Docfoc.com Veliki Matematicari

8/16/2019 Docfoc.com Veliki Matematicari

1/7

Iz rječnika metodike

Historicizam

Zdravko Kurnik, Zagreb

Uspješnost nastave matematike ovisi omnogim činiteljima. Važne ideje za ostva-renje ovog cilja nastavnik matematike nalaziveć u načelima nastave matematike. Jednood presudnih je bez sumnje načelo interesa:

Nastava matematike mora biti takva da

kod učenika budi interes prema predmetu.

To nije lako postići. Matematika se ub-raja u teže nastavne predmete, zahtijeva ne-prekidan rad u koji je potrebno uložiti dostavremena, truda i napora. Učenici nisu uvijek spremni tako raditi i svladavanje matematič-kih sadržaja zadaje im dosta teškoća. Medu-tim, ako učenici pokazuju interes prema pred-metu, ako matematiku uče sa zadovoljstvom,mnoge teškoće nestaju i nastava matematikei proces učenja odvijaju se mirnije i uspješni-

je. Vrijeme učenja brzo prolazi, matematičkisadržaji lakše se usvajaju.

Budući da je interes najveći poticaj zaučenje matematike i kao takav nezamjenjiv,nastavnik mora pronaći načine njegova pobu-divanja i njegovanja. Jedan od još dovoljnoneiskorištenih načina su historicizmi.

Historicizam je proučavanje od-redenog pitanja pretežno s povije-

sne strane i isticanje i naglašava-

nje povijesnih činjenica medu svim

drugim činjenicama.

Dakle, interes prema matematici možese poticati i posebnim sadržajima same ma-tematike, ljepotom njezinih ideja, djelotvor-nošću njezinih metoda, njezinim dostignući-ma. Sve to možemo raditi koristeći mali ma-tematički vremeplov. Učenici obično nemajuni najosnovniju predodžbu o razvoju mate-

matike, o njezinoj staroj i bogatoj povijesti.Oni možda misle da je matematika uvijek bilatakva kakva je sada. Njih treba osposobiti danauče vrednovati matematiku, cijeniti suvre-mene matematičke pojmove, ideje i metode.Oni će ih bolje shvatiti ako poznaju baremdjelomično njihov razvoj.

Kao elementi historicizama mogu poslu-žiti: znanstvena matematička otkrića, po-vijesni razvoj matematičkih ideja, anegdo-te iz života velikih matematičara, matema-tičke zanimljivosti i dr.

Takvi sadržaji, primjereno odabrani i za-nimljivo opisani, mogu biti vrlo korisni i po-učni.

Mnogi veliki matematičari, uz sav svojznanstveni rad, dali su značajne doprinose iškolskoj matematici. Danas se rezultati nji-hovih istraživanja mogu naći na stranicamaudžbenika matematike za osnovnu i srednješkole.

Veće doprinose školskoj matematici dalisu: Tales, Pitagora, Euklid, Diofant, Arhi-med, Viète, Napier, Briggs, Descartes, Ca-

valieri, de Fermat, Pascal, Newton, Leibniz, Euler, Gauss, Horner, Dirichlet.

52 17, 2002


2/7

Radi potpunosti navodimo i one mate-matičare čiji su doprinosi školskoj matemati-ci nešto manji i koji se u njoj spominju ovimredom: van Ceulen, Heron, Cardano, Tar-taglia, Stirling, Lobačevski, Guldin, Getal-

dić, Hamilton, Apolonije, Papus, Bošković,

Goldbach, Jacob Bernoulli, Dedekind, Can-

tor, Weierstrass, de Moivre, Venn, de Morgan,

d’Alembert, Bayes, Fibonacci, Cauchy.

A) Veliki matematičari

Pogledajmo najprije nekoliko historici-zama koji se odnose na velike matematičarei njihove doprinose školskoj matematici.

Medu prvima koji se spominju pri ob-radi školske matematike su matematičari ko-

ji su živjeli i radili u staroj Grčkoj. Grčkimatematičari su često putovali u druge zem-lje, upoznavali matematička dostignuća dru-gih kultura i na kraju skupili veliko znanje.Njihova je zasluga što su razvili djelotvorneistraživačke metode, pa su oni primjenom tihmetoda matematiku razvili kao znanost.

Što o njihovom radu saznaju učenici?Malo. Pretežno su to pojedinačne i šture či-njenice, a u nekim udžbenicima manjka čak ito. Uzmimo kao primjer prvog od njih, Tale-sa. Učenici uče dva poučka koji nose njegovoime. To su Talesov poučak o obodnom kutu

nad promjerom kružnice i Talesov poučak o proporcionalnosti u pramenu pravaca. Evotih izreka:

Obodni kut nad promjerom kružnice je

pravi kut.

Ako se dva ukrštena pravca ravnine pre-

sijeku s dva paralelna pravca, onda su odgo-

varajući odresci na tim pravcima proporcio-

nalni.

Bilo bi poželjno da učenici pri usvajanjuovih poučaka čuju malo više i tko je Tales i

koje su njegove zasluge. U tu svrhu mogaobi poslužiti ovaj historicizam:

TALES

(

Milet, Mala Azija, oko 625. – oko 548.p.K.

)

. Starogrčki matematičar, fizičar, as-tronom i filozof. “Otac” grčke matemati-ke i prvi grčki astronom. Bavio se trgovi-nom. U mladosti je bio u Babilonu i Egiptu,gdje je izučavao različite znanosti. Odatle jevjerojatno u Grčku prenio njihova znanja izgeometrije. Po povratku osnovao je u Mile-tu filozofsku školu (Miletska škola). Svojimpredvidanjem pomrčine Sunca 28. 5. 585. g.p. K. stekao slavu jednog od “sedam mudra-ca” (Solon, Tales, Hilon, Pitak, Bijant, Kle-obul, Perijander). Izračunao je visinu Veli-ke egipatske piramide pomoću njezine sjene.Bio je prvi matematičar koji je dokazivao ma-tematičke tvrdnje, iako njegov dokaz još nijelogički strog.

Osimnavedena dvapoučka Talesuse pri-pisuju i mnoge druge geometrijske tvrdnje.Evo još nekih od njih: jednakost vršnih ku-tova, jednakost kutova uz osnovicu jednako-

kračnog trokuta, treći poučak o sukladnostitrokuta (K-S-K), promjer raspolavlja krug.

Njegovo ime nosi i jedan krater na vid-ljivoj strani Mjeseca.

Problem. Pri proučavanju piramide uosmom razredu učenicima bi se moglo pos-taviti pitanje što misle kako i u koje vrijemedana je Tales izračunao visinu piramide po-moću sjene. Budući da je osnovka piramidekvadrat, učenici bi sigurno imali neke ide-

je. Problem bi pobudio interes. Nastava bipostala mnogo “životnija”.

17, 2002 53


3/7

U drugom razredu srednjih škola obra-duju se jednakosti

x1 + x2 = ; b

a

x1 x2 = c

a

koje povezuju rješenja x1, x2 kvadratne jed-nadžbe ax2

+

bx+

c=

0 i njezine koeficijentea, b, c, te analogne jednakosti

x1 + x2 + x3 = ; b

a,

x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = c

a , x1 x2 x3= ;

d

aza kubnu jednadžbu ax3 + bx2 + cx + d = 0. Učetvrtom razredu ove jednakosti se generali-ziraju. U svatri slučaju jednakosti se nazivajuVièteove formule. A o Vièteu znaju samo da

je francuski matematičar. Budući da je idućegodine 400-ta godišnjica njegove smrti, bilobi dobro i za učenike poučno da saznaju neš-to više činjenica o njegovom životu i djelu.Historicizam:

FRANÇOIS VIÈTE

( 1540., Fontenay-le-Comte – 13. pro-sinca 1603., Paris ) . Francuski matematičar.“Otac” algebre. Po profesiji bio je pravnik.Privukla ga je astronomija, pa je zbog njemorao proučavati trigonometriju i algebru.

U njegovim radovima algebra postajeopćom znanosti o algebarskim jednadžbama.Prvi je 1591. godine uveo slova za oznakene samo nepoznanica, već i danih veličina,koeficijenata. Do tada su se razmatrale sa-mo konkretne jednadžbe. Time je omogućiopo prvi puta prikaz svojstava algebarskih jed-

nadžbi i njihovih rješenja pomoću općih for-mula. Razradio je jednolik pristup rješavanju

jednadžbi drugog, trećeg i četvrtog stupnja.Uveo je novu metodu rješavanja kubne jed-nadžbe, te dao trigonometrijsko rješenje te

jednadžbe u nesvodljivom slučaju. Našao je jednakosti koje izražavaju vezu rješenja ikoeficijenata jednadžbe, danas poznate kaoVièteove formule. Za približno rješavanje

jednadžbi opisao je metodu koja je slična po-znatoj Newtonovoj metodi. Slabost njegovealgebre je to što nije priznavao iracionalne,

negativne i kompleksne brojeve. I njegovasimbolika nije sasvim podesna.

U trigonometriji njegov doprinos su pot-puno rješenje zadaće o odredenosti ravnins-kog ili sfernog trokuta ako su zadana tri ele-menta i prikazi veličina sin nx i cos nx pomo-ću sin x i cos x. Njegovo djelo “Matematičkikanon” iz 1579. godine sadrži tablice sinu-sa, kosinusa, tangensa, kotangensa, sekansa ikosekansa.

On je prvi promatrao beskonačni pro-dukt i upisivanjem u kružnicu pravilnih poli-

gona sa 4, 8, 16, : : : stranica našao da je

2

π

=

r

1

2

s

1

2

1 +

r

1

2

s

1

2

1 +

r

1

2

: : :

ili u današnjim oznakama

2

π

= cos π

4 cos

π

8 cos

π

16: : : :

Viète je pomoću ravnala i šestara riješio Apo-lonijev problem o konstrukciji kružnice kojadodiruje tri dane kružnice, što mu je donijelonaziv Galski Apolonije.

Družio se i dopisivao s našim matemati-čarem M. Getaldićem.


Listajući stare i nove udžbenike pone-kad za pravokutni koordinatni sustav može-mo naći naziv Kartezijev koordinatni sustav.Najčešće bez objašnjenja odakle potječe tajnaziv. Tko je taj Kartezije? Budući da seradi o Descartesu, jednom od osnivača anali-

tičke geometrije, udžbenici bi trebali sadrža-vati više činjenica o njegovom životu i radu.Historicizam:

RENÉ DESCARTES

( 31. ožujka 1596., La Haye – 11. velja-če 1650., Stockholm ) . Francuski matema-tičar, fizičar i filozof. Njegovo znanstvenodjelo obuhvaća mnoge znanosti: filozofiju,matematiku, fiziku, psihologiju, fiziologiju,medicinu, meteorologiju i dr.

U filozofiji on je osnivač racionalizma i

smatraju ga ocem moderne filozofije. U ma-tematici uveo je pojam promjenljive veličine,

54 17, 2002


4/7

čime je počeo period matematike promjenlji-vih veličina. Otkrio je analitičku geometriju(

“Geometrija”, 1637.)

. Danas se koordinatnisustav po njegovu latiniziranom imenu Kar-tezije

(

Cartesius) naziva Kartezijev koordi-

natni sustav. Uveo je algebarsku metodu ugeometriji i metodu neodredenih koeficijena-ta. Razvio je pojam potencije i uveo današnjeoznačavanje eksponenta. Dao je potpuno ob-

jašnjenje negativnih brojeva i zasnovao ope-

racije s njima. On ima predodžbu o realnombroju koja je bliska današnjoj. Već 1628.godine jasno razlikuje pozitivna i negativnarješenja, a govori i o imaginarnim rješenji-ma algebarskih jednadžbi. Od njega potječunazivi realan i imaginaran.


B) Velika otkrića

Povijest velikih matematičkih otkrića ta-koder je vrlo poučna. Ona nam najbolje od-ražava duh vremena u kojem je neko otkrićenastalo, upoznaje nas s načinom rada velikihmatematičara toga vremena i načinom njiho-vog mišljenja, što može poticajno djelovatina svakog tko se upoznaje s tim idejama. Ra-zmotrit ćemo ukratko nekoliko značajnih tre-nutaka iz te povijesti koji su bliski školskojmatematici. Njih opisuju historicizmi: aksi-omatska izgradnja geometrije, otkriće anali-

tičke geometrije, utemeljenje diferencijalnog

i integralnog računa i otkriće neeuklidske ge-

ometrije.

EUKLIDSKA GEOMETRIJA

Kao što je ranije rečeno, starogrčki mate-matičari su do III. stoljeća p. K. skupili velikoznanje. Zato je bio sasvim prirodan pokušajda se dotadašnja matematika sistematizira ida se ona cijela ili neke njezine teorije zas-nuju na odredenom broju jednostavnih istina,

polaznih tvrdnji, koje se pretpostavljaju kaotočne i bez dokaza.

Zamisao je ostvario Euklid ( oko 330. –oko 275.) oko 300. godine p.K. u svom gla-sovitom djelu “Elementi” u 13 knjiga. Napočetku Euklid daje pregled polaznih tvrd-nji geometrije, podijeljenih u dvije skupine.Polazne tvrdnje prve skupine karakterizirajuopća svojstva veličina i nazivaju se aksiomi.Ima ih 9. Takva je na primjer tvrdnja:

Cjelina je veća od dijela.

Polazne tvrdnje druge skupine imaju čis-to geometrijski karakter i nazivaju se postula-ti. Ima ih 5. Posebno je važan V. postulat kojise u našim udžbenicima iskazuje u sljedećemekvivalentnom i jednostavnijem obliku:

Točkom izvan pravca može se povući to-

čno jedan pravac paralelan s tim pravcem.

Sada se na temelju aksioma i postulataputem logičkih zaključivanja izgraduje cijelageometrija ravnine.

Navedeno djelo je, i pored stanovitih ne-dostataka, sjajno dostignuće antike. Više od

2000 godina ono je služilo kao uzor sustav-nog izlaganja elementarne geometrije i sve doXIX. stoljeća bilo osnovni udžbenik iz koje-ga se ona učila. Danas je uobičajeno da segeometrija koja se predaje u školama nazivaeuklidska geometrija.

ANALITIC ˇ KA GEOMETRIJA

Ideja koordinatne metode nije dostignu-će novoga vremena. Primjenjivali su je većstari Egipćani i starogrčki astronomi (Hiparh,Ptolemej), ali su pomanjkanje prikladne sim-

bolike i općeg pojma broja kočili njezin raz-voj. Analitičku geometriju otkrili su neovis-no jedan od drugoga francuski matematičari Ren´ e Descartes

( 1596. – 1650.) i Pierre deFermat

( 1601. – 1665.) .

Descartes je analitičku metodu objeloda-nio 1637. godine u “Geometriji”, dijelu svoje“Rasprave o metodi”. On ispituje ovisnostdviju dužina ili točaka, već prema karakterupromatranog neodredenog problema. Pri iz-vodenju prve analitičke formule koristi Vìete-ovu algebarsku analizu i rabi koordinatni su-

stav koji nije koordinatni sustav u današnjemsmislu i nema nazive njegovih dijelova. Ima

17, 2002 55


5/7

ishodište, jednu os, drugu os uspostavlja pre-ma nužnosti, a vladanje krivulje proučava sa-mo u I. kvadrantu.

Fermat je analitičku metodu opisao u ne-velikom djelu “Uvod u teoriju ravninskih iprostornih mjesta”, koje je napisao oko 1636.godine, ali je djelo objavljeno tek 1679. go-dine. Za razliku od Descartesa on promatraneodredene jednadžbe, na primjer jednadž-bu s dvije nepoznanice. Postoji beskonačno

mnogo parova brojeva koji zadovoljavaju ta-kvu jednadžbu. Parovi se mogu predočiti ukoordinatnom sustavu pomoću neke krivulje.Kod Fermata koordinatni sustav nalazimo pr-vi puta kao sredstvo predočavanja krivulja.Izbjegava negativne brojeve, a to znači da ion sve svodi na I. kvadrant. U “Uvodu” na-lazimo jednadžbe oblika y = kx , xy = m2, x2

+

y2=

a2, x2 a2 y2 = b2. Fermatove jednadžbe nisu ovako suvremene, već su pi-sane u duhu nepodesne Vìeteove simbolike.Fermatova prednost je u činjenici da je on

analitičku metodu prenio u prostor i napravioniz primjena.

Prema opisanim povijesnim činjenicamaopravdano bi bilo koordinatni sustav zvati Descartesov koordinatni sustav ili Fermatovkoordinatni sustav.

DIFERENCIJALNI I INTEGRALNIRAC ˇ UN

Uvodenje analitičke metode dalo je sna-žan poticaj razvoju metode grafičkog predo-čavanja, razvoju pojma funkcije te je posluži-

lo kao osnova za izgradnju diferencijalnog iintegralnog računa. Račun su utemeljili neo-visno jedan od drugoga Isaac Newton ( 1643.– 1727.) i Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646.– 1716.

)

, ali na različitim idejama. Njihovimradovima prethodili su radovi drugih mate-matičara ( Cavalieri, Roberval, Fermat, Wal-lis, Barrow

) . Infinitezimalne metode mate-matičari su primjenjivali još u antici

(

Eudok-

so, Arhimed, metoda ekshaustije) .

Newton je promatrao matematiku samokao način za fizikalna istraživanja. Takva ve-

za jasno je došla do izražaja u njegovoj metodi fluksija. Osnovne ideje te metode temeljene

na fizikalnim razmatranjima ( problem brzi-ne

) za potrebe mehanike razradio je izmedu1665. i 1666. godine. Derivaciju je nazvao fluksija, a uvodi i termin limes. Otkrio jeobratni karakter operacija diferenciranja i in-tegriranja, dao je i niz otkrića u teoriji besko-načnih redova, a razradio je i posebnu metoduistraživanja funkcija primjenom beskonačnihredova.

Leibniz do otkrića dolazi preko geomet-

rijskih razmatranja ( problem tangente ) izme-du 1673. i 1676. godine. Njegov je pristupapstraktan. Uveo je pojam karakterističnogtrokuta i derivaciju definirao pomoću novogpojma diferencijala. Formulirao je niz pra-vila, pored ostalog i pravila za diferencira-nje produkta i potencije. Osim diferencijalauveo je i mnoge druge matematičke termine(

funkcija, varijabla, konstanta, diferencijalni

račun, diferencijalna jednadžba, algoritam,

apscisa, ordinata, koordinata) i oznake.

Newton je očito prvi utemeljio infinite-

zimalni račun, ali je Leibnizova zasluga utome što su njegov pristup i simbolika suvre-meniji. Rezultate svojih otkrića oba osnivačaobjelodanili su nekoliko godina kasnije.

NEEUKLIDSKA GEOMETRIJA

Sve do XIX. stoljeća nitko nije sumnjaou to da su svi Euklidovi postulati apsolutne ipostojane istine i da je euklidska geometrija

jedini geometrijski sustav. Jedino se stvorilomišljenje da je V. postulat, Euklidov aksiomo paralelama, zbog svoje složenosti ovisano ostalim postulatima, te da se prema tomepomoću njih može dokazati. Mnogi matema-tičari su to i pokušali.

Ruski matematičar N. I. Lobačevski

(

1792. – 1856.)

napravio je prekretnicu urazvoju geometrije. Na početku i sam po-kušava dokazati V. postulat, ali uskoro uvidada je to uzaludan posao i donosi sudbonosnezaključke:

V. postulat je nedokaziv. Teorija paralelamora biti općenitija i dublja.

Pitanje paralelnih pravaca Lobačevski jerazriješio na taj način da je Euklidov V. postu-

56 17, 2002


6/7

lat zamijenio novim aksiomom o paralelnimpravcima koji glasi:

Točkom izvan pravca u ravnini prolaze

dva pravca koji su paralelni s tim pravcem.

Ravnina naravno više nije euklidska.Ravnina u kojoj se ostvaruje zahtjev Loba-čevskog naziva se ravnina Lobačevskog ilihiperbolička ravnina. Na temelju gornjegaksioma Lobačevski izgraduje novi geome-trijski sustav koji je on nazvao imaginarnageometrija. Gauss je toj geometriji dao na-ziv neeuklidska geometrija. Danas se onanaziva još geometrija Lobačevskog i hiper-bolička geometrija. Danom rodenja novoggeometrijsko sustava smatra se 23. veljače1826. godine kada je na zasjedanju Fizičko-matematičkog fakulteta Sveučilišta u Kaza-nju Lobačevski izložio svoj rad “Kratko izla-ganje osnova geometrije sa strogim dokazomteorema o paralelnim pravcima”.

Na pomisao o postojanju neeuklidskegeometrije došla su još dva matematičara: C.

F. Gauss ( 1777. – 1855.) i madarski mate-matičar J. Bolyai

(

1802. – 1860.)

. Gauss jeosnovne ideje neeuklidske geometrije imaorazradene već 1824. godine, ali se zarekao daza života neće dopustiti njihovo objavljiva-nje. Bolyai je do svojih rezultata došao 1825.godine, ali ih je objavio tek 1831. godine.

C) Pojmovi i simboli

Nastava matematike upoznaje učenike smnogim činjenicama iz terminologije i sim-bolike. To se znanje u svakom višem razre-du sve više proširuje i obogaćuje. Iz ovogpodručja mogu se izvući mnoge zanimljivečinjenice. U ovom odjeljku dat ćemo malipregled pojmova i simbola s naglaskom naimenima matematičara koji su ih prvi uveli.Evo tog pregleda:

Apolonije: asimptota, apscisa, ordinata, ap-likata, hiperbola, parabola.

Descartes: a2 ( piše i aa ) , a3, a4 itd. ( 1628) ,

x, y, z ( 1637 ) , realan, imagina-ran.

Wallis: 1 ( 1655) .

Leibniz: :(

znak za dijeljenje, 1684)

,

(

znak za množenje, 1698)

, d(

di-ferencijal

)

,R

(

integral, 1686)

.

Jones: π (

1706)

.

Euler: e ( baza prirodnih logaritama,1736) , i ( imaginarna jedinica,1777) , ∆ ( razlika, prirast) ,

P

( suma ) , sin, cos, tg, ctg ( trigono-metrijske funkcije) , f ( x ) ( funk-cija) .

Cauchy: konjugirano kompleksni brojevi(

1821)

, ~ r (

1853)

.

D) Izreke

Za učenike mogu biti poučne i izreke omatematici i matematičarima. Citirane u na-stavi u pogodnom trenutku one će pozitivnoutjecati na razvijanje pravilnog stava učenikao vrijednosti i važnosti matematike. Posto-

je mnoge takve izreke. Izrekli su ih velikimatematičari, ali i velikani iz drugih podru-čja ljudske djelatnosti. Evo nekoliko takvihizreka:

Brojevi vladaju svemirom.

( Pitagora)

Bog uvijek geometrizira.(

Platon)

Matematika je kraljica znanosti i arit-

metika je kraljica matematike.

(

Gauss)

Nema nikakve sigurnosti tamo gdje se ne

može primijeniti neka od matematičkih zna-

nosti ili nešto što je u vezi s tim matematičkim

znanostima.( Leonardo da Vinci)

17, 2002 57


7/7

Zanemarivanje matematike šteti svakom

znanju.

(

Bacon)

Bilo je mnogo više mašte u Arhimedovoj

glavi negoli u Homerovoj.

( Voltaire)

Sva djelovanja prirode samo su matema-

tičke posljedice malog broja ustaljenih zako-

na.

( Laplace)

Napretkom i usavršavanjem matematike

uvjetovano je blagostanje države.

(

Napoleon)

Nadahnuće je potrebno poeziji kao i ge-ometriji.

(

Puškin)

Ne bi li se glazba mogla opisati kao ma-

tematika osjećaja, a matematika kao glazba

razuma? – njihov je duh isti!

( Sylvester )

Matematičar koji nije pomalo i pjesnik

neće nikada biti pravi matematičar.

( Weierstrass)

Cijele brojeve stvorio je dragi Bog, a sve

ostalo djelo je čovjeka.

(

Kronecker)

Postoji i drugi razlog za veliki ugled ma-

tematike: on je u tome da matematika pru-

ža egzaktnim prirodnim znanostima stanovitu

mjeru sigurnosti koja se bez matematike ne

bi mogla postići.

(

Einstein)

Matematika, kad je čovjek dobro shvati,

sadrži ne samo istinu već i najvišu ljepotu.

( Russel )

E) Anegdote

Kao što je slučaj sa svim velikanima čo-vječanstva, i o velikim matematičarima pri-čaju se anegdote. I one imaju svoju poučnustranu. Zbog pomanjkanja prostora o tomedrugom prilikom.

O mnogim gore navedenim matematiča-rima i zanimljivostima vezanim za našu temupisano je u našim matematičkim časopisima Matematičko-fizički list, Matka, Matematika

i škola i Poučak. Čitatelji mogu u njima na-ći obilje novih činjenica koje su pogodne zaproširenje znanja učenika o matematici, gle-dajući s povijesne strane.

Literatura

1]

N. M. Beskin, O nekim osnovnim principima predavanja matematike, Matematika 2 ( 1985) ,5–10.

2] A. I. Borodin – A. S. Bugaj, Vydajuščiesjamatematiki, Radjans’ka škola, Kiev 1987.

3]

Z. Dadić, Povijest ideja i metoda u matematici i fizici, Školska knjiga, Zagreb 1992.

4]

I. Gusić, Tales, Matka 9 ( 1994) , 21–23.

5]

I. Gusić, Matematički rječnik, Element, Zagreb1995.

6]

S. Kukovačec, Veliki matematičari i školskamatematika, diplomski rad, Zagreb 2002.

7] Z. Kurnik, Ren´ e Descartes, Matematika i škola 6( 2000 ) , 26–29.

8] Z. Kurnik, 175 godina od otkrića neeuklids-ke geometrije, Matematika i škola 8 ( 2001) ,129–132.

9]

Z. Kurnik, Pierre de Fermat ( 1601. – 1665.) ,Poučak 8

(

2001)

, 68–80.

58 17, 2002

Documents

Docfoc.com Veliki Matematicari