Embed Size (px)
Citation preview
Sveu£ili²te J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku
Dragana Kozi¢
Srednjo²kolska nastava diferencijalnog ra£una
Diplomski rad
Osijek, 2013.
Sveu£ili²te J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku
Dragana Kozi¢
Srednjo²kolska nastava diferencijalnog ra£una
Diplomski rad
Mentor: doc. dr. sc. Ivan Mati¢Komentor: dr. sc. Ljerka Juki¢ - Mati¢
Osijek, 2013.
2
Sadrºaj
1 Uvod 5
2 Povijest diferencijalnog ra£una 62.1 Sir Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Gottfried Wilhelm von Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Matemati£ki dvoboji - Newton vs. Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Problem brzine 93.1 Udºbenik - Daki¢, Elezovi¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Udºbenik - Antoli², Copi¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Udºbenik -Golubovi¢, Javor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3.1 Prirast funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3.2 Problem brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Problem tangente 164.1 Udºbenik - Daki¢, Elezovi¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1.1 Prirast varijable i prirast funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.1.2 Nagib funkcije. Tangenta na graf funkcije . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Udºbenik - Antoli², Copi¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Udºbenik - Golubovi¢, Javor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Pojam derivacije 255.1 Udºbenik - Daki¢, Elezovi¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Udºbenik - Antoli², Copi¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3 Udºbenik - Golubovi¢, Javor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6 Sli£nosti i razli£itosti udºbenika 296.1 Problem brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2 Problem tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.3 De�nicija derivacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7 Od problema aproksimacije do pojma derivacije 327.1 Problem aproksimacije funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8 Diferencijalni ra£un na drºavnoj maturi 408.1 Primjeri ispita na drºavnoj maturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.1.1 Ljetni rok 2009/2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.2 Zimski rok 2011/2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3
9 Studije provedene na studentima vezane za(ne)razumijevanje derivacija i integrala 44
10 Zaklju£ak 46
Literatura 47
Saºetak 48
Summary 49
�ivotopis 50
4
1 Uvod
S pojmom derivacije u£enici se prvi puta susre¢u u £etvrtom razredu srednje ²kole. Uovom radu usporedit ¢emo udºbenike za £etvrti razred srednjih ²kola sljede¢ih autora:
• Neven Elezovi¢, Branimir Daki¢
• Sanja Antoli², Aneta Copi¢
• Dobrila Golubovi¢, Petar Javor
U drugom poglavlju re¢i ¢emo ne²to o povijesti diferencijalnog ra£una. Govorit ¢emoo osniva£ima te o njihovim me�usobnim odnosima, odnosno nesuglasicama. U tre¢empoglavlju obra�ujemo problem brzine. Re¢i ¢emo kako je u kojem udºbeniku obra-�en ovaj naslov. Nakon toga, u £etvrtom poglavlju govorimo o problemu tangente.Kona£no, u petom poglavlju govorit ¢emo o pojmu derivacije, te kako je u kojem udº-beniku taj pojam de�niran. Kako ne bi sve ostalo samo na opisivanju udºbenika, u²estom poglavlju uspore�ujemo te udºbenike te navodimo sli£nosti i razlike. U sedmompoglavlju pokazujemo kako su pojam derivacije objasnili autori udºbenika namijenje-nog studentima 1. godine studija na Odjelu za matematiku. Kratko ¢emo se u osmompoglavlju osvrnuti na drºavnu maturu, te pokazati nekoliko zadataka koji se pojav-ljuju na ispitima drºavne mature. U devetom poglavlju re¢i ¢emo ne²to i o studijamaprovedenim na studentima.
5
2 Povijest diferencijalnog ra£una
In�nitezimalni ra£un je grana matematike koja se bavi funkcijama, derivacijama, inte-gralima, limesima funkcije i grani£nim vrijednostima. Dvije glavne grane su diferenci-jalni ra£un i integralni ra£un. Diferencijalni ra£un se temelji na derivacijama. Godine499. indijski je matemati£ar Aryabhata I. ra£unao in�nitezimalanim ra£unom i zapisaoastronomski problem u obliku diferencijalne jednadºbe. Na temelju te jednadºbe, u 12.stolje¢u Bhaskara je razvio neku vrstu derivacije. U 17. stolje¢u japanski matemati£ar�insuke Seki Kova do²ao je do osnovnih spoznaja in�nitezimalnoga ra£una. Osniva-£ima se drºe poznati matemati£ari I. Newton i G. W. Leibniz. Newton je do pojmaderivacije do²ao preko �zikalnog modela brzine. On je za derivaciju rabio oznaku s
koja se i danas koristi za ozna£avanje derivacije po varijabli koja predstavlja vrijeme.Za razliku od Newtona, Leibniz je do pojma derivacije do²ao preko problema tangente.Najprije ¢emo re¢i ne²to o samim osniva£ima, a zatim i o njihovim me�usobnim odno-sima nakon saznanja da su i jedan i drugi, neovisno jedan o drugom, do²li do pojmaderivacije, ali na razli£ite na£ine.
2.1 Sir Isaac Newton
Newton je bio engleski �zi£ar, matemati£ar i astonom. Osniva£ je suvremene mehanike(Newtonovi zakoni), otkrio je principe gravitacijske sile, te neke temeljne zakone optike.1666 je izradio prvi teleskop na principu re�eksije. Na podru£ju matematike je postavioosnove diferencijalnog i integralnog ra£una. On derivaciju naziva �uksija, od latinskerije£i �ure ²to zna£i te¢i.
2.2 Gottfried Wilhelm von Leibniz
Leibniz je bio njema£ki �lozof i matemati£ar, te osniva£ Berlinske akademske znanosti.Mnogo je putovao pri £emu je upoznao mnoge matemati£are svoga doba i njihoveradove. U isto vrijeme kada i Newton utvrdio je osnove diferencijalnog i integralnogra£una. Ve¢ina simbola i oznaka diferencijalnog i integralnog ra£una poti£e jo² odLeibniza. On je tako�er uveo oznaku dy za derivaciju. Pojam diferencijala, po kojemje i £itav diferencijalni ra£un dobio ime, uveo je Leibniz. On diferencijal tretira kao"beskona£ni mali prirast". Zna£ajan je jo² i po otkrivanju pojma binarnog sustava iizumu stroja za ra£unanje koji je bio napredniji od Pascalovog.
6
2.3 Matemati£ki dvoboji - Newton vs. Leibniz
Newton je prve rezultate o �uksijama dobio u razdoblju 1665.-1671., ali ih prvi putobjavljuje 1736. On tvrdi da su �uksije brzine �uensa x i y, a �uensi su veli£ine ovisneo vremenu (koordinate to£ke koja se giba u ravnini po nekoj krivulji). Newtonova va-rijanta in�nitezimalnog ra£una sastojala se u odre�ivanju koe�cijenta smjera tangentena krivulju po kojoj se to£ka giba (tj. omjera vertikalne i horizontalne brzine) pomo¢uin�nitezimalnog (beskona£no malog) prirasta o sli£no kao u Fermatovoj metodi odre�i-vanja tangenti i ekstrema. On je uo£io da je problemu odre�ivanja tangente iz pozna-vanja �uensa inverzan problem odre�ivanja vertikalnog �uensa (tj. vrijednosti funkcijey) iz koe�cijenta smjera tangente i horizontalnog �uensa. Time je dobio osnovni te-orem in�nitezimalnog ra£una: deriviranje (odre�ivanje koe�cijenta smjera tangente nakrivulju, tj. brzine iz puta) i integriranje (odre�ivanje puta iz brzine) me�usobno suinverzne operacije. 1672. ekvivalentne rezulate dobio je i Leibniz. On ¢e vrlo brzorazviti danas uobi£ajenu notaciju ydx i prvi put je koristi u rukopisu 1675. �to se ti£esamog ra£una, kod Leibniza je dx isto ²to i e kod Fermata, odnosno o kod Newtona,no u daljnjem razvoju ra£una ova notacija, koja isti£e veli£inu £iji prirast gledamo, imaniz svojih prednosti.1673. Leibniz posje¢uje London i tek tada po prvi puta ima priliku vidjeti Newtonoverukopise. Nakon ²to je objavio svoje rezultate, Newton mu pi²e o svojima, koji tadajo² uvijek nisu objavljeni, no bez opisa metode koju je koristio. To pismo je dugo pu-tovalo te se brz Leibnizov odgovor nije £inio tako i Newtonu. Leibniz odlu£uje objavitii ostatak svojih rezultata, a Newton se odlu£uje uputiti mu jo² jedno pismo u kojemga optuºuje da je ukrao njegovu metodu, a kao odgovor dobiva od Leibniza sve detaljenjegove metode. Leibniz je promatrav²i redove, uo£io da se za dani niz kojemu tra-ºimo zbroj y0 + y1 + y2 + ... + yn lako moºe prona¢i zbroj diferencija di = yi − yi− 1
uzastopnih £lanova niza d1 + d2 + ... + dn = yn − y0. Za razliku od Newtona, Leibnizje kao koe�cijent smjera tangente dobio ne omjer �uksija, tj. brzina, nego omjer in-�nitezimalnih prirasta osnovnih veli£ina (koje bi Newton zvao �uensi). S obzirom navezu izme�u zbrajanja niza i njegova niza diferencija, Leibniz zaklju£uje da inverznosttih operacija vrijedi i kad su razmaci me�u £lanovima in�nitezimalni, tj. zaklju£uje dasu postupci integriranja i deriviranja me�usobno inverzni, dakle traºenje koe�cijentasmjera tangente i povr²ine ispod krivulje me�usobno su inverzni postupci. Moramonapomenuti da su i ranije postojale metode integriranja tj. nalaºenja povr²ine (npr.starogr£ka metoda ekshaustije) te nalaºenja tangente (npr. Descartesova i Fermatovametoda), no razlog za²to se otkri¢e in�nitezimalnog ra£una pripisuje Newtonu i Leib-nizu jest njihovo otkri¢e osnovnog teorema in�nitezimalnog ra£una, tj. veze izme�u tihdvaju postupaka. Newton je i nakon dobivenog odgovora bio uvjeren da mu je Leibnizukrao metodu, pa Leibniz 1684. objavljuje Nova Methodus pro Maximis et Minimis,
7
itemque Tangentibus... s detaljima svog diferencijalnog ra£una, te 1686. £lanak o in-tegralnom ra£unu. 1711. izlazi £lanak u Transactions of the Royal Society of London
u kojem je von Leibniz optuºen za plagijat. Leibniz traºi ispriku, ali autor £lankaKeill odbija je dati argumentiraju¢i da je sam Leibniz imao priliku ukrasti metodu.Nakon ²to nije dobio ispriku, obra¢a se Royal Society, £ija komisija od Leibniza nijezatraºila njegovu verziju, a izvje²taj u korist Newtona je napisao sam Newton (1713.),koji je u to doba bio predsjednik Royal Society. 1714. Leibniz objavljuje anonimnipam�et i kao argument u svoju korist se poziva na jednu Newtonovu gre²ku koju jeuo£io Johann Bernoulli. Odgovor na taj pam�et objavljuje Keill, te ga opet usmje-rava protiv Leibniza, te Leibniz odbija daljnje rasprave argumentiraju¢i da ne moºeodgovoriti idiotu. Nakon ²to je primio jo² jedno pismo od Newtona, Leibniz opet ²aljedetalje svojih rezultata, ali ni nakon toga ne dobiva nikakvu ispriku. U povijesti sedugo smatralo da je Leibniz u pravu, pogotovo ²to su svi znali kakvog je karaktera bioNewton. Me�utim, ne moºemo biti sigurni da li je Leibnizov boravak u Londonu, gdjeje imao priliku vidjeti rukopise, bio inspiriraju¢i za njegovu varijantu in�nitezimalnogra£una. Ipak, sa sigurno²¢u moºemo re¢i da su obojica podjednako zasluºna za ovootkri¢e, a Leibniz je potpuno druk£ijim pristupom samostalno izveo svoje rezultate.Dana²nji oblik diferencijalnog i integralnog ra£una sli£niji je Leibnizovom jer je gotovosve glavne dana²nje oznake i na£in pisanja uveo Leibniz, a uz to je njegov pristupvi²e matemati£ki. Nasuprot njemu, Newtonov pristup vi²e je �zikalan, a premda jeimao svoje oznake, £esto ih je mijenjao i njegovi su tekstovi iz dana²nje perspektivenerazumljivi za £itanje.
8
3 Problem brzine
Autori srednjo²kolskih udºbenika ([1],[2],[3]) obja²njavaju problem brzine na razli£itena£ine. Svaki autor na druga£iji na£in motivira u£enike za rad, ali isto tako koristejako sli£ne primjere. Zajedni£ki im je primjer automobila koji ubrzava. Za de�niranje ipoja²njavanje koriste mnogo izraza iz �zike koje su u£enici upoznali u niºim razredimasvoga ²kolovanja. Klju£ni pojmovi za ovaj problem su brzina, limes, vrijeme i put.
3.1 Udºbenik - Daki¢, Elezovi¢
Kod njih nalazimo jedan zanimljiv pristup, odnosno oni poti£u u£enike na razmi²ljanjepostaviv²i im pitanje ²to je to brzina. Vjerujem da bi svatko od nas na to pitanjeodgovorio jako brzo tako ²to bi izrecitirao de�niciju brzine koja se u£ila u sedmomrazredu osnovne ²kole iz �zike. Me�utim, to nije obja²njenje koje bi svatko mogaorazumjeti. Dakle, na²i autori ovim pitanjem ºeljeli su u£enicima pokazati kako u stvaripojam brzine i nije tako jednostavan kako nam se na po£etku £inilo. Kako bi im to ido£arali oni su u svoj udºbenik stavili i jednu zanimljivu anegdotu koja nam govori oprepirci policajca i voza£ice. Tako�er, ta se anegdota moºe pro£itati i u znamenitostimaThe Feynman Lectures in Physics ameri£kog nobelovca R. P. Feynmana.
Anegdota glasi:
• "Gospo�o, vi ste prekr²ili pravila voºnje kroz grad. Vozili ste brzinom od 90km/h.
• Oprostite, to nije mogu¢e. Kako sam mogla voziti 90 kilometara na sat, kadvozim tek sedam minuta?
• Radi se o tome, gospo�o, da biste za jedan sat pre²li 90 km kad biste nastavilivoziti na isti na£in.
• Kad bih ja nastavila voziti kako sam vozila jo² cijeli sat, naletjela bih na zid nakraju ulice!
• Va² je brzinomjer pokazivao 90 km/h!
• Moj je brzinomjer pokvaren i odavno ne radi."
Ovdje moºemo vidjeti kako policajac nije mogao objasniti voza£ici ²to je to brzina 90km/h.
Nakon ²to su s jednom kratkom pri£om u£enicima dali do znanja da nije jednostavnoobjasniti ²to je brzina, ova dva autora daju jedan jednostavan primjer. Oni sada
9
obja²njavaju kako odrediti trenutnu brzinu pomo¢u s− t grafa. Odlu£ili su promatrativremenski interval [t0, t0 + ∆t] za vrijeme kojeg je automobil prevalio put od s0 = s(t0)
do s0 + ∆s = s(t0 + ∆t). Prosje£nu brzinu u tom intervalu vremena izrazili su prekoformule
v =∆s
∆t=s(t0 + ∆t)− s(t0)
∆t.
Ovom formulom zavr²avaju svoj glavni dio obja²njavanja problema brzine, ali ostav-ljaju u£enicima jo² jedan primjer u kojem pokazuju primjenu problema brzine. Primjerkoji su nam naveli glasi:Mjerenjem je utvr�eno da je prevaljen put tijela koje slobodno pada u vakuumu danformulom
s =1
2gt2
u trenutku t nakon po£etka padanja.Ovisnost puta o vremenu lako je mjeriti: dovoljno je tijelo pu²tati da pada s razli£itihvisina i mjeriti ukupno vrijeme pada. Tako se dobiva gornja formula. Teºe je odgovoritina pitanje: Kolika je brzina tijela pri padu?Odgovor na ovo pitanje bi bio: Potrebno je izra£unati prosje£nu brzinu u vremenskomintervalu od t do t+ ∆t (vidjeti [1]):
v =∆s
∆t=
12g(t+ ∆t)2 − 1
2gt2
∆t= gt+
1
2g ·∆t.
Ukoliko promatramo sve kra¢e vremenske intervale, tada ∆t → 0 i prosje£na brzinapostaje trenutna brzina u trenutku t:
v(t) = gt.
3.2 Udºbenik - Antoli², Copi¢
Ove dvije autorice, za razliku od autora Elezovi¢a i Daki¢a, nemaju uvodnu pri£ukojom bi mogle zainteresirati u£enike. One u svom udºbeniku problem brzine zapo£injuprimjerom s automobilom koji kre¢e iz stanja mirovanja pravocrtno se gibati. Onepoloºaj automobila odre�uju po zakonu
s(t) = 1.4t2
gdje je t ∈ [0, 10] vrijeme u sekundama, a s(t) poloºaj u odnosu na polaznu to£kunakon t sekundi izraºen u metrima. Nadalje, one u svom udºbeniku zadaju nekolikoprimjera kako bi u£enici primijenili gornju formulu te rezultate stavljaju u tablicu.Ovakav na£in prikazivanja rje²enja je uredniji i lak²e je pratiti kada je sve na jednom
10
mjestu. Koriste¢i se nadalje tablicom ra£unaju se prosje£ne brzine u intervalima, te suuvedene nove oznake ∆t i ∆s. Oznaka ∆t je za prirast vremena, a ∆s je prirast puta.Nakon ²to su uvedene oznake, ra£unaju omjer ∆s
∆t. Kona£no, za ra£unanje trenutne
brzine u trenutku t autorice su nam dale limes kada ∆t teºi nuli:
lim∆t→0
∆s
∆t= lim
∆t→0
s(t+ ∆t)− s(t)∆t
.
Zaklju£ak da se iz poznate ovisnosti poloºaja o vremenu dobije brzina kao funkcijavremena autorice su prikazale pomo¢u izraza
v(t) = lim∆t→0
∆s
∆t= lim
∆t→0
s(t+ ∆t)− s(t)∆t
.
Problem brzine autorice su zavr²ile s kratkim osvrtom na povijest ovoga problema.
Isto tako, moºemo zaklju£iti da u ovom udºbeniku nemamo naveden ni primjerprimjene kao ²to to imaju autori Elezovi¢ i Daki¢. Me�utim, iako nemaju uvodnimotivacijski dio one su u£enicima dale kratak osvrt na bitne matemati£are koji su biliklju£ni za razvoj diferencijalnog ra£una. Stavljanje povijesnih pojmova u udºbenikedaje u£enicima do znanja da to nitko nije nedavno izmislio ve¢ da se na obra�enimpojmovi radi od davnina, ali se iz godine u godinu sve vi²e saznaje o tome. Elezovi¢ iDaki¢ su u svojoj knjizi za povijesni dio ostavili poseban odjeljak koji se nalazi nakonuvoda pojma derivacije. Takav na£in je tako�er zanimljiv i u£enici ga lako pamte.
3.3 Udºbenik -Golubovi¢, Javor
U ovom udºbeniku autori su zapo£eli najprije s uvodnim zadatkom, kako bi se u£eni-cima pribliºilo gradivo stvarnom ºivotu. Djeci su ovakvi zadaci jako zanimljivi, prak-ti£ni te poznati. U zadatku se radi o bacanju kamen£i¢a u vodu, a glasi:
Dijete baca kamen u mirno jezero uzrokuju¢i kruºne valove na pov²ini vode. Akose polumjer valova pove¢ava konstantnom brzinom od 15 cm/s koliko brzo se pove¢avapovr²ina kruga ome�enog valom, u trenutku kada je polumjer vala 6 m?
Nakon uvodnog zadatka slijedi kratko ponavljanje prethodno nau£enog gradiva kakobi u£enicima bilo lak²e pratiti ono gradivo koje slijedi.
11
3.3.1 Prirast funkcije
U ovom poglavlju autori ponavljaju pojmove prirast varijable x i prirast funkcije. Tosu pojmovi koji su ve¢ obra�eni, ali ¢e biti potrebni i u ovom dijelu gradiva pa jesvakako bitno ponoviti ih. Najprije ponavlja pojam prirasta varijable x.
Neka je zadana funkcija f : I → R. Odabiremo to£ke x0, x1 ∈ I. Njima pripadajufunkcijske vrijednosti y0 = f(x0), y1 = f(x1). Ozna£imo s ∆x prirast (promjenu)varijable x, tj.
∆x = x1 − x0 ili x1 = x0 + ∆x.
Slika 1: Prirast varijable i prirast funkcije
Nakon ²to je ponovljen pojam varijable x, ponavljaju i pojam prirasta funkcije.Pomak od x0 do x1 moºe biti kako udesno tako i ulijevo, odnosno x1 moºe biti ili ve¢iili manji od x0, ²to zna£i da ∆x moºe biti i pozitivan i negativan. Promjena varijableod x0 na x1 = x0 + ∆x uzrokuje i promjenu funkcijske vrijednosti; od vrijednosti f(x0)
prelazimo na vrijednost f(x1) = f(x0 + ∆x). Ovako nastalu promjenu ozna£avamo s∆y = ∆f(x0), a de�niramo kao:
∆y = ∆f(x0) = y1 − y0 = f(x0 + ∆x)− f(x0);
kaºemo da je ∆y prirast (promjena) funkcije f u to£ki x0 za prirast varijable x.Nakon de�niranja pojmova, autori su rije²ili nekoliko jednostavnih primjera kako
bi se predo£ilo sve ono o £emu se prethodno govorilo.
Primjer 3.1 Za koliko se treba promijeniti vrijednost varijable x od po£etne vrijednosti
−6 da bi funkcija f(x) = −12x2 − 4x− 6 imala prirast 2?
12
Po£etna vrijednost je x0 = −6, prirast je funkcije ∆f(x0) = 2. De�nirali smo
∆f(x0) = f(x0 + ∆x)− f(x0), ²to za x0 = −6 daje:
∆f(−6) = f(−6 + ∆x)− f(−6) =
= −1
2(−6 + ∆x)2 − 4(−6 + ∆x)− 6− [−1
2· (−6)2 − 4 · (−6)− 6] =
= 2∆x− 1
2(∆x)2.
Iz 2∆x− 12(∆x)2 = 2 slijedi: (∆x− 2)2 = 0 te je promjena varijable ∆x = 2.
Nakon ovog primjera slijedi jo² nekoliko sli£nih u kojima u£enici ponavljaju gradivo tese na kraju nalazi i nekoliko zadataka za samostalan rad. Kada se ponovi sve potrebnoza ovu cjelinu, prije same de�nicije derivacije, autori obra�uju problem brzine i problemtangente.
3.3.2 Problem brzine
Problem od kojeg se po£inje je kako de�nirati ²to je brzina. Autori ove knjige, kao iprethodnih, daju odgovor i na to pitanje. Odgovor na pitanje je jednostavan ako jekretanje jednoliko. Brzina je de�nirana kao omjer prije�enog puta i potrebnog vremenada se taj put prije�e. Oni sa s(t) ozna£avaju funkciju koja opisuje ovisnost puta ovremenu, dok pod prirastom puta u vremenskom intervalu [t0, t1] podrazumijevaju∆s = s(t1) − s(t0), odnosno, uz t1 = t0 + ∆t, pa se dobije ∆s = s(t0 + ∆t) − s(t0).Tada je prosje£na brzina gibanja u intervalu [t0, t1] dana s:
v =∆s
∆t=s(t0 + ∆t)− s(t0)
∆t.
Sam podatak o prosje£noj brzini nam naj£e²¢e ne govori previ²e o samom karakterugibanja. Nadalje daju jedan primjer koji ilustrira ono ²to je prethodno re£eno.
�to zna£i podatak da je vlak od Zagreba do Splita vozio 8 sati? (Duljina ºeljezni£kepruge iznosi 458 km). To je podatak iz kojeg doznajemo da je prosje£na brzina 57km/h, a to je ona zami²ljena brzina kojom bi se vlak na cijelom putu morao jednolikogibati da taj put prevali u istom vremenu u kojem ga prevali gibaju¢i se u realnostinejednoliko. Znatno bi se bolje moglo opisati gibanje vlaka kada bismo izra£unalibrzinu za kra¢e vremenske intervale, tj. srednja brzina bit ¢e sve bliºa pravoj brzini²to je ∆t manji. Kona£no, zaklju£ak sve ga ovoga je: Srednja (prosje£na) brzina to semanje razlikuje od stvarne brzine ²to je vrijeme promatranja kra¢e, odnosno, moºemore¢i da je grani£na vrijednost srednje brzine kad t1 → t0 jednaka brzini u trenutku t0.Zapisujemo: lim
t1→t0v = v(t0).
13
Kona£no, brzina u trenutku t0 je:
v(t0) = lim∆t0→0
∆s
∆t= lim
∆t→0
s(t0 + ∆t)− s(t0)
∆t.
Nakon ²to je dana formula za brzinu u odre�enom trenutki t0 slijedi primjer.
Primjer 3.2 Na autocesti duljine 186 km maksimalna dopu²tena brzina iznosi 130
km/h. Putnik je svojim automobilom krenuo u 12 sati i 50 minuta i stigao na naplatnu
ku¢icu u 14 sati i 8 minuta. Treba li platiti kaznu za brzu voºnju?
Treba! Vrijeme je voºnje 1.3 sata. Prosje£na je brzina v = 1861.3
= 143km/h.
Nakon ovog jednostavnog primjera imamo jo² jedan koji traºi od u£enika da pri-mjenjuju ono ²to su obradili.
Primjer 3.3 Tijelo izba£eno uvis (okomito, odnosno vertikalni hitac) brzinom v0 =
50m/s giba se prema zakonu:
s(t) = v0 · t−1
2g · t2.
a) Kolika je srednja brzina gibanja tijela u vremenskom intarvalu od t1 = 1s do t2 =
3s?
b) U kojem je trenutku brzina tijela 20.5 m/s?
c) Kojom ¢e brzinom tijelo pasti na tlo?
a) Prosje£na (srednja) brzina gibanja u intervalu [t1, t2] dana je s:
v =∆s
∆t=s(t2)− s(t1)
t2 − t1;
uz zadane podatke dobivamo:
v =s(3)− s(1)
3− 1=
(5 · 0 · 3− 92· 9.81)− (50− 9.81
2· 1)
2= 30.38m/s.
b) Trenutna brzina je:
v(t0) = lim∆t→0
∆s
∆t= lim
∆t→0
s(t0 + ∆t)− s(t0)
∆t=
= lim∆t→0
50(t0∆t)− 12g(t0 + ∆t)2 − 50t0 + 1
2gt2
∆t=
= lim∆t→0
50∆t− gt0∆t− 12g(∆t)2
∆t= 50− gt0 = 50− 9.81 · t0
dobili smo: v(t0) = 50 − 9.81t0, odnosno: 20.5 = 50 − 9.81t0, ²to nam daje:
t0 = 50−20.59.81
≈ 3s; tj. brzinu od 20.5 m/s tijelo je postiglo u 3. sekundi.
14
Slika 2: Trenutna brzina
c) U trenutku kad tijelo padne na tlo ponovno je s(t) = 0, tj. 50 · t − 12g · t2 = 0, ²to
daje: t1 = 0 i t2 = 10.2s, tada je: v(10.2) = −50.06m/s.
15
4 Problem tangente
U ovom poglavlju ¢emo obraditi problem tangente. Vidjet ¢emo kako je koji autorrije²io ovaj problem te kako su na primjerima dodatno pojasnili de�nirane pojmove.Tako�er ¢emo prona¢i i povijesne £injenice kojima autori obrazlaºu svoje tvrdnje.
4.1 Udºbenik - Daki¢, Elezovi¢
Problem tangente autori udºbenika [1] su podijelili na dva dijela. Prvi dio je prirastvarijable i prirast funkcije, a drugi dio je nagib funkcije i tangenta na graf funkcije.Najprije ¢emo obraditi prvi dio, a zatim ¢emo vidjeti kako su de�nirali tangentu.
4.1.1 Prirast varijable i prirast funkcije
Autori su u ovom dijelu ºeljeli ukratko s u£enicima ponoviti najvaºnija svojstva pri-rasta funkcije. Ova svojstva nisu ponovljena na klasi£an na£in, odnosno nisu samonabrojana, ve¢ su autori odlu£ili ponoviti ih kroz primjere. Takav jedan primjer, ukojem se ponavljaju svojstva prirasta funkcije, glasi:
Neka je f(x) = x2 + 2. Odredimo prirast ∆y funkcije:
A. u to£ki x0 = 1,
B. u to£ki x0 = 3,
C. u po volji odabranoj to£ki x0 ∈ R.
U ovom primjeru u£enici ¢e koristiti najvaºnije svojstvo prirasta funkcije koje glasi:Neka je x0 ∈ Df , gdje je Df ozna£ava domenu funkcije f , i ∆x prirast varijable x.Prirast funkcije y = f(x) u to£ki x0 ozna£avamo s ∆y ili ∆f(x0), a de�niramo ovako:
∆y := f(x0 + ∆x)− f(x0).
Sljede¢i primjer ima i svoj naziv - nagib pravca. Dan je primjer u kojem je potrebnoizra£unati prirast linearne funkcije koja je zadana s f(x) = kx + l. Koriste se to£kekao i u prethodnom primjeru. Iz rje²enja se vidi da je u svakoj to£ki x0 prirast funkcijejednak. Isto tako, moºemo vidjeti da je omjer prirasta ∆y
∆xstalan i jednak koe�cijentu
smjera k pravca y = kx + l. Znamo od prije da koe�cijent smjera odre�uje nagibpravca. Autori daju zaklju£ak ovome primjeru, a to je da graf linearne funkcije ima usvakoj to£ki jednak nagib te da ta linearna funkcija raste jednako brzo u svakoj to£ki.
16
4.1.2 Nagib funkcije. Tangenta na graf funkcije
Na samom po£etku, autori ove knjige de�niraju nagib grafa:
De�nicija 4.1 Nagib grafa funkcije
Neka se na graf funkcije f moºe povu¢i tangenta u to£ki (x0, y0). Nagib grafa funkcije
f u to£ki (x0, y0) de�niramo kao nagib tangente poloºene na graf u toj to£ki. On je
jednak koe�cijentu smjera k tangente, a moºe se izraziti kao k = tgα, pri £emu je α
kut ²to ga pravac zatvara s pozitivni dijelom x-osi.
Funkcije koje su razli£ite od linearne nemaju jednak nagib u svakoj to£ki. To zna£i danjihov rast, odnosno pad nije u svakoj to£ki jednak. To je ilustrirano na Slici 3.
Slika 3: Rast i pad funkcije ilustriran nagibom pravaca koji diraju graf funkcije.
Na ovoj slici moºe se primjetiti da funkcija pada tamo gdje je nagib pravca nega-tivan, a raste tamo gdje je nagib pozitivan. Na prijelazu izme�u rasta i pada nagibtangente jednak je nuli.
Autori sada ºele odrediti to£an nagib grafa funkcije u nekoj to£ki. Do tangente ¢epoku²ati do¢i na sljede¢i na£in: tangentu zamjenjuju sa sekantom, pravcem koji sije£egraf funkcije u (barem) dvije to£ke (vidjeti Sliku 4).
17
Slika 4: Sekanta je pravac koji prolazi to£kama (x, y) i (x + ∆x, y + ∆y) na grafufunkcije. �to je vrijednost prirasta ∆x manja, to ¢e sekanta biti bolja aproksimacijatangente u to£ki (x, y).
Pu²taju¢i da ∆x teºi nuli, iz jednadºbe sekante dobivaju jednadºbu tangente. Nada-lje, odaberu to£ku T (x0, y0) na grafu u kojoj ºele izra£unati nagib, a S(x0+∆x, y0+∆y)
je to£ka na grafu kroz koju vu£emo sekantu TS. Nagib sekante je ∆y∆x
. Kako se S pri-bliºava to£ki T po grafu funkcije f , onda sekanta prelazi u tangentu u to£ki T .
Nakon toga dan je primjer iz kojega ¢e autori izraziti formulu za ra£unanje tangentena graf funcije f(x) = x2. Nagib tangente u proizvoljnoj to£ki (x0, y0) dobiju prekokoe�cijenta smjera sekante. Ovaj koe�cijent dobije se ra£unaju¢i kvocijent ∆y
∆xprirasta
funkcije i prirasta argumenta.
18
Oni su to zapisali na idu¢i na£in:f(x0 + ∆x) = (x0 + ∆x)2 = x2
0 + 2x0∆x+ (∆x)2,
∆y = f(x0 + ∆x)− f(x0) = 2x0∆x+ (∆x)2,
∆y∆x
= 2x0 + ∆x.
Nakon toga, autori pu²taju da ∆x teºi nulu pa se dobije nagib 2x0. Kona£ne rezul-tate zapisuju u tablicu koja je u£enicima lako £itljiva i takav na£in zapisivanja rje²enjaje pregledniji.
4.2 Udºbenik - Antoli², Copi¢
Autorice ove knjige problem tangente zapo£inju obja²njavanjem samog pojma tan-gente:
Problem tangente problem je odre�ivanja tangente u nekoj to£ki na krivulju u rav-nini, a rje²avali su ga mnogi matemati£ari u dugom razdoblju od starogr£ke matematikeda bi problem kona£no rije²io Leibniz u 17. stolje¢u.Problem je najprije rije²en konstruktivno, pa je ve¢ u Euklidovim elementima dana me-toda konstrukcije tangente na kruºnicu, Apolonije je konstruirao tangentu na elipsu,hiperbolu i parabolu. Nakon kratkog povijesnog uvoda, autorice de�niraju i tangentu:
Intuitivno je tangenta pravac koji se u nekoj to£ki krivulja "najbolje" prislanja uzkrivulju. Pri tome nije nuºno da krivulje i tangenta imaju samo jednu zajedni£kuto£ku. Na Slici 5 je prikazana tangenta na graf funkcije u to£ki (x, f(x)), vidimo dataj pravac sije£e graf u vi²e to£aka.
19
Slika 5: Pravac na slici je tangenta na graf funkcije u to£ki (x, f(x)), iako sije£e graf uvi²e to£aka
.
Tako�er, tangenta na graf funkcije f(x) = x, odnosno na pravac, isti je taj pravaci on s grafom ima sve to£ke zajedni£ke. Ova £injenica da se tangenta u nekoj to£kifunkcije malo razlikuje od grafa omogu¢avala je pribliºno ra£unanje vrijednosti funkcijepomo¢u tangente.Kako napisati jednadºbu tangente na graf funkcije f u to£ki (x0, f(x0))?Promotrimo najprije dvije razli£ite to£ke na grafu funkcije A(x0, f(x0)) i B(x0 +
∆x, f(x0 + ∆x)). Pravac kroz A i B je sekanta i ima koe�cijent smjera
kAB =f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
koji se razlikuje od koe�cijenta smjera tangente. Me�utim, ako se bira poloºaj to£keB sve bliºe to£ki A, tangenta i sekanta se sve manje razlikuju. To£ka B bit ¢e sve bliºato£ki A ako je ∆x→ 0. Ove tvrdnje autorice su prikazale i gra�£ki na Slici 6.
20
Slika 6: To£ka B je sve bliºa to£ki A ako je ∆x→ 0, te se tada sekanta i tangenta svemanje razlikuju
.
Iz svega ovoga zaklju£uju da je koe�cijent smjera jednak:
lim∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x. (1)
Autorice daju primjer u kojem treba odrediti jednadºbu tangente na graf funkcijef(x) = x2 u to£ki (−1, 1). Najprije se odredi koe�cijent smjera pomo¢u (1) te jed-nadºbu tangente ra£unaju preko jednadºbe pravaca zadanog to£kom (−1, 1) i koe�ci-jenta smjera1 dobivenog iz (1).
1Jednadºba pravca zadanog s to£kom T (x1, y1) i koe�cijentom smijera k:y − y1 = k(x− x1).
21
4.3 Udºbenik - Golubovi¢, Javor
Nakon ²to su objasnili problem brzine i ilustrirali ga na zadacima, autori ove knjigepoja²njavaju i problem tangente. Povezuju problem brzine i formule s kojima su seu£enici kroz ovu knjigu ve¢ upoznali. Najprije kre¢u od same de�nicije srednje br-zine. Ako u de�niciji srednje (prosje£ne) brzine v = ∆s
∆tnapravimo zamjenu oznaka u
matemati£ki uobi£ajene [s→ y, t→ x i y = f(x)], dobit ¢emo:
∆y
∆x=f(x+ ∆x)− f(x)
∆x.
Postavlja se pitanje: "�to je srednja brzina promjene funkcije y = f(x) na intervalu[x, x+ ∆x]?"Neka je funkcija f(x) dana svojim grafom y = f(x) (vidjeti Sliku 7).
Slika 7: Rast i pad funkcije ilustriran nagibom pravaca koji diraju graf funkcije.
Uo£imo na slici to£ke T (x0, y0) iQ(x0+∆x, y1) na grafu funkcije. Tada je ∆y∆x
= tgα.A ako je kut α kut kojeg pravac koji prolazi to£kama T i Q £ini s apscisom, to je tgα
jednak koe�cijentu smjera toga pravca.Kona£ni zaklju£ak glasi: Srednja brzina promjene funkcije jednaka je koe�cijentusmjera sekante koja prolazi to£kama T (x0, f(x0)) i Q(x0 + ∆x, f(x0 + ∆x)), tj.
ks =∆y
∆x=f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x.
Pitanje koje nam se name¢e je ²to ¢e se dogoditi kad prirast argumenta postane svemanji. Odgovor na to pitanje autori su prikazali na sljede¢i na£in. Najprije promotrimoneprekidnu funkciju na intervali I zadanu grafom.
22
Slika 8: Neprekidna funkcija na intervalu I.
Neka nam je to£ka T (x0, f(x0)) odabrana to£ka grafa. Odaberemo li na grafu ito£ku Q(x1, f(x1)) pri £emu nam je:
x1 = x0 + ∆x, f(x1) = f(x0 + ∆x),
pravcem kroz to£ku T i Q odre�ena je sekanta kojoj je koe�cijent smjera ks = ∆y∆x
.Zamislimo si da se to£ka Q giba po grafu prema to£ki T . Zanima nas ²to se doga�a sasekantom. Ona prolazi nizom sekanti s1, s2, ..., si, ... da bi u trenutku kada Q padne uT postane tangenta. Opet, kona£ni zaklju£ak iz svega ovog ²to smo prethodno naveli,glasi: Grani£ni je poloºaj sekante kad Q → T tangenta, ²to zna£i da je i grani£navrijednost koe�cijenta smjera sekante, kad xi → x0 (∆x → 0), jednaka koe�cijentusmjera tangente u to£ki T (x0, f(x0)). Dakle,
kt = lim∆t→0
ks = lim∆t→0
∆y
∆x= lim
∆t→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x.
Kona£no moºemo zapisati jednadºbu tangente krivulje y = f(x) u to£ki T (x0, y0) kao:
y − y0 = kt(x− x0)
gdje je koe�cijent smjera dan s:
kt = lim∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x.
Nakon ²to su svi potrebni pojmovi de�nirani slijede primjeri kako bi se sve to jo²detaljno prikazalo.
23
Primjer 4.1 Odredimo jednadºbu tangente krivulje y = x2 − 3x u to£ki T (2, y).
Slika 9: Tangenta na krivulju y = x2 − 3x u to£ki T.
Ordinatu to£ke T odre�ujemo iz podataka da je to£ka T na grafu, tj. y = 22 − 3 ·2 = −2 i T (2,−2). Da bismo odredili koe�cijent smjera tangente k, izra£unat ¢emo
promjenu funkcije:
∆f(2) = f(2 + ∆x)− f(2)
= (2 + ∆x)2 − 3 · (2 + ∆x)− (22 − 3 · 2)
= 4 + 4∆x+ (∆x)2 − 6− 3∆x+ 2
= (∆x)2 + ∆x.
Kako je kt = lim∆x→0
∆f
∆x= lim
∆x→0
(∆x)2 + ∆x
∆x= lim
∆x→0∆x+ 1 = 1, koe�cijent smjera
tangente je kt = 1, a jednadºba tangente y−(−2) = 1·(x−2), odnosno t(T ) . . . y = x−4.
Nakon primjera, u udºbeniku se nalazi nekoliko zadataka s rje²enjima, a nakon toga izadaci za samostalan rad. Zadacima i primjerima zavr²ava i ovaj dio te se nakon togakona£no de�nira i derivacija.
24
5 Pojam derivacije
Ovdje ¢emo obraditi onaj zavr²ni dio uvoda u pojam derivacije, odnosno vidjet ¢emokako koji autori de�niraju derivaciju. Svatko od njih je de�niciju izdvojio u posebanodjeljak kako bi bilo uo£ljivije.
5.1 Udºbenik - Daki¢, Elezovi¢
Kratkim uvodom u kojem se pozivaju na primjere s tangentom i brzinom, gdje zaklju-£uju da ih svi ti primjeri vode do istih izraza, odnosno do promatranja limesa kvocijenta∆y∆x
kad ∆x teºi nuli, uvode pojam derivacije.
De�nicija 5.1 Derivacija funkcije
Derivacija funkcije f u to£ki x0 je broj:
f ′(x0) = lim∆x→0
∆y
∆x= lim
∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x,
ukoliko ovaj limes postoji. Taj je broj jednak nagibu k tangente na graf y = f(x) u
to£ki (x0, y0):
f ′(x0) = tgα,
α je kut ²to ga tangenta zatvara s pozitivnim dijelom x-osi. Za funkciju f kaºemo da
je derivabilna u to£ki x0, ako postoji f ′(x0). Funkcija je derivabilna (diferencijabilna)
na intervalu < a, b > ako u svakoj to£ki tog intervala postoji derivacija f ′(x0). Tada je
na intervalu < a, b > de�nirana funkcija f ′ koju nazivamo derivacija funkcije f .
Derivaciju jo² ozna£avamo simbolima
f ′(x) =df(x)
dx=dy
dx.
Pitanje koje postavljaju i na koji daju odgovor je: "Postoji li derivacija po voljiodabrane funkcije u bilo kojoj njezinoj to£ki? Odgovor je: Ne!"Razlog tome je:
Nuºan uvjet za postojanje derivacijeDa bi funkcija imala derivaciju u nekoj to£ki, ona mora u toj to£ki biti neprekidna.
U svakom pravilu postoje izuzetci, pa tako i kod derivacije. Autori Daki¢, Elezovi¢(vidjeti [1]) su naveli tako jedan primjer funkcije koja je neprekidna, ali u jednoj to£kinije derivabilna2. Primjer takve funkcije je f(x) =| x− 2 |. Ova funkcija je neprekidna
2U visoko²kolskoj matematici rade se takvi primjeri gdje je funkcija neprekidna, a nema derivacijuniti u jednoj to£ki. Konstrukcija takvih funkcija je previ²e sloºena za u£enike srednjih ²kola.
25
u svakoj to£ki, a pokazat ¢emo da nema derivaciju u to£ki x0 = 2. Pogledajmo Sliku
10, na kojoj se jasno vidi da ne postoji lim∆x→0
∆y
∆x, tj. funkcija nema derivaciju u to£ki
2.
Slika 10: Funkcija f(x) =| x − 2 | je neprekidna u svakoj to£ki, ali nema derivaciju uto£ki x0 = 2.
5.2 Udºbenik - Antoli², Copi¢
Nakon ²to su obradile problem brzine i problem tangente, autorice de�niraju ²to je toderivacija funkcije.
De�nicija 5.2 Derivacija funkcije f u to£ki x0 je broj
lim∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
ako ovaj limes postoji. Taj je broj jednak koe�cijentu smjera tangente na graf
funkcije u to£ki (x0, f(x0)). Derivaciju ozna£avamo f ′(x0). Ako derivacija postoji u
svakoj to£ki nekog intervala, kaºemo da je funkcija derivabilna na tom intervalu.
Nakon ²to de�niraju derivaciju funkcije u to£ki, govore o samim oznakama koje suse kroz povijest mijenjale. Znamo i sami da su i Newton i Leibniz korisniti razli£iteoznake, ali oznake koje mi danas koristimo uveo je Leibniz. Tako�er veliki utjecaj nakona£ni izgled £itave formule za derivaciju funkcije imali su i Euler, Lagrange i Cauchy.Nakon povijesnog slijeda autorice zavr²avaju ovaj dio gradiva i prelaze nakon toga naodre�ivanje derivacija elementarnih funkcija.
26
5.3 Udºbenik - Golubovi¢, Javor
Kratkim zaklju£kom o tome da sve ²to je do sada re£eno vodi do jednakog koli£nika,autori su ukratko zapisali te kona£no i de�nirali derivaciju funkcije. Problemi odre-�ivanja brzine u trenutku t, odre�ivanja tangente u to£ki T vode nas prema jednomkoli£niku ∆y
∆x, kad ∆x → 0, tj. vodi nas prema izra£unavanju grani£ne vrijednosti
f(x0−∆x)−f(x0)∆x
. Postupak odre�ivanja ovog limesa naziva se deriviranje.
De�nicija 5.3 Neka je funkcija f neprekidna funkcija na otvorenom intervali I i neka
je x0 ∈ I i ∆x prirast argumenta takav da je x0 + ∆x ∈ I. Derivacija funkcije f u
to£ki x0 je broj
f ′(x0) = lim∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x,
ako taj limes postoji. Kra¢i je zapis: f ′(x) = lim∆x→0
∆f(x)
∆x.
Kako ne bi sve ostalo na de�nicijama i formulama, autori ovog udºbenika isti£u geome-trijsko i �zikalno zna£enje derivacije.
Geometrijsko tuma£enje derivacije
Slika 11: Geometrijsko tuma£enje derivacije
Derivacija funkcije f u to£ki x0 je koe�cijent smjera tangente na graf funkcije uto£ki s apscisom x0.
f ′(x0) = kt = tgα
Fizikalno tuma£enje derivacijeDerivacija funkcije f u x0 predstavlja brzinu promjene funkcije u x0, tj. derivacija
= brzina promjene.
Nakon ²to je navedeno geometrijsko i �zikalno zna£enje derivacije, slijedi nekolikoprimjera u kojima ¢e se jo² pojasniti gdje i kako koristiti derivacije.
27
Primjer 5.1 Odredimo jednadºbu tangente parabole y = x2− x− 2 povu£ene u to£ki s
apscisom x0 (specijalno, neka je x0 : 0, 12, 3
2).
Jednadºba tangente u to£ki T (x0, y0) glasi: y − y0 = kt(x − x0), pri £emu je kt =
y′(x0). Odredimo derivaciju pripadne funkcije u to£ki x0:
y′ = lim∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x=
= lim∆x→0
(x0 + ∆x)2 − (x0 + ∆x)− 2− (x20 − x0 − 2)
∆x=
= lim∆x→0
(2x0 + ∆x− 1) = 2x0 − 1.
Dobili smo kt = 2x0 − 1. Jednadºba je tangente: y − y0 = (2x0 − 1)(x− x0).
Za x0 = 0 je y0 = y(0) = −2, odnosno to£ka u kojoj je povu£ena tangenta je T (0,−2).
Jednadºba tangente t1 glasi: y = −x− 2.
28
6 Sli£nosti i razli£itosti udºbenika
U ovom dijelu ¢emo obraditi koje su sli£nosti, a kada razlike izme�u udºbenika. Svakiautor je na svoj na£in pristupio problemima, ali ima i sli£nosti. Ono ²to je najbitnije odsvega je da sve ²to bude u udºbeniku bude matemati£ki ispravno. Zajedni£ko im je dasu ovaj dio gradiva podijelili na problem brzine, problem tangente i kona£no derivacijufunkcije. Re¢i ¢emo o svakom dijelu pojedina£no ²to im je zajedni£ko, a po £emu serazlikuju od ostalih.
6.1 Problem brzine
Nakon ²to smo prikazali kako autori pojedinih udºbenika obra�uju problem brzine,navesti ¢emo neke zajedni£ke strane tih udºbenika, ali ¢emo pokazati i u £emu serazlikuju. Pogledajmo najprije uvodni, motiviraju¢i zadatak. Autori Golubi¢, Javorsu taj zadatak stavili na sam po£etak te nakon toga pre²li na ponavljanje gradiva koje jeprethodno nau£eno, a bit ¢e potrebno u daljnjem dijelu gradiva. On u knjigama ostajenerije²en, ali nakon ²to se obrade poglavlja koja slijede u£enici imaju viziju kako bi se tajzadatak mogao rije²iti. Zadatak je iz svakodnevnog ºivota, tako da je svima poznata isituacija. Nadalje, autori preostala dva udºbenika koriste zanimljiv primjer automobila,ali razli£ito pristupaju problemu. Ipak, moºemo re¢i da su autori Daki¢, Elezovi¢ bilima²tovitiji. Oni pomo¢u anegdote ilustriraju problem kojim ¢e se u ovom dijelu baviti.Autorice Antoli², Copi¢ taj primjer automobila prikazuju pomo¢u pojmova poznatihiz �zike. Time su kombinirale znanje �zike s primjenom u matematici. Daki¢, Elezovi¢nakon anegdote novim primjerom do£aravaju problem brzine, te na taj na£in "sitnimkoracima" dolaze do formule za prosje£nu brzinu u odre�enom [t0, t0 + ∆t] interveluvremena. Antoli², Copi¢ pak iz uvodnog primjera kre¢u u izvod formule za trenutnubrzinu iz poznate ovisnosti poloºaja o vremenu. Golubi¢, Javor kod problema brzinene vra¢aju se na uvodni zadatak. Oni tako�er povezuju �ziku i po£inju s pitanjem:"�to je brzina?" Pomo¢u �zike dolaze do formule za brzinu u trenutku t0. Ovdjemoºemo vidjeti kako su autori [2,3] povezali poznavanje �zike s matematikom. Takou£enicima omogu¢avaju razvoj sposobnosti povezivanja, a ne samo promatranje svakogpredmeta pojedina£no. Nakon ²to obrade teorijski dio neki od autora su nam ponudilijo² dodatnih primjeri kako bi se ovaj problem pojasnio i na konkretnim primjerima.Daki¢, Elezovi¢ su kratkim primjerom tako�er povezali �ziku s problemom brzine i topomo¢u tijela u slobodnom padu u vakuumu. Autorice Antoli², Copi¢ se nisu baviledrugim primjerima osim onim uvodnim, dok su Golubi¢, Javor ostavili nakon primjerai nekoliko pitanja s odgovorima kako bi u£enicima pomogli u boljem razumijevanjuproblema brzine. Oni su ovim pitanjima povezali i druge nastavne predmete, a nesamo �ziku. Time se razlikuju od ostalih autora, te moºemo re¢i da su ²to se ti£e ovog
29
dijela gradiva dali veliki doprinos. Ono ²to moºemo zaklju£iti je da se svaka pojavamoºe opisati nekom funkcijom.
6.2 Problem tangente
U svim udºbenicima, kao ²to su obradili problem brzine, autori obra�uju i problem tan-gente. Daki¢, Elezovi¢ najprije de�niraju nagib grafa funkcije. Ra£unaju¢i koe�cijentsmjera tangente poloºene na graf, dolaze¢i do to£nog nagiba grafa funkcije u nekoj to£ki.Do tangente dolaze pomo¢u sekante, koja prolazi to£kama (x, y) i (x + ∆x, y + ∆y).Kona£no, pu²taju¢i da ∆x teºi nuli, iz jednadºbe sekante dobivaju jednadºbu tan-gente. Daju¢i primjer pokazuju to£ne korake kako do¢i do nagiba pravca u nekoj to£ki.Nakon primjera ra£unaju¢i koe�cijent smjera sekante, te pu²taju¢i ∆x u nulu, do-laze do nagiba. Na kraju jednadºbu tangente dobivaju koriste¢i formulu za jednadºbupravca kroz jednu to£ku i kojemu je poznat koe�cijent smjera. Autorice Antoli², Co-pi¢ o problemu tangente zapo£inje povijesnim uvodom. Tako�er, koriste¢i sekantu ipoznavaju¢i koe�cijent smjera dolaze do formule za izra£unavanje koe�cijenta smjeratangente. Nakon teorijskog dijela slijedi jednostavan primjer kako bi se sve do£aralou£enicima. Moºemo vidjet da su ove autorice iskoristile povijesne £injenice te u£eni-cima dale i neke poveznice s drugim nastavnim predmetima. Dok su one povijesnim£injenicama uvele problem tangente, Golubi¢, Javor su problem tangente povezali sprethodnim problemom, koriste¢i de�niciju srednje brzine, napraviv²i zamjenu oznakakoje su istaknule u prethodnom problemu. Crtaju¢i graf dolaze do kuta α, kojeg £ineto£ke T i Q s apscisom, a tgα je koe�cijent smjera tog pravca. Pravac kroz to£ke T iQ se naziva sekanta, pa moºemo zaklju£iti da su svi autori najprije prona²li koe�cijentsmjera sekante. Iz grani£ne vrijednosti koe�cijenta smjera sekante dolaze do koe�ci-jenta smjera tangente u to£ki. Nakon teorijskog dijela, Golubi¢, Javor daju nekolikoprimjera kojima se dodatno poja²njava na£in rje²avanja problema tangente. Za ovajdio gradiva moºemo re¢i da je svaki autor obradio na sebi jedinstven na£in. Svakiod pristupa je jednako zanimljiv i matemati£ki ispravan, ²to smo i na po£etku ovogpoglavlja naglasili kao jednu od bitnih strana koje udºbenik mora ispunjavati. Velikuulogu u svemu imaju i primjeri kojih moºemo na¢i kod autora Golubi¢, Javor. Primjerisu od velike vaºnosti za shva¢anje gradiva, ali i u£enicima za samostalno u£enje ukolikone²to propuste tijekom nastavnog sata.
30
6.3 De�nicija derivacije
Nakon ²to se obrade i problem brzine i problem tangente, autori de�niraju ²to je toderivacija. Od ovih udºbenika moºemo vidjeti da se udºbenik autora Golu¢, Javor raz-likuje samim time ²to je taj dio odvojen naslovom, ne nastavlja se izravno na prethodnogradivo. Time pridaju ve¢u vaºnost toj de�niciji. Izgledom same de�nicije autori ovihudºbenika ukazali su na vaºnost. Kod autora Golubi¢, Javor moºemo jo² prona¢i i�zikalno te geometrijsko zna£enje derivacije. Time nije sve ostavljeno na klasi£noj de-�niciji, ve¢ je i dodatno pribliºen u£enicima ovaj pojam. Ipak, i autori Daki¢, Elezovi¢se po ne£emu razlikuju, a to je nuºan uvjet za postojanje derivacije. Antoli², Copi¢svojim povijesnim dijelom u£enicima poja²njavaju razvoj oznaka kroz povijest. Povi-jensi razvoj oznaka moºemo prona¢i i kod autora Golubi¢, Javor.Osvrnemo li se na kompletan izgled svakog od udºenika moºemo vidjeti da su u svakomod njih, na sebi poseban na£in, pristupili svim problemima i do²li do kona£ne de�ni-cije derivacije funkcije. Ono ²to udºbenik autorica Antoli², Copi¢ £ini jedinstvenim jenjihov povijesni osvrt na svaki od problema. Golubi¢, Javor u svom udºbeniku imajuvelik broj primjera koji u£enicima pruºa mogu¢nost samostalnog ponavljanja ukolikone²to tijekom nastavnog sata propuste. U udºbeniku autora Daki¢, Elezovi¢ nalazimozanimljive, u£enicima razumljive primjere. Ono ²to je bitno, a ²to nalazimo u svimudºbenicima, je £injenica da se autori nisu zadrºali samo na matematici, ve¢ su u£e-nicima pokazali povezanost i sa drugim predmetima. Na taj na£in oni mogu razvijatisvoje sposobosti povezivanja.
31
7 Od problema aproksimacije do pojma derivacije
Temeljna literaturu na osnovi koje se formirao kolegij Diferencijalni ra£un na Odjelu zamatematiku u Osijeku je knjiga "Matematika 1" prof.dr.sc. Dragana Juki¢a i prof.dr.sc.Rudolfa Scitovskog. Pojam derivacije uveli su preko problema linearne aproksimacije.U njihovoj knjizi nemamo onaj srednjo²kolski uvod, odnosno problem brzine i problemtangente, nego se najprije bave problemom aproksimacije polinomom prvog stupnja, azatim s tangentom i normalom.
7.1 Problem aproksimacije funkcije
Problem aproksimacije funkcije u okolini to£ke x0 nekom jednostavnijom funkcijomjavlja se u vi²e situacija kada:
• je izra£unavanje vrijednosti funkcije komplicirano;
• nul-to£ke funkcije nije mogu¢e egzaktno odrediti;
• traºenje lokalnih ili globalnih ekstrema nije jednostavno.
Prije svega, ako ºelimo rije²iti problem aproksimacije moramo odgovoriti na dva pitanjakoja nam se name¢u:
• koje su to "jednostavne funkcije" s kojima ¢emo aproksimirati zadanu funkciju?
• ²to uop¢e zna£i "aproksimirati" funkciju u okolini to£ke x0?
U ovoj knjizi pod "jednostavnim funkcijama" podrazumijevaju se polinomi prvog stup-nja, odnosno linearne funkcije. Za njih znamo ra£unati funkcijske vrijednosti, nul-to£kei drugo. Kod tzv. Fourierovih3 aproksimacija kao "jednostavne funkcije" koriste se tri-gonometrijske funkcije x 7→ sin kx, x 7→ cos kx, k ∈ N. Osim gore navedenih pitanjapostavlja se jo² jedno, a to je:
• ²to to zna£i da ¢emo funkciju u okolini to£ke x0 aproksimirati linearnom funkcijoml(x) = αx+ b, x ∈ R?
Op¢enito, ali ne i dovoljno precizno, to zna£i da se funkcijske vrijednosti f(x) i l(x)
"²to je mogu¢e manje" razlikuju u okolini to£ke x0. Na Slici 12 ilustrirane su raznemogu¢nosti izbora linearne funkcije l. Ono ²to sada trebamo je na¢i na£in kako odreditinajbolje mogu¢e rje²enje.
3Jean Baptiste Fourier (1768-1830), francuski matemati£ar najvi²e je poznat po svojoj studiji otrigonometrijskim redovima, koji su nezamjenjivi u �zici, tehnici i drugim disciplinama.
32
Slika 12: Mogu¢i izbori linearne funkcije l
To rje²enje su ponudili i autori ove knjige. Po£etni uvjet je da se u promatranojto£ki x0 vrijednosti funkcije f i aproksimacije l podudaraju, pa imamo:
f(x0) = αx0 + b,
nakon £ega se moºe odrediti koe�cijent b, pa aproksimiraju¢a funkcija l glasi:
l(x) = f(x0) + α(x− x0),
gdje za α jo² uvijek imamo potpunu slobodu izbora. Izabrat ¢emo ga tako da se f i lu okolini to£ke x0 relativno ²to je mogu¢e manje razlikuju, tj. traºit ¢emo da, ²to smobliºi to£ki x0, relativna odstupanja
f(x)− f(x0)− α(x− x0)
x− x0
budu ²to manja. Time je uzeta u obzir brzina rasta ili pada funkcije f u okolini to£kex0.Kona£na de�nicija diferencijala funkcije f i linearnog aproksimanta dana je na sljede¢ina£in:
De�nicija 7.1 Neka je f :< a, b >→ R. Kaºemo da je funkcija f diferencijabilna u
to£ki x0 ∈< a, b >, ako postoji α ∈ R takav da je
limx→x0
f(x)− f(x0)− α(x− x0)
x− x0
= 0. (2)
Pri tome funkciju (x− x0) 7→ α(x− x0) zovemo diferencijal funkcijef u to£ki x0, a funkciju l(x) = f(x0) + α(x− x0) zovemo linearni aproksimantod f u okolini to£ke x0.
33
Nadalje, nuºan i dovoljan uvjet za diferencijabilnost funkcije u to£ki dan je teore-mom:
Teorem 7.1 Realan broj α iz De�nicije 7.1 postoji onda i samo onda ako postoji
limx→x0
f(x)− f(x0)− α(x− x0)
x− x0
. Pri tome je takav α jedinstven i vrijedi:
α = limx→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
.
Dokaz. Limes (2) moºemo zapisati u obliku
limx→x0
(f(x)− f(x0)
x− x0
− α)
= 0,
odakle vidio da broj α ∈ R takav da vrijedi (2) postoji onda i samo onda ako postoji
limx→x0
f(x)− f(x0)− α(x− x0)
x− x0
i ako je pri tome α = limx→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
. Jedinstvenost
broja α slijedi iz jedinstvenosti limesa funkcije.
�
Derivacija funkcije f de�nirana je na sljede¢i na£in:
De�nicija 7.2 Ako je funkcija f :< a, b >→ R diferencijabilna u to£ki
x0 ∈< a, b >, onda jednozna£no odre�eni realni broj α za koji vrijedi (2) zovemo
derivacija funkcije f u to£ki x0 i ozna£avamo s f ′(x0) ²to £itamo kao:f crtica od x0.
Dakle,
f ′(x0) := limx→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
, (3)
onda i samo onda ako postoji limes (3). Zato se za funkciju f diferencijabilnu u to£ki
x0 kaºe jo² da je derivabilna u to£ki x0.
Primjedba 7.1 Prema Teoremu 7.1, funkcija f :< a, b >→ R je derivabilna (tj.
diferencijabilna) u to£ki x0 ∈< a, b > onda i samo onda ako postoji limes (3). Pri
tome je linearni aproksimant funkcije f u okolini to£ke x0 zadan formulom
l(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0). (4)
Ove de�nicije i teorem pokazani su i na zadacima, odnosno na konkretnim primje-rima. Jedan od takvih je i sljede¢i:
34
Primjer 7.1 Odredimo linearni aproksimant funkcije f(x) =√x, x ∈ [0,∞〉, u okolini
to£ke x0 = 1.
Slika 13: Linearna aproksimacija funkcije f(x) =√x
Za x 6= 1 vrijedi
f(x)− f(1)
x− 1=
√x− 1
x− 1=
√x− 1
(√x− 1)(
√x+ 1)
=1√x− 1
pa je
f ′(x) = limx→1
f(x)− f(1)
x− 1= lim
x→1(
1√x+ 1
) =1
2.
Prema (4) linearni aproksimant funkcije x 7→√x u okolini to£ke x0 = 1 glasi (vidjeti
Sliku 13a):
l(x) = 1 +1
2(x− 1) =
1
2x+
1
2.
Isto tako, u svojoj knjizi objasnili su i nekoliko novih pojmova kao ²to su prirast va-rijable i funkcija ostatka (vidjeti [3]). Kona£no, pojam derivacije uvode tako da funkcijuf :< a, b >→ R u okolini to£ke x0 ∈< a, b > aproksimiraju linearnim aproksimantom
l(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0),
£iji je graf tangenta u to£ki x0 na Γf , kao ²to je prikazano na Slici 14.
35
Slika 14: Diferencijal funkcije.
Nakon zadataka, koji su dani studentima na rje²avanje, kroz primjer se obra�ujeNewtonova metoda tangente, s kojom se studenti upoznaju na vi²im godinama studijakroz kolegije kao ²to su npr. Numeri£ka matematika i Metode optimizacije.U daljnjem ¢e nam trebati sljede¢i korolar:
Korolar 7.1 Neka je f : [a, b]→ R neprekidna funkcija koja na rubovima ima suprotne
predznake (f(a) · f(b) < 0). Tada postoji barem jedna nulto£ka funkcije f na tom
segmentu.
Primjer 7.2 Traºimo nulto£ke derivabilne funkcije f : I = [a, b]→ R. Pretpostavimo
da je f ′(x) 6= 0,∀x ∈ I i da je f(a) · f(b) < 0. Prema Korolaru 7.1 postoji ξ ∈ I, takoda je f(ξ) = 0.
Slika 15: Newtonova metoda tangenti
36
Izaberemo po£etnu aproksimaciju x0 ∈ I i funkciju f u okolini x0 aproksimiramo
linearnim aproksimandom
l(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0).
Sljede¢a aproksimacija x1 nulto£ke ξ bira se tako da odredimo nulto£ku linearnog aprok-
simanda:
x1 = x0 −f(x0)
f ′(x0).
Ponavljaju¢i postupak dobijemo niz x0, x1, . . . , xn, . . ., zadan rekurzivnom formulom
xn+1 = xn −f(xn)
f ′(xn), n = 0, 1, 2, . . . ,
koji uz odre�ene uvjete, vidjeti [5], konvergira prema ξ.
Nakon Newtonove metode tangente, autori de�niraju pojmove tangenta i normala.Prema (4) linearni aproksimand funkcije f u okolini to£ke x0 je
l(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0).
Graf Γl linearnog aproksimanda je pravac koji zovemo tangenta na graf Γl funkcije fu to£ki (x0, f(x0)). Koe�cijent smjera tangente u to£ki x0 je derivacija f ′(x0) funkcijef u to£ki x0.Normala na graf funkcije f u to£ki (x0, f(x0)) je pravac okomit na tangentu kojiprolazi to£kom (x0, f(x0)) (vidjeti Sliku 16a.). Jednadºba glasi:
y = f(x0)− 1
f ′(x0)(x− x0),
ako je f ′(x0) 6= 0. Ako je f ′(x0) = 0, onda jednadºba normale glasi x = x0 (vidjetiSliku 16b.)
37
Slika 16: Tangenta i normala
Nakon primjera navode jedno vaºno svojstvo funkcija koje su derivabilne u to£ki.Prije nego iskaºemo teorem navest ¢emo i de�niciju koja ¢e nam biti potrebna zadokazivanje:
De�nicija 7.3 Kaºemo da je funkcija f :< a, b >→ R neprekidna u to£ki x0 ∈< a, b >
ako ona ima limes u to£ki x0 koji je jednak f(x0), tj. ako je limx→x0
f(x) = f(x0). Funkcija
f :< a, b >→ R je neprekidna na intervalu < a, b > ako je ona neprekidna u svakoj
to£ki intervala.
Teorem 7.2 Ako je funkcija f :< a, b >→ R derivabilna u to£ki x0 ∈ I, onda je ona
i neprekidna u toj to£ki.
Dokaz. Prema De�niciji 7.3 funkcija f je neprekidna u to£ki x0 ako je limes limx→x0
f(x) =
f(x0). Kako je
limx→x0
[f(x)− f(x0)] = limx→x0
(f(x)− f(x0)
x− x0
(x− x0)) =
= limx→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
limx→x0
(x− x0) = f ′(x0) · 0 = 0,
to je limx→x0
f(x) = f(x0).
�
Vaºna £injenica koju moramo svakako pamtiti je da obrat ovog teorema ne vri-jedi. Prije nego su obra�ena sljede¢a poglavlja, prikazano je kako sve moºemo zapisatiderivaciju funkcije f u to£ki x0. To nam je pokazano u sljede¢oj primjedbi.
38
Primjedba 7.2 Derivaciju funkcije f u to£ki x0 prema Leibnizu moºemo pisati kao:
• dfdx
(x0) (²to £itamo kao: de ef po de iks u to£ki x0);
• df(x)dx |x=x0 (²to £itamo kao: de ef po de iks za x = x0);
• dydx |x=x0 (²to £itamo kao: de ipsilon po de iks za x = x0), ako je f(x) = y.
De�nicija derivacije glasi:
De�nicija 7.4 Kaºemo da je realna funkcija f :< a, b >→ R derivabilna ili diferenci-
jabilna na intervalu < a, b > ako je derivabilna u svakoj to£ki x0 ∈< a, b > . Funkciju
f ′ : I → R de�niranu s x 7→ f ′(x) nazivamo derivacija od f .
39
8 Diferencijalni ra£un na drºavnoj maturi
Prije nego bilo ²to kaºemo o diferencijalnom ra£unu na drºavnoj maturi, re¢i ¢emo ne²too samoj drºavnoj maturi. Drºavna matura je obvezni zavr²ni pismeni ispit koji u£enicigimnazija polaºu na kraju svog srednjo²kolskog obrazovanja. Drºavnu maturu su prviimali prilike polagati gimnazijalci koji su prvi razred srednje ²kole upisali 2006./2007.godine. U£enici £etverogodi²njih strukovnih i umjetni£kih srednjih ²kola mogu polagatiispite drºavne mature, ako to ºele. Strukovnjaci £ije srednjo²kolsko obrazovanje trajeod jedne do tri i pol godine, obavezni su na kraju srednjo²kolskog obrazovanja izraditii obraniti zavr²ni rad. Matematika je jedan od obaveznih predmeta koji se polaºu nadrºavnoj maturi. Postoje dvije razine koje se mogu polagati, osnovna i vi²a razina.Diferencijalni ra£un na drºavnoj maturi se polaºe u sklopu vi²e razine. Jako je malozadataka koji obuhva¢aju taj dio gradiva. Pogledamo li sve dosada²nje primjere ispitas drºavne mature, moºemo vidjeti da na vi²oj razini postoji samo jedan zadatak kojiobuhva¢a gradivo diferencijalnog ra£una. U tom zadatku ve¢inom se traºi da u£enicipokaºu znanje deriviranja pojedinih funkcija, pronalaºenje lokalnih ekstrema, te crtanjegrafa funkcije. Iz ovoga moºemo zaklju£iti da se diferencijalni ra£un na drºavnoj maturiprvenstveno pojavljuje u sklopu ispitivanja tijeka funkcije. Pokazat ¢emo neke primjereispita s drºavne mature.
8.1 Primjeri ispita na drºavnoj maturi
Vi²a razina ispita iz matematike dijeli se na nekoliko tipova zadataka. Tipovi tihzadataka su:
• zadaci vi²estrukog izbora
• zadaci kratkih odgovora
• zadaci produºenih odgovora
Diferencijalni ra£un moºemo prona¢i u tre¢em dijelu ispita na vi²oj razini. Svake segodine odrºavaju 3 roka, ljetni, jesenski i zimski, pa ¢emo ovdje prikazati neke primjeretih ispita.
40
8.1.1 Ljetni rok 2009/2010
Samo je jedan zadatak koji ima nekoliko podzadataka koji obuhva¢aju poglavlja dife-rencijalnog ra£una. Pogledajmo kako je to izgledalo na prvom sluºbenom roku drºavnemature.Zadana je funkcija f(x) = −1
4(x2 − 16)(x+ 1).
1. Odredite koordinate sjeci²ta grafa funkcije s osi apscisa.
−14(x2 − 16)(x+ 1) = 0
Dakle, x2 − 16 = 0 ili x+ 1 = 0
x2 = 16/√
x3 = −1
x1 = −4 x2 = 4
2. Derivirajte funkciju f .
f ′(x) = [−1
4(x2 − 16)(x+ 1)]′ = [−1
4(x3 + x2 − 16x− 16)]′ = −1
4(3x2 + 2x− 16)
3. Odredite interval/intervale rasta funkcije f .
f ′(x) = 0 ⇒ −1
4(3x2 + 2x− 16) = 0
3x2 + 2x− 16 = 0
x1,2 =−2±
√4 + 192
6=−2± 14
6
x1 =−2− 14
6=−16
6= −8
3
x2 =−2 + 14
6=
12
6= 2
Sada ¢emo napraviti tablici pomo¢u koje ¢emo odrediti interval/intervele rastafunkcije f .
−83
2 ∞−3 0 10
f ′ − + −f ↘ ↗ ↘
Kona£no, interval rasta funkcije f je < −83, 2 >.
4. Odredite lokalne ekstreme funkcije f .Lijevo od −8
3funkcija f pada, a desno od −8
3raste, Dakle, po de�niciji to£ka −8
3
je to£ka lokalnog minimuma. Lokalni minimum je
41
f(−83) = −1
4(64
9− 16)(−8
3+ 1) = −1
4(−80
9)(−5
3) = −400
108= −100
27.
Minimum je: Tmin = (−83,−100
27).
Lijevo od 2 funkcija f raste, a lijevo od 2 funkcija pada. Po de�niciji, 2 je to£kalokalnog maksimuma. Lokalni maksimum jef(2) = −1
4(4− 16)(2 + 1) = −1
4· (−12) · 3 = 3 · 3 = 9.
Maksimum je: Tmax = (2, 9).
5. Nacrtajte graf te funkcije rabe¢i rezultate prethodnih podzadataka. (Napomena:To£ke koje nemaju cjelobrojne koordinate ucrtajte pribliºno.)
Slika 17: Graf funkcije
42
8.2 Zimski rok 2011/2012
Vidjeli smo kako je izgledao zadatak iz gradiva diferencijalnog ra£una. Ovdje ¢emopokazati kako je to izgledalo na zimskom roku 2011/2012. Moºemo vidjeti da je ovegodine zadatak iz diferencijalnog ra£una smje²ten u 2. dio zadataka na vi²oj razini.Rije²ite sljede¢e zadatke.
1. Derivirajte funkciju f(x) = 2x−4.
f ′(x) = −8x−5.
2. Derivirajte funkciju g(x) = sin(3x+ 11).
g′(x) = cos(3x+ 11) · 3 = 3 cos(3x+ 11).
3. Odredite koe�cijent smjera (nagib) tangente na graf funkcije h(x) = x3 − 1 uto£ki grafa s apscisom 2.To£ka T ima koordinate (2, y). Kako ta to£ka leºi na grafu funkcije h, imamo:
y = x3 − 1 = 23 − 1 = 8− 1 = 7
te to£ka T ima koordinate (2, 7). Za ra£unanje koe�cijenta smjera tangente ko-
ristimo kt = lim∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x.
∆f(x0) = f(2 + ∆x)− f(2) = (2 + ∆x)3 − 1− (8− 1) =
= 8 + 12 + ∆x+ 6∆x2 + ∆x3 − 1− 7 =
= 8 + 12 + ∆x+ 6∆x2 + ∆x3 − 8 =
= ∆x3 + 6∆x2 + 12∆x
Sada imamo:
kt = lim∆x→0
∆x3 + 6∆x2 + 12∆x
∆x=
= lim∆x→0
∆x2 + 6∆x+ 12 = 12
Dakle, kt = 12.
43
9 Studije provedene na studentima vezane za(ne)razumijevanje derivacija i integrala
Brojni istraºiva£i matematike i matemati£kog obrazovanju istraºivali su temu derivi-ranja i integriranja s raznih aspekata.Orton (1983) je izu£avao razumijevanje pojma derivacije i deriviranja me�u srednjo²kol-skim u£enicima i studentima. Na temelju konceptualnih zadataka, Orton je pokazaoda u£enici i studenti imaju vrlo malo intuitivnog razumijevanja, kao i neke temeljnezablude o pojmu derivacije. Rutinski problemi bili su rije²eni vrlo dobro me�u ispi-tanicima, me�utim, kada su im bili prezentirani zadaci s funkcijama koje nisu prijevidjeli, u£estalost pogre²aka se pove¢ala. Druge pote²ko¢e bile su vezane uz poimanjetangente kao limesa skupa sekanti te ideji o stopi promjene u nekoj to£ki u odnosu narelativnu stopu promjene u intervalu. Bingolbali i suradnici (2006) istraºivali su po-imanje i sklonost primjeni pojma derivacije me�u studentima strojarstva i studentimamatematike. Ustvrdili su da studenti matematike razvijaju svoje poimanje derivacijeu smjeru koe�cijenta smjera tangente, dok studenti strojarstva razvijaju u smjeru rela-tivne stope promjene. Viholainen (2008) je istraºivao razumijevanje pojma derivacijeme�u studentima koji su bili u sredini ili u zavr²noj fazi studija. Studenti su ve¢inombili budu¢i nastavnici matematike. Uo£io je da studenti nisu skloni koristiti formalnuteoriju, nego da koriste svoje vlastite koncepcije za pojam derivacije ²to je dovelo do po-gre²nih zaklju£aka u njihovom razmi²ljanju. Haciomeroglu i suradnici (2009) ispitivalisu strategije najboljih studenata kod rje²avanja zadataka iz podru£ja in�nitezimalnogra£una, posebno kod intrepretacije grafova derivacija. Studenti su koristili vizualnai/ili analiti£ka obrazloºenje u danim zadacima, a rezultati istraºivanja pokazuju vaº-nost �eksibilnosti, reverzibilnog razmi²ljanja i povezivanja deriviranja i integriranja.Orton (1983) je istraºivao razumijevanje koncepta integriranja i integracija kod sred-njo²kolaca i studenata matematike. Otkrio je da u£enici i studenti imaju problema srazumijevanjem integrala kao limesa suma, pogotovo kod ra£unanja povr²ina ome�e-nih krivuljama, iako su to£no mogli izvesti proces integriranja. Bezuidenhout i Olivier(2000) istraºivali su razumijevanje temeljnih pojmova in�nitezimalnog ra£una kod stu-denata prve godine. Koriste¢i intervjue i pismene ispite otkrili su da u£enici nemajuodgovaraju¢e poimanje integrala. Naime, pojam integrala bio je usko vezan uz kon-tekst povr²ine. Rasslan i Tall (2002) proveli su upitnik me�u najboljim u£enicimasrednje ²kole u matematici £ime su istraºivali znaju li u£enici de�niciju odre�enog inte-grala, koje predoºbe koriste pri rje²avanju raznih problema, i koje zabluda zadrºavajunakon u£enja. Njihovi rezultati pokazuju da mnogi u£enici ne znaju kako de�niratiodre�eni integral te su imali pote²ko¢e kod interpretacije problema koji zahtijevajura£unanje povr²ine te u zadacima u kojima se odre�eni integrali koriste u ²irem kon-
44
tekstu. Abdul-Rahman (2005) istraºivala je razumijevanje pojma integrala i procesaintegracije intervjuiranjem maturanata u srednjoj ²koli i njihovih nastavnika matema-tike. Njezina je studija pokazala da je poticanje u£enika da generiraju vlastite primjeremoºe pomo¢i da u£enici steknu dublje razumijevanje matemati£kih pojmova kao ²to suintegrali.U svojoj studiji u£eni£kog razumijevanja integracije, Mahir (2009) je istaknula da jenemogu¢e u potpunosti razumjeti derivaciju i deriviranje bez poznavanja koncepta li-mesa i da je te²ko razumjeti integrale i integriranje bez poznavanja derivacija. Iakosu ova dva procesa snaºno povezana, studenti doºivljavaju jedan proces teºim od dru-gog, odnosno deriviranje i derivaciju smatraju jednostavnijima u odnosu na integrale iintegriranje (Abdul-Rahman, 2005).
45
10 Zaklju£ak
Cilj ovog diplomskog rada bio je usporediti srednjo²kolske udºbenike koji u svom sa-drºaju obra�uju diferencijalni ra£un. Kao ²to smo u uvodnom dijelu i napomenuli,svatko od njih ima svoj pristup. Daki¢ i Elezovi¢ zanimljivim primjerima u£enicimaobja²njavaju problem brzine, problem tangente i pojam derivacije. Kratki povijesniostvrt na diferencijalni ra£un u£enicima daje do znanja da su to na²i pretci u£ili, teda se na tome godinama radilo i istraºivalo. Autorice Antoli², Copi¢ svoj su cijeliudºbenik povezivale s povije²¢u. Time se razbija monotonost te se kod u£enika ra-zvija sposobnost povezivanja. Autori Golubi¢, Javor u svom udºbeniku velikim brojemprimjera ilustriraju svaki obja²njeni pojam. Ovakav pristup u£enicima na konkretnimprimjerima daje to£nu predodºbu onoga o £emu se govori. Moºemo re¢i da je svakiudºbenik jedinstven, te je na takav jedinstven na£in i obra�eno gradivo diferencijalnogra£una. Postavljamo si pitanje, ako je svaki udºbenik matemati£ki ispravan, koje sujo² komponente koje bi morao imati kako bi bio najbolji izbor za u£enike? Osnovnood £ega svaki autor bi trebao krenuti je zanimljiv uvodni zadatak ili pri£ica kojom bise u£enike motiviralo za daljnji rad. Nakon uvodnog dijela, dio u kojem se obra�ujupojmovi potrebno je potkrijepiti s primjerima. Tako u£enicima na konkretnim primje-rima moºemo do£arati sve ono ²to se de�niralo. Nakon toga treba ostaviti zadatke zasamostalan rad kako bi u£enici mogli samostalno neke stvari povezivati i rje²avati. Ikona£no, kratki povijesni osvrt kojima u£enici imaju kratki prikaz doga�aja vezanihza diferencijalni ra£un.Ako pogledamo udºbenik autora Daki¢, Elezovi¢ moºemo re¢i da je njihova anegdotane²to ²to uistinu moºe u£enike motivirati za daljnji rad. Tijekom obrade gradiva imajuprimjere iako ne u tolikoj mjeri koliko ih imaju autori Golubi¢, Javor. Tako�er imajumanji broj zadataka za samostalni rad, ali im povijesni dio ima svoje posebno odjeljenje£ime su mu dali posebnu vaºnost. Kod autora Golubi¢, Javor motiviraju¢i zadatak jeiz svakodnevnog ºivota te je samim time u£enicima dodatno zanimljiv. Povijesni osvrtje kratak, ali zato zadaci za samostalni rad imaju i rije²enje kako bi u£enici mogli samisebe prekontrolirati. Kod autorica Antoli², Copi¢ nismo prona²li uvodni zadatak kojimbi se motiviralo u£enike. Kroz cijelu obradu diferencijalnog ra£una autorice koriste je-dan primjer pa nedostaje dodatnih primjera kojima bi se u£enicima pribliºili obra�enipomovi. Ipak, cijelo vrijeme povezuju diferencijalni ra£un s �zikom, ali i s povijesti.Razvoj diferencijalnog ra£una su povezivale s obra�enim gradivom gdje god je to bilomogu¢e. Tako�er udºbenik ima mali broj zadataka za samostalan rad. Ipak, najbitnijeod svega je da su svi obra�eni pojmovi matemati£ki ispravni.Na kraju, moºemo zaklju£iti da je najbitnije da svaki udºbenik sadrºi sve elemente kojesmo prethodno naveli. Kako je pisanje udºbenika individualna stvar onda i moraju pos-tojati razlike, ali ono najbitnije je matemati£ka ispravnost de�niranih pojmova.
46
Literatura
[1] S. Antoli², A. Copi¢, Matematika 4, udºbenik za prirodoslovno-matemti£ku
gimnaziju �kolska knjiga, Zagreb, 2007.
[2] B. Daki¢, N. Elezovi¢, Matematika 4, matematika za £etvrti razred gimnazije,
2. dio, Element, Zagreb, 2006.
[3] D. Golubovi¢, P. Javor, Matematika 4, udºbenik za 4. razred £etverogodi²nje
strukovne ²kole, 2. dio, �kolska knjiga, Zagreb, 2007.
[4] D. Juki¢, R. Scitovski, Matematika 1, Odjel za matematiku, Elektrotehni£kifakultet, Prehrambeno tehnolo²ki fakultet, Osijek, 2000.
[5] R. Scitovski, R. Gali¢, M. Ben²i¢, Numeri£ka analiza. Vjerojatnost i statis-
tika, Elektrotehni£ki fakultet, Osijek, 1993.
[6] http://e.math.hr/dvoboji/index.html
[7] http://public.mzos.hr/Default.aspx?sec=2246
[8] http://drzavnamatura.skole.hr/ABC
[9] http://www.ncvvo.hr/drzavnamatura/web/public/dm12zima
47
Saºetak
U diplomskom radu smo usporedili razli£ite srednjo²kolske udºbenike. Ukratko smorekli ne²to i o povijesti diferencijalnog ra£una, njegovim osniva£ima te njihovim me�u-sobnim dvobojima. Nakon toga obradili smo problem brzine koji je rije²en u udºbeni-cima. U nastavku smo pojasnili problem tangente i pojam derivacije. Nakon analizeudºbenika po poglavljima dali smo kratki osvrt na sli£nosti i razlike udºbenika. Kako sena pojedinim fakultetima govori o diferencijalnom ra£unu ukratko smo obradili i udº-beniku Matematika 1 autora D. Juki¢ i R. Scitovski. Ovaj udºbenik se ujedno koristii na Odjelu za matematiku kao osnovna literatura kolegija Diferencijalni ra£un. Uvo-�enjem drºavne mature, na vi²oj razini prona²li smo jedno pitanje vezano za gradivodiferencijalnog ra£una. Ukratko smo pro²li i rokove drºavne mature odrºane zadnjihgodina. Na kraju rada rekli smo ne²to i o studijama provedenim na studentima koji subili vezani za (ne)razumijevanje derivacija i integrala. Vi�enje ovog problema i vaºnizaklju£ak u pogledu pobolj²anja kvalitete gradiva vezanog za diferencijalni ra£un dalismo u zaklju£ku.
Klju£ne rije£i: diferencijalni ra£un, problem brzine, problem tangente, derivacija
48
Summary
In graduate work, we compare the di�erence between highschool textbooks. We brie�ysaid something about the history of the calculus, its founders and their mutual duels.After that, we have treated problem of the speed that was resolved in textbooks. Fur-thermore we explain the problem of tangents and term of derivation. After analyzingtextbooks chapter by chapter, we gave a brief overview of the similarities and di�erencesof textbooks. Some faculties discuss the calculus, and that is way we brie�y processedthe textbook "Matematika 1" of authors D. Juki¢ and R. Scitovski. Above mentionedisis also used at the Department of Mathematics as a basic literature for the course ofDi�erential calculus. With introduction of A levels/SATs/high school diplomas at ahigher level we have found one question concerning the subject matter of the calculus.We also brie�y wrote something about the deadlines of high school diploma which washeld the last few years. At the end of the work we said something about the studiesconducted on the students, who were tied for the (mis)understanding of derivatives andintegrals. The view of this problem and an important conclusion in regard to improvethe quality of the material related tp the di�erential calculus we gave in the conclusion.
Keywords: calculus, speed problem, problem of tangents, derivation
49
�ivotopis
Dragana Kozi¢ ro�ena je 15.prosinca 1988. godine u Banja Luci. Osnovnu ²kolu "Dr.Stjepan Ilija²evi¢" zavr²ila je u Slavonskom Koba²u 2003. godine. Iste godine upisujesrednju ²kolu "Klasi£na gimnazija fra Marijan Lanosovi¢ s pravom javnosti". Srednju²kolu zavr²ava 2007. godine, te upisuje studij matematike i informatike u Osijeku naOdjelu za matematiku.
50
