y=f(x) функцийн уламжлалыг Функцийн уламжлал

y’=f ‘(x) гэж тэмдэглэх бөгөөд дараах байдлаар тодорхойлогдно. Уламжлалын тодорхойлолтy=f(x) функцийн уламжлал нь

(x)= байна.

:

{ Функцийн өөрчлөлтийг аргументын өөрчлөлтөнд харьцуулсан харьцаанаас аргументын өөрчлөлтийг тэг рүү үеийн хязгаар авсныг функцын уламжлал гэнэ.} Жишээ1: Бодолт: f(x)= байна.

=2x

Жишээ1: Бодолт: f(x)= байна.

=

Зэрэгт функцын уламжлал: Зэрэгт функц гэнэ.

Уламжлал нь : байна.

Ө.х

{ Зэрэгт функцын уламжлалыг олохдоо зэргээр нь үржүүлж, зэргийг нь нэгээр бууруулна. } Жишээ нь:

Үндсэн чанар:

1. (тогтмол тооны уламжлал тэг ) 2.

5.

6. =

Энд c-тогтмол тоо. Жишээ нь: 1.

5. = 6. =

=

=

= =

=

=

7.

=

=

=

= =

=

=

=

Давхар функцын уламжлал: =

=

Жишээ нь: = = =

=3

=

= = =

=

=

= =

1. Шүргэгч шулууны тэгшитгэл: Уламжлалын хэрэглээ

y=f(x) функцын x= цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь байна. Энд ба шүргэгч шулууны өнцгийн коэффициент гэнэ.

Шүргэгч шулууны тэгшитгэл:

Жишээ1: функцын x= цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг бич.

Бодолт: = . .

Жишээ2: функцын ямар цэгт татсан шүргэгч шулууны өнцгийн коэффициент 2 байх вэ?

Бодолт: Өгсөн нь: = . Олох нь:

• байх бөгөөд энд шүргэгч шулуун Ох (абцисс) тэнхлэгтэй үүсэх өнцөг

Жишээ3: функцын ямар цэгт татсан шүргэгч шулуун Ох (абцисс) тэнхлэгтэй

өнцөг үүсэх вэ?

Бодолт: Өгсөн нь: ; Олох нь:

• Параллель шулуунуудын өнцгийн коэффициентүүд тэнцүү. Ө.х шулуунууд параллель бол байна.

Жишээ4: функцын ямар цэгт татсан шүргэгч шулуун шулуунтай параллель байх вэ? Бодолт: Өгсөн нь: Олох нь:

1

2. Хөдөлгөөний тэгшитгэл: бол эдгээр нь дараах

хамааралтай байна.

байна. Жишээ1: хуулиар хөдөлдөг биеийн хурд ба хурдатгал нь ямар хуулиар хөдлөх вэ? Бодолт:

Жишээ2: хуулиар хөдөлдөг биеийн хурдатгалыг ол? Бодолт:

3. Функцын ойролцоо утга олох: функцын цэг дээрх уламжлал нь ( )= өмнө үзсэн.

( )= -ийг маш бага тэгд ойрхон тоо гэж үзвэл

( ) гээд ( ) болно.

гэвэл ( )

Жишээ нь: утгыг ойролцоогоор ол. Бодолт: гэж авъя. Тэгвэл

( )= ( )={ }

4. a.

Функцын шинжилгээ:

Сэжигтэй цэг:

.х

Жишээ1: функцын

Бодолт:

Жишээ2: функцын

Бодолт:

Жишээ3:

Бодолт:

b.

Функцын өсөх ба буурах завсар:

дээр

.х Жишээ 1: функцын

Бодолт: ; D(x)=

болно. Эндээс

Ө.х

Ө.х

Жишээ 2: функцын

Бодолт: ; D(x)= болно. Эндээс

үнэн тэнцэл тул

Ө.х

Жишээ 3: функцын

Бодолт: ; D(x)=

болно. Эндээс

Ө.х

- + +

c. Функцийн экстремум цэг:

Максимум ба минимум цэгүүдийг экстремум цэг гэнэ. Ө.х экстремум цэгүүд

-Максимум утга , –Минимум утга

f(x) буураад Максимум цэг (max) f(x) өсөөд

f(x)буураад f(x) өсөөд

Минимум цэг (min)

Жишээ 1

Бодолт: ; D(x)=

: функцын эктремум цэгийг

болно. Эндээс

max - утга олвол

min - утга олвол

;

- + + max min

Жишээ 1

Бодолт: ; D(x)=

: функцын эктремум цэгийг

max - утга олвол

min - утга олвол

;

max min

+ - -

d. Функцийг шинжилж график байгуулахдаа дараах дараалалтай байна.

Функцийг шинжилж график байгуулах:

Функцийн тодорхойлогдох мужийг олно. Функцийн уламжлалыг олно. Функцийн сэжигтэй цэгийг олно. Функцийн өсөх ба буурах завсрыг олно.

Эсктремум цэг ба утгуудыг олж, тэмдэглэнэ.

Функцийн тэнхлэгүүдийг огтлох цэгүүдийг

олно.

Функцийн графикыг бүдүүвчлэж байгуулна.

Жишээ 1

Бодолт: f(x)=

: функцыг шинжилж график байгуул.

D(x)=

max - утга олвол

min - утга олвол

; y=0 тодорхойгүй

x=0 y=f(0)= (0;-1) График байгуулавал:

+ өснө - буурна +өснө

max min

Жишээ 2

Бодолт: f(x)=

: функцыг шинжилж график байгуул.

x {x=1; x=-1 тасралтын цэгүүд} D(x)=

max - утга олвол

;

y=0 x=0 y=f(0)= (0;-4)

График байгуулавал: x=2 y= ; x=-2 y= ;

+ өснө - буурна

max

2 -2

e.

y=f(x) функцийн [a;b] завсар дахь хамгийн их (ХИ) ба хамгийн бага (ХБ) утга нь

Функцийн өгөгдсөн завсар дээрх хамгийн их ба хамгийн бага утга

[a;b] завсард харъяалагдах сэжигтэй цэгүүд [a;b] завсарын захын цэгүүд дээрээ байна. Жишээ 1

Бодолт: ;

: функцын [0;4] завсар дахь ХИ ба ХБ утгыг

болно. Эндээс

сэжигтэй цэг учир

ХИУ= 15; ХБУ=-17

Жишээ 2

Бодолт: S-талбайг урт(өргөн)-аар нь илэрхийлье

: Периметр нь 200м байх тэгш өнцөгтүүд дотроос хамгийн их талбайтай байх тэгш өнцөгтийг ол.

Тэгш өнцөгтийн урт-a, өргөн-b

=100 болно.

ХИУ-ыг олох бодлогод шилжинэ.

a=50м ; b=100-50=50м; S=50*50=2500

S=ab

a

b

Жишээ3: 120см х 100см хэмжээтэй гөлмөн төмрийн булан бүрээс тэг дөрвөлжин хэлбэртэй төмрийг хайчлан авч гарсан сэртэнгүүдийг дээш нь нугалан хайрцаг хийжээ. Хамгийн их эзэлхүүнтэй хайрцаг хийхийн тулд булангаас нь ямар хэмжээтэй төмөр хайчилж авах вэ? Булангаас нь хайчлах хэсгийн уртыг х-гэе. Тэгвэл хайрцагны өндөр –х, урт- 160-2х , өргөн – 100-2х болно.

160с

100см

x x

100-2x

160-2x

160-2x

100-2x

x

Иймд эзэлхүүн нь: [ V= өндөр урт өргөн] V= x(160-2x)(100-2x) =

функцын

завсарт хамгийн их утгыг олох бодлогод шилжинэ.

завсарт орохгүй тул

хэсгийг хайчлаж авна.