DOCUMENTAL DE FISICA1

DOCUMENTAL DE FISICA

Contenido Introduccin ................................................................................................. 2 2. DINAMICA DE LA PARTICULA ...................................................................... 3 En la hidrodinmica .................................................................................. 7 Energa cintica en mecnica relativista .................................................... 7 2.1.2. Movimiento Rectilneo Uniforme ...................................................... 10 Movimiento rectilneo uniforme..................................................................... 10 Movimiento acelerado en mecnica relativista ........................................ 15 2.1.3. Velocidad ............................................................................................ 18 Velocidad en mecnica cuntica ............................................................... 22 Sistema Internacional de Unidades (SI) ................................................ 22 Sistema Cegesimal de Unidades............................................................ 22 Sistema Anglosajn de Unidades .......................................................... 22 Navegacin martima y Navegacin area ............................................ 22 Aeronutica .............................................................................................. 22 Unidades naturales ................................................................................. 23 2.1.4.-Aceleracin...................................................................................... 23 Conclusin ........................................................................................................ 28 BIOGRAFIA ...................................................................................................... 29

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Introduccin En este documental se presentaran los temas: 2. DINAMICA DE LA PARTICULA 2.1. Cinemtica 2.1.1. Definiciones 2.1.2. Movimiento Rectilneo Uniforme 2.1.3. Velocidad 2.1.4. Aceleracin 2.2. Cintica 2.2.1. Segunda Ley de Newton 2.2.2. Friccin Para la resolucin de problemticas con relacin a estos. En este documento se Habla de los conceptos relacionados con estos temas asi como formulas que se emplean para la solucin de estos tipos de problemas ya que involucra muchos elementos entre otras cosas

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2. DINAMICA DE LA PARTICULA 2.1. Cinemtica 2.1.1. Definiciones Energa cintica En fsica, la energa cintica de un cuerpo es aquella energa que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa determinada desde el reposo hasta la velocidad indicada. Una vez conseguida esta energa durante la aceleracin, el cuerpo mantiene su energa cintica salvo que cambie su velocidad. Para que el cuerpo regrese a su estado de reposo se requiere un trabajo negativo de la misma magnitud que su energa cintica. Suele abreviarse con letra Ec o Ek (a veces tambin T o K). El adjetivo cintico en el nombre energa viene de la antigua palabra griega kinesis, movimiento. El trmino energa cintica y trabajo y su significado cientfico provienen del siglo XIX. Los primeros conocimientos de esas ideas pueden ser atribuidos a Gaspard Gustave Coriolis quien en 1829 public un artculo titulado Du Calcul de l'Effet des Machines esbozando las matemticas de la energa cintica. El trmino energa cintica se debe a William Thomson ms conocido como Lord Kelvin en 1849. Existen varias formas de energa como la energa qumica, el calor, la radiacin electromagntica, la energa nuclear, las energas gravitacional, elctrica, elstica, etc, todas ellas pueden ser agrupadas en dos tipos: la energa potencial y la energa cintica. La energa cintica puede ser entendida mejor con ejemplos que demuestren cmo sta se transforma de otros tipos de energa y a otros tipos de energa. Por ejemplo un ciclista quiere usar la energa qumica que le proporcion su comida para acelerar su bicicleta a una velocidad elegida. Su velocidad puede mantenerse sin mucho trabajo, excepto por la resistencia del aire y la friccin. La energa convertida en una energa de movimiento, conocida como energa cintica, pero el proceso no es completamente eficiente y el ciclista tambin produce calor. La energa cintica en movimiento de la bicicleta y el ciclista pueden convertirse en otras formas. Por ejemplo, el ciclista puede encontrar una cuesta lo suficientemente alta para subir, as que debe cargar la bicicleta hasta la cima. La energa cintica hasta ahora usada se habr convertido en energa potencial gravitatoria que puede liberarse lanzndose cuesta abajo por el otro lado de la colina. Alternativamente el ciclista puede conectar una dnamo a una de sus ruedas y as generar energa elctrica en el descenso. La bicicleta podra estar viajando ms despacio en el final de la colina porque mucha de esa energa ha sido desviada en hacer energa elctrica. Otra posibilidad podra ser que el ciclista aplique sus frenos y en ese caso la energa cintica se estara disipando a travs de la friccin en energa calrica. Como cualquier magnitud fsica que sea funcin de la velocidad, la energa cintica de un objeto no solo depende de la naturaleza interna de ese objeto, tambin depende de la relacin entre el objeto y el observador (en fsica un observador es formalmente definido por una clase particular de sistema de coordenadas llamado sistema inercial de referencia). Magnitudes fsicas como 3


sta son llamadas invariantes. La energa cintica esta co-localizada con el objeto y atribuido a ese campo gravitacional. El clculo de la energa cintica se realiza de diferentes formas segn se use la mecnica clsica, la mecnica relativista o la mecnica cuntica. El modo correcto de calcular la energa cintica de un sistema depende de su tamao, y la velocidad de las partculas que lo forman. As, si el objeto se mueve a una velocidad mucho ms baja que la velocidad de la luz, la mecnica clsica de Newton ser suficiente para los clculos; pero si la velocidad es cercana a la velocidad de la luz, la teora de la relatividad empieza a mostrar diferencias significativas en el resultado y debera ser usada. Si el tamao del objeto es ms pequeo, es decir, de nivel subatmico, la mecnica cuntica es ms apropiada.

Energa cintica de una partcula En mecnica clsica, la energa cintica de un objeto puntual (un cuerpo tan pequeo que su dimensin puede ser ignorada), o en un slido rgido que no rote, est dada en la ecuacin donde m es la masa y v es la velocidad del cuerpo. Se considera la consecuencia de la accin de una fuerza, por que cuando una fuerza externa acta sobre una partcula o un sistema de partculas en equilibrio produce un cambio en la energa cintica. En mecnica clsica la energa cintica se puede calcular a partir de la ecuacin del trabajo y la expresin de una fuerza F dada por la segunda ley de Newton:

La energa cintica se incrementa con el cuadrado de la velocidad. As la energa cintica es una medida dependiente del sistema de referencia. La energa cintica de un objeto est tambin relacionada con su momento lineal:

Energa cintica en diferentes sistemas de referencia Como hemos dicho, en la mecnica clsica, la energa cintica de una masa puntual depende de su masa y sus componentes del movimiento. Se expresa en Joules (J). 1 J = 1 kgm2/s2. Estos son descritos por la velocidad de la masa puntual, as: En un sistema de coordenadas especial, esta expresin tiene las siguientes formas: Coordenadas cartesianas (x, y, z): 4


Coordenadas polares (

):

Coordenadas cilndricas (

):

Coordenadas esfricas (

):

Con eso el significado de un punto en una coordenada y su cambio temporal se describe como la derivada temporal de su desplazamiento:

En un formalismo Hamiltoniano no se trabaja con esas componentes del movimiento, o sea con su velocidad, si no con su impulso (cambio en la cantidad de movimiento). En caso de usar componentes cartesianas obtenemos:

Energa cintica de sistemas de partculas Para una partcula, o para un slido rgido que no este rotando, la energa cintica va a cero cuando el cuerpo para. Sin embargo, para sistemas que contienen muchos cuerpos con movimientos independientes, que ejercen fuerzas entre ellos y que pueden (o no) estar rotando; esto no es del todo cierto. Esta energa es llamada 'energa interna'. La energa cintica de un sistema en cualquier instante de tiempo es la suma simple de las energas cinticas de las masas, incluyendo la energa cintica de la rotacin. Un ejemplo de esto puede ser el sistema solar. En el centro de masas del sistema solar, el sol est (casi) estacionario, pero los planetas y planetoides estn en movimiento sobre l. As en un centro de masas estacionario, la energa cintica est aun presente. Sin embargo, recalcular la energa de diferentes marcos puede ser tedioso, pero hay un truco. La energa cintica de un sistema de diferentes marcos inerciales puede calcularse como la simple suma de la energa en un marco con centro de masas y aadir en la energa el total de las masas de los cuerpos que se mueven con velocidad relativa entre los dos marcos. Esto se puede demostrar fcilmente: sea V la velocidad relativa en un sistema k de un centro de masas i:

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Donde: , es la energa cintica interna respecto al centro de masas de ese sistema es el momento respecto al centro de masas, que resulta ser cero por la definicin de centro de masas. , es la masa total. Por lo que la expresin anterior puede escribirse simplemetne como:1

Donde puede verse ms claramente que energa cintica total de un sistema puede descomponerse en su energa cintica de traslacin y la energa de rotacin alrededor del centro de masas. La energa cintica de un sistema entonces depende del Sistema de referencia inercial y es ms bajo con respecto al centro de masas referencial, por ejemplo: en un sistema de referencia en que el centro de masas sea estacionario. En cualquier otro sistema de referencia hay una energa cintica adicional correspondiente a la masa total que se mueve a la velocidad del centro de masas. Energa cintica de un slido rgido en rotacin Para un slido rgido que est rotando puede descomponerse la energa cintica total como dos sumas: la energa cintica de traslacin (que es la asociada al desplazamiento del centro de masa del cuerpo a travs del espacio) y la energa cintica de rotacin (que es la asociada al movimiento de rotacin con cierta velocidad angular). La expresin matemtica para la energa cintica es:

Donde: Energa de traslacin. Energa de rotacin. Masa del cuerpo. tensor de (momentos de) inercia. velocidad angular del cuerpo. traspuesta del vector de la velocidad angular del cuerpo. velocidad lineal del cuerpo. El valor de la energa cintica es positivo, y depende del sistema de referencia que se considere al determinar el valor (mdulo) de la velocidad y . La expresin anterior puede deducirse de la expresin general: 6


En la hidrodinmica En la Hidrodinmica cambia con mucha frecuencia la energa cintica por la densidad de la energa cintica. Esto se escribe generalmente a travs de una pequea o una , as: , donde describe la densidad del fluido. Energa cintica en mecnica relativista Energa cintica de una partcula Si la velocidad de un cuerpo es una fraccin significante de la velocidad de la luz, es necesario utilizar mecnica relativista para poder calcular la energa cintica. En relatividad especial, debemos cambiar la expresin para el momento lineal y de ella por interaccin se puede deducir la expresin de la energa cintica:

Tomando la expresin relativista anterior, desarrollndola en serie de Taylor y tomando nicamente el trmino se recupera la expresin de la energa cintica tpica de la mecnica newtoniana:2

Se toma nicamente el primer trmino de la serie de Taylor ya que, conforme la serie progresa, los trminos se vuelven cada vez ms y ms pequeos y es posible despreciarlos. La ecuacin relativista muestra que la energa de un objeto se acerca al infinito cuando la velocidad v se acerca a la velocidad de la luz c, entonces es imposible acelerar un objeto a esas magnitudes. Este producto matemtico es la frmula de equivalencia entre masa y energa, cuando el cuerpo est en reposo obtenemos esta ecuacin: As, la energa total E puede particionarse entre las energas de las masas en reposo ms la tradicional energa cintica newtoniana de baja velocidad. Cuando los objetos se mueven a velocidades mucho ms bajas que la luz (ej. cualquier fenmeno en la tierra) los primeros dos trminos de la serie predominan. La relacin entre energa cintica y momentum es ms complicada en este caso y viene dada por la ecuacin: 7


Esto tambin puede expandirse como una serie de Taylor, el primer trmino de esta simple expresin viene de la mecnica newtoniana. Lo que sugiere esto es que las frmulas para la energa y el momento no son especiales ni axiomticas pero algunos conceptos emergen de las ecuaciones de masa con energa y de los principios de la relatividad. Energa cintica de un slido en rotacin A diferencia del caso clsico la energa cintica de rotacin en mecnica relativista no puede ser representada simplemente por un tensor de inercia y una expresin cuadrtica a partir de l en el que intervenga la velocidad angular. El caso simple de una esfera en rotacin ilustra este punto; si suponemos una esfera de un material suficientemente rgido para que podamos despreciar las deformaciones por culpa de la rotacin (y por tanto los cambios de densidad) y tal que su velocidad angular satisfaga la condicin se puede calcular la energa cintica a partir de la siguiente integral:

Integrando la expresin anterior se obtiene la expresin:

Comparacin entre la expresin para la energa cintica de una esfera de acuerdo con la mecnica clsica y la mecnica relativista (aqu R es el radio, la velocidad angular y m0 la masa en reposo de la esfera. Para una esfera en rotacin los puntos sobre el eje no tienen velocidad de traslacin mientras que los puntos ms alejados del eje de giro tienen una velocidad , a medida que esta velocidad se aproxima a la velocidad de la luz la energa cintica de la esfera tiende a crecer sin lmite. Esto contrasta con la expresin clsica que se da a continuacin:

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Paradjicamente, dentro de la teora especial de la relatividad, el supuesto de que un medio continuo indeformable lleva a que los puntos ms alejados del eje de giro alcancen la velocidad de la luz aplicando al cuerpo una cantidad finita de energa. Lo cual revela que el supuesto no puede ser correcto cuando algunos puntos de la periferia del slido estn movindose a velocidades cercanas a la de la luz. Energa cintica en mecnica cuntica En la mecnica cuntica, el valor que se espera de energa cintica de un electrn, , para un sistema de electrones describe una funcin de onda que es la suma de un electrn, el operador se espera que alcance el valor de:

donde es la masa de un electrn y es el operador laplaciano que acta en las coordenadas del electrn isimo y la suma de todos los otros electrones. Note que es una versin cuantizada de una expresin no relativista de energa cintica en trminos de momento:

El formalismo de la funcional de densidad en mecnica cuntica requiere un conocimiento sobre la densidad electrnica, para esto formalmente no se requiere conocimientos de la funcin de onda. Dado una densidad electrnica , la funcional exacta de la energa cintica del n-simo electrn es incierta; sin embargo, en un caso especfico de un sistema de un electrn, la energa cintica puede escribirse as:

donde es conocida como la funcional de la energa cintica de Von Weizsacker. Energa cintica de partculas en la mecnica cuntica En la teora cuntica una magnitud fsica como la energa cintica debe venir representada por un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert adecuado. Ese operador puede construirse por un proceso de cuantizacin, el cual conduce para una partcula movindose por el espacio eucldeo tridimensional a una representacin natural de ese operador sobre el espacio de Hilbert dado por:

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que, sobre un dominio denso de dicho espacio formado clases de equivalencia representables por funciones C, define un operador autoadjunto con autovalores siempre positivos, lo cual hace que sean interpretables como valores fsicamente medibles de la energa cintica. Energa cintica del slido rgido en la mecnica cuntica Un slido rgido a pesar de estar formado por un nmero infinito de partculas, es un sistema mecnico con un nmero finito de grados de libertad lo cual hace que su equivalente cuntico pueda ser representado por sobre un espacio de Hilbert de dimensin infinita de tipo L sobre un espacio de configuracin de intiles dimensin finita. En este caso el espacio de configuracin de un slido rgido es precisamente el grupo de Lie SO(3) y por tanto el espacio de Hilbert pertinente y el operador energa cintica de rotacin pueden representarse por:

donde es la medida de Haar invariante de SO(3), son los operadores del momento angular en la representacin adecuada y los escalares son los momentos de inercia principales.

Energa cintica y temperatura A nivel microscpico la energa cintica promedio de las molculas de un gas define su temperatura. De acuerdo con la ley de Maxwell-Boltzmann para un gas ideal clsico la relacin entre la temperatura (T) de un gas y su energa cintica media es:

donde es la constante de Boltzmann, molculas del gas.

es la masa de cada una de las

2.1.2. Movimiento Rectilneo Uniforme Movimiento rectilneo uniforme Movimiento rectilneo uniforme. Representacin grfica de la posicin, velocidad y aceleracin de un mvil en funcin del tiempo. Un movimiento es rectilneo cuando el cuerpo describe una trayectoria recta, y es uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, dado que su aceleracin es nula. Nos referimos a l mediante el acrnimo MRU. 10


El MRU (movimiento rectilneo uniforme) se caracteriza por: Movimiento que se realiza sobre una lnea recta. Velocidad constante; implica magnitud y direccin constantes. La magnitud de la velocidad recibe el nombre de celeridad o rapidez. Aceleracin nula. Caractersticas La distancia recorrida se calcula multiplicando la magnitud de la velocidad media (velocidad o rapidez) por el tiempo transcurrido. Esta relacin tambin es aplicable si la trayectoria no es rectilnea, con tal que la rapidez o mdulo de la velocidad sea constante llamado movimiento de un cuerpo. Al representar grficamente la velocidad en funcin del tiempo se obtiene una recta paralela al eje de abscisas (tiempo). Adems, el rea bajo la recta producida representa la distancia recorrida. La representacin grfica de la distancia recorrida en funcin del tiempo da lugar a una recta cuya pendiente se corresponde con la velocidad. Por lo tanto el movimiento puede considerarse en dos sentidos; una velocidad negativa representa un movimiento en direccin contraria al sentido que convencionalmente hayamos adoptado como positivo. De acuerdo con la Primera Ley de Newton, toda partcula permanece en reposo o en movimiento rectilneo uniforme cuando no hay una fuerza neta que acte sobre el cuerpo. Esta es una situacin ideal, ya que siempre existen fuerzas que tienden a alterar el movimiento de las partculas, por lo que en el movimiento rectilneo uniforme (M.R.U) es difcil encontrar la fuerza amplificada. a tiempos iguales distancias iguales Ecuaciones del movimiento Sabemos que la velocidad V es constante; esto significa que no existe aceleracin. La posicin X en cualquier instante t viene dada por: Esta ecuacin se obtiene de: Para el clculo del espacio recorrido, sabiendo que la velocidad es constante y de acuerdo con la definicin de velocidad, integrando, separando variables,

y realizando la integral, Donde es la constante de intregacin, que corresponde a la posicin del mvil para . Si en el instante el mvil esta en el origen de coordenadas, entonces . Esta ecuacin determina la posicin de la partcula en movimiento en funcin del tiempo. 11


Movimiento rectilneo uniformemente acelerado

Evolucin respecto del tiempo de la posicin, de la velocidad y de la aceleracin de un cuerpo sometido a un movimiento rectilneo uniformemente acelerado, segn la mecnica clsica. El movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA), tambin conocido como movimiento rectilneo uniformemente variado (MRUV), es aquel en el que un mvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleracin constante. Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de cada libre vertical, en el cual la aceleracin interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad. Tambin puede definirse el movimiento como el que realiza una partcula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante. 12


El movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA) es un caso particular del movimiento uniformemente acelerado (MUA). Movimiento rectilneo uniformemente acelerado en mecnica newtoniana En mecnica clsica el movimiento uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres caractersticas fundamentales: 1. La aceleracin y la fuerza resultante sobre la partcula son constantes. 2. La velocidad vara linealmente respecto del tiempo. 3. La posicin vara segn una relacin cuadrtica respecto del tiempo. La figura muestra las relaciones, respecto del tiempo, del desplazamiento (parbola), velocidad (recta con pendiente) y aceleracin (constante, recta horizontal) en el caso concreto de la cada libre (con velocidad inicial nula). El movimiento MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleracin constante, cuyas relaciones dinmicas y cinemticas, respectivamente, son: (1)

En el movimiento rectilneo acelerado, la aceleracin instantnea es representada como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa grficamente la funcin v(t). La velocidad v para un instante t dado es: (2a) siendo la velocidad inicial. Finalmente la posicin x en funcin del tiempo se expresa por: (3) donde es la posicin inicial. Adems de las relaciones bsicas anteriores, existe una ecuacin que relaciona entre s el desplazamiento y la rapidez del mvil. sta se obtiene despejando el tiempo de (2a) y sustituyendo el resultado en (3): (2b)

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Deduccin de la velocidad en funcin del tiempo Se parte de la definicin de aceleracin

y se integra esta ecuacin diferencial lineal de primer orden

se resuelve la integral donde es la velocidad del mvil en el instante inicial En el caso de que el instante inicial sea , ser Deducin de la posicin en funcin del tiempo A partir de la definicin de velocidad .

integrando

en la que se sustituye el valor obtenido anteriormente para

resolviendo la integral, y teniendo en cuenta que y

son constantes:

donde

la posicin del mvil en el instante

. la ecuacin ser:

En el caso de que en el tiempo incial sea

Ecuacin no temporal del movimiento Se trata de relacionar la posicin, la velocidad y la aceleracin, sin que aparezca el tiempo. Se parte de la definicin de aceleracin, multiplicando y dividiendo por se puede eliminar el tiempo

se separan las variables y se prepara la integracin teniendo en cuenta que

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y se integra

resultando

y ordenando

Movimiento acelerado en mecnica relativista

Movimiento relativista bajo fuerza constante: aceleracin (azul), velocidad (verde) y desplazamiento (rojo). En mecnica relativista no existe un equivalente exacto del movimiento rectilneo uniformemente acelerado, ya que la aceleracin depende de la velocidad y mantener una aceleracin constante requerira una fuerza progresivamente creciente. Lo ms cercano que se tiene es el movimiento de una partcula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las caractersticas del MUA de la mecnica clsica. La ecuacin de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante partiendo del reposo es:

(4) Donde w es una constante que, para valores pequeos de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleracin (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleracin es mucho ms pequea que el cociente entre la fuerza y la masa). De hecho la aceleracin bajo una fuerza constante viene dada en el caso relativista por: 15


La integral de (4) es sencilla y viene dada por:

(5) E integrando esta ltima ecuacin, suponiendo que inicialmente la partcula ocupaba la posicin x = 0, se llega a:

(6) En este caso el tiempo propio de la partcula acelerada se puede calcular en funcin del tiempo coordenado t mediante la expresin:

(7) Todas estas expresiones pueden generalizarse fcilmente al caso de un movimiento uniformemente acelerado, cuya trayectoria es ms complicada que la parbola, tal como sucede en el caso clsico cuando el movimiento se da sobre un plano. Observadores de Rindler El tratamiento de los observadores uniformemente acelerados en el espaciotiempo de Minkowski se realiza habitualmente usando las llamadas coordenadas de Rindler para dicho espacio, un observador acelerado queda representado por un sistema de referencia asociado a unas coordenadas de Rindler. Partiendo de las coordenadas cartesianas la mtrica de dicho espaciotiempo: Considrese ahora la regin conocida como "cua de Rindler", dada por el conjunto de puntos que verifican: Y defnase sobre ella un cambio de coordenadas dado por las transformaciones siguientes:

Donde: , es un parmetro relacionado con la aceleracin del observador.1 16


, son las coordenadas temporal y espaciales medidas por dicho observador. Usando estas coordenadas, la cua de Rindler del espacio de Minkowski tiene una mtrica, expresada en las nuevas coordenadas, dada por la expresin: Puede que estas coordenadas representen a un observador acelerado segn el eje X, cuya cuadriaceleracin obtenida como derivada covariante de la cuadrivelocidad est relacionada con el valor de la coordenada x:

Horizonte de Rindler Es interesante notar que un observador uniformemente acelerado tiene horizonte de eventos, es decir existe una superficie espacial (que coincide con la frontera de la cua de Rindler): tal que la luz del otro lado jams alcanzara al observador acelerado. Este horizonte de sucesos es del mismo tipo que el horizonte de sucesos que ve un obsevador situado fuera de un agujero negro. Es decir, los eventos al otro lado del horizonte de eventos no pueden ser vistos por estos observadores. El ejemplo de las coordenadas de Rindler muestra que la ocurrencia de un horizonte de eventos no est asociada al propio espacio-tiempo sino a ciertos observadores. Las coordenadas de Rindler constituyen una cartografa del espacio-tiempo plano de Minkowski. En dicho espacio un observador inercial no ve ningn horizonte de eventos pero s lo ve un observador acelerado. Movimiento acelerado en mecnica cuntica Artculo principal: Efecto Unruh. En 1975, Stephen Hawking conjetur que cerca del horizonte de eventos de un agujero negro deba aparecer una produccin de partculas cuyo espectro de energas correspondera con la de un cuerpo negro cuya temperatura fuera inversamente proporcional a la masa del agujero. En un anlisis de observadores acelerados, Paul Davies prob que el mismo argumento de Hawking era aplicable a estos observadores (observadores de Rindler). 2 En 1976, Bill Unruh basndose en los trabajos de Hawking y Davies, predijo que un observador uniformemente acelerado observara radiacin de tipo Hawking donde un observador inercial no observara nada. En otras palabras el efecto Unruh afirma que el vaco es percibido como ms caliente por un observador acelerado.3 La temperatura efectiva observada es proporcional a la aceleracin y viene dada por:

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Donde: , constante de Boltzmann. , constante de Planck racionalizada. , velocidad de la luz. , temperatura absoluta del vaco, medida por el observador acelerado. , aceleracin del observador uniformemente acelerado. De hecho el estado cuntico que percibe el observador acelerado es un estado de equilibrio trmico diferente del que percibe un observador inercial. Ese hecho hace de la aceleracin una propiedad absoluta: un observador acelerado movindose en el espacio abierto puede medir su aceleracin midiendo la temperatura del fondo trmico que le rodea. Esto es similar al caso relativista clsico, en donde un observador acelerado que observa una carga elctrica en reposo respecto a l puede medir la radiacin emitida por esta carga y calcular su propia aceleracin absoluta.

2.1.3. Velocidad La velocidad es una magnitud fsica de carcter vectorial que expresa la distancia recorrida por un objeto por unidad de tiempo. Se representa por o . Sus dimensiones son [L]/[T]. Su unidad en el Sistema Internacional es el m/s. En virtud de su carcter vectorial, para definir la velocidad deben considerarse la direccin del desplazamiento y el mdulo, el cual se denomina celeridad o rapidez.1 De igual forma que la velocidad es el ritmo o tasa de cambio de la posicin por unidad de tiempo, la aceleracin es la tasa de cambio de la velocidad por unidad de tiempo. Aristteles estudi los fenmenos fsicos sin llegar a conceptualizar una nocin de velocidad. En efecto, sus explicaciones (que posteriormente se demostraran incorrectas) solo describan los fenmenos en palabras, sin usar las matemticas como herramienta. Fue Galileo Galilei quien, estudiando el movimiento de los cuerpos en un plano inclinado, lleg a un concepto de velocidad. Lo que hizo fue dividir la distancia recorrida en unidades de tiempo. Esto es, fij un patrn de una unidad de tiempo, como por ejemplo 1 segundo, y a partir de esto relacion la distancia recorrida por un cuerpo en cada segundo. De esta manera, Galileo desarroll el concepto de la velocidad como una variacin de la distancia recorrida por unidad de tiempo. A pesar del gran avance de la introduccin de esta nueva nocin, sus alcances se restringan a los alcances mismos de las matemticas. Por ejemplo, era relativamente sencillo calcular la velocidad de un mvil que se desplaza a velocidad constante, puesto que en cada segundo recorre distancias iguales. A su vez, tambin lo era calcular la velocidad de un mvil en aceleracin constante, como en un cuerpo en cada libre. Sin embargo, cuando la velocidad del objeto variaba, no haba herramienta, en pocas de Galileo, que ayudase a determinar la velocidad instantnea de un objeto. 18


Fue recin en el siglo XVI cuando, con el desarrollo del clculo por parte de Isaac Newton y Gottfried Leibniz, se pudo solucionar la cuestin de obtener la velocidad instantnea de un objeto. sta est determinada por la derivada de la posicin del objeto respecto del tiempo. Las aplicaciones de la velocidad, con el uso de Clculo, es una herramienta fundamental en Fsica e Ingeniera, extendindose en prcticamente todo estudio donde haya una variacin de la posicin respecto del tiempo. Velocidad en mecnica clsica Velocidad media La 'velocidad media' o velocidad promedio es la velocidad en un intervalo de tiempo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento (r) por el tiempo (t) empleado en efectuarlo: (1) Esta es la definicin de la velocidad media entendida como vector (ya que es el resultado de dividir un vector entre un escalar). Por otra parte, si se considera la distancia recorrida sobre la trayectoria en un intervalo de tiempo dado, tenemos la velocidad media sobre la trayectoria o rapidez media, la cual es una cantidad escalar. La expresin anterior se escribe en la forma: (2) La velocidad media sobre la trayectoria tambin se suele denominar velocidad media numrica aunque esta ltima forma de llamarla no est exenta de ambigedades. El mdulo de la velocidad media (entendida como vector), en general, es diferente al valor de la velocidad media sobre la trayectoria. Solo sern iguales si la trayectoria es rectilnea y si el mvil solo avanza (en uno u otro sentido) sin retroceder. Por ejemplo, si un objeto recorre una distancia de 10 metros en un lapso de 3 segundos, el mdulo de su velocidad media sobre la trayectoria es:

Celeridad o rapidez La celeridad o rapidez es la magnitud o el valor de la velocidad, sea velocidad vectorial media, sea velocidad media sobre la trayectoria, o velocidad instantnea (velocidad en un punto). Entonces, se pueden presentar por lo menos tres casos de celeridad, dos de los cuales las desarrollamos a continuacin, y el tercer caso lo veremos al tocar velocidad instantnea: Celeridad o magnitud de la velocidad promedio Es la magnitud del desplazamiento dividida entre el tiempo transcurrido. La rapidez promedio no necesariamente es igual a la magnitud de la velocidad promedio. La rapidez promedio (o velocidad media sobre la trayectoria) y la 19


velocidad media tienen la misma magnitud cuando todo el movimiento se da en una direccin. En otros casos, pueden diferir. Esta diferencia entre la rapidez y la magnitud de la velocidad puede ocurrir cuando se calculan valores promedio. Velocidad instantnea La velocidad instantnea permite conocer la velocidad de un mvil que se desplaza sobre una trayectoria cuando el intervalo de tiempo es infinitamente pequeo, siendo entonces el espacio recorrido tambin muy pequeo, representando un punto de la trayectoria. La velocidad instantnea es siempre tangente a la trayectoria.

En forma vectorial, la velocidad es la derivada del vector posicin respecto al tiempo:

donde es un versor (vector de mdulo unidad) de direccin tangente a la trayectoria del cuerpo en cuestin y es el vector posicin, ya que en el lmite los diferenciales de espacio recorrido y posicin coinciden. Celeridad instantnea Es el valor o mdulo de la velocidad instantnea. Y es el tercer caso al que nos referamos ms arriba. El mdulo del vector velocidad instantnea y el valor numrico de la velocidad instantnea sobre la trayectoria son iguales. Velocidad relativa El clculo de velocidades relativas en mecnica clsica es aditivo y encaja con la intuicin comn sobre velocidades; de esta propiedad de la aditividad surge el mtodo de la velocidad relativa. La velocidad relativa entre dos observadores A y B es el valor de la velocidad de un observador medida por el otro. Las velocidades relativas medias por A y B sern iguales en valor absoluto pero de signo contrario. Denotaremos al valor la velocidad relativa de un observador B respecto a otro observador A como . Dadas dos partculas A y B, cuyas velocidades medidas por un cierto observador son y , la velocidad relativa de B con respecto a A se denota como y viene dada por: Naturalmente, la velocidad relativa de A con respecto a B se denota como y viene dada por: de modo que las velocidades relativas direccin contraria. y tienen el mismo mdulo pero

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Velocidad angular La velocidad angular no es propiamente una velocidad en el sentido anteriormente definido sino una medida de la rapidez con la que ocurre un movimiento de rotacin. Aunque no es propiamente una velocidad una vez conocida la velocidad de un punto de un slido y la velocidad angular del slido se puede determinar la velocidad instantnea del resto de puntos del slido. Velocidad en mecnica relativista En mecnica relativista puede definirse la velocidad de manera anloga a como se hace en mecnica clsica sin embargo la velocidad as definida no tiene las mismas propiedades que su anlogo clsico: En primer lugar la velocidad convencional medida por diferentes observadores, an inerciales, no tiene una ley de transformacin sencilla (de hecho la velocidad no es ampliable a un cuadrivector de manera trivial). En segundo lugar, el momento lineal y la velocidad en mecnica relativista no son proporcionales, por esa razn se considera conveniente en los clculos substituir la velocidad convencional por la cuadrivelocidad, cuyas componentes espaciales coinciden con la velocidad para velocidades pequeas comparadas con la luz, siendo sus componentes en el caso general:

Adems esta cuadrivelocidad tiene propiedades de transformacin adecuadamente covariantes y es proporcional al cuadrimomento lineal. En mecnica relativista la velocidad relativa no es aditiva. Eso significa que si consideramos dos observadores, A y B, movindose sobre una misma recta a velocidades diferentes , respecto de un tercer observador O, sucede que: Siendo la velocidad de B medida por A y la velocidad de A medida por B. Esto sucede porque tanto la medida de velocidades, como el transcurso del tiempo para los observadores A y B no es el mismo debido a que tienen diferentes velocidades, y como es sabido el paso del tiempo depende de la velocidad de un sistema en relacin a la velocidad de la luz. Cuando se tiene en cuenta esto, resulta que el clculo de velocidades relativas no es aditiva. A diferencia de lo que sucede en la mecnica clsica, donde el paso del tiempo es idntico para todos los observadores con independencia de su estado de movimiento. Otra forma de verlo es la siguiente: si las velocidades relativas fuera simplemente aditiva en relatividad llegaramos a contradicciones. Para verlo, consideremos un objeto pequeo que se mueve respecto a otro mayor a una velocidad superior a la mitad de la luz. Y consideremos que ese otro objeto mayor se moviera a ms de la velocidad de la luz respecto a un observador fijo. La aditividad implicara que el objeto pequeo se movera a una velocidad 21


superior a la de la luz respecto al observador fijo, pero eso no es posible porque todos los objetos materiales convencionales tienen velociades inferiores a la de luz. Sin embargo, aunque las velocidades no son aditivas en relatividad, para velocidades pequeas comparadas con la velocida de la luz, las desigualdades se cumplen de modo aproximado, es decir: Siendo inadecuada esta aproximacin para valores de las velocidades no despreciables frente a la velocidad de la luz. Velocidad en mecnica cuntica En mecnica cuntica no relativista el estado de una partcula se describe mediante una funcin de onda que satisface la ecuacin de Schrdinger. La velocidad de propagacin media de la partcula viene dado por la expresin:

Obviamente la velocidad slo ser diferente de cero cuando la funcin de onda es compleja, siendo idnticamente nula la velocidad de los estados ligados estacionarios, cuya funcin de onda es real. Esto ltimo se debe a que los estados estacionarios representan estados que no varan con el tiempo y por tanto no se propagan. Unidades de velocidad Sistema Internacional de Unidades (SI) Metro por segundo (m/s), unidad de velocidad del SI (1 m/s = 3,6 km/h). Sistema Mtrico antiguo: 2 Kilmetro por hora (km/h) (muy habitual en los medios de transporte) Kilmetro por segundo (km/s) Sistema Cegesimal de Unidades Centmetro por segundo (cm/s) unidad de velocidad del sistema cegesimal Sistema Anglosajn de Unidades Pie por segundo (ft/s), unidad de velocidad del sistema ingls Milla por hora (mph) (uso habitual) Milla por segundo (mps) (uso coloquial) Navegacin martima y Navegacin area El Nudo es una unidad de medida de velocidad, utilizada en navegacin martima y area, equivalente a la milla natica por hora (la longitud de la milla natica es de 1.851,85 metros; la longitud de la milla terrestre statute mille- es de 1.609,344 metros). Aeronutica El Nmero Mach es una medida de velocidad relativa que se define como el cociente entre la velocidad de un objeto y la velocidad del sonido en el medio en que se mueve dicho objeto. Es un nmero adimensional tpicamente usado para describir la velocidad de los aviones. Mach 1 equivale a la velocidad del sonido, Mach 2 es dos veces la velocidad del sonido, etc. La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s (1224 km/h). 22


Unidades naturales El valor de la velocidad de la luz en el vaco = 299.792.458 m/s (aproximadamente 300.000 km/s). 2.1.4.-Aceleracin En fsica, la aceleracin es una magnitud vectorial que nos indica el cambio de velocidad por unidad de tiempo. En el contexto de la mecnica vectorial newtoniana se representa normalmente por o y su mdulo por . Sus dimensiones son . Su unidad en el Sistema Internacional es el m/s2. En la mecnica newtoniana, para un cuerpo con masa constante, la aceleracin del cuerpo es proporcional a la fuerza que acta sobre l (segunda ley de Newton):

donde F es la fuerza resultante que acta sobre el cuerpo, m es la masa del cuerpo, y a es la aceleracin. La relacin anterior es vlida en cualquier sistema de referencia inercial. Aceleracin media e instantnea Definicin de la aceleracin de una partcula en un movimiento cualquiera. Obsrvese que la aceleracin no es tangente a la trayectoria. Cada instante, o sea en cada punto de la trayectoria, queda definido un vector velocidad que, en general, cambia tanto en mdulo como en direccin al pasar de un punto a otro de la trayectoria. La direccin de la velocidad cambiar debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y sta, por lo general, no es rectilnea. En la Figura se representan los vectores velocidad correspondientes a los instantes t y t+t, cuando la partcula pasa por los puntos P y Q, respectivamente. El cambio vectorial en la velocidad de la partcula durante ese intervalo de tiempo est indicado por v, en el tringulo vectorial al pie de la figura. Se define la aceleracin media de la partcula, en el intervalo de tiempo t, como el cociente:

Que es un vector paralelo a v y depender de la duracin del intervalo de tiempo t considerado. La aceleracin instantnea se la define como el lmite al 23


que tiende el cociente incremental v/t cuando t0; esto es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo:

Puesto que la velocidad instantnea v a su vez es la derivada del vector posicin r respecto al tiempo, la aceleracin es la derivada segunda de la posicin con respecto del tiempo:

De igual forma se puede definir la velocidad instantnea a partir de la aceleracin como:

Se puede obtener la velocidad a partir de la aceleracin mediante integracin:

Medicin de la aceleracin La medida de la aceleracin puede hacerse con un sistema de adquisicin de datos y un simple acelermetro. Los acelermetros electrnicos son fabricados para medir la aceleracin en una, dos o tres direcciones. Cuentan con dos elementos conductivos, separados por un material que varia su conductividad en funcin de las medidas, que a su vez sern relativas a la aceleracin del conjunto. Unidades Las unidades de la aceleracin son: Sistema Internacional 1 m/s2 Sistema Cegesimal 1 cm/s2 = 1 Gal Componentes intrnsecas de la aceleracin: aceleraciones tangencial y normal

Componentes intrnsecas de la aceleracin. 24


En tanto que el vector velocidad v es tangente a la trayectoria, el vector aceleracin a puede descomponerse en dos componentes (llamadas componentes intrnsecas) mutuamente perpendiculares: una componente tangencial at (en la direccin de la tangente a la trayectoria), llamada aceleracin tangencial, y una componente normal an (en la direccin de la normal principal a la trayectoria), llamada aceleracin normal o centrpeta (este ltimo nombre en razn a que siempre est dirigida hacia el centro de curvatura). Derivando la velocidad con respecto al tiempo, teniendo en cuenta que el vector tangente cambia de direccin al pasar de un punto a otro de la trayectoria (esto es, no es constante) obtenemos

siendo el vector unitario tangente a la trayectoria en la misma direccin que la velocidad y la velocidad angular. Resulta conveniente escribir la expresin anterior en la forma

Las magnitudes de estas dos componentes de la aceleracin son:

Cada una de estas dos componentes de la aceleracin tiene un significado fsico bien definido. Cuando una partcula se mueve, su celeridad puede cambiar y este cambio lo mide la aceleracin tangencial. Pero si la trayectoria es curva tambin cambia la direccin de la velocidad y este cambio lo mide la aceleracin normal. Si en el movimiento curvilneo la celeridad es constante (v=cte), la aceleracin tangencial ser nula, pero habr una cierta aceleracin normal, de modo que en un movimiento curvilneo siempre habr aceleracin. Si el movimiento es circular, entonces el radio de curvatura es el radio R de la circunferencia y la aceleracin normal se escribe como an = v2/R. Si la trayectoria es rectilnea, entonces el radio de curvatura es infinito () de modo que an=0 (no hay cambio en la direccin de la velocidad) y la aceleracin tangencial at ser nula o no segn que la celeridad sea o no constante.

Plantear la Segunda Ley de Newton Elegido el cuerpo o sistema mecnico, hecho el diagrama de fuerzas, determinado el marco inercial de referencia, definidas las coordenadas y ejes, precisadas las condiciones especficas del movimiento si las hay, deben plantearse las componentes de la segunda Ley de Newton en los ejes y direcciones elegidos. Estas componentes de la segunda ley se conocen a 25


menudo como ecuaciones de movimiento del cuerpo y permiten expresar su aceleracin en una posicin o situacin general.

Segunda ley de Newton o Ley de fuerza

La segunda ley del movimiento de Newton dice que El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre segn la lnea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime. Esta ley explica qu ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qu ser constante) acta una fuerza neta: la fuerza modificar el estado de movimiento, cambiando la velocidad en mdulo o direccin. En concreto, los cambios experimentados en el momento lineal de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la direccin de esta; esto es, las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos. Consecuentemente, hay relacin entre la causa y el efecto, esto es, la fuerza y la aceleracin estn relacionadas. Dicho sintticamente, la fuerza se define simplemente en funcin del momento en que se aplica a un objeto, con lo que dos fuerzas sern iguales si causan la misma tasa de cambio en el momento del objeto. En trminos matemticos esta ley se expresa mediante la relacin:

Donde es el momento lineal y la fuerza total. Si suponemos la masa constante y nos manejamos con velocidades que no superen el 10% de la velocidad de la luz podemos reescribir la ecuacin anterior siguiendo los siguientes pasos: Sabemos que es el momento lineal, que se puede escribir m.V donde m es la masa del cuerpo y V su velocidad.

Consideramos a la masa constante y podemos escribir estas modificaciones a la ecuacin anterior:

aplicando

que es la ecuacin fundamental de la dinmica, donde la constante de proporcionalidad, distinta para cada cuerpo, es su masa de inercia 26


La importancia de esa ecuacin estriba sobre todo en que resuelve el problema de la dinmica de determinar la clase de fuerza que se necesita para producir los diferentes tipos de movimiento: rectilneo uniforme (m.r.u), circular uniforme (m.c.u) y uniformemente acelerado (m.r.u.a). Si sobre el cuerpo actan muchas fuerzas, habra que determinar primero el vector suma de todas esas fuerzas. Por ltimo, si se tratase de un objeto que cayese hacia la tierra con una resistencia del aire igual a cero, la fuerza sera su peso, que provocara una aceleracin descendente igual a la de la gravedad.

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DOCUMENTAL DE FISICAConclusin: Al concluir este documental sabremos resolver problemticas con respecto a temas como: Cinemtica Movimiento Rectilneo Uniforme Velocidad Aceleracion Cintica Segunda ley de newton y Friccion asi como conocer los conceptos y definiciones de cada uno de estos en general y particularmente para la resolucin de problemas en la vida cotidiana y ejercicios marcados en el saln de clase o en el examen institucional.

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DOCUMENTAL DE FISICABIOGRAFIA http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9tica Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (6th ed. edicin). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed. edicin). W. H. Freeman. ISBN 0-71670809-4. Tipler, Paul; Llewellyn, Ralph (2002). Modern Physics (4th ed. edicin). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-4345-0. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2000), Biografa de Gaspard Gustave de Coriolis (en ingls), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews. Oxford Dictionary, Oxford Dictionary 1998 http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_rectil%C3%ADneo_uniforme Antonio Mximo, Beatriz Alvarenga (2004). Fsica General. Mxico D.F.: Oxford University Press. ISBN 970-613-147-7. http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad Ortega, Manuel R. (1989-2006) (en espaol). Lecciones de Fsica (4 volmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. Resnick, Robert & Halliday, David (2004) (en espaol). Fsica 4. CECSA, Mxico. ISBN 970-24-0257-3. Tipler, Paul A. (2000) (en espaol). Fsica para la ciencia y la tecnologa (2 volmenes). Barcelona: Ed. Revert. ISBN 84-291-4382-3. Giancoli (en espaol). Fsica = 2006. Pearson Educacin, Mxico. ISBN 970-260776-0. http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton#Segunda_ley_de_Newton_o_Ley_d e_fuerza

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