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Dott.ssa Federica Ferretti Dott.ssa Alice Lemmo
www.formath.it
NRD – Nucleo di Ricerca in Didattica della Matematica
RSDDM - Gruppo di Ricerca e Sperimentazione in Didattica e Divulgazione della Matematica
Castiglione dei Pepoli 20 febbraio 2016
Perché parlare di verticalità?
Come affrontare il problema della verticalità?
Le Indicazioni Nazionali
La ricerca in didattica della matematica
Le prove invalsi
Cominciamo con un gioco
A
r
C Disegna il rettangolo ABCD che ha il lato AB
sulla retta r
Riconosci la figura descritta …
dalla tua collega!
Indicazioni Nazionali Ob5-25 Riprodurre una figura in base a una descrizione, utilizzando gli strumenti opportuni (carta a quadretti, riga e compasso, squadre, software di geometria).
Quadrato Rombo
Livello Percettivo: capacità di riconoscere le figure (ad es. distinguere le forme) e di individuare in una figura componenti e sotttofigure (ad es. lati) Livello Sequenziale: fare o descrivere una costruzione Livello Discorsivo: riconoscere e individuare proprietà matematiche che non sono determinate direttamente dalla percezione Livello Operativo: essere in grado di modificare, anche solo mentalmente, una figura per risolvere un problema (ad es. scomporre)
4 livelli di comprensione per una figura geometrica (Duval, 1995, Duval, 1999)
Efraim Fishbein (1920-1998)
Gérard Vergnaud
Bruno D’amore
Martha Isabel
Fandiño
Pinilla Silvia Sbaragli
Giorgio Bolondi
http://www.dm.unibo.it/rsddm/
Alcuni concetti chiave della didattica della matematica:
Concetti legati - alla costruzione dei concetti
- alle difficoltà che gli studenti incontrano nel raggiungimento di questo obiettivo
sollecitazioni interne o esterne
condizionata da tanti fattori, ma con connotazioni comuni in diversi individui
elaborata più o meno coscientemente
è interna e, almeno in prima istanza, involontaria
Tutte le immagini mentali relative ad uno stesso concetto, costituiscono il
modello mentale del concetto.
costruisce immagine di un concetto C e la crede stabile, definitiva;
riceve nuove informazioni di C (non contemplate nell’immagine precedente);
adeguare la vecchia immagine con la nuova (conservando le precedenti informazioni e accogliendo le nuove).
La nuova costruzione è ovviamente “più
vicina ” al concetto.
Esempio…
Ma .. Si crea un conflitto tra la precedente immagine e la nuova
Conflitto cognitivo interno causato dalla non-congruenza tra le due immagini.
Ciò accade molte volte durante il percorso
scolastico, si può pensare a una successione di immagini che si avvicinano al concetto C.
Esempio…
Durante questa successioni di immagini succede che l’immagine I a cui si è pervenuti “resiste” a sollecitazioni diverse. E’ abbastanza forte.
Le nuove sollecitazioni, invece che distruggere l’immagine precedente per costruirne una nuova, finisco con il confermare la bontà del fatto che I sia l’immagine corretta.
Un’immagine di questo tipo si può chiamare modello M del concetto C.
“Farsi un modello”: rielaborare successivamente immagini instabili e deboli fino a giungere a una di esse definitiva,
stabile. il modello si forma al momento giusto (l’azione didattica ha funzionato e lo studente si è costruito il modello atteso del concetto) il modello si forma troppo presto (non è facile raggiungere il concetto perché la stabilità del modello è di per sé stessa un ostacolo ai futuri apprendimenti)
Es: IL CUBO
durante la Scuola Dell’Infanzia la maestra mostra agli alunni una scatolina di legno rossa a forma di cubo e dice agli studenti che quello è un cubo. Quindi un cubo è di legno? E’ rosso???
vengono mostrati altri oggetti di diverso materiale e diverso colore a forma di cubo
Quindi non è per forza né di legno, né rosso.. È
la forma che lo definisce!
Es: IL CUBO
durante la Scuola Primaria vengono mostrati vari oggetti a forma di cubo … dopo varie sollecitazioni e un susseguirsi di immagini la maggior parte degli studenti creano il modello di cubo come un solido con una data forma.
studi rivelano che per la maggior parte degli studenti di Scuola Primaria,
non è un cubo!!!
modelli che rispondono pienamente alle sollecitazioni intuitive e che hanno dunque
un’accettazione immediata forte. Efraim Fishbein (1920-1998)
«Il livello intuitivo si riferisce alla
dinamica dell’accettazione soggettiva di
un enunciato matematico come cosa
evidente e certa»
(Fischbein , 1985)
conseguenza di proposte da parte dell’insegnante di un’immagine forte e convincente di un concetto, che diventa persistente, confermata da continui esempi ed esperienze; hanno molta forza di persuasione e molta rilevanza nelle competenze dell’allievo;
conducono ad un’accettazione immediata.
Ma non è detto che il modello rispecchi il concetto in questione; molte volte si tratta di modelli creatisi con
la ripetizione e niente affatto auspicati!!
««L’esistenza di incompatibilità e di
contraddizione nelle relazioni tra
il livello concettuale e il fondamento
intuitivo rappresenta una delle
principali fonti di idee sbagliate e di
errori nell’attività matematica dei
bambini» (Fischbein , 1985)
Quando non c’è in gioco una competenza cognitiva forte, emerge con energia il modello intuitivo. Anche
quando uno studente si è costruito un modello corretto di un concetto, a volte, il modello intuitivo
ricompare.
«««L’insistere eccessivamente nel fornire
suggerimenti intuitivi usando
rappresentazioni artificiali e troppo
elaborate può fare più male che
bene» (Fischbein , 1985)
• Accettato nei numeri naturali ed erroneamente esteso a tutti i campi numerici. • Quando si arriverà a dover moltiplicare per 0,5? • Studenti evoluti (anche universitari) si dichiarano meravigliati di fronte al fatto che tra le due operazioni: 18 x 0,25 e 18 : 0,25 la prima è quella che dà un risultato minore.
La moltiplicazione accresce
La moltiplicazione accresce
• Assimilare la nuova situazione per accomodare il modello ad uno nuovo non è affatto facile Necessità didattica di non rendere stabile
quell’immagine troppo presto, nel tentativo di costruire un modello del concetto di moltiplicazione in modo
ottimale (che tenga conto dei successivi ampliamenti, per esempio ai numeri
razionali)
La divisione diminuisce
Nella situazione A : B, il numero B deve essere minore del numero A
15 amici si
dividono 5
kg di biscotti.
Quanti ne
spettano a
ciascuno?
Ricerche dimostrano che studenti, anche di scuole
superiori, vengano spontaneamente spinti ad
eseguire 15 : 5!!
“Con 2 dollari si può comprare una bottiglia di 0,75 l di aranciata. Quanto costa un litro di aranciata?”
Quanto tempo ci avete impiegato a risolverlo? Con quale operazione?
“Con 10 dollari si possono comprare 5 l di aranciata. Quanto costa un litro di aranciata?”
Risolvibili con la stessa procedura!!
Il secondo problema si risolve immediatamente con la divisione 10:5; risolvere il primo con l’analoga divisione
2:0,75 crea imbarazzi a causa del contrasto tra significato formale e significato intuitivo della divisione.
… nel secondo problema i dati numerici vanno d’accordo con le richieste intuitive …
Che succede?
Quando si cerca di risolvere un problema non ci affidiamo solo al livello algoritmo, anche se
questo bagaglio è presente nella mente. Contribuisce anche il livello delle
rappresentazioni intuitive.
Quando l’algoritmo e il livello intuitivo lavorano in accordo l’apprendimento è semplice,
altrimenti si creano delle difficoltà.
“Una misconcezione è un concetto errato e genericamente costituisce un evento da evitare;
essa però non va vista sempre coma una situazione del tutto o certamente negativa: non è escluso che per poter raggiungere la costruzione
di un concetto, si renda necessario passare attraverso una misconcezione momentanea, ma
in corso di sistemazione.” (D’Amore, 1999)
Possono rappresentare concezioni momentaneamente non corrette, in attesa di sistemazione cognitiva.
le immagini che uno studente si fa dei concetti in alcuni casi possono essere delle vere e proprie misconcezioni, cioè interpretazioni errate delle informazioni ricevute;
tali immagini-misconcezioni risultano di ostacolo all’apprendimento futuro solo se diventano forti e stabili modelli erronei di tale concetto.
Lo studente rivela le proprie misconcezioni quando applica correttamente regole scorrette.
Spesso, all’origine di questo fatto c’è una mancata comprensione od un’errata interpretazione. Se l’insegnante non si rende conto di ciò, le sue sollecitazioni cadono a vuoto perché lo studente ha già incluso nel proprio curricolo quelle regole che ritiene corrette e che, in taluni casi, hanno funzionato.
uno studente esegue in colonna le seguenti sottrazioni:
Nella terza, non è stata “presa in prestito una decina”.
Lo studente non capisce di che decina si sta parlando perché ha in mente un’altra regola personale:
«per eseguire le sottrazioni in colonna si procede da destra verso sinistra e, in ogni colonna, si sottrae dal più grande il più piccolo.»
Ne ha avuto conferma in molti casi, la comunicazione che riguardava casi come la terza sottrazione non gli è giunta per chissà quale motivo, e dunque aveva assunto nel suo curricolo quella “regola”.
Una vera e propria misconcezione.
Le misconcezioni si possono interpretare come concezioni momentanee non corrette, in attesa di sistemazione cognitiva più elaborata e critica.
Attenzione, però: lo studente non lo sa e dunque ritiene che le sue, quelle che per noi sono misconcezioni, siano invece concezioni vere e proprie.
Chiamarle errori è troppo semplicistico e banale:
non si tratta di punire, di valutare negativamente;
si tratta di dare gli strumenti per
l'elaborazione critica.
Quando un’insegnante propone un’immagine forte, convincente, persistente e in alcuni casi univoca di
un concetto, tale immagine si trasforma in un modello intuitivo.
In questi casi le misconcezioni possono diventare ostacoli per i futuri apprendimenti.
Quando le misconcezioni non sono da imputare ad una cattiva trasposizione didattica, ma alla
necessaria gradualità di presentazione del sapere, sono inevitabili e da considerare non
negative, in quanto fanno parte del normale sviluppo dei concetti attraverso le immagini e i
modelli.
Le misconcezioni “evitabili” derivano dalla trasposizione didattica del sapere, in quanto sono, appunto, una diretta conseguenza delle scelte degli insegnanti
Queste misconcezioni dipendono da una diretta conseguenza della prassi scolastica minata da improprie consuetudini proposte dagli insegnanti ai propri allievi
Nella formazione delle convinzioni ha una notevole responsabilità il tipo di
insegnamento ricevuto.
Risposta A 41.1% Risposta B 22.3% Risposta C 34.5% Mancate e non valide 2.1%
Contare i quadratini
Trova un esempio per
ognuno di questi casi:
LIV 05_2012 “Area e
Perimetro”
Misconcezioni: Area e Perimetro Risposta A 3,9% Risposta B 53,1% Risposta C 5,4% Risposta D 36,8 Mancate e non valide 0,8%
Prova Nazionale
2014
Misconcezioni: Area e Perimetro
Prova Nazionale
2014
Risposta A 10,5% Risposta B 44,5% Risposta C 9,7% Risposta D 33,9% Mancate e non valide 1,4%
Misconcezioni: Area e Perimetro
Livello 06 2014
Risposta A 12.1% Risposta B 2.6% Risposta C 52.7% Risposta D 30.5% Mancate e non valide 2.1%
PN_2011
“Area e Perimetro”
e altezza
LIV 05_2012
“L’altezza è verticale”
Indicazioni Nazionali TP-II Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo.
LIVELLO 02 2012/2013
LIVELLO 02 2011/2012
LIVELLO 05 2011/2012
LIVELLO 06 2012/2013
Proposte Prototipiche
Risposte Corrette: 14,7%
LIV 05_2010
Proposte Prototipiche
A.: … non è un triangolo isoscele perché non ha i due lati obliqui della stessa lunghezza.
Sul libro c’era scritto che il triangolo è isoscele quando ha i lati obliqui della stessa lunghezza.
Indicazioni Nazionali Ob3-09 Riconoscere, denominare e descrivere figure geometriche. Ob3-10 Disegnare figure geometriche e costruire modelli materiali anche nello spazio. Ob3-11 Classificare numeri, figure, oggetti in base a una o più proprietà, utilizzando rappresentazioni opportune, a seconda dei contesti e dei fini. Ob5-24 Descrivere, denominare e classificare figure geometriche, identificando elementi significativi e simmetrie, anche al fine di farle riprodurre da altri. Ob5-25 Riprodurre una figura in base a una descrizione, utilizzando gli strumenti opportuni (carta a quadretti, riga e compasso, squadre, software di geometria).
TP-II Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo.
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Una convenzione, accettata da tutti i libri di testo, è chiamare il seguente lato del trapezio con il nome di lato obliquo.
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Un uso improprio di questi termini, basato esclusivamente sull’importanza data alla posizione assunta dall’oggetto, piuttosto che alle caratteristiche matematiche dell’oggetto stesso, potrebbe generare misconcezioni “evitabili”.
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La parola base nello spazio…
Nello spazio c’è chi definisce base la faccia sulla quale “appoggia” il solido
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Nell’insegnamento della matematica vi sono dei concetti considerati semplici da essere appresi da parte degli allievi ma che, in realtà, sono alla base di insidiose misconcezioni, causate a volte dalle scelte didattiche effettuate dagli insegnanti.
Esempio: l’altezza… causa di diffuse difficoltà tra gli studenti di qualsiasi età.
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Di solito, nei libri di testo, si legge ad esempio che ciascuna delle tre altezze di un triangolo è «il segmento che “parte” da un vertice e “cade” perpendicolarmente sul lato opposto o sul suo prolungamento».
È lecito domarsi: l’altezza è davvero un segmento o una grandezza? Come può un segmento “partire” e “cadere”? Supponendo che un segmento possa “partire”, lo deve fare per forza da un vertice? Si parla di altezza solo per determinate figure? Quante altezze ha un poligono? L’altezza rappresenta quindi un concetto all’apparenza semplice ma che nasconde al suo interno notevoli complessità…
Vertice o un qualsiasi punto?
«No, questa non è l’altezza, perché non rispetta la regola che abbiamo imparato. L’altezza deve partire dal vertice e scendere fino a quando incontra la base»
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Interna o anche esterna?
«Non è un’altezza perché finisce fuori dal triangolo»
Verticale o qualsiasi direzione?
Questo segmento rappresenta una delle altezze del triangolo?
E così, l’altezza diventa esclusivamente verticale dal punto di vista del lettore...
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Un bambino di scuola primaria precisa… «In questo momento non è un’altezza; se voglio che diventi un’altezza, devo girare il foglio e rimetterla in piedi»
e la dispone nel seguente modo:
Ad esempio il trapezio, pur essendo costituito da 4 lati, ha per i libri di testo un’unica altezza: la distanza tra i due lati paralleli; mentre si potrebbe far notare che ciascun quadrilatero, avendo 4 lati, ha 4 altezze, una relativa a ciascun lato.
L’autista scolarizzato…
Quante altezze ha un poligono?
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«L’altezza di un trapezio è la distanza tra due lati
paralleli».
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Risulta invece interessante parlare di altezza in modo generalizzato per qualsiasi poligono e far sì che ogni poligono abbia un numero di altezze pari al numero di lati.
Ciò è possibile considerando un’altezza rispetto ad un lato come «la distanza massima individuata dai punti del poligono rispetto a quel lato o al suo prolungamento o, se si preferisce, rispetto alla retta che contiene quel lato» (nel concetto di distanza è già implicita la perpendicolarità).
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Queste misconcezioni derivano dalla diversità tra lo spazio dell’esperienza fisica che è anisotropo, ossia possiede una direzione privilegiata rappresentata dalla verticale, e lo spazio isotropo della geometria euclidea, dove tutte le direzioni per un punto si equivalgono.
Verticale
Orizzontale
Obliquo
Appoggiato
Base
Altezza
TRIANGOLO DUE LATI CONGRUENTI UN ANGOLO OTTUSO
PROPRIETA’
ANGOLO AL VERTICE BASE APPOGGIATO
SOVRASTRUTTURE
Contenuto
TraguardiPrimaria Traguardisecondaria
Primotriennio
Primaria
Secondo
biennio
Primaria
TriennioSecondariadiI
grado
Buon lavoro!!!
Lavoriamo sulle indicazioni Nazionali in verticale - Scegliere un contenuto specifico - Individuare i traguardi per lo sviluppo delle competenze - Declinare gli obiettivi di apprendimento
INSIEMI
NUMERICI:
TraguardiPrimaria Traguardisecondaria
Si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale
con i numeri naturali e sa valutare l’opportunità di
ricorrere a una calcolatrice
Si muove con sicurezza nel
calcolo anche con i numeri
razionali, ne padroneggia le
diverse rappresentazioni e stima
la grandezza di un numero e il
risultato di operazioni.
Primotriennio
Primaria
Secondo
biennio
Primaria
TriennioSecondariadiI
grado
2.Leggereescriverei
numerinaturaliavendo
consapevolezzadella
notazioneposizionale;
confrontarlieordinarli,
ancherappresentandolisulla
retta.
5.Leggere,scrivere,
confrontarenumeridecimali,
…,ancheconriferimentoalle
moneteoairisultatidi
semplicimisure.
1.Leggere,scrivere,
confrontarenumeri
decimali
8.Rappresentarei
numericonosciuti
sullaretta…
1.Eseguire…,ordinamentie
confrontitranumericonosciuti
(numerinaturali,numeriinteri,
frazionienumeridecimali),…
3.Rappresentareinumeri
conosciutisullaretta.
7.Interpretarei
numeriinteri
negativiincontesti
concreti.
14.Saperechenonsipuò
trovareunafrazioneoun
numerodecimalecheelevatoal
quadratodà2,oaltrinumeri
interi.
28.Conoscereilnumeroπ,e
alcunimodiperapprossimarlo.
• D’Amore B. (1996). Immagini mentali, lingua comune e comportamenti attesi, nella risoluzione dei problemi. La matematica e la sua didattica. 4, 424-439.
• D'Amore, B. (1999). Elementi di didattica della matematica. Bologna:Pitagora. • D’Amore B., Sbaragli S. (2005). Analisi semantica e didattica dell’idea di
“misconcezione”. La matematica e la sua didattica. 2, 139-163. • D’Amore B., Fandino Pinilla M.I. (2005). Area e perimetro Relazioni tra area e • perimetro: convinzioni di insegnanti e studenti. La matematica e la sua didattica.
[Bologna, Italia]. 2, 165-190. • Sbaragli S. (2008). Perimetro e area. Rubrica: I ferri del mestiere. Il giornale della
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Bolondi B., Fandino Pinilla M.I. (2012). I quaderni della didattica. Metodi e strumenti per l’insegnamento e l’apprendimento della matematica. 121-139. Napoli: Edises
• Sbaragli S. (2006). Diverse chiavi di lettura delle misconcezioni. Rassegna. Istituto Pedagogico di Bolzano. XIV, 29, 47-52.
• Sbaragli S. (2010). Qui cade sua... altezza. La Vita Scolastica. 18, 25- 27. • Sbaragli S., Mammarella I.C. (2010). L’apprendimento della geometria. In:
Lucangeli D., Mammarella I.C. (2010). Psicologia della cognizione numerica. Approcci teorici, valutazione e intervento. Milano: Franco Angeli.
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