Dr. Ing. OLIMPIA BLĂGOI Dr. Ing. AMEDEU MITROI

HIDRAULICĂ GENERALĂ

− COMPENDIU −

OLIMPIA BLĂGOI AMEDEU MITROI

HIDRAULICĂ GENERALĂ

COMPENDIU

EDITURA „GH. ASACHI”

I A Ş I 2 0 0 3

5

CAPITOLUL I

INTRODUCERE

I.1 Generalităţi

Corpurile aflate în stare lichidă, gazoasă sau de plasmă au denumirea comună de fluide (din latină: fluidum = care poate curge).

Fluiditatea este proprietatea corpurilor aflate într-un câmp de forţe, de a-şi schimba forma la acţiunea unor forţe oricât de mici, datorită legăturilor intermoleculare slabe şi de a lua forma vasului în care se găsesc.

Lichidele nu se opun deformării, au volum propriu, dar nu au formă proprie şi, de aceea, iau forma vaselor care le conţin. Ele sunt mărginite de o frontieră care le separă de solide (numită suprafaţă de contact) sau de gaze (numită suprafaţă liberă). În cantităţi mici, lichidele aflate în mediu gazos iau formă sferică.

Lichidele sunt puţin compresibile şi sunt elastice, încât revin la volumul iniţial atunci când dispar forţele exterioare. In general, efectul compresibilităţii se neglijează, cu excepţia domeniilor şi fenomenelor în care apar variaţii mari de presiune precum sonicitatea, lovitura de berbec în conducte, comprimarea lichidelor într-o presă etc.

Gazele sunt corpuri elastice, la care forţele de coeziune sunt foarte mici, de aceea nu au volum şi formă proprii, ocupând volumul rezervoarelor care le conţin.

Plasma este denumirea dată gazelor ionizate parţial sau total. Mecanica fluidelor este ştiinţa care studiază echilibrul static şi

dinamic al fluidelor şi interacţiunea lor cu corpurile solide. Studiul fluidelor în câmpuri electromagnetice constituie domeniul unei noi ramuri numite magneto – fluido – dinamica.

Hidraulica este o ramură tehnică a mecanicii fluidelor, care studiază legile echilibrului lichidelor în repaus sau în mişcare cu scopul rezolvării problemelor inginereşti. Denumirea provine din limba greacă: hydor = apă şi aulos = tub, vas.

6

Hidraulica are trei părţi: Hidrostatica – studiază starea de repaus a lichidelor, Hidrocinematica – studiază mişcarea lichidelor, fără a ţine seama de forţele care intervin, Hidrodinamica – studiază mişcarea lichidelor cu considerarea acţiunii forţelor care intervin în această mişcare.

Legile stabilite în Hidraulică sunt valabile şi pentru mişcarea gazelor cu viteze subsonice.

Studiul mişcării unui lichid este mult mai dificil decât al mişcării solidului, deoarece solidul este considerat un sistem de particule legate rigid între ele, pe când fluidul este un mediu format dintr-o infinitate de particule ce se pot deplasa unele faţă de celelalte.

La scară microscopică, lichidul se prezintă ca un amestec de solid şi gaz (goluri) şi se studiază pe baza teoriei cinetice a lichidelor.

La scară macroscopică, lichidul se consideră un mediu continuu, deoarece un element infinit mic al lichidului păstrează toate proprietăţile acestuia. Mediul continuu este un sistem material care umple complet o regiune a spaţiului tridimensional, la un moment dat. Fiecare punct al acestei regiuni este sediul unei particule a corpului.

La baza studiului lichidelor stau următoarele condiţii fundamentale din mecanica mediilor continue: spaţiul şi timpul sunt aceleaşi ca în mecanica newtoniană; spaţiul este euclidian (cu trei dimensiuni).

Lichidul este un mediu continuu şi deformabil, deoarece distanţele dintre punctele sale se schimbă la solicitări externe (în timpul mişcării). Mişcarea unui mediu continuu este definită de mişcarea particulelor sale. In timpul mişcării, particulele iniţial vecine vor fi vecine şi la momentul t, păstrându-şi permanent individualitatea. Rezultă că, în timpul mişcării, nici o parte finită din acest mediu nu va putea avea volumul zero sau infinit (principiul indistructibilităţii materiei).

Ca urmare a particularităţilor lichidelor, în Hidraulică, sunt folosite metode de studiu atât teoretice cât şi experimentale.

Hidraulica are aplicaţii în cele mai variate domenii ale ştiinţei şi tehnicii: construcţii hidrotehnice, construcţii hidroedilitare, maşini hidraulice, hidroamelioraţii, hidroenergetică, hidrologie etc.

I.2 Scurt istoric al dezvoltării Hidraulicii

Dezvoltarea Hidraulicii a fost întotdeauna legată de activitatea omului de a folosi complex apa sau de a combate acţiunile ei distructive.

În antichitate, lucrări cu caracter hidrotehnic au fost executate în China, India, Egipt, Grecia, Roma, vestigiile lor păstrându-se şi azi. Probabil că Hidraulica teoretică era slab dezvoltată, deoarece singurele dovezi scrise sunt tratatul empiric al lui Arhimede (287 – 212 î.e.n.) „De iis

7

quae in humido vehuntur” (Corpuri plutitoare) şi scrierile lui Frontinus (sec. I î.e.n.) „De aquis urbis Romae” (Despre apa oraşului Roma).

Începând cu perioada Renaşterii, Hidraulica teoretică se dezvoltă alături de celelalte ştiinţe.

Leonardo da Vinci (1452–1519) a scris tratatul „Despre mişcarea apei şi instalaţiile fluviale”, în care prezintă rezultatele studiilor efectuate la Milano şi Florenţa, privind mişcarea valurilor, vârtejurile formate la coturi precum şi în spatele unui obstacol, căderile de apă, curgerea prin tuburi etc.

Lucrarea nu a influenţat ştiinţa şi tehnica de atunci, deoarece a fost găsită după 400 de ani.

Secolul al XVI-lea şi al XVII-lea se caracterizează prin formulări empirice ale unor legi din Hidraulică.

Simon Stevin (1548–1620) descoperă legea presiunii lichidelor pe pereţii vaselor.

Galileo Galilei (1564–1642) pune bazele Mecanicii generale, iar în 1612, publică tratatul “Raţionamente asupra corpurilor aflate în apă”, unde sunt expuse sistematic, pentru prima oară, principiile fundamentale ale Hidraulicii.

În 1643, Evangelista Torricelli (1608–1647), elevul lui Galilei, stabileşte legea curgerii lichidelor prin orificii.

Blaise Pascal (1623–1662) formulează legea echilibrului lichidelor, enunţă principiul transmiterii presiunii (1650), inventează barometrul.

Isaac Newton (1643–1727) formulează legile viscozităţii lichidelor şi propune, pentru prima dată, noţiunea de similitudine hidrodinamică.

In secolul al XVIII-lea, se pun bazele hidrodinamicii teoretice prin contribuţia unor mari matematicieni.

Daniel Bernoulli (1700–1782) aparţine unei familii elveţiene din care provin unsprezece savanţi celebri, dar lucrează, cea mai mare parte a vieţii, la Academia din Petersburg, unde elaborează 47 opere ştiinţifice. În 1738, publică primul tratat ştiinţific de Hidraulică, având 14 capitole în care prezintă şi teorema de mişcare pe un fir de curent.

D'Alembert (1717–1783) publică tratatul despre echilibrul şi mişcarea fluidelor (1744).

Matematician, fizician şi astronom, elveţianul Leonhard Euler (1707–1793) a trăit la Petersburg. El a stabilit ecuaţiile generale ale mişcării fluidelor (1755), legile hidrostaticii, teoria turbinelor şi a fundamentat teoria navigaţiei.

J. L. Lagrange (1736–1813) formulează şi el, independent, ecuaţiile mişcării fluidelor, scrie tratatul „Mecanica analitică” (1788).

8

In 1791, în Rusia, Alexei Kolmakov publică prima carte de Hidraulică practică.

Antoine Chézy (1718–1798) deduce formula pierderii de sarcină în mişcarea uniformă a curenţilor cu nivel liber (1755).

Începând din secolul al XIX-lea, iau amploare atât studiile teoretice cât şi cele experimentale.

Navier şi Stokes stabilesc ecuaţiile generale ale mişcării fluidelor vâscoase.

Osborne Reynolds (1842–1912) studiază regimul de mişcare a lichidelor sub presiune, criteriile de similitudine hidrodinamică şi teoria mişcării elicei.

Froude studiază regimul de mişcare a lichidelor cu nivel liber. N. Jukovski (1847–1920) studiază lovitura de berbec, reacţiunea

jeturilor lichide, formulează ecuaţiile generale ale mişcării apei subterane, face studii de aerodinamică.

Studii experimentale au mai efectuat Darcy şi Bazin referitoare la mişcarea permanentă în conducte şi canale, iar Poncelet, Weisbach şi Bazin pentru curgerea prin orificii şi peste deversoare.

Darcy şi Dupuit studiază mişcarea apei prin medii poroase, Boussinesq şi Bresse se ocupă de mişcarea nepermanentă a fluidelor, K. E. Ţiolkovski – de rezistenţa la înaintare a corpurilor într-un fluid, iar H. A. Einstein aprofundează studiul tensiunii superficiale la lichide (1901).

In secolul al XX-lea, se pun bazele aeronauticii, mecanicii plasmei, dinamicii magnetofluidelor.

In România, lucrări hidrotehnice importante s-au executat după 1880, iar lucrări teoretice au apărut după 1900.

Astfel, N. Enache susţine, la Sorbona, în 1908, teza de doctorat „Contribuţie la teoria scurgerii peste deversoare”.

Vasile Vâlcovici susţine, la Göttingen, în 1913, disertaţia „Mişcările fluide discontinue cu două linii libere”.

In 1918, Gogu Constantinescu pune bazele Sonicităţii, o nouă ramură a Hidrodinamicii.

Contribuţii deosebite la dezvoltarea mecanicii fluidelor au avut Elie Carafoli, Caius Iacob, Dumitru Dumitrescu, Dorin Pavel.

Dionisie Ghermani (1877–1948) publică primul tratat de Hidraulică, în anul 1942.

Primul laborator de hidraulică a fost înfiinţat la Timişoara, în 1929.

9

CAPITOLUL II

PROPRIETĂŢILE FIZICE ALE FLUIDELOR

II.1. Densitatea (masa volumică, masa specifică)

Oricărui sistem material i se poate asocia o mărime de stare, numită masă care poate fi exprimată printr-un număr real şi pozitiv m.

Masa oricărui sistem material rămâne constantă în timpul mişcării acestuia.

În mecanica mediilor continue, se face ipoteza că masa este o funcţie continuă de volumul suport.

Densitatea tr ,

, numită şi masă volumică sau masă specifică, este o funcţie numerică pozitivă:

V

m

d

d (II.1)

Pentru fluide omogene, în practică, se foloseşte relaţia:

V

m (II.2)

Unitatea de măsură a densităţii, în S.I., este kg·m-3. Mediile incompresibile au densitatea constantă. Densitatea fluidelor variază cu presiunea şi temperatura, după legea:

o0 1 Tp Tp (II.3)

unde, s-a notat: , 0 – densitatea la temperatura T, respectiv la 273 K; p – coeficientul de compresie izotermă; T – coeficientul de dilatare volumică izobară.

In cazul lichidelor, variaţia densităţii cu presiunea şi temperatura este mică.

Apa are densitatea maximă de 1000 kg·m-3, la temperatura de 4C şi presiunea de 760 mmHg.

10

II.2. Greutatea specifică (greutatea volumică)

Pentru a defini greutatea specifică a unui lichid, se consideră o parte din acel lichid al cărei suport are volumul infinit mic şi greutatea arbitrar de mică. Se numeşte greutate specifică, raportul:

V

Gtr

d

d,

(II.4)

Pentru fluidele omogene, greutatea specifică se determină cu formula:

= V

G (II.5)

Pentru un amestec de lichide, se foloseşte relaţia:

n

i

n

ii

V

V

1

1 (II.6)

Pentru un fluid incompresibil, greutatea specifică este constantă. Unitatea de măsură a greutăţii specifice, în S.I., este N·m-3. Densitatea şi greutatea specifică sunt corelate prin intensitatea

câmpului gravitaţional:

g

(II.7)

II.3. Ecuaţia de stare. Temperatura. Căldura specifică

Un fluid este în echilibru termodinamic dacă starea sa termodinamică este invariabilă în timp. Trecerea dintr-o stare de echilibru termodinamic în alta se face prin procese termodinamice.

Conform primului principiu al termodinamicii, atunci când sistemul trece dintr-o stare termodinamică în alta, vecină, variaţia energiei sale totale depinde de lucrul mecanic elementar al forţelor ce acţionează sistemul în această trecere şi de cantitatea de căldură elementară primită.

Mediul continuu este, în general, un sistem termodinamic. Sistemul termodinamic este un sistem material închis care nu schimbă materie cu exteriorul, ci numai energie, sub formă de lucru mecanic şi căldură.

Starea termodinamicã a unui sistem, la un moment dat, este definită de parametrii termodinamici ai sistemului în acel moment. Aceşti parametri

11

termodinamici sunt de natură mecanică şi de natură pur termodinamică. De exemplu, starea termodinamică a unui fluid se caracterizează prin presiune (parametru mecanic de forţă), volum (parametru mecanic de poziţie) şi temperatură (parametru pur termodinamic).

Relaţia între parametrii de stare se numeşte ecuaţie de stare. Trecerea unui sistem dintr-o stare termodinamică în alta se numeşte

transformare termodinamică. În natură, aceste transformări sunt ireversibile, deoarece sistemul consumă energie pentru învingerea diferitelor rezistenţe, pe care nu o mai poate recupera.

Temperatura este mărimea fundamentală a termodinamicii, având unitatea de măsură gradul Kelvin (K). Oricărui sistem material i se poate asocia o funcţie scalară, strict pozitivă ),( trT

, numită temperatură

absolută. Temperatura unui lichid se determină faţă de o temperatură de

referinţă, notată cu 273,16 K, aleasă în punctul triplu al apei. Acesta reprezintă temperatura la care fazele solidă, lichidă şi de vapori ale apei coexistă în stare de echilibru şi se notează cu 273,16 K.

Punctul triplu al apei este situat cu 0,01C peste punctul de topire al gheţii şi de aceea, între scara de temperatură termodinamică (T) şi scara Celsius (), există relaţia:

= T–273,15 (II.8)

Căldura specifică (c) a unui lichid este căldura absorbită sau cedată de unitatea de masă (dq), pentru variaţia temperaturii cu o unitate şi are expresia:

T

q=c

d

d (II.9)

Ecuaţia de stare a fluidelor, în transformarea izotermă, este:

)(0

0eppp

(II.10)

cu notaţiile: p – coeficientul de compresibilitate izotermă (Tabel II.1); , 0 – densitatea la momentul final, respectiv iniţial.

Inversul coeficientului de compresibilitate izotermă se numeşte modul de elasticitate cubică şi se notează:

pE

1 (II.11)

12

II.4. Compresibilitatea

In cazul variaţiilor de presiune relativ mici, în ecuaţia (II.10), se dezvoltă în serie membrul drept, se neglijează termenii cu p la puteri > 1 şi se obţine:

pp 10 ; pp

0

1 (II.12)

sau: V = V0 (1–p·p) (II.13)

Dacă p 0, atunci lichidele se consideră incompresibile.

Tabel II.1. Coeficienţi de compresibilitate izotermă

Fluid p·1010

(m2N–1) Apă la 0°C 5,122 Mercur 0,293 Petrol 5,739 Glicerină 2,55

II.5. Dilataţia termică

În transformarea izobară, ecuaţia de stare a lichidelor este:

0e0TTT (II.14)

în care, s-a notat: T – coeficientul de dilataţie termică; T, 0T – temperatura absolută finală, respectiv, iniţială.

În practică, se foloseşte o relaţie mai simplă, obţinută prin dezvoltarea în serie a ecuaţiei (II.14) şi neglijarea termenilor de ordin superior:

ρ ρ0 (1 – TT°) (II.15)

sau: V =V0 (1 + T T°) (II.16)

Pentru apă, la 20 C, T = 1,510-4 K-1, iar pentru produsele petroliere, T este de 1,5 - 2 ori mai mare decât al apei.

II.6. Modele matematice pentru lichide. Viscozitatea

Mişcarea lichidelor este mult mai complexă decât a solidelor, de aceea studiul ei necesită ipoteze simplificatoare privind atât caracteristicile lichidului cât şi ale mişcării. În acest sens, s-au propus diferite modele matematice. În toate modele, se consideră că lichidul este format din particule infinit mici, menţinute în contact de un câmp de forţe interne. De

13

asemenea, în lichid, ca în orice mediu continuu, apar tensiuni tangenţiale ce se opun alunecării straturilor vecine.

Modelul lichidului ideal sau perfect are la bază ipoteza că tensiunile tangenţiale sunt nule. În consecinţă, vectorul presiune este coliniar cu normala la suprafaţa lichidului.

Lichidul perfect este incompresibil, are densitatea constantă în orice punct din masa sa şi la orice moment. Lichidul perfect suportă numai compresiune, deci p > 0.

Lichidul perfect în mişcare faţă de un perete fix, nu aderă la perete şi are viteza tangentă la suprafaţa de contact (Fig. II.1.a).

În natură, nu există lichide perfecte. Modelul lichidului real (Stokes) corespunde lichidelor din natură şi se

caracterizează prin faptul că tensorul tensiunilor (T

) este o funcţie continuă de viteza de deformaţie ( D

) şi de starea termodinamică a

lichidului.

a. b. c. Fig. II.1. Modele matematice pentru lichide

a.- perfect; b.- real; c.- newtonian

Fluidele reale, în mişcare faţă de o suprafaţă fixă, aderă la aceasta (Fig. II.1.b).

Modelul newtonian (Newton, 1686) este primul model pentru lichidul real. El corespunde lichidului aflat în mişcare laminară şi se caracterizează prin variaţia liniară a tensiunilor tangenţiale în funcţie de gradientul de

viteză n

v

d

d. Lichidul newtonian, în mişcare faţă de un perete fix sau mobil,

aderă la suprafaţa acestuia, având viteza egală cu a peretelui (Fig. II.1.c – perete fix).

Ipoteza fluidelor newtoniene este cea mai simplă relaţie constitutivă, fiind valabilă atât pentru lichide cât şi pentru gaze în condiţii obişnuite de temperatură şi presiune (de exemplu: pentru apă, aer).

Notă In această lucrare, lichidele reale se studiază după modelul newtonian.

h

n v

h

n v

h

n v

14

Modelul nenewtonian al lichidului real are la bază ipoteza că tensiunile tangenţiale nu sunt funcţii liniare de deformaţii.

Viscozitatea este proprietatea a două fluide adiacente de a exercita reciproc eforturi normale şi eforturi tangenţiale la alunecarea pe interfaţa comună a straturilor.

În cazul mişcării uniforme plan-paralele, efortul tangenţial de viscozitate depinde de natura lichidului (μ) şi de viteza specifică de deformaţie, conform relaţiei:

n

v

d

d

(II.17)

Coeficientul de viscozitate dinamică μ depinde de compoziţia chimică şi greutatea moleculară a lichidului, de temperatură şi presiune. El scade la creşterea temperaturii (Tabel II.2).

În practică, se foloseşte şi coeficientul de viscozitate cinematică:

(II.18)

Tabel II.2. Viscozitatea cinematică a apei la presiunea de 1 at

Temperatura (oC)

0 10 20 40 60 80 100

·10-6 (m2·s-1)

1,8 1,3 1,0 0,66 0,48 0,36 0,29

Unităţile de măsură pentru coeficienţii de viscozitate, în S.I., sunt:

Ns 2m Pas ; 2m 1s În practică, se folosesc şi unităţile de măsură Poise, respectiv Stokes:

= Poise = 0,1 Pa·s ; = St = 10-4 2m s-1 Viscozitatea cinematică se determină cu viscozimetrul (exemplu:

viscozimetrul Höppler pentru viscozităţi mici, viscozimetrul Engler pentru viscozităţi mari).

II.7. Tensiunea superficială

La suprafaţa liberă a lichidelor, pe suprafaţa de separaţie dintre două lichide nemiscibile precum şi pe suprafaţa de contact a lichidelor cu solidele, apar fenomene datorate forţelor de atracţie dintre molecule. Aceste forţe de atracţie intermoleculare se manifestă până la o distanţă egală cu raza de acţiune moleculară (10-6 mm).

Straturile de molecule aflate la limita de separaţie a două faze au proprietăţi diferite de cele din interiorul fazelor. În interiorul fazei (lichid,

15

solid, gaz), moleculele sunt înconjurate – din punct de vedere statistic – de un mediu izotrop, pe când suprafaţa de separaţie este întotdeauna anizotropă în direcţia perpendiculară pe ea. Rezultanta forţelor intermoleculare de la suprafaţa de separaţie este îndreptată spre interiorul fazei. Lucrul mecanic al rezultantei care solicită spontan moleculele spre interiorul fazei se numeşte energie liberă. Energia liberă a unităţii de suprafaţă de separaţie s-a numit tensiune superficială ().

Conform principiului energiei potenţiale minime (δE = 0), suprafaţa de separaţie dintre două fluide în repaus tinde să devină minimă (Fig. II.2). De aici, rezultă că suprafaţa de separaţie dintre faze tinde, în mod spontan, să se micşoreze.

Se consideră o suprafaţă elementară (dA) având razele de curbură

21 , rr şi tensiunea normală pe unitatea de lungime a laturilor,

.

Fig. II.2. Tensiunea superficială

Proiectând rezultanta tensiunilor pe normala la suprafaţa elementară, se constată că are sensul spre centrul de curbură şi este egală cu:

r

S

r

SSS

j

ji

ji

dd;

dd

2

dd2 (II.19)

Rezultanta tensiunilor echilibrează suma presiunilor de pe suprafaţa dA (ecuaţia Laplace):

jikkj

j

iSSpAp

r

SS ddd

dd II.20)

De exemplu, o bulă de gaz aflată într-un lichid are formă sferică, deoarece suprafaţa de contact între cele două fluide trebuie să fie minimă şi, în acest caz, ecuaţia (II.20) devine:

r2

α1

σ.dS1

α1

dA

O2 O1r1

α2

σ.dS2

dS1

dS2

p2.dA p1dA

16

rp

2 (II.21)

unde s-a notat: r – raza de curbură medie; Δp – diferenţa de presiune de pe frontiera de separaţie; – tensiunea superficială. Tensiunea superficială depinde de natura fazelor aflate în contact şi

scade cu temperatura. Unitatea de măsură pentru tensiunea superficială, în S.I., este:

= N -1m = kg -2s . Din definiţia tensiunii superficiale, se vede că ea reprezintă forţa

exercitată pe unitatea de lungime a perimetrului care mărgineşte suprafaţa interfazică, este tangentă la suprafaţă şi este îndreptată în sensul micşorării suprafeţei.

In practică, fenomenul care are loc la contactul solid - lichid, se numeşte, simplu, udare. De exemplu, apa udă sticla, dar nu udă metalele; în cazul mercurului, fenomenul este invers. Suprafeţele udate de apă se numesc hidrofile, iar cele pe care apa nu le udă se numesc hidrofobe.

Se consideră două fluide (1 şi 2), aflate în contact cu un solid fix (3), conform Fig. II.3. Suprafaţa exterioară a lichidului formează cu suprafaţa solidului unghiul , numit unghi de racordare (se măsoară în faza lichidă).

a. b. Fig. II.3. Tensiunile superficiale interfazice

a.- lichidul udă imperfect suprafaţa solidă; b.- lichidul nu udă suprafaţa solidă

Tensiunile superficiale sunt tangente la suprafeţele de separaţie respective şi sunt orientate în sensul micşorării suprafeţelor date.

Echilibrul după direcţia normalei este asigurat de reacţiunea solidului, iar echilibrul după paralela la suprafaţa solidă conduce la relaţia Young-Laplace, care demonstrează că echilibrul nu depinde de volumul fazelor:

cos123123 (II.22)

Din condiţia de repaus a liniei comune dintre două faze sau după valoarea unghiului , rezultă următoarea clasificare a lichidelor:

12

3

α σ12

σ23

σ31

α 1

2

3

σ12

σ23

σ31

17

a. lichide care udă perfect suprafaţa solidului:

123123

Ecuaţia (II.22) nu poate fi satisfăcută pentru nici o valoare a unghiului şi, în acest caz, echilibrul este imposibil, iar lichidul se întinde pe toată suprafaţa solidului (exemple: uleiul pe sticlă, apa pe cuarţ);

b. lichide care udă imperfect solidul cu care sunt în contact:

123123 şi 3123

Un astfel de lichid este apa pe lemn sau pe talc (Fig. II.3.a). c. lichide care nu udă suprafaţa solidă (Fig. II.3.b):

3123

Exemple: mercurul pe sticlă, apa pe parafină. Tensiunea superficială are consecinţe importante în natură şi tehnică: 1. în tuburile cu diametru mic sau între două plăci foarte apropiate,

lichidul se ridică (sau coboară) faţă de nivelul iniţial (Fig. II.4); 2. un volum mic de lichid aflat în mediu gazos are formă proprie de

picătură, fără a avea suprafeţe rigide de reazem; 3. la suprafaţa unui lichid agitat, în contact cu aerul, se formează

spumă (emulsie lichid − gaz); 4. forma curbă a suprafeţei de separaţie dintre un gaz şi un lichid; 5. racordarea curbilinie a suprafeţei lichidului la perete (Fig. II.5); 6. între două solide în contact şi udate de un lichid, se manifestă o

coeziunea aparentă; 7. curgerea unui lichid sub formă de picături; 8. denivelarea faţă de muchia unui deversor (Fig. II.6); 9. atenuarea valurilor prin întinderea unui lichid uleios pe suprafaţa

apei; 10. separarea particulelor coloidale din apă.

Fig. II.4. Capilaritatea Fig. II.5. Racordarea suprafeţei libere

dhm

cos2

sin12

h

d

r

hm

Δz

α

α

r

α

h

18

Fig. II.6. Denivelarea peste creasta deversorului

2

h

II.8. Adeziunea

Natura adeziunii o constituie forţele de atracţie dintre moleculele a două medii în contact.

În cazul lichidelor care udă pereţii vaselor, adeziunea este mai mare decât coeziunea încât, în zona de contact, suprafaţa liberă ia forma unui menisc concav. Ca urmare, tensiunea superficială micşorează presiunea moleculară asupra lichidului.

Suprafaţa lichidelor care nu udă pereţii vaselor, în zona de contact, are forma de menisc convex, iar tensiunea superficială măreşte presiunea moleculară asupra lichidului.

II.9. Capilaritatea

Fenomenul de ascensiune (sau regresiune) a nivelului hidrostatic în tuburi subţiri sau între două plăci paralele, apropiate, scufundate într-un lichid este numit capilaritate (latin. capillus = fir de păr). Capilaritatea este o consecinţă a tensiunii superficiale (Cap. II.7).

Se consideră un tub cu diametru mic (d < 1 cm), introdus în apă şi se observă că lichidul urcă în tub formând, la suprafaţă, un menisc concav (Fig. II.7.a). Pe perimetrul acestui menisc, se manifestă tensiunea superficială dirijată după o direcţie ce face unghiul cu verticala.

Rezultanta tensiunilor superficiale este echilibrată de greutatea coloanei de lichid din tub. Din condiţia de echilibru, rezultă legea Jurin – Borelli (1718):

Kdh

cos4

(II.23)

unde, s-a notat: d – diametrul tubului capilar, h – denivelarea nivelului hidrostatic, – greutatea specifică a lichidului, – unghiul de racordare la perete, K – constanta de capilaritate a lichidului (Tabel II.3).

h

19

Meniscul are forma unei calote sferice, iar săgeata lui se determină din condiţii geometrice (Fig. II.4), astfel:

cos

sin1max Rz (II.24)

a. b.

Fig. II.7 Capilaritatea în tuburi a.- lichid care udă solidul; b.- lichid care nu udă solidul

Lichid K (mm2)

Apă 30 Alcool 10 Toluen 13

Tabel II.3. Constanta de capilaritate

Mercur – 14

Pentru fenomenul de capilaritate care apare între două plăci paralele,

situate la distanţă mică (a), legea Jurin - Borelli devine:

2cos

2 Kah

(II.25)

În cazul lichidelor care nu udă suprafaţa solidă, meniscul este convex (Fig. II.7.b), ceea ce produce coborârea nivelului în tubul capilar sau între două plăci paralele foarte apropiate.

În natură, capilaritatea este un fenomen foarte frecvent (de exemplu, produce ascensiunea apei în corpurile poroase şi în fibrele plantelor).

II.10. Absorbţia. Cavitaţia

Lichidele absorb o parte din gazele cu care vin în contact, în funcţie de presiunea gazului, temperatura lichidului şi de conţinutul de săruri dizolvate în lichid. De exemplu, apa dizolvă aer atmosferic în proporţie de 2% din volumul ei. Volumul de gaz absorbit corespunde concentraţiei de saturaţie, la temperatura respectivă.

d

h

d

h α

σ

α

σ

20

Presiunea de vaporizare (presiunea vaporilor saturanţi) este acea presiune la care, sub acţiunea forţelor intermoleculare, o parte a gazului se lichefiază, restul rămânând în fază gazoasă, la temperatura dată (Tabel II.5)

Dacă, în interiorul unui lichid, presiunea scade brusc sub presiunea de vaporizare, apare tendinţa de vaporizare a acestuia şi de degajare a aerului dizolvat. Lichidul îşi pierde omogenitatea, se formează cavităţi (bule) umplute cu vapori de lichid şi cu aer. Fenomenul se numeşte cavitaţie.

Cavitaţia este însoţită de fenomene chimice (apa se descompune şi apare oxigenul atomic foarte corosiv), termice, electrice (scântei), termoelectrice (curenţi termoelectrici), electrochimice (curenţi electrochimici).

Cavitaţia se poate produce la paletele turbinelor, la paletele pompelor centrifuge, la ejectoare, la coturile conductelor şi sifoanelor, la creasta unui deversor cu curbură pronunţată, la nişele stavilelor, în partea aval a pilelor podurilor, la elicea vapoarelor.

Efectele macroscopice ale cavitaţiei sunt: a. modificarea caracteristicilor hidrodinamice datorită discontinuităţii

lichidului; b. distrugerea suprafeţelor solide cu care lichidul este în contact

datorită temperaturii înalte în zonele de formare a „cavităţilor”, datorită coroziunii chimice şi electrolitice;

c. apariţia zgomotele produse de comprimarea „cavităţilor”, ceea ce permite determinarea momentului când apare cavitaţia la pompele centrifuge în funcţiune şi localizarea submarinelor aflate în mişcare;

d. vibraţiile provocate de regimul nepermanent al curgerii. Pe suprafeţele solide supuse cavitaţiei, se produce eroziunea

cavitaţională, căreia nu îi rezistă nici un material cunoscut până azi.

Tabel II.4. Proprietăţile fizice ale unor lichide şi gaze

Fluid Densitate

Viscozitate dinamică

104

Viscozitate cinematică

106

Tensiune superficială

(faţă de aer)

(kgm-3 (Nsm-2) (m2·s-1) (Nm-1)

Apă (0C) 999,8 17,91 1,791 0,0786

Alcool etilic (20C) 810 17,70 2,20 0,0263

Mercur (0C) 13595 16,98 0,125 0,539

Aer (10C) 1,251 0,1717 13,73 –

21

Tabel II.5. Presiunea de vaporizare a apei

Temperatura (C)

0 10 20 30 40 60 80 100

Presiunea de vaporizare

(ata) 0,0062 0,0125 0,0238 0,0432 0,0752 0,2031 0,4829 1,0332

II.11. Aplicaţii

II.11.a. Etanşeitatea îmbinărilor unei conducte din fontă, pentru alimentare cu apă, se verifică pe tronsoane de lungime L = 600 m. Tronsonul se închide la capete şi, în el, se pompează apă la presiunea p = 10 at. Să se determine cantitatea de apă necesară pentru verificare, considerând conducta rigidă. Se cunoaşte diametrul conductei D = 300 mm, presiunea normală de funcţionare p0 = 6 at, densitatea apei ρ0 = 1000 kg·m-3, coeficientul de compresibilitate al apei βV = 5,1·10-10 m2·N-1.

Rezolvare Din legea compresibilităţii, se obţine legea de variaţie a densităţii în

funcţie de presiune:

pV 10 = 1000,2 kg·m-3

Cantitatea de apă înmagazinată în tronsonul de conductă va fi:

LD

Vm4

2 = 42408 kg

II.11.b. Să se determine presiunea aerului din interiorul unei bule aflate în apă, la adâncimea H = 2,4 m. Se cunoaşte raza bulei R = 6 mm, densitatea apei = 1000 kg·m-3, tensiunea superficială a apei = 0,0745 N·m-1, presiunea atmosferică pat = 1 atm.

Rezolvare Aerul din interiorul bulei este supus presiunii apei (ph), presiunii

atmosferice (pat) şi presiunii capilare (pc). Se scrie ecuaţia de echilibru a presiunilor într-un punct de pe suprafaţa bulei:

cath pppp

Presiunea exercitată de coloana de apă este:

Hgph

22

Din ecuaţia Laplace, rezultă presiunea capilară:

4

21105,2

211

RRRpc N·m-2

Presiunea totală va fi:

410152

R

pHgp at N·m-2

II.11.c. Pe un plan înclinat cu unghiul α = 30o, acoperit cu un strat de ulei de grosime a = 2 mm, alunecă o placă de arie S = 0,5 m2 şi cu greutatea G = 2 daN (Fig. II.8).

Ştiind greutatea specifică a uleiului γ = 900 daN/m3, coeficientul de viscozitate cinematică υ = 0,4·10-4 m2/s, să se calculeze viteza de alunecare a plăcii când mişcarea devine uniformă.

Fig. II.8. Schema de calcul Rezolvare Se descompune greutatea după normala şi tangenta la planul înclinat.

Sub acţiunea componentei după direcţia planului, placa se mişcă uniform accelerat pe plan. În această mişcare, apare forţa de inerţie şi forţa de viscozitate.

Forţa de viscozitate se opune deplasării, încât există un moment când mişcarea devine uniformă. Condiţia de echilibru, pentru această stare este:

TG sin sau d

vSG

sin (II.26)

În cazul studiat, Δv este diferenţa dintre viteza peliculei de ulei aderentă la faţa inferioară a plăcii şi viteza peliculei de ulei aderentă la plan. Fiecare peliculă are viteza suprafeţei solide cu care este în contact, respectiv placav şi planv . Δd reprezintă distanţa dintre cele două pelicule,

adică a. În consecinţă, ecuaţia (II.26) devine:

α

S

v G

a

23

a

vSG

placasin (II.27)

Rezultă viteza plăcii:

09,15,0900104,0

5,081,92002,0sin4

S

Gav placa m·s-2

II.11.d. Densitatea unui lichid se măsoară cu instrumentul numit densimetru (Fig. II.9). Se cunoaşte volumul densimetrului V = 95.10-6 m3, masa lui m = 0,1 kg, diametrul tijei de la partea superioară d = 0,01 m.

Să se stabilească relaţia dintre indicaţia h a densimetrului şi densitatea ρ a lichidului, stabilindu-se domeniul de măsură în cazul când gradaţia maximă este maxh = 0,1 m.

Fig. II.9 Densimetru (schemă de calcul)

Rezolvare Pentru determinarea relaţiei ρ = ρ(h), se scrie ecuaţia de echilibru

hidrostatic al forţelor ce acţionează asupra densimetrului aflat în poziţie verticală:

AFG (II.28)

unde FA este forţa arhimedică. Se explicitează forţele şi se obţine:

scufundatVggm (II.29)

de unde rezultă formula densităţii în funcţie de adâncimea de scufundare a densimetrului:

hd

V

m

4

2

(II.30)

Densitatea maximă ce poate fi măsurată se obţine pentru h = 0, adică:

pat

V

h

24

6,10521095

1,06max

kg·m-3

iar densitatea minimă corespunde situaţiei maxhh = 0,1 m, adică:

2,972min kg·m-3

În concluzie, domeniul de utilizare a acestui instrument este fixat între valorile extreme determinate anterior şi anume ρ (975 ; 1050) kg·m-3.

25

CAPITOLUL III

HIDROCINEMATICA

III.1. Reprezentarea mişcării

Imaginea mişcării unui lichid se stabileşte prin identificarea poziţiei, vitezei şi acceleraţiei fiecărei particule în orice moment. În acest scop, se pot folosi două sisteme de descriere a stării de mişcare: sistemul Lagrange şi sistemul Euler.

III.1.a. Reprezentarea materială (Lagrange)

Sistemul Lagrange individualizează fiecare particulă din lichid prin centrul său de greutate (P) şi îi urmăreşte evoluţia în timp (traiectoria).

Pentru reprezentarea mişcării, se alege un sistem de coordonate şi se raportează poziţia particulei faţă de acest sistem (Fig. III.1), prin vectorul

său de poziţie la momentul iniţial ( kzjyixr

0000 ) şi la un

moment dat ( kzjyixr

). Ecuaţia mişcării particulei pe traiectoria ei va fi:

trfr ,0

(III.1)

unde variabile independente sunt 0r

şi t. Aceste variabile se numesc

coordonatele Lagrange, iar datorită faptului că mişcarea este descrisă prin poziţia în timp a particulei materiale, se numesc şi coordonate materiale.

Viteza şi acceleraţia la un moment oarecare sunt date de funcţiile:

trft

rv ,d

d0

. (III.2)

trft

rva ,d

d02

2... (III.3)

unde 0r

este constant.

În sistemul Lagrange, viteza este funcţie doar de timp, 0r

fiind dat.

26

Observaţie Reprezentarea materială se foloseşte mai mult în studiul deformării

elastice a solidelor.

Fig. III.1 Reprezentarea materială (Lagrange)

III.1.b. Reprezentarea spaţială (Euler)

În acest sistem, nu se urmăreşte particula în mişcare, ci o zonă (sau un punct) din domeniul ocupat de lichid. Se determină parametrii mişcării particulelor din această zonă, la un moment dat. Deci, mişcarea va fi descrisă prin mărimi specifice ca funcţii de r

şi t şi anume prin viteză,

acceleraţie, densitate, presiune etc. De exemplu, a cunoaşte variaţia vitezei trv ,

pe un interval de timp, într-un punct ( r

) înseamnă a cunoaşte vitezele tuturor particulelor ce trec prin punct, în intervalul de timp dat.

În reprezentarea spaţială, viteza este funcţie de timp şi de poziţia în spaţiu a punctului prin care trece particula:

trfv ,

(III.4)

unde, variabilele independente sunt r

şi t, numindu-se coordonatele Euler sau coordonate spaţiale.

Notă În această lucrare, se va folosi reprezentarea Euler.

III.2. Câmpul vitezelor

Câmpul vitezelor reprezintă mulţimea vectorilor de viteză ai particulelor lichidului, la un moment dat.

III.2.a. Clasificarea mişcărilor

În funcţie de variaţia caracteristicilor câmpului vitezelor, mişcarea lichidelor se clasifică astfel:

a. după variaţia în timp a câmpului vitezelor:

x

z

y

P(t0)

0r

i

j

k

P(t)

x0

y0

z0

r

27

─ mişcare nepermanentă (sau nestaţionară) – variază toţi parametrii vitezei trvv ,

;

─ mişcare semipermanentă (sau semistaţionară) – direcţia vitezei este constantă în spaţiu şi variabilă în timp, iar toţi ceilalţi parametrii ai vitezei sunt variabili tetrvv

, , unde e

este versorul suportului lui v

;

─ mişcare permanentă (sau staţionară) – viteza este constantă în timp rvv

.

b. după variaţia în spaţiu a câmpului vitezelor: ─ mişcări tridimensionale; ─ mişcări plane – vitezele sunt paralele cu un plan fix, au mărimea şi

direcţia constante în orice punct situat pe normala la plan; ─ mişcări paralele – vitezele sunt perpendiculare pe un plan fix; ─ mişcări axial-simetrice – particulele au traiectorii circulare .

III.2.b. Traiectorie. Linie de curent. Tub de curent

Traiectoria particulei reprezintă curba descrisă de particulă într-un interval de timp (Fig. III.2).

Ecuaţia traiectoriei se determină din expresia vitezei, astfel:

vectorial ttrvr d,

(III.5)

scalar ttzyxv

z

tzyxv

y

tzyxv

x

zyxd

,,,

d

,,,

d

,,,

d (III.6)

la care se adaugă condiţiile iniţiale 00 rr

.

Fig. III.2 Traiectorie Fig. III.3 Linie de curent

Punctele unde viteza este nulă se numesc puncte de stagnare. Linia de curent este curba la care vitezele particulelor sunt simultan

tangente (Fig. III.3). Ecuaţia liniei de curent are forma:

vectorială: 0d, rtrv

(III.7)

2r

nv

nr

x

z

y

t

t

1r

2v

P1

P2

Pn t

O

1v

z r

x

P

y

t0

t

0r

trv ,0

P O

28

scalară: tzyxv

z

tzyxv

y

tzyxv

x

zyx ,,,

d

,,,

d

,,,

d (III.8)

Liniile de curent reprezintă liniile din câmpul vitezelor la un anumit moment t. Ele coincid cu traiectoriile numai în mişcarea permanentă.

Lichidele sunt sisteme materiale fără formă proprie şi, în consecinţă, ocupă, la un moment t, un domeniu (D) bine delimitat. Lichidele au volum propriu, de aceea frontierele domeniului sunt suprafeţe materiale.

Suprafaţa de curent (Σ) este formată din liniile de curent care trec la momentul t, prin punctele unei curbe simple (Fig. III.4).

Tubul de curent este o suprafaţă de curent care se sprijină pe o curbă închisă (Fig. III.5). În mişcarea permanentă şi semipermanentă, forma tubului rămâne constantă în timp.

Fig. III. 4 Suprafaţă de curent Fig. III. 5 Tub de curent

Secţiunea vie (secţiunea transversală) este secţiunea (S) dată de un plan perpendicular pe tubul de curent.

Raza hidraulică (R) este raportul dintre secţiunea vie (S) şi perimetrul udat (P).

Curentul de lichid reprezintă masa de lichid ce trece prin tubul de curent.

Tubul elementar este definit printr-o secţiune transversală infinit mică. Lichidul care curge printr-un tub elementar se numeşte fir de curent.

III.2.c. Debit. Viteză medie

Debitul de masă reprezintă cantitatea de substanţă ce trece prin secţiunea transversală, în unitatea de timp:

S

m SnvQ d)(

(III.9)

iar debitul de volum este volumul de lichid care trece în unitatea de timp, prin secţiunea transversală a unui curent:

Σ

P

S

P

M

n

v

Σ

π/2

29

S

V SnvQ d

(III.10)

unde, s-a notat: S – secţiunea transversală; ρ – densitatea substanţei;

v

- viteza locală; n

- normala la suprafaţa dS, având acelaşi sens cu viteza. Pentru a defini viteza medie, se consideră secţiunea vie (S) a unui tub

de curent cu volum pozitiv (adică normala la secţiune şi viteza au acelaşi sens). Viteza medie pe secţiunea S este dată de raportul:

S

m SnvSS

Qv d

1 (III.11)

III.3. Câmpul acceleraţiilor

Acceleraţia este derivata materială a vitezei unui element de lichid. Ştiind că derivata materială este derivata în raport cu timpul, unui câmp vectorial, rezultă:

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

t

trvvtra zyx

d

,d,

. (III.12)

În mişcarea permanentă, viteza este constantă în timp, de aceea acceleraţia va fi:

z

vv

y

vv

x

vvtra zyx

, (III.13)

III.4. Câmpul vârtejurilor

O particulă fluidă poate avea mişcare de translaţie rigidă, mişcare de rotaţie în jurul unei axe instantanee de rotaţie ce trece prin particulă precum şi mişcare de deformaţie liniară sau unghiulară.

Dacă o particulă cu mişcare complexă (Fig. III.6) se deplasează din A în punctul B infinit vecin, viteza ei în B va fi:

.

drvv AB

(III.14)

Pentru a calcula al doilea termen din ecuaţia (III.14), vor fi amintite expresiile deformaţiilor şi ale vitezelor de deformaţie.

30

Fig. III.6 Variaţia vitezei (schemă) Deformaţia liniară se notează

, iar viteza de deformaţie liniară se

notează cu '

şi are componentele:

x

vxx

' ;

y

vyy

' ;

z

vzz

' (III.15)

Vectorul viteză de rotaţie se notează cu

şi are componentele:

z

v

y

v yzx 2

1 ;

x

v

z

v zxy 2

1 ;

y

v

x

v xyz 2

1 (III.16)

sau, concentrat:

i

j

j

iij r

v

r

v

2

1 ; i, j = x, y, z (III.17)

În teoria vectorilor, dublul vectorului viteză unghiulară se numeşte rotor (din germană), tourbillon (din franceză) sau vârtej şi se notează:

v

rot2 (III.18)

Deformaţia unghiulară se notează γ, iar viteza de deformaţie

unghiulară se notează ' sau D şi are componentele:

z

v

y

v yzzy 2

1' ;

x

v

z

v zxxz 2

1' ;

y

v

x

v xyyx 2

1' (III.19)

sau, condensat:

i

j

j

iji r

v

r

vD

2

1, ; i, j = x, y, z (III.20)

Av

A(x,y,z)

B Av

Bv

rd

v

d

31

Revenind la ecuaţia (III.14), se deduce că:

rDr dd

.

(III.21)

Linia de vârtej este curba materială la care tangentele sunt vectorii vârtej şi este definită de ecuaţiile:

tzyx

zyxd

ddd

(III.22)

Suprafaţa de vârtej reprezintă suprafaţa creată de totalitatea liniilor de vârtej care trec la momentul t printr-o curbă deschisă.

Dacă această curbă este închisă, atunci suprafaţa generată formează un tub de vârtej.

Curba pe care se sprijină liniile de vârtej este o brăţară a vârtejului. În cazul fluidelor perfecte, un tub de vârtej se întinde la infinit sau se

închide în el, formând un inel de vârtej. Tubul de vârtej se termină brusc numai când întâlneşte un obstacol solid.

Din ec. (III.14), s-a dedus că un câmp de viteze poate genera un câmp de vârtejuri. La rândul său, un câmp de vârtejuri induce un câmp de viteze.

Vitezele induse de un tub de vârtej infinit lung se află în planuri perpendiculare pe tub, deci sunt paralele între ele. Considerând unul dintre aceste planuri (Fig. III.7), se mai observă că viteza în orice punct este perpendiculară pe raza care uneşte punctul cu urma vârtejului pe plan. În figura III.7, urma vectorului

pe planul perpendicular pe tubul de vârtej

se află în punctul O. Fig. III.7. Viteza indusă de vârtej În realitate, datorită rezistenţelor pe care le întâmpină fluidul la

deplasarea în mediu, tubul de vârtej nu are o structură omogenă. Astfel, în zona axială, există permanent un nucleu unde fluidul se mişcă în bloc, ca un solid, cu viteze constante (ω şi v = r.ω), iar spre periferie, vitezele descresc treptat.

O

ω

x

y

r

P

v

θ

dθ

urma vârtejului

32

Câmpul vârtejurilor are aspect de solenoid. În natură, vârtejurile îşi au originea în discontinuităţile conturului, ale

vitezei sau ale presiunii. Exemple de vârtejuri sunt anafoarele şi tornadele. Anafoarele sunt vârtejuri ce se formează în râuri, în apropierea

malurilor, au ax vertical şi produc eroziuni în formă de pâlnie până la adâncimi de 30 m.

Tornadele sau trombele sunt vârtejuri tubulare, subţiri, verticale, ce se formează vara, între un nor şi suprafaţa pământului sau a mării. Viteza în interiorul unei tornade ajunge până la 300 m/s (Fig. III.8 ).

a. b.

Fig. III.8 Tornadă a.- neperturbată; b.- deplasată de vânt la partea superioară

III.5. Ecuaţia de continuitate

În Hidraulică, ecuaţia de continuitate este expresia matematică a principiului conservării masei: „masa oricărui sistem material rămâne constantă în timpul mişcării”, ceea ce se scrie:

constd, D

Vtrm

sau 0d,d

d

d

d

D

Vtrtt

m (III.23)

În principiu, derivata în raport cu timpul a unei integrale se rezolvă introducând derivata sub integrală. Ca urmare, ecuaţia (III.23) devine:

0d,,

d

d

Vz

v

y

v

x

vtr

t

tr

t

m

D

zyx

(III.24)

sau, sub formă condensată:

33

D

Vvt

m .0d

d

d (III.25)

Dacă integrala unei funcţii definite şi continue pe domeniul D este nulă (ec. III.24, ec. III.25), atunci funcţia este nulă, deci:

0

vt

(III.26)

Relaţia (III.26) reprezintă ecuaţia de continuitate în formularea Euler.

III.5.a. Cazuri particulare ale ecuaţiei de continuitate

a. Pentru mişcarea permanentă (parametrii nu depind de timp):

0 v

(III.27)

b. La mişcarea permanentă a fluidelor incompresibile (ρ = const.):

0v

(III.28)

c. Pentru un tub de curent, forma ecuaţiei de continuitate se deduce din ec. (III.24) în care, al doilea termen de sub integrală se scrie în funcţie de suprafaţa transversală a tubului:

SnvtrVz

v

y

v

x

vtr

SD

zyx d,d,

(III.29)

Se obţine ecuaţia de continuitate sub formă integrală:

SnvVt

SD

dd

(III.30)

d. La mişcarea permanentă în tub de curent:

m

S

QSv d (III.31)

e. Pentru mişcarea permanentă în tub de curent a unui fluid incompresibil (densitatea este constantă):

constd QSv

S

(III.32)

34

III.6. Aplicaţii

III.6.a. Mişcarea unui lichid este cunoscută prin componentele vitezei: vx = x + t; vy = − y + t; vz = 0. Să se determine:

a) familia liniilor de curent; b) linia de curent care trece prin punctul A(- 1, - 1, 0), la timpul t = 0; c) traiectoria particulei M care se găsea în punctul A, la timpul t = 0. Rezolvare Din datele problemei, se constată că: – viteza are numai două componente, deci mişcarea este

bidimensională; – componentele vitezei depind de timp, deci mişcarea este

nepermanentă. a) Liniile de curent sunt definite de ecuaţia diferenţială:

yx v

y

v

x dd sau

ty

y

tx

x

dd

(III.33)

Se integrează această ecuaţie şi se obţine:

Ctytx lnlnln sau Cyttx lnln (III.34)

În final, se obţine:

Cyttx (III.35)

care reprezintă ecuaţia unei familii de hiperbole. b) Ecuaţia liniei de curent se află după definirea constantei de

integrare. Pentru aceasta, în ecuaţia (III.35), vor fi introduse condiţia iniţială (t = 0) şi condiţia la limită [A(-1, -1)].

Rezultă C = – 1 şi ecuaţia 1yx . c) Traiectoria are ecuaţiile diferenţiale:

tv

x

xd

d ; t

v

y

yd

d (III.36.a)

sau: txt

x

d

d ; ty

t

y

d

d (III.36.b)

Soluţia acestor ecuaţii diferenţiale liniare neomogene este:

11 teCx t ; 12 teCy t (III.37)

Constantele de integrare se determină din condiţia iniţială (t = 0) şi din condiţia la limită [A(-1, -1)], astfel:

35

– 1 = C1 – 1 → C1 = 0 ; – 1 = C2 – 1 → C2 = 0 Traiectoria este o dreaptă având ecuaţia: – sub formă parametrică: x = – t – 1 ; y = t – 1 – după eliminarea parametrului t: x + y = – 2.

III.6.b. Distribuţia vitezelor într-o conductă cilindrică de rază R, în cazul curgerii unui lichid este neuniformă şi este dată de ecuaţia:

2

max 1R

rvv (III.38)

Să se calculeze viteza medie pe secţiune. Rezolvare Din analiza ecuaţiei vitezei, se constată următoarele: – mişcarea este permanentă, – liniile de curent sunt drepte paralele cu axa conductei, – viteza maximă se află în axul conductei (pentru max0 vvr ),

– viteza minimă este la perete (pentru 0 vRr ). În aceste condiţii, viteza medie va fi:

A

Av

A

Qv A

d

med (III.39)

sau: 2

d12d2

max2

02

2

max

20

medv

R

rR

rvr

R

rrv

v

RR

(III.40)

III.6.c. Să se arate că mişcarea a cărei viteză are expresia

kjyixv

1055 satisface ecuaţia de continuitate pentru un fluid incompresibil. Să se determine debitul care trece prin cele trei pătrate cu latura unitară, dispuse cu două din laturi în zonele pozitive ale axelor de coordonate.

Rezolvare Componentele vitezei sunt:

xvx 5 ; yvy 5 ; zvz 10 (III.41)

Ecuaţia de continuitate sub formă scalară pentru mişcarea unui fluid incompresibil este:

36

0

z

v

y

v

x

v zyx (III.42)

Înlocuind expresiile componentelor vitezei se constată că ecuaţia (III.42) se verifică: 01055 .

Pătratele au suprafeţele egale ( 1A ) şi sunt perpendiculare pe componentele vitezei. Debitul care trece printr-un pătrat este vAQ . Se constată că debitul total care traversează aceste trei pătrate este zero:

01055111 zyx vvvQ

III.6.d. Cunoscând expresiile ybxavx , ydxcvy , se cere:

1. să se determine condiţiile ca aceste expresii să fie componentele vitezei pentru mişcarea unui fluid incompresibil;

2. să se determine ecuaţia pentru familia liniilor de curent. Rezolvare 1. Se scrie ecuaţia de continuitate sub formă diferenţială:

0

y

v

x

v yx (III.43)

în care, se înlocuiesc expresiile componentelor vitezei, rezultând condiţia:

0 da sau da

2. Ecuaţia liniilor de curent este:

yx v

y

v

x dd sau

ydxc

y

ybxa

x

dd

(III.44)

Se integrează ecuaţia (III.44) şi se obţine ecuaţia familiei de linii de curent:

Kyxaybxc 422

37

CAPITOLUL IV

HIDROSTATICA

IV.1. Presiunea hidrostatică

Forţele care acţionează asupra unui volum de lichid sunt, în raport cu acest volum, forţe masice şi forţe de suprafaţă.

Forţa masică este o forţă concentrată, având mărimea proporţională cu masa corpului lichid şi cu acceleraţia creată de câmpul forţei, iar punctul de aplicaţie coincide cu centrul de masă al corpului. Exemple de forţe masice: greutatea, forţa de inerţie, forţa centrifugă, forţa atracţiei universale, forţa electrostatică.

Forţa superficială este distribuită pe frontiera lichidului şi are mărimea proporţională cu aria frontierei. Această forţă provine din acţiunea altor corpuri – solide, gaze, alte lichide – care sunt în contact direct cu suprafaţa lichidului considerat.

Pentru a defini caracteristicile forţei de suprafaţă, se consideră un lichid omogen, în repaus, aflat într-un volum definit (Fig. IV.1).

Fig. IV.1. Componentele forţei de suprafaţă Teoretic, se secţionează lichidul cu un plan arbitrar şi se îndepărtează

partea de deasupra secţiunii. Pentru a menţine condiţiile de continuitate şi de repaus din ipoteză, se înlocuieşte acţiunea lichidului îndepărtat prin

forţa R

. Această forţă se descompune într-o forţă normală la plan P

şi alta tangentă T

.

T

R

P

S M

38

Componentele se numesc forţă de presiune, respectiv forţă de frecare. Forţa de frecare T

poate să apară numai în timpul mişcării lichidului de-a

lungul suprafeţei S, dar prin ipoteză, lichidul este în repaus. Prin urmare, componenta tangenţială este nulă, iar singura acţiune a lichidului îndepărtat este forţa P

normală pe suprafaţa S.

Forţa superficială raportată la unitatea de suprafaţă, în cazul lichidelor în repaus, se numeşte presiune hidrostatică medie:

S

Pp med (IV.1)

Presiunea hidrostatică într-un punct al suprafeţei va fi:

S

Pp

S d

dmil

0d (IV.2)

Formula dimensională a presiunii este:

21 TLMS

Pp (IV.3)

Unitatea de măsură a presiunii, în S.I., se numeşte Pascal:

< p > kg m-1 s-2 = N m-2 = Pa În practică, se folosesc şi alte unităţi de măsură (Tabel IV.1).

Tabel IV.1. Unităţi de măsură pentru presiune

Denumirea unităţii Simbolul unităţii Echivalent în S.I. sau în alte unităţi

kilogram forţă pe m2 kgf / m2 9,8 N/m2

barye barye 0,1 N/m2

piez pz 103 N/m2

bar bar 105 N/m2

atmosfera fizică At sau atm 1,013 · 105 N/m2

atmosferă tehnică at 9,8 · 104 N/m2

atmosferă absolută ata n ata = (n + 1) at

mm coloană Hg (torr) mm Hg (Torr) 1 / 760 At

metru coloană H2O mH2O 9,8 · 103 N/m2

39

IV.1.a. Proprietăţile presiunii hidrostatice

a. Presiunea hidrostatică are direcţia perpendiculară pe frontiera lichidului cu alt corp şi sensul spre interiorul lichidului. Această proprietate decurge direct din structura lichidului care nu poate prelua decât forţe de compresiune.

b. In orice punct din interiorul unui lichid, presiunea hidrostatică are aceeaşi mărime în toate direcţiile.

Pentru a evidenţia această proprietate, se consideră un lichid omogen, în echilibru în repaus sub acţiunea forţelor masice şi de suprafaţă. Din acest lichid, se decupează, teoretic, un volum infinit mic în formă de tetraedru drept, având laturile paralele cu axele de coordonate (Fig. IV.2). Forţele masice dau o rezultantă R, cu punctul de aplicaţie în centrul de masă al tetraedrului (M). Pe suprafeţele laterale ale tetraedrului, acţionează forţele care provin din presiunile hidrostatice (Px, Py, Pz, Pn).

Fig. IV.2. Proprietăţile presiunii hidrostatice (schemă de calcul) Se scrie condiţia de echilibru sub formă analitică:

0dO,cos VFxnPP xnx

0dO,cos VFynPP yny (IV.4)

0dO,cos VFznPP znz

cu notaţiile: Fx, Fy, Fz – proiecţiile forţei masice unitare (pentru m = 1), n – axa normală pe faţa înclinată,

ρ – densitatea lichidului.

dx

dy

dz

O x

y

z

n

Px

Py

Pz

Pn

R

M

40

Se exprimă forţele superficiale în funcţie de presiunile hidrostatice. Tetraedrul are dimensiuni elementare, de aceea presiunile hidrostatice pot fi considerate constante. Astfel, pentru axa Ox, se obţine:

0ddd6

1,cosd

2

dd

xnx FzyxxnSp

zxp (IV.5)

unde 2

dd,cosd

zxxnS

este proiecţia feţei înclinate, pe planul de

normală Ox. După simplificări, rezultă:

0d3

1 xnx Fxpp (IV.6)

Dacă dimensiunile tetraedrului tind spre zero, atunci ultimul termen al ecuaţiei tinde de asemenea la zero, deoarece conţine factorul dx, în timp ce presiunile px şi pn rămân fixe. Deci, la limită, se obţine:

0 nx pp sau nx pp (IV.7)

Analog, se scriu ecuaţiile de echilibru pe axele Oy şi Oz, rezultând, în final, că presiunea are aceeaşi mărime indiferent de direcţia considerată:

nzyx pppp (IV.8)

Observaţie Proprietăţile presiunii hidrostatice sunt valabile şi pentru starea de

mişcare, dar numai în cazul lichidului perfect.

IV.2. Ecuaţiile generale ale echilibrului hidrostatic

Fie punctul M(x,y,z) în interiorul unui lichid ideal, în repaus sub acţiunea forţelor masice şi de suprafaţă (Fig. IV.3). Se cunoaşte presiunea hidrostatică p în punctul M şi variaţia ei în spaţiu, după gradienţii de

presiune x

p

, y

p

, z

p

.

Fig. IV.3. Echilibrul hidrostatic (schemă de calcul)

x

y

z

M(p)

R

Px1 Px2

dx

dz

dy

41

În jurul punctului M, se detaşează un paralelipiped infinit mic, se înlocuieşte acţiunea lichidului îndepărtat prin forţele de presiune şi se scrie condiţia de echilibru sub formă analitică, astfel:

pe axa Ox: 021 xxx RPP (IV.9)

şi, după exprimarea forţelor:

0dddddd2

1ddd

2

1

zyxFzyyy

ppzyx

x

pp x (IV.9.a)

Analog, se scrie condiţia de echilibru pe celelalte axe şi, după simplificări, se obţine sistemul de ecuaţii diferenţiale ale echilibrului hidrostatic:

analitic xFx

p

; yFy

p

; zFz

p

(IV.10)

vectorial Fp

(IV.11) Aceste ecuaţii au fost obţinute de Euler, în 1755, de aceea se mai

numesc ecuaţiile Euler. Mai târziu, au fost generalizate de Cauchy (1827). Se amplifică ecuaţiile (IV.10), respectiv, cu infiniţii mici dx, dy, dz,

apoi se adună şi se obţine ecuaţia generală a echilibrului hidrostatic:

zFyFxFzz

py

y

px

x

pzyx dddddd

(IV.12)

sau: zFyFxFp zyx dddd (IV.13)

Scrisă sub forma:

pzFyFxF zyx d1

ddd

(IV.14)

ecuaţia se poate interpreta astfel: lucrul mecanic virtual elementar al forţelor masice este egal cu lucrul mecanic al forţelor elastice.

Membrul stâng al ec. (IV.14) poate fi considerat ca diferenţiala totală a funcţiei F, numai dacă F derivă dintr-o funcţie scalară Π numită potenţial. În acest caz, ecuaţia diferenţială a echilibrului hidrostatic (IV.13), scrisă sub formă de potenţial, devine:

zz

yyx

xx

p dddd1

(IV.15)

sau:

dd1

p (IV.16)

42

Sub formă integrală, ecuaţia echilibrului hidrostatic devine:

constp (IV.17)

IV.2.a. Principiul lui Pascal

„Orice schimbare de presiune din exterior, ce se manifestă într-un punct al domeniului ocupat de un lichid incompresibil, în repaus, se transmite cu aceeaşi intensitate în toate punctele domeniului.”

Se consideră un lichid asupra căruia acţionează forţe masice de mărime neglijabilă. Ca urmare, ecuaţiile diferenţiale ale echilibrului hidrostatic:

xFx

p

; yFy

p

; zFz

p

devin: 0

x

p ; 0

y

p ; 0

z

p

sau: const zyx ppp

IV.3. Echilibrul lichidelor în câmp gravitaţional

Se consideră un lichid în repaus, asupra căruia acţionează numai forţa gravitaţională. În consecinţă, proiecţiile forţei masice sunt (axa Oz fiind orientată în sus):

gFFF zyx 00 (IV.18)

şi se introduc în ec. (IV.13), rezultând ecuaţia fundamentală a hidrostaticii, sub formă diferenţială:

zgp dd (IV.19)

După integrare, ec. (IV.19) devine:

Czgp sau Cp

z

(IV.20)

Constanta de integrare C se va determina din condiţiile la limită. Din punct de vedere geometric, fiecare termen al ecuaţiei

fundamentale (IV.20) reprezintă o înălţime, numindu-se: z – înălţime de poziţie, cotă;

p

– înălţime de presiune, înălţime piezometrică;

sHp

z

– cotă piezometrică, sarcină hidrostatică.

43

Din punct de vedere energetic, termenii ecuaţiei fundamentale sunt energii raportate la unitatea de greutate a lichidului, numindu-se:

z – energie specifică de poziţie;

p

– energie specifică de presiune;

spEp

z

– energie specifică potenţială.

IV.3.a. Calculul presiunii într-un punct al lichidului

Se consideră două puncte în interiorul unui lichid (Fig. IV.4) pentru care, ecuaţia fundamentală a hidrostaticii are forma:

const22

11

pz

pz (IV.21)

unde z este înălţimea unui punct faţă de planul orizontal de referinţă xOy. Din relaţia (IV.21), se obţine formula presiunii într-un punct oarecare

al lichidului: 1221 zzpp (IV.22)

Fig. IV.4. Calculul presiunii hidrostatice într-un punct

Dacă punctul 2 se poziţionează la suprafaţa lichidului, unde acţionează presiunea p0, iar adâncimea punctului 1 este 12 zzh , atunci, din ec. (IV.21), se deduce formula generală a presiunii absolute într-un punct:

hpp 0 (IV.23)

Presiunea absolută se numeşte şi presiune barometrică (pb). Planul barometric (Fig. IV.5) este suprafaţa până la care se ridică

lichidul într-un tub vertical vidat (sau suprafaţa izobară unde presiunea barometrică este nulă pb = 0).

1

2

z1 z2

2p

p0

tub piezometric

plan de referinţă

γ

1p

44

a. Se consideră că rezervorul din Fig. IV.4 este închis, iar la suprafaţa lichidului acţionează presiunea p0 > pat .

Presiunea manometrică (pm) este diferenţa dintre presiunea absolută a unui punct din lichid şi presiunea atmosferică (Fig. IV.5):

atabsm ppp (IV.24)

Înălţimea manometrică este înălţimea până la care se ridică lichidul într-un tub deschis ataşat la peretele rezervorului, la nivelul punctului:

m

mp

h (IV.25)

Fig. IV.5. Presiunea manometrică

Planul manometric este locul geometric al extremităţii înălţimilor manometrice (suprafaţa izobară pe care presiunea manometrică este nulă).

Planurile manometric şi barometric sunt decalate cu înălţimea pat / γ. b. Se consideră că rezervorul din Fig. IV.4 este închis, iar la suprafaţa

lichidului acţionează presiunea p0 < pat . Presiunea vacuummetrică (pv) este diferenţa dintre presiunea

atmosferică şi presiunea absolută a unui punct din lichid (Fig. IV.6):

absatv ppp (IV.26)

Înălţimea vacuummetrică este înălţimea cu care coboară lichidul în tubul deschis ataşat la peretele rezervorului, în dreptul punctului:

v

vp

h (IV.27)

0b

0m

Hb

p = 0

N

z

Hm

p0 > pat

tub manometric

plan de referinţă

hm

plan manometric

plan barometric

pat/γ

tub barometric

-

pb

pm

pat

hb

− pat

+

45

Fig. IV.6. Presiunea vacuummetrică

Şi în acest caz, planul manometric este locul geometric al extremităţii înălţimilor manometrice (pm = 0).

Observaţie Înălţimea vacuummetrică pentru apă, dacă s-ar realiza vid perfect, ar fi

de 10 m, dar în practică, ea este de 6 – 7 m.

IV.4. Măsurarea presiunii

Valoarea presiunii se obţine prin măsurători directe sau pe cale analitică.

a. Măsurătorile directe sunt afectate de erori datorită imperfecţiunii simţurilor, a aparatelor şi metodelor folosite. Erorile pot fi sistematice, întâmplătoare sau grosolane.

Valoarea exactă a presiunii se obţine efectuând n măsurători care dau valorile pi. Valoarea exactă este cuprinsă între pp şi pp , deci:

13

2

)1(6,0

22

nnn

p

nn

pp

n

pp iiii (IV.28)

unde s-a notat: p – media aritmetică a valorilor măsurate; pi – şirul de măsurători; σp – eroarea posibilă a valorii medii; δi – eroarea aparentă a valorii medii.

b. Metoda analitică foloseşte formule în care intră mărimi independente, dar care, la rândul lor, s-au obţinut prin măsurători directe.

N

z Hvac

p0 < pat

tub manometric

plan de referinţă

hvac

plan manometric

plan barometric tub barometric

−

+

pb

pm

pat

Hb

hb

p=0

0b

0m

− pat

46

Deci, presiunea devine o funcţie de măsurătorile acestor mărimi:

nixfp i ,,1, (IV.29)

Eroarea probabilă a valorii medii a funcţiei f(xi) se asimilează cu diferenţiala totală a funcţiei.

Erorile probabile ale mediilor variabilelor din această funcţie se iau egale cu diferenţialele variabilelor.

În consecinţă, valoarea exactă a presiunii se obţine cu formula:

nx

nxxn x

p

x

p

x

pxxxfp

2121

21 ,,, (IV.30)

IV.4.a. Clasificarea instrumentelor de măsurare a presiunii

Principiile de clasificare a instrumentelor de măsurare a presiunii, cu exemplele corespunzătoare, sunt:

a. valoarea presiunii înregistrate: barometre, manometre, vacuummetre, manovacuummetre;

b. principiul de funcţionare: 1. instrumente cu lichid: tub de sticlă vertical (Fig. IV.7), tub în formă

de U (Fig. IV.8), instrument diferenţial (Fig. IV.9), instrument cu greutăţi, instrument cu plutitor;

2. instrumente cu element elastic sub formă de: membrană simplă (Fig. IV.10), membrană dublă, burduf (Fig. IV.11), tub curbat (Fig. IV.12), tub elicoidal;

3. instrumente cu piston de tipul: piston simplu cu greutăţi (Fig. IV.14), piston simplu cu arc, piston diferenţial (Fig. IV.13);

4. instrumente electrice: traductor de presiune piezoelectric (Fig. IV.15), traductor rezistiv (Fig. IV.16), traductor capacitiv (Fig. IV.17), traductor inductiv (Fig. IV.18), traductor de presiune relativă (Fig. IV.19).

c. destinaţie: instrumente etalon, instrumente de lucru, instrumente model.

Fig. IV.7. Piezometrul simplu Fig. IV.8. Piezometrul în formă de U

pat

A

pA h pat

vid barometric

γm

plan

hb = pb / γm

52

În domeniul mijloacelor de măsurare destinate sistemelor digitale, s-au dezvoltat mijloacele de măsurare hibride prin implementarea microprocesoarelor on-board în structura mijloacelor de măsurare tradiţionale sau a sistemelor de achiziţii de date. În acest fel, devine posibilă efectuarea unor algoritmi complecşi, inerenţi proceselor de măsurare performante, fără intervenţia sistemului de calcul.

IV.5. Echilibrul relativ al lichidelor

Un lichid se află în echilibru relativ atunci când se mişcă faţă de un reper fix şi, simultan, este în repaus faţă de un reper mobil. Fie reperul fix O1x1y1z1 şi reperul mobil Oxyz (Fig. IV.20) ce se deplasează faţă de reperul fix cu viteza liniară 0v

şi viteza unghiulară 0

.

Mişcarea unui punct oarecare P din lichid se caracterizează prin viteza absolută av

şi acceleraţia absolută aa

. Aceşti parametri dinamici se

exprimă în funcţie de caracteristicile celor două repere astfel:

tra vvv

; Ctra aaaa

(IV.33)

unde: rv

, tv

− viteza relativă, viteza de transport;

ra

, ta

− acceleraţia relativă, acceleraţia de transport;

rC va

2 − acceleraţia Coriolis.

Fig. IV.20. Mişcarea relativă (schemă de calcul)

Lichidul este în echilibru relativ (sau în repaus) dacă particulele sale sunt în repaus faţă de reperul mobil.

În acest caz, rv

= 0, ra

= 0, Ca

= 0, aa

= ta

.

În consecinţă, dacă particula este supusă unor forţe F

, se scrie:

ta amamF

(IV.34)

x1

z1

y1

x

y

z

O O1

r

0r1r

P

0v

53

ceea ce înseamnă că o problemă de echilibru relativ devine o problemă de echilibru între forţele aplicate particulei şi forţa de inerţie produsă de mişcarea reperului mobil.

Dacă forţele masice aplicate particulei derivă dintr-un potenţial, atunci ecuaţia diferenţială a echilibrului relativ se deduce folosind ecuaţia generală a echilibrului hidrostatic (IV.17):

constp (IV.35)

sau: 0ddd zFyFxF zyx (IV.36)

Suprafaţa echipotenţială dintr-un lichid este suprafaţa pe care potenţialul este constant: Π = const. sau dΠ = 0.

Suprafaţa izobară se caracterizează prin presiune constantă: constp sau 0d p . Ea se numeşte şi suprafaţă de nivel. Rezultanta forţelor masice este întotdeauna perpendiculară pe suprafaţa izobară şi are sensul descreşterii potenţialului.

Suprafaţa echipotenţială este totodată şi suprafaţă izobară. Suprafaţa izodensă se caracterizează prin densitate constantă (ρ =

const.). Din ecuaţia (IV.35), rezultă că, pentru un lichid omogen (ρ = const.), o

suprafaţa izobară şi echipotenţială este şi suprafaţă izodensă. Dacă lichidul este neomogen, el se va dispune în straturi de aceeaşi

densitate. Lichidele nemiscibile, cu densităţi diferite, aflate în repaus se separă

în straturi cu densităţi crescătoare spre partea inferioară, conform teoremei lui Torricelli: „la echilibru stabil, centrul de greutate are poziţia cea mai joasă” (Fig. IV.21).

Fig. IV.21. Suprafeţe izodense

p0

H1

H2

H3

p0

γ1

γ2

γ3

γ1< γ2< γ3 p0 + Σ γi · Hi

α1

α2

α3

tgα = γ

54

Suprafeţele echipotenţiale (izobare şi izodense) nu se intersectează între ele.

Suprafaţa izobară este şi suprafaţă izotermă, deoarece ecuaţia de stare fizică a lichidului este ,pfT , unde p şi ρ sunt constante.

Observaţie Perpendicularele pe liniile echipotenţiale se numesc linii de curent. Reprezentarea grafică a mişcării lichidului prin reţeaua ortogonală de

linii echipotenţiale şi linii de curent constituie spectrul hidrodinamic al mişcării.

IV.5.a. Ecuaţia echilibrului relativ în cazuri particulare

IV.5.a.1. Lichid în repaus în câmp gravitaţional

Dacă lichidul este în repaus, înseamnă că asupra lui acţionează numai de forţa de greutate (G = m·g). Pentru a obţine ecuaţia suprafeţelor izobare, se consideră o particulă P la suprafaţa liberă a lichidului şi se raportează studiul la sistemul de axe ales ca în figura IV.22.

Se proiectează forţă masică unitară pe axele de coordonate şi se înlocuiesc proiecţiile în ecuaţia suprafeţei izobare (IV.36):

gFFF zyx ,0,0 (IV.37)

După integrare şi după definirea constantei de integrare, se obţine ecuaţia suprafeţei izobare:

0d zg ; 0zz (IV.38)

care reprezintă un plan orizontal.

Fig. IV.22. Acţiunea gravitaţiei Fig. IV.23. Acţiunea gravitaţiei şi a inerţiei

Observaţii 1. Masele mari de apă de pe Pământ sunt în echilibru sub acţiunea

câmpului de forţe masice ale cărui linii de forţă sunt convergente spre centrul Pământului.

g

P

x y

z

x y

z

g

Pa

a hH

L

α

55

Potenţialul câmpului terestru este:

r

MK P (IV.39)

în care, s-a notat: K – constanta atracţiei universale; MP – masa Pământului; r – raza vectoare.

Pentru un punct de pe suprafaţa Pământului, parametrii câmpului de forţe şi geometrici sunt K = g, r = RPăm. Înlocuind aceste valori în ecuaţia (IV.39), se obţine ecuaţia unei sfere. Rezultă că, în acest caz, suprafaţa echipotenţială este o sferă.

Prin urmare, suprafeţele mărilor şi oceanelor sunt suprafeţe sferice, dar pe întinderi mici, acestea sunt asimilate cu planul tangent care constituie planul orizontal al locului.

2. Proprietatea planurilor orizontale de a fi suprafeţe echipotenţiale explică principiul vaselor comunicante.

IV.5.a.2. Lichid acţionat de forţa de inerţie în câmp gravitaţional

Forţele masice care acţionează lichidul aflat într-un recipient în mişcare uniform - variată sunt greutatea şi forţa de inerţie (Fig. IV.23).

Pentru a determina ecuaţia suprafeţei libere (care este o suprafaţă izobară), se consideră o particulă P situată la suprafaţa lichidului, se exprimă forţele masice unitare aFx ; 0yF ; gFz , se introduc în

ecuaţia (IV.36) şi rezultă:

const za

gx (IV.40)

Această ecuaţie reprezintă un plan înclinat pe care rezultanta forţelor masice este perpendiculară. Unghiul de înclinare al suprafeţei izobare este:

g

atg (IV.41)

IV.5.a.3. Lichid acţionat de forţa centrifugă în câmp gravitaţional

Un recipient cilindric, cu generatoarea verticală, având o mişcare de rotaţie uniformă (

= const) în jurul axului său (Fig. IV.24), conţine un

lichid până la înălţimea h0. Forţele masice sunt gravitaţia şi forţa centrifugă.

56

Se consideră o particulă P la suprafaţa liberă, se introduc proiecţiile forţelor masice unitare în ec. (IV.36) şi se obţine ecuaţia suprafeţelor izobare:

0dd,sind,cos 22 zgyyrrxxrr (IV.42)

sau: Czg

yx

2

22 2 (IV.43)

care reprezintă un paraboloid de rotaţie. Constanta de integrare se determină din următoarele condiţii la limită:

pentru r = 0 → z = h deci hg

C2

2

;

pentru r = R → z = H deci hg

Hg

R22

2 22

;

volumul se conservă → hHR

HRhR

2

22

02 .

Forma finală a ecuaţiei suprafeţei libere este:

2

22

0 22r

R

ghz (IV.44)

hh0

H

x

z

R ω

P

g

ω2r

ω2r

x

y

rα

Fig. IV.24. Acţiunea forţei de gravitaţie şi a forţei centrifuge

57

IV.6. Aplicaţii

IV.6.a. Un vas cilindric închis, plin cu apă este aşezat cu generatoarea orizontală (Fig. IV.25). Se imprimă vasului o mişcare de rotaţie în jurul axului.

Se cunoaşte diametrul D = 300 mm şi turaţia n = 200 rot/min. Să se determine ecuaţia suprafeţelor echipotenţiale. Rezolvare Vasul este plin cu apă şi închis, deci lichidul nu are suprafaţă liberă.

Faţă de pereţii vasului, lichidul se află în repaus. Forţele masice care acţionează lichidul sunt gravitaţia şi forţa

centrifugă.

Se introduc proiecţiile forţelor masice unitare în ec. (IV.36) şi rezultă:

0dd,sind,cos 22 zgzzrrxxrr (IV.45)

sau: 0ddd 22 zgzzxx (IV.46)

După integrare, se obţine:

Czg

zx

2

22 2 (IV.47)

Deci, suprafeţele izobare sunt cilindri concentrici. Centrul acestor cilindri se află pe o dreaptă cu următoarele caracteristici:

– este paralelă cu axa Ox, – trece prin punctul C de coordonate:

m022,0

60

20014,32

81,9

2

81,9;0

2CC

n

gzx

x

z

C

P

ω2r

g

ω

r

O Fig. IV.25. Acţiunea forţei

gravitaţionale şi a forţei centrifuge

58

IV.7. Forţa hidrostatică

Lichidele aflate în repaus exercită, asupra solidelor cu care sunt în contact, numai eforturi de compresiune.

Forţa exercitată pe întreaga suprafaţă a solidului se numeşte forţă hidrostatică şi este dată de relaţia generală:

S

SnpP d

(IV.48)

unde n

este versorul normalei exterioare a suprafeţei.

IV.7.a. Forţa hidrostatică pe suprafeţe plane

În cazul suprafeţelor plane de formă oarecare, forţa hidrostatică are expresia:

S

SpnP d

(IV.49)

Centrul de presiune (C) este punctul de aplicaţie a forţei hidrostatice. Poziţia lui este dată de teorema lui Varignon:

S

PrPr

dC sau

S

S

Sp

Spr

rd

d

C

(IV.50)

IV.7.a.1. Forţa hidrostatică pe suprafeţe orizontale

Asupra tuturor punctelor unei suprafeţe orizontale deasupra căreia se află un strat de lichid de grosime h se exercită aceeaşi presiune p = γ·h (Fig. IV.26). Ca urmare, mărimea forţei hidrostatice este:

VShP (IV.51)

unde V reprezintă volumul susţinut de baza S. Forţa hidrostatică este un vector vertical, cu sensul de la lichid spre

suprafaţă, cu punctul de aplicaţie în centrul de greutate al suprafeţei, deoarece presiunea hidrostatică este uniform distribuită.

Din formula (IV.51), se constată că forţa hidrostatică pe suprafeţe orizontale nu depinde de forma vasului, ci numai de volumul susţinut de bază.

59

Rezultatul este numit paradoxul hidrostatic (demonstrat de Pascal).

Fig. IV. 26. Paradoxul hidrostatic

IV.7.a.2. Forţa hidrostatică pe suprafeţe înclinate

Se consideră o suprafaţă oarecare S, situată într-un plan înclinat (Fig. IV.27). Pentru a vedea forma, mărimea şi poziţia reală a suprafeţei, se rabate planul în care se află S până ajunge în planul desenului. În jurul unui punct oarecare situat la adâncimea h, se delimitează o suprafaţă infinit mică dS. Presiunea hidrostatică pe suprafaţa dS se consideră uniformă, de mărime hp .

Fig. IV.27. Forţa hidrostatică pe suprafeţe plane

Forţa hidrostatică pe suprafaţa elementară va fi o forţă elementară, de

mărime: SzShSpP dαsinγdγdd (IV.52)

Mărimea forţei hidrostatice pe toată suprafaţa va fi:

SS

SzPP dαsinγd (IV.53)

S S Sh

C C C

P P P

α

z

O

O'

GC

x

z

zG zC

dS

zG

h

P

hC

61

Pentru a determina caracteristicile vectorului forţă hidrostatică prin metoda grafică, se consideră o suprafaţă rectangulară verticală, acţionată dintr-o singură parte de un lichid cu greutatea specifică γ.

Se delimitează o fâşie elementară orizontală, situată la adâncimea z. Fâşia are suprafaţa zBA dd . Pe această fâşie acţionează forţa hidrostatică elementară de mărime:

zBzApP dγdd (IV.56)

Mărimea forţei hidrostatice care acţionează pe toată suprafaţă A este dată de integrala forţelor elementare dP:

2

1

dγd

z

zA

zzBPP (IV.57)

Fig. IV.29. Forţa hidrostatică determinată prin metoda grafică

Fâşiei dA îi corespunde, în diagrama presiunilor, o fâşie trapezoidală dS. Se asimilează trapezul cu un dreptunghi de aceeaşi suprafaţă şi anume

zzS dd care coincide cu expresia de sub integrala (IV.57). Rezultă mărimea forţei hidrostatice:

BSSBP diagr

Sdiagr

d (IV.58)

Suportul forţei hidrostatice trece prin centrul de greutate al diagramei presiunilor şi este perpendicular pe suprafaţa A.

Centrul de presiune se află în punctul de intersecţie dintre suportul forţei hidrostatice şi axa de simetrie a suprafeţei rectangulare.

x O y

z z B

dS

C

Sdiagr

dA

dzP

z zC

z1

z2

O

63

yyy A

y

A

y

A

yy AzAzPP dγdγd (IV.61.b)

zzz A

z

A

z

A

zz AzAzPP dγdγd (IV.61.c)

Aplicând teorema momentelor statice în primele două relaţii şi observând că integrala din ultima relaţie este volumul domeniului DA, rezultă:

xxx AzP Gγ

yyy AzP Gγ (IV.62)

VPz γ

unde xzG şi yzG sunt adâncimile centrelor de greutate ale suprafeţelor

Ax, respectiv, Ay.

Observaţii

a. Componentele orizontale se determină ca forţe hidrostatice pe suprafeţe plane.

b. Componenta verticală este egală cu greutatea corpului de presiune delimitat de suprafaţa curbă, suprafaţa liberă a lichidului şi verticalele duse pe conturul suprafeţei curbe până la suprafaţa liberă.

c. Componentele forţei hidrostatice sunt concurente doar în cazuri particulare. În cazul general, ele se reduc, faţă de un punct, la un tensor format din o rezultantă şi un cuplu având momentul coliniar cu aceasta.

IV.7.b.1. Forţa hidrostatică pe suprafeţe cilindrice

În cazul suprafeţei cilindrice deschise, cu generatoarea orizontală (Fig. IV.31), componenta paralelă cu generatoarea este nulă, iar celelalte sunt:

orizoriz AzP Gγ ; VPz γ (IV.63)

unde Aoriz este proiecţia suprafeţei cilindrice pe planul a cărui normală este orizontală şi paralelă cu generatoarea.

Mărimea forţei hidrostatice va fi:

22vertoriz PPP (IV.64)

64

Suportul forţei hidrostatice trece prin centrul cilindrului şi se defineşte prin unghiul faţă de una din axe. Astfel, direcţia faţă de axa orizontală, va fi dată de:

oriz

vert

P

Ptg (IV.65)

Observaţii a. Dacă suprafaţa udată este cea concavă, atunci Pvert reprezintă

greutatea volumului susţinut de suprafaţa curbă (Fig. IV.32.a), iar dacă este udată faţa convexă, atunci Pvert are sensul forţei arhimedice (Fig. IV.32.b).

Fig. IV.31. Forţa hidrostatică pe suprafeţe cilindrice

b. La suprafeţele sferice, suporturile componentelor trec prin centrul sferei.

Fig. IV. 32. Sensul componentei verticale a forţei hidrostatice a.- greutate; b.- forţă arhimedică

z

x

Px

A Pz

P B

V

z

x

Px

Pz

P

B

A

V

a. b.

P

O

Px

Pz z

x

Ax

Az

Px

A

V

α

Pz

65

IV.8. Echilibrul solidului scufundat în fluid

IV.8.a. Legea lui Arhimede

Se consideră un corp care ocupă domeniul D şi este scufundat într-un fluid. Corpul este în echilibru în prezenţa câmpului gravitaţional. Acţiunea fluidului pe suprafaţa de contact cu solidul se manifestă prin presiunile hidrostatice. Acestea dau o rezultantă şi un moment (Fig. IV.33):

SnpP

S

d ; SnprM

S d

(IV.66)

unde: n

– versorul normalei într-un punct oarecare al suprafeţei corpului, r

– vectorul de poziţie al acestui punct.

. Fig. IV.33 Echilibrul corpului scufundat (schemă)

Pentru a explicita formulele de calcul (IV.66), se fac următoarele operaţii. Fluidul este acţionat numai de câmpul gravitaţional (Fz = – g), deci ecuaţiile Euler (IV.10) devin:

gx

p

(IV. 67)

Integralele de suprafaţă din relaţiile (IV.66) se transformă în integrale de volum, aplicând formula Gauss – Ostrogradski:

DS

VpSnp dd

;

DS

VrpSnpr dd

(IV.68)

Apoi, se ţine seama de definiţia centrului de masă astfel că, în final, rezultă:

yx

z

dS dV S

n

r

Snp d

VF d

DO

66

mgVgP

D

d (IV.69.a)

GGdd rPGrVgrVrgM

DD

(IV.69.b)

cu notaţiile: m – masa fluidului dezlocuit, Gr

– vectorul de poziţie al centrului de masă,

ρ – densitatea fluidului. Se observă că produsul scalar dintre vectorul rezultantă şi vectorul

moment este nul ( 0MP

), deci acţiunea fluidului se reduce la o

rezultantă unică ( P

) numită portanţă hidrostatică (respectiv, aerostatică). Ecuaţia (IV.69.a) exprimă legea lui Arhimede: „un corp scufundat

într-un fluid este împins de jos în sus, cu o forţă de mărime egală cu greutatea volumului de fluid dezlocuit şi aplicată în centrul de greutate al acestui volum”. Această forţă se mai numeşte forţa lui Arhimede (PA).

Observaţii privind legea lui Arhimede a. Se aplică corpurilor care au întreaga suprafaţă în contact cu fluidul. b. Nu se aplică corpurilor în mişcare, deoarece presiunea dinamică

diferă de cea statică. c. Constituie baza teoriei plutirii corpurilor. d. Forţa arhimedică este o forţă de contact (de suprafaţă); nu este o

forţă masică.

IV.8.b. Echilibrul solidului imersat

Corpul scufundat într-un lichid este acţionat de greutatea proprie (G

)

şi de forţa arhimedică ( AP

). În funcţie de mărimea celor două forţe, există următoarele situaţii:

APG – corpul se află în echilibru în lichid; G < PA – corpul se ridică la suprafaţa lichidului şi este scos parţial

afară din lichid, până când greutatea lichidului dezlocuit devine egală cu greutatea corpului;

G > PA – corpul coboară până ajunge să se sprijine pe fundul vasului sau pe altă suprafaţă solidă.

Condiţia necesară şi suficientă ca un corp imersat într-un lichid să fie în echilibru stabil, în ceea ce priveşte rotaţia în jurul axelor orizontale ce trec prin centrul său de greutate, este ca centrul de greutate să fie sub centrul de presiune, pe aceeaşi verticală.

69

Se determină momentul elementar ce apare faţă de axa x:

23

2

8

d2d

2 xbxxbM s

(IV.76)

Se integrează pe lungimea plutitorului şi se obţine momentul plutitorului, corespunzător înclinării δθ:

xs

L

s Ixxb

M d12

3 (IV.77)

unde: Ix – momentul de inerţie al suprafeţei de plutire faţă de axa x; γs – greutatea specifică a solidului.

Noul suport al forţei arhimedice intersectează axa de giraţie în punctul M, numit metacentru (grec. „meta” = limită). Poziţia lui se determină egalând momentul forţei arhimedice faţă de axa x cu momentul plutitorului (IV.77), astfel:

CMCM WPPM lAA (IV.78)

unde l este greutatea specifică a lichidului.

Rezultă: W

I xCM (IV.79)

Segmentul CM se numeşte rază metacentrică, iar segmentul

dGM este distanţa metacentrică.

IV.8.c.1. Forme de echilibru la plutire

Echilibrul stabil (Fig. IV.36.a) este asigurat când centrul de greutate

se află sub metacentru (d > 0). Momentul cuplului (G

, AP

) este de sens opus momentului perturbator şi readuce plutitorul în poziţia iniţială (se numeşte moment de redresare).

Echilibrul instabil apare când centrul de greutate se află deasupra

metacentrului (d < 0), deoarece momentul cuplului (G

, AP

) se suprapune peste momentul perturbator şi corpul se răstoarnă (Fig. IV.36.b).

Echilibrul indiferent caracterizează situaţia când punctele M şi G coincid, deci forţa arhimedică se află pe aceeaşi verticală cu greutatea şi nu mai formează un cuplu (Fig. IV.36.c). Corpul continuă să plutească în poziţia deviată. Această teorie poate fi aplicată pentru devieri de maximum δθ = 5o – 10o faţă de poziţia verticală.

71

Momentul de redresare M = G·d·sinθ creează o mişcare de rotaţie în jurul axei x, cu ecuaţia:

Mt

I x 2

2

Gd

d (IV.80)

unde: 2G r

g

GI x – momentul de inerţie al corpului faţă de axa Gx (axa

care trece prin centrul de greutate şi este paralelă cu axa x); r – raza de giraţie corespunzătoare.

Rezultă: 22

2 sin

d

d

r

dg

t

(IV.81)

Se face analogie cu mişcarea unui pendul simplu, de lungime L şi viteză unghiulară ω. În acest scop, se fac notaţiile:

d

rL

2 ;

2r

dg

L

g (IV.82)

care se introduc în ecuaţia (IV.81), obţinându-se:

sind

d 22

2

t (IV.83)

Oscilaţiile plutitorului sunt mici, de aceea se apreciază că sin θ ≈ θ, şi astfel ecuaţia (IV.83) devine:

0d

d 22

2

t (IV.84)

care reprezintă ecuaţia diferenţială a mişcării oscilatorii armonice. Perioada de oscilaţie a mişcării de ruliu este:

dg

rT

22

(IV.85)

Oscilaţiile plutitorului trebuie să nu fie violente şi să aibă perioadă mare (15 – 20 secunde).

IV.8.d.2 Oscilaţiile verticale

O forţă verticală F

perturbă starea de plutire normală a unui corp (Fig. IV.38), imprimându-i o mişcare accelerată.

Plutitorul coboară cu z faţă de planul de plutire.

73

IV.9. Aplicaţii

IV.9.a. Un rezervor cu apă are două compartimente despărţite cu un perete vertical (Fig. IV.39). Se cunoaşte: densitatea apei 1000 kg·m-3 şi adâncimea apei în cele două compartimente h1 = 3 m, h2 = 1.

Să se determine momentul produs de forţele hidrostatice în încastrarea de la baza peretelui.

Fig. IV.39 Schema de calcul

Rezolvare Forţele hidrostatice se determină prin metoda grafică. Pentru aceasta,

se trasează diagrama de distribuţie a presiunii hidrostatice pe ambele feţe ale peretelui.

Apoi, se determină mărimea forţelor şi punctul lor de aplicaţie:

kN4,1762

21

1,1

Bhg

BSP diagr (IV.91)

kN1,442

22

2,2

Bhg

BSP diagr (IV.92)

Forţele trec prin centrele de greutate ale diagramelor. Momentul din încastrare va fi:

mkN35,154633

32

31

22

11O

hh

BghP

hPM (IV.93)

IV.9.b. O vană segment de cilindru închide orificiul de golire al unei ecluze (Fig. IV.40).

Se cunoaşte lăţimea vanei b = 4 m, raza segmentului de cilindru R = 5 m, adâncimea apei în faţa vanei h = 3 m. Axul de rotaţie a vanei este poziţionat la distanţa a = 1 m deasupra nivelului apei.

Să se determine forţa hidrostatică pe vana segment de cilindru.

z

O

P1

P2 h2

h1

1/3h2 1/3h1

74

Rezolvare

Se calculează componentele forţei hidrostatice, ştiind că 0yP :

2Gh

hbhP xxx = 176,4 kN ; (IV.94.a)

bSVP ABCDABCDz (IV.94.b)

Fig. IV.40. Schema de calcul

Suprafaţa SABCD se determină din condiţii geometrice, astfel:

ACDABCABCD SSS (IV 95)

2m85,22

AB

hS ABC ; m9,1coscosAB RR

sin2360

22 RRS ACD ; α = 90o – (β + δ)

'32112,0AO

AEsin o

R

a

'52368,0OC

OFcos o

R

ha

Rezultă: α = 41o36'; SACD = 0,75 m2 ; SABCD = 3,6 m2 ; Pz = 141,12 kN

Forţa hidrostatică va avea mărimea:

kN3,22622 zx PPP (IV.96)

Poziţia forţei hidrostatice se defineşte prin unghiul faţă de orizontală:

'2039773,0cos oP

Px (IV.97)

a β

B A

D

θ

O

C

δ α

P

h R

F

E

75

IV.9.c. Un canal de secţiune dreptunghiulară care transportă apă are o porţiune curbă, de rază R (Fig. IV.41). Datorită forţei centrifuge, se produce schimbarea formei suprafeţei libere. Denivelarea maximă se manifestă spre malul concav şi are valoarea h. Să se stabilească ecuaţia suprafeţei libere în zona curbei şi denivelarea maximă, cunoscând lăţimea canalului b = 1 m, viteza apei v = 2 m·s-1, raza curbei R = 4 m.

a. b. Fig. IV.41. Schema de calcul

a.- plan; b.- secţiune

Rezolvare Se foloseşte ecuaţia diferenţială a suprafeţelor echipotenţiale:

0ddd zFyFxF zyx (IV.98)

Forţele masice unitare sunt forţa centrifugă şi greutatea, având proiecţiile:

gFy

vFF zyx ;;0

2 (IV.99)

Ecuaţia (IV. 98) devine:

0dd2

zgyy

v (IV.100)

Se integrează ec. (IV. 100) şi se obţine:

Cyg

vz ln

2 (IV.101)

≈ ≈

b

v

R 1

1

O

A

B

Secţiunea 1-1

h

y

z

R b

M

g y

v2

76

Constanta de integrare se determină din condiţia la limită: în punctul A de coordonate y = R , z = 0 presiunea manometrică este zero, deci:

Rg

vC ln

2 (IV.102)

În final, ecuaţia suprafeţei libere va fi:

R

y

g

vz ln

2 (IV.103)

Denivelarea maximă corespunde punctului B de coordonate y = R + b, z = h care trebuie să verifice ecuaţia suprafeţei libere:

m13,01ln2

R

b

g

vh (IV.104)

77

CAPITOLUL V

HIDRODINAMICA

V.1. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării lichidului perfect

Se consideră un lichid perfect în mişcare sub acţiunea forţelor masice şi a forţelor de contact. Din masa lichidului, se detaşează un paralelipiped infinit mic, cu laturile dx, dy, dz. Fie Fzyx ddd rezultanta forţelor masice, p presiunea hidrostatică în centrul de masă al paralelipipedului şi a

acceleraţia mişcării. Presiunea variază în lungul axelor de coordonate carteziene după gradienţii xp , yp , zp , iar componentele

acceleraţiei sunt tvx dd , tv y dd , tvz dd unde, ,xv ,yv zv reprezintă

componentele vectorului viteză ( v

). Se scrie ecuaţia analitică de echilibru dinamic pe axa Ox:

t

vzyxzyx

x

pFzyx x

x d

dddddddddd

(V.1)

sau:

z

vv

y

vv

x

vv

t

vzyx

zyxx

pFzyx

xz

xy

xx

x

x

ddd

dddddd

(V.2)

Analog, se scrie condiţia de echilibru pe axele Oy şi Oz. În final, ecuaţiile diferenţiale sub formă analitică au expresiile:

z

vv

y

vv

x

vv

t

vF

x

p xz

xy

xx

xx

1 (V.3.a)

z

vv

y

vv

x

vv

t

vF

y

p yz

yy

yx

yy

1 (V.3.b)

78

z

vv

y

vv

x

vv

t

vF

z

p zz

zy

zx

zz

1 (V.3.c)

Sub formă vectorială, ecuaţiile diferenţiale ale mişcării devin:

pFvvt

v

1

(V.4)

Ecuaţiile (V.3), (V.4) se numesc ecuaţiile Cauchy. Termenii lor reprezintă acceleraţii, încât semnificaţia acestor ecuaţii este următoarea: „acceleraţia totală a unei particule lichide este produsă de acceleraţia forţelor masice şi acceleraţia forţelor de presiune”. Acceleraţia totală, aflată în membrul stâng, este formată din componenta locală tv

şi

componenta convectivă vv .

V.2. Teorema impulsului

Teorema impulsului, cunoscută din Mecanica solidului, se poate aplica şi fluidelor. La solide, ecuaţiile de echilibru se aplică pe întreg domeniul corpului, pe când la fluide, ecuaţiile de echilibru se scriu numai pentru o parte din domeniul ocupat de fluid, numit volum de control, separat de restul masei fluide printr-o suprafaţă de control (S).

Fie un lichid perfect în mişcare, supus unui sistem de forţe iF

.

Teorema impulsului pentru acest sistem se enunţă astfel: “Pentru orice sistem material, în orice domeniu al său, derivata impulsului cu timpul este egală cu suma forţelor ce acţionează sistemul”

iFt

H

d

d ;

DD

VvmvH dd

(V.5)

V.2.a. Teorema impulsului pentru un tub de curent

Într-un tub de curent (Fig. V.1), se fac două secţiuni care delimitează domeniul D. Masa de lichid din acest volum de control este acţionată de

greutatea G

, reacţiunea pereţilor R

, forţele de legătură 1P

, 2P

de pe secţiunile S1 şi S2.

Se aplică teorema impulsului pe domeniul D:

S

i

D

FQvVvt

dd

d

d (V.6)

Dacă mişcarea este permanentă, ecuaţia (V.6) devine:

83

V.3. Teorema momentului cinetic

Se ştie că momentul cinetic reprezintă momentul vectorului impuls faţă de un punct:

D

VvrK d

(V.24)

Teorema momentului cinetic se enunţă astfel: “Pentru orice sistem material, în orice domeniu al său, derivata în raport cu timpul a momentului cinetic calculat faţă de un punct este egală cu momentul forţelor ce acţionează sistemul, calculat faţă de acelaşi punct”:

iFMt

K

d

d (V.25)

sau: i

D

FMVar

d (V.26)

V.3.a. Teorema momentului cinetic pentru un tub de curent

Fie tubul de curent din Fig. V.1, pentru care relaţia (V.26) devine:

ii FrvrQvrQ

111222 (V.27)

sau: ii FrvrvSvrvS

11112222 (V.28)

Pentru mişcarea permanentă, teorema momentului cinetic are o expresie mai simplă:

ii FrvrvrQ

1122 (V.29)

V.3.b. Viteza dispozitivului de stropire

Dispozitivul de stropire din Fig. V.7 evacuează debitul Q prin fiecare ajutaj de secţiune S. Ieşirea jetului de lichid din cele două ajutaje creează dispozitivului o mişcare de rotaţie. Viteza unghiulară a stropitorului se determină aplicând teorema momentului cinetic. Deoarece momentul cinetic total şi momentul cinetic la intrare sunt zero, rezultă că şi momentul cinetic la ieşire trebuie să fie zero:

0ei MM

(V.30)

86

const22

222

2

211

1

g

vpz

g

vpz (V.38)

V.4.a.1. Interpretarea energetică şi geometrică a relaţiei Bernoulli

Relaţia lui Bernoulli admite o interpretarea energetică deoarece, dacă se amplifică relaţia (V.38) cu elementul de greutate (g·dm), fiecare termen reprezintă o energie. Prin urmare, termenii relaţiei lui Bernoulli sunt energii raportate la unitatea de greutate (sau energii specifice):

z - energie specifică potenţială de poziţie;

p

– energie specifică potenţială de presiune;

g

v

2

2 – energie specifică cinetică;

spEp

z

– energie specifică potenţială;

stEg

vpz

2

2– energia specifică totală.

Observaţii a. Energia de poziţie şi energia cinetică caracterizează atât solidele cât

şi lichidele, pe când energia de presiune este proprie numai lichidelor. b. Relaţia (V.38) arată că energia specifică totală este constantă în

lungul liniei de curent, deci relaţia lui Bernoulli reprezintă o formă a teoremei de conservare a energiei.

c. În lungul mişcării unui lichid perfect, o formă de energie se poate transforma în altă formă, dar această transformare se produce astfel încât energia totală rămâne constantă.

Interpretarea geometrică a relaţiei lui Bernoulli se bazează pe observaţia că toţi termenii din ecuaţia (V.38) au dimensiunea unei lungimi.

Reprezentarea grafică a relaţiei lui Bernoulli (Fig. V.9) se face între două puncte situate pe o linie de curent. Se alege un plan de referinţă orizontal arbitrar şi se trasează câte o verticală prin cele două puncte. Pe aceste verticale, la scara lungimilor, se reprezintă termenii relaţiei (V.38).

Din punct de vedere geometric, termenii se numesc: z – înălţime de poziţie;

p

– înălţime de presiune (sau înălţime piezometrică);

88

─ firele elementare de lichid interacţionează transversal cu aceeaşi presiune ca în stare de repaus.

Distribuţia vitezei pe secţiune este introdusă în relaţia lui Bernoulli prin coeficientul Coriolis α (Tabel V.1).

Repartiţia neuniformă a vitezelor duce la mişcarea lichidului în straturi ce alunecă unele faţă de altele, deci la apariţia eforturilor tangenţiale. În plus, curgerea unui lichid vâscos este însoţită de rotaţia particulelor, deci de apariţia turbioanelor şi a amestecului. Aceste mişcări suplimentare consumă o parte din energia specifică totală a lichidului între două secţiuni:

2121 hHH dd (V.39)

unde Σh reprezintă consumul de energie specifică, iar din punct de vedere geometric reprezintă pierderea de sarcină hidrodinamică.

Cu aceste consideraţii, relaţia lui Bernoulli pentru un curent de lichid real ia forma:

21

2222

2

2111

1 22h

g

vpz

g

vpz (V.40)

Observaţie

În ecuaţia (V.40), vitezele 21 ,vv reprezintă vitezele medii pe secţiune.

V.4.b.1. Interpretarea geometrică a relaţiei Bernoulli pentru curent de lichid real

Reprezentarea grafică a ecuaţiei Bernoulli (Fig. V.10) permite următoarele observaţii şi definiţii.

Pierderea de sarcină creşte continuu în lungul mişcării. Linia energetică nu mai este orizontală ca la lichidul perfect, ci este

descendentă, deoarece o parte din energia curentului se transformă în energie termică.

Variaţia cotei piezometrice în raport cu distanţa dintre secţiuni reprezintă panta piezometrică:

x

pz

ip

(V.41)

93

sinvQPn (V.50)

unde debitul şi viteza au expresiile:

pgAQ 2 ;

pg

A

Qv 2 (V.51)

Înlocuind relaţiile (V.51) în formula rezistenţei (V.50), se obţine:

sin2p

gAPn

Se determină rezistenţa rocii pe suprafaţa acţionată de jet:

6,2824

2

dR croca N

Rezultă presiunea jetului:

p > 233sin03,014,3

6,2822

sin2 2

A

Rroca kN/m2

V.5.b. Un rezervor tronconic conţine apă până la înălţimea h şi are, la partea inferioară, o conductă verticală de evacuare (Fig. V.16).

Se cunoaşte diametrul rezervorului la oglinda apei D = 0,5 m, înălţimea apei în rezervor h = 1 m, diametrul conductei d = 0,05 m, presiunea de vaporizare a apei la temperatura de 20ºC vapp = 0,24

mH2O.

Să se determine viteza maximă a apei la ieşirea din conductă şi lungimea conductei astfel ca presiunea în secţiunea 2 să nu scadă sub presiunea de vaporizare a apei.

Fig. V.16. Schema de calcul

D

h

Hd

1

2

3

94

Rezolvare Se scrie relaţia Bernoulli pe linia de curent ce uneşte punctele 1 şi 3:

g

vp

g

vphH aa

22

23

21

(V.52)

Se ataşează ecuaţia de continuitate a debitului:

44

2

3

2

1d

vD

v

(V.53)

din care se deduce viteza apei la ieşirea din conductă:

4

43

1

2

D

d

hHgv

(V.54)

Pentru a calcula valoarea maximă a vitezei v3 şi lungimea conductei pentru situaţia limită când presiunea devine egală cu presiunea de vaporizare, se scrie relaţia Bernoulli pe linia de curent care uneşte punctele 2 şi 3, astfel:

g

vp

g

vpH avap

22

23

22

(V.55)

La ecuaţia (V.55), se adaugă ecuaţia de continuitate a debitului scrisă între punctele 2 şi 3. Va rezulta că vitezele în aceste puncte sunt egale

32 vv . Se obţine, apoi, înălţimea maximă şi viteza maximă:

76,924,010max

vapa pp

H m (V.56)

52,14

1

2

4

4max

max3

D

d

hHgv m/s (V.57)

96

Viteza continuă să crească, dar, la un moment oarecare, mişcarea se schimbă brusc devenind turbulentă, cu procese de amestec între straturi şi cu formarea turbioanelor. Dacă, din acest moment, se micşorează treptat viteza, se observă că se restabilesc formele de curgere în aceeaşi ordine. Acestea arată că regimul de curgere se produce la o viteză bine determinată de natura lichidului şi geometria tubului.

Trecerea de la regimul laminar la cel turbulent se face la viteza critică. Regimul de curgere prin tuburi circulare este definit prin numărul

Reynolds:

DvRe (V.58)

în care s-a notat: v – viteaza medie; D – diametrul conductei; υ – coeficientul de vâscozitate cinematică.

Regimul de curgere critic corespunde lui Recrt = 2320. Pentru alte forme de secţiuni, în relaţia (V.58), se foloseşte raza

hidraulică ( hR ):

hRv

Re (V.59)

Mişcarea laminară este caracterizată prin Re < Recrt , iar mişcarea turbulentă prin Re > Recrt.

Numărul Reynolds critic exprimă limita până la care mişcarea are caracter laminar. La depăşirea lui, mişcarea nu devine brusc turbulentă, ci există o zonă de tranziţie. Mişcarea laminară degenerează gradat în mişcare turbulentă prin procese complexe în spaţiu şi în timp.

În mişcarea turbulentă, are loc un transfer continuu de impuls şi de substanţă între straturile de lichid adiacente, ceea ce face ca, pe lângă mişcarea principală, să existe deplasări după alte direcţii. Presiunea şi viteza locală nu sunt constante în timp, ci oscilează în jurul unei valori medii temporale.

Între viteza instantanee (viteza la un moment dat) şi viteza medie

temporală ( v ) există relaţia 'vvv , unde v' este fluctuaţia sau pulsaţia vitezei. Deci, mişcarea turbulentă se compune dintr-o mişcare medie în timp peste care se suprapune o mişcare de pulsaţie.

În natură, regimul laminar se întâlneşte în curgerea apei subterane, pe sectoarele scurte ale râurilor cu pantă foarte mică, iar regimul turbulent caracterizează majoritatea formelor de curgere.

97

V.6.b. Ecuaţiile mişcării turbulente (ecuaţiile Reynolds)

Pentru curgerea unui lichid incompresibil, cu vâscozitate constantă, ecuaţiile diferenţiale sub formă vectorială sunt:

''1

d

dvvvpF

t

v

(V.60)

unde F

este rezultanta forţelor masice unitare şi p este presiunea medie. Ultimul termen reflectă transferul de impuls şi de masă

V.6.c. Distribuţia vitezelor pe secţiune

În mişcarea lichidelor sub presiune sau cu nivel liber, apar eforturi de vâscozitate şi de aderenţă între particulele de lichid şi suprafaţa solidă, dar şi în masa lichidului. În consecinţă, mişcarea este frânată şi vitezele sunt distribuite neuniform pe secţiunea transversală. Repartiţia vitezelor pe secţiune depinde de presiune, de regimul de curgere, de vâscozitatea lichidului şi natura suprafeţei solide.

a. b.

Fig. V.18 Distribuţia vitezelor în regim laminar a.- conducte; b.- râuri

V.6.c.1. Regim laminar

În curgerea forţată, viteza variază după o lege parabolică de gradul doi (Fig. V.18.a). Viteza medie este 2maxmed vv . Viteza este maximă

în ax.

a. b. Fig. V.19. Distribuţia vitezelor în regim turbulent

a.- conducte; b.- râuri; R.L. – regim laminar; R.T. – regim turbulent

d

maxv

medv

h

maxv

δ

R.T.

R.L.

R.T.

R.L.

R.L.

vmed= 0,75 vmax

vmed

δ

δ

vmax

98

În curgerea cu nivel liber, diagrama de distribuţie este parabolică cu o distorsiune spre nivelul liber provocată de rezistenţa aerului şi tensiunea superficială a lichidului (Fig. V.18.b). Viteza maximă se află la aproximativ 0,2 h de la suprafaţă.

În mişcarea laminară, starea suprafeţei solide nu are nici o influenţă asupra spectrului vitezelor.

V.6.c.2. Regim turbulent

Legea de variaţie a vitezei în conducte forţate sau în canale şi râuri poate fi logaritmică, exponenţială sau parabolică de gradul trei.

Suprafaţa peretelui împiedică fluctuaţiile transversale şi le dirijează pronunţat pe cele longitudinale. În consecinţă, în vecinătatea peretelui, se formează stratul laminar (sau film laminar), unde se menţine o mişcare laminară (Fig. V.19).

Grosimea stratului laminar δ se calculează cu formule empirice:

Re

30 D ;

Re

D (V.61)

unde, s-a notat: D – diametrul conductei; λ – coeficientul de rezistenţă (coeficientul lui Darcy). Alt factor care influenţează distribuţia vitezelor în regimul turbulent

este gradul de rugozitate al suprafeţei de contact dintre lichid şi solid. Rugozitatea exprimă starea de asperitate şi neregularitate a suprafeţei.

Ea depinde de natura materialului şi de gradul de prelucrare a suprafeţei. Rugozitatea este naturală sau artificială şi se exprimă fie prin

rugozitatea absolută (k sau Δ), fie prin coeficientul de rugozitate (n). Rugozitatea absolută (k) măsoară înălţimea medie a proeminenţelor. În tabelul V.2, se prezintă rugozitatea absolută pentru conducte din diferite materiale.

Tabel V.2. Rugozitatea absolută

Material Starea suprafeţei Rugozitatea absolută

k (mm) Tuburi din sticlă, cupru Bună 0,0015

Nouă 0,05 – 0,1 Tuburi din oţel

Încrustaţii 3

Tuburi din fontă Nouă 0,25 – 0,1

Tuburi din azbociment Bună 0,1

99

Rugozitatea naturală se modifică în timp, în general, accentuându-se. În Hidraulică, până în 1926, rugozitatea era considerată doar ca o

proprietate absolută a suprafeţei, care perturbă deplasarea firelor de curent şi provoacă vârtejuri datorită proeminenţelor şi adânciturilor ei. Experienţele au arătat că, la aceeaşi rugozitate absolută, regimul de curgere şi distribuţia vitezelor pe secţiune depinde şi de geometria curentului şi grosimea filmului laminar.

Rugozitatea relativă este raportul între rugozitatea absolută şi raza hidraulică hRk , iar netezimea relativă este inversul acestui raport.

Rugozitatea echivalentă ke este o rugozitate obţinută artificial, cu nisip monogranular ce dă acelaşi coeficient λ ca al rugozităţii naturale.

În funcţie de raportul dintre grosimea stratului laminar şi rugozitatea absolută (Fig. V.20), suprafeţele se clasifică în:

netede hidraulic dacă Δ < δ (Fig. V.20.a); rugoase hidraulic dacă Δ > δ (Fig. V.20.b).

a. b.

Fig. V.20. Suprafeţe netede (a) şi rugoase hidraulic (b)

V.7. Pierderi de sarcină hidrodinamică

Pierderile de sarcină hidrodinamică sau pierderile de energie specifică

rh sunt provocate de rezistenţele hidraulice întâlnite de curent. După forma şi poziţia lor, rezistenţele hidraulice sunt: rezistenţe distribuite – se manifestă pe tot traseul curentului, fiind

cauzate de vâscozitatea lichidului şi de rugozitatea relativă a tubului; rezistenţe locale – se află în poziţii fixe, ca obstacole cu diverse

forme şi dimensiuni. Corespunzător acestor rezistenţe, pierderile de sarcină sunt liniare ih

şi locale lh . Ele depind de caracteristicile hidraulice şi fizice ale lichidului

(viteză şi vâscozitate), de geometria conductei sau canalului (formă şi dimensiuni), de natura suprafeţei conductei sau canalului (rugozitate).

Fiecare rezistenţă acţionează independent, deci pierderea de sarcină totală va fi suma pierderilor de sarcină liniare şi locale:

hhh lir (V.62)

Δ δ Δ δ

102

J. Nikuradze a studiat, experimental, legătura dintre coeficientul lui Darcy, criteriul Reynolds şi rugozitatea relativă pentru curgerea sub presiune în conducte şi a ajuns la următoarele concluzii (Fig. V.22)

─ Mişcarea laminară în conducte circulare corespunde numerelor Re < 2000. Coeficientul λ depinde exclusiv de Re şi nu depinde de rugozitatea relativă a peretelui conductei.

─ În mişcarea turbulentă, există un domeniu în care λ depinde numai de Re. Conductele pentru care este valabilă această corelaţie se numesc conducte netede hidraulic.

─ La valori mari ale numărului Re, coeficientul λ depinde numai de rugozitatea relativă, iar conductele care funcţionează în acest regim de curgere se numesc conducte rugoase hidraulic.

V.7.a.1. Calculul coeficientului de rezistenţă λ

Formulele pentru determinarea coeficientului lui Darcy sunt proprii fiecărui regim de curgere. Ele au fost stabilite teoretic sau experimental.

1. Regimul de curgere laminar

Poiseuille Re

64 (V.71)

2. Regimul de curgere turbulent Conducte netede

H. Blasius 4·103 < Re ≤105 4 Re100

1 (V.72)

L.Prandtl Re > 4·103 64,1Relg8,11

(V.73)

Prandtl – Kármán Re < 3,6·106 8,0Relg21

(V.74)

Conducte rugoase

Prandtl – Nikuradze 74,1lg21

ek

D (V.75)

Filonenko – Altşul 25,0

Re

6811,0

D

ke (V.76)

Curgerea în domeniul de tranziţie neted – rugos

Colebrook – White

D

ke

71,3Re

51,2lg2

1 (V.77)

103

Formula se poate folosi pentru orice domeniu şi anume: – pentru domeniul neted dacă se neglijează termenul al doilea, – pentru domeniul rugos dacă se neglijează primul termen. Alte relaţii de calcul pentru λ sunt prezentate în Anexa 2.

V.7.b. Pierderea de sarcină locală

Pe traseul unui curent, se întâlnesc neuniformităţi şi obstacole numite rezistenţe locale ca, de exemplu, schimbări bruşte de direcţie sau de secţiune, armături de reglaj, instrumente de măsură. Ele produc pierderi de sarcină locale care se explică prin disiparea bruscă a energiei specifice de presiune datorită modificării câmpului de viteze.

La mişcarea sub presiune, unde forma curentului este fixă, zona de mişcare neuniformă provocată de rezistenţa locală este restrânsă. Această zonă se dezvoltă pe un sector foarte scurt în amonte şi ceva mai lung în aval de rezistenţa locală, dar fără a depăşi de câteva ori dimensiunea transversală a curentului.

La mişcarea cu nivel liber, unde forma curentului poate să varieze, fenomenul este mai complex, obstacolele producând modificarea suprafeţei libere a curentului.

Pierderea de sarcină locală sub formă generală este dată de relaţia lui Weisbach:

g

vhloc 2

2 (V.78)

în care, s-a notat: ξ – coeficientul de rezistenţă locală; v – viteza medie în aval de obstacol. Coeficientul ξ depinde de caracteristicile geometrice ale elementului

ce produce rezistenţa locală, de numărul Re şi de rugozitate. Datorită complexităţii fenomenului, ξ poate fi determinat prin metode

teoretice doar în câteva cazuri simple, de aceea se folosesc, frecvent, procedee experimentale.

Valorile lui ξ sunt date în tabele şi diagrame. În continuare, se prezintă câteva exemple de pierderi de sarcină locale.

V.7.b.1. Mărirea bruscă a secţiunii

Se consideră o creştere bruscă a secţiunii unei conducte de la 1S la 2S . Efectul modificării bruşte a mărimii şi distribuţiei vitezelor este formarea vârtejurilor în zonele de colţ (Fig. V.23). Vârtejurile reduc energia mişcării.

107

Efectele acestor modificări sunt: – formarea unui curent secundar dublu elicoidal (Fig. V.27) ce se

menţine şi la ieşirea din curbă, pe o distanţă de DD 7050 , – dezlipirea curentului, – formarea vârtejurilor. Coeficientul de rezistenţă locală pentru curbe de 90o se calculează cu

formula lui Weisbach:

5,3

90 16,013,0

cR

D (V.87)

unde, s-a notat: D – diametrul conductei; cR – raza de curbură.

Pentru unghiuri α diferite de 90º , pierderea de sarcină se calculează în funcţie de 90 astfel:

o9090

(V.88)

Valorile coeficientului de rezistenţă locală 90 sunt date în tabelul

V.4, în funcţie de diametrul conductei şi de raza de curbură.

Tabel V.4. Coeficientul de rezistenţă locală la curbă

D/Rc 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

ξ90 0,13 0,14 0,16 0,21 0,29 0,44 0,66 0,98 1,41 1,98

Coturile sunt piese de îmbinare folosite la conductele cu diametru mic,

pentru schimbarea bruscă a direcţiei (Fig. V.28). Coeficientul de rezistenţă locală este dat de relaţia Borda – Carnot:

2sin4 2 (V.89)

V.7.b.4. Vane şi robinete

Vanele şi robinetele sunt dispozitive pentru reglarea debitului prin modificarea mărimii secţiunii de curgere. Coeficientul de rezistenţă locală depinde de gradul de deschidere a vanei şi de forma constructivă a acesteia.

Pentru vana plană (Fig. V.29.a), valorile lui ξ sunt date în tabelul V.5.

108

Tabel V.5. Coeficientul de rezistenţă locală la vana plană

(D-h)/D 0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8

ξ 0 0,07 0,26 0,81 2,06 5,52 17 97,8

a. b. c.

Fig. V.29 Vane şi robinete (schemă de calcul) a.- vană plană; b.- vană fluture; c.- robinet

Vana - fluture (Fig. V.29.b) se foloseşte pe conductele cu diametru mare şi la presiuni mari. Coeficientul de rezistenţă locală depinde de unghiul de obturare α, iar valorile lui sunt date în tabelul V.6.

Tabel V.6. Coeficientul de rezistenţă locală la vana - fluture

α (grade)

5 10 15 20 25 30 35 40

ξ 0,24 0,52 0,90 1,54 2,51 3,91 6,22 10,8

α (grade)

45 50 55 60 65 70 90

ξ 18,7 32,6 58,8 118 256 751 ∞

Robinetele sunt armături de reglaj folosite pe conductele cu diametru

mic (Fig. V.29.c). Pierderea de sarcină locală depinde de unghiul de rotire a robinetului

şi de diametrul conductei. Valorile lui ξ sunt date în tabelul V.7.

Tabel V.7. Coeficientul de rezistenţă locală la robinet

α (grade)

5 10 20 30 40 50 55

ξ 0,05 0,29 1,56 5,47 17,3 52,6 10

Vana – clapetă (Fig. V.30) este un dispozitiv care permite trecerea

debitului într-un singur sens. Coeficientul de rezistenţă locală depinde de unghiul α de rotire a clapetei.

Valorile lui ξ sunt date în tabelul V.8.

h D

α D D

α

110

V.7.b.6. Grătar

Grătarul se amplasează la intrarea unei conducte, galerii sau a unui canal pentru a bloca accesul corpurilor străine. Coeficientul de rezistenţă locală depinde de forma şi dimensiunile barelor grătarului (Fig. V.32), de distanţa dintre ele, de unghiul de înclinare a grătarului faţă de orizontală şi se calculează cu formula lui Kirschmer:

sin

34

d

s (V.90)

unde, s-a notat: β – coeficient de formă (Tabel V.10); s – grosimea maximă a unei bare; d – distanţa dintre feţele a două bare; α – unghiul de înclinare a grătarului faţă de orizontală.

Tabel V.10. Coeficientul de formă β pentru barele grătarului

Forma a b c d e f g

β 2,42 1,83 1,67 1,03 0,92 0,76 1,79

V.7.b.7. Ramificaţii

Coeficientul de rezistenţă locală variază în funcţie de raportul debitelor, de unghiul ramificaţiei, de raportul diametrelor, de sensul vitezelor şi al curentului principal. Pentru micşorarea pierderilor de sarcină, se recomandă rotunjirea racordărilor.

În figura V.33, este dat coeficientul ξ pentru ramificaţii având aceleaşi dimensiuni, dar cu diverse unghiuri şi sensuri ale curenţilor. Coeficienţii de rezistenţă locală la ramificaţiile în unghi drept sunt prezentaţi în tabelele V.11, V.12 şi Fig. V.34.

Fig. V.33. Coeficientul de rezistenţă locală la ramificaţii (exemple)

ξ = 0,05 ξ = 0,5 ξ = 3

ξ = 0,15 ξ = 1 ξ = 0,1

111

Tabel V.11. Coeficienţi de rezistenţă locală la ramificaţii în unghi drept

Q1/Q 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8

ξ1 - 0,37 - 0,18 - 0,07 0,26 0,46 0,62 0,94

ξ2 0,16 0,27 0,38 0,46 0,53 0,57 0,60

Tabel V.12. Coeficienţi de rezistenţă locală la ramificaţii în unghi drept

Q1/Q 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8

ξ1 1 1,01 1,03 1,05 1,09 1,15 1,32

ξ2 0,004 0,02 0,04 0,06 0,1 0,15 0,26

2

11 3,01

Q

Q ;

22

2 3,01

Q

Q

132 11

1 Q

Q

Q

Q ;

132 22

2 Q

Q

Q

Q

Fig. V.34. Coeficientul de rezistenţă locală la ramificaţii perpendiculare

V.8. Relaţia lui Chézy

Se consideră expresia pierderii de sarcină liniare (V.68):

g

v

R

Lh

hi 24

2

şi se împarte la lungimea curentului pentru care se face calculul, rezultând panta hidraulică hi :

hh R

v

gi

2

8

(V.91)

Din (V.91), se obţine formula de calcul a vitezei în mişcarea neuniformă forţată sau cu nivel liber, numită relaţia lui Chézy:

Q

Q2 Q1

Q

Q2 Q1

Q1

Q Q2

Q1

Q Q2

112

hh iRg

v

8

(V.92)

sau: hh iRCv (V.93)

unde constanta C s-a numit coeficientul lui Chézy.

Cazuri particulare

a. Curgere uniformă sub presiune În acest caz, panta hidraulică este egală cu panta piezometrică. Panta

piezometrică se determină mai uşor, de aceea se foloseşte în relaţia lui Chézy:

ph iRCv (V.94)

b. Curgere uniformă cu nivel liber Curgerea uniformă prin râuri şi canale se caracterizează prin egalitatea

dintre panta piezometrică pi şi panta longitudinală a albiei 0i . În acest caz,

problema se simplifică, deoarece panta longitudinală 0i se determină uşor

sau este cunoscută. Relaţia lui Chézy ia forma:

0iRCv h (V.95)

V.8.a. Coeficientul lui Chézy

Coeficientul lui Chézy a fost stabilit prin măsurători în laborator şi în natură, de aceea se calculează cu formule empirice. Parametrii fundamentali în aceste formule sunt raza hidraulică (Rh) şi rugozitatea pereţilor (n), iar cele mai folosite formule sunt:

Manning (1890) 611hR

nC (V.96)

Forcheimer (1923) 511hR

nC (V.97)

Pavlovski (1925) yhR

nC

1 (V.98)

cu 1,075,013,05,2 nRny h (V.99)

sau, pentru calcule de predimensionare:

ny 5,1 dacă Rh < 1 m (V.100.a)

113

ny 3,1 dacă Rh > 1 m (V.100.b)

Coeficientul de rugozitate este prezentat în tabelul V.11.

Tabel V.11. Coeficientul de rugozitate

Natura suprafeţei conductei sau canalului n

Sticlă, suprafeţe emailate – noi 0,08

Azbociment - netede 0,011

Oţel, fontă – noi 0,012

Beton tencuit, sclivisit 0,011 – 0.012

Beton netencuit 0,013 – 0,016

Pereu de beton 0,014

Beton torcretat 0,018

Cărămidă, piatră – bine rostuită 0,013

Pereu piatră brută 0,018

Pereu din pietriş, din bolovani de râu cu mortar 0,02

Zidărie de gabioane 0,027

Canal de pământ 0,017 – 0,03

Râuri 0,02 – 0,035

V.9. Aplicaţii

V.9.a. Două rezervoare prismatice având secţiunile orizontale 21 , SS comunică între ele printr-un orificiu cu aria ω (Fig. V.35). Neglijând vitezele de coborâre şi urcare ale nivelurilor şi gradul de nepermanenţă a mişcării, să se calculeze timpul necesar egalării nivelurilor.

Se cunoaşte diferenţa de nivel iniţială H, coeficientul de viteză φ şi coeficientul de debit al orificiului μ.

Fig. V.35. Schema de calcul

H z1

z2

z

S2

S1

t = t

t = 0

114

Rezolvare Se consideră poziţia nivelurilor la un moment oarecare t, pentru care

diferenţa de nivel este:

21 zzz (V.101)

Se scrie ecuaţia lui Bernoulli pentru momentul t, de unde rezultă relaţia de calcul a vitezei:

zgv 2

Într-un interval de timp infinit mic td , din rezervorul 1 trece în rezervorul 2 un volum elementar dV , iar nivelul coboară cu 1d z , respectiv,

urcă cu 2d z . Volumul tranzitat se exprimă:

geometric: 2211 ddd zSzSV (V.102)

hidraulic: tzgtvtQV d2ddd (V.103)

Se diferenţiază relaţia (V.101):

21 ddd zzz (V.104) Din relaţia (V.102), se scrie:

1

2

2

1

d

d

S

S

z

z sau 1

2

12 dd z

S

Sz (V.105)

Se înlocuieşte (V.105) în (V.104) şi se obţine:

12

11 ddd z

S

Szz şi z

SS

Sz dd

21

21 (V.106)

Din (V.102), (V.103) şi (V.106), rezultă:

zSS

SStzg dd2

21

21

(V.107)

din care se obţine dt. Prin integrare, se determină timpul de egalizare a nivelurilor:

Hg

H

SS

SS

z

z

SS

SS

gtT

H

T

2

2d

2

1d

21

21

0

21

21

0

(V.108)

V.9.b. În figura V.36, este reprezentată secţiunea transversală a unui baraj care are, la partea inferioară, o conductă de evacuare a debitului în exces.

115

Caracteristicile conductei sunt lungimea L = 81 m, diametrul D = 2500 mm, coeficientul de rugozitate n = 0,013, poziţia faţă de nivelul apei din lac H = 90,75 m.

La intrare, conducta este prevăzută cu un grătar cu suprafaţa de 25 m2, executat din bare circulare cu diametrul d = 150 mm, dispuse la distanţa L = 30 cm, având coeficientul de formă β = 1,79. Pe traseu, există o curbă cu unghiul de 28º şi raportul cRD = 0,9. Spre aval, secţiunea curentului se

contractă până la Ac = 4,15 m2. Să se calculeze debitul conductei când nivelul apei în lacul de

acumulare este maxim.

Rezolvare Debitul la ieşirea din conductă este dat de relaţia:

cc vAQ (V.109)

Viteza în secţiunea contractată se determină din ecuaţia continuitate: vAvA cc (V.110)

vA

Dvv

cc 182,1

4

2

(V.111)

Se scrie ecuaţia lui Bernoulli pe linia de curent care leagă un punct de pe suprafaţa liberă a lacului cu ieşirea din conductă:

locic hhg

vH

2

2 (V.112)

Se calculează pierderea de sarcină liniară:

g

v

D

Lhi 2

2 cu 0155,0

1

882

612

hRn

g

C

g (V.113)

Fig. V.36. Schema de calcul 90

,75

m

L=81 m

Φ 2,50 m 25º

grătar

116

Se obţine:

g

v

g

vhi 2

51,025,2

810155,0 22

(V.114)

Se calculează pierderile de sarcină locală:

a. la grătar: g

v

l

s

g

vh

grgrgrgr 22

2342

(V.115)

Suprafaţa grătarului este de 25 m2, deci viteza prin grătar va fi:

vD

vA

Avv

grgr 1962,0

254

2

(V.116)

Se înlocuieşte în relaţia (V.115) şi se obţine:

g

vhgr 2

027,02

(V.117)

b. la intrare: g

v

g

vh intrintr 2

06,02

22 (V.118)

c. la curba de 28º : g

vh cc 2

2 ; 14,0

90

2825,028 (V.119)

g

vhc 2

14,02

(V.120)

d. la îngustarea secţiunii:

g

v

g

v

g

v

v

vh c

c 204,0

21182,11,0

211,0

222

2

2

2

(V.121)

Se introduc pierderile de sarcină în relaţia (V.112) şi se află viteza:

77,2875,9002,302,3 Hv m/s (V.122)

Debitul evacuat va fi: 89,14077,289,4 Q m3/s

117

V.9.c. O conductă cu diametrul D = 100 mm şi lungimea L = 2000 m transportă debitul Q = 400 l/min de petrol. Petrolul poate fi transportat la temperatura θ1 = 10oC pentru care vâscozitatea cinematică este υ1 = 180 St sau la temperatura θ2 = 40oC la care υ2 = 25 St. Pentru ambele temperaturi, se consideră că densitatea petrolului este ρ = 900 kg/m3 şi căldura specifică c = 2200 J/kg·K.

Să se determine: 1. pierderile de sarcină liniară pe conductă, la cele două temperaturi; 2. lungimea conductei pentru care încălzirea petrolului devine

avantajoasă. Rezolvare 1. Se stabileşte regimul de curgere la cele două temperaturi:

72,4101801,014,3

60

104004

4Re

4

3

111

D

QDv

95,3310251,014,3

60

104004

4Re

4

3

222

D

QDv

şi se constată că, în ambele cazuri, mişcarea este laminară. Coeficientul lui Darcy pentru regimul laminar va fi:

56,13Re

64

11 ; 89,1

Re

64

22

Pierderile de sarcină liniare între punctele extreme ale traseului, pentru ambele cazuri sunt:

9,87

42

2 22

21

21

1

Dg

Q

D

L

g

v

D

Lh i MPa

2,122 ih MPa

Se observă că pierderile de sarcină sunt mai mari la transportul petrolului rece.

2. Puterea necesară încălzirii petrolului este egală cu diferenţa dintre puterile pentru pompare în cele două cazuri.

118

Puterea necesară pentru încălzirea petrolului de la temperatura θ1 la temperatura θ2 este:

21 cQPinc

Puterea necesară pentru pompare are expresia:

ipomp hQgP

iar diferenţa de putere pentru cele două temperaturi este dată de relaţia:

213

5221218

QD

LhhQgPPP iippp

La limită, incp PP , deci:

12213

528

cQQ

D

L (V.123)

Din relaţia (V.123), se obţine lungimea minimă de la care este avantajoasă încălzirea lichidului:

1700

8 2

52

21

120

Q

DcL m

119

ANEXA 1

Calculul vectorial

),(cos baab=ba

),(sin baba=ba

abc=cbabca=cba

)()()()(

zz

yy

xx

bak

baj

bai

ba

b+a=b+a

dd)(d

)(d)(d)(d ba+ba=ba

ba+ba=ba

dd)(d

zz

+yy

+xx

=r= ddddgradd

gradgrad)grad(

grad)()(grad F=F

Operatorul nabla (operatorul Hamilton):

z

ak+

y

aj+

x

ai=a=a

grad (vector)

z

a+

y

a+

x

a=a=

r

a=a zyx

divd

d (scalar)

baba

divdiv)div(

baba

rotrotrot

aaa

graddivdiv

aaa

gradrotrot

120

baabba

rotrotdiv

abbabaabbaba

divdivrot

abbabaabbaba

rotrotgrad

zyx aaazyx

kji

aar

a

rot

d

d

Operatorul delta (operatorul Laplace):

z

a+

y

a+

x

a=a

2

2

2

2

2

2

)(divgrad)( a=a

aa=a=a=a

)(divgradrot)(rotrot)( 2

0)(rotdiv)( =a=a

)(grad)()()()( baab=baab=ba

Câmpul de vectori:

este acea regiune din spaţiu în care fiecărui punct M(x, y, z) îi corespunde un vector v

având componentele .,, zyx vvv

Funcţia de forţe:

este funcţia U (x, y, z) pentru care există relaţiile

zyx vz

Uv

y

Uv

x

U

;; încât v

devine v

grad U = U.

Potenţialul:

este funcţia = – U

Teorema Gauss – Ostrogradski:

„Integrala divergenţei vitezei, calculată la volumul închis de o suprafaţă, este egală cu fluxul care trece prin suprafaţă”:

121

Anv=Vv

AV

dddiv

Lema fundamentală:

„Dacă, pentru o funcţie scalară sau vectorială )(rf

, definită şi continuă într-un domeniu D, există relaţia:

D,0d)( DVrf

D

,

atunci 0)( =rf

în D.”

Teorema lui Stokes:

A D

VAn dgradd

; VvAvn

DA

drotd

Derivata materială a vitezei:

vvt

v

z

vv

y

vv

x

vv

t

vt

z

z

v

t

y

y

v

t

x

x

v

t

v

t

v

zyx

d

d

d

d

d

d

d

d

Formulele lui Euler

sincos iei

sincos ie i

Numere complexe

biaz ; ba, ; 1i

(a + ib) şi (a – ib) sunt numere complexe conjugate.

Număr complex sub formă normală

ierirbia sincos

unde, s-a notat:

122

22 barz ; r

acos ;

r

bsin ;

a

btg

r = modulul numărului complex;

= argumentul sau amplitudinea; 222 bar = norma numărului complex;

,2,1,0;2lnlg kikizz

i1lg

2lg

ii

2

3lg

ii

21lgarcsin zziiz

21lgcosarc ziziz

iz

iz

iz

1

1lg

2

1tgarc

1

1lg

2

1ctgarc

iz

iz

iz

123

ANEXA 2

Coeficientul de frecare la curgerea izotermă a lichidelor

Regim de

curgere

Natura cond.

Autorul formulei

Formula de calcul Domeniul

(Re)

Condiţia de

valabilitate

Laminar Netedă şi

rugoasă

Stokes; Poiseuille Re

64 0Re2320

Blasius =0,3164 250,-Re 4000-105

McAdams =0,184 20,-Re 5000-2.105

Filonenko 641lg82,11

,-Re

4000-107

Herman 3,0396,00054,0 Re 105-2.106

Netedă Nikuradze 2370221,00032,0 ,-Re 105-3.106

(Re) Lorenz 394,0899,00076,0 Re 1,2.106 Re Re1

Koo 32,05,00056,0 Re 3000-3.106

Prandtl Kármán

52,2lg2

1 Re 3000-107

Konakov 25,1lg8,1

1

Re 3000-107

Moody

3

16

4 1010210055,0

Re4000-107

Semi-rugoasă (Re,)

Colebrook White

72,3

51,2lg2

1

Re – Re1ReRe2

Altşul 25,0

10046,11,0

Re –

Frenkl

72,3

81,6lg2

19,0

Re –

Rugoasă Prandtl

Nikuradze

72,3

lg21

105 - 10

T u

r b

u l

e n

t

() Schifrinson 25,011,0 –

124

ε = k /D – rugozitate relativă; k – rugozitate absolută (mm); D – diametrul interior al conductei (mm); – grosimea stratului limită. Conductă netedă: k . Conductă semirugoasă: k . Conductă rugoasă: k . Re1 = 10/ε; Re2 = 560/ε

125

BIBLIOGRAFIE

1. Acheson D. J. – Elementary Fluid Mechanics – Clarendon Press, Oxford,1990;

2. Anton V., Popoviciu M., Fitero I. – Hidraulică şi maşini hidraulice – Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978;

3. Bartha I. ş.a. – Hidraulică. Probleme – Lito, Universitatea Tehnică “Gh. Asachi”, 1991;

4. Bartha I. – Curs de hidraulică – Lito, Universitatea Tehnică “Gh. Asachi”, 1993;

5. Blăgoi O. – Hydraulique générale et appliquée – Lito, Universitatea Tehnică, Iaşi, 1994;

6. Blăgoi O., Gavrilaş G. – Noţiuni fundamentale de hidraulică – Lito, Universitatea Tehnică, Iaşi, 1995;

7. Blăgoi O. – Bazele Hidraulicii – Ed. Noël, Iaşi, 1997; 8. Boeriu P., Răcelescu M. – Hidraulică – Lito, Universitatea Politehnică,

Timişoara, 1994; 9. Brădeanu P. – Mecanica fluidelor – Ed. Tehnică, Bucureşti, 1983; 10. Brun E. A., Martinot–Lagarde A. – Mécanique des fluides – I–III, Ed.

Dunod, Paris, 1968, 1970; 11. Carafoli E., Constantinescu V. N. – Dinamica fluidelor incompresibile

– Ed. Academiei, Bucureşti, 1981; 12. Cauvin A., Guerrée H. – Eléments d'hydraulique – Ed. Eyrolles, Paris,

1990; 13. Carlier H. – Hydraulique générale et appliquée – Ed. Eyrolles, Paris,

1988; 14. Cioc D. – Hidraulica – Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982; 15. Constantinescu V. N., Găletuşe Şt. – Mecanica fluidelor şi elemente de

aerodinamică – Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983;

16. David I. – Hidraulică – vol. II, Lito, Universitatea Tehnică, Timişoara, 1990;

126

17. David I., Şumălan I. – Metode numerice cu aplicaţii în hidrotehnică – Ed. Mirton, Timişoara, 1998;

18. Dragoş L. – Principiile mecanicii mediilor continue – Ed. Tehnică, Bucureşti, 1983;

19. Fayet J. – Hydraulique – Eyrolles, Paris, 1991; 20. Florea J., Panaitescu V. – Mecanica fluidelor – Ed. Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1979; 21. Gavrilaş G. – Hidraulică urbană – Ed. Gh. Asachi, Iaşi, 1999; 22. Giurconiu M., Mirel I., ş.a. – Hidraulica construcţiilor şi instalaţiilor

hidroedilitare – Ed. Facla, Timişoara, 1989; 23. Hâncu S., ş.a. – Hidraulică aplicată. Simularea numerică a mişcării

nepermanente a fluidelor – Ed. Tehnică, Bucureşti, 1985; 24. Iamandi C., Petrescu V., Sandu L., Damian R., Anton A., Degeratu M.

– Hidraulica instalaţiilor. Aplicaţii – Ed. Tehnică, Bucureşti, 1985;

25. Iamandi C., Petrescu V. – Mecanica fluidelor – Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978;

26. Idelcik I. E. – Îndrumător pentru calculul rezistenţelor hidraulice – Ed. Tehnică, Bucureşti, 1984;

27. Ionescu D. – Introducere în hidraulică – Editura Tehnică, Bucureşti, 1976;

28. Ionescu D. – Curs de mecanica fluidelor – Lito, Institutul Politehnic, Bucureşti, 1981, 1982, 1983;

29. Ionescu D., Matei P., Todicescu A., ş.a. – Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice – Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983;

30. Isbăşoiu E. C., Georgescu S. C. – Bazele hidraulicii – Lito, Universitatea Politehnică, Bucureşti, 1993;

31. Kiselev P. G. – Îndreptar pentru calcule hidraulice – Ed. Tehnică, Bucureşti, 1988;

32. Landau L. D., Lifschitz E. M. – Mécanique des fluides – Ed. Mir, Moscova, 1971;

33. Luca M. – Hidraulica construcţiilor hidrotehnice – vol. I, Rotaprint, Institutul Politehnic, Iaşi, 1994;

34. Luca M. – Hidraulică tehnică – vol. I, Ed. Tehnopres, Iaşi, 1998; 35. Macarevici L., Zavati V. – Hidraulică şi amenajări hidrotehnice – vol.

I, Lito, Institutul Politehnic, Iaşi, 1971;

127

36. Mănescu A., Sandu M. – Hidraulică teoretică şi aplicată – Lito, Institutul de Construcţii, Bucureşti, 1983;

37. Mateescu Cr. – Hidraulica – Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1963;

38. Matei P., Ciocan L., Rusu I., Rădulescu M., Călăraşu D., Alexandrescu A., Scurtu D. – Indrumar de laborator de mecanica fluidelor şi maşini hidropneumatice – Rotaprint, Institutul Politehnic Iaşi, 1986;

39. Moruşca I., Vingan D. – Hidraulică – îndrumar de lucrări – Lito, Universitatea Tehnică, Cluj-Napoca, 1992;

40. Nekrasov B. – Cours d'hydraulique – Ed. Mir, Moscova, 1985; 41. Oroveanu T. – Mecanica fluidelor vâscoase – Ed. Academiei,

Bucureşti, 1967; 42. Popescu D., Duinea A. – Mecanica fluidelor şi maşini hidraulice.

Probleme – Lito, Universitatea Craiova, 2001; 43. Popescu Şt. – Curs de maşini hidraulice – Lito, Universitatea Tehnică,

Iaşi, 1993; 44. Rădulescu M., Ciobanu P. – Hidraulică şi maşini hidraulice – Partea

I Bazele hidraulicii, Lito, Universitatea Tehnică, Iaşi, 1993;

45. Reynolds A. I. – Curgeri turbulente în tehnică – (traducere din limba engleză), Ed. Tehnică, Bucureşti, 1982;

46. Roman P. – Mecanica fluidelor – Lito, Institutul Politehnic, Bucureşti, 1990;

47. Roman P., Isbăşoiu E. C., Bălan C. – Probleme speciale de hidromecanică – Ed. Tehnică, Bucureşti, 1987;

48. Ştefan I., Ştefan S. – Mecanica fluidelor – Ed. Academiei Militare, Bucureşti, 1978;

49. Zahariea D. – Implementarea sistemelor de măsurare digitală în domeniul mecanicii fluidelor şi aplicaţiilor ei tehnice – Grant, Polytech, Universitatea Tehnică „Gh. Asachi” Iaşi, 2002;

50. STAS 3061/1974 – Hidraulica. Terminologie, simboluri, unităţi de măsură;

51. STAS 7076/1988 – Armături din fontă şi oţel. Condiţii tehnice generale de calitate;

128

52. STAS 6526/1990 – Manometre diferenţiale cu tub în formă de U. Condiţii tehnice generale de calitate;

53. STAS 7347/2 - 1990 – Determinarea debitelor fluidelor în sisteme de curgere sub presiune. Metoda micşorării locale a secţiunii de curgere. Metodă de calcul;

54. SR EN ISO 8316/1997 – Măsurarea debitului de lichid în conducte închise. Metoda de colectare a lichidului într-un rezervor;

55. SR EN 60534-1/1995 – Robinete de reglare a proceselor industriale.

129

CUPRINS

Capitolul I INTRODUCERE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.1. Generalităţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I.2. Scurt istoric al dezvoltării Hidraulicii . . . . . . . . . . . . . . 6

Capitolul II PROPRIETĂŢILE FIZICE ALE FLUIDELOR . . 9

II.1. Densitatea (masa volumică, masa specifică) . . . . . . . . 9 II.2. Greutatea specifică (greutatea volumică) . . . . . . . . . . . 10 II.3. Ecuaţia de stare. Temperatura. Căldura specifică . . . . . 10 II.4. Compresibilitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.5. Dilataţia termică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.6. Modelele matematice ale fluidelor. Viscozitatea . . . . . 12 II.7. Tensiunea superficială . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II.8. Adeziunea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 II.9. Capilaritatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 II.10. Absorbţia. Cavitaţia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 II.11. Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Capitolul III HIDROCINEMATICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

III.1. Reprezentarea mişcării . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 III.1.a. Reprezentarea materială (Lagrange). . . . . . . . . . 25 III.1.b. Reprezentarea spaţială (Euler) . . . . . . . . . . . . . . 26

III.2. Câmpul vitezelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 III.2.a. Clasificarea mişcărilor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 III.2.b. Traiectorie. Linie de curent. Tub de curent. . . . . 27 III.2.c. Debit. Viteză medie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

III.3. Câmpul acceleraţiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 III.4. Câmpul vârtejurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

130

III.5. Ecuaţia de continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 III.5.a. Cazuri particulare ale ecuaţiei de continuitate . . 33

III.6. Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Capitolul IV. HIDROSTATICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

IV.1. Presiunea hidrostatică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 IV.1.a. Proprietăţile presiunii hidrostatice . . . . . . . . . . . 39

IV.2. Ecuaţiile generale ale echilibrului hidrostatic . . . . . . . 40 IV.2.a. Principiul lui Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

IV.3. Echilibrul lichidelor în câmp gravitaţional . . . . . . . . . 42 IV.3.a. Calculul presiunii într-un punct al lichidului . . . 43

IV.4. Măsurarea presiunii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 IV.4.a. Clasificarea instrumentelor de măsurare a

presiunii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

IV.4.b. Tipuri de instrumente pentru măsurarea presiunii 47 IV.5. Echilibrul relativ al lichidelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

IV.5.a. Ecuaţia echilibrului relativ în cazuri particulare . 54 IV.5.a.1. Lichid în repaus în câmp gravitaţional . . 54 IV.5.a.2. Lichid acţionat de forţa de inerţie în câmp

gravitaţional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

IV.5.a.3. Lichid acţionat de forţa centrifugă în câmp gravitaţional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

IV.6. Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 IV.7. Forţa hidrostatică. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

IV.7.a. Forţa hidrostatică pe suprafeţe plane . . . . . . . . . . 58 IV.7.a.1. Forţa hidrostatică pe suprafeţe orizontale 58 IV.7.a.2. Forţa hidrostatică pe suprafeţe înclinate . 59

IV.7.b. Forţa hidrostatică pe suprafeţe curbe . . . . . . . . . 62 IV.7.b.1 Forţa hidrostatică pe suprafeţe cilindrice 63

IV.8. Echilibrul solidului scufundat în fluid . . . . . . . . . . . . 65 IV.8.a. Legea lui Arhimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 IV.8.b. Echilibrul solidului imersat . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 IV.8.c. Echilibrul solidului plutitor . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

IV.8.c.1. Forme de echilibru la plutire . . . . . . . . . . 69 IV.8.d. Oscilaţiile plutitorului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

IV.8.d.1. Mişcarea de ruliu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

131

IV.8.d.2. Oscilaţiile verticale . . . . . . . . . . . . . . . . 71 IV.9. Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Capitolul V HIDRODINAMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

V.1. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării lichidului perfect . . . 77 V.2. Teorema impulsului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

V.2.a. Teorema impulsului pentru un tub de curent . . . . 78 V.2.b. Teorema impulsului pentru sisteme fixe . . . . . . . 79

V.2.b.1. Reacţiunea pe cotul unei conducte . . . . . 79 V.2.b.2. Reacţiunea vânei de lichid pe o placă . . . 79 V.2.b.3. Contracţia vânei de lichid în ajutajul

Borda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

V.2.c. Teorema impulsului pentru sisteme mobile . . . . . 82 V.2.c.1. Devierea unui jet de o suprafaţă în mişcare

de translaţie . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

V.2.c.2. Roata hidraulică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 V.3. Teorema momentului cinetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

V.3.a. Teorema momentului cinetic pentru un tub de curent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

V.3.b. Viteza dispozitivului de stropire . . . . . . . . . . . . . 83 V.4. Teorema conservării energiei. Relaţia lui Bernoulli . . . 84

V.4.a. Relaţia lui Bernoulli pentru un fir de lichid perfect 84 V.4.a.1. Interpretarea energetică şi geometrică a

relaţiei Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

V.4.b. Relaţia lui Bernoulli pentru un curent de lichid real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

V.4.b.1. Interpretarea geometrică a relaţiei Bernoulli pentru un curent de lichid real . 88

V.4.c. Aplicaţii ale ecuaţiei lui Bernoulli. . . . . . . . . . . . 90 V.4.c.1. Măsurarea presiunii într-un curent de

lichid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

V.4.c.2. Măsurarea debitului într-o conductă . . . . 91 V.4.c.3. Ejectorul sau pompa cu jet de apă . . . . . . 92

V.5. Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 V.6. Regimul de curgere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

V.6.a. Numărul Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

132

V.6.b. Ecuaţiile mişcării turbulente (ecuaţiile Reynolds) 97 V.6.c. Distribuţia vitezelor pe secţiune . . . . . . . . . . . . . . 97

V.6.c.1 Regim laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 V.6.c.2 Regim turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

V.7. Pierderi de sarcină hidrodinamică . . . . . . . . . . . . . . . . 99 V.7.a. Pierderea de sarcină liniară . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

V.7.a.1. Calculul coeficientului de rezistenţă λ . . . 102 V.7.b. Pierderea de sarcină locală . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

V.7.b.1. Mărirea bruscă a secţiunii . . . . . . . . . . . . 103 V.7.b.2. Îngustarea bruscă a secţiunii . . . . . . . . . . 105 V.7.b.3. Curbe şi coturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 V.7.b.4. Vane şi robinete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 V.7.b.5. Sorb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 V.7.b.6. Grătar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 V.7.b.7. Ramificaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

V.8. Relaţia lui Chézy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 V.8.a. Coeficientul lui Chézy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

V.9. Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

ANEXA 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

ANEXA 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

BIBLIOGRAFIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

CUPRINS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129