Dominio de la Frecuencia Alvaro Guti errez & F elix ...· Interpretacion del Segundo M etodo de Ziegler-Nichols

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  • Dominio de la Frecuencia

    Alvaro Gutierrez & Felix Monasterio-Huelin

    13 de enero de 2015

    Indice

    1. Introduccion 2

    2. Representaciones Graficas 5

    2.1. Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2.2. Diagrama de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.2.1. Conclusiones en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3. Estabilidad 13

    3.1. Criterio de Estabilidad de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    3.1.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    3.1.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    3.1.3. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    3.2. Margen de Fase y Margen de Ganancia . . . . . . . . . . . . . 18

    3.3. Ancho de Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1

  • 3.4. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    3.5. Relaciones entre el Dominio del Tiempo y el Dominio de laFrecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    4. Sintonizacion de PIDs 23

    4.1. Interpretacion de un PID en el Dominio de la Frecuencia . . . 23

    4.2. Interpretacion del Segundo Metodo de Ziegler-Nichols en elDominio de la Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    4.2.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    4.3. Metodo de Ziegler-Nichols Modificado . . . . . . . . . . . . . . 28

    4.3.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2

  • 1. Introduccion

    La respuesta de un sistema en el dominio de la frecuencia hace referenciaa la respuesta de un sistema en regimen permanente frente a una entradasinusoidal. Tengase en cuenta que si la entrada (x(t)) de un sistema lineal einvariante en el tiempo (representado por su funcion de transferencia G(s))es sinusoidal, su salida (y(t)) en regimen permanente tambien sera sinusoidal.Dicha salida tendra la misma frecuencia () pero distinta amplitud y fase. Acontinuacion se demuestra dicha afirmacion.

    Seax(t) = Asen(t) (1)

    la entrada de un sistema estable, lineal e invariante en el tiempo representadopor la funcion de transferencia

    G(s) =Y (s)

    X(s)(2)

    donde X(s) es la funcion de transferencia de la entrada x(t) e Y (s) la funcionde transferencia de la salida y(t).

    La transformada de Laplace de la entrada x(t) es:

    X(s) =A

    s2 + 2(3)

    por lo que1

    Y (s) =A

    s2 + 2G(s) =

    [a

    s+ j+

    a

    s j

    ]G(s) (4)

    donde a =1

    2

    A

    s j y a es el complejo conjugado de a.

    1Tengase en cuenta que la respuesta en regimen permanente de un sistema estable,lineal e invariante en el tiempo a una entrada sinusoidal no depende de las condicionesiniciales, supuestas nulas en el presente desarrollo.

    3

  • Si se representa G(s) como un cociente de polinomios

    G(s) =q(s)

    p(s)(5)

    y se supone G(s) de orden n con todos sus polos reales y simples, entonces:

    G(s) =q(s)

    (s+ p1)(s+ p2) (s+ pn)(6)

    Descomponiendo en fracciones simples, se obtiene:

    Y (s) =a

    s+ j+

    a

    s j +b1

    s+ p1+

    b2s+ p2

    + + b1s+ pn

    (7)

    donde bi R | i [1, n] | n N.

    Aplicando la transformada inversa de Laplace en la Ecuacion 7, se obtiene:

    y(t) = aejt + aejt + b1ep1t + b2e

    p2t + + bnepnt (8)

    Al ser un sistema estable, Re{pi} 0 | i [1, n], por lo que en regimenpermanente,

    yss(t) = limt+

    y(t) = aejt + aejt (9)

    Por lo tanto, teniendo en cuenta la Ecuacion 4, en regimen permanente po-demos reescribir a y a como:

    a =G(s)A

    s2 + 2(s+ j)|s=j =

    AG(j)2j

    a =G(s)A

    s2 + 2(s j)|s=j =

    AG(j)

    2j

    (10)

    4

  • Si se representa G(j) como una variable compleja:

    G(j) = |G(j)|ej (11)

    donde |G(j)| es el modulo y = G(j) su fase, entonces:

    a =A|G(j)|ej

    2j

    a =A|G(j)|ej

    2j

    (12)

    Por lo tanto, se puede reescribir la Ecuacion 9 de la siguiente manera:

    yss(t) =A|G(j)|ejtej ejtej

    2j=

    =A|G(j)|ej(t+) ej(t+)

    2j=

    =A|G(j)|sen(t+ ) ==Bsen(t+ )

    (13)

    donde B = A|G(j|) representa la amplitud de la salida sinusoidal y sudesfase.

    Se puede concluir por lo tanto, que para entradas sinusoidales:

    |G(j)| =Y (j)X(j)

    G(j) =

    Y (j)

    X(j)

    (14)

    Tengase en cuenta que el mismo razonamiento puede ser aplicado para sis-temas estables con polos multiples o complejos conjugados, quedando comotarea del alumno su demostracion.

    5

  • 2. Representaciones Graficas

    2.1. Diagrama de Bode

    El diagrama de Bode se representa mediante dos graficas:

    Magnitud: Es la grafica del logaritmo de la magnitud de la funcionde transferencia: 20 log (|G(j))| con respecto a la frecuencia ().

    Fase: Es la grafica de la fase de la funcion de transferencia: G(j)con respecto a la frecuencia ().

    En Ambas graficas el eje de la frecuencia () se representan en escala lo-gartmica.

    A continuacion se exponen una serie de diagramas de Bode de funciones detransferencias tpicas, que permitiran simplificar la representacion en proble-mas complejos.

    G(j) = K.El diagrama de Bode de G(j) = K se representa en la Figura 1a.Observamos como la curva de magnitud es una constante de valor20 log (K), que sera positivo si K > 1, negativo si K < 1 y cero siK = 1. Observamos que la curva de fase es cero para cualquier valorde K. Por lo que variar la ganancia K de la funcion de transferenciamodifica la curva de magnitud pero no de fase.

    G(j) =1

    jEl diagrama de Bode de G(j) = 1

    jse representa en la Figura 1b.

    Observamos como la curva de magnitud es una recta de pendiente20 dB/dec, con valor 0dB para = 1 rad/s. Observamos que la cur-va de fase es una recta de valor 90 correspondiendo a G(j) =arctan

    [1/

    0

    ]= 90.

    G(j) = jEl diagrama de Bode de G(j) = j se representa en la Figura 1c.

    6

  • 102 101 100 101 10220

    0

    20dB

    rad/s

    102 101 100 101 10290

    60

    30

    0deg

    rad/s

    102 101 100 101 10220

    0

    20dB

    rad/s

    20dB/dec

    102 101 100 101 10290

    60

    30

    0deg

    rad/s

    (a) (b)

    102 101 100 101 10220

    0

    20dB

    rad/s

    20dB/dec

    102 101 100 101 1020

    30

    60

    90deg

    rad/s

    30

    10

    10dB

    rad/s

    Asntota

    AsntotaCurva Exacta

    1/100T 1/10T 1/T 10/T 100/T

    90

    60

    30

    0deg

    rad/s

    1/100T 1/10T 1/T 10/T 100/T

    (c) (d)

    Figura 1: Diagramas de Bode de: (a) G(j) = K, (b) G(j) =1

    j, (c)

    G(j) = j y d) G(j) =1

    1 + jT

    7

  • Observamos como la curva de magnitud es una recta de pendiente20 dB/dec, con valor 0dB para = 1 rad/s. Observamos que la cur-va de fase es una recta de valor 90 correspondiendo a G(j) =arctan

    [0

    ]= 90.

    G(j) =1

    1 + jTEl diagrama de Bode de G(j) = 1

    1+jTse representa en la Figura 1d.

    Si analizamos la funcion de transferencia para valores de T 1,observamos que G(j) 1. Bajo este supuesto la magnitud y fase son0.

    Si analizamos la funcion de transferencia para valores de T 1,observamos que G(j) 1

    jT. Por lo tanto, la magnitud sera una curva

    de pendiente 20 dB/dec y fase 90 para .Observamos que en la frecuencia esquina ( = 1

    Trad/s) podemos apro-

    ximar la magnitud por 0 dB y la fase por 45.

    G(j) =1

    1 + 2(j/n) + (j/n)2

    El diagrama de Bode de G(j) = 11+2(j/n)+(j/n)2

    se representa enla Figura 2 para distintos valores de . Si analizamos la funcion detransferencia para valores de n, observamos que G(j) 1.Bajo este supuesto la magnitud y fase son 0.

    Para valores de n, G(j) 1(j/n)2 . Por lo tanto, la magnitudsera una curva de pendiente 40 dB/dec y fase 180 para .Observamos que en la frecuencia esquina ( = n) podemos aproximarla magnitud por 0 dB y la fase por 90.Recordemos que en las inmediaciones del frecuencia esquina ( = n)existe un pico de resonancia, donde r = n

    1 22 ; 0 0.707.

    A dicha frecuencia, la magnitud de resonancia

    Mr = |G(jr)| =1

    2

    1 2; 0 0.707 (15)

    8

  • 102 101 100 101 10240

    30

    20

    10

    0

    10

    20 dB

    rad/s

    = 0.1 = 0.3 = 0.5

    = 0.7 = 1Asntota

    102 101 100 101 102180

    150

    120

    90

    60

    30

    0deg

    rad/s

    Figura 2: Diagrama de Bode de G(j) =1

    1 + 2(j/n) + (j/n)2, con =

    n y distintos valores de

    9

  • 2.2. Diagrama de Nyquist

    El diagrama de Nyquist es una representacion en coordenadas polares dela magnitud de G(j) (|G(j)|)con respecto al angulo de fase de G(j)( G(j)), [,) 2. Por lo tanto, cada punto del diagrama representaun valor deG(j) para una determinada . Los angulos de fase se representanen el sentido contrario a la agujas del reloj si son positivos y en el sentido delas agujas del reloj si son negativos.

    La ventaja del diagrama de Nyquist es que permite representar las carac-tersticas de la respuesta en frecuencia para todo el rango de en una unicagrafica.

    A continuacion se exponen una serie de diagramas de Nyquist de funcio-nes de transferencia tpicas, que permitiran simplificar la representacion enproblemas complejos.

    G(j) = K.El diagrama de Nyquist de G(j) = K, es un unico punto.

    G(j) =1

    jEl diagrama de Nyquist de G(j) = 1

    j= 1

    90 es el eje imaginarionegativo (ver Figura 3a).

    G(j) = jEl diagrama de Nyquist de G(j) = j = 90 es el eje imaginariopostivo (ver Figura 3b).

    G(j) =1

    1