DODATAK UDŽBENIKU ZA 7. RAZREDportal.ksc-tuzla.edu.ba/sites/default/files/attachment/skripta_za_7... · Decimalni zapis racionalnog broja Ponovimo prvo decimalni zapis razlomka

DODATAK UDŽBENIKU ZA 7. RAZRED

DEVETOGODIŠNJE ŠKOLE SUSTAVA KATOLIČKIH

ŠKOLA ZA EUROPU

Izrada: Dalila Ljevo

Lektorisala: Ivana Mostarac

Tehnička obrada: Edin Tabak

Sadržaj CIJELI BROJEVI .............................................................................................................................4

Svojstva zbrajanja cijelih brojeva .................................................................................................4

RACIONALNI BROJEVI ...............................................................................................................7

Decimalni zapis racionalnog broja ...............................................................................................7

Svojstva zbrajanja racionalnih brojeva .......................................................................................11

Svojstva množenja racionalnih brojeva .....................................................................................15

KUT I TROKUT ............................................................................................................................19

Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova .................................................................................19

Podudarnost trokuta. Četvrti poučak o sukladnosti trokuta. .......................................................26

Primjena pravila sukladnosti kod pravokutnog i jednakokrakog trokuta ...................................27

Centar opisane i upisane kružnice trokuta ..................................................................................30

Težište i ortocentar trokuta .........................................................................................................33

Značajne točke trokuta .............................................................................................................37

Središnji i obodni kut kruga .......................................................................................................39

Uzajamni položaj pravca i kružnice. Konstrukcija tangente kružnice. ......................................44

Uzajamni položaj dvije kružnice ................................................................................................47

ČETVEROKUT .............................................................................................................................51

Konstrukcije paralelograma ........................................................................................................51

Konstrukcija trapeza ...................................................................................................................58

Deltoid. Svojstva deltoida. .........................................................................................................63

Konstrukcija deltoida..................................................................................................................67

Opseg trokuta i četverokuta ........................................................................................................70

POVRŠINA ČETVEROKUTA ......................................................................................................77

Površina četverokuta s okomitim dijagonalama .........................................................................77

Površina proizvoljnog konveksnog četverokuta .........................................................................79

Svojstva zbrajanja cijelih brojeva

4

CIJELI BROJEVI


Svojstva zbrajanja u skupu N0 vrijede i u skupu Z. Provjerimo.

Pr. 1. Zbrojimo −2 i +1; 101 i −20.

−2 + 1 = −1

101 + (−20) = 81

Pribrojnici i zbroj su cijeli brojevi.

Vrijedi svojstvo ZATVORENOSTI skupa Z u odnosu na zbrajanje.

Za svaka dva cijela broja 𝑎 𝑖 𝑏 vrijedi:

𝒂 + 𝒃 ∈ 𝒁

Pr. 2. Provjerit ćemo vrijedi li svojstvo komutativnosti.

−7 + (−21) = −(7 + 21) = −28

Zamijenimo mjesta pribrojnicima.

−21 + (−7) = −(21 + 7) = −28

Zbroj dva cijela broja se ne mijenja ako pribrojnicima zamijenimo mjesta. Vrijedi

svojstvo KOMUTATIVNOSTI za zbrajanje u skupu Z.

Za svaka dva cijela broja 𝑎 𝑖 𝑏 vrijedi jednakost:

𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂.

Pr. 3. Izračunat ćemo zbroj 8 + (−10) + (−3) grupirajući pribrojnike.

(8 + (−10)) + (−3) = −2 + (−3) = −5

8 + (−10 + (−3)) = 8 + (−13) = −5

Zbroj tri ili više cijelih brojeva se ne mijenja ako pribrojnike grupiramo tako da dva ili

više pribrojnika zamijenimo njihovim zbrojem. Vrijedi svojstvo ASOCIJATIVNOSTI

za zbrajanje u skupu Z.

Za bilo koje cijele brojeve 𝑎, 𝑏, 𝑐 vrijedi jednakost: (𝒂 + 𝒃) + 𝒄 = 𝒂 + (𝒃 + 𝒄)


5

Pr. 4. Zbrojimo −3 i 0, te 0 i −3.

−3 + 0 = 0 + (−3) = −3

Za operaciju zbrajanje u skupu Z, broj 0 je NEUTRALNI ELEMENT.

Za svaki broj 𝑎 vrijedi: 𝒂 + 𝟎 = 𝟎 + 𝒂 = 𝒂

Pr. 5. Već smo naučili da je zbroj dva suprotna broja jednak nuli.

15 + (−15) = 0

−15 + 15 = 0

Za svaki cijeli broj 𝑎 vrijedi: 𝒂 + (−𝒂) = −𝒂 + 𝒂 = 𝟎

Za svako 𝑎 ∈ 𝑍, postoji −𝑎 ∈ 𝑍, tako da je 𝒂 + (−𝒂) = 𝟎.

Pr. 6. Primjenjujući svojstva komutativnosti i asocijativnosti, odredit ćemo vrijednost

zbroja:

a) −17 + 5 + 9 + 17 =

−17 + 5 + 17 + 9 = (𝑘𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑛𝑜𝑠𝑡)

−17 + 17 + 5 + 9 = (𝑘𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑛𝑜𝑠𝑡)

(−17 + 17) + 5 + 9 = (𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑗𝑎𝑡𝑖𝑣𝑛𝑜𝑠𝑡)

0 + 5 + 9 = (𝑧𝑏𝑟𝑜𝑗 𝑠𝑢𝑝𝑟𝑜𝑡𝑛𝑖ℎ 𝑏𝑟𝑜𝑗𝑒𝑣𝑎)

= 14

𝑏) 3 + (−2) + (+5) + (−1) =

3 + (+5) + (−2) + (−1) = (𝑘𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑛𝑜𝑠𝑡)

(3 + 5) + (−2 + (−1)) =

(𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑗𝑎𝑡𝑖𝑣𝑛𝑜𝑠𝑡, 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑧𝑖𝑡𝑖𝑣𝑛𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑏𝑟𝑜𝑗𝑛𝑖𝑘𝑒 𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑧𝑖𝑡𝑖𝑣𝑛𝑖𝑚

𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑛𝑒 𝑠𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑛𝑖𝑚)

8 + (−3) = 5


6

Zadaci za vježbu:

1. Ne izvodeći zbrajanje, umjesto zvjezdice (*) staviti odgovarajući broj, tako da

bude točna jednakost.

a) −9 + (−6) = −6 +∗

b) ∗ +(−3) = −3 + 13

c) 5 + (−31) =∗ +5

d) −301 + (−503) = −503 +∗

2. Bez izračunavanja odrediti nepoznati broj.

a) 7 + (−10 + 9) = (7 + 𝑥) + 9

b) (𝑥 + (−13)) + 19 = 28 + ((−13) + 19)

3. Provjeriti je li (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ako je:

a) 𝑎 = −10, 𝑏 = 4, 𝑐 = 6

b) 𝑎 = 17, 𝑏 = −2, 𝑐 = 13

c) 𝑎 = 7, 𝑏 = 3, 𝑐 = −9

d) 𝑎 = −15, 𝑏 = 8, 𝑐 = −5

4. Izračunati zbroj svih cijelih brojeva koji se nalaze između −6 i 8.

5. Koristeći svojstva zbrajanja, izračunati vrijednost izraza:

a) 24 + (−19) + (−24) =

b) −61 + 17 + 61 + (−17) =

c) −71 + 39 + 11 + (−29) =

d) 33 + 15 + 28 + (−33) + (−15) =

e) −156 + 188 + (−78) + 156 =

f) 15 + (−11) + 25 + (−38) + (−9) + 39 + (−21) =

Decimalni zapis racionalnog broja

7

RACIONALNI BROJEVI


Ponovimo prvo decimalni zapis razlomka.

Pr. 1. Napisati u decimalnom zapisu razlomke:

a) 34

1000= 0,034 (decimalni broj ima 3 decimale, jer dekadska jedinica u nazivniku

ima 3 nule)

b) 523

100= 5,23 (decimalni broj ima 2 decimale, jer dekadska jedinica ima dvije nule)

c) 3

2=

3∙5

2∙5=

15

10= 1,5 (proširivanjem prevedemo u decimalni razlomak, a zatim

izrazimo u decimalnom zapisu)

d) 34

20=

34:2

20:2=

17

10= 1,7 (skraćivanjem prevedemo u decimalni razlomak, a zatim

izrazimo u decimalnom zapisu).

Pr. 2. Date razlomke ćemo dijeljenjem prevesti u decimalni zapis i zaokružiti ih na dvije

decimale.

a) 5

7= 5: 7 = 0,71428571 … ≈ 0,71

50

10

30

20

60

40

50

10

.

.

b) 5

16= 5: 16 = 0,3125 ≈ 0,31

50

20

40

80

0


8

Pr. 3. Prevesti decimalni zapis razlomka s konačnim brojem decimala na oblik razlomka:

a) 0,32 = 32

100=

8

25

b) 1,123 = 1123

1000

c) 0,520 = 520

1000=

52

100=

13

25

d) 3,35 = 335

100=

67

50

Pr. 4. Zapisat ćemo racionalne brojeve u obliku decimalnog zapisa. Koristit ćemo poznati

postupak i voditi računa o predznaku pri dijeljenju brojnika nazivnikom.

a) −3

10= −0,3

b) −27

100= −0,27

c) 1589

1000= 1,589

d) 232

−100= −2,32

e) 216

50=

216∙2

50∙2=

432

100= 4,32

f) −7

2= −

7∙5

2∙5= −

32

10= −3,2

g) −3

8= −

3∙125

8∙125= −

375

1000= −0,375.

Svaki racionalan broj može se može predstaviti decimalnim zapisom pomoću

decimalnog zapisa razlomka.


9

Pr. 5. Prikazat ćemo u decimalnom zapisu racionalne brojeve i zaokružiti na dvije

decimale.

a) −9

16= −9: 16 = −0,5625 ≈ −0,56

b) −3

11= −3: 11 = −0,272727 … ≈ −0,27

Pr. 6. Napisat ćemo u obliku 𝑎

𝑏 (𝑎𝜖𝑍, 𝑏𝜖𝑁) racionalne brojeve:

−0,09; −2,0077; 1.13; −0,15.

−0,09 = −9

100 (Za brojnik uzmemo dati racionalni broj bez zareza, a za nazivnik

dekadsku jedinicu sa onoliko nula koliko ima decimala dani racionalni broj. Vodimo

računa o predznaku).

−2,0077 = −20077

10000

1,13 =113

100

−0,15 = −15

100= −

3

20.

0, 63

Pr. 7. Može li se svaki decimalni periodični broj predstaviti u obliku racionalnog broja?

𝑥 = 0,6363 … ./∙ 100

100𝑥 = 63,6363 …

100𝑥 = 63 + 𝑥

100𝑥 − 𝑥 = 63

99𝑥 = 63

𝑥 =63

99=

7

11

Razlomak je nesvodiv ako brojnik i nazivnik nemaju zajedničkih djelitelja različitih od

+1 i -1. Jedini prosti faktori u nazivniku nesvodivog razlomka čiji je decimalni zapis

konačan su 2 ili 5. Među prostim faktorima nazivnika u nesvodivom razlomku čiji je

decimalni zapis beskonačan periodični, imamo i faktore različite od 2 i 5.


10

Pr. 8. Periodični decimalni broj napisat ćemo u obliku razlomka.

−5, 7 = −(5 + 0,7777 … )

Neka je 𝑥 = 0,7777 …/∙ 10

10𝑥 = 7 + 0,7777 …

10𝑥 = 7 + 𝑥

9𝑥 = 7

𝑥 =7

9

Imamo: −5,7 = − (5 +7

9) = −5

7

9= −

52

9

Zadaci za vježbu:

1. Prevesti racionalne brojeve u decimalni zapis:

a) −37

10 ; 2

3

10 ; −

17

10000 ;

432

100

b) −12

25 ;

137

50; −

1

250 ; 5

3

20

c) −6

15 ; −

17

4 ; 12

3

20 ; −6

8

20

2. Brojeve: −5

6,

59

3, −

3

14,

11

28 napisati u decimalnom zapisu i zaokružiti na dvije

decimale.

3. Napisati u obliku nesvodivog razlomka:

a) 4,25 b) −1,2 c) −2,24 d) −0,00025 e) 4,125 f) −0,095

4. Prevesti racionalne brojeve u decimalni zapis:

a) −17

4 𝑏) − 3

7

9 𝑐) −

1

250

5. Koji od datih racionalnih brojeva imaju decimalni zapis s konačnim brojem

decimala? Takve racionalne brojeve prevesti u decimalni zapis.

a) 3

6 𝑏) −

3

4 𝑐) −

171

80 𝑑) 1

5

15 𝑒) −

173

250 𝑓) −

53

60 𝑔)

95

48 ℎ) −

275

160

Svojstva zbrajanja racionalnih brojeva

11


Ponovimo svojstva zbrajanja cijelih brojeva:

Primjenjujući svojstva zbrajanja cijelih brojeva lakše je izvoditi računske operacije.

Pokazat ćemo na primjerima da svojstva zbrajanja vrijede i u skupu Q.

Za svako 𝒂, 𝒃𝝐𝒁: 𝒂 + 𝒃𝝐𝒁

Za svako 𝒂, 𝒃𝝐𝒁: 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂

Za svako 𝒂, 𝒃, 𝒄𝝐𝒁: 𝒂 + (𝒃 + 𝒄) =

(𝒂 + 𝒃) + 𝒄

Za svako 𝒂𝝐𝒁: 𝒂 + 𝟎 = 𝟎 + 𝒂 = 𝒂

Za svako 𝒂𝝐𝒁: 𝒂 + (−𝒂) = (−𝒂) + 𝒂 =

𝟎

Znamo i pravilo zagrade:

+(𝒂 + 𝒃) = 𝒂 + 𝒃

−(𝒂 + 𝒃) = −𝒂 − 𝒃

−(−𝒂) = 𝒂

U izrazima s više pozitivnih i negativnih pribrojnika, primjenjujući svojstva

komutativnosti i asocijativnosti, možemo zbrojiti najprije sve pozitivne, zatim sve

negativne pribrojke i na kraju zbrojiti dva dobivena pribrojka (jedan pozitivan,

jedan negativan).


12

Pr. 1. Izračunajmo na dva načina:

a) −1

2+

3

4+ (−1

1

2) =

−1

2+ (−1

1

2) +

3

4= Komutativnost

(−1

2+ (−1

1

2)) +

3

4= Asocijativnost

− (1

2+ 1

1

2) +

3

4=

−2 +3

4= −

8

4+

3

4=

−𝟓

𝟒 ; ili

−1

2+

3

4+ (−1

1

2) =

(−1

2+

3

4) + (−1

1

2) = Asocijativnost

(−2

4+

3

4) + (−1

1

2) =

1

4+ (−

3

2) =

1+(−6)

4=

−𝟓

𝟒

b) 12,1 + (−5,9) + (−0,1) =

12,1 + (−5,9 + (−0,1))= Asocijativnost

12,1 + (−6) = 𝟔, 𝟏;

ili

12,1 + (−5,9) + (−0,1) =

12,1 + (−0,1) + (−5,9) = Komutativnost

(12,1 + (−0,1)) + (−5,9) = Asocijativnost

12 + (−5,9) = 𝟔, 𝟏


13

Pokazali smo da u skupu Q vrijede svojstva komutativnosti, asocijativnosti i svojstvo

zatvorenosti za zbrajanje racionalnih brojeva.

Pr. 2. Izračunajmo:

a) −21

5+ 0 = −2

1

5 Svojstvo nule (nula je neutralan element u skupu Q).

b) 4,25 + (−4,25) = 4,25 − 4,25 = 0 Svojstvo suprotnog broja (zbroj dva

suprotna racionalna broja jednak je nuli).

Pr. 3. Izračunajmo koristeći svojstva zbrajanja racionalnih brojeva.

31

3− 2

1

2+ 2 + 2

2

3− 2 − 3

1

2=

(31

3+ 2

2

3) + ((−2

1

2) + (−3

1

2)) + (2 + (−2))=

6 + (−6) + 0 = 0

Zadaci za vježbu:

1. Tablicu precrtati u bilježnicu i popuniti je:

𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 + 𝑏 (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 𝑏 + 𝑐 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) 3

5

2,4 1,5

−1,2 −4 −

1

4

−5,75 1

4

−3,25

−1

8

−0,005 2,3

−3,8 −0,2 3

4

2. Koristeći se svojstvom komutativnosti i asocijativnosti, pogodnim grupiranjem

olakšati postupak računanja:

a) 21

4− 2

1

8+ 3

1

4−

5

8=

b) −2,893 + 4,73 − 8,107 − 1,73 =


14

c) 1

2+ (−2

1

5) + (−1

1

2) +

3

5=

d) 22

3+ 1,5 + (−4

11

15) + 3,5 =

3. Primjenjujući osnovna svojstva zbrajanja racionalnih brojeva, dopuniti jednakosti

tako da budu točne:

a) 10

7+ ______ = 0

b) −9

16+ (−1

3

5) = −

8

5+_____

c) 9

8−

2

3= ______ +

9

8

d) 2 − ______ = −32

5+ 2

e) −11

9+ (−3

4

5+

2

3) = −3

4

5− ______ +

2

3

4. Izračunati:

a) −7

8+

2

7+

7

8=

b) 51

2+ 81,8 + 4

1

2=

c) −137,453 + (−72) + 137,453 =

d) −2

15+ (−

3

8) + (−

13

15) =

e) 242

3+ (30,82 + 2

1

3) =

5. Osloboditi se zagrada i izračunati primjenom komutativnosti i asocijativnosti:

a) −2515

23− (−10 + 2

8

23) =

b) (122

3+ 20) − (20,32 − 2

1

3) =

Svojstva množenja racionalnih brojeva

15


Množenje u skupu Q zadržava svojstva koja smo ranije upoznali, u skupovima N, Q+ i Z,

podskupovima skupa Q.

Pr. 1. Pomnožimo racionalne brojeve:

a) 3

4∙ (−

7

11) = −

3∙7

4∙11= −

21

44, uočavamo:

3

4, −

7

11∈ 𝑄 𝑖 −

21

44∈ 𝑄

b) −1,5 ∙ (−0,5) = 0,75, uočavamo: −1,5; −0,5 ∈ 𝑄 𝑖 0,75 ∈ 𝑄

Produkt dva racionalna broja je racionalan broj. Operacija množenje je

ZATVORENA u skupu Q. Za svaka dva racionalna broja 𝒂

𝒃 i

𝒄

𝒅 vrijedi:

𝒂

𝒃∙

𝒄

𝒅∈ 𝑸.

Pr. 2. Provjerimo točnost jednakosti:

−25

8∙

4

3=

4

3∙ (−2

5

8).

Izračunamo lijevu stranu jednakosti −25

8∙

4

3= −

21

8∙

4

3= −

7

2= −3

1

2.

Izračunamo desnu stranu jednakosti 4

3∙ (−2

5

8) =

4

3∙ (

−21

8) = −

7

2= −3

1

2.

Jednakost je točna, pa zaključujemo da se produkt ne mijenja ako faktorima

zamijenimo mjesta.

Operacija množenje je komutativna u skupu Q.

Za svaka dva racionalna broja 𝒂

𝒃 𝒊

𝒄

𝒅 vrijedi:

𝒂

𝒃∙

𝒄

𝒅=

𝒄

𝒅∙

𝒂

𝒃

Pr. 3. Izračunajmo produkt 7

9∙ (−

3

5) ∙

5

3 na dva načina:

7

9∙ (−

3

5) ∙

5

3=

7

9∙ (−

3

5∙

5

3) =

7

9∙ (−1) = −

7

9 ili

7

9∙ (−

3

5) ∙

5

3= (

7

9∙ (−

3

5)) ∙

5

3= −

7∙3

9∙5∙

5

3= −

7

9


16

Uočavamo: Produkt više racionalnih brojeva se ne mijenja ako dva (ili više) faktora

zamijenimo njihovim produktima.

Operacija množenja je asocijativna u skupu Q, tj. za svaka tri racionalna broja 𝒂

𝒃,

𝒄

𝒅,

𝒆

𝒇 vrijedi:

𝒂

𝒃∙ (

𝒄

𝒅∙

𝒆

𝒇) = (

𝒂

𝒃∙

𝒄

𝒅) ∙

𝒆

𝒇

Pr. 4. Izračunat ćemo na dva načina:

3

10∙ (−

2

5+ 0,4) =

3

10∙ (−

2

5+

4

10) =

3

10∙ (−

2

5+

2

5) =

3

10∙ 0 = 0

Ili

3

10∙ (−

2

5) +

3

10∙

4

10= −

6

50+

6

50= 0

Zbroj racionalnih brojeva možemo pomnožiti racionalnim brojem tako da

pomnožimo svaki pribrojnik racionalnim brojem posebno, a zatim djelomične

produkte zbrojimo.

Vrijedi svojstvo distributivnosti množenja prema zbrajanju racionalnih brojeva.

Za svaka tri racionalna broja 𝒂

𝒃,

𝒄

𝒅 𝒊

𝒆

𝒇 vrijedi (

𝒂

𝒃+

𝒄

𝒅) ∙

𝒆

𝒇=

𝒂

𝒃∙

𝒆

𝒇+

𝒄

𝒅∙

𝒆

𝒇

Vrijedi svojstvo distributivnosti množenja i prema oduzimanju racionalnih brojeva.

Za svaka tri racionalna broja 𝒂

𝒃,

𝒄

𝒅 𝒊

𝒆

𝒇 vrijedi (

𝒂

𝒃−

𝒄

𝒅) ∙

𝒆

𝒇=

𝒂

𝒃∙

𝒆

𝒇−

𝒄

𝒅∙

𝒆

𝒇

Pr. 5. Koristimo svojstvo distributivnosti:

−53

17∙ 4

1

3+ 2

14

17∙ (−4

1

3) =

−53

17∙ 4

1

3− 2

14

17∙ 4

1

3=

(−53

17− 2

14

17) ∙ 4

1

3=

−8 ∙13

3= −

104

3= −34

2

3


17

Pr. 6. Izračunati:

a) −4

15∙ 1 = −

4

15

b) 1 ∙ 3,15 = 3,15.

Broj 1 je neutralan za operaciju množenja u skupu Q.

Za svaki racionalan broj 𝒂

𝒃 vrijedi

𝒂

𝒃∙ 𝟏 = 𝟏 ∙

𝒂

𝒃=

𝒂

𝒃

Pr. 7. Izračunati:

a) 5∙1

5=

5

5= 1

b) −4 ∙ (−1

4) =

4

4= 1

c) −7

8∙ (−

8

7) =

56

56= 1

Dva racionalna broja su uzajamno recipročna ako je njihov produkt jednak 1.


𝒃, osim broja 0, postoji samo jedan njemu recipročan

racionalan broj 𝒃

𝒂, takav da vrijedi:

𝒂

𝒃∙

𝒃

𝒂= 𝟏.

Pr. 8. Izračunajmo:

a) 1

2∙ (−1) = −

1

2

b) −1 ∙ (−5

6) =

5

6

c) −1 ∙ 1,2 = −1,2

Produkt racionalnog broja i broja -1 je racionalan broj suprotan danom

racionalnom broju.


𝒃 vrijedi:

𝒂

𝒃∙ (−𝟏) = −

𝒂

𝒃.

Pr. 9.

a) −3,7 ∙ 0 = 0

b) 0 ∙4

9= 0

c) 0 ∙ 0 = 0

d) −13

5∙ (−5) ∙ 0 ∙ 1,8 ∙ (−

3

10) = 0


18

Ako je bar jedan od faktora jednak nuli, tada je produkt jednak nuli. Za svaki

racionalan broj 𝒂

𝒃 vrijedi

𝒂

𝒃∙ 𝟎 = 𝟎 ∙

𝒂

𝒃= 𝟎.

Zadaci za vježbanje:

1. Provjeri jesu li točne jednakosti:

a) −2

3∙

1

2=

1

2∙ (−

2

3)

b) (2,5 ∙ (−11

4)) ∙ 0,8 = 2,5 ∙ (−1

1

4∙ 8)

c) (22

5− 4) ∙

5

12=

12

5∙

5

12− 4 ∙

5

12

2. Primjenom svojstva komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti, izračunati:

a) 3

7∙ (−4) ∙ 1

5

9=

b) −8,24 ∙ (−10) ∙ (−0,1) =

c) −11

4∙ 6 ∙

4

15=

d) −99

100∙

3

8∙ (−

16

77) =

e) 8

13∙ (−

4

9) ∙

39

40∙ (−

27

20) =

f) −0,25 ∙2

5+

3

5∙ (−0,25) =

3. Izračunati na dva načina:

a) (−1

2+

3

4) ∙ 10 =

b) (−0,1 + 0,2) ∙ (−0,3) =

c) 11

2∙ (

2

3− 1) =

4. Koristeći svojstva množenja u skupu Q, usmeno izračunaj produkt:

a) −2 ∙ 0,85 ∙ (−0,5) =

b) 9

4∙ (−1

1

3) ∙ (−

4

9) =

c) 0,01 ∙ (−6,6) ∙ 100 =

5. Pojednostavi izraz: −5

8𝑎 +

3

4𝑎 + 1

1

8𝑎, pa izračunaj njegovu brojevnu vrijednost

ako je 𝑎 = −4

5.

Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova

19

KUT I TROKUT


Sjetimo se pojmova koje smo naučili u šestom razredu. Nacrtajmo dva polupravca Ox i

Oy koje imaju zajedničku točku O, a ne pripradaju istom pravcu. One uvijek određuju

dva kuta od kojih je jedan konveksan (ispupčen), (na sl.1.kut 𝛼), a drugi nekonveksan

(konkavan, udubljen), (na sl.1 kut β).

Slika 1.

Kut je dio ravnine ograničen dvama polupravcima sa zajedničkom početnom točkom,

uključujući i te polupravce koji su kraci kuta, a zajednička početna točka je vrh ili tjeme

kuta.

Dva polupravca sa zajedničkom točkom dijele ravninu na dva dijela; jedan dio je

unutrašnja oblast, a drugi vanjska oblast kuta. Kraci kuta ne pripadaju ni unutrašnjoj ni

vanjskoj oblasti kuta.

Kut smo definirali kao uniju dva polupravca sa zajedničkom točkom i jedne od oblasti

određene tim polupravcima. Kut je veličina koja se može uspoređivati. Kutovi mogu biti

jednaki ili nejednaki. Uspoređivali smo kutove po veličini i konstruirali jednake kutove

koristeći svojstva o odnosu centralnih kutova i pripadnih tetiva i lukova.


20

Slika 2.

Nacrtajmo kružnice k (O,r) i k1 (S,r) jednakih polumjera (slika 2.). Kutovi α i β su

jednaki, jer je 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 , (𝐴�� = 𝐶��). Kut γ je jednak kutovima α i β, jer je 𝐸𝐹 = 𝐴𝐵 =

𝐶𝐷 . Ako bismo zarotirali kut α oko točke O, dok se ne poklopi kraj OA sa krakom OC,

poklopili bi se i kraci OB i OD, tetive 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 i lukovi 𝐴�� i 𝐶�� i oblasti kutova α i β.

Pomjeranjem bismo mogli dovesti do potpunog poklapanja i kutove γ i α, kao i kutove γ i

β.

Pr. 1. Konstruirat ćemo kut jednak zadanom kutu (kažemo da kut prenosimo u ravninu

papira na drugo mjesto).

Slika 3.

Sjetimo se kako smo vršili konstrukcije. Neka je zadan ∢𝑎𝑂𝑏 (slika 3.)

1. Izaberemo točku u ravnini (O1), gdje će biti vrh novoga kuta i povučemo

polupravac O1a1.


21

2. Opišemo luk l sa centrom u točki O i luk l1 sa centrom u točki O1 istim otvorom

šestara (lukovi su dijelovi kružnica istih polumjera). Presjek luka l i krakova kuta

∢𝑎𝑂𝑏 su točke A i B ( Oa∩ 𝑙 = {𝐴}, 𝑂𝑏 ∩ 𝑙 = {𝐵}). Dobili smo tetivu 𝐴𝐵 .

3. Uzmemo u otvor šestara dužinu tetive 𝐴𝐵 i iz točke A1 ( 𝑙1 ∩ 𝑂1𝑎1 = {𝐴1}),

odredimo točku B1 na luku l1, tj. odredimo tetivu 𝐴1𝐵1 = 𝐴𝐵 , odnosno luk

𝐴1𝐵1 = 𝐴��.

4. Povučemo polupravac O1B1 i dobijemo kut ∢𝐴1𝑂1𝐵1, tj. ∢𝑎1𝑂1𝑏1 = ∢𝑎𝑂𝑏.

Kutove koji nisu međusobno jednaki uspoređujemo koristeći svojstvo o odnosu

centralnih kutova i pripadnih tetiva i kružnih lukova.

Pr.2. Usporedimo kutove ∢𝑎𝑂𝑏 i ∢𝑐𝑂𝑑 (slika 4.)

Prenesemo zadane kutove tako da im se poklope tjeme i po jedan krak. Manji je onaj kut

čiji drugi krak leži u unutrašnjoj oblasti drugog (većeg) kuta.

Slika 4. ∢𝑎𝑂𝑏 > ∢𝑐𝑂𝑑

Upoznali smo i neke relacije između dva kuta.

Većem centralnom kutu odgovara veća tetiva i veći kružni luk.


22

Slika 5. Susjedni kutovi ∢𝑎𝑂𝑏 i ∢𝑏𝑂𝑐.

Prisjetimo se:

Susjedni kutovi su dva kuta sa zajedničkim tjemenom i zajedničkim krakom čije su

unutrašnje oblasti sa raznih strana zajedničkog kraka (slika 5.)

Usporedni kutovi su dva susjedna kuta čiji je zbroj ispruženi kut.

Slika 6. Usporedni kutovi ∢𝑥𝑂𝑦 i ∢𝑦𝑂𝑧

Unakrsni kutovi su dva nesusjedna konveksna kuta koja su određena dvama pravcima

koji se sijeku (imaju zajedničko tjeme, njihovi kraci pripadaju, po jedan, svakoj od ovih

pravaca). Unakrsni kutovi su jednaki. Na slici 7. unakrsni kutovi su α i β, α=β i drugi par

unakrsnih kutova δ i γ, γ=δ.


23

Slika 7. Unakrsni kutovi α = β i γ = δ

Komplementi su dva kuta ako je njihov zbroj jednak pravom kutu, tj. ako je njihov zbroj

900.

Suplementi su dva kuta ako je njihov zbroj jednak ispruženom kutu, tj. ako je njihov

zbroj 1800.

Upoznali smo i sve vrste kutova. Prisjetimo se:

Nula kut je kut kod kojeg se kraci poklapaju, a oblast kuta je nulti dio ravnine (slika 8.).

Slika 8.

Oštar (šiljasti) kut je konveksan kut manji od pravog kuta (slika 9.).

Slika 9.


24

Pravi kut je kut jednak svom usporednom kutu (slika 10.). Svi pravi kutovi su jednaki.

Slika 10. Pravi kutovi ∢𝑥𝑂𝑦 i ∢𝑦𝑂𝑧

Tupi kut je konveksan kut veći od pravog a manji od ispruženog kuta (slika 11.).

Slika 11. Tupi kut ∢𝑥𝑂𝑦

Ispruženi kut je kut čiji kraci pripadaju istom pravcu i ne poklapaju se. Oblast

ispruženog kuta je poluravnina. Svi ispruženi kutovi su jednaki (slika 12.).

Slika 12. Ispruženi kut ∢𝑥𝑂𝑦

Nekonveksni (konkavni) kut je kut koji je veći od ispruženog, a manji od punog kuta

(slika 13.).


25

Slika 13. Nekonveksni kut ∢𝑥𝑂𝑦

Puni kut je kut čiji se kraci poklapaju, a oblast kuta je cijela ravan (slika 14.).

Slika 14. Puni kut ∢𝑥𝑂𝑦

U šestom razredu smo naučili grafički zbrajati i oduzimati kutove, naučili smo da je kut

veličina koja se može mjeriti i računati mjernim brojevima za kutove. Ponovite i ta

pravila kako biste uspješno riješili zadatke za vježbu.

Zadaci za vježbu:

1. Nacrtati dva jednaka centralna kuta kružnice. Grafički zbrojiti te kutove.

2. Nacrtati dva oštra (šiljasta) kuta, pa ih usporediti po veličini. Grafički oduzeti

manji od većeg kuta.

3. Nacrtati dva jednaka usporedna kuta.

4. Nacrtati kut α i točku M van oblasti ovog kuta, a zatim konstruirati kut β s

tjemenom u točki M tako da je jednak kutu α. Na osnovu kojeg svojstva

centralnih kutova tvrdimo da su kutovi α i β jednaki?

5. Nacrtati tupi kut α, a zatim njegov unakrsni kut β. Usporediti kutove α i β.

Podudarnost trokuta. Četvrti poučak o sukladnosti trokuta.

26

Podudarnost trokuta. Četvrti poučak o sukladnosti trokuta.

Četvrti poučak o sukladnosti trokuta

Dva trokuta su sukladna ako su dvije stranice i kut nasuprot veće od njih jednog trokuta,

jednaki s odgovarajućim elementima drugog trokuta.

Ovo skraćeno pravilo označavamo sa SSK (stranica – stranica – kut).

Slika 15.

Pokažimo da vrijedi ovo pravilo:

Neka je u ∆𝐴𝐵𝐶: b<c i ∢𝐶 = γ je oštar (šiljasti) kut (slika 16.).

Nacrtajmo kružnicu k (A, b). Kružnica siječe stranicu BC u točki D i stranicu AB u točki

E, jer je b<c.

Slika 16.

Promatrajmo trokute ∆𝐴𝐵𝐷 i ∆𝐴𝐵𝐶 za koje vrijedi: AB je zajednička stranica, 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷

i ∢𝐵 je zajednički kut, tj. ∆𝐴𝐵𝐷 i ∆𝐴𝐵𝐶 se poklapaju u dvije stranice i kutu nasuprot

manje od njih, a očito nisu sukladni.

Da bi dva trokuta koja se poklapaju u dvije stranice bila sukladna, moraju se poklapati

kutovi nasuprot veće od njih, čime je dokazano pravilo SSK.

Iz b=b1, c=c1, γ=γ1 i c>b, slijedi ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴1𝐵1𝐶1.

Primjena pravila sukladnosti kod pravokutnog i jednakokrakog trokuta

27


Neke posebne vrste trokuta, kao što su pravokutni i jednakokraki trokut, ne zahtijevaju

utvrđivanje jednakosti tri odgovarajuća elementa za dokazivanje sukladnosti. Broj

potrebnih elemenata za dokazivanje sukladnosti smanjuje se na dva.

Pr. 1. Dva pravokutna trokuta su sukladna ako imaju jednake katete. Dokažimo ovu

tvrdnju.

Na slici su nacrtani pravokutni trokuti ∆𝐴𝐵𝐶 i ∆𝐴1𝐵1𝐶1, kod kojih su pravi kutovi u

tjemenima C i C1 i 𝐵𝐶 = 𝐵1𝐶1 , 𝐴𝐶 = 𝐴1𝐶1

.

𝑎 = 𝑎1

𝑏 = 𝑏1

∢𝐶 = ∢𝐶1

} 𝑆𝐾𝑆⇒

∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴1𝐵1𝐶1

Pr. 2. Dokažimo da su dva pravokutna trokuta sukladna ako imaju jednake hipotenuze i

po jednu katetu.

Trokuti ∆𝐴𝐵𝐶 i ∆𝐴1𝐵1𝐶1 imaju prave kutove u tjemenima C i C1 i neka je 𝐴𝐵 = 𝐴1𝐵1 i

𝐵𝐶 = 𝐵1𝐶1 .

𝑐 = 𝑐1

𝑎 = 𝑎1

∢𝐶 = ∢𝐶1

} 𝑆𝑆𝐾⇒



28

Pr. 3. Dokazati da su dva jednakokračna trokuta sukladna ako imaju jednake osnovice i

jednake kutove nasuprot osnovice.

Trokuti ∆𝐴𝐵𝐶 i ∆𝐴1𝐵1𝐶1 su jednakokračni i 𝐴𝐵 = 𝐴1𝐵1 i γ = γ1.

Kako je α + β = 1800 – γ = 1800 – γ1 = α1 + β1 i α = β i α1 = β1, jer su trokuti

jednakokračni, to je α = α1 i β = β1.

𝐴𝐵 = 𝐴1𝐵1

𝛼 = 𝛼1

𝛽 = 𝛽1

} 𝐾𝑆𝐾⇒


Pr. 4. Dokazati da su dva jednakokračna trokuta sukladna ako imaju jednake osnovice i

po jedan krak.

Trokuti ∆𝐴𝐵𝐶 i ∆𝐴1𝐵1𝐶1 su jednakokračni, pa je 𝐴𝐶 = 𝐶𝐵 𝑖 𝐴1𝐶1 = 𝐵1𝐶1

. Prema uvjetu

𝐴𝐶 = 𝐴1𝐶1 to je 𝐵𝐶 = 𝐵1𝐶1

.

𝐴𝐵 = 𝐴1𝐵1

𝐴𝐶 = 𝐴1𝐶1

𝐵𝐶 = 𝐵1𝐶1

} 𝑆𝑆𝑆⇒



29

Pr. 5. Ako je ∆𝐴𝐵𝐶 jednakokračni trokut, dokazati da dužina koja spaja vrh C s točkom

D na osnovi je okomita na osnovicu AB, polovi osnovicu.

Promatramo trokute ∆𝐴𝐷𝐶 i ∆𝐵𝐷𝐶.

Kako je 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶

𝐶𝐷 = 𝐶𝐷

∢𝐴𝐷𝐶 = ∡𝐵𝐷𝐶

} 𝑆𝑆𝐾⇒

∆𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆𝐵𝐷𝐶

Iz ∆𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆𝐵𝐷𝐶 ⇒ 𝐴𝐷 = 𝐵𝐷 , tj. točka D polovi osnovicu AB.

Zadaci za vježbu:

1. Dokazati da su dva pravokutna trokuta sukladna ako imaju jednake hipotenuze i

po jedan oštri (šiljasti) kut.

2. Dokazati da su dva jednakokračna trokuta sukladna ako imaju jednake kutove

nasuprot osnovice i krak.

3. Nacrtati pravokutni trokut koji je jednakokračan. Koliki su njegovi kutovi? Koliko

je elemenata potrebno za dokazivanje sukladnosti dva jednakokračna pravokutna

trokuta? Navesti primjer!

4. Dokazati da je simetrala kuta nasuprot osnovice jednakokračnog trokuta ujedno i

simetrala njegove osnovice.

5. Dva jednakokračna trokuta su sukladna ako imaju jednake osnovice i kut na

osnovici. Dokazati.

Centar opisane i upisane kružnice trokuta

30


Oko bilo kojeg trokuta može se opisati kružnica, i to samo jedna. Kružnica kojoj

pripadaju sva tri tjemena naziva se opisana kružnica trokuta.

Kružnica je određena centrom i poluprečnikom. Centar opisane kružnice trokuta je točka

koja je jednako udaljena od tjemena trokuta A, B i C. Odredit ćemo tu točku koristeći

osnovno svojstvo simetrale dužine (svaka simetrala dužine jednako je udaljena od krajeva

dužine).

Promatrajmo trokut ∆ABC sa slike 17.

Slika 17.

Prvo konstruiramo simetrale dužina AB, BC i AC. Simetrale se sijeku u točki O.

Točka O je jednako udaljena od točaka A i B jer pripada simetrali sAB (𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 )

Točka O je jednako udaljena i od točaka B i C jer pripada simetrali sBC (𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 )

Točka O je jednako udaljena i od točaka A i C jer pripada simetrali sAC (𝑂𝐴 = 𝑂𝐶 )

Dakle, 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 zaključujemo da je centar opisane kružnice oko trokuta ∆ABC.

Sve tri simetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj točki. Točka u kojoj se sijeku

simetrale stranica je centar opisane kružnice oko trokuta.


31

Možemo primijetiti da za određivanje centra kružnice ne moramo konstruirati sve tri

simetrale. Dovoljna je simetrala dviju stranica.

Pr. 1. Opisat ćemo kružnicu oko tupokutog trokuta ∆ABC.

Konstruiramo simetrale stranica. Presjek simetrala je centar opisane kružnice oko trokuta

∆ABC.

Centar opisane kružnice se nalazi izvan trokuta ako je trokut tupokutni, a ako je

trokut oštrokutni, centar opisane kružnice se nalazi unutar trokuta.

Pr. 2. Opisat ćemo kružnicu oko pravokutnog trokuta:

Vidimo da je centar opisane kružnice oko pravokutnog trokuta središte hipotenuze.


32

U svaki trokut može se upisati kružnica, i to samo jedna. Kružnica koja dodiruje svaku

stranicu trokuta naziva se UPISANA KRUŽNICA TROKUTA.

Centar upisane kružnice u trokut je točka u kojoj se sijeku sve tri simetrale

unutarnjih kutova.

Pr. 3. Odredit ćemo centar upisane kružnice u trokut ∆ABC sa slike.

Zadaci za vježbu:

1. Konstruirati trokut stranica 5,5 cm, 6 cm i 6,5 cm i opisati mu kružnicu.

2. Opisati i upisati kružnicu pravokutnom trokutu čije su katete 6 cm i 5 cm.

3. Oko jednakostraničnog trokuta stranice 4 cm opisati kružnicu i u ovaj trokut

upisati kružnicu.

4. Konstruirati trokut sa stranicama a = 6 cm, b = 5 cm, c = 8 cm, pa mu upisati

kružnicu.

5. Konstruirati jednakokračni trokut ako je duljina osnovice 8 cm i kut koji obrazuju

kraci 1350, pa mu opisati kružnicu.

Polumjer kružnice opisane oko pravokutnog trokuta jednak je polovini hipotenuze.

Težište i ortocentar trokuta

33


Dužina čiji su krajevi tjeme trokuta i sredina suprotne strane nazivamo težišna dužina ili

težišnica (medijana). Svakom trokutu mogu se konstruirati 3 težišnice.

Pr. 1. Konstruirajmo težišnice trokuta ∆ABC sa slike.

Srednja linija trokuta

Konstuiramo pravac p usporedan stranici AB trokuta ABC, tako da točka B1 (središte

stranice AC) pripada pravcu p (slika 18.).

Uočavamo da pravcu p pripada i točka A1 (središte stranice BC). Dakle, dužine A1B1 i

AB su usporedne (AB∥A1B1).

Dužinu A1B1 nazivamo srednja linija trokuta ABC.

.

Slika 18.

Uočavamo, sve tri težišnice trokuta sijeku se u jednoj točki. Ta točka naziva se

težište TEŽIŠTE TROKUTA. Težište dijeli svaku težišnicu u omjeru 2:1.


34

Konstruirajmo i pravac q usporedan stranici BC trokuta ABC, također kroz točku B (slika

19.). Pravcu q pripada točka C1, koja je središte stranice AB, tako da je 𝐴𝐶1 = 𝐶1𝐵 .

Trokuti ∆𝐴𝐵1𝐶1 i ∆𝐴1𝐵1𝐶 su sukladni prema pravilu KSK.

Iz ∆𝐴𝐵1𝐶1 ≅ ∆𝐴1𝐵1𝐶 slijedi 𝐴1𝐵1 = 𝐴𝐶1

=1

2𝐴𝐵 .

Slika 19.

Dakle, srednja linija trokuta A1B1 je usporedna stranici trokuta AB i jednaka je polovini

njene dužine. Na isti način se pokaže da je B1C1∥BC i 𝐵1𝐶1 =

1

2𝐵𝐶 ; A1C1∥AC i

𝐴1𝐶1 =

1

2𝐴𝐶 (slika 20.).

Slika 20.

Srednja linija trokuta je usporedna stranici trokuta koju ne presijeca i jednaka je

njenoj polovini.


35

Pr. 2. Konstruirat ćemo visine trokuta. Najprije konstruiramo okomicu (normalu) iz

jednog tjemena na suprotnu stranicu. Visina trokuta je dužina čije su krajnje točke tjeme

trokuta i presjek normale sa suprotnom stranicom ili produžetkom te stranice (slika 21.).

Slika 21.

Svakoj stranici trokuta odgovara po jedna visina. Pravci kojima pripadaju visine trokuta

sijeku se u jednoj točki. Tu točku nazivamo ORTOCENTAR TROKUTA.

Pr. 3. Konstruirat ćemo ortocentar i težište pravokutnog trokuta.

Težište smo dobili kao presjek dvaju težišnica tb i tc.

Ortocentar pravokutnog trokuta se nalazi u tjemenu C jer su katete istovremeno i visine.

Pr. 4. Odredit ćemo ortocentar i težište jednakokračnog trokuta ∆ABC.

Težište i ortocentar u jednakokračnom trokutu pripadaju simetrali osnove.


36

Pr. 5. Odredimo ortocentar i težište tupokutnog trokuta.

Analiza: Kod tupokutnog trokuta zapažamo da dvije visine „ne padaju“ na stranice

trokuta, nego na njihova produženja. Sva tri produženja visina (pravci kojima pripadaju

visine), sijeku se u jednoj točki – označena slovom H (ortocentar).

Zadaci za vježbu:

1. Odrediti ortocentar i težište nejednakostraničnog oštrokutnog trokuta.

2. Odrediti ortocentar i težište jednakostraničnog trokuta.

3. Konstruirati trokut sa stranicama: a=5 cm, b=6 cm i c=7cm, pa mu odrediti

ortocentar i težište.

4. Konstruirati jednakokračni trokut čija je osnovica 5 cm i visina koja odgovara toj

osnovici je 7 cm, pa mu odrediti ortocentar i težište.

5. Visina koja odgovara hipotenuzi pravokutnog trokuta ABC dijeli pravi kut na

dijelove od 280 i 620. Odrediti oštre kutove tog trokuta.

Značajne točke trokuta

37


Značajne točke trokuta su:

1. Centar opisane kružnice – presjek simetrala stranica trokuta

2. Centar upisane kružnice – presjek simetrala kutova trokuta

3. Težište trokuta – presjek težišnih dužina (težišnica) trokuta

4. Ortocentar – presjek pravaca određenih visinama trokuta.

U općem slučaju radi se o četiri različite točke trokuta.

Za neke trokute značajne točke se mogu poklapati.

Pr. 1. Konstruirat ćemo značajne točke jednakokračnom trokutu.

Uočavamo da pravac koji sadrži visinu koja odgovara osnovici sadrži i težišnicu, koja

odgovara osnovici i istovremeno predstavlja simetralu osnovice i simetralu kuta nasuprot

osnovice.

Sve četiri značajne točke jednakokračnog trokuta pripadaju tom pravcu.


38

Pr. 2. Konstruirat ćemo jednakostraničan trokut stranice i njegove značajne točke.

Uočavamo da se kod jednakostraničnog trokuta poklapaju simetrale stranica, simetrale

kutova, visine i težišnice, pa mu se poklapaju i sve četiri značajne točke.

Naučili smo da je težište dijeli svaku težišnicu na dva dijela, u razmjeru 2:1. Na osnovu

toga zaključujemo da je kod jednakostraničnog trokuta polumjer opisane kružnice jednak 2

3ℎ (

2

3 njegove visine), a polumjer upisane kružnice iznosi

1

3ℎ.

Zadaci za vježbu:

1. Nacrtati proizvoljan oštrokutni, tupokutni i pravokutni trokut, pa svakom upisati i

opisati kružnicu. Pripada li u svakom slučaju centar upisane kružnice unutarnjoj

oblasti trokuta?

2. Koje tvrdnje nisu točne?

a) Težište pravokutnog trokuta pripada hipotenuzi.

b) Ortocentar je presjek visina trokuta.

c) Kod svakog trokuta centar opisane kružnice i težište pripadaju unutarnjoj

oblasti trokuta.

3. Dopuniti:

a) Presjek simetrala stranica trokuta je centar __________ kružnice _________.

b) Centar opisane kružnice pravokutnog trokuta je u središtu _____________.

c) Centar opisane kružnice i centar upisane kružnice se kod ____________

trokuta poklapaju.

d) Sve 4 značajne točke trokuta se kod __________ trokuta nalaze na istom

pravcu.

4. Konstruirati jednakokračni pravokutni trokut ako je promjer (prečnik) opisane

kružnice 6 cm.

5. Konstruirati jednakostranični trokut ABC ako je polumjer opisane kružnice 2 cm.

Središnji i obodni kut kruga

39


Središnji kut kruga je kut čije je tjeme u centru kruga, a kraci pripadaju ravnini kruga-

sijeku kružnicu. Na slici 22. to je kut α.

Obodni kut kruga je kut čije tjeme ne pripada kružnici (granici kruga), a kraci sijeku

kružnicu (kut β na slici 22.).

Kraci središnjeg kuta sadrže po jedan polumjer, a kraci obodnog kuta sadrže po jednu

tetivu kruga.

Slika 22.

Razmotrit ćemo odnos središnjeg i obodnog kuta nad istim kružnim lukom (slika 23.). To

su kutovi nad lukom AB; središnji kut α = ∢𝐴𝑂𝐵 i obodni kut β =∢𝐴𝑆𝐵.

Slika 23.


40

Razlikovat ćemo tri slučaja, ovisno od centra kruga u odnosu na obodni kut:

1. Centar kruga pripada kraku obodnog kuta (slika 24.)

Slika 24.

Nad lukom AB je središnji kut α i obodni kut β.

Kut α je vanjski kut jednakokračnog ∆𝐵𝑆𝑂 ( 𝐵𝑂 = 𝑆𝑂 = 𝑟), pa je α = 2β (vanjski kut

trokuta jednak je zbroju dva nesusjedna unutrašnja kuta).

2. Centar kruga je u oblasti obodnog kuta (slika 25.).

Slika 25.

Na slici je središnji kut α = 𝛼1 + 𝛼2, a obodni kut β = 𝛽1 + 𝛽2.

Kut 𝛼1 je vanjski kut jednakokračnog trokuta ∆𝐴𝑂𝑆 (𝐴𝑂 = 𝑆𝑂 = r), pa je 𝛼1 = 2𝛽1.

Kut 𝛼2 je vanjski kut jednakokračnog trokuta ∆𝐵𝑆𝑂 (𝐵𝑂 = 𝑆𝑂 = r), pa je 𝛼2 = 2𝛽2.

Središnji kut

𝛼 = 𝛼1 + 𝛼2 = 2𝛽1 + 2𝛽2 = 2(𝛽1 + 𝛽2) = 2𝛽


41

3. Centar kruga je van oblasti obodnog kuta (slika 26.).

Slika 26.

Na slici je kut α središnji kut nad lukom 𝐴��, β je obodni kut nad istim lukom, γ je obodni

kut nad lukom 𝐵�� i δ je obodni kut nad lukom 𝐵��.

𝛿 = 2𝛾 (na osnovu slučaja 1.)

𝛼 + 𝛿 = 2(𝛽 + 𝛾) (na osnovu slučaja 1., ∢𝐴𝑂𝐶 = 2 ∙ ∢𝐴𝑆𝑂)

𝛼 + 2𝛾 = 2𝛽 + 2𝛾 (uvrstimo δ = 2γ)

α = 2β (nakon oduzimanja 2γ na obje strane jednakosti).

Dokazali smo tvrdnju o odnosu središnjeg i obodnog kuta nad istim lukom:

Nad lukom se nalazi samo jedan središnji kut α i bezbroj obodnih kutova 𝛽1, 𝛽2, 𝛽3, 𝛽4, …

α = 2β1 = 2β2 = 2β3 = 2β4 .... ,

pa imamo: β1 = β2 = β3 = β4 = ...

Središnji kut kruga je dva puta veći od obodnog kuta nad istim lukom.

Svi obodni kutovi nad istim lukom su jednaki.


42

Pr. 1. Nacrtajmo središnji i obodni kut nad promjerom (prečnikom) kruga.

Kako je α = 2β i α = 1800, slijedi da je

β = 1800:2=900.

I ∢𝐶𝐷𝐴 je pravi kut. Možemo konstruirati bezbroj obodnih kutova nad promjerom kruga

i svi će biti pravi kutovi.

Zaključujemo:

Zadaci za vježbu:

1. Koliki su kutovi β i 𝛾 na slici?

2. Nacrtati kružnicu i obodni kut od 900.

Svi obodni kutovi nad promjerom su pravi kutovi.


43

3. Nacrtati kružnicu i središnji kut α = 900 nad lukom 𝐴��. Koliki je obodni kut nad

istim lukom?

4. Odrediti veličinu središnjeg kuta koji odgovara tetivi AB, čija je duljina jednaka:

a) promjeru b) polumjeru zadanog kruga.

5. Koliko stupnjeva ima obodni kut nad kružnim lukom čija je duljina jednaka 1

2

duljine kružnice?

Uzajamni položaj pravca i kružnice. Konstrukcija tangente kružnice.

44


Pravac i kružnica se mogu naći u tri uzajamna položaja u jednoj ravnini. Razmotrimo ta

tri položaja za pravac p i kružnicu k (O,r).

1. Pravac p je van kružnice k (slika 27.).

Slika 27.

Pravac p nema zajedničkih točaka s kružnicom k, tj.njihov presjek je prazan skup

(k∩p={∅}. U ovom slučaju je udaljenost d pravca p od centra kružnice O veća od

polumjera r, tj. d>r.

(Napomena: Pod udaljenošću d pravca p od točke O podrazumijeva se duljina dužine čije

su krajnje točke točka O i točka presjeka normale (okomice) „spuštene“ iz točke O na

pravac p, na slici d=𝑂𝐴 ).

2. Pravac p ima jednu zajedničku točku s kružnicom k (slika 28.).

Slika 28.


45

Presjek pravca p i kružnice k je točka A (k∩p={A}). Kažemo da pravac dodiruje kružnicu

i nazivamo je tangenta kružnice.

Udaljenost pravca od centra kružnice je jednaka polumjeru d = r. Kako je d ⊥ p, to je i r ⊥

p, tj. polumjer je normalan (okomit) na tangentu u točki A. Točku A nazivamo diralište

tangente s kružnicom.

4. Pravac ima dvije zajedničke točke s kružnicom (slika 29.)

Slika 29.

Presjek pravca p i kružnice k su točke M i N (k∩p={M,N}). Kažemo da pravac siječe

kružnicu i nazivamo je sječica (sekanta) kružnice. Udaljenost pravca od centra kružnice

je manja od polumjera d<r. Dužinu određenu točkama presjeka pravca i kružnice

nazivamo tetiva kružnice (Slika 29., dužina MN). Ako je d = 0, centar kružnice pripada

sječici, a tetiva određena točkama presjeka kružnice i sječice je promjer kružnice.

Promjer je najduža tetiva.

Pr. 1. Konstruirat ćemo tangentu t kružnice k u datoj točki A∈k.

Nacrtamo pravac p (O,A), zatim konstruiramo normalu (okomicu) na pravac p u točki A.

Na pravcu p odredimo dužinu OO1, tako da je točka A središte dužine OO1.

Konstruiramo simetralu dužine OO1, koja predstavlja traženu tangentu t.


46

Pr. 2. Konstruiramo tangentu t iz date točke A izvan kružnice, na datu kružnicu k (O, r).

Prvo konstruiramo kružnicu k1 promjera 𝑂𝐴 , k1 (O1,𝑂𝐴

2).

Kružnice k i k1 se sijeku u točkama M i N, k∩k1 = {M,N}. Točke M i N su dirališta

tangente i date kružnice. Imamo dva rješenja: tangentu t1 (A,M) i tangentu t2 (A,N).

Uočavamo:

∢𝐴𝑀𝑂 = 900 jer je obodni kut nad promjerom AO kružnice k1, pa je t1(A,M) ⊥OM, a to

znači da je t1 zaista tangenta kružnice k. Na isti način zaključujamo da je t2⊥ ON.

Zadaci za vježbu:

1. Na kružnici k (O, 35mm) izabrati točke A i B i konstruirati tangente na

kružnicu u točkama A i B.

2. Data je kružnica k (O, 3cm) i točka M van kružnice. Iz točke M konstruirati

tangentu na točku M.

3. Konstruirati kružnicu k (O, 2, 5 cm) i pravac p, čije je rastojanje od centra

kružnice O jednako:

a) 35 mm b) 25 mm c) 15 mm d) 0 mm

Uzajamni položaj dvije kružnice

47


Razmotrit ćemo u kojem se međusobnom položaju mogu naći dvije kružnice.

1. Kružnice k1 (O1, r) i k2 (O2, r) nemaju zajedničkih točaka i jedna je izvan

druge (slika 30.).

Slika 30.

Rastojanje između centara O1 i O2 kružnice k1 i k2 (centralno rastojanje kružnica) je veće

od zbroja poluprečnika kružnica, pa kružnice nemaju zajedničkih točaka, tj.

O1O2 = d > r1 + r2, k1 ∩ k2 = {∅}

2. Kružnice k1 i k2 se dodiruju spolja (slika 31.).

Slika 31.

Kružnice koje se dodiruju spolja imaju centralno rastojanje jednako zbroju polumjera, tj.

d = r1 + r2, k1 ∩ k2 = {A}


48

3. Kružnice k1 i k2 se sijeku (slika 32.).

Slika 32.

Centralno rastojanje kružnica koje se sijeku je manje od zbroja polumjera, a veće od

njihove razlike, tj.

r1 − r2 < 𝑑 < r1 + r2, k1 ∩ k2 = {A, B}

4. Kružnice k1 i k2 se dodiruju iznutra (slika 33.)

Slika 33.

Centralno rastojanje ovih kružnica je jednako razlici njihovih polumjera, tj.

d = r1 − r2 , k1 ∩ k2 = {A}.


49

5. Kružnice k1 i k2 nemaju zajedničkih točaka i kružnica k2 je u kružnici k1

(slika 34.).

Slika 34.

Centralno rastojanje ovih kružnica je manje od razlike njihovih polumjera, tj.

d < r1 − r2 , k1 ∩ k2 = {∅}.

6. Kružnice k1 i k2 imaju zajednički centar, a različite polumjere (slika 35.).

Slika 35.

Centri O1 i O2 se poklapaju, tj.

O1≡O2, pa je centralno rastojanje d=0.

Kružnice koje imaju zajednički centar, a različite polumjere nazivamo karakteristične

kružnice.

Zadaci za vježbu:

1. Kakav je uzajamni položaj dviju kružnica ako su im polumjeri 3 cm i 4 cm, a

centralno rastojanje je:

a) 9 cm b) 7 cm c) 6 cm d) 1 cm?


50

2. Date su kružnice 𝑘1(O1, 35 mm) i 𝑘2(O2, 2,5 cm). Konstruirati te kružnice u

položaju:

a) da se dodiruju spolja b) da se dodiruju iznutra

Koliko iznosi centralno rastojanje u položaju kružnica pod a), a koliko pod b)?

3. Imaju li kružnice 𝑘1(O1, 3 cm) i 𝑘2(O2, 2 cm) kod kojih je centralno rastojanje

𝑂1𝑂2 =4 cm zajedničkih točaka?

4. Konstruirati tangentu u točki dodira kružnica 𝑘1(O1, 3 cm) i 𝑘2(O2, 2 cm).

Kružnice se dodiruju spolja.

Konstrukcije paralelograma

51

ČETVEROKUT


Konstrukcija paralelograma, kao i konstrukcija trokuta, podrazumijeva crtanje pomoću

ravnala i šestara, na osnovu datih elemenata.

Koliko je elemenata potrebno za konstrukciju paralelograma?

Sjetimo se da je trokut određen sa svoja tri osnovna elementa, od kojih najmanje jedan

mora biti stranica. Ovisno od svojstava trokuta taj broj je manji, pa je npr. jednakokračni

trokut određen s dva elementa, kao i pravokutni, a jednakostranični s jednim elementom.

Četverokut se jednom dijagonalom podijeli na dva trokuta, pa je on određen s pet

elemenata (nije šest, jer je dijagonala zajednička stranica za oba trokuta).

Pr. 1. Konstruirajmo četverokut ABCD ako je zadano:

α = 750, 𝐴𝐵 = 4 𝑐𝑚, 𝐷𝐴 = 3,5 𝑐𝑚, 𝐵𝐶 = 5,5 𝑐𝑚, 𝐶𝐷 = 6,5 𝑐𝑚.

Analiza:

Nacrtamo skicu (slika 36.) i date elemente (slika 37.) u pravoj veličini.

Slika 36. Slika 37.

Konstrukcija:

Na osnovu skice na kojoj su označeni dati elementi izvodimo konstrukciju:

1. 𝐴𝐵 = 4 𝑐𝑚

2. ∢𝐴 = 𝛼 = 750

3. 𝐷𝐴 = 3,5 𝑐𝑚


52

4. Opišemo kružnicu sa centrom u točki B i polumjerom 𝐵𝐶 = 5,5 𝑐𝑚,

𝑘1(𝐵, 5,5 𝑐𝑚)

5. Opišemo kružnicu 𝑘2(𝐷, 6,5 𝑐𝑚).

6. 𝑘1 ∩ 𝑘2 = {𝐶}

ABCD je traženi četverokut (slika 38.)

Slika 38.

Dokaz i diskusija:

Dobiveni četverokut zadovoljava date uvjete, tj. zadani elementi su istovremeno i

elementi dobivenog četverokuta. Zadatak ima jedno, dva ili nijedno rješenje, ovisno od

toga sijeku li se kružnice 𝑘1 i 𝑘2 u jednoj ili dvije točke ili je 𝑘1 ∩ 𝑘2 = ∅.

Ovisno od osobina četverokuta, broj elemenata koji su potrebni za konstrukciju

četverokuta se smanjuje. Tako je paralelogram određen s tri elementa, jer je jednom

dijagonalom podijeljen na dva sukladna trokuta. Za konstrukciju nekih posebnih vrsta

paralelograma nisu potrebna dva elementa. Romb i pravokutnik su na osnovu njihovih

osobina određeni s dva elementa, a kvadrat s jednim. U svim slučajevima, bar jedan

element mora biti duljina.


53

Pr.2. Konstruirati paralelogram ako je dato:

𝐴𝐵 = 𝑎 = 4,5 𝑐𝑚, 𝐴𝐷 = 𝑏 = 3 𝑐𝑚 𝑖 ∢𝐴 = 𝛼 = 600.

Analiza:

Crtamo skicu i uočavamo u kakvom su odnosu elementi koji su dati (slika 39.).

Slika 39.

Konstruiramo najprije ∆ABD, na osnovu stava SKS. Tjeme C dobijemo tako što

konstruiramo kružnicu 𝑘1(𝐷, 𝑎) i kružnicu 𝑘2(𝐵, 𝑏), 𝑘1 ∩ 𝑘2 = {𝐶}.

Konstrukcija:

Konstrukcija je izvedena na slici 40.

Slika 40.

Dokaz i diskusija:

Zadani elementi su i elementi dobivenog paralelograma. Zadatak ima jedno, dva ili

nijedno rješenje, ovisno o tome sijeku li se kružnice 𝑘1 i 𝑘2 u jednoj ili dvije točke ili je

𝑘1 ∩ 𝑘2={∅}.


54

Pr. 3. Konstruirajmo pravokutnik čija je dijagonala duljine 8 cm i kut između dijagonala

450.

Na skici (slika 41.) se vidi da prvo treba konstruirati ∆𝐴𝐷𝑂 pomoću stranica 𝐴𝑂 i 𝐷𝑂 , jer

znamo da su njihove duljine polovine dijagonala i kuta između njih (pravilo SKS).

Dalje, nije teško odrediti ostala dva tjemena pravokutnika B i C.

Slika 41.

Konstrukcija:

Na polupravac Ax prenesemo dužinu 𝐴𝑂 = 4 𝑐𝑚. U točki O prenesemo kut od 450. Na

krak Oy kuta od 450 prenesemo dužinu 𝑂𝐷 = 4 𝑐𝑚.

Od točke O na polupravcu Ox prenesemo dužinu 𝑂𝐶 = 4 𝑐𝑚 i na pravcu (O, D) s druge

strane točke D prenesemo dužinu 𝑂𝐵 = 4 𝑐𝑚. Na kraju spojimo dužinama točke A, B, C

i D. Konstrukcija je izvedena na slici 42.

Slika 42.

Zadatak se mogao riješiti i na drugi način. Izračunaju se kutovi ∢𝐵𝐴𝐶 = 22030′ i

∢𝐵𝐶𝐴 = 67030′, pa se na osnovu pravila KSK konstruira ∆𝐴𝐵𝐶.


55

Pr. 4. Konstruirajmo romb ako je duljiina njegove stranice 𝑎 = 4 𝑐𝑚, a duljina visine

ℎ = 3 𝑐𝑚.

Analiza:

Na slici 43. nacrtana je skica traženog romba. Visina romba je dužina 𝐷𝐸 = ℎ.

Slika 43.

Uočavamo da konstrukcijom pravokutnog trokuta ∆𝐴𝐷𝐸 pomoću hipotenuze 𝐴𝐷 = 4 𝑐𝑚

i katete 𝐷𝐸 = 3 𝑐𝑚 određujemo kut datog romba. Dalje se mogu jednostavno odrediti

tjemena B i C.

Konstrukcija:

U točki E na pravcu p prenesemo kut od 900.

Na krak Ex pravog kuta prenesemo dužinu 𝐸𝐷 = ℎ = 3 𝑐𝑚.

Iz točke D opišemo luk polumjera 𝑎 = 4 𝑐𝑚. Presjek luka i pravca je tjeme A. Na pravac

p (A, E) iz točke A prenesemo dužinu 𝐴𝐵 = 4 𝑐𝑚. Iz točaka B i D opišemo lukove

polumjera 4 cm, njihov presjek je tjeme C.

Spajanjem točaka A, B, C i D dobijemo traženi romb.


Slika 44.


56

Pr. 5. Konstruirajmo kvadrat čija je dijagonala 5 cm.

Analiza:

Skica je prikazana na slici 45.

Dijagonale kvadrata su jednake, uzajamno okomite i polove se, pa na osnovu toga slijedi

konstrukcija.

Slika 45.

Konstrukcija:

Na polupravcu Ax prenesemo dužinu 𝐴𝐶 = 5 𝑐𝑚. Zatim konstruiramo simetralu te

dužine 𝑠𝐴𝐶 i u presječnoj točki O simetrale i dužine AC s obje strane točke O, prenesemo

po simetrali dužinu 𝑂𝐵 = 𝑂𝐷 = 𝑂𝐴 = 𝑂𝐶 . Time smo odredili tjemena B i D. Spojimo

sve četiri točke dužinama i dobili smo traženi kvadrat ABCD. Konstrukcija je izvedena

na slici 46.

Slika 46.

Dokaz i diskusija:

Dokaz slijedi iz konstrukcije, a zadatak ima jedinstveno rješenje.


57

Zadaci za vježbu:

1. Konstruiramo paralelogram ABCD ako je zadano:

a) 𝐴𝐵 = 6 𝑐𝑚, 𝐵𝐶 = 4 𝑐𝑚, ∢𝐵=1050

b) 𝐴𝐵 = 6 𝑐𝑚, 𝐵𝐶 = 4 𝑐𝑚 i dijagonala 𝐴𝐶 = 8 𝑐𝑚

c) 𝐴𝐶 = 8 𝑐𝑚, 𝐵𝐷 = 6 𝑐𝑚 i kut između dijagonala 750

d) 𝐴𝐵 = 7 𝑐𝑚, ∢𝐴 = 600, ℎ𝑎 = 3 𝑐𝑚.

2. Konstruirati pravokutnik ako je (𝑎 i b su dužine stranica, d – dijagonala)

a) 𝑎 = 5 𝑐𝑚, 𝑏 = 2,5 𝑐𝑚

b) 𝑎 = 5 𝑐𝑚, 𝑑 = 6 𝑐𝑚

c) 𝑑 = 7 𝑐𝑚 i kut između dijagonale i duže stranice 300

d) 𝑑 = 6 𝑐𝑚 i dijagonale se sijeku pod kutom od 600.

3. Konstruirati romb ako je zadano:

a) 𝐴𝐵 = 6 𝑐𝑚, = 6 𝑐𝑚, 𝛼 = 600

b) 𝐴𝐵 = 5 𝑐𝑚, dijagonala 𝐴𝐶 = 8 𝑐𝑚

c) jedna dijagonala dužine 3 cm jednaka stranici

d) duža dijagonala 𝑑1 = 5 𝑐𝑚 i tupi kut ∢𝐵 = 1350.

4. Konstruirati kvadrat ako je dato:

a) stranica 𝑎 = 4,5 𝑐𝑚

b) dijagonala 𝑑 = 6 𝑐𝑚

c) polumjer upisane kružnice 𝑟𝑢 = 2 𝑐𝑚

d) polumjer opisane kružnice 𝑟𝑜 = 2,5 𝑐𝑚

5. Ako je polumjer upisane kružnice romba 𝑟 = 1,5 𝑐𝑚, a dužina stranice 𝑎 = 4 𝑐𝑚,

konstruirati taj romb.

Konstrukcija trapeza

58


Za konstrukciju trapeza dovoljna su četiri elementa, kažemo da je trapez određen sa četiri

elementa.

Pr. 1. Konstruirat ćemo trapez ABCD ako je poznato: 𝑎 = 8 𝑐𝑚, 𝑑 = 3,5 𝑐𝑚, 𝑏 = 5 𝑐𝑚 i

α = 450.

Prema skici (slika 47.) uočavamo da treba najprije konstruirati ∆𝐴𝐷𝐸 (prema pravilu

SSK), a zatim paralelogram BCDE.

Slika 47.

Konstrukcija:

Na kraku Ay kuta ∢𝑥𝐴𝑦 = 𝛼 = 450 prenesemo dužinu 𝐴𝐵 = 𝑑 = 3,5 𝑐𝑚. Lukom

𝑙1(D,b) presiječemo krak Ax kuta i tu je točka E. Od tjemena A na krak Ax prenesemo

duž 𝐴𝐵 = 𝑎 = 8 𝑐𝑚. U presjeku lukova 𝑙2(B,b) i 𝑙3(D,𝐸𝐵 ) je četvrto tjeme C trapeza

ABCD. Konstrukcija je izvedena na slici 48.

Slika 48.

Za konstrukciju jednakokračnog trapeza potrebna su tri elementa, s obzirom na njegova

svojstva.


59

Pr. 2. Konstruirajmo jednakokračni trapez ako je zadano 𝑎 = 6 𝑐𝑚, 𝑏 = 4 𝑐𝑚 i α = 750.

Skica je data na slici 49.

Slika 49.

Sa skice uočavamo da najprije treba konstruirati trokut ∆𝐴𝐵𝐷 (prema pravilu SKS).

Četvrto tjeme, točku C, dobivamo konstrukcijom paralele osnovici AB iz tjemena D. Tu

paralelu presiječemo lukom 𝑙(𝐵, 𝑏).

Slika 50.


Zadatak se može riješiti i na drugi način, s obzirom da je u jednakokračnom trapezu

∢𝐴 = ∢𝐵 i 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 𝑏, ne mora se konstruirati ∆𝐴𝐵𝐷. Uradite sami ovu konstrukciju.


60

Pr. 3. Konstruirat ćemo jednakokračni trapez ako su dati elementi:

krak 𝑏 = 4,5 𝑐𝑚, kraća osnovica 𝑐 = 2,5 𝑐𝑚 i visina ℎ = 3 𝑐𝑚.

Na skici (slika 51.) uočavamo da je potrebno najprije konstruirati pravokutni ∆𝐴𝐷𝐸

pomoću hipotenuze (kraka b) i katete (visine ℎ). Pravilo SSK.

.

Slika 51.

Zatim, produžimo AE preko E, a iz točke D konstruiramo polupravac Dx∥AE. Na

polupravac Dx prenesemo kraću osnovicu c i dobijemo tjeme C. Iz tjemena c opišemo luk

𝑙(𝐶, 𝑏) i njegov presjek s produžetkom AE je četverto tjeme B traženog jednakokračnog

trapeza ABCD. Konstrukcija je izvedena na slici 52.

Slika 52.


61

Pr. 4. Konstruirajmo pravokutni trapez ABCD ako je 𝐴𝐵 = 𝑎 = 5 𝑐𝑚, 𝐴𝐷 = 𝑑 = 3,6 𝑐𝑚

i ∢𝐴𝐵𝐶 = 𝛽 = 600.

Slika 53.

Sa skice (slika 53.) uočavamo redoslijed koraka konstrukcije. Konstruiramo najprije pravi

kut u tjemenu A, ∢𝐵𝐴𝐷 = 900. Na krak Ax pravog kuta prenesemo dužinu 𝐴𝐵 = 𝑎 =

5 𝑐𝑚, a na krak Ay dužinu 𝐴𝐷 = 𝑑 = 3,6 𝑐𝑚.

Prenesemo kut ∢𝐴𝐵𝐶 = 𝛽 = 600 u tjemenu B.

Konstruiramo pravac p∥ 𝐴𝐵 tako da D∈p. Presjek pravca p i kraka kuta 𝛽 je četvrto tjeme

C traženog pravokutnog trapeza ABCD. Konstrukcija je izvedena na slici 54.

Slika 54.

Zadaci za vježbu:

1. Konstruirati trapez ako je dato (𝑎 i c su osnovice, b i d su kraci, ℎ je visina):

a) 𝑎 = 7,5 𝑐𝑚, 𝑏 = 5 𝑐𝑚, 𝑐 = 4 𝑐𝑚, 𝑑 = 6 𝑐𝑚.

b) 𝑎 = 5 𝑐𝑚, 𝑐 = 2 𝑐𝑚, 𝛼 = 450, 𝛽 = 750

c) 𝑎 = 6 𝑐𝑚, 𝑏 = 4 𝑐𝑚, 𝛼 = 750, ℎ = 3 𝑐𝑚

2. Konstruirati trapez ABCD ako mu je osnovica 𝐴𝐵 = 6 𝑐𝑚, dijagonala 𝐴𝐶 =

7 𝑐𝑚, a kutovi α = 600 i β = 750.


62

3. Konstruirati jednakokračni trapez ako je dato:

a) osnovice 𝑎 = 8 𝑐𝑚 i 𝑐 = 4 𝑐𝑚 i krak 𝑏 = 5 𝑐𝑚

b) osnovica 𝑐 = 4 𝑐𝑚, krak b = 3cm i kut γ = 1200

c) osnovica 𝑎 = 7 𝑐𝑚, dijagonala d = 6cm i visina ℎ = 3 𝑐𝑚.

4. Konstruirati jednakokračni trapez čija je osnovica 𝐴𝐵 = 6 𝑐𝑚, dijagonala 𝐴𝐶 =

4 𝑐𝑚 i kut između dijagonale AC i osnovice AB je 300. Opisati kružnicu oko

trapeza.

5. Konstruirati pravokutni trapez (𝑎 i c su osnovice, b i d su kraci, ℎ je visina):

a) 𝑎 = 6 𝑐𝑚, 𝑐 = 5 𝑐𝑚, ℎ = 4 𝑐𝑚

b) 𝑏 = 4,3 𝑐𝑚, 𝑑 = 3 𝑐𝑚, 𝐴𝐶 = 4,2 𝑐𝑚

c) 𝑐 = 2 𝑐𝑚, 𝐵𝐷 = 5 𝑐𝑚, 𝛽 = 600.

Deltoid. Svojstva deltoida.

63


U grupu četverokuta koji nemaju nijedan par paralelnih stranica spada deltoid.

Deltoid je trapezoid koji ima dva para jednakih susjednih stranica (slika 55.).

Slika 55.

Dijagonala AC polovi dijagonalu BD i okomita je na nju (jer je AC simetrala dužine BD).

Dijagonala BD dijeli deltoid na dva jednakokračna nesukladna trokuta ∆𝐴𝐵𝐷 i ∆𝐵𝐶𝐷.

Stranice 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷 su jednake, odnosno jednake su stranice 𝐵𝐶 i 𝐶𝐷 , jer su stranice

jednakokračnog trokuta. Dakle, deltoid ima dva para jednakih stranica 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 𝑎

i 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝑏.

Kutovi čiji su kraci nejednake stranice deltoida su jednaki, tj. ∢𝐴𝐵𝐶 = ∢𝐴𝐷𝐶, jer

predstavljaju zbroj kutova na osnovici jednakokračnih trokuta,

(∢𝐴𝐵𝐷 = ∢𝐴𝐷𝐵, ∢𝐶𝐵𝐷 = ∢𝐶𝐷𝐵, ∢𝐴𝐵𝐷 + ∢𝐶𝐵𝐷 = ∢𝐴𝐵𝐶, ∢𝐴𝐷𝐵 + ∢𝐶𝐷𝐵 = ∢𝐴𝐷𝐶)

Slijedi: ∢𝐴𝐵𝐶 = ∢𝐴𝐷𝐶, tj. β = δ.

Dijagonala AC pripada simetrali dužine BD (dijagonale BD deltoida), pa pripada i osi

simetrije deltoida.

U deltoid se može upisati kružnica. Centar upisane kružnice je točka presjeka simetrala

unutarnjih kutova deltoida (slika 56.).


64

Slika 56.

Točka S u kojoj se sijeku simetrale kutova deltoida jednako je udaljena od svih stranica

deltoida, pa je točka S centar upisane kružnice deltoida. (Točka S pripada simetralama

kutova pa je jednako udaljena od krakova kutova, tj. od stranice deltoida, jer stranice

pripadaju kracima kutova.) Četverokut u koji se može upisati kružnica naziva se

tangentni četverokut.

Deltoid je određen s tri njegova neovisna elementa.

Pr. 1. Izračunati ostale unutarnje kutove deltoida ako su mu suprotni kutovi 800 i 300.

Na slici 57. nacrtan je deltoid ABCD i obilježeni su njegovi unutarnji kutovi.

Slika 57.

Kako je β = δ i zbroj kutova u četverokutu 3600, imamo

800 + β + 300 + β = 3600


65

2β + 1100 = 3600

2β = 2500

Β = 1250

Kutovi deltoida β i δ su jednaki pa je i kut δ = 1250.

Primijetimo:

Na slikama 55 – 57 prikazani su deltoidi kod kojih je 𝐴𝐶 > 𝐵𝐷 .

Deltoid može imati i jednake dijagonale.

Na slici 58. je deltoid kod kojeg je 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 .

Slika 58.


66

Na slici 59. prikazan je deltoid kod kojeg je 𝐴𝐶 < 𝐵𝐷 .

Slika 59.

Zadaci za vježbu:

1. Koliko najviše šiljastih kutova može imati deltoid, a koliko tupih kutova?

2. Dopuniti rečenice tako da budu točne:

a) Dijagonale deltoida su međusobno __________________.

b) Nejednake stranice obrazuju ________________ kutove.

c) Deltoid ima dva para _______________ susjednih stranica, a zajednička

tjemena tih stranica su ______________.

3. Odrediti ostale kutove deltoida ABCD ( 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 i 𝐶𝐵 = 𝐶𝐷 ), ako su:

a) kutovi između jednakih stranica 630 i 790.

b) ∢𝐵𝐴𝐷 = 84035′, ∢𝐴𝐵𝐶 = 1260.

4. Izračunati kutove deltoida ABCD ako je ∢𝐵 = 1100, a dvije jednake stranice

obrazuju kut od 800.

5. Ako su suprotni kutovi deltoida 650 i 1240, izračunati druga dva kuta deltoida i

sve vanjske kutove.

Konstrukcija deltoida

67


Za konstrukciju deltoida u općem slučaju, dovoljno je znati tri elementa, s obzirom na to

da je deltoid sastavljen od dva sukladna trokuta.

Uvjeti sadržani u definiciji deltoida (četverokut s okomitim dijagonalama, a jedna od njih

polovi drugu), uzrokovali su smanjivanje broja potrebnih elemenata za konstrukciju

deltoida na tri (u odnosu na proizvoljan četverokut koji je određen s pet neovisnih

elemenata).

Pr. 1. Konstruirat ćemo deltoid čije su nejednake stranice 𝐴𝐵 = 4,5 𝑐𝑚 i 𝐵𝐶 = 2,5 𝑐𝑚, a

kut koji grade ove stranice je 1050.

Analiza:

Sa skice (slika 60.) uočavamo da se pomoću datih stranica 𝐴𝐵 = 𝑎 = 4,5 𝑐𝑚 i 𝐵𝐶 = 𝑏 =

2,5 𝑐𝑚 i kuta između njih β = 1050 najprije konstruira ∆𝐴𝐵𝐶, prema pravilu SKS. Zatim

se odredi točka D kao presjek lukova 𝑙1(A,a) i 𝑙2(C,b).

Slika 60.


Slika 61.


68

Pr. 2. Konstruirat ćemo deltoid ABCD ako je dato 𝐴𝐵 = 3,5 𝑐𝑚, 𝐴𝐶 = 7 𝑐𝑚 i ∢𝐵𝐴𝐷 =

600.

Analizom skice uočavamo da zadatak možemo riješiti na dva načina (slika 62.).

Slika 62.

I. U ∆𝐴𝐵𝐶 znamo dvije stranice 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶 i kut između njih ∢𝐵𝐴𝐶 = 𝛼

2, pa ga

možemo konstruirati (prema pravilu SKS). ∆𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆𝐴𝐵𝐶 jednostavno je

odrediti četvrto tjeme traženog deltoida.

II. U deltoidu 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 moguće je konstruirati ∆𝐴𝐵𝐷 (prema pravilu SKS, jer su

poznate dvije stranice 𝐴𝐷 𝑖 𝐴𝐵 , 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 = 𝑎 i kut između njih ∢𝐵𝐴𝐶 = 𝛼).

Točka C pripada simetrali datog kuta α i 𝐴𝐶 je dato, pa je jednostavno odrediti

četvrto tjeme C traženog deltoida.

Dati elementi u pravoj veličini prikazani su na slici 63.

Slika 63.

Konstrukcija je prema analizi I. izvedena na slici 64., a prema analizi II. na slici 65.


69

Slika 64. Slika 65.

Zadaci za vježbu:

1. Konstruirati deltoid ako su njegove stranice 𝑎 = 4 𝑐𝑚, 𝑏 = 3 𝑐𝑚, a jedna

dijagonala 5 cm.

2. Konstruirati deltoid ako su dužine dijagonala 𝐵𝐷 = 3 𝑐𝑚, 𝐴𝐶 = 6 𝑐𝑚, a duljina

jedne stranice 𝐴𝐵 = 2 𝑐𝑚.

3. Upisati kružnicu u deltoid kod koga su nejednake stranice 5 cm i 3 cm, a njima

zahvaćen kut 1050.

4. Konstruirati deltoid ABCD ako je data stranica 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 4 𝑐𝑚 i dva kuta

∢𝐵 = 𝛽 = 1050 i ∢𝐴 = 𝛼 = 600.

5. Konstruirati deltoid ABCD ako je data dijagonala i dva kuta:

a) 𝐴𝐶 = 4 𝑐𝑚, ∢𝐴 = 1350, ∢𝐶 = 900

b) 𝐵𝐷 = 5,5 𝑐𝑚, ∢𝐵 = ∢𝐷 = 1200, ∢𝐴 = 900.

Opseg trokuta i četverokuta

70


Na slici 66. nacrtan je trokut ∆𝐴𝐵𝐶, obilježene su mu stranice a, b i c i prikazan je

grafički zbroj duljina njegovih stranica. To je dužina 𝑀𝑁 .

Slika 66.

Dakle, dužina čija je duljina jednaka zbroju svih stranica trokuta je opseg trokuta. Ako

opseg trokuta označimo sa O možemo zapisati obrazac za izračunavanje opsega trokuta,

čije su stranice a, b i c.

O = a + b + c.

Pr. 1. Izmjeriti duljine stranica trokuta ABC na slici 66. i izračunati opseg pomoću

obrasca O = a + b + c. Provjeriti je li duljina dužine 𝑀𝑁 (grafički zbroj duljina

stranica trokuta) jednaka opsegu trokuta.

U primjeru 1., trokut ∆𝐴𝐵𝐶 je nejednakostranični pa je O = a + b + c. Za pojedine vrste

trokuta mogu se napisati obrasci za izračunavanje opsega, npr. za opseg jednakokračnog

trokuta je O = a + b + b, tj. O = a + 2b ako je osnovica a, a kraci b; za opseg

jednakostraničnog trokuta obrazac je O = a + a + a, tj. O = 3a.

Pr. 2. Koliki je opseg četverokuta na slici 67.?

Slika 67.


71

Krenemo li iz točke A točki B „obilaziti“ četverokutnu liniju, stići ćemo ponovno u

točku A, a opisat ćemo opseg četverokuta.

O = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐷𝐴 , tj. O = a + b + c + d.

Mjerenjem dobijemo duljine stranica i izračunavamo opseg datog četverokuta. Uradi to!

Dakle, opseg četverokuta je zbroj duljina stranica četverokuta.

Za pojedine vrste četverokuta, možemo napisati obrasce za izračunavanje njihovog

opsega, npr. za paralelogram je O = 2a + 2b = 2(a + b), za kvadrat i romb: O = 4a; za

trapez O = a + b + c + d, itd.

Opseg se izražava u mjernim jednicama za duljinu.

Pr. 3. Stranice pravokutnika su 3 cm i 7 cm. Izračunajmo:

a) opseg tog pravokutnika

b) stranicu kvadrata čiji je opseg jednak opsegu danog pravokutnika.

Rješenje:

a) O = 2(a + b) (pravokutnik je paralelogram)

O = 2(3 + 7)

O = 2 ∙ 10 = 20 cm

b) opseg kvadrata je O = 4a, pa imamo 20 = 4∙a ; a = 20 : 4 = 5 cm.

Pr. 4. Opseg jednakokračnog trokuta je 19 cm, a duljina kraka je 5 cm. Izračunajmo

duljinu osnovice.

Poznato je O = 19 cm i b = 5 cm, pa prema obrascu za opseg jednakokračnog trokuta

O = a + 2b, imamo

19 = a + 2∙5, tj. 19 = a + 10,

a = 19 – 10 = 9 cm

Zadaci za vježbu:

1. Opseg trokuta je 99 mm. Stranica a je dva puta veća od stranice b, a stranica c je

za 1 mm manja od stranice b. Kolike su stranice trokuta?

2. Duljine dviju stranica jednakokračnog trokuta su 40 cm i 26 cm. Izračunati opseg

ovog trokuta.


72

3. Opseg jednakokračnog trokuta je 40 cm, a duljina jedne njegove stranice je dva

puta dulja od duljine druge. Izračunati duljine stranica tog trokuta.

4. Opseg romba je 48 cm. Kolika je stranica romba?

5. Opseg paralelograma je 52 cm, a jedna stranica je tri puta manja od druge.

Izračunati duljine stranica.


73

Mjerenje površina

Mnogokut se sastoji od mnogokutne linije i oblasti (dijela ravnine) koja je tom linijom

određena. Taj dio ravnine naziva se površ. Mjera površi je površina (kao što je mjera

dužine duljina).

Mjerenje geometrijskih veličina (dužina, kut, površ, ...) podrazumijeva mjerenje veličina

iste vrste, koje se mogu uspoređivati među sobom (dužine s duljinama, kut s kutovima,

površi s površima) i koje se mogu zbrajati.

Pod površinom površi nekog mnogokuta podrazumijeva se negativan broj, pri čemu

vrijede svojstva:

1. Sukladni mnogokuti imaju jednake površine;

2. Ako je mnogokut sastavljen od mnogokuta koji nemaju drugih zajedničkih točaka,

osim točaka jedne stranice (ne preklapaju se), onda je njegova površina jednaka

zbroju površina tih mnogokuta;

3. Postoji mnogokut čija je površina jednaka 1.

Naučili ste iz fizike da je mjerenje date površine ustvari uspoređivanje te površine s

jedinicom površine i da je jedinica površine površina kvadrata čija je stranica jedinica

duljine.

Pr. 1. Na kvadratnoj mreži su nacrtane figure (slika 68.).

Slika 68.

Da se potpuno pokrije površ figure A potrebno je 12 kvadrata, što znači da je njena

površina 12 puta veća od površine jednog kvadrata kojeg smo izabrali za jedinicu mjere

(jediničnog kvadrata). Figura B ima 14 puta veću površinu od jediničnog kvadrata, tj.

njena površina je 14 puta J; površina figure C je 4J, a figure D 9J.


74

Površina neke figure je broj koji određuje koliko je jedinica mjere (kvadrata površine J)

potrebno da se ta figura potpuno prekrije. Vidjeli smo da je za prekrivanje figure A

potrebno 12 kvadrata, pa njenu površinu izražavamo:

12∙J, gdje je 12 – mjerni broj, J – jedinica mjere, a 12∙J je površina figure A.

Postupak mjerenja površine figura koji smo proveli nije pogodan, pa se za izračunavanje

površina određenih ravnih figura koriste odgovarajući obrasci (formule). U formulama su

promjenjive veličine duljine stranica ili duljine nekih drugih elemenata.

Oznaka površine je veliko slovo P, a mjerna jedinica (osnovna) 1 m2. 1 m2 je površina

kvadrata stranice dužine 1 m. Manje jedinice su 1 dm2, 1 cm2, 1 mm2, a veća mjerna

jedinica je 1 km2.

Odnos manjih i većih jedinica prema osnovnoj mjernoj jedinici za površinu i njihov

međusobni odnos naučili ste iz fizike. Zato znate da je:

1 m2 = (10∙10) dm2 = 100 dm2

1 m2 = (100∙100) cm2 = 10 000 cm2

1 m2 = (1000 ∙ 1000) mm2 = 1 000 000 mm2

1 m2 = (0,001∙0,001) km2 = 0,000001 km2

1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2

1 cm2 = 100 mm2

1 km2 = 1 000 000 m2.

U upotrebi je mjerna jedinica površine 1 a = 100 m2 i 1 ha = 10 000 m2.

Ar i hektar se najčešće upotrebljavaju za mjerenje površine zemljišta.

Za dvije površi koje imaju jednake površine kažemo da su jednake. Sukladne površi

imaju jednake površine. Površi mogu imati različit oblik, a jednaku površinu, slika 69.

Slika 69.


75

Pr. 2. Nacrtat ćemo proizvoljan paralelogram ABCD pa ga „pretvoriti“ u trokut jednake

površine i zajedničke visine (slika 70.).

Slika 70.

Kroz središte M, stranice BC paralelograma ABCD povučemo pravac p (D, M).

Produžimo stranicu AB paralelograma preko tjemena B do presjeka E sa pravcem p.

Dobili smo ∆𝐴𝐷𝐸 jednake površine s paralelogramom ABCD i jednake visine DN = h.

Zadaci za vježbu:

1. Dopuniti prazna mjesta:

a) 1 m2 = _____ dm2 = _____ cm2 = _____ mm2

b) 2,4 m2 = _____ dm2 = _____ cm2 = _____ mm2

c) 600 dm2 = _____ m2 = _____ cm2 = _____ mm2

d) 2a = _____ m2 = _____ dm2

e) 5 km2 = _____ ha = _____a = _____ m2

2. Na kvadratnoj mreži (slika 71.) nacrtati tri različite geometrijske figure površine 8

jedinica mjere.

Slika 71.

3. Nacrtati paralelogram ABCD pa ga „pretvoriti“ u trokut jednake površine i

zajedničke

a) stranice AB

b) stranice BC

4. Trapez visine h „pretvoriti“ u trokut visine h, jednakih površina.


76

5. Nacrtati proizvoljan trokut i „pretvoriti“ u:

a) paralelogram

b) trapez,

jednake površine s nacrtanim trokutom i zajedničkom visinom s tim trokutom.

Površina četverokuta s okomitim dijagonalama

77

POVRŠINA ČETVEROKUTA


Naučili smo da neki četverokuti imaju uzajamno okomite dijagonale. To su kvadrat, romb

i deltoid. Pokazat ćemo kako se može izračunati površina četverokuta s okomitim

dijagonalama. Promatrajmo sliku 72.

Slika 72.

Četverokut ABCD ima uzajamno okomite dijagonale 𝑑1 i 𝑑2 (𝑑1 ⊥ 𝑑2). Konstruirani su

pravci usporedni dijagonalama, tako da sadrže po jedno tjeme četverokuta. Dobiven je

pravokutnik MNKL. Uočavamo da se pravokutnik sastoji od 8 trokuta i to su po dva

sukladna trokuta.

Površina pravokutnika je, dakle, dva puta veća od površine četverokuta ABCD, pa

površinu četverokuta dobijemo tako što površinu pravokutnika prepolovimo, tj. P = 𝒅𝟏∙𝒅𝟐

𝟐.

Površina četverokuta čije su dijagonale uzajamno okomite jednaka je polovini produkta

duljina njegovih dijagonala. Površinu kvadrata, romba i deltoida možemo izračunavati i

pomoću ovog obrasca.

Pr. 1. Izračunajmo visinu romba stranice 5 cm i dijagonala 𝑑1 = 8 𝑐𝑚, 𝑑2 = 6 𝑐𝑚.

Izračunajmo površinu romba pomoću obrasca za izračunavanje površine četverokuta s

okomitim dijagonalama.

P = 𝑑1∙𝑑2

2 =

8∙6

2 = 24 cm2.

Pošto je romb i paralelogram, vrijedi i formula P = 𝑎ℎ𝑎 za površinu romba.


78

Dalje znamo: 24 = 5∙ℎ𝑎, tj. ℎ𝑎 = 24: 5 = 4,8 𝑐𝑚. Visina romba je 4,8 cm.

Pr. 2. Kvadrat i romb imaju jednake površine. Ako je dijagonala kvadrata 12 cm, a jedna

dijagonala romba 16 cm, odrediti duljinu druge dijagonale romba.

Najprije izračunavamo površinu kvadrata:

P = 𝑑∙𝑑

2=

12∙12

2= 72 𝑐𝑚2.

Kako je prema uvjetu zadatka, površina kvadrata ujedno i površina romba, imamo:

72 = 16∙𝑑2

2, tj. 72 = 8∙𝑑2, odakle je 𝑑2 = 72: 8 = 9 cm.

Površina proizvoljnog konveksnog četverokuta

79


Potrebno je znati kako se može izračunati površina četverokuta koji nije ni paralelogram

ni trapez, niti su mu dijagonale uzajamno okomite. Kako se svaki konveksan četverokut

jednom dijagonalom može podijeliti na dva trokuta, ta će površina četverokuta biti

jednaka zbroju površina ta dva trokuta, slika 73.

Slika 73.

Pr.3. Izračunajmo površinu četverokuta ABCD sa slike 74.

Slika 74.

P = 5∙2

2+

5∙3

2= 5 + 7,5

P = 12,5 cm2

Zadaci za vježbu:

1. Izračunati površinu četverokuta čije su dijagonale međusobno okomite:

a) 𝑑1 = 15,4 𝑐𝑚, 𝑑2 = 7,7 𝑐𝑚

b) 𝑑1 = 11

3 𝑐𝑚, 𝑑2 = 4𝑑1

2. Površina deltoida je 30 cm2, a duljina jedne dijagonale je 𝑑1 = 8 𝑐𝑚. Izračunati

duljinu druge dijagonale.


80

3. Izračunati površinu romba kod kojeg je jedna dijagonala tri puta dulja od druge, a

zbroj dijagonala je 20 cm.

4. Izračunati površinu kvadrata ako je duljina polumjera opisane kružnice 5 cm.

5. Stranica romba je 6 cm, a šiljasti kut je 300 i jedna dijagonala je 4,5 cm. Izračunati

duljinu druge dijagonale romba.

Documents

DODATAK UDŽBENIKU ZA 7. RAZREDportal.ksc-tuzla.edu.ba/sites/default/files/attachment/skripta_za_7... · Decimalni zapis racionalnog broja Ponovimo prvo decimalni zapis razlomka