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DPS1037 – SISTEMAS DA QUALIDADE IIENGENHARIA DE PRODUÇÃO – CT/UFSM
Enga. Morgana Pizzolato, Dra.
Aula 02 – Revisão de Estatística
TÓPICOS DESTA AULA
� Revisão de Estatística
� Coleta de dados
� Análise de dados
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2
INTRODUÇÃO
� Como tomar decisões num ambiente industrial?
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3
COLETA DE DADOS
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DADOS
População
AmostraQuantos ?
INFERÊNCIA
4
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µ
σ
x
s
Amostra (x1, x2, ..., xn)
Estimação
População
Inferência
5
ESTRATIFICAÇÃO DE DADOS
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6
TIPOS DE DADOS - ATRIBUTOS
� características qualitativas
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7
TIPOS DE DADOS - VARIÁVEIS
� Característica quantitativa
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8
ANÁLISE DE DADOS
1) Medidas de tendência central
2) Medidas de variabilidade
3) Histograma
4) Boxplot
5) Distribuição de probabilidade Normal
6) Gráfico de normalidade
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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
�Moda
�Mediana
�Média aritmética
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10
MÉDIA ARITMÉTICA
� Exemplo:
� Anota-se a temperatura corporal de um indivíduo
de 1 em 1 hora, durante 8 horas. Qual a
temperatura média do indivíduo?
�nnnn = 7 (tamanho da amostra)
� xxxxiiii = 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39 em ºC (valores
observados)
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∑=
=n
i
ixn
x1
1
Cx °=++++++
= 387
39393739383737
11
MEDIANA
� Exemplo
� Qual a mediana da temperatura corporal do indivíduo?
� nnnn = 7 (tamanho da amostra é ímpar)
� xxxxiiii = 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39 em ºC (valores observados)
� xxxxiiii = 37, 37, 37, 38, 39, 39, 39 em ºC (valores observados
ordenados)
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+= +
+
parn
ímparnxx
x
xnn
n
2
~)12/()2/(
)2/)1((
Cx °= 38~
12
MODA
� Exemplo:
� Qual a moda da temperatura corporal do indivíduo?
� nnnn = 7 (tamanho da amostra)
� xxxxiiii = 37, 37, 38, 39, 37, 39, 39 em ºC (valores observados)
� xxxxiiii = 37, 37, 37, 38, 39, 39, 39 em ºC (valores observados
ordenados)
�MMMM = 37 e 39
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13
RELAÇÃO ENTRE MÉDIA E MEDIANA
� A mediana é mais robusta a dados atípicos
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Simétrica Forma de Sino
Assimétrica à Direita Assimetria Positiva
Assimétrica à Esquerda Assimetria Negativa
xx~
x~ x x x~
A Distribuição simétrica 10 12 14 16 18 14~ 14 === xx
B Distribuição assimétrica à direita 10 12 14 16 23 14~ 15 =>= xx
C Distribuição assimétrica à esquerda 05 12 14 16 18 14~ 13 =<= xx
14
MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE)
� Observações individuais apresentam alguma dispersão em torno do valor médio�Dispersão ou variabilidade das observações
�Amplitude
�Quartil
�Variância e desvio-padrão
�Coeficiente de Variação
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15
AMPLITUDE
RRRR ==== XXXXmaxmaxmaxmax ---- XXXXminminminmin
� Exemplo
xxxxiiii = 8,5; 8,7; 8,9; 10,1; 10,5; 10,7; 11,5; 11,9
R R R R = 11,9 - 8,5 = 3,4
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QUARTIL
� É qualquer um dos três valores que divide o conjunto
ordenado de dados em quatro partes iguais
� cada parte representa 1/4 da amostra ou população
� 1º quartil ou quartil inferior (Q1) = valor aos 25% da amostra
ordenada
� 2º quartil ou mediana (Q2) = valor até ao qual se encontra 50% da
amostra ordenada
� 3º quartil ou quartil superior (Q3) = valor a aos 75% da amostra
ordenada
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EXEMPLO DE CÁLCULO DOS QUARTIS
� xxxxiiii = 36, 40, 7, 41, 15, 39 (valores observados)
� xxxxiiii = 7, 15, 36, 39, 40, 41 (valores observados ordenados)
Q1 = 15
Q2 = (39+36)/2 = 37,5
Q3 = 40
� Amplitude (intervalo) interquartílica: Q3 - Q1 (40 - 15 = 25)
� use a mediana para dividir os dados ordenados em duas metades, não inclua a mediana nas metades
� o quartil inferior (ou superior) é a mediana da metade inferior (ou superior)
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BOXPLOT
� Gráfico que apresenta a variabilidade de um conjunto de dados através de 6 medidas� Exemplo: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6
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0
1
2
3
4
5
6
7
Dim
ensão
Valor máximo = 6
Q3 = 5
x bar = média = 3,3
Q2 = Mediana = 3
Q1 = 2
Valor mínimo = 1
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BOXPLOT, MAIS UM EXEMPLO
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a b c
Q3 70 75 57
Max 100 110 90
Mediana 40 45 50
Média 40 40 50
Min 10 15 18
Q1 20 22 30
0
20
40
60
80
100
120
a b c
Q3
Max
Mediana
Média
Min
Q1
20
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
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2
2 1
2
2 1
( )
1
( )
n
i
i
n
i
i
x x
sn
x
n
µσ
=
=
−=
−
−=
∑
∑
2
1
2
1
( )
1
( )
n
i
i
n
i
i
x x
sn
x
n
µσ
=
=
−=
−
−=
∑
∑
21
EXEMPLO DE VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
� xxxxiiii = 10, 12, 14, 16, 18 (cm)
� A média e o desvio padrão possuem a mesma unidade de medida
� Os desvios de cada valor em relação à média totalizam zero pois a
média é o valor central
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14cmx =
2 2 2 2 22 2(10 14) (12 14) (14 14) (16 14) (18 14)
9,98 cm5 1
s− + − + − + − + −
= =−
29,98 3,16 cms= =
22
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
� Um desvio padrão pode ser considerado grande ou pequeno dependendo da ordem de grandeza da média da variável
� Quanto menor o CVCVCVCV mais homogêneo é o conjunto de dados
� Útil para comparar resultados de amostras cujas unidades podem ser diferentes
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100s
CVx
= ×
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EXEMPLO DE COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
� Duas turmas de Sistemas da Qualidade II obtiveram as seguintes notas nas avaliações:� Turma B: média = 60, desvio padrão = 5
� Turma C: média = 70, desvio padrão = 10
� Qual das duas turmas é relativamente mais homogênea?� CV BCV BCV BCV B = (5 / 60)*100 = 8,3%
� CV CCV CCV CCV C = (10 / 70)*100 = 14,3%
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HISTOGRAMA
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DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
� É um modelo matemático que relaciona um certo valor da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência
� Distribuições Discretas
� quando a variável que está sendo medida só pode assumir certos valores, como por exemplo os valores inteiros: 0, 1, 2, etc., por exemplo, binomial, poisson
� Distribuições Contínuas
� quando a variável que está sendo medida é expressa em uma escala contínua, como no caso de uma característica dimensional, por exemplo, normal
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26
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
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{ }
{ }
{ } { }
21
21( )
2
1 1 1
xa
P x a F a e dx
a aP x a P z
a aP x a P x a P z
µσ
σ π
µ µσ σ
µ µσ σ
− −
−∞
≤ = =
− − ≤ = ≤ ≡Φ
− − ≥ = − < = − < ≡ −Φ
∫
27
GENERALIZANDO A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
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xσ+xσ−x
σ2+xσ2−x
σ3+xσ3−x
~ ( , )N x σ
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QUANTIFICANDO A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
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2,28%
99,73%
95,45%
68,27%
0 1
-z +z
-2z +2z
-3z +3z
2 3-3 -2 -1
0,13%
15,87%
50,00%
84,13%
97,72%
99,87%
2~ (0,1 )N
A tabela de distribuição
Normal reduzida
(média = 0 e variância =1)
dá as probabilidades
acumuladas de -∞ até a
a xz
σ−
=
29
EXEMPLO
� A força de tensão de sacos plásticos de supermercado é normalmente distribuída com média 40 N/mm2 com desvio padrão de 2 N/mm2. O comprador exige que os sacos tenham resistência de pelo menos 35 N/mm2. Qual a probabilidade do produto atender a especificação?
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{ } { }
{ } { }
{ }
35 1 35
35 4035 2,5 ( 2,5) 0,0062
2
35 1 0,0062 0,9938
P x P x
P x P z P z
P x
> = − ≤
− ≤ = ≤ = ≤ − = Φ − =
> = − = Função no Excel
DIST.NORMP( )
30
CONTINUANDO O EXEMPLO
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2~ (40, 2 )N2~ (0,1 )N
{ } { }35 2, 5 ( 2, 5) 0, 62%P x P z≤ = ≤ − = Φ − =
31
ANALISANDO O COMPORTAMENTO DAS DIFERENTES DISTRIBUIÇÕES NORMAIS
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A
C
B
x
f(x)
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TESTES DE NORMALIDADE DOS DADOS
� Muitos testes usados partem do princípio que os dados amostrados são provenientes de uma população normal
� Deve-se testar se um conjunto de dados tem uma distribuição normal
�Método qualitativo
� Gráfico de normalidade (Normal Probability Plot)
�Métodos quantitativos
� Kolmogorov-Smirnov, Lilliefors e Shapiro-Wilks
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33
10/08/2011
Se os pontos do gráfico apresentarem um padrão linear, então a distribuição
normal é um bom modelo para este conjunto de dados 34
GRÁFICO DE NORMALIDADE
-2,50
-2,00
-1,50
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
-3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00
zj t
eó
rico
zj amostral