\ ∞

n=1

An =∞

n=1X

\An = (X

\A1)

∪(A1

\A2)

∪...

∪(An

\An+1)

∪...



13

Tht vy rõ ràng

(X \ A1) ∪ (A1 \ A2) ∪ ... ∪ (An \ An+1) ∪ ... ⊂∞

n=1X \ An.

Vi mi x ∈∞n=1

X \ An

thì có n0 ∈ N sao cho x ∈ X \ An0 mt khác ta có

(X \ A1) ∪ (A1 \ A2) ∪ ... ∪ (An0−1 \ An0) =

= Ac1 ∪ (A1 ∩ Ac

2) ∪ ... ∪ (An0−1 ∩ Acn0

)

= (Ac1 ∪ Ac

2) ∪ (A2 ∩ Ac3) ∪ ... ∪ (An0−1 ∩ Ac

n0)

= (A1 ∩

A2)c

∪(A

2 ∩Ac

3)∪

...∪

(An0−1 ∩

Ac

n0)

= Ac2 ∪ (A2 ∩ Ac

3) ∪ ... ∪ (An0−1 ∩ Acn0

)

= Ac3 ∪ ... ∪ (An0−1 ∩ Ac

n0)

= ...

= Acn0

= X \ An0.

do đó

x ∈ (X \ A1) ∪ (A1 \ A2) ∪ ... ∪ (An \ An+1) ∪ ...

Như vy

X \ ∞n=1

An

= (X \ A1) ∪ (A1 \ A2) ∪ ... ∪ (An \ An+1) ∪ ...

t tính σ-cng tính ca ϕ ta suy ra

ϕX \

∞

n=1

An = ϕ(X \

A1) + ϕ(A1

\A2) + ϕ(A2

\A3) + ...

=

ϕ(X ) − ϕ(A1)

+

ϕ(A1) − ϕ(A2)

+ ...

= ϕ(X ) − ϕ(A1) −∞n=2

ϕ(An) − ϕ(An−1)

= ϕ(X ) − ϕ(A1) − lim

n→∞ϕ(An) =

+∞−∞

điu này mâu thun vi ϕ(A) < +∞ vi ∀A ∈ A. Đnh lý đưc chng minh

hoàn toàn.



14

Nhn xét 2.3.2. S V (ϕ, A) đưc gi là bin phân toàn phn ca ϕ trên A,

còn V (ϕ, A), V (ϕ, A) tương ng là bin phân dương và bin phân âm ca ϕ

trên A. Ta thy rng V (ϕ, A)≥

0≥

V (ϕ, A), V (ϕ, A)≥

0.

Đnh lý 2.3.3 (Khai trin Jordan). Gi s ϕ là mt đ đo thc, khi đó bin

phân toàn phn V (ϕ, A), bin phân dương V (ϕ, A) và bin phân âm V (ϕ, A) là

σ - cng tính trên A. Ngoài ra ta có khai trin Jordan như sau:

ϕ(A) = V (ϕ, A) + V (ϕ, A), ∀A ∈ A (∗).

Chng minh. Gi s An∞n=1 ⊂ A là dãy các tp ri nhau tng đôi mt. Vi

bt kỳ tp A ∈ A sao cho A ⊂ ∞n=1

An

ta có

ϕ(A) = ϕA ∩ ∞n=1

An

= ϕ∞n=1

(A ∩ An)

=∞n=1

ϕ(A ∩ An) ≤∞n=1

V (ϕ, An),

do đó

V

ϕ,

∞n=1

An

= supA⊂

∞

n=1An,A∈A

ϕ(A) ≤∞n=1

V (ϕ, An).

Mt khác vi ε > 0 cho trưc, vi mi n tn ti C n ∈ A , C n ⊂ An sao cho

ϕ(C n) > V (ϕ, An) − ε2n

. Khi đó∞n=1

C n ∈ A ;∞n=1

C n ⊂∞n=1

An, các tp C n ri

nhau tng đôi mt và ta có

V

ϕ,

∞

n=1

An

= sup

A⊂∞

n=1

An,A∈A

ϕ(A) ≥ ϕ

∞

n=1

C n

=

∞n=1

ϕ(C n) ≥∞n=1

V (ϕ, An) − ε

2n

=∞n=1

V (ϕ, An) − ε.

Vì ε > 0 là tùy ý nên

V ϕ,∞

n=1

An ≥

∞

n=1

V (ϕ, An).



15

Như vy

V ϕ,∞

n=1

An =∞

n=1

V (ϕ, An). (2.3)

Đi vi bt kỳ tp A ∈ A sao cho A ⊂∞n=1

An ta có

ϕ(A) = ϕA ∩ ∞n=1

An

= ϕ∞n=1

(A ∩ An)

=∞n=1

ϕ(A ∩ An) ≥∞n=1

V (ϕ, An),

do đóV

ϕ,∞n=1

An

= inf

A⊂∞

n=1An,A∈A

ϕ(A) ≥∞n=1

V (ϕ, An).

Mt khác vi ε > 0 cho trưc, vi mi n tn ti C n ∈ A, C n ⊂ An sao cho

V (ϕ, An) + ε2n

> ϕ(C n) Khi đó∞n=1

C n ∈ A;∞n=1

C n ⊂∞n=1

An, các tp C n ri nhau

tng đôi mt và ta có

V

ϕ,

∞n=1

An

= inf A⊂

∞

n=1An,A∈A

ϕ(A) ≤ ϕ ∞n=1

C n

=∞n=1

ϕ(C n) ≤∞n=1

V (ϕ, An) +ε

2n

=∞n=1

V (ϕ, An) + ε.

Vì ε > 0 là tùy ý nên

V

ϕ,∞n=1

An

≤∞n=1

V (ϕ, An).

Như vy

V

ϕ,∞n=1

An

=

∞n=1

V (ϕ, An). (2.4)



16

Theo đnh lý 2.3.1 thì V (ϕ, X ) < +∞ nên 0 ≤ V (ϕ, X ) < +∞ và 0 ≥V (ϕ, X ) > −∞. Vi mi A ⊂ X ta có

0 ≤ V (ϕ, A) = supA1⊂A,A1∈A

ϕ(A1) ≤ supA1⊂X,A1∈A

ϕ(A1)

= V (ϕ, X ) < +∞

và

0 ≥ V (ϕ, A) = inf A1⊂A,A1∈A

ϕ(A1) ≥ inf A1⊂X,A1∈A

ϕ(A1)

= V (ϕ, X ) > −∞.

Do đó hai chui v phi (2.3) và (2.4) hi t, vì vy ta có

V

ϕ,∞n=1

An

= V

ϕ,

∞n=1

An

+ |V

ϕ,

∞n=1

An

|=

∞n=1

V (ϕ, An) + |∞n=1

V (ϕ, An)|

=∞

n=1

V (ϕ, An) +∞

n=1

|V (ϕ, An)|

=∞n=1

V (ϕ, An) + |V (ϕ, An)|

=∞n=1

V (ϕ, An).

Vy V (ϕ, A) có tính σ - cng tính.

Đ chng minh khai trin (∗) ta chú ý rng đi vi bt kỳ tp C ∈ A sao

cho C ⊂ A ta có bt đng thc

ϕ(C ) = ϕ(A) − ϕ(A \ C ) ≤ ϕ(A) − V (ϕ, A)

do đó

V (ϕ, A) ≤ ϕ(A) − V (ϕ, A).

Tương t ta có

ϕ(C ) = ϕ(A) − ϕ(A \ C ) ≥ ϕ(A) − V (ϕ, A)



17

do đó

V (ϕ, A) ≤ ϕ(A) − V (ϕ, A).

Vyϕ(A) = V (ϕ, A) + V (ϕ, A).

Đnh nghĩa 2.3.4. Gi s (X, A) là mt không gian đo đưc, µ, ν là hai đ

đo thc trên σ -đi s A, ta nói µ liên tc tuyt đi đi vi ν nu µ(E ) = 0 vi

mi tp E đo đưc tha mãn điu kin |ν |(E ) = 0, khi đó ta vit µ << ν .

Nhn xét 2.3.5.(i) Nu µ là mt đ đo thc và f là hàm kh tích đi vi đ đo |µ| và nu ν

đưc đnh nghĩa ν (E ) = E

f d|µ| vi mi E ∈ A thì ν << µ.

(ii) Nu µ, ν là hai đ đo trên σ -đi s A thì µ << µ + ν .

(iii) Gi s µ, ν , m là các đ đo trên σ -đi s A. Nu µ << ν và ν << m

thì µ << m.

Đnh lý 2.3.6 ( Đnh lý Random - Nikodym). Nu đ đo m : A −→ R ca không gian (X, A) là σ-hu hn trên A, ϕ là mt đ đo dương hu hn ϕ << m

thì tn ti mt hàm đo đưc không âm f : X −→ R sao cho

ϕ(E ) =

E

f dm

vi mi E ∈ A. Hàm f là hu duy nht theo nghĩa nu g là hàm đo đưc, không

âm vi tính cht trên thì f

∼g đi vi m ( f = g hu chc chn).

Hàm f đưc gi là hàm mt đ ca đ đo ϕ đi vi đ đo m.Ta thưng kí

hiu dϕdm

= f hay dϕ = fdm.

Đnh nghĩa 2.3.7. Nu µ là mt đ đo thc và f là mt hàm đo đưc sao cho

f kh tích đi vi |µ| thì chúng ta đnh nghĩa: E

f dµ :=

E

f dµ+ − E

f dµ− vi mi E ∈ A.



Chương 3

Mt s kt qu nhn đưc

3.1 Tính duy nht ca khai trin Jordan

Mnh đ 3.1.1. Hai đ đo hu hn ϕ1, ϕ2 : A −→ R là kỳ d đi vi nhau khi

và ch khi tn ti mt tp con đo đưc E ca X sao cho ϕ1(E ) = 0 = ϕ2(X \E ).

Chng minh. Gi s tn ti mt tp con đo đưc E ca X sao cho ϕ1(E ) = 0 =

ϕ2(X

\E ) khi đó E và X

\E là hai tp ri nhau và hơn na vi

∀A

⊂E, A

∈ Ata có ϕ1(A) = 0; vi ∀A ⊂ X \ E, A ∈ A ta có ϕ2(A) = 0. Do vy ϕ1 tp trung

trên X \ E và ϕ2 tp trung trên E , chng t ϕ1⊥ϕ2.

Ngưc li: Gi s ϕ1⊥ϕ2 khi đó có D, E ∈ A, D ∩ E = ∅ sao cho ϕ1 tp

trung trên D, ϕ2 tp trung trên E . Vì ϕ2 tp trung trên E nên ϕ2(X \ E ) = 0,

ta có D ∩ E = ∅ nên E ⊂ X \ E . Vì ϕ1 tp trung trên D nên t điu trên suy ra

ϕ1(E ) = 0. Như vy tn ti E ∈ A, E ⊂ X sao cho ϕ1(E ) = 0 = ϕ2(X \ E ) =

0.Nhn xét 3.1.2.

(i) ϕ+, ϕ− là kỳ d đi vi nhau, tht vy ta có ϕ+(Q) = ϕ(Q ∩ P ) = 0,

ϕ−(P ) = ϕ(P ∩ Q) = 0. (Trong đó P, Q là mt khai trin Haln )

(ii) Nu ϕ là mt đ đo thc và ϕ = ϕ1 − ϕ2 trong đó ϕ1, ϕ2 là hai đ đo và

ϕ1, ϕ2 kỳ d đi vi nhau thì ϕ1 = ϕ+, ϕ2 = ϕ−.

Theo phép chng minh ca Sze-Tsen Hu - Cơ s gii tích toán hc 1978

18



19

Vì ϕ1, ϕ2 kỳ d đi vi nhau nên có Q ∈ A, Q ⊂ X sao cho ϕ1(Q) = 0 =

ϕ2(X \ Q) . Đt P = X \ Q ta có , vi ∀B ∈ A, B ⊂ X thì ϕ(B) = ϕ1(B) −ϕ2(B) =

−ϕ2(B)

≤0 do đó Q là tp âm đi vi ϕ, tương t P là tp dương đi

vi ϕ, thành th P, Q là mt khai trin Haln.Vi mi E ∈ A ta có

ϕ1(E ) = ϕ1

E ∩ (P ∪ Q)

= ϕ1(E ∩ P ) + ϕ1(E ∩ Q) = ϕ1(E ∩ P )

= ϕ1(E ∩ P ) − ϕ2(E ∩ P ) = ϕ(E ∩ P ) = ϕ+(E )

ϕ2(E ) = ϕ2

E ∩ (P ∪ Q)

= ϕ2(E ∩ P ) + ϕ2(E ∩ Q) = ϕ2(E ∩ Q)

= ϕ2(E ∩ Q) − ϕ1(E ∩ Q) = −ϕ(E ∩ Q) = ϕ−

(E ),

do đó

ϕ1 = ϕ+, ϕ2 = ϕ−

(iii)Nu ϕ là mt đ đo thc và E ∈ A thì |ϕ|(E ) = 0 khi và ch khi ϕ(F ) = 0

vi mi F ⊂ E, F ∈ A

Mnh đ 3.1.3.

ϕ+(A) = V (ϕ, A), ϕ−(A) = |V (ϕ, A)|.

Chng minh. Theo đnh lý khai trin Jordan thì V (ϕ, A), V (ϕ, A) có tính σ -

cng tính, hơn na V (ϕ, ∅) = 0, V (ϕ, ∅) = 0 và V (ϕ, A) ≥ 0, |V (ϕ, A)| ≥ 0 vi

mi A ∈ A nên V (ϕ, A), |V (ϕ, A)| là hai đ đo trên σ- đi s A.Ta có

ϕ(A) = V (ϕ, A)− |

V (ϕ, A)|

= ϕ+(A) − ϕ−(A)

do đó đ chng minh

ϕ+(A) = V (ϕ, A)

ϕ−(A) = |V (ϕ, A)|



20

ta ch cn chng t V (ϕ, A) và |V (ϕ, A)| kỳ d đi vi nhau.

Vi mi s nguyên dương n tn ti Bn sao cho ϕ(Bn) ≥ V (ϕ, X ) − 12n . Khi

đó t h thc ϕ(Bn) = V (ϕ, Bn) + V (ϕ, Bn) ta suy ra

V (ϕ, Bn) = ϕ(Bn) − V (ϕ, Bn)

≥ ϕ(Bn) − V (ϕ, X ) ≥ − 1

2n(3.1)

và

V (ϕ, X \ Bn) = V (ϕ, X ) − V (ϕ, Bn)

≤V (ϕ, X )

−ϕ(Bn)

≤1

2n

. (3.2)

Đt P =∞k=1

∞n=k

Bn khi đó

X \ P =∞k=1

∞n=k

(X \ Bn) ⊂∞

n=k

X \ Bn

vi mi k ∈ N. Vì V (ϕ, B) là mt đ đo nên

V (ϕ, X

\P )

≤V ϕ,

∞

n=k

(X

\Bn) ≤

∞

n=k

V (ϕ, X

\Bn)

≤∞

n=k

1

2n= 2−(k−1) ∀k ∈ N.

Suy ra

V (ϕ, X \ P ) = 0

Mt khác t (3.1) ta có |V (ϕ, Bn)| ≤ 12n

, vì∞k=1

Bn(k = 1, 2,...) lp thành

mt dãy tăng và

|V (ϕ, B)

|là mt đ đo nên ta có

|V (ϕ, P )| = limk→+∞

|V (ϕ,∞

n=k

)| ≤ limk→+∞

|V (ϕ, Bk)| ≤ limk→+∞

1

2k= 0

do đó |V (ϕ, P )| = 0. Như vy

ϕ+(A) = V (ϕ, A) = supA1⊂A,A1∈A

ϕ(A1)

ϕ−(A) = |V (ϕ, A)| = − inf A1⊂A,A1∈A

ϕ(A1).



21

T đây ta có th gi mt khai trin Jordan ca mt đ đo thc ϕ : A −→ R

là mt cp ϕ1, ϕ2 gm hai đ đo ϕ1, ϕ2 kỳ d đi vi nhau và tha mãn

ϕ = ϕ1 −

ϕ2.

Chú ý rng ta đã có

|ϕ|(A) = ϕ+(A) + ϕ−(A)

= V (ϕ, A) + |V (ϕ, A)| = V (ϕ, A).

Nhn xét 3.1.4.

(1) Trên đây ta đã chng minh đưc:

ϕ+(A) = supA1⊂A,A1∈A

ϕ(A1)

ϕ−(A) = − inf A1⊂A,A1∈A

ϕ(A1)

vi mi A ∈ A bng cách da vào đnh lý khai trin Jordan. Dưi đây ta có

mt cách chng minh khác, trc tip và đơn gin hơn.

Chng minh. Do ϕ là mt đ đo suy rng trên σ- đi s A nên tn ti tp dương

P và tp âm Q con ca X đi vi ϕ sao cho

P ∪ Q = X , P ∩ Q = ∅.

(i) Vi E ∈ A, khi đó vi mi F ∈ A, F ⊂ E ta có

ϕ(F ) = ϕ+(F ) − ϕ−(F ) ≤ ϕ+(F ) ≤ ϕ+(E )

do đó

supF ⊂E,F ∈A

ϕ(F ) ≤ ϕ+(E ).

Hơn na ta có E ∩ P ⊂ E mà ϕ+(E ) = ϕ(E ∩ P ) nên kt hp vi điu trên ta

suy ra

supF ⊂E,F ∈A

ϕ(F ) = ϕ+(E ).

(ii)Vi E ∈ A, khi đó vi mi F ∈ A, F ⊂ E ta có

ϕ(F ) = ϕ+

(F ) − ϕ−

(F ) ≥ −ϕ−

(F ) ≥ −ϕ−

(E )



22

do đó

inf F ⊂E,F ∈A

ϕ(F ) ≥ −ϕ−(E ).

Hơn na ta có E ∩ Q ⊂ E mà −ϕ−

(E ) = ϕ(E ∩ Q) nên kt hp vi điu trênta suy ra

ϕ−(E ) = − inf F ⊂E,F ∈A

ϕ(F ).

(2) Cho ϕ : A −→ R là mt đ đo thc thì ta luôn có

−ϕ−(E )

≤ϕ(E )

≤ϕ+(E ) ;

|ϕ(E )

| ≤ |ϕ

|(E )

vi mi E ∈ A.

3.2 Mt s kt qu khác

Mnh đ 3.2.1. Mt phân hoch đo đưc ca mt tp hp E ∈ A là mt h

hu hn γ = E 1, E 2,...,E n gm nhng phn t ri nhau thuc A sao cho

E = E 1∪E 2∪ ...∪E n.Gi Ω(E ) là tp hp tt c các phân hoch đo đưc ca E

vi ϕ : A −→ R là mt đ đo thc tùy ý ta xác đnh mt hàm λ : Ω(E ) −→ R

như sau:

λ(γ ) =n

i=1

|ϕ(E i)|

vi mi γ = E 1, E 2,...,E n ∈ Ω(E ) . Lúc đó ta có

|ϕ|(E ) = sup

λ(γ )

|γ

∈Ω(E )

.

Chng minh. Vi mi E ∈ A , vi γ ∈ Ω(E ) bt k, γ = E 1, E 2,...,E n ∈ Ω(E )

ta có

λ(γ ) =n

i=1

|ϕ(E i)| ≤n

i=1

|ϕ|(E i) =

= |ϕ|(E 1 ∪ E 2 ∪ ... ∪ E n) = |ϕ|(E ).



23

Suy ra

supλ(γ )|γ ∈ Ω(E ) ≤ |ϕ|(E ).

Do ϕ là mt đ đo suy rng trên σ- đi s A nên tn ti tp dương P và tpâm Q con ca X đi vi ϕ sao cho

P ∪ Q = X , P ∩ Q = ∅.

Ta có

|ϕ|(E ) = ϕ+(E ) + ϕ−(E )

= ϕ(E ∩ P ) − ϕ(E ∩ Q)

= |ϕ(E ∩ P )| + |ϕ(E ∩ Q)|.

Rõ ràng E ∩ P, E ∩ Q ∈ Ω(E ), t đó suy ra

|ϕ|(E ) = supλ(γ )|γ ∈ Ω(E ).

Mnh đ 3.2.2. Gi s (X, A, m) là mt không gian đ đo f : X −→ R là mt

hàm kh tích.Ta xác đnh mt hàm ν : A −→ R bng cách đt

ν (E ) =

E

fdm, ∀E ∈ A.

Khi đó ν là mt đ đo thc trên A. Hơn na nu đt f + := maxf, 0; f − :=

−min

f, 0

thì

ν +(E ) =

E

f +dm,ν −(E ) =

E

f −dm, |ν |(E ) =

E

|f |dm

vi mi E ∈ A.

Chng minh. Theo đnh lý (1.1.2) ta có ν là σ-cng tính, hơn na f kh tích

nên |ν (E )| =

E

f dm

< +∞ do đó ν là mt đ đo thc trên A.



24

Ta có

ν (E ) = ν +(E ) − ν −(E )

ν (E ) = E

f +dm − E

f −dm

vi mi E ∈ A, E ⊂ X . Rõ ràng ϕ1(E ) = E

f +dm, ϕ2(E ) = E

f −dm là hai đ

đo. Đt A = x ∈ X |f (x) ≥ 0 khi đó A ∈ A và

ϕ2(A) =

A

f −dm = 0 =

X\A

f +dm = ϕ1(X \ A),

do đó ϕ1, ϕ2 là hai đ đo kỳ d đi vi nhau, điu đó chng t

ϕ1(E ) = ν +(E ) , ϕ2(E ) = ν −(E ).

Vì vy

|ν |(E ) = ν +(E ) + ν −(E )

= E

f +dm + E

f −dm

=

E

|f |dm,

d thy ν + , ν − , |ν | là nhng đ đo hu hn.



Chương 4

Khong cách xác sut

4.1 Khong cách bin phân toàn phn và khongcách Hellinger

Trong chương này ta ký hiu Ω là không gian đ đo vi σ- đi s A, M là tp

tt c các đ đo xác sut trên (Ω, A) .

4.1.1 Khong cách bin phân toàn phn

Đnh nghĩa 4.1.1. Gi µ và ν là hai đ đo xác sut trên Ω, khi đó khong cách

bin phân toàn phn đưc đnh nghĩa như sau:

dTV (µ, ν ) := supA∈A

|µ(A) − ν (A)|

*.Kim tra dTV là mt mêtric ( khong cách )

Chng minh.

(i) Ta có dTV (µ, ν ) = supA∈A

|µ(A)−ν (A)| ≥ 0 vi mi µ, ν ∈ M; và dTV (µ, ν ) =

0 ⇔ µ(A) = ν (A) vi mi A ⊂ Ω, A ∈ A ⇔ µ = ν .

(ii) Vi mi µ, ν ∈ M thì dTV (µ, ν ) = dTV (ν, µ).

(iii) Vi mi µ,ν,τ ∈ M thì ta có

|µ(A) − ν (A)| ≤ |µ(A) − τ (A)| + |τ (A) − ν (A)|

25



26

do đó

supA∈A

|µ(A) − ν (A)| ≤ supA∈A

|µ(A) − τ (A)| + |τ (A) − ν (A)|

≤ supA∈A

|µ(A) − τ (A)| + supA∈A

|τ (A) − ν (A)|.

Tc là

dTV (µ, ν ) ≤ dTV (µ, τ ) + dTV (τ, ν ).

Như vy dTV là mt mêtric, mêtric này có giá tr nm trong đon [0, 1].

Bin phân toàn phn ca mt đ đo thc ϕ trên mt σ- đi s

Anhng tp

con ca Ω đưc đnh nghĩa là s V (ϕ, Ω). Theo nhng kt qu trưc ta đã bit

V (ϕ, Ω) = |ϕ|(Ω) = supg

ki=1

|ϕ(Ai|

trong đó g : Ω =k

i=1Ai là phân hoch đo đưc ca Ω.

Gi s ϕ là liên tc tuyt đi đi vi đ đo λ nào đó, gi f là hàm mt đ

ca đ đo ϕ đi vi đ đo λ (ϕ << λ) khi đó

ϕ(A) =

A

f dλ vi mi A ∈ A,

do vy

|ϕ|(Ω) = V (ϕ, Ω) =

Ω

|f |dλ.

D thy vi µ, ν là hai đ đo xác sut trên Ω, lúc đó s tn ti ít nht mt

đ đo λ sao cho µ << λ và ν << λ,thí d ta có th ly λ = µ+ν 2 .

Mnh đ 4.1.2. Gi s λ là đ đo tha mãn µ << λ và ν << λ, lúc đó nu

gi p, q ln lưt là hàm mt đ ca đ đo xác sut µ, ν đi vi đ đo λ thì

dTV (µ, ν ) =1

2

Ω

| p − q|dλ.



27

Chng minh. Ta có

µ(Ω) =

Ω

pdλ , ν (Ω) =

Ω

qdλ

do đó

(µ − ν )(Ω) =

Ω

( p − q)dλ.

Suy ra

V (µ − ν, Ω) = |µ − ν |(Ω) =

Ω

| p − q|dλ

= (µ

−ν )+(Ω) + (µ

−ν )−(Ω)

= Ω

( p − q)+dλ + Ω

( p − q)−dλ.

Hơn na ta li có Ω

( p − q)+dλ − Ω

( p − q)−dλ = (µ − ν )+(Ω) − (µ − ν )−(Ω)

= (µ − ν )(Ω) =

Ω

( p − q)dλ =

Ω

pdλ − Ω

qdλ

= µ(Ω) − ν (Ω) = 0

Suy ra Ω

( p − q)+dλ =

Ω

( p − q)−dλ,

do đó

V (µ − ν, Ω) = |µ − ν |(Ω) =

Ω

| p − q|dλ

= 2

Ω

( p − q)+dλ = 2

Ω

( p − q)−dλ.

Vì (q − p)+ = ( p − q)− cho nên Ω

(q − p)+dλ = Ω

( p − q)−dλ, do đó

V (µ − ν, Ω) = |µ − ν |(Ω) =

Ω

| p − q|dλ

= 2

Ω

( p − q)−dλ = 2

Ω

(q − p)+dλ.



28

Ta đã có

(µ − ν )+(Ω) = Ω

( p − q)+dλ = supA∈A (µ − ν )(A)

= supA∈A

µ(A) − ν (A)

và

(ν − µ)+(Ω) =

Ω

(q − p)+dλ = supA∈A

(ν − µ)(A)

= supA∈A

ν (A) − µ(A)

,

do đó

V (µ − ν, Ω) = |µ − ν |(Ω) =

Ω

| p − q|dλ = 2 supA∈A

µ(A) − ν (A).

Như vy

dTV (µ, ν ) = supA∈A

µ(A) − ν (A)

= 1

2

Ω

| p − q|dλ.

Nhn xét 4.1.3.

(i) Giá tr dTV (µ, ν ) không ph thuc vào cách chn đ đo λ như trên.

(ii) Ta đ ý rng 2 dTV (µ, ν ) chính bng khong cách gia p và q trong không

gian đnh chun L1

(Ω, λ)( p − q1).Phép chng minh trên cho ta mt kt qu thú v sau:

Mnh đ 4.1.4.

dTV (µ, ν ) =1

2supg

ki=1

|µ(Ai) − ν (Ai)|





29

Chng minh. Điu này có đưc vì

V (µ − ν, Ω) = |µ − ν |(Ω) =

Ω

| p − q|dλ

V (µ − ν, Ω) = |µ − ν |(Ω) = supg

ki=1

|µ(Ai) − ν (Ai)|



Mnh đ 4.1.5. Gi s µ, ν là nhng đ đo xác sut trên Ω, lúc đó

dTV (µ, ν ) =1

2max|h|≤1

Ω

hdµ − Ω

hdν

trong đó h : Ω −→ R là hàm đo đưc tha mãn |h(x)| ≤ 1.

Trưc tiên ta đi gii quyt bài toán sau:

B đ 4.1.6. Gi s f là mt hàm không âm trên Ω kh tích đi vi đ đo λ .

Xét hàm tp ν : A −→ R cho bi ν (A) = A

f dλ vi mi A ∈ A.

Nu g là mt hàm kh tích trên Ω đi vi ν thì gf kh tích trên Ω đi vi λ

và A

gdν = A

gfdλ

vi mi A ∈ A.

Chng minh. Ta đi xét tng trưng hp:

Trưng hp g là hàm đc trưng g = χE vi E ∈ A

g(x) = χE (x) =

1 nu x ∈ E

0 nu x ∈ Ω \ E lúc đó rõ ràng g đo đưc và

A

gdν =

A

χE dν =

A∩E

dν

= ν (E ∩ A) =

E ∩A

f dλ

=

A

χE f dλ =

A

gfdλ.



30

Trưng hp g là hàm đơn gin trên A, gi s g(x) =n

i=1αiχAi

(x) vi x ∈ A.

Ta có

A

gdν = A

ni=1

αiχAidν =

ni=1

A

αiχAidν

=n

i=1

αi

A

χAidν =

ni=1

αi

A

χAif dλ

=n

i=1

A

αiχAif dλ =

A

ni=1

αiχAi

f dλ

= A

gfdλ.

Trưng hp g là hàm đo đưc không âm. Khi đó tn ti mt dãy đơn điu

tăng các hàm đơn gin không âm (gn)n hi t v g. Ta có (gnf )n là mt dãy

đơn điu tăng các hàm không âm hi t v gf , do đó theo đnh lý Levi v s

hi t đơn điu ta đưc

A

gdν = limn→∞

A

gndν = limn→∞

A

gnf dλ = A

gfdλ.

Trưng hp g là hàm kh tích bt kỳ, ta có A

g+dν =

A

g+f dλ và A

g−dν =

A

g−f dλ

là nhng s hu hn. Vy

A

gdν = A

g

+

dν − A

g

−

dν = A

g

+

f dλ − A

g

−

f dλ

=

A

(g+f − g−f )dλ =

A

gfdλ.

Chng minh. mnh đ 4.1.5

D thy tn ti đ đo λ sao cho µ << λ và ν << λ; gi p, q ln lưt là hàm



31

mt đ ca đ đo xác sut µ, ν đi vi đ đo λ. Khi đó vi mi h đo đưc,

|h(x)| ≤ 1 ta có

Ω

hdµ − Ω

hdν

= Ω

hpdλ − Ω

hqdλ

= Ω

h( p − q)dλ

≤ Ω

|h|| p − q|dλ

≤ Ω

| p − q|dλ

Suy ra

sup|h|≤1

Ω

hdµ − Ω

hdν ≤

Ω

| p − q|dλ

vi h là hàm đo đưc tha |h(x)| ≤ 1. Ta xét hàm

h0(x) =

1 nu ( p − q)(x) ≥ 0

−1 nu ( p

−q)(x) < 0.

Rõ ràng đây hàm h0 là đo đưc và tha mãn |h0(x)| = 1, h0( p − q) = | p − q|.Khi đó

Ω

h0dµ − Ω

h0dν =

Ω

h0( p − q)dλ

=

Ω

| p − q|dλ.

Cho nên

max|h|≤1

Ω

hdµ − Ω

hdν =

Ω

| p − q|dλ

trong đó h : Ω −→ R là hàm đo đưc tha mãn |h(x)| ≤ 1.

Vy

dTV (µ, ν ) =1

2max|h|≤1

Ω

hdµ − Ω

hdν .



32

Nhn xét 4.1.7.

Trên đây chúng ta đã chng t đưc rng

dTV (µ, ν ) = supA∈A

|µ(A) − ν (A)|

=1

2

Ω

| p − q|dλ

=1

2max|h|≤1

Ω

hdµ − Ω

hdν

do vy ta có đưc nhiu cách đ đnh nghĩa khong cách bin phân toàn phn.

Đc bit nu Ω là không gian đm đưc thì ta có kt qu dưi đây:

Mnh đ 4.1.8. Khi Ω là không gian đm đưc thì

dTV (µ, ν ) =1

2

x∈Ω

µ(x) − ν (x)

trong đó µ(x) := µ(x); ν (x) := ν (x).

Chng minh. Gi s λ là mt đ đo tha mãn µ << λ và ν << λ; gi p, q ln

lưt là hàm mt đ ca đ đo µ và ν đi vi đ đo λ. Ta có

x∈Ω

µ(x) − ν (x) =

x∈Ω

x

pdλ − x

qdλ)

=x∈Ω

x

( p − q)dλ)

= x∈Ω

x

| p − q|dλ

=

Ω

| p − q|dλ,

do đó

dTV (µ, ν ) =1

2

x∈Ω

µ(x) − ν (x)



33

4.1.2 Khong cách Hellinger

Đnh nghĩa 4.1.9. Gi s µ và ν là hai đ đo xác sut trên Ω, λ là đ đo tha

mãn µ << λ và ν << λ; gi p, q ln lưt là hàm mt đ ca đ đo xác sut µ, ν

đi vi đ đo λ. Khi đó khong cách Hellinger đưc đnh nghĩa như sau:

dH (µ, ν ) = Ω

(√

p − √q)2dλ

12

Nhn xét 4.1.10.

(i) Đnh nghĩa trên là hp lý vì giá tr dH (µ, ν ) không ph thuc vào cách

chn λ. Tht vy:Gi s ϕ là mt đ đo tha mãn µ << ϕ và ν << ϕ; khi đó λ << λ + ϕ.

Gi f là hàm mt đ ca đ đo λ đi vi đ đo λ + ϕ, tc là

λ(E ) =

E

f d(λ + ϕ) vi mi E ∈ A,

do đó ta có

µ(E ) = E

pdλ = E

pfd(λ + ϕ)

và

ν (E ) =

E

qdλ =

E

qf d(λ + ϕ)

vi mi E ∈ A. Cho nên µ, ν có hàm mt đ ln lưt là pf và qf đi vi đ đo

λ + ϕ. Ta có

Ω

(

pf − qf )2

d(λ + ϕ) = Ω

( p + q − 2√ pq)f d(λ + ϕ)

=

Ω

( p + q − 2√

pq)dλ =

Ω

(√

p − √q)2dλ

Như vy nu gi p1, q1 ln lưt là hàm mt đ ca đ đo xác sut µ, ν đi vi

đ đo ϕ thì ta có

Ω

(√

p1

−

√q1)2dϕ =

Ω

( f

−

√g)2d(ϕ + λ)



34

trong đó f , g ln lưt là hàm mt đ ca đ đo µ, ν đi vi đ đo λ + ϕ, do đó

Ω

(√

p1 − √q1)2dϕ =

Ω

(√

p − √q)2dϕ.

Vì vy dH (µ, ν ) không ph thuc vào cách chn λ

(ii) Ta có

dH (µ, ν ) = Ω

(√

p − √q)2dλ

12 =

Ω

( p + q − 2√

p√

q)dλ 12

=2(1 −

Ω

√ p√

qdλ) 12 .

(iii) Ta có 0 ≤ dH (µ, ν ) ≤ √2. Ta xét σ- đi s L các tp đo đưc Lebesguetrên R, d thy đ đo Lebesgue λ trên R là σ- hu hn. Ta xem Ω = R xét các

hàm đo đưc

X (ω) =

1 nu ω ∈ [0, 1]

0 nu ω ∈ Ω \ [0, 1]

Y (ω) = 1 nu ω ∈ [1, 2]

0 nu ω ∈ Ω \ [1, 2],

đt

µ(A) =

A

X (ω)dλ

ν (A) =

A

Y (ω)dλ

vi mi A

∈ L. Rõ ràng µ, ν là các đ đo xác sut trên Ω (lưu ý rng µ(R) =

µ([0, 1]) = 1 và ν (R) = ν ([1, 2]) = 1). Ta thy

dH (µ, ν ) =2 − 2

Ω

X (ω)Y (ω)dλ 12 =

√2.

*. Kim tra dH (µ, ν ) là mt mêtric

1/ a/ Ta có

dH (µ, ν ) = Ω

(√

p

−

√q)2dλ

12

≥0 vi mi µ, ν

∈ M.



35

b/Gi s dH (µ, ν ) = 0 lúc đó ta có p = q hu khp nơi đi vi đ đo λ do đó

µ(A) = A

pdλ = A

qdλ = ν (A) vi mi A ∈ A, A ⊂ Ω

Gi s µ = ν thì µ(A) = A pdλ =

A qdλ = ν (A) vi mi A ∈ A , A ⊂ Ω.

Theo đnh lý Random-Nikodym ta có p = q hu khp nơi đi vi đ đo λ, suy

ra dH (µ, ν ) = 0.

2/Ta có

dH (µ, ν ) = Ω

(√

p − √q)2dλ

12 = dH (ν, µ)

vi mi µ, ν ∈ M

3/Vi mi µ,ν,ϕ ∈ M, gi s p, q, f ln lưt là các hàm mt đ ca các đ đoµ,ν,ϕ ∈ M đi vi đ đo λ. Bt đng thc Minkowski cho ta

dH (µ, ν ) + dH (µ, ϕ) = Ω

(√

p − √q)2dλ

12 +

Ω

(√

p − f )2dλ 12

≥ Ω

(√

p − f )2dλ12 = dH (µ, ϕ).

T đó suy ra dH

là mt mêtric.

Mnh đ 4.1.11. Khi Ω là không gian đm đưc thì

dH (µ, ν ) =x∈Ω

µ(x) −

ν (x)

212 .

Chng minh. Gi s λ là mt đ đo tha mãn µ << λ và ν << λ; gi p, q ln

lưt là hàm mt đ ca đ đo µ và ν đi vi đ đo λ. Ta có

x∈Ω

µ(x) −

ν (x)

2 =x∈Ω

µ(x) + ν (x) − 2

µ(x)

ν (x)

= 2 − 2x∈Ω

µ(x)

ν (x)

= 2 − 2x∈Ω

x

pdλ

x

qdλ



36

= 2 − 2x∈Ω

p(x)

λ(x)

q(x)

λ(x)

= 2

−2

x∈Ω p(x) q(x)λ(x)

= 2 − 2x∈Ω

x

√ p√

qdλ

= 2 − 2

Ω

√ p√

qdλ,

do đó

dH (µ, ν ) = x∈Ω

µ(x)

− ν (x)

2

12

4.2 Mi quan h gia khong cách bin phân toànphn và khong cách Hellinger

Mnh đ 4.2.1.d2H

2 ≤ dTV ≤ dH .

Chng minh. Ta có

2dTV (µ, ν )

2= Ω

| p − q|dλ2

= Ω

|(√ p − √q)||(√ p +

√q)|dλ

2

≤ Ω

(√

p − √q)2dλ

Ω

(√

p +√

q)2dλ = d2H (µ, ν )

2 + 2

Ω

√ p√

qdλ

vì Ω

√ p√

qdλ ≤ Ω

pdλ 12 Ω

qdλ 12 = 1

do đó

dTV ≤ dH .



37

Ta có

d2H (µ, ν ) =

Ω

(√

p − √q)2dλ =

Ω

( p + q − 2√

p√

qdλ

≤ Ω

( p + q − 2min( p,q))dλ =

Ω

| p − q|dλ = 2dTV (µ, ν ).

Suy ra d2H ≤ 2dTV , tóm li

d2H

2≤ dTV ≤ dH .

4.3 Mt s ví d

Xét Ω = R, λ là đ đo Lebesgue trên σ- đi s L các tp đo đưc Lebesgue. Ta

có mnh đ sau

Mnh đ 4.3.1. Gi s f : (−∞, +∞) −→ (−∞, +∞) đo đưc không âm

và kh tích Riemann trên mi đon con đóng ca (−∞, +∞). Khi đó nu +∞ −∞

f (x)dx hi t thì f kh tích Lebesgue trên (−∞, +∞) và

(−∞,+∞)

f dλ =

+∞ −∞

f (x)dx

Chng minh. Gi s+∞

−∞f (x)dx hi t, t đây ta có

(−∞,+∞)

f dλ =

(−∞,0]

f dλ +

[0,+∞)

f dλ

= limn

[−n,0]

f dλ + limn

[0,n]

f dλ

= limn

0

−n

f (x)dx + limn

n

0

f (x)dx



38

=

0 −∞

f (x)dx +

+∞ 0

f (x)dx

=

+∞ −∞

f (x)dx.

*.Phân phi Gauss

P θ(y) =1√π

e−(y−θ)2

Vi θ1, θ2

∈R xét hai đ đo µ(A) =

A

P θ1(y)dλ, ν (A) = A

P θ2(y)dλ vi

A ⊂ R, A ∈ L.Ta d thy

µ(R) =

R

P θ1(y)dλ =

(−∞,+∞)

P θ1(y)dy = 1

tương t

ν (R) =

R

P θ2(y)dλ = 1,

nên µ, ν là hai đ đo xác sut.Ta có

d2H (µ, ν ) = 2

1 −

R

P θ1(y)

P θ2(y)dλ

vì

−lnx ≥ 1 − x, mi x > 0

nên

d2H (µ, ν ) ≤ −2 ln

R

P θ1(y)

P θ2(y)dλ.

Ta có

− 2 ln

R

P θ1(y)

P θ2(y)dλ

= −2 ln

+∞

−∞

P θ1(y)

P θ2(y)dy





40

Thc ra ta có th tính chính xác khong cách gia hai đ đo xác sut trong

trưng hp phân phi mũ, phân phi Gauss trên, thí d

d2H (µ, ν ) = 2

1 −

R

P θ1(y)

P θ2(y)dλ

= 21 −

+∞ −∞

P θ1(y)

P θ2(y)dy

= 21 −

+∞ −∞

1√π

e−[(y−(θ1+θ22 ))2+(

θ1−θ22 )2)]dy

= 21 −e−(

θ1−θ22 )2]

4.4 Các khong cách xác sut khác

Như vy trên chúng ta đã đưc làm quen vi hai khong cách xác sut: Khong

cách bin phân toàn phn và khong cách Hellinger. Dưi dây chúng tôi xin gii

thiu thêm mt s khong cách xác sut khác như khong cách Prokhorov,

khong cách Kantorovich.

4.4.1 Khong cách Prokhorov

Đnh nghĩa 4.4.1. Cho (Ω, d) là mt không gian mêtric. Khong cách Prokhorov

đưc đnh nghĩa như sau:

dP (µ, ν ) := inf > 0 : µ(B) ≤ ν (B) + vi mi tp B Borel

trong đó B =

x : inf

y∈B

d(x, y)

≤

(xem[AL]).

4.4.2 Khong cách Kantorovich

Đnh nghĩa 4.4.2. Cho Ω = R, và đnh nghĩa ||f ||L := supx=y∈Ω

|f (x)−f (y)|d(x,y)

, trong

đó f đo đưc, d là mt mêtric trên Ω. Khong cách Kantorovich đưc đnh nghĩa

như sau:

dW (µ, ν ) := sup

Ωf dµ

− Ωf dν :

||f

||L

≤1



41

(xem[AL]).



42

Tài liu tham kho

[NL] Nguyn Hoàng & Lê Văn Hp, Giáo trình Gii tích hàm , Hu, 2003.

[DH] Nguyn Đnh & Nguyn Hoàng, Hàm s bin s thc, NXB. GD, 2000.

[NV] Nguyn Duy Tin & Vũ Vit Yên, Lý thuyt xác sut , NXB. GD, 2001.

[NL] Nguyn Xuân Liêm, Tôpô đi cương Đ đo và Tích phân , NXB. GD, 1996.

[PT] Phm Kỳ Anh & Trn Đc Long, Hàm s bin s thc , NXB. DHQG

Hà Ni, 2001.

[AL] Alison L.Gibbs - Francis Edward Su, On choosing and bounding probability

metric, Bài báo tháng 1/ 2002.

[PH] Paul R Halmos, Measure Theory , Springer- Verlag New York Heidelber-

Berlin 1970.

[SH] Sze - Ten Hu, Cơ s gii tích toán hc, 1978.

Documents

Độ đo thực và khoảng cách xác suất