Dr. Laurenz M. Widhalm, Institut für Hochenergiephysik der Österreichischen Akademie der Wissenschaften Symmetrien in der Physik in der Physik Laurenz

Dr. Laurenz M. Widhalm, Institut für Hochenergiephysik der Österreichischen Akademie der Wissenschaften

Symmetrien in der PhysikSymmetrien in der Physik

in der Physikin der Physik

Laurenz WidhalmInstitut für Hochenergiephysik



Wo finden wir Symmetrien?Wo finden wir Symmetrien?

in der unbelebten Natur:in der unbelebten Natur:• Schneeflocken bilden 6-zähligeSterne

• Kristalle bilden regelmäßigeStrukturen

Symmetrien des Mikrokosmos sindauch im Makrokosmos beobachtbar!




in der belebten Natur:in der belebten Natur:

• Blüten weisen verschiedene Artenvon Symmetrien auf

• Schmetterlinge (sowie die meistenLebewesen) sind ebenfalls symmetrisch

genetische Programme bringenSymmetrien hervor!




... und in der Kunst... und in der KunstM.C. Escher

Taj MahalIndien in der Architektur:in der Architektur:




sogar bei Teilchendetektoren:sogar bei Teilchendetektoren:

CMS DetektorCERN / Genf



Wie sehen Symmetrien Wie sehen Symmetrien in der Physik aus?in der Physik aus?

• Symmetrien werden durch Symmetrietransformationen beschrieben:

Beispiel 1: Schmetterling Symmetrietransformation S1:

spiegle alle Punkte an einerLinie!

formal: W=„ursprüngliches Bild“ W‘=„alle Punkte gespiegelt“ Anwendung der Symmetrie: S1W=W‘

Symmetrie liegt genau dann vor, wenn S1W=W!



Wie sehen Symmetrien Wie sehen Symmetrien in der Physik aus?in der Physik aus?

• Symmetrien werden durch Symmetrietransformationen beschrieben:

Beispiel 2: Kristallgitter Symmetrietransformation S2:

verschiebe alle Punkte um einenbestimmten Betrag!

formal: W=„ursprüngliches Bild“ W‘=„alle Punkte verschoben“ Anwendung der Symmetrie: S2W=W‘

Symmetrie liegt genau dann vor, wenn S2W=W!



Welche Arten von Symmetrien Welche Arten von Symmetrien gibt es in der Physik?gibt es in der Physik?

diskrete Symmetrietransformationen:diskrete Symmetrietransformationen:

Etwas abstrakter: die Paritätstransformation PParitätstransformation P

• Spiegelungen an einer Linie (dreidimensional: an einer Fläche, z.B. Spiegel) sind anschaulich, aber immer speziell (hängen von der Lage der Spiegellinie bzw. –fläche ab)• allgemeinere Definition: Raumspiegelung (Spiegelung am Nullpunkt):

PW(x,y,z,t) := W(-x,-y,-z,t)

• Paritätstransformationen entsprechen Drehungen mit anschließenden Spiegelungen !



die Umkehrung des Zeitpfeils: die Zeitinversion TZeitinversion T

• entspricht einem Film, der rückwärts gespielt wird• in der Alltagsphysik ist das in der Regel sofort zu erkennen (= keine Symmetrie gegeben!)• die Gesetze der Mechanik sind aber zeitsymmetrisch! (Beispiel: Billiard)• allgemeine Definition:

TW(x,y,z,t) := W(x,y,z,-t)

diskrete Symmetrietransformationen:diskrete Symmetrietransformationen:




Antimaterie : die Ladungskonjugation CLadungskonjugation C diskrete Symmetrietransformationen:diskrete Symmetrietransformationen:

• zu jedem Materieteilchen gibt es einen „spiegelbildlichen“ Partner aus Antimaterie• Antiteilchen sind in einigen Eigenschaften gleich den Teilchen (z.B. in der Masse), in anderen aber spiegelbildlich (z.B. in der Ladung)• Die Ladungskonjugation ersetzt alle Teilchen durch Antiteilchen, und umgekehrt• allgemeine Definition:

CW(x,y,z,t) := W(x,y,z,t)e- e+

Elektron Positron




(Symmetrietransformationen, die in beliebig kleinen Schritten durchgeführt werden können)

• Zeit: Physik(heute) Physik(morgen)genauer: Verschiebung um eine bestimmte Zeit Δt:

eΔt /t W(x,y,z,t) = W(x,y,z,t+Δt)

• Raum: Physik(hier) Physik(dort)genauer: Verschiebung im Raum um eine bestimmten Vektor

Δr=(Δx, Δy, Δz):

eΔr W(x,y,z,t) = W(x+Δx,y+Δy,z+Δz,t)

kontinuierliche Symmetrietransformationen:kontinuierliche Symmetrietransformationen:





• Richtung: Physik(Norden) Physik(Westen)genauer: Drehung um beliebige Achsen im Raum:

DW(x,y,z,t) = W(x‘,y‘,z‘,t)






• U(1) Transformation: • es sind nicht die (äußeren) Koordinaten x,y,z,tbetroffen, sondern die Elemenarteilchen selber(innere Transformation)• U(1) ist eine Transformation, bei der die Phase desTeilchens (bezeichnet als ) um den Winkel gedreht wird:

U(1)(x,y,z,t)=ei (x,y,z,t)



Achtung,abstrakt!

Einschub: Teilchen werden durch Felder beschrieben,denen man an jedem Punkt des Raumes eine komplexeZahl zuordnen kann. Diese Zahlen können entweder alsSumme von Real- und Imaginärteil beschrieben werden,oder als Produkt von Betrag | | und komplexer Phase ei

Re

Im

1

ei

=| |·ei



Die fundamentale BedeutungDie fundamentale Bedeutungvon Symmetrien in der Physikvon Symmetrien in der Physik

das Noethertheorem:das Noethertheorem:

Jede (kontinuierliche) Symmetrie eines physikalischen Systems geht mit einer

entsprechenden Erhaltungsgröße einher!

D.h.: bleibt die Physik unter Anwendung einer bestimmten Symmetrietransformation S unverändert, dann gibt es eine mathematische Vorschrift, wie man mit Hilfe von S eine Eigenschaft des physikalischen Systems berechnen kann, die sich mit der Zeit nicht ändert, egal wie komplizierte Vorgänge darin ablaufen

Emmy Noether1882-1935




Anwendungen des Noethertheorems:Anwendungen des Noethertheorems:

Auch morgen geht die Sonne auf – die Erhaltung der Energie

E = mc²E = mc²...und damit basta!...und damit basta!

• die physikalischen Gesetze gelten nicht nur zu bestimmten Zeiten, sondern immer• sie hängen auch nicht „von der Uhrzeit“ ab• abstrakter: die physikalischen Gesetze sind invariant gegenüber zeitlichen Verschiebungen:

eΔt /t W(x,y,z,t) = W(x,y,z,t+Δt) = W(x,y,z,t)!

• die physikalischen Gesetze gelten nicht nur zu bestimmten Zeiten, sondern immer• sie hängen auch nicht „von der Uhrzeit“ ab

• die physikalischen Gesetze gelten nicht nur zu bestimmten Zeiten, sondern immer• sie hängen auch nicht „von der Uhrzeit“ ab• abstrakter: die physikalischen Gesetze sind invariant gegenüber zeitlichen Verschiebungen:

Nach dem Noethertheorem folgt darausdie Erhaltung einer Größe, die man in derPhysik schon lange kennt: der Energie!





Es ist überall dasselbe... – die Erhaltung des Impulses

• die physikalischen Gesetze gelten nicht nur an bestimmten Orten, sondern überall• sie hängen auch nicht davon ab, „wo man gerade ist“• abstrakter: die physikalischen Gesetze sindinvariant gegenüber räumlichen Verschiebungen:

eΔr W(x,y,z,t) = W(x+Δx,y+Δy,z+Δz,t) = W(x,y,z,t)

Nach dem Noethertheorem folgt daraus dieErhaltung einer Größe, die in der Physik schonlange wohlbekannt ist: des Impulses!

!





Wie man es auch dreht und wendet – die Erhaltung des Drehimpulses

• die physikalischen Gesetze gelten für alle Richtungen gleich• abstrakter: die physikalischen Gesetze sindinvariant gegenüber räumlichen Drehungen:

DW(x,y,z,t) = W(x,y,z,t)

Nach dem Noethertheorem folgt daraus dieErhaltung einer Größe, die in der Physik schonvorher bekannt war: des Drehimpulses!

!




Auch diskrete Symmetrien ergeben Erhaltungsätze:Auch diskrete Symmetrien ergeben Erhaltungsätze:

Auch abstrakte Symmetrien könnenanschauliche Bedeutung haben –

die Erhaltung der Ladung• die physikalischen Gesetze sindinvariant gegenüber der gemeinsamen Änderungaller Teilchenphasen:

U(1)(x,y,z,t)=ei (x,y,z,t) W‘=W

Daraus folgt dieErhaltung der elektrischen Ladung!

!



ÜbersichtÜbersicht

Symmetrien und ErhaltungssätzeSymmetrien und Erhaltungssätze

LadungPhase

DrehimpulsDrehung

ImpulsRaum

EnergieZeit

ErhaltungssatzSymmetrie



Sind die Symmetrien perfekt?Sind die Symmetrien perfekt?

kleine Fehler machen‘s kleine Fehler machen‘s erst interessant!erst interessant!

Mario Oirio Maram Beispiel: Gesichter

• im Prinzip sind Gesichterspiegelsymmetrisch• tatsächlich gibt es aber kleineAsymmetrien, die bewusstkaum wahrgenommen werden,aber den Charakter des Gesichts durchaus mitbestimmen




kleine Fehler machen‘s kleine Fehler machen‘s erst interessant!erst interessant!

Ist die Physik symmetrisch?• offensichtlich ist vieles in unserer Umweltnicht symmetrisch• Aber sind das auch die grundlegendenNaturgesetze?

Ursprünglich sah alles so aus, als ob die Physik nicht nur die zuvor behandelten kontinuierlichen Symmetrien aufweist, sondern auch die diskreten Symmetrien:• P (Parität = Spiegelsymmetrie)• T (Zeitinversion)• C (Ladungskonjugation)



Sind die Symmetrien perfekt?Sind die Symmetrien perfekt? Das Wu-ExperimentDas Wu-Experiment

• zunächst schienen alle Experimente der Teilchenphysik dafür zu sprechen, dass die mikro-skopische Physik perfekt spiegelsymmetrisch ist• 1956 postulierten Tsung-Dao Lee und Chen Ning Yang eine Verletzung der Spiegelsymmetrie bei der schwachen Wechselwirkung• Im selben Jahr gelang Chien-Shiung Wu der experimentelle Beweis

die Natur ist nicht spiegelsymmetrisch,die P-Symmetrie ist verletzt

Chien-Shiung Wu1912-1997

60Co

e-

PP

e-

60CoBeta-Zerfall

Tsung-Dao Lee & Chen Ning Yang



Sind die Symmetrien perfekt?Sind die Symmetrien perfekt? Das Kaon-Experiment von 1964Das Kaon-Experiment von 1964

Rene Turlay1932-2002

James Cronin*1931

Val Fitch*1923

KL

Kaon-Zerfall in Pionen

99,8%

KL

0,2%

• Wenn es CP-Symmetrie in der Natur gibt, dann gibt es nach Noether auch eine zugehörige Erhaltungsgröße „CP“• CP müsste dann auch nach dem Zerfall denselben Wert haben • das ist beim Kaonzerfall der Fall, wenn es in drei Pionen zerfällt - aber nicht, wenn es in zwei Pionen zerfällt• tatsächlich wurden aber auch Zerfälle in zwei Pionen beobachtet!

die CP-Symmetrie ist (leicht) verletzt



Sind die Symmetrien perfekt?Sind die Symmetrien perfekt? Die Bedeutung der CP-VerletzungDie Bedeutung der CP-Verletzung

Warum CP-Verletzung irgendwie wichtig ist...

Andrej Sacharow1921-1989

• Unser Universum besteht – nach allem was wir wissen – praktisch vollständig aus Materie• Aber wo ist die Antimaterie?• Und warum haben sich Materie und Antimaterie nicht gegenseitig vernichtet?

Erklärung: • Es gab beim Urknall große Mengen Materie und Antimaterie• Der Großteil davon hat sich gegenseitig vernichtet• aber kleinste Unterschiede zwischen den Naturgesetzen für Materie und Antimaterie ließen einen winzigen Überschuss an Materie zurück: die Materie unseres Universums!• Andrej Sacharow hat dafür 1967 eine Liste von Bedingungen angegeben• eine davon war CP-Verletzung

Ohne CP-Verletzung hätte sich unser Universum nicht entwickeln können!

Nobelpreis 2008Nobelpreis 2008(gemeinsam mit (gemeinsam mit Yoichiro Nambu)Yoichiro Nambu)

Makoto Kobayashi

*1944

Toshihide Maskawa

*1940




diskrete Symmetriendiskrete Symmetrien

CP (Kombination aus C & P)

CPT (Kombination aus C,P & T)

T (Umkehrung der Zeitrichtung)

C (Vertauschung Materie / Antimaterie)

P (Spiegelung)

gültig im Universum?

Symmetrie



Spontane Symmetriebrechung

Energie

Higgsfeld

heißes Universum(kurz nach Urknall)

0

Teilchen sind masselos

Gebrochene SymmetrienGebrochene Symmetrien und der Ursprung der Masse und der Ursprung der Masse

kaltes Universum(kondensiert in einenasymmetrischen Zustandmit Higgsfeld)

Teilchen haben nun Masse

Die Massen der Teilchen hängen mit einer Symmetriebrechung zusammen:• ursprünglich sind alle Teilchen masselos (totale Symmetrie)• es existiert aber eine Wechselwirkung mit einem sog. Higgsfeld• Ist kein Higgsfeld vorhanden, ist diese Wechselwirkung nicht spürbar• durch eine spontane Symmetriebrechung bei der Entstehung des Universums gibt es allerdings ein das ganze Universum durchdringendes Higgsfeld, das allen Teilchen darin ihre Masse verleiht



Die IdeeDie Idee

• die größtmögliche Symmetrie der Naturgesetze wird Supersymmetrie (SUSY) genannt• Sie ist eine Symmetrie zwischen den Materieteilchen und den Kräfteteilchen:

• Jedes Materieteilchen erhält einen super-symmetrischen Partner, der ein Kräfte-teilchen ist• Jedes Kräfteteilchen erhält einen supersymmetrischen Partner, der ein Materieteilchen ist

Damit verschwindet die Asymmetrie zwischen Materie- und Kräfteteilchen, und es herrscht absolute Symmetrie

Die Super-SymmetrieDie Super-Symmetrie



Auf in eine spannendeAuf in eine spannendeZukunft!Zukunft!

...lassen wir uns überraschen!...lassen wir uns überraschen!



EndeEnde



SpareSpare



Sind die Symmetrien perfekt?Sind die Symmetrien perfekt? Der tiefere Grund für die P-VerletzungDer tiefere Grund für die P-Verletzung

• beim Wu-Experiment werden auch (unsichtbare) Anti-Neutrinos emittiert• Anti-Neutrinos haben einen Eigendrehimpuls (Spin), der immer in Bewegunsrichtung ausgerichtet ist (sie sind „rechtshändig“)• da sich bei einer P-Transformation die Bewegunsrichtung, aber nicht der Spin umkehrt, entstünde dadurch ein Teilchen, das es in der Natur nicht gibt (ein „linkshändiges“ Anti-Neutrino)• deswegen bezeichnet man die P-Symmetrie als maximal verletzt

60Co e-

rechtshändiges

AntineutrinolinkshändigesAntineutrino




• es gibt zwar kein linkshändiges Antineutrino, aber sehr wohl ein linkshändiges Neutrino (und nur ein solches!)• damit ist offensichtlich auch die C-Symmetrie (Symmetrie zwischen Materie und Antimaterie) verletzt• Aber: die kombinierte Symmetrietransformation CP (Vertauschung Materia/Antimaterie plus Spiegelung) funktioniert:

rechtshändiges

AntineutrinolinkshändigesAntineutrino

linkshändigesNeutrino

C-Verletzung – aber CP-Symmetrie?C-Verletzung – aber CP-Symmetrie?

rechtshändiges

Antineutrino

linkshändiges

Neutrino

CPCP



Sind die Symmetrien perfekt?Sind die Symmetrien perfekt? zuletzt doch noch: CPT-Symmetriezuletzt doch noch: CPT-Symmetrie

• Da die CP-Symmetrie in der Natur verletzt ist, stellt sich die Frage nach der CPT-Symmetrie (also zusätzliche Umkehrung der Zeitrichtung)• Das CPT-Theorem besagt, dass unter sehr allgemeinen Voraussetzungen Quantenfeldtheorien immer eine CPT-Symmetrie besitzen müssen• Auch experimentell wurde bisher keine Verletzung beoachtet

die CPT-Symmetrie ist (soweit wir heute wissen) nicht verletzt

• Interessant: eine Konsequenz von CPT-Symmetrie bei gleichzeitiger CP-Verletzung ist auch eine Verletzung der T-Symmetrie• d.h.: die grundlegenden Gesetze der Natur sind nicht zeitsymmetrisch, sondern zeichnen eine Richtung der Zeit aus• „die Zukunft ist doch anders als die Vergangenheit!“



Symmetrien machen Theorien!Symmetrien machen Theorien!

Erinnerung: • Die Physik ist invariant unter einer U(1)-Transformation der Teilchen :

U(1) (x,y,z,t) = ei (x,y,z,t)

• die Phase ist dabei global, d.h. es ist eine synchrone Phasentransformation aller Teilchen im ganzen Universum!

Die Idee: • Üblicherweise haben weit entfernte Teilchen keinen (unmittelbaren) Einfluss aufeinander – was wäre, wenn man statt einer globalen eine lokale Phasentransformation betrachtet:

U(1) (x,y,z,t) = eix,y,z,t (x,y,z,t) ?

(d.h. jedes Teilchen an jedem beliebigen Ort wird unabhängig von allen anderen

phasentransformiert)

die seltsame Theorie des Lichtsdie seltsame Theorie des Lichts



Symmetrien machen Theorien!Symmetrien machen Theorien! die seltsame Theorie des Lichtsdie seltsame Theorie des Lichts

Konsequenz der lokalen U(1) Transformation:

• bezieht man nur die Teilchen mit ein (nicht ihre Wechselwirkung), dann ist die Theorie nicht invariant unter lokalen U(1) Transformationen

• nimmt man aber die elektromagnetischeWechselwirkung dazu, dann

ist die Theorie lokal U(1) symmetrisch!

• das funktioniert aber nur, weil die elektromagnetische Wechselwirkung genau die richtige Form hat

Zufall oder tiefere Wahrheit?



Symmetrien machen Theorien!Symmetrien machen Theorien! die seltsame Theorie des Lichtsdie seltsame Theorie des Lichts

• Die moderne Sichtweise:

• man postuliert für eine Theorie dass eine vorhandene globale Symmetrie (wie z.B. U(1)) auch lokal gilt• daraus ergibt sich zwingend eine Form der Wechselwirkung zwischen diesen Teilchen• außerdem ergeben sich neue Kräfteteilchen (bei U(1) ist es das Photon), die die Wechselwirkung vermitteln

jede lokale Symmetrie erzeugt eine Wechselwirkungsowie Kräfteteilchen, die diese Wechselwirkung

vermitteln!



Symmetrien machen Theorien!Symmetrien machen Theorien! jetzt wird‘s bunt: jetzt wird‘s bunt: die Quantenchromodynamikdie Quantenchromodynamik

• Experimentelle Ergebnisse ergaben, dass Protonen und Neutronen aus jeweils drei Quarks bestehen• da sich ununterscheidbare Teilchen nicht im selben Zustand befinden können (Pauliverbot), müssen Quarks eine zusätzliche Eigenschaft haben, die sie voneinander unterscheidet• diese Eigenschaft bezeichnet man als Farbladung (wobei der Begriff „Farbe“ nur abstrakt zu verstehen ist)

Es gibt 3 Farbladungen: rot, grün und blau q q q




• Idee: es herrscht Symmetrie zwischen den verschiedenfärbigen Quarks, d.h. sie können beliebig untereinander vermischt werden:

q

q

q

q q qArr +Arg +Arb

q q qAgr +Agg +Agb

q q qAbr +Abg +Abb

• mathematisch wird diese Symmetrietransformation durch eine 3x3 Matrix A beschrieben, und wird als SU(3) bezeichnet




• postuliert man nun lokale SU(3) Symmetrie, ergibt sich zwingend eine neue Form der Wechselwirkung zwischen den Quarks• diese wird als starke Wechselwirkung bezeichnet, die zugehörigen Kräfteteilchen nenntman Gluonen• die entsprechende Theorie heisst Quantenchromodynamik• sie ist für den Zusammenhalt der Quarks im Proton und Neutron verantwortlich• aber auch für den Zusammenhalt der Atomkerne

Die Farb-Symmetrie der Quarks ermöglicht die Existenz von Atomen!




Symmetrien und WechselwirkungenSymmetrien und Wechselwirkungen

Gravitation? (Quantengravitation ist work in progress!)

starkSU(3) (Symmetrie der Farbladung)

schwachSU(2) (Symmetrie zwischen W- und Z-Bosonen )

elektromagnetischU(1) (Phasentransformation)

WechselwirkungSymmetrie

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