2017

Základy technickej mechaniky

Skriptá

doc. Ing. Karol Semrád, PhD.

1

TECHNICKÁ UNIVERZITA V KOŠICIACH Letecká fakulta

ZÁKLADY TECHNICKEJ MECHANIKY

doc. Ing. Karol Semrád, PhD.

Košice 2017

2

doc. Ing. Karol SEMRÁD, PhD. 2017

Katedra leteckého inžinierstva, Letecká fakulta TU v Košiciach

Recenzenti: doc. Ing. Rudolf Zahradníček, CSc.

Katedra leteckej technickej prípravy, Letecká fakulta TU v Košiciach

doc. Ing. Oskár Ostertág, PhD.

Ústav konštrukčného a procesného inžinierstva, Katedra aplikovanej

mechaniky a strojného inžinierstva, Strojnícka fakulta TU v Košiciach

Za odbornú a jazykovú stránku tohto vysokoškolského učebného textu zodpovedá autor.

Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou úpravou.

3

1. Mechanika a jej rozdelenie

Mechanika je pôvodnou (najstaršou) časťou všeobecnej vedy o prírode, ktorú Gréci

nazývali fyzika. Postupom času, ako si človek rozširoval obzor svojho poznania, rozdelila sa

všeobecná veda o prírode na menšie celky. Najskôr sa od nej oddelila biológia a fyzika, ktorá

tak zostala náukou o neživej prírode. Ďalej sa diferencovala na mechaniku, astronómiu,

termiku, akustiku, náuku o elektrine a magnetizme, optiku, atómovú fyziku atď.

Mechanika (z gréckeho mechané – stroj, mechanizmus) je náuka o rovnováhe

a mechanickom pohybe telies. Zaoberá sa pôsobením síl a skúmaním ich účinkov na

jednotlivé telesá alebo sústavu telies; zisťuje podmienky rovnováhy a pohyb telies, pritom si

však nevšíma molekulárne a elektrické veličiny.

Teoretické základy mechaniky vytvoril Isack Newton (1643-1727). Mechaniku

založenú na Newtonových zákonoch pohybu označujeme termínom klasická mechanika.

Klasická mechanika už dnes nepostačuje na riešenie problémov, ktoré priniesla atómová

fyzika a mechanika vesmíru. Pohyb elementárnych častíc a pohyb telies, ktorý už Newtonove

zákony pohybu nevysvetľujú, sa zakladá na princípoch relativistickej a kvantovej mechaniky.

Relativistická mechanika (Albert Einstein, 1879-1955) sa zaoberá telesami pohybujúcimi sa

veľmi vysokými rýchlosťami v priestoroch neatomických rozmerov. Kvantová mechanika

(Max Planck, 1858-1947) opisuje pohyby v atomických priestoroch.

Podľa toho, ktoré zo základných pojmov (priestor, čas, hmota a sila) sa v mechanike

používajú, člení sa mechanika zvyčajne na statiku, kinematiku a dynamiku.

Statika (z gréckeho statos – rovnováha) sa zaoberá skúmaním takých prípadov

pohybu, pri ktorých sú sily pôsobiace na skúmané teleso v rovnováhe. Základné pojmy sú

priestor a sila.

Kinematika (z gréckeho kineo – pohybuje sa) sa zaoberá opisom časového priebehu

pohybu telies bez ohľadu na sily, ktoré tento pohyb vyvolali. Pohyb sa sleduje iba po

geometrickej stránke, nezávisle od jeho príčin (síl). Preto sa pre kinematiku používa aj názov

geometria pohybu. Základné pojmy sú priestor a čas.

Dynamika (z gréckeho dynamis – sila) sa zaoberá pohybom telies pri pôsobení síl.

Základné pojmy sú priestor, čas, hmota (hmotnosť) a sila.

4

Podľa skupenstva látok sa mechanika delí na

mechaniku tuhých telies (stereomechaniku),

mechaniku kvapalín (hydromechaniku),

mechaniku látok premenlivého charakteru (kombinácia tuhých látok a plynov).

Okrem toho sa mechanika delí na

a) teoretickú mechaniku (racionálnu, exaktnú), ktorá zisťuje všeobecné zákony pohybu

bez ohľadu na ich praktické použitie, na špeciálne vlastnosti rôznych materiálov ap.,

b) aplikovanú mechaniku (technickú, inžiniersku), ktorá sa špecificky zameriava na

technicky významné problémy súvisiace s praktickou činnosťou človeka,

c) termomechaniku, ktorá sa zaoberá mechanickými zmenami stavu telies, vyvolanými

zmenou teploty.

V praxi sa často používajú názvy strojnícka a stavebná mechanika. Ich obsah, ak sa do

nich zahrnie aj náuka o pružnosti a pevnosti, sa zhoduje so statikou strojových a stavebných

konštrukcií.

Náuka o pružnosti a pevnosti zisťuje, aké veľké a ako rozdelené sú vnútorné sily

vyvolané pôsobením vonkajších síl a aké môžu byť deformácie (zmeny tvarov) tuhých látok.

Vysvetľuje, ako navrhnúť rozmery konštrukčného prvku, aby bezpečne vzdoroval vonkajším

silám (prevádzkovému zaťaženiu). Uvedené náuky (disciplíny) sa navzájom prelínajú a ich

obsah sa s rozvojom nových poznatkov upravuje.

1.1 Mechanické veličiny

Mechanický pojem sa stáva veličinou, ak je daný (stanovený) predpis na určenie jeho

veľkosti, na jeho meranie. Veličina je pojem, ktorým možno kvalitatívne a kvantitatívne

opísať javy, stavy a vlastnosti rôznych hmotných objektov. Mechanické veličiny sú tie, ktoré

sa používajú v mechanike.

Keď veličiny možno exaktne fyzikálne definovať, t.j. vyjadriť fyzikálnymi vzťahmi,

ide o fyzikálne veličiny (energia, teplo, sila, hmotnosť, elektrický potenciál, žiarivosť,

dynamická viskozita ap.).

V praxi sa však stretávame aj s veličinami, ktoré nie sú definované vzťahom k iným

veličinám, ale odvodzujú sa z určitého experimentálneho predpisu. V technickej praxi sú však

natoľko významné, že ich existenciu rešpektujeme a snažíme sa ju kvantitatívne vyjadriť.

5

Tieto veličiny sa súhrnne nazývajú technické veličiny (tvrdosť, drsnosť povrchu, húževnatosť,

ohýbateľnosť ap.).

Značky veličín a ich názvy predpisujú štátne normy. Na kvantitatívne stanovenie

veličiny je potrebná vhodná jednotka. Jednotka veličiny je jej vhodne zvolená a presne

definovaná hodnota (veľkosť), ktorá umožňuje porovnanie (meranie) veličín rovnakého

druhu. Číselná hodnota veličiny je číslo, ktoré určuje, koľkokrát je veličina väčšia (menšia)

ako zvolená jednotka veličiny. Podľa medzinárodnej sústavy jednotiek (Systeme International

d´ Unites) s medzinárodne prijatou značkou SI, sa meracie jednotky fyzikálnych

a technických veličín delia na 2 skupiny:

A. Hlavné jednotky.

B. Vedľajšie jednotky.

A. Hlavné jednotky sa rozdeľujú na

1. základné jednotky (tab.1.1),

2. doplnkové jednotky (tab.1.2),

3. odvodené jednotky (tab.1.3),

4. násobné a podielové jednotky (tab.1.4).

Definície základných a doplnkových jednotiek SI:

Meter (m) - je dĺžka rovnajúca sa počtu 1 650 763,73 vlnových dĺžok žiarenia šíriaceho sa vo

vákuu, ktorý zodpovedá prechodu medzi hladinami 2p10 a 5d5 atómu kryptónu 86.

Kilogram (kg) – sa rovná hmotnosti medzinárodného prototypu kilogramu uloženého

v Medzinárodnom úrade pre váhy a miery v Sevres (Francúzsko).

Sekunda (s) – je čas trvania 9 192 631 770 periód žiarenia, ktorý zodpovedá prechodu medzi

dvoma hladinami veľmi jemnej štruktúry základného stavu atómu césia 133.

Ampér (A) – je stály elektrický prúd, ktorý pri prietoku dvoma rovnobežnými, nekonečne

dlhými priamkovými vodičmi zanedbateľného kruhového prierezu, umiestnenými vo vákuu

vo vzájomnej vzdialenosti 1 meter, vyvolá medzi týmito vodičmi silu rovnajúcu sa 2.10-7

newtona na 1 meter dĺžky.

Kelvin (K) – je 273,16 časť termodynamickej teploty trojitého bodu vody.

Mól (mol) – je látkové množstvo sústavy, ktoré obsahuje práve toľko elementárnych jedincov

(entít), koľko je atómov v 0,012 kg uhlíka 12.

6

Kandela (cd) – je svietivosť čierneho telesa v kolmom smere k povrchu, ktorého veľkosť je

1/600 000 m2 pri teplote tuhnutia platiny pri tlaku 101 325 pascalov.

Radián (rad) – je rovinný uhol zovretý dvoma polopriamkami, ktoré na kružnici opísanej

z ich začiatočného bodu vytínajú oblúk dĺžky rovnajúcej sa jej polomeru.

Steradián (sr) – je priestorový uhol s vrcholom v strede gule, ktorý na jej povrchu vytína

plochu s obsahom rovnajúcim sa druhej mocnine polomeru tejto gule.

Základné jednotky Tabuľka 1.1

Veličina Jednotka

názov značka

Dĺžka

Hmotnosť

Čas

Elektrický prúd

Termodynamická teplota

Látkové množstvo

Svietivosť

meter

kilogram

sekunda

ampér

kelvin

mol

kandela

m

kg

s

A

K

mol

cd

Doplnkové jednotky Tabuľka 1.2

Veličina Jednotka

názov značka

Rovinný uhol

Priestorový uhol

radián

steradián

rad

sr

Vybrané odvodené jednotky Tabuľka 1.3

Veličina Jednotka Vzťah

k jednotkám SI názov značka rozmer

Plošný obsah

Objem

Hustota

Merný (špecifický) objem

Sila, tiaž

Moment sily (dvojice síl)

Tlak, mechanické napätie

Kmitočet (frekvencia)

Rýchlosť

Zrýchlenie

Uhlová rýchlosť

Uhlové zrýchlenie

Energia (práca, teplo)

Elektrické napätie

Výkon

štvorcový meter

kubický meter

kilogram na kub.m.

kubický meter na kg

newton

newton meter

pascal

hertz

meter za sekundu

meter za sek. na druhú

radián za sekundu

radián za sek. na druhú

joule

volt

watt

A, S

V

V

F, G

M

p,

f

v, c

a, g

,

A, W

V

P

m2

m3

kg.m-3

m3.kg

-1

N

N.m

Pa=N.m-2

Hz

m.s-1

m.s-2

rad.s-1

rad.s-2

J

V

W

m2

m3

kg.m-3

m3.kg

-1

m.kg.s-2

m2.kg.s

-2

m-1

.kg.s-2

Hz=s-1

m.s-1

m.s-2

rad.s-1

rad.s-2

m2.kg.s

-2

m2.kg.s

-3.A

-1

m2.kg.s

-3

7

Predpony pre násobné jednotky SI Tabuľka 1.4a

Predpona kilo mega giga tera peta exa

Značka k M G T P E

Význam 103

106 10

9 10

12 10

15 10

18

Predpony pre podielové jednotky SI Tabuľka 1.4b

Predpona mili mikro nano piko femto atto

Značka m n p f a

Význam 10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

10-18

Vedľajšie jednotky Tabuľka 1.5

Veličina Vedľajšia jednotka Vzťah k jednotkám SI

názov značka

Čas minúta

hodina

deň

min

h

d

min = 60 s

h = 60 min = 3600 s

d = 24 h = 86400 s

Uhol (rovinný) stupeň

minúta

sekunda

grad (gon)

1°

1´

1´´

g (gon)

1° = /180 rad (radián)

1´ = 1/60° = /10800 rad

1´´ = 1/60´ = /648000 rad

1g = /200 rad

Objem liter l l = 1 dm3 = 10

-3 m

3

Hmotnosť tona t t = 103 kg

Teplota Celsiov stupeň °C T = t + 273,15 K

Plošný obsah hektár ha ha = 10000 m2 = 10

4 m

2

Ostatné jednotky sú odvodené zo základných, príp. doplnkových jednotiek pomocou

príslušných fyzikálnych, resp. geometrických závislostí. Podľa potreby sa uvádzajú v ďalšom

texte.

Odvodené jednotky SI sa odvodzujú pomocou definičných vzťahov zo základných,

príp. doplnkových jednotiek. Odvodené jednotky sú vzhľadom na základné, resp. doplnkové

jednotky koherentné (súvislé). Prehľad odvodených jednotiek, ktoré sa v technickej

mechanike najčastejšie používajú, uvádza tabuľka 1.3. Odvodené jednotky SI so špecifickými

názvami sú tieto: coulomb, farad, henry, hertz, joule, lumen, lux, newton, ohm, pascal,

siemens, tesla, volt, watt a weber.

Násobné a podielové jednotky SI sa tvoria pomocou normalizovaných predpôn

z východiskových jednotiek SI (okrem hmotnosti: pri násobkoch hmotnosti sa vychádza

z gramu, teda nie z jednotky SI – kilogramu). Predpona sa spája s názvom jednotky do

jedného slova, bez spojovníka (tab.1.4a, b).

8

B. Vedľajšie jednotky

Okrem uvedených jednotiek SI sa trvalo povoľujú používať vedľajšie meracie

jednotky. V bežnej praxi ide zvyčajne o vedľajšie meracie jednotky, ktoré sa uvádzajú

v tabuľke 1.5.

1.2 Základné konštrukčné pojmy

Konštrukcia či konštrukčný systém sa spravidla skladá z nosných a nenosných

konštrukčných častí. Nosné konštrukčné časti sú určené na prenášanie tiaže iných, spravidla

vyššie položených častí konštrukcie a iného zaťaženia, pre ktoré sa navrhujú. Porušenie alebo

odstránenie týchto častí má za následok ohrozenie celej konštrukcie, porušenie stability.

Nenosné konštrukčné časti sú také, ktoré si vyžadujú určité druhy konštrukcií pre vlastnú

prevádzku (vozovka na moste, podlaha na strope, ochranný alebo krycí plech pri strojoch ap.).

Základné konštrukčné prvky majú podľa svojho tvaru a podľa spôsobu pôsobenia

zaťaženia rôzne názvy (prút, trám, stĺp, doska, stena, hriadeľ, páka ap.). Podľa tvaru

konštrukčných prvkov a ich rozmerov sa nosné prvky rozdeľujú na dve skupiny:

1. Prútové konštrukčné prvky (prút, trám, nosník, stĺp, páka, hriadeľ ap.)

2. Plošné konštrukčné prvky (doska, stena, škrupina ap.)

Prútové konštrukčné prvky. Prút je konštrukčný prvok, ktorého jeden rozmer (zvyčajne

dĺžka, resp. výška) značne prevláda nad ďalšími prierezovými rozmermi. Ak zaťaženie pôsobí

na pozdĺžnu os prúta kolmo, ide o prút namáhaný na ohyb. Pre takéto prúty sa používa názov

trám alebo nosník. Ak zaťaženie, resp. jeho výslednica pôsobí v osi prúta a prevažne kolmo

na prierez, ide o namáhanie tlakom. Takýto konštrukčný prvok sa označuje termínom stĺp.

Prút vznikne, keď sa ťažisko uzavretého rovinného obrazca pohybuje po čiare tak, že

stále zostáva v jej normálovej rovine. Ide o tzv. lineárny konštrukčný útvar. Riadiaca čiara

(spojnica ťažísk priečnych prierezov) je strednica prúta. V praxi je to najčastejšie rovinná

priama úsečka, lomená alebo krivá čiara. Podľa toho sú prúty a nosníky priame, lomené alebo

krivé (oblúkové). Strednica priameho prúta je os prúta, pri plošných konštrukciách strednica.

Plošné konštrukčné prvky. Sú to konštrukčné prvky, pri ktorých jeden z rozmerov

(zvyčajne hrúbka) je oveľa menší ako ďalšie dva (šírka, dĺžka, resp. výška). Ak zaťaženie

pôsobí kolmo alebo šikmo na strednicovú plochu, ide o dosku, ak pôsobí po strednicovej

ploche alebo rovnobežne s ňou, ide o stenu.

9

Nosný systém, ktorý pozostáva z jednotlivých prútov spojených medzi sebou tak, že je

schopný prenášať zaťaženie, sa nazýva prútová sústava.

V niektorých prípadoch technickej mechaniky sa často hovorí naraz o všetkých typoch

konštrukcií. Vtedy sa použije spoločný termín teleso. Každé teleso si možno predstaviť ako

sústavu hmotných častíc, tzv. hmotných bodov.

Mechanizmus je umelo vytvorená sústava navzájom viazaných hmotných bodov, ktorá

má vykonávať predpísaný pohyb. Tvary

a schématické označenia vo výpočtoch

uvedených základných nosných prvkov sa

uvádzajú na obr.1.1.

Tvar a schematické označenie niektorých

nosných prvkov:

a - prút

b - doska

c - stena

d - oblúk

e - lomená konštrukcia

f - prútová (priehradová) konštrukcia

g - mechanizmus

Obr. 1.1

1.3 Statický výpočet a výpočtové predpoklady

Požadovaná pevnosť, tuhosť a stabilita konštrukcie (so zreteľom na hospodárnosť) sa

musí preukázať statickým výpočtom. To znamená, že zo zvoleného materiálu a pri

predpokladanom zaťažení sa musia určiť dimenzie (rozmery) konštrukcie tak, aby sa

v žiadnom priereze neprekročila dovolená medza namáhania, ale zároveň tak, aby skutočné

namáhanie prvku nebolo hlboko pod dovoleným, t.j. aby konštrukcia nebola zbytočne

predimenzovaná. Okrem toho pretvorenie (deformácia) konštrukcie nesmie prekročiť

dovolené medze a konštrukcia ako celok i jednotlivé jej časti musia byť stabilné.

10

Súborné spracovanie všetkých uvedených požiadaviek na konkrétnu konštrukciu sa

vyjadruje termínom statický výpočet. Pri výpočtoch konštrukčných prvkov a konštrukcií sa

riešia tieto základné úlohy:

1. Návrh konštrukcie. Na základe niektorých známych rozmerov konštrukcie (napr.

vzdialenosť podpier, výška, dĺžka konštrukčného prvku ap.) a na základe

predpokladaného zaťaženia treba najskôr určiť vnútorné (prierezové) sily vznikajúce

v ľubovoľne zvolenom priereze konštrukcie a potom podľa zásad náuky o pružnosti

a pevnosti určiť ostatné rozmery pri súčasnom hospodárnom využití konštrukčného

materiálu tak, aby konštrukcia bezpečne odolávala prevádzkovému zaťaženiu.

2. Posúdenie konštrukcie. Ak je konštrukcia určená všetkými rozmermi, posúdením sa

zisťuje, či je schopná bezpečne odolávať predpokladanému (prevádzkovému)

zaťaženiu.

3. Určenie únosnosti. Pri konštrukciách, ktorých všetky rozmery sú známe, ide o zistenie

zaťaženia, ktoré môže konštrukcia pri danej miere bezpečnosti ešte bezpečne uniesť.

4. Výpočet deformácie konštrukcie. Určujú sa zmeny tvaru spôsobené zaťažením a inými

vonkajšími vplyvmi (napr. priehyb, skrátenie, príp. predĺženie prúta, stlačenie ap.).

Cieľom výpočtu je optimálne navrhnúť konštrukciu tak, aby bezpečne preniesla

statické i dynamické zaťaženie a spĺňala všetky súčasné kritériá hospodárnosti.

Statický výpočet možno zhrnúť do týchto základných častí:

Zistenie účinkov zaťaženia pôsobiaceho na danú konštrukčnú časť. Pri stanovení

zaťaženia konštrukcií sa postupuje vždy od podporných častí k podopierajúcim

častiam. Zo zaťaženia sa odvodia vonkajšie sily a ich účinky (ohybové momenty,

priečne a normálové sily, osové sily ap.).

Určenie rozmerov jednotlivých konštrukčných prvkov. Podľa najväčších účinkov

vonkajších síl sa navrhnú rozmery vyrábaných nosných častí a to vždy so zreteľom na

rozmery používané v technickej praxi. Ide teda o dimenzovanie nosnej konštrukcie, t.j.

určenie jej tvaru a jej rozmerov. Kvalita potrebného materiálu sa volí tak, aby

konštrukcia pri pôsobení predpokladaného zaťaženia mala vo všetkých častiach

potrebnú bezpečnosť a tuhosť, aby vyhovovala zamýšľanému účelu a aby bola

hospodárna.

Posúdenie konštrukcie z hľadiska bezpečnosti a tuhosti. Pri statickom výpočte treba

rešpektovať predpisy a normy pre príslušnú konštrukciu. Výpočet sa môže vypracovať

11

analyticky alebo graficky. Na jeho uľahčenie sa používajú osvedčené pomôcky

(tabuľky, diagramy, výpočtová technika ap.).

Statický výpočet má čo najlepšie vystihnúť skutočné statické pomery konštrukcie.

Musí sa prihliadať na spôsob a postup vyhotovenia konštrukcie, na jej funkciu a vplyvy, ktoré

na ňu pôsobia, alebo na ňu bežne môžu pôsobiť v rôznych štádiách jej vzniku i po celý čas jej

používania.

Pri skúmaní prírodných javov a objektov je nevyhnutné vždy idealizovať, t.j. brať do

úvahy všetko, čo je pre podstatu skúmaného javu na určitej úrovni dôležité alebo menej

dôležité. Vlastnosti, ktoré nie sú dôležité, sa zanedbávajú. Idealizáciou je napr. pojem

dokonale tuhé teleso, ktoré sa nedeformuje, t.j. pri pôsobení extrémnych síl nemení tvar ani

veľkosť. Iná idealizácia je pojem hmotný bod. Hmotný bod je bezrozmerný bod, ktorému sa

prisudzuje hmotnosť určitej veľkosti. Tuhé teleso, hmotný bod, resp. systém hmotných bodov

sa zahŕňa pod pojem hmotný objekt.

Skutočné konštrukcie však nie sú dokonale tuhé. Sú poddajné a pri ich skúmaní treba

prihliadať k pretvoreniu (deformácii) konštrukcie. Idealizácia konštrukcie je vždy prvým,

veľmi dôležitým krokom pri príprave statického výpočtu. Idealizáciou nosnej konštrukcie sa

vytvára tzv. statický model nosnej konštrukcie.

Statický výpočet, ktorý tvorí súčasť návrhu konštrukcie, má byť taký podrobný, aby sa

podľa neho mohli vypracovať všetky výkresy konštrukcie a jej detaily. V statickom výpočte

sa majú uviesť predovšetkým tieto údaje:

označenie konštrukcie, ktorej sa výpočet dotýka,

zoznam noriem a predpisov, podľa ktorých sa výpočet vypracoval,

všeobecný popis konštrukcie (zo statického hľadiska), doplnený podľa potreby jej

schémou a vysvetlením spôsobu označovania alebo číslovania jednotlivých častí,

spôsob výroby konštrukcie, ak má vplyv na jej dimenzovanie,

zaťaženie, rozhodujúce pre statický výpočet,

navrhované materiály, ich druh a akosť,

dovolené normové namáhanie materiálu, dovolené najmenšie miery bezpečnosti, ktoré

sa použili ako základ statického výpočtu, ak sa odlišujú od hodnôt stanovených

v normách a predpisoch,

druh a fyzikálno-mechanické vlastnosti materiálov,

12

presné označenia prameňov a úradne uznávaných pomôcok, ktoré sa vo výpočte

použili (statické tabuľky, diagramy, spôsoby riešenia, vzorce ap.).

Statický výpočet sa musí vypracovať úplne a zostaviť prehľadne, aby sa priamo a bez

dodatočných riešení a výpočtov mohol sledovať celkový postup a dosiahnuté výsledky sa dali

preveriť dostupnými počítacími pomôckami alebo strojmi. Menej bežné grafické metódy,

ktoré sa vo výpočte použili, treba jasne, podrobne a prehľadne opísať. Vzorce je potrebné

aspoň pri prvom použití v statickom výpočte uviesť najskôr vo všeobecnej forme a až potom

s dosadenými číselnými hodnotami. V statickom výpočte sa má pri jednotlivých veličinách

používať všeobecné označenie podľa platných noriem. Odchýlky od všeobecného označenia

podľa noriem sú dovolené len v osobitne odôvodnených prípadoch. Význam znakov, ktoré sa

v normách neuvádzajú, alebo ktoré sa odlišujú od označení podľa noriem, treba osobitne

vysvetliť, najlepšie súborne, na začiatku alebo na konci celého výpočtu, resp. jeho

jednotlivých častí. Výsledky výpočtu veličín je potrebné uvádzať s označením rozmerov,

napr. m (mm), m2 (mm

2), N, kN, kNm, MPa, ap.

Pri výpočte jednotlivých prvkov konštrukcie sa musia uviesť ich statické schémy,

rozmery, zaťaženie, musia sa presne označiť jednotlivé podpory, styčníky, prúty atď. Podľa

potreby sa uvádza aj opis prvku. Označenie konštrukčných prvkov v statickom výpočte

a v podrobných výkresoch konštrukcie má byť jednotné. Pri každom prvku sa uvedie aj odkaz

na príslušné podrobné výkresy, jednoznačne (spravidla číselne) označené.

Všetky konštrukčné kóty, ktoré tvoria podklad statického výpočtu, musia byť zrejmé

už z príslušných podrobných výkresov konštrukcie alebo z pripojených schématických

náčrtov.

Úlohy sa riešia prevažne analyticky. Existujú aj grafické spôsoby riešenia, výhodné

svojou názornosťou a ľahšou pochopiteľnosťou problému. Sú však menej presné ako

analytické metódy. Použijú sa len vtedy, keď je analytické riešenie pracnejšie. Analytické

výpočtové metódy sú v súčasnej praxi výhodnejšie aj preto, že sa pri nich môže použiť

dostupná výpočtová technika.

13

2. Statika

Statika je náuka o výpočtoch nosných konštrukcií. Každá nosná konštrukcia musí

bezpečne prenášať predpokladané zaťaženie, nesmie sa porušiť, ani nadobúdať väčšie tvarové

zmeny a pritom musí byť stabilná. Statika sa zaoberá určovaním vnútorných síl nosných

konštrukcií vystavených účinkom stáleho alebo pohyblivého zaťaženia, príp. účinkom teploty,

zmršťovania, poklesu podpôr a dotvarovania. Statika v užšom slova zmysle je náuka, ktorá sa

zaoberá podmienkami rovnováhy vonkajších a vnútorných síl pôsobiacich na nosné

konštrukcie – nosné prvky.

Všetky vety a rovnice v statike sú odvodené z niekoľkých axióm (základných

princípov), ktoré sa matematicky nedokazujú. Axiómy statiky predstavujú všeobecné

formulácie, získané ako výsledok mnohých experimentov a pozorovaní.

a) Axióma o rovnováhe dvoch síl (nulový systém)

Dve sily môžu byť v rovnováhe vtedy a len vtedy, ak sú rovnako veľké, opačného

zmyslu a pôsobia na spoločnej priamke. Z toho vyplýva veta, že účinok sily na tuhé teleso sa

nezmení, ak sa jej pôsobisko posunie ľubovoľne v smere jej pôsobenia.

Toto tvrdenie dokazuje príklad na obr.2.1.

K danej sile F pôsobiacej na tuhé teleso v bode A,

možno pripojiť dve rovnako veľké sily +F a -F,

pôsobiace v tom istom smere, ale v pôsobisku B.

Pripojené sily, ktoré sú rovnako veľké ako pôvodná

sila F, spĺňajú axiómu o rovnováhe dvoch síl.

Účinok danej sily F sa nezmení, pretože ak sa vplyv

síl F a –F, ktoré takisto spĺňajú axiómu o rovnováhe

dvoch síl spočíta, zostane sila +F, ktorá sa rovná

pôvodnej sile F, ale pôsobí v bode B.

b) Axióma o rovnobežníku síl

Dve rôznobežné sily F1, F2 pôsobiace na teleso v jednom bode M (pôsobisku) možno

nahradiť jedinou výslednicou F pôsobiacou v tom istom bode. Jej veľkosť, smer, zmysel

(orientáciu) určuje uhlopriečka silového rovnobežníka, ktorého strany predstavujú veľkosti

daných síl F1 a F2 (obr. 2.2 vľavo). Namiesto silového rovnobežníka možno zostrojiť tzv.

zložkový trojuholník (obr. 2.2 vpravo), ktorý predstavuje grafické zobrazenie vektorového

súčtu.

Obr. 2.1

14

Vektor výslednice má v zložkovom trojuholníku opačný zmysel ako vektory

jednotlivých síl.

1221 FFFFF (2.1)

Obr. 2.2

2.1 Pojem sily

Pojem sily bol vytvorený abstrakciou človeka, ktorý námahou svojich svalov musel

prekonať tiaž a odpor pri premiesťovaní telies. Sila vzniká vzájomným pôsobením hmotných

telies. Je prejavom hmoty, príčinou zmeny pohybového stavu čo do veľkosti a smeru, príčinou

deformácie. Sila je veličina, ktorá charakterizuje prenášanie pohybu.

Podľa druhého pohybového Newtonovho zákona sa sila definuje ako vektor F, ktorý

je súčinom hmotnosti m a vektora zrýchlenia a, teda:

amF . (2.2)

Bežným príkladom sily je tiaž telesa G, t.j. sila, ktorou Zem teleso priťahuje

(pôsobením zemskej príťažlivosti). Jej veľkosť určuje súčin hmotnosti telesa m

a gravitačného zrýchlenia g:

gmG . (2.3)

Sila sa vyjadruje rôznymi znakmi: F (G, N, P, R, T, Q, ... ). Jednotkou sily je N

(newton) alebo jeho násobky, najčastejšie kN (103N), MN (10

6N).

Newton (N) je sila, ktorá dáva voľnému hmotnému bodu s hmotnosťou 1kg zrýchlenie

1m.s-2

(1N = kg.m.s-2

). Účinok sily môže byť:

a) statický – sily sa navzájom rušia, nevzniká pohyb, ale nastáva pretvorenie

(deformácia) telesa,

b) dynamický – sily uvedú teleso do pohybu, pričom pohyb môže byť:

15

posuvný a to buď kladný (+), alebo záporný (-), podľa toho, aká orientácia sa zavedie

v pravouhlej súradnicovej sústave (obr.2.3),

otáčavý, kladný - pravotočivý (+), záporný - ľavotočivý (-).

Obr. 2.3

Sila je vektor a preto na jej úplné (jednoznačné) určenie treba poznať štyri

charakteristiky:

1. pôsobisko – miesto, v ktorom sila bezprostredne pôsobí (možno ho ľubovoľne v smere

sily posúvať; 1. axióma),

2. smer – t.j. priamka (trajektória bodu), v ktorej sa sila môže pohybovať,

3. zmysel – orientácia smeru na priamke (znamienko + , - , grafická šípka),

4. veľkosť – množstvo silových jednotiek.

Sila je smerová či vektorová veličina. Graficky sa znázorňuje úsečkou vo vhodne

zvolenej mierke, ktorá sa označuje termínom určovací úsek sily AB (obr.2.4).

Obr. 2.4

16

2.2 Statický moment sily

Pod statickým momentom sily sa rozumie jej otáčavý účinok okolo určitého bodu

(momentového stredu). Matematicky sa tento účinok sily vyjadruje rovnicou:

rFM . Nm, kNm, MNm (2.4)

Rovnica sa číta takto: Statický moment sily M sa rovná súčinu sily F a kolmej

vzdialenosti (ramena) r od zvoleného momentového stredu S. Môže byť kladný alebo záporný

(obr.2.5).

Obr. 2.5

Momentová (Varignonova) veta

Ak v rovine pôsobí viac síl (silová sústava), potom výsledný statický moment

jednotlivých síl k spoločnému momentovému stredu S sa rovná algebraickému súčtu

momentov všetkých síl k tomuto bodu (obr.2.6).

n

i

inS

n

i

iinn

MMMrFM

rFrFrFrFrF

1

1

1

2211

....

........

(2.5)

Rovnice (2.5) vyjadrujú momentovú – Varignonovu (Variňon) vetu: Statický moment

výslednice k určitému bodu v rovine sa rovná algebraickému súčtu statických momentov

jednotlivých síl k tomuto bodu.

Obr. 2.6

F – výsledná sila

r – rameno výslednej sily F

17

2.3 Podmienky rovnováhy síl v rovine

Ak pôsobí v rovine viac síl ako dve, ide o sústavu síl. Podmienky rovnováhy silových

sústav možno vyjadriť analyticky alebo graficky.

Analytické podmienky rovnováhy síl:

0

0

0

i

iiy

iix

M

VF

HF

(2.6)

Prvé dve podmienky rovnováhy sú súčtové. Keď sú splnené obidve súčtové

podmienky rovnováhy, nenastane posun ani vo vodorovnom ani vo zvislom smere

(horizontálne zložky Fix alebo Hi a podobne aj vertikálne zložky Fiy alebo Vi sa navzájom

rušia). Ak je splnená aj tretia podmienka, že súčet momentov k určitému bodu sa musí rovnať

nule, otáčanie nenastane. Tretia podmienka je momentová podmienka rovnováhy.

Grafické podmienky rovnováhy síl:

1. Aby nenastal posun ani vo vodorovnom ani vo zvislom smere, musí byť zložková

čiara uzavretá. Táto grafická podmienka rovnováhy nahrádza dve súčtové analytické

podmienky rovnováhy.

2. Aby nenastalo otáčanie, musí byť výslednicová čiara uzavretá. Táto grafická

podmienka nahrádza tretiu momentovú podmienku rovnováhy.

Dve sústavy síl sú navzájom ekvivalentné (rovnocenné), keď majú pri pôsobení na

tuhé teleso rovnaký účinok a keď sa môžu navzájom nahrádzať. Rovnováha nastane vtedy,

keď sa obráti zmysel všetkých síl jednej z oboch navzájom ekvivalentných sústav.

2.4 Sily pôsobiace v rovine – skladanie síl

Podľa toho, ako sily pôsobia v rovine, rozlišujú sa tieto charakteristické prípady:

sily pôsobiace v jednej priamke,

dve sily pôsobiace v jednom bode (pôsobisku), ale rôznym smerom,

sústava síl pôsobiacich v jednom bode (centrálny silový systém),

všeobecná silová sústava,

rovnobežné sily (dve sily, dvojica síl, sústava síl).

Základnou úlohou pre sily pôsobiace v rovine je nájsť výslednicu F (R) – skladanie

síl, alebo nájsť zložky výslednice, ak sú známe smery – rozklad síl.

18

Sily pôsobiace v jednej priamke

Sústavu síl pôsobiacich v jednej priamke možno riešiť ako sústavu, ktorej všetky sily

pôsobia v jednom bode. Výslednica F sústavy síl F1, F2, ... Fn pôsobiacich v jednej priamke

sa určí ako ich algebraický súčet:

n

i

in FFFFF1

21 ... (2.7)

Graficky sa úloha rieši pomocou zložkovej čiary, v ktorej sa sily priraďujú

v ľubovoľnom poradí a to tak, že ku koncu jedného určovacieho úseku jednej sily sa priradí

začiatok určovacieho úseku ďalšej sily. Takto sa získa grafický obraz súčtu síl, tzv. zložková

čiara. Veľkosť výslednice nezávisí od poradia skladania jednotlivých určovacích úsekov síl.

Určuje ju začiatok prvého a koniec posledného určovacieho úseku (obr.2.7).

Obr. 2.7

Dve sily pôsobiace v jednom bode

Pri grafickom riešení platí axióma o rovnobežníku síl (obr.2.8). Podľa kosínusovej

vety a obr.2.8b sa analytickým riešením určí veľkosť výslednice:

cos...2 21

2

2

2

1

2 FFFFF

Po zavedení vzťahu: cos180cos

bude výslednica: cos...2 21

2

2

2

1 FFFFF (2.8)

Smer výslednice (uhy 1, 2) sa určia z vyznačených trojuholníkov (obr.2.8b)

pomocou sínusovej vety: sin:sin: 12 FF

z čoho: ...sin.sin 12

1 F

F ...sin.sin 2

12

F

F

F1

F2

F3

F1 F2 F3

F

19

a) Obr. 2.8 b)

Pri analytickom riešení sa môže postupovať aj tak, že sa sila, resp. jednotlivé sily

rozložia do vodorovného a zvislého smeru pravouhlej súradnicovej sústavy.

Sila Fi pôsobiaca v bode 0 je odklonená od vodorovnej osi o uhol i. Bodom 0 sa

preloží pravouhlá súradnicová sústava (osi X, Y) a určovací úsek sily premietne do osí X a Y.

Tým sa stanovia určovacie úseky Fix a Fiy (obr.2.9). Analyticky sa veľkosť jednotlivých

zložiek určí zo vzťahov:

iiix FF cos. iiiy FF sin. (2.9)

Pretože i = 90- i platí, že cosi = sini . Teda: iiiy FF sin.

Obr. 2.9 Obr. 2.10

Tieto základné vzťahy (2.9) sa pri všeobecných silových sústavách aplikujú tak, že

jednotlivé sily sa rozložia na vodorovné zložky Fix a na zvislé zložky Fiy. Spočítaním zložiek

sa stanovia výslednice v jednotlivých osiach:

n

i

ii

n

i

iyy

n

i

ii

n

i

ixx

FFF

FFF

11

11

sin.

cos.

(2.10)

20

Dve sily pôsobiace v jednom bode môžeme zložiť do výslednice aj so zreteľom na

pravouhlú súradnicovú sústavu. Vysvetlenie: známe sú veľkosti síl F1, F2 a ich uhly 1, 2.

Treba určiť veľkosť výslednice F síl F1, F2 a uhol , ktorý výslednica F zviera s osou X.

Úloha sa vyrieši najskôr graficky pomocou rovnobežníka síl a premietnutím síl F1

a F2 do súradnicových osí. Výslednica týchto priemetov do osi X sa označí ako Fx a do osi Y

ako Fy (obr.2.10). Z vyznačených pravouhlých trojuholníkov M, Mx, M (M, M, My)

vyplývajúce rovnice:

221121

221121

sin.sin.sin.

cos.cos.cos.

FFFFFF

FFFFFF

yyy

xxx

(2.11)

Veľkosť výslednice: 22

yx FFF (2.12)

Veľkosť uhla : F

Fysin ...cos

F

Fx (2.13)

Podobným spôsobom možno nájsť výslednicu F aj pre viac síl pôsobiacich v jednom

bode (centrálny silový systém). Z uvedeného riešenia vyplýva všeobecná veta:

Súčet priemetov síl rovinnej sústavy pôsobiacej na jeden bod do ľubovoľného smeru sa

rovná priemetu výslednice sústavy pôsobiacej do toho istého smeru. Podľa súčtu priemetov

možno teda vyjadriť aj podmienku rovnovážnosti alebo nulovosti sústavy a vysloviť vetu:

Aby rovinná sústava síl pôsobiaca v jednom bode bola rovnovážna, treba a stačí, aby

sa súčty priemetov síl do dvoch rozličných smerov ležiacich v rovine sústavy rovnali nule.

Z uvedenej vety vyplývajú dve podmienkové rovnice, ktoré musia platiť, ak má byť

sústava rovnovážna:

01

n

i

ixx FF 01

n

i

iyy FF (2.14)

Sústava síl pôsobiaca v jednom bode (centrálny silový systém)

Ľubovoľný počet síl F1, F2 ... Fn pôsobí v spoločnom pôsobisku M (obr.2.11).

Výslednica F tejto silovej sústavy sa získa buď postupným skladaním vždy dvoch síl

pomocou rovnobežníkov síl, alebo sa na tento účel použije osobitne narysovaný silový

obrazec.

Pre jednoduchosť a prehľadnosť si zvoľme iba tri sily – F1, F2, F3 (obr.2.11), ktoré

pôsobia v bode M. Treba nájsť výslednicu týchto troch síl.

21

a) Obr. 2.11 b)

Pomocou rovnobežníka síl – najskôr sa zložia sily F1 a F2 do výslednice F1,2 a táto so

silou F3 doplnením do rovnobežníka síl do výslednice F (obr.2.11a).

Pomocou zložkovej čiary – v osobitnom obrazci sa vynesú jednotlivé sily (ich

určovacie úseky) za sebou, v poradí ich indexov, pri zachovaní smerov a veľkostí síl, pričom

začiatok určovacieho úseku nasledujúcej sily sa vždy položí na koniec určovacieho úseku

predchádzajúcej sily. Spojnica začiatku určovacieho úseku prvej sily s koncom určovacieho

úseku poslednej sily je určovacím úsekom výslednice F=13. Tým vznikne mnohouholník,

pre ktorý sa používa termín zložkový obrazec alebo silový mnohouholník (obr.2.11b).

Sústava síl pôsobiaca všeobecne

Sily, ktoré pôsobia v rovine rôznymi smermi (nemajú spoločné pôsobisko), vytvárajú

tzv. všeobecnú sústavu síl. Treba zistiť, ako sústava pôsobí, či ju možno nahradiť

ekvivalentne jednou silou, resp. či je sústava rovnovážna.

Obr. 2.12

22

Analytické riešenie všeobecnej silovej sústavy možno zhrnúť do nasledujúcich bodov:

sily F1 až F4 (obr.2.12) sa pomocou uhlov i zorientujú k pravouhlým súradnicovým

osiam X a Y,

na ich smeroch sa zvolia pôsobiská A1 až A4 (ak už nevyplývajú z konštrukcie),

v pôsobiskách sa jednotlivé sily rozložia na zložky do smeru osi X (vodorovné) a do

smeru osi Y (zvislé):

iiix FF cos. iiiy FF sin.

vodorovné zložky sa zložia do výslednice Fx a zvislé do výslednice Fy :

ixx FF iyy FF

výslednica všetkých síl sa určí podľa rovnice (2.12),

pôsobisko výslednice. Podľa momentovej vety bude mať výslednica F vzhľadom

k začiatku súradnicovej sústavy súradnice:

x

iix

F

xFx

.

y

iiy

F

yFy

.

(2.15)

Súradnice x, y (sú vynesené na obr.2.12), sa pretínajú v bode A, ktorým zároveň

prechádza výslednica F.

Rovnobežné sily

Dve rovnobežné sily rôznych veľkostí a rovnakého zmyslu

Sily F1, F2 (obr.2.13) sa pretínajú v nevlastnom bode (v nekonečne), preto výslednica

F prechádzajúca ich priesečníkom je s nimi rovnobežná a má rovnaký smer a zmysel.

Veľkosť výslednice sa rovná súčtu obidvoch síl, čiže F=F1+F2.

Poloha výslednice F, t.j. vzdialenosti r1 a r2, ak vzdialenosť obidvoch síl je r, sa

stanoví výpočtom podľa momentovej vety k bodu 2 na lúči sily F1:

F

rFrrFFrF

..0.. 2

1211 Podobne: F

rFr

.12 (2.16)

Výslednica leží vždy medzi silami a vždy bližšie k väčšej sile. Vzdialenosti výslednice

od obidvoch síl sú v obrátenom pomere ich veľkostí, teda:

1221 // FFrr 2112 // FFrr (2.17)

23

Obr. 2.13 Obr. 2.14

Dve rovnobežné sily rôznej veľkosti, ale opačného zmyslu

Podľa obr.2.14 ide o dve sily F1 a F2, ktoré sú rovnobežné, ale opačného zmyslu

(F1F2). Výslednica F má smer obidvoch síl, zmysel väčšej sily a leží po jej vonkajšej strane.

Veľkosť výslednice sa rovná rozdielu obidvoch síl F=F1-F2. Poloha výslednice sa určí

podobne ako v predchádzajúcom prípade podľa momentovej vety, napr. k bodu 2:

F

rFrrFFrF

..0.. 2

1211

(2.18)

Dvojica síl

O dvojicu síl ide len vtedy, keď v rovine pôsobia dve rovnako veľké a navzájom

rovnobežné sily, ktoré majú opačný zmysel (obr.2.15). Dvojica síl je osobitný prípad dvoch

rovnobežných síl opačného zmyslu a charakterizuje sa takto: Dvojica síl nemá spoločné

pôsobisko, nemožno ju nahradiť jednou výslednou silou – nemá výslednicu a tým ani

posuvný účinok (R=F-F=0). Má iba otáčavý účinok – má moment a preto nemôže byť

v rovnováhe.

Obr. 2.15 Obr. 2.16

24

Dvojica síl spôsobuje určitý silový moment, ktorého veľkosť závisí od veľkosti týchto

síl a od ich kolmej vzdialenosti r, tzv. ramena dvojice. Veľkosť otáčavého účinku dvojice síl

je daná momentom Md, ktorý sa rovná súčinu jednej sily a vzdialenosti r medzi oboma silami:

rFM d . (2.19)

Otáčavý účinok dvojice síl môže byť kladný alebo záporný a nikdy nezávisí od

zvoleného momentového stredu. Silová dvojica sa v rovine môže ľubovoľne posúvať, na jej

veľkosti (účinku) sa tým nič nemení, to znamená, že jej moment je vzhľadom ku každému

bodu roviny rovnaký. Ku zvolenému momentovému stredu S je potrebné vypočítať účinok

dvojice síl (obr.2.16). Z momentovej vety k bodu S:

dMrFrrFrFrF .... 2121 (2.20)

Viaceré silové dvojice možno nahradiť jednou výslednou dvojicou, ktorej veľkosť sa rovná

algebraickému súčtu momentov jednotlivých dvojíc, t.j.:

n

i

di

n

i

iid MrFM11

. (2.21)

Vlastnosti silových dvojíc sa môžu zhrnúť takto: Dvojica síl je určená:

rovinou, pričom nezáleží na jej polohe v rovine a takisto ani na polohe momentového

stredu,

veľkosťou, ktorá je daná momentom Md,

zmyslom, pričom za kladný sa považuje pravotočivý smer pohybu.

Silová dvojica sa môže v jej rovine ľubovoľne posunúť, pootočiť, redukovať (t.j.

dvojica s momentom Md=F.r nahradiť dvojicou s rovnako veľkým momentom Md). Niekoľko

dvojíc v tej istej rovine možno nahradiť dvojicou, ktorej moment sa rovná algebraickému

súčtu momentov jednotlivých dvojíc. Rovnováha nastane vtedy, keď algebraický súčet

momentov všetkých dvojíc sa bude rovnať nule.

Sústava rovnobežných síl

Je to sústava síl, ktoré pôsobia na teleso v jednej rovine v rovnobežných lúčoch, teda

nemajú spoločné pôsobisko (spájajú sa v nekonečne).

25

2.5 Sily pôsobiace v rovine – rozkladanie síl

Rozkladanie síl predstavuje opak úlohy skladania síl. Pri rozkladaní síl je známa

výslednica a zisťuje sa, ktoré a aké veľké zložky ju vytvárajú.

Grafické riešenie. Známa výsledná sila F sa rozloží na dve zložky. Vo vhodne

zvolenej mierke dĺžok sa zakreslí schéma konštrukcie. Tým sa zistia smery všetkých síl

(výslednice i jej zložky), čiže schéma vlastne predstavuje hlavný obrazec síl (obr.2.17a).

V mierke síl sa zakreslí určovací úsek (obr.2.17b) sily F a rovnobežkami so smermi S1 a S2 sa

doplní na silový rovnobežník, prípadne sa zostrojí silový trojuholník (teda polovica silového

rovnobežníka) a to tak, že zo začiatku a konca určovacieho úseku sily F sa vedú rovnobežky

so smermi S1 a S2, pričom sa zachováva sled síl v smere hodinovej stupnice. Veľkosť síl S1

a S2 sa zistí odmeraním ich určovacích úsekov v mierke síl (obr.2.17b).

a) Obr. 2.17 b) c)

Analytické riešenie. V podstate ide o riešenie trojuholníka (obr.2.17c). Najskôr sa zo

schémy konštrukcie vypočíta uhol , napr. tg=2h/l. Pomocou uhla sa stanovia ostatné

uhly v silovom trojuholníku (=90-=, =180--) a pomocou goniometrických funkcií,

najčastejšie sínusovej vety, sa vypočítajú hľadané sily. V našom riešení F/sin=S1/sin

a vtedy:

sin

sin.1 FS

sin

sin.2 FS (2.22)

Podobne sa môže zistiť, akou osovou silou bude namáhané oceľové ťahadlo a drevená

vzpera na vyznačenej konštrukcii, ak je konštrukcia namáhaná silou F (obr.2.18).

26

Obr. 2.18

Pri grafickom riešení sa vo zvolenej mierke vynesie určovací úsek sily F. Koncovými

bodmi tohto úseku sa vedú rovnobežky so smermi hľadaných síl S1, S2. Získa sa tak silový

trojuholník, v ktorom sa odmeraním úsekov zložiek S1 a S2 zistia ich veľkosti.

Ak by boli v konštrukcii (obr.2.18) sily S1 a S2 rovnako veľké a pôsobili rovnakým

smerom, ale opačným zmyslom, bola by konštrukcia v rovnovážnom stave. Z toho vyplýva,

že tri rovnovážne sily sa pretínajú v jednom bode a zložková čiara je trojuholník.

Toto pravidlo sa využíva pri rozkladaní sily F do dvoch zložiek, z ktorých je pri

jednej, napr. pri S2 známy aj smer, kým pri druhej S1 iba pôsobisko A (obr.2.19). Úloha sa

rieši tak, že sa zistí priesečník P známeho smeru zložky S2 so smerom danej výslednej sily F

a tak sa určí spoločný bod P pre všetky tri sily.

a) Obr. 2.19 b)

Spojnica AP je hľadaný smer zložky S1. Jej veľkosť sa určí podľa už známych

postupov z rovnobežníka síl, alebo z trojuholníka síl (obr.2.19b).

27

Pri nahrádzaní rovinnej sústavy síl jednou silou a dvojicou síl sa postupuje takto:

Známa je výsledná sila F rovinnej silovej sústavy a ľubovoľne zvolený bod M (obr.2.20a).

V bode M budú pôsobiť dve sily rovnakého smeru ako sila F, ale opačných zmyslov (+F, -F),

čiže zavedie sa nulový silový systém. Pri pôsobení všetkých troch síl sa v podstate sila F

nahradila silou F pôsobiacou v hmotnom bode M a dvojicou síl F a –F s momentom M=F.r

(obr.2.20b). Na základe uvedeného možno uviesť všeobecnú vetu: Každá sila v rovine sa

môže nahradiť jednou silou a dvojicou síl.

a) Obr. 2.20 b)

2.6 Podoprenie nosných konštrukcií - výpočet reakcií v podperách

Ak vonkajšie zaťaženie konštrukcie nie je v rovnováhe, spôsobí jej pohyb. Tomuto

pohybu možno zabrániť podopretím konštrukcie. Teleso (konštrukcia) sa v rovine môže

premiesťovať tromi základnými spôsobmi:

posunom vo vodorovnom smere,

posunom vo zvislom smere,

otáčaním okolo zvoleného bodu.

Teleso má v rovine tri stupne voľnosti. Podopretím telesa (konštrukcie) v niektorom

bode možno znemožniť určitý druh jeho premiestňovania alebo zabrániť aj všetkým trom

uvedeným možnostiam pohybu telesa (konštrukcie). V miestach podopretia nosnej

konštrukcie sa prenášajú sily medzi ňou a podporou. Nosná konštrukcia prenáša do každej

podpory určitú časť svojho zaťaženia – silu, ktorá sa nazýva akcia. Podpora pôsobí na

konštrukciu výslednou silou, ktorá sa nazýva reakcia. Akcia a reakcia sú rovnako veľké, ale

opačného smeru, teda sú v rovnovážnom stave. Podrobným popisom rovinného podopretia

telesa (v aplikácii na nosníky) a výpočtom reakcií v podporách sa zaoberá kapitola 12.1

Vonkajšie statické účinky na nosníku.

28

2.7 Staticky určité prútové sústavy

Najčastejšie ide o strešné, mostové, žeriavové a im podobné nosné konštrukcie.

Prútové sústavy pozostávajú z prútov (1, 2, 3 ...), ktoré viažu body A, B, C ... medzi sebou.

Body A, B, C ... v ktorých sa prúty stýkajú, sú styčníky (uzly). Podľa počtu prútov stýkajúcich

sa v uzle sa rozlišujú dvojité uzly, trojité uzly atď. Spojenie jednotlivých prútov v uzle

(styčníku) môže byť podľa konštrukčného materiálu svorníkové, klincové, nitové, lepené,

zvárané a i. Spojenie prútov sa predpokladá kĺbové, centrické a bez trenia.

Osi prútov, ktoré sa pretínajú v príslušných uzloch, tvoria geometrický obrazec, tzv.

osový mnohostran. Spojením niekoľkých styčníkov ležiacich na spoločnej priamke alebo

oblúku prútmi vznikne tzv. pás. Podľa polohy môže byť pás horný a spodný. Prúty medzi

pásmi sú výplňové (medzipásové) a sú buď zvislé (zvislice), alebo šikmé (diagonály). Bežne

používané prútové sústavy sa teda skladajú z pásov a medzipásových prútov. Prútové sústavy

z dvoch pásov a medzipásových prútov sa nazývajú aj priehradové konštrukcie (nosníky).

Názvy jednotlivých častí prútovej sústavy, ako aj označenia styčníkov a jednotlivých osí

prútov sú na obrázku 2.21.

a) Obr. 2.21 b)

Prútové sústavy: a) 1-horný pás, 2-dolný pás, 3-zvislé prúty, 4-šikmé prúty, 5-styčníky (uzly),

6-priehrada, b) 1, 2, 3 ... označenie jednotlivých prútov, A, B, C ... styčníky (uzly).

Pásy priehradového nosníka sú buď priame, alebo lomené. Podľa toho sa rozlišujú

priehradové nosníky priamopásové, parabolické atď. (obr.2.22 – Príklady prútových sústav).

Ako nosné konštrukcie prenášajú prútové sústavy zaťaženie vyplývajúce z ich vlastnej

tiaže a užitočné (náhodné) zaťaženie, t.j. zaťaženie snehom, vetrom, ľuďmi, vozidlami ap.

Zaťaženie, okrem vlastnej tiaže, sa považuje za známe. Ak pôsobí v osi mnohostranu a len

v styčných bodoch (tzv. styčné zaťaženie), vyvolá v jednotlivých prútoch vnútorné sily, tzv.

osové sily S. Osová sila S je v celom prúte konštantná a jej účinok je buď tlakový (tlak; (-)),

29

ak pôsobí do styčného bodu, alebo ťahový (ťah; (+)), ak pôsobí od styčného bodu. Smer

pôsobenia osovej sily sa vyznačuje šípkou.

Obr. 2.22

Na hospodárne určenie rozmerov prútov sústavy je potrebné zistiť veľkosť sily, ktorá

pôsobí v ľubovoľnom prúte konštrukcie, čiže zistiť tzv. osové sily pôsobiace v jednotlivých

prútoch sústavy. Prútové sústavy sú nosné konštrukcie, ktoré prenášajú zaťaženie do podpôr.

Podpory reagujú opačnými silami, reakciami, ktoré sú v rovnováhe so zaťažením: jedna

podpora býva spravidla pevná, druhá posuvná. Pri tomto spôsobe uloženia sa prútová sústava

správa voči vonkajšiemu zaťaženiu ako jednoduchý nosník, čo znamená, že reakcie možno

určiť z troch základných podmienok rovnováhy síl.

30

2.8 Riešenie prútových sústav

Pri riešení prútových sústav sa predpokladá splnenie týchto podmienok:

1. Kĺbové spojenie prútov v styčníkoch (bez trenia).

2. Centrické spojenie prútov v styčníkoch. Osi prútov sa pretínajú v jednom bode.

3. Zaťaženie sa prenáša len do styčníkov.

4. Podopretie predpokladáme v dvoch styčníkoch (jedna podpora pevná, druhá posuvná).

Ak na prútovú sústavu pôsobí zaťaženie len v uzloch, vyvolá v jednotlivých prútoch

vnútorné tlakové alebo ťahové sily S. Za predpokladu, že sa zo sústavy odstránia všetky

prúty, pričom každý prút (jeho účinok) sa nahradí dvoma rovnako veľkými silami, ale

opačného smeru, získa sa silová sústava so smermi totožnými so stranami osového

mnohostranu.

Ak sa uvolnia aj obe podpory a ich účinok sa nahradí príslušnými zložkami reakcií

(obr.2.21b), nájde sa toľko silových sústav pôsobiacich v jednom bode (centrálne silové

systémy), koľko je uzlov (styčníkov).

Pri počte uzlov bude 2 podmienok rovnováhy, pretože v každom uzle platia 2

súčtové podmienky rovnováhy. Rovnováha musí byť nielen v styčnom (uzlovom) bode, ale aj

celá prútová sústava musí byť v rovnováhe. To znamená, že v rovnováhe musí byť zaťaženie

(primárne sily) s vyvolanými reakciami (sekundárne sily) – rovnováha vonkajších síl.

Vyplýva to aj z toho, že dve rovnaké sily opačného zmyslu nahradzujúce prút sa navzájom

rušia (nulový systém síl).

Pre vonkajšie sily (zaťaženie a reakcie) platia 3 podmienky rovnováhy. Prútová

sústava je staticky určitá, keď možno všetky neznáme osové sily, ktorých je , aj zložky

reakcií, ktorých je , určiť z podmienok rovnováhy. Musí teda platiť vzťah:

.2 (2.23)

Sústavu možno riešiť len vtedy, keď počet podmienkových rovníc sa rovná počtu

neznámych osových síl a počtu zložiek reakcií . Sústavy, pri ktorých je táto podmienka

splnená, sú staticky určité. Ak: .2 (2.24)

je sústava staticky neurčitá (tvarovo je preurčitá – má aj prebytočné prúty). Zo vzťahu pre

statickú určitosť sústavy vyplýva potrebný počet prútov:

.2 (2.25)

Ak má sústava jeden podporný bod pevný a druhý posuvný, počet zložiek reakcií

=2+1=3 a rovnica (2.25) má tvar =2.-3.

31

Postup riešenia:

1. Určí sa geometrický tvar prútovej konštrukcie (vypočítajú sa dĺžky jednotlivých

prútov a uhly medzi nimi). Príklady prútových sústav sú na obr.2.22.

2. Určí sa druh a veľkosť zaťaženia. Osamelé sily v styčníkoch, zaťaženie snehom,

vetrom alebo ich kombinácie.

3. Vypočítajú sa podporové reakcie podľa kap.12.1.

4. Stanovia sa veľkosti osových síl v jednotlivých prútoch podľa nasledujúceho postupu:

V praktických výpočtoch sa najčastejšie používa metóda styčných bodov. Každý

styčník (uzol) sa považuje za centrálny silový systém, v ktorom môžu pôsobiť vonkajšie sily

F a osové sily S (obr.2.23).

Obr. 2.23

V každom styčníku sa zavedie pravouhlý súradnicový systém a od jeho vodorovnej osi

sa vyznačia smerové uhly k jednotlivým silám. Predpokladá sa, že neznáme osové sily sú

ťahové (+), teda pôsobia od styčníka.

V každom uzle sú vonkajšie sily F a osové sily S v rovnováhe. Neznáme osové sily

a zložky reakcií sa určia zo súčtových podmienok rovnováhy, uvedených pre všetky styčné

body. Symbolmi Si a i sa označia osové sily prútov a ich smerové uhly, symbolmi Fi a i

vonkajšie sily a ich smerové uhly v ľubovoľnom styčnom bode M (obr.2.23). Ak sa všetky

sily pôsobiace napr. v styčníku M rozložia na zložky v smere osí X a Y, potom:

iiix

iiix

FF

SS

cos.

cos.

iiiy

iiiy

FF

SS

sin.

sin.

(2.26)

32

Ak sily v styčníku M majú byť v rovnováhe, musí sa súčet ich zložiek v smere osi X

a v smere osi Y rovnať nule:

0sin.sin.

0cos.cos.

iiii

iiii

FS

FS

(2.27)

Riešením týchto dvoch rovníc sa vypočítajú dve neznáme osové sily. Znamienko bude

buď kladné (+), teda podľa predpokladu, alebo záporné (-) a potom sa v prúte tlak aj smer

(šípka) musia zmeniť smerom do styčníka. Metóda styčných bodov sa môže aplikovať iba

v tom styčníku, v ktorom sú maximálne dve neznáme osové sily, lebo ide o dve súčtové

podmienky rovnováhy. Potom sa postúpi do ďalšieho uzlového bodu, v ktorom sú opäť

najviac dve neznáme osové sily.

Príklad 2.1

Riešte metódou styčných bodov osové sily v prútoch strešného väzníka podľa

obr.2.24a. Riešenie: Statická určitosť väzníka podľa rovnice (2.23) je 2.=+, 2.7=11+3,

teda 14=14, to znamená, že väzník je staticky určitý.

Označenie uzlov a číslovanie prútov je na obr.2.25. Podporové reakcie pri symetricky

rozloženom zaťažení možno vypočítať zo súčtovej podmienky rovnováhy V=0:

kNF

FFRRi

BABA 902

60.230.2

2

Výpočet osových síl: Do rovníc sa dosadzujú sily v absolútnych hodnotách. Pri

zostavovaní rovníc sa rešpektuje orientácia známych síl podľa zavedených šípok a len pri

neznámych osových silách sa predpokladá vždy najprv ťah (pôsobenie od styčníka). Ak vyjde

opačné znamienko, orientácia sily (šípky) sa zmení.

Uzol C (obr.2.24b):

00cos.

0

300

0

444

1771

SS

H

kNFSSF

V

Uzol A (obr.2.24c):

kNRS

S

SSRS

V

A

A

10,110545,0

9030

33sin

0sin.

0

7

10

1010107

33

kNSS

SSS

H

37,92839,0.10,11033cos.

0cos.

0

101

110101

Obr. 2.24

34

Uzol D (obr.2.24d):

kNFSSS

SSFSS

V

kNS

S

SSS

H

89,3060317,0.44,97545,0.10,1100318sin.33sin.

0sin.sin.

0

44,97948,0

839,0.10,110

0318cos

33cos.

0cos.cos.

0

25108

882551010

10

5

5551010

Uzol F (obr.2.24e):

kNSSS

SSSS

H

kNS

S

SSS

V

44,187951,0.37,9937,92cos.

0cos.

0

97,99309,0

89,30

18sin

0sin.

0

111112

2111121

8

11

1111118

Uzol G (obr.2.24f):

kNSSSS

H

S

V

44,1870

0

0

0

2332

9

Obr. 2.25

35

2.9 Príklady zo statiky

1.) Betónový stĺp kruhového prierezu je uložený na kváder a zaťažený silou F = 20 kN

podľa obr.2.26. Určte tlačnú silu R pôsobiacu na základ a reakciu podložky N, ak objemová

hmotnosť betónu = 2300 kg.m-3

, d = 600 mm, a = 800 mm, l1 = 2 m, l2 = 0,5 m.

Obr. 2.26 Obr. 2.27 Obr. 2.28

2.) K stožiaru lanovky o výške h je pripojené lano AB, ktoré je v bode B, vo vzdialenosti l

od osi stožiaru pripevnené k zemi. V bode A pôsobia na stožiar ešte dve laná, ležiace v rovine

ABC, obr.2.27. Sily v lanách sú N1 a N2. Vypočítajte, aká veľká sila musí vzniknúť v lane

AB, aby výslednica R pôsobiaca na stožiar bola zvislá. Dané: N1 = 10 kN, N2 = 20 kN, l = 6

m, h = 8 m, α = 25°, β = 40°.

3.) K stožiaru sú pripevnené dve laná v jednej rovine. Lano 1 zviera s vodorovnou

rovinou uhol α = 20°, lano 2 uhol β = 35°. Sily v lanách sú N1 = 50 kN a N2 = 70 kN. Určte

veľkosť a smer výslednej sily R zo síl N1 a N2, pôsobiacej na stožiar (obr.2.28).

4.) Na hladkej naklonenej rovine, ktorá zviera s vodorovným smerom uhol γ = 40°, sa

nachádza guľa tiaže G = 30 kN. V rovnováhe je udržiavaná pomocou lana, ktoré je

pripevnené k stene v mieste B (obr.2.29). Určte veľkosti väzbových reakcií ak β = 60°.

5.) Tri prúty konštrukcie podľa obr.2.30, ktoré sú pripevnené na kovovú dosku tak, že ich

osi sa pretínajú v jednom bode, prenášajú sily F1 = 30 kN, F2 = 33 kN a F3 = 30 kN. Zistite

veľkosť a smer výslednice R pôsobiacej na ťahadlo.

36

Obr. 2.29 Obr. 2.30

6.) Tyč AB je otočne uložená v kĺbe A a v bode B je držaná lanom, ktoré je prevlečené

cez kladku zanedbateľných rozmerov a zaťažené silou F (obr.2.31). Tyč je zaťažená

bremenom tiaže G = 30 N. Vypočítajte silu F a osovú silu v tyči NAB pri rovnováhe v danej

polohe. Hmotnosť tyče zanedbajte. Dané: α = 20°, β = 45°.

Obr. 2.31 Obr. 2.32

7.) Teleso AB upevnené dvoma prútmi a posuvným lôžkom je zaťažené silou F = 300 N

(obr.2.32). Určte reakcie vo všetkých väzbách, ak a = 1 m, α = 45°, β = 60°.

8.) Žeriav dvíha bremeno tiaže G = 2500 N. Vypočítajte reakcie vo väzbách pri troch

druhoch vonkajších väzieb podľa obr.2.33, ak l = 1,8 m, h = 2,4 m, α = 60°.

9.) Teleso AB daných rozmerov je zaťažené silami F1 = 200 N, F2 = 200 N, F3 = 400 N

podľa obr.2.34. Teleso je upevnené k rámu kĺbom A a posuvným lôžkom B. Vypočítajte

reakcie vo väzbách.

37

Obr. 2.33

10.) Určte reakcie vo väzbách A a B, ak teleso znázornené na obr.2.35 je zaťažené

vodorovnou silou veľkosti F = 4 kN, momentom M = 2 kN.m, rovnomerným spojitým

zaťažením o intenzite q = 3 kN/m a trojuholníkovým o intenzite q0 = 2 kN/m.

Obr. 2.34 Obr. 2.35

11.) Teleso znázornené na obr.2.36, dĺžky 6a je zaťažené silami F1 = 200 N, F2 = 500 N

a spojitým zaťažením o intenzite q = 500 N/m. Zistite, či musí vzniknúť pri danom zaťažení

horizontálna zložka reakcie A? Vypočítajte reakcie v mieste A a B, ak a = 1 m.

Obr. 2.36 Obr. 2.37

38

12.) Na obr.2.37 je znázornený zalomený nosník, zaťažený osamelými silami F1 = 600 N,

F2 = 100 N a rovnomerným spojitým zaťažením o intenzite q = 100 N/m. Zistite reakcie vo

väzbách A a B, keď a = 1 m.

13.) Rovinný rámový nosník, znázornený na obr.2.38, je tvorený časťami AC = h = 3 m

a BC = 3a, a = 1 m. Na časť AC pôsobí rovnomerné spojité zaťaženie q = 30 N/m a na časť

BC pôsobí sústava dvoch rovnobežných síl F1 = 20 N a F2 = 40 N. Určte reakcie A a B.

Obr. 2.38 Obr. 2.39

14.) Na pravouhlo zalomený rámový nosník AB pôsobí sústava dvoch osamelých síl F1, F2

a spojité zaťaženie rovnomerné a trojuholníkové podľa obr.2.39. Určte horizontálnu

a vertikálnu zložku reakcie A, ak F1 = 600 N, F2 = 100 N, q0 = 100 N/m, a = 1 m.

15.) Nosník dĺžky 4a upevnený kĺbom A a posuvným lôžkom B je zaťažený silou F1 = 600

N, pôsobiacou pod uhlom α = 60°, zvislou silou F2 = 900 N a spojitým zaťažením

trojuholníkovým o intenzite q0 = 50 N/cm (obr.2.40). Zistite, či kĺb A je možné nahradiť

posuvným lôžkom, ak áno, aká veľká je reakcia v bode B.

Obr. 2.40 Obr. 2.41

39

16.) Rovinná sústava telies znázornená na obr.2.41 je zaťažená zvislou silou F = 600 N.

Vypočítajte reakcie vo všetkých väzbách, ak a = 1,5 m, b = 0,75 m, c = 0,5 m.

Obr. 2.42 Obr. 2.43

17.) Nosník AB je v mieste A pripevnený kĺbom k zvislej stene (obr.2.42). Vo vodorovnej

polohe je držaný prútmi CD, DH a DE, pričom prút DH je vo vodorovnej polohe a prút DE

v zvislej polohe. Určte osovú silu NDE v prúte DE, ak je nosník zaťažený silou F = 2 kN

a momentom M = 4 kN.m, pričom a = 3 m, b = 6 m, α = 30°. Vlastnú tiaž nosníka zanedbajte.

18.) Rovinná sústava telies znázornená na obr.2.43 je zaťažená silou F = 400 N. Zistite,

aké reakcie vyvodí dané zaťaženie v jednotlivých väzbách, ak a = 2 m, b = 1 m.

19.) Jednoduchá vzpera znázornená na obr.2.44 je tvorená rovinnou prútovou sústavou,

pozostávajúcou z piatich prútov a je zaťažená zvislou silou F = 5000 N. Určte reakcie vo

väzbách A a B, ako aj osové sily v jednotlivých prútoch, ak l = 4 m, h = 3 m.

Obr. 2.44 Obr. 2.45

20.) Jednoduchá rovinná prútová sústava podľa obr.2.45 je viazaná k základu kĺbom

A a posuvným lôžkom B a je zaťažená silami F1 = 500 N, F2 = 400 N. Určte vonkajšie

väzbové reakcie a osové sily vo všetkých prútoch, ak a = 1 m, α = 30°.

40

3. Základy kinematiky

Kinematika je náuka o pohybe hmotného bodu, tuhého telesa alebo sústavy telies bez

ohľadu na jeho príčiny, t.j. sily. Zaoberá sa teda iba tvarom a priebehom dráhy v závislosti na

čase a priestore, čo sú vlastne jej dva základné pojmy.

Dráha hmotného bodu sa nazýva trajektória a je to spojnica okamžitých polôh

pohybujúceho sa hmotného bodu (telesa) v rovine alebo priestore. Pohyb je možné vyjadriť

v pravouhlom súradnicovom systéme, v ktorom každej polohe bodu M prislúchajú určité

súradnice x, y, z, ktoré sa pri pohybe po priestorovej trajektórii každým okamihom menia

(obr.3.1).

Kinematická geometria sa zaoberá vlastnosťami trajektórie bez ohľadu na časový

priebeh pohybu. Podľa tvaru trajektórie rozlišujeme dva základné druhy pohybu:

1. pohyb posuvný (translačný), pri ktorom trajektórie všetkých bodov telesa tvoria

zhodné priamky alebo krivky (môže to byť teda pohyb priamočiary a krivočiary),

2. pohyb otáčavý (rotačný), pri ktorom trajektórie všetkých bodov telesa tvoria

sústredené kružnice okolo stálej osi.

Všeobecný pohyb telesa je zvyčajne zložený z pohybu translačného a rotačného.

Vlastná kinematika sleduje pohyb s ohľadom na čas a zavádza teda pojmy rýchlosť

a zrýchlenie. Podľa závislosti na čase rozlišujeme dva druhy pohybov:

1. pohyb rovnomerný, pri ktorom je rýchlosť v závislosti na čase konštantná,

2. pohyb nerovnomerný, pri ktorom sa rýchlosť s časom mení a to buď narastá (tzv.

pohyb zrýchlený) alebo klesá (pohyb spomalený) a obidva pohyby môžu byť ešte

v závislosti na čase rovnomerne alebo nerovnomerne zrýchlené či spomalené.

Obr. 3.1 Obr. 3.2

41

Zavádzame pojmy: dráha s, rýchlosť c, čas t, zrýchlenie a. Zotrvačné účinky

zrýchleného a spomaleného pohybu sú v podstate rovnaké, preto je možné všeobecne hovoriť

o zrýchlenom pohybe s kladným alebo záporným zrýchlením. Závislosť dráhy s na čase t

môžeme všeobecne vyjadriť funkciou s=f(t).

Pri pohybe hmotného bodu z A1 do A2 vykoná bod dráhu s (obr.3.2), pričom sa jeho

rýchlosť v tomto intervale mení. Okamžitá rýchlosť c v ľubovoľnom bode dráhy je daná

podielom elementu dráhy ds a elementu času dt:

dt

dsc (3.1)

Zrýchlenie a, ktoré definujeme ako zmenu (prírastok alebo úbytok) rýchlosti za časovú

jednotku, je dané deriváciou rýchlosti podľa času, alebo druhou deriváciou dráhy podľa času:

2

2

dt

sd

dt

dca (3.2)

3.1 Pohyb priamočiary rovnomerný

Z úvodnej časti základov kinematiky vyplýva, že u rovnomerného pohybu je rýchlosť

v závislosti na čase konštantná, t.j.:

vkonštdt

dsc . (3.3)

Odtiaľ element dráhy ds=v.dt. Ak budeme integrovať v medziach od s0 do s, kde

s0=začiatočná poloha bodu, pre ktorú je čas t=0, s=konečná poloha bodu, ktorej odpovedá čas

t, dostaneme:

ts

s

dtvds0

.

0

(3.4)

a po integrácii s-s0=v.t, t.j. celková dráha:

tvss .0 (3.5)

Ak je začiatočná rýchlosť s0=0, bude s=0+v.t a z toho rýchlosť:

t

sv (3.6)

t.j. slovne: rýchlosť u rovnomerného pohybu je dráha vykonaná za jednotku času.

42

Základnými jednotkami pre dráhu sú metre (m), pre čas sekundy (s) a pre rýchlosť

metre za sekundu (m/s=m.s-1

). V praxi sa stretávame tiež s rýchlosťou v km/h (kilometre za

hodinu) a prevodné vzťahy sú:

).(6,3

1.)/(

3600

1000.).(

).(6,3.)/(

3600

11000

1

.)/(

11

1

hkmvhkmvsmv

smvsmvhkmv

Ak poznáme v rovnici (3.6) dve z uvedených troch veličín, môžeme tretiu neznámu

veličinu vypočítať; napr. z rovnice (3.6) bude: s=v.t, alebo t=s/v. Pri rovnomernom pohybe

niekoľkých hmotných bodov (telies) je ich celková dráha daná súčtom jednotlivých dráh:

nsssss ...321

Príklad 3.1

Body A a B vzdialené od seba o dráhu s=4,5 km (=4500 m) sa pohybujú po

rovnobežných dráhach rovnomerne priamočiaro proti sebe. Z nich prvé má rýchlosť

c1=90km/h a druhé c2=72km/h. Máme vypočítať, za aký čas sa stretnú a aké dráhy pritom

prejdú. Riešenie: Najprv prevedieme rýchlosti oboch telies z km/h na m/s:

1

1 .256,3

1.90 smc 1

2 .206,3

1.72 smc

Celková dráha s=4500m, ktorá je daná súčtom dielčích dráh s1 a s2 oboch telies bude:

s=s1+s2=c1.t+c2.t=t.(c1+c2) a z toho čas:

scc

st 100

2025

4500

21

Takže dráha prvého telesa: )(2500100.25.11 mtcs

a druhého telesa: )(2000100.20.22 mtcs

3.2 Pohyb priamočiary nerovnomerný

Pri tomto pohybe sa rýchlosť v každom okamžiku (t.j. bod od bodu) mení. Jeho

trajektória s ako funkcia času t vynesená v ortogonálnych súradniciach tvorí všeobecne

krivku. Pritom okamžitá rýchlosť v ľubovoľnom bode je:

tgdt

dsc

43

t.j. je daná funkciou tangens uhlu , ktorý zviera dotyčnica trajektórie v jej príslušnom bode

s vodorovnou osou (obr.3.3). Ku každému bodu trajektórie x=f(t) je možné vyniesť jej

deriváciu a tak získať závislosť rýchlosti na čase c=f(t).

Obr. 3.3 Obr. 3.4

Z úvodnej časti základov kinematiky už vieme, že u nerovnomerného pohybu

zavádzame pojem zrýchlenie a. Toto zrýchlenie je dané ako pomer elementárnych prírastkov

rýchlosti dc a času dt (viď. rovnica 3.2), čo je ale súčasne tangens uhlu , ktorý zviera

dotyčnica krivky c=f(t) v príslušnom bode s vodorovnou osou (obr.3.4), t.j.:

tgdt

dca (3.7)

Nakoľko dc je v metroch za sekundu (m/s=m.s-1

), dt v sekundách (s), je rozmer

zrýchlenia v metroch za sekundu na druhú (m/s2=m.s

-2).

Najjednoduchší nerovnomerný pohyb je rovnomerne zrýchlený (alebo spomalený),

kde dráha je priama a rýchlosť narastá (alebo klesá). U pohybu rovnomerne zrýchleného má

zrýchlenie a konštantnú hodnotu, t.j. rýchlosť rastie rovnomerne s časom. Takže:

.konštdt

dca

z čoho elementárny prírastok rýchlosti dc=a.dt. Túto rovnicu je možné integrovať v medziach

od začiatočnej rýchlosti c0, pri ktorej je čas t=0, po konečnú rýchlosť c, ktorej odpovedá čas t,

teda:

tacctaccdtadc

tc

c

... 00

00

(3.8)

Ak je však začiatočná rýchlosť c0=0, bude okamžitá rýchlosť:

tac . (3.9)

44

Pri začiatočnej rýchlosti c00, resp. c00 je z rovnice (3.8) zrýchlenie:

t

cca 0 (3.10)

Z rovnice (3.1) je ds=c.dt. Ak dosadíme do tejto rovnice za c výraz z rovnice (3.8), bude

ds=(c0+a.t).dt, odkiaľ vypočítame dráhu s:

2

....

2

0

0

0

0

tatcsdttacds

ts

s

(3.11)

Dráhu s je možné tiež vypočítať u pohybu rovnomerne zrýchleného pri začiatočnej rýchlosti

c0 a konečnej rýchlosti c ako polovičný súčet oboch rýchlostí násobený časom t, teda:

tcc

s .2

0

a ak dosadíme do tejto rovnice z rovnice (3.10) za t=(c-c0)/a, dostaneme pre dráhu rovnicu:

a

cc

a

ccccs

.2.

2

2

0

2

00

(3.12)

Ak je začiatočná rýchlosť c0=0, bude z rovnice (3.11) dráha:

2

. 2tas (3.13)

Ak dosadíme za a z rovnice (3.9), t.j. a=c/t, bude dráha:

2

.tcs (3.14)

čo v diagrame c-t znamená plochu trojuholníka (obr.3.5). Ak dosadíme do rovnice (3.14) za t

z rovnice (3.9), t.j.:

a

ct , bude dráha

a

cs

.2

2

(3.15)

a odtiaľ okamžitá rýchlosť:

sac ..2 (3.16)

Príkladom rovnomerne zrýchleného pohybu so začiatočnou nulovou rýchlosťou je

voľný pád telesa vo vákuu, pričom tzv. gravitačné zrýchlenie g=9,81m.s-2

a výška pádu je

h(m). Hlavné rovnice pre voľný pád sú:

tgc . 2

. 2tgh hgc ..2

45

U pohybu rovnomerne spomaleného platia tie isté zákonitosti, do rovníc však

dosadzujeme záporné zrýchlenie –a. Základné rovnice potom majú tvar:

tacc .0 2

..

2

0

tatcs (3.17)

Príklad 3.2

Teleso padalo voľným pádom 3 sekundy. Zistite, z akej výšky h padalo a akou

rýchlosťou c dopadlo, ak zanedbáme odpor vzduchu. Riešenie: Podľa rovnice (3.13), pri s=h

a a=g=9,81m.s-2

, je výška pádu: mtg

h 442

3.81,9

2

. 22

Dopadová rýchlosť podľa (3.9): 1.4,293.81,9. smtgc

Obr. 3.5 Obr. 3.6

3.3 Pohyb krivočiary

U rovnomerného krivočiareho pohybu je dráha krivočiara, veľkosť rýchlosti je

konštantná, ale jej smer sa mení. Smer rýchlosti v ľubovoľnom bode dráhy je zhodný so

smerom dotyčnice k dráhe v tomto bode (napr. v bodoch A a B v obr.3.6).

U krivočiareho zrýchleného pohybu je dráha taktiež krivočiara, ale rýchlosť sa

v závislosti na čase mení a smer rýchlosti v ľubovoľnom bode dráhy je opäť zhodný so

smerom dotyčnice k dráhe v tomto bode. Podľa obr.3.6 vykoná hmotný bod medzi bodmi

A a B elementárnu dráhu ds.

Ak vynesieme rýchlosti bodov A a B z jedného bodu (obr.3.6), určuje spojnica ich

konečných bodov prírastok rýchlosti dc za čas dt. Tento prírastok dc môžeme rozložiť do

dvoch zložiek. Do smeru rýchlosti dct a do smeru normály dcn.

46

Podľa rovnice (3.2) je adt

dc , potom platí aj:

tt adt

dc = tangenciálne zrýchlenie (3.18)

nn adt

dc = normálové zrýchlenie (3.19)

Tangenciálne zrýchlenie at má smer dotyčnice k trajektórii, má teda rovnaký smer ako

rýchlosť a mení jej veľkosť.

Normálové zrýchlenie an je v smere normály k trajektórii a smeruje teda do stredu

krivosti dráhy, preto sa tiež nazýva dostredivým zrýchlením. Jeho veľkosť je možné určiť

takto:

Podľa obr.3.6 pri cA=c je dcn=c.d a ds=.d, odkiaľ d=ds/, takže:

dscdcn . a dosadením do rovnice (3.19) bude

2

..c

cc

dt

dsc

dt

dca n

n

2can (3.20)

tzn., že normálové zrýchlenie je priamo úmerné štvorcu okamžitej rýchlosti a nepriamo

úmerné polomeru krivosti trajektórie v danom bode.

Zrýchlenie a bodu vo všeobecnom prípade sa teda skladá z dvoch navzájom kolmých

vektorov, z ktorých jeden má smer dotyčnice a druhý smer normály k trajektórii. Obe zložky

zrýchlenia v bode trajektórie je možné vektorovo sčítať: nt aaa a ak sú na seba

navzájom kolmé, bude platiť:

222

22

c

dt

dcaaa nt

Z rovnice (3.20) je c2=.an, tzn. že okamžitú rýchlosť krivočiareho pohybu je možné

tiež určiť pomocou polomeru krivosti a dostredivého zrýchlenia an.

3.4 Pohyb rotačný

Rotačný pohyb je v podstate pohyb po kružnici a je zvláštnym pohybom krivočiarym,

kde dráha hmotného bodu má tvar kružnice. Pritom základné vzťahy pre pohyb po kružnici

a rotačný pohyb sú zhodné.

47

U rotujúceho telesa sa jeho jednotlivé body pohybujú po kružniciach, ktorých stredy

ležia na stálej osi otáčania a ktorých roviny sú na túto os kolmé.

Obr. 3.7 Obr. 3.8

Pri rotačnom pohybe zavádzame pojmy obvodová a uhlová rýchlosť. Zatiaľ čo uhlová

rýchlosť je v určitom okamžiku pre všetky body rotujúceho telesa rovnaká, obvodová

rýchlosť mení svoju veľkosť so vzdialenosťou od osi otáčania.

Vyšetríme pohyb bodu po kružnici o polomere r podľa obr.3.7. Pri rovnomernom

pohybe je obvodová rýchlosť v (z lat. velocitas) konštantná a tangenciálne zrýchlenie at je

nulové. Obvodová rýchlosť je daná základnou rovnicou (3.1) dt

dsv , uhlová rýchlosť je daná

pomerom elementárneho pootočenia d a elementu času dt, teda:

dt

d (3.21)

Na základe týchto vzťahov je možné odvodiť vzájomnú závislosť obvodovej a uhlovej

rýchlosti:

..

rdt

dr

dt

dsv (3.22)

Pri rovnomernom rotačnom pohybe:

t

konštdt

d .

tzn. že uhlová rýchlosť je daná uhlom pootočenia sprievodiča za jednu sekundu, vyjadrením

v radiánoch (oblúkovej miere) a jednotkou uhlovej rýchlosti je s-1

.

Pri strojoch a zariadeniach sa udáva otáčavý pohyb počtom otáčok n za minútu

(ot.min-1

). Obvodová a uhlová rýchlosť (pri priemere d, alebo polomere r), v závislosti na

otáčkach, bude teda pri rovnomernom rotačnom pohybe:

48

30

..

60

...2

60

.. nrnrndv

(3.23)

nn

r

nr

r

v.1,0

30

.30

..

(3.24)

Uhol pootočenia sprievodiča za čas t je:

t. (3.25)

a na základe toho doba T jednej otáčky bude zo vzťahu 2.=.T

.2T (3.26)

Počet otáčok za jednu sekundu je tzv. frekvencia f:

60

1

.2

n

Tf

(3.27)

Nakoľko je tangenciálne zrýchlenie at=0, bude výsledné zrýchlenie rovné zrýchleniu,

ktoré má u rovnomerného rotačného pohybu konštantnú hodnotu. Podľa predchádzajúceho

vzťahu bude:

.30

...

.2

2222

konštn

rrr

r

r

vaa n

(3.28)

Pri nerovnomernom rotačnom pohybe sa uhlová rýchlosť mení, takže zavádzame

pojem uhlové zrýchlenie , dané pomerom elementárneho prírastku uhlovej rýchlosti d

a času dt:

dt

d (3.29)

Okamžitá uhlová rýchlosť je daná vzťahom dt

d a tangenciálne zrýchlenie

dt

dvat ;

a nakoľko .rv , je možné pre konštantný polomer otáčania r písať:

..

..r

dt

dr

dt

rdat (3.30)

t.j. tangenciálne zrýchlenie bodu je úmerné polomeru otáčania a uhlovému zrýchleniu. Pre

normálové zrýchlenie an platí rovnica (3.28). Ak poznáme obe zložky at aj an, bude:

4222 . raaa nt

49

Ak =konšt., ide o pohyb rovnomerne zrýchlený. Potom vzťah dt

d je možné písať

v tvare .konštt

, odkiaľ uhlová rýchlosť:

t. (3.31)

čo však platí len za predpokladu, že zrýchlenie začalo od =0.

Ak v čase t=0 bola určitá začiatočná uhlová rýchlosť 0, potom uhlová rýchlosť

v ľubovoľnom čase t bude =0+.t. Pretože uhlová rýchlosť rovnomerne narastá podľa

rovnice (3.31), bude diagram -t daný priamkou (obr.3.8) a čas t vymedzí v diagrame

trojuholník určujúci veľkosť uhlu , vykonaného sprievodičom za čas t, teda

2

.

2

..

2

. 2tttt , čo však platí opäť len vtedy, ak v čase t=0 bola uhlová rýchlosť =0.

Ak v čase t=0 bola už určitá začiatočná uhlová rýchlosť 0, potom uhol určíme z rovnice:

2

..

2

0

tt

Príklad 3.3

1. Aký počet otáčok musí vykonať brúsny kotúč o priemere d=320mm, ak má byť rezná

rýchlosť v=25m.s-1

? Riešenie: Z rovnice (3.23) je:

150032,0.

25.60

.

.60

d

vn ot/min

2. Má sa osústružiť hriadeľ o priemere d=80mm s dĺžkou l=1500mm. Aký je pracovný

(strojný) čas pri reznej rýchlosti v=150m/min a posuve p=0,75mm/ot? Riešenie: Aby

sa hriadeľ dĺžky l osústružil pri posuve p, musí byť celkový potrebný počet otáčok:

200075,0

1500

p

li ot

Pri reznej rýchlosti v=150m/min=.d.n vykoná hriadeľ za minútu počet otáčok:

60008,0.

150

.

d

vn ot/min

Potom čas sústruženia v minútach je:

33,3600

2000

n

it min

50

3.5 Príklady z kinematiky

1.) Do priepasti pustíme olovenú guľôčku. Jej dopad na dno priepasti počuť o 10 sekúnd.

Aká je hĺbka priepasti, ak počítame s rýchlosťou zvuku vo vzduchu v = 340 m.s-1

?

2.) Určte začiatočnú rýchlosť v0, ktorou bola guľa vystrelená smerom zvislým nahor

a výšku h, ktorú guľa pri pohybe dosiahla, keď spadla späť na zem o 20 sekúnd od

vystrelenia.

3.) Po opustení stanice rýchlosť vlaku rovnomerne vzrastá a po troch minútach dosahuje

na dráhe zakrivenej do tvaru kružnice s polomerom R = 800 m, hodnotu 72 km.h-1

. Určte

tangenciálne, normálové a celkové zrýchlenie po dvoch minútach od okamihu opustenia

stanice.

4.) Koleso polomeru 0,4 m sa otáča s frekvenciou 5 s-1

. Vypočítajte uhlovú rýchlosť

kolesa, rýchlosť bodov na obvode kolesa a ich normálové zrýchlenie.

5.) Koleso sa začína z pokojového stavu roztáčať rovnomerne zrýchlene tak, že za prvých

5 sekúnd vykoná 12,5 otáčok. Aká je hodnota jeho uhlovej rýchlosti na konci piatej sekundy?

6.) Teleso voľne padá z výšky h = 78,5 m. Za aký čas prejde prvý a posledný meter svojej

dráhy? Akú dráhu prejde za poslednú sekundu svojho pohybu? Odpor vzduchu zanedbajte.

7.) Aká má byť začiatočná rýchlosť, ktorou vrháme zvisle nadol teleso z výšky h =

122,63 m, ak za poslednú sekundu svojho pohybu má teleso prejsť polovicu svojej celkovej

dráhy? Odpor vzduchu zanedbajte.

8.) Hmotný bod koná pohyb po kružnici s polomerom R = 20 cm so stálym uhlovým

zrýchlením = 2 s-2

. Vypočítajte hodnotu tangenciálneho, normálového a celkového

zrýchlenia na konci 4. sekundy od začiatku pohybu, keď v čase t = 0 bol hmotný bod v pokoji.

9.) Aký je polomer kolesa, ak pri jeho otáčavom pohybe má bod na obvode kolesa 3-krát

väčšiu rýchlosť ako bod, ktorý je o 10 cm bližšie k osi otáčania?

10.) Aká je začiatočná rýchlosť, ktorou kameň vrháme v horizontálnom smere, keď po 2s

trvania pohybu má kameň rýchlosť rovnajúcu sa dvojnásobku hodnoty začiatočnej rýchlosti?

51

11.) Bod M chápadla robota sa pohybuje tak, že jeho súradnice x, y, z, rastú s 1., 2., 3.

mocninou času, t.j. x = a.t1, y = b.t

2, z = c.t

3, kde a, b, c = konšt. Vyšetrite pohyb bodu M.

12.) Vyšetrite pohyb bodu M ojnice kľukového mechanizmu podľa obr.3.9, ak ω = konšt.

Obr. 3.9 Obr. 3.10

13.) Ventil ovládaný vačkovým rozvodom koná priamočiary, posuvný, vratný pohyb

(obr.3.10). Celkový zdvih je b = 6 mm a perióda T = 0,02 s. Priebeh zrýchlenia je kosínusový

a=a0.cosk.t, kde k = konšt. Vyjadrite a vypočítajte časový priebeh zdvihu (dráha ako funkcia

času), rýchlosť a zrýchlenie pohybu (ako funkcia času).

14.) Rameno podľa obr.3.11 sa otáča so zrýchlením . Po ramene sa pohybuje teleso so

stálou rýchlosťou v. Rameno je od zvislej roviny odchýlené o stály uhol . Vyšetrite pohyb

telesa T.

Obr. 3.11 Obr. 3.12

15.) Riešte rýchlosti bodov dvojitého matematického kyvadla podľa obr.3.12.

52

16.) Je daný kulisový mechanizmus podľa obr.3.13. Jeho člen 4 (tyč) AB sa pohybuje

v priamom vedení konštantnou rýchlosťou v. Tyč je kĺbom spojená so šmýkadlom 3, ktoré sa

pohybuje po priamej kulise 2 (tyč) 0D. Určte uhlovú rýchlosť ω21, uhlové zrýchlenie 21,

rýchlosť bodu D a jeho zrýchlenie.

Obr. 3.13

17.) Riešte analytickou metódou pohyb člena 4 v kľukovom mechanizme podľa obr.3.14.

Otáčanie kľuky je dané uhlom φ.

Obr. 3.14

18.) Riešte kinematické pomery kľukového mechanizmu pre bod L a B ak je dané φ21=ω.t,

OA = r, AB = l, AL = l/2 (obr.3.15).

Obr. 3.15

53

4. Základy dynamiky

Dynamika je náuka, ktorá skúma súvislosti medzi pohybom a jeho príčinami, t.j.

silami, ktoré pohyb spôsobili. Dynamika je založená na troch pohybových zákonoch

(princípoch).

4.1 Zákony dynamiky (pohybové zákony)

1. Prvý pohybový zákon – princíp zotrvačnosti:

Každé teleso zotrváva v stave kľudu alebo priamočiareho rovnomerného pohybu,

pokiaľ nie je nútené vonkajšími silami svoj stav zmeniť. Platnosť tohto zákona si overujeme

prakticky pri rozbehu a zastavovaní dopravných prostriedkov, pri jazde v zákrute a pod. Ak je

hmotný bod alebo teleso v kľude alebo pohybuje sa rovnomerne priamočiaro, znamená to, že

sú vonkajšie sily v rovnováhe.

2. Druhý pohybový zákon – zákon sily:

U rovnomerného priamočiareho pohybu je zrýchlenie nulové, nakoľko účinok

vonkajších síl je tiež nulový. Ak pôsobí na voľný hmotný bod alebo na teleso v kľude

vonkajšia sila, pohybuje sa bod alebo teleso rovnomerne zrýchlene. Pokusom je možné zistiť,

že pomer medzi silou a zrýchlením pre ten istý hmotný bod alebo teleso je:

mkonšta

P . (4.1)

kde veličina m, ktorá má pre akékoľvek teleso alebo množstvo akejkoľvek látky stálu

hodnotu, sa nazýva zotrvačná hmotnosť telesa a jej rozmer vyplýva z rovnice (4.1). Ak je sila

P v (m.kg.s-2

), zrýchlenie a je v (m.s-2

), je hmotnosť m v (kg).

Z rovnice (4.1) je zrýchľujúca sila:

amP . (4.2)

Druhý pohybový zákon určuje základnú rovnicu dynamiky a znie takto: Zmena pohybu je

úmerná vonkajšej sile a prebieha v smere tejto sily.

Sila sa teda prejavuje ako príčina zmeny pohybového stavu zotrvačnej hmoty (telesa),

t.j. udeľuje zotrvačnej hmote m zrýchlenie a. Preto sa niekedy nazýva druhý pohybový zákon

zákonom sily.

Najznámejšou silou je hmotnosť (tiažová sila). Je to sila udeľujúca zotrvačnej hmote

tzv. tiažové (gravitačné) zrýchlenie, ktoré je v našej zemepisnej polohe g=9,81m.s-2

.

Rovnica (4.2) má potom tvar: gmG . (4.3)

54

a z toho hmotnosť: g

Gm (4.4)

teda: tiažovú (gravitačnú) hmotu zistíme, ak delíme tiažovú silu G tiažovým zrýchlením g.

Skúsenosťami je potvrdené, že zotrvačná hmota sa rovná tiažovej hmote.

Hmotnosť telesa nie je stála, nakoľko sa mení s tiažovým zrýchlením, ktoré je rôzne

v rôznych zemepisných šírkách. Najväčšie je na póloch (9,83322m.s-2

), najmenšie na rovníku

(9,7805m.s-2

). Stála je naproti tomu tiažová hmota. To malo význam pre voľbu základnej

jednotky fyzikálnej sústavy mierok.

3. Tretí pohybový zákon – princíp akcie a reakcie:

Ak budeme pôsobiť rukou na teleso silou, pôsobí zároveň toto teleso na našu ruku

rovnako veľkou silou opačného zmyslu. Dve telesá môžu na seba pôsobiť priamo (ťahom,

tlakom), alebo prostredníctvom iných telies (lán, remeňov), alebo na diaľku (napr.

magnetizmus). Newton vyslovil zákon akcie a reakcie takto:

Ku každej akcii prislúcha rovnako veľká reakcia opačného zmyslu, alebo vzájomné

pôsobenie dvoch telies je vždy rovnako veľké a opačného zmyslu. Tento zákon je aplikovaný

napr. u zotrvačnej sily a odstredivej sily.

Príklad 4.1

Aká sila je potrebná, aby sa žeriav o hmotnosti (tiažovej sile) G=5t rozbehol so

zrýchlením a=0,3m.s-2

? Riešenie: Podľa druhého pohybového zákona (rovnice 4.2 a 4.4) je

sila potrebná k rozjazdu:

)..(153).(3,0.).(81,9

)..(50000.. 22

2

2

skgmsmsm

skgma

g

GamP

4.2 Zotrvačná sila, hybnosť sily a impulz

Ak pôsobí na voľné teleso (obr.4.1) výsledná akčná sila – akcia P, vzniká proti nej

podľa tretieho pohybového zákona sila reakčná – reakcia S, ktorá je rovnako veľká ako sila P,

pôsobí na tej istej priamke, má však opačný zmysel. Je teda P=S.

Podľa druhého pohybového zákona je akčná sila P=m.a, preto aj zotrvačná sila S=m.a.

To znamená, že zotrvačná sila S, ktorá pôsobí vždy proti zmyslu zrýchlenia, závisí

priamoúmerne na hmote a na zrýchlení. Pôsobí v ťažisku telesa a čím je hmota a zrýchlenie

väčšie, tým je väčšia aj zotrvačná sila. Táto sila je reakciou hmoty, ktorou sa hmota bráni

proti zmene pohybového stavu.

55

Obr. 4.1 Obr. 4.2

Ak budeme napr. pôsobiť v lane vo zvislom smere podľa obr.4.2a silou P väčšou ako

je hmotnosť (tiažová sila) G telesa, pohybuje sa teleso rovnomerne zrýchlene nahor a ručička

silomera upevneného k lanku ukazuje silu, ktorou je lanko napínané, t.j.:

g

aGa

g

GGamGP 1... (4.5)

Naopak, ak PG, pohybuje sa teleso rovnomerne zrýchlene nadol (obr.4.2b) a silomer

ukazuje silu:

g

aGa

g

GGamGP 1... (4.6)

Z uvedeného je zrejmé, že zotrvačná sila S=m.a pôsobí vždy proti zrýchleniu, t.j. pri

pohybe zrýchlenom pôsobí proti zmyslu pohybu a pri pohybe spomalenom v zmysle pohybu.

Príklad 4.2

Akou silou je namáhané lano klietky výťahu pri rozjazde a zastavovaní (pri g=10m.s-2

)

ak hmotnosť klietky so zaťažením m=400kg a zrýchlenie (kladné aj záporné) je a=4m.s-2

?

Riešenie: Tiažová sila G=m.g=400.10=4000N a podľa rovnice (4.5) je ťah lana pri rozjazde:

Ng

aGP 5600

10

41.40001.

a pri zastavovaní (brzdení) je podľa rovnice (4.6):

Ng

aGP 2400

10

41.40001.

56

Účinok stálej sily pôsobiaci na hmotný bod počas času t vyjadríme tak, že obidve

strany základnej dynamickej rovnice (4.2) vynásobíme časom t:

vmtamtP .... (4.7)

Súčin sily a času P.t sa nazýva impulz sily (označuje sa písmenom I) a súčin hmoty

a rýchlosti m.v sa nazýva hybnosť H. Rozmer impulzu a hybnosti je rovnaký, t.j. N.s (newton-

sekunda)=m.kg.s-1

.

Obr. 4.3 Obr. 4.4

Graficky je možné znázorniť impulz sily tak, že na vodorovnú os nanesieme čas t a na

zvislú os silu P, takže I=P.t je plocha obdĺžnika (obr.4.3). Ak je pôsobiaca sila premenlivá, je

impulz sily znázornený plochou nepravidelného tvaru (obr.4.4). Ak premeníme túto plochu na

obdĺžnik s výškou o strednej (priemernej) sile Ps, potom:

vmtPs .. (4.8)

Ak sa však už pohybuje hmotný bod rýchlosťou v0, zvýši sa táto rýchlosť pôsobením

sily P za čas t na rýchlosť v, takže platí:

0.. vvmtP (4.9)

Prírastok hybnosti sa rovná impulzu sily.

Príklad 4.3

Baran o hmotnosti 2,4t dopadá z výšky h=1,8m. Aká je (pri g=10m.s-2

) stredná

dopadová sila, ak trvá ráz 0,02 sekundy? Riešenie: Tiažová sila je G=2,4t.103.10=24000N.

Podľa rovnice (3.16) je dopadová rýchlosť barana:

1.68,1.10.2..2 smhgv

a z rovnice (4.8) je stredná sila:

MNNt

vg

G

t

vmPs 72,0720000

02,0

6.10

24000..

57

4.3 Odstredivá sila

Normálové zrýchlenie u rotačného pohybu (kap.3.4) je úmerné štvorcu obvodovej

rýchlosti, prípadne uhlovej rýchlosti.

r

vran

22. (viď. rovnica 3.28)

Tomuto zrýchleniu an, ktoré má smer polomeru a smeruje do stredu kružnice

rotačného pohybu odpovedá zotrvačná sila, ktorá pôsobí v smere normály proti zmyslu

zrýchlenia an, tzv. odstredivá sila.

Uvažujme napr. hmotný element dm (obr.4.5), ktorý sa pohybuje po kružnici

o polomere r uhlovou rýchlosťou a jeho obvodová rýchlosť je v. Následkom normálového

zrýchlenia an pôsobí na hmotu dm elementárna odstredivá sila dC, t.j.:

dmr

vdmrdmadC n ....

22 (4.10)

Obr. 4.5 Obr. 4.6

Máme zistiť veľkosť odstredivej sily rotujúceho telesa podľa obr.4.6, ktoré má rovinu

súmernosti k osi otáčania z a ťažisko telesa T rotuje okolo osi otáčania po kružnici o polomere

r uhlovou rýchlosťou . Ak vyberieme ľubovoľný hmotný element dm, na ktorý pôsobí

elementárna odstredivá sila dC, môžeme túto silu rozložiť na zložky dCx a dCy v smere

súradnicových osí X a Y. Výsledná odstredivá sila C v smere osi X bude daná súčtom

elementárnych síl dCx, t.j. xdCC .

58

Elementárnu odstredivú silu môžeme vyjadriť:

dmxdCdC xn .. 2

t.j. odstredivá sila: mm

dmxdmxC .... 22

kde súčin x.dm je statický moment hmotného elementu dm k rovine yz, t.j. platí:

mrmxdmx T

m

...

pretože súradnica ťažiska xT je rovná polomeru jeho otáčania, t.j. xT=r.

Odstredivá sila celého telesa potom bude:

mrC ..2 (4.11)

Pretože súčin 2.r vyjadruje normálové zrýchlenie ťažiska telesa, môžeme povedať:

Výsledná odstredivá sila rotujúceho telesa sa rovná súčinu hmoty telesa a normálového

zrýchlenia jeho ťažiska.

mamr

vmrC n ....

22 (4.12)

Príklad 4.4

Aká nevyvážená odstredivá sila vzniká u remenice o hmotnosti G=180kg pri

n=420ot/min a g=10m.s-2

, ak leží ťažisko mimo osi otáčania vo vzdialenosti 2mm? Riešenie:

Tiažová sila remenice o hmotnosti 180kg je G=180.10=1800N a podľa rovnice (4.11) je

odstredivá sila:

Ng

Gr

nmrC 700

10

1800.002,0.

30

420...

30

....

22

2

4.4 Mechanická práca

Z fyziky je známa definícia mechanickej práce ako súčin sily a dráhy rovnakého

smeru so silou, t.j.:

sPA . (4.13)

kde veľkosť a smer sily P sú konštantné, P=konšt.

Ak sa pohybuje pôsobisko sily P po všeobecnej priestorovej krivke k (obr.4.7),

definujeme vykonanú prácu integrálom:

2

1

.

r

r

rdPA (4.14)

59

Obr. 4.7 Obr. 4.8

Práca sa vykoná pri pohybe pôsobiska sily P po krivke k z bodu 1 do bodu 2 (obr.4.7).

Polohu týchto bodov určujú polohové vektory r1 a r2. Samotná práca, definovaná skalárnym

súčinom dvoch vektorov, je veličina skalárna.

Predpokladajme, že dráha pôsobiska sily P bude priamka p zvierajúca so silou uhol

(obr.4.8). Ak je sila P=konšt., bude práca:

12..2

1

rrPrdPA

r

r

pričom: 21 rrr , t.j. rrr 12 , takže práca vykonaná medzi bodmi 1 a 2 (obr.4.8) bude:

rPA . , t.j. cos..rPA

resp. v skalárnej forme: cos..rPA (4.15)

kde r=s=dráha vykonaná pôsobiskom sily P.

Uvedenú rovnicu je možné aplikovať tiež na pohyb pôsobiska sily po ľubovoľnej

krivke k (obr.4.9). Pôsobisko A sily P vykoná po krivke k elementárnu dráhu ds. Tomu

odpovedá vykonaná elementárna práca:

dsPdA .cos. (4.16)

kde =uhol zovretý kladným vektorom posuvnej rýchlosti v a vektora sily P. Z rovnice

vyplýva, že pri uhle 90 je cos0 a práca je kladná, pri uhle =90 je cos=0 a práca sily

P bude nulová a pri uhle 90 je cos0 a práca bude záporná.

Celkovú hodnotu mechanickej práce po určitej dráhe s dostaneme integráciou rovnice

(4.16), t.j.: dsPdAA

s

.cos.0

(4.17)

kde veľkosť a smer sily P sa môžu po dráhe s meniť. Ak je sila P=konšt. a leží v smere dráhy

s, t.j. =0 , cos=1, bude sPdsPA

s

..0

, čo je základná rovnica práce (4.13).

60

Obr. 4.9 Obr. 4.10

Uvažujme ale prípad, kde sila P=konšt., t.j. má rovnaký smer aj veľkosť, ale

pôsobisko sily sa pohybuje po ľubovoľnej krivke (obr.4.10). Sila P sa posunie z bodu A0 do

bodu A, pričom pôsobisko sa po krivke posunie po dráhe s. Táto dráha premietnutá do smeru

sily má dĺžku l. Pri posunutí sily P po elementárnej dráhe ds vykoná sa práca dA=P.ds.cos,

kde ds.cos=dl, takže dA=P.dl a celková práca medzi bodmi A0 a A bude:

lPdlPdAA

lA

A

..00

(4.18)

t.j. veľkosť mechanickej práce vykonanej silou P=konšt. po ľubovoľnej krivke je daná

súčinom sily a kolmého priemetu dráhy do smeru tejto sily.

Množstvo vykonanej mechanickej práce je možné zobraziť graficky v diagrame P-s.

Ak je sila P=konšt., vykonanej práci odpovedá obdĺžnik A=P.s (obr.4.11).

Obr. 4.11 Obr. 4.12

Ak sa mení veľkosť sily P s dráhou s, bude plocha zobrazujúca veľkosť mechanickej

práce uzavretá krivkou sily P vyjadrujúcou funkciu P=f(s). V takom prípade je možné

61

premennú silu P nahradiť konštantnou „strednou“ silou Pstr, čím dostaneme v diagrame P-s

náhradný obdĺžnik (obr.4.12) vyjadrujúci množstvo vykonanej práce podľa rovnice:

sPdsPA str

s

..0

(4.19)

Veľkosť sily Pstr (obr.4.12) vyplýva z rovnosti obdĺžnika Pstr.s s plochou danou integrálom

s

dsP0

. , teda: s

dsP

P

s

str

0

.

Ak sila P zviera s dráhou určitý uhol , musíme teda do rovnice dosadiť jej priemet do

smeru dráhy hodnotou P.cos. Základná jednotka mechanickej práce v medzinárodnej

sústave SI je 1J=1joule. Je to práca, ktorú vykoná sila 1N na dráhe 1m (v smere sily).

Príklad 4.5

1. Akú prácu vykoná zdvíhací motor žeriava, ak zdvíha bremeno o hmotnosti m=1,6t

počas 5 sekúnd rýchlosťou c1=0,5m.s-1

a ak sa zároveň žeriavová mačka pohybuje

rýchlosťou c2=0,4m.s-1

? Trenie zanedbajme. Riešenie: Podľa rovnice (4.18) sa

vykonaná práca rovná súčinu sily a kolmého priemetu dráhy do smeru sily.

Neprihliadame teda na pohyb c2 žeriavovej mačky, nakoľko zdvih je zvislý a dráha

bremena Q premietnutá do smeru zdvihu je s=c1.t. Tiažová sila Q=m.g=16kN, takže

vykonaná práca bude:

kJJtcQsQA 40400005.5,0.16000... 1

2. Aká práca sa vykoná ťahaním vozíka o hmotnosti m=200kg po šikmej dráhe dĺžky

s=100m, ak je naklonená od vodorovnej roviny o uhol =30? Trenie zanedbajme.

Riešenie: Zvislá dráha vozíka bude s=s.sin=100.0,5=50m; tiažová sila

Q=m.g=2000N, potom mechanická práca bude:

kJJsQA 1001000005,0.100.2000.

4.5 Výkon a účinnosť

Výkon je definovaný ako množstvo práce za časovú jednotku. Ak sa mení výkon

stroja v priebehu času t, zisťuje sa tzv. okamžitý výkon ako podiel elementárnej práce a času:

dt

dAPv (4.20)

62

Ak však stroj vykonáva v priebehu času t stále rovnakú prácu, je jeho výkon

konštantný a je možné ho vyjadriť rovnicou:

t

APv (4.21)

Základnou jednotkou výkonu je watt (1W), čo je práca jedného joulu za sekundu

(1W=1J/s=1J.s-1

=1kg.m2.s

-3), vedľajšou jednotkou je kilopondmeter za sekundu

(1kpm/s=1kpm.s-1

=9,80665W10W).

Výkon je možné vyjadriť tiež pomocou pôsobiacej sily a rýchlosti pohybu. Ak do

rovnice (4.20) dosadíme za rdPdA . , dostaneme výkon:

vPdt

rdPPv .

. (4.22)

t.j. výkon je daný skalárnym súčinom vektora sily a rýchlosti.

Ak pôsobí sila stále v smere dráhy, je možné predchádzajúcu rovnicu písať ako súčin

dvoch skalárnych veličín:

vPPv . (4.23)

Tak je možné vypočítať napr. výkon stroja, ktorý na hriadeli pri obvodovej rýchlosti v dáva

obvodovú silu P, alebo výkon lokomotívy, ktorá pri ťažnej sile P ťahá vlak rýchlosťou v,

výkon lietadla, ktoré pri určitej ťažnej sile motora P letí rýchlosťou v.

Základná jednotka watt je pomerne malá, takže častejšie sa používajú násobky

základnej jednotky, t.j. kilowatt (=1kW=103W), poprípade megawatt (=1MW=10

6W) atď.

Pri otáčavom pohybe hriadeľa je možné výkon vyjadriť tiež pomocou krútiaceho

momentu Mk a uhlu pootočenia hriadeľa :

.. kkv Mdt

dMP (4.24)

t.j. výkon sa rovná súčinu krútiaceho momentu Mk a uhlovej rýchlosti .

Staršou jednotkou výkonu bol jeden koň (=1k). Pre prevod výkonu v koňoch na výkon

v kilowattoch a naopak platí:

kkkW

kWkWWk

36,1736,0

11

4

3736,07361

63

Príklad 4.6

1. Aký je potrebný výkon motora žeriava, ak zdvíha bremeno o tiaži m=12t rýchlosťou

c=0,25m.s-1

, ak zanedbáme straty?

Riešenie: Tiažová sila P=m.g=120kN a podľa rovnice (4.23) teoretický výkon je::

kWvPPv 3025,0.120.

2. Elektromotor má výkon Pv=16kW. Na hriadeli je naklinované ozubené koleso

o priemere rozstupovej kružnice D=100mm, otáčky n=1440ot/min. Aká je obvodová

sila P, pri zanedbaní strát?

Riešenie: Podľa rovnice (4.24) je Pv=Mk., kde Mk=P.R a =0,1.n; takže:

nRPMP kv .1,0...

odkiaľ sila: kNnR

PP v 2,2

144.05,0

16

.1,0.

3. Aký teoretický výkon v kW je potrebný pri sústružení oceľového hriadeľa

s priemerom d=120mm, pri otáčkach n=750ot/min, ak je tlaková sila na nôž P=3kN?

Riešenie: Podľa predchádzajúceho príkladu je:

kWnRPMP kv 5,1375.06,0.3.1,0...

Každý mechanizmus alebo zariadenie spotrebuje určitú časť dodávanej mechanickej

energie v prevodoch, resp. na prekonanie rôznych trecích odporov. Preto celkovú prácu stroja

A môžeme rozdeliť na prácu užitočnú Au, ktorú stroj vykonáva a straty As :

𝐴 = 𝐴𝑢 + 𝐴𝑠

Podobne môžeme hovoriť aj o výkone. Dodaný výkon Pp (príkon stroja) sa rozdelí na

výkon užitočný Pu a straty Ps :

𝑃𝑝 = 𝑃𝑢 + 𝑃𝑠

Veličina, ktorá bude z tohto pohľadu charakterizovať kvalitu stroja je tzv. účinnosť ,

ktorá je daná pomerom užitočnej práce k práci, ktorú stroj dodáva, resp. pomerom užitočného

výkonu stroja k jeho príkonu: (4.25)

𝜂 =𝐴𝑢

𝐴=

𝑃𝑢

𝑃𝑝. 100 (%)

Účinnosť je teda bezrozmerné číslo (niekedy sa vyjadruje v %), ktoré udáva, aká časť

práce stroja sa zmení na užitočnú, resp. aká časť príkonu sa v stroji zmení na užitočný výkon.

64

4.6 Príklady z dynamiky

1.) Teleso sa dáva do pohybu pôsobením sily F = 0,02 N a za prvé štyri sekundy svojho

pohybu prejde dráhu 3,2 m. Aká veľká je jeho hmotnosť a akú rýchlosť má na konci piatej

sekundy svojho pohybu?

2.) Loptu hmotnosti m = 100 g sme nárazom uviedli do pohybu s rýchlosťou v = 10 m/s.

Akou veľkou silou sme do nej udreli, keď náraz trval t = 0,01 s?

3.) Vlak idúci rýchlosťou 60 km/h dokážeme použitím bŕzd zastaviť na dráhe 400 m. Akú

rýchlosť má mať vlak, ak ho rovnakým brzdením chceme zastaviť na dráhe 0,1 km?

4.) Vypočítajte výkon motora nákladného auta, ktoré sa pohybuje stálou rýchlosťou 30

km/h po ceste s 5-ným stúpaním, keď hmotnosť auta s nákladom m = 5000 kg.

5.) Aký je najväčší možný pracovný výkon vodného kolesa poháňaného vodou padajúcou

z výšky 10 m, keď za jednu sekundu dopadne na vodné koleso 150 litrov vody?

6.) Motor auta celkovej hmotnosti 960 kg má ťažnú silu 1600 N. Za koľko sekúnd môže

auto dosiahnuť rýchlosť v = 54 km/h?

7.) Akú prácu vykoná kôň pretiahnutím vozíka hmotnosti 1500 kg stálou rýchlosťou do

vzdialenosti 600 m, keď trenie je 0,8 tiaže vozíka?

8.) Voz hmotnosti 16000 kg sa pohybuje priamočiaro rýchlosťou v = 5 m.s-1

. Aká je

priemerná hodnota sily trenia, ktorá na voz pôsobila, keď ho zastavila za 1 minútu?

9.) Teleso hmotnosti m = 100 kg sa pohybuje rýchlosťou v = 20 km/h. Chceme ho

zastaviť na dráhe dlhej 20 m. Akou konštantnou silou musíme pohyb telesa brzdiť?

10.) Aká je hmotnosť automobilu, keď sa pohybuje po vodorovnej ceste rýchlosťou v = 50

km/h pri výkone motora Pv = 7 kW? Koeficient trenia f = 0,07.

11.) Automobil tiaže G sa pohybuje po vodorovnej rovine. Jeho rýchlosť na začiatku

brzdenia so zablokovanými kolesami je v0. Určte brzdnú dráhu ak f je známe (obr.4.13).

65

12.) Automobil tiaže G sa pohybuje do kopca so sklonom α. Jeho rýchlosť na začiatku

brzdenia so zablokovanými kolesami je v0. Určte brzdnú dráhu ak f je známe (obr.4.14).

Obr. 4.13 Obr. 4.14

13.) Hmotný bod M hmotnosti m sa pohybuje v rovine x, y z miesta A do miesta B pri

pôsobení sily F stáleho smeru a veľkosti. Určte vektor tejto sily tak, aby bod prebehol dráhu

AB za čas t1 a jeho rýchlosť sa zmenila z vA na vB (obr.4.15).

Obr. 4.15 Obr. 4.16

14.) Hmotný bod M hmotnosti m sa pohybuje v horizontálnej dokonale hladkej rovine x, y

po krivke danej rovnicou f(x,y)=0. Počas pohybu pôsobí naň brzdiaca sila v smere dotyčnice,

ktorej časová zmena je daná závislosťou F=F0.(1-k.t), kde F0, k sú dané konštanty, t je čas.

Určte čas, za ktorý sa bod zastaví a brzdnú dráhu, ak v čase t = 0 mal počiatočnú rýchlosť v0

(obr.4.16).

66

Obsah str.

1. Mechanika a jej rozdelenie 3

1.1 Mechanické veličiny 4

1.2 Základné konštrukčné pojmy 8

1.3 Statický výpočet a výpočtové predpoklady 9

2. Statika 13

2.1 Pojem sily 14

2.2 Statický moment sily 16

2.3 Podmienky rovnováhy síl v rovine 17

2.4 Sily pôsobiace v rovine – skladanie síl 17

2.5 Sily pôsobiace v rovine – rozkladanie síl 25

2.6 Podoprenie nosných konštrukcií – výpočet reakcií v podperách 27

2.7 Staticky určité prútové sústavy 28

2.8 Riešenie prútových sústav 30

2.9 Príklady zo statiky 35

3. Základy kinematiky 40

3.1 Pohyb priamočiary rovnomerný 41

3.2 Pohyb priamočiary nerovnomerný 42

3.3 Pohyb krivočiary 45

3.4 Pohyb rotačný 46

3.5 Príklady z kinematiky 50

4. Základy dynamiky 53

4.1 Zákony dynamiky (pohybové zákony) 53

4.2 Zotrvačná sila, hybnosť sily a impulz 54

4.3 Odstredivá sila 57

4.4 Mechanická práca 58

4.5 Výkon a účinnosť 61

4.6 Príklady z dynamiky 64

67

Literatúra

1. Tomčo, L.: Vybrané kapitoly z fyziky I., Letecká fakulta TU v Košiciach, 2010.

2. Zahradníček, R., Semrád, K.: Základy technickej mechaniky, pružnosti a pevnosti.

Košice, Ing. Ivo Čabra C-PRES, 2007, ISBN 978-80-970260-1-1

3. Kompan, F., Bartoš, Z., Fabianová, A.: Technická mechanika. Bratislava, Príroda-

vydavateľstvo kníh a časopisov, 1990, ISBN 80-07-00269-3

4. Plšek, F.: Statika (Dočasné učebné texty). Košice, Vojenská letecká akadémia, 1999.

5. Plšek, F.: Technická mechanika - Kinematika (Prednášky a cvičenia). Košice,

Vojenská letecká akadémia, 1997.

6. Plšek, F.: Technická mechanika - Dynamika (Prednášky a cvičenia). Košice, Vojenská

letecká akadémia, 1997.

7. Columbyová, K., Chlebová, Z., Blanár, J.: Statika – Návody na cvičenia. Bratislava,

Alfa, 1991, ISBN 80-05-00590-3

68

Názov titulu : Základy technickej mechaniky

Autori : doc. Ing. Karol Semrád, PhD.

Katedra : Katedra leteckého inžinierstva, Letecká fakulta TU v Košiciach

Vydavateľ : Technická univerzita v Košiciach

Rok vydania : 2017

Vydanie : prvé

Náklad : 50 ks

Rozsah : 68 strán

ISBN: 978-80-553-2872-0