Embed Size (px)
Citation preview
Bài 1: Đại cương về dao động điều hòa
1. Phương trình dao động điều hòa
♦ Phương trình li độ:
Chú ý : Biên độ dao động A luôn là hằng số dương.
♦ Phương trình vận tốc
Nhận xét :
- Vận tốc nhanh pha hơn li độ góc:
- luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo chiều âm thì v < 0).
♦ Phương trình gia tốc
Nhận xét :
- Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc góc , nhanh pha hơn li độ góc π.
- luôn hướng về vị trí cân bằng.
♦ Phương trình liên hệ giữa x, A, v và ω độc lập với thời gian:
Ta có :
* Chú ý :
Khi vật ở VTCB : x = 0; |v|max = ωA; |a|min = 0
Khi vật ở biên : x = ±A; |v|min = 0; |a|max = ω2A
1
2. Các đại lượng trong dao động cơ điều hòa
♦ Chu kì dao động T(s):
♦ Tần số dao động f(Hz):
♦ Mối quan hệ giữa chu kì, tần số và tần số góc:
Biểu thức:
3. Một số dao động có phương trình đặc biệt:
• x = a ± Acos(ωt + φ) với a = const.
Các tham số của phương trình :
- Biên độ là A, tần số góc là ω, pha ban đầu φ
- x là toạ độ, x0 = Acos(ωt + φ) là li độ.
- Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a ± A
- Vận tốc v = x’ = x0’, gia tốc a = v’ = x” = x0”
- Hệ thức độc lập: a = -ω2x0 ;
• x = a ± Acos2(ωt + φ)
Sử dụng công thức hạ bậc lượng giác ta có:
x = a ± Acos2(ωt + φ) =
→ Biên độ dao động là A/2; tần số góc 2ω, pha ban đầu 2φ.
4. Cách lập phương trình dao động điều hòa
Gọi phương trình dao động là x = Acos(ωt + φ) (cm). Để viết phương trình dao động chúng ta cần tìm ba đại lượng A, ω, φ
- Tìm ω từ các công thức:
2
- Tìm A, φ từ điều kiện ban đầu.
* Chú ý :
- Với thể loại bài toán lập phương trình thì chúng ta cần xác định gốc thời gian (t = 0), nếu đề bài không yêu cầu thì để cho đơn giản hóa bài toán chúng ta chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
- Khi thả nhẹ thì ta hiểu là vận tốc ban đầu v0 = 0, còn nếu cho vận tốc ban đầu v0 ≠ 0 thì chúng ta áp dụng hệ thức liên hệ để tìm các thông số khác.
5. Ví dụ điển hình:
Ví dụ 1:
Một vật dao động điều hòa với phương trình :
a. Tính biên độ dao động, tần số góc, pha ban đầu, chu kỳ, tần số dao động.
b. Lập phương trình vận tốc và phương trình gia tốc.
c. Li độ, vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t = 4s; t = 4,2s.
d. Giá trị cực đại của li độ, vận tốc và gia tốc.
Hướng dẫn giải:
Đây là một bài toán rất cơ bản về dao động điều hòa. Để làm tốt chúng ta chỉ cần nhớ các đặc trưng cơ bản nhất của dao động điều hòa.
a. Đối chiếu với phương trình dao động điều hòa tổng quát ta tìm được các đại lượng :
- Biên độ dao động A = 4cm
- Tần số góc:
- pha ban đầu:
- Chu kỳ dao động:
- Tần số dao động:
3
b. Phương trình vận tốc:
Phương trình gia tốc:
c. Tại thời điểm t = 4s:
Tại thời điểm t = 4,2s:
d. Li độ cực đại: xmax = A = 4cm
Vận tốc cực đại:
Gia tốc cực đại:
Ví dụ 2:
Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 2s và biên độ dao động là 2cm. Viết phương trình dao động trong các trường hợp sau:
a. khi t = 0 thì vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
b. khi t = 0 thì vật qua vị trí có li độ x = - 1cm theo chiều dương.
Hướng dẫn giải:
4
Gọi phương trình dao động điều hòa của vật là:
Tần số góc dao động:
a. Khi t = 0 ta có:
Tần số góc dao động:
Vậy phương trình dao động của vật là:
b. Khi t = 0 ta có:
Vậy phương trình dao động của vật là:
Ví dụ 3:
Một vật dao động điều hòa có phương trình: . Vận tốc của vật khi vật qua vị trí có li độ x = 3cm là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải :
Đây là dạng bài toán mà cho biết 3 trong 4 đại lượng x, v, A và ω. Để giải quyết đơn giản chúng ta sử dụng hệ thức liên hệ. Áp dụng hệ thức liên hệ giữa x, v, A và ω ta có:
Ví dụ 4:
Một vật dao động điều hòa với phương trình: . Tìm những thời điểm mà vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
5
Hướng dẫn giải :
Đối với những dạng bài tập tìm thời điểm (thời gian t) thì chúng ta chỉ cần quan tâm đến li độ và chiều chuyển động ở thời điểm đó rồi giải phương trình lượng giác tìm t. Cụ thể với bài toán này thì thời gian t mà vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm thỏa mãn hệ phương trình:
6. Bài tập tương tự luyện tập:
Bài 1: Một vật dao động điều hòa có phương trình: x = 2cos(10πt + π/4 ) (cm)
a) Hãy cho biết biên độ, tần số, chu kì và pha ban đầu của dao động.
b) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở các thời điểm t = 0 và t = 0,5s.
Bài 2: Hệ dao động đều hoà gồm quả cầu và lò xo. Gia tốc cực đại và vận tốc cực đại của quả cầu lần lượt là : amax = 18m/s2 và vmax = 3m/s . Xác định tần số và biên độ dao động của hệ.
Bài 3: Một vật dao động với biên độ 3cm, chu kì 0,5s. Tại thời điểm t = 0, hòn bi đi qua vị trí cân bằng.
a) Viết phương trình dao động của vật.
b) Hòn bi có li độ x = 1,5cm; x = 3cm vào những thời điểm nào?
Bài 4: Một chất điểm dao động điều hòa dọc theo trục x với biên độ 10 cm và chu kì 2s. Lấy gốc tọa độ là vị trí cân bằng. Viết phương trình dao động trong các trường hợp:
a) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
b) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm có li độ cực đại theo chiều âm.
c) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm có li độ x = +5 cm và đi theo chiều dương.
Bài 5: Viết phương trình dao động của một chất điểm dao động điều hòa trong các trường hợp sau:
a) Tần số f = 0,5 Hz, lúc t = 0 chất điểm có li độ x = cm, đi theo chiều dương và có tốc độ cm/s.
b) Lúc t = 0, chất điểm có li độ x = 4 cm và v = 0. Vận tốc của chất điểm có giá trị cực đại là 8π cm/s.
Bài 6. Phương trình chuyển động của vật có dạng: .
a) Mô tả chuyển động của vật đó.
6
b) Gốc thời gian được tính lúc vật đang ở đâu?
7
Bài 2: Dao động điều hòa con lắc lò xo (k,m), Fms = 0.
1. Phương trình dao động của con lắc lò xo
x = Acos (ωt + φ) (cm)
Tần số góc của con lắc lò xo (rad/s)
♦ Chu kì:
-Chu kì của con lắc
♦ Tần số:
-Tần số dao động của con lắc lò xo
2. Năng lượng dao động của con lắc lò xo
♦ Động năng:
♦ Thế năng (thế năng đàn hồi của lò xo):
♦ Cơ năng:
Đơn vị : k (N.m); m (kg); x (m); A (m)
3. Các dạng dao động của con lắc lò xo
3.1. Con lắc lò xo chuyển động trên mặt phẳng ngang.
Đặc điểm:
8
- Tại vị trí cân bằng lò xo không bị biến dạng, .
- Lực đàn hồi tác dụng lên lò xo chính là lực hồi phục.
3.2. Con lắc lò xo chuyển động thẳng đứng.
Đặc điểm:
- Tại vị trí cân bằng lò xo biến dạng (giãn hoặc nén) một đoạn
được cho bởi biểu thức . Mà nên
. Từ đó ta có công thức tính chu kỳ tần số dao động của con lắc lò xo trong trường hợp này:
- Chiều dài tại vị trí cân bằng, chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động:
• Chiều dài tại VTCB:
• Chiều dài cực đại :
• Chiều dài cực tiểu :
- Lực đàn hồi tác dụng lên lò xo trong quá trình vật dao động (Fdh):
• Phương : cùng phương chuyển động của vật.
• Chiều : luôn hướng về phía vị trí cân bằng.
• Độ lớn : , với là độ biến dạng của lò xo tại vị trí đang xét (lò xo có thể bị dãn hoặc nén).
Gọi x là vị trí đang xét .
Chú ý :
9
Việc chọn dấu + hay – trong công thức trên phụ thuộc vào việc lò xo bị dãn hay nén và chiều dương mà ta chọn như thế nào.
• Đơn vị : Fdh (N); k(N/m); (m)
Các trường hợp đặc biệt:
- Lực đàn hồi cực đại :
- Lực đàn hồi cực tiểu :
Chú ý : Nếu đề bài cho biết tỉ số thì ta hiểu là .
3.3. Con lắc lò xo chuyển động trên mặt phẳng nghiêng góc α so với phương ngang.
Đặc điểm :
- Tại vị trí cân bằng lò xo biến dạng (giãn hoặc nén) một đoạn được cho bởi biểu thức . Mà nên :
- Chiều dài của lò xo tại vị trí cân bằng cũng như chiều dài cực đại và cực tiểu tính tương tự như trường hợp vật chuyển động thẳng đứng.
.
4. Ví dụ điển hình
Ví dụ 1 :
Một vật nặng có khối lượng m = 500g được treo vào đầu một lò xo theo phương thẳng đứng, độ cứng lò xo k = 0,5N/cm. Lấy g = 10m/s2.
10
a. Lập phương trình dao động, chọn gốc thời gian là khi vật có vận tốc v=20cm/s và gia tốc
b. Tính lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động.
c. Tính thế năng và động năng của vật ở thời điểm t = , với T là chu kỳ dao động.
Hướng dẫn giải :
a. Gọi phương trình dao động của vật là .
Khi treo lò xo thẳng đứng, tại vị trí cân bằng ta có:
Tần số góc:
Tại t = 0 :
Vậy phương trình dao động là:
b. Lực đàn hồi cực đại Do
c. Chu kỳ dao động
Tại t = , ta có
11
Khi đó động năng và thế năng của vật:
Ví dụ 2 :
Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng 20N/m và viên bi có khối lượng 0,2kg dao động điều hòa. Tại thời
điểm t, vận tốc và gia tốc của viên bi lần lượt là 20cm/s và . Tính biên độ dao động.
Hướng dẫn giải :
Phương trình dao động của vật có dạng , trong đó ;
Vậy A = 4cm.
Ví dụ 3:
Một quả cầu nhỏ được gắn vào đầu một lò xo có độ cứng 80N/m để tạo thành một con lắc lò xo. Con lắc thực hiện 100 dao động mất 31,4s.
a. Xác định khối lượng quả cầu.
b. Viết phương trình dao động của quả cầu, biết rằng khi t = 0 thì quả cầu có li độ 2cm và đang chuyển động
theo chiều dương với vận tốc .
Hướng dẫn giải:
a. Chu kỳ dao động:
b. Gọi phương trình dao động là :
Tại t = 0 :
12
Vậy phương trình dao động là:
Ví dụ 4 :
Một lò xo có khối lượng không đáng kể và chiều dài , được treo thẳng đứng phía dưới treo một vật nặng khối lượng m. Kích thích cho vật dao động điều hòa thì chiều dài của lò xo biến đổi từ 29cm đến 35cm. Cho g = 10m/s2.
a. Tính chu kỳ dao động của con lắc.
b. Viết phương trình dao động của con lắc, chọn gốc thời gian là lúc lò xo có chiều dài 33,5cm và đang chuyển động về phía vị trí cân bằng, chọn chiều dương hướng lên.
Hướng dẫn giải:
a. Theo bài ta có chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động là:
Mà ;
Độ biến dạng của lò xo tại ví trí cân bằng là :
b. Gọi phương trình dao động là :
ở vị trí cân bằng lò xo dài 32cm nên khi lò xo có chiều dài 33,5cm và chiều dương hướng lên trên thì li độ của vật là
Tại t = 0 :
Vậy phương trình dao động là:
Ví dụ 5 :
13
Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nghiêng góc so với mặt phẳng nằm ngang. Vật đang ở vị trí
cân bằng O thì lò xo dãn một đoạn lấy g = 10m/s2. Kích thích cho vật dao động điều hòa nó sẽ dao động với tốc độ cực đại là 40cm/s. Chọn trục tọa độ trùng với phương dao động của vật, gốc thời gian là khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải :
Gọi phương trình dao động là:
Tại vị trí cân bằng ta có :
Từ
Tại t = 0 :
Vậy phương trình dao động là:
5. Bài tập tương tự luyện tập
Bài 1 :
Một vật nặng có khối lượng m = 100g, gắn vào một lò xo có khối lượng không đáng kể, đầu kia của lò xo treo vào một điểm cố định. Vật dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với tần số f = 3,5Hz. Trong quá trình dao động, độ dài của lò xo lúc ngắn nhất là 38cm và lúc dài nhất là 46cm.
a) Viết phương trình dao động của vật.
b) Tính độ dài của lò xo khi không treo vật nặng.
c) Tính vận tốc và gia tốc của vật khi ở cách vị trí cân bằng +2cm
Bài 2 :
Một con lắc lò xo dao động thẳng đứng. Thời gian để vật đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhất cách nhau 6cm là 1,5s. Chọn gốc thời gian là lúc quả cầu cách vị trí cân bằng 3cm.
a) Viết phương trình dao động của quả cầu.
b) Tìm giá trị cực đại của gia tốc.
14
c) Tìm thế năng, động năng ban đầu. Cho m = 100g.
Bài 3 :
Một vật dao động điều hoà với biên độ 2cm, tần số 2Hz.
a) Viết phương trình li độ của vật, chọn gốc thời gian lúc vật đạt li độ cực đại.
b) Tính li độ và vận tốc của vật tại thời điểm t = 2,5s.
c) Tính độ dài quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian 8/3s đầu.
Bài 4 :
Một vật có khối lượng m = 400g được treo vào lò xo có hệ số đàn hồi k = 100N/m. Kéo vật ra khỏi vị trí cân
bằng 2cm rồi truyền cho nó vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng. Lấy
a) Tính chu kì, biên độ dao động và vận tốc cực đại của vật.
b) Viết phương trình dao đông, chọn gốc thời gian là lúc vật ở vị trí thấp nhất, chiều dương hướng lên.
Bài 5 :
Một quả cầu có khối lượng 100g gắn vào đầu một lò xo, đầu còn lại của lò xo treo vào một điểm cố định. Kéo quả cầu lệch khỏi vị trí cân bằng hướng xuống dưới 10cm rồi buông nhẹ, quả cầu dao động với chu kì 2s.
a) Tính vận tốc quả cầu khi đi qua vị trí cân bằng.
b) Tính gia tốc của quả cầu khi nó ở trên vị trí cân bằng 5cm.
c) Tính lực cực đại tác dụng vào quả cầu. d) Tính thời gian ngắn nhất để quả cầu chuyển động từ điểm dưới vị trí cân bằng 5cm đế điểm trên vị trí cân bằng 5cm.
Bài 6 :
Hệ quả cầu và lò xo dao động điều hoà có phương trình x = 6sin2πt (cm). Tính lực đàn hồi và lực hồi phục tác dụng lên lò xo ở các vị trí có li độ 0, +6cm và -6cm trong hai trường hợp:
a) Quả cầu dao động theo phương thẳng đứng.
b) Quả cầu dao động theo phương ngang. Cho khối lượng quả cầu là m = 500g và g = 10m/s2.
15
Bài 3. Con lắc đơn (l,g), Fms = 0.
Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và α0 << 100 rad hay S0 <<
1. Phương trình dao động
s = Acos (ωt + φ) (cm)
với tần số góc: (rad/s).
2. Chu kỳ và tần số của con lắc đơn
Ta có:
* Chú ý : Cũng tương tự như con lắc lò xo, với con lắc đơn ta cũng có hệ thức liên hệ giữa li độ, biên độ, tốc độ và tần số góc như sau:
Trong đó: là hệ thức liên hệ giữa độ dài cung và bán kính cung.
3. Năng lượng của con lắc đơn
3.1 Động năng của con lắc đơn
Wđ =
3.2 Thế năng của con lắc (Chọn gốc thế năng tại VTCB và con lắc có li độ góc α)
3.3 Cơ năng của con lắc
W = + = const
* Chú ý : Các công thức tính động năng, thế năng và cơ năng trên là những công thức tính chính xác với mọi giá trị của góc lệch α. Khi α nhỏ (α < 100) thì chúng ta có các công thức tính gần đúng giá trị của thế năng và cơ năng của con lắc như sau:
16
Vì:
Khi đó:
Động năng của con lắc đơn : Wđ =
Thế năng của con lắc đơn :
Do nên ta có
Cơ năng của con lắc đơn :
- Đơn vị tính : W, Wd, Wt (J); α, α0 (rad); m (kg); .
* Ví dụ điển hình
+ Dạng 1: Chu kỳ và tần số dao động của con lắc đơn
Ví dụ 1 : Một con lắc đơn có chu kỳ T = 2s. Nếu tăng chiều dài của con lắc thêm 20,5cm thì chu kỳ dao động mới của con lắc là 2,2s. Tìm chiều dài và gia tốc trọng trường g.
Hướng dẫn giải:
Gọi T và T’ là chu kỳ dao động của con lắc trước và sau khi tăng chiều dài.
Ta có:
0,976 m
Thay vào công thức tính T ta có 9,632m/s2.
17
Ví dụ 2 : Hai con lắc đơn có hiệu chiều dài là 14cm. Trong cùng một khoảng thời gian con lắc thứ nhất thực hiện được 15 dao động thì con lắc thứ hai thực hiện được 20 dao động. Tính chiều dài và chu kỳ T của mỗi con lắc. Lấy gia tốc trọng trường g = 10m/s2.
Hướng dẫn giải :
Ta có số dao động N và khoảng thời gian Δt mà các con lắc thực hiện được liên hệ với nhau theo phương trình: Δt = N.T
Theo bài ta có :
Mà:
Từ đó ta có:
Với: 1,13s
Với 0,85s
+ Dạng 2: Lập phương trình dao động của con lắc đơn.
* Chú ý : Khi lập phương trình dao động của con lắc đơn có hai dạng phương trình:
- Phương trình dao động theo li độ dài:
- Phương trình dao động theo li độ góc với
Ví dụ 1 : Một con lắc đơn dao động điều hòa có chu kỳ dao động T = 2s. Lấy g = 10m/s2, π2 = 10. Viết phương trình dao động của con lắc biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc α = 0,05 (rad) và vận tốc v = -15,7 (cm/s).
Hướng dẫn giải :
Gọi phương trình dao động theo li độ dài của con lắc là:
18
Trong đó:
Áp dụng hệ thức liên hệ ta tính được biên độ dài của con lắc đơn:
Khi đó tại t = 0 ta có:
Vậy phương trình dao động của con lắc là: .
Ví dụ 2 : Một con lắc đơn dao động điều hòa có chiều dài . Tại t = 0, từ vị trí cân bằng truyền cho con lắc một vận tốc ban đầu 14cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g = 9,8m/s2, viết phương trình dao động của con lắc.
Hướng dẫn giải :
Gọi phương trình dao động theo li độ dài của con lắc là:
Tần số góc dao động:
Vận tốc tại vị trí cân bằng là vận tốc cực đại nên ta có:
Khi đó tại t = 0 ta có:
Vậy phương trình dao động của con lắc là .
+ Dạng 3 : Năng lượng dao động của con lắc đơn
Chú ý khi làm bài tập :
19
- Tính toán năng lượng dao động khi góc lệch lớn (Dao động của con lắc khi này là dao động tuần hoàn chứ không phải dao động điều hòa) :
- Tính toán năng lượng dao động khi góc lệch nhỏ (lúc này dao động của con lắc là dao động điều hòa, thường thì trong kỳ thi Đại học sẽ là trường hợp này):
- Khi đề bài cho mối quan hệ giữa động năng và thế năng (chẳng hạn cho Wd = k.Wt, với k là một hệ số tỉ lệ nào đó) thì:
+ Tính li độ dài (s) hay li độ góc (α) chúng ta quy hết về theo Thế năng (Wt). Cụ thể như sau:
(1)
+ Tương tự để tính tốc độ v thì chúng ta quy hết theo động năng (Wd) :
Nhận xét :
- Nhìn biểu thức thì có vẻ phức tạp nhưng thực ra trong bài toán cụ thể chúng ta thực hiện phép giản ước sẽ được biểu thức hay kết quả đẹp hơn nhiều.
- Trong các đề thi để cho việc tính toán đơn giản thì ở (1) thường cho các giá trị của k là k = 1 hoặc k = 3.
Ví dụ 1 : Một con lắc đơn có , dao động điều hòa tại nơi có g = 10m/s2 và góc lệch cực đại là 90. Chọn gốc thế tại vị trí cân bằng. Giá trị của vận tốc con lắc tại vị trí động năng bằng thế năng là bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải :
20
Năng lượng dao động của con lắc đơn là:
Khi động năng bằng thế năng (tính vận tốc nên nhớ quy về Động năng nhé) ta có:
Ví dụ 2 : Một con lắc đơn gồm một quả cầu có khối lượng 500g treo vào một sợi dây mảnh, dài 60cm. Khi con lắc đang ở vị trí cân bằng thì cung cấp cho nó một năng lượng 0,015J, khi đó con lắc dao động điều hòa. Tính biên độ dao động của con lắc. Lấy g = 10m/s2.
Hướng dẫn giải :
Biên độ góc dao động của con lắc được tính từ phương trình của năng lượng:
Ví dụ 3 : Một con lắc đơn có m = 200g, g = 9,86 m/s2. Nó dao động với phương trình:
a. Tìm chiều dài và năng lượng dao động của con lắc.
b. Tại t = 0 vật có li độ và vận tốc bằng bao nhiêu?
c. Tính vận tốc của con lắc khi nó ở vị trí
d. Tìm thời gian nhỏ nhất (tmin) để con lắc đi từ vị trí có Động năng cực đại đến vị trí mà Wđ = 3Wt
Hướng dẫn giải :
a. Ta có:
Biên độ dài của con lắc là A =
Năng lượng dao động của con lắc là:
b. Từ giả thiết ta có phương trình theo li độ dài của con lắc:
21
Từ đó phương trình vận tốc :
Tại t = 0 thì
c. Khi
Từ đó ta được: .
Thay giá trị m = 0,2kg và W tính được ở câu a ta tìm được v.
d. Áp dụng công thức ở (1) ta có : Khi động năng cực đại vật ở Vị trí cân bằng (α = 0).
Khi động năng bằng 3 lần thế năng ta có :
Vậy bài toán trở thành tìm tmin khi vật đi từ vị trí có α = 0 đến vị trí có
Ta dễ dàng tìm được
22
Bài 4. Năng lượng dao động điều hòa
1. Động năng
- Là năng lượng sinh ra do sự chuyển động của vật, được tính theo công thức 2. Thế năng
a. Thế năng của con lắc lò xo (Thế năng đàn hồi)
- Là năng lượng sinh ra do sự đàn hồi của lò xo, được tính theo công thức
b. Thế năng của con lắc đơn (Thế năng trọng trường)
- Là năng lượng sinh ra do trọng lực của vật năng, được tính theo công thức
Khi góc lệch α nhỏ thì có thể dùng công thức gần đúng
Thay
Vậy với con lắc đơn ta có công thức tính gần đúng thế năng: 3
3.Cơ năng trong dao động điều hòa
Cơ năng = Động năng + Thế năng ,(với con lắc lò xo)
,(với con lắc đơn) Đặc biệt:
,(với con lắc lò xo)
, (với con lắc đơn khi góc lệch lớn).
, (với con lắc đơn khi góc lệch nhỏ)
4. Sự biến thiên của Động năng và Thế năng:
23
Xét một vật dao động điều hòa với chu kỳ T, có phương trình dao động và phương trình vận tốc lần lượt là:
Khi đó phương trình của Động năng là:
Đặt: Khi đó Động năng biến thiên điều hòa với tần số góc ωd = 2ω → biến thiên điều hòa với chu kỳ và tần số:
Tương tự ta cũng có phương trình của Thế năng:
Đặt: Khi đó Thế năng điều hòa biến thiên với Tần số góc, tần số dao động và Chu kỳ dao động lần lượt là:
5. Đồ thị dao động của Động năng và Thế năng trong dao động điều hòa
Ta có:
Vẽ đồ thị ta được:
Nhận xét:
- Từ đồ thị ta thấy rằng cứ sau những khoảng thời gian là Δt = T/4 thì Động năng và Thế năng lại bằng nhau. - Khi Động năng và Thế năng có mối quan hệ với nhau Wd = n.Wt, để tìm li độ hay tìm vận tốc thì ta thực hiện như sau.• Tính li độ thì quy về theo Thế năng:
24
• Tính vận tốc thì quy về theo Động năng:
6. Ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Một con lắc lò xo dao động theo phương ngang với cơ năng W = 0,02J. Lò xo có chiều dài tự nhiên là ℓ0 = 20cm và độ cứng của lò xo k = 100 N/m. Chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động là bao nhiêu?
* Hướng dẫn giải:
Từ công thức tính cơ năng ta có: Do lò xo chuyển động theo phương ngang nên Δℓ0 = 0 → Chiều dài cực đại của lò xo là ℓmax = ℓ0 + A = 22cmChiều dài cực tiểu của lò xo là ℓmin = ℓ0 - A = 18cm
Ví dụ 2: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, vật nặng có m = 100 g, k = 10 N/m, chiều dài tự nhiên của lò xo ℓ0 = 30cm. Lấy g = 10 m/s2.
a. Tính năng lượng dao động của vật biết rằng khi nó có li độ thì nó có vận tốc là 10 cm/s. b. Tìm chiều dài của lò xo khi Wd = 3Wt c. Tính động năng của vật khi lò xo có chiều dài 38,5cm. d. Tính tốc độ v của vật khi Wd = Wt
* Hướng dẫn giải:
a. Khi lò xo treo thẳng đứng ta có:
Mà:
Áp dụng hệ thức liên hệ ta tính được biên độ dao động:
Khi đó năng lượng dao động của vật là: b. Khi Wd = 3Wt thì ta tính được li độ của vật:
Chiều dài tự nhiên của lò xo là 30cm và tại vị trí cân bằng nó đã giãn 10cm nên tại vị trí cân bằng thì lò xo có chiều dài 40cm. Giả sử chọn chiều dương hướng xuống, khi x = 1,5cm thì lò xo dài 40 + 1,5 = 41,5cm còn khi vật có li độ x = -15cm thì lò xo có chiều dài là 40 - 1,5 = 38,5cm c. Khi lò xo có chiều dài 38,5 cm thì nó có cách vị trí cân bằng 1,5 cm. Khi đó |x| = 1,5 cm. Áp dụng hệ thức liên hệ ta tính được tốc độ v của vật:
Khi đó động năng của vật là:
25
d. Khi Wd = Wt thì ta có:
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 0,314s. Khi vận tốc của vật có độ lớn 40 cm/s thì động năng bằng thế năng. Tính biên độ dao động của vật.
* Hướng dẫn giải:
Tần số góc Khi động năng và thế năng bằng nhau ta có:
Áp dụng hệ thức liên hệ ta có:
Vậy biên độ dao động của vật là .
Ví dụ 4: Một con lắc lò dao động điều hòa với biên độ A và tần số góc ω. Thế năng của vật gấp ba lần động năng khi tốc độ của vật có giá trị là bao nhiêu?
* Hướng dẫn giải:
Ta có:
Vậy khi thì thế năng gấp ba lần động năng.
Chú ý khi làm bài tập với bài toán tính năng lương con lắc đơn:
- Tính toán năng lượng dao động khi góc lệch lớn (Dao động của con lắc khi này là dao động tuần hoàn chứ không phải dao động điều hòa) :
- Tính toán năng lượng dao động khi góc lệch nhỏ (lúc này dao động của con lắc là dao động điều hòa, thường thì trong kỳ thi Đại học sẽ là trường hợp này):
26
- Khi đề bài cho mối quan hệ giữa động năng và thế năng (chẳng hạn cho Wd = k.Wt, với k là một hệ số tỉ lệ nào đó) thì:
+ Tính li độ dài (s) hay li độ góc (α) chúng ta quy hết về theo Thế năng (Wt). Cụ thể như sau:
(1)
+ Tương tự để tính tốc độ v thì chúng ta quy hết theo động năng (Wd) :
Nhận xét :
- Nhìn biểu thức thì có vẻ phức tạp nhưng thực ra trong bài toán cụ thể chúng ta thực hiện phép giản ước sẽ được biểu thức hay kết quả đẹp hơn nhiều.
- Trong các đề thi để cho việc tính toán đơn giản thì ở (1) thường cho các giá trị của k là k = 1 hoặc k = 3.
Ví dụ 1 : Một con lắc đơn có , dao động điều hòa tại nơi có g = 10m/s2 và góc lệch cực đại là 90. Chọn gốc thế tại vị trí cân bằng. Giá trị của vận tốc con lắc tại vị trí động năng bằng thế năng là bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải :
Năng lượng dao động của con lắc đơn là:
Khi động năng bằng thế năng (tính vận tốc nên nhớ quy về Động năng nhé) ta có:
Ví dụ 2 : Một con lắc đơn gồm một quả cầu có khối lượng 500g treo vào một sợi dây mảnh, dài 60cm. Khi con lắc đang ở vị trí cân bằng thì cung cấp cho nó một năng lượng 0,015J, khi đó con lắc dao động điều hòa. Tính biên độ dao động của con lắc. Lấy g = 10m/s2.
Hướng dẫn giải : 27
Biên độ góc dao động của con lắc được tính từ phương trình của năng lượng:
Ví dụ 3 : Một con lắc đơn có m = 200g, g = 9,86 m/s2. Nó dao động với phương trình:
a. Tìm chiều dài và năng lượng dao động của con lắc.
b. Tại t = 0 vật có li độ và vận tốc bằng bao nhiêu?
c. Tính vận tốc của con lắc khi nó ở vị trí
d. Tìm thời gian nhỏ nhất (tmin) để con lắc đi từ vị trí có Động năng cực đại đến vị trí mà Wđ = 3Wt
Hướng dẫn giải :
a. Ta có:
Biên độ dài của con lắc là A =
Năng lượng dao động của con lắc là:
b. Từ giả thiết ta có phương trình theo li độ dài của con lắc:
Từ đó phương trình vận tốc :
Tại t = 0 thì
c. Khi
28
Từ đó ta được: .
Thay giá trị m = 0,2kg và W tính được ở câu a ta tìm được v.
d. Áp dụng công thức ở (1) ta có : Khi động năng cực đại vật ở Vị trí cân bằng (α = 0).
Khi động năng bằng 3 lần thế năng ta có :
Vậy bài toán trở thành tìm tmin khi vật đi từ vị trí có α = 0 đến vị trí có
Ta dễ dàng tìm được .
29
6. Bài tập tương tự luyện tập:
Bài 1: Một vật dao động điều hòa có phương trình: x = 2cos(10πt + π/4 ) (cm)
a) Hãy cho biết biên độ, tần số, chu kì và pha ban đầu của dao động.
b) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở các thời điểm t = 0 và t = 0,5s.
Bài 2: Hệ dao động đều hoà gồm quả cầu và lò xo. Gia tốc cực đại và vận tốc cực đại của quả cầu lần lượt là : amax = 18m/s2 và vmax = 3m/s . Xác định tần số và biên độ dao động của hệ.
Bài 3: Một vật dao động với biên độ 3cm, chu kì 0,5s. Tại thời điểm t = 0, hòn bi đi qua vị trí cân bằng.
a) Viết phương trình dao động của vật.
b) Hòn bi có li độ x = 1,5cm; x = 3cm vào những thời điểm nào?
Bài 4: Một chất điểm dao động điều hòa dọc theo trục x với biên độ 10 cm và chu kì 2s. Lấy gốc tọa độ là vị trí cân bằng. Viết phương trình dao động trong các trường hợp:
a) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
b) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm có li độ cực đại theo chiều âm.
c) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm có li độ x = +5 cm và đi theo chiều dương.
Bài 5: Viết phương trình dao động của một chất điểm dao động điều hòa trong các trường hợp sau:
a) Tần số f = 0,5 Hz, lúc t = 0 chất điểm có li độ x = cm, đi theo chiều dương và có tốc độ cm/s.
b) Lúc t = 0, chất điểm có li độ x = 4 cm và v = 0. Vận tốc của chất điểm có giá trị cực đại là 8π cm/s.
Bài 6. Phương trình chuyển động của vật có dạng: .
a) Mô tả chuyển động của vật đó.
b) Gốc thời gian được tính lúc vật đang ở đâu?
5. Bài tập tương tự luyện tập
Bài 1 :
Một vật nặng có khối lượng m = 100g, gắn vào một lò xo có khối lượng không đáng kể, đầu kia của lò xo treo vào một điểm cố định. Vật dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với tần số f = 3,5Hz. Trong quá trình dao động, độ dài của lò xo lúc ngắn nhất là 38cm và lúc dài nhất là 46cm.
a) Viết phương trình dao động của vật.
30
b) Tính độ dài của lò xo khi không treo vật nặng.
c) Tính vận tốc và gia tốc của vật khi ở cách vị trí cân bằng +2cm
Bài 2 :
Một con lắc lò xo dao động thẳng đứng. Thời gian để vật đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhất cách nhau 6cm là 1,5s. Chọn gốc thời gian là lúc quả cầu cách vị trí cân bằng 3cm.
a) Viết phương trình dao động của quả cầu.
b) Tìm giá trị cực đại của gia tốc.
c) Tìm thế năng, động năng ban đầu. Cho m = 100g.
Bài 3 :
Một vật dao động điều hoà với biên độ 2cm, tần số 2Hz.
a) Viết phương trình li độ của vật, chọn gốc thời gian lúc vật đạt li độ cực đại.
b) Tính li độ và vận tốc của vật tại thời điểm t = 2,5s.
c) Tính độ dài quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian 8/3s đầu.
Bài 4 :
Một vật có khối lượng m = 400g được treo vào lò xo có hệ số đàn hồi k = 100N/m. Kéo vật ra khỏi vị trí cân
bằng 2cm rồi truyền cho nó vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng. Lấy
a) Tính chu kì, biên độ dao động và vận tốc cực đại của vật.
b) Viết phương trình dao đông, chọn gốc thời gian là lúc vật ở vị trí thấp nhất, chiều dương hướng lên.
Bài 5 :
Một quả cầu có khối lượng 100g gắn vào đầu một lò xo, đầu còn lại của lò xo treo vào một điểm cố định. Kéo quả cầu lệch khỏi vị trí cân bằng hướng xuống dưới 10cm rồi buông nhẹ, quả cầu dao động với chu kì 2s.
a) Tính vận tốc quả cầu khi đi qua vị trí cân bằng.
b) Tính gia tốc của quả cầu khi nó ở trên vị trí cân bằng 5cm.
c) Tính lực cực đại tác dụng vào quả cầu. d) Tính thời gian ngắn nhất để quả cầu chuyển động từ điểm dưới vị trí cân bằng 5cm đế điểm trên vị trí cân bằng 5cm.
Bài 6 :
31
Hệ quả cầu và lò xo dao động điều hoà có phương trình x = 6sin2πt (cm). Tính lực đàn hồi và lực hồi phục tác dụng lên lò xo ở các vị trí có li độ 0, +6cm và -6cm trong hai trường hợp:
a) Quả cầu dao động theo phương thẳng đứng.
b) Quả cầu dao động theo phương ngang. Cho khối lượng quả cầu là m = 500g và g = 10m/s2.
32
