wwwsamelxbloggerba

MODELIRANJE I SIMULACIJA II- druga parcijala

1-Osnovni algoritmi uslovne optimizacije

Svaki upravljački zadatak u kome je funkcija cilja Q(x) ili skup ograničenja L definisan nelinearnim jednačinama ili nejednačinama predstavlja zadatak nelinearnog programiranja Optimalno rješenje nelinearnog optimizacionog problema izračunava se nekom od raspoloživih metoda koja je najadekvatnija za nalaženje konkretnog rješenjaZa razliku od zadataka linearnog programiranja zadaci nelinearnog programiranjase ne mogu rješavati primjenom nekog univerzalnog metoda Postoji više metoda optimizacije pomoću kojih se mogu rješavati neki zadaci nelinearnog programiranja Svi ti metodi su specijalizovani za različite tipove zadataka nelinearnog programiranja koji se formalno razlikuju po obliku matematičkog modela tj po obliku i dimenzijama funkcije cilja i skupa ograničenja

Kod optimizacije sa ograničenjima mogu se posmatrati samo dopustiva rešenja (ona koja zadovoljavaju sva ograničenja)

Osnovni algoritmi

1048707 Metod Lagranževih množilaca (multiplikatora)

1048707 Metod penalty (kaznene) funkcije

1048707 Metod barijere

2-Metoda Lagranževih množilaca

Vrlo se često koristi pri rješavanju onih optimizacionih zadataka kod kojih matematski model optimizacije sadrži i određen broj jednačina ograničenja Osnovno obilježje ove metode sastoji se u tome što se sa uvođenjem skupa neodređenih množitelja i i 12m prevodi matematski model optimizacije sa ograničenjima tipa jednačina ili nejednačina u model bez ograničenja

1

3-Metoda kazenih funkcija

Metoda kaznenih funkcija predstavlja odgovarajuću grupu algoritama za rješavanje optimizacionih problema Suština metoda kaznenih funkcija jeste da se opšti zadatak uslovnog nelinearnog programiranja svede na bezuslovni problem ili na niz bezuslovnih problema

4-Uslovna optimizacija sa ograničenjima tipa nejednakosti KTK uslovi Prevođenje nejednakosti u jednakost uvođenjem dopunske (dopunjujuće) nepoznate

Formiranje proširene funkcije kriterija (ciljna funkcija)

Sistem od ukupno n + m + m = n + 2m jednačina

5- KKT uslov (Karush-Kuhn-Tucker)

sistem od n + m jednačina

6- Genetički algoritam princip shema

1048707 Stohastički algoritam strategija po ugledu na prosec prirodne selekcije (evolucija)

1048707 Za složene modele za koje ne postoje specijalizovani klasični algoritmi

1048707 Ne garantuje pronalaženje globalnog ekstrema

1048707 Puno računanja sa puno tačaka spora konvergencija

1048707 Potrebno više puta pokrenuti proceduru sa različitim inicijalnim vrijednostima da bi se pronašao globalni ekstrem

2

Algoritam

7-Parcijalne diferencijalne jednačine 1048707 ODJ ndash funkcija jedne nezavisno promjenjive y=y(x) 1048707 PDE ndash funkcija više nezavisno promjenjivih z=f(xy) u(xyzt)=0 1048707 U jednačinama figurišu parcijani izvodi funkcija i argumenti (prostorni ili vremenski) 1048707 Domena pravilnog ili kompleksnog oblika

3

8-Jednačine matematičke fizike karakteristike i oblasti primjene 1048707 Eliptične jednačine ndash teorija elastičnosti (IBVP) ravnoteža stacionarni procesi

- Nezavisne od vremena

- Sistem je dostigao stacionarno stanje

- Laplace-ova jednačina

- Poisson-ova jednačina

1048707 Hiperboličke jednačine ndash talasni procesi dinamika - Time-dependent ndash zavisne od vremena

- Konzervativnost (energija sistema je sačuvana svo vrijeme)

- Ne teži ka stabilnom stacionarnom stanju - Talasna jednačina wave equation

- Problem inicijalnih i graničnih vrijednosti

- Diskontinuiteti veliki gradijenti se održavaju u vremenu

1048707 Paraboličke jednačine ndashprocesi difuzije nestacionarni prijenos toplote - Zavisne od vremena opisuju nestacionarne procese

- Disipativni procesi disipacija energije sistema u vremenu

- Približavaju se (teže) stacionarnom stanju

- Prenos toplote (heat equation) difuzije

9-NUMERIČKE METODE za PDJ Osnovne numeričke metode CDM FEM BEM FVM Meshless Method hibridne i ostale

Numeričke metode za PDJ mehanike kontinuuma omogućavaju (simulacija) 1048707 Modeliranje široke skale procesa u domeni proizvoljnog oblika sa složenim konstitutivnim relacijama nelinearne promjene parametara

1048707 Dinamičke (tranzijentne) analize koje obuhvataju promjene svih veličina u vremenu

1048707 Efektivnu vizualizaciju (animaciju)

4

10-METOD KONAČNIH RAZLIKA (FINITE DIFFERENCE METHOD - FDM CDM)

11-Osnovni algoritamski koraci FDM metoda 1048707 Parcijalni izvodi u sistemu diferencijalnih jednačina koji opisuje proces deformacije domene se zamjenjuju konačnim razlikama 1048707 Domena (radni prostor) se diskretizira mrežom čvornih tačaka u kojima se računaju čvorni pomaci temperature brzine kao primarna rješenja polazeći od poznatih vrijednosti na konturi (BC) 1048707 Uz poznate BC od sistema PDJ formira se sistem LAJ koji se rješava pomoću linearnog solvera 1048707 Mogućnost analize statičkih i dinamičkih problema (eksplicitna integracija uslovna stabilnost) 1048707 Izvedene varijable se dobijaju u post-procesorskom postupku

Osnovni nedostatak problem opisa domene nepravilnog oblika

12-MKE (metoda konačnih elemenata) je savremena numerička metoda za rješavanje PDJ Suština metode je u aproksimaciji funkcije rješenja diskretnim skupom funkcija (polinoma) i diskretizaciji domene konačnim skupom konačnih elemenata

Tri osnovna koncepta na kome se definiše savremena MK 1048707 Raleigh-Ritz-ov varijacijski princip

1048707 Galerkin-ov princip težinskog reziduala

1048707 Princip minimuma kvadratne greške (Laest square principle)

5

13-Oblasti primjena MKE 1048707 Analizi čvrstoće napona deformacija

1048707 Analizi strujnih procesa u mehanici fluida

1048707 Simuliranje obradnih procesa

1048707 Problemi prenosa toplote distribucije temperature

1048707 Elektromagnetika

1048707 Dinamika konstrukcija i mašina

1048707 Akustika

1048707 Mehanika tla i stijena (geomehanika)

1048707 Multi-fizičke simulacije

14-Prednosti u odnosu na ostale numeričke metode 1048707 Složena geometrija proizvoljni oblik domene 1048707 Složeni granični uslovi (opterećenja i oslonci) 1048707 Složene (nelinearne) konstitutivne relacije 1048707 Kombinovanje različitih elemenata i materijala 1048707 Visoka tačnost

15-Aproksimacija funkcije rješenja ODJ Neka je data funkcija y = f(x) Pretpostavimo da je iz nekog razloga datu funkciju potrebno aproksimirati drugom njoj približnom funkcijom na datom intervalu =(ab) ZamjenskuΩ funkciju prikažimo kao linearnu kombinaciju nekoliko (n) funkcija

pri čemu su ci nepoznati koeficijenti a φi(x) proizvoljno uzete (poznate) linearno nezavisne funkcije

6

16-Metod minimuma kvadrata greške veličina greške uslijed aproksimacije data je funkcijom greške

Kao osnova optimizacije postavlja se uslov da se odrede koeficijenti ci i=12n na takav način da ukupna greška na intervalu (ab) bude minimalno moguća Budući da funkcija greške može mijenjati znak na intervalu prosta suma (integral na intervalu) može imati malu vrijednost ili čak vrijednost bdquo0ldquo i u slučajevima kada na čitavom intervalu imamo velike vrijednosti greške Stoga se za mjeru veličine greške usvaja integral kvadrata funkcije greške i traže se koeficijenti ci i=12n takvi da osiguravaju minimalnu vrijednost prethodnog integrala Posljednja jednakost nakon integracije daje sistem od bdquonldquo jednačina iz kojeg se može odrediti bdquonldquo nepoznatih koeficijenata ci

17-Reyleigh-Ritz RR metod za rješavanje ODJ 1048707 Odredi funkcional F čija ekstremizacija pomoću Euler-ove jednačine daje originalnu ODJ 1048707 Pretpostavi funkciju y(x) (rješenje) u formi

1048707 Zamijeni aproksimativno rješenje u funkcional i formiraj sistem jednačina 1048707 Riješi prethodni sistem algebarskih jednačina po ci i=12n

18-MKE modeliranje Osnovni oblici elemenata 1048707 Kontinuum ndashelementi 1048707 Strukturni elementi

Automatski mesh-genaratori1048707 Regularna mreža1048707 Neregularna mreža

7

Opšta shema modeliranja

19-Osnovni koraci linearne MKE analize1048707 Izbor elementa1048707 Diskretizacija domene1048707 Formiranje matrica elemenata1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica1048707 Uvođenje BC1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

20-Vodeći komercijalni FEM programiAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor ALTAIR HyperMESH Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP FEAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA) PATRAN (pre i post processor) SAP

21-Načini prenosa toplote

1048707 Kondukcija provođenje toplote u solidu ndash čvstom tijelu

1048707 Konvekcija prirodna prisilna zadaje se za spoljne površine čvrsto tijelo ograničeno fluidom

1048707 Radijacija8

22-MKE numerička procedura1048707 Formulisanje problema (jednačine) u integralnom obliku (strong-weak form)1048707 Parcijalna integracija (1D) ili korištenje Gaussove teoreme (2D i 3D)1048707 Aproksimacija temperaturnog polja diskretnim funkcijama1048707 Numerička integracija po pojedinačnim elementima (diskretizacija domene) zaizračunavanje elementne matrice toplotne vodljivosti i vektora toplotnog fluksa1048707 Slaganje globalne (sistemske) matrice toplotne vodljivosti1048707 Primjena graničnih uslova (zadata temperature ili fluksevi )1048707 Rješenje globalnog sistema L J ndash SOLVER ndash primarno rješenje KT=F1048707 Izračunavanje toplotnog fluksa (post-procesiranje) ndash izvedena rješenja

23-DINAMIČKA ANALIZA pomoću MKE

Osnovni cilj Analiza ponašanja konstrukcije (komponente mašine sistema) izložene dejstvu dinamičkog (vremenski promjenjivog) opterećenja

Statičko opterećenje1048707 konstantan intenzitet tokom vremena bez pojave inercijalnih sila1048707 male iili spore promjene intenziteta i zanemarljivo male inercijalne sile1048707 promjene intenziteta iili inercijalne sile koje ne ugrožavaju nosivost stabilnost iupotrebljivost elementa ili konstrukcije

Dinamičko opterećenje1048707 velike iili brze promjene intenziteta1048707 velike inercijalne sile1048707 periodično promjenljiva opterećenja(harmonijska i neharmonijska)1048707 udarna opterećenja (velika brzina nanošenja i kraće ili duže trajanje)1048707 aperiodična opterećenja (složena frekventna karakteristika)

Rješenje statičkog problema ndash samo jedna konfiguracija (deformisani položaj)Rješenje dinamičkog problema ndash funkcija promjene položaja u vremenu za sve tačke

Izvori dinamičkog opterećenja1048707 Vibracije u radnom ciklusu impulsi udari eksplozijezemljotresi

Vrste dinamičkog opterećenja1048707 stohastičko (slučajno)1048707 determinističko (poznato)1048707 periodično ne-periodično1048707 kontinualno tranzijentno

Stohastičko dinamičko opterećenje zemljotres vjetar saobraćaj transport talasi

9

24-OSCILACIJE Slobodne oscilacije

Prigušene oscilacije

Prisilne oscilacije ndash REZONANCA

25-Komercijalni FEM programi za dinamičku analizuAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA)

10

26-VRSTE DINAMIČKE ANALIZE1048707 Modalna (analiza sopstvenih frekvencija i modalnih oblika linearna bez prigušenja)1048707 Harmonijska analiza (stacionarni odziv na harmoničku pobudu Vrši se za niz frekvencija i prikazuje u obliku grafa pomak-frekvencija )1048707 Tranzijentna analiza (analizira odziv konstrukcije na poznatu vremensku promjenueksternog opterećenja explicitna integracija CDM implicitna integracija Newmark)1048707 Slučajni odziv (stohastički princip odziv na slučajnu dinamičku pobudu npr zemljotres)

27-Prednosti MKE u dinamici1048707 visoka tačnost određivanja EV1048707 efikasno numeričko modeliranje1048707 mogućnost modeliranja kompleksnih oblika konstrukcije1048707 modeliranje složenih materijala i opterećenja

28-Greške u primjeni MKE u dinamici1048707 greške uslijed vremenske i prostorne diskretizacije1048707 greške aproksimacije uslijed diskretnih interpolacijskih f-ja1048707 greška primjene koncentrisane mase u odnosu na konzistentnu1048707 greške implementacije u softveru

29-Osnovni koraci dinamičke MKE analize1048707 definisanje (modeliranje) domene1048707 Izbor elementa1048707 unos materijalnih k-ka1048707 Diskretizacija domene1048707 Izbor tipa dinamičke analize1048707 Formiranje matrica elemenata (Me Ce Ke)1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica M C K1048707 Uvođenje BC1048707 Izbor izlaznih veličina1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

30-Osnovni solveri CDM Newmark ODNOS EKSPLICITNE i IMPLICITNE METODE1048707 Vrijeme potrebno za analizu kod eksplicitne analize raste linearno sa povećanjem broja DOF Kod implicitne analize porast vremena sa povećanjem DOF je izrazitiji Stoga je eksplicitna analiza pogodnija za probleme sa većim brojem DOF1048707 Eksplicitni metod je efikasniji kod sudarnihudarnih aplikacija tj Kod kontaktnih problema kao i kod problema propagacije talasa1048707 Implicitna metoda je stabilnija i efikasnija u analizama pri umjerenom broju DOF i umjerenim brzinama promjene opterećenja

11

3-Metoda kazenih funkcija

Metoda kaznenih funkcija predstavlja odgovarajuću grupu algoritama za rješavanje optimizacionih problema Suština metoda kaznenih funkcija jeste da se opšti zadatak uslovnog nelinearnog programiranja svede na bezuslovni problem ili na niz bezuslovnih problema

4-Uslovna optimizacija sa ograničenjima tipa nejednakosti KTK uslovi Prevođenje nejednakosti u jednakost uvođenjem dopunske (dopunjujuće) nepoznate

Formiranje proširene funkcije kriterija (ciljna funkcija)

Sistem od ukupno n + m + m = n + 2m jednačina

5- KKT uslov (Karush-Kuhn-Tucker)

sistem od n + m jednačina

6- Genetički algoritam princip shema

1048707 Stohastički algoritam strategija po ugledu na prosec prirodne selekcije (evolucija)

1048707 Za složene modele za koje ne postoje specijalizovani klasični algoritmi

1048707 Ne garantuje pronalaženje globalnog ekstrema

1048707 Puno računanja sa puno tačaka spora konvergencija

1048707 Potrebno više puta pokrenuti proceduru sa različitim inicijalnim vrijednostima da bi se pronašao globalni ekstrem

2

Algoritam

7-Parcijalne diferencijalne jednačine 1048707 ODJ ndash funkcija jedne nezavisno promjenjive y=y(x) 1048707 PDE ndash funkcija više nezavisno promjenjivih z=f(xy) u(xyzt)=0 1048707 U jednačinama figurišu parcijani izvodi funkcija i argumenti (prostorni ili vremenski) 1048707 Domena pravilnog ili kompleksnog oblika

3

8-Jednačine matematičke fizike karakteristike i oblasti primjene 1048707 Eliptične jednačine ndash teorija elastičnosti (IBVP) ravnoteža stacionarni procesi

- Nezavisne od vremena

- Sistem je dostigao stacionarno stanje

- Laplace-ova jednačina

- Poisson-ova jednačina

1048707 Hiperboličke jednačine ndash talasni procesi dinamika - Time-dependent ndash zavisne od vremena

- Konzervativnost (energija sistema je sačuvana svo vrijeme)

- Ne teži ka stabilnom stacionarnom stanju - Talasna jednačina wave equation

- Problem inicijalnih i graničnih vrijednosti

- Diskontinuiteti veliki gradijenti se održavaju u vremenu

1048707 Paraboličke jednačine ndashprocesi difuzije nestacionarni prijenos toplote - Zavisne od vremena opisuju nestacionarne procese

- Disipativni procesi disipacija energije sistema u vremenu

- Približavaju se (teže) stacionarnom stanju

- Prenos toplote (heat equation) difuzije

9-NUMERIČKE METODE za PDJ Osnovne numeričke metode CDM FEM BEM FVM Meshless Method hibridne i ostale

Numeričke metode za PDJ mehanike kontinuuma omogućavaju (simulacija) 1048707 Modeliranje široke skale procesa u domeni proizvoljnog oblika sa složenim konstitutivnim relacijama nelinearne promjene parametara

1048707 Dinamičke (tranzijentne) analize koje obuhvataju promjene svih veličina u vremenu

1048707 Efektivnu vizualizaciju (animaciju)

4

10-METOD KONAČNIH RAZLIKA (FINITE DIFFERENCE METHOD - FDM CDM)

11-Osnovni algoritamski koraci FDM metoda 1048707 Parcijalni izvodi u sistemu diferencijalnih jednačina koji opisuje proces deformacije domene se zamjenjuju konačnim razlikama 1048707 Domena (radni prostor) se diskretizira mrežom čvornih tačaka u kojima se računaju čvorni pomaci temperature brzine kao primarna rješenja polazeći od poznatih vrijednosti na konturi (BC) 1048707 Uz poznate BC od sistema PDJ formira se sistem LAJ koji se rješava pomoću linearnog solvera 1048707 Mogućnost analize statičkih i dinamičkih problema (eksplicitna integracija uslovna stabilnost) 1048707 Izvedene varijable se dobijaju u post-procesorskom postupku

Osnovni nedostatak problem opisa domene nepravilnog oblika

12-MKE (metoda konačnih elemenata) je savremena numerička metoda za rješavanje PDJ Suština metode je u aproksimaciji funkcije rješenja diskretnim skupom funkcija (polinoma) i diskretizaciji domene konačnim skupom konačnih elemenata

Tri osnovna koncepta na kome se definiše savremena MK 1048707 Raleigh-Ritz-ov varijacijski princip

1048707 Galerkin-ov princip težinskog reziduala

1048707 Princip minimuma kvadratne greške (Laest square principle)

5

13-Oblasti primjena MKE 1048707 Analizi čvrstoće napona deformacija

1048707 Analizi strujnih procesa u mehanici fluida

1048707 Simuliranje obradnih procesa

1048707 Problemi prenosa toplote distribucije temperature

1048707 Elektromagnetika

1048707 Dinamika konstrukcija i mašina

1048707 Akustika

1048707 Mehanika tla i stijena (geomehanika)

1048707 Multi-fizičke simulacije

14-Prednosti u odnosu na ostale numeričke metode 1048707 Složena geometrija proizvoljni oblik domene 1048707 Složeni granični uslovi (opterećenja i oslonci) 1048707 Složene (nelinearne) konstitutivne relacije 1048707 Kombinovanje različitih elemenata i materijala 1048707 Visoka tačnost

15-Aproksimacija funkcije rješenja ODJ Neka je data funkcija y = f(x) Pretpostavimo da je iz nekog razloga datu funkciju potrebno aproksimirati drugom njoj približnom funkcijom na datom intervalu =(ab) ZamjenskuΩ funkciju prikažimo kao linearnu kombinaciju nekoliko (n) funkcija

pri čemu su ci nepoznati koeficijenti a φi(x) proizvoljno uzete (poznate) linearno nezavisne funkcije

6

16-Metod minimuma kvadrata greške veličina greške uslijed aproksimacije data je funkcijom greške

Kao osnova optimizacije postavlja se uslov da se odrede koeficijenti ci i=12n na takav način da ukupna greška na intervalu (ab) bude minimalno moguća Budući da funkcija greške može mijenjati znak na intervalu prosta suma (integral na intervalu) može imati malu vrijednost ili čak vrijednost bdquo0ldquo i u slučajevima kada na čitavom intervalu imamo velike vrijednosti greške Stoga se za mjeru veličine greške usvaja integral kvadrata funkcije greške i traže se koeficijenti ci i=12n takvi da osiguravaju minimalnu vrijednost prethodnog integrala Posljednja jednakost nakon integracije daje sistem od bdquonldquo jednačina iz kojeg se može odrediti bdquonldquo nepoznatih koeficijenata ci

17-Reyleigh-Ritz RR metod za rješavanje ODJ 1048707 Odredi funkcional F čija ekstremizacija pomoću Euler-ove jednačine daje originalnu ODJ 1048707 Pretpostavi funkciju y(x) (rješenje) u formi

1048707 Zamijeni aproksimativno rješenje u funkcional i formiraj sistem jednačina 1048707 Riješi prethodni sistem algebarskih jednačina po ci i=12n

18-MKE modeliranje Osnovni oblici elemenata 1048707 Kontinuum ndashelementi 1048707 Strukturni elementi

Automatski mesh-genaratori1048707 Regularna mreža1048707 Neregularna mreža

7

Opšta shema modeliranja

19-Osnovni koraci linearne MKE analize1048707 Izbor elementa1048707 Diskretizacija domene1048707 Formiranje matrica elemenata1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica1048707 Uvođenje BC1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

20-Vodeći komercijalni FEM programiAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor ALTAIR HyperMESH Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP FEAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA) PATRAN (pre i post processor) SAP

21-Načini prenosa toplote

1048707 Kondukcija provođenje toplote u solidu ndash čvstom tijelu

1048707 Konvekcija prirodna prisilna zadaje se za spoljne površine čvrsto tijelo ograničeno fluidom

1048707 Radijacija8

22-MKE numerička procedura1048707 Formulisanje problema (jednačine) u integralnom obliku (strong-weak form)1048707 Parcijalna integracija (1D) ili korištenje Gaussove teoreme (2D i 3D)1048707 Aproksimacija temperaturnog polja diskretnim funkcijama1048707 Numerička integracija po pojedinačnim elementima (diskretizacija domene) zaizračunavanje elementne matrice toplotne vodljivosti i vektora toplotnog fluksa1048707 Slaganje globalne (sistemske) matrice toplotne vodljivosti1048707 Primjena graničnih uslova (zadata temperature ili fluksevi )1048707 Rješenje globalnog sistema L J ndash SOLVER ndash primarno rješenje KT=F1048707 Izračunavanje toplotnog fluksa (post-procesiranje) ndash izvedena rješenja

23-DINAMIČKA ANALIZA pomoću MKE

Osnovni cilj Analiza ponašanja konstrukcije (komponente mašine sistema) izložene dejstvu dinamičkog (vremenski promjenjivog) opterećenja

Statičko opterećenje1048707 konstantan intenzitet tokom vremena bez pojave inercijalnih sila1048707 male iili spore promjene intenziteta i zanemarljivo male inercijalne sile1048707 promjene intenziteta iili inercijalne sile koje ne ugrožavaju nosivost stabilnost iupotrebljivost elementa ili konstrukcije

Dinamičko opterećenje1048707 velike iili brze promjene intenziteta1048707 velike inercijalne sile1048707 periodično promjenljiva opterećenja(harmonijska i neharmonijska)1048707 udarna opterećenja (velika brzina nanošenja i kraće ili duže trajanje)1048707 aperiodična opterećenja (složena frekventna karakteristika)

Rješenje statičkog problema ndash samo jedna konfiguracija (deformisani položaj)Rješenje dinamičkog problema ndash funkcija promjene položaja u vremenu za sve tačke

Izvori dinamičkog opterećenja1048707 Vibracije u radnom ciklusu impulsi udari eksplozijezemljotresi

Vrste dinamičkog opterećenja1048707 stohastičko (slučajno)1048707 determinističko (poznato)1048707 periodično ne-periodično1048707 kontinualno tranzijentno

Stohastičko dinamičko opterećenje zemljotres vjetar saobraćaj transport talasi

9

24-OSCILACIJE Slobodne oscilacije

Prigušene oscilacije

Prisilne oscilacije ndash REZONANCA

25-Komercijalni FEM programi za dinamičku analizuAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA)

10

26-VRSTE DINAMIČKE ANALIZE1048707 Modalna (analiza sopstvenih frekvencija i modalnih oblika linearna bez prigušenja)1048707 Harmonijska analiza (stacionarni odziv na harmoničku pobudu Vrši se za niz frekvencija i prikazuje u obliku grafa pomak-frekvencija )1048707 Tranzijentna analiza (analizira odziv konstrukcije na poznatu vremensku promjenueksternog opterećenja explicitna integracija CDM implicitna integracija Newmark)1048707 Slučajni odziv (stohastički princip odziv na slučajnu dinamičku pobudu npr zemljotres)

27-Prednosti MKE u dinamici1048707 visoka tačnost određivanja EV1048707 efikasno numeričko modeliranje1048707 mogućnost modeliranja kompleksnih oblika konstrukcije1048707 modeliranje složenih materijala i opterećenja

28-Greške u primjeni MKE u dinamici1048707 greške uslijed vremenske i prostorne diskretizacije1048707 greške aproksimacije uslijed diskretnih interpolacijskih f-ja1048707 greška primjene koncentrisane mase u odnosu na konzistentnu1048707 greške implementacije u softveru

29-Osnovni koraci dinamičke MKE analize1048707 definisanje (modeliranje) domene1048707 Izbor elementa1048707 unos materijalnih k-ka1048707 Diskretizacija domene1048707 Izbor tipa dinamičke analize1048707 Formiranje matrica elemenata (Me Ce Ke)1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica M C K1048707 Uvođenje BC1048707 Izbor izlaznih veličina1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

30-Osnovni solveri CDM Newmark ODNOS EKSPLICITNE i IMPLICITNE METODE1048707 Vrijeme potrebno za analizu kod eksplicitne analize raste linearno sa povećanjem broja DOF Kod implicitne analize porast vremena sa povećanjem DOF je izrazitiji Stoga je eksplicitna analiza pogodnija za probleme sa većim brojem DOF1048707 Eksplicitni metod je efikasniji kod sudarnihudarnih aplikacija tj Kod kontaktnih problema kao i kod problema propagacije talasa1048707 Implicitna metoda je stabilnija i efikasnija u analizama pri umjerenom broju DOF i umjerenim brzinama promjene opterećenja

11

Algoritam

7-Parcijalne diferencijalne jednačine 1048707 ODJ ndash funkcija jedne nezavisno promjenjive y=y(x) 1048707 PDE ndash funkcija više nezavisno promjenjivih z=f(xy) u(xyzt)=0 1048707 U jednačinama figurišu parcijani izvodi funkcija i argumenti (prostorni ili vremenski) 1048707 Domena pravilnog ili kompleksnog oblika

3

8-Jednačine matematičke fizike karakteristike i oblasti primjene 1048707 Eliptične jednačine ndash teorija elastičnosti (IBVP) ravnoteža stacionarni procesi

- Nezavisne od vremena

- Sistem je dostigao stacionarno stanje

- Laplace-ova jednačina

- Poisson-ova jednačina

1048707 Hiperboličke jednačine ndash talasni procesi dinamika - Time-dependent ndash zavisne od vremena

- Konzervativnost (energija sistema je sačuvana svo vrijeme)

- Ne teži ka stabilnom stacionarnom stanju - Talasna jednačina wave equation

- Problem inicijalnih i graničnih vrijednosti

- Diskontinuiteti veliki gradijenti se održavaju u vremenu

1048707 Paraboličke jednačine ndashprocesi difuzije nestacionarni prijenos toplote - Zavisne od vremena opisuju nestacionarne procese

- Disipativni procesi disipacija energije sistema u vremenu

- Približavaju se (teže) stacionarnom stanju

- Prenos toplote (heat equation) difuzije

9-NUMERIČKE METODE za PDJ Osnovne numeričke metode CDM FEM BEM FVM Meshless Method hibridne i ostale

Numeričke metode za PDJ mehanike kontinuuma omogućavaju (simulacija) 1048707 Modeliranje široke skale procesa u domeni proizvoljnog oblika sa složenim konstitutivnim relacijama nelinearne promjene parametara

1048707 Dinamičke (tranzijentne) analize koje obuhvataju promjene svih veličina u vremenu

1048707 Efektivnu vizualizaciju (animaciju)

4

10-METOD KONAČNIH RAZLIKA (FINITE DIFFERENCE METHOD - FDM CDM)

11-Osnovni algoritamski koraci FDM metoda 1048707 Parcijalni izvodi u sistemu diferencijalnih jednačina koji opisuje proces deformacije domene se zamjenjuju konačnim razlikama 1048707 Domena (radni prostor) se diskretizira mrežom čvornih tačaka u kojima se računaju čvorni pomaci temperature brzine kao primarna rješenja polazeći od poznatih vrijednosti na konturi (BC) 1048707 Uz poznate BC od sistema PDJ formira se sistem LAJ koji se rješava pomoću linearnog solvera 1048707 Mogućnost analize statičkih i dinamičkih problema (eksplicitna integracija uslovna stabilnost) 1048707 Izvedene varijable se dobijaju u post-procesorskom postupku

Osnovni nedostatak problem opisa domene nepravilnog oblika

12-MKE (metoda konačnih elemenata) je savremena numerička metoda za rješavanje PDJ Suština metode je u aproksimaciji funkcije rješenja diskretnim skupom funkcija (polinoma) i diskretizaciji domene konačnim skupom konačnih elemenata

Tri osnovna koncepta na kome se definiše savremena MK 1048707 Raleigh-Ritz-ov varijacijski princip

1048707 Galerkin-ov princip težinskog reziduala

1048707 Princip minimuma kvadratne greške (Laest square principle)

5

13-Oblasti primjena MKE 1048707 Analizi čvrstoće napona deformacija

1048707 Analizi strujnih procesa u mehanici fluida

1048707 Simuliranje obradnih procesa

1048707 Problemi prenosa toplote distribucije temperature

1048707 Elektromagnetika

1048707 Dinamika konstrukcija i mašina

1048707 Akustika

1048707 Mehanika tla i stijena (geomehanika)

1048707 Multi-fizičke simulacije

14-Prednosti u odnosu na ostale numeričke metode 1048707 Složena geometrija proizvoljni oblik domene 1048707 Složeni granični uslovi (opterećenja i oslonci) 1048707 Složene (nelinearne) konstitutivne relacije 1048707 Kombinovanje različitih elemenata i materijala 1048707 Visoka tačnost

15-Aproksimacija funkcije rješenja ODJ Neka je data funkcija y = f(x) Pretpostavimo da je iz nekog razloga datu funkciju potrebno aproksimirati drugom njoj približnom funkcijom na datom intervalu =(ab) ZamjenskuΩ funkciju prikažimo kao linearnu kombinaciju nekoliko (n) funkcija

pri čemu su ci nepoznati koeficijenti a φi(x) proizvoljno uzete (poznate) linearno nezavisne funkcije

6

16-Metod minimuma kvadrata greške veličina greške uslijed aproksimacije data je funkcijom greške

Kao osnova optimizacije postavlja se uslov da se odrede koeficijenti ci i=12n na takav način da ukupna greška na intervalu (ab) bude minimalno moguća Budući da funkcija greške može mijenjati znak na intervalu prosta suma (integral na intervalu) može imati malu vrijednost ili čak vrijednost bdquo0ldquo i u slučajevima kada na čitavom intervalu imamo velike vrijednosti greške Stoga se za mjeru veličine greške usvaja integral kvadrata funkcije greške i traže se koeficijenti ci i=12n takvi da osiguravaju minimalnu vrijednost prethodnog integrala Posljednja jednakost nakon integracije daje sistem od bdquonldquo jednačina iz kojeg se može odrediti bdquonldquo nepoznatih koeficijenata ci

17-Reyleigh-Ritz RR metod za rješavanje ODJ 1048707 Odredi funkcional F čija ekstremizacija pomoću Euler-ove jednačine daje originalnu ODJ 1048707 Pretpostavi funkciju y(x) (rješenje) u formi

1048707 Zamijeni aproksimativno rješenje u funkcional i formiraj sistem jednačina 1048707 Riješi prethodni sistem algebarskih jednačina po ci i=12n

18-MKE modeliranje Osnovni oblici elemenata 1048707 Kontinuum ndashelementi 1048707 Strukturni elementi

Automatski mesh-genaratori1048707 Regularna mreža1048707 Neregularna mreža

7

Opšta shema modeliranja

19-Osnovni koraci linearne MKE analize1048707 Izbor elementa1048707 Diskretizacija domene1048707 Formiranje matrica elemenata1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica1048707 Uvođenje BC1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

20-Vodeći komercijalni FEM programiAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor ALTAIR HyperMESH Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP FEAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA) PATRAN (pre i post processor) SAP

21-Načini prenosa toplote

1048707 Kondukcija provođenje toplote u solidu ndash čvstom tijelu

1048707 Konvekcija prirodna prisilna zadaje se za spoljne površine čvrsto tijelo ograničeno fluidom

1048707 Radijacija8

22-MKE numerička procedura1048707 Formulisanje problema (jednačine) u integralnom obliku (strong-weak form)1048707 Parcijalna integracija (1D) ili korištenje Gaussove teoreme (2D i 3D)1048707 Aproksimacija temperaturnog polja diskretnim funkcijama1048707 Numerička integracija po pojedinačnim elementima (diskretizacija domene) zaizračunavanje elementne matrice toplotne vodljivosti i vektora toplotnog fluksa1048707 Slaganje globalne (sistemske) matrice toplotne vodljivosti1048707 Primjena graničnih uslova (zadata temperature ili fluksevi )1048707 Rješenje globalnog sistema L J ndash SOLVER ndash primarno rješenje KT=F1048707 Izračunavanje toplotnog fluksa (post-procesiranje) ndash izvedena rješenja

23-DINAMIČKA ANALIZA pomoću MKE

Osnovni cilj Analiza ponašanja konstrukcije (komponente mašine sistema) izložene dejstvu dinamičkog (vremenski promjenjivog) opterećenja

Statičko opterećenje1048707 konstantan intenzitet tokom vremena bez pojave inercijalnih sila1048707 male iili spore promjene intenziteta i zanemarljivo male inercijalne sile1048707 promjene intenziteta iili inercijalne sile koje ne ugrožavaju nosivost stabilnost iupotrebljivost elementa ili konstrukcije

Dinamičko opterećenje1048707 velike iili brze promjene intenziteta1048707 velike inercijalne sile1048707 periodično promjenljiva opterećenja(harmonijska i neharmonijska)1048707 udarna opterećenja (velika brzina nanošenja i kraće ili duže trajanje)1048707 aperiodična opterećenja (složena frekventna karakteristika)

Rješenje statičkog problema ndash samo jedna konfiguracija (deformisani položaj)Rješenje dinamičkog problema ndash funkcija promjene položaja u vremenu za sve tačke

Izvori dinamičkog opterećenja1048707 Vibracije u radnom ciklusu impulsi udari eksplozijezemljotresi

Vrste dinamičkog opterećenja1048707 stohastičko (slučajno)1048707 determinističko (poznato)1048707 periodično ne-periodično1048707 kontinualno tranzijentno

Stohastičko dinamičko opterećenje zemljotres vjetar saobraćaj transport talasi

9

24-OSCILACIJE Slobodne oscilacije

Prigušene oscilacije

Prisilne oscilacije ndash REZONANCA

25-Komercijalni FEM programi za dinamičku analizuAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA)

10

26-VRSTE DINAMIČKE ANALIZE1048707 Modalna (analiza sopstvenih frekvencija i modalnih oblika linearna bez prigušenja)1048707 Harmonijska analiza (stacionarni odziv na harmoničku pobudu Vrši se za niz frekvencija i prikazuje u obliku grafa pomak-frekvencija )1048707 Tranzijentna analiza (analizira odziv konstrukcije na poznatu vremensku promjenueksternog opterećenja explicitna integracija CDM implicitna integracija Newmark)1048707 Slučajni odziv (stohastički princip odziv na slučajnu dinamičku pobudu npr zemljotres)

27-Prednosti MKE u dinamici1048707 visoka tačnost određivanja EV1048707 efikasno numeričko modeliranje1048707 mogućnost modeliranja kompleksnih oblika konstrukcije1048707 modeliranje složenih materijala i opterećenja

28-Greške u primjeni MKE u dinamici1048707 greške uslijed vremenske i prostorne diskretizacije1048707 greške aproksimacije uslijed diskretnih interpolacijskih f-ja1048707 greška primjene koncentrisane mase u odnosu na konzistentnu1048707 greške implementacije u softveru

29-Osnovni koraci dinamičke MKE analize1048707 definisanje (modeliranje) domene1048707 Izbor elementa1048707 unos materijalnih k-ka1048707 Diskretizacija domene1048707 Izbor tipa dinamičke analize1048707 Formiranje matrica elemenata (Me Ce Ke)1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica M C K1048707 Uvođenje BC1048707 Izbor izlaznih veličina1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

30-Osnovni solveri CDM Newmark ODNOS EKSPLICITNE i IMPLICITNE METODE1048707 Vrijeme potrebno za analizu kod eksplicitne analize raste linearno sa povećanjem broja DOF Kod implicitne analize porast vremena sa povećanjem DOF je izrazitiji Stoga je eksplicitna analiza pogodnija za probleme sa većim brojem DOF1048707 Eksplicitni metod je efikasniji kod sudarnihudarnih aplikacija tj Kod kontaktnih problema kao i kod problema propagacije talasa1048707 Implicitna metoda je stabilnija i efikasnija u analizama pri umjerenom broju DOF i umjerenim brzinama promjene opterećenja

11

8-Jednačine matematičke fizike karakteristike i oblasti primjene 1048707 Eliptične jednačine ndash teorija elastičnosti (IBVP) ravnoteža stacionarni procesi

- Nezavisne od vremena

- Sistem je dostigao stacionarno stanje

- Laplace-ova jednačina

- Poisson-ova jednačina

1048707 Hiperboličke jednačine ndash talasni procesi dinamika - Time-dependent ndash zavisne od vremena

- Konzervativnost (energija sistema je sačuvana svo vrijeme)

- Ne teži ka stabilnom stacionarnom stanju - Talasna jednačina wave equation

- Problem inicijalnih i graničnih vrijednosti

- Diskontinuiteti veliki gradijenti se održavaju u vremenu

1048707 Paraboličke jednačine ndashprocesi difuzije nestacionarni prijenos toplote - Zavisne od vremena opisuju nestacionarne procese

- Disipativni procesi disipacija energije sistema u vremenu

- Približavaju se (teže) stacionarnom stanju

- Prenos toplote (heat equation) difuzije

9-NUMERIČKE METODE za PDJ Osnovne numeričke metode CDM FEM BEM FVM Meshless Method hibridne i ostale

Numeričke metode za PDJ mehanike kontinuuma omogućavaju (simulacija) 1048707 Modeliranje široke skale procesa u domeni proizvoljnog oblika sa složenim konstitutivnim relacijama nelinearne promjene parametara

1048707 Dinamičke (tranzijentne) analize koje obuhvataju promjene svih veličina u vremenu

1048707 Efektivnu vizualizaciju (animaciju)

4

10-METOD KONAČNIH RAZLIKA (FINITE DIFFERENCE METHOD - FDM CDM)

11-Osnovni algoritamski koraci FDM metoda 1048707 Parcijalni izvodi u sistemu diferencijalnih jednačina koji opisuje proces deformacije domene se zamjenjuju konačnim razlikama 1048707 Domena (radni prostor) se diskretizira mrežom čvornih tačaka u kojima se računaju čvorni pomaci temperature brzine kao primarna rješenja polazeći od poznatih vrijednosti na konturi (BC) 1048707 Uz poznate BC od sistema PDJ formira se sistem LAJ koji se rješava pomoću linearnog solvera 1048707 Mogućnost analize statičkih i dinamičkih problema (eksplicitna integracija uslovna stabilnost) 1048707 Izvedene varijable se dobijaju u post-procesorskom postupku

Osnovni nedostatak problem opisa domene nepravilnog oblika

12-MKE (metoda konačnih elemenata) je savremena numerička metoda za rješavanje PDJ Suština metode je u aproksimaciji funkcije rješenja diskretnim skupom funkcija (polinoma) i diskretizaciji domene konačnim skupom konačnih elemenata

Tri osnovna koncepta na kome se definiše savremena MK 1048707 Raleigh-Ritz-ov varijacijski princip

1048707 Galerkin-ov princip težinskog reziduala

1048707 Princip minimuma kvadratne greške (Laest square principle)

5

13-Oblasti primjena MKE 1048707 Analizi čvrstoće napona deformacija

1048707 Analizi strujnih procesa u mehanici fluida

1048707 Simuliranje obradnih procesa

1048707 Problemi prenosa toplote distribucije temperature

1048707 Elektromagnetika

1048707 Dinamika konstrukcija i mašina

1048707 Akustika

1048707 Mehanika tla i stijena (geomehanika)

1048707 Multi-fizičke simulacije

14-Prednosti u odnosu na ostale numeričke metode 1048707 Složena geometrija proizvoljni oblik domene 1048707 Složeni granični uslovi (opterećenja i oslonci) 1048707 Složene (nelinearne) konstitutivne relacije 1048707 Kombinovanje različitih elemenata i materijala 1048707 Visoka tačnost

15-Aproksimacija funkcije rješenja ODJ Neka je data funkcija y = f(x) Pretpostavimo da je iz nekog razloga datu funkciju potrebno aproksimirati drugom njoj približnom funkcijom na datom intervalu =(ab) ZamjenskuΩ funkciju prikažimo kao linearnu kombinaciju nekoliko (n) funkcija

pri čemu su ci nepoznati koeficijenti a φi(x) proizvoljno uzete (poznate) linearno nezavisne funkcije

6

16-Metod minimuma kvadrata greške veličina greške uslijed aproksimacije data je funkcijom greške

Kao osnova optimizacije postavlja se uslov da se odrede koeficijenti ci i=12n na takav način da ukupna greška na intervalu (ab) bude minimalno moguća Budući da funkcija greške može mijenjati znak na intervalu prosta suma (integral na intervalu) može imati malu vrijednost ili čak vrijednost bdquo0ldquo i u slučajevima kada na čitavom intervalu imamo velike vrijednosti greške Stoga se za mjeru veličine greške usvaja integral kvadrata funkcije greške i traže se koeficijenti ci i=12n takvi da osiguravaju minimalnu vrijednost prethodnog integrala Posljednja jednakost nakon integracije daje sistem od bdquonldquo jednačina iz kojeg se može odrediti bdquonldquo nepoznatih koeficijenata ci

17-Reyleigh-Ritz RR metod za rješavanje ODJ 1048707 Odredi funkcional F čija ekstremizacija pomoću Euler-ove jednačine daje originalnu ODJ 1048707 Pretpostavi funkciju y(x) (rješenje) u formi

1048707 Zamijeni aproksimativno rješenje u funkcional i formiraj sistem jednačina 1048707 Riješi prethodni sistem algebarskih jednačina po ci i=12n

18-MKE modeliranje Osnovni oblici elemenata 1048707 Kontinuum ndashelementi 1048707 Strukturni elementi

Automatski mesh-genaratori1048707 Regularna mreža1048707 Neregularna mreža

7

Opšta shema modeliranja

19-Osnovni koraci linearne MKE analize1048707 Izbor elementa1048707 Diskretizacija domene1048707 Formiranje matrica elemenata1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica1048707 Uvođenje BC1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

20-Vodeći komercijalni FEM programiAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor ALTAIR HyperMESH Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP FEAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA) PATRAN (pre i post processor) SAP

21-Načini prenosa toplote

1048707 Kondukcija provođenje toplote u solidu ndash čvstom tijelu

1048707 Konvekcija prirodna prisilna zadaje se za spoljne površine čvrsto tijelo ograničeno fluidom

1048707 Radijacija8

22-MKE numerička procedura1048707 Formulisanje problema (jednačine) u integralnom obliku (strong-weak form)1048707 Parcijalna integracija (1D) ili korištenje Gaussove teoreme (2D i 3D)1048707 Aproksimacija temperaturnog polja diskretnim funkcijama1048707 Numerička integracija po pojedinačnim elementima (diskretizacija domene) zaizračunavanje elementne matrice toplotne vodljivosti i vektora toplotnog fluksa1048707 Slaganje globalne (sistemske) matrice toplotne vodljivosti1048707 Primjena graničnih uslova (zadata temperature ili fluksevi )1048707 Rješenje globalnog sistema L J ndash SOLVER ndash primarno rješenje KT=F1048707 Izračunavanje toplotnog fluksa (post-procesiranje) ndash izvedena rješenja

23-DINAMIČKA ANALIZA pomoću MKE

Osnovni cilj Analiza ponašanja konstrukcije (komponente mašine sistema) izložene dejstvu dinamičkog (vremenski promjenjivog) opterećenja

Statičko opterećenje1048707 konstantan intenzitet tokom vremena bez pojave inercijalnih sila1048707 male iili spore promjene intenziteta i zanemarljivo male inercijalne sile1048707 promjene intenziteta iili inercijalne sile koje ne ugrožavaju nosivost stabilnost iupotrebljivost elementa ili konstrukcije

Dinamičko opterećenje1048707 velike iili brze promjene intenziteta1048707 velike inercijalne sile1048707 periodično promjenljiva opterećenja(harmonijska i neharmonijska)1048707 udarna opterećenja (velika brzina nanošenja i kraće ili duže trajanje)1048707 aperiodična opterećenja (složena frekventna karakteristika)

Rješenje statičkog problema ndash samo jedna konfiguracija (deformisani položaj)Rješenje dinamičkog problema ndash funkcija promjene položaja u vremenu za sve tačke

Izvori dinamičkog opterećenja1048707 Vibracije u radnom ciklusu impulsi udari eksplozijezemljotresi

Vrste dinamičkog opterećenja1048707 stohastičko (slučajno)1048707 determinističko (poznato)1048707 periodično ne-periodično1048707 kontinualno tranzijentno

Stohastičko dinamičko opterećenje zemljotres vjetar saobraćaj transport talasi

9

24-OSCILACIJE Slobodne oscilacije

Prigušene oscilacije

Prisilne oscilacije ndash REZONANCA

25-Komercijalni FEM programi za dinamičku analizuAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA)

10

26-VRSTE DINAMIČKE ANALIZE1048707 Modalna (analiza sopstvenih frekvencija i modalnih oblika linearna bez prigušenja)1048707 Harmonijska analiza (stacionarni odziv na harmoničku pobudu Vrši se za niz frekvencija i prikazuje u obliku grafa pomak-frekvencija )1048707 Tranzijentna analiza (analizira odziv konstrukcije na poznatu vremensku promjenueksternog opterećenja explicitna integracija CDM implicitna integracija Newmark)1048707 Slučajni odziv (stohastički princip odziv na slučajnu dinamičku pobudu npr zemljotres)

27-Prednosti MKE u dinamici1048707 visoka tačnost određivanja EV1048707 efikasno numeričko modeliranje1048707 mogućnost modeliranja kompleksnih oblika konstrukcije1048707 modeliranje složenih materijala i opterećenja

28-Greške u primjeni MKE u dinamici1048707 greške uslijed vremenske i prostorne diskretizacije1048707 greške aproksimacije uslijed diskretnih interpolacijskih f-ja1048707 greška primjene koncentrisane mase u odnosu na konzistentnu1048707 greške implementacije u softveru

29-Osnovni koraci dinamičke MKE analize1048707 definisanje (modeliranje) domene1048707 Izbor elementa1048707 unos materijalnih k-ka1048707 Diskretizacija domene1048707 Izbor tipa dinamičke analize1048707 Formiranje matrica elemenata (Me Ce Ke)1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica M C K1048707 Uvođenje BC1048707 Izbor izlaznih veličina1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

30-Osnovni solveri CDM Newmark ODNOS EKSPLICITNE i IMPLICITNE METODE1048707 Vrijeme potrebno za analizu kod eksplicitne analize raste linearno sa povećanjem broja DOF Kod implicitne analize porast vremena sa povećanjem DOF je izrazitiji Stoga je eksplicitna analiza pogodnija za probleme sa većim brojem DOF1048707 Eksplicitni metod je efikasniji kod sudarnihudarnih aplikacija tj Kod kontaktnih problema kao i kod problema propagacije talasa1048707 Implicitna metoda je stabilnija i efikasnija u analizama pri umjerenom broju DOF i umjerenim brzinama promjene opterećenja

11

10-METOD KONAČNIH RAZLIKA (FINITE DIFFERENCE METHOD - FDM CDM)

11-Osnovni algoritamski koraci FDM metoda 1048707 Parcijalni izvodi u sistemu diferencijalnih jednačina koji opisuje proces deformacije domene se zamjenjuju konačnim razlikama 1048707 Domena (radni prostor) se diskretizira mrežom čvornih tačaka u kojima se računaju čvorni pomaci temperature brzine kao primarna rješenja polazeći od poznatih vrijednosti na konturi (BC) 1048707 Uz poznate BC od sistema PDJ formira se sistem LAJ koji se rješava pomoću linearnog solvera 1048707 Mogućnost analize statičkih i dinamičkih problema (eksplicitna integracija uslovna stabilnost) 1048707 Izvedene varijable se dobijaju u post-procesorskom postupku

Osnovni nedostatak problem opisa domene nepravilnog oblika

12-MKE (metoda konačnih elemenata) je savremena numerička metoda za rješavanje PDJ Suština metode je u aproksimaciji funkcije rješenja diskretnim skupom funkcija (polinoma) i diskretizaciji domene konačnim skupom konačnih elemenata

Tri osnovna koncepta na kome se definiše savremena MK 1048707 Raleigh-Ritz-ov varijacijski princip

1048707 Galerkin-ov princip težinskog reziduala

1048707 Princip minimuma kvadratne greške (Laest square principle)

5

13-Oblasti primjena MKE 1048707 Analizi čvrstoće napona deformacija

1048707 Analizi strujnih procesa u mehanici fluida

1048707 Simuliranje obradnih procesa

1048707 Problemi prenosa toplote distribucije temperature

1048707 Elektromagnetika

1048707 Dinamika konstrukcija i mašina

1048707 Akustika

1048707 Mehanika tla i stijena (geomehanika)

1048707 Multi-fizičke simulacije

14-Prednosti u odnosu na ostale numeričke metode 1048707 Složena geometrija proizvoljni oblik domene 1048707 Složeni granični uslovi (opterećenja i oslonci) 1048707 Složene (nelinearne) konstitutivne relacije 1048707 Kombinovanje različitih elemenata i materijala 1048707 Visoka tačnost

15-Aproksimacija funkcije rješenja ODJ Neka je data funkcija y = f(x) Pretpostavimo da je iz nekog razloga datu funkciju potrebno aproksimirati drugom njoj približnom funkcijom na datom intervalu =(ab) ZamjenskuΩ funkciju prikažimo kao linearnu kombinaciju nekoliko (n) funkcija

pri čemu su ci nepoznati koeficijenti a φi(x) proizvoljno uzete (poznate) linearno nezavisne funkcije

6

16-Metod minimuma kvadrata greške veličina greške uslijed aproksimacije data je funkcijom greške

Kao osnova optimizacije postavlja se uslov da se odrede koeficijenti ci i=12n na takav način da ukupna greška na intervalu (ab) bude minimalno moguća Budući da funkcija greške može mijenjati znak na intervalu prosta suma (integral na intervalu) može imati malu vrijednost ili čak vrijednost bdquo0ldquo i u slučajevima kada na čitavom intervalu imamo velike vrijednosti greške Stoga se za mjeru veličine greške usvaja integral kvadrata funkcije greške i traže se koeficijenti ci i=12n takvi da osiguravaju minimalnu vrijednost prethodnog integrala Posljednja jednakost nakon integracije daje sistem od bdquonldquo jednačina iz kojeg se može odrediti bdquonldquo nepoznatih koeficijenata ci

17-Reyleigh-Ritz RR metod za rješavanje ODJ 1048707 Odredi funkcional F čija ekstremizacija pomoću Euler-ove jednačine daje originalnu ODJ 1048707 Pretpostavi funkciju y(x) (rješenje) u formi

1048707 Zamijeni aproksimativno rješenje u funkcional i formiraj sistem jednačina 1048707 Riješi prethodni sistem algebarskih jednačina po ci i=12n

18-MKE modeliranje Osnovni oblici elemenata 1048707 Kontinuum ndashelementi 1048707 Strukturni elementi

Automatski mesh-genaratori1048707 Regularna mreža1048707 Neregularna mreža

7

Opšta shema modeliranja

19-Osnovni koraci linearne MKE analize1048707 Izbor elementa1048707 Diskretizacija domene1048707 Formiranje matrica elemenata1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica1048707 Uvođenje BC1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

20-Vodeći komercijalni FEM programiAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor ALTAIR HyperMESH Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP FEAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA) PATRAN (pre i post processor) SAP

21-Načini prenosa toplote

1048707 Kondukcija provođenje toplote u solidu ndash čvstom tijelu

1048707 Konvekcija prirodna prisilna zadaje se za spoljne površine čvrsto tijelo ograničeno fluidom

1048707 Radijacija8

22-MKE numerička procedura1048707 Formulisanje problema (jednačine) u integralnom obliku (strong-weak form)1048707 Parcijalna integracija (1D) ili korištenje Gaussove teoreme (2D i 3D)1048707 Aproksimacija temperaturnog polja diskretnim funkcijama1048707 Numerička integracija po pojedinačnim elementima (diskretizacija domene) zaizračunavanje elementne matrice toplotne vodljivosti i vektora toplotnog fluksa1048707 Slaganje globalne (sistemske) matrice toplotne vodljivosti1048707 Primjena graničnih uslova (zadata temperature ili fluksevi )1048707 Rješenje globalnog sistema L J ndash SOLVER ndash primarno rješenje KT=F1048707 Izračunavanje toplotnog fluksa (post-procesiranje) ndash izvedena rješenja

23-DINAMIČKA ANALIZA pomoću MKE

Osnovni cilj Analiza ponašanja konstrukcije (komponente mašine sistema) izložene dejstvu dinamičkog (vremenski promjenjivog) opterećenja

Statičko opterećenje1048707 konstantan intenzitet tokom vremena bez pojave inercijalnih sila1048707 male iili spore promjene intenziteta i zanemarljivo male inercijalne sile1048707 promjene intenziteta iili inercijalne sile koje ne ugrožavaju nosivost stabilnost iupotrebljivost elementa ili konstrukcije

Dinamičko opterećenje1048707 velike iili brze promjene intenziteta1048707 velike inercijalne sile1048707 periodično promjenljiva opterećenja(harmonijska i neharmonijska)1048707 udarna opterećenja (velika brzina nanošenja i kraće ili duže trajanje)1048707 aperiodična opterećenja (složena frekventna karakteristika)

Rješenje statičkog problema ndash samo jedna konfiguracija (deformisani položaj)Rješenje dinamičkog problema ndash funkcija promjene položaja u vremenu za sve tačke

Izvori dinamičkog opterećenja1048707 Vibracije u radnom ciklusu impulsi udari eksplozijezemljotresi

Vrste dinamičkog opterećenja1048707 stohastičko (slučajno)1048707 determinističko (poznato)1048707 periodično ne-periodično1048707 kontinualno tranzijentno

Stohastičko dinamičko opterećenje zemljotres vjetar saobraćaj transport talasi

9

24-OSCILACIJE Slobodne oscilacije

Prigušene oscilacije

Prisilne oscilacije ndash REZONANCA

25-Komercijalni FEM programi za dinamičku analizuAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA)

10

26-VRSTE DINAMIČKE ANALIZE1048707 Modalna (analiza sopstvenih frekvencija i modalnih oblika linearna bez prigušenja)1048707 Harmonijska analiza (stacionarni odziv na harmoničku pobudu Vrši se za niz frekvencija i prikazuje u obliku grafa pomak-frekvencija )1048707 Tranzijentna analiza (analizira odziv konstrukcije na poznatu vremensku promjenueksternog opterećenja explicitna integracija CDM implicitna integracija Newmark)1048707 Slučajni odziv (stohastički princip odziv na slučajnu dinamičku pobudu npr zemljotres)

27-Prednosti MKE u dinamici1048707 visoka tačnost određivanja EV1048707 efikasno numeričko modeliranje1048707 mogućnost modeliranja kompleksnih oblika konstrukcije1048707 modeliranje složenih materijala i opterećenja

28-Greške u primjeni MKE u dinamici1048707 greške uslijed vremenske i prostorne diskretizacije1048707 greške aproksimacije uslijed diskretnih interpolacijskih f-ja1048707 greška primjene koncentrisane mase u odnosu na konzistentnu1048707 greške implementacije u softveru

29-Osnovni koraci dinamičke MKE analize1048707 definisanje (modeliranje) domene1048707 Izbor elementa1048707 unos materijalnih k-ka1048707 Diskretizacija domene1048707 Izbor tipa dinamičke analize1048707 Formiranje matrica elemenata (Me Ce Ke)1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica M C K1048707 Uvođenje BC1048707 Izbor izlaznih veličina1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

30-Osnovni solveri CDM Newmark ODNOS EKSPLICITNE i IMPLICITNE METODE1048707 Vrijeme potrebno za analizu kod eksplicitne analize raste linearno sa povećanjem broja DOF Kod implicitne analize porast vremena sa povećanjem DOF je izrazitiji Stoga je eksplicitna analiza pogodnija za probleme sa većim brojem DOF1048707 Eksplicitni metod je efikasniji kod sudarnihudarnih aplikacija tj Kod kontaktnih problema kao i kod problema propagacije talasa1048707 Implicitna metoda je stabilnija i efikasnija u analizama pri umjerenom broju DOF i umjerenim brzinama promjene opterećenja

11

13-Oblasti primjena MKE 1048707 Analizi čvrstoće napona deformacija

1048707 Analizi strujnih procesa u mehanici fluida

1048707 Simuliranje obradnih procesa

1048707 Problemi prenosa toplote distribucije temperature

1048707 Elektromagnetika

1048707 Dinamika konstrukcija i mašina

1048707 Akustika

1048707 Mehanika tla i stijena (geomehanika)

1048707 Multi-fizičke simulacije

14-Prednosti u odnosu na ostale numeričke metode 1048707 Složena geometrija proizvoljni oblik domene 1048707 Složeni granični uslovi (opterećenja i oslonci) 1048707 Složene (nelinearne) konstitutivne relacije 1048707 Kombinovanje različitih elemenata i materijala 1048707 Visoka tačnost

15-Aproksimacija funkcije rješenja ODJ Neka je data funkcija y = f(x) Pretpostavimo da je iz nekog razloga datu funkciju potrebno aproksimirati drugom njoj približnom funkcijom na datom intervalu =(ab) ZamjenskuΩ funkciju prikažimo kao linearnu kombinaciju nekoliko (n) funkcija

pri čemu su ci nepoznati koeficijenti a φi(x) proizvoljno uzete (poznate) linearno nezavisne funkcije

6

16-Metod minimuma kvadrata greške veličina greške uslijed aproksimacije data je funkcijom greške

Kao osnova optimizacije postavlja se uslov da se odrede koeficijenti ci i=12n na takav način da ukupna greška na intervalu (ab) bude minimalno moguća Budući da funkcija greške može mijenjati znak na intervalu prosta suma (integral na intervalu) može imati malu vrijednost ili čak vrijednost bdquo0ldquo i u slučajevima kada na čitavom intervalu imamo velike vrijednosti greške Stoga se za mjeru veličine greške usvaja integral kvadrata funkcije greške i traže se koeficijenti ci i=12n takvi da osiguravaju minimalnu vrijednost prethodnog integrala Posljednja jednakost nakon integracije daje sistem od bdquonldquo jednačina iz kojeg se može odrediti bdquonldquo nepoznatih koeficijenata ci

17-Reyleigh-Ritz RR metod za rješavanje ODJ 1048707 Odredi funkcional F čija ekstremizacija pomoću Euler-ove jednačine daje originalnu ODJ 1048707 Pretpostavi funkciju y(x) (rješenje) u formi

1048707 Zamijeni aproksimativno rješenje u funkcional i formiraj sistem jednačina 1048707 Riješi prethodni sistem algebarskih jednačina po ci i=12n

18-MKE modeliranje Osnovni oblici elemenata 1048707 Kontinuum ndashelementi 1048707 Strukturni elementi

Automatski mesh-genaratori1048707 Regularna mreža1048707 Neregularna mreža

7

Opšta shema modeliranja

19-Osnovni koraci linearne MKE analize1048707 Izbor elementa1048707 Diskretizacija domene1048707 Formiranje matrica elemenata1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica1048707 Uvođenje BC1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

20-Vodeći komercijalni FEM programiAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor ALTAIR HyperMESH Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP FEAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA) PATRAN (pre i post processor) SAP

21-Načini prenosa toplote

1048707 Kondukcija provođenje toplote u solidu ndash čvstom tijelu

1048707 Konvekcija prirodna prisilna zadaje se za spoljne površine čvrsto tijelo ograničeno fluidom

1048707 Radijacija8

22-MKE numerička procedura1048707 Formulisanje problema (jednačine) u integralnom obliku (strong-weak form)1048707 Parcijalna integracija (1D) ili korištenje Gaussove teoreme (2D i 3D)1048707 Aproksimacija temperaturnog polja diskretnim funkcijama1048707 Numerička integracija po pojedinačnim elementima (diskretizacija domene) zaizračunavanje elementne matrice toplotne vodljivosti i vektora toplotnog fluksa1048707 Slaganje globalne (sistemske) matrice toplotne vodljivosti1048707 Primjena graničnih uslova (zadata temperature ili fluksevi )1048707 Rješenje globalnog sistema L J ndash SOLVER ndash primarno rješenje KT=F1048707 Izračunavanje toplotnog fluksa (post-procesiranje) ndash izvedena rješenja

23-DINAMIČKA ANALIZA pomoću MKE

Osnovni cilj Analiza ponašanja konstrukcije (komponente mašine sistema) izložene dejstvu dinamičkog (vremenski promjenjivog) opterećenja

Statičko opterećenje1048707 konstantan intenzitet tokom vremena bez pojave inercijalnih sila1048707 male iili spore promjene intenziteta i zanemarljivo male inercijalne sile1048707 promjene intenziteta iili inercijalne sile koje ne ugrožavaju nosivost stabilnost iupotrebljivost elementa ili konstrukcije

Dinamičko opterećenje1048707 velike iili brze promjene intenziteta1048707 velike inercijalne sile1048707 periodično promjenljiva opterećenja(harmonijska i neharmonijska)1048707 udarna opterećenja (velika brzina nanošenja i kraće ili duže trajanje)1048707 aperiodična opterećenja (složena frekventna karakteristika)

Rješenje statičkog problema ndash samo jedna konfiguracija (deformisani položaj)Rješenje dinamičkog problema ndash funkcija promjene položaja u vremenu za sve tačke

Izvori dinamičkog opterećenja1048707 Vibracije u radnom ciklusu impulsi udari eksplozijezemljotresi

Vrste dinamičkog opterećenja1048707 stohastičko (slučajno)1048707 determinističko (poznato)1048707 periodično ne-periodično1048707 kontinualno tranzijentno

Stohastičko dinamičko opterećenje zemljotres vjetar saobraćaj transport talasi

9

24-OSCILACIJE Slobodne oscilacije

Prigušene oscilacije

Prisilne oscilacije ndash REZONANCA

25-Komercijalni FEM programi za dinamičku analizuAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA)

10

26-VRSTE DINAMIČKE ANALIZE1048707 Modalna (analiza sopstvenih frekvencija i modalnih oblika linearna bez prigušenja)1048707 Harmonijska analiza (stacionarni odziv na harmoničku pobudu Vrši se za niz frekvencija i prikazuje u obliku grafa pomak-frekvencija )1048707 Tranzijentna analiza (analizira odziv konstrukcije na poznatu vremensku promjenueksternog opterećenja explicitna integracija CDM implicitna integracija Newmark)1048707 Slučajni odziv (stohastički princip odziv na slučajnu dinamičku pobudu npr zemljotres)

27-Prednosti MKE u dinamici1048707 visoka tačnost određivanja EV1048707 efikasno numeričko modeliranje1048707 mogućnost modeliranja kompleksnih oblika konstrukcije1048707 modeliranje složenih materijala i opterećenja

28-Greške u primjeni MKE u dinamici1048707 greške uslijed vremenske i prostorne diskretizacije1048707 greške aproksimacije uslijed diskretnih interpolacijskih f-ja1048707 greška primjene koncentrisane mase u odnosu na konzistentnu1048707 greške implementacije u softveru

29-Osnovni koraci dinamičke MKE analize1048707 definisanje (modeliranje) domene1048707 Izbor elementa1048707 unos materijalnih k-ka1048707 Diskretizacija domene1048707 Izbor tipa dinamičke analize1048707 Formiranje matrica elemenata (Me Ce Ke)1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica M C K1048707 Uvođenje BC1048707 Izbor izlaznih veličina1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

30-Osnovni solveri CDM Newmark ODNOS EKSPLICITNE i IMPLICITNE METODE1048707 Vrijeme potrebno za analizu kod eksplicitne analize raste linearno sa povećanjem broja DOF Kod implicitne analize porast vremena sa povećanjem DOF je izrazitiji Stoga je eksplicitna analiza pogodnija za probleme sa većim brojem DOF1048707 Eksplicitni metod je efikasniji kod sudarnihudarnih aplikacija tj Kod kontaktnih problema kao i kod problema propagacije talasa1048707 Implicitna metoda je stabilnija i efikasnija u analizama pri umjerenom broju DOF i umjerenim brzinama promjene opterećenja

11

16-Metod minimuma kvadrata greške veličina greške uslijed aproksimacije data je funkcijom greške

Kao osnova optimizacije postavlja se uslov da se odrede koeficijenti ci i=12n na takav način da ukupna greška na intervalu (ab) bude minimalno moguća Budući da funkcija greške može mijenjati znak na intervalu prosta suma (integral na intervalu) može imati malu vrijednost ili čak vrijednost bdquo0ldquo i u slučajevima kada na čitavom intervalu imamo velike vrijednosti greške Stoga se za mjeru veličine greške usvaja integral kvadrata funkcije greške i traže se koeficijenti ci i=12n takvi da osiguravaju minimalnu vrijednost prethodnog integrala Posljednja jednakost nakon integracije daje sistem od bdquonldquo jednačina iz kojeg se može odrediti bdquonldquo nepoznatih koeficijenata ci

17-Reyleigh-Ritz RR metod za rješavanje ODJ 1048707 Odredi funkcional F čija ekstremizacija pomoću Euler-ove jednačine daje originalnu ODJ 1048707 Pretpostavi funkciju y(x) (rješenje) u formi

1048707 Zamijeni aproksimativno rješenje u funkcional i formiraj sistem jednačina 1048707 Riješi prethodni sistem algebarskih jednačina po ci i=12n

18-MKE modeliranje Osnovni oblici elemenata 1048707 Kontinuum ndashelementi 1048707 Strukturni elementi

Automatski mesh-genaratori1048707 Regularna mreža1048707 Neregularna mreža

7

Opšta shema modeliranja

19-Osnovni koraci linearne MKE analize1048707 Izbor elementa1048707 Diskretizacija domene1048707 Formiranje matrica elemenata1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica1048707 Uvođenje BC1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

20-Vodeći komercijalni FEM programiAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor ALTAIR HyperMESH Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP FEAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA) PATRAN (pre i post processor) SAP

21-Načini prenosa toplote

1048707 Kondukcija provođenje toplote u solidu ndash čvstom tijelu

1048707 Konvekcija prirodna prisilna zadaje se za spoljne površine čvrsto tijelo ograničeno fluidom

1048707 Radijacija8

22-MKE numerička procedura1048707 Formulisanje problema (jednačine) u integralnom obliku (strong-weak form)1048707 Parcijalna integracija (1D) ili korištenje Gaussove teoreme (2D i 3D)1048707 Aproksimacija temperaturnog polja diskretnim funkcijama1048707 Numerička integracija po pojedinačnim elementima (diskretizacija domene) zaizračunavanje elementne matrice toplotne vodljivosti i vektora toplotnog fluksa1048707 Slaganje globalne (sistemske) matrice toplotne vodljivosti1048707 Primjena graničnih uslova (zadata temperature ili fluksevi )1048707 Rješenje globalnog sistema L J ndash SOLVER ndash primarno rješenje KT=F1048707 Izračunavanje toplotnog fluksa (post-procesiranje) ndash izvedena rješenja

23-DINAMIČKA ANALIZA pomoću MKE

Osnovni cilj Analiza ponašanja konstrukcije (komponente mašine sistema) izložene dejstvu dinamičkog (vremenski promjenjivog) opterećenja

Statičko opterećenje1048707 konstantan intenzitet tokom vremena bez pojave inercijalnih sila1048707 male iili spore promjene intenziteta i zanemarljivo male inercijalne sile1048707 promjene intenziteta iili inercijalne sile koje ne ugrožavaju nosivost stabilnost iupotrebljivost elementa ili konstrukcije

Dinamičko opterećenje1048707 velike iili brze promjene intenziteta1048707 velike inercijalne sile1048707 periodično promjenljiva opterećenja(harmonijska i neharmonijska)1048707 udarna opterećenja (velika brzina nanošenja i kraće ili duže trajanje)1048707 aperiodična opterećenja (složena frekventna karakteristika)

Rješenje statičkog problema ndash samo jedna konfiguracija (deformisani položaj)Rješenje dinamičkog problema ndash funkcija promjene položaja u vremenu za sve tačke

Izvori dinamičkog opterećenja1048707 Vibracije u radnom ciklusu impulsi udari eksplozijezemljotresi

Vrste dinamičkog opterećenja1048707 stohastičko (slučajno)1048707 determinističko (poznato)1048707 periodično ne-periodično1048707 kontinualno tranzijentno

Stohastičko dinamičko opterećenje zemljotres vjetar saobraćaj transport talasi

9

24-OSCILACIJE Slobodne oscilacije

Prigušene oscilacije

Prisilne oscilacije ndash REZONANCA

25-Komercijalni FEM programi za dinamičku analizuAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA)

10

26-VRSTE DINAMIČKE ANALIZE1048707 Modalna (analiza sopstvenih frekvencija i modalnih oblika linearna bez prigušenja)1048707 Harmonijska analiza (stacionarni odziv na harmoničku pobudu Vrši se za niz frekvencija i prikazuje u obliku grafa pomak-frekvencija )1048707 Tranzijentna analiza (analizira odziv konstrukcije na poznatu vremensku promjenueksternog opterećenja explicitna integracija CDM implicitna integracija Newmark)1048707 Slučajni odziv (stohastički princip odziv na slučajnu dinamičku pobudu npr zemljotres)

27-Prednosti MKE u dinamici1048707 visoka tačnost određivanja EV1048707 efikasno numeričko modeliranje1048707 mogućnost modeliranja kompleksnih oblika konstrukcije1048707 modeliranje složenih materijala i opterećenja

28-Greške u primjeni MKE u dinamici1048707 greške uslijed vremenske i prostorne diskretizacije1048707 greške aproksimacije uslijed diskretnih interpolacijskih f-ja1048707 greška primjene koncentrisane mase u odnosu na konzistentnu1048707 greške implementacije u softveru

29-Osnovni koraci dinamičke MKE analize1048707 definisanje (modeliranje) domene1048707 Izbor elementa1048707 unos materijalnih k-ka1048707 Diskretizacija domene1048707 Izbor tipa dinamičke analize1048707 Formiranje matrica elemenata (Me Ce Ke)1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica M C K1048707 Uvođenje BC1048707 Izbor izlaznih veličina1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

30-Osnovni solveri CDM Newmark ODNOS EKSPLICITNE i IMPLICITNE METODE1048707 Vrijeme potrebno za analizu kod eksplicitne analize raste linearno sa povećanjem broja DOF Kod implicitne analize porast vremena sa povećanjem DOF je izrazitiji Stoga je eksplicitna analiza pogodnija za probleme sa većim brojem DOF1048707 Eksplicitni metod je efikasniji kod sudarnihudarnih aplikacija tj Kod kontaktnih problema kao i kod problema propagacije talasa1048707 Implicitna metoda je stabilnija i efikasnija u analizama pri umjerenom broju DOF i umjerenim brzinama promjene opterećenja

11

Opšta shema modeliranja

19-Osnovni koraci linearne MKE analize1048707 Izbor elementa1048707 Diskretizacija domene1048707 Formiranje matrica elemenata1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica1048707 Uvođenje BC1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

20-Vodeći komercijalni FEM programiAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor ALTAIR HyperMESH Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP FEAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA) PATRAN (pre i post processor) SAP

21-Načini prenosa toplote

1048707 Kondukcija provođenje toplote u solidu ndash čvstom tijelu

1048707 Konvekcija prirodna prisilna zadaje se za spoljne površine čvrsto tijelo ograničeno fluidom

1048707 Radijacija8

22-MKE numerička procedura1048707 Formulisanje problema (jednačine) u integralnom obliku (strong-weak form)1048707 Parcijalna integracija (1D) ili korištenje Gaussove teoreme (2D i 3D)1048707 Aproksimacija temperaturnog polja diskretnim funkcijama1048707 Numerička integracija po pojedinačnim elementima (diskretizacija domene) zaizračunavanje elementne matrice toplotne vodljivosti i vektora toplotnog fluksa1048707 Slaganje globalne (sistemske) matrice toplotne vodljivosti1048707 Primjena graničnih uslova (zadata temperature ili fluksevi )1048707 Rješenje globalnog sistema L J ndash SOLVER ndash primarno rješenje KT=F1048707 Izračunavanje toplotnog fluksa (post-procesiranje) ndash izvedena rješenja

23-DINAMIČKA ANALIZA pomoću MKE

Osnovni cilj Analiza ponašanja konstrukcije (komponente mašine sistema) izložene dejstvu dinamičkog (vremenski promjenjivog) opterećenja

Statičko opterećenje1048707 konstantan intenzitet tokom vremena bez pojave inercijalnih sila1048707 male iili spore promjene intenziteta i zanemarljivo male inercijalne sile1048707 promjene intenziteta iili inercijalne sile koje ne ugrožavaju nosivost stabilnost iupotrebljivost elementa ili konstrukcije

Dinamičko opterećenje1048707 velike iili brze promjene intenziteta1048707 velike inercijalne sile1048707 periodično promjenljiva opterećenja(harmonijska i neharmonijska)1048707 udarna opterećenja (velika brzina nanošenja i kraće ili duže trajanje)1048707 aperiodična opterećenja (složena frekventna karakteristika)

Rješenje statičkog problema ndash samo jedna konfiguracija (deformisani položaj)Rješenje dinamičkog problema ndash funkcija promjene položaja u vremenu za sve tačke

Izvori dinamičkog opterećenja1048707 Vibracije u radnom ciklusu impulsi udari eksplozijezemljotresi

Vrste dinamičkog opterećenja1048707 stohastičko (slučajno)1048707 determinističko (poznato)1048707 periodično ne-periodično1048707 kontinualno tranzijentno

Stohastičko dinamičko opterećenje zemljotres vjetar saobraćaj transport talasi

9

24-OSCILACIJE Slobodne oscilacije

Prigušene oscilacije

Prisilne oscilacije ndash REZONANCA

25-Komercijalni FEM programi za dinamičku analizuAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA)

10

26-VRSTE DINAMIČKE ANALIZE1048707 Modalna (analiza sopstvenih frekvencija i modalnih oblika linearna bez prigušenja)1048707 Harmonijska analiza (stacionarni odziv na harmoničku pobudu Vrši se za niz frekvencija i prikazuje u obliku grafa pomak-frekvencija )1048707 Tranzijentna analiza (analizira odziv konstrukcije na poznatu vremensku promjenueksternog opterećenja explicitna integracija CDM implicitna integracija Newmark)1048707 Slučajni odziv (stohastički princip odziv na slučajnu dinamičku pobudu npr zemljotres)

27-Prednosti MKE u dinamici1048707 visoka tačnost određivanja EV1048707 efikasno numeričko modeliranje1048707 mogućnost modeliranja kompleksnih oblika konstrukcije1048707 modeliranje složenih materijala i opterećenja

28-Greške u primjeni MKE u dinamici1048707 greške uslijed vremenske i prostorne diskretizacije1048707 greške aproksimacije uslijed diskretnih interpolacijskih f-ja1048707 greška primjene koncentrisane mase u odnosu na konzistentnu1048707 greške implementacije u softveru

29-Osnovni koraci dinamičke MKE analize1048707 definisanje (modeliranje) domene1048707 Izbor elementa1048707 unos materijalnih k-ka1048707 Diskretizacija domene1048707 Izbor tipa dinamičke analize1048707 Formiranje matrica elemenata (Me Ce Ke)1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica M C K1048707 Uvođenje BC1048707 Izbor izlaznih veličina1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

30-Osnovni solveri CDM Newmark ODNOS EKSPLICITNE i IMPLICITNE METODE1048707 Vrijeme potrebno za analizu kod eksplicitne analize raste linearno sa povećanjem broja DOF Kod implicitne analize porast vremena sa povećanjem DOF je izrazitiji Stoga je eksplicitna analiza pogodnija za probleme sa većim brojem DOF1048707 Eksplicitni metod je efikasniji kod sudarnihudarnih aplikacija tj Kod kontaktnih problema kao i kod problema propagacije talasa1048707 Implicitna metoda je stabilnija i efikasnija u analizama pri umjerenom broju DOF i umjerenim brzinama promjene opterećenja

11

22-MKE numerička procedura1048707 Formulisanje problema (jednačine) u integralnom obliku (strong-weak form)1048707 Parcijalna integracija (1D) ili korištenje Gaussove teoreme (2D i 3D)1048707 Aproksimacija temperaturnog polja diskretnim funkcijama1048707 Numerička integracija po pojedinačnim elementima (diskretizacija domene) zaizračunavanje elementne matrice toplotne vodljivosti i vektora toplotnog fluksa1048707 Slaganje globalne (sistemske) matrice toplotne vodljivosti1048707 Primjena graničnih uslova (zadata temperature ili fluksevi )1048707 Rješenje globalnog sistema L J ndash SOLVER ndash primarno rješenje KT=F1048707 Izračunavanje toplotnog fluksa (post-procesiranje) ndash izvedena rješenja

23-DINAMIČKA ANALIZA pomoću MKE

Osnovni cilj Analiza ponašanja konstrukcije (komponente mašine sistema) izložene dejstvu dinamičkog (vremenski promjenjivog) opterećenja

Statičko opterećenje1048707 konstantan intenzitet tokom vremena bez pojave inercijalnih sila1048707 male iili spore promjene intenziteta i zanemarljivo male inercijalne sile1048707 promjene intenziteta iili inercijalne sile koje ne ugrožavaju nosivost stabilnost iupotrebljivost elementa ili konstrukcije

Dinamičko opterećenje1048707 velike iili brze promjene intenziteta1048707 velike inercijalne sile1048707 periodično promjenljiva opterećenja(harmonijska i neharmonijska)1048707 udarna opterećenja (velika brzina nanošenja i kraće ili duže trajanje)1048707 aperiodična opterećenja (složena frekventna karakteristika)

Rješenje statičkog problema ndash samo jedna konfiguracija (deformisani položaj)Rješenje dinamičkog problema ndash funkcija promjene položaja u vremenu za sve tačke

Izvori dinamičkog opterećenja1048707 Vibracije u radnom ciklusu impulsi udari eksplozijezemljotresi

Vrste dinamičkog opterećenja1048707 stohastičko (slučajno)1048707 determinističko (poznato)1048707 periodično ne-periodično1048707 kontinualno tranzijentno

Stohastičko dinamičko opterećenje zemljotres vjetar saobraćaj transport talasi

9

24-OSCILACIJE Slobodne oscilacije

Prigušene oscilacije

Prisilne oscilacije ndash REZONANCA

25-Komercijalni FEM programi za dinamičku analizuAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA)

10

26-VRSTE DINAMIČKE ANALIZE1048707 Modalna (analiza sopstvenih frekvencija i modalnih oblika linearna bez prigušenja)1048707 Harmonijska analiza (stacionarni odziv na harmoničku pobudu Vrši se za niz frekvencija i prikazuje u obliku grafa pomak-frekvencija )1048707 Tranzijentna analiza (analizira odziv konstrukcije na poznatu vremensku promjenueksternog opterećenja explicitna integracija CDM implicitna integracija Newmark)1048707 Slučajni odziv (stohastički princip odziv na slučajnu dinamičku pobudu npr zemljotres)

27-Prednosti MKE u dinamici1048707 visoka tačnost određivanja EV1048707 efikasno numeričko modeliranje1048707 mogućnost modeliranja kompleksnih oblika konstrukcije1048707 modeliranje složenih materijala i opterećenja

28-Greške u primjeni MKE u dinamici1048707 greške uslijed vremenske i prostorne diskretizacije1048707 greške aproksimacije uslijed diskretnih interpolacijskih f-ja1048707 greška primjene koncentrisane mase u odnosu na konzistentnu1048707 greške implementacije u softveru

29-Osnovni koraci dinamičke MKE analize1048707 definisanje (modeliranje) domene1048707 Izbor elementa1048707 unos materijalnih k-ka1048707 Diskretizacija domene1048707 Izbor tipa dinamičke analize1048707 Formiranje matrica elemenata (Me Ce Ke)1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica M C K1048707 Uvođenje BC1048707 Izbor izlaznih veličina1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

30-Osnovni solveri CDM Newmark ODNOS EKSPLICITNE i IMPLICITNE METODE1048707 Vrijeme potrebno za analizu kod eksplicitne analize raste linearno sa povećanjem broja DOF Kod implicitne analize porast vremena sa povećanjem DOF je izrazitiji Stoga je eksplicitna analiza pogodnija za probleme sa većim brojem DOF1048707 Eksplicitni metod je efikasniji kod sudarnihudarnih aplikacija tj Kod kontaktnih problema kao i kod problema propagacije talasa1048707 Implicitna metoda je stabilnija i efikasnija u analizama pri umjerenom broju DOF i umjerenim brzinama promjene opterećenja

11

24-OSCILACIJE Slobodne oscilacije

Prigušene oscilacije

Prisilne oscilacije ndash REZONANCA

25-Komercijalni FEM programi za dinamičku analizuAbaqus Adina (KJ Bathe MIT) Algor Ansys Cosmos (SolidWorks) FEMAP IDEAS LS-Dyna Lusas Marc Nastran (NASA)

10

26-VRSTE DINAMIČKE ANALIZE1048707 Modalna (analiza sopstvenih frekvencija i modalnih oblika linearna bez prigušenja)1048707 Harmonijska analiza (stacionarni odziv na harmoničku pobudu Vrši se za niz frekvencija i prikazuje u obliku grafa pomak-frekvencija )1048707 Tranzijentna analiza (analizira odziv konstrukcije na poznatu vremensku promjenueksternog opterećenja explicitna integracija CDM implicitna integracija Newmark)1048707 Slučajni odziv (stohastički princip odziv na slučajnu dinamičku pobudu npr zemljotres)

27-Prednosti MKE u dinamici1048707 visoka tačnost određivanja EV1048707 efikasno numeričko modeliranje1048707 mogućnost modeliranja kompleksnih oblika konstrukcije1048707 modeliranje složenih materijala i opterećenja

28-Greške u primjeni MKE u dinamici1048707 greške uslijed vremenske i prostorne diskretizacije1048707 greške aproksimacije uslijed diskretnih interpolacijskih f-ja1048707 greška primjene koncentrisane mase u odnosu na konzistentnu1048707 greške implementacije u softveru

29-Osnovni koraci dinamičke MKE analize1048707 definisanje (modeliranje) domene1048707 Izbor elementa1048707 unos materijalnih k-ka1048707 Diskretizacija domene1048707 Izbor tipa dinamičke analize1048707 Formiranje matrica elemenata (Me Ce Ke)1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica M C K1048707 Uvođenje BC1048707 Izbor izlaznih veličina1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

30-Osnovni solveri CDM Newmark ODNOS EKSPLICITNE i IMPLICITNE METODE1048707 Vrijeme potrebno za analizu kod eksplicitne analize raste linearno sa povećanjem broja DOF Kod implicitne analize porast vremena sa povećanjem DOF je izrazitiji Stoga je eksplicitna analiza pogodnija za probleme sa većim brojem DOF1048707 Eksplicitni metod je efikasniji kod sudarnihudarnih aplikacija tj Kod kontaktnih problema kao i kod problema propagacije talasa1048707 Implicitna metoda je stabilnija i efikasnija u analizama pri umjerenom broju DOF i umjerenim brzinama promjene opterećenja

11

26-VRSTE DINAMIČKE ANALIZE1048707 Modalna (analiza sopstvenih frekvencija i modalnih oblika linearna bez prigušenja)1048707 Harmonijska analiza (stacionarni odziv na harmoničku pobudu Vrši se za niz frekvencija i prikazuje u obliku grafa pomak-frekvencija )1048707 Tranzijentna analiza (analizira odziv konstrukcije na poznatu vremensku promjenueksternog opterećenja explicitna integracija CDM implicitna integracija Newmark)1048707 Slučajni odziv (stohastički princip odziv na slučajnu dinamičku pobudu npr zemljotres)

27-Prednosti MKE u dinamici1048707 visoka tačnost određivanja EV1048707 efikasno numeričko modeliranje1048707 mogućnost modeliranja kompleksnih oblika konstrukcije1048707 modeliranje složenih materijala i opterećenja

28-Greške u primjeni MKE u dinamici1048707 greške uslijed vremenske i prostorne diskretizacije1048707 greške aproksimacije uslijed diskretnih interpolacijskih f-ja1048707 greška primjene koncentrisane mase u odnosu na konzistentnu1048707 greške implementacije u softveru

29-Osnovni koraci dinamičke MKE analize1048707 definisanje (modeliranje) domene1048707 Izbor elementa1048707 unos materijalnih k-ka1048707 Diskretizacija domene1048707 Izbor tipa dinamičke analize1048707 Formiranje matrica elemenata (Me Ce Ke)1048707 Formiranje (sastavljenje slaganje) sistemskih matrica M C K1048707 Uvođenje BC1048707 Izbor izlaznih veličina1048707 Rješavanje sistema L J ndash SOLVER1048707 Postprocesiranje rezultata1048707 Analiza rezultata

30-Osnovni solveri CDM Newmark ODNOS EKSPLICITNE i IMPLICITNE METODE1048707 Vrijeme potrebno za analizu kod eksplicitne analize raste linearno sa povećanjem broja DOF Kod implicitne analize porast vremena sa povećanjem DOF je izrazitiji Stoga je eksplicitna analiza pogodnija za probleme sa većim brojem DOF1048707 Eksplicitni metod je efikasniji kod sudarnihudarnih aplikacija tj Kod kontaktnih problema kao i kod problema propagacije talasa1048707 Implicitna metoda je stabilnija i efikasnija u analizama pri umjerenom broju DOF i umjerenim brzinama promjene opterećenja

11