Drell-Yan 截面规则推导与分析

Drell-Yan截面规则推导与分析陈龙

（ i ） Drell-Yan过程背景介绍

(ii ) Drell-Yan 截面图规则

(iii)质子内部分子分部函数的定义

(iv)若干过程间的关系

Drell-Yan过程是指高能强子对撞，其末态中包含一对正反轻子对的反应过程。

Xllhh 2121

1h

2h

1l

2l

)(未观测的强子X

（ i ） Drell-Yan 过程

d

dkQk

E

kd

d

d llqq

k

)()(2)2( 213

3

朴素部分子模型：

都很大与 221

221 )()( llhh

1| p

2| p

当 221 )( hhs 2

212 )( llQ 足够大， pQCD 可用

Hard 部分

Soft 部分

)()(0|ˆ|0)e(ˆ432121

::21 AAAAAATT Aig

A

（ i ） Drell-Yan 过程

24

10

iFFLT

::::int

AgAeL

xdxLiTS D 4int )(exp

（态矢时间演化算子）

微扰论基本工具：

2442

||1

)()2(||

fiiffi T

jpp

jV

S

d

d

22

21

2214

1mmppj ）（

散射微分截面的定义为

其中

iTIS

i| f|

fiiffi TppiiTfiiSfS )()2(|||| 44

设初末态分别为与引入

散射振幅


2121)(

24

4442 :|)()(|:0|)()(|:e

)2(

2

ppyyXxxllik

kdyidxdeS qqee

yxikefi

g

代入 Drell-Yan 初末态矢，散射矩阵元化为：

:])()(::)()([:0|)()(|0442 yyxxyAxATydxde qqee

2e

xdxLiTS QED 4int )(exp

保留到 QED 阶


::::intint00 qqeeQEDQCDT AeAeLLLL

而

取由 L0定义的辅助 Dirac 绘景对 QED 作用项做微扰计算，

pixpix FxF e)0(e)(

21212

21

2

:|)0()0(|:)()()(

ppXlvluill

eT qqfi

X| 指末态的所有强子成分


fiX

qqXefi

Tpllppi

ppXlvluill

pllppieS

)()2(

:|)0()0(|:)()()(

1)()2(

212144

2121221

21214422

QED 单光子阶（ QCD 所有阶）散射振幅：

pixpix FxF e)0(e)(

只观测末态双轻子对 , 对末态中未观测的强子 X 均求和。21

2)2(2)2( 32

3

31

3

ll E

ld

E

ldd

X

fix Tpllppd

jd 22121

44 ||)()2(

);(4

42

2121 masslessdunpolarizeQ

llllL

g

X

qqXqq ppXpllppXppW 21212144

21 :|)0()0(|:)()2(:|)0()0(|:

2121

4 |)()0(|e ppzJJppzdW ziQ

WL

Q

je4

4


zdXpQppiz 421 )(e X

IXX ||

对自由场算子编时乘积可使用 Wick 展开，挑选出符合前述要求的项

214

int4

int214 |)(exp)()(ˆ)(exp)0()0(ˆ|e ppxdxLizzTxdxLiTppzd

W

QCDQCDziQ

2121

4 |)()0(|e ppzJJppzdW ziQ

214

int)0()0(

21 |)(exp)0()0(||)0()0(| ppxdxLiTXppX QCDqqqq

微扰论矩阵元约化公式


再以纯动能项定义的 Dirac 绘景去分析中的 QCD 作用项。::00 qqT AgLL

TL0

11224

21214]0[

:|)0()(|::|)()0(|:e

:|)()(::)0()0(|:e

pzppzpTrzd

ppzzppzdW

ziQ

ziQ

放入等式

)('4

44 e

)2(

'1 zxikkd

xd

21

4int

4int21

4 |)(exp)()(ˆ)(exp)0()0(ˆ|e ppxdxLizzTxdxLiTppzd QCDQCDziQ

QCD 第零阶和第一阶]0[

W ]1[

W

Qkk

pzppxpTrkd

xzddW zikxQki

'

:|)0()(|:e:|)()0(|:e)2(

1

1122)(

41

444]0[ 11

其中


Qkk

pzppxpTrkd

xzddW zikxQki

'

:|)0()(|:ee:|)()0(|:)2(

1

11)(

2241

444]0[ 11

其中

]0[

W

2| p2| p

1| p1| p

)0()(x

)(z )0(1k Q

Qk 1


21

421

4]1[ |:)()()(:)()(:)0()0(|:e ppydyyAyigzzTppzdW ziQR

11222)(

11222)(

4

444

:|)0()()(|::|)()0(|:e

:|)0()()(|::|)()()0(|:e)2(

pygAzpik

kpypTr

pygAypik

kpzygApTr

kdyzdd

yzikziQ

yzikziQ

)( yA

)('4

44 e

)2(

'1 yxikkd

xd

yy


1

2

QkkQkk

pygAzpiQk

QkpxpTr

kdkdxydzddW

xQkiykkizik

Rp

';

e:|)0()()(|:)(

:|)()0(|:

)2()2(

21

)()(112

1

122

41

4

4

4444]1[

2211

其中

2| p2| p

1| p1| p

)0()(x

)(z )0(1k

Q

Qk 1

2k

Qk 2

Qk 2

21kk

)( yA


（ 1 ）每一个 Hard 顶点处分配一个带 Lorentz 指标的矩阵； Hard 顶点动量守恒，只为每个 QCD 两侧的费米子线分配独立四动量；贡献传播子，截线左侧传播子的虚部均取正，右侧均取负；

2| p

1| p1| p

)0()(x

)(z )0(1k

Q

Qk 1

Qk 2

21kk

)( yA

2| p

（ 2 ）与 Soft 部分相连接的夸克线和胶子线端点（交点）分配带时空坐标的场算子；这些夸克线和胶子线上贡献 e 指数相因子，按线上箭头流出流入 Soft 部分而在相因子上附加正或者负号。

（ 3 ）逆着费米子线流向读图自左向右依次书写。所有的 Hard 中独立变量积分，每个Soft 结点独立时空均积分，对其中的 Dirac ， Lorentz 指标求迹。

（胶子场算子出现于反质子态矢内部的矩阵元为零）

可取反质子替换成反夸克的简化情形

1122

)(44

14

4]0[ :|)0()(|:e:|)()0(|:e)2(

11 pzppxpxdTrkd

zdW zikxQki

112

1

122

)(4)(]1[ :|)0()()(|:)(

:|)()0(|:ee 2211 pygAzpiQk

QkpxpxdTrW xQkiykkizikRp

)()(2)(

)()(

:|)()0(|:e

2132

11

214

1

22)(4

2

1

qQkEQkQk

qQkQk

qxqxd

q

xQki

Cutkosky Rule

iQkQkQk

1

211

1Im)(2)(

(iii) 质子内部分子分部函数定义

)()()()2()2( 21

311114

14

41

4][

2],,[

],,[

QqkEkkkkTrHkdkd

W qnnnn

22

)(4 :|)()0(|:e 1 qxqxd xQki )(1

Im 213

12

QqkEiQk q

此简化情形的截面

得到按照 QCD 耦合系数的展开级数的 n 次幂项


iQkiQk n 11

11Im

121141

4

41

4

:|)0()()(|:e)2()2(

11 pzgAzpzdzd zikn

))(,,(),(),()2(

),,( 2111]0[

1]0[

41

4

21]0[ inclusivesemiQqkKpkQkHTr

kdQqpW

)(),,( 213

21 2QqkEQqkK q

其中

iQk

QkH1

1]0[ 1

Im),(

114

11]0[ :|)0()(|:e),( 1 pzpzdpk zik


;),( 52111]0[

ffpk pff 11

矩阵元 Dirac Lorentz指标分解

领头阶近似：保留中 k 及质子动量 p 分量，]0[

H

1f

)(2)2(2)(),( 112

111]0[ xFpQQxpQpxTrdxQpW

111 :|)()0(|:e4

1)(2 1 pzpdzxF

zixp

unpolarized inclusive 情形，领头阶，对四动量 k 积分后

质子内部分子分部函数


);,(e),(),(e),(2)2(

)(3

3

kbkukdkvE

kdz zikzik

k

S

pskxpbskxpbpdkxF 111 |),,(),,(|)(

粒子数密度算符

)(),0()0(),0(

);()()(

zzLzL

xxx

)(~

1 xF )(x

费米子场和规范链的规范变换

具有相对于施予的规范变换的不变性。

使用共线展开技术 ( 魏的 PPT) 对截面进行重求和后，采用新定义矩阵元给出的部分子分部函数：

))0,,0(exp(ˆ),0(

:|)(),0()0(|:e4

1)(2

0

11

~

11

z

zixp

AdigPzL

pzzLpdzxF

其中


YanDrell

DIS

2| p

1| p

'|h

1| p

11224

21214

:|)0()(:||)()(:|e

|)(:)(|:|)(:)0(|:e

pyppzxpzdTr

ppyzXXxppzdW

ziQ

X

ziQDY

11''4

3

'3

,1

''''1

4

:|)0()(||)(:)(|e)2(

|)(:)(|:|||)(:)0(|:e

'

''

pyphzxhzdTrE

hd

pyzhXXhxpzdW

ziq

h

hX

ziqDIS

(iv)Drell-Yan 与 DIS 过程

YanDrell

DIS

2| p

1| p

'|h

1| p


（ 1 ）整理的 Drell-Yan 截面的软硬部分的规范不变的分解问题，对应于处理半单举一个末态强子的 DIS ，也对应于正负电子湮灭中分析一对末态强子

21| pp

'|h 21| hh

eekhDISkhYanDrellqp 22''

22 ||;||;||

相应矩阵元均可约化成一个自由传播子的虚部（ Cutkosky Rule ） , 规范不变的分离。

（ 2 ）若束缚态中的一个替换成与在壳单粒子态，

（ 3 ）若两个均为束缚态时，不再有在壳夸克线……规范不变的分离？

???1

Im1

iQkH

谢谢


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