Теорія алгоритмів RSA та Ель-Гамаля в розмежованій системі

числення Крестенсона –Радемахера

Студентська конкурсна робота

на тему:

Автори: Долинюк Т.М., Кулевчук В.МНауковий керівник: Якименко І. З.

Чому саме це?

Дослідити алгоритмічну та ємнісну складність алгоритмів шифрування

інформаційних потоків з використання алгоритмів RSA, Ель-

Гамаля в базисі Крестенсона.

Дослідження форм систем залишкових класів

Порівняльний аналіз ТЧБ з базисом Радемахера

Мета Метою дослідження є створення

інформаційної технології для оцінки часової складності реалізації методів

захисту інформаційних потоків в комп’ютерних мережах з

використанням алгоритмів RSA, Ель-Гамаля в базисі Крестенсона.

Алгоритм множення багато розрядних чисел в базисі

Крестинсона

ppbaban

i

jij

n

ji modmod2

1

1

1

1

bn-1 … bj … b1 b0

an-1 cn-1 n-1 … cn-1 j … cn-1 1 cn-1 0

… … … … … … …

ai ci n-1 … cij … ci1 ci0

… … … … … … …

a1 c1 n-1 … c1j … c11 c10

a0 c0 n-1 … c0j … c01 c00

добуток чисел a і b

Результати множення

215,3 2 nnO

Складність отриманого алгоритму

Складність відомого

алгоритму 176 2 nnO

0 200 4000

5 105

1 106

1.5 1061.6 106

0

O n( )

O1 n( )

5120 n

Складність операції

модулярного множення з

використанням розмежованої

системи числення Радемахера-

Крестенсона та в десятковій системі

числення.

Алгоритми піднесення до високих показників степенів

ppaapa

kkxn

k

n

i

n

j

jiji

x modmod2mod2

1

0

1

0

1

0

an-1 n-1 … ai n-1 a1 n-1 a0 n-1

… … … … … …

an-1 j … ai j … a1 j a0 j

… … … … … …

an-1 1 … ai 1 … a1 1 a0 1

an-1 0 … ai 0 … a1 0 a0 0

… …1n2a

i2a12a

02a

Піднесення до степеня

Матриця піднесення до

степеня

Складність отриманого алгоритму

Складність відомого

алгоритмуОбчислювальна

складність алгоритму модулярного

експоненціювання з використанням базису

Крестенсона, та алгоритму піднесення

до степеня шляхом послідовного піднесення до

квадрату

1337 23 nnnO

212212 23 nnnO

0 200 4000

5 108

1 109

1.5 1091.7 109

0

O3 n( )

O4 n( )

5120 n

Алгоритми опрацювання інформації в задачах криптографії

00

11

22

11 2222 ppppp r

rr

r

00

11

22

11 2222 qqqqq r

rr

r

,

1

1,

r

ksskmqpn

qr-1 … qj … q1 q0

pr-1 mr-1 r-1 … mr-1 j … mr-1 1 mr-1 0

… … … … … … …

pi mi r-1 … mij … mi1 mi0

… … … … … … …

p1 m1 r-1 … m1j … m11 m10

p0 m0 r-1 … m0j … m01 m00

Матриця знаходження

модуля перетворення в

базисі Радемахера-Крестенсона

Значення функції Ейлера від числа n )1)(1()( qpn

)(1, nee Вибираємо ціле число е

))((mod1 ned Знаходимо секретну експоненту d

),( neP

),( ndS

Відкритий ключ

Таємний ключ

Генерування ключів

Шифрування інформаційних потоків

Обираємо інформаційний потік

),( neP 10, nMZDM n

nMMP e mod)( Шифрування інформаційного

потоку

Mn-1 n-1 … Mi n-1 M1 n-1 M0 n-1

… … … … … …

Mn-1 j … Mi j … M1 j M0 j

… … … … … …

Mn-1 1 … Mi 1 … M1 1 M0 1

Mn-1 0 … Mi 0 … M1 0 M0 0

... ...12 n

М i

М 2 12М02М

МАТРИЦЯ ШИФРОТЕКСТУ

АЛГОРИТМУ ШИФРУВАННЯ RSA

В БАЗИСІ РАДЕМАХЕРА–КРЕСТЕНСОНА

Дешифрування інформаційних потоків

),( ndS

nMPMPS d mod))(())(( :)(MP

Алгоритмічна складність в алгоритмі шифрування інформаційних потоків

Складність класичного алгоритму )2ln(1 2 nenО

складність запропонованого

алгоритму

.,

2log3

256,2

log3log)(3

2

22

випадкахіншихвnnn

nякщоnnnnO

200 400 600 800 10000

2 105

4 105

6 105

8 105

1 106

O1 n( )

O3 n( )

n

Складності О3(n)- алгоритму шифрування

RSA з використанням розмежованої системи числення Радемахера-Крестенсона, О1(n) -

класичного алгоритму RSA.

Генерування ключів в алгоритмі шифрування Ель-Гамаля

y = gxmod p

(p,g,y)

Знаходження відкритого ключа

Генерується випадкове просте число p довжини nВибирається довільне ціле число g, яке є

первісним коренем по модулю p, та будь-яке число взаємно просте з p-1

gn-1 n-1 … gi n-1 g1 n-1 g0 n-1

… … … … … …

gn-1 j … gi j … g1 j g0 j

… … … … … …

gn-1 1 … gi 1 … g1 1 g0 1

gn-1 0 … gi 0 … g1 0 g0 0

... ...12 n

gi

g 2 12g02g

ХЗакритий ключ

Шифрування повідомлення М

Вибирається випадково секретне число k, взаємно просте з p − 1.

Обчислюється a = gkmod p, b = ykMmod p, де M — інформаційний потік який

шифрується.

Дешифрування повідомлення М

pabM x mod)( 1знаючи секретний ключ x,

вихідне повідомлення можна обчислити з шифротексту (a,b)

Алгоритмічна складність в алгоритмі шифрування інформаційних потоків

Складність класичного алгоритму

складність запропонованого

алгоритму Складності О3(n) -

алгоритму шифруваня Ель-Гамаля з

використанням розмежованої системи числення Радемахера-Крестенсона, О1(n) -

класичного алгоритму Ель-Гамаля.

))13((1 2 nnО

1024256,1log

2log

256,1log2

loglog)(3

22

222

nnnnn

nякщоnnnnnO

200 400 600 800 10000

2 106

4 106

6 106

8 106

1 107

O3 n( )

O1 n( )

n

Експериментальне порівняння швидкодії стандартного та

запропонованого алгоритмів

0

1

2

3

4

5

6

7

ABmodP A^x modP

Стандартні 32

Швидкі 32

Стандартні 64

Швидкі 64

Стандартні 96

Швидкі 96

Що було зроблено?Розроблено нові ефективні

алгоритми модулярного множення та експоненціювання в

розмежованій системі числення Радемахера-Крестенсона

Розроблені алгоритми захисту інформаційних потоків на основі

RSA і Ель-Гамала шляхом застосування запропонованих

алгоритмів у розмежованій системі числення Радемахера-Крестенсона

Спасибі за увагу!