Upload
shubha
View
94
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Dubbel exponentiell utjämning Data antas här innehålla en linjär trend. Modell: Vanligtvis används två utjämningsparametrar och (Holt’s metod): Uppdateringsschema: Prognoser:. Stat Times SeriesDouble Exp Smoothing…. Två utjämningspara-metrar (alpha och gamma). - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
1
Dubbel exponentiell utjämning
Data antas här innehålla en linjär trend.
Modell:
Vanligtvis används två utjämningsparametrar och (Holt’s metod):
Uppdateringsschema:
Prognoser:
tt ty 10
nT
bb
by
TTTT
TTTT ,,1)1(][
)1(
11
11
TTT by ˆ
2
StatTimes SeriesDouble Exp Smoothing…
Två utjämningspara-metrar (alpha och gamma)
Prognos i en tidpunkt begärs
3
Actual
Predicted
Actual
Predicted
151050
150
145
140
C2
Time
MSD:MAD:MAPE:
Gamma (trend):Alpha (level):Smoothing Constants
10.9602 2.6536 1.8209
1.1250.218
Double Exponential Smoothing for C2
På datamaterialet från förra föreläsningen:
4
Actual
Predicted
Forecast
Actual
Predicted
Forecast
20100
180
170
160
150
140
C2
Time
MSD:MAD:MAPE:
Gamma (trend):Alpha (level):Smoothing Constants
10.9602 2.6536 1.8209
1.1250.218
Double Exponential Smoothing for C2
5
Eftersom datamaterialet inte har någon trendstruktur så fungerar inte dubbel exponentiell utjämning (gamma >1).
Prognoserna blir orimliga.
6
Exempel: Miljöstatistik!
Nedanstående diagram visar koncentrationen i juli månad av kväve i alla dess tänkbara former i Råån vid Helsingborg, åren 1987-2001.
Diagrammet tyder på en nedåtgående trend. Vad kan värdet i juli 2002 tänkas bli?
7
Double Exponential Smoothing
Data Total N
Length 15.0000
NMissing 0
Smoothing Constants
Alpha (level): 0.2
Gamma (trend): 0.2
Accuracy Measures
MAPE: 46
MAD: 1873
MSD: 5111241
Row Period Forecast Lower Upper
1 16 2560.25 -2027.82 7148.32
8
9
10
11
utjämnade serien
‘one-step-ahead’ forecasts:
successiva prognoser
12
Exponentiell utjämning av tidsserier med trend och säsong:
• (Holt-)Winters’ additiva metod
• (Holt-)Winters’ multiplikativa metod
Bägge metoderna använder tre utjämningsparametrar , ,
för nivå, lutning och säsongssvängning.
Val av metod görs enligt samma principer som vid klassisk komponentuppdelning.
13
Exempel: Kvartalsvisa försäljningsdatayear quarter sales
1991 1 124
1991 2 157
1991 3 163
1991 4 126
1992 1 119
1992 2 163
1992 3 176
1992 4 127
1993 1 126
1993 2 160
1993 3 181
1993 4 121
1994 1 131
1994 2 168
1994 3 189
1994 4 134
1995 1 133
1995 2 167
1995 3 195
1995 4 131
5 10 15 20
120
130
140
150
160
170
180
190
200
Index
sale
s
14
StatTime SeriesWinters’ Method…
15
Winters' multiplicative model
Data sales
Length 20.0000
NMissing 0
Smoothing Constants
Alpha (level): 0.2
Gamma (trend): 0.2
Delta (seasonal): 0.2
Accuracy Measures
MAPE: 2.6446
MAD: 3.8808
MSD: 23.7076
Row Period Forecast Lower Upper
1 21 135.625 126.117 145.133
2 22 174.430 164.724 184.136
16
17
18
Ingen möjlighet att låta MINITAB välja den bästa uppsättningen av parametrar. Man måste prova sig fram.
Om man har en tidsserie som ovan, med tydliga säsongskomponenter som inte ändrar sig över tiden och en linjär trend, så finns det inga fördelar med exponentiell utjämning framför klassisk komponentuppdelning.
19
20
Däremot kan det vara bra att använda exponentiell utjämning om komponenterna ändras över tiden och om det finns tydliga cykliska komponenter.
68
63
58
600500400300200100
Va
lue
Index
21
Tidsserie över procentsats anställda i USA
68
63
58
600500400300200100
Va
lue
Index
22
Tidsserie över procentsats anställda i USA
Actual
Predicted
Actual
Predicted
6005004003002001000
68
63
58
Time
Va
lue
MSD:MAD:MAPE:
1.059570.864931.41980
Decomposition Fit for Value
23
Klassisk komponentuppdelning med prognoser 12 månader
Actual
Predicted
Forecast
Actual
Predicted
Forecast
6005004003002001000
68
63
58
Time
Va
lue
MSD:MAD:MAPE:
1.059570.864931.41980
Decomposition Fit for Value
24
Actual
Predicted
Forecast
Actual
Predicted
Forecast
6005004003002001000
68
63
58
Va
lue
Time
MSD:MAD:MAPE:
Delta (season):Gamma (trend):Alpha (level):Smoothing Constants
0.0883210.2287960.374331
0.2000.2000.200
Winters' Multiplicative Model for Value
Winters’ metod:
Mycket bättre följsamhet med konjunktursvängningar
25
Något om autoregressiva modeller
I stället för att tvinga in ett antal bestämda komponenter (trend, säsong, cyklisk komponent) kan man låta tidsserien successivt ”förklara sig själv”:
Värdet i tidpunkt t antas alltså främst bero av värdet vid tidigare tidpunkter och ev. av motsvarande säsongtidpunkt föregående år.
Parametrarna 0 , 1 , 2 , 1 etc. kan ibland skattas med Minsta-Kvadrat-metoden (som i regression), men vanligare är den mer sofistikerade Maximum-Likelihood-metoden (C-nivå i Statistik).
AR(1)1, ordning av modell (AR) sivAutoregresttt yy 110
26
Enkel och exponentiell utjämning är specialfall av autoregressiva modeller. Dvs. autoregressiva modeller kan beskriva tidsserier med komplexare samband mellan historiska och framtida observationer.
För att kunna anpassa en sådan modell krävs att tidsserien är stationär.
Stationär?
Enkelt uttryckt:
• Tidsserien skall ha ett konstant väntevärde över tiden (bortsett från säsongssvängningar).
• Tidsserien skall ha en konstant varians över tiden.
• Korrelationen mellan två tidpunkter i serien får endast bero på avståndet mellan dessa punkter, och inte på var i tiden de ligger.
27
Exempel på stationära och icke-stationära tidsserier:
28
Hur kan man ta med en trend i tidsserie-modelleringen?
För att komma runt problemet med icke-stationära tidsserier tillämpar man så kallad differentiering:
Det betyder att man skapar en stationär serie genom att t.ex. bilda
zt = yt – yt-1
Om yt uppvisar en kvadratisk trend differentierar man två gånger, dvs
zt = yt – yt-1 och sedan wt = zt – zt-1
29
ursprungliga tidsserein:
inte stationär
differentierad serie (förändringen från månad till månad):
stationär
30
Hur kan man då avgöra om en tidsserie är stationär?
1. Studera grafen över tidsserien (trender o dyl. syns i regel tydligt)
2. Beräkna och studera den s k autokorrelationsfunktionen
rk=Corr(yt , yt-k ) för k=1,2,3,…
Denna skall avta relativt snabbt mot 0 för att serien skall vara stationär.
31
icke stationär
32
Metoden är mycket flexibel och kan ta hand om den komplexa strukturen i datamaterialet.
Autoregressiv modellering kan med fördel användas för att modellera residualerna efter en tidsserieregression när Durbin-Watson test visat på signifikant autokorrelation.