Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
361 420
Dokaz 361
Dokaži da za svake dvije vrijednosti x1 i x2 nezavisne varijable funkcije f(x) = x2 vrijedi
( ) ( )1 21 2 .2 2
f x f xx xf
++ <
Teorija
Kvadrat zbroja:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +
Kvadrat razlike:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −
Oduzimanje razlomaka jednakih nazivnika:
, .a b a b a b a b
n n n n n n
− −− = = −
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Dijeljenje potencija jednakih eksponenata:
( ) ( ), , , .: : : :
n nn na a a an nn n n n
a b a b a b a bn nb bb b
= = = =
Kvadrat realnog broja je nenegativan broj.
20 , .a a R≥ ∈
����
Vidi se:
( )22 2 2
21 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
2 2 2 4 2 4
x xx x x x x x x x x x x xf f f
++ + + + + ⋅ ⋅ + = ⇒ = ⇒ = ⇒
2 2 2 22 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
2 4
x x x x x x x xf
+ ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⇒ = ⇒
( )2 2 2 22 2 2
1 2 1 1 2 21 2
2 4
x x x x x xx xf
⋅ + ⋅ − − ⋅ ⋅ ++ ⇒ = ⇒
( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2
2 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2
2 4 2 4 4
x x x x x x x xx x x xf f
⋅ + − − ⋅ + −+ + ⇒ = ⇒ = − ⇒
2
( ) ( ) ( )2 22 2 2 2
1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2
2 4
2
2 44 2
x x x x x xx x x x x xf f
⋅ + − −+ + + ⇒ = − ⇒ = − ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 2 1 2 1 21 2 1 2 .2 2 4 2 2
f x f x x x f x f xx x x xf f
+ − ++ + ⇒ = − ⇒ <
■
3
Dokaz 362
Dokaži da za svaki realan broj x za koji je 0 ,2
xπ
< < vrijedi jednakost
( ) ( ) ( )log sin log log cos .x tg x x= +
Teorija
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→= =
Dekadski logaritam
Logaritamska funkcija log10 označava se simbolom log. Broj log x zovemo dekadski, Briggsov ili
obični logaritam.
log log10
.x x=
Svojstva:
( ) ( )log log log log log l, g .oa b a b a b a b⋅ = + + = ⋅
Definicija tangensa:
sin sin
cos co, .
s
x xtg x tg x
x x= =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
����
( ) ( ) ( ) ( ) ( )log sin log log cos log sin log cosx tg x x x tg x x= + ⇒ = ⋅ ⇒
( ) ( ) ( ) ( )sin sin
log sin log cos log sin log log sin log sin .coo
sc s cos
x xx x x
xx x x
x
⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =
■
4
Dokaz 363
Dokaži da ne postoji prirodni broj čiji je umnožak znamenki 1386.
Teorija
Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N, a zapisujemo
{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +
Za prirodan broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodni broj q tako da vrijedi
.a q b= ⋅
Prosti brojevi (prim – brojevi) su prirodni brojevi djeljivi bez ostatka samo s brojem 1 i sami sa
sobom, a veći od broja 1. Prirodni brojevi koji su veći od broja 1, a nisu prosti brojevi nazivaju se
složenim brojevima. Složen broj je prirodan broj veći od jedan koji je djeljiv brojem 1, samim sobom i
barem još jednim brojem. Svaki se složeni broj može rastaviti na proste faktore.
Broj 1 nije ni prost, ni složen broj. Prostih brojeva ima beskonačno mnogo.
Prosti brojevi su: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, …
Brojevna vrijednost što je nosi neka znamenka određena je ne samo vrijednošću te znamenke već i pozicijom te znamenke u zapisu broja. Takav zapis broja zovemo pozicijskim zapisom. Općenito:
Ako je ... ,1 2 2 1
N a a a a a an n n=
− − � pri čemu je { }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 0, 1, 2, ... ,a i ni ∈ =
dekadski zapis prirodnog broja N, onda je njegova vrijednost
1 2 210 10 10 ... 10 .10
1 2 2 1n n n
N a a a a a an n n− −
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +− − �
Broj 10 zove se baza dekadskog brojevnog sustava.
Prirodni je broj djeljiv s 2 ako mu je posljednja znamenka 0, 2, 4, 6 ili 8.
Prirodni je broj djeljiv s 2 ako je paran broj.
Prirodni je broj djeljiv s 3 ako mu je zbroj znamenki djeljiv s 3
����
Broj 1386 rastavimo na proste faktore.
1386 2 693 2 3 231 2 3 3 77 2 3 3 7 11.= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Faktor 11 je prost broj, nije znamenka pa zaključujemo da ne postoji prirodni broj čiji je umnožak
znamenki 1386. ■
5
Dokaz 364
Dokažite kosinusov poučak: Kvadrat stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata drugih dviju
stranica, minus dvostruki produkt tih stranica i kosinusa kuta što ga te stranice zatvaraju.
Teorija
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.
Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.
Tupi kut je kut s mjerom većom od 90º i manjom od 180º.
Tupokutan trokut ima jedan tupi kut.
Pitagorin poučak
Trokut ABC je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad
katetama.
Kosinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete uz taj kut i duljine
hipotenuze.
Kvadrat razlike:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −
Množenje potencija jednakih eksponenata:
( ) ( ), .n nn n n n
a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
γγγγ
v
c
b
aNB C
A
Sa slike vidi se:
, , , ,AB c BC a CA b BCA AN vγ= = = ∠ = =
Uočimo pravokutan trokut NCA i pomoću funkcije kosinus dobije se:
cos cos cos cos cos ./NC NC NC NC
NC bCA b b b
bγ γ γ γ γ⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅
Također vrijedi:
cos .BN BC NC BN a b γ= − ⇒ = − ⋅
6
a - b ⋅⋅⋅⋅ cos γγγγ b ⋅⋅⋅⋅ cos γγγγ
γγγγ
v
c
b
aNB C
A
Pravokutni trokuti ∆ABN i ∆ANC daju prema Pitagorinu poučku:
( )
( )
2 2 2 22 2cos
2 2 2 22 2cos
AN AB BN v c a b
v b bAN AC NC
γ
γ
= − = − − ⋅ ⇒ ⇒
= − ⋅= −
( ) ( )2 22 2
cos cosc a b b bγ γ⇒ − − ⋅ = − ⋅ ⇒
( )2 2 2 2 22 22 cos cos cosc a a b b b bγ γ γ⇒ − − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⇒
2 2 2 2 22 22 cos cos cosc a a b b b bγ γ γ⇒ − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒
2 22 2cos
2 2 2 2 2 2cos2 cos 2 cosc a a b b c a a b bb bγ γγγ − ⋅ −⇒ − + ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ − + ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⇒
2 2 22 cos .c a b a b γ⇒ = + − ⋅ ⋅ ⋅
Slično imamo
2 2 2 2 2 22 cos , 2 cos .a b c b c b a c a cα β= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ■
Napomena 1
Ako je trokut tupokutan potpuno istim postupkom dobili bismo iste formule.
Napomena 2
Kosinusov poučak uporabit ćemo ako su zadane:
1) dvije stranice i kut među njima
2) sve tri stranice.
7
Dokaz 365
Dokažite sinusov poučak: Stranice se u trokutu međusobno odnose kao sinusi njihovih nasuprotnih
kutova.
Teorija
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.
Kružnicu koja prolazi vrhovima trokuta zovemo opisanom kružnicom.
Tupi kut je kut s mjerom većom od 90º i manjom od 180º.
Tupokutan trokut ima jedan tupi kut.
Pravokutni trokuti imaju jedan pravi kut (kut od 90º). Stranice koje zatvaraju pravi kut zovu se katete,
a najdulja stranica je hipotenuza pravokutnog trokuta.
Sinus šiljastog kuta pravokutnog trokuta jednak je omjeru duljine katete nasuprot tog kuta i duljine
hipotenuze.
Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je:
a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (količnik) omjera.
Ako postoji n jednakih omjera
:1 1
a b k=
:2 2
a b k=
:3 3
a b k=
...
: ,a b kn n =
produženi razmjer je
: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3
a a a a b b b bn n=
Obodni kut kružnice jest kut kojemu je vrh na kružnici, a krakovi mu sijeku kružnicu.
Svi su obodni kutovi nad danim lukom kružnice sukladni.
Talesov poučak: Kut nad promjerom kružnice je pravi.
����
Trokutu ABC opišemo kružnicu i konstruiramo promjer CE pa spojimo točke B i E Prema teoremu o
obodnom kutu je
.CAB CEB∠ = ∠
Prema Talesovu poučku je
90 .EBC∠ =�
8
αααα
αααα
2 ⋅⋅⋅⋅ r
c
b
a
E
A
B
C
Sa slike vidi se:
, , , , 2 , 90AB c BC a CA b CAB CEB CE r EBCα= = = ∠ = ∠ = = ⋅ ∠ =�
Uočimo pravokutan trokut CEB i uporabom funkcije sinus dobije se:
sin sin sin sin 2 .2 2 2 sin
2/
sin
BC a a a arr
CE r r rα α α α
αα= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
⋅⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
Slično bismo našli da je
2 , 2 .sin sin
b cr r
β γ= ⋅ = ⋅
Tada je:
2sin sin sin
a b cr
α β γ= = = ⋅
odnosno
: : sin : sin : sin .a b c α β γ= ■
Napomena 1
Ako je trokut tupokutan potpuno istim postupkom dobili bismo iste formule.
Napomena 2
Sinusov poučak uporabit ćemo ako su zadane:
1) dvije stranice i kut koji leži nasuprot jednoj od tih stranica.
2) jedna stranica i dva kuta.
9
Dokaz 366
Dokažite 2 1
lim 2.1
n
n n
⋅ +=
→ ∞ +
Teorija
Broj a nazivamo limes niza (an) i pišemo
lim a ann=
→ ∞
ako za svaki ε > 0 postoji broj N(ε) tako da je
( )za .a a n Nn ε ε− < >
Broj N(ε) ovisi o unaprijed po volji zadanom pozitivnom broju ε. Svaki cijeli broj je racionalan broj:
1, .
1
n nn n= =
Oduzimanje razlomaka:
.a c a d b c
b d b d
⋅ − ⋅− =
⋅
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:
, .
, 0
0
x xx
x x
≥=
− <
Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0,
vrijedi │x│= x.
Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x,
x < 0, je │x│= – x.
Množenje nejednakosti pozitivnim brojem:
0 .,a b c a c b c< > ⇒ ⋅ < ⋅
Dijeljenje nejednakosti pozitivnim brojem:
, 0 .a b
a b cc c
> > ⇒ >
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
l
2 12 1
lim 2 .1im1
2
nan
a a nn
n na
nn
⋅ + =⋅ + =
→= ⇒ ⇒ + ∞→ ∞ + =
Iz nejednakosti a an ε− < slijedi:
( )2 1 2 12 1 2 1 22
1 1 1 1
n nn na an
n n nε ε ε ε
⋅ + − ⋅ +⋅ + ⋅ +− < ⇒ − < ⇒ − < ⇒ < ⇒
+ + +
2 1 2 2 1 2 1 1
1
2
1 1
2
1
n n
n n
n
n
n
nε ε ε ε
⋅ − ⋅⋅ + − ⋅ − + − −⇒ < ⇒ < ⇒ < ⇒ < ⇒
+ + + +
10
( ) ( )1
1 1 1 1 1/ 11
nn n n nn
ε ε ε ε ε ε ε ε⇒ < ⇒ < ⋅ + ⇒ < ⋅ + ⇒ ⋅ + > ⇒ ⋅+ >⋅ − ⇒+
( )1 1
1 / 1 11
.n n Nε
ε ε εε ε
⇒ ⋅ > − ⇒ > − ⇒ = −⋅
Razlika a an − može se učiniti po volji malom ako je ( )1
1.n N εε
> = − ■
11
Dokaz 367
Dokažite da je 1
1 2 za 1.
n
nn
+ ≥ ≥
Teorija
Bernoullijeva nejednakost
Neka je n prirodan broj i x realan broj veći od – 1. Tada vrijedi
( )1 1 .n
x n x+ ≥ + ⋅
Jednakost vrijedi ako i samo ako je n = 1 ili x = 0.
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
����
Uporabom Bernoullijeve nejednakosti dobijemo:
( )1
zamje1 1 1
1 1 1 1 11 1
na n nn
x n x nn n n
nnx
n
+ ≥ + ⋅ ⇒ ⇒ + ≥ + ⋅ ⇒ + ≥ + ⋅ ⇒
=
1 11 1 1 1 2.
n n
n n
⇒ + ≥ + ⇒ + ≥
■
12
Dokaz 368
Dokažite da je ( ) ( ) 0, , .n n
a b a b a b R+
− ⋅ − ≥ ∈
Teorija
Množenje nejednakosti
0 , 0 0
0 , 0 0.
a b a b
a b a b
> > ⋅ > ⇒
< < ⋅ >
����
Ako je a = b, onda je
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0.n n n n
a b a b a a a a− ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ = ≥
Ako je a > b, onda je an > bn.
( ) ( )pomnožimo
nejednako0 s.
ti
00
a b a b n na b a bn n n n
a b a b
> − > ⇒ ⇒ ⇒ − ⋅ − >
> − >
Ako je a < b, onda je an < bn.
( ) ( )pomnožimo
nejednako0 s.
ti
00
a b a b n na b a bn n n n
a b a b
< − < ⇒ ⇒ ⇒ − ⋅ − >
< − < ■
13
Dokaz 369
Dokažite da za djeljivost brojeva vrijedi svojstvo refleksivnosti, tj. a | a.
Teorija
Prirodni broj b djeljiv je brojem a ako je b višekratnik broja a, tj. ako postoji prirodni broj q takav da je
.b q a= ⋅
Da a dijeli broj b zapisujemo ovako: a | b.
.|a b b q a⇔ = ⋅
����
| 1 .a a a a⇔ = ⋅ ■
14
Dokaz 370
Dokažite da za djeljivost brojeva vrijedi svojstvo tranzitivnosti, tj. ( )| i | | .a b b c a c⇒
Teorija
Prirodni broj b djeljiv je brojem a ako je b višekratnik broja a, tj. ako postoji prirodni broj q takav da je
.b q a= ⋅
Da a dijeli broj b zapisujemo ovako: a | b.
.|a b b q a⇔ = ⋅
Umnožak se ne mijenja združimo li faktore na bilo koji način:
( ) ( ).a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
����
( ) ( ) 2 1
|1
. | .2 1 2 1|
2
a b b q ac q q a c q q a c q a a c
b c c q bq q q
⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ ==
⋅⋅
■
15
Dokaz 371
Dokažite ako je 1
lim , onda vrijedi lim 0.xnn n xn= ∞ =
→ ∞ → ∞
Teorija
Broj a nazivamo limes niza (an) i pišemo
lim a ann=
→ ∞
ako za svaki ε > 0 postoji broj N(ε) tako da je
( )za .a a n Nn ε ε− < >
Broj N(ε) ovisi o unaprijed po volji zadanom pozitivnom broju ε. Svojstvo nejednakosti
10 .
1a b
a b> > ⇒ <
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:
, .
, 0
0
x xx
x x
≥=
− <
Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0,
vrijedi │x│= x.
Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x,
x < 0, je │x│= – x.
����
Neka je ε > 0 po volji maleni broj. Stavimo
1 1.M
Mε
ε= ⇒ =
Budući da je niz (xn) neograničeno rastući, postoji broj N(ε) takav da za n > N(ε) vrijedi
.x Mn >
Tada je
1 1 1 1 10 .x Mn
x M x M xn n nε> ⇒ < ⇒ < ⇒ − <
Znači da je
1lim 0.
n xn=
→ ∞ ■
16
Dokaz 372
Neka je lim i lim .a a b bn nn n= =
→∞ →∞ Dokažite da je niz (an + bn), n je prirodan broj, konvergentan i
( )lim lim lim .a b a b a bn n n nn n n+ = + = +
→∞ →∞ →∞
Teorija
Broj a nazivamo limes niza (an) i pišemo
lim a ann=
→ ∞
ako za svaki ε > 0 postoji broj N(ε) tako da je
( )za .a a n Nn ε ε− < >
Broj N(ε) ovisi o unaprijed po volji zadanom pozitivnom broju ε. Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:
, .
, 0
0
x xx
x x
≥=
− <
Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0,
vrijedi │x│= x.
Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x,
x < 0, je │x│= – x.
Svojstvo nejednakosti
.a b a b+ ≤ +
����
Ako je lim a ann=
→∞ znači da za svaki 0
2
ε> postoji
1n N∈ takav da je za svaki n ≥ n1
.2
a anε
− <
Ako je lim b bnn=
→∞ znači da za svaki 0
2
ε> postoji
2n N∈ takav da je za svaki n ≥ n2
.2
b bnε
− <
Neka je n0 veći od brojeva n1 i n2. Tada je
( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a a b b a a b bn n n n n n n n+ − + = + − − = − + − ≤ − + − <
za svaki .2 2
n nε ε
ε< + = ≥ �
Dakle,
( )lim lim lim .a b a b a bn n n nn n n+ = + = +
→∞ →∞ →∞ ■
17
Dokaz 373
Dokažite svaki broj 2, i su racionalni, 0,a b a b b+ ⋅ ≠ je iracionalan broj.
Teorija
Broj oblika , ,a
a Z b Nb
∈ ∈ zove se racionalan broj.
Iracionalni brojevi su oni brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomaka.
2 je iracionalan broj.
Skup racionalnih brojeva označavamo slovom Q.
����
Pretpostavimo suprotno!
Neka je 2a b+ ⋅ racionalan broj.
2 , .a b r r Q+ ⋅ = ∈
Slijedi,
1/2 2 2 2 .
r aa b r b r a b r a
b b
−+ ⋅ = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ ⇒ =⋅= −
To nije istina jer 2 nije racionalan broj, a r a
b
− je racionalan broj. Prema tome brojevi
2, 0a b b+ ⋅ ≠ su iracionalni brojevi. ■
18
Dokaz 374
Dokažite da brojevi n i n5 imaju jednaku zadnju znamenku (n je prirodan broj).
Teorija
Svojstvo potencije:
1 1.,a a a a= =
Za prirodni broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodan broj q tako da vrijedi
.a b q= ⋅
Da a dijeli broj b zapisujemo ovako: a | b.
.|a b b q a⇔ = ⋅
Ako su a i b cijeli brojevi djeljivi cijelim brojem m, m ≠ 0, onda je s m djeljiv i njihov zbroj a + b i
njihova razlika a – b.
| | .i |m a m b m a b⇒ +
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Prirodni je broj djeljiv s 10 ako mu je posljednja znamenka 0.
Potenciranje potencije:
( ) ( ) ( ) ( ), .m n m nn m n m n m n m
a a a a a a⋅ ⋅
= = = =
Razlika kvadrata:
( ) ( ) ( ) ( ),2
.2 2 2
a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −
Dijeljenje potencija jednakih baza:
.:n m n m
a a a−
=
����
Rastavit ćemo izraz n5 – n na faktore.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
5 4 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1n n n n n n n n n n n n n
− = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − ⋅ + = ⋅ − ⋅ + ⋅ + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 4 5 1 1 4 5 1 1n n n n n n n n n n n = ⋅ − ⋅ + ⋅ − + = ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 5 1 1n n n n n n n n= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + + ⋅ ⋅ − ⋅ + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 5 1 1 .n n n n n n n n= − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ − ⋅ ⋅ +
Prvi pribrojnik (pet uzastopnih prirodnih brojeva),
( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 ,n n n n n− ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ +
je djeljiv s 10 jer se među njegovim faktorima nalaze brojevi 2 i 5.
Drugi pribrojnik (tri uzastopna prirodna broja),
( ) ( )5 1 1 ,n n n⋅ − ⋅ ⋅ +
očigledno je djeljiv s 10 jer ima faktore 5 i 2. Tada je zbroj pribrojnika djeljiv s 10, a onda je i razlika
n5 – n djeljiva s 10. To znači da brojevi n5 i n imaju jednaku zadnju znamenku pa će tada njihova
razlika na zadnjem mjestu imati znamenku nulu. ■
19
Dokaz 375
Dokažite 2 ... .0 1 2
n n n nn
n
= + + + +
Teorija
Newton binomna formula
Za svaki ,a b R∈ i za svaki n N∈ je
( ) 1 1 1 1..
1..
0 1
n n n nn n n n na b a b a b a b a b
n n
− −+ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
−
� �
����
Ako stavimo a = b = 1u Newton binomnu formuli dobijemo:
( ) 1 1 1 1...
0 1 1
n n n nn n n n na b a b a b a b a b
n n
− −+ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒
−
� �
( ) 1 1 1 11 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1
0 11 1
1 n n n nn n n n
nb
n
n
a − −⇒ ⇒ + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒
−
=
=
� �
2 ... .0 1 1
n n n nn
n n⇒ = + + + +
−
■
20
Dokaz 376
Dokažite 1
, 1, 2, 3, ... , .1
n n nk n
k k k
+ + = =
−
Teorija
Umnožak prvih n prirodnih brojeva označavamo posebnim simbolom
( ) ( )! 1 2 3 4 ... 2 1 .n n n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅
Broj n! čitamo ''en faktorijela''. Tako na primjer, vrijedi
1 ! = 1,
2 ! = 1 · 2,
3 ! = 1 · 2 · 3,
4 ! = 1 · 2 · 3 · 4,
5 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5,
6 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 itd.
Vidimo da faktorijele zadovoljavaju formulu
n ! = (n – 1) ! · n.
Binomni koeficijent
Neka je n prirodan broj, a k prirodan broj ili 0 i k ≤ n. Binomni koeficijent označavamo simbolom
n
k
i definiramo
( )!
.! !
n n
k k n k=
⋅ −
Neka svojstva:
( )11 1
0 1 2,
1 2, , .
n n n nn nn
n
⋅ −= = = =
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Zbrajanje razlomaka:
.a c a d b c
b d b d
⋅ + ⋅+ =
⋅
Množenje razlomaka:
.a c a c
b d b d
⋅⋅ =
⋅
����
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )! ! ! !
1 ! ! ! ! 1 ! 1 !1 ! 1 !
n n n n n n
k k k n k k n k k n kk n k
+ = + = + =
− ⋅ − ⋅ − − ⋅ − +− ⋅ − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )! !
1 ! ! 1 ! ! 1
n n
k k n k k n k n k= + =
− ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )! 1 1 ! 1
1 ! ! 1 1 ! ! 1
n n n k k
k n k k n k k n k k n k
− + += ⋅ + = ⋅ =
− ⋅ − − + − ⋅ − ⋅ − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! 1 ! 1
1 ! ! 1 1 ! ! 1
n n n n
k n k k n k k n k k n k
k k+ += ⋅ = ⋅ =
− ⋅ − ⋅ − + − ⋅ − ⋅ − +
− +
21
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
! 1 ! 1
1 ! ! 1 1 ! ! 1
n n n n
k n k k n k k k n k n k
⋅ + ⋅ += = =
− ⋅ − ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ − ⋅ − +
( )( )
( )( )
11 ! 1 !.
! 1 ! ! 1 !
nn n
kk n k k n k
++ + = = =
⋅ − + ⋅ + − ■
22
Dokaz 377
Dokažite 1
.1
n nk n
k k
− ⋅ = ⋅
−
Teorija
Umnožak prvih n prirodnih brojeva označavamo posebnim simbolom
( ) ( )! 1 2 3 4 ... 2 1 .n n n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅
Broj n! čitamo ''en faktorijela''. Tako na primjer, vrijedi
1 ! = 1,
2 ! = 1 · 2,
3 ! = 1 · 2 · 3,
4 ! = 1 · 2 · 3 · 4,
5 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5,
6 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 itd.
Vidimo da faktorijele zadovoljavaju formulu
n ! = (n – 1) ! · n.
Binomni koeficijent
Neka je n prirodan broj, a k prirodan broj ili 0 i k ≤ n. Binomni koeficijent označavamo simbolom
n
k
i definiramo
( )!
.! !
n n
k k n k=
⋅ −
Neka svojstva:
( )11 1
0 1 2,
1 2, , .
n n n nn nn
n
⋅ −= = = =
⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
����
( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ! !
! ! 1 ! ! 1 ! !
n n n nk k k
k k n k kk
kk n k k n k
⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )1 ! 1 !!
1 ! ! 1 ! ! 1 ! !
n n nnn
k n k k n k k n k
− ⋅ −= = = ⋅ =
− ⋅ − − ⋅ − − ⋅ −
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )11 ! 1 !!
.11 ! ! 1 ! ! 1 ! 1 1 !
nn n nnn n
kk n k k n k k n k
−− ⋅ − = = = ⋅ = ⋅
−− ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − − − ■
23
Dokaz 378
Dokažite svojstvo simetrije binomnih koeficijenata, tj. , 0, 1, 2, 3, ... , .n n
k nk n k
= =
−
Teorija
Umnožak prvih n prirodnih brojeva označavamo posebnim simbolom
( ) ( )! 1 2 3 4 ... 2 1 .n n n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅
Broj n! čitamo ''en faktorijela''. Tako na primjer, vrijedi
1 ! = 1,
2 ! = 1 · 2,
3 ! = 1 · 2 · 3,
4 ! = 1 · 2 · 3 · 4,
5 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5,
6 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 itd.
Vidimo da faktorijele zadovoljavaju formulu
n ! = (n – 1) ! · n.
Binomni koeficijent
Neka je n prirodan broj, a k prirodan broj ili 0 i k ≤ n. Binomni koeficijent označavamo simbolom
n
k
i definiramo
( )!
.! !
n n
k k n k=
⋅ −
Neka svojstva:
( )11 1
0 1 2,
1 2, , .
n n n nn nn
n
⋅ −= = = =
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
( )!
.! !
n n
k k n k=
⋅ −
Preoblikujemo:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ! !
! ! ! ! ! !
n n n n
n k n k n n k n k n n k n n knk= = = =
− − ⋅ − − − ⋅ − + − −⋅ +
( ) ( )! !
.! ! ! !
nn n
kn k k k n k= = =
− ⋅ ⋅ −
■
24
Dokaz 379
Dokažite nejednakost ( ) 1,
n n na b n a b b
−− > ⋅ − ⋅ ako su a i b pozitivni brojevi, a > b, n je prirodan
broj.
Teorija
Bernoullijeva nejednakost
Neka je n prirodan broj i x realan broj veći od – 1. Tada vrijedi
( )1 1 .n
x n x+ ≥ + ⋅
Jednakost vrijedi ako i samo ako je n = 1 ili x = 0.
Dijeljenje nejednakosti pozitivnim brojem:
, 0 .a b
a b cc c
> > ⇒ >
Svaki cijeli broj je racionalan broj:
1, .
1
n nn n= =
Oduzimanje razlomaka:
.a c a d b c
b d b d
⋅ − ⋅− =
⋅
Svojstvo potencije:
1 1, .a a a a= =
Dijeljenje potencija jednakih baza:
.:n m n m
a a a−
=
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Dijeljenje potencija jednakih eksponenata:
( ) ( ), , , .: : : :
n nn na a a an nn n n n
a b a b a b a bn nb bb b
= = = =
����
Preoblikujemo nejednakost a > b.
/ 1 1 0.1 a a
a b abb
bb
> ⇒ > ⇒ ⇒ − >⋅ >
Primijenimo Bernoullijevu nejednakost.
( )zamjena
1 11
1 1 1 1ax
na an
bb
x n x nb
+ ≥ + ⋅ ⇒ ⇒ + − ≥ + ⋅ − ⇒
= −
111
1 11
1
n n na a a a b a a b
n n nnb b b b bb
− − ⇒ + ≥ + ⋅ − ⇒ ≥ + ⋅ ⇒ ≥ + ⋅ ⇒
−
1 1/
na a b a b a bn n n n n
n a b n a b n bnb b bb
nb
− − − ⇒ ≥ + ⋅ ⇒ ≥ ⋅ + ⋅ ⇒ ≥ + ⋅ ⋅ ⇒
⋅
25
( ) ( )1 1.
a bn n n n n n n na b n b a b n a b b a b n a b b
n
b
− − −⇒ ≥ + ⋅ ⋅ ⇒ ≥ + ⋅ − ⋅ ⇒ − ≥ ⋅ − ⋅ ■
26
Dokaz 380
Dokažite da je presjek dvaju otvorenih intervala uvijek otvoreni interval ili prazan skup.
Teorija
Skup zadajemo nabrajanjem njegovih elemenata ili opisom karakterističnih svojstava koja posjeduju
njegovi elementi.
Presjek skupova A i B je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze i u skupu A i u skupu B.
Označavamo ga .A B∩
Neka su , , .a b R a b∈ < Tada se skup (a, b) zove otvoreni interval, a definira se ovako:
( ) { }, | .a b x R a x b= ∈ < <
����
Neka je
( ) ( ) ( ), , ,a b c d m n=∩
gdje je:
♥ { }max ,m a c= , označava veći od brojeva a i c
♥ { }min ,n b d= , označava manji od brojeva b i d.
Ako je m < n, onda je (m, n) otvoreni interval, a ako je m = n, onda je ( ), .m n = ∅ ■
27
Dokaz 381
Dokažite da je presjek dva segmenta uvijek segment ili prazan skup.
Teorija
Skup zadajemo nabrajanjem njegovih elemenata ili opisom karakterističnih svojstava koja posjeduju
njegovi elementi.
Presjek skupova A i B je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze i u skupu A i u skupu B.
Označavamo ga .A B∩
Neka su , , .a b R a b∈ < Tada se skup [ ],a b zove segment, a definira se ovako:
[ ] { }, | .a b x R a x b= ∈ ≤ ≤
����
Neka je
[ ] [ ] [ ], , ,a b c d m n=∩
gdje je:
♥ { }max ,m a c= , označava veći od brojeva a i c
♥ { }min ,n b d= , označava manji od brojeva b i d.
Ako je m < n, onda je [ ],a b segment, a ako je m = n, onda je [ ], .m n = ∅ ■
28
Dokaz 382
Dokažite da za realan broj x vrijedi 2
1 .x x x≥ ⇒ ≥
Teorija
Svojstvo potencije:
1 1, .a a a a= =
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
Množenje nejednakosti pozitivnim brojem:
0 .,a b c a c b c≥ > ⇒ ⋅ ≥ ⋅
����
Množimo nejednakost x ≥ 1 brojem x koji je pozitivan.
2/1 1 .x x x xx⋅≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ■
29
Dokaz 383
Dokažite da za realan broj x vrijedi 2
0 1 .x x x≤ ≤ ⇒ ≤
Teorija
Svojstvo potencije:
1 1, .a a a a= =
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
Množenje nejednakosti pozitivnim brojem:
0 .,a b c a c b c≤ > ⇒ ⋅ ≤ ⋅
����
Množimo nejednakost 0 ≤ x ≤ 1 brojem x koji je pozitivan.
/2
0 1 1 .xx x x x⋅≤ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ■
30
Dokaz 384
Dokažite da je površina trokuta kojemu su zadane duljine visina va, vb i vc dana sa
1.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
P
v v v v v v v v v v v va c c a c a a cb b b b
= + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −
Teorija
Trokut je dio ravnine omeđen s tri dužine. Te dužine zovemo stranice trokuta.
Ploština trokuta izračunava se po formuli
2 2 2
2 2 2, , .
b va v c vP P Pa b cP a P b P cv v va cb
⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
Ploština trokuta jednaka je polovici produkta duljine jedne njegove stranice i duljine visine koja
odgovara toj stranici.
Heronova formula tvrdi da je površina P, trokuta čije su stranice a, b i c, jednaka:
( ) ( ) ( ),P s s a s b s c= ⋅ − ⋅ − ⋅ −
gdje je s poluopseg trokuta:
2.
a b cs
+ +=
Svaki cijeli broj je racionalan broj:
1, .
1
n nn n= =
Oduzimanje razlomaka:
.a c a d b c
b d b d
⋅ − ⋅− =
⋅
Množenje razlomaka:
.a c a c
b d b d
⋅=
⋅⋅
Svojstvo potencije:
1 1, .a a a a= =
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
Dijeljenje potencija jednakih baza:
.:n m n m
a a a−
=
Množenje drugih korijena:
, , 0, .a b a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ≥
Dijeljenje drugih korijena:
, .a a a a
b b bb= =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
Preoblikujemo Heronovu formulu.
31
( ) ( ) ( )2
P s s a s ba b c
c ss
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⇒+ +
= ⇒
2 2 2 2
a b c a b c a b c a b cP a b c
+ + + + + + + + ⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⇒
2 2 1 2 1 2 1
a b c a b c a a b c b a b c cP
+ + + + + + + + ⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⇒
2 2 2
2 2 2 2
a b c a b c a a b c b a b c cP
+ + + + − ⋅ + + − ⋅ + + − ⋅⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
2 2 2 2
a b c b c a a c b a b cP
+ + + − + − + −⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
( ) ( ) ( ) ( )16
a b c b c a a c b a b cP
+ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −⇒ = ⇒
( ) ( ) ( ) ( )
16
a b c b c a a c b a b cP
+ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −⇒ = ⇒
( ) ( ) ( ) ( )4
a b c b c a a c b a b cP
+ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −⇒ = ⇒
( ) ( ) ( ) ( )4
/ 4a b c b c a a c b a b c
P+ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −
= ⋅⇒ ⇒
( ) ( ) ( ) ( )
2
42
2
Pa
va
P a b c b c a a cP
bvb
P
c
a
c
b b c
v
⋅=
⋅
⇒ ⋅ = + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⇒ ⇒
=
⋅=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24
P P P P P P P P P P P PP
v v v v v v v v v v v va c c a a c a cb b b b
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⇒
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 2 2 2 2P P P P P
v v v v v v v v v v v va c c a a c a cb b b b
⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ + − ⇒
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 144 16P P
v v v v v v v v v v v va c c a a c a cb b b b
⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⇒
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 144 16P P
v v v v v v v v v v v va c c a a c a cb b b b
⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⇒
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 124 4P P
v v v v v v v v v v v va c c a a c a cb b b b
⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⇒
32
1/
1 1 1
4
1 1 1 1 1 1 1 1 124 4P P
v v v v v v v v v v v va c c a a c a cb b b bP
⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⇒
⋅
⋅
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 P
v v v v v v v v v v v va c c a a c a cb b b b
⇒ = ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⇒
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11P
v v v v v v v v v v v va c c a a c a cb b b b
⇒ ⋅ + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − = ⇒
jednakost podijelim s
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
v v v v v v v v v v v va c c a a c a cb b b b
+ + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −
⇒ ⇒
1.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
P
v v v v v v v v v v v va c c a a c a cb b b b
⇒ = + + ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −
■
33
Dokaz 385
Dokažite ako je a + b + c = 0, tada vrijedi a3 + b3 + c3 = 3 · a · b · c.
Teorija
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Svojstvo potencije:
1 1, .a a a a= =
Kub zbroja:
( ) ( )3 33 2 2 3 3 2 2 3
3 3 3 3, .a b a a b a b b a a b a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = +
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
Kub negativnog broja:
( ) ( )3 33 3
, .a a a a− = − − = −
����
Iz a + b + c = 0 slijedi:
( )0 .a b c c a b c a b+ + = ⇒ = − − ⇒ = − +
Lijeva strana identiteta jednaka je
( )( ) ( )3 33 3 3 3 3 3 3
a b c a b a b a b a b+ + = + + − + = + − + =
( )3 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 33 3 3 3a b a a b a b b a b a a b a b b= + − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = + − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − =
3 3 3 32 2 2 23 3 3 3 .a b a bb b a ba aa b= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅+ − −
Desna strana identiteta jednaka je
( )( ) ( ) 2 23 3 3 3 3 .a b c a b a b a b a b a b a b⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − + = − ⋅ ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
Sada je
3 3 3 2 23 3 3 3 3
3 .2 2
3 3 3
a b c a b a ba b c a b c
a b c a b a b
+ + = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒ + + = ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
■
34
Dokaz 386
Neka je P polovište dužine teAB O M∈ bilo koja točka ravnine M. Dokažite:1
.2
OP OA OB→ → →
= ⋅ +
Teorija
Vektor je usmjerena dužina AB→
u kojoj razlikujemo početnu točku (hvatište) A i završnu točku (kraj)
B. Crtamo ga poput obične dužine s tim da je završna točka označena strjelicom.
Dva su vektora jednaka ako se podudaraju po duljini, smjeru i orijentaciji.
Zbrajanje vektora prema pravilu trokuta
AB + BC = AC
A B
C
Kraj jednog vektora je početak drugog. Zbroj vektora iAB BC→ →
je vektor .AC→
Za zbrajanje vektora vrijedi zakon komutacije.
.a b b a→ → → →
+ = +
Oduzimanje vektora
a
b a - b
Vektore ia b→ →
smjestimo tako da im se hvatišta poklope. Tada je vrh od a→
ujedno vrh od a b→ →
− , a
vrh od b→
ujedno hvatište od .a b→ →
−
Nul – vektor je vektor čiji je modul (duljina) jednak 0. Oznaka: 0 .→
Množenje skalara i vektora
Svojstvo:
.a b a bα α α→ → → →
⋅ + = ⋅ + ⋅
����
PPA B
O O
BA
Sa slika vidi se:
35
2 , , , 0AB AP AP PB AP BP AP BP→ → → → → → → → →
= ⋅ = = − + =
1.inačica
zbrojimo
jednakosti
OP OA APOP OP OA AP OB BP
OP OB BP
→ → → → → → → → →= + ⇒ ⇒ + = + + + ⇒ → → → = +
02 2APOP OA OB AP BP OP OA OBBP→→ → → → → → → →
⇒ ⋅ = + + + ⇒ ⇒ ⋅ =→ →
+ ⇒
+ =
1
2 ./2
1
2OP OA OB OP OA OB→ → → → → →
⇒ ⋅ = + ⇒ = ⋅ +⋅
■
2.inačica
2 2AB OB OA AP OB OA OP OA OB OA→ → → → → → → → → →
= − ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ − = − ⇒
2 2 2 2 2OP OA OB OA OP OB OA OA OP OB OA→ → → → → → → → → → →
⇒ ⋅ − ⋅ = − ⇒ ⋅ = − + ⋅ ⇒ ⋅ = + ⇒
1
2 22
.1
/2
OP OA OB OP OA OB OP OA OB→ → → → → → → → →
⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = + ⇒ = ⋅ +
⋅ ■
3.inačica
zbrojimo
jednakosti
AP OP OAAP BP OP OA OP OB
BP OP OB
→ → → → → → → → →= − ⇒ ⇒ + = − + − ⇒ → → → = −
0 0 OP OA OP OB OA OB OP OAP PBP→ → → → → → → → → → →
⇒ ⇒ = − + − ⇒ + = + ⇒
→+ =
1/
2
12 2 2 .
2OA OB OP OP OA OB OP OA OB OP OA OB→ → → → → → → → → → → →
⇒ + = ⋅ ⇒ ⋅ = + ⇒ ⋅ = + ⇒ = ⋅ +⋅
■
36
Dokaz 387
Dokažite formulu ( ) ( )5 5 4 3 2 2 3 4.a b a b a a b a b a b b+ = + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +
Teorija
Množenje zagrada
( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Svojstvo potencije:
1 1.,a a a a= =
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
����
( ) ( )4 3 2 2 3 4a b a a b a b a b b+ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + =
5 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 5a a b a b a b a b a b a b a b a b b= − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + =
4 3 2 2 3 4 4 53 2 2 3 45a b a b a b a b a b aa b a bb a b− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ +−= =
5 5.a b= + ■
37
Dokaz 388
Dokažite formulu ( ) ( )5 5 4 3 2 2 3 4.a b a b a a b a b a b b− = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
Teorija
Množenje zagrada
( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
Svojstvo potencije:
1 1.,a a a a= =
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
����
( ) ( )4 3 2 2 3 4a b a a b a b a b b− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =
5 4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 5a a b a b a b a b a b a b a b a b b= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − =
4 3 2 2 3 4 4 53 2 2 3 45a b a b a b a b a b aa b a bb a b+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −−= =
5 5.a b= − ■
38
Dokaz 389
Dokažite da je za svaki 3
broj 11n Z n n∈ + ⋅ djeljiv sa 6.
Teorija
Svojstvo potencije:
1 1.,a a a a= =
Dijeljenje potencija jednakih baza:
.:n m n m
a a a−
=
Za cijeli broj a kažemo da je djeljiv s cijelim brojem b ako postoji cijeli broj q tako da vrijedi
.a q b= ⋅
Broj q zovemo količnikom brojeva a i b i pišemo
ili : .a
q a b qb
= =
Ako su pribrojnici djeljivi brojem m, onda je i njihov zbroj djeljiv brojem m.
| | .i |m a m b m a b⇒ +
Razlika kvadrata:
( ) ( ) ( ) ( ),2
.2 2 2
a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
Rastavit ćemo izraz n3 + 11 · n na faktore.
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 211 12 12 1 12 1 1 12n n n n n n n n n n n n n n n+ ⋅ = − + ⋅ = − + ⋅ = ⋅ − + ⋅ = ⋅ − ⋅ + + ⋅ =
( ) ( )1 1 12 .n n n n= − ⋅ ⋅ + + ⋅
Prvi pribrojnik (tri uzastopna cijela broja),
( ) ( )1 1n n n− ⋅ ⋅ +
je djeljiv sa 6 jer se među njegovim faktorima nalaze brojevi 2 i 3.
Drugi pribrojnik
12 n⋅
je djeljiv sa 6. Tada je zbroj pribrojnika djeljiv sa 6. Prema tome broj n3 + 11 · n djeljiv je sa 6. ■
39
Dokaz 390
Dokažite da je za svaki ( )2broj 5n Z n n∈ ⋅ + djeljiv sa 6.
Teorija
Svojstvo potencije:
1 1.,a a a a= =
Dijeljenje potencija jednakih baza:
.:n m n m
a a a−
=
Za cijeli broj a kažemo da je djeljiv s cijelim brojem b ako postoji cijeli broj q tako da vrijedi
.a q b= ⋅
Broj q zovemo količnikom brojeva a i b i pišemo
ili : .a
q a b qb
= =
Ako su pribrojnici djeljivi brojem m, onda je i njihov zbroj djeljiv brojem m.
| | .i |m a m b m a b⇒ +
Razlika kvadrata:
( ) ( ) ( ) ( ),2
.2 2 2
a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
����
Rastavit ćemo izraz n · (n2 + 5) na faktore.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 25 1 6 1 6 1 6 1 1 6n n n n n n n n n n n n n ⋅ + = ⋅ − + = ⋅ − + = ⋅ − + ⋅ = ⋅ − ⋅ + + ⋅ =
( ) ( )1 1 6 .n n n n= − ⋅ ⋅ + + ⋅
Ili
( ) ( ) ( )2 3 3 3 25 5 6 6 1 6n n n n n n n n n n n n n⋅ + = + ⋅ = − + ⋅ = − + ⋅ = ⋅ − + ⋅ =
( ) ( ) ( ) ( )1 1 6 1 1 6 .n n n n n n n n= ⋅ − ⋅ + + ⋅ = − ⋅ ⋅ + + ⋅
Prvi pribrojnik (tri uzastopna cijela broja),
( ) ( )1 1n n n− ⋅ ⋅ +
je djeljiv sa 6 jer se među njegovim faktorima nalaze brojevi 2 i 3.
Drugi pribrojnik
6 n⋅
je djeljiv sa 6. Tada je zbroj pribrojnika djeljiv sa 6. Prema tome broj n · (n2 + 5) djeljiv je sa 6. ■
40
Dokaz 391
Dokažite da je za svaki ( ) ( )broj 1 2 1n Z n n n∈ ⋅ + ⋅ ⋅ + djeljiv sa 6.
Teorija
Za cijeli broj a kažemo da je djeljiv s cijelim brojem b ako postoji cijeli broj q tako da vrijedi
.a q b= ⋅
Broj q zovemo količnikom brojeva a i b i pišemo
ili : .a
q a b qb
= =
Ako su pribrojnici djeljivi brojem m, onda je i njihov zbroj djeljiv brojem m.
| | .i |m a m b m a b⇒ +
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
Rastavit ćemo izraz n · (n + 1) · (2 · n + 1) na faktore.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 1 1 2 1 1 2n n n n n n n n n n n⋅ + ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅ − + + = ⋅ + ⋅ − + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 1 1 2 .n n n n n n n n n n n n= ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ + = − ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ +
Prvi pribrojnik (tri uzastopna cijela broja),
( ) ( )1 1n n n− ⋅ ⋅ +
je djeljiv sa 6 jer se među njegovim faktorima nalaze brojevi 2 i 3.
Drugi pribrojnik (tri uzastopna cijela broja),
( ) ( )1 2n n n⋅ + ⋅ +
je djeljiv sa 6 jer ima faktore 2 i 3. Tada je zbroj pribrojnika djeljiv sa 6. To znači da je broj
n · (n + 1) · (2 · n + 1) djeljiv sa 6. ■
41
Dokaz 392
Dokažite ( ) .z z=
Teorija
Kompleksan broj je broj oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome.
Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:
.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅
����
Neka je .z x y i= + ⋅ Slijedi:
( ) ( ) ( ) .z x y i x y i x y i z= + ⋅ = − ⋅ = + ⋅ = ■
42
Dokaz 393
Dokažite 2
.z z z⋅ =
Teorija
Kompleksan broj je broj oblika ,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome.
Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:
.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅
Kvadrat imaginarne jedinice:
2 21 , 1 .i i= − − =
Drugi korijen pozitivnog broja a je pozitivni broj koji pomnožen sam sa sobom daje broj a. Vrijedi:
( ) ( )2 2
, .a a a a= =
Razlika kvadrata:
( ) ( ) ( ) ( ),2
.2 2 2
a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −
Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + y · i definira se formulom
2 2.z x y= +
Množenje potencija jednakih eksponenata:
( ) ( ), .n nn n n n
a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
����
Neka je .z x y i= + ⋅ Slijedi:
( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2
1z z x y i x y i x y i x y i x y x y⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − − = + =
222 2
.x y z
= + =
■
43
Dokaz 394
Dokažite .z z=
Teorija
Kompleksan broj je broj oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome.
Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:
.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅
Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + y · i definira se formulom
2 2.z x y= +
����
Neka je .z x y i= + ⋅ Slijedi:
( )
2 2 2 2
.2 2 22
z x y i z x y z x yz x y iz z
z x y iz x y iz x yz x y
= + ⋅ = + = += + ⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =
= − ⋅= − ⋅ = += + −
■
44
Dokaz 395
Dokažite da je volumen najveće kugle tri puta veći od zbroja volumena dvije manje ako se polumjeri
triju kugla odnose kao 1 : 2 : 3.
Teorija
Kugla je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od neke čvrste točke (središta) S manja ili
jednaka polumjeru r. Obujam kugle polumjera r:
3.
4
3V r π= ⋅ ⋅
Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je:
a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (količnik) omjera.
Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem.
( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅
( ) ( ): : : .:a b a n b n=
Ako postoji n jednostavnih omjera, takvih da je
:1 2 1
:2 3 2
:3 4 3
....................
:1 1
a a k
a a k
a a k
a a knn n
=
=
=
=− −
produženi omjer je
: : : : ... : :1 3 4
.2 1
a a a a a ann−
Množenje cijelog broja i razlomka:
, , .b a b a b b a b a
a a bc c c c c c
⋅ ⋅ ⋅⋅ = = ⋅ = ⋅
Množenje potencija jednakih eksponenata:
( ) ( ), .n nn n n n
a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Zbrajanje razlomaka jednakih nazivnika:
, .a b a b a b a b
n n n n n n
+ += + + =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Kako zapisati da je broj b n puta veći od broja a?
, , .b b
b n a a nn a
= ⋅ = =
45
����
1.inačica
Neka su r1, r2, r3 polumjeri kugla tako da je
1
: : 1 : 2 : 3 2 .1 2 3 2
33
r k
r r r r k
r k
=
= ⇒ = ⋅
= ⋅
Dokažimo tvrdnju!
( ) 4 4 43 3 33 3
3 1 2 3 1 23 3 3V V V r r rπ π π
= ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒
( ) ( )4 4 4 4 4 43 33 3 3 3
3 3 2 27 3 83 3 3 3 3 3
k k k k k kπ π π π π π
⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
108 4 32 108 363 3 3 3 33 3
3 3 3 3 3k k k k kπ π π π π
⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
108 1083 3.
3 3k kπ π⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ■
2.inačica
Neka su r1, r2, r3 polumjeri kugla tako da je
1
: : 1 : 2 : 3 2 .1 2 3 2
33
r k
r r r r k
r k
=
= ⇒ = ⋅
= ⋅
Gledamo omjer.
( )
4 43 33 33 3 3 3
4 4 43 3 3 31 2 1 2
1 2 1 23 3 3
r rV V
V V V Vr r r r
π π
π π π
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = ⇒
+ +⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
( )( )
( )
3 3 3333 3 3 3
3 3 333 3 21 2 1 2 1 21 21 2
4
34
3
rV V r V k
V V V V V Vr r k kr r
π
π
⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
+ + ++ + ⋅⋅ ⋅ +
3 327 273 3 3 3 3.3 3 3
8 91 2 1 2 1 2
327
29 13
V V V Vk k
V V V V V
k
kV V Vk k k
⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
+ + + ++ ⋅ ⋅ ⋅ ■
46
Dokaz 396
Dokaži za racionalne brojeve a, b i c korijeni jednadžbe ( ) ( )22 0a b c x a b x a b c+ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + + − =
su racionalni.
Teorija
Množenje potencija jednakih eksponenata:
( ) ( ), .n nn n n n
a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Kvadrat zbroja:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +
Razlika kvadrata:
( ) ( ) ( ) ( ),2
.2 2 2
a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −
Kvadrat realnog broja je nenegativan broj.
20 , .a a R≥ ∈
Diskriminanta kvadratne jednadžbe
20a x b x c⋅ + ⋅ + =
je broj
24 .D b a c= − ⋅ ⋅
Ako je D > 0, jednadžba ima dva realna rješenja.
Ako je D = 0, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje.
Ako je D < 0, jednadžba ima kompleksno – konjugirana rješenja.
����
( ) ( )22 0a b c x a b x a b c+ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + + − = ⇒
( ) ( )
( )
22 0
, 2
24
,
a b c x a b x a b c
a a b c b a b c a b cD b a c
+ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + + − = ⇒ ⇒ ⇒ = + + = − ⋅ + =
= − ⋅ ⋅+ −
( )( ) ( ) ( )2
2 4D a b a b c a b c⇒ = − ⋅ + − ⋅ + + ⋅ + − ⇒
( ) ( )( ) ( )( )24 4D a b a b c a b c⇒ = ⋅ + − ⋅ + + ⋅ + − ⇒
( ) ( )22 2 2
4 2 4D a a b b a b c ⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + − ⇒
( )2 2 2 2 24 8 4 4 2D a a b b a a b b c⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⇒
2 2 2 2 24 8 4 4 8 4 4D a a b b a a b b c⇒ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⇒
( )22 2
4 42 2 2 2
4 8 4 4 8 2 0.4a a b b a a bD c D cb D c⋅ + ⋅ ⋅⇒ = + ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅+ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ≥− ⋅ ■
47
Dokaz 397
Dokaži ako je za neki x R∈� produkt ( )a f x⋅ � negativan tada kvadratna funkcija
( ) 2f x a x b x c= ⋅ + ⋅ + ima realne korijene.
Teorija
Umnožak dva suprotna broja je negativan broj.
0 , 0 0,a b a b> < ⇒ ⋅ <
0 0 0, .a b a b< > ⇒ ⋅ <
Graf kvadratne funkcije
( ) 2, 0f x a x b x c a= ⋅ + ⋅ + ≠
je parabola
2.y a x b x c= ⋅ + ⋅ +
Parabola je grafički prikaz polinoma drugog stupnja.
Za a > 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema gore.
Za a < 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema dolje.
����
Iz uvjeta ( ) 0a f x⋅ <� slijedi:
♥ ( ) [ ] ( ) 0,00a f x f xa >⋅ < ⇒ ⇒ <� � f(x) ima dva realna korijena
♥ ( ) [ ] ( ) 0,00a f x f xa <⋅ < ⇒ ⇒ >� � f(x) ima oba realna korijena
■
48
Dokaz 398
Dokaži ako je za neka dva realna broja x1 i x2 produkt ( ) ( )1 2f x f x⋅ negativan, tada kvadratna
funkcija ( ) 2f x a x b x c= ⋅ + ⋅ + ima realne korijene.
Teorija
Umnožak dva suprotna broja je negativan broj.
0 , 0 0,a b a b> < ⇒ ⋅ <
0 0 0, .a b a b< > ⇒ ⋅ <
Graf kvadratne funkcije
( ) 2, 0f x a x b x c a= ⋅ + ⋅ + ≠
je parabola
2.y a x b x c= ⋅ + ⋅ +
Parabola je grafički prikaz polinoma drugog stupnja.
Za a > 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema gore.
Za a < 0 pripadna parabola je otvorom okrenuta prema dolje.
����
Iz uvjeta ( ) ( ) 01 2
f x f x⋅ < slijedi da su f(x1) i f(x2) suprotnog predznaka pa kvadratna funkcija mora
imati nultočku unutar intervala ( ), .1 2
x x ■
49
Dokaz 399
Dokaži za svaka dva kompleksna broja z i w vrijedi jednakost
2 2 2 22 2 .z w z w z w+ + − = ⋅ + ⋅
Teorija
Kompleksan broj je broj oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome.
Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:
.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅
Svojstva:
2,
2, .z z x y z w z w z w z w⋅ = + + = + − = −
Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + y · i definira se formulom
2 2.z x y= +
.2
z z z⋅ =
Množenje zagrada
( ) ( ) .a b c d a c a d b c b d+ ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
����
( ) ( ) ( ) ( )2 2
z w z w z w z w z w z w+ + − = + ⋅ + + − ⋅ − =
( ) ( ) ( ) ( )z w z w z w z w z z z w w z w w z z z w w z w w= + ⋅ + + − ⋅ − = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ =
z z w w z z w w z z w w z zz w w z z w wz w w+ ⋅ + ⋅ − ⋅ −= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅ =
2 22 2 2 2 .z z w w z w= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ■
Napomena
Navedena jednakost izriče planimetrijski poučak: zbroj kvadrata dijagonala bilo kojeg
paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica.
50
Dokaz 400
Dokaži za sve prirodne brojeve veće od 1 vrijedi nejednakost ( ) ( )log 1 log 2 .1
n nn n+ > +
+
Teorija
Logaritam broja a po bazi b je broj c kojim treba potencirati bazu b da se dobije broj a.
Mnemotehničko pravilo za pamćenje osnovne veze eksponencijalne i logaritamske funkcije:
llog ogb
c ca c a b a b
b=
→= =
Svojstva logaritma:
log log lo ,g log log log log 1, .x x
x y x y bb b b b b b by y
= − − = =
,1 log log 1 , log log .a b x x b x y x ya b b b< < ⇒ > > > ⇒ >
Svojstva nejednakosti:
, .a b c R a c b c> ∈ ⇒ + > +
1 10 .a b
a b< < ⇒ >
Svaki cijeli broj je racionalan broj:
1, .
1
n nn n= =
Zbrajanje razlomaka:
.a c a d b c
b d b d
⋅ + ⋅+ =
⋅
Zbrajanje razlomaka jednakih nazivnika:
, .a b a b a b a b
n n n n n n
+ += + + =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
����
Primijetimo najprije da je
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1
1 1/
1 1 1 11n n
n n n n n n n n< + ⇒ > ⇒ > ⇒ + > + ⇒ + > +
+ + + ++ ⇒
1 1 1 1 2.
1 1
n n n n
n n n n
+ + + + +⇒ > ⇒ >
+ +
Ili ovako:
1 1 1 11
1 2.
2 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 11
1 1 1 1 11 1
n
n
n n n
n n
n nn n n n n
n n n n n
n n n n nn n
>+
+ = + = + = + + +
⇒ ⇒ > + + + + + = = + = + = ++ + + + + +
+
+
Kako je po pretpostavci n > 1, slijedi:
51
1 1log log
1 1 2log log
11 2 1log log
1 1 1
n nn n n nn n
n nn n n n
n nn n
+ + > + + +
⇒ > ⇒ ++ + +>+ + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )log 1 log log 2 log 1 log 1 1 log 2 11 1 1
n n n n n nn n nn n n⇒ + − > + − + ⇒ + − > + − ⇒
+ + +
( ) ( ) ( ) ( )log 1 log 2 log 1 log 2 .1 1
1 1n n n nn nn n− −⇒ + > + ⇒ + > +
+ + ■
52
Dokaz 401
Dokaži da za funkciju f(x) = x2 vrijedi jednakost ( ) ( ) ( )1 1 2 2.f x f x f x− + + = ⋅ +
Teorija
Kvadrat razlike:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −
Kvadrat zbroja:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +
����
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 1 1 1 22
1 2 1f x f x x x x xx xx xf − + + = = − + + = − ⋅ + + + ⋅= + =
( )2 2 2 2 212 1 1 1 2 2 2 2.2x xx x x x x f x= + + + = + + + = ⋅ + = ⋅+ ⋅ +− ⋅ ■
53
Dokaz 402
Dokaži da je kugla konveksan skup.
Teorija
Kugla je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od neke čvrste točke (središta) S manja ili
jednaka polumjeru r.
Sfera je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od središta jednaka r. Kugla je omeđena sferom.
Konveksan skup je podskup euklidskoga prostora koji, čim sadržava neke dvije točke, sadržava i
njihovu spojnicu.
����
rS
A
B
C
Neka je (S, r) sfera pridružena danoj kugli. Ako su A, B bilo koje dvije različite točke kugle i
C AB∈ , tada je očito duljina │SC│ je manja od veće od dviju duljina │SA│ i │SB│. Zato je
│SC│< r pa točka C pripada kugli. ■
54
Dokaz 403
Dokaži da vrijedi jednakost ( ).tg tg tg tg ctg ctgα β α β α β+ = ⋅ ⋅ +
Teorija
Sveza funkcija tg x i ctg x:
, , ,1 1
1 .1tg x ctg x tg x ctg x tg x tg xctg x ctg x
⋅ = = ⋅ = =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Zbrajanje razlomaka:
.a c a d b c
b d b d
⋅ + ⋅+ =
⋅
����
1.inačica
( )1 1 1ctg ctg
tg tg ctg ctgctg ctg ctg ctg ctg ctg
β αα β α β
α β α β α β
++ = + = = ⋅ + =
⋅ ⋅
( ).tg tg ctg ctgα β α β= ⋅ ⋅ + ■
2.inačica
( )tg tg ctg ctg tg tg ctg tg tg ctgα β α β α β α α β β⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
( ) ( ) 1 1 .tg ctg tg tg tg ctg tg tg tg tg tg tgα α β α β β β α β α α β= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = + ■
55
Dokaz 404
Dokažite identitet ( ) ( )2 21,c x s x− = ako su c i s realne funkcije zadane formulama
( ) ( ) ( ) ( )1 1, .
2 2
x x x xc x a a s x a a
− −= ⋅ + = ⋅ −
Teorija
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Množenje potencija jednakih eksponenata:
( ) ( ), .n nn n n n
a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
Razlika kvadrata:
( ) ( ) ( ) ( ),2
.2 2 2
a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
Svojstvo potencije:
1 , 0 1 ,, .0a a a a= ≠ = ≠� �
Potenciranje potencije:
( ) ( ) ( ) ( ), .m n m nn m n m n m n m
a a a a a a⋅ ⋅
= = = =
Kvadrat zbroja:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +
Kvadrat razlike:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b− = − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −
����
1.inačica
( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 12 2
2 2
x x x xc x s x a a a a
− −− = ⋅ + − ⋅ − =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1
4 4 4
x x x x x x x xa a a a a a a a
− − − −= ⋅ + − ⋅ − = ⋅ + − − =
( ) ( )( ) ( ) ( )( )1
4
x x x x x x x xa a a a a a a a
− − − −= ⋅ + − − ⋅ + + − =
( ) ( )1
4
x x x x x x x xa a a a a a a a
− − − −= ⋅ + − + ⋅ + + − =
( ) ( )1
4
x x x xa a a
x x x xa a a aa
− −− + −
− −= ⋅ + + ⋅ + =
( ) ( )1 1 1 12 2 4 1.
4 4 44
4
x x x x x x x xa a a a a a
x xa a a
− − − − += ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
− +⋅ = ⋅ ⋅ = =
� ■
2.inačica
56
( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 12 2
2 2
x x x xc x s x a a a a
− −− = ⋅ + − ⋅ − =
( ) ( )2 21 1
4 4
x x x xa a a a
− −= ⋅ + − ⋅ − =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1
2 24 4
x x x x x x x xa a a a a a a a
− − − −= ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ + =
( ) ( )1 12 2 2 22 2
4 4
x x x x x x x xa a a a a a
⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅= ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ + =
( ) ( )1 12 2 2 22 2
4 4
x x xx x x xxa a a a a a
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ + ⋅ + − +
−⋅ − ⋅
−=
( ) ( )1 12 2 2 22 2
4 4
x x x xa a a a a a
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ + =
� �
( ) ( )1 12 2 2 22 1 2 1
4 4
x x x xa a a a
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ + =
( ) ( )1 12 2 2 22 2
4 4
x x x xa a a a
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ + + − ⋅ − + =
( ) ( )1 2 2 2 22 2
4
x x x xa a a a
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ + + − − + =
( ) ( )1 12 2 2 22 2
2 22
2 22
4 4
x x xx x x xa
xa a aa aa a
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ + + − + − =
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅+ − −⋅ + + =
1 14
44 1.
4= ⋅ = ⋅ = ■
57
Dokaz 405
Dokažite .z w z w+ = +
Teorija
Kompleksan broj je broj oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome.
Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:
.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
1.inačica
Neka su
.z a b i z a b i
w c d i w c d i
= + ⋅ = − ⋅ ⇒
= + ⋅ = − ⋅
( ) ( ) ( )( ) ( )z w a b i c d i a c b d i a c b d i a c b i d i+ = + ⋅ + + ⋅ = + + + ⋅ = + − + ⋅ = + − ⋅ − ⋅ =
( ) ( ) .a b i c d i z w= − ⋅ + − ⋅ = + ■
2.inačica
Neka su
.z a b i z a b i
w c d i w c d i
= + ⋅ = − ⋅ ⇒
= + ⋅ = − ⋅
( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
z w a b i c d i z w a c b d iz w a c b d i
z w a c b d iz w a b i c d i z w a b i c d i
+ = + ⋅ + + ⋅ + = + − + ⋅+ = + + + ⋅ ⇒ ⇒ ⇒
+ = + − + ⋅+ = + ⋅ + + ⋅ + = − ⋅ + − ⋅
.z w z w⇒ + = + ■
58
Dokaz 406
Dokažite .z w z w− = −
Teorija
Kompleksan broj je broj oblika
,z x y i= + ⋅
gdje su x i y realni brojevi, a i imaginarna jedinica. Broj x zove se realni dio kompleksnog broja z, a
broj y imaginarni dio kompleksnog broja z. Pišemo:
I .Re m,x z y z= =
Za kompleksne brojeve x + y · i i x – y · i kažemo da su kompleksno konjugirani jedan drugome.
Simbol konjugiranja jest povlaka iznad broja koji se konjugira:
.z x y i z x y i= + ⋅ ⇒ = − ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
1.inačica
Neka su
.z a b i z a b i
w c d i w c d i
= + ⋅ = − ⋅ ⇒
= + ⋅ = − ⋅
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )z w a b i c d i a b i c d i a c b d i a c b d i− = + ⋅ − + ⋅ = + ⋅ − − ⋅ = − + − ⋅ = − − − ⋅ =
( ) .a c b i d i a b i c d i a b i c d i z w= − − ⋅ + ⋅ = − ⋅ − + ⋅ = − ⋅ − − ⋅ = − ■
2.inačica
Neka su
.z a b i z a b i
w c d i w c d i
= + ⋅ = − ⋅ ⇒
= + ⋅ = − ⋅
( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )z w a b i c d i z w a b i c d i z w a c b d i
z w a b i c d i z w a b i c d iz w a b i c d i
− = + ⋅ − + ⋅ − = + ⋅ − − ⋅ − = − + − ⋅ ⇒ ⇒ ⇒
− = − ⋅ − − ⋅ − = − ⋅ − + ⋅− = + ⋅ − + ⋅
( )
( ).
z w a c b d iz w z w
z w a c b d i
− = − − − ⋅ ⇒ ⇒ − = −
− = − − − ⋅
■
59
Dokaz 407
Dokažite inverzna funkcija linearne funkcije također je linearna funkcija.
Teorija
Linearna funkcija (polinom prvog stupnja) je realna funkcija zadana jednadžbom f(x) = a · x,
a ≠ 0. Funkcija :g K D→ inverzna je funkciji :f D K→ ako vrijedi:
( )( ) za sveg f x x x D= ∈
( )( ) za sve .f g y y y K= ∈
Inverzna funkcija g piše se f - 1.
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
����
1.inačica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11
.1
/f x a x a x f x a x f x x f x f xa
xa a
⋅−
= ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ■
2.inačica
( ) [ ]1
/1
f x a x y a x x a y a y x a y x y xa
x ya
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ ⇒ =⋅= ⋅↔ ⇒
( )11
.f x xa
−⇒ = ⋅ ■
60
Dokaz 408
Dokažite inverzna funkcija afine funkcije također je afina funkcija.
Teorija
Afina funkcija (polinom prvog stupnja) je realna funkcija zadana jednadžbom f(x) = a · x + b,
a ≠ 0.
Funkcija :g K D→ inverzna je funkciji :f D K→ ako vrijedi:
( )( ) za sveg f x x x D= ∈
( )( ) za sve .f g y y y K= ∈
Inverzna funkcija g piše se f - 1.
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
����
1.inačica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )11
/b
f x a x b a x b f x a x f x b a x f x b x fa aa
x= ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ = ⋅ −⋅ ⇒
( )11
.b
f x xa a
−⇒ = ⋅ − ■
2.inačica
( ) [ ]f x a x b y a x b x y x a y b a y b x a y x b= ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒ ⇒ = ⋅ + ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = −↔ ⇒
( )1 11
/1
.b b
a y x b y x f x xa a aa a
⋅−
⇒ ⋅ = − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ■
61
Dokaz 409
Dokažite da je inverzna funkcija racionalne funkcije ( )a x b
f xc x d
⋅ +=
⋅ + racionalna funkcija.
Teorija
Funkcija :g K D→ inverzna je funkciji :f D K→ ako vrijedi:
( )( ) za sveg f x x x D= ∈
( )( ) za sve .f g y y y K= ∈
Inverzna funkcija g piše se f - 1.
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
1.inačica
( ) ( ) ( ) ( ) ( )/a x b a x b
f x f x f x c x d a x bc x d c
c x dx d
⋅ + ⋅ += ⇒ = ⇒ ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⇒
⋅ + ⋅ +⋅ ⋅ +
( ) ( ) ( ) ( )f x c x f x d a x b f x c x a x b f x d⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )1
/c f x a x b d f x c f x a x bf
d f xc x a
⇒ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅⋅⋅
= −−
⋅ ⇒
( )( )
( )( )
( )1.
b d f x d f x b d x bx x f x
c f x a c f x a c x a
− ⋅ − ⋅ + − ⋅ +−⇒ = ⇒ = ⇒ =
⋅ − ⋅ − ⋅ − ■
2.inačica
( ) [ ] ( )/a x b a x b a y b a y
x yb
f x y x xc x d c x d c y d c
c dy d
y⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
= ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒⋅ + ⋅ +
↔ ⋅+
⋅⋅
++ ⋅
( )x c y d a y b x c y x d a y b x c y a y b d x⇒ ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒
( ) ( )1
/b d x
c x a y b d x c x a y b dc x a
x yc x a
⋅⋅ −
− ⋅⇒ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒ = ⇒
⋅ −
( )1.
d x b d x by f x
c x a c x a
− ⋅ + − ⋅ +−⇒ = ⇒ =
⋅ − ⋅ − ■
62
Dokaz 410
Dokažite ako je ( )2 1
,2
xf x
x
⋅ +=
− onda je ( )( ) { }, \ 2 .f f x x x R= ∀ ∈�
Teorija
Svaki cijeli broj je racionalan broj:
1, .
1
n nn n= =
Zbrajanje razlomaka:
.a c a d b c
b d b d
⋅ + ⋅+ =
⋅
Oduzimanje razlomaka:
.a c a d b c
b d b d
⋅ − ⋅− =
⋅
Množenje cijelog broja i razlomka:
, , .b a b a b b a b a
a a bc c c c c c
⋅ ⋅ ⋅⋅ = = ⋅ = ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
( )2 1 22 1
2
1
2 2
fxf f x
x
f x xf f x f f x f x
f fx x
⋅ + ⋅ + = = = = = =
⋅ +
−
− −=�
( )
( )
( )
2 2 12 1 4 2 1 4 2 22 1 1
2 2 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 22 2
2 2 2 1 2
2 1
2
xx x x x
x x x x
x x x x x
x x
x
x
xf x
x
⋅ ⋅ +⋅ + ⋅ + ⋅ + + −⋅ + + +
− − − −= = = = = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − ⋅ − −
⋅ +=
− − −− − − −
4 2 2 4 4 5 5
52 2 2 2.
2 1 2 4 1 4 1 4 5 5 5
2 2 2 2
2 2
52
2 2 5
2
x x x x x x x x
x xx x x xx
x x
x
x
x
x x xx
x
⋅ + + − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
⋅ ⋅− − − −= = = = = = = =
⋅ + − ⋅ + + + +
− −
+ −
−
⋅ − ⋅
−− −
■
63
Dokaz 411
Dokažite za realnu funkciju ( )1
1
xf x
x
−=
+ vrijedi
1.f f
−=
Teorija
Funkcija :g K D→ inverzna je funkciji :f D K→ ako vrijedi:
( )( ) za sveg f x x x D= ∈
( )( ) za sve .f g y y y K= ∈
Inverzna funkcija g piše se f - 1.
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
����
1.inačica
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
1 1 11 1
/ 1x x
f x f x f x x x f x f x x xx x
x− −
= ⇒ = ⇒ ⋅ + = − ⇒ + ⋅⋅ + = − ⇒+ +
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1 1 1 1 11
/1
x f x x f x f x x f x f x x f xf x
⇒ ⋅ + = − ⇒ + ⋅ = − ⇒ + ⋅ = ⋅+
− ⇒
( )( )
( ) ( )1 11
.1 1
f x xx f x f x
f x x
− −−⇒ = ⇒ = =
+ + ■
2.inačica
( ) [ ] ( ) ( )1 1 1 1
1 11 1 1
/ 11
x x y yf x y x x x y yx y y
x x y y
− − − −= ⇒ = ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅ + = − ⇒
+ + + +↔ ⋅ +
( ) ( )1 1 1 1 11
/1
1x x y y x y y x x y x xx
x y⇒ + ⋅ = − ⇒ ⋅ + = − ⇒ + ⋅ = − ⇒ + ⋅ = − ⋅+
⇒
( ) ( )1 11
.1 1
x xy f x f x
x x
− −−⇒ = ⇒ = =
+ + ■
64
Dokaz 412
Dokažite identitet ( )100 50
1 2 .i+ = −
Teorija
Potenciranje potencije:
( ) ( ) ( ) ( ), .m n m nn m n m n m n m
a a a a a a⋅ ⋅
= = = =
Kvadrat zbroja:
( ) ( )2 22 2 2 2
2 , .2a b a a b b a a b b a b+ = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + = +
Kvadrat imaginarne jedinice:
2 21 , 1 .i i= − − =
Množenje potencija jednakih eksponenata:
( ) ( ), .n nn n n n
a b a b a b a b⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
Potencija s negativnom bazom i neparnim eksponentom:
( ) .2 1 2 1n n
a a⋅ + ⋅ +
− = −
����
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )50 50100 2 50 50 502 50 50
1 1 1 2 1 2 1 2 21 12i i i i i i i i + = + = + ⋅ + = + ⋅ − −= + ⋅ = ⋅ = ⋅ =
( ) ( )25 2550 2 50 50 50
2 2 1 1 2 2 .i= ⋅ = ⋅ − = − ⋅ = − ■
65
Dokaz 413
Neka je :f R R→ parna funkcija. Dokažite da je graf funkcije :g R R→ zadane s
( ) ( ) , ,g x f x a a R= − ∈ simetričan s obzirom na pravac x = a.
Teorija
Funkciju y = f(x) definiranu u simetričnom području – a ≤ x ≤ a nazivamo parnom, ako je
f(– x) = f(x).
����
Primijetimo da je f parna funkcija
( ) ( ).f x f x− =
Treba pokazati da je za svaki realni broj x ispunjena jednakost
( ) ( ).g a x g a x− = +
Zaista,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a ag a x f a x a g a x f x g a x f x
g a x f a x a g a x f x a g f xa a x
− = − − − = − − = − − ⇒ ⇒ ⇒
+ = + − + = + + = −
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ).
g a x f xf x g a x g a x
g a x f xf x
− = ⇒ ⇒ ⇒ − = +
+ = − = ■
66
Dokaz 414
Dokažite jednakost ( ) ( ) ( )2
1 sin cos 2 1 sin 1 cos .α α α α+ + = ⋅ + ⋅ +
Teorija
Kvadrat trinoma:
( ) .2 2 2 2
2 2 2a b c a b c a b a c b c+ + = + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
( )2
2 .2 2 2
2 2a b c a b a c b c a b c+ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + +
Osnovna trigonometrijska relacija:
2 2 2 2cos sin 1 1 co i, .s s nx x x x+ = = +
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
( )2 2 2 21 sin cos 1 sin cos 2 1 sin 2 1 cos 2 sin cosα α α α α α α α+ + = + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
2 21 sin cos 2 sin 2 cos 2 sin cosα α α α α α= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
( )2 21 sin cos 2 sin 2 cos 2 sin cosα α α α α α= + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
1 1 2 sin 2 cos 2 sin cos 2 2 sin 2 cos 2 sin cosα α α α α α α α= + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =
( ) ( ) ( )( )2 1 sin cos sin cos 2 1 sin cos sin cosα α α α α α α α= ⋅ + + + ⋅ = ⋅ + + + ⋅ =
( ) ( )( ) ( ) ( )2 1 sin cos 1 sin 2 1 sin 1 cos .α α α α α= ⋅ + + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ■
67
Dokaz 415
Dokažite jednakost 4 4sin cos
sin cos .sin cos
α αα α
α α
−= +
−
Teorija
Potenciranje potencije:
( ) ( ) ( ) ( ), .m n m nn m n m n m n m
a a a a a a⋅ ⋅
= = = =
Razlika kvadrata:
( ) ( ) ( ) ( ),2
.2 2 2
a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −
Osnovna trigonometrijska relacija:
2 2 2 2cos sin 1 1 co i, .s s nx x x x+ = = +
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
����
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 2 2 2 2 2sin cos sin cos sin cos4 4sin cos
sin cos sin cos sin cos
α α α α α αα α
α α α α α α
− − ⋅ +−= = =
− − −
( ) ( ) ( )2 2sin cos 1 2 2 sin cos sin cossin cos
sin cos sin cos sin cos
α α α α α αα α
α α α α α α
− ⋅ − ⋅ +−= = = =
− − −
( ) ( )sin cos
s
sin cossin c
ino .
c ss
o
α α
α
α
α
αα α
⋅ += = +
−
− ■
68
Dokaz 416
Dokažite da vrijedi sin
0.cos
x tg x
x ctg x
+>
+
Teorija
Svaki cijeli broj je racionalan broj:
1, .
1
n nn n= =
Zbrajanje razlomaka:
.a c a d b c
b d b d
⋅ + ⋅+ =
⋅
Dvojni razlomak:
.
a
a db
c b c
d
⋅=
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Svojstvo potencije:
1 1, .a a a a= =
Množenje potencija jednakih baza:
, .n m n m n m n m
a a a a a a+ +
⋅ = = ⋅
Kvadrat realnog broja je nenegativan broj:
20 , .a a R≥ ∈
Razlomak je pozitivan:
♥ ako su brojnik i nazivnik pozitivni
0 , 0 0a
a bb
> > ⇒ >
♥ ako su brojnik i nazivnik negativni
0 , 0 0.a
a bb
< < ⇒ >
Definicija tangensa pomoću sinusa i kosinusa:
sin sin
cos co, .
s
x xtg x tg x
x x= =
Definicija kotangensa pomoću sinusa i kosinusa:
cos cos
si i.
n s n,
x xctg x ctg x
x x= =
����
Budući da nazivnik ne smije biti nula, mora biti , .2
x k k Zπ
≠ ⋅ ∈
69
( )( )
sin sin cos sin sin
sin cos sin sinsin 1 cos cos
cos cos sin cos coscos cos sin cos cos
1 sin sin
x x x x x
x x x xx tg x x x
x x x x xx ctg x x x x x
x x
⋅ ++
⋅ ⋅ ++= = = =
⋅ ++ ⋅ ⋅ ++
( )( )
( )
( )
2sin sin cos 1 sin 1 cos0
2cos cos sin 1 cos 1 sin
x x x x x
x x x x x
⋅ ⋅ + ⋅ += = >
⋅ ⋅ + ⋅ + jer je
1 cos 0.
1 sin 0
x
x
+ >
+ > ■
70
Dokaz 417
Dokažite ako su u troznamenkastom prirodnom broju dvije posljednje znamenke jednake, a zbroj
njegovih znamenki djeljiv sa 7, onda je i sam broj djeljiv sa 7.
Teorija
Brojevna vrijednost što je nosi neka znamenka određena je ne samo vrijednošću te znamenke već i pozicijom te znamenke u zapisu broja. Takav zapis broja zovemo pozicijskim zapisom. Općenito:
Ako je ... ,1 2 2 1
N a a a a a an n n=
− − � pri čemu je { }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 0, 1, 2, ... ,a i ni ∈ =
dekadski zapis prirodnog broja N, onda je njegova vrijednost
1 2 210 10 10 ... 10 .10
1 2 2 1n n n
N a a a a a an n n− −
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +− − �
Broj 10 zove se baza dekadskog brojevnog sustava.
Za troznamenkasti prirodni broj vrijedi
1 0 0 ,0 1abc a b c= ⋅ + ⋅ +
gdje je { } { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .a b c∈ ∈
Za prirodan broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodni broj q tako da vrijedi
.a q b= ⋅
Broj q zovemo količnikom brojeva a i b i pišemo
ili : .a
q a b qb
= =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
Troznamenkasti broj kojem su posljednje dvije znamenke jednake možemo napisati u obliku
100 10 100 11 2 4 98 7n abb n a b b n a b n a b a b= ⇒ = ⋅ + ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒
( ) ( )2 2 7 14 .n a b a b⇒ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +
Zbroj znamenki djeljiv je sa 7 pa vrijedi:
2 7 , .a b k k Z+ ⋅ = ⋅ ∈
Sada je
( ) ( ) ( ) ( )2 2 7 14 2 7 7 14 7 2 14 .n a b a b n k a b n k a b= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ +
Dakle, broj n djeljiv je sa 7. ■
71
Dokaz 418
Dokažite ako je znamenka jedinica troznamenkastog cijelog broja jednaka razlici znamenki desetica
i stotica taj je broj djeljiv s 11.
Teorija
Brojevna vrijednost što je nosi neka znamenka određena je ne samo vrijednošću te znamenke već i pozicijom te znamenke u zapisu broja. Takav zapis broja zovemo pozicijskim zapisom. Općenito:
Ako je ... ,1 2 2 1
N a a a a a an n n=
− − � pri čemu je { }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 0, 1, 2, ... ,a i ni ∈ =
dekadski zapis prirodnog broja N, onda je njegova vrijednost
1 2 210 10 10 ... 10 .10
1 2 2 1n n n
N a a a a a an n n− −
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ +− − �
Broj 10 zove se baza dekadskog brojevnog sustava.
Za troznamenkasti prirodni broj vrijedi
1 0 0 ,0 1abc a b c= ⋅ + ⋅ +
gdje je { } { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .a b c∈ ∈
Za prirodan broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodni broj q tako da vrijedi
.a q b= ⋅
Broj q zovemo količnikom brojeva a i b i pišemo
ili : .a
q a b qb
= =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
����
100 10 100 10uvjet
c b aabc a b c abc a b b a= ⋅ + ⋅ + ⇒ ⇒ = ⋅ + + −
= −⋅ ⇒
( )99 11 11 9 .abc a b abc a b⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ + ■
72
Dokaz 419
Dokažite da je za svaki neparan cijeli broj n broj ( ) ( )2 2
20 17 17 20n n⋅ + − ⋅ + djeljiv s 888.
Teorija
Razlika kvadrata:
( ) ( ) ( ) ( ),2
.2 2 2
a b a b a b a b a b a b− = − ⋅ + − ⋅ + = −
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Skup prirodnih brojeva označavamo slovom N, a zapisujemo
{ }1, 2, 3, 4, 5, ... , 1, , 1, . ...N n n n= − +
Za prirodni broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodni broj q tako da vrijedi
.a q b= ⋅
Prirodni brojevi dijele se na parne i neparne brojeve. Parni brojevi su oni brojevi koji su djeljivi s 2, a
neparni su oni koji nisu djeljivi s 2.
Da je proizvoljni prirodni broj m paran znači da se može napisati u obliku
( )2 neki prirodni , 2 .broj ,m m k k N= ⋅ = ⋅ ∈
Da je proizvoljni prirodni broj m neparan znači da se može napisati u obliku
( )2 neki prirodni broj 1 2 1 .,,m m k k N= ⋅ + = ⋅ + ∈
Umnožak dva uzastopna prirodna broja je paran broj.
( )1 2 , .n n k k N⋅ + = ⋅ ∈
����
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 220 17 17 20 20 17 17 20 20 17 17 20n n n n n n⋅ + − ⋅ + = ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + =
( ) ( ) ( ) ( )20 17 17 20 20 17 17 20 3 3 37 37n n n n n n= ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⋅ + = ⋅ − ⋅ ⋅ + =
( ) ( ) ( ) ( )je neparan broj
2 1 ,3 1 37 1 111 1 1n n n n
n
n k k N
= ⋅ −
= ⋅ + ∈⋅ ⋅ + = ⋅ − ⋅ + = ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )111 2 1 1 2 1 1 111 2 2 2 111 2 21 11k k k k k k= ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− ++ =
( ) ( )444 1 1 2 444 2 88 ., 8k k m m Nk k m m= ⋅ ⋅ + = = ⋅ ⋅ =+ ⋅ ⋅ ⋅= ∈ ■
73
Dokaz 420
Dokažite umnožak dva uzastopna parna broja djeljiv je brojem 8.
Teorija
Prirodni brojevi dijele se na parne i neparne brojeve. Parni brojevi su oni brojevi koji su djeljivi s 2, a
neparni su oni koji nisu djeljivi s 2.
Da je proizvoljni prirodni broj m paran znači da se može napisati u obliku
( )2 neki prirodni , 2 .broj ,m m k k N= ⋅ = ⋅ ∈
Parni brojevi rastu za 2.
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Za prirodni broj a kažemo da je djeljiv s prirodnim brojem b ako postoji prirodni broj q tako da vrijedi
.a q b= ⋅
Umnožak dva uzastopna prirodna broja je paran broj.
( )1 2 , .n n k k N⋅ + = ⋅ ∈
Od dva uzastopna parna broja jedan je djeljiv s 4.
����
Neka su zadana dva uzastopna parna broja:
2 , 2 2.n n⋅ ⋅ +
Tada je
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1 4 1 ,1 2n n n n n n n n k k N⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ + == ⋅ ∈ =
4 2 8 .k k= ⋅ ⋅ = ⋅ ■