Jurusan StatistikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

EKO SAPUTRO (13 08 100 090)

Seminar Proposal Tugas Akhir 2

&&

3

Setiap persoalan program linear selalu berkaitan dengan

persoalan program linear yang lain, yang disebut persoalan

kedua.

Persolan kedua disebut dual

Persoalan pertama disebut primal

Hubungan keduanya berguna dalam interpretasi dan

penerapan analisis sesitivitas

Bentuk standar program linear Maksimumkan

Fungsi batasan ; Iterasi menggunakan simplek tabel

dimana :

wi = cB B-1

z0 = cB B-1b = Wb = w1 b1 + w2 b2 +...+ wi bi +...+ wm bm

zj = cB B-1 α= Wb = w1 α 1j + w2 α 2j +...+ wi α ij +...+ wm α mj

BV z x1 x2 ... xi ... xn xn+1 xn+2 ... xn+i ... xn+m RHS

z 1 z1-c1 z2-c2 ... zi-ci ... zn-cn w1 w2 ... wi ... wm z0

XB 0 B-1A B-1I B-1b

primal

Optimum Jika• zj –cj ≥ 0 ; zj ≥ cj

w1 α 1j + w2 α 2j +...+ wi α ij +...+ wm α mj ≥ cj

• wi ≥ 0 , w1 ≥ 0, w2 ≥ 0,...., wi ≥ 0,...., wm ≥ 0

Mencari nilai w1 ,w2 ,...,wi ,...,wm

Min z0 = cB B-1b = Wb = w1 b1 + w2 b2 +...+ wi bi +...+ wm b

atau z0 = WbFungsi batasan :WA ≥ cW ≥ 0

Dual

Primal Dual(atau persoalan Dual) (atau persoalan Primal)

(Maksimumkan) Minimumkan•Ruas kanan ------------- •Koefisien fungsi obyektif•Koefisien fungsi obyektif ------------- • Ruas kanan•Fungsi Batasan ------------- •variabel keputusan•Tanda pada fungsi batasan ------------- •tanda pada variabel keputusan

≥ ≤ 0≤ ≥ 0= tidak ada batasan tanda

•variabel keputusan ------------- •Fungsi Batasan

•tanda pada variabel keputusan ------------- •Tanda pada fungsi batasan≥ 0 ≥≤ 0 ≤

tidak ada batasan tanda =

Model Matematis PrimalMaks z = c1 x1 + c2 x2 +...+ cj xj +...+ cn xn

Fungsi Batasan :

α11 x1 + α12 x2 +...+ α1j xj +...+ α1n x n ≤ b 1

α21 x1 + α22 x2 +...+ α2j xj +...+ α2n x n ≤ b 2

.........

αm1 x1 + αm2 x2 +...+ αmj xj +...+ αmn x n ≤ b m

x1, x2 , ... , x n ≥ 0 Model Matematis Dual

Min z0 = b1 w1 + b2 w2 +...+ bj wj +...+ bn wn

Fungsi Batasan :

α11 w1 + α21 w2 +...+ αi1wi +...+ αm1 w m ≤ c 1

α12 w1 + α22 w2 +...+ αi2 wi +...+ αm2 w m ≤ c 2

.........

α1n w1 + α2n w2 +...+ αin wi +...+ αmn w m ≤ c n

w1, w2 , ... , w m ≥ 0

Ciri-Ciri Dualitas1.Jika suatu persoalan primal mempunyai penyelesaian optimum yaitu x* , dan dual dari primal tersebut mempunyai persoalan optimum w*, maka cx*=w*b2.Iterasi terakhir (optimum) secara simultan akan memuat suatu penyelesaian optimum x* untuk primal dan w* untuk dual.3.Dapat dikatakan bahwaa)Primal optimum maka dual optimumb)Primal tidak terbatas maka dual tidak fisibel atau sebaliknyac)Primal tidak fisibel maka duat tidak terbatas atau sebaliknya

MaksimumkanFungsi Batasan ;

Minimumkan z0 = WbFungsi batasan : WA ≥ c ; W ≥ 0

Semua hubungan penyelesaian keduannya harus simetris

primal

Dual

Variabel Primal Variabel Dual yang berkaitan Keterangan

Variabel Asli (x j) Variabel Surplus (zj-cj) j=1,2,....,n

Variabel Slackness (x n+i) Variabel Asli (wi) i=1,2,....,mVariabel Basis Variabel Non Basis m variabelVariabel Non Basis Variabel Basis n variabel

apabila fungsi batasan persoalan primal berupa pertidaksamaan maka variabel yang berkaitan dengan fungsi batasan tersebut dalam persoalan dual harus nol.

Sehingga :a. xj (xj-cj) = 0 apabila xj = 0 maka (xj-cj) ≠ 0 atau

sebaliknyab. xn+iwi = 0 apabila xn+i = 0 maka wi ≠ 0 atau sebaliknya

Langkah-langkah :I. Pilih satu matriks basis B sedemikian hingga zj-cj = cB B-1 αj-

cj ≥ 0 sedemikian hingga dual fisibel.II. Buat tabel simplek seperti pada simplek primal dengan

mengalikan dengan B-1.

III. Periksa apakah sudah optimum, jika elemen ruas kanan non negatif B-1 b ≥ 0.

IV.Pilih variabel yang akan keluar basis yaitu elemen ruas kanan B-1 bi yang paling negatif. Misalkan yang terpilih adalah elemen pada baris ke k maka xbk keluar basis.

V. Periksa apakah memilki daerah fisibel, yaitu garis ke k ada elemen yang negatif yj < 0 . Jika semua non negatif maka tidak memiliki daerah fisibel. Namun jika memiliki maka dilanjutkan langkah berikutnya.

Langkah-langkah :VI.Pilih variabel yang akan masuk basisyaitu minimum dari

. Jika adalah negatif

terkecil untuk kasus maksimumkan , positif untuk kasus minimumkan , maka xr keluar basis dan yk adalah pivot.

VII. Lakukan iterasi pada tabel awal yaitu dengan mengganti xbk dengan xr dan membagi semua elemen pada aris ke k dengan yk dan yk disebut pivot.

VIII. Ulangi sampai diperoleh tabel optimum.

14

Analsis sensitivitas digunakan untuk menyelesaikan persoalan baru yang mana cukup dimulai dari penyelesaian optimum persoalan lama, yaitu dengan merubah bagian-bagian mana yang meuat parameter yang berubah.

Misalnya :a. Perubahan pada keuntungan atau biaya (cj)b. Perubahan pada bahan/sumber yang tersedia (bi)c. Perubahan pada kebutuhan bahan per unit produk (αij)d. Menambah satu kegiatan produk baru (xj)e. Menambah jenis bahan i (menambah fungsi batasan baru)

Apabila keuntungan atau biaya berubah maka pada tabel optimum persoalan lama yang berubah hanya pada baris ke nol saja sebab untuk memeriksa optimummitas dan yang memuat komponen (cj) hanya baris ke nol saja. Apabila (cj)

berubah perlu dibedakan apakah (cj) adalah koefisien dari (xj)

dimana (xj) variabel basis atau non basis.

Apabila pda suatu saat bahan yang tersedia (bi) berubah menjadi (b’i) ,maka tabel optimum persoalan awal yang berubah hanya pada ruas kanan RHS saja. Sebab untuk memeriksa optimumitas dan yang memuat komponen (bi)

hanya pada ruas kanan, dimana ruas kanan (RHS)= B-1 b akan berubah menjadi B-1 b’. Tabel optimum persoalan awal masih tetap optimum apabila B-1 b’ non negatif(B-1 b’≥ 0) tetapi apabila B-1 b’ ada yang negatif, maka tabel optimum awal belum optimum, sehingga harus dioptimumkan. Caranya ganti ruas kanan (RHS) dengan B-1 b’ selanjutnya dilakukan iterasi menggunakan simplek dual, sebab dual belum optimum.

Apabila terjadi perubahan komposisi pada sumber untuik satu unit produk j,dimana (αj) berubah menjadi (α’j) , maka tabel optimum persoalan awal yang berubah adalah pada baris ke nol sebab untuk memeriksa optimumitasdan yang memuat komponen (αj) hanya pada baris ke nol. Apabila (αj)

berubah, perlu dibedakan apakah (αj) adalah koefisen dari (xj)

dimana (xj) variabel basis atau non basis

Apabila diinginkan untuk menambah suatu kegiatan baru atau menambah satu produk baru xj ,andaikan xn+1 adalah jumlah produk jenis baru yang akan diproduksi, dimana untuk membuat 1 unit produk baru tsb. Memerlukan bahan sebanyak αn+1 dan kontribusi untuk 1 unit produk baru cn+1.

Keputusan apakah produk baru perlu dipertimbangkan adalah dengan menghitung zn+1 - cn+1 =cB B-1 αn+1 - cn+1

Tabel persoalan awal masih optimum jika: zn+1 - cn+1 ≥ 0 ; untuk kasus memaksimumkan zn+1 - cn+1 ≤ 0 ; untuk kasus meminimumkan

Produk baru tidak perlu dipertimbangkan jika tabel masih optimum. Apabila belum optimum maka dioptimumkan dengan menambah kolom ke n+1, dimana baris ke nol diisi dengan (zn+1 - cn+1), baris ke 1 sampai m diisi dengan B-1 αn+1 . Lakukan iterasi kembali.

Apabila jenis sumber baru yang bertambah adalah sumber ke (m+1) dimana sumber ke (m+1) tersedia sebanyak bm+1 dan setiap unit produk j, memerlukan sumber ke (m+1), sebanyak α(m+1)j , maka tambahan fungsi batasan baru yaitu:

αm+1,1 x1 + αm+1,2 x2 +…+ αm+1,j xj +…+ αm+1,n xn ≤ bm+1

Tabel optimum persoalan awal diupdate, yaitu tambahkan fungsi batasan baru tersebut pada baris terakhir dari tabel simpleks optimum persoalan awal dan tambahkan kolom terakhir sebagai variabel slackuntuk fungsi batasan baru. Selanjutnya lakukan iterasi seperti iterasi tabel simplek.

Seminar Proposal Tugas Akhir 21

Jaringan Kerja (network)-> representasi dari rencana proyek dengan urutan aktivitas yang harus dilakukan.

Apabila waktu penyelesaian pasti menggunakan CPM atau metode lintasan kritis.

CPM-> menghitung waktu penyelesaian proyek, lama toleransi menganggur.

Apabila waktu penyelesaian tidak pasti maka menggunakan PERT atau Program Evaluation and Review Technique.

PERT-> menaksir probabilitas proyek selesai keseluruhan,

Istilah –istilah :1. Aktivitas/ kegiatan disimbolkan huruf besar2. Anak panah menunjukkan suatu aktivitas3. ------- Anak panah putus-putus menunjukkan aktivitas

semu / dummy.4. lingkaran /node menunjukkan awal atau akhir

suatu aktivitas. Diberi nomor mulai nomor kecil

A(i,j) d(i,j)5. Aktivitas A disebut (i,j) dimulai dengan node i

berakhir node j dengan waktu d(i,j)

i j

1

2

43

5

Ilustrasi Jaringan Kerja Proyek

Lintasan Kritis -> lintasan dimana aktivitas dalam lintasan tersebut tidak dapat dirtunda pengerjaannya.

Terminologi dasar:a) EET(Earliest Event Time) -> saat tercepat terjadinya peristiwa.b) LET(Latest Event Time) -> saat paling lambat peristiwa boleh

terjadic) EST(Earliest Start Time) -> waktu paling awal suatu aktivitasd) EFT(Earliest Finish Time) -> waktu selesai paling awal suatu

aktivitase) LST(Latest Finish Time) -> waktu paling lambat aktivitas

diselesaiakn tanpa memperlambat penyelesaian proyekf) d(i,j) (Activity Duration Time) -> kurun waktu yang diperlukan

suatu aktivitas.

Asumsi Perhitungan:a) Proyek hanya memiliki satu kegiatan awal dan kejadian akhir/

berawal satu node dan berakhir pada satu node.b) Saat tercepat kejadiaan awal adalah hari ke nolc) Saat paling lambat kejadian akhir adalah EET=LET

EET-> Perhitungan majuLET-> Perhitungan mundur

EST A(i,j) EFT EST A(i,j) EFT

i J

EET

LET

EET

LET

EET i = EST ijEFT ij = EST ij + d ijEET j = EFT ij (jika aktivitas yang masuk satu cabang)EET ij = max(EFT ij )

EET

EST A(i,j) EFT EST A(i,j) EFT

i J

EET

LET

EET

LET

LFT ij = LET jLST ij = LFT ij – d ijLET i = LST ij (jika aktivitas yang keluar hanya satu cabang)LET i= min( LST ij) (jika aktivitas yang keluar lebih dari satu cabang)

LET

Waktu selesai normal -> biaya normal Waktu dipercepat -> biaya bertambah (sebanding dengan

pengurangan waktu aktivitas).

dij Dij

dipercepat normal Waktu Aktivitas

Biaya Aktivitas

C dij

C Dij

Jika Dij waktu yang diperlukan menyelesaikan aktivitas normal dengan biaya C Dij, sedangkan dij waktu yang diperlukan menyelesaikan aktivitas dipercepat dengan biaya C dij, sehingga tambahan biaya persatuan waktu jika dipercepat (C dij- Cdij)(Dij – dij).

Tiga perkiraan waktu yang dipergunakan :a) Waktu Optimis

b) Waktu Pesimis

c) Waktu Realistis

E(Cij)-> ekspektasi waktu menyelesaikan kegiatan antara a dan b.

Asumsi E(Cij):

1. Variabel reandom Cij berdistribusi BETA dengan mode m, batas bawah a dan atas b dengan standar deviasi σ adalah (b-a)/6 sehingga E(Cij)= (1/3)(2m+0,5(a+b)

2. Waktu penyelesaian Cij independent dengan yang lain dengan ekspektasi E(TC) dengan varians penyelesian proyek σ ² tc.

3. Waktu yang diperlukan untuk penyelesaian proyek berdistribusi normal dengan mean E(TC) dan varians σ ² tc.