DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT - faeuat0.us.esfaeuat0.us.es/ff/Carpetas/Apuntes/Tema02.pdf · 28 DPTO. FISICA APLICADA II - EUATEst´atica del punto material La posici´on en el

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Capıtulo 2

Estatica del punto material

2.1. Introduccion

La Mecanica es la parte de la Fısica que estudia el movimiento, el equilibrio mecanicay la deformacion de los cuerpos. Comprende la Cinematica, que trata de la

cinematicadescripcion del movimiento sin tener en cuenta las causas que lo provocan,y la Dinamica, que relaciona el movimiento con las causas que lo afectan o dinamicamodifican (las fuerzas). La Estatica es una parte de la Dinamica. Se ocupa de

estaticaestudiar bajo que condiciones un sistema mecanico (un cuerpo o conjunto decuerpos) se encuentra en equilibrio.

Atendiendo al modelo que usa para describir los sistemas mecanicos, laMecanica se divide tambien en mecanica de los cuerpos rıgidos (cuando usalos modelos de punto material y solido rıgido) y mecanica de los medios de-formables (cuando usa los modelos de solido deformable y de fluido). En laprimera parte de este libro centraremos en la estatica del punto material y delos sistemas de puntos materiales (capıtulo 2), del solido rıgido (capıtulo 4) yde los sistemas de solidos rıgidos (capıtulo 5). Mas adelante nos ocuparemos dela estatica (capıtulo 6) y de la dinamica de fluidos (capıtulo 7).

La mecanica newtoniana o clasica se aplica a los sistemas mecanicos en los mecanica newtonianaque las velocidades son pequenas comparadas con la velocidad de la luz en elvacıo1. La mecanica relativista es una generalizacion de la mecanica clasica, mecanica relativistavalida tambien para velocidades del orden de la velocidad de la luz en el vacıo.Para explicar el comportamiento de moleculas, atomos y partıculas elementalesla mecanica clasica debe reemplazarse por la mecanica cuantica. mecanica cuantica

Conceptos basicos de la Mecanica son el espacio, el tiempo y la masa. En lamecanica newtoniana, estos tres conceptos se consideran cantidades absolutas.La definicion de estos conceptos no es facil y su comprension reposa en buenamedida en nuestra experiencia cotidiana.

El espacio es la region geometrica en la cual tienen lugar los sucesos. En este espaciolibro usaremos la palabra espacio para referirnos a una region tridimensional.

1La velocidad de la luz en el vacıo es c = 299792458 ≈ 3 × 108 m/s.

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28 Estatica del punto material

La posicion en el espacio se determina con relacion a un cierto sistema ge-ometrico de referencia, o simplemente sistema de referencia, mediante medidassistema de referencialongitudinales y angulares. En este libro, por lo general, un sistema de refer-encia sera una terna de ejes cartesianos. Cuando solo sean relevantes dos delas tres dimensiones, se utilizara un sistema de referencia formado por dos ejescartesianos.

El tiempo es una medida de la sucesion de eventos.tiempoLa masa se define de dos maneras diferentes. Por un lado, la masa es la

masamedida cuantitativa de la inercia de un cuerpo material, esto es, de su “re-sistencia” a cambiar de estado de movimiento. Por otro lado, la masa es unapropiedad que hace que los cuerpos que la poseen se atraigan mutuamente. Laequivalencia entre ambas masas (masa inerte y masa gravitatoria o pesante) esuna de las “coincidencias” mas llamativas de la mecanica newtoniana y esta enla base de la teorıa de Einstein de la gravitacion (o relatividad general).

El primero de los modelos que vamos a usar en este texto para describir uncuerpo es el de partıcula o punto material. Un partıcula es es todo cuerpo en elpartıcula o punto materialque, debido a las circunstancias del problema estudiado, puedan ignorarse susdimensiones, estructura y configuracion interna y que, a efectos mecanicos, norequiera la distincion de partes. Un punto material queda caracterizado por sumasa y su posicion.

Albert Einstein (Ulm, 1879;Princeton, 1955): Desarrollo lamecanica relativista (o relativi-dad especial) (1905) y la teorıarelativista de la gravitacion (orelatividad general) (1915). En-tre sus muchas contribucionestambien destacan la explicaciondel efecto fotoelectrico (1905),la teorıa del movimiento brow-niano (1905) y la estadıstica deBose-Einstein (1924). Fue el fısicomas influyente del s. XX y esconsiderado, junto con Galileo yNewton, uno de los mas grandesfısicos de todos los tiempos.

EJEMPLO: La trayectoria de la Tierra en su movimiento de traslacion alrede-dor del Sol se obtiene con suficiente precision asumiendo que la Tierra es unpunto material.

2.2. Principios fundamentales de la Dinamica

2.2.1. Ley de adicion de fuerzas

Se dice que una fuerza actua sobre un cuerpo si un agente de algun tipofuerzalo empuja o tira de el. Una fuerza puede provocar una modificacion del estadode movimiento del cuerpo, una deformacion del cuerpo o ambas cosas a la vez.Aunque no necesariamente ha de ser ası, pues la presencia simultanea de otrasfuerzas puede evitar la modificacion del estado de movimiento del cuerpo y ladeformacion puede no ser apreciable.

Una fuerza es una magnitud con direccion y sentido y que, ademas, comodescubrio Varignon, verifica la regla de la poligonal (o la del paralelogramo)cuando se componen varias fuerzas. Por tanto, las fuerzas son magnitudes vec-toriales.

Pierre Varignon (Caen, 1654;Parıs, 1722): Entre sus contribu-ciones destacan la teorıa gener-al de los momentos, el teore-ma de Varignon y el polıgono deVarignon, que es la base de la reglade la poligonal para sumar vec-tores.

Una fuerza sobre un punto material se describe mediante un vector ligadoa la posicion de dicho punto material en cada instante.

2.2.2. Tipos de fuerzas

Tradicionalmente se distinguen dos tipos de fuerzas: fuerzas a distancia,fuerzas a distanciaque son las que se producen entre dos cuerpos sin que medie contacto entreellos, y fuerzas de contacto, que son las que se producen mediante el contactofuerzas de contacto

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2.2 Principios fundamentales de la Dinamica 29

de dos cuerpos. Ejemplos de fuerzas a distancia son la fuerza gravitatoria entremasas y la fuerza electrostatica entre cargas electricas. Fuerzas de contacto sonlas que ejercemos al apoyarnos sobre una mesa o al estirar un muelle.

Fuerzas gravitacionales. Ley de gravitacion universal

Newton formulo la ley de gravitacion universal, que establece que la interac- ley de gravitacion universalcion gravitatoria entre dos cuerpos de masas m1 y m2 separados una distanciar12 = |�r12| (fig. 2.1 arriba) corresponde a una fuerza atractiva (fig. 2.1 abajo)proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadra-do de la distancia entre ellos,

�F21 = −�F12 = Gm1m2

r212

�r12

|�r12| , (2.1)

donde G es una constante universal cuyo valor en el Sistema Internacional esG = 6,673 × 10−11 m3 kg−1 s−2 y se llama constante de gravitacion universal,y �r12/|�r12| es un vector unitario con la misma direccion y sentido que el vectorcon origen en la masa puntual m1 y extremo en m2 (fig. 2.1 arriba).

Isaac Newton [Woolsthorpe (Lin-colnshire), 1643; Kensington (cer-ca de Londres), 1727]: Es unode los genios cientıficos masgrandes de todos los tiempos. En-tre muchas otras contribuciones,destaca por haber establecido laMecanica como un sistema ax-iomatico cerrado (leyes de New-ton, ecuacion de Newton delmovimiento), haber enunciado laley de la gravitacion (1666) ycon ella interpretado cuantitativa-mente las leyes de Kepler, lo queconstituye la base de la mecanicaceleste. En Optica, descubrio ladispersion de la luz e hizo inves-tigaciones fundamentales sobre in-terferencia (anillos de Newton) yteorıa del color (1666), y defen-dio una teorıa corpuscular de laluz. En Matematica, descubrio elbinomio de Newton (1665) y, juntocon Leibniz, fundo el calculo difer-encial e integral (1665–1666).

r12

m1 m2

m1 m2

F12F21

FIGURA 2.1: Dos masas puntuales,m1 y m2, separadas una distancia|�r12| (arriba), y las fuerzas gravita-torias que experimentan. �F12 es lafuerza gravitatoria que ejerce m1 so-bre m2 y �F21 es la que ejerce m2 so-bre m1.

Un caso particular de esta ley se obtiene cuando uno de los cuerpos es laTierra y el otro esta situado proximo a su superficie. La masa de la Tierraes m1 = mT = 5,975 × 1024 kg y la distancia del centro de la Tierra a susuperficie, el radio medio de la Tierra2, es rT = 6,37×106 m. Entonces podemosreescribir (2.1) como

�FT 2 = m2�g, (2.2)

donde

�g = −GmT

r212

�r12

|�r12| ≈ −GmT

r2T

�rT

|�rT| . (2.3)

Si elegimos un sistema de referencia en el que el eje y coincida con la verticalsobre la superficie de la Tierra, resulta

�g = −9,8�jm/s2. (2.4)

La constante �g ası obtenida se denomina aceleracion de la gravedad de la Tierra.La ec. (2.2) se puede reescribir como

�P = m�g, (2.5)

donde �P es el peso de la masa m. El peso no es otra cosa que la fuerza gravitato-

peso

ria con que la Tierra atrae a esa masa cuando esta situada en las proximidadesde su superficie.

El peso en la Luna se obtiene de manera similar,

�PLuna = m�gLuna, (2.6)

donde, teniendo en cuenta que la masa y el radio de la Luna son, respec-tivamente, mLuna = 7,35 × 1022 kg y rLuna = 1,7374 × 106 m, resulta que laaceleracion de gravedad de la Luna es �gLuna = −1,6�jm/s2; seis veces menorque en la superficie de la Tierra.

2La Tierra no es una esfera sino un esferoide oblato. Su radio ecuatorial es 6,378160×106 my su radio polar es 6,356775 × 106 m.

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Fuerzas ejercidas por muelles ideales. Ley de Hooke

Si estiramos (comprimimos) un muelle real a lo largo de la direccion delmuelle, el muelle ejerce una fuerza, en la direccion de estiramiento (compre-sion) y con sentido contrario al de su estiramiento (compresion). Dicha fuerzaes aproximadamente proporcional a la elongacion del muelle. Por elongacionentendemos la diferencia entre la longitud del muelle deformado, l, y su longi-tud natural, esto es, la longitud que tiene el muelle cuando no esta sometido aninguna fuerza, l0 (fig. 2.2). Esta relacion aproximada se conoce como la ley deHooke:

�F = −k �∆l, (2.7)

donde �F es la fuerza que ejerce el muelle, k es una constante caracterıstica delmuelle (a veces llamada constante elastica del muelle) que tiene dimensiones defuerza entre longitud y �∆l es el vector que describe la elongacion que ha sufridoel muelle. Recibe el nombre de muelle ideal a aquel que verifica exactamente lamuelle idealley de Hooke.

Robert Hooke [Freshwater (Islade Wight), 1635; Londres, 1703]:Fundo la teorıa de la elasticidad yestablecio en 1678 la ley que llevasu nombre: “Ut tensio, sic vis” (Dela misma manera que la deforma-cion, ası es la fuerza).

FIGURA 2.2: El mismo muelle antes(arriba) y despues (abajo) de ser es-tirado horizontalmente una distancia| �∆l| hacia la derecha. La longitudnatural del muelle es l0. En el casode abajo, el muelle ejerce una fuerzahorizontal �F proporcional a �∆l y ha-cia la izquierda.

La fuerza ejercida por un muelle de longitud natural nula sobre un cuerpounido a uno de sus extremos es un ejemplo de una fuerza proporcional a ladistancia: la que hay entre dicho cuerpo y el extremo opuesto del muelle.

2.2.3. Leyes de Newton

Newton fue el primero en enunciar los principios fundamentales que rigen elmovimiento de una partıcula. Tales principios se describen en el libro Philosophi-ae naturalis principia mathematica (Principios matematicos de la filosofıa na-tural), publicado en 1686. Los sistemas de referencia en los que son validas lasleyes de Newton se denominan inerciales o newtonianos. Adaptando su enun-ciado original, las leyes de Newton se pueden formular como sigue:

Primera ley de Newton

La primera ley de Newton (o ley de la inercia) dice:

ley de la inercia

Una partıcula sobre la que no actue ninguna fuerza o sobre la que actue unconjunto de fuerzas cuya suma sea nula, permanecera en reposo si estabainicialmente en reposo, o en movimiento rectilıneo y uniforme (i.e., sincambiar su velocidad) si no estaba inicialmente en reposo.

Segunda ley de Newton

La segunda ley de Newton (o ley fundamental de la Dinamica) dice:

ley fundamental de la dinamica

Una partıcula sobre la que actue un conjunto de fuerzas cuya suma sea �Fexperimentara una variacion por unidad de tiempo de su momento lineal

momento linealo cantidad de movimiento (�p = m�v) igual a �F .

�F =d�p

dt. (2.8)

En el caso particular de que la masa de la partıcula permanezca constante,la ec. (2.8) se puede escribir

�F = md�v

dt, (2.9)

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2.2 Principios fundamentales de la Dinamica 31

donde d�v/dt es la aceleracion, �a, de la partıcula. Luego la ec. (2.9) tambien sepuede escribir como

�F = m�a. (2.10)

Tercera ley de Newton

La tercera ley de Newton (o ley de accion y reaccion) dice: ley de accion y reaccion

Si una partıcula A ejerce una fuerza (accion) sobre otra partıcula B,entonces B ejerce a su vez una fuerza sobre A (reaccion) igual en moduloy direccion pero de sentido contrario.

Observaciones sobre las leyes de Newton

Primera ley:

(1) Contiene el principio del equilibrio de las fuerzas y, por tanto, es laecuacion fundamental de la Estatica.

(2) Es un caso particular de la segunda ley (�F = �0 ).

Segunda ley:

(1) La ec. (2.8) es una ecuacion vectorial que se puede escribir como dos (siestamos en el plano) o tres (si estamos en el espacio) ecuaciones escalaresindependientes.

(2) Usando la segunda ley de Newton, es facil demostrar que todos los sis-temas de referencia inerciales estan en reposo relativo o se mueven entresı con velocidad constante. Para las aplicaciones arquitectonicas, un sis-tema de referencia en reposo respecto de la superficie terrestre es, enbuena aproximacion, un sistema de referencia inercial.

(3) Proporciona una definicion operacional de fuerza. De hecho, esta defini-cion operacional es la que se utiliza para definir la unidad de fuerza enel Sistema Internacional, el newton, cuyo sımbolo es N. Un newton es la newtonfuerza que aplicada a una masa de 1 kg le imprime una aceleracion de1m/s2. Por tanto, 1 N = 1 kgm/s2 (vease la tabla A.1 en el apendice A).

La unidad de fuerza en el sistema tecnico es el kilogramo fuerza o kilopon-dio, kp. Un kilopondio es el peso de una masa de un kilogramo colocadasobre la superficie terrestre y equivale a 9,8 N (vease la tabla A.4).

(4) Notese que el concepto de masa ha aparecido en dos contextos diferentes.Por un lado, ligado a la fuerza gravitatoria y, por otro, ligado a la segundaley de Newton. Al aplicar la segunda ley de Newton a la caıda de unapartıcula por su peso, resulta

�P = mg�g = mi�a, (2.11)

donde mg y mi son, respectivamente, la masa gravitatoria y la masa inerte masa gravitatoria

masa inertede la partıcula. Experimentalmente se observa que �a = �g para todos loscuerpos (experimento de caıda libre de Galileo), de donde se deduce quemg = mi.

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Tercera ley:

(1) Las fuerzas aparecen siempre por parejas iguales y de sentido contrario.

(2) La accion y la reaccion se aplican sobre partıculas distintas.

2.3. Estatica del punto material libre

2.3.1. Condiciones de equilibrio del punto material libre

Decimos que un sistema de puntos materiales esta en equilibrio mecanicoequilibrio mecanico(o simplemente equilibrio) en un sistema de referencia inercial cuando las posi-ciones de los puntos que lo forman permanecen invariables a lo largo del tiempo.

Un punto material libre es aquel cuyas posibles posiciones en el espacio nopunto material libreestan limitadas por restricciones o impedimentos.

Consideremos un punto material libre sometido a un conjunto de N fuerzas:�F1, �F2,. . . , �FN . De la primera ley de Newton se deduce que para que dicho puntoeste en equilibrio debe cumplirse que:

El punto material este inicialmente en reposo respecto del sistema dereferencia inercial elegido.

La suma de todas las fuerzas que actuan sobre el punto material sea elvector nulo:

N∑i=1

�Fi = �0. (2.12)

Estas son las condiciones necesarias y suficientes para que un punto materialcondiciones necesarias y suficienteslibre este en equilibrio. La ec. (2.12) es una ecuacion vectorial. Teniendo encuenta que cada una de las fuerzas es un vector de tres componentes, �Fi =(Fix, Fiy , Fiz), la ec. (2.12) da lugar a 3 ecuaciones escalares independientes:

N∑i=1

Fix = 0, (2.13)

N∑i=1

Fiy = 0, (2.14)

N∑i=1

Fiz = 0. (2.15)

2.3.2. Pasos para resolver problemas de Estatica

Los pasos que generalmente hay que seguir para resolver problemas deEstatica son los siguientes:

(a) Elegir el modelo que se va a utilizar para describir los cuerpos materiales(punto material, sistema de puntos materiales, solido rıgido, sistema desolidos rıgidos, etc.).

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2.3 Estatica del punto material libre 33

(b) Dibujar el diagrama de fuerzas y, a la vista del diagrama, elegir el sistemade referencia mas conveniente (es decir, aquel en el que la resolucion delproblema sea, presumiblemente, mas sencilla).

(c) Expresar vectorialmente en ese sistema de referencia todas las fuerzas queintervienen.

(d) Plantear las ecuaciones de equilibrio.

(e) Resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de equilibrio.

(f) Expresar las soluciones teniendo en cuenta su naturaleza escalar o vecto-rial (por ejemplo, las fuerzas son magnitudes vectoriales) sin olvidar lascorrespondientes unidades.

El siguiente problema nos servira para ilustrar estos pasos.

PROBLEMA RESUELTO 2.1:

Un bloque de 20N de peso esta en equilibrio mediante una fuerza �F1 que semantiene formando un angulo de 30◦ respecto a la vertical, y mediante otra fuerzahorizontal �F2. Determina �F1 y �F2.

Solucion:

Sigamos los seis pasos mencionados antes:

FIGURA P1a: Esquema del proble-ma (izda.) y el correspondiente dia-grama de fuerzas (dcha.).

(a) Para describir el bloque usaremos el modelo de punto material. Es decir,haremos la abstraccion de que el bloque se comporta, a todos los efectosque nos interesan estudiar, como una partıcula o punto material.

(b) El diagrama de fuerzas y el sistema de referencia elegido se ilustran en lafig. P1a dcha.

(c) Sobre la partıcula actuan solo tres fuerzas: su peso, la fuerza �F1 y la fuerza

horizontal �F2. Su expresion vectorial en el sistema de referencia de la fig. P1a dcha.es:

�P = (0,−P )

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= (0,−20)N, (P1.1)�F1 = F1 (−sen 30◦, cos 30◦)

= (−F1

2,

√3F1

2), (P1.2)

�F2 = F2 (1, 0)= (F2, 0). (P1.3)

Llegados a este punto es importante que quede claro cuales son los datos delproblema: �P y las direcciones y sentidos de �F1 y �F2, representadas respecti-vamente por los vectores unitarios (−sen 30◦, cos 30◦) y (1, 0); y cuales son

las incognitas: los modulos de �F1 y �F2, representados respectivamente porF1 y F2.

(d) Puesto que se trata de un unico punto material libre, la ecuacion vectorialde equilibrio (2.12) se escribe como sigue:

�P + �F1 + �F2 = �0. (P1.4)

Como estamos considerando un sistema plano, la ecuacion vectorial (P1.4)es equivalente a dos ecuaciones escalares:

0 − F1

2+ F2 = 0, (P1.5)

−20 +√

3F1

2+ 0 = 0. (P1.6)

(e) De (P1.6) se obtiene

F1 =40√3

N. (P1.7)

Sustituyendo este resultado en (P1.5) se obtiene

F2 =20√3

N. (P1.8)

(f) Teniendo en cuenta las expresiones (P1.2) y (P1.3), y las soluciones (P1.7)y (P1.8), obtenemos

�F1 = (− 20√3, 20) N, (P1.9)

�F2 = (20√3, 0) N. (P1.10)

Notese que si en el paso (a) hubiesemos elegido un sistema de referencia distinto,la expresion de las soluciones ya no serıa (P1.9) y (P1.10), sino la correspondienteen el sistema de referencia elegido.

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2.4 Principio de liberacion. Estatica del punto material ligado 35

Otros consejos a la hora de resolver problemas:

A veces resulta mas sencillo expresar el peso y las restantes fuerzas enkilopondios si en el enunciado del problema nos dan la masa en kilogramos(que son unidades del Sistema Internacional) y las fuerzas en kilopondios(que no lo son). Sin embargo, no debe olvidarse que las unidades de usolegal en Espana son las del Sistema Internacional.

Conviene no usar la calculadora hasta el final del problema. No hacefalta sustituir las fracciones y raıces por sus valores decimales. De estamanera se evitan errores de redondeo y los resultados finales y los calculosintermedios quedan expresados en una forma mas elegante.

Conviene comprobar que las soluciones satisfacen los requisitos deseados.En el ejemplo anterior se puede comprobar que el peso (P1.1) y las fuerzasobtenidas, (P1.9) y (P1.10), satisfacen la ecuacion de equilibrio (P1.4).

2.4. Principio de liberacion. Estatica del punto ma-terial ligado

2.4.1. Principio de liberacion

Se llama ligadura, vınculo o enlace a cualquier limitacion en las posibles ligaduraposiciones que puede ocupar un sistema material en el espacio. En este contexto,un punto material ligado es aquel que esta sometido a algun tipo de ligadura. punto material ligado

EJEMPLO:

Un dado apoyado sobre una tabla inclinada. En las condiciones ade-cuadas, el dado puede modelarse por un punto material obligado a veri-ficar la ecuacion de un plano.

Una anilla ensartada en un alambre. Puede modelarse por un punto ma-terial obligado a verificar la ecuacion de una curva.

Un clavo fijado a una pared. Puede modelarse por un punto material decoordenadas fijas.

Dos bolas unidas mediante un cable en tension. Puede modelarse por dospuntos materiales obligados a mantener una distancia constante.

En general, un sistema mecanico (un punto material, un solido rıgido, etc.)ligado esta sometido a dos tipos de fuerzas: activas y de reaccion vincular.Las fuerzas activas son aquellas que pueden alterar el estado de movimiento o fuerzas activasproducir deformaciones en el sistema. Las fuerzas de reaccion vincular o fuerzas

fuerzas de reaccion vincularde ligadura son aquellas ejercidas por las ligaduras sobre el sistema, y su efectomecanico es impedir los movimientos incompatibles con las ligaduras.

El principio de liberacion, principio de aislamiento o axioma de las lig- principio de liberacionaduras, establece que todo sistema mecanico ligado puede transformarse en un

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sistema virtualmente libre si las ligaduras se sustituyen por sus correspondi-entes fuerzas de reaccion vincular.

EJEMPLO: Cuando una persona esta de pie sobre un suelo horizontal, laaccion del suelo puede sustituirse por una fuerza vertical hacia arriba.

2.4.2. Caracterısticas de las fuerzas de reaccion vincular

Las fuerzas de reaccion vincular deben producir en todo momento el mismoefecto mecanico que el vınculo al que sustituyen, impidiendo los movimientosincompatibles con el enlace. Para ello, las fuerzas de reaccion vincular poseenlas siguientes caracterısticas:

Las fuerzas de reaccion vincular no producen movimiento.

El modulo de las fuerzas de reaccion vincular es funcion de las fuerzasactivas, y se anula cuando estas lo hacen. En general, el modulo de lasfuerzas de reaccion vincular es una de las incognitas que habra de resol-verse en el problema.

En ciertos tipos de vınculos, la direccion de la fuerza de reaccion vinculares independiente de las fuerzas activas. Por ejemplo, en los vınculos en losque una partıcula esta obligada a permanecer sin rozamiento sobre unalınea o sobre una superficie, la direccion de la fuerza de reaccion vincularque actua sobre la partıcula es normal a la lınea o superficie.

Las incognitas contenidas en la expresion de la fuerza de reaccion vincu-lar correspondiente a un vınculo reciben el nombre de incognitas de reaccionvincular.incognitas de reaccion vincular

EJEMPLO:

FIGURA 2.3: Fuerza de reaccionvincular �φ sobre una anilla de peso �Pobligada a permanecer sin rozamien-to sobre una recta horizontal (izda.)o inclinada (dcha.). El mismo casoque a la izda. pero con una fuerzavertical adicional (centro).

�

P+FP

�

P

�

Consideremos una anilla puntual de peso �P obligada a permanecer sin roza-miento sobre una recta. Si la recta es horizontal y sobre la anilla no se ejerceninguna fuerza adicional, entonces la fuerza de reaccion vincular �φ es igual y desentido contrario a �P (fig. 2.3 izda.). Si se ejerce una fuerza vertical adicional�F , entonces la fuerza de reaccion vincular �φ es igual y de sentido contrarioa �P + �F (fig. 2.3 centro). Si se inclina la recta y no se ejerce ninguna fuerzaadicional, entonces la fuerza de reaccion vincular �φ sigue siendo perpendiculara la recta (fig. 2.3 dcha.). En este caso, el modulo de �φ cambia cuando lo hacen

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las fuerzas activas pero su direccion se mantiene siempre perpendicular a larecta.

EJEMPLO: Si una anilla esta vinculada a una curva plana (fig. 2.4), la direc-cion de la fuerza de reaccion vincular sera, en general, diferente en cada puntode la misma, pero siempre perpendicular a la tangente de la curva en cadapunto.

x

y

��

P

P

FIGURA 2.4: Fuerza de reaccion vin-cular �φ sobre una anilla de peso �Pobligada a permanecer sin rozamien-to sobre una curva. Se muestran lasfuerzas en dos posiciones diferentesde la anilla. Observese que, en estecaso, la direccion de la fuerza de reac-cion vincular cambia con la posicion,pero es siempre normal a la curva.

La direccion normal a una curva plana y = y(x) puede determinarse de lasiguiente forma. Consideremos un elemento de longitud (o de arco) sobre lacurva (fig. 2.5), que parte del punto de coordenadas A(x, y) y termina en elpunto B(x + dx, y + dy). Siendo dx y dy longitudes infinitesimales, el vector�AB = (dx, dy) sera paralelo, en primer orden, a la tangente a la curva en

el punto A. Dividiendo el vector por la longitud dx (escalar) obtenemos otrovector paralelo mas conveniente:

�t = (1, dy/dx) = (1, y′(x)), (2.16)

donde y′(x) representa la derivada a la curva en el punto A. Entonces, un vectorperpendicular a la tangente a la curva sera

�n = (y′(x),−1), (2.17)

como puede comprobarse a traves del producto escalar de �t y �n (�t · �n = 0).

A

By x +dy( )

y x( )

x x+dx

y y x= ( )

y

x

FIGURA 2.5: En el lımite dx → 0, elvector �AB es tangente a la curva deecuacion y = y(x).

La direccion de la fuerza de reaccion vincular sera paralela a �n, por lo quepodra expresarse como

�φ = λ�n = λ(y′(x),−1), (2.18)

donde la incognita de reaccion vincular λ es un escalar, positivo o negativo, cuyovalor dependera de las fuerzas activas, y su valor se obtendra de la resolucionde las ecuaciones de equilibrio de la partıcula. Notese que, en general, λ no esel modulo de �φ, ya que �n no tiene porque ser un vector unitario.

2.4.3. Condiciones de equilibrio del punto material ligado

Lo expuesto anteriormente nos va a permitir obtener las condiciones nece-sarias y suficientes para que un punto material ligado este en equilibrio.

Un punto material sometido a N fuerzas activas �Fi y a un cierto numero devınculos que, por el principio de liberacion, se pueden sustituir por M fuerzasde reaccion vincular �φj , esta en equilibrio si y solo si:

El punto material esta inicialmente en reposo respecto del sistema dereferencia inercial elegido.

La suma de todas las fuerzas (activas y de reaccion vincular) que actuansobre el punto material es el vector nulo:

N∑i=1

�Fi +M∑

j=1

�φj = �0. (2.19)

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Un bloque de 10N de peso esta obligado a permanecer sin rozamiento sobre unplano inclinado 30◦ con respecto a la horizontal. Sobre el bloque actua una fuerzahorizontal �F . Calcula el valor de �F para que haya equilibrio y la fuerza de reaccionvincular (la fuerza que el plano ejerce sobre el bloque) en dicha situacion.

Solucion:


30º

60º

F

P

x

y

30º

F

�

(a) Suponiendo que el bloque se puede describir mediante un punto material,el diagrama de fuerzas y el sistema de referencia elegido para resolver elproblema se ilustran en la fig. P2a dcha.

(b) La fuerza de reaccion vincular asociada al hecho de que el bloque este oblig-ado a permanecer sobre el plano tiene la direccion perpendicular al plano.Por tanto, la expresion vectorial, en el sistema de referencia elegido, de todaslas fuerzas que intervienen en el problema es:

�P = (0,−10)N, (P2.1)�F = (−F, 0), (P2.2)

�φ = (φ cos 60◦, φ sin 60◦) = (φ

2,

√3φ

2). (P2.3)

(c) La ecuacion vectorial de equilibrio es:

�P + �F + �φ = �0. (P2.4)

Las ecuaciones escalares correspondientes son:

−F +φ

2= 0, (P2.5)

−10 +√

3φ

2= 0. (P2.6)

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(d) La solucion del sistema formado por las ecs. (P2.5) y (P2.6) es:

φ =20√3

N, (P2.7)

F =10√3

N. (P2.8)

(e) La solucion al problema es:

�F = (− 10√3, 0)N, (P2.9)

�φ = (10√3, 10)N. (P2.10)


Halla la posicion de equilibrio y la fuerza de reaccion vincular en esa posicion parauna partıcula de 2 kg de masa obligada a permanecer sobre la curva y = 2x2+3x+4(las longitudes estan expresadas en metros) y sobre la que actua una fuerza �F =(2, 4) kp.

Solucion:

PP

FF

x

y

f x( )

��


(a) El diagrama de fuerzas que actuan sobre la partıcula se ilustra en la fig. P3a (dcha).

(b) Expresemos vectorialmente las fuerzas que no estan en esa forma:

�P = (0,−2) kp, (P3.1)�φ = λ (y′,−1)

= λ (4x + 3,−1). (P3.2)

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(c) La condicion de equilibrio es:

�F + �P + �φ = �0. (P3.3)

Por tanto, las ecuaciones de equilibrio son:

2 + λ (4x + 3) = 0, (P3.4)4 − 2 − λ = 0. (P3.5)

(d) La solucion del sistema formado por las ecs. (P3.4) y (P3.5) es:

λ = 2 kp, (P3.6)x = −1 m. (P3.7)

Haciendo uso de la ecuacion de la curva, y = 2x2 + 3x + 4, la coordenaday de la posicion de equilibrio es y = 3m.

(e) Solucion que, en forma vectorial, se escribe

�φ = (−2,−2) kp, (P3.8)�r = (−1, 3)m, (P3.9)

que son, respectivamente, la fuerza de reaccion vincular en el equilibrio y laposicion de equilibrio.

2.5. Estatica de los sistemas de puntos materiales

2.5.1. Condiciones de equilibrio de los sistemas de puntos ma-teriales

Consideremos un sistema de N partıculas, cada una de ellas sometida a unnumero diferente de fuerzas, que pueden ser tanto activas como de reaccion vin-cular. La partıcula i del sistema estara sometida a Mi fuerzas, que denotaremoscomo �Fij , donde j = 1, . . . , Mi (fig. 2.6).

FIGURA 2.6: Sistema de N = 3partıculas sometido a M1 + M2 +M3 = 3 + 3 + 2 fuerzas.

Para que el sistema de partıculas se encuentre en equilibrio, cada una de laspartıculas que lo constituyen debe estar a su vez en equilibrio. Por tanto, lascondiciones necesarias y suficientes para que un sistema de puntos materiales

condiciones necesarias y suficienteseste en equilibrio son que:

Los N puntos materiales esten inicialmente en reposo respecto del sistemade referencia inercial elegido.

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2.6 Configuracion. Grados de libertad 41

La suma de todas las fuerzas (activas y de reaccion vincular) que actuansobre cada uno de los N puntos materiales sea el vector nulo:

M1∑j=1

�F1j = �0,

M2∑j=1

�F2j = �0,

...MN∑j=1

�FNj = �0.

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

(2.20)

Evidentemente, la suma vectorial de todas las fuerzas que actuan sobretodas las partıculas tambien habra de ser el vector nulo,

N∑i=1

Mi∑j=1

�Fij = �0, (2.21)

pero esta unica ecuacion es solo una condicion necesaria de equilibrio, y queno sustituye a las N ecuaciones (2.20).

En los sistemas de puntos materiales conviene distinguir entre fuerzas inte-riores (las ejercidas por las propias partıculas) y fuerzas exteriores (las ejercidasdesde el exterior del sistema). De acuerdo con la tercera ley de Newton, todaslas fuerzas aparecen en parejas de igual modulo y direccion pero sentidos con-trarios. Teniendo esto en cuenta, la condicion necesaria (2.21) solo involucrara alas fuerzas exteriores que actuen sobre el sistema, pues las parejas de fuerzasinteriores se cancelaran mutuamente. Esto no ocurre con las fuerzas exteriores,ya que las correspondientes parejas no actuan sobre el sistema de partıculas.

EJEMPLO: Si consideramos el subsistema formado por las partıculas 1 y 2de la fig. 2.6, y suponemos que las unicas fuerzas interiores son �F12 y �F21, esfacil ver que para que las partıculas 1 y 2 esten en equilibrio, no basta que lasuma de las fuerzas exteriores que actuan sobre ellas (�F11, �F13, �F22 y �F23) seael vector nulo.

2.6. Configuracion. Grados de libertad

La configuracion de un sistema de puntos materiales es la posicion que configuracionocupan en el espacio cada una de las partıculas que lo constituye. Por tanto,la configuracion de un sistema de puntos materiales queda determinada si seconoce en cada instante las coordenadas espaciales de todas y cada una de suspartıculas.

El numero de grados de libertad de un sistema de partıculas, G, es el numero numero de grados de libertadde magnitudes independientes que determinan la configuracion del sistema3.

3Hay autores que utilizan el concepto grado de libertad como sinonimo de cada una delas magnitudes independientes del sistema, y numero de grados de libertad para denotar lacantidad de tal conjunto de magnitudes.

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Estas magnitudes pueden tener dimensiones de longitud, como es el caso delas coordenadas cartesianas de las partıculas. Sin embargo, en otras situacionespuede ser mas conveniente considerar otro tipo de magnitudes. En este texto, laconfiguracion de los sistemas de partıculas estara definida mediante longitudesy, en su caso, angulos. De ahı que, en adelante, hablemos de coordenadas oparametros en lugar de hablar de magnitudes en general.

EJEMPLO: Una partıcula libre posee dos grados de libertad en el plano ytres en el espacio, pues su configuracion queda determinada si se conocen, porejemplo, sus coordenadas cartesianas: dos en el caso plano (x e y) y tres en elcaso espacial (x, y y z). Analogamente, el numero de grados de libertad de unsistema de N partıculas libres sera

Glibre ={

3N (en el espacio),2N (en el plano).

(2.22)

La presencia de vınculos impone restricciones sobre las posiciones que puedenocupar las partıculas. Dichas restricciones se expresan mediante relacionesmatematicas que, en el caso mas general, pueden depender no solo de las co-ordenadas de las partıculas, sino tambien de sus velocidades y del tiempo.Sin embargo, por sencillez, en este texto solo trataremos aquellos enlaces quepueden describirse mediante ecuaciones que solo involucran las coordenadasespaciales de las partıculas, esto es

ϕ(�r1, �r2, . . . , �rN ) = 0, (2.23)

donde �ri = (xi, yi, zi) son las coordenadas de la partıcula i-esima del sistema deN partıculas. Este tipo de enlaces reciben el nombre de las ligaduras holonomasescleronomas, y nos referiremos a cada una de las ecuaciones que las describeligaduras holonomas escleronomascomo ecuaciones de ligadura. Cada ecuacion de ligadura del tipo (2.23) muestra

ecuaciones de ligadura que, al menos formalmente, una de las coordenadas de una de la partıculasenlazadas podrıa determinarse a partir de las coordenadas de las restantes. Portanto, cada ecuacion de ligadura supone la supresion de un grado de libertadrespecto del caso en que las partıculas fueran libres.

Presentamos seguidamente algunos de los enlaces mas sencillos que puedenencontrarse en un sistema de partıculas:

Superficie sin rozamiento en el espacio. La ecuacion de ligadura de cadar x,y,z� ( )�

O

FIGURA 2.7: Punto material vincula-do a una superficie plana.

partıcula ası vinculada se corresponde con la ecuacion de la superficie,

ϕ(x, y, x) = 0, (2.24)

por lo que este vınculo resta un grado de libertad a la partıcula. En el casode que la superficie sea plana (fig. 2.7), la ecuacion de ligadura adopta laforma,

Ax + By + Cz + D = 0, (2.25)

donde A, B, C y D son los parametros que definen el plano. Claramente,cualquiera de las coordenadas espaciales de la partıcula queda determi-nada conocidas las otras dos.

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Lınea sin rozamiento en el espacio. Las partıculas sometidas a este vıncu-lo habran de satisfacer dos ecuaciones de ligadura, que se corresponderancon las de dos superficies cuya interseccion define la curva en el espacio,

ζ(x, y, x) = 0, (2.26)ξ(x, y, x) = 0. (2.27)

Por tanto, este vınculo restara dos grados de libertad a cada partıculaası enlazada. En el caso de que la lınea sea recta, las ecuaciones de ligadurapodran escribirse como las de dos planos.

r x,y,z� ( )�

O

�( , , ) = 0x y z

�( , , ) = 0x y z

FIGURA 2.8: Punto material vincula-do a una curva en el espacio, intersec-cion de las superficies ζ(x, y, x) = 0y ξ(x, y, x) = 0.

Lınea sin rozamiento en el plano. La ecuacion de ligadura coincidira conla ecuacion de la curva en el plano,

f(x, y) = 0, (2.28)

por lo que el vınculo restara un grado libertad a cada partıcula sometidaa este enlace. En el caso de que la lınea sea recta, la ecuacion de ligadurapodra escribirse como

y = a + bx, (2.29)

donde a es la ordenada en el origen y b la pendiente de la recta. Clara-mente, el valor de una de las coordenadas de la partıcula queda determi-nada por el valor que adquiera la otra.

Distancia fija entre dos partıculas. En este caso, la ecuacion de la ligadurainvolucra a dos partıculas y se expresa matematicamente como

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 − d2 = 0 (2.30)

en el espacio, y como

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 − d2 = 0 (2.31)

en el plano, donde d es la distancia de separacion de los puntos materialesy xi, yi y, en su caso, zi (i = 1, 2), las coordenadas espaciales de estos.Puesto que este enlace se expresa mediante una unica ecuacion de ligadu-ra, solo suprime un grado de libertad al conjunto de las dos partıculas.

P2

P1

x

z

y

d

FIGURA 2.9: Puntos obligados a per-manecer a una distancia fija d.

Punto fijo. Las ecuaciones de ligadura que habra de satisfacer una partıcu-la obligada a permanecer en un punto fijo en el espacio, de coordenadas(x0, y0, z0), son tres. Estas pueden escribirse como las ecuaciones de tresplanos, paralelos a los planos coordenados, y que contienen al punto,

x − x0 = 0, (2.32)y − y0 = 0, (2.33)z − z0 = 0. (2.34)

Analogamente, en el caso plano, este vınculo puede expresarse mediantedos ecuaciones de ligadura, correspondientes a dos rectas paralelas a losejes coordenados y que contienen al punto,

x − x0 = 0, (2.35)y − y0 = 0. (2.36)

Evidentemente, este enlace suprime todos los grados de libertad de lapartıcula: 3 en el espacio y 2 en el plano.

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2.6.1. Coacciones. Calculo de los grados de libertad

Los vınculos que pueden actuar sobre un sistema de partıculas imponen nosolo restricciones sobre las posiciones del espacio que pueden ocupar las partıcu-las, sino tambien sobre los posibles desplazamientos de estas. Ası, por ejemplo,la magnitud del desplazamiento en la direccion del eje z de una partıcula vin-culada a un plano (ec. (2.25)) dependera de los desplazamientos a lo largo delos ejes x e y mediante la ecuacion,

∆z = −A∆x + B∆y

C. (2.37)

Es decir, mientras que ∆x y ∆y pueden adquirir valores arbitrarios, ∆z nopuede. Este hecho puede ponerse de manifiesto mas claramente si efectuamosuna rotacion de los ejes coordenados, de forma que la direccion del eje z seaperpendicular al plano. En tal caso, la ecuacion de la ligadura (z = cte) pro-hibira cualquier desplazamiento paralelo al eje z (∆z = 0), mientras que noestablecera ninguna limitacion sobre traslaciones paralelas a los ejes x e y.Ademas, la partıcula podra desplazarse en cualquier direccion contenida enel plano, ya que dicho desplazamiento podra siempre expresarse como combi-nacion de traslaciones independientes elementales paralelas a los ejes coorde-nados.

Ası pues, cada una de las ecuaciones de ligadura consideradas anteriormentepuede entenderse, de forma general, como el impedimento de la traslacion enuna direccion del espacio. Dicho impedimento elemental recibe el nombre decoaccion y supone, logicamente, la supresion de un grado de libertad. El numerocoaccionde grados de libertad de un sistema de N partıculas puede entonces obtenersecomo

G = Glibre − C ={

3N − C (en el espacio),2N − C (en el plano),

(2.38)

donde C representa el numero de coacciones ejercidas sobre el sistema de Npartıculas. Como veremos seguidamente, el numero de coacciones que ejerce unvınculo coincide con el de ecuaciones de ligadura que lo definen, y tambien conel de incognitas de reaccion vincular asociadas a la fuerza de reaccion vincularcorrespondiente.

Analicemos brevemente las coacciones ejercidas en los distintos enlaces yaestudiados:

Superficie sin rozamiento en el espacio. Consideremos un sistema de ref-erencia en el que el eje z sea normal a la superficie en la posicion de lapartıcula. La partıcula ası vinculada tendra impedida su traslacion en ladireccion del eje z (∆z = 0), por lo que este vınculo ejerce una coaccion.La partıcula podra trasladarse libremente en las direcciones de los ejes xe y, o en cualquier otra direccion tangente a la superficie, que podra ex-presarse como combinacion de traslaciones paralelas a los ejes x e y. Sila partıcula no esta sometida a ningun otro vınculo tendra dos grados delibertad. La fuerza de reaccion vincular correspondiente a este vınculo seexpresara como �φ = λ�n, donde �n en un vector normal a la superficie en laposicion de la partıcula y el escalar λ es la incognita de reaccion vincular.

Lınea sin rozamiento en el espacio. Consideremos en este caso un sistemade referencia en el que el eje z sea tangente a la curva en la posicion de lapartıcula. Este vınculo impedira las traslaciones en las direcciones de los

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ejes x e y (∆x = 0, ∆y = 0), por lo que ejercera dos coacciones sobre lapartıcula. Por el contrario, la partıcula podra trasladarse paralelamenteal eje z. Si la partıcula no esta sometida a ningun otro vınculo tendra ungrado de libertad. La fuerza de reaccion vincular correspondiente a estevınculo se expresara como �φ = λ�n1 + µ�n2, donde �n1 y �n2 son sendosvectores no paralelos normales a la curva en la posicion de la partıcula ylos escalares λ y µ son las incognitas de reaccion vincular.

Lınea sin rozamiento en el plano. Adoptemos un sistema de referenciacon el eje y normal a la curva. En este caso, la ligadura impedira lastraslaciones en paralelas al eje y (∆y = 0) y ejercera, por tanto, unacoaccion. La partıcula podra trasladarse en direccion paralela al eje x y,si no esta sometida a ningun otro vınculo, tendra un grado de libertad.La fuerza de reaccion vincular correspondiente a este vınculo se expre-sara como �φ = λ�n, donde �n en un vector normal a la curva en la posicionde la partıcula y el escalar λ es la incognita de reaccion vincular.

Distancia fija entre dos partıculas. Esta ligadura puede considerarse co-mo un caso particular de dos de las anteriores. En el espacio, la primerapartıcula estara obligada a permanecer sobre una esfera centrada en tornoa la segunda partıcula. Por tanto, las traslaciones en la direccion normala dicha superficie esferica estaran prohibidas, y la ligadura ejercera unacoaccion. En el plano, la primera partıcula debera estar localizada sobreuna circunferencia alrededor de la segunda partıcula. Cualquier desplaza-miento en direccion normal a esta curva plana estara prohibido, por loque la ligadura ejercera, tambien, una coaccion. Si las dos partıculas noestan sometidas a ningun otro vınculo tendran cinco grados de libertad, siestan en el espacio, o tres grados de libertad, si esta en el plano. La fuerzade reaccion vincular se expresara como �φ = λ�n, donde �n en un vector enla direccion que une ambas partıculas, y el escalar λ es la incognita dereaccion vincular.

Punto fijo. La partıcula vinculada a un punto fijo tiene impedido cualquierdesplazamiento, por lo que se tendra ∆x = 0, ∆y = 0 y, ademas, si elvınculo esta en el espacio, ∆z = 0. Por tanto, este vınculo ejerce dos coac-ciones en el caso plano y tres en el espacio, y la partıcula no tendra ningungrado de libertad. Puesto que la fuerza de reaccion vincular debe poderadoptar cualquier orientacion, esta se expresara como �φ = (φx, φy) en elcaso plano, y como �φ = (φx, φy, φz) en el espacio, donde φx, φy y, en sucaso, φz , son incognitas de reaccion vincular.

�2

�1

FIGURA 2.10: Pendulo plano doble.Las coordenadas θ1 y θ2 son sufi-cientes para determinar la configu-racion del sistema.

EJEMPLO:

El pendulo plano doble (fig. 2.10), tiene 2 grados de libertad, pues bastandos coordenadas angulares, θ1 y θ2, para conocer la configuracion delas partıculas. Alternativamente, el cable que une la partıcula A al techoejerce una coaccion, pues la obliga a moverse sobre una circunferencia concentro en C, y el que une la partıcula A y B entre sı ejerce otra coaccion,pues la partıcula B debe moverse en una circunferencia en torno a A. Portanto, el numero de coacciones ejercidas sobre las dos partıculas es 2 y el

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numero de grados de libertad es

G = 2N − C = 2 × 2 − 2 = 2.

Un sistema formado por 15 moscas “puntuales” en el espacio, dos de ellasunidas por un cable inextensible (C = 1), tiene 44 grados de libertad, pues

G = 3N − C = 3 × 15 − 1 = 44.


Sea una partıcula material de peso P = 4 kp insertada en un alambre en formade semicircunferencia de radio R = 1m, con rozamiento despreciable. La partıculaesta sujeta a la accion de un muelle de longitud natural nula, fijado este a su vez aun extremo del alambre (como se ilustra en la figura). Si la posicion de equilibriode la partıcula se produce a un angulo α = 53◦, calcula:

(a) La constante elastica del muelle.

(b) El vector fuerza de reaccion vincular que ejerce el alambre sobre la partıcula.

Datos: sen 53◦ = 45 y cos 53◦ = 3

5 .

PROBLEMA RESUELTO 2.4

O A (1,0)

�=53o

B

y

x

Solucion:

Por tratarse de una partıcula material ligada en equilibrio y en el plano, han decumplirse las ecuaciones siguientes:∑

Fx +∑

φx = 0, (P4.1)∑Fy +

∑φy = 0. (P4.2)

En ellas se encuentran las incognitas que nos piden en los apartados (a) y (b): laconstante elastica del muelle, incluida en la fuerza del muelle sobre la partıcula, yla fuerza de reaccion vincular del alambre sobre la partıcula.

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O A (1,0)

�=53o

B (cos 53 , sen 53 )o o−

y

x

�

Fmuelle

←

←

←P

FIGURA P4a: Diagrama de fuerzas.

Para determinar cuales son las fuerzas es necesario dibujar el diagrama de fuerzas.Vease la figura. Elegiremos como ejes coordenados los de la figura (en otros casos,habra que elegirlos entre aquellos en los que los vectores fuerza tienen las compo-nentes mas simples). De este diagrama inferimos los siguientes vectores fuerza:

Fuerzas activas:

�Fmuelle = k �BA

= k(1 − cos 53◦, sen 53◦), (P4.3)�P = (0, −4) kp. (P4.4)

Fuerzas de reaccion vincular:

�φ = (−φ cos 53◦, φ sen 53◦). (P4.5)

Para escribir la fuerza del muelle hemos tenido en cuenta la ley de Hooke: �Fmuelle =k∆l�umuelle = k|lactual − lnatural| �BA, y que el muelle es de lnatural = 0m con lo

que |lactual| = | �BA|. Para escribir la fuerza de reaccion vincular se ha tenido encuenta que esta es perpendicular al alambre en el punto B de apoyo y que, portanto, tiene direccion radial, segun �OB o �BO.Sustituyendo en las ecuaciones de equilibrio, obtenemos:

k(1 − cos 53◦) − φ cos 53◦ = 0, (P4.6)k sen 53◦ − 4 + φ sen 53◦ = 0. (P4.7)

Son dos ecuaciones con dos incognitas, k y φ, justo las que nos interesan pararesponder a los apartados (a) y (b). Al resolver el sistema obtenemos k = 3 kp/m

y φ = 2 kp. El vector fuerza de reaccion vincular es entonces �φ = (− 65 , 8

5 ) kp.


En la figura se muestran dos pequenas anillas A y B, de pesos respectivos PA yPB, ensartadas en un alambre liso en forma de L. Ambas anillas estan unidas por

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un cable ideal tenso (tension T �= 0) de longitud 9m, que pasa por una pequenapolea de posicion fija. Por ultimo, la anilla B recibe la accion de un muelle idealvertical de longitud natural nula y constante elastica k.

(a) Calcula el numero de grados de libertad del sistema.

(b) Determina el valor del angulo α para la configuracion de equilibrio.

(c) Dibuja la configuracion de equilibrio y halla los valores del angulo β y de laelongacion δ del muelle.

(d) Calcula la fuerza que el alambre ejerce sobre cada anilla y la tension del cable.

Datos: l = 4m, d1 + d2 = 9m, PA = 3 kp, PB = 1 kp, k = 215 kp/m. Tomese

sen 37◦ = 35 , cos 37◦ = 4

5 .

PROBLEMA RESUELTO 2.5

�

l

l l

d2d1

BA

�

�

Solucion:

(a) El sistema tiene un solo grado de libertad: la posicion de la partıcula A quedadeterminada por la posicion de la partıcula B.

(b) Por tratarse de un sistema de dos partıculas materiales, A y B, ligadas enequilibrio y en el plano, han de cumplirse las ecuaciones siguientes:

∑FAx +

∑φAx = 0, (P5.1)∑

FAy +∑

φAy = 0. (P5.2)

∑FBx +

∑φBx = 0, (P5.3)∑

FBy +∑

φBy = 0. (P5.4)

Para determinar cuales son las fuerzas es necesario dibujar los dos diagramas defuerzas correspondientes a cada una de las dos partıculas. Vease la fig. P5a. Losejes coordenados que simplifican mas las ecuaciones son el horizontal como eje xy el vertical como eje y.

�

l = 4 m l = 4 m

l = 4 md2

d1

B

A

�

��B

← �A

←←TA

←TB

←Fmuelle

←PB

←PA

FIGURA P5a: Resolucion de losapartados (a) y (c).

En un cable ideal (i.e., inextensible y de peso despreciable) sin rozamiento con lapolea, la tension tiene la direccion del cable en cada punto y su modulo es el mismo

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en todos los puntos, de modo que, en este caso, las tensiones que actuan sobrelas partıculas A y B son iguales en modulo TA = TB ≡ T pero no en direccion�TA �= �TB, como se ve en la fig. P5a.

Comenzamos por la anilla A. De su diagrama de fuerzas, y sustituyendo directa-mente las componentes de las fuerzas en las ecs. (P5.1) y (P5.2), obtenemos:

T cosα = 0, (P5.5)−PA + T senα + φA = 0. (P5.6)

Se trata de dos ecuaciones con tres incognitas: α, T y φA. Sin embargo, de laprimera de ellas ya obtenemos el valor de α, pues al ser T �= 0, por estar tenso elcable, debe ser cosα = 0, de donde α = 90◦.

l = 4 m�

d2 = 5 m d1 = 4 m

B A

�

� = 90o

l = 4 ml = 4 m

FIGURA P5b: Resolucion del aparta-do (b).

(c) La configuracion de equilibrio dibujada en la fig. P5b queda determinada porel valor encontrado para α. En la fig. P5b vemos que cosβ = 4

5 y senβ = δ5 , obte-

niendo ası dos ecuaciones con las dos incognitas pedidas, β y δ. Resulta entoncesque β = 37◦ y δ = 3m.

(d) Para hallar la tension T y las reacciones φA y φB disponemos de la ec. (P5.6),mas las dos ecuaciones que se obtienen al sustituir en (P5.3) y (P5.4) las com-ponentes de las fuerzas que se infieren del diagrama de fuerzas de la partıcula B.Ademas, hay que tener en cuenta que ya conocemos que α = 90◦, β = 37◦ yδ = 3 m. El valor de δ es necesario para saber el de la fuerza elastica del muellesobre la partıcula, dado por la ley de Hooke: Fmuelle = kδ, pues la longitud naturaldel muelle es nula.

−PA + T sen 90◦ + φA = 0, (P5.7)T cos 37◦ − φB = 0, (P5.8)

−PB + T sen 37◦ + kδ = 0. (P5.9)

Sustituyendo los valores conocidos PA = 3 kp, PB = 1 kp, k = 215 kp/m y δ = 3 m

obtenemos las siguientes 3 ecuaciones con 3 incognitas:

T + φA = 3, (P5.10)

T45− φB = 0, (P5.11)

T35

+25

= 1. (P5.12)

De donde obtenemos finalmente que T = 1 kp, φA = 2 kp y φB = 4/5 kp. Siqueremos expresar vectorialmente las fuerzas de reaccion del alambre sobre laspartıculas, de los diagramas de fuerzas de la fig. P5a resulta �φA = (0, 2) kp, �φB =(− 4

5 , 0) kp.


Halla la posicion de equilibrio y el vector fuerza de reaccion vincular en esa posicionen los siguientes casos:

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(a) Una partıcula de 5N de peso, obligada a permanecer (sin rozamiento) sobrela curva de ecuacion y = x2 + 2x − 1, y sobre la que actua una fuerzahorizontal hacia la izquierda de 10N.

(b) Una partıcula de 2N de peso, obligada a permanecer sobre la recta y = 2x+3,y que es atraıda por el origen de coordenadas con una fuerza proporcional ala distancia entre la posicion de la partıcula y la del origen de coordenadas ycuya constante de proporcionalidad es k = 1 N/m.

Nota: Las distancias estan expresadas en metros.

Solucion:

(a) Si elegimos el sistema de referencia en el que la horizontal es el eje x, con valorescrecientes de izquierda a derecha, y la vertical el eje y, con valores crecientes deabajo a arriba, entonces la expresion vectorial del peso y de la fuerza que actuahorizontalmente hacia la izquierda es

�P = (0,−5)N, (P6.1)�F = (−10, 0)N. (P6.2)

El que la partıcula este obligada a permanecer (sin rozamiento) sobre la curvay = x2 + 2x − 1 implica que la fuerza de reaccion vincular es de la forma

�φ = λ (2x + 2,−1), (P6.3)

donde λ es una de las incognitas del problema. Las unicas fuerzas que actuan sobrela partıcula son �P , �F , y �φ, por tanto la condicion necesaria y suficiente para queesta partıcula este en equilibrio es

�P + �F + �φ = �0. (P6.4)

Ecuacion vectorial que, en este caso, equivale a 2 ecuaciones escalares, una paralas componentes horizontales y otra para las verticales:

−10 + λ (2x + 2) = 0, (P6.5)−5 − λ = 0. (P6.6)

La solucion de la segunda ecuacion es λ = −5. Introduciendo esta solucion en laprimera ecuacion obtenemos x = −2. Por tanto, usando la ecuacion de la curva, laposicion de equilibrio es �req = (−2,−1)m, y el vector fuerza de reaccion vincular

es �φeq = (10, 5)N.

(b) Usando el mismo sistema de referencia que en el apartado anterior, el peso yla fuerza de reaccion vincular sobre la partıcula son ahora

�P = (0,−2)N, (P6.7)�φ = λ (2,−1), (P6.8)

La fuerza con que el origen O(0, 0) atrae a la partıcula situada en Q(x, y) es

�F = k | �QO|�QO

| �QO|= k (−x,−y)= (−x,−2x − 3). (P6.9)

DPT

O. F

ISIC

A AP

LIC

ADA

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UAT


Las unicas fuerzas que actuan sobre la partıcula son esas tres, por tanto la condicionnecesaria y suficiente para que esta partıcula este en equilibrio es

�P + �φ + �F = �0. (P6.10)

Ecuacion vectorial que equivale a 2 ecuaciones escalares:

2λ − x = 0, (P6.11)−2 − λ − 2x − 3 = 0. (P6.12)

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos λ = −1, x = −2. Por tanto,usando la ecuacion de la recta y = 2x + 3, la posicion de equilibrio es �req =(−2,−1)m y la fuerza de reaccion vincular �φeq = (−2, 1)N.

DPT

O. F

ISIC

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LIC

ADA

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UAT


Problemas propuestos

2.1. En la figura se observa una partıcula material de pesodespreciable frente al de la carga P1 = 50N que cuelga deella. La partıcula esta obligada a permanecer sin rozamientoen la guıa recta inclinada α = 53◦ respecto a la horizontal,y ademas esta sujeta a la accion de un muelle ideal de lon-gitud natural nula y constante elastica k = 120N/m y deun cable ideal del que pende una carga de peso P2 = 100N.

Calcula entonces:

(a) Los grados de libertad que posee la partıcula materialconsiderando el problema plano.

Y para la situacion de equilibrio:

(b) La elongacion que experimenta el muelle.

(c) La fuerza de reaccion vincular que ejerce la guıa sobrela partıcula.

Nota: Considera sen 53◦ = 45 y cos 53◦ = 3

5 .

P1

P2

�

k

PROBLEMA 2.1

2.2. Un cuerpo puntual de masa m puede deslizar por unavarilla vertical lisa, estando sometido a la accion de dosmuelles ideales de longitud natural nula. Las constantes delos resortes valen k1 y k2, y sus extremos fijos son A(−l1, 0),B(l2, 0) (vease la figura). El cuerpo permanece en equilibrioen la posicion H(0,−h). Determina:

(a) La masa del cuerpo y la fuerza de reaccion vincular,en funcion de los parametros del enunciado.

(b) La relacion entre las constantes k1 y k2 para que lafuerza de reaccion vincular se anule.

(c) Supongamos que el cuerpo es sustituido por otro conel doble de masa. Entonces, para que el punto H continuesiendo la posicion de equilibrio, ¿las constantes deberıantener doble valor?, ¿la fuerza de reaccion serıa doble? Ra-zona las respuestas brevemente.

H 0, h( )�

k1k2

y

B l ,0( )2A l ,0( )� 1

O x

PROBLEMA 2.2

2.3. Una anilla de peso P = 1N puede deslizar sin roza-miento por un cable recto que pasa por O y forma un angu-lo α con la vertical. La anilla esta unida a un punto fijo Qpor un muelle cuya constante elastica es k = 1N/m y quetiene longitud natural despreciable. En la configuracion deequilibrio, determina:

(a) La distancia r (indicada en la figura) en funcion de α.

(b) La fuerza de reaccion vincular en funcion de α.

(c) Los valores de α para los cuales el modulo de lafuerza de reaccion vincular es maxima y mınima, respecti-vamente.

r

1m

Q

O

�S

y

x

PROBLEMA 2.3

DPT

O. F

ISIC

A AP

LIC

ADA

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Problemas propuestos 53

2.4. Un dispositivo mecanico para desplazar cargas peli-grosas puede modelarse como un sistema de dos partıcu-las materiales, A y B, de peso despreciable. Las partıcu-las A y B estan obligadas a permanecer sin rozamientoen las guıas horizontales OQ y RS, respectivamente. En-tre la partıcula A y el punto fijo R existe un muelle idealde longitud natural nula y constante elastica k = 10 N/m.De la partıcula A cuelga el peso a desplazar, de moduloP = 100 N. Entre la partıcula A y la partıcula B existeun cable en tension de peso despreciable y que en todomomento forma un angulo de 53◦ con la horizontal.

(a) Calcula el numero de grados de libertad del sistemaformado por las partıculas A y B.

Si sobre B se aplica una fuerza horizontal F = 30 N, taly como se ilustra en la figura, calcula, en la situacion deequilibrio,

(b) Las coordenadas de las partıculas A y B en el sistemade referencia de la figura.

(c) Las fuerzas de reaccion que ejercen la guıas OQ y RSsobre las partıculas A y B, respectivamente.

Datos adicionales: OR = 5m. Considera cos 53◦ = 35 ,

sen 53◦ = 45 .

O

y

x

B

53o

Q

P

A

S

R (0,5) m F�

PROBLEMA 2.4

2.5. Considera el sistema de dos puntos materiales A y Bde la figura. El peso de A es 10N y el peso de B es 12N.El punto A esta obligado a permanecer sin rozamiento so-bre una guıa que forma 53◦ con la horizontal y el punto Besta obligado a permanecer sin rozamiento sobre una guıaque forma 37◦ con la horizontal, tal y como se ilustra en lafigura. A y B estan unidos por un muelle ideal de longitudnatural nula y constante elastica k = 5 N/m. Determina:

(a) El numero de grados de libertad del sistema.

En la situacion de equilibrio, calcula:

(b) Las fuerzas de reaccion vincular �φA y �φB que las guıasejercen sobre los puntos A y B, respectivamente.

(c) Las distancias lA y lB.

(d) La fuerza �FA que el muelle ejerce sobre el punto A.

Datos adicionales: Considera cos 37◦ = sen53◦ =45,

sen 37◦ = cos 53◦ =35.

x37o

B

53o

l A

lB

A

O

y

PROBLEMA 2.5

2.6. Dos cuerpos A y B que pesan 800N y 200N respecti-vamente, se mantienen en equilibrio sobre superficies per-pendiculares mediante un cable que los une y que formaun angulo θ con la horizontal, segun se indica en la figura.Determina las reacciones de las superficies sobre los cuer-pos, la tension del cable y el angulo θ. Suponer ausencia derozamiento en todas las superficies.

30º 60º

�PA = 800N

PB = 200N

PROBLEMA 2.6

DPT

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2.7. Una anilla de 10N de peso y que consideraremos pun-tual, puede moverse sin rozamiento sobre el eje verticalx = 0. De la anilla tira un muelle de longitud natural nulay constante elastica k = 2 N/m, cuyo otro extremo esta fijoen el punto de coordenadas (−5,−5)m, tal como se indicaen la figura. Tambien tira de la anilla un cable inextensi-ble que pasa por el punto (5, 5)m mediante una polea sinrozamiento, de radio despreciable y de cuyo otro extremocuelga un peso de modulo Q.

(a) Calcula el peso Q que cuelga de la polea y el vectorfuerza de reaccion vincular que el eje vertical ejerce sobrela anilla si esta se encuentra en equilibrio en la posicion(0,0).

(b) Calcula las coordenadas de la posicion de equilibrio yel vector fuerza de reaccion vincular del eje sobre la anillasi se suprime el cable del que cuelga el peso Q.

(0, )y

(5,5) m

( 5, 5) m� �

Q

(0,0) x

y

PROBLEMA 2.7

2.8. En la figura se muestran dos poleas de radio desprecia-ble y sin rozamiento: de la primera de ellas, que denotare-mos como P , cuelga un cuerpo A de peso WA = 200

√3 kp;

P puede moverse a lo largo del cable ideal que la sostienepor debajo. Dicho cable rodea la garganta de la polea Q,y de su extremo vertical pende un cuerpo B de pesoWB = 200 kp. El conjunto se encuentra en equilibrio.

Calcula:

(a) La tension del cable a un lado y otro de la polea P .

(b) El valor de los angulos α y β que el cable forma conla horizontal a un lado y otro de P .

(c) La longitud total del cable que hay entre O y Q, pasan-do por P y los valores de x e y correspondientes a lapolea P (vease la figura).

(d) El numero de grados de libertad de la polea P . Elnumero de grados de libertad de la polea P si el punto Qde la cuerda estuviese fijado a una pared.

40 m

4 3 m

y

x

O

P

Q

A

B

α β

PROBLEMA 2.8

2.9. Dos masas puntuales, m1 y m2, pueden moverse alo largo de las rectas AB y BC, respectivamente, comomuestra la figura. Estan unidas mediante un resorte de lon-gitud natural nula, que tira de cada una de las partıculascon una fuerza proporcional a su longitud, con constantede proporcionalidad k = 2 kp/m.

Sabiendo que m1 = 15 kg y que la masa m2 esta en equi-librio en la posicion P2(−2, 7)m, calcula:

(a) La posicion de equilibrio de m1 y la fuerza de reaccionvincular que sufre en dicha posicion.

(b) El valor de la masa m2 para que pueda permanecer enequilibrio en la posicion indicada, y la fuerza de reaccionvincular a la que se encuentra sometida.

Nota: las coordenadas en la figura estan expresadas en met-ros.

A (4,0)

B (0,8)

P x y1 ( , )

P2 ( 2,7)−

C

m1

m2

O

x

y

PROBLEMA 2.9

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Problemas propuestos 55

2.10. Una partıcula de 11N de peso puede moverse sinrozamiento a lo largo de la curva plana descrita por laecuacion y = −x2 − 1, y es atraıda por el origen de co-ordenadas con una fuerza proporcional al vector posiciondel punto, �F = −k�r, siendo k = 2 N/m. Determina lasposiciones de equilibrio y la fuerza de reaccion vincular encada una de dichas posiciones de equilibrio.

2.11. En la figura se muestra el andamio utilizado para pin-tar un paramento vertical. Consta de un cable de acerosobre la que se apoyan dos poleas, A y B, unidas medianteuna barra rıgida de peso despreciable. De las poleas cuel-gan sendas cuerdas, al final de las cuales se encuentra eltablero sobre el que trabajan los pintores. Para mantener elandamio en la posicion mostrada, la polea B esta unida aun cable horizontal del que se tira con una fuerza �F . Lascargas dispuestas sobre el tablero producen en la cuerdade la izquierda una tension de 150N, mientras que en lacuerda de la derecha la tension es de 250N.

La forma que adopta el cable de acero puede aproximarse

mediante una curva parabolica de ecuacion y =x2

10− x

4.

Si se modelan las poleas mediante puntos materiales, de-termina:

(a) Las fuerzas ejercidas sobre la polea A por el cable deacero y por la barra que une ambas poleas.

(b) La fuerza ejercida sobre la polea B por el cable de

acero y la fuerza �F necesaria para mantener el andamioen su posicion.

4 m

3 m

x

y

A

B F�

PROBLEMA 2.11

2.12. Un objeto de peso P = 1100N, que consideraremospuntual, se apoya sin rozamiento sobre una curva, deecuacion y = − 1

3x2 − 1. El objeto permanece en equi-librio en el punto A, de coordenadas A(−3,−4)m, sujetopor un unico cable ideal en tension que pasa sin rozamien-to por una argolla fijada a una pared vertical situada en elorigen de coordenadas O, y que esta amarrado al techo enel punto B. Calcula:

(a) El numero de grados de libertad del objeto.

(b) La tension del cable, y la fuerza de reaccion vincularque ejerce la curva de apoyo sobre el objeto.

(c) Considerando la argolla como puntual, la fuerza queejerce sobre ella la pared a la que esta unida.

A( 3, 4) m��

B

O(0,0) m

30o

x

y

PROBLEMA 2.12

DPT

O. F

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Cuestiones

2.1. Teniendo en cuenta las leyes de Newton, ¿cual de lassiguientes afirmaciones es verdadera?

(a) Un punto material sobre el que no actuan fuerzas per-manece en reposo respecto a cualquier sistema de refer-encia inercial.

(b) En un sistema de referencia inercial, la variacion delmomento lineal (o cantidad de movimiento) de un puntomaterial respecto del tiempo es igual a la fuerza resultanteaplicada sobre dicho punto material.

(c) Las dos fuerzas a las cuales se refiere la tercera ley deNewton siempre actuan sobre el mismo punto material.

(d) Un punto material sobre el que actua un sistema defuerzas estara necesariamente acelerado en todo sistemade referencia inercial.

2.2. En el espacio tridimensional considera un sistema for-mado por tres puntos materiales P1, P2 y P3 tal que P1 yP2 estan unidos mediante un muelle, y la distancia entre P2

y P3 permanece constante. El numero de grados de libertadde ese sistema es

(a) G = 8.

(b) G = 5.

(c) G = 4.

(d) G = 6.

2.3. En el plano, un punto material esta obligado a per-manecer sin rozamiento sobre la curva de ecuacion y =−x2 + 7. Al aplicar el principio de liberacion, la fuerza dereaccion vincular que sustituye al vınculo

(a) tiene una direccion constante independiente del puntode la curva sobre el que se encuentre el punto material.

(b) es proporcional al vector (2, 1) si el punto materialesta en el punto de coordenada x = 1.

(c) tiene direccion tangente a la curva en el punto dondese encuentre el punto material.

(d) Ninguna de las otras respuestas es correcta.

2.4. En un sistema de N puntos materiales ligados, en elespacio,

(a) el numero de coordenadas libres o independientes quedeterminan su configuracion es igual al numero de gradosde libertad menos el numero de ecuaciones de ligadura.

(b) la configuracion del sistema viene dada por el valorde 3N coordenadas libres o independientes.

(c) el numero de grados de libertad es igual al que ten-drıa el sistema si todos los puntos fueran libres menos elnumero de ecuaciones de ligadura.

(d) si todos los puntos materiales estan en equilibrio, elnumero de grados de libertad es cero.

2.5. El numero de grados de libertad de un sistema de pun-tos materiales

(a) depende de las posiciones que ocupen los puntos enel espacio.

(b) es cero si todos los puntos estan en reposo.

(c) es cero si todos los puntos estan en reposo y, ademas,la fuerza total que actua sobre cada uno de ellos es cero.

(d) Ninguna de las otras respuestas es cierta.

2.6. Sea una partıcula material ligada a una superficie lisa.Entonces la partıcula esta en equilibrio

(a) unicamente si la suma de las fuerzas activas queactuan sobre ella es nula.

(b) si la suma de las componentes tangenciales a la super-ficie de las fuerzas activas que actuan sobre ella es nula.

(c) si la suma de las componentes normales a la superficiede las fuerzas activas que actuan sobre ella es nula.

(d) si la fuerza de reaccion vincular que actua sobre ellaes no nula y tangente a la superficie.

2.7. Se cuelga un peso �P de una arandela insertada en uncable rıgido, no necesariamente sin rozamiento, e inclina-do 45◦ respecto a la horizontal. Si la arandela permaneceası en equilibrio, ¿que puede afirmarse acerca de la fuerzade reaccion vincular del cable sobre la arandela?

(a) Es perpendicular al cable.

(b) Es paralela al cable.

(c) Es vertical.

(d) Tiene dos componentes no nulas, una horizontal y otravertical.

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