TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Domínio, Contradomínio e Imagem

Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)

Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:

YX

f (X )

X é o domínio;Y é o contra-domínio e{y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X} é a imagem,denotada Im(f ) ou f (X ).

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Domínio, Contradomínio e Imagem

Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)

Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:

YX

f (X )

X é o domínio;Y é o contra-domínio e{y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X} é a imagem,denotada Im(f ) ou f (X ).

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Domínio, Contradomínio e Imagem

Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)

Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:

YX

f (X )

X é o domínio;Y é o contra-domínio e{y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X} é a imagem,denotada Im(f ) ou f (X ).

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Domínio, Contradomínio e Imagem

Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)

Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:

YX

f (X )

X é o domínio;Y é o contra-domínio e{y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X} é a imagem,denotada Im(f ) ou f (X ).

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva

Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)

Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é:injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama,cada elemento do contra-domínio é atingido nomáximo uma vez.sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elementodo contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cadaelemento do contra-domínio é atingido exatamenteuma vez.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva

Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)

Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é:injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama,cada elemento do contra-domínio é atingido nomáximo uma vez.sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elementodo contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cadaelemento do contra-domínio é atingido exatamenteuma vez.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva

Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)

Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é:injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama,cada elemento do contra-domínio é atingido nomáximo uma vez.sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elementodo contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cadaelemento do contra-domínio é atingido exatamenteuma vez.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva

Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)

Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é:injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama,cada elemento do contra-domínio é atingido nomáximo uma vez.sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elementodo contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cadaelemento do contra-domínio é atingido exatamenteuma vez.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva

Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)

Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é:injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama,cada elemento do contra-domínio é atingido nomáximo uma vez.sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elementodo contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cadaelemento do contra-domínio é atingido exatamenteuma vez.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva

Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)

Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é:injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama,cada elemento do contra-domínio é atingido nomáximo uma vez.sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elementodo contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cadaelemento do contra-domínio é atingido exatamenteuma vez.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva

Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)

Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é:injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama,cada elemento do contra-domínio é atingido nomáximo uma vez.sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elementodo contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cadaelemento do contra-domínio é atingido exatamenteuma vez.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções – Exemplo 1

Exemplo (função injetiva)

f : R → R2 definido por f (x) = (x , x).

f

R é o domínioR2 é o contra-domínioÉ injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = yNão é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ RA imagem de f é a reta y = x.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções – Exemplo 1

Exemplo (função injetiva)

f : R → R2 definido por f (x) = (x , x).

f

R é o domínioR2 é o contra-domínioÉ injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = yNão é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ RA imagem de f é a reta y = x.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções – Exemplo 1

Exemplo (função injetiva)

f : R → R2 definido por f (x) = (x , x).

f

R é o domínioR2 é o contra-domínioÉ injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = yNão é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ RA imagem de f é a reta y = x.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções – Exemplo 1

Exemplo (função injetiva)

f : R → R2 definido por f (x) = (x , x).

f

R é o domínioR2 é o contra-domínioÉ injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = yNão é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ RA imagem de f é a reta y = x.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções – Exemplo 1

Exemplo (função injetiva)

f : R → R2 definido por f (x) = (x , x).

f

R é o domínioR2 é o contra-domínioÉ injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = yNão é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ RA imagem de f é a reta y = x.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções – Exemplo 1

Exemplo (função injetiva)

f : R → R2 definido por f (x) = (x , x).

f

R é o domínioR2 é o contra-domínioÉ injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = yNão é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ RA imagem de f é a reta y = x.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções – Exemplo 1

Exemplo (função injetiva)

f : R → R2 definido por f (x) = (x , x).

f

R é o domínioR2 é o contra-domínioÉ injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = yNão é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ RA imagem de f é a reta y = x.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções – Exemplo 2

Exemplo (função sobrejetiva)

f : R2 → R definido por f (x , y) = x + y.R2 é o domínioR é o contra-domínioNão é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)

É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento docontra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))tal que f (x) = f (y , 0) = yA imagem de f é R

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções – Exemplo 2

Exemplo (função sobrejetiva)

f : R2 → R definido por f (x , y) = x + y.R2 é o domínioR é o contra-domínioNão é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)

É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento docontra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))tal que f (x) = f (y , 0) = yA imagem de f é R

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções – Exemplo 2

Exemplo (função sobrejetiva)

f : R2 → R definido por f (x , y) = x + y.R2 é o domínioR é o contra-domínioNão é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)

É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento docontra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))tal que f (x) = f (y , 0) = yA imagem de f é R

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções – Exemplo 2

Exemplo (função sobrejetiva)

f : R2 → R definido por f (x , y) = x + y.R2 é o domínioR é o contra-domínioNão é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)

É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento docontra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))tal que f (x) = f (y , 0) = yA imagem de f é R

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções – Exemplo 2

Exemplo (função sobrejetiva)

f : R2 → R definido por f (x , y) = x + y.R2 é o domínioR é o contra-domínioNão é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)

É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento docontra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))tal que f (x) = f (y , 0) = yA imagem de f é R

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Funções – Exemplo 2

Exemplo (função sobrejetiva)

f : R2 → R definido por f (x , y) = x + y.R2 é o domínioR é o contra-domínioNão é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)

É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento docontra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))tal que f (x) = f (y , 0) = yA imagem de f é R

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Definição de Transformação Linear

Definição (transformação linear)

T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares:

T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).

para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R.

Observação

Uma função é linear se e só se preserva soma vetoriale multiplicação por escalar.Se T é linear,

T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Definição de Transformação Linear

Definição (transformação linear)

T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares:

T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).

para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R.

Observação

Uma função é linear se e só se preserva soma vetoriale multiplicação por escalar.Se T é linear,

T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Definição de Transformação Linear

Definição (transformação linear)

T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares:

T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).

para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R.

Observação

Uma função é linear se e só se preserva soma vetoriale multiplicação por escalar.Se T é linear,

T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Definição de Transformação Linear

Definição (transformação linear)

T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares:

T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).

para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R.

Observação

Uma função é linear se e só se preserva soma vetoriale multiplicação por escalar.Se T é linear,

T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Definição de Transformação Linear

Definição (transformação linear)

T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares:

T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).

para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R.

Observação

Uma função é linear se e só se preserva soma vetoriale multiplicação por escalar.Se T é linear,

T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Definição de Transformação Linear

Definição (transformação linear)

T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares:

T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).

para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R.

Observação

Uma função é linear se e só se preserva soma vetoriale multiplicação por escalar.Se T é linear,

T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Notação

Notação

Denotamos por L(U; V ) o conjunto de todas astransformações lineares de U em V .

Observação

Veremos que L(U; V ), munido de operações adequadas, éespaço vetorial.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Notação

Notação

Denotamos por L(U; V ) o conjunto de todas astransformações lineares de U em V .

Observação

Veremos que L(U; V ), munido de operações adequadas, éespaço vetorial.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 1

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?

T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)

= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))

= α(x3, −x1) + (y3, −y1)

= αT (x) + T (y)

Sim.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 1

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?

T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)

= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))

= α(x3, −x1) + (y3, −y1)

= αT (x) + T (y)

Sim.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 1

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?

T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)

= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))

= α(x3, −x1) + (y3, −y1)

= αT (x) + T (y)

Sim.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 1

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?

T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)

= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))

= α(x3, −x1) + (y3, −y1)

= αT (x) + T (y)

Sim.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 1

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?

T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)

= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))

= α(x3, −x1) + (y3, −y1)

= αT (x) + T (y)

Sim.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 1

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?

T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)

= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))

= α(x3, −x1) + (y3, −y1)

= αT (x) + T (y)

Sim.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 1

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?

T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)

= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))

= α(x3, −x1) + (y3, −y1)

= αT (x) + T (y)

Sim.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 2

T : Rn → Rm

x 7→ Am×nxé linear?

T (αx + y) = A(αx + y)

= αAx + Ay

= αT (x) + T (y)

Sim.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 2

T : Rn → Rm

x 7→ Am×nxé linear?

T (αx + y) = A(αx + y)

= αAx + Ay

= αT (x) + T (y)

Sim.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 2

T : Rn → Rm

x 7→ Am×nxé linear?

T (αx + y) = A(αx + y)

= αAx + Ay

= αT (x) + T (y)

Sim.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 2

T : Rn → Rm

x 7→ Am×nxé linear?

T (αx + y) = A(αx + y)

= αAx + Ay

= αT (x) + T (y)

Sim.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 2

T : Rn → Rm

x 7→ Am×nxé linear?

T (αx + y) = A(αx + y)

= αAx + Ay

= αT (x) + T (y)

Sim.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 2

T : Rn → Rm

x 7→ Am×nxé linear?

T (αx + y) = A(αx + y)

= αAx + Ay

= αT (x) + T (y)

Sim.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 3

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2)é linear?

T (1, 1, 1) = (1, 1)

T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)

Não.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 3

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2)é linear?

T (1, 1, 1) = (1, 1)

T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)

Não.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 3

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2)é linear?

T (1, 1, 1) = (1, 1)

T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)

Não.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 3

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2)é linear?

T (1, 1, 1) = (1, 1)

T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)

Não.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 3

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2)é linear?

T (1, 1, 1) = (1, 1)

T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)

Não.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 4

Seja C1(R; R) o espaço das funções continuamentediferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas.A transformação derivada

D : C1(R; R) → C(R; R)f 7→ D(f ) = f ′.

é linear?

D(αf + g) = (αf + g)′ = αf′ + g′ = αD(f) + D(g)

Sim.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 4

Seja C1(R; R) o espaço das funções continuamentediferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas.A transformação derivada

D : C1(R; R) → C(R; R)f 7→ D(f ) = f ′.

é linear?

D(αf + g) = (αf + g)′ = αf′ + g′ = αD(f) + D(g)

Sim.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 4

Seja C1(R; R) o espaço das funções continuamentediferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas.A transformação derivada

D : C1(R; R) → C(R; R)f 7→ D(f ) = f ′.

é linear?

D(αf + g) = (αf + g)′ = αf′ + g′ = αD(f) + D(g)

Sim.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 4

Seja C1(R; R) o espaço das funções continuamentediferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas.A transformação derivada

D : C1(R; R) → C(R; R)f 7→ D(f ) = f ′.

é linear?

D(αf + g) = (αf + g)′ = αf′ + g′ = αD(f) + D(g)

Sim.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 4

Seja C1(R; R) o espaço das funções continuamentediferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas.A transformação derivada

D : C1(R; R) → C(R; R)f 7→ D(f ) = f ′.

é linear?

D(αf + g) = (αf + g)′ = αf′ + g′ = αD(f) + D(g)

Sim.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

TL – Exemplo 4

Seja C1(R; R) o espaço das funções continuamentediferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas.A transformação derivada

D : C1(R; R) → C(R; R)f 7→ D(f ) = f ′.

é linear?

D(αf + g) = (αf + g)′ = αf′ + g′ = αD(f) + D(g)

Sim.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Teorema

Teorema

Sejam T : U → V transformação linear e {u1, u2, . . . , un}base de U. Se conhecemos T (ui) para i = 1, . . . , n, entãoT (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U.

u =∑n

i=1 αiui

T (u) = T(∑n

i=1 αiui)

=∑n

i=1 αiT (ui)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Teorema

Teorema

Sejam T : U → V transformação linear e {u1, u2, . . . , un}base de U. Se conhecemos T (ui) para i = 1, . . . , n, entãoT (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U.

u =∑n

i=1 αiui

T (u) = T(∑n

i=1 αiui)

=∑n

i=1 αiT (ui)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Teorema

Teorema

Sejam T : U → V transformação linear e {u1, u2, . . . , un}base de U. Se conhecemos T (ui) para i = 1, . . . , n, entãoT (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U.

u =∑n

i=1 αiui

T (u) = T(∑n

i=1 αiui)

=∑n

i=1 αiT (ui)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Teorema

Teorema

Sejam T : U → V transformação linear e {u1, u2, . . . , un}base de U. Se conhecemos T (ui) para i = 1, . . . , n, entãoT (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U.

u =∑n

i=1 αiui

T (u) = T(∑n

i=1 αiui)

=∑n

i=1 αiT (ui)

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo

Exemplo

Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.Determine T(x,y).

(x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)

T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo

Exemplo

Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.Determine T(x,y).

(x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)

T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo

Exemplo

Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.Determine T(x,y).

(x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)

T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo

Exemplo

Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.Determine T(x,y).

(x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)

T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo

Exemplo

Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.Determine T(x,y).

(x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)

T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo: Rotação

A rotação em torno da origem é uma transformação linear.

uv

R(u + v) = R(u) + R(v)

Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo: Rotação

A rotação em torno da origem é uma transformação linear.

u + v

uv

R(u + v) = R(u) + R(v)

Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo: Rotação

A rotação em torno da origem é uma transformação linear.

R(v)

R(u)

R(v)

RR

v u

u + v

R(u + v) = R(u) + R(v)

Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo: Rotação

A rotação em torno da origem é uma transformação linear.

R(v)

R(u)

R(v)

R(u) + R(v)

v u

u + v

R(u + v) = R(u) + R(v)

Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo: Rotação

A rotação em torno da origem é uma transformação linear.

R(u) + R(v)R

u + v

R(u + v) = R(u) + R(v)

Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo: Rotação

A rotação em torno da origem é uma transformação linear.

R(u) + R(v)R

u + v

R(u + v) = R(u) + R(v)

Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo: Rotação

A rotação em torno da origem é uma transformação linear.

R(u) + R(v)R

u + v

R(u + v) = R(u) + R(v)

Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo: Matriz de Rotação

R([

xy

])= R(xe1 + ye2) = xR(e1) + yR(e2)

cos θ

senθ

θ

e1

R(e1)

− sen θ

cos θ

e2

R(e2)θ

R([

xy

])= x

[cos θsin θ

]+ y

[− sin θ

cos θ

]

=

[cos θ − sin θsin θ cos θ

] [xy

]

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo: Matriz de Rotação

R([

xy

])= R(xe1 + ye2) = xR(e1) + yR(e2)

cos θ

senθ

θ

e1

R(e1)

− sen θ

cos θ

e2

R(e2)θ

R([

xy

])= x

[cos θsin θ

]+ y

[− sin θ

cos θ

]

=

[cos θ − sin θsin θ cos θ

] [xy

]

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo: Matriz de Rotação

R([

xy

])= R(xe1 + ye2) = xR(e1) + yR(e2)

cos θ

senθ

θ

e1

R(e1)

− sen θ

cos θ

e2

R(e2)θ

R([

xy

])= x

[cos θsin θ

]+ y

[− sin θ

cos θ

]

=

[cos θ − sin θsin θ cos θ

] [xy

]

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Núcleo e Imagem

Definição (núcleo, imagem)

O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto dosvetores do domínio cuja imagem por T é o vetor nulo.

Nuc(T ) = {u ∈ U | T (u) = 0}

A imagem de uma transformação linear T é o conjunto dosvetores do contra-domínio que são imagem por T de algumvetor do domínio.

Im(T ) = {v ∈ V | v = T (u) para algum u ∈ U}

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Núcleo e Imagem

Definição (núcleo, imagem)

O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto dosvetores do domínio cuja imagem por T é o vetor nulo.

Nuc(T ) = {u ∈ U | T (u) = 0}

A imagem de uma transformação linear T é o conjunto dosvetores do contra-domínio que são imagem por T de algumvetor do domínio.

Im(T ) = {v ∈ V | v = T (u) para algum u ∈ U}

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Núcleo e Imagem

Observação

Nuc(T ) é subespaço vetorial de U.

Im(T ) é subespaço vetorial de V .

Definição (nulidade, posto)

A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão doseu núcleo

ν(T ) = dim(Nuc(T ))

O posto de uma transformação linear T é a dimensão dasua imagem

dim Im(T ) = dim(Im(T ))

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Núcleo e Imagem

Observação

Nuc(T ) é subespaço vetorial de U.

Im(T ) é subespaço vetorial de V .

Definição (nulidade, posto)

A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão doseu núcleo

ν(T ) = dim(Nuc(T ))

O posto de uma transformação linear T é a dimensão dasua imagem

dim Im(T ) = dim(Im(T ))

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Núcleo e Imagem

Observação

Nuc(T ) é subespaço vetorial de U.

Im(T ) é subespaço vetorial de V .

Definição (nulidade, posto)

A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão doseu núcleo

ν(T ) = dim(Nuc(T ))

O posto de uma transformação linear T é a dimensão dasua imagem

dim Im(T ) = dim(Im(T ))

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Núcleo e Imagem

Exemplo

T : R2 → R3, T (x , y) = (x + y , −2(x + y), 0)

T (x , y) = (0, 0, 0) ⇔ x + y = 0Nuc(T ) = 〈(1,−1)〉

Im(T ) = 〈(1,−2, 0)〉

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Núcleo e Imagem

Exemplo

T : R2 → R3, T (x , y) = (x + y , −2(x + y), 0)

T (x , y) = (0, 0, 0) ⇔ x + y = 0Nuc(T ) = 〈(1,−1)〉

Im(T ) = 〈(1,−2, 0)〉

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Núcleo e Imagem

Exemplo

T : R2 → R3, T (x , y) = (x + y , −2(x + y), 0)

T (x , y) = (0, 0, 0) ⇔ x + y = 0Nuc(T ) = 〈(1,−1)〉

Im(T ) = 〈(1,−2, 0)〉

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Núcleo e Imagem

Exemplo

T : R2 → R3, T (x , y) = (x + y , −2(x + y), 0)

T (x , y) = (0, 0, 0) ⇔ x + y = 0Nuc(T ) = 〈(1,−1)〉

Im(T ) = 〈(1,−2, 0)〉

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Núcleo e Imagem

Lema

Seja T : U → V uma TL. Então:T é injetiva ⇔ Nuc(T ) = {0}T é sobrejetiva ⇔ dim(Im(T )) = dim(V )

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Núcleo e Imagem

Lema

Seja T : U → V uma TL. Então:T é injetiva ⇔ Nuc(T ) = {0}T é sobrejetiva ⇔ dim(Im(T )) = dim(V )

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Núcleo e Imagem

Lema

Seja T : U → V uma TL. Então:T é injetiva ⇔ Nuc(T ) = {0}T é sobrejetiva ⇔ dim(Im(T )) = dim(V )

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Núcleo e Imagem

Teorema (do Núcleo e Imagem)

Seja T : U → V uma TL. Então

dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) = dim(U).

Prova

Seja {u1, . . . , uν} base de Nuc(T ) esejam v1, . . . , vr tais que {u1, . . . , uν , v1, . . . , vr}seja base de U. Basta verificar que{T (v1), . . . , T (vr )} é base de Im(T ).

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Núcleo e Imagem

Teorema (do Núcleo e Imagem)

Seja T : U → V uma TL. Então

dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) = dim(U).

Prova

Seja {u1, . . . , uν} base de Nuc(T ) esejam v1, . . . , vr tais que {u1, . . . , uν , v1, . . . , vr}seja base de U. Basta verificar que{T (v1), . . . , T (vr )} é base de Im(T ).

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Núcleo e Imagem

Teorema (do Núcleo e Imagem)

Seja T : U → V uma TL. Então

dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) = dim(U).

Prova

Seja {u1, . . . , uν} base de Nuc(T ) esejam v1, . . . , vr tais que {u1, . . . , uν , v1, . . . , vr}seja base de U. Basta verificar que{T (v1), . . . , T (vr )} é base de Im(T ).

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Núcleo e Imagem

Teorema (do Núcleo e Imagem)

Seja T : U → V uma TL. Então

dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) = dim(U).

Prova

Seja {u1, . . . , uν} base de Nuc(T ) esejam v1, . . . , vr tais que {u1, . . . , uν , v1, . . . , vr}seja base de U. Basta verificar que{T (v1), . . . , T (vr )} é base de Im(T ).

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Espaço Vetorial das TLs

Definição (operações entre TLs)

Dados T , S ∈ L(U; V ) e α ∈ R definimos a soma de TLs e asua multiplicação por escalar como:

T + S : U → Vu 7→ T (u) + S(u)

eαT : U → V

u 7→ αT (u).

Lema (espaço vetorial das TLs)

L(U; V ) com as operações acima é um espaço vetorial.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Espaço Vetorial das TLs

Definição (operações entre TLs)

Dados T , S ∈ L(U; V ) e α ∈ R definimos a soma de TLs e asua multiplicação por escalar como:

T + S : U → Vu 7→ T (u) + S(u)

eαT : U → V

u 7→ αT (u).

Lema (espaço vetorial das TLs)

L(U; V ) com as operações acima é um espaço vetorial.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Composição de Funções

Definição (composição de funções)

Dadas f : X → Y e g : Y → Z, define-se

g ◦ f : X → Zx 7→ g(f (x))

f g

X Y Z

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Composição de Funções

Definição (composição de funções)

Dadas f : X → Y e g : Y → Z, define-se

g ◦ f : X → Zx 7→ g(f (x))

f g

X Y Z

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Composição de Funções

Definição (composição de funções)

Dadas f : X → Y e g : Y → Z, define-se

g ◦ f : X → Zx 7→ g(f (x))

X Z

g ◦ f

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Composição de Funções

Propriedades da Composição

Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ hNão-comutatividade:em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estãodefinidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.Exemplo em breve.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Composição de Funções

Propriedades da Composição

Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ hNão-comutatividade:em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estãodefinidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.Exemplo em breve.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Composição de Funções

Propriedades da Composição

Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ hNão-comutatividade:em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estãodefinidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.Exemplo em breve.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Composição de Funções

Propriedades da Composição

Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ hNão-comutatividade:em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estãodefinidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.Exemplo em breve.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Composição de Funções

Propriedades da Composição

Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ hNão-comutatividade:em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estãodefinidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.Exemplo em breve.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Composição de TLs

Propriedades da Composição de TLs

No caso particular em que as funções são TLs, temosalgumas propriedades adicionais:

A composição de TLs é uma TL.

(T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v))= αT (S(u)) + T (S(v))= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)

(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Composição de TLs

Propriedades da Composição de TLs

No caso particular em que as funções são TLs, temosalgumas propriedades adicionais:

A composição de TLs é uma TL.

(T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v))= αT (S(u)) + T (S(v))= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)

(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Composição de TLs

Propriedades da Composição de TLs

No caso particular em que as funções são TLs, temosalgumas propriedades adicionais:

A composição de TLs é uma TL.

(T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v))= αT (S(u)) + T (S(v))= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)

(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Composição de TLs

Propriedades da Composição de TLs

No caso particular em que as funções são TLs, temosalgumas propriedades adicionais:

A composição de TLs é uma TL.

(T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v))= αT (S(u)) + T (S(v))= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)

(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Composição de TLs

Propriedades da Composição de TLs

No caso particular em que as funções são TLs, temosalgumas propriedades adicionais:

A composição de TLs é uma TL.

(T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v))= αT (S(u)) + T (S(v))= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)

(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Função Inversa

Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;(b) injetividade garante a unicidade de tal x .Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f−1:

f−1 : Y → Xy 7→ x satisfazendo f (x) = y .

f

X YÁlgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Função Inversa

Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;(b) injetividade garante a unicidade de tal x .Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f−1:

f−1 : Y → Xy 7→ x satisfazendo f (x) = y .

f

X YÁlgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Função Inversa

Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;(b) injetividade garante a unicidade de tal x .Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f−1:

f−1 : Y → Xy 7→ x satisfazendo f (x) = y .

f

X YÁlgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Função Inversa

Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;(b) injetividade garante a unicidade de tal x .Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f−1:

f−1 : Y → Xy 7→ x satisfazendo f (x) = y .

f

X YÁlgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Função Inversa

Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;(b) injetividade garante a unicidade de tal x .Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f−1:

f−1 : Y → Xy 7→ x satisfazendo f (x) = y .

f

X YÁlgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Função Inversa

Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;(b) injetividade garante a unicidade de tal x .Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f−1:

f−1 : Y → Xy 7→ x satisfazendo f (x) = y .

f−1

X YÁlgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Propriedades da Inversa

A inversa possui as seguintes propriedades:

f (f−1(y)) = y ∀y ∈ Y , isto é, f ◦ f−1 = IY ef−1(f (x)) = x ∀x ∈ X , isto é, f−1 ◦ f = IX .

De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa,conforme veremos mais adiante.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Propriedades da Inversa

A inversa possui as seguintes propriedades:

f (f−1(y)) = y ∀y ∈ Y , isto é, f ◦ f−1 = IY ef−1(f (x)) = x ∀x ∈ X , isto é, f−1 ◦ f = IX .

De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa,conforme veremos mais adiante.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Propriedades da Inversa

A inversa possui as seguintes propriedades:

f (f−1(y)) = y ∀y ∈ Y , isto é, f ◦ f−1 = IY ef−1(f (x)) = x ∀x ∈ X , isto é, f−1 ◦ f = IX .

De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa,conforme veremos mais adiante.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplos de Função Inversa

Exemplo

A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√

x pois ( 3√

y)3 = y e3√

x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.

Exemplo

A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplos de Função Inversa

Exemplo

A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√

x pois ( 3√

y)3 = y e3√

x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.

Exemplo

A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplos de Função Inversa

Exemplo

A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√

x pois ( 3√

y)3 = y e3√

x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.

Exemplo

A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplos de Função Inversa

Exemplo

A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√

x pois ( 3√

y)3 = y e3√

x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.

Exemplo

A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplos de Função Inversa

Exemplo

A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√

x pois ( 3√

y)3 = y e3√

x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.

Exemplo

A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplos de Função Inversa

Exemplo

A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√

x pois ( 3√

y)3 = y e3√

x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.

Exemplo

A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplos de Função Inversa

Exemplo

A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√

x pois ( 3√

y)3 = y e3√

x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.

Exemplo

A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplos de Função Inversa

Exemplo

A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√

x pois ( 3√

y)3 = y e3√

x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.

Exemplo

A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Exemplos de Função Inversa

Exemplo

A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√

x pois ( 3√

y)3 = y e3√

x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.

Exemplo

A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Caracterização da Inversa

Lema

Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existemg, h : Y → X satisfazendo:(a) g ◦ f = IX (identidade em X) e(b) f ◦ h = IY (identidade em Y),então f é bijetiva e g = h = f−1.

Corolário

Se f é bijetiva, então f−1 é bijetiva e (f−1)−1 = f .

Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Caracterização da Inversa

Lema

Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existemg, h : Y → X satisfazendo:(a) g ◦ f = IX (identidade em X) e(b) f ◦ h = IY (identidade em Y),então f é bijetiva e g = h = f−1.

Corolário

Se f é bijetiva, então f−1 é bijetiva e (f−1)−1 = f .

Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Caracterização da Inversa

Lema

Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existemg, h : Y → X satisfazendo:(a) g ◦ f = IX (identidade em X) e(b) f ◦ h = IY (identidade em Y),então f é bijetiva e g = h = f−1.

Corolário

Se f é bijetiva, então f−1 é bijetiva e (f−1)−1 = f .

Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Caracterização da Inversa

Lema

Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existemg, h : Y → X satisfazendo:(a) g ◦ f = IX (identidade em X) e(b) f ◦ h = IY (identidade em Y),então f é bijetiva e g = h = f−1.

Corolário

Se f é bijetiva, então f−1 é bijetiva e (f−1)−1 = f .

Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Caracterização da Inversa

Lema

Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existemg, h : Y → X satisfazendo:(a) g ◦ f = IX (identidade em X) e(b) f ◦ h = IY (identidade em Y),então f é bijetiva e g = h = f−1.

Corolário

Se f é bijetiva, então f−1 é bijetiva e (f−1)−1 = f .

Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Caracterização da Inversa

Lema

Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existemg, h : Y → X satisfazendo:(a) g ◦ f = IX (identidade em X) e(b) f ◦ h = IY (identidade em Y),então f é bijetiva e g = h = f−1.

Corolário

Se f é bijetiva, então f−1 é bijetiva e (f−1)−1 = f .

Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Inversa da Composta

Lema

Se g : Y → Z e f : X → Y são invertíveis então g ◦ ftambém o é e (g ◦ f )−1 = f−1 ◦ g−1.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Inversa da Composta

Lema

Se g : Y → Z e f : X → Y são invertíveis então g ◦ ftambém o é e (g ◦ f )−1 = f−1 ◦ g−1.

f g

X Y Z

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Inversa da Composta

Lema

Se g : Y → Z e f : X → Y são invertíveis então g ◦ ftambém o é e (g ◦ f )−1 = f−1 ◦ g−1.

f g

X Y Zg ◦ f

Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 30

TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Inversa da Composta

Lema

Se g : Y → Z e f : X → Y são invertíveis então g ◦ ftambém o é e (g ◦ f )−1 = f−1 ◦ g−1.

f−1 g−1

X Y Zf−1 ◦ g−1

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Inversa de TL

Uma transformação linear é uma função e, como tal,admite uma função inversa desde que seja bijetiva.Há dois fatos específicos relativos à inversa de umatransformação linear importantes.

Lema (inversa de TL)

Se T : U → V é transformação linear invertível, entãoT−1 também é linear;U e V têm a mesma dimensão.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Inversa de TL

Uma transformação linear é uma função e, como tal,admite uma função inversa desde que seja bijetiva.Há dois fatos específicos relativos à inversa de umatransformação linear importantes.

Lema (inversa de TL)

Se T : U → V é transformação linear invertível, entãoT−1 também é linear;U e V têm a mesma dimensão.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Inversa de TL

Uma transformação linear é uma função e, como tal,admite uma função inversa desde que seja bijetiva.Há dois fatos específicos relativos à inversa de umatransformação linear importantes.

Lema (inversa de TL)

Se T : U → V é transformação linear invertível, entãoT−1 também é linear;U e V têm a mesma dimensão.

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TransformaçõesLinearesRevisão de Funções

Definição

Projeção, Rotação eReflexão

Núcleo e Imagem

composição deTLs/produto dematrizes

Função Inversa

Inversa de TL

Inversa de TL

Uma transformação linear é uma função e, como tal,admite uma função inversa desde que seja bijetiva.Há dois fatos específicos relativos à inversa de umatransformação linear importantes.

Lema (inversa de TL)

Se T : U → V é transformação linear invertível, entãoT−1 também é linear;U e V têm a mesma dimensão.

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