Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
VIŠA TEHNIČKA MAŠINSKA ŠKOLA
T R S T E N I K
dr Stanimir Čajetinac
ELEKTROTEHNIKA I
ELEKTRONIKA (radni materijal)
Trstenik, 2017. god.
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 1 ----------------------------
1. U V O D
1.1 Predmet elektrotehnike Elektrotehnika je nau~na disciplina koja se bavi teorijom i prakti~nom
primenom elektri~nih i magnetskih pojava.
Primena:
u svim granama nauke i tehnike
privredi
svakodnevnom `ivotu
Prednosti :
relativno jednostavna proizvodnja
mogu}nost prenosa velikih snaga na velika rastojanja sa malim gubicima
lako ( prakti~no trenutno) upravljanje
veliki faktor korisnog dejstva elektri~nih ure|aja
mogu}nost direktnog pretvaranja u bilo koji drugi vid naj~e{}e kori{}enih energija (mehani~ku, svetlosnu,
hemijsku, toplotnu, akusti~nu ) .
1.2 Zna~aj elektrotehnike u ma{instvu
Elektrotehnika se direktno primenjuje u ma{instvu (pogoni, upravljanje), a osim toga se javlja kao teorijska
baza elektronike, ra~unarske tehnike, automatike i tehnike merenja, a to su oblasti sa kojima je ma{instvo tesno
povezano.
1.3 Istorijski razvoj elektrotehnike
Na osnovu otkri}a u oblasti elektrotehnike i njihove primene, mo`e se uo~iti nekoliko etapa u razvoju ove
grane tehnike.
I Prvi period traje do XVII veka otkri}e elektrostati~kog privla~enja naelektrisanog }ilibara (otuda naziv - }ilibar se na gr~kom zove
elektron), Tales iz Mileta (oko 600g pne)
podeli tela na provodnike i izolatore engleski lekar D`ilbert (W. Gilbert, 1544-605).
II Drugi period traje oo XVII do kraja XVIII veka (kvantitativno izu~avanje elektri~nih i magnetskih pojava)
Francuz Kulon (C.Coulomb, 1736-1806) pronalazi zakon o uzajamnom dejstvu naelektrisanih tela
pronalazak elektri~ne struje (L.Galvani, 1737-1798)
hemijski izvori elektri~ne struje (A. Volta, 1745-1827)
ameri~ki fizi~ar Franklin (B.Franklin, 1706-1790) uo~io je da postoje dve vrste elektriciteta (otada poti~e
podela i termin pozitivni i negativni elektricitet), izu~avao je atmosferski elektricitet i prona{ao
gromobran.
. III Tre}i period (zlatntno doba u razvoju elektrotehnike, XIX vek)
postavka teorije elektrolize i veza izme|u magnetizma i elektri~ne struje (M.Faraday, 1791-1867)
uticaj elektri~ne struje na magnetsku iglu ispitivao je danski fizi~ar Ersted (H.G.Oersted, 1777-1854)
uzajamno dejstvo dva provodnika kroz koje proti~e struja ispitivao je Amper (A.Amprere, 1775-1836)
zakon pretvaranja elektri~ne struje u toplotu prona{ao je D`ul (J.P. Juole)
vezu izme|u napona, struje i elektri~nog otpora prona{ao je Om (G.S.Ohm, 1787-1854)
Kirhof (G.R.Kirchhoff, 1824-1887) formuli{e zakone za re{avanje elektri~nih kola
jedinstvena teorija elektromagnetizma - {kotski fizi~ar Maksvel (J.C.Maxwell, 1831-1879)
otkri}a na podru~ju proizvodnje, prenosa i primene elektri~ne energije (N.Tesla,1856-1943) i Edison
(T.A.Edison, 1847)
IV ^etvrti period (od po~etka XX - zrelo doba primene elektrotehnike)
razvoj tehni~kih disciplina ~ija je teorijska osnova elektrotehnika (elektronika, automatika, ra~unarska
tehnika).
prodor elektrotehnike u sve oblasti nauke, privrede i svakodnevnog `ivota.
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 2 ----------------------------
2. E L E K T R O S T A T I K A
2.1 NAELEKTRISANJE - MAKRO I MIKRO RAZMATRANJA
2.1.1 Struktura atoma Za tuma~enje pojava u elektrotehnici koristi se Borov model atoma (Danski fizi~ar
N.Bohr,1885-1962) , iako dana{nja fizika smatra da je atom mnogo slo`eniji.
Prema tom modelu, atom se sastoji od pozitivno naelektrisanog jezgra, i negativno naelektrisanih elektrona,
koji kru`e oko jezgra (otuda naziv "planetarni" model - analogija sa Suncem i planetama). Jezgro se sastoji od
pozitivno naelektrisanih protona, i neutrona, koji su elektri~no neutralni.
Atom je u celini elektri~no neutralan, a u sebi sadr`i jednake koli~ine pozitivnog naelektrisanja, sadr`anog u
protonima, i negativnog, sadr`anog u elektronima. Postojanje pozitivnog i negativnog naelektrisanja je
svojstvo materije u svemiru koji mi poznajemo. Fizi~ki zakoni, kojima se bavi elektrotehnika, predstavljaju
makroskopski izraz tog postojanja.
2.1.2 Elementarno naelektrisanje Postojanje elementrne koli~ine negativnog naelektrisanja utvrdio je u svojim
ogledima ameri~ki fizi~ar Miliken (R.A. Millikan, 1868-1945). Ovaj elementarna koli~ina negativnog
naelektrisanja sadr`an je u elektronu i iznosi:
e = 1,610-19
C, gde je C (kulon) jedinica za
koli~inu naelektrisanja u SI sistemu. Defini{e se kao amper sekunda.
1C = 1 As
Istu koli~inu pozitivnog naelektrisanja poseduje proton, i pozitron, kratko`ivu}a ~estica koja ne postoji
slobodna u prirodi, ve} nastaje prilikom pretvaranja kvanta gama zra~enja u par pozitron-elektron.
Po{to je elementrano naelektrisanje sadr`ano u elektronima i protonima, svaka koli~ina elektriciteta koja se
mo`e na}i u prirodi, jednaka je celobrojnom umno{ku elementarnih naelektrisanja. Me|utim, zbog male
vrednosti elementarnih naelektrisanja, odnosno, zbog velikog broja ~estica u kojima je ono sadr`ano, koli~ina
naelektrisanja se u makroskopskim razmatranjima uzima kao kontinualna veli~ina.
2.2 KULONOV ZAKON
Prva kvantitativno ispitivana pojava u elektrotehnici je pojava uzajamnog mehani~kog dejstva naelektrisanih
tela. Ovu pojavu je ispitivao francuski fizi~ar Kulon (G.A.Coulomb,1736-1806), mere}i silu privla~enja ili
odbijanja naelektrisanih kuglica, pomo}u vrlo osetljive torzione vage.
Na osnovu tih eksperimenata, formulisao je zakon koji se danas po njemu i zove Kulonov zakon:
Dva ta~kasta naelektrisanja Q1 i Q2 deluju jedno na drugo silom F koja je direktno proporcionalna proizvodu
naelektrisanja, a obrnuto proporcionalna kvadratu rastojanja izme|u njih. Pravac sile je du` linije koja spaja
ta~kasta naelektrisanja, smer je uzajamno privla~enje ako su naelektrisanja razli~itog znaka, a odbijanje ako su
istog.
Matemati~ki se Kulonov zakon mo`e izraziti pomo}u formule :
FQ Q
rr
1
4
1 2
3 ili ako se tra`i samo intenzitet ,
2
21
r
4
1F
(2.1)
U ovoj formuli predstavlja konstantu koja se zove koeficijent dielektri~ne
propustljivosti i za vazduh i vakuum ima vrednost = 8,85 10-12
F/m u
jedinicama SI sistema.
Pod ta~kastim naelektrisanjem podrazumevaju se naelektrisana tela ~ije su linearne dimenzije mnogo manje od
nihovih rastojanja.
2.3 ELEKTRI^NO POLJE
Postojanje elektri~nog polja ogleda se u sposobnosti naelektrisanog tela da na drugo naelektrisano telo deluje
mehani~kom silom. Savremena fizika smatra da polje predstavlja objektivnu fizi~ku realnost, poseban vid
postojanja materije, ~ije su manifestacije Kulonova sila, energija polja i druga svojstva.
Q1 Q2
F21F12
Sl.2.1
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 3 ----------------------------
Ako u elektri~no polje unesemo malo, nepokretno telo, naelektrisano pozitivnim nalektrisanjem q, na njega }e
delovati mehani~ka sila F. Malo telo sa naelektrisanjem q, zovemo probno naelektrisanje, i ono svojim
prisustvom ne sme izazvati zna~ajan poreme}aj naelektrisanja na telima koja formiraju elektri~no polje.
Vektor ja~ine elektri~nog polja E
defini{e se kao sila koja deluje na jedini~no, pozitivno probno naelektrisanje
q:
EF
q
(2.2)
Ako polje poti~e od vi{e naelektrisanih tela, rezultantno polje jednako je vektorskom zbiru polja pojedinih
naelektrisanja.
2.3.1 Polje ta~kastog naelektrisanja
Izme|u ta~kastog naelektrisanja Q i probnog naelektrisanja q deluje mehani~ka sila (2.1):
F
= 1
4 3
rr
Na osnovu definicionog obrasca (2.2) za vektor ja~ine elektri~nog polja i prethodne formule imamo
E
= 1
4 3
Q
rr
ili modul vektora E je E=1
4 2
Q
r (2.3)
Radi vizuelizacije polja, Faradej je uveo pojam linija polja (ranije se koristio termin "linije sile"). To su
zami{ljene linije na koje je vektor polja u svakoj ta~ki tangenta. Smer polja prikazuje se strelicom na liniji
polja, a pogodnom gustinom linija mo`e se predstaviti intenzitet vektora polja.
Razli~iti oblici polja ta~kastih naelektrisanja, predstavljeni linijama polja, dati su na sl. 2.2: a) usamljeno
ta~kasto pozitivno naelektrisanje,b) usamljeno ta~kasto negativno naelektrisanje, c) i d) raznoimena i
istoimena ta~kasta naelektrisanja na dometu polja.
2.4 FLUKS VEKTORA ELEKTRI^NOG POLJA
Kada postoji vektorsko polje, a primer takvog polja je elektri~no polje E, i neka povr{ina S, mo`e se definisati
protok vektora kroz povr{inu. Ovaj pojam primenjuje se i u drugim oblastima nauke ( hidrodinamici, nauci o
toploti) , gde je njegovo zna~enje vi{e o~igledno, i zove se fluks vektora.
Proizvoljnu povr{inu S podelimo na elementarne ravne povr{ine dS, i svakoj od njih dodelimo elementarni
vektor d S
normalno na pov{inu dS. Ako je veli~ina d S
dovoljno mala,
intenzitet vektora E
mo`emo smatrati konstantnim u okvirima povr{ine d S
.
Protok vektora E
kroz povr{inu dS je skalarna veli~ina koja se defini{e kao
skalarni proizvod vektora E
i d S
:
d = E
d S
= EdS cos( E
, d S
) .
Fluks kroz celu povr{inu S dobi}emo sabiranjem elementarnih flukseva d ili u obliku integrala :
EdS
S
Sl.2.3
a) b) c) d) Sl.2.2
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 4 ----------------------------
= Ed SS
(2.4)
Kao skalarna veli~ina fluks mo`e imati pozitivnu i negativni vrednost. Pozitivna veli~ina fluksa zna~i da je
usmeren na istu stranu kao i vektror d S
, a negativna na suprotnu.
2.5 GAUSOV ZAKON
Veza izme|u fluksa elektri~nog polja i naelektrisanja definisana je Gausovim zakonom.
Ovaj zakon se mo`e iskazati na sede}i na~in:
Fluks vektora elektri~nog polja, kroz neku zatvorenu povr{inu S, jednak je sumi slobodnih naelektrisanja
obuhva}enih tom povr{inom, podeljenih sa dielektri~nom konstantom sredine u kojoj se naelektrisanja nalaze.
Ovaj iskaz napisan u obliku matemati~ke formule glasi:
E d S
q
S
(2.5)
Gausov zakon se negde u literaturi zove i Gausova teorema, zbog toga {to se napred izneta tvrdnja mo`e
dokazati, ali to izlazi iz okvira ove skripte. Zna~enje prethodne formule ilustruju crte`i na slici 4. Zatvorena
linija na slici predstavlja presek povr{ine S i ravni crte`a.
E d Sq q q
S
1 2 3
E d S
S
0
2.6 POTENCIJAL ELEKTRI^NOG POLJA
Elektri~no polje, kao poseban vid jedinstvenog eltromagnetnog polja, javlja se oko svakog naelektrisanog tela.
Ono nastaje ako je naelektrisanje koje ga izaziva nepokretno u prostoru i ne menja se u vremenu. Elektri~no
polje se manifestuje delovanjem mehani~ke sile na druga naelektrisana tela, a ono samo je odre|eno
intenzitetom i potencijalom.
Sila koja deluje na nelektrisano telo q u elektri~nom polju mo`e se napisati kao
F = E q .
Ako se naelektrisanje q, pod dejstvom sile F, premesti iz ta~ke A u ta~ku P,
izvr{i}e se rad koji po definiciji iznosi
A = F d lA
P
. 2.6
Naelektrisanje q mo`e biti bilo kakvo. Ako levu i desnu stranu jedna~ine
podelimo sa q, dobi}emo izvr{eni rad po jedini~nom naelektrisanju, a to je
veli~ina koja se zove potencijal ta~ke A u odnosu na P:
VA = A
q =
1
qF d l
A
P
= 1
qq E d l
A
P
= E d lA
P
F
dl
Sl.2.5
A
P
q1
q3
q2
E(s)
q1
q3
q2
E(s)
Sl.2.4
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 5 ----------------------------
Ta~ka P u odnosu na koju se ra~una potencijal, mo`e se nalaziti bilo gde. Ako se ona nalazi beskona~no
daleko, gde se ne ose}a dejstvo elektri~nog polja, ka`emo da ima nulti potencijal.
Potencijal u odnosu na referentnu ta~ku sa nultim potencijalom se defini{e kao
VA = E d lA
Potencijal smo definisali kao linijski integral vektora ja~ine polja izme|u dvaju ta~aka u elektri~nom polju. Rad
koji izvr{e sile elektri~nog polja pri pomeranju probnog naelektrisanja ne zavisi od oblika putanje, ve} samo od
polo`aja njenih krajnjih ta~aka. Ista tvrdnja va`i i za elektri~ni potencijal.
Neka su u elektri~nom polju date ta~ke A i B. Potencijal ta~ke A izra~unava se prema jedna~ini ( ), a potencijal
ta~ke B, koriste}i osobinu da potencijal ne zavisi od puta napisa}emo
VB = E d lB
= E d lB
A
+ E d lA
Razlika porencijala izme|u ta~aka A i B daje veli~inu koja se zove potencijalna razlika ili napon izme|u
ta~aka A i B :
UAB= VA - VB = - E d lB
A
= E d lA
B
2.7
Ako je putanja kojom se kre}e probno naelektrisanje zatvorena, izvr{eni rad, pa prema tome i razlika
potencijala, jednaki su nuli.
Iz definicione formule za potencijalnu razliku (potencijal) dobijamo jedinicu:
U = A/q (=) Nm/C (=) V, koja se zove volt.
Tako|e, jedinicu za elektri~no polje sada mo`emo definisati kao
E = U/l (=) V/m.
2.6.1 Potencijal ta~kastog naelektrisanja
Neka se ta~ka A nalazi na rastojanju R od tela sa nalektrisanjem Q,koje zadovoljava uslove da se mo`e smatrati
ta~kastim naelektrisanjem.
Potencijal ta~ke A, u odnosu na beskona~no daleku ta~ku, je po definiciji
V = E d lA
Zamenom izraza za polje ta~kastog naelektrisanja i uzimanjem da je
d l d r
, imamo: VQ dr
rR
4 2=
Q
R4
{to predstavlja izraz za potencijal ta~kastog naelektrisanja na rastojanju
R od tog naelektrisanja.
2.7 ELEKTRI^NI KAPACITET. KONDENZATORI
Telo naelektrisano koli~inom naelektrisanja Q, raspola`e potencijalom V u odnosu na neku referentnu ta~ku.
Izme|u ove dve veli~ine postoji proporcionalnost, pri ~emu se koeficijent proporcionalnosti C=Q/V zove
elektri~ni kapacitet.
Elektri~ni kapacitet zavisi od veli~ine tela, njegovog oblika i dielektri~ne konstante sredine.
Jedinica za elektri~ni kapacitet u SI sistemu jedinica je
C/V (=) F i zove se farad.
Po{to je farad velika jedinica (elektri~ni kapacitet zemlinje kugle iznosi oko 0,67 F), u prakti~noj upotrebi su
njegovi podmultipli: mikrofarad, (10-6
F), nanofarad (10-9
F), pikofarad (10-12
F) i dr.
U praksi najve}u primenu nalazi sistem od dva tela naelektrisana jednakim koli~inama naelektrisanja suprotnog
znaka, obi~no na malom rastojanju. Takav sistem raspola`e ta~no odre|enom veli~inom elektri~nog kapaciteta
d l d r
A
Q
R
Sl.2.6
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 6 ----------------------------
i zove se kondenzator. Najrasprostranjeniji tip kondenzatora ~ine dve paralelne plo~e na malom rastojanju i
dielektrikom izme|u njih, pa se prema tome i zove plo~asti kondenzator.
2.7.1 Kapacitet plo~astog kondenzatora
Neka se kondenzator sastoji od dve paralene plo~e povr{ine S na rastojanju d (Sl.2.7).
Zamislimo da smo oko jedne plo~e postavili zatvorenu povr{inu koja potpuno obuhvata plo~u. U ovakvom
sistemu elektri~no polje je homogeno i potpuno lokalizovano izme|u plo~a, osim u okolini ivica gde postoji
rasipanje koje se zanemaruje.
Ako primenim Gausov zakon na opisani sistem imamo
EdS ESQ
S
.
Po{to je po definiciji Q = C U, a polje izme|u plo~a se mo`e izraziti kao E = U/d,
imamo
U
dS
CU
odakle sledi da je kapacitet jednak C=
S
d.
2.7.2 Vezivanje kondenzatora u grupe. Ekvivalentni kapacitet
Namena elektri~nih kola ponekad zahteva da se vi{e kondenzatora ve`e na razli~ite na~ine u grupu. Ako grupa
kondenzatora formira sistem sa dva izvoda, postavlja se zadatak pronala`enja ekvivalentnog kapaciteta, koji u
odnosu na izvode mo`e da zameni grupu.
Osnovni na~ini vezivanja kondenzatora su na red, paralelno i kombinacija prethodna dva na~ina.
2.7.2.1 Paralelna veza kondenzatora
Posmatrajmo grupu od n paralelno vezanih kondenzatora
razli~itih kapaciteta.
Kondenzatori su vezani na izvor napona U. Ovaj napon je
na elektrodama svakog po jedinog kondenzatora, a i na
ekvivalentnom kondenzatoru.
Ukupno naelektrisanje Q koje se nalazi na ekvivalentnom
kondenzatoru jednako je zbiru naelektrisanja na pojedinim
kndenzatorima:
Q = Q1 + Q2 + ... + Qn
Kako je naelektrisanje jednako proizvodu napona i
kapaciteta
Q = Ce U i Qi = Ci U , imamo
CeU = C1U + C2U +...+ CnU odakle sledi da je ekvivalentni kapacitet paralelne veze kondenzatora
Ce = C1 + C2 + C3 +... + Cn .
2.7.2.2 Redna veza kondenzatora
Redna veza kondenzatora prikazana je na sl. 2.9. Grupa
kondenzatora je priklju~ena na napon U kao i
ekvivalentni kondenzator.
Kondenzatori su razli~itog kapaciteta, a priklju~eni
napon je jednak zbiru napona na pojedinim kondenzato
rima:
+Q -Q
E S
d
Sl.2.7
C1 C2 C3
U
Ce
Sl.2.9
Cn
U
Sl. 2.8
C3
U
Cn
C2
C1
1
U
Cn
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 7 ----------------------------
U = U1 + U2 + U3... + Un . [to se ti~e naelektrisanja, treba imati u vidu da naelektrisanje +Q i -Q dolazi iz izvora samo na spoljne plo~e
grupe (one koje su priklju~ene na izvor). Na kondenzatorima unutar redno vezane grupe samo dolazi do
simetri~nog razdvajanja iste koli~ine naelektrisanja. Mo`emo zaklju~iti da je naelektrisanje na ekvivalentnom
kondenzatoru jednako naelektrisanju svakog od kondezatora vezanih na red.
Na osnovu toga imamo
Q
C
Q
C
Q
C
Q
C
Q
Ce n
1 2 3
. . . , odnosno skra}ivanjem Q dobijamo da je recipro~na
vrednost ekvivalentnog kondenzatora, jednaka zbiru recipro~nih vrednosti kondenzatora vezanih na red
1 1 1 1 1
1 2 3C C C C Ce n
... .
2.7.4 Energija napunjenog kondenzatora
Posmatrajmo slu~aj jednostavnog kondenzatora koji se sastoji od dve plo~e proizvoljnog oblika i na kome u
po~etku nema naelektrisanja.
Zamislimo da nekim postupkom prenosimo elementarne koli~ine naelektrisanja dq sa jedne plo~e na drugu
(Sl.2.10). Pri tome }e
se na jednoj plo~i formirati vi{ak pozitivnog, a na drugoj plo~i vi{ak negativnog naelektrisanja, i uspostaviti
elektri~no polje izme|u plo~a. Prilikom preno{enja naelektrisanja dq potrebno je
savla|ivati sile elektri~nog polja.
Ako u nekom trenutku prene{eno naelektrisanje ima vrednost q, izme|u plo~a se
uspostavlja potencijalna razlika U, a izvr{eni rad za preno{enje elementarne koli~ine
naelektrisnja po definiciji iznosi dA = U dq ili s obzirom na vezu U = q/C imamo
dA =q
Cdq .
Ako je ukupno preneto naelektrisanje Q onda je ukupno izvr{eni rad
A = dAq
Cdq
Q
C
CUQ Q
0 0
2 2
2 2 .
Na osnovu zakona o odr`nju energije, izvr{eni rad prilikom naelektrisavanja tela pre}i }e u potencijalnu
energiju, pa je energija napunjenog kondenzatora
W = CU2
2 .
dq
+Q -Q
E
F
Sl.2.10
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 8 ----------------------------
Z A D A C I 1. Plo~asti kondenzator, sa plo~ama povr{ine S=10cm
2 na rastojanju d=2mm sa vazduhom kao dielektrikom,
naelektrisan je sa Q= 2nC. Izra~unati:
a) kapacitet takvog kondenzatora
b) napon izme|u plo~a
c) napon kondenzatora ako se plo~e razdvoje na d=3mm .
d) energiju kondenzatora pod c)
Re{enje:
a) C = 3
412
0102
10101085,8
d
S
= 4,4210
-12 = 4,42pF.
b) U = 12
9
1042,4
102
C
Q
= 452 V.
c) C1 = 3
412
10
103
10101085,8
d
S
= 2,95pF, U1=
12
9
1 1095,2
102
C
Q
= 678V.
c) W = 12
292
1095,22
)102(
C2
Q
= 0,6810
-6J
2. Baterija kondenzatora priklju~ena je na izvor EMS kao na slici. Izra~unati:
a) Ekvivalentni kapacitet baterije kondenzatora
b) Napon izme|u ta~aka a i b
c) Energiju kondenzatora C1
Re{enje:
a)
32
321
45e
CC
CCC
1
C
1
C
1
C
1
Ce =2,9F
b)Qe = Q5= Q4= Qab = Ce U = 2,910-4
C
Uab = QabCab , Cab=32
321
CC
CCC
=12,4F.
Uab=2,910-412,410
-6=23,4V
c) W = 2
UC 2ab1 =5,5mJ
3. Usamljena kugla sa naelektrisanjem Q=10-10
C nalazi se u vazduhu. Ta~ka A nalazi se na rastojanju r1=5cm
od centra kugle, a ta~ka B na rastojanju r2=7cm.
Odrediti:
a) napon izme|u ta~aka A i B;
b) koliki rad izvr{e sile elektri~nog polja pri preme{tanju probnog naelektrisanja Qp=10-12
C iz ta~ke A u ta~ku
B.
Kuglu smatrati ta~kastim naelektreisanjem.
a
C4 C2
C3
C1
C5 b
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 9 ----------------------------
Re{enje:
a) VA = 10 r
Q
4
1
=
05,0
10
1085,84
1 10
12
= 18V, VB =
20 r
Q
4
1
=
07,0
10
1085,84
1 10
12
= 12,8V
UAB = VA-VB = 18-12,8 = 5,2V
b) A = UAB Qp = 10-12 5,2 = 5,210
-12J
4. Tri kondenzatora vezana su u grupu kao na slici.
a) Kolika treba da je vrednost kondenzatora C2 da bi ekvivalentna kapacitivnost bila tako|e jednaka C2, ako je
C1=3F.
b) Za vrednosti C1 i C2 kao pod a) odrediti naelektrisanje pojedinih kondenzatora ako je napon izme|u A i B
400V.
Re{enje:
a) Ce = 321
211
CCC
)CC(C
Ce = C2 C2=321
211
CCC
)CC(C
C2
2 +C1C2 - C1
2 =0 C2=1,85F.
b) Qe = CeU = 7,410-4
C, Q1 = 7,410-4
C, U1= Q1/C1=246,6V.
U12=400-246,6 =153,3V , Q2 = C2U12 = 2,8510-4
C, Q1 = C1U12 = 4,610-4
C
A
B
C1
C1 C2
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 10 ----------------------------
3. STALNE JEDNOSMERNE STRUJE
3.1 ELEKTRI^NA STRUJA
3.1.1. Osnovni pojmovi Ako spojimo dva tela koja se nalaze na razli~itim elektri~nim potencijalima,
naelektrisanje }e prelaziti sa jednog tela na drugo sve dok se potencijali ne
izjedna~e. Pojava usmerenog kretanja naelektrisanja pod dejstvom elektri~nog
polja zove se elektri~na struja.
Elektri~na struja se defini{e veli~inom koja se zove intenzitet elektri~ne struje
ili samo struja. Ona predstavlja koli~nik naelektrisanja koje je proteklo kroz
neki popre~ni presek i vremena u kojem je proteklo:
I =t
Q, ili, ako je naelektrisanje funkcija vremena, izvod naelektrisanja po
vremenu: i = dt
dq.
Mo`e se re}i da je intenzitet struje brzina proticanja naelektrisanja kroz neki popre~ni presek.
Jedinica za mernje elektri~ne struje u SI sistemu jeste amper (A).
U prethodnom poglavlju videli smo da je naelektrisanje u atomu sadr`ano u subatomskim ~esticama protonima
i elektronima. U ~vrstim telima nosioci naelektrisanja u elektri~noj struji su elektroni, po{to su protoni vezani u
atomskim jezgrima i ne mogu da se preme{taju. U te~nostima i gasovima nosioci naelektrisanja u elektri~noj
struji su pozitivni i negativni joni.
Tokom razvoja nauke o elektricitetu uzeto je da pozitivno naelektrisano telo ima ve}i potencijal od negativnog.
Zato se uzima da je smer struje od pozitivnog potencijala prema negativnom (smer elektri~nog polja), iako to
nije stvarni smer kretanja naelektrisanja u ~vrstim telima.
Proticanje struje uvek je pra}eno fizi~kim pojavama kao {to je zagrevanje tela, pojava magnetnog polja,
hemijske pojave u te~nostima i dr.
3.1.1.1 Provodnici i izolatori Na osnovu poznavanja atomske strukture materije mo`e se objasniti mehanizam
proticanja naelektrisanja (elektri~na struja). Da bi do{lo do pojave elektri~ne struje nosioci naelektrisanja
moraju biti pokretni. U ~vrstim telima to su elektroni, a te~nostima i gasovima pozitivni i negativni joni.
Elektri~na struja se mo`e uspostaviti u telima u kojima ve} postoje slobodni nosioci naelektrisanja. Takva tela
se zovu provodnici (provode elektri~nu struju).
Tipi~ni provodnici elektri~ne struje su metali. Zbog prirode valentnih veza u molekulima metala, u
me|umolekularnom prostoru postoje slobodni elektroni, koji lako pokretni, i pod dejstvom elektri~nog polja,
~ine elektri~nu struju. Svi metali su provodnici, ali najbolje provode struju srebro, bakar, ostali plemeniti
metali, aluminijum. Zbog manje cene u odnosu na plemenite metale, najve}u primenu u elektrotehnici kao
provodnici imaju bakar i aluminijum.
Tela koja slabo provode elektri~nu struju zovu se izolatori. Tipi~ni izolatori su guma, plastika, staklo, porcelan,
razni minerali i nemetali. Razlika u provodljivosti izme|u dobrih provodnika i dobrih izolatora je reda 1020
(za
toliko puta provodnici bolje provode struju od izolatora ako su ostali uslovi isti).
3.1.1.2 Izvor ems Prilikom obja{njenja pojma elektri~ne struje, rekli smo da naelektrisanje prelazi sa tela sa
vi{im potencijalom na telo sa ni`im potencijalom sve dok postoji potencijalna razlika izme|u njih. Ako `elimo
da ostvarimo trajnu struju u nekom provodniku, moramo da odr`avamo stalnu potencijalnu razliku izme|u
njegovih krajeva, tj. naelektrisanje koje je pre{lo na telo sa ni`im potencijalom, mora se ponovo vratiti na telo
sa vi{im potencijalom. Taj prenos naelektrisanja nasuprot dejstvu elektri~nog polja, vr{i se na ra~un
transformacije neke druge energije u elektri~ni rad, a telo u kome se to obavlja zove se izvor elektromotorne
sile (kra}e ems).
Termin “sila” je zadr`an iz istorijskih razloga i nema veze sa shvatanjem sile u fizici.
Veli~ina koja defini{e izvor ems zove se elektromotorna sila i ozna~ava sa E:
dq
dAE .
q
- + i
Sl.3.1
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 11 ----------------------------
Vidimo da se ems defini{e na isti na~in kao i potencijalna razlika, pa je i jedinica ista (volt). Ako ka`emo da
neki izvor ima ems od 6V, to zna~i da je u tom izvoru izv{en rad od 6 J pri preno{enju naelektrisanja od 1C,
suprotno dejstvu elektri~nog polja. Taj rad je na raspolaganju kao elektri~na energija, a nastao je
transformacijom neke druge vrste energije u izvoru ems, kao {to je hemijska, mehani~ka, toplotna i dr.
3.1.1.3 Elektri~no kolo Odr`avanje stalne struje zahteva kretanje naelektrisanja po nekom zatvorenom putu
koji se zove elektri~no kolo.
Najjednostavnije elektri~no kolo se sastoji od izvora ems, provodnika i
potro{a~a u kome struja ostvaruje neki efekat (toplotni, mehani~ki, hemijski).
Tipi~an primer prostog elektri~nog kola je baterijska lampa sa baterijom kao
izvorom ems i sijalicom kao
potro{a~em (sl 3.2).
Kretanje naelektrisanja u elektri~nom
kolu i funkcija izvora ems, mo`e se
zgodno uporediti sa kretanjem vode u spojenim sudovima i pumpom
koja odr`ava razliku nivoa u sudovima (sl. 3.3). Razli~ite visine nivoa
vode odgovaraju razli~itim potencijalima u elektri~nom kolu, kretanje
vode u cevima odgovara elektri~noj struji, a pumpa ima istu funkciju
kao izvor ems u elektri~nom kolu.
Na osnovu usvojenih grafi~kih simbola prosto elektri~no kolo se
prikazuje kao na slici 3.2.
Za prou~avanje elektri~nih pojava, pogodno je elektri~no kolo, kao i elemente u njemu, predstaviti usvojenim
grafi~kim simbolima.
Neki ~e{}e kori{}eni grafi~ki simboli su prikazani u narednoj tabeli:
Linije na {emi predstavljaju provodnike koji spajaju ostale kompnente kola.
3.1.2. Omov zakon Nema~ki elektrotehni~ar Om (G. S. Ohm, 1787-1854)) eksperimentalno je ispitivao vezu
izme|u napona i struje u nekom provodniku. Ustanovio je da je struja uvek proporcionalna naponu na
krajevima tog provodnika. Ova veza se izra`ava formulom
U = R I , gde se konstanta proporcionalnosti R naziva otpor provodnika, a zavisnost
izra`ena gornjom formulom zove se Omov zakon.
Omov zakon se mo`e napisati i u obliku
I = G U , pri ~emu se veli~ina R
1G , koja je recipro~na vrednost otpora, zove
provodnost.
Jedinica za elektri~ni otpor sledi iz Omovog zakona
A
V
I
UR i zove se om, a za provodnost
S1
, simens.
P
Sl.3.3
+ +
Izvor ems
Otpornik
Kondenzator
Prekidač, taster
Osigurač
V A Voltmetar,
Ampremetar
Sijalica
E R
P
Sl.3.2
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 12 ----------------------------
Ako elektri~nu struju shvatimo kao usmereno kretanje elektrona pod dejstvom elektri~nog polja, na njihovom
putu atomi sredine u kojoj se kre}u predstavljaju prepreke. Elektroni se kre}u sudaraju}i se sa atomima, a
makroskopski efekat postojanja tih prepreka predstvlja elektri~ni otpor.
3.1.2.1 Otpor provodnika. Otpornici. Otpor provodnika je funkcija geometrijskih veli~ina, fizi~kih osobina
tela i temperature na kojoj se provodnik nalazi. Ako je provodnik cilindri~no telo du`ine l i popre~nog preseka
S, onda se njegov otpor izra~unava po formuli
S
lR , gde je veli~ina koja se zove specifi~ni otpor.
Razlika izme|u provodnika i izolatora poti~e upravo od razlike u specifi~im otporima. U slede}oj tabeli date su
vrednosti specifi~nog otpora za neke materijale na temperaturi 20:
Materijal Specifi~na otpornost
(m)
Srebro 1,6410-8
Bakar 1,7510-8
Aluminijum 2,8310-8
Volfram 5,510-8
Gvo`|e 110-7
Konstantan(60%Cu,40%Ni) 4,610-7
Cekas(60%Ni,25%Fe,15%Cr) 1,110-6
Grafit 3,510-5
Staklo 5109
Transformatorsko ulje 1012
Porcelan 1011
-1014
Guma 1014
-1015
Kvarc 51018
Specifi~na otpornost, a time i otpor provodnika, menjaju se sa tempereturom pribli`no linearno
= 0 (1+), odnosno,
R = R0 (1+), gde veli~ina predstavlja temperaturni koeficijent otpora. Njena vrednost za
razli~ite materijale se daje u tablicana.
Kod nekih metala i njihovih legura, otpor naglo pada na nulu na temperaturama bliskim apsolutnoj nuli. Ova
pojava se zove superprovodljivost, a otkrivena je 1911.godine (H.Kamerlingh, 1853-1926). Ilustracije radi,
struja u superprovodnom prstenu, jednom uspostavljena, mo`e postojati godinama bez elektri~nog polja (bez
ivora ems). Ova pojava ve} ima tehni~ku primenu: sna`ni magneti sa superprovodnicima koriste se u
akceleratorima ~estica za ispitivanja u atomskoj fizici. Vr{e se intenzivna istra`ivanja radi dobijanja
superprovodnika na vi{im temperaturama, ~ija bi primena izazvala revoluciju u elektrotehnici.
Otpronici su elementi elektri~nog kola koji se odlikuju ta~no definisanim otporom, i kao takvi imaju odre|enu
funkciju u kolu.
3.1.2.2 Vezivanje otpornika Grupe otpornika se mogu zameniti ekvivalentnim u cilju pojednostavljenja
elektri~nog kola. Da bi ostatak kola bio neporeme}en, odnos napona i struje ekvivalentnog otpornika mora biti
isti kao i odnos u grupi koju on zamenjuje. Dva osnovna na~ina vezivanja otpornika su redno i paralelno. U
slo`enim elektri~nim kolima naj~e{}e imamo kombinacije ova dva tipa.
a) Redna veza otpornika nastaje kad se po~etak jednog ve`e za kraj
drugog i tako redom koliko ih ima (sl.3.4 ). Kroz sve otpornike te~e
ista struja (nema grananja).
Na osnovu omovog zakona, napon na svakom otporniku iznosi
U1=R1I, U2=R2I, Un=RnI, a ukupan napon
U = U1 + U2 + ... + Un .
Uslov ekvivalencije je da napon na ekvivalentnom otporniku i
struja budu isti kao i na grupi koju zamenjuje:
U = ReI .
U
U1 U2 Un
I R1
Rn R2
Sl. 3.4
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 13 ----------------------------
Na osnovu prethodnih izraza imamo da je
Re I = R1I + R2 I +.. + Rn I , odnosno, ekvivalentni otpornik redne veze otpornika je
Re = R1 + R2 +.. + Rn .
b) Paralelenu vezu otpornika imamo kada je jedan kraj svih otpornika vezan u isti ta~ku kola, a drugi kraj svih
otpornika u drugu ta~ku kola, tako da napon na svim otpornicima isti (sl. 3.5 ).
Napon na otpronicima iznosi
U = R1 I1 = R2 I2 =...= Rn In , a struja
I = I1+ I2+...+In .
Napon na ekvivalentnom otporniku mora biti
U = Re I .
Na osnovu prethodnih izraza imamo da je n21e R
U...
R
U
R
U
R
U , odnosno,
n21e R
1...
R
1
R
1
R
1 .
Vidimo da je recipro~na vrednost ekvivalentnog otpornika jednaka zbiru recipro~nih vrednosti paralelno
vezanih otpornika.
c) Transformacija zvezde u trougao i obrnuto
U slo`enim elektri~nim kolima nailazimo na slu~ajeve kada upro{}enje kola nije mogu}e izvesti svo|enjem na
redne i paralelne veze. Primer takvog kola dat je na sl.3.6. Upro{}enje kola se u takvim slu~ajevima mo`e
izvesti transformacijom zvezde u trougao ili obrnuto. Kao i u prethodnim slu~ajevima uslov ekvivalencije je da
ostatak kola ostane neporeme}en (nepromenjene struje i naponi).
Izme|u ta~aka 1 i 2 u slu~aju zvezde postoji otpor R1 + R2 , a u slu~aju trougla
312312
312312
RRR
)RR(R
.Ovi otpori
moraju biti isti, a isto tako i otpori izme|u ta~aka 2 i 3 , i izme|u ta~aka 3 i 1. Tako dobijamo sistem od tri
jedna~ine ~ijim se re{avanjem mogu dobiti veze izme|u otpora jedne i druge konfiguracije:
1-2: R1+R2 =
312312
312312
RRR
)RR(R
, 2-3: R2+R3 =
312312
311223
RRR
)RR(R
, 3-1: R3+R1 =
312312
122331
RRR
)RR(R
.
Re{avanjem ovog sistema jedna~ina dobijamo :
R1=
312312
3112
RRR
RR
; R2=
312312
2312
RRR
RR
; R3=
312312
3123
RRR
RR
, odnosno
R12=
3
133221
R
RRRRRR ; R23=
1
133221
R
RRRRRR ; R31=
2
133221
R
RRRRRR .
I
I1
U
R1
Rn
R2
In
I2
Sl.3.5
1
1
2
3
R12 R23
R31
R1
R2
R3
2
3
Sl.3.6
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 14 ----------------------------
3.2 D@ULOV ZAKON
Ubrzo posle pronalaska prvih izvora elektri~ne struje, prime}eno je da se provodnik, kroz koji proti~e
elektri~na struja, zagreva. Engleski fizi~ar D`ul (J.P.Joule, 1818-1889) je do{ao eksperimantalnim putem do
zakona koji opisuje pretvaranje elektri~ne energije u toplotu. Mere}i koli~inu toplote koja se osloba|a u
kalorimetru u kome se nalazi provodnik kroz koji se propu{ta struja, on je na{ao da je ta koli~ina
proporcionalna otporu, kvadratu struje i vremenu proticanja. Prema imenu
istra`iva~a, ova pojava se naziva D`ulov efekat, a zakon koji je opisuje -
D`ulov zakon.
Elektroni se kre}u u provodniku pod dejstvom elektri~nog polja. Pri tom
kretanju sudaraju se sa jonima kristalne re{etke i predaju im deo kineti~ke
energije. Ta energija izaziva vibraciju re{etke, {to se makroskopski manifestuje
kao zagrevanje provodnika.
Do izraza za D`ulov zakon mo`e se do}i primenom zakona o odr`anju energije, a polaze}i od definicije
potencijalne razlike. Posmatrajmo deo strujnog kola prikazan na sl.3.7 , a koji mo`e biti bilo kakav provodnik.
Ako kroz provodnik proti~e struja I, to zna~i da u vremenu dt, u posmatrani provodnik, kroz kraj a u|e
naelektrisanje dq. Na osnovu zakona kontinuiteta ta ista koli~ina naelektrisanja iza|e na kraj b.
Rad sila elektri~nog polja prilikom pomeranja naelektrisanja, a na osnovu definicje potencijalne razlike iznosi
dA = U dq = U I dt .
Ta koli~ina energije mora biti dovedena iz drugih delova kola i prema zakonu odr`anja energije pretvara se u
toplotu ~ija ukupna vrednost iznosi
W = t
0
dtIU .
Ako se radi o stalnim vrednostima struje i napona i konstantnom otporu, onda je oslobo|ena toplota u
kona~nom intervalu vremena t
W = U I t .
Izraz za snagu kojom se vr{i transformacija rada elektri~nog polja u toplotu je po definiciji brzina vr{enja rada:
P = dt
dA = U I .
Navedeni izraz se ~esto pi{e u obliku P = R I2 =
R
U2
.
Snaga D`ulovog efekta izra`ava se op{tom jedinicom za snagu u SI sistemu, a to je vat (W).
Jedinica za energiju i rad je vatsekunda ili d`ul (J). U elektroprivredi je uobi~ajena jedinica koja ne pripada SI
sistemu kilovat~as (kWh).
Veza izme|u njih je
1 kWh = 1000W 3600s = 3,6106J.
3.3 SLO@ENO KOLO JEDNOSMERNE STRUJE
U praksi naj~e{}e imamo posla sa kolima koja imaju vi{e
izvora ems, otpornika, kondenzatora i drugih komponenata
koje mogu biti vezane na razli~ite na~ine.
Primer takvog kola prikazan je sl. 3.8. Re{avanje kola
sastoji se u ra~unanju struja, napona, snaga na pojedinim
elementima kola, a na osnovu poznatih vrednosti elemenata
kola. Postoji vi{a metoda za re{avanje slo`enih kola, a mi
}emo se upoznati sa Kirhofovim pravilima (zakonima), kao
jednom od njih.
Radi primene Kirhofovih pravila treba na slo`enom kolu
definisati ~vorove i grane, iako je zna~enje ovih pojmova
intuitivno jasno.
^vor u elektri~nom kolu predstavlja mesto grananja provodnika (sl.3.9).
+
E1
C2
C1
+
E2
R5 R4 R3
R2
R1
Sl. 3.8
a b
U
I
a b
+
Sl.3.7
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 15 ----------------------------
Deo kola izme|u dva ~vora predstavlja granu. Na sl. 3.9 ta~ke a i b predstavljaju jedan ~vor (na istom su
elektri~nom potencijalu), a deo kola izme|u njih nije grana (nema nikavih elktri~nih komponenata izme|u
njih).
I Kirhofov zakon
Ovaj zakon se odnosi na ~vor u elektri~nom kolu i glasi:
Algebarska suma struja u jednom ~voru iznosi
nula ili u obliku formule
I = 0 .
Ovaj zakon se ~esto iskazuje i u obliku:
Suma struja koje ulaze u ~vor jednaka je sumi
struja koje izlaze iz ~vora.
Na osnovu zakona kontinuiteta, koji ka`e da
naelektrisanje ne mo`e da nestane niti nastane, niti
mo`e da do|e do njegovog nagomilavanja ili
razre|enja, za jednu zapreminu V (sl.3.10)
mo`emo da pi{emo
q1 + q2 + q3 + ... + qn = Q .
Ako diferenciramo levu i desnu stranu ove jedna~ine imamo:
dt
dq...
dt
dq
dt
dq
dt
dq n321 = 0 , jer je na desnoj strani konstanta, ili
i1 + i2 + i3 +...+ in = 0, {to predstavlja dokaz I Kirhofovog zakona.
II Kirhofov zakon
Posmatrajmo napon izme|u dve ta~ke na {emi nekog elektri~nog
kola UAB. Ako naelektrisanje dq pro|e kroz potencijalnu razliku UAB,
izvr{i}e se rad koji je po definiciji jednak dqUAB. Taj rad mora biti jednak razlici rada koji izvr{e izvori ems i
rada koji se u obliku toplote oslobodi na otpornicima:
UAB dq = E dq - U i dt , ili ako umesto i dt stavimo dq , a umesto U zamenimo RI, imamo
UAB = E - RI.
Ako pretpostavimo da se ta~ke A i B poklapaju, {to zna~i da smo uzeli sve izvore elektromotorne sile i sve
otpore po nekoj zatvorenoj konturi, imamo da je napon UAB = 0, pa dobijamo izraz kojim se uobi~ajeno
predstavlja II Kirhofov zakon:
(E - RI ) = 0 .
Proizvod struje i otpora zove se pad napona, pa se ovaj zakon re~ima mo`e iskazati: Suma elektromotornih sila
i padova napona po jednoj zatvorenoj konturi jednaka je nuli.
Re{avanje slo`enih kola primenom Kirhofovih zakona
Prilikom re{avanja slo`enog kola najpre uo~imo broj ~vorova i broj grana. Pri tome treba da znamo da ove dve
veli~ine nisu zavisne (naprimer, izme|u dva ~vora mo`emo imati proizvoljan broj grana). Ako u kolu imamo m
~vorova i n grana, za nala`enje svih struja, a njih ima koliko i grana, treba postaviti sistem od n linearo
nezavisnih jedna~ina. Njih pi{emo koriste}i I i II Kirhofov zakon:
Pema I Kirhofovom zakonu mo`emo napisati m-1 jedna~inu, a ostatak do n ({to iznosi n-m+1) pi{emo biraju}i
konture prema II Kirhofovom zakonu. Pri izboru kontura vodimo ra~una da u svakoj bude uklju~ena grana koja
nije bila u prethodnoj ( u tom slu~aju su jedna~ine linearno nezavisne ). Kontura obi~no ima vi{e nego {to je
potrebno jedna~ina. Kad smo formirali sistem sa n jedna~ina sa n nepoznatih, re{avamo ga na na~in koji nam je
matemati~ki najpogodniji.
I1 I2
I3
I1 I2
I3
a) ^vor u elektri~nom kolu b) ^vor u elektri~noj {emi
Sl.3.9
q1 q2
q3
Sl..3.10
Q
Sl.3.10
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 16 ----------------------------
3.4 TEVENENOVA TEOREMA
Ako je dato slo`eno elektri~no kolo, a tra`i se re{enje samo jednog njegovog dela, zbog toga nije potrebno
re{avati celo kolo. U tom slu~aju primenjujemo Tevenenovu teoremu.
Neka je dato kolo prikazano na slici 3.11 a), pri ~emu je celo kolo prikazano pravougaonikom A, a deo koji nas
interesuje je grana izme|u ta~aka a i b.
Tevenenova teorema ka`e da se ostatak kola mo`e zameniti jednim izvorom elektromotorne sile ET i jednim
otporom RT. Elektromotorna sila ET jednaka naponu Uab, koji se dobija kada je deo kola odvojen, a RT jednak
otporu izme|u ta~aka a i b. Napon izme|u ta~aka a i b, kada je deo kola odvojen, zove se napon praznog hoda,
a otpor izme|u ta~aka a i b ra~una se kada se naponski generatori kratko spoje, a stujni izvori odspoje.
Primer primene Tevenenove teoreme:
Za kolo prikazano na slici 3.12 izra~unati struju kroz otpor R5.
Re{enje: Kolo prikazano za slici zove se Vitstonov most i ~esto se primenjuje u mernim {emama. Struja kroz
otpor R5 mo`e se izra~unati ako na|emo sve struje u kolu nekom od metoda za re{avanje slo`enih kola. Ali
mnogo jednostavnije je ako primenimo Tevenenovu teoremu i direktno
na|emo struju I5.
Na osnovu Tevenenove teoreme kolo mo`emo predstaviti izvorom ems
ET, otporom RT i otporom koji nas interesuje R5 (kao na lsici 3.13).
Sada se struja lako nalazi primenom Omovog zakona
I5 = 5T
T
RR
E
. Naravno, jo{ je potrebno na}i ET
i RT.
Tevenenov napon ET nalazimo kao napon praznog hoda kada odvojimo otpor R5 ( Sl.3.14.).
ET= Uab = I1R1 - I2R2 = E
42
2
31
1
RR
R
RR
R
Tevenenov otpor nalazimo iz {eme na sl.3.15.
RT = Rab = 42
42
31
31
RR
RR
RR
RR
a
b
A
a)
a
b
+
ET
RT
b)
Sl. Sl.3.11
R1 R2
R3 R4
R5 E
Sl.3.12 ET
RT
R5
I5
Sl.3.13
.
b
R1 R2
R3 R4
E a
I2 I1
Sl.3.14
b
R1 R2
R3 R4
a
Sl.3.15
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 17 ----------------------------
Z A D A C I
1. Dato je kolo jednosmerne struje prikazano na slici. Zadano je E1=20V,
E2=10V, R1=100, R2=200, R3 =300, C=8F. Izra~unati:
a) struje u svim granama kola;
b) snage izvora EMS E1 i E2.
c) Napon na kondenzatoru Uc
Re{enje a)
1) I3 = I1 + I2
2) E2 - R2I2 -R3I3 = 0 .
3) E1 + R1I1 +R3I3 = 0
Re{enja: I1 = -118mA, I2 = 90mA,I3 = -28mA.
b) W1 = E1I1= 236mW , W2 = E2I2=0,9W.
c) Uc = R3I3 = 8,4V
2. Dato je kolo jednosmerne struje prikazano na slici. Poznato
je da ekvivalentna otpornost u kolu iznosi Re =1,5, i R1 = 2 .
Izra~unati:
a) Otpor R;
b) Struje u svim granama kola;
c) Snagu izvora EMS.
Re{enje a)Ekvivalentni otpor se sastoji iz paralelne veze:
1e R
1
R2
1
R
1
R2
1
R
1 R=12.
b) I1=5A, I2=I4 = 0,42A, I3=0,84, I=6,67A
c) P = UI=66,7W.
3.Koliki je ekvivalentni otpor izme|u ta~aka a i b.
Re{enje: Imamo paralelno vezana tri otpornika po 3k, pa je
ekvivalentnim otpor:
Re =
3
1
3
1
3
1
1
= 1k.
16
R2
R1 R3 C
E2
E1
E2
+
+
R2
R1 R3 C
E2
E1
E2
+
+
I3
I2
I1
10V
R1 R
R R
R
R
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 18 ----------------------------
4. Odrediti otpor izme|u ta~aka a i b otporne mre`e prikazane na slici.
Svi otpori su jednaki i imaju vrednost R.
Re{enje: U navedenom primeru trouglove 1-2-3 i 2-4-5 transformisa}emo u zvezdu i dobiti sliku u kojoj se
jasno vidi serijska i paralelna veza otpornika, pa je re{enje jednostavno:
R1=3
R
R3
R 2
, Rab = RR4
)RR2(R21
1
11R2
.
5. U radnji je kupljena sijalica snage 100W za napon 220V. Odrediti:
a) struju kroz sijalicu
b)kolika }e biti snaga sijalice ako se sijalica priklju~i na napon 110V?
c) kolika je struja u tom slu~aju (110V)?
(Sijalicu tretirati kao linearni optornik).
Re{enje:
a) P1 = U1 I1 I1 = P1/U1 = 0,45A
b) P1 = U1I1= R
U21 , P2 = U2I2=
R
U22
22
21
2
1
U
U
P
P = 4 P2 = P1/4 = 25W.
c) I1 = P2/U2 = 0,23A.
a b
R
a b
R
R
R
R R
R
R 1 2
3 4
5 a
b 1 2
3 4
5
R
R1
R1 R1 R1
R1
R1
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 19 ----------------------------
4. ELEKTROMAGNETIZAM
Magnetne pojave su uo~ene davno, kao i elektri~ne, jo{ u staroj Gr~koj. Ljudi si primetili da ruda gvo`|a, koja
je danas poznata pod imenom magnetit, privla~i druge sitnije komade gvo`|a. Ime je dobila prema
maloazijskom gradu Magneziji, gde su bila njena nalazi{ta, a cela ta pojava nazvana je magnetizam.
U staroj Kini su znali jo{ 300 godina pre nove ere da namagnetisana igla zauzima stalan polo`aj u prostoru koji
se dobro poklapa sa geografskim pravcem sever-jug. Ova pojava je iskori{}ena da se napravi sprava za
odre|ivanje strana sveta koja se zove kompas. Kompas je preko Arapa do{ao u Evropu i u srednjem veku
omogu}io napredak u pomorskoj navigaciji i velika geografska otkri}a.
Dugo vremena su u nauci elektri~ne i magnetske pojave izu~avane odvojeno. Dvadesetih godina devetnaestog
veka, danski fizi~ar Ersted je uo~io da magnetska igla skre}e u blizini provodnika sa strujom. Amper je uo~io
da postoji privla~na sila izme|u dva provodnika sa strujom, koja se ne razlikuje od magnetne, pa je
pretpostavio da nema elektriciteta bez magnetizma i obrnuto. Faradej je uo~io da promena magnetnog polja u
blizini provodnika izaziva eletromotornu silu u provodniku.
Savremena fizika smatra da je pojava elektri~nog i magnetnog polja manifestacija elektromagnetne sile, koja
jedna od fundamentalnih sila u prirodi.
Dok se elektri~no polje javlja se u blizini elektriciteta koji miruje, magnetno polje je fizi~ko stanje koje se
javlja u blizini provodnika sa strujom. Polje stalnih magneta tako|e nastaje kao posledica kretanja
naelektrisanja koje se de{ava na mikro nivou. Svaki atom se pona{a kao elementarni magnet, zbog kru`enja
elektrona oko atomskog jezgra.
4.1 OSNOVNI ZAKONI
4.1.1 Elektromagnetna sila i vektor magnetne indukcije
Uticaj magneta na provodnik sa strujom, kao i uzajamno dejstvo dva provodnika sa strujom, otkriveni su
dvadesetih godima pro{log veka ogledima Ampera i Ersteda.
Za karakterizaciju magnetnog polja poslu`i}e nam njegovo dejstvo na provodnik sa strujom. To dejstvo ogleda
su u pojavi mehani~ke sile koja se odre|uje po formuli
d )Bxld(IF
,
gde je ld
elementarni vektor provodnika ~iji je smer odre|en smerom struje
(sl.4.1), a veli~ina B
, zove se magnetska indukcija.
Izraz Bxld
zove se vektorski proizvod . Njegov rezultat je vektor ~iji je modul
dlB sin( B,ld
), normalan na ravan koju obrazuju vektori ld
i B
, a smer je
obre|en pravilom desne ruke: ako prsti pokazuju najkra}e poklapanje ld
i B
,
palac pokazuje smer vektorskog proizvoda. Iz ove definicije sledi, da ako su
ld
i B
kolinearni, sila je nula, a maksimalna je ako su
ld
i B
uzajamno normalni (sl.4.2).
Magnetska indukcija B
karakteri{e magnetsko polje, a u SI
sistemu jedinica izra`ava se u jedinicama koje se u ~ast Nikole
Tesle zovu tesla (T).
Dejstvo magnetskog polja na provodnik sa strujom ne zavisi od
uzroka polja: isto je ako poti~e od stalnih magneta (kao
posledica mikro struja u feromagnenim materijalima) ili kao
rezultat struje u elektri~nom provodniku.
B
ld
Fd
Sl.4.1
I
B
l
Sl.4.2
F = I l B
I
F
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 20 ----------------------------
5.5.2 Fluks magnetnog polja i zakon o konzerzaciji
Kod svake vektorske veli~ine mo`emo definisati protok vektora kroz povr{inu. Uobi~ajeni termin za ovaj
protok je fluks. Kod magnetske indukcije imamo d = SdB
, odnosno, na osnovu definicije skalarnog
proizvoda:
= S S
dSBSdB
cos ( Sd,B
).
Jedinica za magnetski fluks ima dimenziju T m2 i zove se veber
(Wb).
Za magnetski fluks va`i zakon o konzervaciji koji ka`e da je ukupni
fluks kroz neku zatvorenu povr{inu jednak nuli ili formulom:
= S
SdB
= 0.
Na sl.4.3 je prikazana ilustracija ovog zakona. Treba imati u vidu da
je povr{ina S zatvorena u prostoru, a na slici se vidi njen presek sa
ravni crtanja. Smisao tvrdnje je u tome da sav fluks koji u|e u neku
zatvorenu povr{inu, tako|e i iza|e iz nje. Ovo proisti~e iz osobine
magnetskog polja da je to bezizvorno polje, a linije polja se zatvaraju same u sebe. Takva polja se u fizici zovu
solenoidna polja.
4.1.3 Magnetsko polje
Uzrok nastanka magnetskog polja je elektri~na struja. Efekti polja (elektromagnetna sila, elektromagnetna
indukcija) su zavisni od magnetske indukcije. Ti efekti su razli~iti u razli~itim sredinama, iako je njihov uzrok
isti. Naprimer, sila privla~enja izme|u dva provodnika bi}e razli~ita ako se provodnici nalaze u vazduhu, u
vodi , ulju i dr., iako je rastojanje izme|u njih isto i struja ista. Da bi se izrazio uticaj sredine u kojoj deluje
magnetsko polje defini{e se veli~ina koja se zove ja~ina magnetskog polja ili, samo, magnetsko polje:
B
H
, gde se koeficijenat zove koeficijent magnetske propustljivosti ili koeficijent magnetske
permeabilnosti.
Koeficijenat magnetske propustljivosti mo`e da se izrazi kao
= r 0, gde je
0 konstanta koja defini{e magnetsku propustljivost vakuuma i iznosi u jedinicama SI sitema 0 =
410-7
Tm/A, a
r relativni koeficijent magnetske propustljivosti i za razli~ite materijale daje se u tablicama.
Vizuelizacija polja vr{i se , sli~no kao i kod elektri~nog polja, linijama na koje je vektor H
tangenta i zovu se
linije polja. Sitni opiljci gvo`|a, ako se na|u u magnetskom polju, raspore|uju se du` linija polja. Primeri linija
polja za prav provodnika velike du`ine sa strujom, dva paralelna provodnika sa strujama suprotnih smerova i za
solenoid dati su na sl.4.4
Jedinica za ja~inu magnetskog polja je amper po metru (A/m).
H
I
X
Sl.4.4
S B
Sl.4.3
H
ld
l
I1 I2 In
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 21 ----------------------------
5.1.4 Amperov zakon o cirkulaciji
Amperov zakon o cirkulaciji (ponekad se u literaturi zove i zakon ukupne struje) daje vezu izme|u magnetskog
polja i struje koja ga izaziva:
Linijski integral ja~ine magnetskog polja du` proizvoljne zatvorene konture jednak je sumi struja obuhva}enih
tom konturom ili o obliku formule:
IldH
l
Linijski integral vektor po zatvorenoj konturi se u matematici zove cirkulacija vektora. Ovaj zakon va`i i za
cirkulaciju vektora magnetske indukcije. Mno`enjem gornje jedna~ine sa dobijamo:
IldB
l
{to je tako|e ~eata formula za izra`avanje Amperovog zakona.
4.1.4.1 Primena
Primenom ovog zakona mogu se na}i izrazi za magnetsko polje (magnetsku indukciju) tipi~nih konfiguracija
provodnika sa strujom
1. Neograni~eno duga~ak, prav, zanemarljive debljine, provodnik sa strujom (sl.4.6).
Budu}i da su linije polja kru`nice, moduo vektora polja je konstantan, pa se za
integraljenje uzima kru`nica polupre~nika r.
Po{to su u tom slu~aju vektori ld
i H
kolinearni, njihov skalarni proizvod je H dl,
a integral po kru`nici je
c
dlH H 2r, a primena Amperovog zakona daje
H 2r = I H = r2
I.
Iz ovog izraza se vidi dimenzija jedinice za magnetsko polje (A/m).
2. Torus.
Neka je na torusu ravnomerno i gusto namotano N navojaka kroz koje te~e struja I. Ako se za konturu izabere
srednja linija torusa i primeni Amperov zakon, imamo da je
H 2r = N I , gde je r polupre~nik srednje linije ili
H = l
IN, gde je l du`ina konture c.
Ako se Amperov zakon primeni na konturu polupre~nika
manjeg od r1 ili ve}eg od r2, dobija se da je
c
dlH 0, (nema struja unutar konture), {to zna~i da je
magnetsko polje lokalizovano unutar torusa. Sve ove relacije
va`e i za magnetsku indukciju, a izrazi se dobijaju ako se obe
strane jedna~ina pomno`e sa :
B = l
IN.
3. Solenoid.
Solenoid je cev du` koje su ravnomerno i gusto postavljeni navoji provodnika. Ako su polupre~nici torusa r1 i
r2 jako veliki, krivina je mala, pa bilo koji njegov deo mo`emo smatrati solenoidom. Izrazi za polje i
magnetsku indukciju ostaju isti. Ako je solenoid ravnomerno gusto namotan, uobi~ajeno je da se uvede faktor
N' koji defini{e broj navoja po jedinici du`ine srednje linije
I
r
H
ld
Sl.4.6
I
Sl.4.7
N
E
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 22 ----------------------------
N' =
cl
N , pa je izraz za magnetsko polje H = N
' I.
Ovaj izraz je pribli`an i primenjuje za sli~ajeve solenoida ~ija je du`ina deset puta ve}a od pre~nika (r2-r1), u
suprotnom, polje nije homogeno i opada prema krajevima solenoida.
5.1.5 Amper - Laplasov (Bio-Savarov) zakon
Ovaj zakon se u literaturi sre}e pod dvostrukim imenom: U zapadnoj literaturi kao Amper-Laplasov, a u ruskoj
kao Bio-Savarov zakon. On slu`i za kompletno odre|ivanje vektora magnetske indukcije u blizini provodnika
proizvoljne konfiguracije sa strujom I, {to podrazumeva odre|ivanje modula, pravca i smera vektora B
.
Elementarna veli~ina vektora, d B
, u ta~ki A, odre|uje se prema formuli
3R
Rxld
4
IBd
, gde se uptrebljene oznake vide na sl.4.6. Njegov modul
ima vrednost
2R
sinld
4
IBd
Ukupni vektor magnetke indukcije u ta~ki A, dobija se sabiranjem elementarnih
vektora d B
, po celoj du`ini provodnika, ili, kako se to u matematici ka`e,
integraljenjem po l.
5.2 ELEKTROMAGNETNA INDUKCIJA
Ovu pojavu je otkrio 1931.g engleski fizi~ar Majkl Faradej, ispituju}i vezu izme|u magnetizma i elektriciteta,
koji su tada smatrani za odvojene fizi~ke pojave.
Faradej je eksperimentisao tako {to je u blizini provodnika razli~ite konfiguracije stavljao stalni magnet ili
elektromagnet. Pri tome je primetio da kratkotrajna struja nastaje samo pri pribli`avanju ili udaljavanju stalnog
magneta (sl.4.9 a ) ili pri uklju~enju ili isklju~enju prekida~a na sl. 4.9 b.
Na osnovu ovog, i drugih ogleda, Faradej je zaklju~io da u provodniku nastaje struja (indukuje se EMS), ako se
menja fluks u konturi, nezavisno od toga {ta tu promenu izaziva.
Ova pojava se matemati~ki izra`ava formulom
e = td
d , ili re~ima,
da je indukovana elektromotorna sila jednaka negativnoj brzini promene fluksa. Ovaj zakon je poznat kao
Faradejev zakon elektromagnetne indukcije.
G
Sl. 4.9
N S
G
a) b)
A
I
ld
Bd
R
Sl.4.8
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 23 ----------------------------
Smisao znaka minus u navedenoj formuli obja{njen je na sl.4.10. Ovo je jedan od primera primene Lencovog
pravila: indukovana ems ima takav smer da struja koju stvara u kolu svojim poljem te`i da spre~i pojavu koja je
izaziva.
Po{to pri ovoj pojavi nema fizi~kog kretanja, ve} se promena fluksa de{ava u vremenu, ponekad se ova pojava
naziva stati~ka elektromagnetna indukcija. Na bazi ove pojave zasniva se rad elektri~nih transformatora.
Ako imamo stati~ko magnetno polje, a provodnik se kre}e brzinom v i pri tome preseca linije magnetnog polja,
tako|e dolazi do pojave indukovanja ems. Zbog pojave fizi~kog kretanja ta se pojava zove dinami~ka
elektromagnetna indukcija. Elementarna ems koja se indukuje na provodniku du`ine dl, u ovom slu~aju iznosi
d e = )vxld(B
.
Ako su vektori vild,B
uzajamno normalni (sl.4.11) formula postaje
e = B l v .
Ovaj izraz se mo`e izvesti ra~unanjem promene fluksa kroz povr{inu koju
prebrisava prvodnik l kre}u}i se brzinom v :
d = 1- 2= B l x - Bl(x+dx) = -B l dx = - B l v dt .
odavde na osnovu Faradejevog zakona sledi:
e = dt
d = B l v.
Do iste formule se mo`e do}i kori{}enjem izraza za Lorencovu silu. Na elektrone koji se kre}u u magnetnom
polju B
, brzinom v
, deluje sila (ako su B
i v
normalni) intenziteta
FL = q v B , gde je q naelektrisanje elektrona.
Ova sila }e dovesti do razdvajanja nelektrisanja sve dok se ne izjedna~i sa silom elektri~nog polja:
FE = q E .
Izjedna~avanjem ove dve sile dobijamo da je ja~ina polja u provodniku
E = v B.
Elektormotorna sila predstavlja linijski integral polja:
e = l
0
dlBv = B l v.
Na principu pojave elektromotorne sile u provodniku koji se kre}e u magnetnom polju rade svi obrtni
generatori koji mehani~ku energiju pretvaraju u elektri~nu.
5.2.1 Pojava samoindukcije. Samoinduktivnost
Svaki provodnik sa strujom stvara u svojoj okolini magnetsku indukciju, koja opet u
nekoj konturi daje odgovaraju}i fluks (sl.4.12 ). Ogledima je dokazano da je fluks uvek
proporcionalan struji u provodniku. Po{to je taj fluks uzrokovan strujom u samom
provodniku, naziva se sopstveni fluks.
Formulom se veza fluksa i struje mo`e izraziti
= L i,
gde se koeficienat proporcionalnosti L naziva koeficijenat samoindukcije ili
induktivnost. On zavisi od geometrije kola i magnetske permeabilnosti sredine u kojoj
dt
dB>0 B
Stvarni smer
indukovane ems
Sl.4.10
Smer ems koja bi izazvala
pozitivnu promenu fluksa
B
l
v
Sl.4.11
x dx
Sl. 4.12.
i
L
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 24 ----------------------------
se kolo nalazi. Izra`ava se u jedincama koje se u ~ast ameri~kog fizi~ara Henrija zovu henri (H). Ukoliko se
menja struja u konturi, na osnovu Faradejenog zakona, pojavi}e se elektromotorna sila samoindukcije:
e = dt
diL
dt
d
.
Njen smer odre|en je Lencovim pravilom, tj. struja koja nastaje pod uticajem ems samoindukcije, svojim
poljem te`i da spre~i pojavu koja je izaziva.
Induktivnost, kao fizi~ka veli~ina u elektri~nim kolima, ima uticaja na formiranje energije magnetskog polja i
na pojavu samoindukcije. Predstavlja se grafi~kom simbolom na sl.4.12.
Elektromotorna sila samoindukcije uzrok je pojave varnice pri prekidanju elektri~nog kola. Naime, po{to u
kolu uvek postoji neka induktivnost, a prilikom prekida kola dt
diima
veliku vrednost (struja se prekida u kratkom vremenskom intervalu),
i ems samoindukcije ima veliku vrednost i izaziva elektri~nu
varnicu.
5.2.2 Me|usobna indukcija
Ukoliko se dve konture nalaze na me|usobnom rastojanju koje
omogu}uje da deo fluksa jedne konture prolazi kroz drugu i obrnuto,
govorimo o pojavi me|usobne indukcije (sl.4.13).
Ukupan fluks kroz konturu 1 poti~e od struje i1 i dela fluksa koji
proizvodi struja i2 :
1 = 11 + 12
Na isti na~in dobijamo fluks kroz konturu 2 :
2 = 22 + 21 .
Fluksevi 11 i 22, su sopstveni fluksevi usled struja i1 i i2. Fluks 12 je fluks kroz konturu 1 usled struje i2 , a
21 je fluks kroz knturu 2 isled struje i1.
Koriste}i vezu izme|u struje i fluksa, ove veli~ine se mogu pisati:
11 = L1i1 , 12 = L12i2 , 22 = L2i2 , 21 = L21i1 ,
gde se koeficijenti L12 i L21 zovu koeficijenti me|usobne induktivnosti.
Oni imaju istu dimenziju kao i sopstvena induktivnost, i mo`e se dokazati da su me|usobno jednaki.
Indukovana elektromotorna sila u kolima koja poseduju me|uinduktivnu vezu je
e1 = dt
diL
dt
diL 2
121
1 i
e2 = dt
diL
dt
diL 1
212
2 .
Zahvaljuju}i pojavi me|uindukcije mogu} je prenos energije iz jednog elektri~nog kola u drugo posredstvom
zajedni~kog magnetskog polja.
5.3 ENERGIJA MAGNETNOG POLJA
Neka je dato elektri~no kolo koje sadr`i omski otpor i induktivitet ( sl.4.14 ) Na osnovu drugog Kirhofovog
pravila pi{emo:
E - uR - uL = 0.
Zamenjuju}i izraze za napon na otporu i induktivitetu jedna~inu }emo napisati:
11
i1
i2
22
12
21
Sl.4.13
L
R
E
Sl.4.14
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 25 ----------------------------
E = R i + Ldt
di.
Mno`enjem leve i desne strane sa i dt imamo:
E i dt = R i2 dt + L i di , ili
dW = dWR + dWm
Na levoj strani jedna~ine imamo rad ivora ems, a na desnoj, toplotu oslobo|enu na otporu R, plus energiju
sadr`anu u induktivitetu.
Integraljenjem nalazimo ukupnu energiju sadr`anu u induktivitetu:
Wm =
I
0
2
m2
ILdiiLWd .
5.4 MAGNETNO POLJE U MATERIJALNOJ SREDINI
U prisustvu materije magnetno polje se menja, to jest, menja se magnetska indukcija, koja karakteri{e polje.
Za ve}inu materijala, va`i ista relacija kao i za vazduh i vakuum:
HB
, gde je = r 0
Relativna permeabilnost r je neimenovani broj koji pokazuje koliko je puta
magnetska propustljivost date materije ve}a, ili manja, od magnetske
propustljivosti vazduha i vakuuma.
Na neke materijale, spolja{nje magnetsko polje neznatno uti~e, i njihova
magnetska svojstva se ne uzimaju u obzir pri prakti~nim prora~unima. Takvi
materijali se zovu paramagnetski (kod kojih je r 1), i dijamagnetski (kod
kojih je r 1).
Kod paramagnetskih materijala r je neznatno ve}e od jedinice ( npr. za
platinu r = 1,00036).
Kod dijamagnetskih materijala (bronza, bakar, voda, bizmut i dr.), vrednost r je neznatno manja od jedinice (
npr. za bizmut r = 0,99983).
U tre}u grupu materijala spadaju gvo`|e, kobalt, nikal i njihove legure. Prema najtipi~nijem predstavniku zovu
se feromagnetni matrijali, i kod njih je r mnogo puta ve}e od jedinice (104 do 10
6 puta).
Kod feromagnetnih materijala atomi se pona{aju kao elementarni magneti (kru`enje elektrona predstavlja
elementarnu struju). Vektori polja ovih magneta su haoti~no usmereni. Ako se takav materijal na|e u
magnetskom polju, elementarni magneti se orjenti{u tako da svojim poljem poja~avaju spolja{nje polje i
ukupna indukcija mo`e stotinama hiljada puta biti ve}a od one koja je bila pre uno{enja feromagnetika.
Zavisnost magnetske indukcije od magnetskog polja kod feromagnetnih materijala je nelinerana, odnosno,
koeficijenat nije konstanta. Kvalitativno se ta zavisnost mo`e prikazati kao na sl.4.15. Do neke granice,
zavisnost B(H) je slo`ena kriva, za koju se, za potrebe analize, mo`e
pretpostaviti da je po delovima linearna. Posle neke granice,
indukcija se neznatno menja, bez obzira na pove}anje polja. Za tu
vrednost se ka`e da je indukcija zasi}enja.
Ako pobudno polje ima periodi~an karakter promene, magnetska
indukcija se menja po simetri~noj krivoj koja se zove petlja
histerezisa (sl.4.16 )
Kada se feromagnetni materijal prvi put na|e u magnetnom polju,
~iji intenzitet raste, magnetska indukcija se menja po krivoj 0-1,
koja se zove po~etna kriva magne}enja. Ako posle toga magnetsko
polje opada, magnetska indukcija se menja po krivoj 1-2. Iako je
polje jednog momenta jednako nuli, magnetska indukcija ima
vrednost koja se zove zaostala ili remanentna indukcija (Br). Da bi
magnetska indukcija imala vrednost nula potrebno je dovesti polje
suprotnog smera intenziteta Hc koje se zove koercitivno polje.
Oblik krive histerezisa zavisi od vrste feromagnetnog materijala. Materijali sa strmom krivom po~etnog
magne}enja, i relativno malom povr{inom histerezisne krive zovu se meki magnetni materijali. Takvi materijali
se primenjuju u ure|ajima koji rade u uslovima promenljivog magnetskog toka (transformatori, elektromotori,
H
B
Sl.4.15
B
H
Br
Hc
Sl.4.16
0
1
2
Hm
-Hm
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 26 ----------------------------
generatori, elektromagneti za naizmeni~nu struju). U ovu grupu materijala spadaju elektrotehni~ki ~elici,
legure na bazi gvo`|a i nikla (permaloj) i dr.
Tvrdi magnetski materijali slu`e za izradu stalnih magneta. Njihova kriva po~etnog magnetisanja ima postepen
porast, a povr{ina histerezisne petlje je velika. Tu spadaju ugljeni~ni ~elici, volframove legure, legure na bazi
kobalta i dr.
5.5 MAGNETNA KOLA
Pod magnetskim kolom podrazumeva se skup feromagnetskih i drugih materijala i sredina u kojima se zatvara
magnetski fluks. Prisustvo feromagnetnog materijala u magnetskom kolu omogu}uje lokalizaciju magnetskog
fluksa u tom prostoru, zahvaljuju}i svojstvu feromagnetskih materijala da imaju magnetsku propustvljivost
reda 102 - 10
5 puta ve}u od ostalih materijala. Za prakti~ne primene, uzrok magnetnog fluksa je namotaj sa
strujom u zavojcima ili stalni magnet. Ovako zatvorene linije magnetskog fluksa, odnosno, magnetsko kolo,
mo`e se formalno uporediti sa elektri~nim kolom, a magnetski fluks sa elektri~nom strujom.
5.5.1 Kap-Hopkinsonov zakon za magnetsko kolo
Neka je dato magnetsko kolo popre~nog preseka dS (s.4.17), i neka su
podu`ne dimenzije kola reprezentovane srednjom linijom l. Neka magnetski
fluks u kolu d poti~e od namotaja sa N zavoja i struje I. Primenjuju}i
Amperov zakon o cirkulaciji na konturu l imamo:
l
INldH
.
Ako napi{emo da je HB
i uzmemo da je vektor H
tangenta na
srednju liniju l , {to va`i za izotropne sredine imamo:
l
INldB , ili, po{to je d = B dS
l
INSd
ldd .
Elementarni fluks dobija se re{avanjem po d:
ldS
ld
INd , odnosno za kolo kona~nog preseka S
lS
ld
IN
.
Ako se kolo sastoji od vi{e namotaja sa razli~itim strujama, i kona~nog broja segmenata razli~itog
permeabiliteta, preseka i du`ine izraz se mo`e napisati kao
i ii
i
S
l
IN.
Ovaj zapis je formalno analogan Omovom zakonu za elektri~no kolo
I =
R
E, pa se zbog toga zove "Omov zakon za magnetsko kolo", ili Kap-Hopkinsonov zakon.
Fluks u magnetskom kolu odgovara struju I u elektri~nom kolu, a proizvod NI u magnetskom kolu ima ulogu
koju u elektri~nom ima elektromotorna sila, pa se zbog toga zove magnetomotorna sila .
Elektri~no i magnetsko kolo se razlikuju u pogledu fizi~kih pojava, ali postoji formalna sli~nost u obrascima
koja se mo`e korisno upotrebiti prilikom prora~una.
N
I
l
dS
Sl.4.17
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 27 ----------------------------
5.5.2 Energija magnetskog kola
Posmatrajmo primer jednostavnog magnetskog kola koje se sastoji od torusa sa feromagnetnim jezgrom, na
koji je namotano N zavoja, kroz koje proti~e struja I (sl. 4.17 ).
Jedna~ina naposke ravnote`e za ovo kolo glasi
E = R i + dt
dL
, gde je = N i = L i .
Mno`enjem leve i desne strane jedna~ine sa i dt dobijamo jedna~inu koja izra`ava zakon o odr`anju energije
E i dt = R i2 dt + N L i di, odakle sledi da je elementarna energija sadr`ana u magnetskom kolu
dWM = N L i di.
Integraljenjem po struji i dobijamo ukupnu energiju magnteskog kola:
WM = I
0
diiLN = 2
1N L I
2 =
2
1N I .
Po{to je u magnetskom kolu fluks lokalizovan u odre|enoj zapremini, gornju jedna~inu mo`emo napisati u
pogodnijem obliku. Uzev{i u obzir Amperov zakon (zakon ukupne struje) N I = H l i da je fluks = B S
imamo
WM = 2
1N I =
2
1H l B S =
2
1B H V.
Uz uslov da je magnetsko polje pribli`no konstantno u zapremini torusa ( to je ispunjeno ako su mali i veliki
pre~nik turusa pribli`ni i namotaj je ravnomerno namotan), mo`emo izra~unati zapreminsku gustinu enegije
magnetskog kola
WM = V
WM = 2
1B H.
5.6 ELEKTROMAGNETI
Mehani~ke sile koje se javljaju u magnetskom polju mogu izazvati pomerenje tela, pa se ova pojava koristi kao
osnova rada mnogih elektri~nih ure|aja.
Pod elektromagnetom se podrazumeva elektrotehni~ki ure|aj koji se sastoji od namotaja sa
feromagnetnim jezgrom koji stvara magnetno polje, i pokretnog dela (kotve), koja mo`e delovati mehani~kom
silom. Deo feromagnetnog jezgra sa namotajem zove se jaram. Razlog postojanja mehani~ke sile
elektromagneta je uzajamno dejstvo mikrostruja koje postoje u jarmu i kotvi.
Klasi~an oblik elektromagneta prikazan je na sl.18.
5.6.1 Sila privla~enja elektromagneta
Neka je dat elektromagnet konfiguracije prikazane na sl.4.18 i neka su veli~ine dva vazdu{na zazora x, i
popre~nog preseka S.
Na osnovu formule ( ) energija sadr`ana u vazdu{nom zazoru je
Wvz = 2 2
BHV = B H S x .
Ako je presek magnetskog kola svuda isti, magnetska indukcija je tako|e ista, pa
je magnetsko polje stotinama ili hiljadama puta ve}e u vazdu{nom zazoru nego u
jarmu i kotvi. To zna~i da se skoro sva energija magntskog kola nalazi upravo u
vazdu{nom zazoru (osim ako je vazu{ni zazor sasvim mali):
WM = Wjk + Wvz Wvz .
Pretpostavimo da pod dejstvom sile privla~enja F kotva izvr{i pomeraj dx. Pri
tome se izvr{i virtuelni rad F dx, koji mora biti jednak promeni energije
magnetskog kola:
U
x
I
k
F
Sl. 4.18
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 28 ----------------------------
F dx = B H S dx .
Odavde je sila privla~enja elektromagneta
F = B H S , {to se ~esto pi{e u obliku
F = S
SB
0
2
0
2
.
U praksi se koriste i druge vrste elektromagneta, kako u
pogledu konstrukcije, tako i u pogledu napajanja namotaja
strujom.
^est je slu~aj takozvani lon~asti elektromagnet, gde je
namotaj sme{ten u cilindri~nom jarmu, a kotva je u obliku
valjka (sl.4.19 ) . Ovakav elektromagnet se koristi u
hidrauli~nim i pneumatskim ure|ajima.
U pogledu napajanja namotaja imamo elektromagnete za jednosmernu i elektromagnete za naizmeni~nu struju.
Struja kroz namotaj elektromagneta za jednosmernu struju je konstantna i zavisi samo od omskog otpora
namotaja. Sila privla~enja se pove}ava sa pomeranjem kotve (smanjuje se vazdu{ni zazor pa time i magnetski
otpor {to opet pove}ava fluks na osnovu Kap-Hopkinsonovog zakona za magnetsko kolo).
Kod elektromagneta za naizmeni~nu struju imamo prostoperiodi~nu promenu struje kroz namotaj, pa i
promenu fluksa po istom zakonu. Veli~ina struje zavisi od omskog otpora, ali i od induktivnosti kalema. Sila
privla~enja (zavisi od kvadrata fluksa), nije konstantna ve} se menja od nule do maksimalne vrednosti. Ovo
pulsiranje sile obi~no ne uti~e na funkciju elektromagneta, s obzirom na inerciju mehani~kih sistema i
frekvencuju pulsiranja (100Hz tj. dvostruka frekvencije struje), ali se manifestuje zujanjem elektromagneta.
5.6.2 Primena elektromagneta
Elektromagneti se ~esto koriste u instrumentima za merenje elektri~nih veli~ina, za uklju~enje i isklju~enje
strujnih kola sa daljine (relei i kontaktori), za dr`anje i podizanje gvozdenih predmeta, u elektromagnetskim
kva~ilima, za magnetsko ko~enje kod {inskih vozila i druge svrhe.
Vrlo ~esta primena elektromagneta je otvaranje, odnsno zatvaranje elektri~nih kontakata. Ure|aji kojima se to
ostvaruje i koju u osnovi funkcionisanja imaju elektromagnet su razli~iti tipovi relea, kontaktora i
elektromagnetnih sklopki.
Tipi~na konstrukcija relea i njegov grafi~ki simbol u elektri~nim {emema prikazan je na sl.4.20. Glavni delovi
su magnetsko kolo (jaram i kotva), namotaj, opruga i kontaktna grupa. Kada nema struje kroz namotaj, opruga
dr`i kotvu odvojenu od jarma, a elektri~ni kontakt postoji izme|u srednjeg (S) i mirnog (M) kontakta. Kada se
uspostavi struja u namotaju, jaram privla~i kotvu koja pritiska srednje kontaktno pero, odvaja ga od mirnog
kontakta i uspostavlja kontakt sa radnim (R). Struja u namotaju je reda 1020 mA, struja u kolu koje se
uspostavlja preko kontakata relea mo`e biti i stotine ampera. Na taj na~in se pomo}u relea mo`e ostvariti
veliko poja~anje snage.
R
S
M
Kotva
Namotaj
Jaram Opruga
Kontaktna
pera S
R M
Sl.4.20
Vazdušni
zazor Jaram
Kotva
Namotaj
Sl. 4.19
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 29 ----------------------------
Z A D A C I
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
---------------------------- 30 ----------------------------
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
31
4. NAIZMENI^NE STRUJE
Osim jednosmernih struja, u praksi veliku primenu imaju struje ~iji je smer i intenzitet vremenski zavistan. Ako
se ta promena mo`e izraziti prostoperiodi~nom funkcijom (sin, cos), ka`emo da su u pitanju naizmeni~ne struje.
U dugoj polovini XIX veka odlu~ivalo se izme|u primene jednosmerne ili naizmeni~ne struje. Zagovornik
primene jednosmerne struje bio je engleski pronalaza~ Edison (poznat kao pronalaza~ sijalice sa usijanim
vlaknom, fonografa i dr.) koji je `iveo u Americi i imao kapital i patente ulo`ene u proizvodnju i distribuciju
jednosmerne struje. Nikola Tesla, Srbin poreklom iz Hrvatske, koji je tako|e `iveo u Americi, zalagao se za
primenu naizmeni~nih struja. Primat su odnele naizmeni~ne struje zbog velikih prednosti koje imaju u
proizvodnji, prenosu i primeni. Te prednosti se mogu ukratko sistematizovatii:
- prilikom prizvodnje u elektri~nim generatorima, okretanjem elektromagneta (rotor) u namotajima statora nastaje
naizmeni~na struja. Jednosmerna struja se dobije naknadnim ispravljanjem;
- pomo}u transformatora se mo`e lako menjati odnos napona i ja~ine naizmeni~ne struje, {to je omogu}ilo prenos
struje na velike daljine. Naime, po{to su toplotni gubici u provodniku proporcionalni kvadratu struje, za prenos
potrebne snage podi`e se napon, a smanjuje ja~ina struja i time smanjuju gubici na tehni~ki prihvatljiv nivo. To je
omogu}ilo da se struja proizvodi na mestima gde je tehni~ki najopravdanije (pored velikih reka, kopova uglja) i
dalekovodima prenosi tamo gde je potrebna ( gradovi, fabrike).
- spregnuti sistem neizmeni~nih struja, vi{efazni sistem, mo`e da formira obrtno magnetno polje, {to je osnova
rada motora na naizmeni~nu struju. Ti su motori jedmostavnjie konstrukcije od jednosmernih, robusni i pouzdani
u pogonu, {to je uslovilo njihovu naj{iru primenu.
Tesla je dao pronalaske u svim napred naedenim podru~jima (trofazni transformator, vi{efazni sistem, obrtno
magnetno polje, asihroni motor) {to ga ~ini najplodnijim pronalaza~em na podru~ju elektrotehnike. Prema nekim
mi{ljenjima Tesla je i pronalaza~ radija (Markoni, koji se naj~e{}e pominje kao pronalaza~ radija, bio je Teslin
asistent). Osim toga bavio se strujama visokih napona i visoke frekvencije (Tesline struje), be`i~nim prenosom
energije, robotikom.
4.1 Definicije
Za veli~ine ~ija se promena mo`e izraziti funkcijom
f(t) = F(t + T),
ka`emo da su periodi~ne. Veli~ina T, nakon koje se vrednost funkcije ponavlja, zove se perioda, a njena
reciporo~na vrednost f =T
1, frekvencija.
Najve}u primenu u praksi imaju struje koje se menjaju po nekoj prostoperiodi~noj funkciji (sin, cos), {to se onda
mo`e zapisati kao
i = Imsin( t + ) .
Zna~enje veli~ina u ovoj formuli je slede}e:
Im - maksimalna vrednost, amplituda.
= 2 f - kru`na u~estanost, f = T
1 - frekvencija, T - perioda,
- po~etna faza.
Ova funkcija se mo`e grafi~ki prikazati kao na sl. 4.1
t
i
-
x
y Im
Sl. 4.1
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
32
4.2 Srednja i efektivna vrednost naizmeni~ne struje
Srednja vrednost veli~ine koja se menja po prostoperiodi~nom zakonu u toku jedne periode iznosi nula.
Me|utim, upraksi se ~esto koriste tzv. ispravljene naizmeni~ne struje, kod kojih su negativne poluperiode
zamenjene pozitivnim, pa zbog toga ima smisla govoriti o srednjoj vrednosti naizmeni~ne struje.
Srednja vrednost naizmeni~ne struje je ona vrednost stalne jednosmerne struje, pri kojoj kroz neki presek
provodnika, za vreme jedne poluperiode, protekne ista koli~ina naelektrisanja kao i pri posmatranoj naizmeni~noj
struji. Po{to naelektrisanje predstavlja integral struje po vremenu (na osnovu definicije struje), to }emo srednju
vrednost struje na}i iz jednakosti povr{ina ispod obe krive (sl.4.2):
Is 2
T
0
dt)t(i2
T.
Ako je i(t) = Imsin (t) , i re{imo integral po Is, imamo
Is = m2
T
0m
2
T
0
m I2
)tcos(I
T
2dttsinI
2
T
= 0,637 Im
Ra~unanje srednje vrednosti struje se koristi u slu~ajevima kada treba odrediti koli~inu proteklog naelektrisanja,
naprimer kod elektrolize.
Efektivna vrednost naizmeni~ne struje je ona vrednost stalne jednosmerne struje koja za vreme T izvr{i isti rad
kao i posmatrana naizmeni~na struja za isto vreme.
Rad jednosmerne struje smo definisali kao
W = R I2 T, a rad naizmeni~ne struje defini{emo na isti na~in
dW = Ri2 dt, odnosno W= dtiR
T
0
2
.
Izjedna~avanjem izraza za rad, zamenom izraza za sinusnu promenu naizmeni~ne stuje i re{avanjem po I
(efektivna vrednost), dobijamo
I =
T
0
22
m dttsinT
I =
T
0
2
m dt2
t2cos1
T
I =
2
I)
2
t2sint(
T
1
2
I mT
0
m
.
Naisti na~in se dobija veza efektivne vrednosti napona i njegove sinusne proneme:
U = 2
U m .
Kada se govori o ja~ini ili naponu naizmeni~ne struje, u praksi se koriste efektivne vrednosti ovih veli~ina.
Pogodnost je i to {to instrumenti sa kretnim kalemom, koji se {iroko koriste za merenje struje i napona, pokazuju
upravo efektivne vrednosti ovih veli~ina.
4.3 Predstavljanje naizmeni~nih veli~ina
Re{avanje kola sa naizmeni~nim strujama, gde su one predstavljene kao vremenske funkcije, svodi se na
re{avanje diferencijalnih jedna~ina, {to u praksi nije pogodno. Zbog toga se koriste drugi na~ini prikazivanja
prostoperiodi~nih veli~ina, u prvom redu pomo}u obrtnih vektora, koji se u elektrotehnici nazivaju fazori, ili
kompleksnih brojeva.
Is
t
i
T/2
i(t)
Sl.4.2
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
33
4.3.1 Fazorsko predstavljanje
Prostoperiodi~na veli~ina se pomo}u fazora predstavlja vektorom ~iji je modul jednak efektivnoj vrednosti, a
ugao koji zaklapa sa faznom osom jednak po~etnoj fazi .
Formulom se fazor predstavlja kao _
I = I .
Fazorski dijagrami su pogodni za re{avanje kola naizmeni~ne struje, jer u
jednom kolu sve veli~ine imaju istu kru`nu u~estanost, a me|usobni
polo`aj je odre|en po~etnim fazama (sl.4.3). Za du`inu fazora se uzima
efektivna vrednost naizmeni~ne struje ili napona. Ra~unske operacije pri
re{avanju kola svode sa na operacije sa vektorima.
Zbog postojanja kru`ne u~estanosti, slika koju smo nacrtali rotira u ravni
oko moordinatnog po~etka ugaonom brzinim , ali to ne menja me|usobni
odnos fazora, pa time i ne uti~e na re{avanje kola.
4.3.2 Simboli~ko (kompleksnim brojevima)
Svaki fazor se mo`e prikazati kompleksnim brojem ~iji op{ti izraz u algebarskom obliku glasi
z = a + jb , gde je j imaginarna jedinica i defini{e se kao j = 1 . Veza izme|u fazora i kompleksnog broja
prikazana je u kompleksnoj ravni na sl.4.4, pri ~emu va`e relacije:
I = I1 + j I2 , I2 = I sin () , I1 = I cos ().
Kompleksi broj se mo`e napisati i u eksponenecijalnom
obliku, a veza eksponencijalnog i algebarskog oblika data je
Ojlervom formulom
I = I ej
= I (cos( ) + j sin ()).
Simboli~ko predsatvljanje nema veze sa fizi~kom prirodom
elektri~ne struje. Na ovaj na~in je olak{ano re{avanje kola sa
naizmeni~im strujama, jer se svodi na operacije sa
kompleksnim brojevima, koje su ustvari algebarske operacije.
Iz kompleksnog predstavljanja se lako vra}amo u vremensko
i = I 2 sin (t + ), gde je I = 2
2
2
1 II , a = arc tg 1
2
I
I.
4.4 Prosta kola naizmeni~ne struje
4.4.1 Kolo sa otpornikom
Za otpornik u kolu naizmeni~ne struje (sl .4.5 a) ~esto se ka`e da je termogeni jer se u njemu elektri~na energija
nepovratno pretvara u toplotu, za razliku od drugih vrsta otpora koji tako|e mogu postojati u kolu naizmeni~ne
struje.
Neka u otporniku postoji struja koja se menja po prostoperiodi~nom zakonu
i = Im sin (t + ).
Napon na otporniku definisan je u svakom momentu omovim zakonom i iznosi
u = R i = R Im sin (t + ) ili , preko efektivnih
vrednosti,
U = R I .
Fazorski dijagram prikazan je na sl.4.5 b). Vidi se
da su struja i napon u fazi, tj. otpornik ne dovodi do
fazne razlike izme|u napona i struje.
f.o.
1 2
_
I 1
_
I 2
Sl.4.3
Re
Im
I1
I2 I
Sl.4.4
R e
+
i
f.o.
U I
a) b)
u
Sl. 4.5
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
34
4.4.2 Kolo sa kondenzatorom
Za razliku od kola jednosmerne struje, gde kondenzator prestavlja prekid kola (beskona~ni otpor), naizmeni~na
struja postoji i u kolima sa kondenzatorom.
Neka u kolu postoji struja koja se menja po zakonu
i = Im sin (t + ). Na osnovu definicije, napon na kondenzatoru je
uc= ))tcos((c
Idt))tsin(I(
c
1dti
c
1
c
q mm
.
Koriste}i trigonometrijsku relaciju
sin(-/2) = -cos () , pi{emo izraz za napon na kondenzatoru
uc = Im )2
tsin(c
1
= Im Xc )
2tsin(
.
Vidimo da se napon na kondenzatoru dobija mno`enjem struje sa veli~inom Xc koja je jednaka
Xc=C
1
, i da kasni za sturjom za ugao
2
.
Veli~ina Xc ima dimenziju otpora i zove se kapacitivni otpor.
4.4.3 Kolo sa induktivitetom
Svaki provodnik poseduje induktivnost koja se naj~e{}e zanemaruje. Zna~ajnije veli~ine induktivnosti realizuju se
u elektri~nim kolima pomo}u kalema. Realni kalem osim induktivnosti poseduje i aktivni otpor, pa se u kolima
predstavlja rednom vezom induktiviteta i omskog otpora. U kolima stalne jednosmerne struje sam induktivitet
predstavlja kratak spoj. Induktivitet u kolu naizmeni~ne struje predstavljen je na sl. 4.7 a)
Neka je struja kroz induktivitet kao i u prethodnom slu~aju data kao
i = Im sin (t + ).
Napon na induktivitetu menja se po definiciji
C
e
+
i
f.o.
Uc
I
a) b)
uc
/2
Sl..4.6
L e
+
i
f.o.
UL I
a) b)
uL
/2
Sl..4.7
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
35
uL= (dt
dL
dt
diL Im sin (t + ) = ImL cos(t + ) = ImL sin(t + +
2
).
Vidimo da se napon dobija mno`enjem struje sa veli~inom L i da fazno prednja~i struji za 2
(sl.4.7. b) ).
Veli~ina XL = L ima dimenziju otpora i zove se induktivni otpor.
4.4.4 Serijsko RLC kolo
Redna veza otpora, induktiviteta i kondenzatora se skra}eno zove serijsko RLC kolo prema oznakama
navedenih komponenata (sl.4.8).
Neka je data struja kod koje je po~etna faza jednaka nuli kao
i = Im sin (t).
Jedna~ina naponske ravnote`e za dato kolo glasi
u = uR + uL + uc , pri ~emu su uR = Ri, uL = dt
diL , uc = dti
C
1 .
Na osnovu toga je
u = R Im sin (t) + L Im cos (t) - C
1
Im cos (t) = Im (R sin (t) + (L -
C
1
) cos (t)).
Prethodni izraz se mo`e transformisati u pogodniji oblik (vidi dokaz na kraju):
u = Im22 )
C
1L(R
sin ( t + ).
Vidimo da se napon dobija ako se struja pomno`i sa veli~inom
Z= 22 )C
1L(R
, koja se zove impedansa, a fazno se razlikuje od struje za ugao
R
CL
tgarc
1
.
Efektivna vrednost napona dobija se mno`enjem struje i impedanse.
U = Z I
Fazorski dijagram za dato kolo predstavljen je na sl.4.8 b).
Dokaz
Neka je dat pravougli trougao sa katetama a i b izme|u kojih je ugao , i neka kateta a zaklapa sa po~etnom osom
ugao . Sa slike se vidi da je x = a sin (), y = b cos () ,
x+y = c sin ( + ) i c = 22 ba .
Na osnovu toga imamo tra`enu jednakost:
a
b
c y
x
f.o.
UL
I
b)
Sl..4.8
L u
+
i
a)
R
C
UR
Uc
U
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
36
a sin () +b cos() = 22 ba sin( + ),
gde je = arc tg a
b.
4.5 re{avanje prostog kola naizmeni~ne struje simboli~kom metodom
Re{avanje kola sa naizmeni~nim strujama, gde su one predstavljene pomo}u prostoperiodi~nih funkcija, nije
pogodno u praksi, jer se svodi na re{avanje diferencijalnih jedna~ina. Mnogo lak{i na~in je da se fazor prika`e u
kompleksnoj ravni odgovaraju}im kompleksnim brojem, pa se tada re{avanje svodi na operacije sa kompleksnim
brojevima, koje su u su{tini algebarske operacije. Pre nego simboli~ku metodu primenimo na re{avanje kola,
prikaza}emo neke osnovne operacije i njihovu identi~nost na fazorima i kompleksnim brojevima.
4.5.1 Sabiranje i oduzimanje
Neka su prostoperiodi~ne veli~ine predstavljene fazorima _
A 1 i _
A 2 kao na sl .4.9. Fazor _
A se mo`e izra~unati
kao _
A = _
A 1 + _
A 2.
Sa slike je tako|e vidljivo da se fazori _
A 1 i _
A 2 mogu prikazati kao kompleksni
brojevi
A1 = A1x + j A1y i
A2 = A2x + j A2y .
Tako|e se vidi sa slike da je fazor _
A u kompleksnom obliku
A = (A1x + A2x ) + j (A1y + j A2y) ,
{to se mo`e dobiti direktno, sabiranjem kompleksnih brojeva A1 i A2 :
A = A1 + A2 =(A1x + A2x ) + j (A1y + j A2y).
Na osnovu ovoga vidimo da sabiranjem fazora dobijamo isti rezultat kao
sabiranjem kompleksnih brojeva koji reprezentuju te fazore, po pravilima za
sabiranje kompleksnih brojeva.
4.5.2 Izvod
Ako je data prostoperiodi~na funkcija a = A sin(t + ), njen izvod po vremenu je:
dt
da= A cos(t + ) = A sin(t + +
2
).
Vidimo da izvod rezultira mno`enjem sa i faznim pomeranjem za /2.
Ako tu istu veli~inu predstavimo u kompleksnoj ravni ( sl. 4.10) u vidu
kompleksnog broja imamo:
A = A1 + jA2 .
Mno`enjem leve i desne strane jedna~ine sa j= 1 imamo
jA = -A2 + jA1 .
Iz geometrijskih odnosa na slici vidimo da mno`enje fazora sa j
odgovara rotaciji u kompleksnoj ravni za /2, a izvod prostoperiodi~ne funkcije u kompleksnom predstavljanju,
mno`enju sa j.
4.5.3 Integral
Neka je kao i u prethodnom slu~aju data prostoperiodi~na veli~ina
a = A sin(t + ).
Njen integral je
A2y
A
A1 A2
A1x A2x
A1y
Sl.4.9
Re
Im
A1
A
jA2
jA1
-A2
jA
Sl.4.10
Re
Im
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
37
a dt = -
A cos(t + ) =
A sin(t + -
2
).
Vidimo da integraljenje po vremenu ove funkcije dovodi do delenja sa
i faznog pomeraja za - /2.
Ako je funkcija u kompleksnoj prezentaciji
A = A1 + jA2
pa izvr{imo delenje leve i desne strane sa j, imamo:
21 Aj
A
j
A = A2 - jA1 = -jA.
Vidimo da delenje sa j u kompleksnoj ravni dovodi do rotacije fazora za -
/2, pa prema tome integraljenje odgovara delenju sa j.
4.5.4 Re{avanje RLC kola simboli~kom metodom
Za serijsko RLC kolo smo ve} ranije rekli da na osnovu jedna~ine naponske ravnote`e mo`emo da pi{emo:
e = uR + uL + uC ili
e = Ri + Ldt
di+ dti
C
1.
Ako se promenljive predstave kompleksnim likovima, i na osnovu zna~enja izvoda i integrala {to je napred
obja{njeno, imamo:
E = RI + jLI +Cj
I
= RI + jLI -
C
Ij
= I ( R + j (L - C
1
)).
Veli~inu
Z = R + j (L - C
1
) zovemo kompleksna impedansa. Po{to je u ovom izrazu veli~ina u zagradi ve}
ranije definisana kao reaktivni otpor, kompleksnu impedansu mo`emo pisati i kao
Z = R + j X.
Kompleksni lik priklju~enig napona ("kompleksni napon") na RLC kolu je
U = UR + UL + Uc ,
a na pojedinim komponentama kola
UR = R I , Uc = Xc I, UL = XL I , pri ~emu su induktivni i kapacitivni otpor u kompleksnom obliku
XL = jL = jXL , Xc = Cj
1
=
C
j
= -j Xc.
5.5 Snaga u kolu naizmeni~ne struje
5.5.1 Aktivna snaga
U kolima sa naizmeni~nom strujom, struja i napon su promenljivi u toku vremena, pa je tako i snaga promenljiva.
Trenutna snaga u svakom trenutku vremena jednaka je proizvodu struje i napona
p = u i , gde su i i u trenutne vrednosti struje i napona.
U toku vremena snaga menja ne samo vrednost nego i znak. Kada je snaga pozitivna to zna~i da potro{a~ prima
snagu iz izvora naizmeni~ne struje i da se ta snaga u vidu toplote osloba|a na potro{a~u. Negativna snaga zna~i
da se vra}a energija koja je bila sadr`ana u elektrostati~kom i magnetnom polju potro{a~a natrag u mre`u.
Od bitnog je zna~aja koji je odnos enegije koju potro{a~ prima i koju vra}a u toku vremena. Da bi se to odredilo
uvodi se pojam aktivne snage , koja predstavlja srednju vrednost snage u toku jedne periode. Kao i kod srednje
A1
A jA2
-jA
A2
-jA1
Sl.4.11
Re
Im
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
38
vrednosti struje, defini{emo je preko jednakosti povr{ina ispod srednje vrednosti i ispod krive koja predstavlja
trenutnu vrednost:
P =
T
0
T
0
dtuiT
1dtp
T
1.
Neka su struja i napon na potro{a~u dati kao op{ti slu~aj
i = I 2 sin(t) i u = U 2 sin(t + ) .
Srednja snaga je
P = dt)tsin()tsin(UI2T
1T
0
= dt))t2cos()(cos(2
1UI2
T
1T
0
.
Re{enje ovog integrala daje
P =
T
0
T
0
dt)t2cos(T
UIdt)cos(
T
UI= T
0T0 |)t2sin(
T2
UI|t)cos(
T
UI
=
=UIcos().
Vidimo da aktivna snaga predata potro{a~u naizmeni~ne struje zavisi of fazne razlike struje i napona. Najve}a je
onda kad je fazna razlika jednaka nuli (cos je tada jednak jedinici), a to je slu~aj ako je potro{a~ ~isto omska
otpornost.
Aktivna snaga se izra`ava u vatima (W).
5.5.2 Reaktivna snaga
Razmotrimo sada slu~aj kada u kolu imamo kondenzator i induktivitet. Da bi se okarakterisala snaga kojom
energija osciluje izme|u izvora elektromotorne sile i kondenzatora i induktiviteta, uvodi se pojam reaktivne
snage.
Neka je struja kao i malopre i = I 2 sin(t), a naponi na kondenzatoru i induktivitetu su
uc = Uc 2 sin(t -2
) i uL = UL 2 sin(t +
2
).
Snaga je
PQ = Pc + PL = 2UcI sin(t -2
) sin(t) + 2ULI sin(t +
2
) sin(t).
Trigonometrijskom transformacijom desne strane imamo:
PQ = -UcI sin(2t) + ULI sin(2t) = I(UL-Uc)sin(2t).
Veli~inu UL-Uc mo`emo zameniti sa Usin() (vidi sl.4.8b.) pa na osnovi toga pi{emo
PQ = UI sin()sin(2t).
Veli~inu
Q = UI sin()
zovemo reaktivna snaga. Vidimo da ona ima stalnu vrednost i u elektri~nom kolu osciluje sa frekvencijom 2.
Jedinica za reaktivnu sngu se zove voltamamper reaktivni (VAr).
5.5.3 Prividna snaga
Veli~ina koja se dobija mno`enjem efektivnih vrednosti struje i napona
S = U I
zove se prividna snaga i izra`ava se u voltamperima (VA). Ona pokazuje maksimalnu
snagu koju mo`e da ima potro{a~ ( ako je postignuto da je fazna razlika napona i struje
jednka nuli).
Na osnovu izraza za prividnu, aktivnu i reaktivnu snagu, vidimo da va`i relacija
S2 = P
2 + Q
2, odnosno ove tri veli~ine se mogu predstaviti pomo}u trougla
snage (sl.4.12. )
Veli~ina reaktivne snage je bitan podatak, naro~ito kod energetskih ure|aja. Naime, samo aktivna snaga slu`i za
dobijanje rada ili toplote. Ako ure|aj ima i reaktivnu sangu, to zna~i da uz isti napon ima ve}u prividnu snagu, pa
zahteva i ve}u struju. Time se optere}uje izvor ems i pove}avaju toplotni gubici u provodnicima. Zbog toga se
P=UIcos
Sl.4.12
Q=
UI
sin
S = UI
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
39
kod elektromotora preduzimaju posebne mere za smanjenje (kompenzaciju) reaktivne snage, a te se mere
preduzimaju i na nivou cele elektri~ne mre`e.
5.5.4 Kompleksna snaga
Simboli~ka metoda se mo`e zgodno upotrebiti kod ra~unanja snage u kolima sa naizmeni~nom strujom.
Neka su struja i napon zadati sa proizvoljnim faznim uglom kao
i = Imsin(t + 1) i u = Um sin(t + 2) .
Na osnovu ranijih obja{njenja, kompleksne likove struje i napona mo`emo napisati
I = I (cos 1 + jsin 1) i U = U (cos 2 + jsin 2).
Ako pomno`imo kompleksnu vrednost napona sa konjugovano kompleksnom vredno{}u struje, koju }emo
ozna~iti sa *
I , imamo:
U *
I =UI (cos 2 cos 1 + sin 2 sin 1 + j(cos 2 sin 1- sin 2 cos 1) =
= UI (cos(2-1) + j sin(2-1)).
Ako sa = 2-1 ozna~imo faznu razliku napona i struje imamo
U *
I = UI (cos + j sin ) = UI cos + j UI sin = P + jQ
Vidimo da se snaga S u kompleksnom obliku dobija mno`enjem kopleksnog napona sa konjugovano-
kompleksnom vredno{}u struje, a njena veza sa aktivnom i reaktivnom snagom data je
S = U *
I = P + jQ .
Aktivana snaga je realni, a reaktivna imaginarni deo kompleksne snage. Naravno, da i ovde va`i relacija
S2 = P
2 + Q
2.
Z A D A C I
1. U kolu prostoperiodi~ne struje na slici poznata je vrednost struje kroz
induktivitet XL i iznosi IL=2A. Tako|e je poznto: U=50V, R1 = 20, XL
= 10. Odrediti:
a) struje u svim granama kola
b) impedansu kola
c) prividnu, aktivnu i rekativnu snagu kola
Re{enje:
a) IL = 2A, URL = IL XL = 20V, I1 = 1
RL
R
U = 1A, I= 2
221 II = 2,24A
b)Z = I
U = 22,3
c) S = UI = 502,24 = 112VA, Q = X L2LI =40VAr , P = 2
2 QS =104,6W.
2 Dva prijemnika vezana su paralelno i priklju~ena na naizmeni~ni
napon efektivne vrednosti U= 50 V, f = 50Hz. Za tu u~estanost
kompleksni izrazi za impedanse prijemnika su z1=(3+j4 ) i z2 = ( 6-
j8 ) . Odrediti:
a) kompleksne vrednosti struje u granama i ukupnu struju
b) efektivne vrednosti struje u svim granama kola
R
R 1 X
L
U
z2 U,f
+
z1
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Materijal za predavanja
40
c)aktivnu , reaktivnu i prividnu snagu i faktor snage kola.
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 41 ----------------------------
6. ELEKTRI^NE MA[INE ZA NAIZMENI^NU STRUJU
6.1 MONOFAZNI GENERATOR
Elektri~ni generatori su ma{ine koje konvertuju mehani~ku energiju u elektri~nu. Princip rada generatora mo`e
se objasniti na osnovu konstrukcije prikazane na sl. 6.1 . Izme|u polova stalnog magneta nalazi se okvir od
provodne `ice. Krajevi okvira sa zavr{avaju metalnim prstenovima po kojima klize priklju~ci, takozvane
~etkice. Ovakva konstrukcija omogu}ava da se pri rotaciji odr`ava elektri~ni kontakt izme|u okvira i spoljneg
dela elektri~nog kola.
Neka izme|u polova magneta postoji homogeno magnetsko polje indukcije B
, i neka se okvir okre}e oko
uzdu`ne ose ugaonom brzinom . Polo`aj rama u odnosu na neku po~etnu ta~ku bi}e odre|en uglom
= t , dok }e fluks kroz konturu biti
= B S cos t , gde je S povr{ina rama.
Kao {to se vidi, magnetni fluks se cikli~no menja, od nule kada je povr{ina rama paralelna vektoru indukcije,
do maksimalne vrednosti kada je povr{ina normalna na vektor indukcije. Posle toga magnetski fluks opada do
nule, a zatim se menja njegov smer, pa ponovo prolazi kroz cikli~nu promenu.
Usled ove promene fluksa u ramu }e se indukovati elektromotorna sila
e = -dt
d = -
dt
d( B S cos t) = B S sin t , ili e = Emsin t .
Za jedan obrtaj rama, izvr{i se cikli~na promena indukovane EMS:
t = 0, e = 0
t = 2, e =Em
t = , e = 0
t = 32, e =-Em
t = 2, e =0 .
A A
A A
Sl.6.2
N
S
Sl.6.1
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 42 ----------------------------
Pri daljem obrtanju rama pojava se periodi~no ponavlja po sinusnom zakonu, a EMS koja se dobija na ovaj
na~in se zove naizmeni~na.
Za potrebe industrijskog dobijanja elektri~ne struje, konstrukcija generatora je ne{to druga~ija. Svaki generator
ima dva osnovna dela - nepokretan deo ma{ine koji se zove stator i pokretan deo rotor. Jedan od ova dva dela
sadr`i namotaj kroz koji se propu{ta struja u cilju obrazovanja magnetskog polja koje obezbe|uje fluks i zove
se induktor, a u drugom se indukuje EMS i zove se indukt.
Da bi se izbeglo vo|enje velikih struja preko ~etkica, namotaj indukta se postavlja na stator. Na rotor se
postavljaju namotaji induktora i na njih dovodi struja preko ~etkica, a promena fluksa se ostvaruje obrtanjem
tog namotaja. Problemi sa kliznim kontaktima i ~etkicama su na taj na~in mnogo manji po{to je struja pobude
induktora daleko manja od indukovane struje koju daje generator.
Na sl.6.2 prikazan je monofazni generator sa jednim parom polova. Rotor predstavlja elektromagnet koji se
napaja strujom preko ~etkica i kliznih prstenova. Na taj na~in se formira stalno magnetsko polje, a kako se
rotor okre}e, sa njim se obr}e i magnetsko polje, i na taj na~in ostvaruje promena fluksa kroz namotaj A-A.
Oblikom rotora i rasporedom namotaja posti`e se da promena fuksa bude {to bli`a prostoperiodi~noj, pa je i
indukovana EMS prostoperiodi~na funkcija.
Ako je promena fluksa
= m cos t, u jednom zavojku se indukuje EMS
e1 = dt
d = m sin t , a u ~itavom namotaju
e = N e = N m sin t = 2 E sin t.
Odavde se dobija da je efektivna vrednost indukovane EMS
E = 2
N m.
Ukoliko na rotoru ima dva para polova, i na statoru dva namotaja, u svakom od njih }e magnetski fluks
napraviti dve pune oscilacije za jedan obrtaj rotora (sl.6.3).
Indukovana EMS ima}e kru`nu u~estanost dva puta ve}u od ugaone brzine rotora:
= 2, ili u op{tem slu~aju, ako je broj pari polova jednak p
= p .
Efektivan vrednost indukovane EMS bi}e, na osnovu istog postupka kao za jedan par polova,
E = 2
pN m.
Vidi se da je indukovana EMS proporcionalan konstuktivnim parametrima ma{ine (broj zavojaka i broj pari
polova), brzini obrtanja rotora i magnteskom fluksu, koji opet zavisi od pobudne struje.
Namotaji statora mogu mogu biti vezani na red, kada se dobija p puta ve}i napon, ili paralelno, kada je mogu}a
p puta ve}a struja ( kao i kod vezivanja bilo kojih izvora EMS).
N
N S
S
A
A
B
B
A A B B
Sl 6.3
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 43 ----------------------------
6.2 TROFAZNI GENERATOR
Osim jednofaznih, {iroku primenu u proizvodnji i primeni elektri~ne energije imaju vi{efazni sistemi. Zbog
ekonomi~nosti i jednostavnosti prete`no je u upotrebi trofazni sistem. Nikola Tesla je prvi realizovao vi{efazne
sisteme i ukazao na njihove prednosti ( patenti iz 1887.godine). Kod trofaznih generatora postoji jedna
konstrukciju sa tri provodnika, umesto tri generatora sa {est provodnika, postoji obrtno magnetno polje, imamo
na raspolaganju dve veli~ine napona (fazne i linijske), a time i razli~ite snage i dr.
Trofazni sistem predstavlja tri elektromotorne sile jednake po amplitudi i frekvenciji, a fazno pomerene za 120
( odnosno 2/3), {to je kao vremenski dijagram prikazano na sl 6.4 :
e1 = Em sin (t)
e2 = Em sin (t-3
2)
e3 = Em sin (t-3
4).
Ovakav sistem napona se realizuje tako {to se u `lebove statora postave tri namotaja, prostorno pomerena za
2/3, pri ~emu je rotor izra|en u vidu stalnog magneta ili elektromagneta sa pobudom iz izvora jednosmerne
struje. Na slici 6.5 ti namotaji su A-X , B-Y i C-Z. Svaki od namotaja statora pona{a se kao monofazni
generator, ali su indukovane EMS me|usobno fazno pomerene za 2/3. Ako elektromotorne sile e1, e2, e3 kasne
jedna za drugom za 2/3, takav trofazni sistem se zove direktan, a ako su amplitude iste onda je simetri~an.
Fazorski dijagram elektromotornih sila u trofaznom sistemu prikazan je na sl.8.6a Suma trenutnih vrednosti
elektromotornih sila u trofaznom sistemu jednaka je nuli:
e1 + e2 + e3 = 0.
Ova tvrdnja se dokazuje transformacijom trigonometrijskih izraza za elektromotorne sile. Naravno da za fazore
tako|e va`i
0EEE 321 ,
{to se vidi na slici 6.6b.
E1
E3
E2 E1
E2 E3
Sl.6.6
a) b)
X A
B
C
Y
Z
N
S
Sl.6.5
Em
Sl.6.4
0
t
e1 e2 e3
2/3 2/3 2/3
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 44 ----------------------------
6.2.1 Vezivanje namotaja trofaznog generatora
Po{to trofazni generator ima tri odvojena namotaja i tri elektromotorne sile, veza sa potro{a~ima mo`e se
ostvariti sa {est provodnika. To se u praksi nikada ne radi, ve} se posebnim na~inom vezivanja, broj provodnika
smanjuje na tri ili ~etiri, {to je mnogo ekonomi~nije.
6.2.1.1 Veza u zvezdu
Veza u zvezdu realizije se tako {to se po~eci (ili krajevi) sva tri namotaja ve`u u jednu ta~ku koja se zove nulta
ta~ka generatora (sl.6.7).
Slobodni krajevi zvezde su
drugi krajevi faznih
namotaja, a provodnici koji
vode od njih se zovu linijski
provodnici (1,2,3).
Jedna od prednosti ovakve
veze je {to su na
raspolaganju dve vrste
napona: naponi izme|u bilo
kog linijskog provodnika i
nultog (zovu se fazni naponi) i naponi izme|u bilo koja dva linjska provodnika (zovu se linijski naponi).
Veza izme|u faznih i linijskih napona vidi se na sl.6.8, na primeru napona U12:
)U(UUUU 212112 .
Na isti na~ina imamo da je
3223 UUU ,
1331 UUU .
Iz geometrijskoh odnosa na sl.8.8 (npr. primenom kosinusne teoreme) nalazimo da je da je moduo fazora 12U ,
a to je efektivna vrednost lijskih napona, za 3 puta ve}a od faznih napona:
Ul2 = 2
fU + 2fU -2 2
fU cos(120) = 3 2fU ,
odnosno
Ul = 3 Uf .
Linijske i fazne struje kod namotaja u zvezdu su jednake.
6.2.1.1 Veza u trougao
Veza namotaja trofaznog generatora prikazana na sl.6.9, kada je kraj prvog namotaja vezan za po~etak drugog,
kraj drugog za po~etak tre}eg i kraj tre}eg za po~etak prvog, zove se veza u torugao.
Pri takvoj vezi linijski napon jednak je faznom naponu generatora.
Suma elektromotornih sila u svakom trenutku jednaka je nuli (isti
fazorski dijagram kao na sl. 6.6.
Namotaju trofaznih generatora se ~e{}e vezuju u zvezdu zbog toga {to
takva veza daje dve vrednosti napona: linijske i fazne.
Trofazni potor{a~i se tako|e mogu vezivati u zvezdu i trougao,
nezavisno od veze namotaja generatora. Prema tome mogu}e su ~etiri
kombinacije veza genratora i potro{a~a: zvezda-zvezda, zvezda-trougao,
trougao-zvezda, trougao-trougao. Osim toga veza zvezda-zvezda mogu}a
je u varijanti sa i bez nultog provodnika.
Kod veze optere}enja u trougao linjske i fazne struje nisu jednake, ve} se mogu izra~unati primenom I
Kifhofovog zakona ( 6.10):
Sl.6.9
Uf
Sl.6.8
U1
U2
U3
-U2
U12
2 3
0
Sl.6.7
1
Uf Ul
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 45 ----------------------------
I1 = I12 - I31,
I2 = I23 - I12,
I3 = I31 - I23,
U slu~aju simetri~nog optere}enja, kada su sve tri fazne struje jednake
po amplitudi i kad su fazno pomerene jedna u odnosu na drugu za ugao
2/3, va`i ralacija
Il = 3 If .
U sistemima elektrosnabdevanja po pravilu se primenjuje trofazna
mre`a sa uzemljenom neutralnom ta~kom izvora napajanja
(transformator, generator). Takva veza omogu}uje dovo|enje do
potro{a~a dve vrednosti napona (linijske i fazne), i obezbe|uje rad
simetri~nih i nesimetri~nih optere}enja. Nesimetri~ni potro{a~i (sijalice, monifazni motori i dr.) se raspore|uju
{to ravnomernije po fazama ( fazni napon - 220V), a simetri~ni (asihroni i sinhroni elektromotori, elektri~ne
pe}i) se priklju~uju na linijske provodnike (sl. 6.11). Svi metalni delovi potro{a~a koji nisu deo elektri~nog
kola, a koji mogu na neki na~in da do|u u vezu sa provodnikom pod naponom, spajaju se sa zemljom (za{titno
uzemljenje) ili sa nultim provodnikom (za{titno nulovanje). U slu~aju dodira provodnika pod naponom sa
uzemljenim metalnim delom potro{a~a ( proboj izolacije, havarija) uspostavlja se struja kratkog spoja {to
dovodi do reakcije osigura~a ili magnetskih sklopki koji prekidaju elektri~no kolo. Na taj na~in se obezbe|uje
bezbednost pri eksploataciji elektri~nih ure|aja.
6.2.2 Snaga trofaznih sistema
Snaga nekog trofaznog sistema jednaka je sumi snaga pojedinih faza
P = P1 + P2 + P3 i
Q = Q1 + Q2 + Q3 .
U slu~aju simetri~nog optere}enja, kada su snage sve tri faze jednake to je
P = 3 Uf If cos ,
Q = 3 Uf If sin i
S = 3 Uf If .
Kod veze u zvezdu imamo da je Ul = 3 Uf i Il = If, {to zamenom u izraze za snagu daje
P = 3 Ul Il cos ,
Q = 3 Ul Il sin i
S = 3 Ul Il .
Kod veze u trougao imamo Il= 3 If i Ul=Uf. Zamenom u izraze za snagu dobijamo iste relacije kao i kod veze
u zvezdu {to zna~i da pri simetri~nom optere}enju snaga ne zavisi od na~ina vezivanja optere}enja.
6.3 MOTORI ZA NAIZMENI^NU STRUJU
6.3.1 Obrtno magnetno polje
Na sl. prikazan je jedna navojak namotaja kroz koji proti~e
struja data prostoperiodi~nom funkcijom
i = Im sin t.
1 2 3
0
Sl.6.11
B
Sl.6.12
Sl.6.10
I1
I3
I2
I12
I23
I31
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 46 ----------------------------
Magnetska indukcija uzrokovana ovom strujom bi}e tako|e prostoperiodi~na funkcija
B = Bm sin t.
Vektor indukcije se poklapa po pravcu sa osom kalema, a njegov smer i intenzitet se menjaju po sinusnom
zakonu.
Ovakvo polje se zove pulsiraju}e.
Ako imamo tri jednaka namotaja, raspore|ena tako da njihove ose budu pod uglom 2/3 (sl. 6.12) i kroz njih
propu{tamo tri struje koje ~ine trofazni simetri~an sistem
i1 = Im sin (t),
i2 = Im sin (t-3
2),
i3 = Im sin (t-3
4),
dobi}emo tri pulsiraju}a vektora indukcije
B1 = Bm sin (t),
B2 = Bm sin (t-3
2),
B3 = Bm sin (t-3
4).
Rezultantnu magnetsku indukciju dobijamo sabiranjem ova tri
vektora. To mo`emo uraditi ra~unanjem algebarskih suma
projekcija po x i y osi (Sl.):
Bx = B1 - B2 cos 60 - B3 cos 60 i
By = B3 cos 30 - B2 cos 30.
Zamenom izraza za B1, B2 , B3 i sre|ivanjem trigonometrijskih
izraza dobijamo
Bx = 2
3 Bm sin (t) i
By = -2
3 Bm cos (t)
Ovo nam pokazuje da vektor rezultantne magnetske indukcije
ima intenzitet
B = 2y
2x BB =
2
3 Bm, a ugao koji zaklapa sa y osom iznosi -t.
To opet zna~i da vektor rezultantne magnetske indukcije ima stalnu veli~inu i da se obr}e ugaonom brzinom
u smeru redosleda faza: od kalema sa strujom Imsin(t),
prema kalemu Imsin(t-3
2) i dalje. Ako se `eli promeniti smer obrtanja magnetskog polja dovoljno je zameniti
napajanje strujom bilo koja dva kalema.
6.4 Sinhroni elektromotori
Princip rada sinhronog elektromotora mo`e se objasniti slikom .. Unutar magneta sa polovima N1 S1, nalazi se
drugi magnet NS. Ako se magnet N1S1 okre}e ugaonim brzinom , on }e pri tome, zbog privla~ne sile izme|u
suprotnih polova magneta, vu}i za sobom i magnt NS. U stacionarnom stanju }e se oba magneta okretati istom
ugaonom brzinom.
Kod pravog elektromotora ne postoji magnet N1S1 , nego tu ulogu ima obrtno magnetno polje statora, a NS
mo`e biti prirodni magnet ili elektromagnet. Konstrukcija statora je principijelno ista kao kod trofaznog
generatora: radi dobijanja obrtnog magnetnog polja moraju postojati tri namotaja prostorno pomaknuta za 3
2,
kroz koje se propu{taju struje fazno pomerene za 3
2.
B
B
3
2
B
1
namotaj 1
namotaj 2 namotaj 3
Sl. 6.13
x
y
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 47 ----------------------------
Naziv sinhroni ({to zna~i istovremeni) odnosi se na ~injenicu da se
rotor okre}e istom brzinom kao i obrtno magnetno polje.
Na osovinu rotora ( na slici 6.14. rotor je magnet NS), mo`e se
dovesti neki moment optere}enja. Zavisno od veli~ine momenta, osa
NS }e kasniti u odnosu na osu N1S1 za neki ugao . Ukoliko je
optere}enje ve}e od grani~ne vrednosti (kad je =/2), rotor ispada iz
sinhronizacije i motor staje.
Va`na osobina sinhronog elektromotora je da ima stalnu brzinu
obrtanja, nezavisno od momenta optere}enja, {to odre|uje podru~je
njihove primene. Mali sinhroni elektromotori se koriste za pogon
mehanizama za zapisivanje i reprodukciju zvuka i slike, ventilatora,
`iroskopa, elektri~nih satova i dr. ali postoje i motori velikih snaga
koji pokre}u kompresore, vodene pumpe velikog kapaciteta,
valjaonoce.
Druga dobra osobina sinhronih elektromotora je da oni rade sa
velikim faktorom snage (cos blizak jedinici).
Mana sinhronih elektromotora ja problem pu{tanja u rad. Da bi elektromotor radio, potrebno je nekim drugim
pogonom rotor dovesti do sinhrone brzine. Za tu svrhu se ~esto koristi poseban namotaj koji radi kao asihroni
elektromotor i ~ija funkcija prestaje pri sinhronoj brzini.
ASIHRONI ELEKTROMOTORI
Asihroni elektromotori su jednostavne konstrukcije, pouzdani u eksploataciji i kao takvi imaju naj{iru primenu:
Smatra se da 90 svih elektormotora u svetu ~ine asihroni elektromotori. Do skora nisu bili kori{}eni u
sistemima gde se zahtevala fina regulacija brzine ili momenta, jer je zbog samog principa rada ta regulacija bila
te{ko ostvariva. Zadnjih decenija su razvijeni algoritmi upravljanja koji omogu}uju i tu regulaciju, a
zahvaljuju}i razvoju elektronike (mikroprocesori, memorije) ti se algoritmi mogu implementirati, a da to bude
ekonomski i tehni~ki prihvatljivio. Na taj na~in razvijeni su digitalni regulatori kao standardne komponente,
koji zajedno sa asihronim elektromotorima potiskuju jednosmerne elektromotore sa podru~ja primene gde su
ovi doskora bili nezamenljivi: u sistemima automatske regulacije i
elektri~noj vu~i.
Kao i kod drugih elektri~nih ma{ina rotor i stator se prave od listova
elektrotehni~kog gvo`|a. Gvo`|e se koristi da bi otpor magnetskog
kola bio {to manji, a listovi - da bi se smanjili gubici usled vrtlo`nih
struja.
Postoje dva tipa rotora : Namotani i kratkospojeni.
Elektri~ni deo namotanog rotora ~ine namotaji analogni namotajima
statora. Namotaji se na jednom kraju kratko spajaju, a na drugom,
preko kliznih kontakata vode na otpornike, iza kojih se tako|e
kratko spajaju. Otpornici slu`e za pu{tanje elektromotora u rad ili za
regulaciju brzine.
Prisustvo kliznih kontakata ~ini da elektromotori sa ovakvim
rotorom gube deo prednosti koje asihroni elektromotori imaju nad
ostalim.
^e{}e je u upotrebi kratkospojeni rotor koji se u literaturi zove
konstrukcija tipa "veveri~ji kavez" (sl.6.14). Naziv duhovito asocira
sli~nost konstrukcije na igra~ku koja se stavlja u kavez sa ku}nim
ljubimcima. Elektri~ni deo ovog rotora sastoji se od aluminijumskih ili mesinganih {ipki koje su na oba kraja
kratkospojene pomo}u dva prstena od istog materijala. [ipke i prstenovi su sme{teni u utorima gvo`|a rotora.
Princip rada asihronog elektromotora zasniva se na kori{}enju obrtnog magnetnog polja. Stator je iste
konstrukcije kao i kod sinhronog elektromotora, kao i kod trofaznog genetatora. Ukoliko se na stator dovedu
struje koje ~ine trofazni sistem, obrazuje se u prostoru statora obrtno magnetno polje.
Na osnovu zakona elektromagnetne indukcije, u provodnicima rotora, pod dejstvom obrtnog magnetnog polja,
indukuje se elektromotorna sila proporcionalna ugaonoj brzini obrtnog magnetnog polja. Elektromotorna sila
B
Sl.6.15
N1
N
S
S1
Sl.6.14
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 48 ----------------------------
uzrokuje struje kroz kratkospojene provodnike rotora. Provodnici rotora kroz koje proti~e struja, nalaze se u
magnetnom polju statora, pa na njih deluju elektromagnetne sile. Ove sile obrazuju monent koji okre}e rotor.
Iz opisanog principa rada sledi da brzina obrtanja rotora asihronog elektromotora mora uvek manja od brzine
obrtanja obrtnog magnetnog polja (sinhrone brazine).
Samo u tom slu~aju postoji elektromotorna sila u provodnicima rotora , te~e struja i javlja se moment rotacije.
Razlika izme|u brzine obrtanja rotora, i brzine obrtanja magnetnog polja, izra`ava se pomo}u faktora klizanja:
,n
nns
s
s ili u procentima 100n
nn%s
s
s
, gde je
ns brzina obrtanja obrtnog magnetnog polja, a n brzina obratnja rotora.
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 49 ----------------------------
7. ELEKTRIČNA MERENJA
7.1. Uvod u električna merenja
Prve spoznaje o pojedinim prirodnim pojavama i procesima stvorene su posmatranjem i upoređivanjem istih.
Međutim, dobijani rezultati posmatranjem ne mogu se koristiti za naučna uopštavanja i zaključivanja niti za
razmenu materijalnih dobara među narodima zbog nedostataka kao što su: nedovoljan kvalitet, subjektivan
karakter, nejednoznačnost, nepotpunost, posrednost u dobijanju rezultata (ne mogu se dobiti informacije o
karakteru i suštini pojave već samo o pojavi), gde se samo raspolaže delom informacija koje dolaze do
posmatrača.
Navedeni nedostatci rešavaju se naučno-tehničkim procesom dobijanja informacija , odnosno merenjem i
obradom rezultata merenja. U savremenom društvu sa svim složenostima i zahtevima, kao i u savremenoj nauci
i tehnici, potreba za merenjem je porasla kako u pogledu raznovrsnosti i složenosti, tako i u pogledu tačnosti i
osetljivosti.
Opšta definicija merenja glasi: merenje je proces poređenja sa odgovarajućom tačnošću vrednosti nepoznate
veličine i veličine koja je uzeta za jedinicu mere.
Pod veličinom podrazumevamo svojstvo materije i prirodnih pojava kojima se može odrediti količina.To je
zapravo,sve ono što može da se menja, kao npr. električni napon, jačina struje, masa itd. Fizičke veličine mogu
imati neprekidni (kontinualni) i isprekidam (diskretni) karakter. Kontinualne veličine (nazivaju se i analogne),
su one veličine koje u konačnom intervalu njihovog pojavljivanja mogu imati beskonačno mnogo različitih
vrednosti sa beskonačno malim priraštajima, dok diskretne veličine imaju u datom intervalu određene različite
vrednosti sa konačnim priraštajima.
Sve fizičke veličine uopšte dele se na osnovne i izvedene. Osnovne veličine imaju najveći značaj u merenjima.
One nemaju nikakve prirodne veze između sebe i ne mogu se definisati preko drugih veličina.To su npr. dužina,
masa, vreme i dr. Sve ostale fizičke veličine koje se mogu razložiti na osnovne su izvedene veličine, kao npr.
brzina, sila i dr.
Svaka veličina je definisana matematički formulisanim zakonom te može da se meri i ima dve osnovne
karakteristike: kvalitet i kvantitet. Osobina ili kvalitet veličine je karakteristika kojom se neka veličina suštinski
(po svojoj prirodi) razlikuje od drugih veličina. Zbog toga se kvaliteti dveju veličina ne mogu upoređivati niti
meriti. Kvalitet neke veličine se naziva još i dimenzija te veličine.
Kvantitet ili količina je drugo obeležje neke veličine kojim se porede dve ili više pojava iste prirode.
Tačno određena količina neke veličine je jedinica te veličine. I one, prema veličinama, mogu biti osnovne i
izvedene. Skup uslovno izabranih
jedinica fizičkih veličina naziva se sistem jedinica. Najmanji potreban broj osnovnih jedinica određene oblasti
određuje se iz broja nezavisnih jednačina kojima se analitički može predstaviti ta oblast. Tako npr. u mehanici
postoji 39 veličina od kojih se , prema prethodnom postupku, zahteva najmanje tri osnovne a to su: metar,
kilogram i sekund. Za opisivanje elektromagnetnog polja potrebne su četiri osnovne jedinice i to pored tri
pomenute mehaničke dodaje se četvrta jedinica maper, za jačinu struje.
Razvojem nauke i tehnike usavršavali su se i primenjivali različiti sistemi jedinica. To je stvaralo ogromne
teškoće ne samo u fizici i merenjima već i u međunarodnom komuniciranju. Zbog toga se nametnula potreba za
uvođenjem jedinstvenog sistema jedinica. Tako je 1960. godine, na XI generalnoj konferenciji za tegove i mere
preporučen za upotrebu SI sistem koji pored pomenute četiri ima petu osnovnu jedinicu stepen Kelvinov za
merenje termodinamičke temperature, šestu osnovnu jedinicu kandelu za merenje jačine svetlosti i sedma je
osnovna jedinica ovog sistema mol za merenje količine materije. Naša zemlja, kao i mnoge druge, prihvatila je
SI sistem sa obaveznošću primene od 01. 01.1981.godine.
Materijalizovana jedinica mere sa vrhunskom tačnošću naziva se mera ili standard ili etalon osnovne ili
izvedene jedinice.
7.2. Sredstva merenja
U pogledu samog načina merenja uvek se težilo da se izbegne subjektivnost čoveka i njegovih čula koja imaju
ograničenu moć zapažanja i ocenjivanja. Zbog toga se koristi čitav niz materijalizovanih tehničkih naprava i
sredstava pomoću kojih se ostvaruje proces merenja, koja imaju opšti naziv - sredstva merenja.
Sredstva merenja dele se u tri osnovne grupe i to:
- mere (uzorci ili kalibri),
- merni uređaji i
- merni pretvarači.
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 50 ----------------------------
a) Mera je materijalizovano sredstvo merenja odgovarajućeg oblika sa kojim se može reprodukovati određena
jedinica mere ili njen umnožak. Osnovni zahtevi koje treba da ispune mere su:konstantnost u datom vremenu,
lako poređenje merene veličine sa njom i jednostavna reprodukcija jedinice mere sa visokom tačnošću.
Pored mera osnovnih jedinica postoji veliki broj mera izvedenih jedinica. Tako za potrebe električnih merenja
materijalizuju se mere (standardi) otpornosti, kapacitivnosti i induktivnosti.
b) Merni uređaji ili instrumenti su sredstva merenja sa kojima se u mernom postupku ostvaruje proces
poređenja merne veličine i mere
prikazivanjem rezultata merenja na indikatoru. Vrednost merene veličine se posredstvom mernog uređaja
poredi sa vrednošću veličine mere a rezultat poređenja se preko indikatora šalje posmatraču. U najvećem broju
merenja, direktno se ne koristi materijalizovana mera već merni uređaj u sebi sadrži "referentnu" veličinu koja
se pomoću mere (etalona) periodično kontroliše i overava. Referentna veličina mernog uređaja po pravilu ima
prirodu merne veličine ili njoj analogne veličine, npr. kod voltmetra sa kazaljkom referentna veličina je sila
opruge, a kod dogitalnog voltmetra je napon itd.
Merni uređaji se najčešće dele prema principu rada, frekventnom opsegu, metodama merenja, prema načinu
predstavljanja merne informacije itd. Najjasnija podela mernih uređaja prema principu prikazivanja merne
informacije jeste podela na analogne i digitalne merne uređaje. Kod analognih mernih uređaja očitavanje
vrednosti merenja vrši se na osnovu skretanja kazaljke na skali instrumenta, ili na osnovu grafika-pisača. Kod
digitalnih mernih uređaja rezultat merenja se prikazuje neposredno u decimalnom brojnom sistemu.
c) Merni pretvarači su uređaji kojima se ostvaruje pretvaranje jedne veličine u drugu veličinu kada te veličine
imaju različiti fizički karakter. Oni su neophodni jer često u procesu merenja nije moguće direktno poređenje
merene veličine i materijalizovane mere u nekom mernom uređaju a posebno kada su te veličine fizički
različite. U procesu merenja pretvarači se koriste u slučaju da se jedna veličina pretvori u veličinu sa kojom je
moguće vršiti njeno poređenje sa referentnom veličinom ili da se rezultat merenja pretvori u veličinu pogodnu
za indikaciju i registraciju. Poseban značaj imaju u merno-regulacionoj tehnici i sistemima za prenos mernih
informacija.
7.3. Metode merenja
Prema načinu dobijanja vrednosti merene veličine u mernom procesu, merenja se mogu podeliti na direktna,
indirektna i kompleksna. Direktnim merenjem se vrednost merene veličine dobija neposrednim poređenjem sa
jedinicom mere iste prirode. Npr. merenje napona gde se na skali, iz položaja kazaljke , direktno očitava
vrednost napona.
Kada se vrednost merene veličine dobija posredno preko merenja drugih veličina koje su u neposrednoj
funkcionalnoj zavisnosti sa merenom veličinom, onda je to indirektno merenje. Npr. merenje otpornosti tzv. UI
metodom, merenjem napona i struje, i sl.
Kompleksna merenja su merenja koja se zasnivaju na direktnom i indirektnom određivanju nekog skupa
veličina koje su međusobno povezane sistemom algebarskih jednačina. Rešavanjem takvog sistema jednačina
mogu se odrediti međusobne zavisnosti tih veličina i merne
veličine. U takva merenja mogu se svrstati merenja statističkih parametara slučajnih procesa, korelaciona
merenja i dr.
Prema načinu kako se izvode merenja postoje dve grupe metoda merenja i to: metoda neposrednog skretanja ili
odbrojavanja i metoda ravnoteže ili nulta metoda.
Metoda skretanja je u suštini pretvaranje merene veličine u pomeraj kazaljke mernog sistema duž graduisane
skale u jedinicama mere. Vrednost merene veličine direktno se očitava na skali instrumenta. Ove metode su se
zbog jednostavnosti , brzine merenja i relativno jednostavne konstrukcije instrumenta do sada najčešće
koristile. Međutim, razvojem savremene tehnologije mikroelektronskih kola sve više se umesto ovakvih sistema
koriste savremeni elektronski digitalni instrumenti koji rezultat merenja pokazuju brojčano, u vidu odbrojane
vrednosti. Prednost ovih instrumenata nad instrumentima sa kazaljkom je u tome što je brojčanim pokazivanjem
izbegnuta subjetkivnost ocenjivanja položaja kazaljke.
Metoda ravnoteže ili nulta metoda je takva metoda kod koje se pomoću poznate vrednosti veličine podešava da
razlika merene veličine i referentne veličine bude jednaka nuli. Tada je vrednost nepoznate merene veličine
jednaka poznatoj , referentnoj vrednost i veličine - postignuta je ravnoteža jer kazaljka mernog instrumenta
pokazuje nulu. U električnim merenjima uređaj na principu mostova i na principu kompenzacije
(potenciometri) tipični su primeri uređaja koji rade po nultnoj metodi. Pored ovih metoda merenja postoji još
puno metoda koje se zasnivaju na već navedenim. To su npr.: metoda poređenja, metoda zamene, diferencijalna
metoda , balistička metoda, metoda povratne sprege, rezonantna metoda i druge metode.
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 51 ----------------------------
7.4. Greške pri merenju
Osnovni zadatak merenja je da se posredstvom odgovarajućih tehničkih sredstva odredi vrednost neke merene
veličine. Izmerena vrednost date veličine izražena u jedinicama merenja predstavlja rezultat merenja. Razvojem
i usavršavanjem mernog postupka teži se da rezultat merenja bude što više približniji pravoj (tačnoj) vrednosti
merene veličine. Međutim, zbog ograničenih mogućnosti mernih sredstava u pogledu tačnosti, zbog izmena
uslova u kojima se odvija proces merenja, kao i zbog nedovoljnog poznavanja mernog objekta rezultat merenja
će se razlikovati za određeni iznos od prave vrednosti merene veličine. Ustvari, svako merenje se obavlja sa
izvesnom greškom.
Tačnost merenja je mera slaganja između izmerene i stvarne vrednosti što se brojno izražava razlikom između
ovih vrednosti a naziva se apsolutna greška merenja:
X = Xm - X
gde je Xm - merena vrednost a X - stvarna vrednost.
Pri oceni tačnosti merenja često se koristi relativna greška merenja koja predstavlja odnos apsolutne greške i
stvarne vrednosti:
d = X
X
Relativna greška se najčešće izražava u procentima:
d = d 100
Sa oznakom relativne greške klasiraju se merni instrumenti po tačnosti počev od 0,05% (precizni,
laboratorijski) pa sve do 5% (pogonski instrumenti).
Priroda uzroka nastajanja grešaka pri merenjima je osnovni kriterijum podele grešaka merenja. Prema tome,
razlikujemo sistematske i slučajne greške.
Sistematske greške su greške koje kod višestruko ponovljenih merenja jedne iste vrednosti merene veličine, pod
istim uslovima, ostaju stalne. One mogu nastati usled pogrešnog baždarenja instrumenta, pomeranja nultog
položaja kazaljke, kosog položaja instrumenta, zanemarene potrošnje instrumenta, zanemarene otpornosti veza i
td. Možemo ih u izvesnoj meri eliminisati ili uzeti u obzir prilikom obrade rezultata merenja. Tako npr. greške
metode mogu se smanjiti izborom savršenijih ali i složenijih metoda ili uvođenjem popravke u rezultatu
merenja.
Slučajne greške su greške koje se u rezultatu merenja pojavljuju nepredviđeno ostvarivanjem većeg broja
uzastopnih mereneja vrednosti jedne iste veličine, pod istini uslovima. U grupu slučajnih grešaka spadaju i tzv.
grube greške ili promašaji. Te greške mogu biti subjektivnog karaktera, od strane operatora u mernom procesu,
ili objektivne u koliko se radi o neispravnosti određenog mernog uređaja ili pribora za merenje. Verovatnoća
pojavljivanja ovakvih grešaka veoma je mala te se prilikom obrade rezultata merenja ne uzimaju u obzir.
7.5 Električni merni instrumenti
S obzirom na fizičke zakone koji su korišćeni pri izgradnji pretvaračkog dela instrumenta (primarni deo ili
senzor) sve električne merne instrumente možemo podeliti na: elektromagnetne, indukcione, elektrostatičke,
termičke i elektronske. Svaka od ovih grupa ima ceo niz vrsta instrumenata koji se konstruktivno razlikuju
među sobom i zato imaju i posebne nazive.
Elektromagnetni merni instrumenti zasnivaju se na postojanju magnetnog polja i provodnika sa strujom koji se
nalazi u magnetnom polju. Na provodnik deluje elektromagnetna sila koja se kao mehanička sila koristi za
pokretanje kazaljke instrumenta.
Indukcioni instrumenti rade na principu indukcionih motora. Znači, kod njih se ostvaruje obrtno magnetno polje
koje pokreće ili obrće rotor (ploča, disk i si.).
Elektrostatički instrumenti rade na principu postojanja elektrostatičke sile koja deluje između dva naelektrisana
tela kad su na različitim potencijalima.
Termički instrumenti rade na principu zagrevanja provodnika usled prolaza struje i tada se za pokretanjem
kretnog sistema instrumenta koristi pojava izduženja provodnika ili pojava elektromotorne sile termosprega.
Elektronski merni instrumenti svoj rad zasnivaju na proticanju elektrona u vakuumu i delovanju električnog i
magnetnog polja na njihovo kretanje, što se može zapaziti na fluorescentnom zastoru katodne cevi. U ovu grupu
instrumenata spadaju, takođe, i instrumenti koji se zasnivaju na primeni jačine prolaza struje kroz elektronske
cevi ili tranzistor usled delovanja promene napona na ulaznoj elektrodi elektronske cevi ili tranzistora, kao i
instrumenti koji koriste neki od elektronskih uređaja kao što su: pojačavači, oscilatori i td.
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 52 ----------------------------
Svi instrumenti u kojima se ostvaruje obrtni elektromagnetni momenat u zavisnosti od merene veličine moraju
imati i otporni momenat koji je u ravnoteži sa elektromagnetnim momentom bez obzira u kom se položaju
nalazio kretni sistem. Otporni momenat se obično ostvaruje elastičnim delovanjem opruge ili držača pokretnog
sistema, reagovanjem magneta ili provodnika u magnetnom polju ili gravitacionim delovanjem na nesimetrično
raspoređene mase.
7.6. Instrumenti sa kretnim kalemom
Ovi instrumenti pripadaju grupi elektromagnetnih mernih instrumenata i imaju mnogo veći značaj od
instrumenata sa pokretnim magnetom i ako je ovaj drugi istorijski stariji. U stvari, na osnovu Erstedovog
otkrića, razvijen je 1828. godine galvanometar sa pokretnim kalemom a 1837. godine tangentni galvanometar.
Ovaj instrument je usavršio Tomson 1857. godine u veoma tačan galvanometar sa pokretnim magnetom.
Galvanometar sa pokretnim kalemom je bio prvo poboljšan (Tomson,1867.godine) umetanjem nepokretnog
jezgra od mekog gvozda u vidu valjka u prostor koji obuhvata kalem, a zatim dodavanjem magnetnih polnih
nastavaka (Darzonval, 1882.godine) koji su bili kružnog oblika.
Ovim izmenama postiglo se da se kalem kreće u radijalnom magnetnom
polju koje je veoma veliko. Praktično, svi savremeni galvanometri su
Darzonvalovog tipa.
Galvanometar je inače merni instrument koji može da otkriva prisustvo
veoma malih struja reda 10-12
A i napona reda 10-9
V.
Za merenje većih jačina struja i napona upotrebljava se instrument sa
kretnim kalemom i stalnim magnetom. Rad ovih instrumenata zasniva se
na uzajamnom dejstvu polja i struje koja teče kroz provodnik kretnog
kalema a koji se nalazi u tom magnetnom polju.
Konstruktivni izgled instrumenta sa kretnim kalemom dat je na slici 7.1.
Polni nastavci stalnog magneta (N,S) oblikovani su tako da obrazuju
cilindrični prostor sa radijalnim magnetnim poljem u kome je kretni
kalem (K) sa N navojaka, pravougaonog oblika. Kalem je pričvršćen na
cilindričnom nosaču (valjku) sa osovinom (O) koja svojim krajevima
leži u ležišta sa vrlo malim otporom trenja. Osovina sa kazaljkom je
pomoću spiralnih opruga postavljena u nulti, ravnotežni položaj.
Priključni krajevi kalema povezani su preko spiralnih opruga, ili preko
metalnih delova osovine ili je neko drugačije rešenje što zavisi od same primene instrumenta. Međutim,
osnovni princip rada ovakvih instrumenata ostaje isti.
Uzajamno dejstvo sila magnetnog polja stalnog magneta i elektromagnetne sile električne struje kroz kalem
može se objasniti na osnovu slike 7.2
Pod dejstvom stalne jednosmerne struje I na
svaku bočnu stranu kalema deluje
elektromagnetna sila :
)Bxl(INF
gde je N broj navojaka kalema, l je dužina
kalema i B je magnetna indukcija radijalnog
magnetnog polja.
Pošto su linije sila magnetnog polja horizontalne
a provodnici kalema vertikalni <(l, B) = 90° .
Sada gornji izraz dobija oblik :
F = N I l B sin(l,B) = N I l B .
Smer sile određuje se prema smeru struje, poznatim pravilom tri prsta desne ruke.
Pod dejstvom ove sile na kalem širine a deluje obrtni, elektromagnetni momenat:
M=F a = N l a B I = N S B I = k I ,
gde je proizvod NSB = k, konstantan.
Obrtnom momentu M suprotstavlja se i ujedno ga uravnotežava otporni momenat Mo koji nastaje usled
elastičnog delovanja spiralnih opruga, torzionih traka ili žice kojom je kalem pričvršćen. Otporni momenat je
srazmeran uglu skretanja pokretnog sistema , odnosno ugaonom skretanju slobodnog kraja opruge:
M0=ko.a ,
Sl.7.1
Sl.7.2
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 53 ----------------------------
gde je kg konstanta opruge koja zavisi od modula elastičnosti metalnog, nemagnetnog materijala opruge kao i
od dužine, širine i debljine opruge. Kad su opruge upotrebljene za provođenje električne struje u pokretni
kalem, njihov presek mora biti dovoljno veliki da bi opruge provodile struju bez povišenja temperature, što bi
inače delovalo na konstantu otpornog momenta.
U ravnotežnom položaju pokretnog sistema ova dva momenta su jednaka:
M = M0 , odnosno
k I = k0
odakle se dobija :
I = k
k0 = ki
Koeficijent:
ki =
I
naziva se strujna konstanta a izražava se u amperima po radijanu.
Usled linearne srazmernosti između ugla skretanja kazaljke (a) i struje kroz kretni kalem skala će biti linearna
sa ravnomerno raspoređenim podeocima na skali. Prednost linearne skale je što vrednost merene veličine
možemo sa istom preciznošću pročitati na svakom delu skale.
Instrument sa kretnim kalemom može da meri samo jednosmernu struju, jer promena smera struje ima za
posledicu promenu smera obrtanja kalema. Ovaj instrument se može koristiti i za merenje jednosmernog
napona. Kada se koristi kao voltmetar, tada je unutrašnji otpor ovog instrumenta mnogo veće otpornosti nego
kad radi kao ampermetar. Napon koji voltmetar može meriti je :
U = Rv I = Rv ki = ku
gde je RV unutrašnja otpornost voltmetra a koeficijent :
ku =
U
naziva se naponska konstanta i izražava se u voltima po radijanu.
Na osnovu prethodnih razmatranja mogu se dati bitne karakteristike instrumenta sa kretnim kalemom, a to su:
1. skala instrumenta je linearna, a skretanje kazaljke srazmerno je vrednosti merene veličine,
2. skretanje kazaljke je jednoznačno u odnosu na polaritet merene struje i napona, te su otuda ovi instrumenti
polarizovani,
3. temperaturno su osetljivi jer im se temperaturom menja otpornost kalema i indukcija magnetnog
polja, pa je neophodna temperaturna kompenzacija ovih parametara,
4. ne mogu se direktno koristiti za merenje naizmeničnih struja i napona, već je to moguće na posredan način
ispravljanjem naizmenične struje pomoću ispravljača i
5. pripadaju grupi preciznih instrumenata sa klasom tačnosti od 0,1% do 1%.
U praksi se instrumenti sa kretnim kalemom retko koriste za merenje struje i napona u osnovnom domašaju
merenja, već se kao takvi koriste za projektovanje ampermetara i voltmetara s proširenjem domašaja ili opsega
merenja.
7.6. l. Merenje jačine struje i proširenje mernog opsega ampermetra
Da bi se izmerila jačina struje koriste se merni instrumenti čiji je opšti naziv ampermetri. Ampermetar se veže
redno u kolo čiju struju želimo izmeriti. Osnovni uslov merenja je da se što manje promene parametri kola i
režim rada kola. Ukoliko su ove promene manje, utoliko će merenje biti tačnije. Međutim, usled same
konstrukcije, prilikom protoka struje kroz ampermetar jedan deo energije unutar instrumenta pretvara se u
toplotu. To znači daje osnovna karakteristika ampermetra njegov unutrašnji otpor RA od čije vrednosti upravo
zavisi tačnost merenja. Ovo ćemo najbolje ilustrovati na sledeći način: na slici 7.3a prikazano je kolo kome
hoćemo da odredimo jačinu struje u odsustvu ampermetra, a na slici 7.3b je isto kolo ali sa priključenim
ampermetrom.
Prema slici 7.3a tačna vrednost struje bi bila :
I =R
U , dok je izmerena vrednost (sl.7.3.b)
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 54 ----------------------------
I m =
ARR
U
odakle se vidi da je
izmerena vrednost jačine
struje manja od stvarne
(tačne) vrednosti. Da bi
izmerena struja imala
približnu vrednost stvarnoj
potrebno je da unutrašnji
otpor ampermetra ima što
manju vrednost Bez obzira
što se ampermetri grade male unutrašnje otpornosti nemoguće je izbeći grešku merenja. To je sistematska
greška nastala zbog prisustva otpornosti RA, odnosno zbog same konstrukcije instrumenta.
Ampermetar koji je konstruisan za merenje struje male
jačine osnovnog opsega IA, može se lako prilagoditi za
merenje struje mnogo većih jačina , sa novim opsegom I.
To se izvodi tako što se ampermetru paralelno dodaje
otpornost određene vrednosti RŠ koja se naziva šant ili
paralelni otpor (sl.7.4). Ovaj postupak se naziva
proširenje opsega (područja) ampermetra.
Iz novog opsega I i osnovnog opsega IA potrebno je
odrediti veličinu otpornosti Rš. Iz jednakosti napona UAB
na RA i RŠ dobijamo da je:
UAB = IA RA = IŠ RŠ = ( I-IA ) RŠ , odakle je
RŠ = A
A
II
IR
U praksi svaki ampermetar ima više opsega. Primer jedne
takve konstrukcije dat je na slici 7.5.
Osnovni nedostatak ovakvog načina proširivanja je u
tome što kod promene opsega pomoću preklopnika P,
instrument može biti preopterećen i na taj način uništen,
te ga zato treba isključivati. Drugi nedostatak je što
ukupna otpornost ampermetra postaje različita za svaki
opseg merenja, što može uticati na oblik kretanja kretnog
sistema, mada za RA, nema uticaja RŠ.
7.6.2. Merenje napona i proširenje mernog opsega
voltmetra
Napon ili potencijalna razlika meri se instrumentom voltmetrom koji se veže paralelno sa krajevima kola ili
izvora čiji se napon želi izmeriti (sl.7.6.). Priključivanjem voltmetra u kolo utičemo na ukupnu otpornost kola a
samim tim i na mereni napon što opet dovodi do sistematske
greške.
Uticaj voltmetra na tačnost merenja možemo videti
upoređenjem električnog kola bez voltmetra (sl.7.7a) i kola sa
voltmetrom (sl.7.7b). Prema slici (7.87.a) stvarna (tačna)
vrednost napona između tačaka A i B je
U=UT=IR,
a prema slici 7.7b izmerena vrednost napona između tačaka A i
B je : UM=RIl—RvIv koji je manji od stvarne vrednosti, UM < UT .
Da bismo smanjili sistematsku grešku potrebno je da struja
voltmetra Iv bude zanemarljivo mala. Ovaj uslov se ispunjava konstrukcijom voltmetra koji ima veoma veliku
unutrašnju otpornost, odnosno Ry>>R.
'
V
A B
R
U
I
Sl.7.6
Sl.7.3
Sl.7.4
Sl.7.5
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 55 ----------------------------
Opseg merenja ovakve konstrukcije voltmetra je veoma mali, reda mV. Da bi se proširio opseg merenja
voltmetra njemu se na red dodaje otpornik određene vrednosti RR(sl.7.8).
Pri tome je potrebno zaštititi instrument tako
da struja kroz voltmetar ostane ista bez obzira
da li ima ili nema dodatnog otpornika (odnos
napona i otpora ostaje isti).
Otpornost RR odredićemo prema Omovom
zakonu:
Iv = Rvv
v
RR
U
R
U
odakle je :
RR = Rv (vU
U- 1).
Ekvivalentna otpornost, ovako modifikovanog voltmetra
je:
RVe = Ry+RR=Ry + RV (vU
U- 1)=
vU
U Rv ,
odnosno ovde se otpornost voltmetra uvećava onoliko puta
koliko puta želimo povećati merni opseg voltmetra.
Praktični voltmetri imaju više opsega. Na slici 7.9
prikazano je jedno od rešenja takvog voltmetra.
7.7. Elektrodinami~ki vatmetar
Snaga jednosmerne struje i aktivna snaga neizmenične struje meri se instrumentom vatmetrom koji radi na
principu nekog od dejstava električne struje. Ipak od svih vrsta najčešće se koristi elektrodinamički vatmetar
čiji se princip rada zasniva na elektrodinamičkom dejstvu struje. Sastoji se od pokretnog (naponskog) kalema
(l),nepokretnog (strujnog) kalema (2), prigušnice (3), kazaljke (4), skale (5) i spiralnih .opruga (6), stoje
prikazano na slici 7.11a. Pokretni (manji) kalem je smešten u nepokretnom i može se zakretati sa svojom
osovinom za određeni ugao. Obrtanje manjeg kalema ostvaruje se elektromagnetnim momentom M koji deluje
na njega kad kroz veći , strujni kalem, prolazi struja I1 a kroz naponski struja I2. Šema principa rada prikazana
je na slici 7. l 0b.
Skretanjem pokretnog kalema pokazuje kazaljka pričvršćena na osovinu pokretnog kalema. Elektromagnetnom
momentu suprostavlja se otporni momenat spiralnih opruga:
M0=k0
Šema veze elektrodinamičkih instrumenata prikazana na slici 7.12 koristi se za merenje snage .
Pod dejstvom struja I1 i I2 vrednost elektromagnetnog momenta će
Iv
A B
R
UT
Sl.7.7
+
a)
V
A B
R
UT
I
Rv
b)
I
V A B
Rv
Uv
Iv
Sl.7.8
RR
C
U
Sl.7.9.
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 56 ----------------------------
biti:
M = k1 I1 I2 = k1 I1 vR
U =
v
1
R
k U I = k P .
Kako je :
Mo=ko = M, imamo da je
= 0k
kP = kwP.
Izraz nam pokazuje da je ugao skretanja kazaljke srazmeran snazi te će skala vatmetra biti linearna.
Ako se želi meriti aktivna snaga naizmenične struje, tada struje i1 i i2 stvaraju trenutnu vrednost
elektromagnetnog momenta :
m(t)=k i}i2) ,
čija je srednja vrednost (kojim kazaljka zauzima neki srednji položaj):
M = T
0
dt)t(mT
1 =
T
0
211 dtiikT
1.
koji se uravnotežava otpornim momentom: Mo=ko = M, odakle nalazimo srednju vrednost ugla
skretanja
= kw dtuiT
1T
0
, gde je izraz dtuiT
1T
0
srednja, aktivna
snaga prijemnika , te je konačno
= kwP.
Elektrodinamički instrumenti spadaju u najtačnije instrumente
klase tačnosti 0,1 za laboratorijske svrhe, klase tačnosti 0,2 za
prenosne svrhe i klase l kao pogonski instrumenti na razvodnim
tablama.
7.8. Katodni osciloskop
Katodni osciloskop je jedan od najčešće korišćenih instrumenata u svakodnevnim i specijalnim merenjima. On
omogućava posmatranje vremenskog oblika napona, može se meriti frekvencija, jednosmerni i naizmenični
napon, struja, snaga i dr., u vrlo širokom opsegu frekvencija (do 5OOMHz a neke specijalne konstrukcije i
nekoliko desetina GHz). Izrađuju se kao jednokanalni, dvokanalni do složenih višekanalnih osciloskopa. U
poslednje vreme razvijeni su digitalni osciloskopi koji oblik ispitivanog signala, obično kratkotrajnog i
neperiodičnog, sačuvaju u digitalnoj memoriji. Iz digitalne memorije ovaj se signal može prikazati na
osciloskopu sa pogodnom vremenskom bazom i sa onolikim zadržavanjem na osciloskopu koliko je potrebno za
posmatranje. U horizontalnom kanalu osciloskopa ugrađena su posebna elektronska kola koja proizvode
testeraste oscilacije odnosno testerasti napon, određenog trajanja, koji se naziva vremenska baza osnovna
konfiguracija osciloskopa opšte namene sadrži jedan ili dva kanala za vertikalno skretanje mlaza i horizontalni
A
Rv
i2
i1
Rv
B
D
C
U
Sl.7.12
Sl.7.11
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 57 ----------------------------
stepen sa interno kalibrisanom vremenskom bazom koja može raditi u slobodnom, sinhronom i čekajućem
(okidnom) režimu rada. Funkcionalna povezanost pojedinih stepena ovakvog tipa osciloskopa prikazana je
blok-šemom na slici 7.13. signal koji želimo da posmatramo dovodi se na ulaz Y. Vertikalni kanal ili vertikalni
otklonski sistem osciloskopa čine: sonda osciloskopa, ulazni selektor (birač), ulazni oslabljivač, vertikalni
pojačavač i otklonske ploče za skretanje po vertikali. Zavisno od amplitude signala možemo ga oslabiti
(područje slabljenja je od 5mV do maksimalnog slabljenja od 50V po podeli) ili ga pojačati od 1000 puta do
5000 puta.
Svi delovi vertikalnog kanala prouzrokuju vremensko kašnjenje signala koji treba da deluje sa ulaza
osciloskopa na par ploča za vertikalno skretanje. Isto se dešava i u horizontalnom kanalu. Da bi se na ekranu
mogla videti ćela slika ulaznog signala, mora se obezbediti da ulazni signal zakasni, osim vremena kašnjenja
kroz vertikalni kanal još onoliko vremena koliko iznosi kašnjenje testerastog napona u horizontalnom kanalu.
Horizontalni kanal osciloskopa ima sledeće delove: generator vremenske baze (to su kola za proizvođenje
testerastog napona), sklop za okidanje (aktivira generator vremenske baze)i horizontalni pojačavač (koji
obezbeđuje dovoljnu amplitudu testerastog napona
Pri tome je važno da testerasti napon bude sinhronizovan sa ulaznim naponom.
U pomoćni pribor osciloskopa spadaju sonde. Sonda služi za prenos ulaznog mernog signala od kola koje se
ispituje do vertikalnog ulaza Y i to bez izobličenja.
Osnovni deo osciloskopa je katodna cev koja predstavlja elektrooptički sistem osciloskopa zbog čega je
posebno ističemo.
7.9.1. Katodna cev
Prva katodna cev, demonstrirana 1889. godine, mogla je vršiti skretanja mlaza elektrona sa katode u vakuumu
pomoću magnetnog polja. Druga poboljšana verzija iz 1897. godine omogućila je primenu istih u osciloskopima
ali tek 1922. godine. Ugradnjom elektrode za kontrolu elektronskog mlaza (Veneltov cilindar, 1929.godine) i
druga poboljšanja doprinela su usavršavanju konstrukcije katodne cevi koja se danas primenjuje.
Katodna cev je posebna vrsta elektronske cevi koja koristi kretanje mlaza elektrona u vakuumu za vizuelno
praćenje promena električnog napona koji deluje na mlaz elektrona. Sastoji se od staklenog balona, kruškastog
oblika u kojem postoji visoki vakuum (10-8
mm Hg) i u kome se nalazi: katoda, sistem za fokusiranje
elektronskog mlaza, sistem za skretanje elektronskog mlaza (otklonski sistem) i ekran (zastor), što je prikazano
na slici 7.14.
Katoda je elektroda u obliku kratkog cilindra sa vlaknom (u visokom vakuumu) koje se indirektno zagreva.
Usijana katoda (zagrejano vlakno) emituje elektrone koji dobijaju dovoljnu kinetičku energiju i izlaze
"raštrkano" iz katode (zbog međusobnih odbojnih sila). Između anode A1 i katode K nalazi se Veneltov cilindar
na nešto negativnijem potencijalu od katode, koji primorava suvišne rasute elektrone iz katode da se prikupe
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 58 ----------------------------
oko ose z-z. Veneltov cilindar ima u sredini mali kružni otvor i reguliše jačinu elektronskog mlaza te se naziva
modulator.
Elektroni, koji su jako ubrzani dejstvom visokog pozitivnog napona anode A1 i A2, ne zadržavaju se na
anodama već bivaju samo ubrzani. Anode A1 i A2 su cilindrične različitog poluprečnika sa otvorima uz osu cevi
da bi se dobio što uži mlaz elektrona. Anoda A1 je na pozitivnom naponu od nekoliko stotina volti a anoda A2
može biti i do nekoliko hiljada volti pa električno polje anoda A1 i A2 ne samo da fokusira nego i ubrzava
elektronski mlaz. Zbog opasnosti pri rukovanju kao i zaštita od uticaja stranih neželjenih električnih polja na
skretanje mlaza
anoda A2 je vezana na šasiju katodne cevi. Prema tome, glavna uloga svih delova katodne cevi, od katode do
anode A2 , je stvaranje uskog elektronskog mlaza. Zato se ovaj deo naziva "elektronski top" (slično putanji
granate iz topa) ili sistem za fokusiranje
katodne cevi. To su ustvari, dva sabirna
sočiva gde prvo čine katoda, Veneltov
cilindar i anoda A1 a drugo sočivo čini
sama anoda A2. Po izlasku iz anode A2
elektronski mlaz ulazi u otklonski sistem
od dva para ploča Y1-Y2 i X1-X2. Prvi par
ploča Y1-Y2 služi za vertikalno skretanje
mlaza a X1-X2 ploče za horizontalno
skretanje mlaza. Skretanje mlaza gore-dole
ili levo-desno zavisi od polariteta
otklonskih ploča jer mlaz elektrona skreće
prema ploči pozitivnijeg potencijala.
Elektroda A je ustvari naslaga grafita na
unutrašnju stranu levka katodne cevi.Pošto
je na visokom naponu služi za naknadno ubrzavanje elektrona koji su izašli iz otklonskog sistema i kroz njeno
polje prolaze ka ekranu. Osim što ubrzava elektrone, koji se kreću ka eranu, ona prikuplja sekundarne elektrone
izbijene iz ekrana i pruža određenu zaštitu elektronskom mlazu od stranih magnetnih polja.
Posle ubrzavanja i skretanja elektronski mlaz udara u ekran ili zastor i deo energije mlaza pretvara se u vidljivo
zračenje. Ekran se sastoji od tankog sloja finog praškastog cink-ortosilikata. To je fluorescentni materijal koji
ima osobinu da emituje svetlost karakteristične boje kada se pobudi ili izloži dejstvu elektronskog mlaza. Posle
prestanka pobude materijal ekrana nastavlja da svetli što se naziva fosforescencija. Svetlost prestaje različitom
brzinom u zavisnosti od toga od kakvog je materijala ekran.
Pošto je ekran loš provodnik električne struje, treba obratiti pažnju da se može desiti da postane negativno
naelektrisan i da odbija elektrone. Međutim, pri usmerenom ubrzanju elektrona svaki upadajući elektron
proizvodi u prošeku jedan sekundarni elektron i ekran postaje na taj način samo neznatno negativno
naelektrisan.
7.8.2. Posmatranje električnih veličina
Kao posledica udara mlaza elektrona u ekran dolazi do pretvaranja kinetičke energije elektrona u svetlosnu
energiju te se na ekranu javlja svetla tačka. Ta svetla tačka će biti tačno u centru ekrana ako na otklonskim
pločama nema napona. Ako priključimo
jednosmerni napon na horizontalni par
otklonskih ploča a ne priključimo napon
na vertikalni par ploča tačka će se kretati
gore-dole po vertikali ekrana, što zavisi
od polariteta i veličine priključnog
napona. U obrnutom slučaju svetla tačka
bi se kretala levo ili desno po horizontali
ekrana. Istovremenim priključivanjem tih
napona na oba para ploča tačku dovodimo
u bilo koji položaj na ekranu, zavisno od
polariteta i veličine napona.
Ako na ploče za vertikalno skretanje
mlaza dovedemo naizmenični napon,
Sl.7.14
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 59 ----------------------------
sinusnog oblika, a na pločama za horizontalno skretanje nema napona, moći ćemo da pratimo svetli trag samo
ako je učestanost napona mala. Povećanjem učestanosti svetli trag se pretvara u vertikalnu liniju na
ekranu. Naponi viših učestanosti mogu se posmatrati na ekranu ako ih i dalje dovodimo na priključne ploče Y1 -
Y2 a na priključke X1-X2 dovodimo napon testerastog napona. Na ekranu dobijamo jednu ćelu sinusoidu ako je
perioda te sinusoide ista kao i vreme trajanja jedne testeraste oscilacije. Testeraste oscilacije spadaju u grupu
relaksacionih oscilacija a proizvodi ih generator vremenske baze. Dok testerasti napon linearno raste
"prisiljava" mlaz elektrona da pomera po horizontali u desno. Naime, slika na ekranu rezultat je kretanja mlaza
elektrona pod delovanjem naizmeničnog napona na pločama Y i tasterastog napona na pločama X.
ZADACI
1. Precizni ampermetar A i voltmetar V vezani su u kolo kao na slici. Kada je prekidač P otvoren ampermetar
pokazuje struju I1=10mA, a voltmetar napon U1= 20V. Kada zatvorimo prekidač P, pokazivanja ampermetra i
voltmetra su I2= 42mA i U2=16,8V. Unutrašnja otpornost generatora je R1= 5.
Odrediti :
a)unutrašnju otpornost voltmetra Rv,
b)otpornost R,
c)elektromotornu silu E i
d)otpornost ampermetra RA.
Rešenje:
a) Rv = U1/I1 = 2 k.
b) Iv2 = U2/Rv = 8,4mA, IR = I2 – Iv2 = 42 – 8,4 =33,6mA , R = U2/IR = 500.
c) E – R1I1 – RaI1 – U1 = 0
E – R1I2 – RaI2 – U2 = 0, Odavde je E=21V,
d) Iz prethodne jednačine Ra = 94 .
R
P
V
A
R1
E +
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 60 ----------------------------
8. OSNOVE ELEKTRONIKE
8.1. UVOD
Naziv elektron prvi put se pominje 1895. godine. Iz tog vremena potiče i naziv elektronika. Početkom ovog
veka, odnosno pronalaskom vakuumske elektronske cevi diode (Fleming, 1904.godine), a zatim i triode (Li de
Forest, 1906. godine) počinje razvoj elektonike.
Vakumskom triodom je ostvareno upravljanje elektronskim mlazom u cevi pa time i upravljanje električnom
strujom u spoljnjem kolu ove cevi.
Nov razvoj elektronike nastao je posle 1948. godine kada su američki naučnici Bretejn i Berdin pronašli
poluprovodničku triodu, tj. bipolarni tranzistor. Danas savremene poluprovodničke diode i tranzistori veoma
uspešno zamenjuju elektronske cevi u mnogim primenama.
Elektronika je našla široku primenu u mernoj tehnici sa svim prednostima u odnosu na do tada upotrebljavane
instrumente. Prvi merni instrumenti bili su mehanički, veoma pogodni za merenje statičkih i sporijih pojava ali
usled svoje velike mase nisu bili u stanju da prate brze pojave. Znatno poboljšanje postignuto je upotrebom
električnih mernih instrumenata. Tek upotrebom elektronskih cevi, kasnije i tranzistora postiže se mogućnost
merenja pojava čije je trajanje reda 1ns kao što je primer katodne cevi u osciloskopu.
Pored toga, elektronski elementi mogu da pojačavaju veoma slabe signale, da stvaraju napone i struje
najrazličitijih oblika tako da su postali veoma korisni ne samo u tehnici merenja nego i u raznim drugim
delatnostima kao što su: kontrola, regulacija,računanje, uključivanje i isključivanje, brojanje itd.
Danas se elektronika primenjuje praktično u svakoj industriji i svakoj laboratoriji za razne svrhe. Npr. svaka
fizička i hemijska pojava koja može da bude pretvorena u električnu veličinu može da bude izmerena
električnim ili elektronskim putem.
Od posebnog je značaja proizvodnja električnih i elektronskih elemenata u kojoj u velikom broju učestvuju
inženjeri mašinstva, metalurgije i drugi stručnjaci van elektrotehničke struke. Zbog toga je potrebno da se i ovi
stručnjaci, sadašnji ili budući upoznaju sa osnovnim pojmovima elektronike da bi razumeli namenu i upotrebu
elemenata koje proizvode i koje koriste.
8.2. OBRAZOVANJE PN SPOJA
Za obrazovanje PN spoja danas postoji više metoda i postupaka. Za dobar kvalitet PN spoja (diode) potrebno je
da se sadržaj primesa u kristalu može dobro kontrolisati. Tehnika rada i tehnološki postupci se stalno
usavršavaju sa ciljem da se proces pojednostavi, automatizuje i pojeftini a da se pri tom dobiju određene
električne osobine materijala.
Kao polazni materijal koristi se silicijum ili germanijum. Germanijum se lakše prečišćava jer ima nešto nižu
tačku topljenja (95°C) ali ima nižu radnu temperaturu u PN spoju (oko 100°C). Silicijum se topi na 1400°C ali
zato dozvoljava radnu temperaturu spoja oko 200°C. Osim toga, Si je hemijski otporniji od Ge.
Od niza načina proizvodnje poluprovodnika često se koriste postupci izvlačenja, difuzije i legiranja.
Odmah po obrazovanju PN spoja (jedinstven kristal sa jasno izraženim svojstvima P sa jedne i N sa druge
strane spoja) doći će do difuzionog kretanja slobodnih nosilaca elektriciteta kroz graničnu površinu na mestu
spoja. Kretanje elektrona i šupljina (praznina) kroz graničnu površinu PN spoja čini difuzionu struju. Normalna
koncentracija šupljina u P oblasti znatno je veća nego u N oblasti pa se one difuziono kreću iz P u N oblast.
Posle ulaska u N oblast šupljine se rekombinuju sa slobodnim elektronima. Zbog toga u neposrednoj blizini P
oblasti, u N oblasti nema slobodnih elektrona i tu se nalaze nekompenzovani nepokretni pozitivni joni.
Istovremeno elektroni, kao slobodni i pokretni nosioci elektriciteta u N oblasti, difuzno se kreću kroz spoj iz N
u P oblast i rekombinuju se sa šupljinama u P oblasti. Zbog toga u P oblasti u blizini spoja nema slobodnih
šupljina pa se tu nalaze nekompenzovani nepokretni negativni joni (sl.S.l.a). Nekompenzovani pozitivni joni u
N oblasti do samog graničnog spoja i nekompenzovani negativni joni u P oblasti do samog graničnog spoja
nazivaju se prostorno naelektrisanje ili prostorno elektrostatičko opterećenje (sl.S.lb). Ova oblast oko granice
spoja naziva se zaprečni sloj koji otežava dalje difuziono kretanje pokretnih naelektrisanja. U realnim PN
spojevima čija je ukupna širina manja od 0,5cm , zaprečni sloj ima širinu oko 0,5 n. Objašnjenje za prestanak
proticanja difuzione struje kroz graničnu površinu PN spoja dobija se analizom dijagrama iz slike 8.1b,c i d. U
dijagramu (sl.S.lb) podužne raspodele elektrostatičkog opterećenja Q u PN spoju vidimo da u P oblasti van
graničnog sloja nema slobodnog opterećenja jer su negativni joni akceptora uravnoteženi istim brojem
pozitivnih šupljina. Isto stanje je i u N oblasti van graničnog sloja gde su pozitivni joni donora uravnoteženi
istim brojem slobodnih elektrona.
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 61 ----------------------------
Dijagram na slici 8.1c daje podužnu raspodelu elektrostatičkog potencijala (p duž PN spoja. Ako se uzme da je
potencijal u delu P oblasti izvan zaprečnog sloja jednak nuli, primećuje se linearan rast potencijala duž
zaprečnog sloja do pozitivne vrednosti (pg koja se zadržava duž N oblasti poluprovodnika. Razlika potencijala
od O do (pg naziva se kontaktna razlika potencijala ili potencijalna barijera jer predstavlja prepreku na putu
većinskih nosilaca elektriciteta kroz graničnu površinu PN spoja. Da bi slobodne šupljine prešle iz P u N oblast
mora da se savlada potencijalna barijera jer njeno električno polje potiskuje šupljine u levo dok elektrone u N
oblasti električno polje potiskuje u desno.
Na slici 8.1d prikazan je dijagram elektrostatičkog polja u PN spoju. S obzirom da se elektrostatički potencijal
(p povećava na prelazu iz P u N oblast spoja, u zaprečnom sloju deluje elektrostatičko polje E, čiji je intenzitet
najveći na graničnoj površini.
Smer polja je od oblasti višeg ka oblasti nižeg potencijala (od N ka P oblasti).
Može se zaključiti da posle obrazovanja PN spoja nastaje difuziona struja koja traje vremsnki veoma kratko a
fizički dok se sa jedne i sa druge strane granične površine spoja ne nagomila tolika količina naelektrisanja
(pozitivna na graničnom spoju u N oblasti i negativna na graničnom spoju u P oblasti) tzv. granična
naelektrisanja koja će dalje sprečavati difuziono kretanje slobodnih nosilaca elektriciteta.
8.3.POLUPROVODNIČKE DIODE
Poluprovodnička dioda je u suštini PN spoj sa metalnim pruključcima. Na osnovu sličnosti sa vakuumskom
diodom (dve elektrode) ovde se metalni kontakt za priključak na P oblast naziva anoda (A) a metalni kontakt za
Sl.8.1
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 62 ----------------------------
priključak na N oblast naziva se katoda (K). Oznaka diode u električnim šemama prikazana je na slici 8.2.
Karakteristike PN diode proizilaze iz statičke karakteristike koja se dobija direktnom i inverznom polarizacijom
diode.
Ako na krajeve diode dovedemo spoljašnji napon tako da plus kraj spojimo na stranu P a minus kraj na stranu N dioda
će biti polarisana u direktnom, provodnom ili pozitivnom smeru. Snimanje karakteristika diode u direktnom smeru
vrši se pomoću kola koje je prikazano na slici 8.3.
Otpornik R ograničava struju u kolu i štiti diodu od većih struja koje bi mogle da je razore. Struja kroz diodu se
meri miliampermetrom, a napon na njoj pomoću elektronskog voltmetra (zbog veće tačnosti).
Promenu napona na diodi vršimo pomoću potenciometra P. Uslov da dioda počne provoditi
struju u direktnom smeru je da priključni napon diode bude veći od tzv. naponskog praga koji
je približno jednak naponu potencijalne barijere na zaprečnom sloju. U ovom slučaju napon
izvora je suprotan naponu potencijalne barijere. To znači, da će glavni nosioci elektriciteta iz
P oblasti (šupljine) moći lakše da prelaze u N oblast i
obrnuto, elektroni kao glavni nosioci elektriciteta iz N
oblasti lakše će prelaziti u P oblast prema suprotno
naelektrisanom plus polu izvora. U zaprečnom sloju ili
tzv. prelaznoj oblasti dolazi do rekombinacije između
šupljina i elektrona. Zbog rekombinacije smanjuje se
potencijalna barijera na PN spoju. Tada se joni u
zaprečnom sloju vraćaju u neutralno stanje na taj način
što primaju pokretljiva naelektrisanja pozitivni joni
elektrone, a negativni joni šupljine. Usled smanjene
potencijalne barijere ceo PN spoj se sada ponaša skoro
kao kratak spoj i lakše provodi nego čist silicijum.
Povećanjem spoljašnjeg napona struja naglo raste i
najčešće je reda mA ili čak A. Na slici 8.4 prikazana je karakteristika diode pri direktnoj polarizaciji.
Na slici 8.4 označen je napon Up koji se naziva naponski prag ili prag
provođenja a koga spoljni izvor treba da savlada da bi dioda počela da
provodi struju. Kod silicijumskih dioda on je oko 0,6V a kod
germanijumskih oko 0,2V.
Ako na krajeve diode dovedemo spoljni napon tako da plus kraj izvora
spojimo sa N stranom a minus kraj izvora sa P stranom dioda će biti
polarisana u nepropusnom ili inverznom smeru. Snimanje karakteristike
za silicijumske diode normalno se ne izvodi jer je struja u ovom smeru
veoma mala i iznosi oko 1nA. Merenje ovako male struje može da se
izvede samo specijalnim instrumentima i metodama.
U ovom spoju napon izvora i napon potencijalne barijere su istog smera
te je i spoljašnje električno polje izvora takođe istog smera kao i
unutrašnje polje u zaprečnom sloju , koje potiče od potencijalne
barijere.
Na taj način ukupno električno polje potiskuje elektrone u N oblast a šupljine u P oblast. Ono ih takođe
udaljava i od granične površine spoja i onemogućava njihovu rekombinaciju. Struja praktično i ne teče kroz
diodu. Međutim, u pojedinim oblastima diode postoje i manjinski nosioci elektriciteta i to : šupljine u N oblast i
slobodni elektroni u P oblasti. Pomenuti uslovi povećane potencijalne barijere pogoduju protoku struje
manjinskih nosilaca. Pošto je N oblasti diode na pozitivnom priključku ona privlači elektrone iz P oblasti i
obrnuto, P oblast na negativnim priključkom privlači šupljine
iz N oblasti. Struja manjinskih nosilaca je male jačine i naziva
se inverzna struja diode jer se javlja pri nepropusnom ili
inverznom spoju diode.
Ako se povećava inverzni napon neće doći do povećanja
inverzne struje. Inverzna struja zavisi samo od temperature
spoja. Sa povećanjem temperature stvara se više
parova elektron-šupljina usled čega se i povećava
inverzna struja. Karakteristika diode u inverznom smeru
prikazana je na slici 8.5.
Sl.8.2
Sl.8.3
Sl.8.5
Sl.8.4
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 63 ----------------------------
8.4. PRIMENA DIODA
Usmeravanje naizmenične struje jedna je od najznačajnijih primena diode pošto dioda propušta struju samo u
jednom smeru. Usmerači manje snage izvode se kao jednofazni usmerači sa diodama manje struje i nižeg
napona. Za veće snage upotrebljavaju se diode većih struja i napona, danas već preko 1kA i 1kV, u dvofaznoj,
trofaznoj i višefaznoj vezi. Za visoke napone i velike jačine struja još uvek se upotrebljavaju cevne diode.
Usmeravanje ili ispravljanje naizmenične struje ima veliki značaj jer se u elektranama isključivo proizvodi
električna energija naizmenične struje a tamo gde je potrebna jednosmerna struja dobija se usmeravanjem
naizmenične. Jednosmerna struja je potrebna za hemijske elektrolize (bakra, aluminijuma, cinka itd.) čija snaga
može prelaziti i nekoliko desetina MVA, zatim za pogon električne vuče, zatim za razne dizalice, kranove, za
napajanje radio i televizijskih stanica, za napajanje motora jednosmerne struje, za punjenje akumulatora, za
napajanje raznih instrumenata i drugih uređaja. Odavde je jasno da je pretvaranje naizmenične struje u
jednosmernu od velikog praktičnog značaja.
8.4.1. Jednofazno polutalasno usmeravanje
Najjednostavniji usmerač se može izvesti pomoću jedne diode (Sl.8.6).
Na primar mrežnog transformatora dovodi se naizmenični napon od 220V. Na njegovom sekundaru dobija se
naizmenični napon, potrebne vrednosti, koji se usmerava pomoću diode D i na prijemnik Rp se dovodi
jednosmerni napon Up. U pozitivnoj poluperiodi naizmeničnog napona, od trenutka t0 do ti (sl.8.6b)
tačka C je pozitivna a tačka B je negativna. Dioda je polarisana u propusnom smeru i kroz nju teče struja u
označenom smeru, čiji je oblik prikazan na slici 8.6c. Isti oblik ima i napon na prijemniku Up, prikazan na slici
8.6d. Napomenimo i to daje efektivna vrednost usmerene struje (ili napona) jednaka polovini maksimalne:
I = Im/2 i U = Um/2.
U negativnoj poluperiodi naizmeničnog napona, od trenutka t1 do t2, dioda je inverzno polarisana jer je
potencijal u tački C negativan a u taci B pozitivan. Tada se dioda nalazi pod najvećim mogućim inverznim
naponom koji je jednak amplitudi naizmeničnog napona Um, a koga dioda treba da izdrži.
Vidimo da ovakav usmerač daje promenljivi jednosmerni napon koji se naziva pulsirajući. Ovakav napon je
obično neupotrebljiv pa se jednofazno polutalasno usmeravanje ne preporučuje. Osim toga usmerač ima nizak
stepen iskorišćenja.
8.4.3. Jednofazno punotalasno usmeravanje
Kolo za jednofazno punotalasno usmeravanje je most sa četiri diode poznate kao Grecov spoj (sl.8.7.a i b).
U ovom kolu koristi se sekundar transformatora sa jednim namotajem, tj. jednofazno sa četiri diode koje su
tako povezane da zavisno od polariteta napona uvek provode po dve diode. Kada je napon na sekundaru
pozitivan, odnosno kada je tačka C na višem potencijalu, struja il teče od tačke C kroz diodu D2, prijemnik Rp i
diodu DS ka tački B (sl.8.7a). Kada je napon na sekundaru negativan, odnosno kada je tačka B na višem
potencijalu, struja \2 teče od tačke B kroz diodu D4, prijemnik Rp i diodu D3 ka tački C (sl.8.7b). Odgovarajući
talasni oblici napona i struja prikazani su na slici 8.7.c i d. Kod ovog usmerača oba polutalasa naizmenične
struje ili napona su usmereni i zato se ovakav način usmeravanja naziva punotalasno usmeravanje.
Maksimalni inverzni napon na jednoj diodi koja ne propušta struju, jednak je amplitudi napona na krajevima
sekundara transformatora (Um) ili upola je manji od inverznog napona prethodnog usmerača. Zbog toga se
Grecov spoj koristi za usmerače
visokih napona jer se na taj način
umanjuje značaj glavnog
ograničavanja, tj.
malog inverznog napona svake
pojedine diode. Prednost ovog spoja
je u tome što se koristi jedan namotaj
na sekundaru transformatora te je i
težina transformatora manja nego u
slučaju dvofaznog polutalasnog
usmerača.
Sl.8.6
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 64 ----------------------------
Nedostatak ovog usmerača je što zahteva četiri diode i što ima nešto manji stepen iskorištenja u odnosu na
dvofazni polutalasni usmerač.
Pored svoje osnovne upotrebe, kao usmerač naizmenične struje u jednosmernu, dioda ima još razne primene
kao što je dioda za stabilizaciju napona, određenom vezom potrebnog broja dioda i kondenzatora može se
postići umnožavanje jednosmernog napona, višefazno polutalasno i punotalasno usmeravanje naizmenične
struje i dr.
8.5. TRANZISTORI
Tranzistor je poluprovodnički elemenat sastavljen iz kompaktnih celina dva PN spoja i ima tri elektrode (tri
izvoda): baza ili osnova (B), emiter (E) i kolekror (C). Naziva se i poluprovodnička trioda. Naziv je dobio
prema engleskim recima TRANSfer resISTOR,što bi značilo kao prenosna otpornost ili otpornost kojom se
može upravljati. U ukupnoj struji koja teče kroz tranzistor učestvuju dve vrste elektriciteta: većinski (glavni) i
manjinski (sporedni) nosioci, pa se zbog toga često upotrebljava naziv bipolarni tranzistor. Za razliku od ovih
postoje i unipolarni tranzistori jer struju kroz njega obrazuje samo jedna vrsta nosilaca elektriciteta - elektroni
ili šupljine
Tranzistor je najvažniji poluprovodnički elemenat sa kojim se mogu graditi sva elektronska kola, kao i sa
cevima, kao što su pojačavači, oscilatori, modulatori, elektronski prekidači, kola impulsne tehnike, radio i
televizijski uređaji, računari, itd.
U odnosu na elektronske cevi tranzistor ima niz prednosti kao što su:
- ne zahteva nikakvo zagrevanje za svoj rad,
- mnogo duži radni vek,
- male dimenzije i težina što je često važno jer se ceo elektronski uređaj svodi na male dimenzije,
- radi pri malim naponima i
- odlikuje se visokom mehaničkom čvrstoćom te je malo osetljiv na udarce i vibracije.
Nedostaci bipolarnih tranzistora na početku svog razvoja bili su:
- radili su samo na niskim učestanostima. Međutim, docnije su nađeni tranzistori koji rade na učestanostima i
do nekoliko GHz,
- velika zavisnost parametara i karakteristika od radne temperature,
- ograničenja snage,
Sl.8.7
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 65 ----------------------------
- veliki sopstveni šumovi,
- male ulazne impendanse,
- osetljivost na radioaktivna zračenja i
- nejednakost karakteristika kod pojedinačne proizvodnje.
Međutim, razvojem novih tehnoloških postupaka i konstruisanjem sasvim novih tipova tranzistora, većina ovih
nedostataka je otklonjena ili znatno smanjena.
Bitna razlika u ponašanju bipolarnog tranzistora od elektronske cevi je u tome što tranzistor na svom ulazu ima
relativno malu ulaznu impendansu za niže učestanosti, dok je kod elektronske cevi ulazna impendansa skoro
beskonačna. To znači, da izvor nekog signala, kojeg želimo da pojačamo, mora raspolagati ne samo naponom
nego i strujom, koju troši tranzistor, što nije slučaj sa triodom. Pošto se izlazno opterećenje tranzistora napaja
pojačanim ulaznim naponom i ulaznom strujom, to je tranzistor u osnovi pojačavač snage. Ovo ne znači da u
svim kolima moraju uvek biti pojačani i naponi struja nego može biti pojačan samo napon ili samo struja.
Zatim, tranzistori mogu biti sa suprotnim provodnostima (tipovi PNP ih" NPN) te se omogućava gradnja
elektronskih .kola sa komplementarnom simetrijom, što kod elektronskih cevi nije moguće. To znači da se
pojačavači sa driektnom spregom, kao i pojačavači sa simetričnom spregom izrađuju na mnogo jednostavniji
način od onih sa cevima.
Prvobitni tranzistori su bili sa tačkastim spojem. Međutim, 1949. godine Šokli je dao teoriju tranzistora sa
površinskim spojem. Prvi takav tranzistor proizveden je 1951. godine koji se i danas isključivo proizvodi i
koristi. U daljem izlaganju ćemo govoriti samo o bipolarnim tranzistorima sa površinskim spojem.
8.6. PRINCIP RAĐA TRANZISTORA
Da bismo ostvarili tranzistor potrebno je upotrebiti tri materijala: dva P i jedan N poluprovodnik ili obrnuto,
dva N i jedan P poluprovodnik. Znači, prema tipu provodnosti poluprovodničkih oblasti od kojih je sastavljen
razlikujemo dve vrste ili dva tipa tranzistora: PNP ili NPN tranzistore.
Na slici 8.8. prikazana je unutrašnja struktura oba tipa i
njihove grafičke oznake.
Pošto tranzistor ima tri izvoda od kojih svaki može da bude
uzet kao ulazni, zajednički ili izlazni izvod, postoji šest
načina njegovog vezivanja u kolo. U praksi se najčešće
koriste tri načina veze pri čemu je svaki put jedan od izvoda
zajednički (B,E ili C), vezan sa uzemljenom masom.
Proces provođenja električne struje kroz tranzistor je vrlo
složen zbog složene strukture i različitih nosilaca
elektriciteta. Ovaj proces, odnosno princip rada tranzistora,
objasnićemo polarizacijom PNP tranzistora sa zajedničkom
bazom što je prikazano na slici 8.9.
Napon polarizacije iz spoljašnjeg izvora Ee i smanjena potencijalna barijera emiterskog spoja (jer je direktno
polarizovan) omogućavaju da se šupljine, koje su u emiterskoj oblasti većinski nosioci, iz emiterske oblasti
emituju (odakle i naziv emiter) u oblast baze. Sada koncentracija šupljina u bazi, u kojoj su inače manjinski
nosioci, postaje znatno veća u oblast baze uz emiterski spoj nego u istoj oblasti uz kolektorski spoj. Zbog
razlike u koncentraciji šupljine se difuzijom kreću kroz oblast baze od emiterskog ka kolektorskom spoju i
sakupljaju se u oblast kolektora (sakupljati se na engleskom kaže "collect", odakle i naziv kolektor, tj. onaj koji
skuplja). Kretanje šupljina iz emitera preko baze u oblast kolektora čini glavnu struju PNP tranzistora, koja je
na slici 8.9 obeležena sa I1.
Gubljenje šupljina iz emitera nadoknađuje se time što se, pod dejstvom električnog polja koga stvara izvor EE,
raskidaju kovalentne veze u blizini izvoda emitera i slobodni elektroni napuštaju oblast emitera
ostavljajući nekompenzovane šupljine. U spoljašnjem kolu tok svih elektrona čini struju emitera Ig.
Smanjena potencijalna barijera emiterskog spoja omogućava prelazak izvesnog broja slobodnih elektrona iz
baze (većinski nosioci) u emi-ter, gde dolazi do rekombinacije sa šupljinama. To je sporedna struja I3 .
Sporednu struju I4 čine sporedni (manjinski) nosioci i to slobodni elektroni koji iz kolektora prelaze u bazu i
šupljine koje iz baze prelaze u kolektor. Struja I4 ima malu jačinu i ne zavisi od napona polarizacije
kolektorskog spoja, već samo od temperature poluprovodnika, jer se manjinski nosioci generišu na račun
toplotne energije.
Sl.8.8
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 66 ----------------------------
Struja I4 postoji i kada je emitersko kolo otvoreno (kada je Ie = 0) i naziva se inverzna struja zasićenja
kolektorskog spoja, a označava se sa ICBO ili ICO.
Spoljašnja struja baze IB sastoji se od elektrona koji kroz izvod baze "utiču" u tranzistor. Ovi elektroni
nadoknađuju elektrone iz baze izgubljene u procesu rekombinacije sa šupljinama iz emitera.
Spoljašnja struja kolektora IC sastoji se od slobodnih elektrona koji "utiču" kroz izvod kolektora u tranzistor pa
se u oblasti kolektora rekombinuju sa šupljinama koje su, ustvari, glavna struja tranzistora.
Sa slike 8.9. vidi se daje struja emitera jednaka zbiru struja baze i kolektora:
IE=IB+IC .
Ako ove spoljašnje struje tranzistora izrazimo preko njegovih unutrašnjih struja, dobićemo da je struja emitera
jednaka zbiru glavne struje I1 i sporedne struje I2 , odnosno :
IE = I1 + I3 .
Struja kolektora jednaka je zbiru glavne struje I1 umenjena za struju I2 i sporednoj struji I4:
Ir = I1 - I2 + I4.).
Struja baze će biti:
IB = IE - IC = I3 + I2 -I4 ,
što odgovara fizičkom objašnjenju rada tranzistora.
Deo struje emitera što stiže u oblast kolektora je I1 - I2 što se može napisati kao IE gde je faktor smanjenja
struje. Prema tome, struja kolektora je :
Ic=IE+ICBO ,odakle se može odrediti : E
0CBC
I
II
To je koeficijent jednosmernog strujnog pojačanja. Poznato je da je struja ICBO VRLO mala te se može zanemariti,
pa izraz dobija oblik : E
C
I
I
Pošto je struja Ic < IE koeficijent strujnog pojačanja kod ove veze tranzistora je manji od 1. Njegova vrednost se
kreće od 0,95 do 0,99. Odavde se nameće i zaključak daje struja baze vrlo mala jer je Ic I E.
Kada je tranzistor uključen u sprezi sa zajedničkim emiterom, sa strujom baze na ulazu i strujom kolektora na
izlazu, koeficijent jednosmernog strujnog pojačanja je: B
C
I
I
čija vrednost može biti i do 500 puta .
Kod sprege tranzistora sa zajedničkim kolektorom, ulazna struja teče kroz izvod baze a izlazna kod izvod
emitera, koeficijent jednosmernog strujnog pojačanja je:
B
E
I
I
Sl.8.9
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 67 ----------------------------
8.8. TRANZISTOR KAO POJAČAVAČ
Najznačajnija primena tranzistora je za pojačanje ulaznih signala. Primena pojačavača je velika i veoma
raznovrsna. Radio i televizijski signali na izlazu prijemnih antena, signali na izlazu mikrofona, gramofonskih i
magnetofonskih glava, električni impulsi srca ili mozga, signali mernih pretvarača i mnogi drugi slabi signali
moraju se pojačati i više od hiljadu puta pre nego što se pretvore u oblik razumljiv čoveku. Tranzistor kao
aktivni elernenat sposoban je da pojača struju, napon i snagu električnih signala. U pojačavačkom kolu
tranzistor radi u dinamičkom režimu jer iako se napaja sa izvorom jednosmernog napona, često služi za
pojačanje naizmeničnih signala.
Tranzistor kao pojačavač se najčešće koristi za višestepeno pojačanje pri čemu se za svaki stepen pojačanja
određuju posebni radni uslovi. Pojačavač bi trebalo da bude prilagođen pobudnom generatoru (izvoru signala)
tako što je ulazna otpornost pojačavača jednaka unutrašnjoj otpornosti generatora. Tada se iz generatora u
pojačavač prenosi najveća snaga. Isto tako otpornost prijemnika (ili ulaz sledećeg stepena) treba da je jednaka
izlaznoj otpornosti pojačavača.
Kod pojačavača napona uslov da je Rg=Rul obično se ne ispunjava jer je kod njega najvažnije da mu ulazna
otpornost bude što veća a izlazna što manja.
Pojačavačko svojstvo tranzistora može se najpogodnije prikazati grafičkom analizom, a najveća korisna snaga
postiže se kada je tranzistor u spoju sa zajedničkim emiterom. Da bi tranzistor mogao da radi kao pojačavač
potrebno je da mu PN spojevi budu pravilno polarisani. Na slici 8.10 prikazano je kolo pojačavača sa pobudnim
genertorom na ulazu i prijemnikom na izlazu pojačavača.
Otpornik Rb služi da se pomoću njega odredi jednosmerna struja baze IB koja približno iznosi:
b
CB
R
EI
jer je napon između baze i emitera znatno niži (oko 0,7V) od napona izvora (oko 10V) i može se zanemariti.
Preko otpornika RC na kolektor se dovodi pozitivan napon iz izvora Ec (kolektor je nepropusno polarisan) i taj
napon je na višem potencijalu od napona baze. Kolektorski otpornik služi da se pomoću njega dobije izlazni
napon.
Ulaz pojačavača se nalazi između baze i mase a izlaz između kolektora i mase. Na ulaz pojaćavača je, preko
kondenzatora za vezu Csi, priključen pobudni genrator sa naizmeničnom ems-om Eg. Kondenzator CS1 sprečava
proticanje jednosmerne struje kroz izvor (generator) signala. Pomoću drugog kondenzatora za spregu Cs2, na
prijemnik Rp se odvodi samo naizmenična komponenta izlaznog napona. Dimanička ravnoteža električnih sila
za kolo na slici 8.10. je :
EC - ICRC - UC = 0, gde UC napon na kolektoru, odakle se dobija jednačina prave na izlaznim
karakteristikama :
C
C
C
CC
R
U
R
EI
Sl.8.10
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 68 ----------------------------
Izgled radne prave prikazanje se na slici 8.10.
Vidi se da se sa povećanjem napona Uc smanjuje struja Ic i
obrnuto, te je za UC = EC = UOM struja Ic = O (tačka B) a za Uc
= O, IC =I CM =
EC/KC i ova je tačka obeležena sa C. Nagib
radne prave zavisi od otpornosti Rc , jer je
tg =C
CM
R
1
2
I
Za normalan rad pojačavača potrebno je odabrati radnu
tačku koja određuje napone i struje pojačavača kada na
njegovom ulazu nema signala iz pobudnog generatora. To je
obično tačka A u kojoj je
IC = ICM/2 i UC = UCM/2 , kako bi se kolektorski napon i
struja mogli menjati na više ili naniže za približno isti iznos.
8.9. TRANZISTOR KAO PREKIDAČ
Pored pojačavačke uloge tranzistor se koristi u mnogim
elektronskim i drugim uređajima kao bezkontaktni
prekidački element kao npr. u logičkim kolima računskih
mašina, kod uređaja za automatiku, za zaštitu i uopšte u
kolima impulsne tehnike.
U ulozi prekidača tranzistor ima zadatak da se po potrebi
nađe u jednom od dva stabilna stanja, da bude otvoren ili da
bude zatvoren. Prilikom prelaza iz jednog u drugo stanje, tranzistor prolazi kroz prelazni režim i tada njegovi
parametri brzo menjaju svoje vrednosti. U prekidačkim kolima se najčešće koristi tranzistor u sprezi sa
zajedničkim emiterom, kao i kod pojačavača. Primer jednog takvog elektronskog kola prikazan je na slici 8.12.
a dijagrm statičkih izlaznih karakteristika sa radnom pravom, za opterećenje Rc u kolu tranzistora, prikazan je
na slici 8.13.
. Radna tačka tranzistora nalazi se u jednom od dva položaja A ili B koji odgovaraju stacionarnim stanjima
neprovođenja (2) ili provođenja (1). Pri promeni stacionarnog stanja, odnosno pri uključivanju i isključivanju,
tranzistor je u prelaznom režimu a radna tačka se kreće kroz aktivno područje (3) po radnoj pravoj, pelazeći iz
A u B, ili obrnuto.
Sl.8.12. Sl.8.13.
Sl.8.11
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 69 ----------------------------
Da bi se tranzistor NPN tipa preveo iz neprovodnog u provodno stanje na njegov ulaz mora da deluje pozitivan
napon (ulazni napon impulsnog oblika) koji direktno polarizuje emiterski spoj (sl.8.12).
U trenutku i\ ulazni napon se trenutno povećava od nule do neke pozitivne vrednosti, dok su promene
kolektorske struje tranzistora postepene (sl.8.13).
U odsustvu pozitivnog impulsa na ulazu, tranzistor je bio u režimu neprovođenja, kada su zaprečni slojevi
inverzno polarizovanih spojeva bili prošireni te je potrebno izvesno vreme (dolaskom pozitivnog ulaznog
impulsa) da se difuzionim kretanjem nosilaca elektriciteta širina zaprečnih slojeva smanji a tranzistor počne da
provodi struju većeg intenziteta. Vreme potrebno da se tranzistor prevede iz stanja neprovođenja u provodno
stanje naziva se vreme uključenja tu. To je, ustvari, interval vremena u kome jačina struje kolektora poraste na
90% od vrednosti struje zasićenja. Vreme uključenja se može skratiti izborom tranzistora sa većom graničnom
učestanošću i manjini parazitnim kapacitivnostima između njegovih izvoda.
U trenutku t2 ulazni napon trenutno menja vrednost sa pozitivne na negativnu. To izaziva prebacivanje
tranzistora iz provodnog u neprovodno stanje ali promena kolektorske struje tranzistora nije trenutna. Dok je
tranzistor bio u provodnom stanju njegova radna tačka nalazi se u oblasti zasićenja sa relativno velikom
kolektorskom strujom. Zbog toga se nagomilavaju slobodni nosioci elektriciteta, naročito u blizini PN spojeva u
oblasti baze. Kada se polarizacija oba PN spoja promeni (zbog dejstva ulaznog negativnog napona), upravo
zbog nagomilanih elektrona u oblasti baze ne dolazi odmah do inverzne polarizacije oba spoja. Tek kad se
završi proces rasterećenja baze (prelaz elektrona iz baze u oblast emitera i kolektora) jačina kolektorske struje
opada na minimalnu vrednost ICBO i tranzistor je zakočen.
Vreme koje je potrebno da se tranzistor prevede iz stanja provođenja u neprovodno stanje naziva se vreme
isključenja ti. To je interval u kome kolektorska struja opadne na 10% svoje maksimalne vrednosti. Vreme
isključenja se može skratiti izborom tranzistora koji rade na višim učestanostima i sa uskom bazom.
Da bi tranzistor PNP tipa sigurno ostao u stanju neprovođenja na ulazu se, preko otpornosti Rb, dovodi dovoljan
negativni napon Eb koji drži tranzistor (prekidač) otvoren.
U uređajima gde se zahteva velika brzina prebacivanja, kao npr. kod digitalnih računara i sl, tranzistor ne radi
potpuno u oblasti zasićenja već radna tačka zauzima položaj C.
Član RC u ulaznom kolu ima ulogu da ubrza rad tranzistora jer je brzina rada jedan od najvažnijih parametara
prekidačkog kola.
8.10. TIRISTORI
Tiristori su poluprovodnički elementi sa četiri ili više slojeva poluprovodnika silicijuma različitog tipa
provodnosti, sa najmanje tri PN spoja i sa najmanje dva izvoda (elektrode). Osnovna funckija tiristora je
upravljanje strujama velikih jačina pomoću male struje u pobudnom kolu. Radni naponi savremenih tiristora
mogu biti i do 4000V i struja do 4000A. Uglavnom se upotrebljavaju u oblasti energetske elektronike kao npr. u
usmeračima velike snage, u kolima za regulaciju većih struja i napona, za regulaciju brzine obrtanja
elektromotora, za regulaciju osvetljenja, kao beskontaktni prekidači itd. Kao beskontaktni (statički) prekidači
tiristori vrlo dobro zamenjuju elektromehaničke releje, naročito za prekidanje većih snaga, kada dolazi do
izražaja štetno delovanje varničenja na rad i trajnost kontakata elektro-mehaničkih prekidača.
U prekidačkom i kontinualnom režimu rada tiristor radi sa mnogo većim snagama nego bilo koji drugi
poluprovodnički elemenat.
Naziv tiristor (engl.thyristor) dobio je prema sličnosti karakteristika sa gasnom triodom ili tiratronom
(THYRatron) a prema strukturi sa tranzistorom (transISTOR).
Postoji više elektronskih elemenata koji se nazivaju zajedničkim
imenom tiristor. To su : triodni tiristor koji se skraćeno označava
i sa SCR (od engleskih reci Silicon Controlled Rectifier, što znači
silicijumski upravljani ispravljač), zatim dvosmerni triodni tiristor
(triak), diak, tetradni tiristor itd.
Najčešće korišćeni tip tiristora je triodni tiristor. Sastoji se od
četiri sloja poluprovodničkog materijala (Si) koji je naizmenično
dopiran primesama P i N tipa i ima tri priključka: anoda (A),
katoda (K) i gejt (G). Na slici 8.14a prikazana je struktura
triodnog tiristora a njegov grafički simbol na slici 8.14b.
Sl.8.14 a b
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 70 ----------------------------
8.11. PRINCIP RADA TIRISTORA
Strukturu od četiri poluprovodnička dela (sl.8.15) možemo podeliti na dva dela sa po tri sloja gde svaki deo čini
po jedan ekvivalentni tranzistor (sl.8.15). Gornji tranzistor je PNP a donji NPN tipa (sl.8.15). Ako se ista
struktura koristi bez trećeg priključka (G) onda je to četvoroslojna dioda ili diodni tiristor ili dinistor, čiji je
grafički simbol prikazan na slici 8.15.
Princip rada triodnog tiristora najlakše je objasniti pomoću ekvivalentne šeme i izvora napajanja (si.8.16).
Ako na krajeve tiristora dovedemo napon tako da je anoda na pozitivnijem potencijalu od potencijala katode, sa
otvorenim priključkom G, tiristor ima dva stabilna stanja: jedno je stanje sa velikom otpornošću (tipično oko
lOOM) ili stanje direktnog blokiranja i drugo stanje sa vrlo malom otpornošću (tipično oko 10) ili stanje
direktnog provođenja. U prvom slučaju, iako je tiristor direktno polarizovan, mali napon između anode i katode
uslovljava prelaz relativno malog broja manjinskih nosilaca iz jedne oblasti u drugu. Rezultat toga je pojava
vrlo male struje tiristora, tiristor je blokiran, stoje prikazano krivom 3 na slici 8.16.
Kada se napon između anode i katode poveća do vrednosti prelomnog napona Upo, tiristor vrlo brzo prelazi u
provodno stanje. Tiristor može preći u stanje direktnog provođenja dovođenjem pozitivnog napona na pobudnu
elektrodu (sa strujom IG).
Posmatraćemo slučaj direktnog provođenja kada je Ic=0. U trenutku kada napon UAK dostigne vrednost Upo, pod
dejstvom jakog električnog polja u poluprovodniku šupljine iz oblasti Pj ubacuju se u oblast N1 a zatim
difuzijom prelaze u oblast P2. Zbog toga se povećava koncentracija šupljina u oblasti P2 i smanjuje zaprešni sloj
oko spoja J3. Iz oblasti N2 elektroni se preko smanjene potencijalne barijere ubacuju u oblast P2, a zatim i u N1
čime se povećava koncentracija elektrona u toj oblasti i smanjuje širina zaprečnog sloja J1. Sužavanjem
zaprečnog sloja oko J1 i smanjenje potencijalne barijere uslovljava ubacivanje šupljina iz P1 preko N1 u P2 što
opet smanjuje potencijalnu barijeru na spoju J3, pa se ceo proces ponavlja. Kretanje elektrona kroz J2 izaziva
lavinsku udarnu jonizaciju u zaprečnom sloju, što utiče na brzo umnožavanje slobodnih nosilaca elektriciteta.
Rezultat svih opisanih procesa je direktna polarizacija sva tri spoja i smanjenje svih potencijalnih barijera te
kroz tiristor teče struja velikog intenziteta, koju ograničava spoljnje kolo otpornikom R. Prelazni režim između
dva stabilna stanja (3-neprovodenje i 5-provođenje) predstavljen je isprekidanom linijom 4 na slici 8.16. U
stanju direktnog provođenja tiristor ima vrlo
malu unutrašnju otpornost i mali napon.
Tiristor će ponovo preći u stanje
neprovođenja tek ako povećanjem
spoljašnje otpornosti R smanjimo struju
ispod tzv. struje držanja ID. Sa tom strujom
više je nemoguće održati spoj J2 u direktnoj
polarizaciji. Prema ovom objašnjenju, kod
ekvivalentne veze dva tranzistora imali bi
dve glavne struje i to: jednu koju čine
šupljine koje se iz emitera T1 ubacuju u
oblast baze T1 a zatim prelaze u kolektor T2. Drugu glavnu struju sačinjavaju elektroni koji se iz emitera T2
ubacuju u bazu T2 i prelaze u kolektor T2. Struja baze tranzistora T1 jednaka je struji kolektora tranzistora T2 a
struja kolektora tranzistora T2 jednaka je struji baze tranzistora T2.
Sl.8.15 Sl.8.17
Sl.8.16
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 71 ----------------------------
Tiristor je inverzno polarizovan ako je katoda priključena na pozitivan a anoda na negativan potencijal. U tom
spoju tiristor se ponaša kao obična, inverzno polarizovana PN dioda - tiristor je inverzno blokiran. Ovo stanje
prikazano je karakteristikom l na slici 8.16. Ako se inverzni napon (UAK<O) povećava po apsolutnoj vrednosti do
inverznog probojnog napona Upinv, inverzna struja tiristora naglo se povećava, što odgovara krivoj 2 na slici
8.16.
Na karakteristike tiristora u direktnom smeru može se uticati pomoću struje gejta (upravljačke elektrode). Ako
se struja gejta malo poveća, ona oba tranzistora dovodi u stanju slabe provodnosti što tiristoru omogućava lakši
proboj, pri nižem naponu od prelomnog napona Upo. Sto je struja gejta veća do proboja brže dolazi. Kada počne
provođenje struje gejt gubi moć kontrole te provođenje struje može da prestane samo ako se ona smanji ispod
vrednosti struje držanja.
Danas se proizvode i koriste tzv. isključni tiristori koji imaju mogućnost isključenja tiristora dovođenjem
negativnog napona na gejtu.
8.12. DIAK I TRIAK
Za razliku od pomenutih tiristora i dinistora koji provode samo u jednom
smeru postoje i dvosmerni tiristori, koji u zavisnosti od polariteta
priključnog napona, mogu da provode struju u oba smera. Njihove
statičke karakteristike su simetrične u I i III kvadrantu te se često
nazivaju simistori, ili skraćeno SSS (engl: Silicon Symmetric Switch -
silicijumski simetrični prekidač). Rade se kao diak i triak.
Diak je dvosmerni diodni tiristor (engl.: DIAC-Diode Alternating
Current Switch - diodni prekidač naizmenične struje). Ima petoslojnu
poluprovodničku strukturu sa četiri PN spoja i dve elektrode koje su
označene kao glavni priključci: l ili MT1 ili A1 i 2 ili MT2 ili A2.
Struktura i grafički simbol prikazani su na slici 8.17a i b.
Triak je dvosmerni triodni tiristor (engl.:TRIAC-Triode Alternating
Current Switch- triodni prekidač naizmenične struje). Sastoji se od šest
različitih poluprovodničkih oblasti, sa pet PN spojeva i tri elektrode koje
su označene kao l ili MTt ili At (prvi glavni priključak), 2 ili MT2 ili A2
(drugi glavni priključak) i gejt (G).. Glavne elektrode mu omogućavaju provođenje struje u jednom ili drugom
smeru a pobudnom elektrodom upravlja se strujom priključenog uređaja. Struktura i grafički simbol triaka
prikazani su na slici 8.18a i b.
Triak se normalno dovodi u provodno stanje pobudnom strujom gejta
koja može biti istog ili suprotnog smera kao i glavna struja triaka, te su
moguće četiri kombinacije smerova glavne i pobudne struje.
8.13. PRIMENA TIRISTORA
Pored pomenutog tiristori nalaze široku primenu u energetskim
elektronskim uređajima koji se koriste u industrijskim pogonima i
energetskim postrojenjima. Energetski elektronski uređaji , u kojima su
ugrađeni osnovni
elementi tiristori,
odlikuju se visokim
stepenom iskorišćenja,
relativno jednostavna konstrukcija, male dimenzije i masa,
veća pouzdanost u radu, skoro trenutnu stupaju u rad, rade
bez vibracija i toksičkih produkata u toku rada, imaju stabilne
radne karakteristike i jednostavno održavanje.
Upravo ova preimuđstva su dovela do toga da su danas ovi
uređaji skoro u potpunosti istisli iz upotrebe klasične
elektromašinske uređaje.
Primer upravljanja motorom jednosmerne struje (sa
nezavisnom pobudom), antiparalelnom spregom u kolu rotora
prikazan je šemom na slici 8.21. U ovom slučaju treba
Sl.8.17
Sl.8.18
Sl.8.19
S.Čajetinac : ELEKTROTEHNIKA - Radni materijal
---------------------------- 72 ----------------------------
podesiti ugao paljenja, odnosno provođenja grupe tiristora tako da kad jedna grupa radi kao ispravljač, druga
grupa radi kao invertor i vraća naizmeničnu struju u mrežu. U ovom režimu rada potrebno je ograničiti tzv.
struje ograničenja koje teku između grupa tiristora, usled razlike trenutnih vrednosti njihovih napona. Radi
njihovog ograničenja u kolu ispravljane struje uključuju se induktivni kalemovi L za izjednačenje.
Promena smera obrtanja motora ostvaruje se isključivanjem jedne grupe tiristora i uključivanjem druge grupe.
Međutim, pre promene smera obrtanja motora, motor treba zakočiti.
8.14. INTEGRISANA KOLA
Integrisano kolo (IC) je skup više elektronskih elemenata koji su međusobno povezani u nerazdvojnu celinu i
smešteni u zajedničko kućište. Svi elementi jednog integrisanog kola zajedno obavljaju određenu jednostavnu
ili složenu funkciju.
Prva digitalna integrisana kola pojavila su se 1959. godine a prva linearna (analogna) integrisana kola
proizvedena su 1962. godine. Svi elementi jednog kola montirani su na zajedničku pločicu, nazvana mikro-
modul. Od mikro-modula sastavljene su standardne veće jedinice i kompletni uređaji. Ova prva generacija
mikro-elektronskih sklopova, i ako građena po principima diskretne tehnike, delimično je zadovoljila zahteve za
povećanom pouzdanošću i smanjenjem dimenzija uređaja.
Sledeći korak učinjen je uvođenjem tankog filma i daljom minijaturizacijom elemenata mikro-modula. Žičane
veze između elemenata zamenjene su vezama koje su nanošene direktno na keramičku osnovu taloženjem pare
metala u obliku tankog sloja (filma). Tako su izrađivani i otpornici, dok su ostali elementi i dalje pojedinačno
ugrađivani na zajedničku osnovu i zatvarani u jedno kućište. Dobijen je skup minijaturnih diskretnih
(odvojenih) aktivnih i pasivnih elemenata pričvršćenih na zajedničku podlogu i zatvorenih u jedno zajedničko
kućište, što predstavlja hibridno integrisano kolo. Iako se sastoje od diskretnih elemenata, hibridna integrisana
kola imaju mnogo bolje karakteristike nego odgovarajuća elektronska kola sa klasičnim diskretnim elementima.
Dimenzije, potrošnja i cena hibridnih kola manje su u odnosu na diskretna kola.
Sva preimućstva integrisanih kola nad diskretnim elementima najviše su izražena kod monolitnih kola.
Monolitno integrisano kolo je skup aktivnih i pasivnih elemenata ugrađenih u jednu poluprovodničku pločicu i
međusobno povezanih tako da mogu da obavljaju predviđene funkcije elektronskog kola. Proizvode se
jedinstvenim tehnološkim procesom (naziva se planarna tehnologija) koji se sastoji od nekoliko desetina
operacija. Iako su operacije brojne većina njih se obavlja automatski te je proizvodnja monolitnih IC u velikim
serijama ekonomična. Osnovne operacije pri izradi monolitnih kola su : priprema i oksidacija osnove, priprema
za difuziju, difuzija, epitaksijalni rast, nanošenje tankog filma, izolovanje elemenata i završne operacije.
Poluprovodnička osnova na koju je ugrađeno jedno monolitno IC naziva se "čip" (engl.:chip-odsečak,odlomak,
kriška).
Integrisana kola visokog stepena integracije, oznake LSI, imaju gustinu pakovnja oko 1000 logičkih kola po
čipu. Logičko kolo je skup međusobno povezanih elemenata (dioda, tranzistora, i si.) kojim se realizuje
određena logička funkcija. Pojava ovih kola dovela je do punog izražaja sve efekte kao što su: snižena cena,
znatno veća pouzdanost u radu i još veća minijaturizacija kola i uređaja. Integrisana kola postala su tako
složena da neki uređaji koji su ranije bili vrlo složeni i skupi, kao što su digitalni voltmetri, mali računari ili
digitalni časovnici, danas sadrže samo nekoliko kola visokog stepena integracije i proizvode se po relativno
niskim cenama.
Mogućnosti LSI kola najbolje su izražena kod mikroprocesora. Mikroprocesor je integrisano kolo koje je
sposobno da obavlja sve funkcije malog računara. Na vrlo maloj površini jedne pločice silicijumskog kristala
(površina jednog čipa je 22mm2) smeštena su logička kola , aritmetička jedinica, registri za podatke i adrese,
upravljačka jedinica i ulazno-izlazno kolo.
Kada se mikroprocesor poveže sa drugim LSI jedinicama, kao što su memorije i ulazno-izlazna kola, dobija se
mikroračunar koji ima velike mogućnosti.
Zbog velike pouzdanosti, brzine rada, malih dimenzija, relativno niske cene i jednostavnog programiranja,
mikroprocesori su prodrli u mnoge delatnosti kao što su: daljinsko upravljanje i automatizacija, merenja, obrada
poslovnih podataka, zaštita, kontrola saobraćaja, u telekomunikacijama, medicini itd.
73
ZADACI IZ ELEKTROTEHNIKE SA REŠENJIMA – PRIPREMA I ZA KOLOKVIJUM
1. Zadatak
Koja je jedinica i koja je oznaka jedinice za:
električnu struju ___________________________
magnetnu indukciju__________________________
rad električne struje__________________________
magnetsku indukciju_________________________
električni kapacitet__________________________
elektromotornu silu je________________________
električni otpor_____________________________
električnu snagu ____________________________
koliko je :
1,5A = ..................... mA
150 = .................... k
1s = ............................ ms
2A = ........................A
0,35m = ..................
0,45kA = .......... ..........A
1nC = ..........................C
0,1 mF = ...................F
Koju jedinicu daje As =______, C/V=_______, J/s=________
Rešenje:Jedinice i oznake jedinice su:
za električnu struju amper (A)
za magnetnu indukciju tesla (T)
za rad električne struje džul (J)
za električni kapacitet farad (F)
za elektromotornu silu volt(V)
za električni otpor om(Ω)
za snagu električne struje vat(W)
1,5A = 1500 mA
150 = 0,15k
1s = 1000ms
2A = 2·10-6
A
0,35m = 3,5·10-4
0,45kA = 450A
1nC = 10-3
C
0,1 mF = 100F
As =S (kulon), C/V= F (farad), J/s= W(vat)
2. Zadatak
Kapljica vode ima na sebi 10 elektrona viška. Koliko iznosi naelektrisanje te kapljice?
Rešenje
Q =n·e =10·1,6·10-19
= 1,6·10-18
C
3. Zadatak
Kondenzator ima kapacitet 5nF i napunjen je do napona 12V. Izračunati naelektrisanje tog kondenzatora.
74
Rešenje
Q = C·U = 5·10-9
· 12 = 60·10-9
= 6 ·10-8
C
4. Zadatak
Kondenzator ima naelektrisanje 10nC, napunjen je do napona 100V. Izračunati kolika se energija
oslobodi potpunim pražnjenjem tog kondenzatora.
Rešenje
Energija kondenzatora može da se izračuna na tri načina: W = Q·U/2 = C·U2 /2 = Q
2 /2C
W = Q·U/2 =10·10-9
· 100/2 = 5 ·10-7
J
5. Zadatak
Pločasti kondenzator čine dve paralelne ploče u vazduhu čija je površina S=50cm2, dok je rastojanje
između njih 1mm. Izračunati kapacitet tog kondenzatora.
Rešenje
C = ε0·S/d = 8,85·10-12
·50·10-4
/10-3
= 4,4·10-11
F =44pF
6. Zadatak
Koliki je ekvivalentni kapacitet kondenzatora između tačaka a i b prikazanih na slici ako je kapacitet C1
= 2 i C2 = 3F. Koliki je ekvivalentni otpor grupe otpornika na slici ako je R1=3k i R2=6k .
Rešenje
86,07
6
6
7
6
322
2
1
3
1
3
11111
122
e
e
CCCCC
F
Re = R2 + R1 + R1 = 12 k
7. Zadatak
Deset otpornika, svaki vrednosti 20k, vezani su a) redno; b) paralelno.
Koliki je ekvivalentni otpor u jednom i u drugom slučaju.
Rešenje
a) Re = R + R + ...+R = 200 k
b) Re = R/10 = 2 k
8. Zadatak
Deset kondenzatora, svaki vrednosti 1F, vezani su a) redno; b) paralelno.
Koliki je ekvivalentni kapacitet u jednom i u drugom slučaju.
Rešenje
a) Ce = C/10 = 0,1F
b) Ce = C + C + ...+ C = 10F
9. Zadatak
Koliki je ekvivalentni kapacitet kondenzatora između tačaka a i b prikazanih na slici ako je kapacitet,
C1 = 2F i C2 = 3F. Koliki je ekvivalentni otpor grupe otpornika na slici ako je R1=6k i R2=100 .
a b C2
C1 C2
R1 R2
R1
75
Rešenje
Ce = C1 /2 + C2 /2 = 2,5F
Re = R1 /3 + R2 = 2,1 k
10. Zadatak
Koliki je ekvivalentni kapacitet kondenzatora između tačaka a i b prikazanih na slici ako je kapacitet,
C1 = 2F i C2 = 3F. Koliki je ekvivalentni otpor grupe otpornika na slici ako je R1=3k i R2=6k .
Rešenje
Ce = C2 + 21
21
CC
CC
= 2 +
32
32
= 3,2F
Re = 21
21
RR
RR
+ R1 + R1 = 8 k
11. Zadatak
Kroz izvor EMS vrednosti E=6V, prođe naelektrisanje od 20C. Koliki rad pri tome izvrši izvor.
Rešenje
Na osnovu definicije elektromotorne sile E=A/q A = Eq=6·20 = 120J.
12. Zadatak
Ako kroz provodnik prolazi struja I= 5mA, koliko je elektrona prošlo kroz poprečni presek provodnika
za vreme t=1,6s?
Rešenje
19
3
106,1
6,1105
e
tIn
t
en
t
QI = 5 ·10
16 elektrona
13. Zadatak
Električni provodnik koji ima električni otpor R=250, ima struju I=20mA. Izračunati napon na tom
otporniku.
Rešenje
U = R·I = 250·20·10-3
= 5V
14. Zadatak
Ako kroz poprečni presek provodnika čiji je električni otpor R=25, protekne naelektrisanje 3C za
vreme t=1,5s, izračunaj napon na njegovim krajevima.
Rešenje
U = R·I = R·Q/t = 25·3/1,5 = 50V
a b
C1 C1
C2 C2
R1
R1
R1
R2
a b
C2
C1 C2
R1
R1
R2
R1
76
15. Zadatak
Bakarna žica ima dužinu 180m i poprečni presek 0,5mm2. Koliki je električni otpor te žice ako
specifični otpor bakra iznosi 1,810-8m.
Rešenje
S
lR =
6
8
105,0
180108,1
= 6,48
16. Zadatak
Bakarna žica ima dužinu 400m i poprečni presek 1mm2. Kolika je dužina gvozdene žice jednakog
poprečnog preseka, ako obe žice imaju jednak električni otpor (za računanje uzeti da je specifični otpor
bakra deset puta manji od specifičnog otpora gvožđa).
Rešenje Na osnovu jednakosti otpora oba provodnika, sledi:
Rcu=Rfe cu lcu = fe lfe lfe = 400/10 = 40m
17. Zadatak
Da li električna sijalica sa vlaknom ima veći električni otpor kad je ugašena ili kad je upaljena? Objasni
odgovor.
Rešenje
Usled promene otpora sa temperaturom R=R0(1+ t), pošto vlakno upaljene sijalice ima temperaturu
oko 2200C, električni otpor vlakna upaljene sijalice se povećava desetak puta.
18. Zadatak
Koliko treba platiti za utrošenu električnu energiju ako mešalica čiji motor ima snagu 0,85kW radi 7 sati
dnevno u toku 30 dana. Cena jednog kWh električne energije iznosi 4,7 dinara.
Rešenje
Izvršeni rad je A = P·t = 0,85· 30·7 = 178,5 kWh, pa prema tome treba platiti 838,95 dinara.
19. Zadatak
Koliko se toplote oslobodi na otporniku R1 u kolu na slici za vreme od
30min, ako vrednosti otpornika iznose R1=100 i R2=300, a
elektromotorna sila E=400V.
Rešenje
Rad u kolu električne struje može se izraziti kao A= U·I·t=R·I2·t.
U našem zadatku to je A1=R1 ·I2·t, gde je I=E /(R1+R2). Zamena brojnih vrednosti daje
A1=100·(400 /(100+300))2·30·60=180000J.
20. Zadatak
Dato je kolo jednosmerne struje na slici. Poznato je E1=15V, R1=150,
R2=100. Kolika je snaga na otporniku R2 .
Rešenje
Snaga u kolu električne struje može se izraziti kao P = U·I=R·I2.
U našem zadatku to je A2=R222I , gde je I2 =E/R2. Zamena brojnih vrednosti daje
P2=100·(15 /100)2=2,25W.
21. Zadatak
Dato je kolo jednosmerne struje na slici. Poznato je E1=12V, R1=100,
R2=100, R3 =300. Izračunati struje u svim granama kola.
R2 R1
E1
+
E
R1
R2
R2 R1
R3 E1
+
77
Rešenje AR
EI 12,0
100
12
1
11
ARR
EI 03,0
300100
12
32
12
A
RRR
RRR
E
R
EI
e
15,0)(
321
321
11
22. Zadatak
Ucrtaj i izračunaj sve struje u kolu jednosmerne struje na slici ako je E1=24 V, R1=30 , R2=20,
R3=10.
Rešenje
A
RR
RRR
EI 65,0
32
321
11
, U23 = R23I1=4,33V, I2=U23/R2=4,33/20=0,22A , I3=U23/R3=4,33/10=0,43A
23. Zadatak
Za kolo sa slike poznati su sledeći podaci: R1= 60, R2=50,
R3=30, E1 = 60V, E2 = 30V, E3 = 130V, E4 = 90 V. Izračunati
sve struje u kolu.
Rešenje
Kolo rešavamo primenom
Kirhofovih pravila. Najpre
uočimo broj grana i broj
čvorova u kolu. Očito je da
u našem slučaju imamo tri
grane i dva čvora. Broj nepoznatih struja jednak je broju grana, što
znači da za rešavanje kola treba da postavimo tri jednačine sa tri
nepoznate.
Prema prvom Kirhofovom pravilu pišemo onoliko jednačina koliko
iznosi broj čvorova umanjen za jedan.
Ostatak do broja potrebnog za rešavanje (broj grana, tj. broj nepoznatih), pišemo po drugom Kirhofovom
pravilu.
U kolu pretpostavimo prizvoljan smer struja. Takođe, izaberemo i dve proizvoljne konture. Prilikom
izbora kontura moramo voditi računa da se one razlikuju u bar jednoj grani (u tom slučaju su jednačine
linearno nezavisne i sistem ima jednoznačna rešenja).
U našem slučaju jednačine glase: 1) I1 = I2 + I3
2) E1 - I1R1 + E2 - I3R3 - E3 = 0
3) E3 + R3I3 - E2 - I2R2 + E4 = 0 .
Moguće je odmah zameniti vrednosti i tako uprostiti jednačine, ili rešavati u opštim brojevima pa tek
onda zameniti vrednosti. Za manji broj jednačina (sistem sa dve ili tri nepoznate), preporučuje se metoda
zamene ili metoda eliminacije, a sistemi sa većim brojem nepoznatih pogodno je rešavati Kramerovom
metodom (pomoću determinanata).
R2 R1
R3 E1
+
I I1 I2
R1 R2
R3
E1 E2
E3
E4
R 1 R 2
R 3 E 1
E 2
E 3
E 4
I 1 I 3
I 2
I II
E1
R3 R1 I1 I2
I3 R2
E1
U23 R23
R1 I1
78
E1 - (I2 + I3 )R1 + E2 - I3R3 - E3 = 0
E3 + R3I3 - E2 - I2R2 + E4 = 0
---------------------------------------------------------
- I2 R1 -I3 (R3 +R1 ) = E3 -E2 -E1
- I2R2+ R3I3 = E2 - E3 - E4
---------------------------------------------------------
-60I2 - 90I3 = 40
-50 I2+ 30R3 = -190 / · 3 -150 I2+ 90R3 = -570
--------------------------------------------------------------------------
- 60I2 - 90I3 = 40
-150 I2+ 90R3 = -570
---------------------------------------------------------------------------
-210 I2= -530 I2 = -530/(-210) = 2,52A
Ostala rešenja u ovom slučaju su I1 = 0,40A, I3 = -2,12A.
24. Zadatak
Ako se u provodnoj konturi magnetski fluks promeni sa nule na 0,1Wb za vreme od 10ms, kolika je
indukovana EMS na krajevima te konture?
Rešenje
Vt
e 101010
1,003
25. Zadatak
Kolika sila deluje na dužni metar pravog provodnika sa strujom od 0,5A koji se nalazi u magnetskom
polju indukcije 0,1T ako je vektor indukcije normalan na provodnik?
Rešenje
F = I ·l ·B = 0,5·1·0,1 = 0,05N
79
ZADACI IZ ELEKTROTEHNIKE SA REŠENJIMA – PRIPREMA ZA II KOLOKVIJUM
1. Po čemu se naizmenična struja razlikuje od jednosmerne struje?
Rešenje:
Naizmenična struja, za razliku od jednosmerne, menja smer i intenzitet po zakonu
prostoperiodičnih funkcija (sinusne ili kosinusne).
2. Ako je efektivna vrednost naizmenične struje I=10A, izračunati kolika je amplituda.
Rešenje:
Im= I 2 = 101,41=14,1A .
3. Naizmenična struja je predstavljena prostoperodičnom funkcijom: i = 3 2 sin(314t + /3).
Izračunati efektivnu vrednost, frekvenciju i periodu te struje.
Rešenje:
I=3A
2
314
2f =50Hz
T=f
1=0,020s =20ms
4. Ako je poznata efektivna vrednost naizmenične stuje I=2A, frekvencija f=60Hz i početna faza
=45, predstaviti ovu struju kao vremensku funkciju.
Rešenje:
i = 2 2 sin(377 t + 45) A,
5. Naizmenična struja je data u kompleksnom obliku: I = (3 + j4) A.
Predstaviti ovu struju kao vremensku funkciju.
Rešenje:
I= 22 43 = 5A, =arc tg 3
4= 53
0
i = 5 2 sin (ωt+530)A
6. Ako je u kolu na slici C=200F, U= 60V, f=50Hz, izračunati struju I.
Rešenje:
610200502
1
2
11,
fCCX
X
UI c
c
= 16
I=3,77A.
C
I U
80
7. Ako je u kolu na slici L=0,15H, I= 1A, f=50Hz, izračunati napon U.
Rešenje:
U=IXL, XL = ωL = 2fL = 2500,15 = 47,1
U= 47,1V
8. Za kolo iz zadatka 7, predstaviti struju i napon u kolu kao vremenske funkcije.
Rešenje:
Ako je struja i = 1,41 sin (314 t)A, tada je napon u = 47,1 2 sin (314 t + 2)V.
9. U delu kola naizmenične struje poznato je R=10, Xc= 20, I=5A.
Izračunati napon na krajevima kola.
Rešenje:
U = Z I, 2222 2010 CXRZ = 22,36
U = 22,365 = 112V
10. Ako je kod nekog potrošača naizmenične struje I=6A, U=12V, fazni ugao između napona i
struje =/6 izračunati snage tog potrošača:
Rešenje:
P = U I cos() = 126 cos(300) = 62,35 W
Q= U I sin() = 126 sin(300) = 36 VAr
S= U I = 126 = 72 VA
11. Ako prividna snaga nekog potrošača iznosi S = 140VA, a aktivna P = 80W , izračunati
faktor snage tog potrošača i fazni ugao između napona i struje.
Rešenje:
cos() = P S = 80 140 = 0,57
=arc tg 140
80=28,74
0
12. Navesti bar dva razloga za primenu trofaznih sistema u proizvodnji i distribuciji električne
struje.
Rešenje:
- Na raspolaganju su dve veličine napona to 220V (fazni napon) za potrošače manje snage i
linijski napon 380V za potrošače veće snage;
- trofazni sistem struja može da formira obrtno magnetno polje što se koristi za rad sinhronih i
asihronih elektromotora.
Xc
I
R
U
L I
U
81
13. Princip rada generatora EMS zasniva se na:
a) Omovom zakonu b) Faradejevom zakonu c) Gausovom zakonu d) Amperovom
zakonu
Rešenje:
Faradejevom zakonu elektromagnetne indukcije
14. Generator trofazne EMS sa vezom namotaja u zvezdu koja je uzemljena, ima napon između
faze i nultog provodnika 120V. Koliki je napon između bilo koja dva fazna provodnika (linijski
napon)?
Rešenje:
Ul = Uf 3 = 120 3 = 207,85V
15. Primar idealnog transformatora ima N1 =100 navojaka, a sekundar N2 =250 navojaka. Ako
se na primar priključi generator EMS efektivne vrednosti 10V, a na sekundar otpornik vrednosti
20, kolika je efektivna vrednost struje kroz taj otpornik?
Rešenje:
Jednačina idealnog transformatora je 1
2
2
1
2
1
I
I
N
N
U
U , na osnovu čega sledi da je U2 = 25V.
Struja je na osnovu Omovog zakona R
U2 , odnosno 25 20 = 1,25A
16. Šta predstavlja i kako nastaje obrtno magnento polje. Objasniti u nekoliko rečenica.
Rešenje:
Ako se na stator postave tri namotaja čije su magnetske ose prostorno pomerene za 120°i kroz
njih propuste tri struje fazno pomerene za 120°svaka stuja će formirati vektor magnetske
indukcije koji menja intenzitet (pulsira) po prostoperiodičnom zakonu, kao i struja koja ga
izaziva. Ti vektri su prostorno pomereni za 120°. Sabiranjem ta tri vektora, dobija se jedan
vektor koji ima stalan intenzitet ali rotira u prostoru statora istom ugaonom brzinom kao
istruja koja ga izaziva. Taj vektor je obrtno magnetno polje i može da se koristi kao osnova rada
asihronih i sinhronih elektromotora.
17. Ako mehanička snaga asinhronog elektromotora iznosi P=10kW, a električna 12kW,
izračunati koeficijent korisnog dejstva.
Rešenje:
12
10
eP
P = 0,83
18. Ako se rotor trofaznog asinhronog elektromotora sa napajanjem 3x380V, 50Hz okreće
brzinom n=700obmin izračunati broj polova i klizanje rotora.
Rešenje:
Prva veća sinhrona brzina iznosi 750 ob/min što znači da je broj polova p=4.
82
Faktor klizanja je 100750
700750100
s
s
n
nns =6,67%
19. Ako asinhroni elektromotor priključen na trofazni sistem 3x380V, 50Hz uzima iz mreže stuju
I=1,2A, a koeficijent korisnog dejstva je =0,8 i faktor snage cos = 0,76, izračunati snagu na
osovini tog motora.
Rešenje:
Pe = U I 3 cos() = 3801,2 3 0,76 = 600W
P = Pe =6000,8 = 480W
20. Ako snaga trofaznog asinhronog elektromotora, priključenog na trofazni sistem 3x380V,
50Hz iznosi P= 2,2kW, koeficijent korisnog dejstva =0,92 i faktor snage cos =0,8, koliku
struju motor uzima iz mreže.
Rešenje:
92,0
2,2
PPe =2,4kW
8,03380
2400
)cos(3
U
PI e = 4,56A
21. U kolu prikazanom na slici E=6V. Ako je vrednost otpora R=4,5, a
unutrašnja otpornost ampermetra je Ra=0,5, koliku struju pokazuje
ampermetar?
Rešenje:
5,05,4
6
aRR
UI =1,2A
22. Napisati naziv instrumenta kojim se mere električne veličine: električna struja, električni
otpor, električna snaga.
Rešenje:
Ampermetar, ommetar, vatmetar
23. U kolu prikazanom na slici izvor EMS ima vrednost E=220V. Ako je
vrednost otpora R1= R2 = 100k, Izračunati pokazivanje voltmetra ako
njegov unutrašnji otpor iznosi Rv = 500k.
Rešenje:
Električno kolo sa voltmetrom se može prikazati kao na slici, pri čemu Re predstavlja paralelnu
vezu otpora R2 i Rv. Pokazivanje voltmetra je tada jednako naponu na Re.
Re=500100
500100
2
2
V
V
RR
RR=83,33k.
Struja u kolu je
I= E/(Re+R1) = 220/(100000+83333) = 0,0012 = 1,2mA
Pokazivanje voltmera je na osnovu Omovog zakona
A
E R
V
R1
R2
E
R1
Rе E
83
UV= IRe = 0,001283333=100V.
24. Koliko bi bilo pokazivanje voltmetra u zadatku 23, ako bi voltmetar bio idealan (ima
beskonačno veliki unutrašnji otpor)?
Rešenje:
UV = 110 V
PRIMER ISPITNE KOMBINACIJE SA REŠENJEM
1. Pločasti kondenzator, sa pločama površine S=10cm2 na rastojanju d=1mm sa vazduhom kao
dielektrikom, naelektrisan je sa Q= 0,1nC. Izračunati:
a) kapacitet takvog kondenzatora
c) napon kondenzatora ako se između ploča umetne dielektrik cija je dielektrična kostanta r=3.
d) energiju kondenzatora posle umetanja dielektrika.
Rešenje
a) C=o S/d , C= 8,85 10-12 1010
-4/10
-3 = 8,85 10
-12 F = 8,85 pF
b) Posle umetanja dielektrika, kapacitet se povećava za vrednost r tojest C=or S/d = 26,55 pF, napon
je
U= Q/C =0,110-9
/26,55 10-12
= 3,77V
c) W = CU2/2 =26,55 10
-123,77
2 =3,7710
-10 J
2. Dato je kolo jednosmerne struje prikazano na slici.
Zadano je E1=12V, E2=24V, R1=80, R2=60, R3
=150. Izračunati struje u svim granama kola.
Rešenje
Kolo rešavamo primenom Kirhofovih pravila. Najpre uočimo broj grana i broj čvorova u kolu. Očito je da
u našem slučaju imamo tri grane i dva čvora. Broj nepoznatih struja jednak je broju grana, što znači da za
rešavanje kola treba da postavimo tri jednačine sa tri
nepoznate.
U kolu pretpostavimo prizvoljan smer struja. Takođe,
izaberemo i dve proizvoljne konture.
Prema prvom Kirhofovom pravilu pišemo onoliko
jednačina koliko iznosi broj čvorova umanjen za jedan.
Ostatak do broja potrebnog za rešavanje (broj grana, tj.
broj nepoznatih), pišemo po drugom Kirhofovom
pravilu.
Prilikom izbora kontura moramo voditi računa da se
one razlikuju u bar jednoj grani (u tom slučaju su
jednačine linearno nezavisne i sistem ima jednoznačna
rešenja).
U našem slučaju jednačine glase: 1) I3 = I1 + I2
2) E1 - I1R1 + I2R2 – E2 = 0
3) E2 - I2R2 - R3I3 = 0 .
I1 I2
I3
1 2
84
Moguće je odmah zameniti vrednosti i tako uprostiti jednačine, ili rešavati u opštim brojevima pa tek
onda zameniti vrednosti. Za manji broj jednačina (sistem sa dve ili tri nepoznate), preporučuje se metoda
zamene ili metoda eliminacije, a sistemi sa većim brojem nepoznatih pogodno je rešavati Kramerovom
metodom (pomoću determinanata).
Ako u trećoj jednačini zamenimo I3 sa I1+ I2 dobijamo
E1- I1R1 + I2R2 – E2 =0
E2 - I2R2 - R3 ( I1+ I2 ) = 0 . Daljim sređivanjem dobijamo
---------------------------------------------------------
- I1 R1 +I2 R2 = E2 -E1
- I1R3 - I2 (R3 + R2) = - E2
---------------------------------------------------------
-80I1 + 60I2 = 12 / · 7 -560I1 + 420I2 = 84
-150 I1- 210I2 = -24 / · 2 -300 I1- 420I2 = - 48
--------------------------------------------------------------------------
-560I1 + 420I2 = 84
-300 I1- 420I2 = -48
---------------------------------------------------------------------------
-860 I1= 36 I1 = 36/(-660) = -0,04186A =-41,86mA
Ostala rešenja u ovom slučaju su
I2 = (84+560(-0, 04186) )/420 I2 = 144,2mA
i I3 = I1 + I2 I3 = 102,3mA.
3. U kolu naizmenične struje prikazanom na slici napon ima
vrednost 100 V i frekvenciju 50 Hz. Otpornost otpornika R
iznosi 10 , induktivnost L iznosi 60 mH, kapacitet
C=550F.
a) Odrediti efektivnu vrednost struje u kolu
b) napon na svim elementima kola.
c) Odrediti prividnu, aktivnu i reaktivnu snagu koju daje
generator
Rešenje
a) Struja se određuje prema omovom zakonu kao I=U/Z, gde je Z impedansa kola i računa se
prema formuli 22
cL XXRZ , gde je XL=L , i XC = 1/C, =2f.
Brojne vrednosti daju XL=6010-3 250=18,84, XC=1/(25055010
-6) = 5,8.
22 8,584,1810 Z =16,43 , I = 100/16,43 =6,08A.
b) UR = RI= 6,0810=60,8V
UL= XLI= 6,0818,84=114,55V
UC= XCI= 6,085,8=35,26V
c) I način
Fazni ugao između napuna i struje = arc tg (X/R) = arc tg (13,04/10)=52,5°
Sada je P=U I cos() = 370,12W, Q=U I sin()=482,4VAr, S=UI = 608VA
II način
P = RI2 = 106,08
2=370W, Q=XI
2=13,046,08
2=482VAr, S=UI = 608VA
I
U
85
4. Trofazni asinhroni motor priključuje se na trofaznu mrežu naizmenične struje linijskih napona
efektivne vrednosti 380 V i frekvence 50 Hz. Faktor snage tog motora iznosi cos =0,86 a koeficijent
korisnog dejstva =0,75. Ako se taj motor pri opterećenju momentom od 140 Nm okreće brzinom od
980 obrtaja u minuti, odrediti:
a) klizanje rotora
b) mehaničku i električnu snagu motora i
c) struju koju motor uzima iz mreže
Rešenje
a) s=(ns-n)/ns 100, gde je ns=1000 ob/min, s= 2%
b) P=M , gde je = n2π/60 =980 2π/60=102,6 rad/s, P = 140102,6=14,367kW
Pe = P/ = 14,367/0,75 = 19,16kW
c) Pe = U I 3 cos (), I = Pe / (U 3 cos ())= 19160/(3801,730,86) =33,89A.