Drgania i fale

Drgania harmoniczne – wielkość drgająca zmienia się

sinusoidalnie lub cosinusoidalnie w czasie

Drgania – zjawiska powtarzające się okresowo

Ruch drgający

Przykłady drgań:• wahadło zegara• drgania mostu, wywołane przejeżdżającymi pojazdami• drgania skrzydeł samolotu• drgania atomów (molekuł) w węzłach sieci krystalicznej• obwód drgający LC• .........

Okres ruchu harmonicznego (T) – czas trwania jednego pełnego drgania, czas powtarzania się każdego pełnegoprzemieszczenia lub cyklu

Częstotliwość drgań () – liczba drgań (cykli) w jednostce czasu

]Hz[1

T

Położenie równowagi – położenie, w którym na punkt materialny niedziała żadna siła

Przemieszczenie – odległość drgającego punktu od położenia równowagi w dowolnej chwili

22

T

Wielkości opisujące ruch harmoniczny

0 +A-A

kxF

2

2

dt

xdm

dt

dvmF kx

dt

xdm

2

2

02

2

xm

k

dt

xd

Na oscylator działa siła harmoniczna

Z II zasady dynamiki Newtona

Jest to równanie różniczkowe drgań harmonicznych

Wahadło wykonuje ruch harmoniczny. Papier rejestratora przesuwa się ze stałą prędkością v – pozostawiony ślad – wychylenie wahadła z położenia równowagi - można opisać funkcją okresową

v

x(t)

32

1cos

2cos

2

20cos0cos0

0

0

AA

Ax

Ax

cos0 0 Axxt

Jeśli, np.

tAx ocos

0 +A-A x0

tAadt

xd

tAvdt

dx

o

a

o

v

cos

sin

max

max

202

2

0

tAx ocos

02

2

xm

k

dt

xd

0coscos20 tA

m

ktA oo

m

k

m

k 0

20 0

Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie zmieniają się w ruchu harmonicznym okresowo.

częstość drgań własnych

częstość drgań własnych zależy od współczynnika sprężystości i masy ciała

Energia kinetyczna drgań

tAmmv

Ek 022

02

2

sin22

Energia potencjalna drgań

tAmxmkxEp 0222

022

02 cos

2

1

2

1

2

1

Energia całkowita

2200

22200

2220 2

1cos

2

1sin

2

1AmtAmtAmE

EEE pk

2

22

2

2

x

yv

t

y

równanie różniczkowe fali

tqxAy sin

Tq

2,

2

liczba falowa

długość fali częstość drgań

okres drgań

Rozwiązanie:

Ruch falowy

x

y'tt

qTTv

vT

2

2

qv f

prędkość fazowa fali

Rodzaje fal

Fala płaska

Fala kulista

Fala poprzeczna – cząsteczki ośrodka drgają prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali (np. w strunie)

Fala podłużna – cząsteczki ośrodka drgają równolegle do kierunku rozchodzenia się fali (np. dźwięk)

Kilka fal może przebiegać ten sam obszar przestrzeni

niezależnie od siebie. Przemieszczenie dowolnej cząstki w

ustalonej chwili t jest sumą przemieszczeń wywołanych przez

poszczególne fale.

Zasada superpozycji obowiązuje gdy równania rządzące

ruchem falowym są liniowe, tzn. w granicach stosowalności

prawa Hooke’a Interferencja fal

Zasada superpozycji

kxF

Dwa ciągi falowe interferują ze sobą jedynie wtedy, gdy

drgania źródeł wytwarzających oba ciągi fal różnią się w

fazie o stałą wielkość przynajmniej przez czas

odpowiadający dużej liczbie okresów.

Fale spełniające ten warunek – fale koherentne lub spójne

Interferencja dwóch ciągów falowych różniących się fazą

tqxAy sin1 tqxAy sin2

tq

xqAy sin2

tqxAy sin2

w ustalonej chwili t wywołują drgania przesunięte wzdłuż osi x o

q

w ustalonym punkcie x wywołują drgania przesunięte w czasie o

tqxAtqxAyyy sinsin21

2sin2

cos2

tqxAy

amplituda powstałej fali

Zasada superpozycji pozwala zapisać

220

2cos2A

Fale przesunięte o 180o wygaszają się!!!

0 2 4 6 8 10-4

-2

0

2

4

x

322sin21 xy 322sin22 xy

322sin2322sin221 xxyyy

002

12

cos2 A

Fale zgodne w fazie wzmacniają się!!!

322sin422sin0cos4 xtxy

0 2 4 6 8 10-4

-2

0

2

4

xxx

322sin21 xy 322sin22 xy

322sin2322sin221 xxyyy

2sin2

cos2

tqxAy

2,3,2,2,4

tqA

8322sin

8cos4

7.3

xy

Dla innej różnicy faz

np.

0 2 4 6 8 10-4

-2

0

2

4

x

322sin21 xy

4322sin22

xy

4322sin2322sin221

xxyyy

txy

tx

txtxtxtx

txtxyyy

amplituda

2cos2sin4

2cos2sin42

2222cos

2

2222sin22

22sin222sin221

Fala stojąca

qxAA sin0

,2,2

3,,

2

,4,3,2,2

,4,3,2,

0sin

x

x

qx

qx

węzły fali stojącej

Minimalna amplituda

qxAA sin0

,4

7,

4

5,

4

3,4

,2

7,

2

5,

2

3,2

2

,2

7,

2

5,

2

3,2

1sin

x

x

qx

qx

Strzałki fali stojącej

Maksymalna amplituda

0 10

-4

0

4

y=2

sin

(2x-

2t)

+2

sin

(2x+

2t)

x

0 10

-4

0

4

y=2

sin

(2x-

2t)

+2

sin

(2x+

2t)

x

0 10

-4

0

4

y=2

sin

(2x-

2t)

+2

sin

(2x+

2t)

x

0 10

-4

0

4

y=2

sin

(2x-

2t)

+2

sin

(2x+

2t)

x

0 10

-4

0

4

y=2

sin

(2x-

2t)

+2

sin

(2x+

2t)

x

0 10

-4

0

4

y=2

sin

(2x-

2t)

+2

sin

(2x+

2t)

x

0 10

-4

0

4

y=2

sin

(2x-

2t)

+2

sin

(2x+

2t)

x

0 10

-4

0

4

y=2

sin

(2x-

2t)

+2

sin

(2x+

2t)

x

0 10

-4

0

4

y=2

sin

(2x-

2t)

+2

sin

(2x+

2t)

x

0 10

-4

0

4

y=2

sin

(2x-

2t)

+2

sin

(2x+

2t)

x

t (0, 200 s)

Elementy akustykiDźwięk – mechaniczna fala podłużna rozchodząca się w cieczach,

ciałach stałych i gazach

zakres słyszalny 20 Hz – 20 000 Hz

do 20 Hz – infradźwięki, powyżej 20 kHz - ultradźwięki

W przypadku oscylacji harmonicznych

vtxytT

xytqxyy mmm

2

cos22

coscos

liczba falowa częstość drgań

Zmiana ciśnienia płynu spowodowana rozchodzeniem się fali akustycznej

xS

ySB

V

VBp

B – moduł sprężystości objętościowej lub moduł ściśliwości

x

yBp

W granicy

tqxqyx

ytqxyy mm

sincos

tqxBqyx

yBp m

sin

Ciśnienie zmienia się harmonicznie. Prędkość fali

0B

v gęstość płynu na zewnątrz strefy zgęszczenia

tqxBqyp

ap

m sin

mma qyvBqyp 02 amplituda ciśnienia

tqxpptqxyy am sincos

Falę dźwiękową można traktować jako falę przemieszczeń albo jako falę ciśnieniową

20vq

py am

15,18/340

/11000222

msm

s

v

fq

30 /22,1 mkg

msmmkgm

mNym

622231

2

106,9/340/22,15,18

/25

msmmkgm

mNym

1222231

25

107,7/340/22,15,18

/102

Prawo Webera-Fechnera - relacja pomiędzy fizyczną miarą bodźca a reakcją układu biologicznego. Dotyczy ono reakcji na bodźce takich zmysłów jak wzrok, słuch czy poczucie temperatury. Jest to prawo fenomenologiczne będące wynikiem wielu obserwacji praktycznych i znajdująca wiele zastosowań technicznych.Prawo to można wyrazić wzorem                  

gdzie:w - reakcja układu biologicznego (wrażenie zmysłowe), B - natężenie danego bodźca,

B0 - wartość progowa natężenia danego bodźca (najniższą

wartość bodźca rejestrowanego przez ludzkie zmysły), (I0 = 10-

12 W/m2)Tak więc ocena głośności dźwięku zależy od logarytmu ciśnienia akustycznego na membranie bębenka, Inną konsekwencją prawa Webera-Fechnera jest fakt, że aby uzyskać liniową skalę, np. w pokrętle głośności radia (dwa razy dalsza pozycja daje dwa razy głośniejszy dźwięk), należy stosować potencjometr logarytmiczny.

2

2

00 0

log10log10logp

p

I

I

B

Bkw

Natężenie fali emitowanej przez punktowe źródło dżwięku o mocy P i rozchodzącej się w ośrodku izotropowym

24 R

P

S

PI

R1

R2

P1

P2

22

21

2121 44 R

P

R

PIII

Tablica oceny warunków akustycznych środowiska (wg PZH) 

O p i s  w a r u n k ó w

Średni (tzw. równoważny) poziom dźwięku A w decybelach dla pory  

dziennej nocnej

Pełny komfort akustyczny< 50 < 40

Przeciętne warunki akustyczne

50 - 55 40 - 45

Zalecany przez WHO (Światową Organizację Zdrowia) poziom hałasu w środowisku (55 dB – pora dzienna)

55 - 60 45 - 50

Przeciętne zagrożenie hałasem 60 - 70 50 - 60

Wysokie zagrożenie (tzw. black spot) > 70 > 60

       

Lp. Przeznaczenie terenu Dopuszczalny poziom hałasu w [dB]

Drogi lub linie kolejowe1) Instalacje i pozostałe obiekty i grupy źródeł hałasu

LDWN

przedział czasu odniesienia równy wszystkim dobom

w roku

LN

przedział czasu odniesienia

równy   wszystkim porom

nocy

LDWN

przedział czasu odniesienia równy wszystkim dobom

w roku

LN

przedział czasu odniesienia równy  

wszystkim poromnocy

1 a) Obszary A ochrony uzdrowiskowejb) Tereny szpitali poza miastem

50 45 45 40

2 a) Tereny zabudowy mieszkaniowej jednorodzinnejb) Tereny zabudowy związanej ze stałym lub wielogodzinnym pobytem dzieci i młodzieży2)

c) Tereny domów opiekid) Tereny szpitali w miastach

55 50 50 40

3 a) Tereny zabudowy  mieszkaniowej wielorodzinnej i zamieszkania zbiorowegob) Tereny zabudowy zagrodowejc) Tereny rekreacyjno – wypoczynkowed) Tereny mieszkaniowo – usługowe

60 50 55 45

4 Tereny w strefie śródmiejskiej miast powyżej 100 tys. mieszkańców3)

65 55 55 45

Dopuszczalne poziomy hałasu w środowisku powodowanego przez poszczególne grupy źródeł hałasu, z wyłączeniem hałasu powodowanego przez starty, lądowania i przeloty statków powietrznych, wyrażone wskaźnikami LDWN i LN, mającymi zastosowanie do prowadzenia długookresowej polityki w zakresie ochrony środowiska przed hałasem

Przykład: poziom głośności wzrasta o 5 dB. Ile razy wzrasta natężenie dźwięku?

0

log10I

IL

1

2

0

1

0

212 log10log10log10

I

I

I

I

I

ILL

5,0

1

2

1

2 10log105 I

I

I

I

115,0

2 16,310 III

Zjawisko Dopplera

Gdyby obserwator nie poruszał się to w czasie t rejestrowałby

fal.

vt

Jeśli detektor porusza się w kierunku źródła to zarejestruje

tvD więcej fal. Częstotliwość słyszana przez

obserwatora jest równa liczbie fal odbieranych w jednostce czasu

v

vvf

vv

t

tvvt

f DD

D

'

Gdy detektor oddala się od źródła

v

vvf

vv

t

tvvt

f DD

D

'

W przypadku ruchu źródła w kierunku nieruchomego obserwatora obserwujemy skrócenie długości fali. W ciągu okresu T źródło przesuwa się o odległość

f

vTv SS i o tyle zostaje skrócona

każda fala

f

v

f

v S'

Częstotliwość dźwięku rejestrowanego przez obserwatora wynosi

Svv

vf

vf

'

'

Gdy źródło oddala się od obserwatora, każda fala jest dłuższa o

f

v

f

v S'f

vTv SS

Częstotliwość dźwięku rejestrowanego przez obserwatora wynosi

Svv

vf

vf

'

'

Ogólnie:

S

D

vv

vvff

'

znaki górne – źródło i obserwator zbliżają się, dolne – oddalają.

Źródło dźwięku porusza się z prędkością dźwięku

Źródło dźwięku porusza się z prędkością większą od prędkości dźwięku szybciej od czoła fali. Czoła fali skupiają się na powierzchni stożkowej zwanej stożkiem Macha tworząc falę uderzeniową

Sv

vsinv

vSliczba Macha