28
236 UNIDAD sta Unidad se divide en tres apartados. En el primero se desarrolla la perspec- tiva caballera. Se plantean las características del sistema, sus ventajas y des- ventajas frente al isométrico, y la influencia de la elección del punto de vista y la reducción en el aspecto de la perspectiva. A continuación se trata la representación de los elementos básicos, y la representación de polígonos y circunferencias situadas en los planos coordenados. En el segundo apartado se presenta el nacimiento y evolución histórica de la pers- pectiva cónica, facilitándose un método de construcción de perspectivas frontales u oblicuas de objetos a partir de su representación diédrica. El tercer apartado plantea la representación de objetos, cuyas caras son paralelas a los planos coordenados en diédrico, isométrico, caballera y cónica simultáneamente. Se plantea, en primer lugar, un proceso de análisis del objeto basado en su descompo- sición en los volúmenes fundamentales, y a continuación se estudia la representación de éstos. Los objetivos que nos proponemos alcanzar con esta Unidad son: 1. Ser capaz de representar puntos, rectas, planos y figuras planas en perspectiva caballera. 2. Conocer el nacimiento y evolución de la perspectiva cónica y sus fundamentos. 3. Ser capaz de representar los volúmenes fundamentales y objetos sencillos en los sistemas diédrico, isométrico, perspectiva caballera y perspectiva cónica. Perspectivas caballera y cónica. Representación de objetos 11 E

DT1 TEMA11

  • Upload
    pcrobla

  • View
    716

  • Download
    3

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: DT1 TEMA11

236

UNIDAD

sta Unidad se divide en tres apartados. En el primero se desarrolla la perspec-tiva caballera. Se plantean las características del sistema, sus ventajas y des-ventajas frente al isométrico, y la influencia de la elección del punto de vista y

la reducción en el aspecto de la perspectiva. A continuación se trata la representaciónde los elementos básicos, y la representación de polígonos y circunferencias situadasen los planos coordenados.

En el segundo apartado se presenta el nacimiento y evolución histórica de la pers-pectiva cónica, facilitándose un método de construcción de perspectivas frontales uoblicuas de objetos a partir de su representación diédrica.

El tercer apartado plantea la representación de objetos, cuyas caras son paralelasa los planos coordenados en diédrico, isométrico, caballera y cónica simultáneamente.Se plantea, en primer lugar, un proceso de análisis del objeto basado en su descompo-sición en los volúmenes fundamentales, y a continuación se estudia la representaciónde éstos.

Los objetivos que nos proponemos alcanzar con esta Unidad son:

1. Ser capaz de representar puntos, rectas, planos y figuras planas en perspectivacaballera.

2. Conocer el nacimiento y evolución de la perspectiva cónica y sus fundamentos.

3. Ser capaz de representar los volúmenes fundamentales y objetos sencillos enlos sistemas diédrico, isométrico, perspectiva caballera y perspectiva cónica.

Perspectivas caballera y cónica.Representación de objetos11

E

Page 2: DT1 TEMA11

237

1. PERSPECTIVA CABALLERA: FUNDAMENTOS Y REPRESENTACIÓN DEL PUNTO, LA RECTA, EL PLANO Y FIGURAS PLANAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2381.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2381.2. Características y utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2391.3. Coeficientes de reducción y dirección del eje Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2401.4. Elección de la dirección y del coeficiente de reducción del eje Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2411.5. Representación del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2421.6. Representación de la recta. Rectas paralelas al plano XZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2431.7. Representación del plano. Planos paralelos al plano XZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2441.8. Representación de polígonos situados en los planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2441.9. Representación de circunferencias situadas en los planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

2. PERSPECTIVA CÓNICA: FUNDAMENTOS Y CONSTRUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2472.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2472.2. Evolución histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2492.3. Perspectiva cónica oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2522.4. Perspectiva cónica frontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

3. REPRESENTACIÓN DE OBJETOS EN DIÉDRICO, ISOMÉTRICO Y CABALLERA . . . . . . . . . . . . . . . . 2553.1. Representación de objetos. Cuerpos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2553.2. Representación del prisma recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2553.3. Representación de la pirámide regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2583.4. Representación del tronco de pirámide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2593.5. Representación del cilindro recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2603.6. Representación del cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Í N D I C E D E C O N T E N I D O S

Punto, recta y plano

Coeficiente de reducción

Características

Ángulos y reducciones

Representación de losvolúmenes fundamentales

Representaciónde objetos

Representación

Perspectiva caballera

Diédrico,axonométrico

y cónica

Figuras planas situadasen planos paralelosa los coordenados

Representación deobjetos que tienen suscaras planos coordenados

paralelas a los

Frontal y oblicua

Experimentación

Fundamentos

Evolución históricaRepresentación

Perspectiva cónica

Poliedrosa partir de su

representación diédrica

Page 3: DT1 TEMA11

238

1. Perspectiva caballera: fundamentosy representación del punto, la recta, elplano y figuras planas

1.1. Fundamentos

La perspectiva caballera es un caso particular de la axonometría oblicua, en laque el plano del cuadro se dispone paralelo o coincidente con el plano XZ. Los ejes X,Z quedan, pues, paralelos o contenidos en el plano del cuadro y el eje Y perpendiculara él. Dispuesto el objeto con sus caras paralelas a los planos coordenados, surepresentación (Ilust. 1 izquierda) se realiza mediante dos proyecciones sucesivas:

1º El objeto se proyecta ortogonalmente sobre los tres planos coordenados.

2º El conjunto así obtenido se proyecta oblicuamente según una direccióncualquiera sobre el plano del cuadro, obteniéndose (Ilust. 1derecha) laperspectiva caballera del objeto (proyección directa) y sus tres proyeccionesaxonométricas referidas a los ejes axonométricos X’, Y’, Z’.

Si se dispone el plano XY en lugar del XZ, paralelo o coincidente con el plano delcuadro y se efectúan idénticas proyecciones, la proyección directa obtenida se llamaperspectiva militar del objeto. Estos dos tipos de representación axonométricaoblicua (Ilust. 2) constituyen la llamada axonometría frontal. En la práctica se utilizanrepresentaciones de objetos definidas por:

• La perspectiva caballera o militar del objeto y una de las tres proyeccionesaxonométricas, como se presentan en la Ilust. 2.

• La perspectiva caballera o militar del objeto, exclusivamente.

PERSPECTIVAS CABALLERA Y CÓNICA. REPRESENTACIÓN DE OBJETOS

11UNIDAD

Y’

X’

Z’πZ’

X’

Y’

Z

X

Y

O

O’

Ilustración 1

Page 4: DT1 TEMA11

239

1.2. Características y utilidadEn la Ilust. 2 puede verse que los objetos representados presentan caras

paralelas al plano XZ en perspectiva caballera y XY en militar, que mantienen su

forma y su tamaño al ser proyectadas. Por tanto, se pueden medir directamente las

longitudes y ángulos de dichas caras, pero no los del resto de la figura, que

aparecen deformados.

Por otra parte, la perspectiva caballera o militar del objeto permite hacerse una idea

bastante precisa de su forma, a pesar de que ésta presenta un aspecto poco natural.

De ahí las características del sistema: facilidad de construcción de la perspectivasi se sitúan las caras más complejas (especialmente las que presenten arcos)

paralelas al plano XZ en perspectiva caballera y XY en militar y facilidad decomprensión de la forma del cuerpo bajo un aspecto poco natural.

La facilidad de construcción de este tipo de perspectivas a partir de la

representación diédrica, especialmente si el objeto presenta muchos planos

paralelos a los planos XZ ó XY, es la característica que lo diferencia del sistema

isométrico, cuyas aplicaciones comparte. La perspectiva militar tiene numerosas

aplicaciones en arquitectura y urbanismo, por la mayor importancia que toman las

dimensiones horizontales frente a las verticales, en la representación de ciudades,

distribuciones de pisos, organización de los volúmenes de edificaciones y de sus

espacios anexos ...

Y’

X’

Z’ Z’

Y’X’

PERSPECTIVA CABALLERA PERSPECTIVA MILITAR

Ilustración 2

Page 5: DT1 TEMA11

240

1.3. Coeficientes de reducción y direccióndel eje Y

En la Ilust. 3 izquierda puede verse un triedro OXYZ, cuyo plano XZ coincide conel plano del cuadro π . El eje Y, perpendicular al cuadro, se proyecta sobre él en Y’,según la dirección d. La unidad u, dispuesta sobre el eje Y, se proyecta reducidacomo uy y ambas son los catetos del triángulo rectángulo OAA’, cuya hipotenusa es

la recta proyectante AA’, que forma un ángulo β con el cuadro.

En la Ilust. 3 derecha se puede ver el triángulo OAA’ abatido sobre el cuadrocomo O(A)A’, su construcción permite obtener la unidad reducida uy a partir de la

unidad u y el ángulo de incidencia β, o viceversa. El coeficiente de reducción cy del

eje Y será , y para los otros ejes cx = cz = 1.cuu

gyy= = cot β

PERSPECTIVAS CABALLERA Y CÓNICA. REPRESENTACIÓN DE OBJETOS

11UNIDAD

πZ’Z

X’X

Y

O

Y’

d

Y’

X’

Z’

uuy

uy

β

OAA’

(A)

A’

ILustración 3

πZ’Z

X’X

Y

O

Y’

Y’

Y’

Y’

Y’

Y’Y’

β

Y’

Y’

Y’Y’

Y’

Y’

Y’

Y’

X’

Z’

O

ϕ

A

A’

Ilustración 4

Page 6: DT1 TEMA11

241

Si por el punto A se trazan todos los rayos proyectantes posibles que forman unángulo β con el cuadro, estos definen un cono (Ilust. 4). El eje Y’ pasa por O y A’, porlo que puede adoptar todas las direcciones del plano. Se indica la dirección del ejeY’ mediante el ángulo ϕ que forma con el eje X’.

1.4. Elección de la dirección y del coeficientede reducción del eje Y

Para realizar la perspectiva caballera de un objeto se comienza decidiendo ladirección del eje Y, de acuerdo con la posición del punto de vista que se deseaadoptar. La Ilust. 5 informa sobre el aspecto de la perspectiva para ángulos del eje Yde 45º, 135º, 225º y 315º. Los ángulos que más se emplean son los de 210º, 235º y240º, porque sitúan el punto de vista en la primera región (vista) y porque facilitan elempleo de la escuadra y el cartabón en la construcción de la perspectiva.

En la Ilust. 6 se puede observar la influencia del coeficiente de reducción en lanaturalidad de la perspectiva. La elección del coeficiente cy = 1 da un aspectodesproporcionado, alargando los objetos en el sentido de la profundidad. En cambioel coeficiente cy = 0,5 da un aspecto más natural.

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

45º

Y

X

Z

135º

315º

225º

Ilustración 5

Page 7: DT1 TEMA11

242

Sin embargo, necesidades prácticas de la representación pueden aconsejar uncoeficiente distinto, que con un aspecto menos natural, favorezca la legibilidad de laperspectiva. Los más recomendados son los decimales: 0,5 - 0,6 - 0,7 o losfraccionarios: 1/ 2 - 2 / 3 - 3 / 4.

1.5. Representación del punto

Un punto A se representa mediante su proyección directa A’ (perspectivacaballera del punto A) y sus tres proyecciones axonométricas A’1, A’2, y A’3. En lapráctica se prescindirá de las primas y se representará el punto A mediante suproyección directa A y una de las axonométricas. Se prescindirá también de lasprimas en la notación de los ejes y del origen de coordenadas.

PERSPECTIVAS CABALLERA Y CÓNICA. REPRESENTACIÓN DE OBJETOS

11UNIDAD

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

Z

cy = 0,5 cy = 0,7 cy = 1

Ilustración 6

A1

A2

A3

A (4, 3, 4)

B (-3, -2, -3)

C (1, -2, 2)

Coordenadas en cm

Y

X

Z

u

uy

A

B

C

M

N

P

O

Q

Ilustración 7

Page 8: DT1 TEMA11

243

El coeficiente de reducción se introduce de modo que se puedan obtenergráficamente las medidas reducidas a partir de las reales. Así (Ilust. 7), sobre laprolongación del eje Z se lleva la unidad u, y sobre el eje Y la unidad reducida uy,ambas a partir del origen O.

Para representar un punto a partir de sus coordenadas (x, y, z) se construye elortoedro de referencia de éste. Las longitudes de los tres primeros lados (coorde-nadas del punto) se sitúan sobre los ejes X, Z, sin reducir y sobre el eje Y reducidas.

En la Ilust. 7 se han representado los puntos A, B, C. Por ejemplo, para

representar el punto A se llevan OM__

= 4 cm, OP__

= 4 cm sobre los ejes X, Z y OQ__

= 3

cm sobre la prolongación del eje Z. La paralela por Q a la recta que une los extremos

de u y uy, permite obtener el lado ON__

del ortoedro (coordenada reducida del eje Y)

como cuarta proporcional de u, uy, OQ__

. Al completar el ortoedro se obtiene A.

1.6. Representación de la recta. Rectasparalelas al plano XZ

Una recta r se representa mediante su proyección directa (perspectiva caballerade la recta) y sus tres proyecciones axonométricas r1, r2 y r3. En la práctica se

representará mediante su proyección directa y una de las axonométricas.

En la Ilust. 8 izquierda se ha representado una recta r y un punto A de ella. De

acuerdo con la condición de pertenencia de un punto a una recta, dos proyecciones

A y A1 del punto están contenidas en las proyecciones homónimas r y r1 de la recta.

Las rectas paralelas al plano XZ (Ilust. 8 derecha) presentan sus proyecciones

directa y vertical primera en verdadera magnitud.

A

A1r1

r2

s2

t2

s1

r

r

s

Wr

Vr

Hr Hr1

Hr2

Hr3

Y Y

X X

Z Z

t

Ilustración 8

Page 9: DT1 TEMA11

244

1.7. Representación del plano. Planosparalelos al plano XZ

Un plano α se representa mediante sus tres trazas con los planos coordenados.Éstas definen un triángulo, llamado triángulo de las trazas, cuyos vértices están en

los ejes coordenados. Sólo dos trazas son suficientes para definir un plano, pues la

tercera queda determinada por las intersecciones de éstas con los ejes.

En la Ilust. 9 izquierda se ha representado un plano α, una recta r contenida en

él y un punto A de ella. De acuerdo con la condición de pertenencia de una recta aun plano, dos trazas Hr y Vr de la recta están contenidas en las homónimas α1 y α2

del plano. De acuerdo con la condición de pertenencia de un punto a un plano las

proyecciones A y A1 del punto están contenidas en las proyecciones homónimas r yr1 de una recta del plano.

Las figuras contenidas en planos paralelos al XZ mantienen su verdadera forma

en sus proyecciones directa y vertical segunda (Ilust. 9 derecha).

1.8. Representación de polígonos situadosen los planos coordenados

Sea el eneágono regular estrellado que se desea representar en perspectivacaballera, situado sobre los planos XZ e YZ, siendo ϕ = 45º y uy = 0,8 (Ilust. 10).

PERSPECTIVAS CABALLERA Y CÓNICA. REPRESENTACIÓN DE OBJETOS

11UNIDAD

α1 α1

α2

α3

α3A

A1

B2

C2

D2

E2

A2

r1

r

Wr

Vr

Hr

Y Y

X X

Z Z

A

B

C

D

E

Ilustración 9

Page 10: DT1 TEMA11

245

Se traza un rectángulo cuyos lados contengan vértices del eneágono y paralelas

a sus lados por los vértices del polígono que han quedado libres.

Para representar el eneágono en el plano XZ se transportan sobre el eje X, a

partir de un punto cualquiera, las distancias entre las líneas horizontales de

referencia trazadas sobre el polígono. Sobre el eje Z, de manera análoga, se trans-

portan las distancias entre las líneas verticales de referencia.

Por los puntos de división obtenidos se trazan paralelas a los ejes X y Z cuyos

puntos de corte sitúan los vértices del polígono.

Para representar el eneágono en el plano YZ se transportan sobre la prolon-

gación del eje Z, a partir de un punto cualquiera, las distancias entre las líneas

horizontales de referencia. Mediante paralelas a la dirección d, definida por u y uy, se

obtienen dichas distancias, reducidas en el eje Y.

Se obtienen los vértices del polígono mediante paralelas a los ejes Z e Ytrazadas desde los puntos de división.

Y

X

Z

2,5

2,5

2,5

2,52,5 2,54,5

4,5

4,54,5

4,5

4,56

6

66

6

67

7

77

7

7

4,7

4,7

12

12

13,8

13,8

9

9

ESCALA 1:1 ESCALA 1:1

COTAS EN MM COTAS EN MM

uy

ud

Ilustración 10

Page 11: DT1 TEMA11

246

1.9. Representación de circunferenciassituadas en los planos coordenados

Sea r el radio de la circunferencia que se desea representar en perspectiva

caballera, situada sobre los planos XZ e YZ, siendo ϕ = 45º y uy = 0,8 (Ilust. 11).

La circunferencia se representa en el plano XZ eligiendo como centro un punto

cualquiera O y trazándola con su verdadera forma.

Para representarla en el plano YZ se transporta sobre la prolongación del eje Z,

a partir de un punto cualquiera, el radio. Mediante paralelas a la dirección d, definida

por u y uy, se obtiene el radio reducido ry en el eje Y.

Elegido un punto Q del plano YZ, como centro de la elipse que es proyección de

la circunferencia de radio r, se trazan dos diámetros conjugados de ella. El primero

paralelo al eje Z, de longitud 2r y el segundo, paralelo al eje Y, de longitud 2ry. Por

último, se traza la elipse por afinidad o mediante haces proyectivos (no aparece en

el trazado).

De manera análoga se representa la circunferencia en el plano XY.

PERSPECTIVAS CABALLERA Y CÓNICA. REPRESENTACIÓN DE OBJETOS

11UNIDAD

r

Y

X

Z

uy

ry

ry

ry

ry

ry

u

d

r

r

Q

O2O

Q3

P1Prr

r

Ilustración 11

Page 12: DT1 TEMA11

247

2. Perspectiva cónica: fundamentosy construcción

2.1. Fundamentos

La representación de los seres y objetos tridimensionales situados en el espacio,sobre el plano del dibujo, es realizada por los artistas del Renacimiento mediante laperspectiva cónica. Alberto Durero (1471 – 1527) nos muestra, en la xilografía repro-ducida en la Ilust. 12, el método experimental que seguía para dibujar perspectivasde objetos:

● El objeto se sitúa sobre el tablero de la mesa (Plano Geometral).

● Por la anilla de la pared (punto de vista) pasa el cordel (rayo visual o proyec-tante) cuyo extremo se sitúa sobre los puntos más significativos de las aristasdel objeto.

● Una línea guía horizontal y otra vertical inmovilizan en el bastidor vertical (planodel cuadro) el punto de paso del cordel a su través (proyección). El tablero conel papel de dibujo gira sobre sus goznes hasta el interior del bastidor, dibujándosesobre dicho punto.

● Obtenidos suficientes puntos, se termina el dibujo a mano alzada.

Ilustración 12

Page 13: DT1 TEMA11

248

PERSPECTIVAS CABALLERA Y CÓNICA. REPRESENTACIÓN DE OBJETOS

11UNIDAD

Este procedimiento presenta notables paralelismos con la visión humana por lo

que las imágenes obtenidas producen una fuerte ilusión de realidad. Deben

contemplarse con un solo ojo abierto, mirando en dirección perpendicular al cuadro

desde la posición que ocupaba el punto de vista.

El desarrollo científico de la perspectiva cónica la ha convertido en uno de los

sistemas de representación. El sistema cónico utiliza un plano horizontal de

referencia, llamado geometral, que representa la superficie de la tierra. Los edificios,

plazas, esculturas... se sitúan, en general, por encima de dicho plano y son

observados desde un punto de vista V.

La representación del objeto (Ilust. 13 arriba) se realiza mediante dos proyec-

ciones sucesivas:

V

P

h

t

A

A1

A’

A’1

Ph

t

A’

A’1

F’r

S1

S’

S’1

S

S’1

S’

δ

d

Fr ∆

hv

Ilustración13

Page 14: DT1 TEMA11

249

1. El objeto se refiere al plano geometral mediante su proyección cilíndricaortogonal sobre él, llamada proyección horizontal.

2. Se proyectan desde V el objeto y su proyección horizontal sobre el plano delcuadro.

La perspectiva cónica del objeto así obtenida (Ilust. 13 abajo) consta de:

● La proyección S’ del objeto S sobre el plano del cuadro, llamada proyeccióndirecta o perspectiva cónica.

● La proyección S’1 sobre el cuadro de la proyección S1 del objeto sobre elgeometral, llamada proyección horizontal.

● Las líneas de tierra t y del horizonte h. Son las de intersección del plano delcuadro con el geometral y con su paralelo que pasa por V, llamado plano delhorizonte. La distancia hv entre t y h se llama altura de visión por corres-ponderse con la altura sobre el suelo del ojo del observador V.

● La proyección ortogonal P del punto de vista V sobre el plano del cuadro,llamada punto principal.

● Los puntos de distancia ∆, situados en la línea del horizonte a una distanciaδ de P igual a la que existe entre el punto de vista V y el plano del cuadro,llamada distancia de visión.

2.2. Evolución histórica

Ilustración 14. Anunciación a Santa Ana. Giotto. Siglo XV.

Page 15: DT1 TEMA11

250

PERSPECTIVAS CABALLERA Y CÓNICA. REPRESENTACIÓN DE OBJETOS

11UNIDAD

Otros artistas anteriores a Durero contribuyeron al desarrollo de la perspectiva cónica:

Giotto (1267 – 1337), aún en la Edad Media, renovó el arte de la representación

al evolucionar desde una manera de pintar en la que las figuras se entendían como

siluetas coloreadas recortadas sobre un fondo plano. Situó los cuerpos en un

espacio arquitectónico o paisajístico e intentó crear una ilusión de profundidad que

casi nunca superó los límites de una escenografía. La perspectiva empleada (Ilust.

14) se limitaba a la diferenciación entre las inclinaciones de las líneas de suelo y

techo sin establecer su convergencia en un punto de fuga único.

Leon Battista Alberti (1404 – 1472) inicia su tratado sobre la práctica de la

pintura (De pictura, 1435) con una discusión sobre los principios de la visión en

escorzo y a continuación describe un método de su invención para representar en

una pintura un suelo de baldosas cuadradas, del que puede dar idea la Ilust. 15. En

ella V es el punto de vista, PR su altura, PV su distancia al cuadro. Trazadas desde

V las líneas de profundidad, las convergentes en P determinan las medidas de las

baldosas reducidas según su distancia al cuadro.

De la manera de expresar sus ideas puede servir este texto extraído de dichotratado:

Para pintar una superficie, lo primero hago un cuadro o rectángulo del tamañoque me parece, el cual me sirve como una ventana abierta, por la que se ha de verla historia que voy a expresar, y allí determino la estatura de las figuras que he deponer, cuya longitud la divido en tres partes. Estas partes para mí son proporcionalesa aquella medida que comúnmente llaman braza (48 cm. aproximadamente); pues

VP Q

R TA B C D E F G

H

I

J

KL

M

Ilustración 15

Page 16: DT1 TEMA11

251

según se advierte en la proporción del hombre, su regular longitud es de tres brazas.Con esta medida divido la línea que sirve de base al rectángulo, y anoto las vecesque entra en ella.

Hecho esto, señalo un punto adonde se ha de dirigir principalmente la vista,dentro del rectángulo, [...] le llamo punto del centro. Este punto se colocará en parajeconveniente, no más alto que la altura que se señala a las figuras en aquel cuadro.Señalado el punto del centro, tiro rectas desde todas las divisiones de la línea de labase a él, las cuales me demuestran el modo con que van disminuyendo lascantidades.

Ilustración 16. Virgen con el niño adorada por Federico de Montefeldro. Piero della Francesca. 1472

Page 17: DT1 TEMA11

252

PERSPECTIVAS CABALLERA Y CÓNICA. REPRESENTACIÓN DE OBJETOS

11UNIDAD

Piero della Francesca (1416 – 1492) en su obra De prospectiva pingendi se

centra en el problema de dibujar en el plano del cuadro objetos tridimensionales tal

como se ven desde un punto de vista dado. Su empleo de la perspectiva, ya con un

punto de vista unificado, se enriquece con significados simbólicos ligados a la

posición del punto de fuga (Ilust. 16).

Leonardo Da Vinci (1452 – 1519) se dedicó al estudio de la perspectiva lineal de

forma experimental presentando sus ideas de forma visual, no verbal como sus

antecesores. Escribió un libro sobre perspectiva que se ha perdido. En su “Última

cena” (Ilust. 17) la cabeza de Cristo está superpuesta al punto de fuga de la

composición. La perspectiva central empleada aporta una sensación de eternidad y

equilibrio que contrasta con el tema del cuadro: el momento en que Cristo anuncia

que uno de ellos va a entregarle.

2.3. Perspectiva cónica oblicua

La perspectiva cónica se llama oblicua cuando el plano del cuadro está situado

en posición oblicua respecto a las caras o aristas del objeto representado. En los

cuerpos poliédricos las aristas verticales se mantienen paralelas al proyectarse en el

cuadro y las aristas horizontales, paralelas a una determinada dirección, se

proyectan como un haz de rectas convergentes en un punto, llamado de fuga,

situado en la línea del horizonte.

Ilustración 17. La última cena. Leonardo da Vinci. 1498

Page 18: DT1 TEMA11

253

Sea el cubo representado en diédrico con una de sus bases contenida en elplano horizontal. (Ilust. 18 izquierda).

Como plano del cuadro se elige un plano vertical cuya traza π1 esté en posiciónoblicua respecto a la primera proyección de las caras del cubo. Elegida la posiciónde la primera proyección V1 del punto de vista V, con respecto al cubo, se obtiene V2

tomando como cota la altura de visión que se desee.

Para dibujar la perspectiva se obtienen los puntos de corte A’, B’,... con el planodel cuadro π, de las rectas (rayos visuales) que unen V y los vértices del cubo. Así,se obtienen A’1, B’1,... en los puntos de corte de V1A1, V1B1,... con π1 y A’2, B’2,...levantando líneas de referencia desde A’1, B’1,... hasta V2A2, V2B2...

Al ser π un plano vertical, la distancia entre el punto de vista y el cuadro δ = VP ==V1P1, siendo V1P1 la perpendicular desde V1 a π1. Levantando por P1 una línea dereferencia hasta la perpendicular de V2 a π 2, se obtiene P2.

Para ver los puntos obtenidos en verdadera magnitud y completar la perspectivase precisa abatir π de modo que se mantenga la posición de los puntos de la figura,lo que obliga a desplazarla hacia la derecha para que no se superponga a lasegunda proyección del cubo.

Basta situar P1 en cualquier punto de L.T. y llevar A’1, B’1... mediante arcos (Ilust. 18derecha), aunque cambiando su nombre por 1, 2..., para evitar interferencias con lanotación de la perspectiva cónica. En los puntos de corte de las paralelas a L.T.trazadas desde A’2, B’2... y de las verticales trazadas desde 1, 2... están A’, B’ ... Porúltimo se dibujan las aristas del cubo distinguiendo entre vistas y ocultas.

La línea del horizonte h es la paralela a la línea de tierra que pasa por P2 y sobreella se sitúa el punto principal P, mediante una vertical desde P1. El punto dedistancia ∆ se sitúa sobre h a la distancia δ = P∆ desde la que hay que observar laperspectiva.

A2

B2

A1B1

V1

V2

p1

π2

P1

P2

δ

P

B’2

A’2

B’1A’1

A’

B’

P1

t

h ∆

1 2 3 4

1

2

3

4

Ilustración 18

Page 19: DT1 TEMA11

254

PERSPECTIVAS CABALLERA Y CÓNICA. REPRESENTACIÓN DE OBJETOS

11UNIDAD

2.4. Perspectiva cónica frontalLa perspectiva cónica se llama frontal cuando el plano del cuadro es paralelo a

algunas caras del objeto representado. En este caso las caras del objeto situadas enplanos paralelos al cuadro se proyectan semejantes a las originales y las aristasperpendiculares al cuadro convergen en el punto principal.

Sea el cubo representado en diédrico con una de sus bases contenida en elplano horizontal (Ilust. 19 izquierda).

Como plano del cuadro se elige un plano frontal cuya traza π1 será paralela aL.T.. Elegido V1, se obtiene V2 tomando como cota la altura de visión que se desee.

Se obtienen A’1, B’1,... en los puntos de corte de V1A1, V1B1,... con π1 y A’2, B’2...levantando líneas de referencia desde A’1, B’1... hasta V2A2, V2B2...

Al ser π un plano frontal, la distancia entre el punto de vista y el cuadro δ = VP==V1P1, siendo V1P1 la perpendicular desde V1 a π1, P2 coincide con V2.

Podría obtenerse la perspectiva cónica del cubo dibujando las aristas que unenA’2, B’2... pero es preferible desplazarla hacia la derecha para que no se superpongacon la segunda proyección del cubo.

Basta situar P1 en cualquier punto de L.T. y llevar A’1, B’1... mediante arcos (Ilust. 19derecha), aunque cambiando su nombre por 1, 2, ..., para evitar interferencias con lanotación de la perspectiva cónica. En los puntos de corte de las paralelas a L.T.trazadas desde A’2, B’2... y de las verticales trazadas desde 1, 2 ... están A’, B’ ... Porúltimo se dibujan las aristas del cubo distinguiendo entre vistas y ocultas.

La línea del horizonte h es la paralela a la línea de tierra que pasa por P2 y sobreella se sitúa el punto principal P, mediante una vertical desde P1. El punto dedistancia ∆ se sitúa sobre h a la distancia δ = P∆ desde la que hay que observar laperspectiva.

A2

B2

A1B1

V1

V2

π1

P1

P2

δ

PB’2

A’2

B’1A’1

A’

B’

t

h

P1

1 2 43

1 2 3 4

Ilustración 19

Page 20: DT1 TEMA11

255

3. Representación de objetos endiédrico, isométrico y caballera

3.1. Representación de objetos. Cuerposfundamentales

La mayor parte de los objetos fabricados por el hombre están formados porrepetición, suma o sustracción de unas formas básicas que se llaman cuerposfundamentales. Estos son: el prisma, la pirámide, el cilindro, el cono y la esfera. Elconocimiento de su representación facilita la de los objetos formados por ellos.

En la Ilust. 20 se ha descompuesto una pieza industrial en sus cuerpos funda-mentales. En unos casos se trata de cuerpos positivos como la placa, que es untronco de pirámide, y en otro de cuerpos negativos como el taladro en forma decilindro, y su avellanado en forma de tronco de cono.

3.2. Representación del prisma rectoDos caras del prisma recto son polígonos iguales, situados en planos paralelos

(bases), cuya distancia es la altura y las demás son rectángulos que se unenmediante aristas iguales, paralelas entre sí y perpendiculares a las bases (caraslaterales).

Ilustración 20

Page 21: DT1 TEMA11

256

PERSPECTIVAS CABALLERA Y CÓNICA. REPRESENTACIÓN DE OBJETOS

11UNIDAD

Sea l el lado de la base y h la altura del prisma recto de base hexagonal, que sedesea representar en diédrico con una de sus bases contenida en el plano horizontal(Ilust. 21 izquierda).

En esta posición las dos bases son paralelas al plano horizontal, por lo que seproyectan en verdadera magnitud, y las aristas laterales son rectas verticales, por locual las proyecciones primeras de las dos bases coinciden. Se construye elhexágono trazando la circunferencia de centro O y radio l, el diámetro A1D1 paraleloa l. t. y los arcos de radio l y centros A1 y D1.

La segunda proyección de las bases son rectas paralelas a l. t. cuyos puntostienen cota 0 ó h. Líneas de referencia trazadas desde A1, B1, C1... permiten obtenerla segunda proyección de cada arista lateral.

Para representar el prisma en isométrico, con una de sus bases contenida en elplano XY (Ilust. 21 derecha), se dibuja en primer lugar la proyección directa de labase. Ésta se encaja en un rectángulo que contenga a sus vértices, se halla laperspectiva del rectángulo llevando sus longitudes reducidas y se dibuja laproyección del hexágono uniendo los vértices.

A continuación se trazan por los vértices A, B, C,... paralelas al eje Z, y se llevasobre cada una de ellas la longitud 0,81×h que permite obtener el resto de losvértices. Se trazan las aristas con trazo lleno o discontinuo según sean vistas uocultas, atendiendo a si están delante o detrás del polígono BCDEKLGH que formael contorno. La proyección vertical segunda se obtiene hallando la intersección conel plano XZ, de las paralelas al eje Y trazadas desde A, B, C...

Z

YX

A2

A2

D2

D2

B2

B2F2

C2 E2

C2

F2

E2

G2 J2 h

l

I2 K2

H2

G2

I2

H2 L2

K2L2

J2

G1A

FD1

D

I

H1

B

G

I1 C

HK1L1

E

J

A1 J1

B1 C1

E1F1

K

L

O

Ilustración 21

Page 22: DT1 TEMA11

257

Para representar el prisma en el sistema cónico oblicuo se dibuja, sobre su

representación en diédrico, un plano del cuadro π que no sea paralelo a ninguna cara

(Ilust. 22 izquierda). A continuación se eligen las proyecciones V1, V2 del punto de

vista V, en este caso a muy poca altura, para que parezca la perspectiva de un edi-

ficio visto por un peatón.

Se obtienen A’1, B’1,... en los puntos de corte de V1A1, V1B1... con π1 y A’2, B’2...

levantando líneas de referencia desde A’1, B’1... hasta V2A2, V2B2...

La perpendicular desde V1 a π1 permite obtener P1 y δ = VP =V1P1. Levantando

por P1 una línea de referencia hasta la perpendicular de V2 a π2, se obtiene P2.

Se sitúa P1 en cualquier punto de L.T. y se llevan (A’1, B’1...) = (1, 2 ...) median-

te arcos (Ilust. 22 derecha). En los puntos de corte de las paralelas a L.T. trazadas

desde A’2, B’2... y de las verticales trazadas desde 1, 2 ... están A’, B’ ... Por último

se dibujan las aristas del cubo distinguiendo entre vistas y ocultas.

Se traza por P2, paralela a la línea de tierra t = L.T., la línea del horizonte h. Sobre

h se sitúa el punto principal P, en la vertical de P1 y la distancia ∆, de modo que

P∆ = δ.

Ilustración 22

Page 23: DT1 TEMA11

258

PERSPECTIVAS CABALLERA Y CÓNICA. REPRESENTACIÓN DE OBJETOS

11UNIDAD

3.3. Representación de la pirámide regular

Una cara de la pirámide regular es un polígono regular (base), su centro es el piede la perpendicular trazada desde el vértice opuesto a ella (altura) y las demás sontriángulos isósceles iguales (caras laterales).

Sea l el lado del triángulo equilátero, base de la pirámide regular de altura h, quese desea representar en diédrico apoyada en el plano horizontal (Ilust. 23 izquierda).

La primera proyección de la base se construye trazando el lado A1C1 = l paraleloa l. t. y los arcos de radio l y centros en A1 y C1. Las perpendiculares desde cadavértice a su lado opuesto se cortan en la primera proyección D1 del vértice superior,que se une con A1, B1 y C1.

Se trazan líneas de referencia desde A1, B1 y C1 hasta l. t. y desde D1 hasta la cotah, obteniendo A2, B2, C2 y D2 respectivamente, que unidos entre sí, dan las segundasproyecciones de las aristas de la pirámide.

Para representar la pirámide regular en isométrico, con su base contenida en elplano XY (Ilust. 23 derecha), se dibuja en primer lugar la proyección directa de labase, encajándola en un rectángulo que contiene a sus vértices y trazando lasparalelas que pasan por el pie de la altura.

A continuación se traza por el pie de la altura D1, una paralela al eje Z y se llevasobre ella la altura reducida 0,816 × h, obteniéndose el vértice superior D. Laproyección vertical segunda se obtiene hallando la intersección con el plano XZ, delas paralelas al eje Y trazadas desde A, B, C y D.

Ilustración 23

Page 24: DT1 TEMA11

259

3.4. Representación del tronco de pirámide

Dos caras del tronco de pirámide de base cuadrada son cuadrados situados enplanos paralelos (bases), cuya distancia es la altura y las demás son trapeciosisósceles iguales (caras laterales).

Sean a y b los lados de los cuadrados que forman las bases del tronco depirámide de altura h, que se desea representar en diédrico, con sus bases paralelasal plano vertical (Ilust. 24 izquierda).

Con a como lado, se construye el cuadrado A2B2C2D2, que es la segundaproyección de la base mayor, y se trazan sus diagonales. Se lleva el lado b de labase menor sobre C2D2, obteniendo C2M, que se traslada hasta H2G2. Se trazan losotros tres lados de la base menor ayudándose de las diagonales y se dibujan lassegundas proyecciones de las aristas laterales.

Las primeras proyecciones de las bases son dos paralelas a l. t. que distan entresí la altura h. Líneas de referencia trazadas desde A2, B2, C2, D2, E2... las cortan enlas primeras proyecciones de los vértices.

Para representar el tronco de pirámide de base cuadrada en caballera, situadocon sus bases paralelas al plano XZ (Ilust. 24 derecha), se dibuja en primer lugar suproyección vertical primera, de la misma manera que se construyó la segundaproyección de su representación diédrica.

Ilustración 24

Page 25: DT1 TEMA11

260

PERSPECTIVAS CABALLERA Y CÓNICA. REPRESENTACIÓN DE OBJETOS

11UNIDAD

Se trasladan A2, B2, C2, D2, paralelos al eje Y, una distancia cualquiera d, obte-niéndose A, B, C, D, proyecciones directas de los vértices de la base mayor.

Obtenida la altura reducida hy como cuarta proporcional de u, uy, h, se trasladananálogamente E2, F2, G2, H2, la distancia d + hy, hasta E, F, G, H, proyeccionesdirectas de los vértices de la base menor.

3.5. Representación del cilindro recto

Las bases del cilindro recto son circunferencias situadas en planos paraleloscuya distancia es la altura y las superficies laterales están formadas por infinitossegmentos (generatrices), paralelos a la línea que une los centros de las bases (eje),y que tienen sus extremos en ellas.

Sea r el radio de las bases y h la altura del cilindro recto que se desea repre-sentar en diédrico, con sus bases paralelas al plano vertical (Ilust. 25 izquierda).

La proyección segunda de las bases son circunferencias coincidentes de radio ry centro cualquiera. Su proyección primera son dos segmentos de longitud 2r,situados sobre dos paralelas r y s a l. t. que distan entre sí la altura h.

Un punto como E2 = F2 de dichas circunferencias coincidentes es la segundaproyección de una generatriz del cilindro EF, cuya primera proyección E1F1 es un

Ilustración 25

Page 26: DT1 TEMA11

261

segmento perpendicular a l. t. que tiene sus extremos en r y s. Las dos generatricesAB y CD, cuyas líneas de referencia son tangentes a las proyecciones segundas delas bases, se llaman generatrices del contorno aparente y son la frontera entre laparte vista y oculta de la primera proyección del cilindro.

Para representar el cilindro recto en caballera, situado con sus bases paralelasal plano XZ (Ilust. 25 derecha), se traza su eje de simetría paralelo al eje Y. Se llevansobre él los centros O y Q de las proyecciones directas de las bases, distantes laaltura reducida hy y se trazan éstas con radio r. Las tangentes comunes a ambas sonla proyección directa de las generatrices del contorno aparente.

El centro O2 = Q2 de su proyección vertical primera se halla sobre el eje delcilindro a una distancia OO2 cualquiera.

3.6. Representación del cono

La base del cono de revolución es una circunferencia cuyo centro es el pie de laperpendicular a ella, trazada desde el vértice (altura) y las superficies laterales estánformadas por infinitos segmentos (generatrices), que pasan por él y por la circun-ferencia de la base.

Sea r el radio de la base y h la altura del cono de revolución, que se desearepresentar en diédrico, con su base apoyada en el plano horizontal (Ilust. 26izquierda).

Z

YX

O

V

V1

V1

O2

r

h

O1

O1

V2

A2 B2

B1A1

A

BC

DE F

Ilustración 26

Page 27: DT1 TEMA11

La proyección primera de la base es una circunferencia de radio r y centrocualquiera O1, que coincide con la primera proyección del vértice. Su proyecciónsegunda es un segmento de longitud 2r que coincide con l. t. La proyección segundade V se obtiene mediante su cota que es igual a la altura del cono. Las dosgeneratrices AV y BV, cuyas líneas de referencia son tangentes a las proyeccionesprimeras de las bases, son las generatrices del contorno aparente vertical y son lafrontera entre la parte vista y oculta de la segunda proyección del cono.

Para representar el cono de revolución en isométrico, situado con su baseapoyada en el plano XY (Ilust. 26 derecha), se elige un centro cualquiera O para laproyección directa de su base. Se trazan dos diámetros conjugados AB y CD delongitud 0,816 ×2r de la elipse que es proyección de ésta, paralelos a los ejes X e Y,cuyo punto medio sea O. Trazada la elipse, se lleva la altura OV = 0,816 × h y setrazan las tangentes a aquella desde V. Éstas son las generatrices del contornoaparente VE y VF.

La proyección vertical segunda se obtiene trasladando, paralelas al eje Y, hastael plano XZ, las generatrices AV, BV y el diámetro AB.

262

PERSPECTIVAS CABALLERA Y CÓNICA. REPRESENTACIÓN DE OBJETOS

11UNIDAD

R e c u e r d a

U La perspectiva caballera es un caso particular de la axonometría oblicua en la que elplano del cuadro se dispone paralelo o coincidente con el plano XZ.

U Las caras paralelas al plano XZ en perspectiva caballera y XY en militar, de los obje-tos representados, mantienen su forma y su tamaño al ser proyectadas.

U Para dibujar la perspectiva axonométrica de un polígono, situado en un plano para-lelo a uno de los coordenados, se encaja en un rectángulo que contenga a sus vér-tices, se refieren mediante paralelas a los lados los vértices libres, se halla la pers-pectiva del rectángulo con los puntos referidos y se unen éstos.

U Para dibujar la perspectiva cónica de un cuerpo representado en diédrico se elige unplano del cuadro, un punto de vista y se proyecta el cuerpo sobre el cuadro, abatien-do la proyección obtenida sobre el vertical.

U Para dibujar la perspectiva de una circunferencia situada en un plano paralelo a unode los coordenados, se trazan dos diámetros reducidos paralelos a los ejes que defi-nen dicho plano, que se corten en su punto medio, los cuales son dos diámetros con-jugados de la elipse proyección de aquella.

U Para trazar la perspectiva de un objeto debemos atender a los cuerpos fundamenta-les de que está formado.

Page 28: DT1 TEMA11

263

A c t i v i d a d e s

1. Obtener la trazas del plano definidopor las rectas r y s.

r1

s1

r

s

Z

Y

X

2. Representar en diédrico el prismarecto de altura h, cuya base es unrombo de lado l y diagonal d.

l

h

d

3. Representar en perspectiva isométricael prisma recto de base el pentágonodado.

h

4. Dibujar la perspectiva caballera (pro-yección directa) del tornillo que se daen isométrica, formado por:

− El prisma recto de altura h y baseun hexágono regular de lado l.

− El cilindro recto de altura g y radiode la base r.

h

l

r

g

Y

uy

u

X

Z