Dsp Inatel

Processamento Digital de Sinais

Transformada Discreta de Fourier

Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti

Jean Baptiste Joseph Fourier

Nascimento: 21 de maro de 1768 em Auxerre, Bourgogne, Frana

Morte: 16 de maio de 1830 em Paris, Frana

Introduo

A anlise de Fourier uma famlia de tcnicas matemticas, todas elas baseadas na decomposio de sinais em senides.

A Transformada Discreta de Fourier (Discrete Fourier Transform - DFT) o membro da famlia utilizado para sinais digitalizados.

A DFT tem verses real e imaginria. Neste curso iremos focar principalmente a verso real da DFT.

Classificao de sinais

Os sinais podem ser classificados segundo vrios critrios. Por exemplo:

sinais contnuos ou discretossinais peridicos ou aperidicos

Estes dois critrios levam aos quatro elementos da famlia de transformadas de Fourier:

Sinais contnuos e aperidicos: Transformada de FourierSinais contnuos e peridicos: Srie de FourierSinais discretos e aperidicos: Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT)Sinais discretos e peridicos: Transformada Discreta de Fourier (DFT)

Famlia Fourier

Transformada de Fourier (aperidico, contnuo)

Srie de Fourier (peridico, contnuo)

Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) (aperidico, discreto)

Transformada Discreta de Fourier (DFT) (peridico, discreto)

Observaes

Todos os quatro membros da famlia de transformadas de Fourier assumem que os sinais sob anlise tm durao infinita.Para analisar os sinais com um computador ou um DSP, os sinais tm necessariamente que ter durao finita.Desta forma, temos que fazer com que os sinais paream ter durao infinita.Isto pode ser feito de duas maneiras: Considerar que o sinal nulo fora do intervalo de

anlise (aperidico - DTFT) Considerar que o sinal se repete periodicamente

(peridico - DFT)

O que funciona na prtica

Para processar os sinais usando um computador ou DSP, os sinais devem estar na forma digital (discretos).

Para representar sinais aperidicos so necessrias infinitas senides, o que inviabiliza o uso da DTFT.

Em outras palavras, computadores s podem lidar com sinais discretos e finitos em comprimento.

Concluso: a nica transformada que pode ser utilizada na prtica a DFT.

Decomposio em senides

cossenos

senos

decomposio

sntese

Um sinal de N=16 pontos ...

... pode ser decomposto em N/2+1=9 sinais cossenoidais e N/2+1=9 sinais senoidais, cada um com 16 pontos.

Por que usar senides?

Existem infinitas formas de onda que podem ser usadas na decomposio: onda quadrada, triangular, etc.A razo para a escolha das senides a propriedade de fidelidade senoidal: senides que entram em um sistema linear saem como senides com (possveis) mudanas na amplitude e fase, mas mantendo a frequncia original.Esta propriedade bastante til (como veremos a seguir), e apenas as senides a possuem.Em resumo, outras decomposies so possveis, mas no so teis.

Notao e formato da DFT real

Converte um sinal de N pontos no domnio do tempo em 2 sinais de (N/2+1) pontos no domnio da frequncia.O sinal de entrada (tempo) contm as amostras do sinal a ser decomposto, e os sinais de sada (frequncias) contm as amplitudes dos senos e cossenos.

0 N-1

x[n] 0

0 N/2

N/2

DFT direta

DFT inversa

ReX[f]

ImX[f]

(amplitudes dos cossenos)

(amplitudes dos senos)

Domnio do tempo Domnio da frequncia

Observaes

As informaes contidas no domnio da frequncia so exatamente as mesmas do domnio do tempo, s que de forma diferente.Tempo Frequncia: decomposio, anlise, DFT direta.Frequncia Tempo: sntese, DFT inversa.O nmero de amostras no domnio do tempo geralmente representado pela letra N, sendo que N geralmente potncia de 2, por causa do modo de representao digital (binrio), e porque o algoritmo da FFT opera com um nmero de amostras que deve ser potncia de 2.

A varivel independente no domnio da frequncia

0 N/2

0 0.5

0 fs/2

0

N

fs

Hz

Em termos de frao da frequncia de amostragem

Em termos da frequncia real do sinal

Em termos da frequncia angular do sinal

Em termos do nmero de pontos da DFT

Exemplo

Ocorre um pico na amostra correspondente ao ndice 19 quando tomamos a DFT de 256 de um sinal qualquer.a) Qual e a frequncia do pico expressa como uma

frao da frequncia de amostragem? necessrio conhecer a frequncia de amostragem para responder a esta questo?

b) Qual e a frequncia do pico expressa como frequncia natural?

c) Qual a taxa de amostragem se o pico corresponde a 21,5kHz no sinal analgico?

d) Qual a frequncia da senide (em Hz) se a taxa de amostragem de 100 kHz?

Funes base da DFT

As ondas senoidais e cossenoidais usadas na DFT so comumentemente chamadas de funes base da DFT.A sada da DFT um conjunto de nmeros que representam as amplitudes destes senos e cossenos.A soma destes vrios senos e cossenos ponderados pelos coeficientes da DFT gera o sinal original no domnio do tempo.

Pontos importantes

As funes base da DFT so geradas a partir de:

onde ck a onda cossenoidal cuja amplitude dada por ReX[k], e sk a senide cuja amplitude dada por ImX[k].k determina a frequncia de cada senide. Por exemplo, k=5 corresponde a uma senide (ou cossenide) que completa 5 ciclos em N pontos.Cada uma destas senides e cossenides deve ter N pontos, de modo que a soma destas resulte no sinal original de N pontos.

ck [i ]=cos2 ki /N s k [ i ]=sen 2 ki /N

Exemplo

c0 e s0: cossenos e senos com 0 ciclos completos em N=32 pontos




Observaes

c0: onda cossenoidal de amplitude 1 e frequncia zero. ReX[0]corresponde ento ao nvel DC do sinal.

s0: sinal composto s de zeros. Desde que no influi na sntese do sinal no tempo, ImX[0] assume sempre o valor 0.

c16: cosseno que realiza 16 ciclos em N pontos. Corresponde a uma onda senoidal amostrada nos picos.

s16: seno que realiza 16 ciclos em N pontos. Corresponde a uma onda amostrada nos cruzamentos por zero. Portanto ImX[N/2]=ImX[0]=0.

Questo

Se existem N amostras entrando e N/2+1 + N/2+1 = N+2 amostras saindo, de onde veio a informao extra?

Duas das amostras de sada so nulas e no carregam informao: ImX[0] e ImX[N/2]

Problema: reconstruir o sinal original no domnio do tempo atravs da combinao linear de senos e cossenos.

onde:

Equaes de Sntese DFT inversa

x [ i ]=k=0

N /2

Re X [k ] cos2 k i /N k=0

N /2

Im X [k ]sen 2 k i /N

Re X [ k ]= ReX [k ]N /2

Im X [ k ]=Im X [k ]N /2

Re X [ 0]= Re X [0 ]N

Re X [N /2]= Re X [N /2]N

Exemplo

O domnio da frequncia de um sinal dado por:

parte real: 1, 2, 3, 3, 1, -2, -1, 1, 2parte imaginria: 0, -1, -2, 0, 0, 0, 2, 1, 0

a) A qual comprimento de DFT este sinal corresponde?b) Calcule as amplitudes dos senos e cossenos para reconstruir o sinal no domnio do tempo.c) Qual a mdia do sinal no domnio do tempo (nvel DC)?

Equaes de anlise DFT direta

O mtodo clssico para a determinao dos coeficientes da DFT o da correlao.Resumidamente, para detectar uma forma de onda conhecida contida em um outro sinal, multiplique os os sinais e some os pontos do produto resultante.Este procedimento fornece um nmero que uma medida da similaridade entre os dois sinais.Desta forma, as equaes de anlise da DFT fornecem coeficientes que so uma medida da similaridade entre o sinal sob anlise e cada uma das senides e cossenides.

DFT direta

Cada amostra no domnio da frequncia encontrada multiplicando-se o sinal no domnio do tempo pela onda senoidal ou cossenoidal em questo, e somando os resultados.Em outras palavras, os coeficientes ReX[k] e ImX[k] so o resultado da correlao entre o sinal e cada uma das funes base, para um deslocamento igual a zero da mquina de correlao vista anteriormente.

ReX [k ]=i=0

N1

x [ i ]cos 2 k i /N ImX [k ]=i=0

N1

x [ i ]sen 2 k i /N

Exemplo

Calcule a DFT de 4 pontos do sinal x={1,2,3,4}.

Notao polar

O domnio da frequncia consiste de um grupo de amplitudes de senos e cossenos.Esta forma de representao conhecida como notao retangular.Alternativamente, podemos representar o domnio da frequncia em notao polar.Nesta forma, ReX[ ] e ImX[ ] so substitudas por MagX[ ] e FaseX[ ], representando a magnitude e a fase de X[ ].MagX[ ] e FaseX[ ] so substitutos par-a-par de ReX[ ] e ImX[ ], isto , para calcular MagX[0] e FaseX[0], precisamos somente de ReX[0] e ImX[0], e assim por diante.

Converso Retangular-Polar

FaseX [k ]=arctg ImX [ k ]ReX [ k ] MagX [ k ]=ReX 2[ k ]ImX 2[ k ]

ReX [k ]=MagX [k ] cos FaseX [k ]

ImX [k ]=MagX [k ] sen FaseX [k ]ReX

ImXMagX

FaseX

Re

Im

Informao na forma polar

Problemas com a notao polar

Existem alguns problemas numricos quando lidamos com a notao polar:

Fase em radianos ou em grausDiviso por zero no clculo da faseArco-tangente incorretaFase de sinais de baixa magnitudeAmbiguidade da fase de 2Ambiguidade da fase de

Radianos vs Graus

A fase pode ser expressa em graus (de -1800 a +1800) ou em radianos (de - a +). A maioria das linguagens de programao usa a fase em radianos.Fonte de muitos erros de implementao.

Diviso por zero no clculo da fase

Quando a parte real nula (ReX[k]=0), temos uma fase de 900 ou +900 (- ou +), dependendo do sinal da parte imaginria.A frmula da fase leva a uma diviso por zero, o que causa erro em tempo de execuo.Fcilmente contornvel atravs de estruturas condicionais (if).

FaseX [k ]=arctg ImX [ k ]ReX [ k ] ReX

ImXMagX

FaseX

Re

Im

Erro no arco-tangente

1

1

Re Re

Im Im

-1

-1

=450

=1350

FaseX [k ]=arctg ImX [ k ]ReX [ k ] =arctg 11 =450

FaseX [k ]=arctg ImX [ k ]ReX [ k ] =arctg 11 =450

Erro no arco-tangente (cont.)

Este erro acontece sempre que a parte real negativa. Para corrigi-lo, devemos adotar o seguinte procedimento: Se tanto a parte real como a parte imaginria forem

negativas, devemos subtrair 1800 (ou radianos) da fase calculada.

Se a parte real negativa e a parte imaginria positiva, devemos somar 1800 (ou radianos) fase calculada.

Como identificar este erro: se a fase variar no intervalo (-900,900) ao invs de no intervalo (-1800,+1800), voc est calculando a fase de forma errada.

Fase de sinais de baixa magnitude

Quando um sinal de baixa amplitude, contaminado por rudo, visto na forma polar, temos: a magnitude pequena tambm; a fase assume valores aleatrios entre -1800 e +1800 (- a

+).

Ambiguidade 2 da fase

A fase geralmente se apresenta no intervalo (- a +), como em a). geralmente mais fcil de entender a fase se esta no apresentar descontinuidades, como em b) (phase unwrapping).

a) b)

A Transformada Discreta do Cosseno

Transformada direta:

onde

Transformada inversa:

C k = k n=0

N1

x ncos [n1/2kN ] , para 0nN1

x n=k=0

N1

k C k cos [n1/2kN ] , para 0nN1

k ={1 /n , k=02/ n ,1kN1

Propriedade da DCT

Quando aplicada a sinais como voz e vdeo, a maior parte da energia concentrada em uns poucos coeficientes.Com isto pode-se descartar a maioria dos coeficientes na transmisso, sem perda significativa de qualidade.A DCT faz parte da maioria dos sistemas de videodifuso digital em operao em todo o mundo.

Exemplo: JPEG

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