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Capítulo: Índices.

Contenido Número Índice simples......................................................................................................................... 1

1) Índice simple Fijo: .................................................................................................................... 1

2) Índice simple de base fija: Cambio del periodo base. ................................................................. 2

3) Índice simple de base variable. .................................................................................................. 3

Números índice complejos: .................................................................................................................. 3

1) Índices complejos sin ponderar. ................................................................................................ 4

2) Índices complejos ponderados. ................................................................................................. 5

Ejemplo 1: .................................................................................................................................... 7

Ejemplo 2: .................................................................................................................................... 8

Ejemplo 3. .................................................................................................................................. 9

Diferencias entre el método Laspeyres y Paasche: ................................................................... 12

Número Índice simples. Hacer comparaciones entre periodos debe hacerse con cuidado. ya que las condiciones van cambiando con el paso del tiempo. El uso de números índice puede proporcionar, a quienes toman las decisiones, un panorama más preciso del comportamiento de las variables a través del tiempo y hacer comparaciones a través de períodos más significativos. Para comparar los datos de una serie cronológica se utiliza, según el caso: a) un período fijo. b) un período móvil, por ejemplo, comparando cada dato con el inmediatamente anterior. Ejemplos:

1) Índice simple Fijo:

PIB nominal (en miles de millones de pesos):

Tiempo (t) 2014 2015 2016 2017 PIB 450 457 457 460

∆𝑃𝐼𝐵 =𝑃𝐼𝐵(𝑡)

𝑃𝐼𝐵 𝑏𝑎𝑠𝑒− 1 100

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Donde PIB (t) es el año o periodo que queremos medir y el PIB base es aquel que se toma como referencia. Si consideramos 2015 como base y queremos comparar el periodo de 2017 quedaría de la siguiente manera:

∆𝑃𝐼𝐵 = = 1.006 respecto de 2015, igual al 0.6% Si el año base fuera 2014, la respuesta sería:

∆𝑃𝐼𝐵 = = 1.022 respecto a 2014, igual al 2.2%

El tipo de índice del ejemplo se llama índice simple ya que, en general, se calcula con la utilización de una sola serie temporal.

2) Índice simple de base fija: Cambio del periodo base.

Año Producción Índicet|1988 Índicet|1988 % Índicet|1995 Índicet|1995% Índicet|1991% 1988 0, 61 1, 00 100, 00 0, 64 64, 21 (1988/1991)100 1989 0, 82 1, 34 134, 43 0, 86 86, 32 1990 0, 85 1, 39 139, 34 0, 89 89, 47 1991 0, 95 1, 56 155, 74 1, 00 100, 00 100.00 % 1992 1, 12 1, 84 183, 61 1, 18 117, 89 1993 1, 02 1, 67 167, 21 1, 07 107, 37 1994 0, 97 1, 59 159, 02 1, 02 102, 11 1995 0, 95 1, 56 155, 74 1, 00 100, 00 1996 1, 13 1.85 185, 25 1, 19 118, 95 1997 1, 37 2, 25 224, 59 1, 44 144, 21 1998 1, 52 2, 49 249, 18 1, 60 160, 00 1999 1, 49 2, 44 244, 26 1, 57 156, 84 2000 1, 51 2, 48 247, 54 1, 59 158, 95

Para pasar del índice de base 1988 al de base 1995 sólo hace falta dividir los valores del It1988 por It1995. Es decir; 1 / 0.64 = 1.5625. Dónde: I = índice y t = tiempo. Si tomamos la producción de 1996 en porcentaje y tenemos como año base 1988:

∆𝑃𝑟𝑜𝑑. =185.25

155.74− 1 100 = 18.948

Mientas que si tomamos la producción de 1996 en porcentaje y tenemos como año base 1995 el resultado es:

∆𝑃𝑟𝑜𝑑. =118.95

100− 1 100 = 18.95

Que es exactamente la cantidad que tenemos en la última columna “Índicet|1995%”.

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3) Índice simple de base variable.

A diferencia de los anteriores, el índice simple con base variable se calcula dividiendo el dato de cada periodo por el del inmediatamente anterior, es decir, tenemos: • Una variable X medida en los tiempos t0, t1, . . . tn. • Los valores de X en esos tiempos: x0, x1, . . . , xn • El índice I para la magnitud anterior es: It|(t−1) = xt/xt−1 Con los datos de producción se obtiene la siguiente tabla:

Año Producción Índice t|(t−1) Índice t|(t−1)% Producción Índice t|(t−1)% 1988 0,61 0.60 = [(0.71/0.60)-1]100 1989 0,82 1,34 134,43 0.71 1990 0,85 1,04 103,66 0.81 1991 0,95 1,12 111,76 0.86 1992 1,12 1,18 117,89 0.88 1993 1,02 0,91 91,07 0.91 1994 0,97 0,95 95,10 0.97 1995 0,95 0,98 97,94 1.02 1996 1,13 1,19 118,95 1.12 1997 1,37 1,21 121,24 1.05 1998 1,52 1,11 110,95 1.15 1999 1,49 0,98 98,03 1.20 2000 1,51 1,01 101,34 1.22

Para el primer caso (1989) tenemos: 𝐼 (𝑡 − 1) =.

.= 1.34

Ahora bien, la última columna se calculó utilizando el resultado menos 1, multiplicado por 100. Es decir 134%. Propiedades de los índices:

1. Propiedad identidad: Ia|a = 1. Esto dice simplemente que el índice simple que expresa la relación para un período respecto de él mismo es 1, o sea 100%.

2. Propiedad de inversión temporal: Ia|b Ib|a = 1, o sea Ib|a = 1/Ia|b . Esto afirma que, si dos periodos se intercambian, los índices son cada uno el inverso del otro.

3. Propiedad cíclica o circular: Ia|b Ib|cIc|a = 1, Ia|b Ib|cIc|dId|a = 1, etc.

4. Propiedad cíclica o circular modificada: Ia|b Ib|c = Ia|c, Ia|b Ib|cIc|d = Ia|d, etc. Esta propiedad se sigue directamente de las propiedades 2 y 3.

Números índice complejos: Los índices anteriores son adecuados para el estudio de la variación de una sola cantidad. Pero en la práctica, frecuentemente es necesario combinar la información de diferentes cantidades. El caso más conocido es el índice nacional de precios al consumidor (INPC).

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1) Índices complejos sin ponderar.

Índice Sauerbeck Media aritmética

Media geométrica

Media harmónica

• k variables X1, . . . , Xk medidas, cada una de ellas, en los tiempos t0, t1, . . . , tn.

• Los índices de las k variables, de base fija o variable, I1, . . . , Ik .

• El índice complejo puede adoptar diversas formas:

Un ejemplo de utilización del índice de Sauerbeck.

Un gran almacén dispone de los datos de ventas correspondientes a cuatro secciones diferentes, desde

el año 1996 al 2000. Los datos originales y los Índices, en % y tomando como base 1996, han sido los

siguientes:

Datos de ventas Año Deportes Juguetes Hogar Ferretería

1996 1,50 0,50 2,20 2,70 1997 1,90 0,60 2,80 2,50 1998 2,40 1,10 3,00 2,90 1999 2,50 1,40 3,60 3,40 2000 2,55 1,65 4,00 3,80

𝐷𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠 =1997

1996100 =

1.90

1.50100 = 126.666

Índices con base 1996 Año Deportes Juguetes Hogar Ferretería Sauerbeck 1996 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 1997 126,67 120,00 127,27 92,59 116,63

(1997/1996)100 (It/Ibase)100

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1998 160,00 220,00 136,36 107,41 155,94 1999 166,67 280,00 163,64 125,93 184,06 2000 170,00 330,00 181,82 140,74 205,64

Es decir, para el año 1997 (t1 en la notación anterior) tenemos que:

o alternativamente.

Un segundo grupo de Índices, todavía dentro de los no ponderados, consiste en sumar todos los valores

de las k variables dentro del mismo período, dividiendo después por la suma equivalente en el período

base. Este tipo de índices se conoce como Índices de media agregativa o simplemente Índices agregativos. La fórmula general es:

En el caso que las Xi sean precios, este índice se conoce como el índice de Bradstreet-Dûtot.

En el ejemplo anterior y para el año 1997 el índice de media agregativa es:

Índice de Bradstreet-Dûtot Ano Deportes Juguetes Hogar Ferretería BD

1996 1,50 0,50 2,20 2,70 1,00 1997 1,90 0,60 2,80 2,50 1,13 1998 2,40 1,10 3,00 2,90 1,36 1999 2,50 1,40 3,60 3,40 1,58 2000 2,55 1,65 4,00 3,80 1,74

Ambos Índice, Sauerbeck y Bradstreet-Dûtot son sencillos de aplicar, pero tienen el inconveniente de no valorar la importancia relativa de cada cantidad Xi. En el ejemplo anterior, tiene la misma importancia en el cálculo de los dos Índice la sección de ferretería (que vende alrededor de 3 millones) que la de juguetes (del orden de 1). Además, el Índice de precios de Bradstreet-Dûtot se ve afectado por las unidades escogidas al anotar los precios (galones, litros). Para superar estos inconvenientes se definen los Índice ponderados.

2) Índices complejos ponderados1.

1 Los índices ponderados se utilizan para monitorizar los niveles del precio a lo largo del tiempo. Resulta útil cuando separamos ingreso real de ingreso nominal, al ser la inflación una bajada en el poder adquisitivo. Los dos índices básicos son el índice de Laspeyres (llamado así por Etienne Laspeyres) y el índice de Paasche (llamado así por Hermann Paasche).

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Un índice complejo ponderado implica que, como el numerador es igual al denominador, un individuo puede permitirse comprar una cesta de bienes en el período actual, tal y como hizo en el período base. Como las cantidades son las mismas, esto deja al precio como una variable, que debe permanecer inalterada. Es decir, ¿Cuánto debemos incrementar el ingreso de un individuo para compensar la inflación? Esto es, al nuevo nivel de precios, ¿cuánto se necesita para compensar el efecto de la subida de precio? La variación compensada es la cantidad teórica de dinero que el individuo necesitaría para mantener su nivel de utilidad, volviéndolo a situar en la curva de utilidad original. En el cálculo de los Índice complejos ponderados intervienen unos pesos wi para cada variable Xi, pesos que, a su vez, pueden ser constantes en el tiempo, o bien variables en cada periodo. El principal interés de los Índice ponderados es el hecho de poder resaltar o atenuar la influencia de las diferentes cantidades, de acuerdo con algún criterio externo.

En el caso concreto de los Índice de precios, los criterios más empleados para ponderar son:

El Índice de Laspeyres o método del año base corresponde a elegir este criterio de ponderación

sobre el Índice de la media aritmética ponderada:

A la vista del resultado, el Índice de Laspeyres es también el Índice de precios por agregación ponderada con los pesos de cantidad en el año base qi0. El Índice de Paasche o método del año dado corresponde a elegir este criterio de ponderación sobre el Índice de la media aritmética ponderada:

A la vista del resultado, el Índice de Paasche es también el Índice de precios por agregación ponderada con los pesos de cantidad en el año dado qit. El Índice de Laspeyres requiere los datos de cantidad para un solo año y es más fácil de calcular. Por tanto, se utiliza con más frecuencia que el de Paasche. Como siempre se utilizan las cantidades del periodo base, se permiten con el tiempo más comparaciones significativas. Sin embargo, el Índice de Laspeyres tiende a sobre ponderar los bienes cuyos precios se incrementan. Esto ocurre debido a que el incremento en el precio reducirá las cantidades vendidas, pero la cantidad menor no se refleja en el Índice de Laspeyres porque utiliza las cantidades del año base.

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Ventajas Desventajas Laspeyres Requiere datos de cantidad para un solo período.

Por tanto: 1) los datos se obtienen más fácilmente y 2) se puede hacer una comparación más significativa debido a que los cambios se pueden atribuir a los movimientos en precios.

Pondera los productos cuyos precios aumentan. No refleja los cambios en los patrones de compra a través del tiempo.

Paasche Refleja los cambios en los hábitos de compra debido a que utiliza los datos de cantidad para cada período de referencia.

Requiere datos de cantidad para cada año; estos datos con frecuencia son difíciles de obtener. Debido a que se utilizan cantidades diferentes, es imposible atribuir las diferencias en el índice sólo a los cambios en precio. Sobrepondera los productos cuyos precios disminuyen.

El Índice ideal de Fisher para los precios se define como la media geométrica de los números Índice de Laspeyres y de Paasche: Como se expresó anteriormente, el Índice de Laspeyres tiende a sobre ponderar los bienes cuyos precios aumentan, debido a que este incremento en el precio va acompañado de una reducción en la cantidad, que no se ve reflejada en el Índice de Laspeyres que utiliza cantidades con base fija como ponderación. Por otra parte, el Índice de Paasche tiende a sobre ponderar los productos cuyos precios bajan. El Índice ideal de Fisher es un esfuerzo por compensar estos hechos. Sin embargo, la interpretación del Índice de Fisher está sujeta a discusión. Por este motivo, no se utiliza ampliamente. Ejemplo 1:

1. A continuación, tenemos los precios y cantidades vendidas de tres productos por una determinada empresa durante tres períodos:

t PA PB PC QA QB QC

0 4 10 15 2 2 3 1 6 11 20 5 1 3 2 5 12 25 4 1 2

a) Obtener los índices de precios y de cantidades de Paasche, de Laspeyres y de Fisher para

estos tres períodos considerando como referencia el periodo 0. b) Obtener los índices de valor.

Solución:

Índices ponderados de PRECIOS:

Laspeyres:

Paasche:

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Fisher:

t PA PB Pe Lp PP FP

0 4 10 15 100 100 100 1 6 11 20 128.77 134.67 131.69 2 5 12 25 149.32 146.43 147.87

Índices ponderados de CANTIDADES:

Laspeyres:

Paasche:

Fisher:

t QA QB Qc Lq Pq Fq 0 2 2 3 100 100 100 1 5 1 3 102,74 107,45 105,07 2 4 1 2 76,71 75,23 75,97

Ejemplo 2: Un grupo de estudiantes decide estudiar la evolución de los precios de tres artículos que consumen en sus tiempos de ocio: discoteca, cine, conciertos. Para ello estudian a lo largo de dos años el precio de las entradas (Pi) en euros y el número de veces que asisten a lo largo de un año (Qi). Los resultados se recogen en la tabla:

discoteca Cine Conciertos

Año Pi Qi Pi Qi Pi Qi 2010 12 25 5 70 30 10 2011 15 30 6 80 40 25

a) Índices ponderados de PRECIOS:

Año Lp PP FP

2010 100 100 100

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2011 125,79 127,81 126,80 Índices ponderados de CANTIDADES:

Año Lq Pq Fq 2010 100 100 100 2011 158,95 161,51 160,22

Ejemplo 3. Se observa una cesta de la compra compuesta por pan, leche y carne. Los datos relativos a los precios y a las cantidades consumidas por una familia en el período 2006—2008 aparecen en las siguientes tablas:

Precios unitarios Unidades consumidas 2006 2007 2008 2006 2007 2008 Pan 0.50 0.55 0.70 348 337 346 Leche 0.69 0.75 0.85 542 568 612 Carne 10.5 10 12 46 51 38

a) Calcula e interpreta los índices de precios de Laspeyres respecto a 2006. Es decir, calcular en

primer lugar el índice de precios de Laspeyres del año 2007 considerando la base 2006. Cálculos: a partir de los índices simples y las ponderaciones o gastos en cada bien, se puede aplicar la primera fórmula.

𝑃 (𝑖) =2017

2016=

0.55

0.50= 1.1

P Precios unitarios Wi Wi

2006 2007 2008 2007 2008 Pan 100 1.1 174 Leche 100 1.087 373.98 Carne 100 0.9524 483 Lp 100 2.61%

2007 Pan 𝑤𝑖 = 𝑃𝑖 𝑥𝑞𝑖 = 0.5 𝑥 348 = 174 Leche = 0.69 x 542 = 373.98 Carne = 10.5 x 46 = 483

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Al aplicar directamente la segunda fórmula, se pierde un poco la visión del índice como media ponderada, aunque sale el mismo valor y se aprecia mejor la segunda interpretación.

Es decir, 2.61% Interpretación: la cesta de la compra subió en media un 2,6% del año 2006 al año 2007 teniendo en cuenta el valor de los distintos bienes en el año 2006. En el primer cálculo se ve perfectamente que el bien en el que más se invirtió fue la carne (es el que mayor gasto o valor presenta), y de ahí que su bajada influya bastante en la media ponderada. Equivalentemente, se puede decir que en el año 2007 se gastarían $1057,9 para comprar las mismas cantidades que en el año 2006, frente a los $1030,98 que se gastaron en 2006. Esto significa que el gasto aumentó un 2.61% debido a la variación de los precios.

b) Calcula e interpreta los índices cuánticos (cantidades) de Laspeyres respecto a 2006. Cálculos: de nuevo, se puede utilizar cualquiera de las dos fórmulas que se conocen. A partir de los índices de cantidad simples de cada bien y las ponderaciones o gastos (ver Tabla 10.2), se aplica la primera fórmula.

Q Cantidades consumidas Wi Wi 2006 2007 2008 2007 2008 Pan 100 0.9684 174 Leche 100 1.0480 373.98 Carne 100 1.10876 483 Lp 100 6.3%

También se puede utilizar la segunda fórmula:

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Interpretación: el consumo subió 6.3 puntos porcentuales del año 2006 al año 2007 teniendo en cuenta el valor de los distintos bienes en el año 2006. Con el primer cálculo se aprecia que el bien en el que más se invirtió fue la carne (es el que mayor gasto o valor presenta), y de ahí que su subida influya bastante en la media ponderada. Con el segundo cálculo se ilustra mejor la segunda interpretación: en 2007 se gastarían 1095,92e de haberse mantenido los precios frente a los $1030,98 que se gastaron en 2006. En consecuencia, el gasto ha aumentado un 6.3% a causa del aumento del consumo.

c) Calcula e interpreta los índices de precios de Paasche respecto a 2006. Cálculos: a partir de los índices simples y las ponderaciones, se puede aplicar la primera fórmula.

Datos para Paasche (precios):

Al aplicar la segunda fórmula, se tendrían los siguientes cálculos:

Interpretación: la cesta de la compra subió en media un 2,3% del año 2006 al año 2007 teniendo en cuenta el valor de los distintos bienes en el año 2007 de haberse mantenido los precios de 2006. El valor es similar al del índice de Laspeyres, y eso se debe al que la valoración de los bienes no cambió en exceso en este caso (sigue teniendo la mayor ponderación la carne y la menor el pan). Atendiendo a la segunda fórmula también se puede decir que el gasto en 2007 fue de $1121,35, mientras que para comprar las mismas unidades a precios del 2006 se habrían gastado 1095,92. Esto significa que el gasto aumentó un 2.3% a causa de la subida de precios.

d) Calcular en primer lugar el índice cuántico de Paasche del año 2007 en base 2006. Cálculos: de nuevo a partir de los índices simples y las ponderaciones, se puede aplicar la primera fórmula.

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Datos para Paasche (cantidades).

Con la segunda fórmula:

Interpretación: el consumo subió un 6% del año 2006 al año 2007 teniendo en cuenta el valor que hubiesen tenido los distintos bienes de haberse mantenido el consumo de 2006. También se puede decir que el gasto en 2007 fue de 1121,35e, mientras que a precios de 2007 en 2006 habría sido de $1057,9. Esto significa que en gasto aumentó un 6% a causa de la subida del consumo. Diferencias entre el método Laspeyres y Paasche:

Laspeyres (P/w) y (Q/w) Paasche (P/w) y (Q/w) Precios (P)

Cantidades (Q) Los índices se ponderan con las

cantidades del año base Los índices se ponderan con las cantidades del año dado

Pondera más los artículos cuyos precios aumentan.

Pondera más los artículos cuyos precios han bajado y requiere que los precios se recalculen cada año.

Diferencia: En Laspeyres y Paasche tanto en las P y Q, las “i” se miden igual, la diferencia es en las “W”, Laspeyres utiliza el año base, mientras que en Paasche las W son una multiplicación del año base por el año que se quiere medir. Ejemplo 4. La tabla siguiente muestra los cálculos necesarios para obtener los índices según Laspeyres.

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ARTÍCULO Precio en 2000

Cantidad en 2000

Precio en 2006

Cantidad en 2006

Precio2000* Cantídad2000

Precio 2006* Cantidad2000

Naranjas (kilogramo)

1.46 30 1.56 40 43.8 46.8

Azúcar (kilogramo)

4.4 12 4.62 12 52.8 55.44

Aceite (litro) 1.58 40 1.7 41 63.2 68 Huevo (docena)

1.85 26 1.84 20 48.1 47.84

Leche (litro) 0.88 102 1.01 130 89.76 103.02 Pan (kilogramo)

0.77 50 0.89 55 38.5 44.5

Totales 10.94 11.62 336.16 365.6

Ello indica que el precio de este grupo artículos aumentó 8.8% del año 2000 al 2006. El producto con mayor peso es la leche ya que tiene su precio por la cantidad vendida es el mayor. La tabla siguiente muestra los cálculos necesarios para obtener los índices según Paasche:

ARTÍCULO Precio en 2000

Cantidad en 2000

Precio en 2006

Cantidad en 2006

Precio2000* Cantidad2000

Precio 2006* Cantidad2000

Naranjas (kilogramo)

1.46 30 1.56 40 62.4 58.4

Azúcar (kilogramo)

4.4 12 4.62 12 55.44 52.8

Aceite (litro) 1.58 40 1.7 41 69.7 64.78 Huevo (docena)

1.85 26 1.84 20 36.8 37

Leche (litro) 0.88 102 1.01 130 131.3 114.4 Pan (kilogramo)

0.77 50 0.89 55 48.95 42.35

Totales 10.94 11.62 404.59 369.73

Esto indica que entre 2000 y 2006 ha habido un incremento en el precio de este grupo de artículos de un 9.4%, es decir, que en 2006 cuesta 9.4% más comprar estos artículos que lo que costaban en 2000. Para determinar el índice ideal de Fisher, ya solo se aplica la fórmula:

Que indica que los precios de estos artículos se han incrementado en un 9.1%

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Videos para realizar los ejercicios en Excel. https://www.youtube.com/watch?v=ej7gzjILQFU https://www.youtube.com/watch?v=6V11wQOTum4