Doble Integracion Ecuaciones de Momentos Por Rangos (1)

1

CAPÍTULO 2 _________________________________________________________________________

MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN

(ECUACIONES DE MOMENTOS POR RANGOS)

2.1 DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO

En el capítulo 1 se presenta el desarrollo que permite obtener la Ecuación Diferencial de

la Elástica (Ecuación 1.17), la cual es una ecuación diferencial de segundo orden.

Revisando el lado derecho de la Ecuación 1.17 se observa que, conforme a las hipótesis

simplificadoras adoptadas para el desarrollo de la fórmula, el valor del producto EI es

constante, ya que se está trabajando para elementos prismáticos (I constante) y para vigas

de un sólo material (E constante). En cambio, el momento flexionante M, en lo general

presenta variación, la cual depende de x.

Esto nos permite reescribir la ecuación diferencial de la elástica de la siguiente forma:

2

2

d vEI M x

dx (2.1)

La cual muestra que se debe resolver una ecuación diferencial de variables separables,

siendo el método de integración directa la opción más viable.

Al realizar una primera integración se obtiene:

1 dv

EI M x dx Cdx

(2.2)

Siendo C1 la constante de integración y recordando que la primer derivada de v con

respecto a x corresponde al giro (de acuerdo a la hipótesis de deformaciones pequeñas).

Integrando la ecuación 2.2

1 1 2 EIv M x dx C dx M x C x C (2.3)

Donde C2 es la constante de integración y el valor de v corresponde a la deflexión.

2

Por otra parte, si las condiciones de carga varían a lo largo de la viga, la ecuación de

momentos tendrá que reflejar dicha variación. Por lo general se establecen rangos de

aplicabilidad de las diversas ecuaciones de momentos necesarias para describir a la viga

en su totalidad. Los rangos se definen como el espacio comprendido entre dos puntos de

discontinuidad de cargas, los cuales pueden ser: cargas concentradas y/o inicio o fin de

cargas distribuidas.

Cada uno de estos rangos tiene su propia ecuación de momentos, mismas que al ser

integradas, generarán ecuación de giros y ecuación de deflexiones para cada rango, con

sus correspondientes constantes de integración. La obtención de los valores de las

constantes de integración se realiza en base a condiciones de frontera y a condiciones de

continuidad las cuales se describen en las secciones 2.2 y 2.3 respectivamente.

2.2 CONDICIONES DE FRONTERA

Para el caso en estudio, las condiciones de frontera son básicamente las condiciones

impuestas por el o los apoyos de la viga. Es decir, se trata de aplicar las ecuaciones

resultantes del proceso de integración en los lugares donde se conoce de antemano que el

tipo correspondiente de deformación es nulo, con el propósito de generar expresiones

matemáticas que permitan obtener los valores de las constantes de integración.

La Tabla 2.1 presenta en forma esquemática las condiciones de frontera para vigas

simplemente apoyadas, y la Tabla 2.2 las correspondientes a vigas con empotramiento y

voladizo.

Viga Condición de

Frontera 1

Condición de

Frontera 2

L

0

0

x

v

0

x L

v

L

a

a

0

x

v

0

x L

v

3

Tabla 2.1 Condiciones de Frontera en vigas simplemente apoyadas.

Viga Condición de

Frontera 1

Condición de

Frontera 2

L

0

x L

dv

dx

0

x L

v

L

0

0

x

dv

dx

0

0

x

v

Tabla 2.2 Condiciones de Frontera en vigas con empotramiento y voladizo.

2.3 CONDICIONES DE CONTINUIDAD

Como ya se mencionó en la Sección 2.1 es frecuente que la descripción de la variación del

momento flexionante a lo largo de la viga requiera de establecer varios rangos, y por ende,

una ecuación de momentos para cada rango.

Las condiciones de continuidad se establecen específicamente en los puntos que limitan

los rangos. En estos puntos se presentan discontinuidades en cargas o momentos pero en

lo que respecta a giros y deflexiones no existe posibilidad de discontinuidad alguna,

siendo ésta la base de las condiciones de continuidad.

En otras palabras, la curva elástica de una viga es continua. Por lo tanto, en un punto

determinado solo puede existir un valor de deflexión y la tangente a la curva en dicho

punto también es única.

Dado que los rangos se establecen incluyendo al punto "frontera" entre dos de ellos,

bastará con calcular para el valor de x común a ambos rangos el valor del giro con la

ecuación correspondiente a cada rango en cuestión e igualar esas dos expresiones entre sí.

Se procede de forma análoga en el caso de las ecuaciones de deflexión.

4

2.4 CONSTANTES DE INTEGRACIÓN

Con la aplicación tanto de las condiciones de frontera como de las condiciones de

continuidad se genera un sistema de ecuaciones simultáneas, que al ser resueltas, se

obtienen los valores de las constantes de integración.

Vale la pena resaltar que en el caso del primer rango (el situado más a la izquierda de la

viga) las constantes de integración tienen una relación directa con los valores de

deformación en el inicio de la viga. Es decir:

1 en x=0Cdv

dx EI (2.4)

2 en x=0C

vEI

(2.5)

2.5 ECUACIONES FINALES

Una vez obtenidos los valores de las constantes de integración, se procede a sustituir

dichos valores en las ecuaciones producto del proceso de integración directa, llegando con

ello a las ecuaciones finales.

Se cuenta entonces con expresiones matemáticas que describen el comportamiento de la

viga en función de la variable independiente x. Basta con elegir la ecuación adecuado al

tipo de deformación que se desea calcular (giro o deflexión) en el rango adecuado (de

acuerdo al valor de x) y sustituyendo tal valor obtener el resultado correspondiente.

Es frecuente que se requiera calcular el valor de la deflexión máxima (en términos

absolutos) y para ello se aplican las técnicas del análisis de funciones, el cual forma parte

de los conocimientos que los alumnos adquirieron en el curso de cálculo diferencial e

integral.

En el caso de vigas con apoyos simples, se requiere localizar el valor de x donde la

derivada de la deflexión es nula, y con ese valor, calcular en la ecuación correspondiente

el valor de la deflexión máxima. En el caso de vigas con empotramiento y voladizo, si las

cargas actúan de acuerdo a la ley de la gravedad, el punto donde se presenta la deflexión

máxima es el extremo libre del elemento.

5

2.6 DIAGRAMA DE FLUJO DEL ALGORITMO

DATOS DE LA VIGA

DEFINIR EL RANGO

O

RANGOS EN LA VIGA

(Sección 2.1)

ESCRIBIR ECUACIÓN DE

MOMENTOS PARA CADA

RANGO

(Sección 2.1)

INTEGRAR DOS VECES CADA

ECUACIÓN DE MOMENTOS

(Sección 2.1)

ESTABLECER CONDICIONES

DE FRONTERA

(Sección 2.2)

¿HAY MÁS DE UN

RANGO?

OBTENER CONSTANTES DE

INTEGRACIÓN

(Sección 2.4)

PLANTEAR CONDICIONES DE

CONTINUIDAD

(Sección 2.3)

ESCRIBIR ECUACIONES

FINALES Y CALCULAR

DEFORMACIONES DE INTERÉS

(Sección 2.5)

SI NO

Figura 2.1 Diagrama de Flujo del Método de Doble Integración con Ecuaciones de

Momentos por rangos.

2.7 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL MÉTODO

En esta sección se presentan varios problemas resueltos con el propósito de ilustrar la

aplicación del método. Con la idea de poner énfasis específico en el método de la doble

integración en sí se hacen las siguientes consideraciones:

El módulo de elasticidad (E) y el momento de inercia (I) se manejan en forma simbólica.

Los valores de cargas y distancias se presentan sin unidades. En el caso de las cargas que

actúan sobre una zona de la viga el valor que se muestra corresponde al de la carga

unitaria (v.g. N/m, libras/pulgada, kgf/m).

El punto de partida es la determinación de los rangos y sus correspondientes ecuaciones

de momentos, considerando que son conocimientos que el lector ya posee. Sin embargo,

6

dada la importancia que tienen las ecuaciones de momentos para este tema, en el

Apéndice A1 se presentan los casos básicos de este tema.

EJEMPLO 2.1 Usando el método de la doble integración, calcule giro y deflexión de la siguiente

viga en x = 3.

40

12 28

7 3

1. Ecuaciones de momentos por rangos y la doble integración (Sección 2.1)

Rango 0 7x 7 10x

Ecuación de momentos 12

xM x

12 40( 7)x

M x x

Primera integración 2

1

12

2

dvEI x C

dx

2 2

3

12 40( 7)

2 2

dvEI x x C

dx

Segunda integración 3

1 2

6

3EIv x C x C

3 3

3 4

6 20( 7)

3 3EIv x x C x C

2. Condiciones de frontera (Sección 2.2)

Condición de Frontera Ecuación

0 0x v

3

1 20 2 0 0EI C C 2 0C

10 0x v

3 3

3 4

200 2 10 10 7 10

3EI C C 3 410 1820C C

3. Condiciones de continuidad (Sección 2.3)

Condición de Continuidad Ecuación

rango I rango II7 ' 'x v v

2 2 2

1 3

12 12 40(7) (7) (7 7)

2 2 2C C

1 3C C

7

rango I rango II7 x v v

3 3 3

1 2 3 4

6 6 20(7) (7) (7) (7 7) (7)

3 3 3C C C C

2 4C C

4. Constantes de integración (Sección 2.4)

1

2

3

4

182

0

182

0

C

C

C

C

5. Ecuaciones finales (Sección 2.5)

2

3

0 7

12

6 182

2 182

x

x

M x

dvEI x

dx

EIv x x

2 2

3 3

7 10

12 40( 7)

6 20( 7) 182

2 6.667( 7) 182

x

x

M x x

dvEI x x

dx

EIv x x x

6. Valores de giro y deflexión en x=3 (Sección 2.5)

2

3

1286(3) 182 128

4922(3) 182(3) 492

dv dvEI

dx dx EI

EIv vEI

8


viga en x = 4.

1500

2571.429 3428.571

2 4 1


0 2x 2 6x

2571.429

xM x

2( 2)

2571.429 15002

x

xM x

2

12571.4292

dv xEI C

dx

32

3

22571.429 1500

2 6

xdv xEI C

dx

3

1 22571.4296

xEIv C x C

43

3 4

22571.429 1500

6 24

xxEIv C x C

6 7x

2571.429 6000( 4)

xM x x

22

5

42571.429 6000

2 2

xdv xEI C

dx

33

5 6

42571.429 6000

6 6

xxEIv C x C



0 0x v

3

1 2

00 2571.429 0

6EI C C

2 0C

7 0x v

33

5 6

7 470 2571.429 6000 7

6 6EI C C

5 67 120000C C

9


Condición de continuidad


32 2

1 3

2 22 22571.429 2571.429 1500

2 2 6C C

1 3C C


43 3

1 2 3 4

2 22 22571.429 2 2571.429 1500 2

6 6 24C C C C

2 4C C

rango II rango III6 ' 'x v v

3 22 2

3 5

6 2 6 46 62571.429 1500 2571.429 6000

2 6 2 2C C

3 5 4000C C

rango II rango III6 x v v

4 33 3

3 4 5 6

6 2 6 46 62571.429 1500 6 2571.429 6000 6

6 24 6 6C C C C

3 4 5 66 6 8000C C C C


1

2

3

4

5

6

15428.571

0

15428.571

0

19428.571

16000

C

C

C

C

C

C

10

5. Ecuaciones finales (Sección 2.5) 0 2x

21285.714 15428.571dv

EI xdx

3428.571 15428.571EIv x x

2 6x

321285.714 250 2 15428.571

dvEI x x

dx

43428.571 62.5 2 15428.571EIv x x x

6 7x

221285.714 3000 4 19428.571

dvEI x x

dx

33428.571 1000 4 19428.571 16000EIv x x x


3142.875

4

35285.714

dv

dx EI

x

vEI

11


viga en x = 4.5

360

216 324

1 3 1


0 1x 1 4x

216

xM x

3216 20( 1)

xM x x

2

1108dv

EI x Cdx

42

3108 5 1dv

EI x x Cdx

3

1 236EIv x C x C 53

3 436 1 1EIv x x C x C

4 5x

216 540( 3)

xM x x

22

5108 270 3dv

EI x x Cdx

33

5 636 90 3EIv x x C x C



0 0x v

3

1 20 36 0 0EI C C 2 0C

5 0x v

3 3

5 60 36 5 90 5 3 5EI C C 5 65 3780C C

12




2 2 4

1 3108 1 108 1 5 1 1C C

1 3C C


3 3 5

1 2 3 436 1 1 36 1 1 1 1 1C C C C

2 4C C


2 4 2 2

3 5108 4 5 4 1 108 4 270 4 3C C

3 5 135C C


3 5 3 3

3 4 5 636 4 1 4 1 4 36 4 90 4 3 4C C C C

3 4 5 64 4 153C C C C


1

2

3

4

5

6

698.4

0

698.4

0

833.4

387

C

C

C

C

C

C

13

5. Ecuaciones finales (Sección 2.5) 0 1x

2108 698.4dv

EI xdx

336 698.4EIv x x

1 4x

42108 5 1 698.4

dvEI x x

dx

5336 1 1 698.4EIv x x x

4 5x

22108 270 3 833.4

dvEI x x

dx

3336 90 3 833.4 387EIv x x x

6. Valores de giro y deflexión en x=4.5 (Sección 2.5)

746.1

4.5

386.55

dv

dx EI

x

vEI

14


viga en x = 5

300

515 435

1 3 42

500


0 1x 1 4x

515

xM x

3

515 16.667 1x

M x x

2

1257.5dv

EI x Cdx

42

3257.5 4.167 1dv

EI x x Cdx

3

1 285.833EIv x C x C 53

3 485.833 0.833 1EIv x x C x C

4 6x 6 10x

515 450 3x

M x x 515 450 3 500 6x

M x x x

22

5257.5 225 3dv

EI x x Cdx

2 22

7257.5 225 3 250 6dv

EI x x x Cdx

33

5 685.833 75 3EIv x x C x C

3 33

7 8

85.833 75 3 83.333 6EIv x x x

C x C



0 0x v

3

1 20 85.833 0 0EI C C 2 0C

5 0x v

3 3 2

7 80 85.833 10 75 10 3 83.333 10 6 10EI C C 7 810 54775C C

15




2 2 4

1 3257.5 1 257.5 1 4.167 1 1C C

1 3C C


3 3 5

1 2 3 485.833 1 1 85.833 1 0.833 1 1 1C C C C

2 4C C


2 4 2 2

3 5257.5 4 4.167 4 1 257.5 4 225 4 3C C

3 5 112.5C C


3 5 3 3

3 4 5 685.833 4 0.833 4 1 4 85.833 4 75 4 3 4C C C C

3 4 5 64 4 127.5C C C C

rango III rango IV6 ' 'x v v

2 2 2 2 2

5 7257.5 6 225 6 3 257.5 6 225 6 3 250 6 6C C

5 7C C

rango III rango IV6 x v v

3 3 3 3 2

5 6 7 885.833 6 75 6 3 6 85.833 6 75 6 3 83.333 6 6 6C C C C

6 8C C

16


1 3 5 7

2 4 6 8

5397.5 5397.5 5509.75 5509.75

0 0 322.5 322.5

C C C C

C C C C


0 1x

2

3

257.5 5397.25

85.833 5397.25

dvEI x

dx

EIv x x

1 4x

42

53

257.5 4.167 1 5397.25

85.833 0.833 1 5397.25

dvEI x x

dx

EIv x x x

4 6x

22

33

257.5 225 3 5509.75

85.833 75 3 5509.75 322.5

dvEI x x

dx

EIv x x x

6 10x

2 22

3 33

257.5 225 3 250 6 5509.75

85.833 75 3 83.333 6 5509.75 322.5

dvEI x x x

dx

EIv x x x x


27.75

4.5

17097.083

dv

dx EI

x

vEI

17


viga en x = 1

20

280

5 6 12

50

30

40

1630


0 5x 5 11x

30

xM x

2 3

30 10 5 0.833 5x

M x x x

2

115dv

EI x Cdx

2 3 4

315 3.333( 5) 0.208( 5)dv

EI x x x Cdx

3

1 25EIv x C x C 3 4 5

3 45 0.833( 5) 0.042( 5)EIv x x x C x C

11 13x

30 120( 8) 90( 9)

xM x x x

2 2 2

515 60( 8) 45( 9)dv

EI x x x Cdx

3 3 3

5 65 20( 8) 15( 9)EIv x x x C x C

13 14x

30 120 8 90 9 40 13x

M x x x x

2 2 2 2

715 60( 8) 45( 9) 20( 13)dv

EI x x x x Cdx

3 3 3 3

7 85 20( 8) 15( 9) 6.667( 13)EIv x x x x C x C

18



14 ' 0x v

2 2 2 2

70 15 14 60(14 8) 45(14 9) 20(14 13)EI C 7 6245C

14 0x v

3 3 3 3

80 5 14 20(14 8) 15(14 9) 6.667(14 13) 6245 14EI C 8 67508.333C




2 2 3 4

1 315 5 15 5 3.333(5 5) 0.208(5 5)C C

1 3C C


3 3 4 5

1 2 3 45 5 5 5 5 0.833(5 5) 0.042(5 5) 5C C C C

2 4C C


2 23 4 2 2

3 515 11 3.333(6) 0.208(6) 15 11 60(3) 45(2)C C

3 5 270C C


3 34 5 3 3

3 4 5 65 11 0.833(6) 0.042(6) 11 5 11 20(3) 15(2) 11C C C C

3 4 5 611 11 744C C C C

rango III rango IV13 ' 'x v v

2 22 2 2 2 2

5 715 13 60(5) 45(4) 15 13 60(5) 45(4) 20(0)C C

5 7C C

rango III rango IV13 x v v

3 33 3 3 3 3

5 6 7 85 13 20(5) 15(4) 13 5 13 20(5) 15(4) 6.667(0) 13C C C C

6 8C C

19


1 3 5 7

2 4 6 8

6515 6515 6245 6245

69734.333 69734.333 65708.333 65708.333

C C C C

C C C C


0 5x

2

3

15 6515

5 6515 69734.333

dvEI x

dx

EIv x x

5 11x

2 3 4

3 4 5

15 3.333( 5) 0.208( 5) 6515

5 0.833( 5) 0.042( 5) 6515 69734.333

dvEI x x x

dx

EIv x x x x

11 13x

2 2 2

3 3 3

15 60( 8) 45( 9) 6245

5 20( 8) 15( 9) 6245 67508.333

dvEI x x x

dx

EIv x x x x

13 14x

2 2 2 2

3 3 3 3

15 60( 8) 45( 9) 20( 13) 6245

5 20( 8) 15( 9) 6.667( 13) 6245 67508.333

dvEI x x x x

dx

EIv x x x x x


6500

1

63224.333

dv

dx EI

x

vEI

20


viga en x = 4

5

157 4

2 3 1 1

23.333 20.167


0 2x 2 5x

22.5

xM x

2 3

10 1 23.333 2 7.5 2 0.833 2x

M x x x x

3

10.833dv

EI x Cdx

2 42 3

3

5 1 11.667( 2) 2.5( 2) 0.208 2dv

EI x x x xdx

C

4

1 20.208EIv x C x C

3 3 4

5

3 4

1.667 1 3.889( 2) 0.625( 2)

0.042 2

EIv x x x

x C x C

5 6x

10 1 23.333 2 22.5( 3) 20.167( 5)x

M x x x x

2 2 2 2

55 1 11.667 2 11.25( 3) 10.083( 5)dv

EI x x x x Cdx

3 3 3 3

5 61.667 1 3.889 2 3.75( 3) 3.361( 5)EIv x x x x C x C

6 7x

10 1 23.333 2 22.5( 3) 20.167( 5) 7( 6)x

M x x x x x

2 2 2 2 2

75 1 11.667 2 11.25( 3) 10.083( 5) 3.5( 6)dv

EI x x x x x Cdx

3 3 3 3 3

7 81.667 1 3.889 2 3.75( 3) 3.361( 5) 1.167( 6)EIv x x x x x C x C

21



2 0x v 1 22 3.333C C

5 0x v 3 45 42.167C C


Condición de continuidad Ecuación

2x rango I rango II' 'v v

1 3 1.667C C

rango I rango IIv v

1 2 3 42 2 1.667C C C C

5x rango II rango III' 'v v

3 5 5.625C C

rango II rango IIIv v

3 4 5 65 5 10.5C C C C

6x rango III rango IV' 'v v

5 7C C

rango III rango IVv v

6 8C C


1 2 3 4

5 6 7 8

15.167 27 13.5 25.333

7.875 7.708 7.875 7.708

C C C C

C C C C


0 2x

30.833 15.167dv

EI xdx

40.208 15.167 27EIv x x 2 5x

2 42 35 1 11.667( 2) 2.5( 2) 0.208 2 13.5

dvEI x x x x

dx

3 53 41.667 1 3.889( 2) 0.625( 2) 0.042 2 13.5 25.333EIv x x x x x

22

5 6x

2 2 2 25 1 11.667 2 11.25( 3) 10.083( 5) 7.875

dvEI x x x x

dx

3 3 3 31.667 1 3.889 2 3.75( 3) 3.361( 5) 7.875 7.708EIv x x x x x

6 7x

2 2 2 2 25 1 11.667 2 11.25( 3) 10.083( 5) 3.5( 6) 7.875

dvEI x x x x x

dx

3 3 3 3 31.667 1 3.889 2 3.75( 3) 3.361( 5) 1.167( 6) 7.875 7.708EIv x x x x x x


1.5 6.111

4dv

x vdx EI EI

23

EJEMPLO 2.7 Usando el método de la doble integración, calcule la deflexión máxima en la viga.

600

885 1065

1 3

450

1


0 1x 1 2x

885

xM x

885 600 1x

M x x

2

1442.5dv

EI x Cdx

2 2

3442.5 300( 1)dv

EI x x Cdx

3

1 2147.5EIv x C x C 3 3

3 4147.5 100( 1)EIv x x C x C

2 5x

2

885 600 1 225 2x

M x x x

32 2

5442.5 300( 1) 75 2dv

EI x x x Cdx

43 3

5 6147.5 100( 1) 18.75 2EIv x x x C x C



0 0x v 2 0C

5 0x v 5 65 10518.75C C

24


Condición de continuidad Ecuación

1x rango I rango II' 'v v

1 3C C

rango I rango IIv v

2 4C C

2x rango II rango III' 'v v

3 5C C

rango II rango IIIv v

4 6C C


1 3 5

2 4 6

2103.75 2103.75 2103.75

0 0 0

C C C

C C C


0 1x

885

xM x

2442.5 2103.75dv

EI xdx

3147.5 2103.75EIv x x

1 2x

885 600 1x

M x x

2 2442.5 300( 1) 2103.75dv

EI x xdx

3 3147.5 100( 1) 2103.75EIv x x x

2 5x

2

885 600 1 225 2x

M x x x

32 2442.5 300( 1) 75 2 2103.75

dvEI x x x

dx

43 3147.5 100( 1) 18.75 2 2103.75EIv x x x x

25

6. Deflexión máxima (Sección 2.5)

a. Primer opción: revisando todos los rangos

Se busca la tangente horizontal en cada rango (EIv'=0), dependiendo del resultado de las

raíces se determinará la correcta.

Primer rango

0 1x

2442.5 2103.75 0x

1 22.180 2.180x x

Las dos raíces están fuera del rango, por ende son desechadas.

Segundo rango

1 2x

2 2442.5 300( 1) 2103.75 0x x

1 22.510 6.721x x

Las dos raíces están fuera del rango, por ende son desechadas.

Tercer rango

2 5x

32 2442.5 300( 1) 75 2 2103.75 0x x x

1 2 32.5179 6.789 1.4069x x x

La primer raíz está dentro del rango correspondiente, por lo tanto es la correcta. Las otras

dos son desechadas.

El valor de la flecha máxima es

0

2.5179

3293.561

dv

dx EI

x

vEI

26

b. Segunda opción: calculando el giro en los límites de rangos para de ahí deducir en cual

de ellos se encuentra la tangente horizontal y por lo tanto, la flecha máxima.

2103.750

dvx

dx EI

1661.251

dvx

dx EI

63.3752

dvx

dx EI

2133.75

5dv

xdx EI

Se observa que la tangente horizontal se encuentra en el tercer rango 2 5x

con lo cual se procede a obtener la raíz de la ecuación de giro en ese rango y con el

valor de x resultante se calcula la deflexión máxima, lo cual da el mismo resultado que

en la primer opción.

Documents

Doble Integracion Ecuaciones de Momentos Por Rangos (1)