Upload
duongkien
View
220
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
DOCUMENTS DE TREBALL
DE LA DIVISIÓ DE CIÈNCIES JURÍDIQUES
ECONÒMIQUES I SOCIALS
Col·lecció d’Economia
Interiority of the Optimal Population Growth
Rate with Endogenous Fertility
Gemma Abío
Adreça correspondència: Dep. Teoria Econòmica Facultat de Ciències Econòmiques i Empresarials Universitat de Barcelona Av. Diagonal 690, 08034 Barcelona, Spain Telephone: +34 93 403 44 09 e-mail: [email protected]
Abstract This paper analyzes the issue of the interiority of the optimal population growth rate in a two-period
overlapping generations model with endogenous fertility. Using Cobb-Douglas utility and production
functions, we show that the introduction of a cost of raising children allows for the possibility of the
existence of an interior global maximum in the planner’s problem, contrary to the exogenous fertility
case.
Key words: Overlaping generations models, endogenous fertility, optimal population growth
JEL classification: J13, J18
Resumen
Este artículo analiza el problema de la interioridad de la tasa de crecimiento óptima de la población en
un modelo de generaciones solapadas de dos períodos con fecundidad endógena. Usando funciones de
utilidad y de producción de tipo Cobb-Douglas, se muestra que la introducción de un coste de tener
hijos permite la posibilidad de que exista un máximo global interior en el problema planificador,
contrariamente a lo que sucede en el caso con fecundidad exógena.
� ����������
������� ��� �� ������� ��� ������ � ��� ������ ����� ���� �� ���
����� � ��� ��������� ���� � �� ��������� �������� �� !� "� ��
#����$ %��� ������� �������� � ��� �������� &���������� %�����'( ���
����� � ����� �� �� ������� ������� � ��� �� ��� ������ ����
� ��� ������������ ����( ��� ������ ����� ������)���� ���� ����� ���
���� ����$ �������'� ������� ��� ������ )� � ��������� *#�����+
��� ,�* ������ ��� ��������� � ��� ������ ����� � ��� �����'�
��)���$ - ����������( #�����+ ����� ���� �� )�� ��� ������� �� ���
������� ����� ���� � ��� ������� .))�#����� ����( ����� ���� )�
������ ���� � ������� ����� ���� ��/������ ��� ������� � ��� ����
���������� ���� �� ��� ������ �����0 �� ��� ���� ���� ����� �� �������
���� �����1����� � ���������� �� �������$ 2 ��� ����� �����( 3�����
�� 4������� ����5� ������� ���� ����� �������� ��� ������ ������� ��
������� ������( � ��� .6� ����$ %��� ������� ���� ��� �����'�
����� � ��� ������� ����� ���� ���� )� ������ �� �� ������ ��� ��
����� � ������� � ��� �� ������� ������ ���� ���������$ 2��
����� ������ ������ ��� �����' ��������� ������ �� )��� �/����$
7���� ��� ������ ���� �������� ����� ���� ������ ��������� �
����� ��� ������ ���� � ������� ����� ��� ��������( � � �����
��� ������ ��� ������ ��� ����� � ��� ��������� � ��� 1��� )��� ����
��$ 2� � �/�����( ��������� ����,� ����� ���� ���� ��)���$ %��� �����
������� ��� ������ ������� � � ! ����� ���� ������ ������ ����
���� ����� ���� ��� ������ ������� � ���� ��)��� ��� �����$ %��
��� ��� � ��� ����� �� � ����� ��� ���� ���� ��� �����'� 1��� ����
������ ��� � ������ � �������� ��� �/������ � � ������ ��)��
�"��� '�� �(������ ��) ��� ��� *���� +,��-. ��� ������ +,���.�
8
��/����$
%��� ����� ����������� � ���� ����� ��� ������ ������� ����� ����
�� ������ ��� ��������� �� ������ � �������'� ����$ 9� ����������(
�� �������� �� ������� � ��� ���� � � .))�#����� �����1���� � �������
�� �������$ 7� 1� ���� ��� ����)����� � � ������ ������ �����
�/���� �� ��� � �������� ��� ������ ����� )���� ���� ������$
- ����� 8 �� ������ ��� ����� � ��� ������ ����� ���� �� �������
� � �/���� ��������� �������:( �� ������� )� ������� � �� �$ ;���
�����1� ������� �� ������� ������( �� ������ ������� ��� �����'�
����� � ������� ����� �� ������$ ����� 5 ������� ��� ���� �������
� � �������: ���� ������ ��������� *)� �������� )�� � ��� �� �
����� �� �������* �� ������� ��� ������� ���� ���� ��������� )�����$
��� ������� ��� ����( ����� ��� ����� �� ������� ��� � ���� �� ���
� ������ � ���� �����( ��� �������� � � ��� � ������� ��:��
�� ����)�� � ���� � ������ ��)�� ��/���� � �������$ 7� ������ ����
��� 1�� �����:� � ����� <$
� � ��������� ����� �� ��� ������� �� ���
��������� �� ��� ���� � �������
������� ��� �� ������� ��� ������ ������� ����� ���� � ��� )����
�������� ��������� �������� ���� "� �� #���� ���,��$ -���������
� ���� ���� ���� �� �� ������= � ��� 1���( ���� ��:0 � ��� ����(
���� ��� �������$ %�� ���� � ��� ������� )� � ����� � �� ���� )� ��$
2 ��������� )� � � ������ � ���� �� ��� ��� �� � ����
���� ��� ��$ 4��������� ��� ���� )� ��� ������� ����� ����� �����( ����
����������� ������ ����� ������������
���� > �� ������ ����� �
����������������
� >$
������� ������� ���� � )� �����������$
5
%�� ���� ������� � ����� �� ���� �� ������ � �������=
������� �� ��)�$ 2� ���� �( ����� ��� �� ��:��� �������� �� ���� �
��)�$ 4������ ���� �� � �/���� ����� ���� �� �( � �����=
����
��
? � ��
%�� ������� �����( ���� )�=
� ? ���� ���
�/��)��� ����� ������ � �����$ %��� �� �� )� �/������� �� �� ? ����(
���� �� ��� ����������)� ����$ 3�����( �� �� �������� �� �����( �
���� ����� � > �� ������ � >$ .������ ����������� �� � ���� Æ � @>� �A
���� �����$ 2� ��� �� � ��� �����( ������������ ������� �� )� ������
������ � �������$
%�� ������� ������� � ��� ���� �� )� �/������� ��=
���� ��� B ��� ��� ? ���� B ������ B����
C������� ������)�� � ����� �( ���� )� ��� �������� ���� � ��� �/������(
��� ������ � ������� � ��� �� �������� ����� � � �� � ������
��� � ������ �������$ #������ ��������� )� ��( �� )��� ��� �������
������� � ��� ������ ����� � ��� ������ ��:�� �������=
���� B ��� ��� ? �� B���B �����
% ������ ��� ����� ������( ������� ������� ���� ��� ����� ��/�
������ ��� ������� ����� � ��� ������������� ��������� ��)D��� � ���
������� ������� �� ��� ������ �����( ���� ������� � �( �( � �� �=
��/�������
���� ��
�"��� ���/�� � ������� "����� ��� ��� ��� ����
��
0 , 1 �� � �/�� � �/� ���� �'��������� ���2�/� � �� ��� �������� � �/� ���%�� �' �/����� �' �/� ����� ��������������� 3/ ������ �������/ � �� � �� � ����� 2�/ ��������� '�����4�
<
��)D��� �=
��� B ��� �� ? �B�
�B �� ���
2 ������ ����� �� ������������� )� ��� ������ 1��� ���� ������=
������ ���
������ ���? �� �8�
��
�����? �� �5�
����� B �� Æ ? �� �<�
%�� 1��� ����� ����� ��� ������ ������� )����� ������� �
��� ��� �� ������� � ��� ��$ 6����� �5� ��������� ��� ������
������� ����� ���� )� ��������� ��� ������� )��1� � �������� ���
����� ����� � ��� ������� ���$ %�� 1��� � �� ���� )� ��� ��������
���� � ��� �/������( �� ��� )�� ������ ��� ���������������� ������� ���
�� �$ -� �������� ��� ���� ����( ��� ��� ������� ����( ����� ��� ���
��:�� ���������� � ������ ���� ������� ����$ � ��� ���� ���( ���
������� ��� � ������ ������� �����( ���� )� ��� ��������� ���� �
��� ������( ��� )�� ������ ��� ����� ������� ��� �$ 2������ � ����
�+���( ��� ��� ������� ����( ��� ���: � ������� ���� )� �/����� �
���� �� ��� ���� ����������)� ���� � )� ��������$ 9�����( ������ �<�
��������� ��� ������ ����� � ������� ��� ������( ����� �� ��1�� )� ���
���� ����$
-� ��� ������ ����� �� ������( ����� ����� ������� ������� ����
��� ������� ������� � ��� ���� ��� �������� ��� ������ ������ �
�������( ��� ����������)� ���� �� ��� ������� ����� ����( ��( ��(
�� �� �� � �$
2 ���� ����� ������� ��)������ ��� ������� ��� ������ ����� ����
�� �������( #�����+ ��� ,� ��)������ � ����� ��� ����� � ���
�
���� ������$ #�����+'� ������� ������ ����( �� � ���� ���� � ������� ��
������� ������( �������'� ��)��� ��� � ���� � ������ ��)��
��/����$ 9� ������( �� ��� ������� ��)�� .))�#����� ����( ��� ��
����� ������� ����� ���� ����� �� � )� ������ ��� � �1���$ - ���
������( �� ������ ���� �����1� ���� �� ��� � ������� ���� �������� ���
�������$
.����� ��� ������ �������� ������� ����� �� .))�#����� ���
����� �����=
����� ����� ? �� �� B � �� ����
���� ? ���
����� � � @>� �A �� ��� ��)D������ ������ �����( � �� � ���������� ������
���� �� � � @>� �A �� � ��������� ���� ��������� ��� ����� � ���� ����
��� � ������� ������$ 2������ ��� ������� ����� �� ����� � ����
� ��� ��������( ��� �����'� )D������ �� � ���������� ��)���� �����$
;��� ����� ������( ������� �����<� �� )� �������� ��=
���
���? � ���
�
��? � �,�
����� B �� Æ ? � � �
�� B ��� �� ? �B�
�B �� �E�
%�� ����� �� �������� ��+���� �� � ������� Æ ? � � Æ � �$
��� ����� �� ������ �� �������
��'� ����� )� ������� ���� ������� ������ ����������� � ��� �������
������$ - ���� � ����( �� �� ������ � � � � ��=
� ?
���
�
� �
���
���
,
�� � � ��� ��=
� ? ��� ��>�
��)�������� ����� �� �/������� � �E� �� ������� � �� )���=
� ?�
� B �
�� �
�
���
�
� �
���
� ����
6����� �,� �� ��� )� �/������� �� �� � ����� � �=
�
� B �
�� �
�
���
�
� �
���
?
���
�
� �
���
��8�
����� ��� ������
� �
��� ������ ��$
F��� ��� ������� ��� � ������� ���� �� )� �����1�� ������������
�� ��� ������ ����� ���������� ���� )� �����=
� ?�
� B 8���5�
���������( ��� 1��� ���� ������ � ��� �����'� ��)��� ����
�����$ G�� ��� ����( �� ��5� ����( ��� ��� � 1��� ���� ������ ��
�����1�� �� �� ����� � �( �( � �� �$
% �������� ��� ������ )���� ���� ������( �� ���� ������ �� ���
������� )��1� �� ��� ������� ��� � ������ ������� ����� )�����$
2� �/������ � ��� ������� �����( ��� ������� )��1� � � �� ���� )�
��� ������������� ������� �+��� ������( ����� ��� ������� ��� �� ����
)� ��� ������� ������ �+��� ���$ ;��� ��� �����1� ������ ��1�� �)��(
�� �� �/����� ����� �� �+���� �� � ����� � � ��=
�� ?�
��?
�
� B �
�� �
�
���
�
� �
���
�� ? � ?
���
�
� �
���
����� �� ������ � ��� ������������� ������� �+��� �� �� � ��� �������
������ �+���$ H� ��:�� ��� 1��� �� ���� �����������( �� ������ ����
)�� �+���� ��� ������ ��������� �� ���/ �� � ����� � �=
���
��? �
�
��� B ������
�
����������� � > �� � >
����
���?
��8� ��
��� B ����� ������
�
������������ � > �� � >
���
��? �
�
�� �����
�
����������� � > �� � >
����
���?
�8� ��
��� �������
�
������������ � > �� � >
3�����( )� ��)������� � �+��� ��� ��� ����( �� )���=
�� ��� ?
���
�
� �
��� � � ��� B 8��
��� B ��
��� ��� � ����� ��� � ����� ��� ���� � �$ #������ ���
��� � ��� �/������ � � ��� B 8��( � � ��� �� �+���� ���� ������
������ ��� ����( �� � >$ - ����������( �� ���� �/������ �� �������( ���
������������� ������� �+��� �������( ������� ���� ��� ������ � ��
�1���0 �� �� �� �������( ��� ������� ������ �+��� �������( ������� ����
��� ������ � �� ���$ - ��� ���� � ? �
����( ��� �/������ �� ��� �� ���
�� �+���� ����� ��$
%���� ������� ��� ����������� ����������� � 9����� �$ 9� ��� �������
������� ������� �+��� � ������ ��� ������� ������( �� ��� � � )�
�� ���� �� � � )� ���� ����0 � ���� ����( �� ��� ��)� � )�
������� ���� � ��� ������� ������( �� �� ��� ���������� �
� ������ ��� ����� � ������ ������� � ����$ %�� ��� �������
)��1� � ������ ������� ����� ���� ������ )� ������ ��� ��� �������
���( �� ��� � ���� ���$ � ��� ���� ���( �� ��)� �� � ���� �������
� ������� �� ������ ������� �� �������� �������)��( �������
E
����� ���� )� ���� ������ �� ��� ������� ��� ���� ������ ��� �������
)��1�( �� �������� � ���� �)�$ 4��� ��� ���� ��� ���� � ����� ���
������� ��� �/����� ��������� ��� ������� )��1� � ������ �������
�����$
9����� �= %�� ������� ������ �� ������������� ������� �+���� �� Æ ? �
IT(n), KD(n)
nKD
IT
+�. � � �
����
IT(n), KD(n)
nIT
KD
+%. � � �
����
n
IT(n), KD(n)
KDIT
+�. � 0 �
����
- ����� � �������( ��� ��� ������������� ������� �+��� �������(
��� ������� )��1� � � �� ������� ��� ��� ������� ���( � ������� ��������
� �$ %�� ������ �� ���� ��� ��� ������� ������ �+��� �������( �
������� ���������$ 9�����( ��� ��� �� �+���� ����� ���� ���� ��( �������
��� � ����� �� �� ���� �$ % �������� ��� ������� ��� ����� �
��� ������� �����( �� ����� ����� ��� ����� �����$ ��)�������� ��>� �� ����
� ��� ������� �����( �� )��� ��� ������� ������� ����� �� � �����
� �=
������� ����� � � ��� ? ��
��� �
� �� B ��
���
�
� �
���
�
�B
B � ��
�� ��� ��
� �� B ��
���
�
� �
���
��
�
%�� ������ � ���� ����� �� )� ������ )����� )� ������ �����
�
�������=
� ��� ? ��
��� �
� �� B ��
�� ��� ��
� �� B ��
������
������ ������
������
���<�
���
������� ��� ?
�� �� � � ��� B 8�� � >
B� �� � � ��� B 8�� � >
������
� ��� ?
B� �� � � ��� B 8�� � >
�� �� � � ��� B 8�� � >
- ��� ���� � � ��� B 8�� ? >( � ��� �� ����� �� ��� ������ �����=
� ��� ? ��
����
�� �
� �� B ��
��������
������
�
%�:�� ��� ���������� � ��<� �� ���������=
� ���� ?�
�
�� � ��� B 8��
�� �
������ ��� ��� ������ ������=
������� ���� ?
B� �� � � ��� B 8�� � >
�� �� � � ��� B 8�� � >
������
� ���� ? >
%�� ����� � ��� ������� ������� ����� �� �������� � 9����� 8 �� ���
����� ����� ��+��������� �)��$
%���( � ���� ����( ���� Æ ? �( ����� �� ������ ����� � ��� �����'�
��)���$ #������ ��� ������ � � �� �( ��� ������ ���� � �������
����� ���� ��/������ ������� �� )� �( > � �� � � >$
��� ������� �� ������ �� �������
��'� � ��� � ��� ���� � ����� ��� ���������� ���� �� �������� �������
��� ��$ - ���� � ����( ����� �� � ����� � ��� �����'� ��� � 1��� ����
�3/ �/� �� � ��� ����� %4 �������5 +,�6�.�
�>
9����� 8= ����� � ��� ������� ������� ����� � ��� �� Æ ? �
n
V(n)
V(n)
+�. � � �����
n
V(n)
V(n)
+%. � � �����
n
V(n)
V(n)
+�. � 0 �����
������=
� ?���� ����� �
� � ��� B 8������
G�� ���� ���� ����� �� ����� �� �� �� � � �
����( ����� ��������� ���� �
�� ������� �� 1���$
%�� ������������� ������� �� ��� ������� ������ �+���� ��� ����
)�=
�� ?�
��?
�
� B �
�� �
�
���
� B Æ � �
� �
�����B Æ � �
�
�
�� ? � ?
���
� B Æ � �
� �
���
�����( �� )����( ��� ��������� �� ���/ � �$ ��)������� ��� �� �+����(
�� )���=
�� ��� ?
���
�B Æ � �
� �
��� @� � ��� B 8��A�� ���� ����� �
���� B ����,�
��
%�� ������� ������� ����� �� � ���� ����=
� ��� ? ��
��� �
� �� B ��
���
� B Æ � �
� �
���
��B Æ � ��
�B
B� ��
�� ��� ��
� �� B ��
���
�B Æ � �
� �
���
�� B Æ � ���
�
�� ��� ����������=
� ���� ?@� � ��� B 8��A�� ���� ����� �
���� ����B Æ � ��
���� ��� ������ ����� �������=
�������Æ
� ��� ? B�
������
� ��� ?
���� �� � � ��� B 8�� � >B� �� � � ��� B 8�� � >� �� � � ��� B 8�� ? >
�������Æ
� ���� ? ��
������
� ���� ? >
����� � �� ��� ������ �����=
� � ��
��
� B �
�� �
�����
�
���
����
��
�
F��� ����� ��� �� ����)�������=
� -� � � �
����( ��,� �� ������ �������0 ���� ��� ������� ������ �+���
������ ������� ��� ������������� �������$ 3�����( ���� �� �
� 1��� �������� ��)��( � ����� �� �������� ��� ���� �����1��
��� ��� � 1��� ���� ������$ %��� ���� �� �������� � ���� ��� �
9������ 5 �� <$
�7��� �/�� � �/ �� � �/� ��2�� %���� '�� � , � Æ� ��� � � , � Æ ������� ��/��� � �� ��� ������#��%�� �����
�8
9����� 5= %�� ������� ������ �� ������������� ������� �+���� �� Æ � �
IT(n), KD(n)
nIT
KD
+�. � � �
����
n
IT(n), KD(n)
n
ITKD
+%. � � �
����
� -� � � �
����( ��� �+��� ���� ������� ������ ��� ���� � �= �� � �
�( ��� ������� ������ �+��� �������0 �� � � �( ��� �������������
������� �+��� �������0 1����( �� � ? �( )�� �+���� ����� ���� ����
��$ - ��� 1��� ����( ������� �� ��������� � � ���� ��� ������� ���
�� ������� ��� ��� ������� )��1�( ����� ��� ������ �� ���� � ���
���� ����$ %��� ��� ������� ������� ����� �� ;�������( �� �� )�
��� � ���� �)� � 9����� <( �� ��� ����� � ��� �����'� 1���
���� ������ �� � ���� � ������$
%�������( ���� Æ � �( �� � ��� ���� � ���� ���������� � �������( �����
�� ���� � ������ ��/���� �� �$ F�����( ����� �/���� ��� ����)����� �
����� � ������ ������( ����� ������ �� � ��� �������� � ����:��
��� ���� ���� ������ � ��� �����'� ��)���$ .������ ���� ���
������� ���� � ���� ����������( ��� ������� �� � ����� ����������� �
��� ������� ������ ��� ������� ������ �+��� �� ���������� ������ ���
)����( � ����( ��� �� ��)� �� ���� ������� � ������� �� ������
������� �� � �������� ����( �� ���� �� � ��� ������� ��� ����
������ �� ������� ���� �������� � �$
�5
9����� <= ����� � ��� ������� ������� ����� � ��� �� Æ � �
n
V(n)
V(n)
+�. � � �����
n
V(n)
V(n)
n
+%. � � �����
#�����+ ���������� ��� ������� �� ����� ����( ���� ������� �������
����( ����� ���� )� ������ ����� � ��� �����'� ��)��� ����
���� ��� ������� ����� ��� �)����( � ��� ���� ���� ����� ����
)� ���� �1����� ����� )� ������� �������� ��� ����������)� ����$ %���
������ � ��� .))�#����� ���� �� ���� �� � ��� ����� ���������� � ��)�
������� �.6�� ������� ����� ���� ��)�������)����� )����� ������ �
�������$ 3����� �� 4������� ����5� ������( � ��� ���� Æ ? �( ��� �����
� ��� ������� ������� ����� ��� ��� ������� �� ������� ������ ���
� ��� .6� ����$ %��� ������ ����( � ���� � ���� � ������ ��)��
��/����( ����� ���� )� ������������� )����� ��)� �� ������� � ���
�����( �� � #�����+'� �������$ 2�����������( �� ��� ������� �����
�� .))�#�����( ������������� )����� 1��� �� ���� ����� ������
�� � ���������� �� ��������$ - ��� ���� �����( ��� ������ �������
����� ���� �� � ���� �����$
�8� �/� �� � �/�� ����4 ����� � �����������4 � %��/ �' � �������� ��3/� ��� �� �/�� ����4 ��� ��2�4 ����� � %4 ������� �� ��� �/ �� � � ���
�/� ��� �������
�<
� ���� � ����� ��� ������ ��� ������
���� !������
7� ���� � �/��� ��� ������� ���� � ���� �� ��� ��)�� � �������
� )� ���� )� ���������� *�������� ������� �����* �� ��� ��
��� ������� �����$ 7� ���� ���� ��� ��)�� .))�#����� ���� �� ����
������ �� ��� ���� � ���� ���������� � �������$
% ������� ��������� � #����'� ���� � ��������� ��������(
�� �� �������� ���� )� �������� � ��� )���� ����$ 9����( �� ���� ����
��� ���������� ������ ������� ��� ����� ��������� *���� ���� )� ���
)��1� � ����� �������0 �� ����( �� ���� ������ ������� ��� �����$
.��������( ��� ��)�� � ������� ��� ���������( �� �����
��( ���� � )�
� ������ �����)�� �� ���� ���� ���� )� ����� ��� ����$
.����� ��� 1��� �� ������ � ��� ����( �� ���� ������( ��� �
( ���� ��������� ���������� �� )� ���������� )� ��� ������ �������
�����=
������ ��� ����� ? � ������ B ��� �� @������ B � ��������A �� �
����� � � @>� �A �� � ��������� ��I����� ��� ����� �� �������$ %�� 1���
����������� � ��� ������� ����� ���� ������� � ���� ������� ��� ����
�������$ 7� ������ �)���� � ��������( � ��� ���� ���� ����� � �
����� ��� ������� � ����� �������$ �)����� ����( �� � ? >( ���������� � �
��:� �������$ - ���� ����( ���� ���� �� ���� ��������� �� ����� ��� �
�������� ����� �� ����� ����( �� ������ �� ������� �������� �����
������ ��� ���( � �� ���� )��1�� ���� ��:�� ����� � ��� ��)��
�"�� '�� �(����� *���� +,���.� 2/� ����� � ����� � 2/�/ �'� ��� ���� %4 �/������� �/�� ������ ��� �� �/� �( ����� �' %��)2��� ����� �9 �����4� ��� +,�� . ���:� �� +,���. � ��� �/����� ������ �/�� ������ %���� � �/ � '���4 ���� �/������4��� �%�4 �
��
� ��������$
%�� ��� � ������� �� )� �������� � ������� ����$ 7� ���� ������
)�� � 1/�� ������ ��� � ��� ����� �� � ���� ��� � ��� �����0 )� ��:��
� � ����� �� ���������� ����� � ���( ��� ���� �� ���� ���� �� �
���� � ��� � �������$ %�� ������ � � ���� ��� � ������� ������� ���
�������� � ��� ��)� ������( )������ �� �������� � ������+ )�����
��:�� � ��� ��)� ���:�� �� ������ �������$ ��'� ���� �� ��� ����
� ��)� �������� � ��� 1��� )� ��� ���������� � ����� �$ 6��� ���������
������ � ����� ��� � ����� ���� � ������ ������� �� � ����� ��� ���� �
��:�� � ��� ���:��$ 2������ ���� ���� ��� � ������ � � ��� �
����( ��� ������� ����� �� � )� ������ �� =
���� ��� ? ���� ��� �������
7��� ��� .))�#����� �����1���� �� � ���������� �����=
���� ��� ? ��� �
��� ��E�
����� �� ? � � ��� �� ��� ��)� ������ ��� ���������( �� �� �� ����
��� ����������)� ���� )�� ��� ���: � ������� ��� ������$ G�� ���� ���
������� ����� ������ � �� ��������= ������� �� ��)�0 ���
������ ������ ��������� ��� ��)�� � ������� ��� ���������$
��� �� ������
2� � ������� ��� ��( ��������� �� ��1�� ���� �� ��� ������� ����
��/������ ��� ������ ����� ������� � ��� ������������� ��������� ��)D��� �
��� ������� �������=
��/�������
���� �� �� ? ������� B ��� �� @������ B �������A ����
� ����� �� � ������ +,���.� "�� +,��6. ��� �%;<� ��� =��(�� +>��,.�*�/ �(������ ��%�� ����4� �� 0 ���
�,
��)D��� �
����� ? �B�
�B �� B �� �8>�
���� � ? �� ��$
%�� 1��� ���� ������ �� � ������ ����� ���=
��
���? �� �8��
��
�����B
�
�� �
��
��? �� B �B ����� ��
���
��
�
�88�
��
���
��
���
? �� �85�
2� ���� )� �/������( ��� ������ ���� ��������� ��� ������ ���
)�� � �������( �88�( �� ��+���� ��� )����$ %�� ������� )��1� � �����
��� � ������� �� �����= ��� ������������� ������� �+��� �� ���
������� ������� � �������( �/������� � ����� � 1��������� �������$
%�� ������� ���( ��� ���� ���( �� ��� ��� � ����� �����= ��� �������
������ �+���( ��� ������ ��� ��� ����� �� ��� ��� � ������� ��� �
��� ���� ��� � �������$
2 ������ ������ ����� �� ��� ������ ����� �� � ����� � �����)���
���� ��� ��� ��� ��� ��������� ������� �8>���85� ���� ��/������ ��� �������
����� � ���� ��)D��� � ��� ������� ������� �8>�$
��� �� ��� �� ������� ������� ���������
% )��� ����� �������( ��� ������� �� ������:� ������� ��� �/������ �
�� � ���� � ��� � �������$
����� � ����� ��� �� �������
��'� 1��� ������ � � > �� � ? >( � ����� �� �� � 1/�� ������ ��� ���
�����$ 2� � ��� ������� �����( �� �� )��� ��� ������� )��1� �� ���
�
������� ��� � ������� � ����� � �=
! ?� B ���� ��
��� ���� B ��
�� �
�
���
�
� �
���
� �
�
" ? �B
���
�
� �
���
����� ! ������ � ��� ������� )��1� �� " � ��� ������� ���0 ��
������ ���� )�� ��� ��������� �� ���/ � �$ % :� ����� � ����
�������( �� ��)����� ���� �� )���=
!� " ?@� B ���� ��� � @� B 8���� ��AA
��
� �
��� � �� @� B 8���� ��A
���� ���� B ���8<�
��� ��� � ����� ������ �� �� � �� �$ #�1� �� ��=�� � � B ���� ��
� B 8���� ��
� -� � � ��( �8<� �� ������ ������� ������ ��� ����� � �( ���� ���������� ��� � ������� �� ������ ������� ��� ����� ������� )��1�
�� ������� �� ������ ��������� � �$ %��� ���� �� �������� � ���� �)�
� 9������ � �� ,$
� -� � � ��( ��� �/������ � �8<� �� )� �������( �������( � ���$ ��� )� ��� ����� � � ���� ��:�� �� ����� � ���=
� � ��
�� B ���� ��� � @� B 8���� ��A
�� @� B 8���� ��A
�������� �� ��� ��� ����� ���� ����� ��� ��� � 1��� ���� ������$
%��( ��� � � �( �8<� ���� )� �������$ 7�� � � �( �8<� ����
)���� �������$ - ��� 1��� ����( ��� ������� )��1� ���� ������
��� ������� ��� � ������� �� ������� ���� )� �������� � �( �����
��� ������ ������ � ��� ���� ����$ 7�� � ? �( ��� �������
�E
)��1� � ������� ������ ����� ������� ��� �� ������� �������� �
��/����$ %��� ���� �� ���������� ����������� � ���� ��� � ���
���� 1�����$
9����� �= 3������ )��1� �� ������� ��� � ������� �� � ? > � � ? >
n
MB(n), MC(n)
nMBMC
+�. � � ��
MB(n), MC(n)
nMB
MC
+%. � � ��
9����� ,= ����� � � ��� �� � ? > � � ? >
n
V(n)
V(n)
n
+�. � � ��
n
V(n)
V(n)
+%. � � ��
��
%�� ����� ������ � � ��� �� � ���� �����=
������� ��� ?
���� �� � � ��B� �� � � ��� �� � ? ��
���������
� ��� ? ��
������� ���� ?
��B� �� � � ���� �� � � ��> �� � ? ��
���������
� ���� ? ��
����� � �� ��� ������ �����=
� � ��
������ ��������� � ��� ��
�������� � @� B ���� ��A ����� �
@� B 8���� ��A������� �
�
��
���� ? �
��� �
�
���
�
�( � ���� ����( ����� �� ��� ����)����� � ����� � ������ ��)�� ��/��
���( ���� ��� ������ ���� ��� ����� � ������� � ���� �� �� ����(
��� ��)D������ ������ ����� �� ���� ����( �� ��� ����� �� ������� ��
���� ����$ G�� ����( �� ����� ���� ����� �� ������� �� ? >�( �����
������� ���� � )� �������0 ����� ���� ����� )� � ������ ��)�� ��/����
� ������� �� �� ������ � � �� ���� ������ � �$
����� � ��� ��� �� �������
��'� � ������ ������� ��� ����� �� � ����� � ����( � � ? > ��
� � >$ 2���� �������� ���� )�� ��� ������� ��� �� ������� )��1� ���
��8� �/ �� �� �/� �( ����� �' � �� � �' �/����� ��� � �� ����� ��� �� �/� ��(���'�� %�� ������ �' �� ������� �' �� �������� "��� ���� �/����� ���4 �� �� ����� �����%�� '�� ��� ��� ��� ������� �/ ��� ��������� %4 ��)�� ��� ������ � �/�?� � ����� @��� /���� � �/� �����@ ����� �� A���� *� ������ �/ ��(��� ���%�� �'�� ������� %4 �� ��
8>
��������� �� ���/ �� � ����� � �( �� )��� ��� ��+����� )�����
��� �� ��=
! � " ?
���
�
� �
��� J� K��
���� ���� B ���8��
�����
J � � B ���� ��� � @� B 8���� ��A
��
K � � B 8���� ��� � @� B 8���� �� B ��� ���� B ��A
-� �� ���� � ���� ���� J � K$ %�� ��� � �8�� ��������� ������( ��
)����( ��� ���� � � �������� � ���� � � �� �( �� ���� �� ��� �����
� �$ 7� �� ��1� ��� ������ �������� ������ � �=
��� � � B ���� ��
� B 8���� ��? ��
��� � � B 8���� ��
� B 8���� �� B ��� ���� B ��
���� ��� � ���( �� ��� ����� � � ���� ����� ��� 1��� ���� ������=� �
� B ���� ��� � @� B 8���� ��A
� @� B 8���� ��� � @� B 8���� �� B ��� ���� B ��AA
%��� ���� ����� ��� ����� ����)�� �����=
� 9� � �������� ����� ����� � ������� � ���� �� � ����( )�� J
�� K ��� �������0 ���� ��� ������� )��1� � ������� �/����� �����
������� ��� �� � � �( ����� ��� ������ �� ��� ���� �� � � �$ %���
���� �������� � ���� ��� � ��� ������� 9������ � �� ,$
� 9� ������� ������ � � ���� � ����( K �� ������� )�� J �� �������0
���� ��� ������� ��� ������ ������� ��� ������� )��1�( �� ��
)� ��� � ���� �)� � ��� ���� 1�����$
8�
� -� � �� ���� ���� �� � ����( )�� J �� K ��� �������0 � ���� ���
��� � ��� �/������ � �8�� ����� � ����� �0 ������( ����
J � K �� �� �( ��� �/������ ���� ������ )� �������( �� � ���
������� ����$ G�� ���� ��� � ��8( � ���� ��� ������� ��������
���� ��� ����� � ������� � ���� �� ���� ��� � ���� ���� ���� ��
������������ ����� ��$
%�� ����� ������ � ��� ������� ������� ����� �� ��� ���������� ���=
������� ��� ?
���� �� � � ���B� �� � � ���� �� � ? ���
���������
� ��� ? ��
������� ���� ?
��B� �� � � ����� �� � � ������� B ����� �� �� � ? ���
���������
� ���� ? ��
����� � �� ��� ������ �����=
� � ��
������ ��������� � ��� ��
�������� � @� B ���� ��A ����� �
@� B 8���� ��A������� �
�
%��� ���� ���� �� ���� )� ���( ����� �� ��� ����� ���� ��:�� ������
������� ����� � ���$
�)����� ����( ����( ��� ������ ��)�� ��/���� �/���� �� � �� �� ����(
� �� � ���� ����$ -� � ? >( �� ����� �/���� �� �� �� ��� ������ �
�� � ��� �����1��$
����� �� ��� �� � ��� ��� � ��� ��� �������
- ��� �� ����� �)��( �� ���� ��� ���� ��� ����)����� � � ������ ��)��
��/���� ���� ����� �/��� �� ���������� ��� � ��:� �������$ � �� �����
���� �� �� ��� ��� � �������( )� �� ������ � � ����� � ����( ���� ��
88
������� � ��������� ������� ����� �� � ������ ����� � ��� �����'�
��)���$ -� ����� ���� ��� � ������� �� ? � ? >�( ��� �� ��+�����
���� �������'� ���� ���� )� ��� ����� �� �������( � � >$ - ���� �
����( �� �� ���� � ��������� ���� ����� ���� ���� )� � ������ �����
� ��� �����'� ��)���( ����=
! � " ?
���
�
� �
��� � B ���� ��� � @� B 8���� ��A
���� ���� B ��
��� ��� � ����� ��� � ����� �$ %�� ���� �� ��� ������= ���
������� ������� � �������( ���� �������� ����������( ������ � � ���
���� ������ �� ��� ������������� ������� �� ��� ������� ������
�+���� �$ �( ������� ��� ��������� ������( ������ ��� ������� )��1�
� ��� ������� ��� ���� ������ ���������� � ��� ����� � �( �� ���
��� ���� ��� ����� ��� ����� �� �������$
7��� � ��� � �������( ��� ����� �� ����� � ������ ����� �� ���
���� �� ��� � �� ����� ��� ������������� ������� �+��� ������ ���
������� ������ � �������'� ����= ��)� ���� )� �������� �������
� ��� ������� ������ �� �������� ���( �� ������ ������� ����
� )� �������� � ���� )� ���������� �� �������� �����$ L��( ���
������ ������ �� � ��� ��� ������� ����� ��������� ��������� ����
��� ������� � � ��� � �������$ C����� ���� )�� ��� �������������
������� �� ��� ������� ������ �+���� ��� ��������� � �$ 7�� � ���
��� ����� �� ��������( ���� ��� ��� � �������� � � �� ���� �� ���
���� �+����( )������ �� ������ ���� ��� 1��� ����� ���� ��� ���� �� ���
����( �� � ��$ - ���� ��� ��� ������� ��� � ������� ���������
������� �� � �������� ���� ��������� ����$ %��� � ��� ���� ����� ���
��8� �/� �� � �' � ��� �� � �' �/������ �/� ������� �� � �' � �/�� � ���� �' �� ���������� ������ �� � � ��� �� ������� ����%��� �5��� � ��� �/ �� � ������#����� �� �/� ���#����� ������ ���)� B�2����� � ��� � ������ �� � � � �/� ������������ �5����
85
������������� ������� �+��� ������� ��� ������� ������ �� ����
������� �� �������� � � *�� ����� �� �� ������ � �* �� ��� ��� ���
��� � ������� ���� ������ �� ������� ���� ����� ���������$ -�������
� ����� ��� ��� ����� �� �������� � ��� � �������� � ����� )��
�� ��� ����� � �( ������ ��� ������� ��������� ����� � ����� �
�1��� ���� � ������� ����� �� ��� ������ ����� �� ��� ����$
" !� � #�� �$�
7� ���� ��� ���� ��� ��������� � ���������( �� � ���������� ��� ����
����� � � ��� � �������( �� �������� ��� ��)��� � ��� ��/������
� � ������ ��)�� ��/���� � �������'� ��)��� � 1��� ��� ����
��� ������� ����� ���� �� � ��������� �������� ����$ -� ���
��� � ������� ��� ������ *�$�$ ���� )� ��� ������* ��� ������
���� ���� )� � ���� �����( �� ������ ���� ���� � ���� � �1�
��� ���� � ��������� �� � ����� � ������ ���� � ��������
���� � ����$ F�����( ���� ��)��� ���������� �� �� ������ ��� ����
������� ���� �� ����������� ��� ������� � � �����'� �������( ���� ���
������� �+���� ����������� �������$
-� ����� � )� �������( ��� ���� ���������� �������( ���� ����� �/����
� ������ ������� ����� ���� ���� ���� ������ ���� ��� � �����$ 2�
������� ��� ,� ������( M2 ������� ������ � ��� ������ �������
��� � � ���� � ��)�� ������ � ������� �� �� ��������� � ���
� ��( �� � ���� ���� �� ������� �� ������'� �� ������� ������������ )�
��� ������� ��� � )���� �����N$ 2���� ��������� ��� ��)��� � ��� �
��������� � ��� ������ �����( � � ��� ������� ��� ���� ������
����� M������ ��� ����� ���� ������� ������� ����� ��:�� ������
��"��� '�� �(������ =���� +,��-.�
8<
�������� ��� ������N$ -����( �� �� ���� ����� � >( ������� ���� �������
�� ��������� �����( ���� � �1��� ����� � ������� ��� ������� ��� �������
���� � ���������$ ��� ������� ���� ������ ��������� ���� ���� ����
������ ����� ���� )� ���� �� �1��� ��� ������ � ��� ����
������� �������� � ��� ���� �������= ��� ���������� ������� ���������
��� ������ 1���� � ��� ����� �������� ������( �� )� ��:�� ��� ������
� �� ��� ������� ��� ������( �� ��� ���� ���� ������� ������� �+����
������$
#��������
2)OP( !$ �� .$ 4��/� �8>>��= M������� 4������ !���� �� ��
���� �������� C���� ���� F��������� 2����N( .�C6 �;. ( H�������
#������� 4�����( 8>>�Q8 $
H����( H$ ���E��= M%�� ��� 2�� �������� F�������� �� ������� 4��
����� !����N( R���� � 4������ 6����� �( ��$8E��5>�$
.��( 2$ ����5�= M-������������ %������� 7����� ��������N( 6���
��� R���� � 4������� 6��� �( ��$�>����E$
#�����+( 2$S$ ��� ,�= M%�� ������� !���� C��� �� 4������=
.����N( -�������� 6���� C����� � ( ��$��>����$
#����( 4$ 2$ ���,��= MG����� #�)� � � G���������� !���� 3���N(
2������ 6���� C����� ��( $ �( ��$��8,����>$
6�:����( T$ �� U$-$ 7��� ���E��= M6����� 9�������� �� �������
4������ ����N( R���� � 4�)��� 6����� 8 ( ��$�5��>,$
3�����( 4�$ �� 4$ 4������� ����5�= M4������ !���� �� ����������$
7�� ��� ���������� F��VN( R���� � 4������ 6����� ,( ��$5�5�
5,8$ 2�� .�C6 C����� G$ �> 8$
4�����( 7$ ������= M4�)��� 4����( 9����� 2������� �� 6�����
8�
#��������� .����N( R���� � 4������ 6����� E( ��$�,���E5$
C����( 9$ .$ ����,�= M����� �������� � � G�2��������� 3��� 7���
;�������� �� 6����� 9��������N( R���� � 4�)��� 6�����( ,>(
��$8E5�8�<$
�������( 4$ 2$ ��� ��= M%�� ������� !���� C��� �� 4������N(
-�������� 6���� C����� �,( ��$�5���5E$
�������( 4$ 2$ ��� ,�= M%�� ������� !���� C��� �� 4������=
2������� �� 6��������N$ -�������� 6���� C�����$ S�$ � �8�(
��$��,�8�$
���������( ;$ ����,�= M6����� 9�������� �� ��� F��� !���� %���
���N( R���� � 4�)��� 6����� ,�( ��$8>��88E$
��( F$7$ ���� �= M%�� S���� � .������ �� -�������� � � 4���2��
L��! 4��� ������= 2 4����� �� � 4������ %������ � � 9����
������N( .6� 7�:�� 4���� �<�( ;�������� � 3����$
7�����( H������ ;$ ������= M4���������� 1���� ��)��� ����� � �
���� � ������ ����� �� ���������N( R���� � 4������ 6�����
�8( ��$,8��,<>$
8,