Do Ngoc Diep - Hinh Hoc Vi Phan (Giao Trinh Cao Hoc)

H×nh häc vi ph©n

§ç Ngäc DiÖp

2 §ç Ngäc DiÖp

Môc lôc

0.1 H×nh häc s¬ cÊp vµ ®a t¹p tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . 90.2 §èi tîng nghiªn cøu cña h×nh häc vi ph©n . . . . . . 100.3 C«ng cô chñ yÕu cña h×nh häc vi ph©n . . . . . . . . 110.4 LÜnh vùc øng dông chñ yÕu cña h×nh häc vi ph©n . . . 12

1 PhÐp tÝnh vi ph©n 131.1 §a t¹p tuyÕn tÝnh vµ ph¬ng ph¸p to¹ ®é . . . . . . . 13

1.1.1 Çc phÐp biÕn ®æi (tuyÕn tÝnh) trong h×nh häc . 151.2 §Þnh nghÜa ®¹o ¸nh vµ çc tÝnh chÊt c¬ b¶n . . . . . 16

1.2.1 KÝ hiÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2 Kh«ng gian Euclide n-chiÒu . . . . . . . . . . 161.2.3 CÊu tróc metric, t«p« vµ çc vËt thÓ h×nh häc . 20

1.3 §¹o hµm riªng vµ vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.1 §¹o ¸nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.2 §¹o ¸nh cña hîp hai ¸nh x¹ . . . . . . . . . . 251.3.3 Vi ph©n toµn phÇn . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.4 C«ng thøc ®æi biÕn . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4 §Þnh lÝ hµm (¸nh x¹) ngîc . . . . . . . . . . . . . . 271.5 §Þnh lÝ hµm (¸nh x¹) Èn . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6 Bã çc hµm tr¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7 Bµi tËp cñng cè lý thuyÕt . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

4 §ç Ngäc DiÖp

2 PhÐp tÝch ph©n 352.1 Çc ®Þnh nghÜa c¬ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.1 Çc tËp ®o dîc . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.2 §Þnh nghÜa tÝch ph©n Riemann . . . . . . . . . 37

2.2 Çc hµm kh¶ tÝch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.1 Tiªu chuÈn kh¶ tÝch . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.2 §iÓm gi¸n ®o¹n cña hµm kh¶ tÝch . . . . . . . 40

2.3 §Þnh lÝ Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4 Ph©n ho¹ch ®¬n vÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5 §æi biÕn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6 Bµi tËp cñng cè lý thuyÕt . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 §a t¹p kh¶ vi 493.1 §Þnh nghÜa. VÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 ¸nh x¹ tr¬n gi÷a çc ®a t¹p . . . . . . . . . . . . . . 513.3 Ph©n thí tiÕp xóc, ®èi tiÕp xóc . . . . . . . . . . . . . 52

3.3.1 Kh«ng gian tiÕp xóc. Ph©n thí tiÕp xóc . . . . 523.3.2 Kh«ng gian ®èi tiÕp xóc. Ph©n thí ®èi tiÕp xóc 54

3.4 §a t¹p con. §a t¹p th¬ng. . . . . . . . . . . . . . . . 553.4.1 §iÒu kiÖn d×m vµ ®iÒu kiÖn ngËp . . . . . . . . 553.4.2 CÊu tróc vi ph©n c¶m sinh . . . . . . . . . . . 583.4.3 §Þnh lÝ Godeman . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4.4 VÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5 T«p« çc ®a t¹p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.6 Bµi tËp cñng cè lý thuyÕt . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 D¹ng vi ph©n. §Þnh lÝ Stokes 634.1 Trêng vÐct¬. D¹ng vi ph©n. TÝch ngoµi . . . . . . . . 634.2 Vi ph©n ngoµi cña d¹ng vi ph©n . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1 D¹ng vi ph©n bËc cao . . . . . . . . . . . . . . 65

H×nh häc vi ph©n 5

4.2.2 §æi biÕn trong çc k-trêng vÐct¬ vµ k-d¹ng viph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3 Vi ph©n ngoµi cña d¹ng vi ph©n . . . . . . . . . . . . 694.4 Bæ ®Ò PoincarÐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4.1 Bæ ®Ò PoincarÐ . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4.2 HÖ qu¶: HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt kh¶ tÝch . . 74

4.5 Phøc de Rham vµ ®èi ®ång ®iÒu de Rham . . . . . . 754.6 §ång ®iÒu k× dÞ vµ §Þnh lÝ Stokes (d¹ng I) . . . . . . 78

4.6.1 Phøc ®¬n h×nh k× dÞ vµ ®ån ®iÒu k× dÞ . . . . . 794.6.2 TÝch ph©n cña d¹ng vi ph©n . . . . . . . . . . 824.6.3 §Þnh lÝ Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.7 D¹ng vi ph©n trªn ®a t¹p . . . . . . . . . . . . . . . . 844.8 Bµi tËp cñng cè lÝ thuyÕt . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5 Gi¶i tÝch trªn ®a t¹p: §Þnh lý Stokes 895.1 §a t¹p ®Þnh híng. §a t¹p cã biªn . . . . . . . . . . 895.2 §¹ng vi ph©n trªn ®a t¹p cã biªn . . . . . . . . . . . 915.3 §Þnh lÝ Stokes tæng qu¸t (d¹ng II) . . . . . . . . . . . 945.4 Bµi tËp cñng cè lÝ thuyÕt . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6 Lý thuyÕt ®êng vµ mÆt trong Rn 1016.1 §êng d×m trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.1.1 §é dµi ®êng cong trong Rn. §êng tr¾c ®Þa . 1016.1.2 Môc tiªu trùc chuÈn. Môc tiªu FrÐnes. §é

cong. §é xo¾n. Çc ®Þnh lÝ c¬ b¶n. . . . . . . 1046.1.3 §Þnh lÝ c¬ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.2 MÆt d×m trong R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.2.1 Môc tiªu Darboux cña ®êng cong trªn mÆt d×m1106.2.2 D¹ng toµn ph¬ng c¬ b¶n . . . . . . . . . . . 1126.2.3 §é cong ph¸p d¹ng vµ ®é cong trùc ®¹c cña

®êng cong trªn mÆt . . . . . . . . . . . . . . 118

6 §ç Ngäc DiÖp

6.2.4 Ph¬ng chÝnh vµ ®é cong Gau . . . . . . . . . 1196.2.5 Çc ®Þnh lÝ c¬ b¶n cña lÝ thuyÕt mÆt d×m . . . 1206.2.6 §Þnh lÝ Gauss -Bonnet . . . . . . . . . . . . . 124

6.3 S¬ lîc vÒ h×nh häc Riemann tæng qu¸t . . . . . . . . 1286.4 S¬ lîc vÒ h×nh häc symplectic tæng qu¸t . . . . . . . 1286.5 Bµi tËp cñng cè lý thuyÕt . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Lêi giíi thiÖu

Gi¸o tr×nh h×nh häc vi ph©n nµy ®îc viÕt ra theo ch¬ng tr×nh quy®Þnh cña çc líp cao häc th¹c sÜ theo nhiÒu hÖ kh¸c nhau, trong ®ãcã c¶ çc hÖ cao häc chÝnh quy vµ hÖ ®µo t¹o tõ xa; ®ång thêi c¶ çcnghiªn cøu sinh còng cã thÓ thi tèi thiÓu vÒ m«n h×nh häc vi ph©n.§èi tîng nghiªn cøu chñ yÕu, theo häc t¬ng ®èi réng r·i; cã thÓlµ çc gi¸o viªn to¸n ë çc trêng phæ th«ng hay ®¹i häc, nh÷ngngêi cã ®Þnh híng nghiªn cøu hoÆc nh÷ng ngêi kh«ng trùc tiÕplµm c«ng t¸c nghiªn cøu vµ gi¶ng d¹y to¸n häc ë bËc ®¹i häc. BëilÏ ®ã, trong khi viÕt gi¸o tr×nh, chóng t«i cè g¾ng chän mét ng«nng÷ hçn hîp, kÕt hîp gi÷a ph¬ng ph¸p hiÖn ®¹i cña t«p« vi ph©nvíi ph¬ng ph¸p trùc quan cô thÓ cña h×nh häc vi ph©n cæ ®iÓn, liªnhÖ nhiÒu víi to¸n häc ë trêng phæ th«ng vµ t×m çch tr¸nh nh÷ngchç h×nh thøc trõu tîng. Tuy nhiªn, chóng t«i còng hy väng lµ çcnhµ nghiªn cøu chuyªn m«n còng t×m thÊy ë ®©y mét çch tr×nh bµytrùc quan kh«ng h×nh thøc víi nh÷ng minh ho¹ h×nh häc cô thÓ.

Gi¸o tr×nh ®îc so¹n ra t¬ng øng víi gi¸o tr×nh 60 tiÕt. ViÖcchän lùa çc phÇn thÝch hîp ®îc dùa trªn thùc tiÔn mµ t¸c gi¶ ®·®äc gi¸o tr×nh nµy cho çc líp cao häc çc kho¸ I, V, VIII vµ IX ëViÖn To¸n häc, ViÖt Nam vµ t¹i §¹i häc Diliman, The Philippines.

Trong viÖc chän lùa, §Þnh lý hµm Èn vµ §Þnh lý Stokes ®îc ®avµo víi mét ý nghÜa ®Æc biÖt. Hy väng lµ nhiÒu ®ång nghiÖp sÏ chiasÎ quan diÓm nµy. Lý thuyÕt ®êng cong vµ mÆt cong ®îc ®avµo ë ch¬ng cuèi nh lµ mét mÉu vÒ h×nh häc Riemann. H×nh häc

7

8 §ç Ngäc DiÖp

symplectic còng chØ ®îc nh¾c tíi s¬ lîc trong gi¸o tr×nh nµy. T¸cgi¶ cho r»ng cã thÓ mét vµi giíi thiÖu s¬ bé sÏ t¹o ra cho häc viªnmét quan niÖm ®óng ®¾n h¬n vÒ h×nh häc vi ph©n nãi chung.

Trong qu¸ tr×nh viÕt sÏ kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. Chóngt«i hy väng sÏ nhËn ®îc nhiÒu ý kiÕn ®ãng gãp cña çc häc viªncòng nh çc b¹n ®ång nghiÖp. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n tríc nh÷ngý kiÕn ®ãng gãp ®Ó cã thÓ c¶i tiÕn gi¸o tr×nh ngµy mét tèt h¬n. Mäiý kiÕn ®ãng gãp xin göi trùc tiÕp cho t¸c gi¶ theo ®Þa chØ: §ç NgäcDiÖp, ViÖn To¸n häc, Trung t©m Khoa häc Tù nhiªn vµ C«ng nghÖQuèc gia, Hép th 631, Bu ®iÖn Bê Hå, 10.000, Hµ Néi, ViÖt Nam.

T¸c gi¶

PhÇn më ®Çu

Th«ng thêng mçi ngµnh khoa häc ®Òu ph¶i x¸c ®Þnh çc ®èi tîngnghiªn cøu cña m×nh vµ çc c«ng cô çc ®èi tîng ®ã.

Nh÷ng ®èi tîng vµ nh÷ng c«ng cô sÏ x¸c ®Þnh ngµnh khoa häc®ã, cïng víi çc ®Æc tÝnh riªng cña nã. Trong phÇn më ®Çu nµy tasÏ nãi s¬ bé vÒ m«n häc H×nh häc vi ph©n nh lµ mét m«n to¸nhäc.

0.1 H×nh häc s¬ cÊp vµ ®a t¹p tuyÕn tÝnh

H×nh häc s¬ cÊp cã çc ®èi tîng lµ çc vËt thÓ h×nh häc. Trªn mÆtph¼ng çc vËt thÓ h×nh häc thu ®îc nhê hai c«ng cô chÝnh lµ thíckÎ vµ compa. Trong h×nh häc kh«ng gian çc ®èi tîng ®îc t¹othµnh tõ çc h×nh cÇu, mÆt cÇu, mÆt ph¼ng... H×nh häc s¬ cÊp x¸c®Þnh çc vÞ trÝ t¬ng ®èi cña çc vËt thÓ ®ã trong kh«ng gian vµ çc®Æc trng b»ng sè nh diÖn tÝch, thÓ tÝch, v.v.... Nh÷ng tÝnh chÊt nµo®îc b¶o toµn qua çc phÐp biÕn ®æi h×nh häc th× ®îc gi÷ l¹i nhnh÷ng tÝnh chÊt h×nh häc

§¹i sè tuyÕn tÝnh cho phÐp nghiªn cøu nh÷ng ®èi tîng h×nh häccã sè chiÒu cao h¬n. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu cña ®¹i sè tuyÕn tÝnhcã thÓ ®Æc trng nh sau:

Çc kh«ng gian vÐct¬ con cña kh«ng gian vÐct¬ ®¬c x¸c ®Þnhbëi hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh. Çc mÆt bËc hai ®îc x¸c ®Þnh bëi

9

10 §ç Ngäc DiÖp

hÖ çc ph¬ng tr×nh bËc 2. Nh÷ng tÝnh chÊt h×nh häc lµ nh÷ng tÝnhchÊt b¶o toµn theo çc nhãm biÕn ®æi tuyÕn tÝnh t¬ng øng.

Mét çch tæng qu¸t h¬n, Felix Klein ®· tæng kÕt çc lý thuyÕth×nh häc theo çc nhãm biÕn ®æi vµ ch¬ng tr×nh Erlangen ®ã cña«ng ®· ®îc nh¾c tíi thêng xuyªn nh lµ mét khu«n mÉu nghiªncøu çc lo¹i h×nh häc.

0.2 §èi tîng nghiªn cøu cña h×nh häc vi ph©n

Còng nh çc ngµnh khoa häc kh¸c, h×nh häc vi ph©n nghiªn cøuçc ®èi tîng cña m×nh lµ çc vËt thÓ h×nh häc ®îc x¸c ®Þnh bëiçc hÖ ph¬ng tr×nh kh«ng nhÊt thiÕt tuyÕn tÝnh nhng ¸nh x¹ ®¹ohµm, ¸nh x¹ theo ph¬ng gradient cã h¹ng lµ mét thø nguyªn cè®Þnh nµo ®ã. Nh vËy ®èi tîng nghiªn cøu lµ réng h¬n ®èi tîngcña h×nh häc s¬ cÊp rÊt nhiÒu. Nhng do h¹n chÕ lµ cã ®iÒu kiÖn vÒ¸nh x¹ ®¹o hµm, ®¹o ¸nh, cho nªn nh÷ng h×nh h×nh häc cã chç gÉygãc bÞ t¹n thêi lo¹i bá kh«ng xÐt ®Õn. H×nh häc ®¹i sè cho phÐp xÐt®Õn çc ®iÓm ®ã nhng l¹i h¹n chÕ çc ph¬ng tr×nh lµ ph¬ng tr×nh®a thøc. H×nh häc gi¶i tÝch phøc cho phÐp nghiªn cøu çc ph¬ngtr×nh gi¶i tÝch...

Nãi mét çch ®¬n gi¶n ®èi tîng cña h×nh häc vi ph©n trong gi¸otr×nh nµy lµ çc ®a t¹p nh tËp nghiÖm cña mét hÖ ph¬ng tr×nh phituyÕn x¸c ®Þnh bëi çc ¸nh x¹ tr¬n thÝch hîp. §ã lµ çc ®èi tîng®Þa ph¬ng gièng nh kh«ng gian Euclide nhng toµn côc th× cã thÓhoµn toµn kh¸c h¼n. Nh÷ng ®èi tîng ®ã ®îc gäi lµ ®a t¹p (tr¬n,kh¶ vi, ....)


0.3 C«ng cô chñ yÕu cña h×nh häc vi ph©n

§Ó nghiªn cøu çc ®èi tîng cña m×nh, h×nh häc vi ph©n sö dôngnhiÒu c«ng cô kh¸c nhau cña çc ngµnh kh¸c nh t«p« häc, gi¶itÝch to¸n häc, ..... Çc c«ng cô t«p« ®îc sö dông ®Ó nghiªn cøuçc tÝnh chÊt b¶o toµn qua çc phÐp ®ång ph«i. Nh÷ng tÝnh chÊt nµythêng thu ®îc nhê ph¬ng ph¸p tæ hîp (t«p« tæ hîp) vµ ph¬ngph¸p ®¹i sè (t«p« ®¹i sè). Nh÷ng tÝnh chÊt nh thÕ thêng cho çckh¼ng ®Þnh ®Þnh tÝnh cña çc vËt thÓ h×nh häc vÝ dô tÝnh liªn th«ng,tÝnh th¸c triÓn, ....

Gi¶i tÝch to¸n häc víi phÐp to¸n vi ph©n vµ tÝch ph©n lµ c«ngcô chÝnh cña h×nh häc vi ph©n. Tríc hÕt çc phÐp to¸n vi ph©n vµtÝch ph©n ®îc chuyÓn lªn ®a t¹p. Çc phÐp biÕn ®æi cña h×nh häcvi ph©n lµ çc phÐp vi ph«i tæng qu¸t. V× çc kh¶ n¨ng réng lín ®ãcho nªn h×nh häc vi ph©n nghiªn cøu ®îc nh÷ng vËt thÓ tæng qu¸tcã ®å thÞ lµ çc ¸nh x¹ tr¬n..... T«p« cïng víi gi¶i tÝch cho ra ngµnhmíi cña h×nh häc vi ph©n lµ t«p« vi ph©n.

Lý thuyÕt de Rham lµ sù tæng hoµ cña tÝch ph©n trªn ®a t¹p ®Þnhhíng víi t«p« vi ph©n. Nh÷ng ®Þnh lý quan träng cña gi¶i tÝch nh®Þnh lý hµm Èn, ®Þnh lý Stokes trë nªn hoµn h¶o khi chuyÓn lªn ®at¹p.

Metric trong h×nh häc vi ph©n kh«ng nhÊt thiÕt lµ Euclide, cã thÓlµ çc d¹ng song tuyÕn tÝnh tæng qu¸t. Bëi thÕ cho nªn h×nh häc viph©n lµ mét tæng hoµ cña çc lo¹i h×nh häc ®Þa ph¬ng kh¸c nhau.

NÕu çc ¸nh x¹ x¸c ®Þnh ®a t¹p cã thÓ ph©n tÝch gi¶i tÝch theochuçi Taylor, th× cã thÓ quay vÒ h×nh häc gi¶i tÝch thùc hay phøc.Tuy nhiªn vÊn ®Ò nghiªn cøu chÝnh cña h×nh häc vi ph©n vÉn lµ vÊn®Ò toµn côc.

12 §ç Ngäc DiÖp

0.4 LÜnh vùc øng dông chñ yÕu cña h×nh häc vi ph©n

LÜnh vùc øng dông phæ biÕn cña h×nh häc vi ph©n lµ vËt lý vµ c¬häc. Víi çc c«ng cô nh trªn, çc ®a t¹p thêng ®îc dïng lµmçc m« h×nh chuyÓn ®éng trong c¬ häc vµ vËt lý.

Tuy nhiªn øng dông quan träng kh¸c cña h×nh häc vi ph©n cãthÓ t×m thÊy trong b¶n th©n to¸n häc. H×nh häc vi ph©n thêng lµnÒn cho nhiÒu ngµnh kh¸c nhau nh lý thuyÕt nhãm Lie, lý thuyÕtchØ sè to¸n tö gi¶ vi ph©n. ..... Çc ®èi tîng cña çc lý thuyÕt nµy®Òu cã nÒn lµ çc ®a t¹p kh¶ vi,....

H×nh häc vi ph©n lµ khëi ®iÓm cho nhiÒu lý thuyÕt kh¸c nh h×nhhäc ®¹i sè, lý thuyÕt dßng de Rham, h×nh häc kh«ng giao ho¸n, ....

Mét sè tµi liÖu tham kh¶o sau ®©y sÏ gióp cho çc häc viªn thamkh¶o vµ tra cøu chi tiÕt h¬n trong nh÷ng chç cÇn thiÕt. Tuy nhiªngi¸o tr×nh ®îc tr×nh bµy ®éc lËp víi çc tµi liÖu ®ã.

Tµi liÖu tham kh¶o chÝnh

1. M. Spivak, Gi¶i tÝch trªn ®a t¹p (B¶n dÞch tiÕng ViÖt), NXB§H & THCN, 1985.

2. H. Cartan, PhÐp tÝnh vi ph©n. D¹ng vi ph©n (B¶n dÞch tiÕngViÖt), NXB §H & THCN, 1981.

3. NguyÔn Thóc Hµo , H×nh häc vi ph©n, NXB Gi¸o dôc, 1968.4. §oµn Quúnh, H×nh häc vi ph©n, NXB Gi¸o dôc, 1989.

Ch¬ng 1

PhÐp tÝnh vi ph©n

H×nh häc vi ph©n cÇn ®Õn çc phÐp to¸n vi ph©n vµ tÝch ph©n kh¸tæng qu¸t. Cho nªn viÖc nghiªn cøu ®îc b¾t ®Çu tõ viÖc hÖ thèngho¸ phÐp tÝnh vi ph©n trong Rn. Trong ch¬ng nµy chóng ta sÏ tiÕpcËn kh¸i niÖm ®a t¹p kh¶ vi tõ khÝa c¹nh gi¶i tÝch, xem chóng nhnh÷ng tËp nghiÖm cña mét hÖ ph¬ng tr×nh hµm trong kh«ng gianRn. Sau ®ã t tëng ``bã ho¸" dÉn d¾t ®Õn sù nghiªn cøu ®a t¹ptæng qu¸t.

1.1 §a t¹p tuyÕn tÝnh vµ ph¬ng ph¸p to¹ ®é

Ta xÐt bµi to¸n nghiªn cøu tËp nghiÖm (h¹t nh©n) cña ph¬ng tr×nhvÐct¬ ϕ(x) = b, trong ®ã ϕ : V → W lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.Kh«ng gian nghiÖm lµ mét ®a t¹p affine d¹ng x0 + L víi L lµ métmÆt ph¼ng qua gèc to¹ ®é, lµ kh«ng gian nghiÖm (h¹ch) cña ¸nh x¹tuyÕn tÝnh ϕ(x) = 0.

To¹ ®é ho¸ çc kh«ng gian vÐct¬ V vµ W b»ng çch chän trongmçi kh«ng gian mét c¬ së tuyÕn tÝnh, ta quy bai to¸n vÒ gi¶i hÖph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh.

Ta xÐt hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t víi n biÕn vµ m13

14 §ç Ngäc DiÖp

ph¬ng tr×nh Ax = b, víi x =

x1

x2

. . .

xn

vµ cét vÕ ph¶i b =

b1

b2

. . .

bm

.Theo ®Þnh lý Kronecker-Kapelli, hÖ ph¬ng tr×nh lµ cã nghiÖm khirank[A] = rank[A|b]. NghiÖm cña hÖ lµ mét kh«ng gian vÐct¬con. NÕu ta chän to¹ ®é ho¸ b»ng çch chän mét c¬ së cña kh«nggian nghiÖm råi bæ sung thµnh mét c¬ së cña toµn bé Rn th× ta cãthÓ nãi r»ng: Cã thÓ t¸ch biÕn x = (x, y) víi x = (x1, . . . , xn−r),y = (y1, . . . , yr) sao cho r = rank[A], ma trËn con a1,n−r+1 . . . a1,n

. . . . . . . . .

ar,n−r+1 . . . ar,n

lµ kh¶ nghÞch. Çc biÕn x1, . . . , xn−r lµ biÕn tù do. Çc biÕny1, . . . , yr lµ çc biÕn phô thuéc, lµ çc hµm tuyÕn tÝnh theo x1, . . . , xn−rtheo quy t¾c Cramer cho hÖ

a1,n−r+1y1 + . . .+ a1,nyr = b1 −∑n−r

i=1 a1,ixi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ar,n−r+1y1 + . . .+ ar,nyr = br −

∑n−ri=1 ar,ixi

Nh vËy ta cã thÓ t×m mét c¬ së trong kh«ng gian nghiÖm mµtrong ®ã çc vÐct¬ nghiÖm t¬ng øng víi x = (x1, . . . , xn−r) cñax0 + L. Nãi mét çch kh¸c ta cã mét ®¼ng cÊu affine gi÷a Rn−r

vµ kh«ng gian con affine x0 + L. NÕu xem kh«ng gian con affinenh lµ vËt thÓ h×nh häc ®éc lËp th× çc phÐp biÕn ®æi h×nh häc chophÐp chÝnh lµ çc phÐp biÕn ®æi affine. ViÖc chän mét çch t¸chbiÕn nh trªn cho phÐp ``täa ®é ho¸" kh«ng gian (®a t¹p) affine ®ã.

Mét vÝ dô kh¸c lµ çc h×nh thu ®îc nhê compa. Theo quan ®iÓmtrõu tîng compa lµ c«ng cô cã t¸c dông duy nhÊt lµ vÏ çc ®êngtrßn hoÆc lµ çc cung cña nã. Mét lý thuyÕt tæng qu¸t çc mÆt bËc


2 ®îc nghiªn cøu trong phÇn cuèi cña mét gi¸o tr×nh ®¹i sè tuyÕntÝnh. Trong trêng hîp nµy çc phÐp biÕn ®æi cho phÐp lµ çc phÐpbiÕn ®æi b¶o toµn çc d¹ng bËc 2 ®ã. VÝ dô víi mÆt cÇu phÐp biÕn®æi cho phÐp lµ çc phÐp biÕn ®æi trong kh«ng gian Euclid (çc phÐpquay, çc phÐp ph¶n x¹, tÞnh tiÕn). Bµi to¸n quy vÒ viÖc nghiªn cøuhÖ mét hay nhiÒu d¹ng bËc 2, vÝ dô d¹ng toµn ph¬ng. L¹i mét lÇnn÷a, cã thÓ ch¨ng nghiªn cøu çc mÆt tæng qu¸t h¬n lµ mÆt bËc 2?

Bµi to¸n c¬ b¶n lµ çc viÖc lµm cã thÓ hay kh«ng khi hÖ ph¬ngtr×nh phi tuyÕn (kh«ng lµ tuyÕn tÝnh hoÆc çc ph¬ng tr×nh cã bËclín h¬n 2). Tr¶ lêi c©u hái nµy, h×nh häc vi ph©n dïng toµn bé c«ngcô vi tÝch ph©n cña gi¶i tÝch. §ã còng chÝnh lµ néi dung cña h×nhhäc çc ®a t¹p kh¶ vi. Tuy nhiªn ®Ó cã ®îc ®iÒu ®ã ta ph¶i huy®éng toµn bé phÐp tÝnh vi tÝch ph©n trong Rn ë d¹ng tæng qu¸t nhÊt.

1.1.1 Çc phÐp biÕn ®æi (tuyÕn tÝnh) trong h×nh häc

Trong mét kh«ng gian, çi quan träng h¬n c¶ lµ chóng ta chÊp nhËnçc phÐp biÕn ®æi nµo. NÕu chÊp nhËn ®ñ nhiÒu çc phÐp biÕn ®æi®îc coi lµ biÕn ®æi t¬ng ®¬ng th× cã ®ñ nhiÒu çc vËt thÓ h×nhhäc ®îc ®ång nhÊt víi nhau.

NÕu h¹n chÕ chØ xÐt çc phÐp biÕn ®æi h×nh häc lµ tuyÕn tÝnhth× chóng ta cã nhãm biÕn ®æi lµ nhãm tuyÕn tÝnh tæng qu¸t G =GL(Rn) = GLn(R) cña kh«ng gian, gåm tÊt c¶ çc phÐp biÕn ®æituyÕn tÝnh kh¶ nghÞch. Chóng ta thu ®îc h×nh häc affine [aphin].

NÕu chóng ta h¹n chÕ hÑp h¬n, chØ chÊp nhËn çc phÐp biÕn ®æilµ b¶o toµn kho¶ng çch, hoÆc tÝch v« híng, chóng ta cã nhãmO(n) çc biÕn ®æi trùc giao vµ h×nh häc chÝnh lµ h×nh häc Euclide[¬clid].

16 §ç Ngäc DiÖp

1.2 §Þnh nghÜa ®¹o ¸nh vµ çc tÝnh chÊt c¬ b¶n

1.2.1 KÝ hiÖu

Chóng ta kÝ hiÖu Rn lµ tËp tÊt c¶ çc sè thùc, Rn lµ tÝch §Ò-Çc(Descartes) cña n phiªn b¶n tËp çc sè thùc

Rn := (x1, . . . , xn)|xi ∈ R,∀i = 1, n.

Nãi mét çch kh¸c, mçi phÇn tö cña Rn lµ mét bé n sè thùc x =(x1, . . . , xn), xi ∈ R. Chóng ta kÝ hiÖu theo truyÒn thèng kÝ hiÖutens¬ trong h×nh häc vµ do vËy viÕt çc chØ sè ë trªn. §Ó cho gän,ta sÏ kÝ hiÖu çc phÇn tö ®¬n gi¶n lµ x, y, .... vµ gäi chóng lµ çcvÐct¬. §«i khi ®Ó nhÊn m¹nh r»ng chóng lµ çc vÐct¬, ta sÏ kÝ hiÖuthªm dÊu mòi tªn phÝa trªn ®Çu ~x, ~y, etc.... hoÆc viÕt b»ng ch÷ ®Ëm:x,y, ....

1.2.2 Kh«ng gian Euclide n-chiÒu

Chóng ta ®Þnh nghÜa çc phÐp to¸n trªn çc vÐct¬ nh sau: NÕu x =(x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) lµ çc vÐct¬ thuéc Rn vµ λ ∈ Rn, th×

• Tæng çc vÐct¬ x vµ y lµ vÐct¬ x+ y:

x+ y := (x1 + y1, . . . , xn + yn),

• TÝch vÐct¬ víi mét v« híng λ lµ vÐct¬ λx:

λx := (λx1, . . . , λxn).

MÖnh ®Ò 1.2.1 Cïng víi çc phÐp to¸n trªn, Rn lµ mét kh«ng gianvÐct¬.


Chøng minh. HiÓn nhiªn lµ vÐct¬ 0 := (0, . . . , 0) sÏ lµ vÐct¬trung hoµ cho phÐp céng. PhÇn tö ®èi cña vÐct¬ x lµ vÐct¬ −x =(−x1, . . . ,−xn). §Ó chøng minh mÖnh ®Ò, chóng ta chØ cÇn kiÓmtra çc tiªn ®Ò cña mét cÊu tróc kh«ng gian vÐct¬, bao gåm:• LuËt kÕt hîp theo phÐp céng:

(x+ y) + z = x+ (y + z),∀x, y, z ∈ Rn.

• Sù tån t¹i phÇn tö trung hoµ 0.• Sù tån t¹i phÇn tö ®èi:

∃ − x;x+ (−x) = (−x) + x = 0.

• LuËt giao ho¸n cña phÐp céngx+ y = y + x, ∀x, y ∈ Rn.

• LuËt ph©n phèi cña phÐp céng vµ phÐp nh©n:(λ+ µ)x = λx+ µx, ∀λ, µ ∈ R, x ∈ Rn.

λ(x+ y) = λx+ λy, ∀λ ∈ R, x, y ∈ Rn.

• LuËt kÕt hîp cña phÐp nh©n(λµ)x = λ(µx),∀λ, µ ∈ R, x ∈ Rn.

• TÝnh chuÈn ho¸:1.x = x, ∀x ∈ Rn.

Chóng t«i dµnh cho b¹n ®äc kiÓm tra chi tiÕt çc tÝnh chÊt trªn. XÐt çc vÐct¬ ®Æc biÖt:

e1 = (1, 0, . . . , 0),

18 §ç Ngäc DiÖp

......................

ei = (0, . . . , 1, 0, . . . , 0),

(sè 1 duy nhÊt ®øng ë vÞ trÝ thø i)

en = (0, . . . , 0, 1).

NhËn xÐt r»ng çc vÐct¬ e1, . . . , en lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ chónglËp thµnh mét c¬ së cña Rn. Mçi vÐct¬ bÊt k× x = (x1, . . . , xn)®ùîc ph©n tÝch duy nhÊt thµnh tæ hîp tuyÕn tÝnh cña çc vÐct¬ c¬së

x = xiei =n∑i=1

xiei.

Chó ý r»ng trong c«ng thøc trªn, theo truyÒn thèng cña h×nh häc,viÕt mét chØ sè trªn vµ mét chØ sè díi b»ng cïng mét ch÷ çi cãnghÜa lµ lÊy tæng theo chØ sè ®ã. Nhng ®«i khi ®Ó cho ®ì nhÇmlÉn, ngêi ta còng vÉn viÕt lu«n c¶ dÊu tæng, nÕu thÊy cÇn thiÕt nhÊnm¹nh.

Chóng ta ®Þnh nghÜa tÝch v« híng cña hai vÐct¬ x = (x1, . . . , xn)vµ y = (y1, . . . , yn) theo c«ng thøc

(x, y) = x.y :=n∑i=1

xiyi.

MÖnh ®Ò 1.2.2 Cïng víi tÝch v« híng tù nhiªn trªn, Rn trë thµnhkh«ng gian Euclid.

Chøng minh. Chóng ta cÇn kiÓm tra r»ng tÝch v« híng nãi trªn cãçc tÝnh chÊt:• tuyÕn tÝnh:

(λx+ µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z),∀λ, µ ∈ R, x, y, z ∈ Rn.


• §èi xøng:(x, y) = (y, x),∀x, y ∈ Rn.

• X¸c ®Þnh d¬ng:

(x, x) ≥ 0,∀x ∈ Rn,

(x, x) = 0⇐⇒ x = 0.

Chóng t«i dµnh viÖc kiÓm tra chi tiÕt çc tÝnh chÊt ®ã cho ®äc gi¶.

NhËn xÐt r»ng c¬ së e1, . . . , en nãi trªn lµ mét c¬ së trùc chuÈn ,tøc lµ

(ei, ej) = δij,

trong ®ã δij lµ kÝ hiÖu Kronecker quen biÕt.MÖnh ®Ò 1.2.3 Mäi kh«ng gian Euclid n-chiÒu ®Òu ®¼ng cÊu víikh«ng gian Rn.

Chøng minh. Gi¶ sö n lµ mét kh«ng gian Euclid n chiÒu tuú ý, tøclµ mét kh«ng gian vÐct¬ víi mét tÝch v« híng trõu tîng

x,y ∈ n 7→ 〈x,y〉 ∈ R.

Chän mét c¬ së trùc chuÈn e1, . . . , en, víi

〈ei, ej〉 = δij.

PhÐp t¬ng øng ei 7→ ei, i = 1, n x¸c ®Þnh mét ®¼ng cÊu ®¼ng cùgi÷a (En, 〈., .〉) vµ (Rn, (., .)).

Nh vËy viÖc nghiªn cøu kh«ng gian Euclide n chiÒu víi sai kh¸c®¼ng cÊu hoµn toµn t¬ng ®¬ng víi viÖc nghiªn cøu kh«ng gian côthÓ Rn.

20 §ç Ngäc DiÖp

1.2.3 CÊu tróc metric, t«p« vµ çc vËt thÓ h×nh häc

Trong kh«ng gian Rn ta ®a vµo metric ®o kho¶ng çch gi÷a çc®iÓm nh sau: Kho¶ng çch gi÷a hai vÐct¬ x vµ y ®îc ®o b»ng ®¹ilîng

‖x− y‖ :=√

(x− y,x− y).

MÖnh ®Ò 1.2.4 Rn lµ mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn.

Chøng minh. Chóng ta cã thÓ kiÓm tra r»ng ¸nh x¹ x 7→ ||x|| tho¶m·n tÊt c¶ çc tÝnh chÊt cña kh«ng gian ®Þnh chuÈn:• x¸c ®Þnh d¬ng

||x|| ≥ 0,∀x ∈ Rn,

||x|| = 0 khi vµ chØ khi x = 0.

• ThuÇn nhÊt d¬ng:

||λx|| = |λ|||x||,∀λ ∈ R,∀x ∈ Rn.

• BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c:

||x + y|| ≤ ||x||+ ||y||,∀x,y ∈ Rn.

Chóng t«i dµnh phÇn kiÓm tra chi tiÕt cho b¹n ®äc. B©y giê chóng ta ®Þnh nghÜa mét sè kh¸i niÖm h×nh cÇu (®ãng,

më), h×nh hép (®ãng, më) vµ mÆt cÇu nh sau.

§Þnh nghÜa 1.2.5 MÆt cÇu S(a, r) t©m a ∈ Rn b¸n kÝnh r ≥ 0 lµtËp çc vÐct¬ x ∈ Rn tho¶ m·n

||x− a|| = (x− a,x− a) =n∑i=1

(xi − ai)2 = r2.


H×nh cÇu ®ãng B(a, r) t©m a ∈ Rn b¸n kÝnh r ≥ 0 lµ tËp çcvÐct¬ x ∈ Rn tho¶ m·n

||x− a|| = (x− a,x− a) =n∑i=1

(xi − ai)2 ≤ r2.

H×nh cÇu më B(a, r) t©m a ∈ Rn b¸n kÝnh r ≥ 0 lµ tËp çc vÐct¬x ∈ Rn tho¶ m·n

||x− a|| = (x− a,x− a) =n∑i=1

(xi − ai)2 < r2.

H×nh hép ®ãng P (a1; b1, . . . , an; bn) lµ tËp çc vÐct¬ x = (x1, . . . , xn)mµ çc thµnh phÇn xi cña chóng tho¶ m·n çc bÊt ®¼ng thøc

ai ≤ xi ≤ bi,∀i = 1, n.

H×nh hép më P (1; b1, . . . , n; bn) lµ tËp çc vÐct¬ x = (x1, . . . , xn)mµ çc thµnh phÇn xi cña chóng tho¶ m·n çc bÊt ®¼ng thøc

ai < xi < bi,∀i = 1, n.

H×nh hép ®ãng-më P (a1; b1, . . . , an; bn) lµ tËp çc vÐct¬ x = (x1, . . . , xn)mµ çc thµnh phÇn xi cña chóng tho¶ m·n mét sè bÊt ®¼ng thøchoÆc ®¼ng thøc

ai ≤ xi ≤ bi,∀i = 1, n,

trong ®ã chØ cã mét sè nhÊt ®Þnh çc dÊu b»ng x¶y ra.

MÖnh ®Ò 1.2.6 1. Çc h×nh cÇu ®ãng (t¬ng øng, më) lËp thµnhc¬ së çc tËp ®ãng (t¬ng øng, më) cña t«p« cña Rn.

2. Çc h×nh hép ®ãng (t¬ng øng, më) lËp thµnh c¬ së çc tËp®ãng (t¬ng øng, më) cña t«p« cña Rn.

22 §ç Ngäc DiÖp

3. T«p« trong hai kh¼ng ®Þnh trªn lµ cïng ®ång ph«i víi t«p«chuÈn trong Rn

Chøng minh. §Ó chøng minh mét hÖ X çc tËp con lËp thµnh métt«p«, chóng ta cÇn kiÓm tra çc tiªn ®Ò c¬ së cña mét t«p«. §iÒunµy ®óng v×:• ∅,Rn ∈ X .• Trong giao cña hai h×nh cÇu (hay h×nh hép) më cã chøa métcÇu (t¬ng øng, hép) më. T¬ng tù víi çc cÇu hay çc hép®ãng. §Ó chøng minh çc t«p« t¬ng øng víi cÇu hay hép ®Òut¬ng ®¬ng nhau, chóng ta chØ cÇn chØ ra lµ trong mçi cÇu mëcã chøa Ýt nhÊt mét hép më vµ ngîc l¹i. Chóng t«i dµnh phÇnkiÓm tra chi tiÕt cho ngêi ®äc.

Tõ ®ã ta cã hÖ qu¶ tù nhiªn lµ

HÖ qña 1.2.7 nh x¹ f = (f 1, . . . , fm) : Rn → Rm lµ liªn tôc khivµ chØ khi çc thµnh phÇn f i = f i(x1, . . . , xn) lµ hµm liªn tôc

Chøng minh. TÊt c¶ dÔ dµng suy ra tõ nhËn xÐt r»ng ||xk−x|| → 0khi vµ chØ khi

√∑ni=1(x

ik − xi)2 → 0.

PhÐp biÕn ®æi (®ång ph«i) biÕn çc h×nh h×nh häc t¬ng ®¬ngvµo nhau ®îc gäi lµ phÐp biÕn h×nh. TËp çc phÐp biÕn h×nh cïngvíi phÐp hîp ¸nh x¹ lËp thµnh mét nhãm, gäi lµ nhãm biÕn ®æi .NÕu çc phÐp biÕn h×nh lµ ®¼ng cù th× coi chóng lµ t¬ng ®¬ngnhau (®ång nhÊt víi nhau).

T«p« ®¹i c¬ng nghiªn cøu çc h×nh h×nh häc sai kh¸c mét ®ångph«i (®¼ng cù). Bµi to¸n nghiªn cøu truyÒn thèng cña h×nh häc lµph©n lo¹i çc h×nh h×nh häc vµ nghiªn cøu çc tÝnh chÊt néi t¹i cñatõng h×nh h×nh häc.


1.3 §¹o hµm riªng vµ vi ph©n

Chóng ta ®· x¸c ®Þnh ®èi tîng cña h×nh häc Euclid lµ Rn vµ çcvËt thÓ h×nh häc trong nã, ®îc cÊu t¹o tõ çc m¶nh cÇu, hay m¶nhph¼ng. Nghiªn cøu çc ®èi tîng nµy ®îc hiÓu theo nghÜa th«ngthêng lµ t×m çc vÞ trÝ t¬ng ®èi trong kh«ng gian vµ t×m çc ®Æctrng b»ng sè cña chóng nh khèi lîng, thÓ tÝch, .... Bµi to¸n trënªn phøc t¹p h¬n nhiÒu nÕu çc h×nh ®ã kh«ng ®îc ghÐp tõ çcm¶nh cÇu hay m¶nh ph¼ng. §Ó gi¶i quyÕt nhiÒu bµi to¸n t¬ng tùtrong ®ã cã c¶ çc bµi to¸n vÒ vÞ trÝ t¬ng ®èi, tiÕp xóc, tiÕp ®iÓm,...chóng ta cÇn tíi c«ng cô míi h¬n nh÷ng c«ng cô th«ng thêng nh®· nãi ë trªn. §ã chÝnh lµ lÝ do chóng ta cÇn ®a phÐp tÝnh vi ph©nvµ tÝch ph©n vµo trong h×nh häc.

1.3.1 §¹o ¸nh

§Þnh nghÜa 1.3.1 Cho y = f(x), f : Rn → Rm. Chóng ta nãir»ng ¸nh x¹ f lµ kh¶ vi t¹i ®iÓm x0 ∈ Rn, nÕu tån t¹i mét ¸nh x¹tuyÕn tÝnh

λ = λ(x0) : Rn → Rm

sao cho

||y − y0 − λ(x0)(x− x0)|| = o(||x− x0||),

víi y0 = f(x0), víi mäi x trong l©n cËn ®ñ bÐ cña x0. ¸nh x¹ tuyÕntÝnh λ(x0), nÕu nã tån t¹i, ®îc gäi lµ ®¹o ¸nh cña ¸nh x¹ f t¹i®iÓm x0 vµ ®îc kÝ hiÖu b»ng mét trong çc kÝ hiÖu c¬ b¶n quenbiÕt f ′(x0), f∗(x0), Df(x0), Df(x0)

Dx , Dy/Dx|x0etc...

NÕu chóng ta cè ®Þnh tÊt c¶ çc biÕn trõ mét biÕn xi, th× chóng tacã mét hµm mét biÕn, gi¸ trÞ vÐct¬

f(x10, . . . , x

i, . . . , xn0) : R→ Rn,

24 §ç Ngäc DiÖp

theo biÕn xi. §¹o ¸nh cña ¸nh x¹ nµy gäi lµ ®¹o hµm riªng cña¸nh x¹ theo biÕn xi vµ ®îc kÝ hiÖu lµ

∂f(x0)

∂xi=Df(x0)

Dxi= Dif(x0) = f ′i(x0).

Gi¶ sö `(x0) lµ mét ®êng th¼ng d¹ng x0 + tξ(x0) ®i qua ®iÓmx0. Khi ®ã ta cã ¸nh x¹ mét biÕn

f ` = f(`(x0 + tξ(x0))) : R→ Rn.

§Þnh nghÜa 1.3.2 §¹o ¸nh Df`(0)Dt gäi lµ ®¹o hµm (®¹o ¸nh) cña

f theo híng ξ t¹i ®iÓm x0 vµ ®îc kÝ hiÖu lµ (ξf)(x0).

Chóng ta cã c«ng thøc liªn hÖ nã víi çc ®¹o hµm riªng

(ξf)(x) =n∑i=1

∂f(x)

∂xiξi(x).

NhËn xÐt 1.3.3 §¹o ¸nh Df(x)Dx , nÕu nã tån t¹i, lµ duy nhÊt.

ThËt vËy, gi¶ sö λ1(x) vµ λ2(x) lµ hai ®¹o ¸nh cña cïng mét ¸nh x¹f t¹i cïng mét ®iÓm x. Khi ®ã,

||λ1(x)h− λ2(x)h|| ≤ ||λ1(x)h− f(x+ h) + f(x)||+

+||f(x+ h)− f(x)− λ2(x)h|| = 2o(||h||),∀h ∈ Rn.

Bëi thÕ nªn λ1(x) ≡ λ2(x),∀x.

Theorem 1.3.4 1. NÕu f lµ mét ¸nh x¹ h»ng (nhËn mét gi¸ trÞvÐct¬ cè ®Þnh) th× Df(x) = 0,∀x ∈ Rn

2. NÕu f : Rn → Rm lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh th× Df(x) =f(x),∀x ∈ Rn.


3. ¸nh x¹ f : Rn → Rm lµ kh¶ vi t¹i a ∈ Rn khi vµ chØ khi çchµm thµnh phÇn f i : Rn → R lµ kh¶ vi t¹i a vµ ta cã

Df(a) =

Df 1(a). . .

Dfm(a)

Nãi mét çch kh¸c Df(a) lµ mét ma trËn mµ mçi hµng thø i

cña nã cã çc thµnh phÇn lµ ®¹o hµm riªng thø j cña thµnhphÇn f i. Ma trËn ®ã cßn ®îc gäi lµ ma trËn Jacobi cu¶ ¸nhx¹ t¹i ®iÓm a vµ kÝ hiÖu lµ Jacx(f)(a) = Df(a)

Dx

Chøng minh. Nh÷ng tÝnh chÊt 1. vµ 2. kÓ trªn gièng nh nh÷ngtÝnh chÊt quen biÕt cña hµm sè mét biÕn. §Ó chøng minh tÝnh chÊt3. chØ cÇn ph©n tÝch ¸nh x¹ f theo çc hµm thµnh phÇn

f =n∑i=1

f iei.

Chóng t«i dµnh cho b¹n ®äc kÕt thóc chøng minh chi tiÕt.

1.3.2 §¹o ¸nh cña hîp hai ¸nh x¹

Theorem 1.3.5 NÕu f : Rn → Rm lµ ¸nh x¹ kh¶ vi t¹i a ∈ Rn vµg : Rm → Rp lµ ¸nh x¹ kh¶ vi t¹i f(a), th× hµm hîp g f : Rn →Rp lµ ¸nh x¹ kh¶ vi t¹i a vµ ta cã

D(g f)(a) = Dg(f(a))Df(a).

Chøng minh. Chóng ta cã c«ng thøcg(f(x))− g(f(a))−Dg(f(a))Df(a)(x− a) =

= g(f(x))− g(f(a))−Dg(f(a))(f(x)− f(a) + o(||x− a||)) =

= o(||f(x)− f(a)||) +Dg(f(a))(o(||x− a||)).C¶ hai sè h¹ng ®Òu lµ o-nhá cña ®¹i lîng ||x = a|| nªn tæng cònglµ mét ®¹i lîng v« cïng bÐ o(||x− a||).

26 §ç Ngäc DiÖp

1.3.3 Vi ph©n toµn phÇn

Tríc hÕt chóng ta nhËn xÐt r»ng çc ®¹o hµm riªng ∂∂xi , xem nh

çc ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh ¸p lªn hµm f = f(x1, . . . , xn) theo qui t¾cf 7→ ∂f(x)

∂xi lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh víi nhau trong kh«ng gian çc ¸nhx¹ tuyÕn tÝnh tõ Rn vµo R. Chóng lËp thµnh mét c¬ së tuyÕn tÝnh.C¬ së tuyÕn tÝnh ®èi ngÉu víi nã ®îc ®ång nhÊt víi çc vi ph©ndx1, . . . , dxn.

§Þnh nghÜa 1.3.6 Tæ hîp tuyÕn tÝnh

df :=n∑i=1

∂f(x1, . . . , xn)

∂xidxi

®îc gäi lµ vi ph©n toµn phÇn cña hµm f : Rn → R.

1.3.4 C«ng thøc ®æi biÕn

Theorem 1.3.7 Gi¶ sö ϕ : Rn → Rn lµ mét phÐp ®ång ph«i, thùchiÖn viÖc ®æi biÕn y = ϕ(x). Khi ®ã chóng ta cã c«ng thøc ®æi biÕnsau:

∂f

∂xi=

n∑i=1

∂f

∂yk∂yk

∂xi,

dxi =n∑i=1

∂xi

∂ykdyk,

df =n∑i=1

∂f(x1, . . . , xn)

∂xidxi =

n∑i=1

∂f

∂yidyi.

NghÜa lµ vi ph©n toµn phÇn cña mét hµm sè kh«ng phô thuéc viÖcchän biÕn ®Þa ph¬ng.


Chøng minh. §Þnh lÝ ®îc suy ra trùc tiÕp tõ c«ng thøc ®¹o hµmcña hµm hîp, cïng víi nhËn xÐt r»ng

n∑k=1

∂xi

∂yk∂yk

∂xj= δij.

1.4 §Þnh lÝ hµm (¸nh x¹) ngîc

Theorem 1.4.1 (§Þnh lÝ ¸nh x¹ ngîc) Gi¶ sö f : Rn → Rn kh¶vi liªn tôc trong l©n cËn më cña ®iÓm a ∈ Rn vµ Df(a) lµ kh¶nghÞch. Khi ®ã tån t¹i mét l©n cËn më V chøa a vµ mét l©n cËn mëW chøa f(a) sao cho ¸nh x¹ f : V → W lµ kh¶ nghÞch, cã ¸nh x¹ngîc f−1 : W → V lµ kh¶ vi ®èi víi mäi y ∈ W vµ

D(f−1)

Dy=

(Df

Dx(f−1(y))

)−1

.

Chøng minh. §Ó cho tiÖn, ta sÏ kÝ hiÖu Dx lµ vÐct¬ cét Dx1

. . .

Dxn

vµ Dy

Dx = Df(x)Dx lµ ma trËn Jacobi cña ¸nh x¹ t¹i ®iÓm x. Khi ®ã

chóng ta cã thÓ viÕtDy =

Df(x)

DxDx.

Tõ ®ã suy ra lµ nÕu Df(x)Dx lµ kh¶ nghÞch, Df(x)

Dx liªn tôc trong l©ncËn cña ®iÓm a, th× tån t¹i l©n cËn më W cña ®iÓm f(a) ®Ó ma trËnJacobi lu«n lµ kh¶ nghÞch trªn ®ã. §iÒu nµy dÔ thÊy tõ c«ng thøctÝnh ma trËn nghÞch ®¶o

f−1(x) = f−1(a)∞∑n=0

(I − f−1(a)f(x)

)n.

28 §ç Ngäc DiÖp

Tøc lµ, nÕu Df(a) kh¶ nghÞch th× trong l©n cËn ®ñ nhá W cña ®iÓmf(a) çc ma trËn Jacobi chuçi lµ héi tô tuyÖt ®èi vµ Df(x) còng lµkh¶ nghÞch. Trong l©n cËn ®ã chóng ta cã ph¬ng tr×nh(

Df(x)

Dx

)−1

Dy = Dx.

Thay biÓu thøc x = f−1(y) ta cã c«ng thøc cÇn chøng minh. §Óchøng minh tÝnh kh¶ vi cña hµm ngîc, chóng ta cÇn dïng ®Õn ®ÞnhlÝ vÒ ®iÓm trung b×nh: Víi çc gÝa trÞ x ®ñ gÇn víi ®iÓm x0, gi¸ trÞy = f(x) còng ®ñ gÇn víi ®iÓm y0 = f(x0). Do gi¶ thiÕt liªn tôccña ®¹o ¸nh t¹i l©n cËn cña ®iÓm x + 0, chóng ta cã c«ng thøc gi¸trÞ trung b×nh

y − y0 =Df(x)

Dx(x− x0),

trong ®ã x lµ mét ®iÓm trong l©n cËn ®ñ bÐ cña x0. Do ¸nh x¹ Df(x)Dx

lµ liªn tôc trong l©n cËn ®iÓm x0 nªn nã còng kh¶ nghÞch trong l©ncËn ®ñ bÐ cña ®iÓm ®ã. Tøc lµ chóng ta cã(

Df(x)

Dx

)−1

(y − y0) = x− x0.

ChuyÓn qua giíi h¹n chóng ta ®îc ®iÒu cÇn thiÕt. Chóng t«i dµnhcho ®äc gi¶ tiÕp tôc thùc hiÖn nèt çc chi tiÕt chøng minh.

1.5 §Þnh lÝ hµm (¸nh x¹) Èn

Chóng ta kÝ hiÖu çc vÐct¬ ®¹o hµm riªng(∂f(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym)

∂x1 , . . . ,∂f(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym)

∂xn

)


®¬n gi¶n lµ Dxf(x, y), t¬ng tù,(∂f(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym)

∂y1 , . . . ,∂f(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym)

∂ym

)®¬n gi¶n lµ Dyf(x, y).Theorem 1.5.1 (§Þnh lÝ ¸nh x¹ Èn) Gi¶ sö r»ng ¸nh x¹ F : Rn ×Rm → Rm lµ kh¶ vi liªn tôc trong mét tËp më chøa (a, b) ∈ Rn ×Rm vµ F (a, b) = 0. Gi¶ sö ma trËn Jacobi cã ma trËn con kh¶nghÞch DyF (a, b) Khi ®ã tån t¹i mét l©n cËn më A ⊆ Rn, ch¸ a,vµ mét tËp më B ⊆ Rm chøa b sao cho tån t¹i duy nhÊt mét ¸nhx¹ kh¶ vi f : A→ B, gäi lµ ¸nh x¹ Èn nghiÖm ®óng ph¬ng tr×nh

F (x, f(x)) ≡ 0,∀x ∈

§¹o hµm cña ¸nh x¹ Èn f(x) ®îc tÝnh theo c«ng thøc

Dxf(x) = −[DF (x, y)

Dy

]−1

DxF (x, y).

Chøng minh. Gi¶ sö ®· cã tån t¹i mét ¸nh x¹ Èn nh vËþ Chóng tacã ngay c«ng thøc tÝnh ®¹o hµm toµn phÇn

DxF (x, y) +DyF (x, y)Df(x)

Dx≡ 0.

Tõ ®ã suy ra ngay c«ng thøc tÝnh ®¹o ¸nh cña ¸nh x¹ Èn. §Ó chøngminh sù tån t¹i ¸nh x¹ Èn f(x), chóng ta nhËn xÐt r»ng ¸nh x¹

F (x, y) := (x, F (x, y))

sÏ lµ mét ®ång ph«i tõ Rn+m vµo chÝnh nã. Ma trËn Jacobi cña F

Jac(x,y)F (x, y) =

I 0

DxF (x, y) DyF (x, y)

.

30 §ç Ngäc DiÖp

lµ kh¶ nghÞch cho nªn theo ®Þnh lÝ ¸nh x¹ ngîc tån t¹i ¸nh x¹ngîc cña F . Thµnh phÇn thø nhÊt cña F lµ ¸nh x¹ ®ång nhÊt chonªn thµnh phÇn thø hai cña ¸nh x¹ ngîc F−1 x¸c ®Þnh ¸nh x¹ fcÇn t×m.

1.6 Bã çc hµm tr¬n

Tõ §Þnh lÝ ¸nh x¹ Èn ta suy ra lµ víi mçi ®iÓm (x, y) lµ nghiÖm cñahÖ F (x, y) = 0 lu«n tån t¹i mét l©n cËn më U cña ®iÓm x vµ métl©n cËn më V cña ®iÓm y sao cho f : U → V lµ mét ¸nh x¹ tr¬n.§Þnh nghÜa 1.6.1 Hµm ϕ : (x, y) 7→ ϕ(x.y) ∈ C trªn tËp nghiÖmM cña hÖ ph¬ng tr×nh M : F (x, y) = 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖ n trong®Þnh lý hµm Èn Jacy(F ) =

[∂F∂y

]lµ kh¶ nghÞch, ®îc gäi lµ tr¬n

nÕu hîp cña nã víi f : U → V lµ mét hµm tr¬n trªn U . KÝ hiÖuC∞(U) lµ tËp tÊt c¶ çc hµm tr¬n trªn l©n cËn U cña ®iÓm x trªntËp nghiÖm M .

MÖnh ®Ò 1.6.2 Hµm ϕ lµ tr¬n khi vµ chØ khi nã lµ tr¬n trong U khivµ chØ khi ϕ ξ lµ tr¬n trong ξ(U) víi mäi phÐp vi ph«i ξ : U → U .Nãi mét çch kh¸c kh¸i niÖm hµm tr¬n kh«ng phô thuéc vµo viÖcchän hÖ täa ®é ®Þa ph¬ng x = (x1, . . . , xr).

Chøng minh.

Theorem 1.6.3 Çc tËp më U trong ®Þnh lÝ ¸nh x¹ Èn lËp thµnhmét phñ më cña tËp nghiÖm. Çc ®¹i sè C∞(U) cã çc tÝnh chÊtbã sau ®©y:

1. Tån t¹i ¸nh x¹ h¹n chÕ r : C∞(U) C∞(U1), nÕu U1 lµ tËpcon trong U .


2. NÕu U = ∪Uα th× cã d·y khíp

0 −→ C∞(U) −→∏α

C∞(Uα) −→∏α,β

C∞(Uα ∩ Uβ).

Chøng minh. MÖnh ®Ò thø nhÊt lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña ®Þnh lý hµmÈn. MÖnh ®Ò thø hai còng ®îc suy ra tõ ®ã v× khi ®iÓm x thuécgiao cña hai l©n cËn ®Þa ph¬ng trong ®Þnh lÝ hµm Èn th× chóng ph¶ilµ x¸c ®Þnh duy nhÊt trªn giao.

§Þnh nghÜa 1.6.4 Mét hµm trªn tËp nghiÖm M cña hÖ ph¬ng tr×nhF (x, y) = 0 víi Jacy(F ) =

[∂F∂y

]lµ kh¶ nghÞch, ®îc gäi lµ tr¬n

nÕu h¹n chÕ cña nã lªn çc tËp më trong phñ nãi trªn lµ çc hµmtr¬n vµ tho¶ m·n tÝnh chÊt bã. KÝ hiÖu C∞(M) lµ bã çc ®¹i sèçc hµm tr¬n nãi trªn. Nã ®îc gäi lµ bã cÊu tróc cña M .

§Þnh nghÜa 1.6.5 NÕu hÖ ph¬ng tr×nh M : F (x, y) = 0 tho¶ m·n®iÒu kiÖn cã ma trËn Jacobi trªn çc ®iÓm thuéc tËp nghiÖm, cãh¹ng kh«ng ®æi r = rank(Jac(F )(x, y) th× cÆp (M,C∞(M)) ®îcgäi lµ mét ®a t¹p vµ C∞(M) ®îc gäi lµ bã cÊu tróc .

VÝ dô.

1. Vßng trßn ®¬n vÞ cã thÓ xem lµ hîp cña hai tËp më U1 =S1 \ N trong ®ã N lµ ®iÓm cùc b¾c, U2 = S1 \ S víi S lµ®iÓm cùc nam.

C∞(U1) ∼= C∞(U2) ∼= C∞(R).

DÔ viÕt mét çch têng minh c«ng thøc ®æi biÕn tõ U1 sang U2

vµ ngîc l¹i (!). Bã cÊu tróc cña S1 lµ çc hµm tr¬n trªn toµnbé vßng trßn ®¬n vÞ.

32 §ç Ngäc DiÖp

2. XuyÕn hai chiÒu T = S1×S1 cã thÓ chia thµnh hîp cña çc tËpmë ®ång ph«i víi R2 : U11 = (S1\N)×(S1\N), U12 =(S1\N)×(S1\S), U21 = (S1\S)×(S1\N), U22 =(S1\S)×(S1\S). Mçi C∞(Ui) ∼= C∞(R2). Chóng ®îcxÕp l¹i víi nhau mét çch tù nhiªn, sau nµy sÏ thÊy lµ ``®Þnhhíng".

3. L¸ Mobius cã thÓ xem lµ hîp cña hai b¶n ®å ®Þa ph¬ng U1 =L\(I×0), U2 = L\(0×I). Chóng ®îc xÕp l¹i mét çch``kh«ng ®Þnh híng''. MÆc dï çc bã hµm tr¬n ®Þa ph¬ng ®Òulµ C∞(R2).

4. Kh«ng gian x¹ ¶nh RPn lµ kh«ng gian çc ®êng th¼ng quagèc täa ®é trong Rn+1. B»ng çch täa ®é ho¸, RPn lµ tËpçc ®iÓm trong Rn+1 víi to¹ ®é thuÇn nhÊt (x0 : x1 : .... :xn) theo nghÜa, mçi bé to¹ ®é ®ã lµ mét líp t¬ng ®¬ng(x0, x1, . . . , xn) ∼ (x′0, x

′1, . . . , x

′n) khi vµ chØ khi tån t¹i mét

sè k 6= 0 ®Ó x′i = kxi, i = 1, n. Do vËy cã phñ më lµ kh«nggian con çc bé to¹ ®é thuÇn nhÊt víi sè 1 ë mét vÞ trÝ thø i.

RPn = ∪Ui, Ui = (x0 : x1 : . . . : xn), xi = 1.

§©y lµ hÖ ph¬ng tr×nh trong to¹ ®é ®Þa ph¬ng. Mçi Ui ∼ Rn.Nªn bã cÊu tróc cã d¹ng C∞(Ui) ∼= C∞(Rn).

5. T¬ng tù, kh«ng gian x¹ ¶nh phøc CPn lµ mét ®a t¹p.6. Chai Klein lµ hai l¸ Mobius ®ång nhÊt hai biªn t¬ng øng víi

nhau. Mçi bã hµm tr¬n ®Þa ph¬ng còng lµ C∞(R2) nhngtoµn côc chóng ®îc s¾p xÕp rÊt kh«ng ®Þnh híng.

Theo ®Þnh lÝ ¸nh x¹ Èn, cã tån t¹i mét hÖ çc hµm täa ®é congtrªn mçi tËp më trong kh«ng gian nghiÖm, ®ång ph«i víi Rn−r


§Þnh nghÜa 1.6.6 NÕu ϕ : Rn−r → U ⊆ M lµ mét vi ph«i x©ydùng theo ®Þnh lÝ hµm Èn th× ¶nh cña hÖ täa ®é tuyÕn tÝnh trong U

lµ çc ®êng cong mµ ph¬ng tiÕp tuyÕn lu«n lËp thµnh c¬ së. Khi®ã ta nãi lµ ta cã mét b¶n ®å to¹ ®é ®Þa ph¬ng (U, x1, . . . , xn−r).

NhËn xÐt 1.6.7 NhËn xÐt r»ng hÖ (x1, . . . , xn) lµ mét hÖ sinh cña®¹i sè hµm tr¬n C∞(U) theo nghÜa hµm, tøc lµ mäi hµm kh¸c ®Òulµ hîp cña çc hµm nµy víi mét hµm nµo ®ã trªn U .

NhËn xÐt 1.6.8 HÖ çc b¶n ®å to¹ ®é ®i¹ ph¬ng lËp thµnh métphñ më cña ®a t¹p nghiÖm. CÊu tróc vi ph©n ®îc x¸c ®Þnh bëi tÝnhchÊt cña ®¹i sè çc hµm tr¬n C∞(U) vµ çc hµm chuyÓn täa ®é.Trªn thùc tÕ theo ph¬ng ph¸p ®¹i sè, bã çc nh¸t c¾t toµn côc, tøclµ çc hµm tr¬n toµn côc x¸c ®Þnh cÊu tróc vi ph©n.

1.7 Bµi tËp cñng cè lý thuyÕt

1. T×m hµm sè cã mäi ®¹o hµm riªng liªn tôc nhng kh«ng kh¶vi t¹i mét ®iÓm.

2. T×m vÝ dô hµm sè liªn tôc nhng kh«ng cã ®¹o hµm t¹i sè ®Õm®îc çc ®iÓm.

3. Cho hµm sè f : R2 → R, x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc

f(x, y) =

(x2 + y2) sin 1√

x2+y2víi (x, y) 6= (0, 0),

0 víi (x, y) = (0, 0).

Chøng minh r»ng f kh¶ vi t¹i ®iÓm (0, 0) nhng çc ®¹o hµmriªng Dxf , Dyf gi¸n ®o¹n t¹i (0, 0).

4. Dïng hµm sè f : R→ R, x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc

f(x) =

x2 + x2 sin 1

x nÕu x 6= 0,0 nÕu x = 0.

34 §ç Ngäc DiÖp

H·y chøng minh r»ng gi¶ thiÕt liªn tôc trong ®Þnh lÝ ¸nh x¹ Ènlµ kh«ng thÓ bá ®i ®îc.

5. Gi¶ sö r»ng ¸nh x¹ f : Rn → Rn lµ kh¶ vi vµ cã ¸nh x¹ ngîcf−1 còng kh¶ vÞ Chøng tá r»ng

(f−1)′(f(a)) = (f ′(a))−1;

nãi mét çch kh¸c, nÕu ¸nh x¹ cho bëi y = f(x), th×Dx

Dy=

[Dy

Dx

]−1

.

Ch¬ng 2

PhÐp tÝch ph©n

2.1 Çc ®Þnh nghÜa c¬ b¶n

2.1.1 Çc tËp ®o dîc

Chóng ta kÝ hiÖu P lµ tËp çc h×nh hép më (hoÆc ®ãng, hoÆc võamë võa ®ãng). XÐt A(P) lµ tËp çc ®a hép, tøc lµ çc hîp v« h¹nvµ giao h÷u h¹n cña çc h×nh hép më (hoÆc giao v« h¹n, hîp h÷uh¹n cña çc hép ®ãng). HiÓn nhiªn lµ chóng ta cã çc tÝnh chÊt:

MÖnh ®Ò 2.1.1 1. ∅, X = Rn ∈ A(P).

2. NÕu A thuéc A(P) th× phÇn bï cña nã Ac = Rn \ A còngthuéc A(P).

3. NÕu A1, . . . , An thuéc A(P) th× giao h÷u h¹n ∩ni=1Ai còngthuéc A(P).

4. NÕu çc Aα, α ∈ I , ®Òu thuéc P) th× hîp (v« h¹n) ∪α∈IAα

còng thuéc A(P).

Chøng minh. Chóng t«i dµnh viÖc kiÓm tra chi tiÕt çc tÝnh chÊtcho ®äc gi¶

35

36 §ç Ngäc DiÖp

NhËn xÐt r»ng trong lÝ thuyÕt ®é ®o trõu tîng, mét hä çc tËpcon tho¶ m·n çc tÝnh chÊt trªn sÏ ®îc gäi lµ mét σ-®¹i sè çc tËp®o ®îc . Bëi thÕ tõ ®©y vÒ sau ta sÏ nãi tíi A(P) nh lµ σ-®¹i sèçc ®a hép.

Trªn σ-®¹i sè çc ®a hép ta cã thÓ dÔ dµng ®Þnh nghÜa phiÕmhµm khèi lîng , ®«i khi còng ®îc gäi lµ ®a thÓ tÝch nh sau:§Þnh nghÜa 2.1.2 NÕu P (a1; b1, . . . , an; bn) lµ mét hép gåm çc ®iÓmx = (x1, . . . , xn) sao cho

ai ≤ xi ≤ bi,∀i = 1, n,

th× thÓ tÝch cña nã ®îc tÝnh theo c«ng thøc quen biÕt

µ(P (a1; b1, . . . , an; bn)) :=n∏i=1

(bi − ai).

NÕu P vµ Q lµ hai ®a hép th× hîp P ∪Q vµ giao P ∩Q cña chóngcòng lµ ®a hép vµ ®a thÓ tÝch cña hîp P ∪ Q ®îc tÝnh theo c«ngthøc

µ(P ∪Q) = µ(P ) + µ(Q)− µ(P ∩Q).

Tõ ®ã suy ra cã thÓ ®Þnh nghÜa µ trªn çc hîp h÷u h¹n. NÕu ®a héplµ hîp v« h¹n th× ta ®Þnh nghÜa theo c«ng thøc σ-céng tÝnh :

µ(∪Pi) =∞∑i=1

µ(Pi), nÕu Pi ∩ Pj = ∅.

NÕu X lµ mét tËp bÊt k× th× chóng ta ®a ra kh¸i niÖm ®o ®îcnh saô§Þnh nghÜa 2.1.3 §é ®o trong (díi) ®îc ®Þnh nghÜa lµ

µ∗(X) := supµ(P );P lµ ®a hép chøa trong X

vµ ®é ®o ngoµi (trªn) ®îc ®Þnh nghÜa lµ

µ∗(X) := infµ(P );P lµ ®a hép chøa X


HiÓn nhiªn lµµ∗(X) ≤ µ∗(X),∀X.

§Þnh nghÜa 2.1.4 NÕu µ∗(X) = µ∗(X) th× ta nãi r»ng X lµ ®o®îc theo Hausdorff .

2.1.2 §Þnh nghÜa tÝch ph©n Riemann

NÕu mçi hép ®¬n trong mét ®a hép ®îc viÕt thµnh mét ®a hépkh¸c mµ trong ®ã giao cña çc hép ®¬n míi kh«ng cã ®iÓm trong,th× chóng ta nãi lµ cã mét phÐp chia ®a hép P thµnh ®a hép QmÞn h¬n.

§Þnh nghÜa 2.1.5 Chóng ta sÏ gäi

diam(P ) := maxx,y∈P

||x− y||

lµ ®êng kÝnh cña tËp P . NÕu P lµ mét ®a hép vµ ®îc chia rathµnh çc ®¬n hép vµ trong c«ng thøc trªn x, y lu«n thuéc cïng mét®¬n hép, th× diam(P ) ®îc gäi lµ ®êng kÝnh cña phÐp chia ®ahép .

Hoµn toµn t¬ng tù, ta cã thÓ ®Þnh nghÜa phÐp chia tËp ®o ®îcvµ ®êng kÝnh phÐp chia tËp ®o ®îc thµnh çc tËp ®o ®îc, mµgiao cña chóng kh«ng cã ®iÓm trong.

Gi¶ sö f : X ⊆ Rn → Rm lµ mét ¸nh x¹,

P = ∪Ni=1Pi ⊆ X

lµ mét phÐp chia ®a hép (t¬ng øng, tËp ®o ®îc) ra thµnh h÷u h¹n®¬n hép (t¬ng øng, tËp ®o ®îc). Trong mçi ®¬n hép (t¬ng øng,

38 §ç Ngäc DiÖp

tËp ®o ®îc) Pi ta chän mét ®iÓm ξi bÊt k× vµ lËp tæng tÝch ph©nRiemann

S(f, P ) :=N∑i=1

f(ξi)µ(Pi),

tæng tÝch ph©n Riemann trªn

S∗(f, P ) :=N∑i=1

supξ∈Pi

f(ξ)µ(Pi),

tæng tÝch ph©n Riemann díi

S∗(f, P ) :=N∑i=1

infξ∈Pi

f(ξ)µ(Pi).

§Þnh nghÜa 2.1.6 Chóng ta nãi r»ng ¸nh x¹ f lµ kh¶ tÝch , nÕugiíi h¹n

limdiam(P )→0

S(f, P )

tån t¹i, kh«ng phô thuéc vµo çch chia hép vµ çch chän çc ®iÓmξi ∈ Pi vµ giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ tÝch ph©n cña ¸nh x¹ f trªnmiÒn X vµ kÝ hiÖu lµ

∫X f(x)dµ(x).

2.2 Çc hµm kh¶ tÝch

2.2.1 Tiªu chuÈn kh¶ tÝch

Gi¶ sö f : Rn → R lµ hµm gi¸ trÞ b»ng sè. Khi ®ã chóng ta cã thÓ®Þnh nghÜa çc tÝch ph©n trªn vµ tÝch ph©n díi nh sau.

KÝ hiÖuI∗(f,X) := supS(f, P ); P ∈ A(P), P ⊆ X,


I∗(f,X) := infS(f, P ); P ∈ A(P), P ⊇ X.NhËn xÐt r»ng víi mäi ®a hép P ′ ⊆ X chøa trong X vµ ®a hép

P ′′ ⊇ X , chóng ta lu«n cãS(f, P ′) ≤ S(f, P ′′).

NÕuI∗(f,X) = I∗(f,X),

tøc lµ giíi h¹nlim

diam(P )→0S(f, P )

tån t¹i th× giíi h¹n ®ã chÝnh lµ tÝch ph©n cña f trªn X vµ ®îc kÝhiÖu lµ ∫X f(x)dµ(x).

MÖnh ®Ò 2.2.1 TËp X lµ ®o ®îc khi vµ chØ khi hµm ®Æc trng cñanã lµ kh¶ tÝch.

Chøng minh. ThËt vËy, theo ®Þnh nghÜa chóng ta cã ngay c«ng thøcS(χX , P ) = µ(P ).

Bëi vËy nªn chóng ta còng cãI∗(χX , X) = µ∗(X),

I∗(χX , X) = µ∗(X).

Theorem 2.2.2 Hµm f lµ kh¶ tÝch khi vµ chØ khi víi mäi sè d¬ngε tån t¹i çc ®a hép

P ′ ⊆ X ⊆ P ′′,

sao cho|S(f, P ′)− S(f, P ′′)| < ε.

40 §ç Ngäc DiÖp

Chøng minh. Theo ®Þnh nghÜa cña sup vµ inf, víi mçi ε > 0, tånt¹i mét ®a hép P ′ ⊆ X vµ mét ®a hép P ′′ ⊇ X sao cho

|S(f, P ′)− I∗(f,X)| < ε

2,

|S(f, P ′′)− I∗(f,X)| < ε

2.

Chóng t«i dµnh cho ®äc gi¶ tiÕp tôc hoµn thµnh viÖc chøng minhchi tiÕt.

2.2.2 §iÓm gi¸n ®o¹n cña hµm kh¶ tÝch

Theorem 2.2.3 Gi¶ sö A lµ mét h×nh hép ®ãng, f : A → R lµmét hµm bÞ chÆn vµ B ⊂ A lµ tËp çc ®iÓm gi¸n ®o¹n cña hµm f .Khi ®ã hµm f lµ kh¶ tÝch trªn A khi vµ chØ khi B lµ tËp dã ®é ®oHausdorff b»ng 0.

Chøng minh. Gi¶ sö tËp B çc ®iÓm gi¸n ®o¹n cña f cã ®é ®o 0.Chóng ta kÝ hiÖu o(f, x) lµ giao ®éng cña hµm t¹i ®iÓm x, tøc lµ gi¸trÞ cùc ®¹i cña hiÖu çc giíi h¹n khi tiÕn dÇn tíi ®iÓm x. XÐt tËp

Bε := x ∈ A; o(f, x) ≥ ε.

Nã lµ tËp con ®ãng trong comp¾c A. V× thÕ, tån t¹i phñ më U1, . . . , Unsao cho tæng çc ®a thÓ tÝch cña chóng lµ

n∑i=1

µ(Ui) < ε.

NÕu P lµ mét phÐp chia hép sao cho mçi hép con cña nã thuéc méttrong hai lo¹i:• S1 gåm çc h×nh hép mµ mçi mét trong chóng ®Òu chøa trongmét Ui nµo ®ã, i = 1, n.


• S2 gåm çc h×nh hép kh«ng giao víi Bε.V× theo gi¶ thiÕt, hµm f lµ bÞ chÆn trªn A, cho nªn tån t¹i sè M ®Ó

|f(x)| < M,∀x ∈ A.

Khi ®ã, víi mçi hép con σ thuéc phÐp chia hép P , chóng ta cãMσ −mσ ≤ 2M,

trong ®ã Mσ lµ gi¸ trÞ cùc ®¹i vµ mσ lµ gi¸ trÞ cùc tiÓu cña f trªn σ.V× vËy nªn∑

σ∈S1

|Mσ −mσ|µ(σ) ≤ 2Mn∑i=1

µ(Ui) < 2Mσ.

Víi mçi σ ∈ S2 giao ®éng cña hµm lu«n lu«n nhá h¬n ε t¹i mäi®iÓm x ∈ σ. Cho nªn chóng ta cã thÓ chän phÐp chia hép P ′ mÞnh¬n P ®Ó ∑

σ′⊂σ

|Mσ′ −mσ′| < ε.µ(σ),

®èi víi mäi σ ∈ S2.

S∗(f, P ′)− S∗(f, P ′) =∑

σ′⊂σ∈S1[Mσ′ −mσ′µ(σ′)+

+∑

σ′⊂σ∈S2[Mσ′ −mσ′]µ(σ′)

< 2Mε+∑

σ∈S2εµ(σ)

≤ 2Mε+ εµ(A).

Tõ ®ã suy ra lµ ta cã thÓ chän phÐp chia hép P ′ thÝch hîp ®ÓS∗(f, P ′)− S∗(f, P ′) nhá tïy ý. NghÜa lµ hµm f lµ kh¶ tÝch.

Ngîc l¹i, gi¶ sö hµm f lµ kh¶ tÝch. Chóng ta thÊy ngay r»ng tËpB gåm çc ®iÓm gi¸n ®o¹n cña hµm f cã thÓ ®îc viÕt thµnh hîpv« h¹n

B = B1 ∪B1/2 ∪B1/3 ∪ . . .

42 §ç Ngäc DiÖp

Cho nªn chØ cÇn chøng minh r»ng mçi tËp B1/n cã ®é ®o 0. Víi mçiε > 0, chóng ta chän mét phÐp chia P hép A cã giao kh«ng rçngvíi B1/n. NÕu σ ∈ S th×

Mσ −mσ ≥1

n.

Bëi thÕ nªn1n

∑σ∈S µ(σ) ≤

∑σ∈S [Mσ −mσ]µ(σ)

≤∑

σ∈P [Mσ −mσ]µ(σ)< S∗(f, P )− S∗(f, P ) < ε

n .

Cho nªn chóng ta cã ∑σ∈S

µ(σ) < ε.

2.3 §Þnh lÝ Fubini

Trong nhiÒu trêng hîp, viÖc tÝnh to¸n tÝch ph©n theo çc miÒn trongkh«ng gian nhiÒu chiÒu cã thÓ quy vÒ viÖc tÝnh tÝch ph©n lÆp nhiÒulíp cña çc miÒn trong kh«ng gian cã sè chiÒu bÐ h¬n. ViÖc nµythùc hiÖn ®îc nhê ®Þnh lÝ quan träng sau ®©y.Theorem 2.3.1 (§Þnh lÝ Fubini) Gi¶ sö A ⊆ Rn vµ B ⊆ Rm lµçc ®a hép ®ãng vµ f : A×B → R lµ hµm kh¶ tÝch theo Riemann.Gi¶ sö gx = f(x, .) : B → R ®îc x¸c ®Þnh víi mäi x ∈ A. Khi®ã I∗(gx, B) vµ I∗(gx, B) lµ nh÷ng hµm kh¶ tÝch trªn A vµ chóngta cã c«ng thøc Fubini∫A×B

f(x, y)dµ(x)dµ(y) =

∫A

I∗(gx, B)dµ(x) =

∫A

I∗(gx, B)dµ(x) =

=

∫A

∫B

f(x, y)dµ(x)dµ(y) =

∫B

∫A

f(x, y)gµ(y)dµ(x).


Chøng minh. Gi¶ söP = ∪Ni=1Pi

vµQ = ∪Mj=1Qi

lµ çc phÐp chia ®a hép thµnh çc ®a hép con kh«ng giao nhau ëçc ®iÓm trong. Khi ®ã

P ×Q = ∪Ni=1 ∪Mj=1 Pi × Pj

lµ phÐp chia ®a hép P ×Q. DÔ thÊy ngay lµI∗(f, A×B) ≤ S(f, P ×Q)

=∑N,M

i,j=1 f(ξi, ηj)µ(Pi)µ(Qj)

≤ S(f, P ′ ×Q′)( víi P ′ ×Q′ ⊂ A×B)

=∑N

i=1 I∗(gx, Q′)µ(P ′i )

≤∑N

i=1 I∗(gx, B)µ(Pi)

≤ I∗(f, A×B).

V× f : A×B → R lµ hµm kh¶ tÝch cho nªn tÊt c¶ çc dÊu bÊt ®¼ngthøc ë trªn trë thµnh dÊu ®¼ng thøc.

2.4 Ph©n ho¹ch ®¬n vÞ

Trong tiÕt nµy chóng ta ®a ra mét thñ thuËt cho phÐp quy nhiÒuvÊn ®Ò toµn côc vÒ çc vÊn ®Ò ®Þa ph¬ng t¬ng øng. Cô thÓ h¬n,chóng ta sÏ x©y dùng kh¸i niÖn ph©n ho¹ch ®¬n vÞ , tøc lµ x©y dùngphñ më ®i¹ ph¬ng h÷u h¹n vµ cho t¬ng øng víi mçi tËp më cñaphñ ®ã mét hµm tr¬n, b»ng 0 ë ngoµi tËp më ®ã vµ tæng tÊt c¶ çchµm ®ã lµ 1. Khi ta nh©n mét hµm bÊt k× víi 1, t¬ng ®¬ng víiviÖc ``c¾t côt" hµm ®Ó cã gi¸ trong çc tËp më cña phñ më ®ã. KÕt

44 §ç Ngäc DiÖp

qu¶ mçi hµm trªn toµn ®a t¹p t¬ng øng víi mét hä çc hµm cã gi¸comp¾c chøa trong tõng tËp më cña phñ nãi trªn.

Tríc hÕt chóng ta nhËn xÐt r»ng hµm sè mét biÕn f : R→ R,cho bëi c«ng thøc

fa(x) :=

exp

(− 1|x−a|2

)khi x 6= a

0 khi x = a

d¬ng t¹i mäi ®iÓm kh¸c a, triÖt tiªu khi x→ a vµ cã ®¹o hµm mäicÊp b»ng 0 khi x→ a, theo quy t¾c Laupital [L«pital]

Tõ ®ã suy ra r»ng hµm sè f−a,a := f−a.fa,

f−a,a(x) :=

exp

(− 1|x−a|2 −

1|x+a|2

)khi x 6= ±a

0 khi x = ±a

lµ hµm tr¬n, cã ®¹o hµm mäi cÊp b»ng 0 t¹i ®iÓm −a vµ a, d¬ngt¹i mäi ®iÓm cßn l¹Þ

Bëi thÕ nªn hµm

f(−a,a)(x) :=

exp

(− 1|x−a|2 −

1|x+a|2

)khi x ∈ (−a, a)

0 khi ngîc l¹ilµ hµm tr¬n, cã ®¹o hµm mäi cÊp b»ng 0 ngoµi kho¶ng më (−a, b),d¬ng trªn kho¶ng më (−a, a)

Hµm n biÕn

f(−a1,a1)×...×(−an,an)(x1, . . . , xn) :=

n∏i=1

f−(ai,ai)(xi)

lµ mét hµm tr¬n, d¬ng trªn hép (−a1, a1)× . . .× (−an, an) vµ triÖttiªu ngoµi h×nh hép ®ã.


Theorem 2.4.1 Gi¶ sö O lµ mét phñ më cña tËp A ⊆ Rn. Khi ®ãtån t¹i mét hä Φ çc hµm tr¬n líp C∞ x¸c ®Þnh trªn tËp më chøaA sao cho:

1. Víi mçi ϕ ∈ Φ vµ víi mçi x ∈ A, 0 ≤ ϕ ≤ 1;

2. Víi mçi x ∈ A, cã Ýt nhÊt mét tËp më V thuéc hä O chøa xsao cho chØ cã mét sè h÷u h¹n çc hµm thuéc hä Φ lµ kh¸c 0trªn V ;

3. ∑ϕ∈Φ

ϕ(x) ≡ 1,∀x ∈ A.

4. Mçi hµm ϕ cã gi¸ trong mét tËp më U ∈ O, tøc lµ ϕ triÖt tiªungoµi mét tËp ®ãng chøa trong mét tËp U ∈ O.

Chøng minh. Tríc hÕt chóng ta nhËn xÐt r»ng mçi ®iÓm x ∈ A®Òu cã mét l©n cËn comp¾c chøa nã, vÝ dô mét cÇu ®ãng hay mét ®¬nhép ®ãng chøa nã nh mét ®iÓm trong. Khi ®ã cã mét phñ më concña phñ më O, chøa comp¾c nãi trªn. Theo tÝnh chÊt cña comp¾c,chóng ta cã thÓ t¸ch ra mét phñ më con h÷u h¹n cña comp¾c ®ã.Hîp cña çc tËp më thuéc phñ ®Þa ph¬ng h÷u h¹n ®ã chÝnh lµtËp V cÇn t×m trong kh¼ng ®Þnh 2. Trong mçi tËp më U cña phñmë ®Þa ph¬ng h÷u h¹n Φf ®ã chóng ta chän mét ®¬n hép ®ñ nhá(−a1, a1)× . . .× (−an, an) chøa trong U vµ x©y dùng hµm

ψU = f(−a1,a)×...×(−an,an).

Do tÝnh chÊt ®Þa ph¬ng h÷u h¹n cho nªn tæng çc hµm∑U

ψU(x) > 0,∀x ∈ A

46 §ç Ngäc DiÖp

lu«n cã nghÜa vµ lµ mét tæng h÷u h¹n víi mçi x. Chóng ta ®ÞnhnghÜa

ϕU(x) :=ψU(x)∑U ψU(x)

,∀U ∈ Φf .

NhËn xÐt r»ng trong chøng minh trªn ta chØ dïng tÝnh comp¾c

®Þa ph¬ng cña Rn. Cho nªn ph©n ho¹ch ®¬n vÞ còng ®îc x©ydùng cho ®a t¹p bÊt k× mét çch dÔ dµng.

§Þnh nghÜa 2.4.2 Phñ më O cïng víi hä çc hµm Φ = ϕUU∈Otho¶ m·n çc tÝnh chÊt trong ®Þnh lÝ trªn ®îc gäi lµ mét ph©nho¹ch ®¬n vÞ.

2.5 §æi biÕn

Theorem 2.5.1 Gi¶ sö A ⊆ Rn lµ mét tËp më vµ y = ϕ(x) lµ métphÐp ®æi biÕn, tøc lµ ϕ lµ mét ®ång ph«i kh¶ vi liªn tôc hai phÝa,sao cho ma tr©n Jacobi Jacx(ϕ) lµ kh¶ nghÞch, víi mäi x ∈ A. Khi®ã víi mçi hµm kh¶ tÝch f : ϕ(A)→ R ta cã c«ng thøc ®æi biÕn∫

ϕ(A)f(y)dµ(y) =

∫A

f(ϕ(x))| det(Jacx(ϕ))|dµ(x).

Chøng minh. Chóng ta chØ cÇn chó ý r»ng theo quy t¸c ®æi biªncña d¹ng vi ph©n

dy1 ∧ . . . ∧ dyn = det(Jacx(ϕ(x)))dx1 ∧ . . . ∧ dxn.

B©y giê ®Ó ý r»ng phÇn tö thÓ tÝch dµ(y) chÝnh lµ thÓ tÝch h×nh hépsinh bëi dy1, . . . , dyn, phÇn tö thÓ tÝch dµ(x) chÝnh lµ thÓ tÝch h×nhhép sinh bëi dx1, . . . , dxn. Chóng sai kh¸c nhau bëI trÞ tuyÖt ®èicña hÖ sè trong c«ng thøc trªn., tøc lµ | det(Jacx(ϕ(x))|.



1. Gi¶ sö f : A → Rn lµ hµm kh¶ tÝch vµ g = f hÇu kh¾p n¬i,trõ mét sè h÷u h¹n ®iÓm. Chøng minh r»ng g lµ hµm kh¶ tÝchvµ ∫

A

f =

∫A

g.

2. Chøng minh r»ng ∫ lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc vµ x¸c®Þnh d¬ng theo biÓu thøc díi dÊu tÝch ph©n.

3. Gi¶ sö f : [a, b]→ R lµ hµm kh¶ tÝch kh«ng ©m vµAf = (x, y); a ≤ b vµ 0 ≤ y ≤ f(x).

Chøng minh r»ng A lµ tËp ®o ®îc theo Hausdorff vµ cã diÖntÝch lµ ∫ ba f(x)dx.

4. Chøng minh r»ng nÕu f : [a, b]× [c, d]→ R lµ kh¶ tÝch th×∫ d

c

(∫ y

a

f(x, y)dx

)dy =

∫ b

a

(∫ d

x

f(x, y)dy

)dx.

5. Gi¶ sö Br lµ h×nh cÇu ®ãng t©m ë ®iÓm gèc to¹ ®é (0, 0) b¸nkÝnh r trong R2 vµ Cr = [−r, r]× [−r, r]. Chøng minh r»ng∫

Br

e−(x2+y2)dxdy = π(1− e−r2

)

vµ ∫Cr

e−(x2+y2)dxdy =

(∫ r

−re−x

2

dx

)2

.

Chøng minh r»ng

limr→∞

∫Br

e−(x2+y2)dxdy = limr→∞

∫Cr

e−(x2+y2)dxdy

48 §ç Ngäc DiÖp

vµ tõ ®ã suy ra r»ng ∫ +∞

−∞e−x

2

dx =√π.

Ch¬ng 3

§a t¹p kh¶ vi

Víi phÐp to¸n vi ph©n, chóng ta cã thÓ nghiªn cøu nhiÒu tÝnh chÊtcña ®a t¹p: tríc hÕt chóng ta cã thÓ ®Þnh nghÜa mét çch chÝnhx¸c kh¸i niÖm ®a t¹p, ®a t¹p con, ®a t¹p th¬ng, ph©n thí tiÕp xóc,ph©n thí ®èi tiÕp xóc, v.v.... T«p« çc ®a t¹p ®îc nghiªn cøu trongnh÷ng n¨m gÇn ®©y. Trong ch¬ng nµy chóng ta sÏ chØ giíi thiÖumét vµi thµnh tùu ®¸ng kÓ.

3.1 §Þnh nghÜa. VÝ dô

Trong phÇn cuèi ch¬ng tríc chóng ta ®· ®i ®Õn mét sù kiÖn lµ tËpnghiÖm cña mét hÖ ph¬ng tr×nh hµm cã thÓ xem nh lµ mét ®a t¹pmµ mçi ®iÓm ®Òu cã mét l©n cËn më vi ph«i víi Rn. §iÒu nµy dÉn®Õn mét kh¸i niÖm tæng qu¸t lµ ®a t¹p, ®èi tîng nghiªn cøu cñah×nh häc vi ph©n.

§Þnh nghÜa 3.1.1 Gi¶ sö M lµ mét kh«ng gian t«p« Hausdorff kh¶lÞ NÕu trªn M cã tån t¹i mét phñ më bëi çc tËp më Uα, α ∈ I vµvíi mçi α ∈ I tån t¹i mét vi ph«i ϕα : Rn → Uα. Ta nãi mçi Uα, ϕαlµ mét b¶n ®å to¹ ®é ®Þa ph¬ng . ¶nh cña mét hÖ to¹ ®é §Ò-Çc(Cartesian), lµ mét hÖ çc ®êng cong cã tiÕp tuyÕn trùc giao, ®îc

49

50 §ç Ngäc DiÖp

gäi lµ hÖ to¹ ®é ®i¹ ph¬ng vµ kÝ hiªu ®¬n gi¶n lµ (x1, . . . , xn).Gi¶ sö çc b¶n ®å ®i¹ ph¬ng t¬ng thÝch víi nhau theo nghÜasau:

Víi mäi ®iÓm trªn phÇn giao Uα ∩ Uβ, mäi ¸nh x¹ ϕ−1β

ϕα :

ϕ−1α (Uα ∩ Uβ) ⊆ Rn ϕα−−→ Uα ∩ Uβ

ϕ−1β−−→ ϕβ(Uα ∩ Uβ) ⊆ Rn

lµ kh¶ vi (tr¬n).

Khi ®ã ta nãi r»ng tËp b¶n ®å lËp thµnh mét tËp b¶n ®å kh¶ vi(tr¬n). Hai tËp b¶n ®å tr¬n ®îc coi lµ t¬ng ®¬ng nhau nÕu hîpcña chóng l¹i lµ mét tËp b¶n ®å tr¬n. Mét líp t¬ng ®¬ng cña méttËp b¶n ®å tr¬n ®îc gäi lµ mét cÊu tróc tr¬n. Mét kh«ng giant«p« M cïng víi mét cÊu tróc tr¬n ®îc gäi lµ mét ®a t¹p kh¶ vi(tr¬n).

NhËn xÐt 3.1.2 Kh¸i niÖm vÒ cÊu tróc tr¬n cho ta mét ®Þnh nghÜarÊt cÊu tróc cho kh¸i niÖm ®a t¹p. RÊt tiÕc lµ kh¸i niÖm ®· ®a ®Õnnh÷ng ®iÒu kÞch tÝnh kh«ng ngê tíi.

Theorem 3.1.3 (LuËn ¸n TiÕn sÜ cña J. Milnor) 1 Trªn mÆt cÇuS7 cã ®óng 28 cÊu tróc tr¬n kh«ng t¬ng ®¬ng nhau.

KÞch tÝnh h¬n n÷a ta cã thÓ kÓ tíi mét ®Þnh lÝ ph©n lo¹i cÊu tróctr¬n trªn R4. 2

Theorem 3.1.4 Trªn Rn, n 6= 4 chØ cã duy nhÊt mét cÊu tróc tr¬nth«ng thêng. Trªn R4 cã continuum çc cÊu tróc tr¬n kh«ng t¬ng®¬ng vi ph«i víi nhau.

1J. Milnor lµ mét nhµ ®¹i sè rÊt lín. Tuy nhiªn «ng ta ®· b¾t ®Çu sù nghiÖp b»ng luËn ¸n tuyÖtvêi vÒ t«p« häc. KÕt qña nµy thêng ®îc nh¾c tíi nh mét k× quan chiªm nghiÖm to¸n häc2Mét trong nh÷ng ngêi cã ®ãng gãp ®¸ng kÓ vµ s¸ng gi¸ nhÊt lµ Donaldson, lµm ®îc trongthêi gian lµm nghiªn cøu sinh ë Oxford. Anh ta ®· ®îc gi¶i thëng Fields nhê kÕt qu¶ nµþ


Lý do v× ®©u cã hiÖn tîng l¹ k× ®ã? To¸n häc cha cã c©u tr¶ lêithËt x¸c ®¸ng!

3.2 ¸nh x¹ tr¬n gi÷a çc ®a t¹p

§Þnh nghÜa 3.2.1 Gi¶ sö ta cã mét ¸nh x¹ f : M → N gi÷a hai ®at¹p kh¶ vi (M, (Uα, ϕα)α∈I) vµ (N, (Vβ, ψβ)β∈J). Ta nãi r»ng¸nh x¹ lµ kh¶ vi (tr¬n), nÕu víi mäi α ∈ I vµ β ∈ J , ψ−1

β f ϕαlµ çc ¸nh x¹ tr¬n.

NhËn xÐt 3.2.2 Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta thÊy, mét ¸nh x¹ lµ tr¬n khivµ chØ khi çc hµm ®æi täa ®é ®Þa ph¬ng lµ çc ¸nh x¹ kh¶ vi.

MÖnh ®Ò 3.2.3 Mçi hÖ to¹ ®é ®i¹ ph¬ng x¸c ®Þnh mét ¸nh x¹ kh¶vi tõ Rn vµo ®a t¹p M .

Chøng minh. Xem ¸nh x¹ täa ®é nh chÝnh mét ¸nh x¹ gi÷a ®a t¹pRn vµ M , khi ®ã mçi hÖ täa ®é ®i¹ ph¬ng ®Òu cã hµm chuyÓn lµ¸nh x¹ tr¬n cho nªn chóng liªn hÖ víi nhau mét çch tr¬n.

§Þnh nghÜa vÐct¬ tiÕp xóc víi ®a t¹p t¹i x ∈ M lµ çc vÐct¬∂∂xi := (ϕα)∗ei, trong ®ã

ei =

0...10. . .

Gi¶ sö ϕ : X → Y lµ mét ¸nh x¹ tr¬n gi÷a hai ®a t¹p, x ∈

X, y = ϕ(x) ∈ Y . NÕu x(t) lµ mét ®êng cong trong X ®i qua

52 §ç Ngäc DiÖp

®iÓm x, x(0) = x th× ϕ(x(t)) lµ ®êng cong trong Y , ®i qua y. Do®ã cã vÐct¬ tiÕp xóc

Txϕ(ξ) :=d

dt|t=0ϕ(x(t))

. T¬ng øng nµy x¸c ®Þnh mét ®¹o ¸nh

Dϕ = Tx(ϕ) : TxX → TyY.

§¹o ¸nh lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, do vËy ¸nh x¹ ®èi ngÉuT ∗x (ϕ) : T ∗y Y → T ∗xX

còng lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.Theorem 3.2.4 (Vi ph«i ®Þa ph¬ng) Çc mÖnh ®Ò sau ®©y lµ t¬ng®¬ng nhau:

1. ¸nh x¹ ϕ : X → Y lµ mét vi ph«i ®Þa ph¬ng (tøc lµ mét viph«i trong mét l©n cËn më, dï lµ ®ñ bÐ.)

2. §¹o ¸nh Tx(ϕ) : Tx → TyY lµ mét ®¼ng cÊu.

3. ¸nh x¹ ®èi ngÉu T ∗x (ϕ) : T ∗y Y → T ∗xX lµ mét ®¼ng cÊu.

Chøng minh. §Þnh lÝ ¸nh x¹ ngîc.

3.3 Ph©n thí tiÕp xóc, ®èi tiÕp xóc

3.3.1 Kh«ng gian tiÕp xóc. Ph©n thí tiÕp xóc

Trong l©n cËn to¹ ®é cña mçi ®iÓm x ∈ X trªn ®a t¹p X , mäi kh«nggian tiÕp xóc TxX lµ ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh víi nhau. Bëi thÕ nªn tacã thÓ x©y dùng mét ®ång ph«i tù nhiªn

(ϕ, Jac(ϕ)) : W ×Rn → ∪x∈UTxU

nh lµ çc tËp më trong R2n.


MÖnh ®Ò 3.3.1 Kh«ng gian

TX :=⋃x∈X

TxX

cã cÊu tróc cña mét ®a t¹p tr¬n.

Chøng minh. Gi¶ sö (Uα, ϕα)α∈I lµ tËp b¶n ®å ®Þa ph¬ng, x¸c®Þnh cÊu tróc ®a t¹p. Khi ta thay ®æi to¹ ®é ®i¹ ph¬ng tõ b¶n ®å(Uα, ϕα) sang b¶n ®å (Uβ, ϕβ), trªn miÒn giao Uα ∩ Uβ ta cã phÐpbiÕn ®æi to¹ ®é tr¬n gi÷a çc to¹ ®é theo c«ng thøc ®¹o ¸nh cña ¸nhx¹ hîp: (x, ξ(x)) 7→ (y, η(y)), víi y = ϕ−1

β ϕα(x) vµ

η(y(x)) = Jacx(ϕ−1β ϕα)(x)ξ(x).

NhËn xÐt 3.3.2 PhÐp chiÕu tù nhiªn tõ TX lªn X cho t¬ng øngmçi vÐct¬ tiÕp xóc víi ®iÓm gèc cña nã cho ta mét ¸nh x¹ tr¬n gi÷açc ®a t¹p p : TX → X

§Þnh nghÜa 3.3.3 Bé ba (TX, p,X) ®îc gäi lµ ph©n thí tiÕp xócvíi ®a t¹p X . Mçi ¸nh x¹ tr¬n s : X → TX cho t¬ng øng víi mçi®iÓm x ∈ X mét vÐct¬ tiÕp xóc ξ(x) ∈ TxX , tøc lµ p s = IdX®îc gäi lµ mét trêng vÐct¬ tr¬n trªn ®a t¹p X .

VÝ dô. Gi¶ sö ®iÓm x cã to¹ ®é ®i¹ ph¬ng lµ (x1, . . . , xn) Ta kÝhiÖu ∂

∂xi lµ ¶nh cu¶ vÐct¬ ei = (0, . . . , 1︸︷︷︸ith

, . . . , 0).

Chóng ta cã quy t¾c ®æi biÕn theo ®¹o hµm cu¶ hµm hîp:∂

∂xi=∂yj

∂xi∂

∂yj.

54 §ç Ngäc DiÖp

NhËn xÐt 3.3.4 T¹i mçi ®iÓm cu¶ ®a t¹p, çc trêng vÐct¬ ∂∂xi lµ

¶nh ®¼ng cÊu cu¶ c¬ së trùc chuÈn ei, i = 1, n. Bëi vËy chóng ®éclËp tuyÕn tÝnh. Mét vÐct¬ tiÕp xóc bÊt k× ®îc ph©n tÝch thµnh tæhîp tuyÕn tÝnh theo chóng. Chóng ta cã d¹ng tæng qu¸t cña méttrêng vÐct¬ viÕt trong to¹ ®é ®i¹ ph¬ng lµ

ξ(x) =n∑i=1

ξi(x)∂

∂xi.

Chóng ta kÝ hiÖu kh«ng gian vÐt¬ çc trêng vÐct¬ tr¬n trªn ®a t¹pX lµ V ect(X).

3.3.2 Kh«ng gian ®èi tiÕp xóc. Ph©n thí ®èi tiÕp xóc

§Þnh nghÜa 3.3.5 Gi¶ sö X lµ mét ®a t¹p tr¬n, x ∈ X lµ mét ®iÓmtuú ý, TxX lµ kh«ng gian tiÕp xóc víi ®a t¹p t¹i ®iÓm x. Chóng takÝ hiÖu T ∗xX = HomR(TxX,R) lµ kh«ng gian ®èi ngÉu víi kh«nggian vÐct¬ TxX vµ gäi lµ kh«ng gian ®èi tiÕp xóc .

NhËn xÐt 3.3.6 Kh¸i niÖm kh«ng gian tiÕp xóc kh«ng phô thuéc vµoviÖc chän hÖ to¹ ®é di¹ ph¬ng, tøc lµ mét kh¸i niÖm h×nh häc. DovËy kh«ng gian ®èi tiÕp xóc còng lµ mét kh¸i niÖm h×nh häc.

NhËn xÐt 3.3.7 Trong mét l©n cËn to¹ ®é ®i¹ ph¬ng cña mçi ®iÓmx trªn ®a t¹p, çc kh«ng gian ®èi tiÕp xóc lµ ®¼ng cÊu víi nhau vµ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh víi kh«ng gian Euclide n-chiÒu Rn.

Bëi thÕ nªn chóng ta cã ®ång ph«i

(ϕ, Jacx(ϕ−1)∗) : W ×Rn

≈−−→⋃x∈U T

∗xU

nh lµ çc tËp më vi ph«i trong R2n.


MÖnh ®Ò 3.3.8 Kh«ng gian

T ∗X =⋃x∈X

T ∗xX

cã cÊu tróc ®a t¹p tr¬n.

Chøng minh. Gi¶ sö (Uα, ϕα)α∈I lµ tËp b¶n ®å ®i¹ ph¬ng, x¸c®Þnh cÊu tróc ®a t¹p. Khi ta thay ®æi hÖ to¹ ®é ®i¹ ph¬ng tõ b¶n ®å(Uα, ϕα) sang b¶n ®å (Uβ, ϕβ), th× trªn phÇn giao cña chóng, ta cãphÐp biÕn ®æi tr¬n gi÷a çc to¹ ®é theo c«ng thøc vi ph©n cña hµmhîp.

NhËn xÐt 3.3.9 PhÐp chiÕu tù nhiªn tõ T ∗X lªn X cho t¬ng øngmçi vÐct¬ ®èi tiÕp xóc víi ®iÓm gèc cña nã cho ta mét ¸nh x¹ tr¬ngi÷a çc ®a t¹p p : T ∗X → X

§Þnh nghÜa 3.3.10 Bé ba (T ∗X, p,X) ®îc gäi lµ ph©n thí ®èitiÕp xóc víi ®a t¹p X . Mçi ¸nh x¹ tr¬n ω : X → T ∗X cho t¬ngøng víi mçi ®iÓm x ∈ X mét vÐct¬ ®èi tiÕp xóc ξ(x) ∈ TxX , tøc lµp s = IdX ®îc gäi lµ mét 1-d¹ng vi ph©n tr¬n trªn ®a t¹p X .

VÝ dô. Gi¶ sö ®iÓm x cã to¹ ®é ®i¹ ph¬ng lµ (x1, . . . , xn) Ta kÝhiÖu dxi lµ c¬ së trong T ∗xX , ®èi ngÉu cña c¬ së ∂

∂xi trong TxX .Chóng ta cã quy t¾c ®æi biÕn theo vi ph©n cu¶ hµm hîp:

dyj =∂yj

∂xidx

3.4 §a t¹p con. §a t¹p th¬ng.

3.4.1 §iÒu kiÖn d×m vµ ®iÒu kiÖn ngËp

Theorem 3.4.1 (§iÒu kiÖn d×m) Gi¶ sö ϕ : X → Y lµ mét ¸nh x¹tr¬n gi÷a hai ®a t¹p, khi ®ã çc ®iÒu kiÖn sau lµ t¬ng ®¬ng nhau:

56 §ç Ngäc DiÖp

1. Tx(ϕ) : TxX → TyY lµ mét d¬n cÊu.

2. Tån t¹i mét l©n cËn më U chøa x trong X , mét l©n cËn më Vchøa y trong Y , vµ mét l©n cËn më W chøa 0 trong Rn−m vµmét vi ph«i ψ : V → U ×W sao cho

(a) ϕ(U) ⊂ V ,(b) S¬ ®å sau ®©y lµ giao ho¸n

Uϕ−−→ Vy y

U ×W U ×W

3. Tån t¹i b¶n ®å ®Þa ph¬ng U víi to¹ ®é x1, . . . , xn trong l©ncËn ®iÓm x vµ to¹ ®é ®Þa ph¬ng y1, . . . , ym trong l©n cËn®iÓm y = ϕ(x) sao cho

yi ϕ = xi,∀i = 1,m,

yi ϕ = 0,∀i = m+ 1, n.

4. Tån t¹i l©n cËn më U cña ®iÓm x vµ l©n cËn V cña ®iÓm y, vµmét ¸nh x¹ tr¬n σ : V → U sao cho ϕ(U) = V, σ ϕ = IdU ..

Chøng minh. Chóng ta chøng minh ®Þnh lÝ theo s¬ ®å sau:(1) =⇒ (2) =⇒ (3) =⇒ (4) =⇒ (1).

Çc mÖnh ®Ò (2) =⇒ (3) =⇒ (4) =⇒ (1) lµ hiÓn nhiªn. B©y giê tachøng minh (1) =⇒ (2). Ta ®Þnh nghÜa ϕ′ : X×W → Y ∩V → Rn

theo c«ng thøc ϕ′(x,w = ϕ(x) + w, trong ®ã V lµ mét l©n cËn më®ñ nhá trong Y , W = Rn−m, T(x,w)ϕ

′ = Txϕ× Id lµ ®¬n cÊu theo(1), nªn ϕ′ lµ vi ph«i ®Þa ph¬ng. VËy ψ = ϕ′−1 chÝnh lµ ¸nh x¹cÇn t×m.


§Þnh nghÜa 3.4.2 ¸nh x¹ tho¶ m·n mét trong çc ®iÒu kiÖn t¬ng®¬ng trªn ®îc gäi lµ ¸nh x¹ chÝnh qui .

§Þnh nghÜa 3.4.3 §a t¹p X ⊆ Y ®îc gäi lµ ®a t¹p con trong Y ,nÕu phÐp nhóng tù nhiªn X → Y lµ ¸nh x¹ chÝnh quy gi÷a hai ®at¹p.

NhËn xÐt 3.4.4 §a t¹p con X trong Y lu«n lµ ®ãng ®Þa ph¬ngtrong Y .

Theorem 3.4.5 (§iÒu kiÖn ngËp) Gi¶ sö ϕ : X → Y lµ mét ¸nhx¹ tr¬n gi÷a hai ®a t¹p, khi ®ã çc ®iÒu kiÖn sau lµ t¬ng ®¬ngnhau:

1. Tx(ϕ) : TxX → TyY lµ mét toµn cÊu.

2. Tån t¹i mét l©n cËn më U chøa x trong X , mét l©n cËn më Vchøa y trong Y , vµ mét l©n cËn më W chøa 0 trong Rm−n vµmét vi ph«i ψ : V → U ×W sao cho

(a) ϕ(V ) ⊃ U ,

(b) S¬ ®å sau ®©y lµ giao ho¸n

Vϕ−−→ U

ψy x

U ×W U ×W

3. Tån t¹i b¶n ®å ®Þa ph¬ng U víi to¹ ®é x1, . . . , xn trong l©ncËn ®iÓm x vµ to¹ ®é ®Þa ph¬ng y1, . . . , ym trong l©n cËn®iÓm y = ϕ(x) sao cho

yi ϕ = xi,∀i = 1, n.

58 §ç Ngäc DiÖp

4. Tån t¹i l©n cËn më U cña ®iÓm x vµ l©n cËn V cña ®iÓm y, vµmét ¸nh x¹ tr¬n σ : V → U sao cho ϕ(U) = V, ϕ σ = IdV ..

§Þnh nghÜa 3.4.6 ¸nh x¹ tho¶ m·n mét trong çc ®iÒu kiÖn t¬ng®¬ng trªn ®îc gäi lµ ¸nh x¹ ®èi chÝnh qui hay phÐp ngËp .

§Þnh nghÜa 3.4.7 §a t¹p Y ⊇ X ®îc gäi lµ ®a t¹p th¬ng cña®a t¹p X , nÕu phÐp chiÕu tù nhiªn X Y lµ ¸nh x¹ ®èi chÝnh quygi÷a hai ®a t¹p.

3.4.2 CÊu tróc vi ph©n c¶m sinh

Theorem 3.4.8 Gi¶ sö X lµ mét kh«ng gian t«p«, Y lµ mét ®a t¹ptr¬n, f : X → Y lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc. Khi ®ã hai mÖnh ®Ò sau lµtu¬ng ®¬ng:

1. Trªn X cã thÓ x©y dùng mét cÊu tróc vi ph©n (duy nhÊt) ®Ó f

lµ mét ¸nh x¹ chÝnh quþ

2. Víi mä x ∈ X tån t¹i l©n cËn më U ⊆ Rm, ϕ(U) ⊆ X , tånt¹i tËp më V trong Rn vµ b¶n ®å ψ : V→ Y trong Y sao cho:

(a) fϕ(U)ψ(V ),(b) ψ−1fϕ(U)) = Rm ∩ U

Chøng minh. (1) =⇒ (2) lµ hiÓn nhiªn theo ®Þnh nghÜa ¸nh x¹chÝnh quy.

(2) =⇒ (1): Chän mét phñ më ϕα(Uα) cña X sao cho víimäi α, tån t¹i mét b¶n ®å ψα : Rn → Vα ⊆ Y sao cho(a) f(Uα) ⊆ Vα, f : Uα → f(Uα) lµ ®ång ph«i,(b) ψ−1f(Uα) = Rm ∩ Vα.


NhËn xÐt 3.4.9 CÊu tróc vi ph©n c¶m sinh trªn X ®Ó f trë thµnh¸nh x¹ chÝnh quy, nÕu nã tån t¹i, lµ duy nhÊt.

3.4.3 §Þnh lÝ Godeman

Gi¶ sö X lµ mét ®a t¹p tr¬n, R ⊆ X × X lµ mét quan hÖ t¬ng®¬ng. KÝ hiÖu X/R lµ tËp çc líp t¬ng ®¬ng theo quan hÖ R vµkÝ hiÖu p : X X/R lµ phÐp chiÕu tù nhiªn. Trang bÞ cho X/R

t«p« th¬ng nh sau:U ⊆ X/R lµ më khi vµ chØ khi p−1(U) lµ më trong X

NhËn xÐt 3.4.10 NÕu trªn X cã cÊu tróc ®a t¹p ®Ó phÐp chiÕu p :X → X/R lµ ®èi chÝnh quy th× cÊu tróc ®ã lµ duy nhÊt.

§Þnh nghÜa 3.4.11 CÊu tróc ®a t¹p tr¬n trªn X/R ®Ó phÐp chiÕup : X → X/R lµ ®èi chÝnh quy ®îc gäi lµ cÊu tróc ®a t¹p th¬ngcña X theo quan hÖ R.

Sù tån t¹i cÊu tróc ®a t¹p th¬ng nh vËy dùa trªn ®Þnh lÝ sau ®©y.Theorem 3.4.12 (§Þnh lÝ Godeman vÒ ®a t¹p th¬ng) X/R lµ ®at¹p tr¬n khi vµ chØ khi R ⊆ X×X lµ mét ®a t¹p con vµ phÐp chiÕulªn thµnh phÇn thø hai pr2 : R→ X lµ ®èi chÝnh quy.

Chóng ta bá qua chøng minh ®Þnh lÝ nµy.

3.4.4 VÝ dô

1. §å thÞ cña hµm y = sin( 1x), 0 < x < 1 lµ ®a t¹p con trong R2

nhng hîp cña nã víi ®o¹n giíi h¹n I = (0, y);−1 ≤ y ≤ 1kh«ng lµ ®a t¹p con.

60 §ç Ngäc DiÖp

2. Trong mÆt ph¼ng E2 ≈ R2 xÐt ®êng th¼ng qua gèc to¹ ®é,nghiªng víi trôc hoµnh mét gãc v« tØ α ∈ R \Q. ¶nh cña nã trongxuyÕn T2 = R/Z lµ mét ®êng cong trï mËt trªn xuyÕn vµ kh«ngthÓ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chÝnh qui.

3. MÆt cÇu

Sn = (x0, x1, . . . , xn);xi ∈ R,n∑i=0

(xi)2 = 1

cã thÓ xem lµ kh«ng gian th¬ng cña nhãm çc ma tr©n trùc giaoSO(n + 1,R) theo nhãm con gåm çc ma tr©n trùc giao b¶o toµnmét ®iÓm trªn mÆt cÇu, ®¼ng cÊu víi SO(n,R). Nhãm SO(n,R)cho ta mét quan hÖ t¬ng ®¬ng ®ãng øng víi t«p« mÆt cÇu. Chonªn mÆt cÇu trë thµnh mét ®a t¹p, nh ®· biÕt.

3.5 T«p« çc ®a t¹p

Mét trong nh÷ng bµi to¸n thó vÞ lµ bµi to¸n ph©n lo¹i ®a t¹p.Çc kÕt qu¶ ®Ñp ®Ï sau ®©y ®· thu ®îc:

Theorem 3.5.1 Mçi ®a t¹p 1-chiÒu liªn th«ng comp¾c ®Òu vi ph«ivíi [0, 1] ⊂ R1, hoÆc vßng trßn S1. Çc ®a t¹p kh«ng comp¾c thu®îc tõ chóng b»ng çch vøt bá mét sè ®iÓm.

Theorem 3.5.2 Mçi ®a t¹p 2-chiÒu comp¾c kh«ng biªn liªn th«ng®Òu vi ph«i víi mét trong çc mÆt thu ®¬c b»ng çch g¾n k mÆttrô, xo¾n mçi mÆt mét sè vßng vµ g¾n l l¸ Mobius , vµo mÆt cÇu S2

®îc khoÐt ®i 2k + l lç thñng. Çc ®a t¹p kh«ng comp¾c thu ®îctõ ®ã b»ng çch bá ®i mét sè ®iÓm.

Mét vÊn ®Ò cña to¸n häc ®¬ng thêi : Cã hay kh«ng mét çch lµmt¬ng tù cho çc ®a t¹p 3-chiÒñ B»ng çch lµm t¬ng t nh trªn


víi h×nh cÇu vµ h×nh trô, ngêi ta còng thu ®îc ®ñ nhiÒu ®a t¹p 3chiÒô Nhng rÊt tiÕc lµ lý thuyÕt t«p« çc ®a t¹p 3-chiÒu chØ ra lµlý thuyÕt cßn xa míi tíi mét ph©n lo¹i t¬ng tù nh trªn.


1. H·y viÕt tªn cña m×nh b»ng çc ch÷ çi IN HOA KHONG

CHAN kh«ng dÊu. Cã nh÷ng ch÷ çi nµo lµ ®a t¹p, ®a t¹p®ãng, ®a t¹p cã biªn.

2. MÆt nãn C :∑q

i=1(xi)2 −

∑qj=1(y

j)2 = 0 trong Rp+q kh«nglµ ®a t¹p con. V× saá

3. H×nh hép ®ãng kh«ng lµ ®a t¹p con trong Rn. Chøng minh.4. TÝch Tchikhonov cña çc ®a t¹p tr¬n, nãi chung kh«ng lµ ®a

t¹p tr¬n. Chøng minh.5. Kh«ng gian (x1, . . . , xn);xi ∈ R, xi 6= xj ;∀i 6= j lµ mét ®a

t¹p t×m sè chiÒô T×m kh«ng gian tiÕp xóc víi nã t¹i mét ®iÓm.6. T×m kh«ng gian tiÕp xóc víi mÆt cÇu t¹i mét ®iÓm vµ kh«ng

gian tiÕp xóc víi l¸ Mobius t¹i mét ®iÓm.7. Chøng minh r»ng mÆt trô

n−1∑i=1

(xi)2 = 1

trong Rn lµ mét ®a t¹p. H·y t×m ph©n thí tiÕp xóc.

62 §ç Ngäc DiÖp

Ch¬ng 4

D¹ng vi ph©n. §Þnh lÝ Stokes

Trong ch¬ng nµy chóng ta nghiªn cøu mét vµi vÊn ®Ò cña gi¶i tÝchtrªn ®a t¹p trong mét b¶n ®å to¹ ®é ®Þa ph¬ng. §iÒu ®ã còng hoµntoµn t¬ng ®¬ng víi viÖc nghiªn cøu phÐp tÝnh vi ph©n trong Rn.

4.1 Trêng vÐct¬. D¹ng vi ph©n. TÝch ngoµi

Gi¶ sö x lµ mét ®iÓm trªn ®a t¹p. Ta chän mét b¶n ®å to¹ ®é ®Þaph¬ng vµ cã thÓ ®ång nhÊt l©n cËn ®ã víi chÝnh Rn. Chóng ta nh¾cl¹i r»ng çc ®¹o hµm riªng

∂

∂xi|x : f ∈ C∞(M) 7→ ∂f(x)

∂xi

lËp thµnh c¬ së tuyÕn tÝnh cña kh«ng gian vÐct¬ tiÕp xóc Tx(M) ∼=Rn. Trong hÖ to¹ ®é cè ®Þnh, viÖc ®ång nhÊt çc kh«ng gian vÐct¬ë çc ®iÓm kh¸c nhau cho ta mét liªn th«ng afin , tøc lµ mét häçc phÐp ®¼ng cÊu ia,x : Ta+x(R

n)→ Ta(Rn).

Víi mét phÐp ®ång nhÊt nh vËy ta cã thÓ ®ång nhÊt to¸n tö lÊy®¹o hµm riªng ë çc ®iÓm kh¸c nhau víi nhau vµ cã thÓ xem ∂

∂xi

nh lµ mét ¸nh x¹x ∈ Uα ∼= Rn 7→ ∂

∂xi|x ∈ Tx(Uα) ∼= Tx(R

n).

63

64 §ç Ngäc DiÖp

§Þnh nghÜa 4.1.1 Trêng vÐct¬ lµ mét ¸nh x¹ cho t¬ng øng mçi®iÓm x ∈ Uα víi mét vÐt¬ thuéc Tx(M). Nãi mét çch kh¸c trêngvÐct¬ lµ mét nh¸t c¾t tr¬n cña ph©n thí tiÕp xóc. §«i khi ®Ó chÝnhx¸c ho¸, nÕu çc hµm ξi, i = 1, n lµ kh¶ vi liªn tôc (tr¬n) cÊp Ck

th× ta còng nãi lµ trêng vÐct¬ ξ lµ tr¬n líp Ck. KÝ hiÖu kh«ng gianvÐct¬ (v« h¹n chiÒu) sinh bëi çc trêng vÐct¬ lµ V ect(M).

Tõ ®Þnh nghÜa nµy chóng ta suy ra r»ng çc ®¹o hµm riªng lËpthµnh çc trêng vÐct¬ ®Æc biÖt mµ t¹i mçi ®iÓm chóng cho ta métc¬ së cña kh«ng gian tiÕp xóc Tx(M) ∼= Tx(Uα). Bëi thÕ nªn nÕu ξlµ mét trêng vÐct¬ bÊt k×, t¹i mçi ®iÓm ta cã thÓ viÕt nã thµnh tæhîp tuyÕn tÝnh víi hÖ sè hµm

ξ(x) ==n∑i=1

ξi(x)∂

∂xi.

Nãi chung h×nh häc vi ph©n chØ quan t©m ®Õn trêng hîp ®iÓnh×nh lµ çc trêng vÐct¬ tr¬n ®Õn cÊp cÇn thiÕt cho nªn chóng ta sÏthêng chØ nãi tíi çc trêng vÐct¬ hay ¸nh x¹ tr¬n mµ Ýt khi quant©m lµ nã tr¬n ®Õn cÊp nµo.

4.2 Vi ph©n ngoµi cña d¹ng vi ph©n

Chóng ta còng kÝ hiÖu T ∗x (Uα) = T ∗x (Rn) = (Rn)∗ = Rn lµ kh«nggian ®èi ngÉu cña Tx(Uα) = Tx(R

n) ∼= Rn. C¬ së ®èi ngÉu víi c¬së ∂

∂xi , i = 1, n lµ c¬ së çc 1-d¹ng vi ph©n dxi, i = 1, n t¹i ®iÓmx. PhÐp trît vÐct¬ cè ®Þnh ë trªn còng sinh ra çc ®¼ng cÊu, ®ångnhÊt çc kh«ng gian ®èi ngÉu

i∗x,a : T ∗x (Rn) ∼= T ∗a (Rn).

Còng nh çc trêng vÐct¬, chóng ta xem çc vi ph©n dxi nh ççnh x¹ x¸c ®Þnh t¹i çc ®iÓm kh¸c nhau.


§Þnh nghÜa 4.2.1 D¹ng vi ph©n cÊp 1 lµ ¸nh x¹ cho t¬ng øng víimçi ®iÓm mét vÐct¬ ®èi tiÕp xóc thuéc T ∗x (Uα) ∼= T ∗x (Rn).

Tõ ®ã suy ra lµ çc d¹ng vi ph©n cÊp 1 còng lu«n lu«n ph©n tÝch®îc thµnh tæ hîp tuyÕn tÝnh hÖ sè hµm t¹i tõng ®iÓm

ω =n∑i=1

ωi(x)dxi.

§Þnh nghÜa 4.2.2 NÕu çc hµm hÖ sè ωi, i = 1, n lµ çc hµm tr¬ncÊp k th× chóng ta còng nãi lµ d¹ng vi ph©n tr¬n cÊp k. Chóng takÝ hiÖu kh«ng gian çc d¹ng vi ph©n lµ Ω1(Uα) = Ω1(Rn).

4.2.1 D¹ng vi ph©n bËc cao

Tríc hÕt chóng ta nh¾c l¹i çc kh¸i niÖm tÝch tens¬, tÝch ngoµÞ tÝch®èi xøng. Gi¶ sö V vµW lµ hai kh«ng gian vÐct¬. XÐt tÝch trùc tiÕpcña chóng VW . TÝch tens¬ V ⊗W ®îc ®Þnh nghÜa nh lµ kh«nggian th¬ng theo çc quan hÖ t¬ng ®¬ng sau:1. TÝnh thuÇn nhÊt:

(λv, w) ∼ (v, λw),∀λ ∈ R, v ∈ V,W ∈ W.

2. TÝnh céng tÝnh:(v1 + v2, w) ∼ (v1, w) + (v2, w),∀v1, v2 ∈ V,w ∈ W,

(v, w1 + w2) ∼ (v, w1) + (v, w2),∀v ∈ V,w1, w2 ∈ W.

Chóng ta còng nh¾c l¹i kh¸i niÖm tÝch ngoµi vµ tÝch ®èi xøng.Gi¶ sö Sk lµ nhãm ®èi xøng gåm çc phÐp ho¸n vÞ cña k phÇn tö1, . . . , k. Mçi phÇn tö cña Sk lµ mét song ¸nh

σ : 1, . . . , k → 1, . . . , .

66 §ç Ngäc DiÖp

Gi¶ sö v1, . . . , vk lµ çc vÐct¬ cña V . TÝch ngoµi cña chóng ®îccho bëi c«ng thøc

v1 ∧ . . . ∧ vk :=1

k!

∑σ∈Sk

sign(σ)vσ(1) ⊗ . . .⊗ vσ(k),

trong ®ã sgn(σ) = ±1 lµ hµm dÊu cña phÐp ho¸n vÞ. KÝ hiÖu ∧k(V )lµ kh«ng gian sinh bëi çc k-tÝch ngoµi cña çc vÐct¬ trong V vµgäi nã lµ tÝch ngoµi bËc k cña V .

NhËn xÐt r»ngdimV ⊗

k

= (dimV )k

dim∧k(V ) =

(n

k

)=

n!

k!(n− k)!,

trong ®ã n = dimV .B©y giê chóng ta ¸p dông cho çc kh«ng gian tiÕp xóc Tx(Uα) =

Tx(Rn) vµ kh«ng gian ®èi tiÕp xóc T ∗x (Uα) = T ∗x (Rn).

§Þnh nghÜa 4.2.3 TÝch tens¬

(Tx(Rn))⊗

k

= Tx(Rn)⊗ . . .⊗ Tx(Rn)︸︷︷︸

k lÇn

= (Rn)⊗k

= Rn ⊗ . . .⊗Rn︸︷︷︸k lÇn

gäi lµ kh«ng gian çc k-vÐct¬ tiÕp xóc t¹i x. Mét trêng k-vÐct¬cã d¹ng

kξ(x) =∑i1,...,ik

ξi1,...,ik(x)∂

∂xi1⊗ . . .⊗ ∂

∂xik,

víi hÖ sè lµ çc hµm phô thuéc x NÕu çc hÖ sè lµ çc hµm tr¬n,chóng ta nãi r»ng k-trêng vÐct¬ lµ tr¬n .

§Þnh nghÜa 4.2.4 TÝch tens¬

(T ∗x (Rn))⊗k

= T ∗x (Rn)⊗ . . .⊗ T ∗x (Rn)︸︷︷︸k lÇn

= (Rn)⊗k = Rn ⊗ . . .⊗Rn︸︷︷︸

k lÇn


gäi lµ kh«ng gian çc k-vÐct¬ ®èi tiÕp xóc t¹i x. Mét trêng k-®èivÐct¬ cã d¹ng

ω(x) =∑i1,...,ik

ωi1,...,ik(x)dxi1 ⊗ . . .⊗ dxik,

víi hÖ sè lµ çc hµm phô thuéc x NÕu çc hÖ sè lµ çc hµm tr¬n,chóng ta nãi r»ng trêng k-®èi vÐct¬ lµ tr¬n .

§Þnh nghÜa 4.2.5 TÝch ngoµi

∧k(T ∗x (Rn)) = T ∗x (Rn) ∧ . . . ∧ T ∗x (Rn)︸︷︷︸k lÇn

= (Rn)⊗k = Rn ∧ . . . ∧Rn︸︷︷︸

k lÇn

gäi lµ kh«ng gian çc k-d¹ng vi ph©n (ph¶n xøng) t¹i x. Métk-d¹ng vi ph©n (ph¶n xøng) cã d¹ng

ω(x) =∑i1,...,ik

ωi1,...,ik(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik,

víi hÖ sè lµ çc hµm phô thuéc x. NÕu çc hÖ sè lµ çc hµm tr¬n,chóng ta nãi r»ng k-d¹ng vi ph©n (ph¶n xøng) lµ tr¬n . §Ó chotiÖn khi nãi tíi çc k-d¹ng vi ph©n chóng ta ngÇm hiÓu lµ d¹ng viph©n ph¶n xøng. Tr¸i l¹i nªu thay çc tÝch ngoµi bëi tÝch tens¬ ®èixøng, chóng ta cã d¹ng vi ph©n ®èi xøng . Khi ®ã chóng ta sÏ nãirâ lµ d¹ng vi ph©n ®èi xøng. Chóng ta kÝ hiÖu Ωk(M) lµ kh«ng giançc k-d¹ng vi ph©n.

4.2.2 §æi biÕn trong çc k-trêng vÐct¬ vµ k-d¹ng vi ph©n

Tõ c«ng thøc ®¹o hµm cña hµm hîp chóng ta cã c«ng thøc ®æi biÕnnh saô NÕu ϕ : A ⊆ Rn → Rn lµ mét vi ph«i, x¸c ®Þnh phÐp ®æibiÕn y = ϕ(x). Chóng ta kÝ hiÖu ®¹o ¸nh lµ ϕ∗ = Dϕ = Jac(ϕ) vµ

68 §ç Ngäc DiÖp

¸nh x¹ ®èi ngÉu lµ ϕ∗. Chóng ta cã c«ng thøc ®æi biÕn∂

∂xi=∂yj

∂xi∂

∂yj,

dxj =∂xi

∂yjdyj =

∑j

(∂yj

∂xi

)−1

dyj.

MÖnh ®Ò 4.2.6 Chóng ta cã c«ng thøc ®æi biÕn:

ϕ∗kξ(x) =

∑i1,...,ik

kξi1,...,ik(y(x))∂xi1

∂yj1∂

∂xi1⊗ . . .⊗ ∂xik

∂yjk∂

∂xik,

ϕ∗ω(x) =∑i1,...,ik

ωj1,...,jk(y(x))∂yj1

∂xi1dxi1 ∧ . . . ∧ ∂y

jk

∂xikdxik.

NhËn xÐt r»ng(∂xik∂yjl

)chÝnh lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn

Jacobi(∂yil

∂xik

).

NhËn xÐt 4.2.7 Trong gi¶i tÝch tens¬ cæ ®iÓn, ngêi ta ®Þnh nghÜak-trêng vÐct¬ nh lµ mét k-tens¬ thËn biÕn , tøc lµ nh÷ng bé hµm®a chØ sè ξi1,...,ik biÕn ®æi theo quy t¾c

kξji,...,jk(y(x)) = kξi1,...,ik(y(x))∂yj1

∂xi1. . .

∂yjk

∂xik,

trong ®ã dÊu tæng theo ®a chØ sè i1, . . . , ik kh«ng ®îc viÕt râ ra.T¬ng tù, ngêi ta ®Þnh nghÜa mét k-d¹ng vi ph©n lµ mét k-tens¬ph¶n biÕn, tøc lµ nh÷ng bé hµm ®a chØ sè ωj1,...,jk biÕn ®æi theo quyt¾c

ωji,...,jk(y(x)) = ωi1,...,ik(y(x))∂xi1

∂yj1. . .

∂xik

∂yjk.


4.3 Vi ph©n ngoµi cña d¹ng vi ph©n

Tríc hÕt chóng ta nh¾c l¹i r»ng Ωk(Rn) kÝ hiÖu kh«ng gian vÐct¬tÊt c¶ çc k-d¹ng vi ph©n tr¬n líp ®ñ lín nµo ®ã, gäi chóng lµ k-d¹ng vi ph©n tr¬n. Chóng ta muèn ®Þnh nghÜa ¸nh x¹ tuyÕn tÝnhd : Ωk(Rn)→ Ωk+1(Rn).§Þnh nghÜa 4.3.1 Gi¶ sö k-d¹ng vi ph©n ω cã d¹ng lµ

ω(x) =∑i1,...,ik

(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik.

Chóng ta ®Þnh nghÜa vi ph©n dω lµ (k + 1)-d¹ng vi ph©n cho bëic«ng thøc

dω(x) :=∑i1,...,ik

dωi1,...,ik ∧ di1 ∧ . . . ∧ dxik =

=∑

i,i1,...,ik

∂ωi1,...,ik∂xi

dxi ∧ di1 ∧ . . . ∧ dxik.

NhËn xÐt 4.3.2 Tån t¹i mét song ¸nh

Ωn−1(Rn) 3 ω←→ξ ∈ V ect(Rn)

®îc x¸c ®Þnh bëi hÖ sè

(−1)l+1ξil = ωi1,...,il,...,in.

NhËn xÐt r»ng nÕu ω ∈ Ωn−1(Rn) lµ d¹ng vi ph©n cÊp n− 1 th× viph©n ngoµi cña nã lµ mét d¹ng vi ph©n cÊp n

dω(x) =

(n∑i=1

(−1)i+1∂ω1,2,...,i,...,n

∂xi

)dx1 ∧ . . . ∧ dxn.

BiÓu thøc trong dÊu ngoÆc chÝnh lµ d¹ng nguån (divergence) cñatrêng vÐct¬ ξ t¬ng øng víi ω = ωξ.

70 §ç Ngäc DiÖp

§Þnh nghÜa 4.3.3 D¹ng vi ph©n dω con` ®îc gäi lµ ®¹ng nguån(divergence) cña d¹ng vi ph©n ω ∈ Ωn−1(Rn) vµ ®îc kÝ hiÖu lµ

divωξ = divξdx1 ∧ . . . ∧ dxn.

Trong vËt lÝ vµ c¬ häc nÕu ω ®Æc trng thÕ cña trêng, vÝ dô trêng®iÖn tõ, th× trêng vÐct¬ t¬ng øng víi d¹ng vi ph©n lµ dßng trongtrêng vµ divω lµ nguån cña dßng t¬ng øng.

Tr¸i l¹i nÕu ω ∈ Ω1(Rn) lµ mét d¹ng vi ph©n cÊp 1, chóng ta cã§Þnh nghÜa 4.3.4 NÕu

ω(x) =n∑i=1

ωi(x)dxi,

th× vi ph©n cña nã sÏ gäi lµ d¹ng xo¸y (rotation form) cña nã vµkÝ hiÖu lµ

rotω(x) =∑i<j

(∂ωi∂xj− ∂ωj∂xi

)dxi ∧ dxj.

Trong vËt lÝ vµ c¬ häc nÕu ω lµ thÕ cña mét trêng th× rotω ®îcgäi lµ tens¬ xo¸y (tens¬ ®é cong) cña nã cña trêng. Mét øngdông ®¬n gi¶n lµ trêng ®iÖn tõ víi thÕ ω tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nhMaxwell

rotω∗ = ±rotω,mét trêng hîp riªng cña ph¬ng tr×nh Yang-Mills giao ho¸n øngvíi nhãm gauge U(1).Theorem 4.3.5 To¸n tö vi ph©n ngoµi d : Ωk(Rn)→ Ωk+1(Rn) cãçc tÝnh chÊt sau:

1. TuyÕn tÝnh:

d(λω + µη) = λdω + µdη,∀λ, µ ∈ R,∀ω, η ∈ Ωk(Rn).


2. Quy t¾c Leibniz:

a. d(f.ω) = df ∧ ω + f.dω, ∀f ∈ C∞(Rn),∀ω ∈ Ωk(Rn).

b. d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)kω ∧ dη,∀ω ∈ Ωk(Rn), η ∈Ωl(Rn).

3. TÝnh ®ãngd(dω) ≡ 0,∀ω ∈ Ωk(Rn),

viÕt t¾t lµ d2 = 0.

4. TÝnh bÊt biÕn h×nh häc: NÕu ϕ lµ vi ph«i x¸c ®Þnh phÐp ®æibiÕn y = ϕ(x) th×

ϕ∗(dω) = d(ϕ∗ω).

Chøng minh. Çc tÝnh chÊt trªn ®îc kiÓm tra trùc tiÕp tõ ®ÞnhnghÜ¹ Chóng t«i dµnh cho ngêi ®äc thùc hiÖn viÖc nµy.

NhËn xÐt 4.3.6 TÝnh chÊt bÊt biÕn h×nh häc cña vi ph©n ngoµi chophÐp ta kh¼ng ®Þnh lµ vi ph©n ngoµi lµ mét kh¸i niÖm h×nh häc, v×nã lµ bÊt biÕn qua çc phÐp biÕn ®æi to¹ ®é.

4.4 Bæ ®Ò PoincarÐ

4.4.1 Bæ ®Ò PoincarÐ

§Þnh nghÜa 4.4.1 Mét k-d¹ng vi ph©n ω ®îc gäi lµ ®ãng (t¬ngøng, khíp), nÕu vi ph©n ngoµi dω cña nã triÖt tiªu, dω = 0 (t¬ngøng, nÕu nã lµ vi ph©n ngoµi cña mét k−1-d¹ng vi ph©n α, dα = ω).

HiÓn nhiªn lµ mçi d¹ng khíp ®Òu lµ d¹ng ®ãng v× d2 = 0.Mét vÊn ®Ò thó vÞ lµ, cho tríc mét d¹ng vi ph©n ω, cã thÓ t×m

®îc hay kh«ng mét d¹ng vi ph©n η ®Ó ω = dη, dï ë mét l©n cËnnhá cña ®iÓm ®ang xÐt.

72 §ç Ngäc DiÖp

§Ó thÊy râ, tríc hÕt chóng ta xÐt d¹ng vi ph©n cÊp 1,

ω(x) =n∑i=1

ωi(x)dxi.

Chóng ta muèn t×m d¹ng vi ph©n η trong trêng hîp nµy sÏ lµ méthµm sè η = f sao cho df = ω. Tøc lµ

df(x) =n∑i=1

∂f

∂xidxi = ω =

n∑i=1

ωi(x)dxi.

Chóng ta cã thÓ chän gi¸a trÞ ban ®Çu f(0) = 0.. DÔ thÊy ngay lµ

f(x) =∫ 1

0ddtf(tx)dt

=∫ 1

0

∑ni=1Dif(tx)xidt

=∫ 1

0

∑ni=1 ωi(tx)dt.

§iÒu nµy cã nghÜa lµ theo 1-d¹ng vi ph©n ω chóng ta cã thÓ x©ydùng hµm sè Iω(x),

Iω(x) :=

∫ 1

0

n∑i=1

ωi(tx)xidt.

DÔ thÊy ngay lµ nÕu dω = 0 th× dIω = ω. §Ó cho tÝch ph©n nµy®îc x¸c ®Þnh, chóng ta cÇn gi¶ thiÕt lµ ω ®îc x¸c ®Þnh trªn tËp Acã tÝnh chÊt: nÕu x thuéc A th× toµn bé ®o¹n [0, x] chøa trong A.

§Þnh nghÜa 4.4.2 TËp A ⊂ Rn ®îc gäi lµ tËp h×nh sao ®èi víi®iÓm gèc O nÕu cïng víi mçi ®iÓm x, nã chøa gän c¶ ®o¹n th¼ng[0, x] nèi ®iÓm gèc O víi x.

Bæ ®Ò 4.4.3 (Bæ ®Ò PoincarÐ) Mçi d¹ng vi ph©n ®ãng trªn tËp mëh×nh sao ®èi víi ®iÓm gèc O ∈ A ⊆ Rn ®Òu lµ mét d¹ng khíp.


Chøng minh. Gi¶ sö ω lµ mét k-d¹ng vi ph©n x¸c ®Þnh trªn méttËp më h×nh sao A,

ω(x) =∑

i1<...<ik

ωi1,...,ik(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik.

Chóng ta chän (k − 1)-d¹ng Iω(x) :=∑i1<...<ik

n∑l=1

(∫ 1

0tk−1ωi1,...,ik(tx)dt

)xildxi1 . . . ∧ dxil ∧ . . . ∧ dxil,

trong ®ã dÊu nãn cã nghÜa lµ bá biÓu thøc díi dÊu ®ã ®i. B©y giêchóng ta chi cßn cÇn chøng minh r»ng

ω = Idω + dIω,

b»ng tÝnh to¸n trùc tiÕp. Tríc hÕt, d(Iω) =∑i1<...<ik

n∑l=1

(−1)l−1d

(∫ 1


)xildxi1 . . .∧dxil∧. . .∧dxil+

+∑

i1<...<ik

n∑l=1

(−1)l−1(∫ 1


)dxi1 . . .∧dxil∧. . .∧dxil =

∑i1<...<ik

n∑l=1

(−1)l−1

(∫ 1

0

n∑j=1

tkDjωi1,...,ik(tx)dt

)xildxj∧dxi1 . . .∧dxil∧. . .∧dxil+

+∑

i1<...<ik

n∑l=1

(−1)l−1(∫ 1


)dxi1 . . .∧dxil∧. . .∧dxil.

MÆt kh¸c, theo ®Þnh nghÜa chóng ta cã

dω(x) =∑

i1 < . . . < ik

k∑j=1

Djωi1,...,ik(x)dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik.

74 §ç Ngäc DiÖp

Do vËy nªn Idω(x) =

−∑

i1 < . . . < ik

k∑j=1

k∑l=1

(−1)l−1(∫ 1

0tlωi1,...,ik(tx)dt

)xildxj∧dxi1∧. . .∧dxik+

+∑

i1<...<ik

k∑j=1

(∫ 1

0dkDjωi1,...,ik(tx)dt

)dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxIik.

Céng hai biÓu thøc l¹i vµ íc lîc sè h¹ng ®ång d¹ng cÇn thiÕt,chóng ta cã c«ng thøc cÇn t×m

Idω + dIω = ω.

NhËn xÐt r»ng bæ ®Ò PoincarÐ còng hay ®îc ph¸t biÓu díi d¹ng

c«ng thøc Idω + dIω = ω.

4.4.2 HÖ qu¶: HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt kh¶ tÝch

Chóng ta xÐt bµi to¸n t×m nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n ®¹ohµm riªng sau:

T×m siªu mÆt, biÕt tríc çc mÆt ph¼ng tiÕp xóc. Nãi métçch kh¸c, t×m nghiÖm u(x1, ....xn) tho¶ m·n hÖ

∂u∂x1 = a1(x

1, . . . , xn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∂u∂xn = an(x

1, . . . , xn)

§Þnh lÝ sau ®©y cho ta ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó bµi to¸n cã nghiÖm.Theorem 4.4.4 (§Þnh lÝ Frobenius) HÖ ph¬ng tr×nh

∂u∂x1 = a1(x

1, . . . , xn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∂u∂xn = an(x

1, . . . , xn)


cã nghiÖm khi vµ chØ khi çc hÖ sè a1(x), . . . , an(x) tho¶ m·n çc®iÒu kiÖn kiÓu Cauchy-Riemann

∂ai∂xj− ∂aj∂xi≡ 0,∀i, j, ∀x ∈ A

.

§iÕu kiÖn cÇn lµ hiÓn nhiªn v× nÕu tån t¹i hµm u th×∂2u

∂xj∂xi≡ ∂2u

∂xi∂xj

theo tÝnh chÊt ®èi xøng cña ®¹o hµm cÊp 2. Tr¸i l¹i nÕu a1(x), . . . , an(x)tho¶ m·n çc ®iÒu kiÖn ®ã, th× d¹ng vi ph©n bËc 1

ω(x) =n∑i=1

ai(x)dxi

lµ mét d¹ng vi ph©n ®ãng. Do ®ã nã lµ khíp, theo Bæ ®Ò PoincarÐ.

4.5 Phøc de Rham vµ ®èi ®ång ®iÒu de Rham

Theo Bæ ®Ò PoincarÐ, trªn mäi tËp më h×nh sao, çc d¹ng ®ãng lµkhíp. Cho nªn ta cã d·y khíp cho mét tËp më h×nh sao M

0 −−→ Rd−−→ C∞(M)

d−−→ Ω1(M)d−−→ . . .

d−−→ Ωn(M)d−−→ 0

NÕu M lµ mét ®a t¹p bÊt k×, d·y trªn kh«ng lµ khíp: nãi chóngImΩk−1 d−−→ Ωk(M) 6= KerΩk d−−→ Ωk+1(M)

mÆc dï theo tÝnh chÊt d2 = 0 ta lu«n cãImΩk−1 d−−→ Ωk(M) ⊂ KerΩk d−−→ Ωk+1(M).

NhËn xÐt r»ng c¶ hai tËp trªn ®Òu lµ çc nhãm Abel. Nhãm th¬ngcña hai nhãm nµy chÝnh lµ ®èi ®ång ®iÒu de Rham bËc k.

76 §ç Ngäc DiÖp

§Þnh nghÜa 4.5.1 Mçi d¹ng vi ph©n ®ãng cßn ®îc gäi lµ mét ®èichu tr×nh KÝ hiÖu

Zk(M ; R) = KerΩk(M)d−−→ Ωk+1(M)

lµ nhãm çc ®èi chu tr×nh. Mçi d¹ng vi ph©n khíp cßn ®îc gäi lµmét ®èi biªn. KÝ hiÖu

Bk(M ; R) = ImΩk−1(M)d−−→ Ωk(M)

lµ nhãm çc ®èi biªn. Nhãm th¬ng

HkDR(M ; R) := Zk(M ; R)/Bk(M ; R) =

= KerΩk d−−→ Ωk+1(M)/ImΩk−1 d−−→ Ωk(M)

gäi lµ nhãm ®èi ®ång ®iÒu de Rham bËc k.

T¬ng tù cã thÓ xÐt çc d¹ng vi ph©n hÖ sè phøc vµ ®Þnh nghÜa ®èi®ång ®iÒu de Rham víi hÖ sè phøc Hk

DR(M ; C) hoÆc víi hÖ sè trongmét nhãm Abel G.MÖnh ®Ò 4.5.2 (D·y khíp ng¾n) Víi mét cÆp kh«ng gian M vµkh«ng gian con A ⊆M , ta cã d·y khíp ng¾n

HkDR(M/A; R) = Hk

DR(M,A; R)→ HkDR(M ; R)→ Hk

DR(A)

Chóng ta kh«ng ®i s©u vµo chi tiÕt chøng minh mÖnh ®Ò nµþ NhËnxÐt r»ng nÕu A ⊆M th× nãn

C(A) := A× [0, 1]/(A× 1)

lµ mét tËp h×nh saä Chóng ta cã d·y khíp ®ång lu©n çc kh«ng gian

Af−−→ M −−→ C(f)


trong ®ã C(f) lµ nãn ¸nh x¹ f ®îc ®Þnh nghÜa lµC(f) := M ∪ (A× [0, 1])/〈A× ∼ pt, A× 0 ∼ f(A)〉

Nãn ¸nh x¹ lµ ®ång lu©n víi M/A. Tõ Bæ ®Ò PoincarÐ, chóng ta cã:mét d¹ng vi ph©n trªn M/A lµ ®ãng th× nã còng cho ta mét ®èi chutr×nh trªn C(f) v× trªn C(A) ⊂ C(f) mäi d¹ng ®ãng lµ khíp. chonªn ta cã ¸nh x¹

HkDR(M/A; R)→ Hk

DR(M ; R)

.B©y giê chóng ta ®Þnh nghÜa tÝch néi cña mét trêng vÐct¬ víi

mét d¹ng vi ph©n . Gi¶ sö

ξ(x) =∑i

ξi(x)∂

∂xi

lµ mét trêng vÐct¬ tr¬n vµω(x) =

∑i1,...,ik

(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

lµ mét k-d¹ng vi ph©n.§Þnh nghÜa 4.5.3 (k − 1)-d¹ng vi ph©n, x¸c ®Þnh theo c«ng thøc

ı(ξ)ω(x) :=∑i1,...,ik

ωi1,...,ik(x)ξiδi,i1dxi2 ∧ . . . ∧ dxik

gäi lµ tÝch néi cña ξ víi ω.

NhËn xÐt r»ng ı(ξ) lµ mét ¸nh x¹ gi¶m bËc cña çc d¹ng vi ph©nı(ξ) : Ωk(M)→ Ωk−1(M)

Cuèi cïng, chóng ta cã thÓ ®Þnh nghÜa ®¹o hµm Lie trªn çc d¹ngvi ph©n nh sau.

78 §ç Ngäc DiÖp

§Þnh nghÜa 4.5.4 Gi¶ sö ξ ∈ V ect(M) lµ mét trêng vÐct¬ trªnmét miÒn M . Chóng ta xÐt bµi to¸n Cauchy cho ph¬ng tr×nh viph©n thêng

x(t) = ξ(x(t)),x(0) = x0.

Bµi to¸n Cauchy lu«n cã nghiÖm duy nhÊt trong mét l©n cËn ®ñ nhácña ®iÓm x0. Gi¶ sö x(t) lµ nghiÖm ®ã. BiÓu thøc

Lieξω = Lξω :=dω(x(t))

dt|t=0

®îc gäi lµ d¹o hµm Lie däc theo trêng vÐct¬ ξ.

¸nh x¹ Lieξ : Ωk(M)→ Ωk(M) gi÷ nguyªn bËc cña d¹ng vi ph©n.NhËn xÐt r»ng d, ı(ξ), Lieξ ®Òu lµ çc ®ång cÊu nhãm. Mèi liªn

hÖ gi÷a chóng víi nhau ®îc thÓ hiÖn qua c«ng thøc ®ång lu©nCartan sau ®©y.Theorem 4.5.5 (C«ng thøc ®ång lu©n Cartan)

ı(ξ) d+ d ı(ξ) = Lieξ.

Do khu«n khæ cña gi¸o tr×nh, chóng ta bá qua chøng minh ®Þnh lÝnµy.HÖ qña 4.5.6 (TÝnh bÊt biÕn ®ång lu©n) Lý thuyÕt hµm tö ®èi ®ång®iÒu de Rham cã tÝnh chÊt bÊt biÕn ®ång lu©n.

Chóng ta bá qua chøng minh kÕt qu¶ ®Ñp ®Ï nµþ B¹n ®äc cã thÓ®äc thªm trong çc gi¸o tr×nh vÒ t«p« ®¹i sè.

4.6 §ång ®iÒu k× dÞ vµ §Þnh lÝ Stokes (d¹ng I)

Trong tiÕt tríc chóng ta ®· thÊy lµ lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu de Rhamcã ®ñ çc tÝnh chÊt cña mét lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu trõu tîng,


tøc lµ mét hä çc hµm tö tõ ph¹m trï çc ®a t¹p tr¬n vµo ph¹m trïçc nhãm Abel tho¶ m·n ba tÝnh chÊt:

• TÝnh khoÐt,

• TÝnh bÊt biÕn ®ång lu©n vµ

• TÝnh x¸c ®Þnh vÒ chiÒu:

HkDR(S1; R) ∼=

Z nÕu k = 10 nÕu k 6= 1.

Mét lÝ thuyÕt ®èi ngÉu víi lÝ thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu sÏ lµ lÝ thuyÕt ®ång®iÒu theo mét nghÜa còng tho¶ m·n çc tÝnh chÊt t¬ng tù nhngthuËn biÕn h¬n. Trong môc nµy chóng ta sÏ x©y dùng lÝ thuyÕt ®ång®iÒu k× dÞ. Trªn ph¹m trï çc ®a t¹p tr¬n, çc lÝ thuyÕt ®ång ®iÒu(t¬ng øng, ®èi ®ång ®iÒu) lµ ®¼ng cÊu víi nhau. §èi ngÉu gi÷a ®èi®ång ®iÒu de Rham vµ ®ång ®iÒu kÞ dÞ ®îc cho bëi §Þnh lÝ Stokestæng qu¸t.

4.6.1 Phøc ®¬n h×nh k× dÞ vµ ®ån ®iÒu k× dÞ

Tríc hÕt chóng ta x©y dùng kh¸i niÖm phøc çc d©y chuyÒn k× dÞ,biªn, chu tr×nh vµ ®ång ®iÒu k× dÞ

§Þnh nghÜa 4.6.1 §a diÖn ∆k sinh bëi gèc to¹ ®é e0 = O vµ çcvÐct¬ trùc chuÈn ®¬n vÞ e1, . . . , ek nh lµ bao låi cña chóng, ®îcgäi lµ ®¬n h×nh chuÈn k-chiÒu trong Rn

∆k = [e0, e1, . . . , ek] :=

k∑i=1

tiei | t0 ≥ 0, . . . , tk ≥ 0,k∑i=0

ti = 1

80 §ç Ngäc DiÖp

§Þnh nghÜa 4.6.2 Gi¶ sö M ⊆ Rn lµ mét tËp bÊt k× affine Rn. Mçi¸nh x¹ liªn tôc σ tõ ®¬n h×nh chuÈn ∆k = [e0, e1, . . . , ek] vµo çc®iÓm ph©n biÖt f0, f1, . . . , fk trongM sao cho fi−f0 lµ ®éc lËp tuyÕntÝnh, gäi lµ mét ®¬n h×nh k× dÞ k-chiÒu trong M vµ ®îc kÝ hiÖulµ σk = [f0, f1, . . . , fk]. Çc ®iÓm fi ®îc gäi lµ çc ®Ønh, çc cungcong [fi, fj] ®îc gäi lµ çc c¹nh, etc....

§Þnh nghÜa 4.6.3 Chóng ta kÝ hiÖu Ck(M ; Z) lµ nhãm Abel tù dosinh bëi tËp tÊt c¶ çc k-®¬n h×nh k× dÞ trong M . NÕu G lµ métnhãm Abel, ta còng kÝ hiÖu Ck(M ;G) := Ck(M ; Z)⊗ZG. Çc phÇntö trong Ck(M ;G), ®îc gäi l` çc k-d©y chuyÒn, lµ çc biÓu thøctæ hîp tuyÕn

σ =∑j

cjσj,

víi ci ∈ G lµ çc hÖ sè, σj lµ çc ®¬n h×nh k× dÞ k-chiÒu.

§Þnh nghÜa 4.6.4 nTimeH ¸nh x¹ biªn ∂ : Ck(M ;G)→ Ck−1(M ;G),®îc ®Þnh nghÜa theo c«ng thøc

∂[f0, f1, . . . , fk] :=n∑i=0

(−1)i[f0, . . . , fi, . . . , fk],

trong ®ã dÊu nãn ë trªn cã nghÜa lµ ®Ønh t¬ng øng bÞ bá ®i trongbiÓu thøc ®ã. ¸nh x¹ biªn ®îc th¸c triÓn trªn çc d©y chuyÒn theotÝnh chÊt G- tuyÕn tÝnh hoÆc Z-tuyÕn tÝnh.

Theorem 4.6.5 Víi mäi d©y chuyÒn k× dÞ k-chiÒu c trongM , ∂(∂c) =0, viÕt t¾t lµ ∂2 = 0.

Chøng minh. Chóng ta chØ cÇn chøng minh ®Þnh lÝ trong trênghîp c lµ mét k-®¬n h×nh k× dÞ. Trêng hîp tæng qu¸t thu ®îc theo


tÝnh chÊt Z-tuyÕn tÝnh. Gi¶ sö c = [f0, f1, . . . , fk]. Khi ®ã theo ®ÞnhnghÜa, chóng ta cã

∂(∂[f0, f1, . . . , fk]) =k∑i=0

k∑j=0

(−1)i+j[f0, . . . , fi, . . . , fj, . . . , fk].

Trong tæng trªn çc h¹ng tö ®«i mét tr¸i dÊu nhau; cho nªn tængcña chóng triÖt tiªu. Tõ ®Þnh lÝ nµy, chóng ta cã d·y liªn tiÕp çcnhãm Abel vµ çc ¸nh x¹ biªn ∂ gi÷a chóng.§Þnh nghÜa 4.6.6 D·y çc nhãm Abel vµ ®ång cÊu

0 ←−− Z∂←−− C0(M)

∂←−− C1(M)∂←−− . . .

. . .∂←−− Ck(M)

∂←−− Ck+1 = 0

nÕu dimM = k, ∂2 = 0 ®îc gäi lµ phøc ®ång ®iÒu k× dÞ

Chóng ta cãBk(M ;G) := Im∂ : Ck+1(M ;G)→ Ck(M ;G) ⊆

Zk(M ;G) := Ker∂ : Ck(M ;G)→ Ck−1(M ;G).

§Þnh nghÜa 4.6.7 Çc d©y chuyÒn c trong Bk(M ;G) ®îc gäi lµçc k-biªn ®ång ®iÒu, çc d©y chuyÒn trong Zk(M ;G) ®îc gäi lµçc k-chu tr×nh. Nhãm th¬ng

HDRk (M ;G) := Zk(M ;G)/Bk(M ;G) =

=Ker∂ : Ck(M ;G)→ Ck−1(M ;G)Im∂ : Ck+1(M ;G)→ Ck(M ;G)

®îc gäi lµ nhãm ®ång ®iÒu k× dÞ bËc k. víi hÖ sè trong G. NÕuG = Z chóng ta nãi ®¬n gi¶n HDR

k (M) = HDRk (M ; Z) lµ nhãm

®ång ®iÒu k× dÞ bËc k

82 §ç Ngäc DiÖp

NhËn xÐt 4.6.8 Chóng ta cã mét hä çc hµm tö thuËn biÕn HDRk (., G)

tõ ph¹m trï çc kh«ng gian t«p« vµo ph¹m trï çc nhãm Abel. Çcnhãm ®ång ®iÒu k× dÞ HDR

k (M) tho¶ m·n çc tÝnh chÊt c¬ b¶n cñamét lÝ thuyÕt ®ång ®iÒu trõu tîng:

1. Tiªn ®Ò khoÐt: NÕu A ⊂M th× chóng ta cã d·y khíp ng¾n

HDRl (A) −−→ HDR

l (M) −−→ HDRl (M/A)

2. Tiªn ®Ò bÊt biÕn ®ång lu©n: NÕu f, g : M → N lµ hai ¸nh x¹®ång lu©n, tøc lµ tån t¹i mét hä liªn tôc çc ¸nh x¹ Ft : M →N, t ∈ [0, 1] sao cho F0 = f vµ F1 = g, th× çc ¸nh x¹ c¶msinh t¬ng øng cho cïng mét ®ång cÊu gi÷a çc nhãm ®ång®iÒu k× dÞ

f∗ = g∗ : HDRl (M)→ HDR

l (N).

3. Tiªn ®Ò chiÒu:

Hl(S1) =

Z nÕu l = 10 nÕu l 6= 1.

B¹n ®äc cã thÓ t×m thÊy çc chøng minh thÝch hîp trong çc gi¸otr×nh vÒ t«p« ®¹i sè.

4.6.2 TÝch ph©n cña d¹ng vi ph©n

B©y giê chóng ta x©y dùng sù ®èi ngÉu gi÷a ®ång ®iÒu k× dÞ vµ ®èi®ång ®iÒu de Rham b»ng çch x©y dùng tÝch ph©n cña çc d¹ng viph©n trªn çc d©y chuyÒn cã chiÒu t¬ng øng.

Gi¶ sö M lµ mét tËp con trong Uα ∼= Rn. Khi ®ã t¹i mçi ®iÓmcña M chóng ta cã mét to¹ ®é ®Þa ph¬ng vµ mét ®Þnh híng c¶msinh tõ Rn. Ta nãi lµ ta cã mét ®Þnh híng thuËn theo kh«ng gianRn.


§Þnh nghÜa 4.6.9 Gi¶ sö ω lµ mét k-d¹ng vi ph©n trªn tËp k-chiÒu®Þnh híng thuËn M , tøc lµ ω cã d¹ng to¹ ®é

ω(x) := f(x)dx1 ∧ . . . ∧ dxk.

Chóng ta ®Þnh nghÜa tÝch ph©n cña d¹ng vi ph©n lµ tÝch ph©nRiemann cña hµm hÖ sè f(x), tøc lµ∫

M

ω :=

∫M

f(x)dµ(x).

NÕu M lµ tËp ®Þnh híng ngîc víi ®Þnh híng trong Rn th× ta®Þnh nghÜa ∫

M

ω := −∫M

f(x)dµ(x).

NÕu σ = σ(∆) lµ mét ®¬n h×nh k× dÞ th× ta ®Þnh nghÜa∫σ

ω :=

∫∆σ∗(ω).

NÕu c =∑

j cjσj lµ mét tæ hîp hÖ sè trong G th× ta ®Þnh nghÜa∫

c

ω =

∫∑j cjσj

ω =∑j

cj∫σj

ω.

NhËn xÐt 4.6.10 §Þnh nghÜa tÝch ph©n trªn trong trêng hîp c lµmét 1-chu tr×nh (lµ tam gi¸c ph©n cña mét cung) vµ ω lµ mét 1-d¹ngvi ph©n cho ta thÊy l¹i kh¸i niÖm tÝch ph©n ®êng lo¹i II trong gi¸otr×nh gi¶i tÝch to¸n häc.

T¬ng tù, khi ω lµ mét 2-d¹ng vi ph©n vµ c lµ mét tam gi¸c ph©ncña mét mÆt 2-chiÒu cho phÐp ta thÊy l¹i kh¸i niÖm tÝch ph©n mÆtlo¹i II trong gi¸o tr×nh gi¶i tÝch to¸n häc. §Þnh lÝ Stokes lµ métc«ng cô liªn hÖ vi ph©n víi tÝch ph©n.

84 §ç Ngäc DiÖp

4.6.3 §Þnh lÝ Stokes

Theorem 4.6.11 (§Þnh lÝ Stokes) Gi¶ sö ω lµ mét (k − 1)-d¹ng viph©n trªn M vµ c lµ mét d©y chuyÒn k× dÞ trong M . Khi ®ã∫

c

dω =

∫dc

ω.

Chøng minh. Tríc hÕt chóng ta nhËn xÐt r»ng do tÝnh chÊt tuyÕntÝnh cña phiÕm hµm lÊy thÓ tÝch, chóng ta chØ cÇn chøng minh ®ÞnhlÝ cho mét ®¬n h×nh. Gi¶ sö c = σ(∆) lµ mét ®¬n h×nh k× dÞ. Khi®ã chóng ta chØ cÇn chøng minh∫

t0≥0,...,tk≥0∑ki=0 t

i=1

∑i

∂ωi1,...,ik∂ti

dti ∧ dt0 ∧ . . . ∧ dtk =

=∑i

(−1)i∫t0≥0,...,tk≥0∑k

i=0 ti=1

ωi1,...,ikdt1 . . . dtk.

§¼ng thøc nµy ®îc suy ra tõ §Þnh lÝ Fubini vÒ ®æi thø tù lÊy tÝchph©n vµ quy t¾c lÊy tÝch ph©n tõng phÇn.

4.7 D¹ng vi ph©n trªn ®a t¹p

Gi¶ sö M lµ mét ®a t¹p tr¬n, ta chän mét ph©n ho¹ch ®¬n vÞϕαα∈I , øng víi mét tËp b¶n ®å to¹ ®é Uα, ψαα∈I . Lóc ®ã tacã thÓ ®Þnh nghÜa tÝch ph©n lµ∫

M

ω :=∑α∈I

∫Uα

ϕαω.

MÖnh ®Ò sau ®©y lµ hiÓn nhiªn.MÖnh ®Ò 4.7.1 TÝch ph©n cña d¹ng vi ph©n trªn ®a t¹p ®Þnh híngkh«ng phô thuéc vµo viÖc chän ph©n ho¹ch ®¬n vÞ


4.8 Bµi tËp cñng cè lÝ thuyÕt

1. Gi¶ sö F lµ mét trêng vÐct¬ trong R3 víi çc to¹ ®é Descartes(x, y, z). Chóng ta xÐt çc d¹ng vi ph©n

ω1F = F 1dx+ F 2dy + F 3dz

ω2F = F 1dy ∧ dz + F 2dz ∧ dx+ F 3dx ∧ dy

ω3F = (F 1 + F 2 + F 3)dx∧dy ∧ dz.

Chøng minh r»nga.

df = ω1gradf

d(ω1F ) = ω2

rotF

d(ω2F ) = ω3

divF

b. Tõ ®ã suy ra r»ngrot(gradf) = 0,

div(rot) = 0.

c. Chøng minh r»ng nÕu F lµ mét trêng vÐct¬ trªn mét tËpmë h×nh sao A vµ rotF = 0, th× tån t¹i hµm f : A → R®Ó F = gradf . T¬ng tù, chøng minh r»ng nÕu divF = 0th× F = rotG, víi mét trêng vÐct¬ G nµo ®ã trªn A.

2. (TÝnh kh«ng phô thuéc tham sè ) Gi¶ sö σ : ∆→ M lµ mét®¬n h×nh k× dÞ k-chiÒu vµ p : ∆→ ∆ lµ mét phÐp vi ph«i b¶otoµn ®Þnh híng (tøc lµ mét song ¸nh kh¶ vi liªn tôc hai phÝavµ det p′(x) > 0,∀x ∈ ∆). Chøng minh r»ng∫

σ

ω =

∫σp

ω,

®èi víi mçi k-d¹ng vi ph©n ω bÊt k×.

86 §ç Ngäc DiÖp

3. Chøng minh r»ng nÕu d¹ng vi ph©n ω 6= 0 th× tån t¹i d©y truyÒnc ®Ó ∫c ω 6= 0. Sö dông ®iÒu nµy, ®Þnh lÝ Stokes va ®¼ng thøc∂2 = 0 ®Ó chøng minh d2ω ≡ 0.

4. (S¬ lîc lÝ thuyÕt hµm biÕn phøc ) Hµm sè f : C→ C ®îcgäi lµ kh¶ vi t¹i ®iÓm z0 ∈ C, nÕu tån t¹i giíi h¹n

f ′(z0) := limz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0.

NÕu f kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm cña mét l©n cËn më cña ®iÓm z0 vµf ′(z) lµ hµm liªn tôc trªn ®ã th× hµm f ®îc gäi lµ hµm gi¶itÝch t¹i z0. NÕu hµm f lµ hµm gi¶i tÝch t¹i mäi ®iÓm trong méttËp më A th× chóng ta nãi r»ng hµm f lµ gi¶i tÝch trªn tËp ®ã.

a. Chøng minh r»ng hµm f(z) ≡ z lµ gi¶i tÝch cßn hµmf(z) ≡ z kh«ng lµ hµm gi¶i tÝch trªn C.

b. KÝ hiÖu u = <f vµ v = =f lµ phÇn thùc vµ phÇn ¶o cñahµm f . Chøng minh r»ng hµm f = iv lµ hµm gi¶i tÝch khivµ chØ khi u(z) = u(x, y) vµ v(z) = v(x, y) tho¶ m·n hÖCauchy-Riemann

∂u

∂x=∂v

∂yvµ ∂u

∂y=∂v

∂x.

c. Gi¶ sö T : C→ C lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh trong kh«ng gianvÐct¬ thùc 2-chiÒu C. Trong c¬ së 1, i to¸n tö tuyÕn tÝnhT ®îc viÕt thµnh d¹ng ma trËn T =

[a b

c d

]. Chøng tá

r»ng T lµ mét to¸n tö nh©n víi mét sè phøc nµo ®ã khi vµchØ khi a = d vµ b = −c. ViÕt d¹ng ma tr©n cña to¸n tötuyÕn tÝnh Df(z0).


d. §Ætd(ω + iη) := dω + idη,∫c

(ω + iη) :=

∫c

ω + i

∫c

η

(ω + iη) ∧ (θ + iλ) := ω ∧ θ − η ∧ λ+ i(η ∧ η + ω ∧ λ)

dz := dx+ id

Chøng tá r»ng d(f(z)dz = 0, tøc lµ f(z)dz lµ mét d¹ng®ãng khi vµ chØ khi f tho¶ m·n çc ®iÒu kiÖn Cauchy-Riemann.Gîi ý: Dïng ®Þnh lÝ Stokes.

®. Chøng minh §Þnh lÝ tÝch ph©n Cauchy: NÕu f lµ hµm gi¶itÝch trªn tËp më A trong C th× ∫c f(z)dz = 0 víi mäi®êng cong ®ãng trong A.Gîi ý: Dïng ®Þnh lÝ Stokes.

e. Chøng minh r»ng ∫S1

dz

z= 2πi.

Gîi ý: Dïng ®Þnh lÝ Stokes.f. chøng minh c«ng thøc Cauchy: NÕu f lµ hµm gi¶i tÝch

trªn ®Üa ®¬n vÞ ®ãng z||z| ≤ 1 vµ c lµ ®êng cong ®ãngtrong z|0 < |z| < 1 quay n vßng xung quanh diÓm 0,th×

nf(z) =1

2πi

∫c

f(ζ)

z − ζdζ.

Gîi ý: Dïng ®Þnh lÝ Stokes.

88 §ç Ngäc DiÖp

Ch¬ng 5

Gi¶i tÝch trªn ®a t¹p: §Þnh lý Stokes

Trong çc ch¬ng tríc chóng ta ®· x©y dùng phÐp to¸n vi ph©n vµtÝch ph©n trong tõng b¶n ®å ®Þa ph¬ng Uα ∼= Rn. Nh÷ng phÐp x©ydùng ®ã vÒ thùc chÊt lµ nghiªn cøu ®Þa ph¬ng. Ngay trong b¶nth©n Rn còng cã ®ñ nhiÒu çc "®a t¹p con". Do vËy viÖc nghiªn cøuçc ®a t¹p con trong Rn còng cã nhiÒu kÕt qu¶ thó vÞ

5.1 §a t¹p ®Þnh híng. §a t¹p cã biªn

Tríc hÕt chóng ta nhËn xÐt r»ng nöa kh«ng gian ®ãng

Rn−1×R≥0 := (x1, . . . , xn) | (x1, . . . , xn−1) ∈ Rn−1, xn ≥ 0

lµ hîp cña çc ®iÓm trong (x1, . . . , xn−1) ∈ Rn−1, xn > 0 vµ çc®iÓm biªn (x1, . . . , xn−1) ∈ Rn−1 vµ xn = 0 cña nöa kh«ng gian.

§Þnh nghÜa 5.1.1 Mét tËp M ®îc gä lµ mét ®a t¹p n chiÒu cãbiªn nÕu: Mçi ®iÓm x ∈M ®Òu cã mét l©n cËn më U vµtån t¹i mét®ång ph«i ϕ : Rn−1 ×R→ U sao cho nã lµ:

(M) ®ång ph«i ϕ : Rn−1 × 0 → U nÕu x lµ thuéc ¶nh cña ®iÓmbiªn cña nöa kh«ng gian hoÆc

89

90 §ç Ngäc DiÖp

(M') mét ®ång ph«i ϕ : Rn → U nÕu x lµ thuéc ¶nh cña ®iÓm trongcña nöa kh«ng gian

tho¶ m·n çc tÝnh chÊt t¬ng thÝch b¶n ®å to¹ ®é ®Þa ph¬ng, tøclµ víi hai ®ång ph«i ϕ vµ ϕ′ cïng lo¹i (M) hay (M') ë trªn, çc ¸nhx¹ ϕ (ϕ′)−1 vµ ϕ′ ϕ−1 lµ çc vi ph«i tõ Rn, ®èi víi çc ®iÓmtrong, hoÆc Rn−1, ®èi víi çc ®iÓm biªn, vµo chÝnh nã.

NhËn xÐt 5.1.2 Chó ý r»ng çc ®iÒu kiÖn (M) vµ (M ′) ë trªn kh«ng®ång thêi nghiÖm ®óng víi mét x.

§Þnh nghÜa 5.1.3 Gi¶ sö x ∈ M lµ mét ®iÓm biªn cña ®a t¹p. khi®ã ®Þnh nghÜa ϕ∗en = ∂

∂xn+lµ ®¹o hµm mét phÝa cña ph¬ng xn+.

Kh«ng gian tiÕp xóc TxM víi da t¹p t¹i ®iÓm biªn sinh bëi çcvÐct¬ ϕ∗ei = ∂

∂xi , i = 1, n− 1 vµ ϕ∗en = ∂∂xn+

NhËn xÐt 5.1.4 Trªn thùc chÊt TxM lu«n lu«n lµ kh«ng gian vÐct¬sinh bëi n vÐct¬ ϕ∗ei = ∂

∂xi , i = 1, n− 1 vµ ϕ∗en = ∂∂xn+

hayϕ∗ei = ∂

∂xi , i = 1, n kh«ng cã sù ph©n biÖt ®iÓm trong hay ®iÓmbiªn.

§Þnh nghÜa 5.1.5 VÐct¬ n = ϕ∗(e1) ∧ . . . ϕ∗(∧en) gäi lµ vÐct¬ph¸p tuyÕn víi ®a t¹p t¹i ®iÓm x.

NhËn xÐt 5.1.6 NhËn xÐt r»ng khi ®æi to¹ ®é ®Þa ph¬ng, vÐct¬ph¸p tuyÕn thay ®æi mét béi lµ nghÞch ®¶o cña Jabobian (®Þnh thøccña ma trËn Jacobi)

ThËt vËy, nÕu phÐp ®æi to¹ ®é lµ ϕ : y = y(x) th× vÐct¬ ph¸p tuyÕn(kh«ng chuÈn ho¸) lµ

∂

∂y1 ∧ . . . ∧∂

∂yn=∂xi1

∂y1 . . .∂xin∂yn

∂

∂xi1∧ . . . ∧ ∂

∂xin=

= det Jac−1x (ϕ)

∂

∂xi1∧ . . . ∧ ∂

∂xin.


§Þnh nghÜa 5.1.7 §a t¹p ®îc gäi lµ ®Þnh híng ®îc nÕu tån t¹imét tËp b¶n ®å t¬ng thÝch mµ çc ®Þnh thøc cña ma trËn JacobichuyÓn to¹ ®é lµ çc hµm d¬ng trªn Uα ∩ Uβ,∀α, β.

VÝ dô.

1. MÆt cÇu lµ ®a t¹p ®Þnh híng ®îc.2. Kh«ng gian x¹ ¶nh RP n lµ ®a t¹p kh«ng ®Þnh híng ®îc.3. L¸ Mobius lµ ®a t¹p kh«ng ®Þnh híng ®îc

§Þnh nghÜa 5.1.8 NÕuN lµ mét ®a t¹p con trong ®a t¹p ®Þnh híngM ta nãi lµ N cã ®Þnh híng thuËn trong M nÕu môc tiªu trongN cã thÓ th¸c triÓn b»ng çch thªm vÐct¬ vµo thµnh môc tiªu ®Þnhhíng trong M .

B©y giê chóng ta ¸p dông cho biªn N = ∂M (n− 1)-chiÒu cña®a t¹p M . Trong hÖ to¹ ®é ®Þa ph¬ng cña biªn ϕ : Rn−1×R≥0 →U ⊆ M t¹i mçi ®iÓm ϕ(0) = x ∈ ∂M cã ®óng hai ph¬ng vÐct¬vu«ng gãc víi kh«ng gian tiÕp xóc cña biªn Tx(∂M), mét trongchóng lµ ¶nh cña ϕ∗en víi to¹ ®é xn < 0. Chóng ta gäi vÐct¬ ®ã lµph¸p tuyÕn ngoµi cu¶ biªn ∂M .NhËn xÐt 5.1.9 Gi¶ sö chóng ta cã ®Þnh híng trªn miÒn trong cña®a t¹p n chiÒuM . Khi ®ã trªn biªn ∂M cã ®Þnh híng v1, . . . ,vn−1

®Ó n = v1 ∧ . . . ∧ vn−1 vµ v1, . . . ,vn−1 lËp thµnh mét ®Þnh híngtrong M . §Þnh híng ®ã ®îc gäi lµ ®Þnh híng c¶m sinh trªnbiªn.

5.2 §¹ng vi ph©n trªn ®a t¹p cã biªn

NhËn xÐt 5.2.1 T¹i mçi ®iÓm cña ®a t¹p, d¹ng vi ph©n dxi lµ nghÞch¶nh d¼ng cÊu cña vÐct¬ c¬ së chuÈn e∗i trong Rn = (Rn)∗. Nãi

92 §ç Ngäc DiÖp

riªng, chóng lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Kh«ng gian ®èi tiÕp xóc T ∗x (M)víi ®a t¹p cã biªn t¹i ®iÓm x sinh bëi dx1, . . . , dxn. Mét vÐct¬ tiÕpxóc bÊt k× ®îc ph©n tÝch thµnh tæ hîp tuyÕn tÝnh theo çc vÐct¬ ®ã.Do vËy d¹ng tæng qu¸t cña 1-d¹ng vi ph©n lµ

ω(x) =n∑i=1

ωi(x)dxi.

T¬ng tù, chóng ta cã thÓ xÐt kh«ng gian

Ωkx(M) = T ∗x (M) ∧ . . . ∧ T ∗x (M)︸︷︷︸

k lÇnçc k-vÐct¬ ph¶n xøng ®èi tiÕp xóc t¹i x.

§èi víi ®a t¹p cã biªn tÊt c¶ çc kh¸i niÖm vÒ d¹ng vi ph©n vµtrêng vÐct¬ ®îc x©y dùng mét çch hoµn toµn t¬ng tù nh trênghîp kh«ng biªn tríc d©y. Chóng t«i dµnh cho b¹n ®äc tù chøngminh çc mÖnh ®Ò sau cho ®a t¹p cã biªn.

MÖnh ®Ò 5.2.2 Ωk(M) lµ kh«ng gian vÐct¬(nk

)-chiÒu.

MÖnh ®Ò 5.2.3 NÕu U lµ mét b¶n ®å to¹ ®é ®Þa ph¬ng th× tån t¹i®ång ph«i ⋃

x∈U

Ωk(U) ∼= U ×Rd, víi d =

(n

k

).

MÖnh ®Ò 5.2.4 Trªn

∧k(T ∗(M)) :=⋃x∈U

∧k(T ∗x (M)) :=⋃x∈U

T ∗x (M) ∧ . . . ∧ T ∗x (M)︸︷︷︸k lÇn

cã mét cÊu tróc ®a t¹p tr¬n tù nhiªn theo cÊu tróc ®a t¹p trªn M .


§Þnh nghÜa 5.2.5 §a t¹p ∧k(T ∗M) cïng víi ¸nh x¹ tr¬n (phÐpchiÕu tù nhiªn)

p : ∧k(T ∗M)M,

p : ∧k(T ∗x (M)) 7→ xgäi lµ tÝch ngoµi bËc k cña ph©n thí ®èi tiÕp xóc cña ®a t¹p M .

§Þnh nghÜa 5.2.6 Mét nh¸t c¾t tr¬n cña ph©n thí tÝch ngoµi bËc k

cña ph©n thí ®èi tiÕp xóc, tøc lµ mét ¸nh x¹ ω : M → ∧k(T ∗M)sao cho p ω = IdM ®îc gäi lµ mét d¹ng vi ph©n tr¬n trªn ®a t¹pM .

VÝ dô. NÕu ta kÝ hiÖu hÖ to¹ ®é ®Þa ph¬ng cña ®iÓm x trªn ®a t¹pM lµ (x1, . . . , xn) th× çc d¹ng vi ph©n dxi1∧. . .∧dxik, i1 < . . . < iklËp thµnh mét c¬ së cña kh«ng gian vÐct¬ ∧k(T ∗x (M)).NhËn xÐt 5.2.7 T¹i mçi ®iÓm cña ®a t¹p, d¹ng vi ph©n dxi1 ∧ . . .∧dxik lµ lµ ¶nh ®¼ng cÊu cña c¬ së trùc chuÈn e∗i1 ∧ . . . ∧ e∗ik . BëivËy, chóng lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Mét k-d¹ng vi ph©n bÊt k× ph©ntÝch thµnh tæ hîp tuyÕn tÝnh (hÖ sè hµm) theo c¬ së ®ã. Chóng tacã d¹ng tæng qu¸t cña mét d¹ng vi ph©n viÕt trong hÖ to¹ ®é ®Þaph¬ng lµ

ω(x) =∑

i1<...<ik

ωi1,...,ik(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik.

§Þnh nghÜa 5.2.8 Vi ph©n cña mét k-d¹ng vi ph©n

ω(x) =∑

i1<...<ik

ωi1,...,ik(x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik

lµ k + 1-d¹ng vi ph©n cho bëi c«ng thøc

dω(x) =∑

i1<...<ik

dωi1,...,ik(x) ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik.

94 §ç Ngäc DiÖp

Chóng ta kÝ hiÖu kh«ng gian tÊt c¶ çc d¹ngvi ph©n bËc k trªn®a t¹p M lµ Ωk(M).

Chóng ta cã d·y çc kh«ng gian vÐct¬ vµ çc ®ång cÊu gi÷achóng lµ

0 −−→ Rd−−→ C∞(M)

d−−→ Ω1(M)d−−→ . . .

. . .d−−→ Ωn(M)

d−−→ 0, d2 = 0 dimM = n

MÖnh ®Ò 5.2.9

ImΩk−1 d−−→ Ωk(M) ⊆ KerΩk(M)d−−→ Ωk+1(M).

§Þnh nghÜa 5.2.10 Çc d¹ng vi ph©n thuéc

ImΩk−1 d−−→ Ωk(M)

gäi lµ d¹ng khíp. Çc d¹ng vi ph©n thuéc

KerΩk(M)d−−→ Ωk+1(M).

gäi lµ d¹ng ®ãng. Nhãm th¬ng

HkDR(M ; R) := KerΩk(M)

d−−→ Ωk+1(M)/ImΩk−1 d−−→ Ωk(M)

gäi lµ nhãm ®èi ®ång ®iÒu bËc k trªn ®a t¹p co biªn M , víi hÖ sèthùc R.

5.3 §Þnh lÝ Stokes tæng qu¸t (d¹ng II)

Gi¶ sö chóng ta cã mét ®a t¹p n chiÒu cã biªn ∂M , mét n-d¹ngviph©n ω trªn M vµ mét ®¬n h×nh k× dÞ σ, tøc lµ ¶nh liªn tôc cña ®¬nh×nh chu¶n σ : ∆→M .


§Þnh nghÜa 5.3.1 TÝch ph©n cña n-d¹ng vi ph©n ω theo ®¬n h×nhk× dÞ σ ®îc ®Þnh nghÜa bëi tÝch ph©n Riemann trªn ®¬n h×nh chu¶ncña nghÞch ¶nh σ∗ω ∫

σ

ω :=

∫∆σ∗ω.

Chóng ta ph¶i chØ ra lµ viÖc ®Þnh nghÜa kh«ng phô thuéc vµo viÖcchän ®¬n h×nh cô thÓ.Theorem 5.3.2 Gi¶ söM lµ mét ®a t¹p n-chiÒu ®Þnh híng, σ1, σ2 :∆→M lµ hai ®¬n h×nh k× dÞ trong M vµ ω lµ mét n-d¹ng vi ph©ntrªn M , triÖt tiªu ngoµi σ1(∆) ∩ σ2(∆). Khi ®ã∫

σ1

ω =

∫σ2

ω.

Chøng minh. Theo ®Þnh nghÜa tÝch ph©n trªn ®a t¹p, chóng ta cãc«ng thøc ∫

σ1

ω =

∫∆σ∗1(ω) =

∫∆

(σ−12 σ1)

∗σ∗2ω.

V× vËy chØ cÇn chøng minh r»ng∫∆

(σ−12 σ1)

∗σ∗2ω =

∫∆σ∗2ω =

∫σ2

ω.

Trong b¶n ®å to¹ ®é ®Þa ph¬ngσ∗2ω = f(x)dx1 ∧ . . . ∧ dxn.

Chóng ta kÝ hiÖu g = σ−12 σ1 vµ theo quy t¾c ®æi biÕn cña d¹ng vi

ph©n ta cã(σ−1

2 σ1)∗σ∗2 = g∗(f(x)dx1 ∧ . . . ∧ dxn)

= (f g) det g′dx1 ∧ . . . ∧ dxn= (f g)|Jacx(g)|dx1 ∧ . . . ∧ dxn.

96 §ç Ngäc DiÖp

V× theo gi¶ thiÕt ®Þnh híng lµ thuËn co nªndet(g′) = det Jacx(g) > 0

vµ do vËy nªn(σ−1

2 σ1)∗σ∗2ω = | det Jacx(g)|σ∗2ω = det Jacx(g)σ∗2ω = σ∗1ω.

Theo quy t¾c ®æi biÕn trong tÝch ph©n, chóng ta cã ®¼ng thøc cÇnchøng minh.

NhËn xÐt 5.3.3 Trong ®¼ng thøc cuèi ë chøng minh trªn, tÝch chÊtdet g′ > 0 ®ãng vai trß rÊt quan träng. V× thÕ tÝch ph©n chØ ®îc®Þnh nghÜa trªn ®a t¹p ®Þnh híng.

§Þnh nghÜa 5.3.4 Gi¶ sö ω lµ mét n-d¹ng vi ph©n trªn ®a t¹p M

n-chiÒu. NÕu tån t¹i mét ®¬n h×nh k× dÞ σ trong M ®Ó ω triÖt tiªungoµi σ th× ta ®Þnh nghÜa tÝch ph©n cña ω trªn M lµ∫

M

ω :=

∫σ

ω.

§Þnh lÝ 5.3.2 chøng tá r»ng ®Þnh nghÜa tÝch ph©n kh«ng phô thuécvµo viÖc chän çc to¹ ®é tham sè ho¸ ®i¹ ph¬ng vµ çch chän çctham sè ho¸ ®¬n h×nh k× dÞ mµ ngoµi nã d¹ng vi ph©n bi triÖt tiªu.

Gi¶ sö ω lµ mét n-d¹ng vi ph©n tuú ý trªn ®a t¹p n-chiÒu M .Chän mét phñ më O sao cho víi mçi tËp më U ∈ O tån t¹i mét®¬n h×nh chuÈn ∆ ⊂ Rn ®Ó U ⊆ σ(∆). Gi¶ sö Φ = ϕUU∈O lµmét ph©n ho¹ch ®¬n vÞ trªn M theo phñ më O.§Þnh nghÜa 5.3.5 §¹i lîng∫

M

ω :=∑U∈O

∫M

ϕUω

gäi lµ tÝch ph©n cña n-d¹ng vi ph©n trªn ®a t¹p ®Þnh híng n-chiÒuM .


NhËn xÐt 5.3.6 §Þnh nghÜa tÝch ph©n kh«ng phô thuéc vµo viÖcchän phñ O vµ ph©n ho¹ch ®¬n vÞ Φ.

Çc ®Þnh nghÜa trªn cã thÓ lµm t¬ng tù cho çc ®a t¹p cã biªnvµ ®Þnh híng µ cè ®Þnh. Trang bÞ cho biªn ∂M mét ®Þnh híngc¶m sinh ∂µ vµ gi¶ sö σ lµ mét ®¬n h×nh k× dÞ n-chiÒu cã híngtrong M sao cho mÆt σ(k, 0) n»m trªn biªn ∂M vµ lµ mÆt biªn duynhÊt cã Ýt nhÊt mét ®iÓm trong thuéc ∂M . Suy ra r»ng nÕu ω lµ(n− 1)-d¹ng vi ph©n vµ b»ng 0 mäi n¬i ngoµi σ(∆) th×∫

σ(k,0)ω = (−1)k

∫∂M

ω.

MÆt kh¸c, σ(k, 0) tham gia trong ∂M ví hÖ sè (−1)k. V× vËy∫∂σ

ω =

∫(−1)kσ(k,0)

ω = (−1)k∫σ(k,0)

ω =

∫∂m

ω.

Theorem 5.3.7 (§Þnh lÝ Stokes) Gi¶ söM lµ mét ®a t¹p ®Þnh híngn chiÒu comp¾c cã biªn ∂M vµ ω lµ mét (n− 1)-d¹ng vi ph©n trªnM . Khi ®ã ∫

M

dω =

∫∂m

ω.

Chøng minh. Tríc hÕt chóng ta xÐt trêng hîp riªng: Gi¶ sö r»ngtrong M \∂M cã mét ®¬n h×nh k× dÞ n-chiÒu ®Þnh híng σ sao choω triÖt tiªu ngoµi σ(∆). Chóng ta cã∫

σ

dω =

∫∆σ∗dω =

∫∆d(σ∗(ω)) =

∫∂∆σ∗ω =

∫∂σ

ω.

Khi ®ã, v× ω = 0 ngoµi σ = σ(∆), ta cã∫M

dω =

∫σ

dω =

∫∂σ

ω = 0.

98 §ç Ngäc DiÖp

MÆt kh¸c ta còng cã∫∂M

ω = 0, v× ω = 0 trªn biªn ∂M.

B©y giê ta xÐt ®¬n h×nh k× dÞ σ sao cho cã mét mÆt biªn σ(k, 0) (vµsÏ lµ duy nhÊt) trong biªn ∂M vµ ω triÖt tiªu ngoµi σ(∆). Khi ®ã∫

M

dω =

∫σ

dω =

∫∂σ

ω =

∫∂M

ω.

Cuèi cïng, trong trêng hîp tæng qu¸t, gi¶ sö O lµ mét phñ mëcña M vµ ΦO = ϕUU∈O lµ mét ph©n ho¹ch ®¬n vÞ phï hîp víinã, sao cho víi mçi ϕU ∈ ΦU , d¹ng vi ph©n ϕUω thuéc mét tronghai trêng hîp riªng nãi trªn. Ta cã

∑U∈O

dϕU = d

(∑U∈O

ϕU

)= d(1) = 0.

Do ®ã, ∑ϕ∈ΦO

∫M

dϕ ∧ ω = 0.

Chóng ta cã, ∫M dω =

∑ϕU∈ΦO

∫M ϕUdω

=∑

ϕU∈ΦO

∫M dϕU ∧ ω + ϕUdω

=∑

ϕU∈ΦO

∫M d(ϕUω)

=∑

ϕU∈ΦO

∫∂M ϕUω

=∫∂M ω.


5.4 Bµi tËp cñng cè lÝ thuyÕt

1. L¸ Mobius ®îc ®Þnh nghÜa nh saô LÊy mét b¨ng giÊy h×nhch÷ nhËt. Gi÷ nguyªn mét ®Çu, vÝ dô mÐp bªn tr¸Þ Xo¾n mÐpbªn ®èi diÖn (mÐp bªn ph¶i) mét gãc π trong kh«ng gian vad¸n haimÐp l¹i víi nhau. Chøng tá r»ng l¸ Mobius lµ mét ®at¹p con d×m trong R3 nhng kh«ng thÓ ®Þnh híng ®îc: NÕuta th¶ mét con kiÕn ë mét mÆt vµ cho nã bß, khi hÕt mét vßngnã xuÊt hiÖn ë mÆt kia.

2. Gi¶ sö ξ lµ mét trêng vÐct¬ tr¬n trªn ®a t¹p M d×m trong Rn.Chøng tá r»ng tån t¹i tËp më A ⊇M vµ çc trêng vÐct¬ tr¬nξ sao cho

ξ|M = ξ,

tøc lµξ(x) ≡ ξ(x),∀x ∈M.

3. Chøng tá r»ng nÕu siªu mÆt chÝnh qui M , tøc lµ ®a t¹p M d×mtrong Rn cho bëi ph¬ng tr×nh f(x1, . . . , xn) = 0, th× vÐct¬ph¸p tuyÕn n(x) t¹i ®iÓm x ®îc tÝnh bëi c«ng thøc

n(x) =

∂f(x)∂x1√∑n

i=1(∂f(x)∂xi )2

, . . . ,∂f(x)∂xn√∑n

i=1(∂f(x)∂xi )2

.

4. a. Gi¶ sö ω lµ mét d¹ng vi ph©n bËc n− 1 trªn ®a t¹p n chiÒucomp¾c M d×m trong Rn. H·y chøng minh c«ng thøc Green∫

M

divω =

∫∂M

ω,

100 §ç Ngäc DiÖp

trong ®ã divω lµ d¹ng nguån cña d¹ng thÕ ω. NÕu trong hÖ to¹®é ®Þa ph¬ng d¹ng ω ®îc cho bëi c«ng thøc

ω(x) :=n∑k=1

(−1)kωi1,...,ik,...indx1 ∧ . . . ∧ dxk ∧ . . . ∧ dxn

th× nguån divω ®îc cho bëi c«ng thøc

divω = dω = (n∑k=1

∂ωi1,...,ik,...in∂xk

dx1 ∧ . . . ∧ dxn.

b. Gi¶ sö ω lµ mét 1-d¹ng vi ph©n trªn ®a t¹p n chiÒu comp¾cM , cã biªn ∂M trong Rn. Khi ®ã dω ®îc gäi lµ d¹ng xo¸yrotω. NÕu trong to¹ ®é ®i¹ ph¬ng d¹ng ω lµ

ω(x) =n∑i=1

ωi(x)dxi

th× rotω lµ 2-d¹ng vi ph©n cho bëi c«ng thøcrotω(x) = −

∑i<j

ωij(x)dxi ∧ dxj

= −∑i<j

(∂ωi(x)

∂xj− ∂ωj(x)

∂xi

)dxi ∧ dxj.

Chøng minh c«ng thøc Green∫∂M

ω =

∫M

rotω.

5. Chøng tá r»ng §Þnh lÝ Stokes kh«ng ®óng nÕu ®a t¹p M lµkh«ng comp¾c. NÕu ®a t¹p chØ lµ comp¾c ®Þa ph¬ng nhngd¹ng vi ph©n ω cã gi¸ comp¾c th× §Þnh lÝ Stokes vÉn cßn ®óng.

Ch¬ng 6

Lý thuyÕt ®êng vµ mÆt trong Rn

H×nh häc Riemann vµ symplectic tæng qu¸t sÏ ®îc giíi thiÖu s¬ bétrong ch¬ng nµy. §Ó lµm râ b¶n chÊt cña h×nh häc chóng t«i chØchó träng vµo çc ®êng cong vµ mÆt cong. H×nh häc çc ®a t¹pnhiÒu chiÒu lµ chuyªn ngµnh vÒ lýthuyÕt ®a t¹p cã metric.

6.1 §êng d×m trong Rn

6.1.1 §é dµi ®êng cong trong Rn. §êng tr¾c ®Þa

§Þnh nghÜa 6.1.1 §êng cong trong ®a t¹p M ®îc gäi lµ ®êngcong d×m trong M , nÕu nã lµ ®a t¹p con mét chiÒu trong mçi b¶n®å täa ®é ®i¹ ph¬ng, tøc lµ ®îc x¸c ®Þnh bëi hÖ ph¬ng tr×nh víih¹ng cña ma trËn Jacobi lµ n− 1.

VÝ dô1. γ = (x, sin( 1

x)); 0 ≤ x ≤ 1 lµ ®êng cong d×m trong R2.Nhng γ ∪ (0, y),−1 ≤ y ≤ 1 th× kh«ng thÓ lµ ®a t¹p con d×mtrong mÆt ph¼ng R2.

2. nTimeH ¶nh cña ®êng th¼ng y = θx, víi hÖ sè gãc θ v« tØkh«ng thÓ lµ ®êng d×m trong xuyÕn T2 = R2/Z2.

101


§Þnh nghÜa 6.1.2 (tham sè ho¸ ®êng cong) Mçi hÖ to¹ ®é ®Þa ph¬ngcho ta mét tham sè ho¸ ®Þa ph¬ng çc kho¶ng më cña ®êngcong:

t ∈ R1 ≈ (−1, 1) 7→ x(t) ∈M.

.Khi ®ã x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)), víi xi(t) lµ çc hµm tr¬n.

VÐct¬ tiÕp xóc víi ®êng cong t¹i mét ®iÓm x = x(t), víi t cè®Þnh lµ (x1(t), . . . , xn(t)) trong to¹ ®é DesCartes cña Rn.

Theorem 6.1.3 (Bµi to¸n Cauchy cho ®êng cong) NÕu tr¬ng vÐct¬ξ(x) lµ trêng vÐct¬ tr¬n trªn ®a t¹p th× bµi to¸n Cauchy

x(t) = χ(x(t))x(0) = x

cã nghiÖm duy nhÊt vµ nghiÖm ®ã gäi lµ ®êng cong qua ®iÓm x.

§é dµi cña mét vÐct¬ tiÕp xóc ξ(x(t)) = x(t) lµ

||x(t)|| =√∑

(xi)2.

§Þnh nghÜa 6.1.4 §êng cong ®îc gäi lµ chÝnh quy t¹i ®iÓm x =x(t), nÕu x(t) 6= 0. Cã nghÜa lµ çc ®¹o hµm xi(t) kh«ng ®ång thêib»ng 0.

§é dµi cña cung nèi hai ®iÓm x0 = x(t0) vµ x = x(t) lµ

s(t0, t) =

∫ t

t0

||x(t)||dt =

∫ t

t0

√∑(xi(t))2dt.

Chóng ta kh«ng thÓ nãi tíi ®êng th¼ng trong ®a t¹p M . Nhngchóng ta cã thÓ xÐt tíi nh÷ng ®êng cã tÝnh chÊt cña ®êng th¼ng.


§Þnh nghÜa 6.1.5 (§êng tr¾c ®Þa) §êng cong trong ®a t¹p M

nèi 2 ®iÓm x0 vµ x cã ®é dµi ng¾n nhÊt ®îc gäi lµ ®êng tr¾c ®Þanèi hai ®iÓm ®ã.

Theorem 6.1.6 (Bµi to¸n biÕn ph©n cho ®êng tr¾c ®Þa) §êng tr¾c®Þa lµ nghiÖm cña bµi to¸n biÕn ph©n

L(x, x) =

∫ t1

t0

||x(t)||dt −→ min

vµ tho¶ m·n ph¬ng tr×nh vi ph©n t¬ng øng víi bµi to¸n biÕn ph©n®ã

x(t) = 0.

Tóc lµ ®êng ®i ng¾n nhÊt nèi hai ®iÓ x0 vµ x1 trong Rn lµ ®êngth¼ng ®i qua hai ®iÓm ®ã.

ThËt vËy, lÊy ®¹o hµm biÕn ph©n cña phiÕm hµm ta cã ph¬ng tr×nhx(t) = 0.

Suy ra x(t) = a + L.t tøc lµ d¬ng th¼ng. V× víi t = t0 cã x = x0

vµ víi t = t1 cã x = x1, suy rax(t) = x0 + (x1 − x0)t.

NÕu ®êng cong lµ chÝnh quy th× s(t) 6= 0. Theo ®Þnh lÝ hµm

ngîc, tån t¹i hµm ngîc t = t(s). Khi ®ã ta cã thÓ chän chÝnh s

lµ mét tham sè cña ®êng cong.§Þnh nghÜa 6.1.7 Tham sè ho¸ ®êng cong theo tham sè ®é dµicña nã tõ mét ®iÓm cè ®Þnh x0 = x(t0) ®Õn mét ®iÓm x = x(t) bÊtk× ®îc gäi lµ tham sè ho¸ tù nhiªn

x = x(s) = x(t(s)), s ∈ R.


MÖnh ®Ò 6.1.8 Trong hÖ tham sè ho¸ tù nhiªn cña ®êng cong,vÐct¬ tiÕp xóc lu«n cã ®é dµi lµ 1,

n∑i=1

d

dsxi(s) = ||x′|| = 1.

Chøng minh. ThËt vËy, trong tham sè ho¸ tù nhiªn,xi = xi(t(s)),

cho nªn theo ®Þnh lÝ hµm ngîc,

x′(s) =d

dsx(s) = x(t)

dt

ds=

x(t))√∑ni=1(x

i(t))2=

x(t)

||x(t)||.

Cho nªn,||x′(s)|| = 1.

6.1.2 Môc tiªu trùc chuÈn. Môc tiªu FrÐnes. §é cong. §é xo¾n.Çc ®Þnh lÝ c¬ b¶n.

Gi¶ sö chóng ta cã ®êng congx(t) := (x1(t), . . . , x3(t), t ∈ (−1, 1),

x(0) = x = (x1, . . . , x3).

MÖnh ®Ò 6.1.9 Trong hÖ tham sè ho¸ tù nhiªn cña ®êng cong,®¹o hµm vÐcto tiÕp xóc τ(s) theo biÕn tham sè ®é dµi s lµ mét vÐct¬τ ′(s) vu«ng gãc víi vÐct¬ tiÕp xóc τ(s).

Chøng minh. ThËt vËy, chóng ta ®· chØ ra r»ng(τ(s), τ(s)) = ||τ(s)||2 ≡ 1.


Do vËy,d

ds(τ(s), τ(s)) = 2(τ ′(s), τ(s)) ≡ 0.

Tøc lµ τ ′(s) ⊥ τ(s),∀s.

§Þnh nghÜa 6.1.10 VÐt¬ chuÈn ho¸ ~n(s) = ~τ ′(s)||~τ ′(s)|| ®îc gäi lµ vÐct¬

ph¸p tuyÕn cña ®êng cong t¹i ~x(s).

§Þnh nghÜa 6.1.11 §¹i lîng k(s) := ||τ ′(s)|| gäi lµ ®é cong t¹i®iÓm x(s).

NhËn xÐt 6.1.12 (ý nghÜa h×nh häc cña ®é cong) §é cong k(s) cña®êng cong chÝnh quy t¹i x(s) lµ 1

R , víi R lµ b¸n kÝnh cña ®êngtrßn tiÕp xóc víi ®êng cong, t©m ë ®iÓm cuèi cña vÐct¬ τ ′(s).

ThËt vËy, Chóng ta cã c«ng thøc khai triÓn Taylor bËc nhÊt

~τ(s+ ∆s)~τ(s) = τ ′(s)∆s+ ε,

víi ε = o(∆s) vµ s lµ mét ®iÓm trung gian gi÷a s vµ s + ∆s. DovËy ta cã

k(s) =1

∆slim

∆s→0|~τ(s+ ∆s)− ~τ(s)|

Theo hÖ thøc trong tam gi¸c trong h×nh häc s¬ cÊp,

||τ ′(s)|| = k(s) = lim∆s→0

θ

∆s

[trong ®ã θ lµ gãc gi÷a vÐct¬ τ(s) vµ vÐct¬ τ(s+ ∆s).]

= lim∆s→0

|θ2

sin θ2

.2 sin θ

2

∆s| = lim

∆s→0|

θ2

sin θ2

.2 sin θ

2

R.s sin θ2

| = 1

R.


§Þnh nghÜa 6.1.13 (HÖ quy chiÕu FrÐnes) VÐct¬ ~τ(s) lµ vÐct¬ tiÕpxóc. VÐct¬ ~n(s) = τ ′(s)

||τ ′(s)|| ®îc gäi lµ vÐct¬ ph¸p tuyÕn . VÐct¬~b(s) = ~τ(s) × ~n(s) ®îc gäi lµ vÐct¬ trïng ph¸p tuyÕn . HÖ quychiÕu τ(s), ~n(s),~b(s) ®îc gäi lµ hÖ quy chiÕu FrÐnes . MÆt ph¼ngsinh bëi hai vÐct¬ ®¬n vÞ ~τ(s) vµ ~n(s) ®îc gäi lµ mÆt mËt tiÕp.MÆt ph¼ng sinh bëi ~n(s) vµ ~b(s) ®îc gäi lµ mÆt ph¸p diÖn . MÆtph¼ng sinh bëi hai vÐct¬ ~τ(s) vµ ~b(s) ®îc gäi lµ mÆt trùc ®¹c .

Theo ®Þnh nghÜa ta cã~b(s) = ~τ(s)× ~n(s),

cho nªn theo quy t¾c ®¹o hµm, dds~b(s) cïng ph¬ng (nhng cã thÓ

kh«ng cïng híng) víi ~n(s), tøc lµ dds~b(s) ⊥ ~b(s), ~n(s). §Æt κ(s)

lµ hÖ sè tØ lÖ sao chod

ds~b(s) = −κ(s)~n(s).

§Þnh nghÜa 6.1.14 HÖ sè κ(s) ®îc gäi lµ ®é xo¾n cña ®êng congt¹i x(s).

Theorem 6.1.15 (C«ng thøc FrÐnes)dds~τ(s) = k(s).~n(s)dds~n(s) = −k(s).~τ(s) κ(s)~b(s)dds~b(s) = −κ(s).~n(s)

hay lµ

d

ds

~τ(s)~n(s)~b(s)

==

0 k(s) 0−k(s) 0 κ(s)

0 −κ(s) 0

. ~τ(s)~n(s)~b(s)

.


Chøng minh. Tríc hÕt theo ®Þnh nghÜa,d

ds~τ(s) = −k(s)~n(s).

Theo ®Þnh nghÜa~b(s) = ~τ(s)× ~n(s).

Cho nªnd

ds~b(s) =

d

ds~τ(s)× ~n(s) + ~τ(s)× d

ds~n(s) =

= −k(s).~n(s)× ~n(s) + ~τ(s)× d

ds~n(s) = ~τ(s)× d

ds~n(s).

V× lÏ (~n(s), ~n(s)) ≡ 1 nªn (d~n(s)ds , ~n(s)) ≡ 0. Tøc lµ d~n(s)

ds lµ tæ hîptuyÕn tÝnh cña hai vÐct¬ cßn l¹i. Nhng (~τ(s), ~n(s)) ≡ 0 suy ra

(~τ(s),d~n(s)

ds) = −(

d~τ

ds, ~n) = −k(s).

Tõ (~n,~b) = 0 suy ra

(d~n

ds,~b) = −(~n,

d~b

ds) = κ.

Cho nªnd~n

ds= −k(s).~τ(s) + κ(s).~b(s).

NhËn xÐt 6.1.16 Trong l©n cËn ®iÓm x(s), ¶nh cña ®êng cong lªnmÆt mËt tiÕp vµ mÆt trùc ®¹c lµ çc ®êng cong tiÕp xóc víi ~τ(s).H×nh chiÕu trùc giao cña ®êng cong lªn mÆt ph¸p diÖn lµ hai nh¸nhcïng ®i tõ gèc täa ®é tiÕp xóc víi ph¬ng ~n(s) cã k× dÞ h×nh nÕpgÊp. Do vËy c¬ së FrÐnes cho mét nghiªn cøu ®Þnh tÝnh ®êng congt¹i l©n cËn mçi ®iÓm. Tõ ®ã suy ra r»ng h×nh ¶nh cña ®êng congtrong hÖ to¹ ®é FrÐnes lµ tiÕp xóc víi ph¬ng ~τ(s) vµ lµ gi¶i k× dÞvíi ph¬ng ~n(s).


6.1.3 §Þnh lÝ c¬ b¶n

NhËn xÐt 6.1.17 Çc kh¸i niÖm ®é dµi ®êng cong, ®é cong cñacung chÝnh quy lµ nh÷ng kh¸i niÖm bÊt biÕn qua ®¼ng cÊu affinetrùc giao cßn kh¸i niÖm ®é xo¾n cña cung song chÝnh quy ®Þnhhíng bÊt biÕn qua çc phÐp biÕn ®æi affine trùc giao, b¶o toµn®Þnh híng.

Trªn thùc tÕ ®é cong vµ ®é xo¾n x¸c ®Þnh chÝnh ®êng cong.Chóng ta ph¸t biÓu kÕt qu¶ c¬ b¶n cña lÝ thuyÕt ®êng cong bá quachøng minh.Theorem 6.1.18 (§Þnh lÝ c¬ b¶n) Cho hai hµm sè k(s) ≥ 0 vµκ(s) kh¶ vi líp C l, l ≥ 0 trªn kho¶ng më J ⊆ R.

1. Tån t¹i cung chÝnh quy ®Þnh híng víi tham sè ho¸ tù nhiªnJ → R3, s 7→ r(s), kh¶ vi líp C l+2, nhËn k(s) vµ κ(s) lµ ®écong vµ ®é xo¾n t¬ng øng.

2. NÕu tån t¹i hai cung chÝnh quy r vµ ρ víi tÝnh chÊt trªn, th×tån t¹i mét phÐp dêi h×nh (tøc lµ mét ®¼ng cÊu affine trùc giaob¶o toµn ®Þnh híng biÕn chóng sang nhau, r = f ρ.

Do khu«n khæ ch¬ng tr×nh, chóng ta bá qua chøng minh. SÏ rÊt thuËn tiÖn khi chóng ta cã thÓ dÉn ra c«ng thøc tÝnh ®é

cong vµ ®é xo¾n trong tham sè ho¸ bÊt k×.MÖnh ®Ò 6.1.19 Gi¶ sö t 7→ ~r(t) lµ mét tham sè ho¸ bÊt k× cña métcung cong. Khi ®ã

k(t) =||~r(t)× ~r(t)||||~r(t)||3

,

κ(t) =(~r(t)× ~r(t)). ˙~r(t)||~r(t)× ~r(t)||2

.


Chøng minh. ThËt vËy,~r(t) = ||~r(t)||~τ(t),

~r(t) =˙︷︸︸︷

||~r(t)||~τ(t) + ||~r(t)||~τ(t),

~r(t)× ~r(t) = ||~r(t)||2~τ(t)× ~τ(t),

~r(t)× ~r(t)||~r(t)||3

=~τ(t)

||~r(t)||× ˙~τ(t) = k(t)~b(t).

Cho nªn,k(t) =

||~r(t)× ~r(t)||||~r(t)||3

.

Chóng ta l¹i cã~r(t)× ~r(t)||~r(t)||3

= ~τ(t)× k(t)~n(t) = k(t)~b(t).

Cho nªn,(~r(t)× ~r(t)). ˙~r = ||~r(t)||3k(t)~b.

Chóng ta chØ cÇn quan t©m ®Õn thµnh phÇn chøa ~b trong ˙~r(t),

~r(t) =˙︷︸︸︷

||~r(t)||~τ + ||~r(t)||~τ = s(t)~τ + s2k~n,

˙~r(t) = . . .+ s2kn′(s).s = . . .+ s3k(s(t))κ(s(t))~b(s(t)).

(~r × ~r). ˙~r(t) = s6k2κ.

Cho nªn ta cãκ(t) =

(~r(t)× ~r(t)). ˙~r(t)||~r(t)× ~r(t)||2

.


VÝ dô. Cho dêng cong tham sè ho¸ lµ t 7→ ~r(t) = a~ε(t) + b~e3,

víi ε(t) = cos t~e1 + sin t~e2. Khi ®ã,

~r(t) = a~ε(t+π

2) + b~e3

~r(t) = a~ε(t+ π = −aε(t).˙~r(t) = −a~ε(t+

π

2).

||~r|| =√a2 + b2.

||~r × ~r|| = a√a2 + b2.

||(~r × ~r) ˙~r|| = a2b.

Cho nªn,k(t) =

a

a2 + b2 .

κ(t) =b

a2 + b2 .

6.2 MÆt d×m trong R3

6.2.1 Môc tiªu Darboux cña ®êng cong trªn mÆt d×m

Nh¾c l¹i kh¸i niÖm mÆt d×m trong Rn. Trong mét b¶n ®å to¹ ®é ®Þaph¬ng, mçi ®iÓm cña ®a t¹p ®îc ®¸nh sè bëi bé çc sè. NÕu ®at¹p lµ 2-chiÒu trong kh«ng gian Rn. Th× nã cßn ®îc gäi ®¬n gi¶nlµ m¶nh tham sè ho¸ .§Þnh nghÜa 6.2.1 M¶nh tham sè ho¸ S lµ mét ¸nh x¹ tõ mét l©ncËn më U cña gèc täa ®é trong R2 vµo l©n cËn më cña ®iÓm x trªnmÆt trong Rn cho bëi ¸nh x¹

r : U → Rn,


(u, v) ∈ r(u, v) ∈ S ⊆ Rn.

NÕu r(u0, v0 lµ mét ®iÓm cè ®Þnh th× çc ®êng cong r(., v0) : U ∩R→ Rn vµ r(u0, .) : U ∩R→ Rn lµ hai ®êng to¹ ®é tham sèho¸ mÆt cong.

§Þnh nghÜa 6.2.2 §iÓm r(u0, v0) ®îc gäi lµ ®iÓm chÝnh quy , nÕuçc ®êng to¹ ®é lµ chÝnh quy t¹i ®iÓm nµy, tøc lµ hai vÐct¬ r′u(u, v0)vµ r′v(u0, v) lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian tiÕp xóc Tr(u,v)S.§iÓm kh«n chÝnh quy cßn ®îc gäi lµ ®iÓm k× dÞ cña m¶nh thamsè ho¸.

T¹i ®iÓm chÝnh quy cña m¶nh tham sè ho¸ ®i qua ®iÓm r(u, v)mÆt ph¼ng tiÕp xóc Tr(u,v)S ®îc sinh ta bëi hai vÐct¬ tiÕp xócr′u(u, v) vµ r′v(u, v) cña çc ®êng to¹ ®é nãi trªn.

§Þnh nghÜa 6.2.3 §êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt tiÕp xóc Tr(u,v)S

gäi lµ ph¸p tuyÕn cña m¶nh tham sè ho¸ t¹i ®iÓm r(u, v). VÐct¬

~n(u, v) :=~r′u(u, v) ∧ ~r′v(u, v)

||~r′u(u, v) ∧ ~r′v(u, v)||

®îc gäi lµ vÐct¬ ph¸p tuyÕn t¹i r(u, v).

Theorem 6.2.4 (ph¬ng tr×nh mÆt tiÕp xóc) NÕu mÆt tham sè ho¸S ®îc cho bëi çc to¹ ®é

~r(u, v) = (x1(u, v), . . . , xn(u, v))

vµ ~ξ = (X1, . . . , Xn lµ çc to¹ ®é cña ®iÓm trong mÆt tiÕp xóc t¹ir(u0, v0), th× ph¬ng tr×nh cña mÆt tiÕp xóc ®îc cho bëi

(~ξ − r(u0, v)0), ru(u0, v0) ∧ r′v(u0, v0)) = 0


Trong trêng hîp n = 3, çc täa ®é tuyÕn tÝnh cña kh«ng gian tiÕpxóc lµ (X1, . . . , x3) = (X, Y, Z) ph¬ng tr×nh viÕt thµnh d¹ng∣∣∣∣∣∣

X − x(u0, v0) Y − y(u0, v0) Z − z(u0, v0)x′u(u0, v0) y′u(u0, v0) z′u(u0, v0)x′v(u0, v0) y′v(u0, v0) z′v(u0, v0)

∣∣∣∣∣∣ = 0

H¬n thÕ n÷a, v× hÖ to¹ ®é DesCartes trong R3 lµ vu«ng gãc chÝnht¾c cho nªn ph¬ng tr×nh cña mÆt tiÕp xóc còng ®îc cho bëi

X − x(u0, v0)∣∣∣∣ u(u0, v0) z′u(u0, v0)

v(u0, v0) z′v(u0, v0)

∣∣∣∣ =Y − y(u0, v0)∣∣∣∣ z′u(u0, v0) x′u(u0, v0)

z′v(u0, v0) x′v(u0, v0)

∣∣∣∣ =

=Z − z(u0, v0)∣∣∣∣ x′u(u0, v0) u(u0, v0)

x′v(u0, v0) v(u0, v0)

∣∣∣∣ .§Þnh nghÜa 6.2.5 MÆt d×m trong Rn lµ mét tËp con trong Rn saocho mçi ®iÓm cã mét l©n cËn lµ m¶nh tham sè ho¸ chÝnh quy.

6.2.2 D¹ng toµn ph¬ng c¬ b¶n

Trong môc nµy vµ çc môc cßn l¹i, ta chØ xÐt trêng hîp kh«ng gianba chiÒu R3, n = 3. Trêng hîp n bÊt kú còng cã thÓ xÐt t¬ng tù.Tuy nhiªn mét sè kh¸i niÖm cÇn ®îc c¶i tiÕn mét çch thÝch hîp.

Gi¶ sö S lµ mét mÆt d×m trong R3 vµ ~n = ~n(u, v) lµ vÐct¬ ph¸ptuyÕn t¹i ®iÓm r(u, v) ∈ S. Víi mçi vÐct¬ tiÕp xóc ξ ∈ TpS víi mÆtt¹i ®iÓm p = r(u, v) chóng ta cã ®¹o hµm thuËn biÕn Dξ, t¸c ®éngtrªn çc hµm hay nh¸t c¾t theo c«ng thøc

Dξf(p) :=d

dt|t=0f(x(t)),


trong ®ã x(t) lµ ®êng cong trªn mÆt S ®i qua ®iÓm p, nhËn ξ lµvÐct¬ tiÕp xóc, tøc lµ tho¶ bµi to¸n Cauchy:

x(t) = ξ(x(t))x(0) = p

Theo tÝnh chÊt cña phÐp ®¹o hµm, v× ~n lµ vÐct¬ ®¬n vÞ nªn2(Dξ~n(u, v), ~n(u, v) = Dξ(~n(u, v), ~n(u, v)) = Dξ1 = 0.

NghÜa lµ Dξ~n ∈ TpS.

§Þnh nghÜa 6.2.6 ¸nh x¹

hp : TpS → TpS,

cho bëi c«ng thøc

ξ 7→ hp(ξ) := −Dξ~n ∈ TpS,

®îc gäi lµ ¸nh x¹ Weingarten . Khi p thay ®æi, ta kÝ hiÖu ¸nh x¹®ã lµ h.

Çc tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ¸nh x¹ Weingarten:

MÖnh ®Ò 6.2.7 Víi mäi ®iÓm p ∈ S, hp lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh ®èixøng tõ TpS vµo chÝnh nã, tøc lµ

(hp(ξ), η) = (ξ, hp(η)).

Chøng minh. ThËt vËy, víi mäi hÖ tham sè ho¸ (u, v) 7→ ~r(u, v) ∈S, ta cã

(hp(~ξ), ~η) = −(Dξ~η, ~η).

Chóng ta nhËn xÐt r»ng chØ cÇn chøng minh mÖnh ®Ò cho çc trêngvÐct¬ c¬ së ~ξ = ~r′u(u, v), vµ ~η = ~r′v(u, v). Víi çc trêng vÐct¬ nµydÔ thÊy ngay lµ

hp(~r′u) = −D~r′u~n = − ∂

∂u(~n r)(u, v)


vµ t¬ng tù

hp(~r′v) = −D~r′v~n = − ∂

∂v(~n r)(u, v).

MÆt kh¸c, chóng ta thÊy lµ(~n r(u, v), ~r′u) = 0,

nªn ta còng cã

(∂

∂u~n r(u, v), ~r′v) + (~n r(u, v),

∂

∂u~r′v) = 0.

Cho nªn(hp(~r

′u), ~r

′v) = (~n r, ∂

∂u~r′v).

T¬ng tù ta còng cã

(hp(~r′v), ~r

′u) = (~n r, ∂

∂v~r′u).

V× çc ®¹o hµm riªng cÊp 2 lµ ®èi xøng∂

∂u~r′v =

∂2

∂u∂v~r =

∂2

∂v∂u~r =

∂

∂v~r′u,

nªn(hp(~r

′u), ~r

′v) = (hp(~r

′v), ~r

′u).

§Þnh nghÜa 6.2.8 Mçi gi¸ trÞ riªng cña hp ®îc gäi lµ ®é congchÝnh t¹i p cña mÆt S. Mçi vÐct¬ riªng cña hp x¸c ®Þnh mét ph¬nggäi lµ ph¬ng chÝnh t¹i p cña S. §Þnh thøc cña tù ®ång cÊu hpgäi lµ ®é cong Gauss t¹i S. Mét nöa gi¸ trÞ vÕt cña hp, tøc lµ12trace(hp) ®îc gäi lµ ®é cong trung b×nh t¹i p cña S.


NhËn xÐt 6.2.9 Tõ çc tÝnh chÊt cña tù ®ång cÊu tuyÕn tÝnh ®èixøng suy ra r»ng chØ cã thÓ s¶y ra çc trêng hîp sau ®©y:

1. ¸nh x¹ Weingarten cã hai gÝa trÞ riªng thùc ph©n biÖt. Gäik1 6= k2 lµ hai gi¸ trÞ riªng ®ã. Khi ®ã hai ph¬ng chÝnh t¹ip ®îc hoµn toµn x¸c ®Þnh, vu«ng gãc víi nhau vµ lµ hai trôccña ®êng ellipse (hp(~ξ), ~ξ). Hai ph¬ng chÝnh ~e1, ~e2 lËp thµnhc¬ së trùc chuÈn. §é cong Gauss lµ

K(p) = k1.k2.

§é cong trung b×nh lµ

H(p) =1

2(k1 + k2).

2. ¸nh x¹ Weingarten cã mét gi¸ trÞ riªng thùc kÐp, k = k1 =k2 Khi ®ã mäi ph¬ng lµ ph¬ng chÝnh. Mçi c¬ së trùc chuÈn~e1, ~e2 lµ c¬ së trùc chuÈn gåm çc vÐct¬ riªng. §é cong Gausslµ K(p) = −k(p)2 ≥ 0. §é cong trung b×nh lµ

H(p) = k(p).

§Þnh nghÜa 6.2.10 Nh÷ng ®iÓm p nh thÕ ®îc gäi lµ ®iÓm rèncña mÆt S.

a NÕu k = k1 = k2 = 0 th× ®iÓm p ®îc gäi lµ ®iÓm dÑt.

b NÕu k = k1 = k2 6= 0 th× ®iÓm p ®îc gäi lµ ®iÓm cÇu .

Nãi chung, ®iÓm p cña S ®îc gäi lµ ®iÓm elliptic, hyperbolic,hay parabolic , tuú thuéc ®é cong Gauss lµ ©m, d¬ng hay b»ng0.


NhËn xÐt 6.2.11 Khi ®æi ®Þnh híng cña S b»ng çch xÐt −~n thaycho ~n th× ¸nh x¹ Weingarten hp ®îc thay bëi −hp. Nªn ®é congtrung b×nh ®æi dÊu cßn ®é cong Gauss kh«ng ®æi dÊu. Do ®ã ®ÞnhnghÜa ®é cong Gauss cã nghÜa c¶ cho çc mÆt kh«ng ®Þnh híng.

§Þnh nghÜa 6.2.12 D¹ng song tuyÕn tÝnh

Ip : TpS × TpS → R,

(~ξ, ~η → (~ξ, ~η)

®îc gäi lµ d¹ng c¬ b¶n I t¹i p cña mÆt S vµ d¹ng song tuyÕn tÝnh

IIp : TpS × TpS → R,

~ξ, ~η → (hp(~ξ), ~η)

®îc gäi lµ d¹ng c¬ b¶n II t¹i p cña S.

Trong tham sè ho¸ ®Þa ph¬ng (u, v) ∈ U 7→ r(u, v) ∈ S chóng taxÐt çc hµm sè

E(u, v) := I(~r′u, ~r′u) L(u, v) := II(~r′u, ~r

′u)

F (u, v) := I(~r′u, ~r′v) M(u, v) := II(~r′u, ~r

′v)

G(u, v) := I(~r′v, ~r′v) N(u, v) := II(~r′v, ~r

′v)

lµ çc hÖ sè cña ma trËn Gram-Schmidt cña çc d¹ng ®ã. NÕu çcvÐct¬ tiÕp xóc ~ξ, ~η cã ph©n tÝch theo c¬ së ~r′u, ~r′v lµ

~ξ = ξ1~r′u + ξ2~r′v, ~η = η1~r′u + η2~r′v,

th×Ip(~ξ, ~η) = (E r−1)ξ1η1 + (F r−1)(ξ1η2 + ξ2η1) + (G r−1)ξ2η2,

IIp(~ξ, ~η) = (Lr−1)ξ1η1 +(M r−1)(ξ1η2 +ξ2η1)+(N r−1)ξ2η2,


Theorem 6.2.13 (C«ng thøc tÝnh ®é cong Gauss vµ ®é cong trung b×nh)

K(p) =LN −M 2

EG− F 2 (u, v),

2H(p) =EN +GK − 2FM

EG− F 2 (u, v).

Chøng minh. Chóng ta xÐt c¬ së ~ξ = ~r′u, ~η = ~r′v. NÕuhp(~ξ) = α~ξ + b~η,

hp(~η) = c~ξ + d~η,

th× theo ®Þnh nghÜa,

K(p) = ad− bc, H(p) =1

2(a+ d).

Do ®ã chóng ta thÊy ngay lµhp(~ξ)× hp(~η) = K(p)~ξ × ~η,

hp(~ξ)× ~η + ~ξ × hp(~η) = 2H(p)~ξ × ~η.

LÊy tÝch v« híng c¶ hai vÕ cña c¶ hai ®¼ng thøc trªn víi ~ξ × ~η vµchó ý r»ng víi bèn vÐct¬ tuú ý trong R3,

(~α× ~β).(~γ × δ) =

∣∣∣∣∣ ~α.~γ ~α.~δ~β.~γ ~β.~δ

∣∣∣∣∣ ,chóng ta cã

K(p) =

∣∣∣∣∣ hp(~ξ).~η hp(~ξ).~η

hp(~η).~ξ hp(~η).~η

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ~ξ.~ξ ~ξ.~η

~η.~ξ ~η.~η

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣ II(~ξ, ~ξ) II(~ξ, ~η)II(~η) II(~η, ~η)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ I(~ξ, ~ξ) I(~ξ, ~η)

I(~η, ~ξ) I(~η, ~η)

∣∣∣∣∣,


2H(p) =

∣∣∣∣∣ hp(~ξ).~η hp(~ξ).~η

~η.~ξ ~η.~η

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ~ξ.~ξ ~ξ.~η

~η.~ξ ~η.~η

∣∣∣∣∣−

∣∣∣∣∣ hp(~η).~ξ hp(~η).~η)

~η.~ξ ~ξ.~η

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ~ξ.~ξ ~ξ.~η

~η.~ξ ~η.~η

∣∣∣∣∣,

6.2.3 §é cong ph¸p d¹ng vµ ®é cong trùc ®¹c cña ®êng congtrªn mÆt

Nh¾c l¹i r»ng ®é dµi

s = s(t) =

∫ t

t0

√(x1(t))2 + (x2(t))2 + (x3(t))2dt

cña ®êng cong chÝnh quy cã thÓ dïng lµm tham sè ho¸ ®êng cong®ã

s 7→ ρ(s) = r(t(s))

vµ ®îc gäi lµ tham sè ho¸ tù nhiªn cña ®êng cong chÝnh quy. Tacòng nh¾c l¹i quy íc kÝ hiÖu: dÊu chÊm trªn ®Çu nghÜa lµ ®¹o hµmtheo biÕn t cßn dÊu ph¶y lµ ®¹o hµm theo tham sè ho¸ tù nhiªn s.V× chóng ta ®· biÕt (theo c«ng thøc FrÐnes)

(~ρ′, ~n ρ) = 0,

nªn ta cã(~ρ′′, ~n ρ) + (~ρ, (~n ρ)′ = 0.

Chóng ta còng cã(~ρ′′, (~n ρ)) = −(~ρ, (~n ρ)′) = −(~ρ,D~ρ′~n) = (~ρ, hp(~ρ

′) = IIp(~ρ′).

Do vËy, nÕu ~ρ′ = 0 th×IIp(~ρ

′) = 0.


Tr¸i l¹i, nÕu ~ρ′ 6= −, th× theo c«ng thøc FrÐnes~ρ′′(s0) = k(s0) ~N(s0),

víi k(s0) lµ ®é cong cña cung chÝnh quy γ : s 7→ ρ(s) t¹i s0, ~N(s0)lµ vÐct¬ ph¸p tuyÕn chÝnh, ®é dµi ®¬n vÞ cña γ t¹i ®iÓm ρ(s0). NhvËy, chóng ta cã

(k(s0) ~N(s0), ~n(ρ(s0))) = (~ρ′(s0)).

§Þnh nghÜa 6.2.14 Víi mçi vÐct¬ tiÕp xóc ~ξ ∈ TpS \0, ®¹i lîngk(~ξ) := II(ξ)

I(~ξ)kh«ng ®æi khi ta nh©n ~ξ víi mét sè kh¸c 0, gäi lµ ®é

cong ph¸p d¹ng cña S theo ph¬ng x¸c ®Þnh bëi ~ξ. C«ng thøcMeusnier[M¬niª] :

(k(s0) ~N(s0), ~n(ρ(s0))) = k(~ρ′(s0))).

HÖ qña 6.2.15 1. Mäi cung song chÝnh quy γ n»m trªn mÆt S,cã cïng tiÕp tuyÕn (tøc lµ vÐct¬ tiÕp xóc cña chóng tØ lÖ víinhau) t¹i s ∈ S vµ cã cïng mÆt mËt tiÕp (gi¶ sö nã kh¸c víimÆt ph¼ng tiÕp xóc TpS) th× cã cïng ®é cong t¹i p.

2. NÕu giao cña S víi mÆt ph¼ng chøa ph¸p tuyÕn cña S t¹i plµ mét cung song chÝnh quy γ trong l©n cËn cña ®iÓm p th× ®écong cña γ t¹i p b»ng trÞ tuyÖt ®èi cña ®é cong ph¸p d¹ng cñaS theo ph¬ng cña tiÕp tuyÕn cña γ t¹i p.

6.2.4 Ph¬ng chÝnh vµ ®é cong Gau

Víi mçi vÐct¬ riªng ~e cña hp, hp(~e) = k~e, ta cã

k(~e) =II(~e)

I(~e)=k~e.~e

~e.~e= k(s).

NÕu ta chän c¬ së trùc chuÈn ~e1, ~e2 cña TpS gåm çc vÐct¬riªng cña hp, th×


§Þnh nghÜa 6.2.16

k(~e1) = k1, k(~e2) = k2

®îc gäi lµ ®é cong chÝnh cña S t¹i p.

MÖnh ®Ò 6.2.17 (C«ng thøc Euler) NÕu ~ξ = cosϕ~e1 + sinϕ~e2 th×®é cong ph¸p d¹ng theo ph¬ng ξ lµ

k(~ξ) = k1 cos2 ϕ+ k2 sin2 ϕ.

Chøng minh.

k(~ξ) = II(~ξ)

= hp(~ξ).~ξ= hp(cosϕ~e1 + sinϕ~e2).(cosϕ~e1 + sinϕ~e2)

= (k1 cosϕ~e1 + k2 sinϕ~e2).(cosϕ~e1 + sinϕ~e2).

HÖ qña 6.2.18 1. Çc ®é cong chÝnh k1, k2 lµ çc cùc trÞ cña ®écong ph¸p d¹ng k(~ξ) khi ~ξ thay ®æi trªn TpS \ 0.

2. NÕu çc ®é cong chÝnh k1, k2 cã cïng dÊu th× ®é cong ph¸pd¹ng k(~ξ) còng cã cïng dÊu ®ã. NÕu çc ®é cong chÝnh kh¸cdÊu nhau th× lu«ng tån t¹i ph¬ng ~ξ ∈ TpS \ 0 ®Ó k(~ξ) = 0.

6.2.5 Çc ®Þnh lÝ c¬ b¶n cña lÝ thuyÕt mÆt d×m

Gi¶ sö S lµ mét mÆt hai chiÒu, ®Þnh híng bëi trêng vÐct¬ ph¸ptuyÕn ~n. Gi¶ sö ~u1, ~u2 lµ mét trêng môc tiªu tiÕp xóc, trùc chuÈntrªn mét tËp më V trong S.

Gäi θ1 vµ θ2 lµ trêng môc tiªu ®èi ngÉu víi trêng môc tiªuu1, u2, tøc lµ t¹i mäi ®iÓm cña V ,

θi(~uj) = δij, (i, j = 1, 2).


NÕu ta kÝ hiÖu ~n|V = ~u3, th× ~u1, ~u2, ~u3 lµ mét trêng môc tiªutrùc chuÈn cña R3 däc theo V , t¬ng thÝch víi ~n. Dïng ph©n ho¹ch®¬n vÞ cho mÆt S suy ra r»ng mçi ®iÓm p cña V cã mét l©n cËn mëW trong R3 vµ mét trêng môc tiªu trùc chuÈn ~u1, ~u2, ~u3 ®Ó khithu hÑp lªn V ∩W ta ®îc ~u1, ~u2, ~u3 thu hÑp lªn V ∩W .

Gäi θ1, θ2, θ3 lµ çc trêng môc tiªu ®èi ngÉu víi ~u1, ~u2, ~u3,θi(~uj) = δij(i, j = 1, 2, 3).

§Þnh nghÜa 6.2.19 Çc d¹ng (ωlk)(k, l = 1, 2, 3) cho bëi ®iÒu kiÖn

D~uk =3∑l=1

ωlk~ul(k = 1, 2, 3)

gäi lµ çc d¹ng liªn kÕt cña S trªn V .

NhËn xÐt 6.2.20 Çc d¹ng liªn kÕt cã tÝnh chÊt

ωij = −ωji .

VËy nªn vÒ thùc chÊt, chóng ta cã ba d¹ng vi ph©n ω21, ω

31, ω

32 tho¶

m·n çc ph¬ng tr×nh x¸c ®Þnh chóng lµDξ~u1 = ω2

1~u2(p) + ω31~n(p),

Dξ~u2 = ω12~u1(p) + ω3

2~n(p),

Dξ~u3 = ω13~u1(p) + ω2

3~n(p),

ωlk = −ωkl (k, l = 1, 2, 3).

NhËn xÐt r»ng çc ph¬ng tr×nh cÊu tróc cña R3 trong trêngtrùc chuÈn ~u1, ~u2, ~u3 trªn W lµ

dθk = −∑

ωkl θk,


dωlk = −∑m

ωlm ∧ ωmk

víi k, l,m = 1, 2, 3. §Ó ý r»ngdθ3|V = d~n|V = 0,

chóng ta suy ra çc ph¬ng tr×nh c¬ b¶n cña lý thuyÕt mÆt d×m trongR3.§Þnh nghÜa 6.2.21 1. Ph¬ng tr×nh dθ‘ = −ω1

2 ∧ θ2 ®îc gäi lµph¬ng tr×nh cÊu tróc .

2. Ph¬ng tr×nh

dθ2 = −ω21 ∧ θ1, ω3

1 ∧ θ1 + ω32 ∧ θ2 = 0

®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh ®èi xøng .

3. Ph¬ng tr×nhdω1

2 = −ω13 ∧ ω3

2

®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh Gauss .

4. Ph¬ng tr×nh

dω13 = −ω1

2 ∧ ω23, dω2

3 = −ω12 ∧ ω1

3

®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh Peterson-Kodazi .

HÖ qña 6.2.22 Do hp(~ξ) = −Dξ~n, ta suy ra

hp(~ξ) = ω31(~ξ) + ω3

2(~ξ)~u(p).

H¬n thÕ n÷a, chóng ta cã ph¬ng tr×nh

dω12 = Kθ1 ∧ θ2.

Ph¬ng tr×nh nµy còng ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh Gauss .


Chøng minh. ThËt vËy, chóng ta cã

h(~u1) = ω31(~u1)~u1 + ω3

2(~u1)~u2,

h(~u2) = ω31(~u2)~u1 + ω3

2(~u2)~u2.

Cho nªn suy ra r»ng

K = det(hp) = ω31(~u1)ω

32(~u2)− ω(~u2)ω

32(~u1).

Ph¬ng tr×nh Gaussdω1

2 = −ω13 ∧ ω3

2

lµ t¬ng ®¬ng víi

dω12(~u1, ~u2) = (ω1

3 ∧ ω32)(~u1, ~u2).

Tõ ®ã suy ra ph¬ng tr×nh

dω12 = Kθ1 ∧ θ2.

Chóng ta nghiªn cøu hai øng dông h×nh häc cña çc ph¬ng tr×nh

trªn. Çc kÕt qña øng dông hÕt søc ®Ñp ®Ï, tuy nhiªn do khu«n khæcña ch¬ng tr×nh, chóng ta bá qua çc chøng minh cña hai ®Þnh lÝsaô

Theorem 6.2.23 MÆt liªn th«ng trong R3 mµ mäi ®iÓm lµ ®iÓm rèncã ®é cong Gauss h»ng (kh«ng ©m).

Theorem 6.2.24 (§Þnh lÝ Liebmann) MÆt hai chiÒu comp¾c d×mtrong R3 víi ®é cong Gauss h»ng K = const lµ mÆt cÇu b¸n kÝnhR = 1

K .


6.2.6 §Þnh lÝ Gauss -Bonnet

Gi¶ sö r : U ⊆ R2 → R3 mµ mét tham sè ho¸ ®Þa ph¬ng cña mÆtM . Gi¶ sö ∆A0B0C0 lµ mét tam gi¸c trong U . nh cña tam gi¸c nµyqua ¸nh x¹ r lµ mét tam gi¸c cong, kÝ hiÖu lµ (ABC) víi çc ®ØnhA = r(A0), B = r(B0), C = r(C0) vµ çc c¹nh (cong) t¬ng ønglµ a = r([B0, C0]), b = r([A0, C0]), c = r([A0, B0]). Chóng ta còngkÝ hiÖu

A := ~b′,~c′ :=(~b′,~c′)

||~b′||.||~c′||®é lín ®o b»ng radian cña gãc ngoµi t¹i ®Ønh A trong mÆt tiÕp xócTAM vµ t¬ng tù cho B, C. Chóng ta kÝ hiÖu K la ®é cong Gausscña M vµ µ lµ phÇn tö diÖn tÝch chÝnh t¾c (víi híng ®· chän) trªnmÆt M , kg lµ ®é cong tr¾c ®Þa cña cung t¬ng øng,∫

∂(ABC)kgds :=

∫a

kgds+

∫b

kgds+

∫c

kgds.

Theorem 6.2.25 (C«ng thøc Gauss-Bonnet cho tam gi¸c cong)∫(ABC)

Kµ+

∫∂(ABC)

= 2π − (A+ B + C).

Chøng minh. Chóng ta chän mét trêng môc tiªu trùc chuÈn ®Þnhhíng thuËn ~u1, ~u2 trªn V = r(U) vµ gäi ω2

1 lµ d¹ng liªn th«ng cñaM trong trêng môc tiªu ®ã. NÕu ρ : I = [0, 1] → V lµ mét cung®Þnh híng, ||ρ′|| = 1 vµ nÕu ta viÕt ρ′(a) = cosϕ(s)u1(ρ(s)) +sinϕ(s)u2(ρ(s)) th×∫

I kgds =∫ s1

s0kg(s)ds

= ϕ(s1)− ϕ(s0)−∫ s1

s0ω1

2(ρ′(s))ds

= ϕ(s1)− ϕ(s0)−∫ρ ω

12,


trong ®ã ϕ(s0) u1(ρ(s0)), ρ′(s0)) lµ ®é lín cña gãc ®Þnh híng t¹obëi u1(ρ(s0)) vµ ρ′(s0). VËy nªn ta cã∫

a

kgds = u1(C), a′(C)− u1(B), a′(B)−∫a

ω12.

T¬ng tù, ta còng cã c«ng thøc cho ∫b kgds, vµ ∫c kgds. Cuèicïng lµ chóng ta cã∫

∂(ABC) kgds = ( u1(A), b′(A)− widehatu1(A), c′(A))

+ u1(B), c′(B)− u1(B), a′(B))

+ u1(C), a′(A)− u1(A), b′(A))−(∫a ω

12 +

∫b ω

12 +

∫c ω

12)

= −A− B − C + 2πl −∫

(ABC)Kµ

Theo c«ng thøc Stokes, ta cã∫a

ω12 +

∫b

ω12 +

∫c

ω12 +

∫(ABC)

dω12 =

∫(ABC)

Kµ.

B©y giê ta chØ cÇn chØ ra lµ béi sè l = 1. ThËt vËy, chóng ta cã c«ngthøc ∫

(ABC)Kµ+

∫∂(ABC)

kgds+ (A+ B + C) = 2πl.

Chóng ta kÝ hiÖu 〈., .〉0 lµ cÊu tróc Riemann trªn V = r(U) ®¼ngcÊu ®¼ng cù víi U ⊆ R2. Khi ®ã víi mçi t ∈ [0, 1], c«ng thøc〈., .〉t := (1− t)〈., .〉0 + t〈., .〉 x¸c ®Þnh cÊu tróc Riemann trªn V vµc«ng thøc cña ta cã d¹ng∫

(ABC)Kµ+

∫∂(ABC)

kgds+ (A+ B + C) = 2lπ

®óng víi mäi t ∈ [0, 1] Hai tÝch ph©n ë vÕ tr¸i phô thuéc liªn tôc vµot. Suy ra l còng phô thuéc liªn tôc vµo t. Nhng l ∈ Z, nªn l kh«ng


phô thuéc vµo t. Khi t = 0 ta cãK = 0, kg = 0, vµ A+B+C = 2π,theo h×nh häc Euclid trong R2. VËy suy ra l = 1.

NhËn xÐt 6.2.26 1. Chóng ta kÝ hiÖu çc gãc trong cña mét tamgi¸c lµ A = π− A, B = π− B, C = π− C. C«ng thøc Gauss-Bonnet trë thµnh∫

(ABC)Kµ+

∫∂(ABC)

kgds = A+ B + C − π.

2. NÕu a, b, c lµ nh÷ng cung tr¾c ®Þa th× c«ng thøc Gauss-Bonnettrë thµnh ∫

(ABC)Kµ = A+ B + C − π.

VËy tæng çc gãc trong cña mét tam gi¸c víi çc c¹nh lµ çc®êng cong tr¾c ®Þa lín h¬n π nÕu ®é cong Gauss K > 0, vµbÐ h¬n π nÕu K < 0 vµ b»ng π nÕu ®é cong Gauss K ≡ 0.

3. §é cong tr¾c ®Þa Kg, däc theo mét cung ®Þnh híng trªn mÆthai chiÒu ®Þnh híng ®æi dÊu khi ®æi ®Þnh híng cña cung ®ãcho nªn tÝch ph©n

∫γ kgds thùc ra lµ tÝch ph©n ®êng lo¹i II,

tøc lµ tÝch ph©n cña d¹ng vi ph©n Kgds däc theo ®êng cong®Þnh híng γ.

Theorem 6.2.27 (C«ng thøc Gauss-Bonnet cho ®Æc trng Euler)Gi¶ sö M lµ mét mÆt ®Þnh híng, comp¾c vµ ®îc chia ra bëi métlíi çc ®iÓm thµnh çc tam gi¸c cong (®îc gäi lµ tam gi¸c ph©nho¸). KÝ hiÖu β1, β2, β3 lÇn lît lµ sè ®Ønh, sè c¹nh vµ sè mÆt tamgi¸c cña tam gi¸c ph©n ®ã,

Eul(M) :=∑i

(−1)iβ′i


Khi ®ã1

2π

∫M

Kµ = Eul(M) = β0 − β1 + β2.

Chøng minh. KÝ hiÖu σ lµ tam gi¸c cong cña tam gi¸c ph©n ®ã.Theo c«ng thøc Gauss-Bonnet cho tam gi¸c ta cã∫

M

Kµ =∑σ

∫∂σ

kgds+∑σ

(∆(σ)− π),

trong ®ã ∆(σ) lµ tæng çc gãc trong cña tam gi¸c cong σ. V× mçic¹nh cña tam gi¸c ph©n lµ c¹nh cña ®óng hai tam gi¸c cong kÒ nhautrong tam gi¸c ph©n ®ã va cïng híng víi c¹nh Êy khi coi nã lµthuéc tam gi¸c nµy vµ ngîc híng víi c¹nh Êy khi coi nã thuéctam gi¸c kia. Cho nªn ∑

σ

∫∂σ

kgds = 0.

Tæng çc gãc trong cña mét tam gi¸c cong t¹i mçi ®Ønh b»ng 2π,nªn ∑

σ

(∆(σ)− π) = β02π − β2π.

VËy nªn ta cã ∫M

Kµ = π(2β0 − β2).

Mçi c¹nh cña tam gi¸c ph©n thuéc ®óng hai tam gi¸c cong, mµ mçitam gi¸c cong cã ba c¹nh cho nªn 2β1 = 3β2. Tõ ®ã suy ra∫

M

Kµ = π(2β0 − β2) = π(2β0 − 2β1 + 2β2) = 2π(Eul(M)).

NhËn xÐt r»ng ®Æc trng Euler tæng qu¸t trong t«p« häc còngchÝnh lµ χ(M) = Eul(M).


6.3 S¬ lîc vÒ h×nh häc Riemann tæng qu¸t

H×nh häc Riemann ®îc xem nh lý thuyÕt ®a t¹p mµ t¹i mçi kh«nggian tiÕp xóc cã mét metric Euclide, tøc lµ mét d¹ng song tuyÕn tÝnh®èi xøng x¸c ®Þnh d¬ng trªn çc kh«ng gian tiÕp xóc.

Víi cÊu tróc nh vËy, ngêi ta nghiªn cøu çc bµi to¸n t¬ng tùnh lÝ thuyÕt ®êng vµ lÝthuyÕt mÆt ë trªn. Bµi to¸n t×m çc mÆttÝch ph©n cã çc kh«ng gian tiÕp xóc cho tríc lµ viÖc nghiªn cøuçc hÖ vi ph©n tæng qu¸t. Bµi to¸n çc mÆt cùc tiÓu theo phiÕm hµmthÓ tÝch lµ mét trong nh÷ng bµi to¸n thó vÞ trong trêng hîp nhiÒuchiÒu.

Bµi to¸n ph©n lo¹i çc ®a t¹p Riemann lµ bµi to¸n rÊt khã. VÝ dô®¬n gi¶n lµ nã chøa nhiÒu bµi to¸n hãc bóa nh bµi to¸n Poincare :§a t¹p ®¬n liªn ®ång lu©n víi mÆt cÇu cã ph¶i lµ ®ång ph«i víi mÆtcÇu hay kh«ng.

§a t¹p Riemann thêng ®îc dïng lµm kh«ng gian rµng buéccña chuyÓn ®éng. M« h×nh chuyÓn ®éng cña çc chÊt ®iÓm xem nhm« h×nh ®êng cong trªn ®a t¹p Riemann. M« h×nh gÇn ®©y nhÊtcña çc chuyÓn ®éng cã ®èi xøng trong lµ lý thuyÕt sîi d©y (stringtheory), cã m« h×nh lµ çc mÆt hai chiÒu trªn ®a t¹p Riemann n

chiÒu.

6.4 S¬ lîc vÒ h×nh häc symplectic tæng qu¸t

NÕu trªn çc kh«ng gian tiÕp xóc ta cho çc tÝch v« híng ph¶nxøng kh«ng suy biÕn, ta cã ®èi tîng míi la ®a t¹p symplectic.H×nh häc çc ®a t¹p symplectic ®îc nghiªn cøu kh¸ nhiÒu v× lÝ doøng dông cña nã cho h×nh thøc luËn Hamilton cho çc hÖ c¬ häc.

H×nh häc symplectic ®îc dïng lµm kh«ng gian pha cho çc hÖc¬ häc chuyÓn ®éng. Trªn thùc tÕ mçi chuyÓn ®éng ®îc ®Æc trng


b»ng hai ®¹i lîng: vÞ trÝ vµ xung lîng (khèi lîng nh©n víi tèc®é). Gi÷a çc biÕn vi trÝ qi = xi vµ biÕn xung lîng pj = mdxj

dt cãçc hÖ thøc kh«ng x¸c ®Þnh theo moãc Poisson

pi, qj = mδji .

§ã chÝnh lµ çc hÖ thøc x¸c ®Þnh cÊu tróc symplectic trªn ph©n thí®èi tiÕp xóc.


1. T×m cung chÝnh quy trong R3 x¸c ®Þnh bëi tham sè ho¸ t 7→ρ(t), biÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i mçi ®iÓm t cña nã trongto¹ ®é cña kh«ng gian tiÕp xóc cho bëi hÖ ph¬ng tr×nh

a1(t)X + b1((t)Y + c1(t)Z + d1(t) = 0a2(t)X + b2((t)Y + c2(t)Z + d2(t) = 0

Gîi ý: Dïng ®Þnh lÝ tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm cña ph¬ngtr×nh vi ph©n.

2. TÝnh ®é dµi cña çc cung trªn ®o¹n t ∈ [t0, t1]:a. Trong to¹ ®é §Ò Çc x(t) = t, y(t) = tn, z(t) = c0(=const).

b. Trong to¹ ®é trô (r, ϕ, z),r =

√x(t)2 + y(t)2, ϕ = ~ρ, ~e1.

c. Trong to¹ ®é cÇu (r, ϕ, θ):r =

√x(t)2 + y(t)2 + z(t)2,

ϕ = (x(t), y(t), ~e1),

θ = (x(t), y(t), z(t))~e3).


3. Cho cung ®inh èc trßn Γ x¸c ®Þnh bëit 7→ ρ(t) = (a cos(t), a sin(t), bt), (a > 0)

trong R3.a. H·y viÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn, ph¸p tuyÕn chÝnh, trïng

ph¸p tuyÕn, mÆt ph¼ng mËt tiÕp, mÆt ph¸p diÖn, mÆt trùc®¹c cña nã t¹i mçi ®iÓm.

b. Chøng minh r»ng çc tiÕp tuyÕn cña nã nghiªng mét gãckh«ng ®æi so víi mÆt ph¼ng n»m ngang Oxy, con` çcph¸p tuyÕn chÝnh lu«n lu«n c¾t trôc Oz.

4. TÝnh ®é cong Gauss vµ ®é cong trung b×nh cña:a. mÆt ®inh èc dùng ®øng.b. mÆt paraboloid.c. mÆt tiÕp tuyÕn.

5. Cho mÆt S trong R3 x¸c ®Þnh bëi ph¬ng tr×nhx2 + y4 + z6 − 1 = 0.

Chøng minh r»ng S lµ mét ®a t¹p comp¾c, ®Þnh híng. Gäi µlµ d¹ng diÖn tÝch chÝnh t¾c cña S vµ K lµ ®é cong Gauss cñaS. H·y tÝnh ∫SKµ.


C©u hái «n tËp

1. Bµi to¸n c¬ b¶n cña h×nh häc s¬ cÊp vµ ®¹i sè tuyÕn tÝnh nghiªncøu ¶nh vµ h¹ch cña ®ång cÊu tuyÕn tÝnh. §Þnh lÝ ¸nh x¹ ngîcvµ ®Þnh lÝ ¸nh x¹ Èn.

2. §a t¹p kh¶ vi nh tËp nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh hµm.3. VÝ dô ®a t¹p: §Üa më, Sn, Tn, l¸ M"obius, chai Klein, RP n,

CP 2n−2.4. §¹i sè hµm C∞(M): hµm tr¬n trªn ®a t¹p. §Þnh nghÜa ®a t¹p

tæng qu¸t: B¶n ®å, tËp b¶n ®å t¬ng thÝch, cÊu tróc tr¬n.5. ¸nh x¹ gi÷a çc ®a t¹p. Ph©n thí tiÕp xóc. Ph©n thí ®èi tiÕp

xóc.6. D¹ng vi ph©n vµ trêng vÐct¬ trªn ®a t¹p.7. k-d¹ng vi ph©n vµ k-trêng vÐct¬ trªn ®a t¹p. PhÐp vi ph©n

ngoµi, ®¹o hµm Lie.8. Ph©n ho¹ch ®¬n vÞ.9. Bæ ®Ò PoincarÐ.

10. §èi ®ång ®iÒu de Rham: Çch x©y dùng phøc de Rham, ph¸tbiÓu çc tÝnh chÊt.

11. §a t¹p ®Þnh híng. §a t¹p cã biªn. Chai Klein vµ l¸ M"obius.12. §¬n h×nh k× dÞ. Phøc ®¬n h×nh k× dÞ. nh x¹ biªn. §ång ®iÒu k×

dÞ.13. §Þnh lÝ Stokes (d¹ng I) cho mét ®¬n h×nh k× dÞ14. §Þnh lÝ Stokes (d¹ng II) tæng qu¸t trªn ®a t¹p.


15. §é dµi ®êng cong trong Rn. §êng tr¾c ®Þ¹ Bµi to¸n biÕnph©n cho ®êng tr¾c ®Þa.

16. Môc tiªu trùc chuÈn. Môc tiªu FrÐnes. §é cong. §é xo¾n. Çc®Þnh lÝ c¬ b¶n.

17. Môc tiªu Darboux cña ®êng cong trªn mÆt d×m. D¹ng toµnph¬ng c¬ b¶n.

18. §é cong ph¸p d¹ng vµ ®é cong trùc ®¹c cña ®êng cong trªnmÆt.

19. Ph¬ng chÝnh vµ ®é cong Gau20. Çc ®Þnh lÝ c¬ b¶n cña lÝ thuyÕt mÆt d×m

Bµi tËp «n tËp

• Çc vÝ dô trong bµi,• Çc bµi tËp cñng cè lÝ thuyÕt.

ChØ sè

σ-céng tÝnh, 36σ-®¹i sè, 36σ-®¹i sè çc ®a hép, 36k-biªn ®ång ®iÒu, 81k-chu tr×nh, 81k-d¹ng vi ph©n (ph¶n xøng), 67k-tens¬ ph¶n biÕn, 68k-tens¬ thuËn biÕn, 68k-trêng vÐct¬ tr¬n, 661-d¹ng vi ph©n tr¬n, 55k-d¹ng vi ph©n (ph¶n xøng) tr¬n,

67nhãm tuyÕn tÝnh tæng qu¸t, 15tËp b¶n ®å kh¶ vi (tr¬n), 50b¶n ®å to¹ ®é ®Þa ph¬ng, 33,

49bã cÊu tróc, 31c«ng cô t«p«, 11c«ng cônghiªn cøu, 9C«ng thøc Meusnier, 119c¬ së trùc chuÈn, 19çc b¶n ®å ®i¹ ph¬ng t¬ng

thÝch víi nhau, 50

çc d¹ng liªn kÕt, 121çc tËp ®o ®îc, 36çc tÝnh chÊt bã, 30cÊu tróc tr¬n, 50d©y chuyÒn bËc k, 80dêng kÝnh cña phÐp chia ®a

hép, 37d¹ng c¬ b¶n I, 116d¹ng c¬ b¶n II, 116d¹ng nguån (divergence), 70d¹ng vi ph©n cÊp 1, 65d¹ng vi ph©n khíp, 71d¹ng vi ph©n ®ãng, 71d¹ng vi ph©n ®èi xøng, 67d¹ng xo¸y (rotation form), 70hÖ quy chiÕu FrÐnes, 106hÖ to¹ ®é®i¹ ph¬ng, 50h×nh cÇu më, 21h×nh cÇu ®ãng, 21h×nh hép më, 21h×nh hép ®ãng, 21h×nh hép ®ãng-më, 21kh«ng gian ®èi tiÕp xóc, 54

133


liªn th«ng afin, 63L¸ Mobius, 99lý thuyÕt ®èi ®ång ®iÒu, 78ma trËn Jacobi, 25m¶nh tham sè ho¸, 110mÆt cÇu, 20mÆt d×m, 112mÆt mËt tiÕp, 106mÆt ph¸p diÖn, 106mÆt trùc ®¹c, 106nhãm biÕn ®æi, 22nhãm ®ång ®iÒu k× dÞ bËc k, 81nhãm ®èi ®ång ®iÒu de Rham,

76nãn, 76nãn ¸nh x¹, 77phiÕm hµm khèi lîng, 36ph©n ho¹ch ®¬n vÞ, 46ph©n thí ®èi tiÕp xóc, 55ph¬ng chÝnh, 114ph¬ng tr×nh c¬ b¶n, 122ph¬ng tr×nh cÊu tróc, 122ph¬ng tr×nh Gau, 122ph¬ng tr×nh Gauss , 122ph¬ng tr×nh Peterson-Kodazi,

122ph¬ng tr×nh ®èi xøng, 122ph¸p tuyÕn, 111ph¸p tuyÕn ngoµi, 91

phÐp biÕn h×nh, 22phÐp biÕn ®æi h×nh häc, 9phÐp vi ph«i, 11phÐp ®æi biÕn, 46phøc ®ång ®iÒu k× dÞ, 81tens¬ xo¸y (tens¬ ®é cong), 70tham sè ho¸ tù nhiªn, 103tham sè ho¸ ®Þa ph¬ng, 102trêng k-®èi vÐct¬ tr¬n, 67trêng vÐct¬, 64t«p« th¬ng, 59tËp h×nh sao, 72tÝch ngoµi, 66tÝch ngoµi bËc k cña ph©n thí

®èi tiÕp xóc, 93tÝch ngoµi bËc k, 66tÝch néi cña mét trêng vÐct¬

víi mét d¹ng vi ph©n,77

TÝch ph©n cña n-d¹ng vi ph©n,95

tÝch ph©n díi, 38tÝch ph©n trªn, 38tÝch tens¬ cña hai kh«ng gian

vÐct¬, 65tÝch v« híng, 18tæng tÝch ph©n Riemann, 38tæng tÝch ph©n Riemann díi,

38tæng tÝch ph©n Riemann trªn,


38

vi ph©n cña d¹ng vi ph©n, 69vi ph©n toµn phÇn, 26vËt thÓ h×nh häc, 9vÐct¬ ph¸p tuyÕn, 90, 105, 106,

111vÐct¬ trïng ph¸p tuyÕn, 106

®a hép, 35®a thÓ tÝch, 36®a t¹p, 10, 31®a t¹p n chiÒu cã biªn, 89®a t¹p kh¶ vi (tr¬n), 50®a t¹p ®Þnh híng, 91®a ¹p con, 57®a ¹p th¬ng, 58®iÓm chÝnh quy, 111®iÓm cÇu, 115®iÓm dÑt, 115®iÓm elliptic, 115®iÓm hyperbolic, 115®iÓm k× dÞ, 111®iÓm parabolic, 115®iÓm rèn, 115®o ®îc theo Hausdorff, 37®¬n h×nh chuÈn k-chiÒu, 79®êng cong chÝnh quy, 102®êng cong d×m, 101®êng to¹ ®é, 111®êng tr¾c ®Þa, 103

®¹o hµm Lie, 78®¹o hµm riªng, 24®¹o ¸nh, 23, 52®¹o ¸nh theo híng, 24®Þnh híng c¶m sinh trªn biªn,

91®Þnh híng thuËn, 91®èi biªn, 76®èi chu tr×nh, 76®èi tîng cña h×nh häc vi ph©n,

10®èi tîng nghiªn cøu, 9®é cong, 105®é cong chÝnh, 114, 120®é cong Gauss, 114®é cong ph¸p d¹ng, 119®é cong trung b×nh, 114®é xo¾n, 106®é ®o ngoµi (trªn), 36®é ®o trong (díi), 36¸nh x¹ biªn, 80¸nh x¹ chÝnh qui, 57¸nh x¹ kh¶ tÝch, 38¸nh x¹ kh¶ vi, 23¸nh x¹ kh¶ vi (tr¬n), 51¸nh x¹ Weingarten, 113¸nh x¹ ®èi chÝnh qui hay phÐp

ngËp, 58¸nh x¹ Èn, 29


Latin . .BBB. .Gothic . .ArabicA A A .a . a α

B B B .b . b β

C C C .c . c .D D D ∆

d . d δ

E E E .e . e ε, εF F F Θ

f . f θ

G G G Γ

g . g γ

H H H .h . h .I I I .i . i .J J J .j . j .K K K .k . k κ

L L L Λ

l . l λ

M M M .m . m µ

N N N .n . n ν

O O O Ω

o . o ω

P P P Π

p . p π

Q Q Q .q . q .R R R .r . r ρ

S S S Σ

s . s σ

T T T .t . t τ

U U U .u . u .V V V Φ,. . . Ψ

v . v φ, ϕ,. . . ψ

X X X Ξ

x . x ξ

Y Y Y Υ

y . y υ

Z Z Z .z . z ζ

Tªn ch÷ Arabic:α alphaβ betaγ gammaδ deltaε epsilonζ zeta


η etaθ thetaι iotaκ kappaλ lambdaµ muν nuξ xiπ piρ rhoσ sigmaτ tauυ upsilonχ chiψ psiω omegaζ zeta.Γ Gamma∆ DeltaΘ ThetaΛ LambdaΦ PhiΨ PsiΩ OmegaΠ PiΞ XiΥ Upsilon

Documents

Do Ngoc Diep - Hinh Hoc Vi Phan (Giao Trinh Cao Hoc)