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CPGE / Sciences Industrielles pour l’Ingénieur(e) DS de 2h30 : DS3 de SII.doc- Page 1 sur 20 Créé le 10/12/2015 – M Salette- Lycée Brizeux- Quimper DS DE SII Cylindre sur plateau mobile Au bâti 0 est attaché le repère galiléen R g (O, g g g z y x , , ). Le champ de pesanteur est donné par : g y g g . - = avec g > 0 Un plateau mobile 1, est liée au bâti par une liaison glissière parfaite d'axe (O, g x ). On lui attache le repère R 1 (A, g g g z y x , , ). et on pose g x x OA . = Un cylindre homogène 2, de rayon R, de longueur a, de masse m et de centre d'inertie G est posé sur le plateau. Le contact s'effectue au point B. On lui attache le repère R 2 (G, g z y x , , 2 2 ). On pose: g g y R x OG . . + = λ α = ( 2 , x x g ) Le coefficient de frottement au contact en B est noté f. Le problème est supposé plan. A l'instant t = 0, le plateau et le cylindre sont immobiles et α = 0. Le plateau 1 est soumis à une accélération constante : k x = & & (k constante positive) 1- Déterminer les torseurs cinématiques des mouvements des solides 1 et 2 par rapport à R g . 2- Caractériser les torseurs des actions mécaniques exercées sur 2. 3- Ecrire le torseur cinétique, puis le torseur dynamique de 2 par rapport à 0 exprimé en G Exprimer ensuite le torseur dynamique de 2 par rapport à 0 en B 4- Appliquer le théorème du moment dynamique en B au solide 2 dans son mouvement par rapport à 0 , en projection sur g z . Expliquez pourquoi on utilise cette relation Intégrer l’équation obtenue en prenant en compte les conditions initiales données dans l’énoncé 5- Dans le cas du roulement sans glissement, déterminer le mouvement du rouleau. Préciser quelle est la condition nécessaire pour qu’il y ait roulement sans glissement 6- Dans le cas du glissement, déterminer le mouvement du rouleau. Exprimer dans ce cas la vitesse de glissement g y O g x 2 x 1 2 G y B A α G G x 2 y

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CPGE / Sciences Industrielles pour l’Ingénieur(e) DS de 2h30

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DS DE SII

Cylindre sur plateau mobile Au bâti 0 est attaché le repère galiléen Rg (O,

ggg zyx ,, ).

Le champ de pesanteur est donné par :

gygg .−= avec g > 0

Un plateau mobile 1, est liée au bâti par une liaison glissière parfaite d'axe (O, gx ). On lui attache le

repère R1 (A, ggg zyx ,, ). et on pose

gxxOA .=

Un cylindre homogène 2, de rayon R, de longueur a, de masse m et de centre d'inertie G est posé sur

le plateau. Le contact s'effectue au point B. On lui attache le repère R2 (G, gzyx ,, 22

).

On pose:

gg yRxOG .. += λ α = (2, xxg)

Le coefficient de frottement au contact en B est noté f. Le problème est supposé plan. A l'instant t = 0, le plateau et le cylindre sont immobiles et α = 0. Le plateau 1 est soumis à une accélération constante : kx =&& (k constante positive)

1- Déterminer les torseurs cinématiques des mouvements des solides 1 et 2 par rapport à Rg. 2- Caractériser les torseurs des actions mécaniques exercées sur 2.

3- Ecrire le torseur cinétique, puis le torseur dynamique de 2 par rapport à 0 exprimé en G Exprimer ensuite le torseur dynamique de 2 par rapport à 0 en B

4- Appliquer le théorème du moment dynamique en B au solide 2 dans son mouvement par

rapport à 0 , en projection sur gz . Expliquez pourquoi on utilise cette relation

Intégrer l’équation obtenue en prenant en compte les conditions initiales données dans l’énoncé

5- Dans le cas du roulement sans glissement, déterminer le mouvement du rouleau. Préciser quelle est la condition nécessaire pour qu’il y ait roulement sans glissement

6- Dans le cas du glissement, déterminer le mouvement du rouleau. Exprimer dans ce cas la vitesse de glissement

gy

O gx

2x

1

2

Gy

B A

αααα G

Gx

2y

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DIMENSIONNEMENT DE MOTEUR

Objectif : choix d’un ensemble moto-variateur et de sa configuration pour respecter le cahier des charges.

La chaîne d’énergie nécessaire au choix de l’ensemble moto-variateur est présentée figure 2 .

Alimentation

autonomeVariateur

Moteur

asynchrone triphaséRéducteur

S = 1,5 KVA U/f constant Couple : Cm

Non réversible.

Rapport de réduction :

r=58,6

U = 230 V ; 50 Hz type ATV31

Vitesse de rotation : ωm

Glissement nominal : gn

Rendement : η = 0,74

Puissance dissipée :

Pd= (1-η)Pmoteur

MonophaséInertie arbre moteur :

Jm = 1,3.10-3

kg.m2

Inertie du reducteur ramené

sur l 'arbre de sortie :

Jred = 1,8.10-3

kg.m2

Tambour Câble enroulé Câble déroulé sonde

Longueur câble déroulé:

LcInertie tambour :

Jt = 1,37 kg.m2

Vitesse de rotation ωr

Densité de l 'acier :

ρt = 7 800 kg.m-3

Inertie câble enroulé

sur tambour : Jc

Diamêtre

d'enroulement : d

Masse : Ms = 5,6 kgMasse l inéïque :

ρl = 0,368 kg.m-1

Calcul du couple et de la puissance moteur

(Déplacement de 50 cm) Hypothèses :

• diamètre d’enroulement du câble constant et égal à 0,4 m pour toute cette partie du sujet ; • liaisons parfaites.

A l’aide du théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système qui sera clairement identifié, déterminer l’équation faisant intervenir le couple moteur nécessaire à la remontée de la sonde.

Mettre la relation sous la forme : reqmm CC

dt

dJeq −= .. ηω

Avec Jeq l’inertie équivalente ramenée sur l’axe moteur et Creq le couple résistant équivalent ramené sur l’axe moteur. Jeq sera exprimé en fonction de Jm, Jred, Jt, Jc, Lc ,Ms, ρl, r, d. Creq sera exprimé en fonction de Lc, Ms, ρl, r, d, g et des données numériques nécessaires. g est l’accélération de la pesanteur (g = 9,81 m/s²).

Figure 3

Figure 1

Figure 2 : chaîne d’énergie

Figure 4 : géométrie du tambour

Vitesse du câble en m/s

Vmax = 0,5 m/s

Temps en s0 s 0,5 s 1 s 1,5 s

Cycle de déplacement entre deux positions de mesure

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TRAIN D'ATTERRISSAGE D'HÉLICOPTÈRE

Parmi les hélicoptères lourds de dernière génération, le NH90 (NATO Helicopter) est un hélicoptère biturbine européen de transport militaire de la classe des 10 tonnes conçu entre la France, l'Allemagne, l'Italie et les Pays Bas, rejoints par le Portugal en juin 2001 et la Belgique en 2006. Le NH90 se décline en 2 versions : TTH (transport tactique) et NFH (lutte anti-surface et anti-sous-marine). Les quatre groupes industriels, Agusta- Westland (Italie), Eurocopter (France), Eurocopter Deutschland et Fokker-Stork (Pays-Bas) ont constitué une coentreprise sous le nom de NHIndustries.

Figure 1 - NH90 NFH (© : MARINE NATIONALE

Le NH90 est propulsé par 2 turbines Turbomeca Rolls-Royce RTM 322-01/9. Ses dimensions sont précisées par la figure 2 ci-contre et ses principales caractéristiques sont les suivantes :

Puissance moteur décollage/continue 1566/877 kW Masse à vide/en charge 6400/10600 kg Autonomie 5 h 30 min Vitesse croisière/maximale 260/295 km/h

La charge utile de 4200kg permet, par exemple, le transport d'une vingtaine d'hommes en plus de l'équipage réduit à une, deux ou trois personnes suivant les versions.

Sa version de soutien aux troupes au sol est principalement conçue pour assurer:

• le transport de troupes et/ou de matériel, • la recherche et le sauvetage, • les évacuations sanitaires.

DESCRIPTION STRUCTURELLE DU TRAIN D'ATTERRISSAGE

La solution apportée par Fokker-Stork, au besoin exprimé, est fondée sur un train à roues munies d'amortisseurs. En effet les atterrisseurs à patins munis de dispositifs amortisseurs ne sont pas adaptés à des appareils qui dépassent les 4 tonnes et des vitesses d'impact supérieures à environ 1,4 m/s.

Le train principal constitué de deux roues simples est installé dans le fuselage central et le train auxiliaire constitué de deux roues jumelées de direction dans la partie avant du fuselage (figure 3). Des caissons permettent d'escamoter les trains d'atterrissage lors du vol.

Figure 3 - APPONTAGE NH90 NFH (© : NHIndustrie)

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PROBLÉMATIQUE Lors d'atterrissages à grande vitesse qualifiés de durs, les oscillations induites par l'impact au sol du train d'atterrissage principal génèrent des contraintes mécaniques importantes à la liaison du pylône de queue avec la cabine. Les oscillations du pylône de queue de l'appareil correspondant à son premier mode de flexion, ne sont pas négligeables (figure 4).

Lors de ces atterrissages, les vitesses verticales minimales sont de l'ordre de 2 m/s mais peuvent atteindre des valeurs plus importantes lors d'appontage sur un bateau à cause des mouvements du bateau dus à la houle.

La résistance aux crashs correspond à la possibilité de garder opérationnel un appareil qui aurait atterri avec une vitesse d'impact pouvant atteindre 4 m/s.

Figure 4 - Premier mode de flexion du pylône de queue situé

dans les basses fréquences. (© : Ugo Crisponi)

Les oscillations engendrées peuvent porter atteinte à la pérennité de la structure et conduire dans un cas extrême à la rupture du pylône de queue. La problématique de l'étude proposée est l'obtention d’une accélération angulaire du pylône de queue à l'impact inférieure à 3 rad/s2. On cherche à minimiser les risques d'endommagement voire de rupture de la structure de l'appareil au niveau de la liaison entre le pylône de queue et la cabine.

Modélisation : Malgré la complexité de la structure du système, la modélisation envisagée reste relativement simple. En effet, on propose un modèle composé de trois parties :

• le corps de l'hélicoptère et le rotor principal que l'on nommera le "fuselage", • le pylône de queue et le rotor de queue, • le train principal constitué des deux jambes à bras oscillants.

Dans ces conditions, le fuselage est modélisé par un solide indéformable de masse m1 qui se déplace en translation rectiligne verticale. Le pylône de queue quant à lui sera assimilé également à un solide indéformable mais en liaison pivot avec le fuselage. On adjoint à la liaison pivot un rappel élastique amorti qui simule le comportement en flexion du pylône de queue. On considère que la masse du pylône en matériaux composites est négligeable devant la masse du rotor de queue. Le pylône de queue est donc constitué d'une poutre de masse négligeable et d'une masse m2 supposée ponctuelle située à son extrémité.

La structure du train principal est conservée, mais on néglige sa masse qui constitue environ 2% de la masse totale de l'hélicoptère. On néglige également les déformations des pièces et notamment celle du pneumatique. Le contact simultané sur les deux roues est pris en compte en donnant des caractéristiques mécaniques doubles au vérin amortisseur. On modélise donc l'hélicoptère (figure 5 page suivante) comme un ensemble de deux solides indéformables : le corps principal ou fuselage (1) et le pylône de queue de l'appareil (2). Le train principal est constitué du bras oscillant (3), du vérin amortisseur (4)-(5) et de la roue (6). La modélisation est plane car le système admet un plan de symétrie (vertical) et que les mouvements sont des mouvements plan sur plan dans ce plan de symétrie. La liaison pivot entre 2 et 1 est actionnée par un ressort de torsion dont la raideur sera l'image de la déformation réelle du pylône de queue et amortie selon les caractéristiques d'absorption d'énergie du matériau. La liaison pivot glissant entre 4 et 5 est, quant à elle, actionnée par un ressort de raideur k et amortie par un amortisseur de facteur d'amortissement λ.

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Notations : Le torseur modélisant l’action mécanique transmise par la liaison entre les solides i et j, réduit au

point A et exprimé dans une base )z,y,x(rrr

, sera noté : Aiii

iii

zNyMxL)ji,A(M

zZyYxX)ji(R)ji(F

++=→++=→

=→ rrrr

rrrr

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Les torseurs cinématique, cinétique et dynamique du mouvement du solide j par rapport au solide i,

réduits au point A sont notés respectivement : A

ijAV

ijijV

Ω=

)/,(

/()/( r

r

; A

c

ijA

ijRijC

=)/,(

/()/(

σrr

et

A

d

ijA

ijRijD

=)/,(

/()/(

δr

r

1- DÉTERMINATION DE LA MASSE RÉDUITE DU FUSELAGE

Objectif :

II s'agit dans un premier temps de déterminer la valeur de la masse du solide modélisant le fuselage.

La figure 6 montre l'hélicoptère dans la phase d'atterrissage considérée.

Notations et hypothèses : On suppose que l'ensemble de l'hélicoptère est un seul et unique solide indéformable de repère lié

)z,y,x,G( 1g1rrr

. Il n'est soumis qu'à l'action du sol au point de contact K de la roue avec le sol et à

l'action de la pesanteur au centre de gravité G de l'hélicoptère. Le repère lié au sol )z,y,x,O( ggg

rrr est galiléen.

On note F la norme de l'effort de contact normal du sol sur l'hélicoptère et P la norme de l'action de la

pesanteur sur l'hélicoptère. On note g la norme de l'accélération de la pesanteur et gzr

est la verticale ascendante. On note M la masse de l'hélicoptère et Iyy son moment d'inertie autour de l'axe )y,G( g

r.

Le point K est fixe dans le repère galiléen et l'angle ψ << 1. On notera gy.)sol/hélico(r

&r

ψΩ = et

gz.z)sol/hélico,G(ar

&&r = .

On définit la masse réduite m1 comme étant la masse qui donnerait F = m1.g.

Question 1 : Déterminer la relation liant z&& et ψ&& .

Question 2 : Appliquer à l'hélicoptère, le théorème de la résultante dynamique en projection

sur gzr

et exprimer F en fonction de M, g, e et ψ&& .

Question 3 : Appliquer à l'hélicoptère, le théorème du moment dynamique en G et en projection

sur gyr

et exprimer ψ&& en fonction de F, Iyy et e.

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Question 4 : Exprimer la masse réduite m1 en fonction M, Iyy et e. Faire l'application numérique pour

M = 104 kg, e = 2 m et Iyy = 8.104 kg.m2.

2 - DÉTERMINATION DE LA RAIDEUR DU RESSORT DE RAPPE L DE LA LIAISON PIVOT 2/1

Objectif : II s'agit de déterminer la raideur du ressort de rappel de la liaison pivot entre le fuselage et le pylône de queue afin d'obtenir un comportement similaire entre un solide indéformable articulé et une poutre déformable en flexion.

La figure 7 définit les paramètres du problème.

Notations et hypothèses :

Le repère )z,y,x( 111rrr

supposé qaliléen uniquement pour cette partie, est lié au solide 1.

Le solide 2 est une tige HG2 sans masse associée à une masse ponctuelle m2 en G2. Il est en liaison pivot d'axe )y,H( 1

r avec le solide 1. Le repère )z,y,x( 222

rrr est lié au solide 2 et tel que

( ) ( ) θ== 2121 z,zx,xrrrr

.

On suppose que l'angle θ reste faible, soit θ<<1.

On note 22 x.LHGr= et C0 la norme du couple de rappel élastique du solide 2 exercé par le solide

1, tel que Cθ=Cθ0+kθ.θ avec Cθ0 la valeur du couple de rappel à la position d'équilibre θ = θ0 = 0.

On note g la norme de l'accélération de la pesanteur et 1zr

est la verticale ascendante.

La similitude du comportement est obtenue lorsque la fréquence propre du modèle est égale à la fréquence propre du pylône de queue dont la valeur a été mesurée expérimentalement.

Question 5 : Préciser en argumentant, quelle équation du principe fondamental de la dynamique

(solide isolé, théorème, projection,...) permet d'obtenir l'équation différentielle du mouvement en θ.

Question 6 : Après avoir tracé les figures planes de changement de base, écrire cette

équation et mettre l'équation différentielle sous la forme 0.20 =+ θωθ&& . Donner alors l'expression de

ω02 en fonction de m2, L et kθ.

Question 7 : La fréquence propre f0 mesurée sur l'hélicoptère est de 7 Hz. En déduire la valeur

numérique de la raideur kθ, sachant que m2 = 600 kg.

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3 - DÉTERMINATION DE LA VARIATION D'INCLINAISON DU VERIN AMORTISSEUR

Objectif : II s'agit de déterminer la variation d'inclinaison du vérin amortisseur afin de simplifier le modèle.

Notations et hypothèses : Les notations sont fournies sur la figure 5.

Le problème est plan dans le plan de symétrie géométrique )x,z,O( ggrr

.

Question 8 : Après avoir tracé les figures planes de changement de base, écrire la fermeture

vectorielle géométrique de la chaîne fermée de solides, puis projeter cette équation dans le repère

)z,y,x,O( gggrrr

.

Question 9 : Déduire de la question précédente l'expression de tanβ≈β en fonction de a, c, d et α.

Question 10 : Calculer la variation ∆β de l'angle β quand α varie de 45° à 0° et conclure sur

l'hypothèse qui suit.

On néglige l'angle β dans toute la suite du sujet et on adopte le modèl e de la figure 8

MODÉLISATION DU COMPORTEMENT DU TRAIN PRINCIPAL Objectif :Cette partie a pour objectif de modéliser le comportement de l'hélicoptère à l'aide de la modélisation développée dans la partie précédente. Le modèle du comportement sera exprimé sous la forme d'un schéma bloc qui permettra dans la partie suivante de mettre en place une régulation dans le but de satisfaire le cahier des charges pour les critères 2 et 3 de la fonction FP1.

On cherche dans un premier temps à obtenir les deux équations différentielles en z et θ décrivant les mouvements des solides 1 et 2, puis le comportement décrit par ces deux équations sera mis sous la forme d'un schéma bloc.

Cette partie s'appuie sur le modèle défini sur la figure 8. L'introduction de la partie B reste valable pour cette partie et pourra utilement être relue.

Notations et hypothèses : Les notations sont fournies sur la figure 8 de l'annexe 5. Le repère Rg : )z,y,x,O( ggg

rrr est un

repère galiléen. Le problème est plan dans le plan de symétrie géométrique )x,z,O( gg

rr. En conséquence les

solides 4 et 5 représentent deux vérins amortisseurs avec des caractéristiques k et λ doubles des caractéristiques d'un seul vérin amortisseur.

L'hypothèse faite sur l'angle β conduit à considérer que CD est constamment colinéaire à 0zr

, soit

0z.lCDr= =.

Le mouvement du solide 1 est réduit à un mouvement de translation vertical. En conséquence la roue 6 est fixe dans le repère galiléen. On rappelle que la masse des solides 3, 4, 5, 6 est négligée devant la masse des solides 1 et 2. On suppose toutes les liaisons comme parfaites. La liaison pivot entre 1 et 2 aussi bien que la liaison pivot glissant entre 4 et 5 sont actionnées par des ressorts de raideurs respectives kθ et k et amorties en parallèle aux ressorts avec des facteurs d'amortissement λθ et λ.

Dans ces conditions, pour la liaison pivot entre 1 et 2, on note le couple de rappel élastique

grr y.C)21(Crr

=→ avec Cr =-kθ.θ, et le couple d'amortissement gvv y.C)21(Crr

=→ avec

θλθ&.Cv −= .

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De même pour la liaison pivot glissant entre 4 et 5, on note la force de rappel élastique

grr z.F)54(Frr

=→ avec )ll.(kF 0r −−= où l0 est la valeur de l quand le ressort est à vide, et la

force d'amortissement gvv z.F)54(Frr

=→ avec l.Fv&λ−= .

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4 - DÉTERMINATION DES CARACTÉRISTIQUES DU VÉRIN RAM ENÉES AU SOLIDE 1 Objectif : II s'agit de déterminer la relation entre z et l, et d'en déduire des caractéristiques équivalentes du vérin amortisseur dans le mouvement du solide 1.

Question 11 : Exprimer z en fonction de l, a, b, d, R et h où h est tel que g1 z.hDGr= .

Question 12 : Montrer que Fr peut se mettre sous la forme Fr = - keq.(z-z0) où keq est la raideur

équivalente et z0 la valeur de z quand l vaut l0. Donner l'expression de keq en fonction de k, a et b.

Question 13 : Montrer que Fv peut se mettre sous la forme z.F eqv &λ−= où λeq est le facteur

d'amortissement équivalent. Donner l'expression de λeq en fonction de λ, a et b.

5 - MODÈLE DE COMPORTEMENT DU SOLIDE 2 Objectif: II s'agit de déterminer l'équation différentielle issue de l'application du principe fondamental de la dynamique au solide 2 c'est-à-dire au pylône de queue.

Hypothèse : On suppose que l'angle θ varie peu et que par conséquent on peut faire

l'approximation sinθ ≈ θ et cosθ ≈ 1

Question 14 : Exprimer le moment dynamique du solide 2 au point H dans son mouvement par

rapport au repère galiléen, soit )R/2,H( gδr

en fonction de m2, L, θ&& et z&& .

Question 15 : Après un bilan rigoureux des actions mécaniques extérieures au solide 2, isoler le

solide 2 et écrire le théorème du moment dynamique au point H en projection sur gyr

.

En déduire l'équation différentielle : g.L.mz.L.m.k..L.m 222

2 +=++ &&&&& θθλθ θθ notée équation (1).

6 - MODÈLE DE COMPORTEMENT DU SOLIDE 1 Objectif : II s'agit de déterminer une équation différentielle issue de l'application du théorème de l'énergie puissance (ou théorème de l'énergie cinétique ou encore théorème de la puissance cinétique) afin de modéliser le comportement du fuselage 1. Hypothèses et notations :

Voir hypothèses générales de la partie MODÉLISATION DU COMPORTEMENT DU TRAIN PRINCIPAL . On suppose toujours que l'angle θ varie peu et que par conséquent on peut faire l'approximation sinθ ≈ θ et cosθ ≈ 1. On note Σ l'ensemble (1+2+3+4+5+6).

Question 16 : Exprimer la puissance galiléenne développée par les actions mécaniques

extérieures à l'ensemble Σ, en fonction de m1, m2, g, L, θ& et z& .

Question 17 : Exprimer la puissance développée par les interactions mécaniques internes à

l'ensemble Σ, en fonction de kθ, keq, λθ, λeq, L, θ, z, z0, θ& et z& .

Question 18 : Exprimer l'énergie cinétique galiléenne de l'ensemble Σ en fonction de m1, m2, L, θ&

et z& .

Question 19 : Appliquer le théorème de l'énergie puissance à l'ensemble Σ. Cette équation est

notée équation (2).

Question 20 : En combinant les équations (1) et (2), montrer que l'on obtient l'équation

différentielle : ( ) ( )[ ] ( ) g.mm.L.mzz.kz..ba

az.mm 2120eqeq21 +−=−+

+++ θλ &&&&& notée équation (3).

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ASSISTANT DE REEDUCATION A LA MARCHE

Cet exercice n’est à aborder que lorsque les exerci ces précédents ont été traités. Il n’apportera pas de points pour le DS. Il sera à tra iter comme devoir maison pour les vacances de noël, vous pouvez utiliser le temps restant du D S pour commencer l’étude Le système étudié est utilisé au cours de séances de kinésithérapie pour la rééducation à la marche ; il soulève le patient pour soulager ses membres inférieurs pendant la marche. Le système d’allègement est soit mobile avec le patient lors du déplacement, soit fixe et le patient se déplace alors sur un tapis roulant. Différentes solutions peuvent être utilisées pour soulager le patient à partir d’un point de soutènement :

Figure 1

Le dispositif de soutènement peut prendre différentes formes, selon la position du point de soutènement sur le patient :

- harnais sanglé au niveau des épaules (figure 1), relié par un câble inextensible au dispositif d’allègement ;

- culotte ou selle agissant en support au niveau du bassin. Pendant la marche du patient, l’altitude du point de soutènement varie de quelques centimètres.

Cahier des charges de la fonction Soulager les jambes du patient

Critères Niveaux Masse du patient de 40 kg à 100 kg Allègement du poids en % réglable entre 40% et 80% Variation de l’allègement du poids au cours de la marche 30 N maximum Déplacement vertical du point de soutènement 75 mm maximum Vitesse de déplacement du patient 3,2 km/h maximum

On se propose dans un premier temps de vérifier que les solutions A, B et C ne permettent pas de respecter le cahier des charges précédent.

Dans la solution A, l’enrouleur (ou winch) est réglé au début de la séance afin d’assurer l’allègement du poids, puis bloqué en position pendant le reste de la séance. Question 1 : Quel est le critère qui ne peut pas être respecté dans la solution A

Les courbes figure 2 représentent l’accélération verticale d’un patient handicapé lors de la marche :

Figure 2 :

Pas sur jambe droite Pas sur jambe gauche

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Figure 3

Figure 4

On se place dans les conditions suivantes : solution B de la figure 1, patient de 100 kg et allègement du poids de 60%. On supposera le câble inextensible et les frottements négligeables dans les liaisons des poulies avec le bâti. Question 2 : En isolant le contrepoids, démontrer que le critère sur la variation de l’allègement du poids ne peut pas être respecté.

On conserve les conditions suivantes : patient de 100 kg et allègement du poids de 60%, mais on se place maintenant dans la solution C de la figure 1, Question 3 : Déterminer la raideur du ressort qui permettrait de respecter le critère sur la variation de l’allègement du poids. En déduire l’allongement du ressort nécessaire pour assurer le réglage de l’allègement du poids et conclure sur la faisabilité de la solution C.

Pour maintenir une valeur d’allègement constante pendant la marche, quelle que soit l’altitude du point de soutènement, les concepteurs ont donc opté pour un système asservi en effort (solution D de la figure 1).

A l’aide d’un capteur de charge, ce système mesure en permanence la valeur de l’allègement fourni au patient. Un contrôleur numérique ajuste cette valeur et agit sur l’actionneur électrique par l’intermédiaire d’un hacheur qui distribue l’énergie électrique avec laquelle on l’alimente. Question 4 : Proposer sous forme de schéma-bloc, une représentation du principe du système asservi (la désignation des composants sera inscrite à l’intérieur des blocs et les grandeurs physiques traitées avec leurs unités seront inscrites sur les liens placés entre les blocs).

2- Assistant à la marche actionné par un mécanisme à parallélogramme

L’objectif de ce paragraphe est d’analyser en détail une autre solution possible pour réaliser le soutènement du patient : la solution à parallélogramme déformable et vérin (figure 3) .

Le parallélogramme déformable ABCD positionne le harnais et maintient celui-ci vertical ; La commande est construite selon le principe de la solution D de la figure 1 : le vérin électrique EF ajuste la position verticale du harnais, selon les ordres générés par le contrôleur du système.

Il s’agira au cours de l’étude de valider le choix du vérin, du point de vue de l’effort maximal que celui-ci doit fournir, puis d’un point de vue dynamique.

Un logiciel de simulation a été utilisé pour valider le choix du vérin du point de vue de l’effort maximal. Dans une première modélisation, toutes les liaisons (A, B, C, D, E, F) ont été déclarées comme « pivot d’axe 0x

r », et la liaison (tige de

vérin / corps de vérin) comme « glissière de direction FE» (voir le graphe de structure figure 4).

2-1 Théorie des mécanismes Avec ce logiciel, le problème d’hyperstatisme doit être traité préalablement au calcul d’effort.

Question 5 : Donner la valeur de la mobilité « mc » du système. Question 6 : Le logiciel indique un degré d’hyperstatisme de 6 ; justifier cette valeur.

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Figure 5

Question 7 : On souhaite conserver le modèle des liaisons A, B, C, F sous forme de liaisons « pivot », proposer une solution isostatique qui permette au logiciel de traiter le problème ; indiquer le nom des nouvelles liaisons en E et en D ; tracer le nouveau schéma cinématique du système.

2-2 Détermination de la charge sur le vérin : Le cahier des charges pour cette étude est que le vérin doit permettre le soulèvement total d’un patient de 100 kg, dont le centre de masse Gp est placé à la distance de 300 mm du segment CD (figure 5)

Le logiciel de simulation a été utilisé avec les conditions suivantes : - calcul réalisé sur 100 positions ; - vitesse imposée de sortie de la tige du vérin : 50 mm/s ; - durée totale de la simulation : 5 s. Il a permis d’obtenir les courbes figures 6 et 7 suivantes :

La courbe (figure 6) représente l’angle (en degrés) parcouru par la biellette AC dans son mouvement autour du point A (liaison pivot A), en fonction du temps : il s’agit de la variation de l’angle de la biellette par rapport à la position initiale vérin rentré.

figure 6 La courbe d’évolution de l’effort (en N) exercé par le vérin au cours du mouvement, en fonction du temps.

figure 7 Question 8 : Indiquer quel est l’angle parcouru par la biellette AC par rapport à sa position initiale, dans la position où l’effort est maximal dans le vérin.

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La figure 8 présente le système dans la position initiale de la simulation. Question 9 : Reproduire sur votre copie à l’échelle 1/10 la situation des points de la figure 8, dans la position trouvée à la question précédente, où l’effort est maximal dans le vérin (cette figure servira à une démarche de statique graphique dans la question suivante). Question 10 : Dans l’objectif de valider l’ordre de grandeur du résultat fourni par le logiciel pour l’effort maximal du vérin, on se propose de traiter le problème graphiquement dans la position obtenue à la question précédente. Réaliser la démarche de construction graphique de l’action exercée par le vérin sur le harnais. Important : Toutes les étapes de la construction devront être accompagnées de commentaires adaptés :

- l’indication de l’échelle des forces ; - l’indication du système isolé à chaque étape ; - les caractéristiques des forces connues ou partiellement connues (direction, point

d’application, sens), à chaque étape ; - la manière d’exploiter le principe fondamental de la statique.

Conclure en comparant votre résultat avec le résultat du logiciel.

Figure 8 (dimensions indiquées en millimètres)

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Figure 10 : Le réducteur seul :

2-3 Etude des performances dynamiques : La figure 9 présente le dessin en coupe longitudinale du vérin électrique ; La figure 10 montre le réducteur seul. Question 11 : pour réaliser le guidage de l’arbre (7), le constructeur a utilisé deux composants (18) et un composant (19) ; donner le nom de ces composants (18) et (19), et préciser leur fonction respective. Le constructeur du vérin précise : - l’écrou du vérin est en liaison encastrement avec la tige du vérin ; - un dispositif d’anti-rotation évite la rotation de la tige par rapport au corps du vérin ; - la vis du vérin est encastrée dans l’arbre de sortie (7) du réducteur. Ce qui permet de modéliser le système comme présenté figure 11.

Figure 9

Figure 11

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Figure 12

Figure 13

On donne figure 12 le schéma cinématique minimal du réducteur en deux vues. La géométrie du réducteur est telle que les rayons primitifs R5 et R34 des roues dentées (5) et (34) sont identiques : R5 = R34. Question 12 : Reproduire sur votre copie les cercles correspondant à la vue axiale du réducteur schématisé. Pour une vitesse de rotation ω34 fixée arbitrairement, placer le champ des vitesses sur

le segment IJ du pignon 5, c’est-à-dire tracer

, et . Déterminer à l’aide de ces tracés de vecteurs vitesse, le rapport de transmission : r = ω7 / ω34. (les détails du raisonnement devront être soigneusement expliqués). On désigne par « p » le pas (à droite) de la liaison entre la vis et l’écrou du vérin, et par « r » le rapport de transmission entre la vis et le rotor moteur : r = ω7 / ω34 = ωvis / ωrotor = ωv / ωr. On désigne par Vty1 la vitesse de translation de la tige du vérin par rapport au corps du vérin On exprime par Vty1 = kt .ωr , la relation entre la vitesse de translation de la tige et la vitesse de rotation du rotor moteur. Question 13 : Donner l’expression littérale de « kt » (l’expression devra permettre le calcul avec les données numériques exprimées en unités SI). Préciser le signe de ce coefficient « kt » si l’on considère une rotation de sens trigonométrique positif du rotor moteur dans la base ),,( 111 zyx

rrrde la

figure 11. La vis du vérin et l’ensemble des pièces qui sont en liaison encastrement avec elle, ont été représentées de façon simplifiée sur les figures 13 et 14. On y distingue les volumes de matière suivants : Vf : volume de la partie filetée (centre d’inertie Gf) ; Ve : volume de la partie épaulée (centre d’inertie : Oe) ; Vd : volume de la partie disque (centre d’inertie : Gd) ; Vm : volume du maneton cylindrique (centre d’inertie : Gm).

Figure 14

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Figure 15

Un modeleur volumique a permis d’obtenir les caractéristiques d’inertie suivantes : Pour l’ensemble Vf, Ve, Vd sans le maneton (Vm) : Masse : 0,4 kg ; Matrice d’inertie [ ] 3)Vd Ve Vf( BOeI ++ exprimée en Oe, dans la base B3 = ),,( 333 zyx

rrr :

Pour le maneton cylindrique (Vm) : Masse : 5 grammes Matrice d’inertie [ ] 3)( BGm VmI exprimée en Gm, dans la base B3 = ),,( 333 zyx

rrr :

Question 14: Donner l’expression numérique des termes de la matrice d’inertie [ ] 3)( BOe visI de

l’ensemble « vis » = Vf, Ve, Vd, Vm exprimée en Oe, dans la base B3 = ),,( 333 zyxrrr

.

Nota : La méthode de calcul de chaque terme de la matrice doit être soigneusement présentée ; le résultat sera laissé sous forme d’opérations non effectuées entre des nombres (par exemple : 2)30(76,75 + ). Question 15 : Commenter le résultat de la question précédente, du point de vue des composantes de la matrice d’inertie [ ] 3)( BOe visI par rapport au problème de « l’équilibrage dynamique » ; indiquer

quelles sont les conséquences du point de vue du patient lors de l’utilisation du système et proposer sous forme de croquis, une évolution de la conception de la pièce 6 du réducteur (figure 10). L’objectif de l’étude suivante est de mettre en relation

l’accélération « r•

ω » subie par le rotor du moteur du vérin avec le couple moteur « Cm » que celui-ci peut fournir : il sera proposé d’appliquer le théorème de l’énergie cinétique à l’ensemble des pièces mobiles. le vérin FE (de direction F, 1y

r) est repéré par l’angle β par

rapport à l’horizontale et la biellette AC (de direction A, 2yr

)

est repérée par l’angle α (voir la figure 15). La démarche sera effectuée autour d’une position particulière des angles α et β .

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On adoptera les notations suivantes : B1 = ),,( 111 zyx

rrr est la base du repère R1 dans lequel les matrices d’inertie des composants du vérin

sont exprimées. B1 est telle que 01 xx

rr = et 1yr

porté par FE.

On donne les éléments d’inertie : Centre d’inertie position Matrice d’inertie Rotor moteur masse : mr

Gr 1.yyFGr Gr

r=→

[ ] 1)( BGr rotorI =

Cr

Br

Ar

00

00

00

Vis masse : mv

Gv 1.yyFGv Gv

r=→

[ ] 1)( BGv visI =

Cv

Bv

Av

00

00

00

Quels que soient les résultats obtenus aux questions précédentes

Tige masse : mt

Gt 1.yyFGt Gt

r=→

[ ] 1)( BGt tigeI =

Ct

Bt

At

00

00

00

Corps du vérin seul

- - le moment d’inertie par rapport à l’axe

0xFr

est noté « Ic ».

Données complémentaires : - ωr est la vitesse de rotation du rotor moteur par rapport au stator ; - On néglige toutes les autres masses et inerties (en particulier les masses des biellettes AC et BD, et des pignons du réducteur). - Dans la position étudiée, (α = 30° ; β=50°) les vitesses angulaires sont liées à la vitesse de

translation Vty1 de la tige du vérin par les relations : •

α = ka.Vty1 ; •β = kb.Vty1.

On rappelle que Vty1 = kt .ωr .

Question 16 : Exprimer au point Gr, le torseur cinétique )0/( RrotorC =

)0/(

)0/(

RrotorGr

RrotorcR

σr

r

du rotor moteur

dans son mouvement par rapport au repère fixe R0 = ),,,( 000 zyxFrrr

, en fonction de ωr, kb, kt, et des

données cinétiques.

En déduire le torseur cinétique au point Gv, )0/( RvisC =

)0/(

)0/(

RvisGv

RviscR

σr

r

de la vis dans son mouvement

par rapport au repère fixe R0 en fonction de ωr, kb, kt, r, et des données cinétiques.

Question 17 : Exprimer au point Gt, le torseur cinétique de la tige )0/( RtigeC =

)0/(

)0/(

RtigeGt

RtigecR

σr

r

dans son

mouvement par rapport au repère fixe R0 = ),,,( 000 zyxFrrr

, en fonction de ωr, kb, kt et des données

cinétiques. Question 18 : Exprimer littéralement l’énergie cinétique )0/( RcomposantEc de chacun des quatre

composants du vérin (rotor, vis, tige, corps), dans son mouvement par rapport au repère fixe, en fonction de ωr, kb, kt, r, et des données cinétiques.

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Figure 16

Données complémentaires pour l’ensemble (harnais+patient) noté « patient » dans la suite : Soit Mp = masse du patient et Gp son centre de masse (voir figure 15).

On note : 22/, ..0

yVpyzVpzV RPatientGp

rrr+= = vitesse du patient par rapport au support fixe R0 =

),,,( 000 zyxFrrr

).

Dans la position étudiée, (α = 30° ; β=50°) la composante Vpz de la vitesse du patient est liée à la vitesse de sortie Vty1 de la tige du vérin par la relation : Vpz = kp.Vty1 .

Question 19 : Montrer que Vpy = 0 et exprimer le torseur cinétique )0/( RpatientC =

)0/(

)0/(

RpatientGp

RpatientcR

σr

r

;

en déduire l’expression de l’énergie cinétique )0/( RpatientEc du patient dans son mouvement par rapport

au repère R0, en fonction de ωr, kp, kt, et des données cinétiques. En déduire l’énergie cinétique de l’ensemble du système, dans son mouvement par rapport à R0 et l’expression de l’inertie équivalente du système « Jequ » ramenée à l’arbre du moteur.

Données complémentaires : On prend en compte l’action de pesanteur sur le patient de la façon suivante : Le dispositif est réglé pour alléger le patient de 60% ; Le patient a une masse de 100 kg et l’accélération de la pesanteur est approximée à 10 m/s2 ; ceci conduit à considérer que la charge exercée sur le harnais est Ch = 600 N (figure 16). On note Cm le couple moteur exercé par le stator sur le rotor du moteur.

On prend en compte les frottements suivants : - dans le système vis-écrou du vérin où l’on considère le rendement : η = 0,6 ; - dans la liaison glissière entre la tige et le corps du vérin où l’on considère un frottement

visqueux tel que la force de résistance au mouvement a pour module : Fg = kv . Vty1 On rappelle que Vty1 = kt .ωr

Question 20 : Montrer que les puissances des actions extérieures exercées aux points A, B, F sur le système sont nulles et déterminer l’expression littérale de la puissance de l’action de pesanteur 0/)(P Rpatientpesanteur→ en

fonction de Ch, ωr et des données.

Question 21 : Déterminer les puissances d’inter-efforts :

)s(P rotortator↔ ; )(P écrouvis↔ ; )(P corpstige↔ , en fonction de ωr et

des données.

Question 22 : Appliquer le théorème de l’énergie cinétique pour en déduire l’expression littérale du couple moteur Cm

en fonction de Jequ, r•

ω , rω , Ch, et des données.

Données complémentaires : on se place toujours dans la position (α = 30° ; β=50°), avec une accélération du point Gp : 00/, .zaa RPGp

rr = telle que a = 10 m/s2 ; et Vty1 = 0 ;

On donne : Jequ = 0,001 kg.m2 ; Kp = 3 ; Kt = 1/3000 ;

Question 23 : Dans les conditions d’accélération données, déterminer la valeur de r•

ω et en déduire le couple moteur Cm qui permet de mouvoir la charge Ch = 600 N.

3- Analyse de la commande d’un assistant à la march e 3-1 Etude du modèle connaissance

La solution étudiée dans le paragraphe précédent conduit à un vérin avec moteur électrique assez gros, qui doit être capable de compenser à la fois l’allègement du poids du patient en permanence (compensation statique) et d’effectuer les corrections dynamiques dues à la marche. C’est pourquoi l’industriel a opté finalement pour une solution séparant les deux fonctions :

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- un actionneur de compensation statique pour réaliser l’allègement du poids, - un actionneur de contrôle dynamique plus petit, mais capable d’apporter les variations rapides

de l’allègement du patient dues à la marche. C’est cette solution qui est présentée sur la figure 17 ci-dessous. Le patient équipé d’un harnais est relié au système de contrôle par une corde de 8mm de diamètre, enroulée sur des poulies fixes ou mobiles (poulie C). L’extrémité de la corde est attachée à un winch (enrouleur de corde) actionné électriquement et permettant de soulever le patient de la position assise (fauteuil roulant) vers la position debout. Le winch est capable de soulever une charge de 150 Kg maximum. Les deux ressorts de compensation de charge sont liés au plateau mobile supérieur [P2], constitué de la pièce support de forme triangulaire, de l’écrou [D] et de la poulie mobile [C]. Le déplacement de ce plateau mobile, noté 2x est mesuré par un capteur à ultrasons [F]. A l’autre extrémité, les deux ressorts sont fixés au plateau mobile inférieur [P1], constitué de la plaque support et de l’écrou [H]. Le déplacement de ce plateau mobile, noté 1x est mesuré par un capteur à ultrasons [J]. La longueur des ressorts et donc leur précontrainte peut être ajustée par un moteur électrique [I]. Un troisième moteur [E] permet de réguler l’allègement de poids du patient. L’équation (1) traduisant l’équilibre dynamique du système peut s’écrire :

dyndyngdynsdynvdynressortmoteurpatient xmffxsignedxdxkff &&&& =+−−−−− )()(. ε22

où dynx représente le déplacement de l’ensemble isolé, dynm sa masse équivalente,

patientf l’effort d’allègement mesuré par le capteur de charge [A],

moteurf la force équivalent exercée par le moteur [E],

gf la résultante des forces de pesanteur exercée sur l’ensemble isolé.

Question 24 : Pour établir l’équation précédente,

a) Préciser l’ensemble isolé, b) Démontrer rigoureusement le terme "" patientf2 , en proposant un isolement, un choix

d’équations et les hypothèses nécessaires c) Préciser la signification physique du terme "" dynvxd &− et celle du terme )"(" dyns xsigned &−

Poulie mobile [C]

[B]

[A]

Capteur de position [F]

[D]

[E]

Capteur de position [J]

[G]

[H]

[I]

Plateau [P2]

Plateau [P1]

figure 17