Đối xứng tâm.pdf

Võ Tiến Trình - PTNK

toan999.wordpress.com 1

Đối xứng tâm.

1.Các định nghĩa.

- Hai điểm A và B gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của AB.

- Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại. Khi đó O được gọi là tâm đối xứng của hai hình đó.

- Hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì bằng nhau.

- Điểm O được gọi là tâm đối xứng của một hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua điểm O cũng thuộc hình H.

- Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành.

2. Các ví dụ.

a) Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BE, CF. Gọi M là điểm đối xứng của B qua E và N là điểm đối xứng của C qua F. Chứng minh M, N đối xứng nhau qua A.

Giải.

Để chứng minh M, N đối xứng qua A ta chứng minh A là trung điểm của MN.

Vì M đối xứng với B qua E nên E là trung điểm của BM



Mà E cũng là trung điểm của AC

Suy ra tứ giác ABCM có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành

AM BC và / /AM BC .

Chứng minh tương tự ta cũng có tứ giác ANBC là hình bình hành

AN BC và / /AN BC

Do đó ta có , ,A M N thẳng hàng và AM AN hay A là trung điểm MN hay M, N đối xứng nhau qua A.

b)Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Ba đường trung tuyến AD, BE, CF đồng qui tại G. Gọi 1 1 1, ,A B C lần lượt là điểm đối xứng của G qua D, E, F.

a) Chứng minh 1 1 1, ,A B C lần lượt là điểm đối xứng của A,B,C qua G

b)Chứng minh tam giác ABC và 1 1 1A B C có cùng chu vi và gấp đôi chu vi tam giác DEF.

Giải.

a)Vì 1A đối xứng với G qua D nên D là trung điểm của 1AA

1 2AA GD

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên 2AG GD



Do đó ta có 1AG GA hay 1,A A đối xứng nhau qua G.

Chứng minh tương tự ta cũng có B đối xứng với 1B qua G và C đối xứng với 1C qua G.

b)Vì G là trung điểm của 1AA và 1BB nên tứ giác 1 1ABA B là hình bình hành

1 1AB A B

Tương tự ta cũng có 1 1 1 1,BC B C AC A C

Do đó chu vi tam giác ABC và 1 1 1A B C bằng nhau.

Do tính chất đường trung bình của tam giác nên ta có

; ;2 2 2

BC AC ABEF FD DE

Do đó chu vi tam giác ABC bằng một nửa chu vi tam giác ABC.

c)Ví dụ 3. Cho tam giác ABC. Gọi 1 2 3, ,O O O lần lượt là trung điểm của AB, CA, BC. M là một điểm tùy ý không thuộc các cạnh của tam giác ABC. Vẽ 1M là điểm đối xứng với M qua 1 2,O M là điểm đối xứng của 1M qua 2O và 3M là điểm đối xứng của 2M qua 3O . Chứng minh 3M đối xứng với M qua điểm B.

Giải.



Để chứng minh 3M đối xứng với M qua B ta cần chứng minh B là trung điểm của

3MM .

Xét tứ giác 1 2M AM C ta có hai đường chéo 1 2M M và AC cắt nhau tại trung điểm

2O của mỗi đường nên 1M AMB là hình bình hành

1/ /MB M A và 1MB M A (1)

Xét tứ giác 1M AMB ta có hai đường chéo 1MM và AB cắt nhau tại trung điểm 1O của mỗi đường nên 1 2M AM C là hình bình hành

1 2/ /M A M C và 1 2M A M C (2)

Xét tứ giác 2 3M CM B ta có hai đường chéo 2 3M M và BC cắt nhau tại trung điểm

3O của mỗi đường nên 2 3M CM B là hình bình hành

2 3/ /M C M B và 2 3M C M B (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra 3 / /M B BM và 3M B BM

3, ,M B M thẳng hàng và 3M B BM

B là trung điểm của 3MM hay M đối xứng với 3M qua B.

3. Bài tập

Bài 1. Cho tam giác ABC, M là một điểm trên cạnh BC. Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E và đường thẳng song ong với AC cắt AB tại F.

Chứng minh E, F đối xứng nhau qua trung điểm D của AM.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. M là trung điểm BC. Gọi D, E lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm của AB và AC. Chứng minh E đối xứng với D qua A.

Bài 3. Cho tam giác ABC và M là điểm tùy ý thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC và ', ', 'A B C lần lượt là điểm đối xứng của M qua tâm F, E, D.



a) Chứng minh tam giác ABC = tam giác A’B’C’. b) Chứng minh tứ giác ' 'AB A B là hình bình hành. c) Chứng minh CC’ đi qua tâm đối xứng của tứ giác ' 'AB A B .

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Trên AB lấy điểm E, trên CD lấy điểm F sao cho AE CF .

a) Chứng minh E đối xứng với F qua O. b) Từ E dựng / /Ex AC cắt BC tại I, dựng / /Fy AC cắt AD tại K. Chứng minh

EF FK và I đối xứng với K qua O.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua C, B’ là điểm đối xứng với B qua A, C’ là điểm đối xứng với C qua B. BM là trung tuyến tam giác ABC, B’M’ là trung tuyến tam giác A’B’C’.

a) Chứng minh ABM’M là hình bình hành. b) Chứng minh tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

Bài 6. Cho góc xAy và điểm M thuộc miền trong của góc. Xác đinh vị trí đường thẳng d qua M cắt các tia Ax, Ay lần lượt tại B, C sao cho M là trung điểm của BC.

Bài 7. Cho tam giác ABC, O là giao điểm các đường trung trực, H là trực tâm và M là trung điểm BC. Gọi K là điểm đối xứng của H qua M. Chứng minh A và K đối xứng nhau qua O.

Bài 8. Cho tứ giác ABCD, điểm M thuộc cạnh AB, điểm P thuộc cạnh CD. Xác định điểm N thuộc cạnh BC, điểm Q thuộc cạnh DA để tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Bài 9. Trên đường thẳng cho các điểm A, B, C, D xếp theo thứ tự đó và AB CD . M là dđiểm bất kỳ không nằm trên đường thẳng AB. Chứng minh MA MD MB MC

Documents

Đối xứng tâm.pdf