Drag Forces on Slender Rods

•Force applied results in translation, rotation, bending or buckling

•Speed of motion determined by Hydrodynamic Properties

•Drag Forces and their effects

vF or )||( ⊥= γ

ωγ )or ( arT =

Alberts et al, Molecular Biology of the Cell, 2002York U. Molecular Motors group (http://motility.york.ac.uk/)

Dynamics of Bending and Buckling• Bending of filament gives rise to motion perpendicular to filament

• At each portion along length of the rod, Drag force/length =

tycxvcxf∂∂

−=−= ⊥⊥⊥⊥ )()(

∫ −= ⊥

L

x

dxxxxfxM ').')('()(

)(

twiceatingDifferenti

2

2

xfxM

⊥=∂∂

EIxM

xy

tycxvcxf

)(

)()(

2

2

=∂∂

∂∂

−=−= ⊥⊥⊥⊥

equation Beam icHydrodynam theas toreferred is This

4

4

ty

EIc

xy

∂∂

−=∂∂ ⊥

•This is solved by using separation of variables

Total bending moment at point x due to drag forces

• How long does it take for a bent rod to relax to straight position?

• Solving Hydrodynamic beam equations with appropriate boundary conditions 

Boundary conditions

ty

EIc

xy

∂∂

−=∂∂ ⊥

4

4

02

2

02

2

3

3

03

3

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

==== LxxLxx xy

xy

xy

xy

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= −

22coshsin

22cossinh),( / Lx

LLx

Letxy n

nn

nt

nn

αααατ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= −

22sinhcos

22sincosh),( / Lx

LLx

Letxy n

nn

nt

nn

αααατ

n odd

n even

Solution

,....3,2,1)2/1(

4

/

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

≅

=

⊥

−

nnL

EIc

eamplitude

n

t n

πτ

τ

Thermal Bending of Filaments

• Thermal forces cause fluctuation in shape of filament• DNA or unfolded chain of amino acids become highly unstructured

• Straight actin filament or ordered set of amino acid must be rigid to maintain their structure

• How rigid?  And what is the flexural rigidity ?

Persistence Length

kTEIL

Lss

p

p

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

2exp)0()(cos[ θθ

Thermal Bending of Semi flexible Polymers

• For semi flexible polymers, Original length = persistence length Persistence length can be calculated by using  mean squared end to end length 

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ppp L

LLLLR 1exp2 22

0

2 =

<<

R

LpLfor

LLR

LpLfor

p2

2 =

>>

Entropic Elasticity of a Freely Jointed Chain

Mechanics of proteins having segmental Flexibility which have Globular or rigid coil domains Linked by flexible regions

θcosnbX =

• Force extension curve : measured by determining F , which extends the chain by <X>

Where , 

is the Langevin function 

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=kTFbLnbX .

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛kTFbL

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−

kTFb

ee

eekTFbL

kTFb

kTFb

kTFb

kTFb

1

• For small values of F , 

which compares to F = kx ( Force applied on a spring)

Where, k=

kTFb

kTFbL

31

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

kTFbnbX

31.=

XnbkTF 2

3=

2

3nbkT

Worm Like Chain

• Length of rod > persistence length • For freely jointed chain , • For slender rods in three dimensions, L>>Lp

which is called Kuhn length • In the absence of force , worm like chain is equal to freely jointed chain whose segment length b is twice the persistence length (Lp)

22 nbR =

pLLR 22 ≅ Lnb =

bLp =2

Summary

• Resistance of slender rods to bending forces defined by flexural rigidity (EI)

• If bending moments are known, shape can be calculated by beam equation

• If rod is in a fluid, bending opposed by drag forces• Flexible rods are also bent by thermal forces• Persistence length defines thermal fluctuations• Models like freely jointed chain and worm like chain