Embed Size (px)
Citation preview
1
DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik
Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS
Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST328 Yöneylem Araştırması 2 Dersi
2011-2012 Öğretim Yılı
2
n Gerçek hayatta karşılaşılan çoğu problem için geliştirilen karar modellerinin kısıtlarında ve amaç fonksiyonunda doğrusal ilişkileri gözlemek zordur.
n Karar modelinin kısıtlarından en az biri veya amaç fonksiyonunun doğrusal olmadığı durumlar için geliştirilen kavram ve teknikler “Doğrusal Olmayan Programlama” başlığı altında incelenmektedir.
Doğrusal olmayan programlama
3
Doğrusal Olmayan Karar Modelinin Genel Yapısı n X : Karar değişkenleri vektörü, X=(x1, x2, x3, …, xn), n gi(x) : i. Kısıtın ifadesi (i=1,2,…,m), n bi : i. Kısıtın sağ taraf sabiti (i=1,2,…,m), n f(X) : Amaç fonksiyonu ve
en az bir gi(X) ve/veya f(X) doğrusal olmayan vektör fonksiyonları olmak üzere; f(X) fonksiyonunu eniyileyen X vektörünün bulunması.
)X(fZ Enyi
altında kısıtları
m1,2,...,i b)X(g
ii
=
≥
==
≤
4
n Doğrusal olmayan karar modellerinin çözümü için genel bir algoritma ve etkin bir yöntem geliştirilmemiştir.
n Amaç fonksiyonu ve kısıtların yapılarına göre, özel modellerin çözüm teknikleri söz konusudur.
DİKKAT !
5
Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 1
Uygun Çözüm Alanı
Eniyi nokta
6
Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 2
Uygun Çözüm Alanı
Eniyi nokta
7
Maximize f(x) = (x1 – 2)2 + (x2 – 2)2
subject to –3x1 – 2x2 ≤ –6
–x1 + x2 ≤ 3
x1 + x2 ≤ 7
2x1 – 3x2 ≤ 4
x11 2 3 4 5
1
2
3
4
5
x2
Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 3
8
Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 4
9
Max f(x1, x2) = x1x2
s.t. 4x1 + x2 ≤ 8
x1, x2 ≥ 0
2
8
f(x1, x2) = 2
f(x1, x2) =1
x2
x1
Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 5
10
DIŞBÜKEY KÜME
n Verilen bir S kümesinin farklı her iki noktasının dışbükey bileşimiyle bulunan nokta (farklı her iki noktayı birleştiren doğru parçası) S kümesinin bir öğesi ise, S’ye dışbükey küme denir.
n xi, xj ∈ S, 0 ≤ λ ≤1 iken, x0 = λxi + (1- λ)xj, ∀ i ≠j için x0 ∈ S
x1 x2
x1 x1
x2
x2 •
•
•
• •
•
dışbükey dışbükey içbükey
11
Maximize f(x) = (x1 – 2)2 + (x2 – 2)2
subject to –3x1 – 2x2 ≤ –6
–x1 + x2 ≤ 3
x1 + x2 ≤ 7
2x1 – 3x2 ≤ 4
x11 2 3 4 5
1
2
3
4
5
x2
Dışbükey bir uygun çözüm alanı
12
x1
x2
S = {(x1, x2) : (0.5x1 – 0.6)x2 ≤ 1; 2(x1)2 + 3(x2)2 ≥ 27; x1, x2 ≥ 0}
Dışbükey olmayan bir uygun çözüm alanı
13
DIŞBÜKEY / İÇBÜKEY FONKSİYONLAR
14
DIŞBÜKEY FONKSİYON
n X=(X1, X2, ..., Xn); f(X), verilen bir S kümesinde tanımlı bir fonksiyon olsun.
n ∀ x1, x2 ∈ S, x1 ≠ x2 , 0 ≤ λ ≤1 iken, izleyen eşitsizlik gerçekleşiyorsa f(X) dışbükey bir fonksiyondur.
f [λx1 + (1- λ)x2] ≤ λf(x1 )+ (1- λ)f(x2)
n f [λx1 + (1- λ)x2] < λf(x1 )+ (1- λ)f(x2) ise,
“kesin dışbükey fonksiyon”
15
f [λX1 + (1- λ)X2] ≤ λf(X1 )+ (1- λ)f(X2)
X1 X2 λX1+(1- λ)X2
f(X1)
f(X2)
f(λX1+(1- λ)X2)
λf(X1)+(1- λ)f(X2)
16
17
İÇBÜKEY FONKSİYON
n X=(X1, X2, ..., Xn) n f(X), verilen bir S kümesinde tanımlı bir fonksiyon. n ∀ x1, x2 ∈ S, x1 ≠ x2 , 0 ≤ λ ≤1 iken, izleyen
eşitsizlik gerçekleşiyorsa f(X) içbükey bir fonksiyondur. f [λx1 + (1- λ)x2] ≥ λf(x1 )+ (1- λ)f(x2)
n f [λx1 + (1- λ)x2] > λf(x1 )+ (1- λ)f(x2) ise,
“kesin içbükey fonksiyon”
18
λf(X1)+(1- λ)f(X2)
f [λX1 + (1- λ)X2] ≥ λf(X1 )+ (1- λ)f(X2)
X1 X2 λX1+(1- λ)X2
f(X1)
f(X2)
f(λX1+(1- λ)X2)
19
x)x(f =
20
Ne dışbükey ne de içbükey olan fonksiyon
f(x)
x
21
ÇALIŞMA KONUSU !
n f(X)=aX+b şeklinde verilen bir doğrusal fonksiyonun hem içbükey hem de dışbükey bir fonksiyon olduğunu ispatlayınız.
n f(X)=aX2 fonksiyonunun a’nın pozitif değerleri için dışbükey, negatif değerleri için içbükey bir fonksiyon olduğunu ispatlayınız. n İPUCU
n f(X1)=aX12 ; f(X2)=aX2
2
n f [λX1+ (1- λ)X2]=a. ( λX1+ (1- λ)X2 )2
22
ÖZELLİKLER
n Doğrusal bir fonksiyon hem içbükey, hem dışbükey bir fonksiyondur.
n Dışbükey fonksiyonların toplamı da dışbükey bir fonksiyon, içbükey fonksiyonların toplamı da içbükey bir fonksiyondur.
n f(X) dışbükey iken, -f(X) içbükey bir fonksiyondur. n f(X) içbükey iken, -f(X) dışbükeydir.
n Bir fonksiyon, belirli bir alt kümede dışbükey iken, başka bir alt kümede içbükey olabilir.
23
YEREL ENİYİLERLE BÜTÜNSEL ENİYİLER ARASINDAKİ İLİŞKİ
24
DIŞBÜKEYLİK – ENİYİLİK İLİŞKİSİ
n Doğrusal olmayan programlamada, ele alınan fonksiyonun dışbükey veya içbükey olduğunun belirlenebilmesi son derece önemlidir.
n f(x)’in tanımlı olduğu S kümesi içinde, X0’in δ
komşuluğu A olsun. Bu durumda, 1. Eğer f(x), X0’da yerel enküçük değerini
alıyorsa, f(X), A kümesinde dışbükeydir. 2. Eğer f(x), X0’da yerel enbüyük değerini
alıyorsa, f(X), A kümesinde içbükeydir.
25
A
X0
f(x), A kümesi içerisinde X0’da yerel enbüyük değerini aldığından, f(X), A kümesinde içbükeydir.
26
TEOREM
n X=(x1, x2, x3, …, xn) ve f(X) dışbükey bir kümede tanımlı fonksiyon olsun.
n Eğer f(X) dışbükey bir fonksiyon ve X0, f(X)’in yerel enküçük noktası ise, f(X), X0 noktasında bütünsel enküçük değerini alır.
n Eğer f(X) içbükey bir fonksiyon ve X0, f(X)’in yerel enbüyük noktası ise, f(X), X0 noktasında bütünsel enbüyük değerini alır.
27
Çok değişkenli içbükey bir fonksiyon, A noktası enbüyük nokta
28
Çok değişkenli dışbükey bir fonksiyon, B noktası enküçük nokta
29
Yerel eniyilerle bütünsel eniyiler arasındaki özellikler
n Bu iki özellik, dışbükey kümede tanımlı bir fonksiyonun dışbükey veya içbükey olması halinde, yerel eniyi (enküçük veya enbüyük) noktanın bütünsel eniyi nokta olduğunu belirtmektedir.
n Ancak, bunun tersi her zaman doğru değildir. Yani fonksiyonun bir yerel eniyi noktası varsa, bu nokta bütünsel eniyi olmayabilir, bu fonksiyon da dışbükey veya içbükey bir fonksiyon olmayabilir.
30
Fonksiyonun tanım aralığı içinde A, B ve C noktaları yerel enbüyük noktalar, C noktası bütünsel enbüyük nokta. Fonksiyon ne içbükey ne dışbükey.
31
Tanım aralığı içinde bir bütünsel enbüyük ve bir bütünsel enküçük noktaya sahip fonksiyon,
fakat fonksiyon ne dışbükey ne içbükey.
32
Birden fazla enbüyük ve enküçük noktaya sahip fonksiyon, fakat fonksiyon ne dışbükey ne içbükey.
Min {f(x)= sin(x) : 0 ≤ x ≤ 5π}
33
n Fonksiyon, her x için, dışbükey veya içbükey değildir. Belirtilen eniyi çözümler, X ∈S Eniyi f(X) modelinindir. Bu nedenle, bütünsel eniyi noktalar, fonksiyonun değil, modelin eniyi çözümleridir.
n Fonksiyonun bütünsel eniyi çözümü olduklarını belirtebilmek için, eniyi çözümlerin, X ∈R Eniyi f(X) için geçerli olduğunun gösterilmesi gerekmektedir.
34
TÜREVİN ANLAMI (Hatırlatma)
35
36
37
Örnek: f(x)=x2+9x+3 fonksiyonunun x=7 noktasında türevi?
23
23h lim
hh23hlim
h115]3)h963()hh1449[(lim
h]37.97[]3)h7(9)h7[(
limh
)7(f)h7(flim
0h
2
0h
2
0h
22
0h0h
=
+=
+=
−+++++=
++−++++=
−+
→
→
→
→→
38
Tanım
n f(X) fonksiyonunun x=a’daki sağdan türevi soldan türevine eşitse fonksiyonun x=a’da türevi vardır.
39
n f’(a) varsa, f fonksiyonu x=a’da sürekli fonksiyondur. n Tersi doğru olmayabilir! n x=a’da fonksiyon sürekli olup, türevi
olmayabilir. n f fonksiyonu x=a’da sürekli değilse, türevli de
değildir.
40
Örnek: f(x)=|x| fonksiyonunun x=0 daki türevi ? (x=0’da türevi olmayan fakat sürekli olan fonksiyon)
1hh
limh
)0()h0(lim
h0h0
limh
)0(f)h0(flim
1hh
limh
)0()h0(lim
h0h0
limh
)0(f)h0(flim
0h0h0h0h
0h0h0h0h
−=−
=−+−
=−+
=−+
==−+
=−+
=−+
−→+→−→−→
+→+→+→+→
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
<−=
0x;x
0x;xx
41
Örnek: f(x)=|x2-4| fonksiyonunun x=2 deki türevi ? (x=2’de türevi olmayan fakat sürekli olan fonksiyon)
42)(xlim
)2x()2x)(2x(
lim
2x0)4x(
lim
2x
444xlim
2x)2(f)x(f
lim
2x
2x
2
2x
2
2x2x
=+=
−
+−=
−
−−=
−
−−−=
−
−
+→
+→
+→
+→+→
⎪⎩
⎪⎨⎧
>−
<−−=−
2x);4x(
2x);4x(4x
2
22
42)(x-‐lim
)2x()2x)(2x(
lim
2x0)4x(
lim
2x
444xlim
2x)2(f)x(f
lim
2x
2x
2
2x
2
2x2x
−=+=
−
+−−=
−
−−−=
−
−−−=
−
−
−→
−→
−→
−→−→
42
Örnek: İşaretli noktada türevli değil, sürekli değil.
43
Birinci türev
a b c
(a, f(a))
(b, f(b))
(c, f(c))
f ′(a)=0
f ′(b)=0
f ′(c) YOK!
f′(x)>0 f ′(x)>0 f′(x)<0
a: Yerel enbüyük b: Dönüm noktası c: Yerel enküçük
y=f(x)
f′(x)<0
44
y=f(x) fonksiyonunun birinci türevi x=x0 noktasında sıfıra eşitse ve;
n Türevin işareti, x0’ın solundan sağına giderken pozitiften negatife doğru işaret değiştiriyorsa yerel enbüyük,
n Türevin işareti, x0’ın solundan sağına giderken negatiften pozitife doğru işaret değiştiriyorsa yerel enküçük,
n Türevin işareti, x0’ın solundan sağına giderken işaret değiştirmiyorsa ne yerel enbüyük ne de yerel enküçük nokta vardır.
45
b noktasında • yerel enküçük • f′(b)=0 • f′′(b)>0
d noktasında • yerel enbüyük • f′(d)=0 • f′′(d)<0
ÖRNEK
46
[a,b] aralığında • f(x) azalan • f′(x)<0
[b,d] aralığında • f(x) artan • f′(x)>0
b noktasında • yerel enküçük • f′(b)=0
d noktasında • yerel enbüyük • f′(d)=0
47
[a,c] aralığında • f(x) dışbükey • f′′(x)>0
[c,∞] aralığında • f(x) içbükey • f′(x)<0
b noktasında • yerel enküçük • f′′(x)>0
d noktasında • yerel enbüyük • f′′(x)<0
48
f’(x)=0 eşitliğini sağlayan x0 değerine kritik değer (yerel enbüyük veya dönüm noktası olabilir), f(x0) değerine de durağan değer (durgunluk değeri) denir. A, B,C ve D noktalarında birinci türev sıfır olup, fonksiyon bu noktalarda birer durgunluk değerine sahiptir. Ancak tüm durgunluk noktaları, birer uç değer anlamına gelmez. Şekil (a) ve (b)’de birer durgunluk noktası olmasına rağmen, bir yerel eniyi yoktur. Buna karşın şekil (c) ve (d)’deki durgunluk noktalarında sırasıyla bir enküçük ve enbüyük vardır.
ÖRNEK
49
50
51
n Üzerinde çalışılan y=f(x) fonksiyonunun, sürekli ve türevlenebilir olduğu varsayılmaktadır.Bazı durumlarda fonksiyonun birinci türevinin alınamadığı bir noktada da uçdeğer olabilir.
n (a) şeklinde, A ve B noktaları birer uçdeğer olmakla birlikte bu noktada fonksiyonun tanımlı türevi yoktur.
n (b) şeklinde ise C ve D noktalarında birer uçdeğer vardır ve bunu birinci ve ikinci türev sınamalarıyla anlayabiliriz.
ÖRNEK
52
(a) Sabit fonksiyon. Fonksiyonun üzerinde farklı x değerlerine karşılık yer alan tüm y değerleri aynı olduğundan, bu değerleri eniyi değer olarak söyleyemeyiz.
(b) D noktası enküçük noktadır. Fonksiyon monotonik artan olduğundan, bir enbüyük noktaya sahip değildir.
(c) Fonksiyonun bir enbüyük noktası (E) bir de enküçük noktası (F), yani iki uç değeri vardır.
53
ÖRNEK
54
55
TEK DEĞİŞKENLİ
FONKSİYONLARIN
DIŞBÜKEY / İÇBÜKEYLİĞİNİN
BELİRLENMESİ
56
Teorem
n f(x), verilen bir S dışbükey kümesinde tanımlı ve ∀ x∈S için ikinci türevi alınabilir bir fonksiyon olsun.
n f(x) dışbükey bir fonksiyon⇔ ∀ x∈S için f’’(x)≥0 n f(x) kesin dışbükey bir fonksiyon⇔ ∀ x∈S için
f’’(x)>0
n f(x) içbükey bir fonksiyon ⇔ ∀ x∈S için f’’(x)≤0 n f(x) kesin içbükey bir fonksiyon ⇔ ∀ x∈S için
f’’(x)<0
57
2
2 0d fdx
≥
2
2 0d fdx
≤
dışbükey
fonksiyon
f(x) :tek değişkenli bir fonksiyon
içbükey
fonksiyon
58
Hem içbükey hem dışbükey
f(x) :tek değişkenli bir fonksiyon
Ne içbükey
ne dışbükey
fonksiyon
59
ÖRNEK-1
n f(x)=x2, S=R1 fonksiyonu
n f’(x)=2x
n f’’(x)=2
n ∀ x∈S için f’’(x) ≥ 0 olduğundan fonksiyon dışbükey bir fonksiyondur.
60
ÖRNEK-2
n f(x)=ex, S=R1 fonksiyonu
n f’(x)= ex
n f’’(x)= ex
n ∀ x∈S için f’’(x) ≥ 0 olduğundan fonksiyon dışbükey bir fonksiyondur.
61
ÖRNEK-3
n , S=(0,∞) fonksiyonu
n ∀ x∈S için f’’(x) ≤0 olduğundan fonksiyon içbükey bir fonksiyondur.
x)x(f =
x21
)x('f = 2/3x41
)x(''f −−=
62
ÖRNEK-4
n f(x)=ax+b, S=R1 fonksiyonu
n f’(x)= a
n f’’(x)= 0
n ∀ x∈S için f’’(x) = 0 olduğundan fonksiyon hem dışbükey hem içbükey bir fonksiyondur.
63
ÖRNEK-5
n f(x)=x(x-2)2 , ∀ x≥0
n f’(x)=3x2-8x+4
n f’’(x)=6x-8
n Bazı x≥0 için f’’(x) ≥0, bazı x≥0 için f’’(x) ≤0 olduğundan fonksiyon ne içbükey ne dışbükey bir fonksiyondur.
64
ÇOK DEĞİŞKENLİ
FONKSİYONLARIN
DIŞBÜKEY / İÇBÜKEYLİĞİNİN
BELİRLENMESİ
65
TANIM: Kısmi türev
n X=(x1, x2, ..., xn), bir S ⊂Rn kümesinde tanımlı olan f(X) sürekli ve ikinci derece kısmi türevleri alınabilir bir fonksiyon olsun. f(X) fonksiyonunun xi’ye göre kısmi türevi izleyen şekilde tanımlanır:
h) x, ... , x..., , x,f(x -‐ ) x..., h, x..., , x,(x f
Limx)x(f ni21ni21
0hi
+=
∂
∂→
66
TANIM: Hessian Matrisi
n X=(x1, x2, ..., xn), bir S ⊂Rn kümesinde tanımlı olan f(X) sürekli ve ikinci derece kısmi türevleri alınabilir bir fonksiyon olsun. f(X) fonksiyonunun Hessian matrisi izleyen şekilde tanımlanır.
nnji
2
f xxf
H×⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
∂=
67
nnji
2
f xxf
H×⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
∂=
nn2
n
2
2n
2
1n
2
n2
2
22
2
12
2n1
2
21
2
21
2
n21f
xf
...xxf
xxf
............xxf...
xf
xxf
xxf
...xxf
xf
)x,...,x,x(HH
×⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
==
68
n Eğer verilen bir noktada f(X)’in ikinci kısmi türevleri var ve f(X) bu noktalarda sürekli ise, ∀ i ve j için;
ij
2
ji
2
xxf
xxf
∂∂
∂=
∂∂
∂
n Hf, simetrik ve kare bir matristir.
69
ÖRNEK: f(x1, x2)=x13+2x1x2+x2
2
212
22
11
x2x2xf
x2x3xf
+=∂
∂+=
∂
∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
22
2x6)x,x(H
121
70
Tanım: Asal minör
n Bir nxn boyutlu kare matrisin k. asal minörü, son (n-k) satırın ve (n-k) sütunun matristen çıkarılmasıyla elde edilen (kxk) boyutlu matrisin determinantıdır.
71
ÖRNEK-1
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=
411
121
112
A
22A minör asal Birinci 1 ==
31421
12A minör asal İkinci 2 =−=
−
−=
6
411
121
112
A minör asal Üçüncü 3 =
−−
−−
−−
=
72
ÖRNEK-2 f(x1, x2)=x1
3+2x1x2+x22
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
22
2x6)x,x(H
121
11211 x6x6)x,x(H ==Birinci asal minör
İkinci asal minör 4x1222
2x6)x,x(H 1
1212 −==
73
Tanım : Bir matrisin belirliliği
n A, nxn boyutlarında kare ve simetrik bir matris olsun. n A matrisi pozitif belirlidir ⇔ A’nın tüm asal minörleri >0 n A matrisi pozitif yarı belirlidir ⇔ A’nın tüm asal
minörleri ≥0 n A matrisi negatif belirlidir ⇔ A’nın k. mertebe asal
minörü (-1)k ile aynı işareti taşıyorsa (Asal minörlerin işareti (- , +, -, +, ...) şeklinde ise)
n A matrisi negatif yarı belirlidir ⇔ A’nın her tek sıralı asal minörü ≤0 ve her çift sıralı asal minörün işareti ≥0 ise ( Sıfırdan farklı her asal minörün işareti (-1)k ile aynı)
n Yukarıdakilerin dışında bir durum varsa, A matrisi belirsizdir.
74
Tanım: Çok değişkenli bir fonksiyonun dışbükey / içbükeyliği
n X=(x1, x2, ..., xn), bir S ⊂Rn kümesinde tanımlı olan f(X) sürekli ve ∀ X∈S için ikinci derece kısmi türevleri alınabilir bir fonksiyon olsun. n f(X) dışbükey bir fonksiyon ⇔ ∀ X∈S için Hf
pozitif belirli/pozitif yarı belirli ise.
n f(X) içbükey bir fonksiyon ⇔ ∀ X∈S için Hf
negatif belirli/negatif yarı belirli ise.
75
ÖRNEK-1: f(x1, x2 , x3)=x1
2 + x22 + 2x3
2- x1x2 - x2x3 - x1x3 ; S=R3
xxx4
xxx2
xxx2
xf
123
312
321
i⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=∂
∂
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=
411
121
112
H f
0 22H1 >==
0 31421
12H2 >=−=
−
−=
0 6
411
121
112
H3 >=
−−
−−
−−
=
∀ X∈ S için Hf pozitif belirli olduğundan f(X) fonksiyonu DIŞBÜKEY bir fonksiyondur.
76
ÖRNEK-2: f(x1, x2 )=-x12 -2x2
2 - x1x2 ; S=R2
xx4
xx2
xf
12
21
i ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−=
∂
∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−
−−=
41
12H f
0 22H1 <−=−=
0 71841
12H2 >=−=
−−
−−=
∀ X∈ S için Hf negatif belirli olduğundan f(X) fonksiyonu İÇBÜKEY bir fonksiyondur. (Asal minörlerin işareti : - , +)
77
ÖRNEK-3: f(x1, x2 )=x12 +2x2
2 -3x1x2 ; S=R2
x3x4
x3x2
xf
12
21
i ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−
−−=
∂
∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−=
43
32H f
0 22H1 >==
0 19843
32H2 <−=−=
−
−=
Asal minörlerin işareti : + , - olduğundan f(X) fonksiyonu belirli değildir. (Ne içbükey ne dışbükey)
78
ÖRNEK-4: f(x1, x2 )=x12 + 2x1x2 + x2
2 ; S=R2
x2x2
x2x2
xf
21
21
i ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
+
+=
∂
∂
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
22
22H f
0 22H1 >==
04422
22H2 =−==
∀ X∈ S için Hf pozitif yarı belirli olduğundan f(X) fonksiyonu DIŞBÜKEY bir fonksiyondur.
79
ÖRNEK-5:
80
ÖRNEK-6:
H f =
−1x12 0
0 −20x22
"
#
$$$$$
%
&
'''''
81
ÖRNEK-7:
n İkinci kısmi türevlerin hepsi sıfırdır. n Hf(X) hem pozitif yarı belirli, hem de negatif yarı
belirli olduğundan, f(X) fonksiyonu hem içbükey hem dışbükey bir fonksiyon yani doğrusal bir fonksiyondur.
