Christian Petersen

Dynamik der Baukonstruktionen

Dynamik der

Baukonstruktionen

Dr.-Ing., Dr.-Ing. E. h. Christian Petersen

em. Professor an cler

Universitat cler Buncleswehr Miinchen

II Vleweg

Das in diesem Buch enthaltene Datenmaterial ist mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Der Autor und der Verlag libernehmen infolgedessen keine Verantwortung und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung libernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Datenmaterials oder Teilen davon entsteht.

Turbo Pascal und Delphi sind Warenzeichen von Borland Inc., USA

1. Auflage 1996 korrigierter Nachdruck 2000

Aile Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig I Wiesbaden, 2000 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 2000 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer.

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Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschlitzt. J ede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulassig und strafbar. Das gilt insbeson­dere ftir VervieWiltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Ein­speicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf siiurefreiem Papier

ISBN-13: 978-3-322-80315-3 e-ISBN-13: 978-3-322-80314-6 DOl: 10.10071 978-3-322-80314-6

Vorwort v

Vorwort

Es beruht nieht al1ein auf der Verwendung hoherfester Baustoffe und der Realisierung zunehmend groBerer Spannweiten und BauhOhen mit der Foige leiehterer und schlankerer Systeme, daB die heutigen Baukonstruktionen im Vergleich zu ehemals schwingungsanfiilliger sind, dieser Trend wird durch andere Entwieklungen zusatzlich verstarkt: Erhohung der Leistungseinheiten im Maschinen- und Kraftwerksbau; ErhOhung der Fahrgeschwindigkeiten auf StraBen, Bahnen und Briicken bei gleiehzeitig erhohter Verkehrsdiehte und -belastung; Verwirkliehung hochinvestiver Bauvorhaben wie Kemkraftwerke, Offshore-Bauten, GroBbriicken, Hochhauser, Tiirme und Maste, GroBkrane, Loopingbahnen mit entsprechend hohen Sieherheitsanforderungen, auch gegeniiber extremen bis auBergewohnlichen Einwirkungen, wie Orkane, Erdbeben, Fahrzeug- und Flugzeugaufprall, Explosion; Erhohung des Schutzbediirfnisses gegeniiber Erschiitterungen, Schall und Liirm bei gleiehzeitig groBerer Siedlungsdiehte usf. Zutreffende und wirtschaftliche Tragsieherheits- und Gebrauchstauglichkeitsnachweise lassen sich in solchen Fallen nur fiihren, wenn der dynarnische Charakter der Einwirkungen realistisch erfaBt wird. Selbst dann, wenn solche Einfliisse in einfachen Fiillen mit Hilfe von StoB- oder Schwingfaktoren beriicksichtigt werden konnen, soUte die ihnen zugrundeliegende Mechanik bekannt sein. Das vorliegende Buch widmet sieh den angesprochenen Problemen, wobei es sich - trotz des Urnfangs - auf die Vermittlung der Grundlagen beschrankt. Insofem hat es eher den Charakter eines Lehrbuches, indem es das Grundprinzip allen Lehrens und Lemens befolgt: "Wer hohe Tiirme bauen will, muB lange beim Fundament verweilen" (ANTON BRUCKNER). Der Verfasser versucht, dieses Ziel durch viele die Theorie begleitende Abbildungen und Beispiele und deren Praxisbezug zu erreiehen, lassen sich doch nach aller Erfahrung die erworbenen Kenntnisse, Fertigkeiten und Einsichten dadurch am besten vertiefen. 1st bei einer technischen Tragwerksprojektierung oder bei einer wissenschaftlichen Untersuchung eine eingehendere Bearbeitung notwendig, muB auf das spezielle Schrifttum zuriickgegriffen werden. Urn den diesbeziiglichen Zugang zu erleichtern, sind jedem Abschnitt vergleichsweise umfangreiche Literaturhinweise beigefUgt. Das Buch enthalt eine Reihe k1einerer Rechenprogramme in TURBO-PASCAL. Sie sind unmittel­bar verwertbar, so daB der interessierte Leser mit deren Hilfe die Beispiele nachrechnen und durch Parameterstudien erganzen kann. Auch lassen sich mit deren Hilfe einfachere baudynamische Aufgabenstellungen bearbeiten. Urn dem Leser das Abschreiben des Quellcodes der einzelnen Programme zu ersparen, kann er sie von dem FTP-Server der Universitat der Bundeswehr Miinchen (Internet-Adresse: ftp:I/ftp.unibw- muenchen.de) aus dem Verzeichnis Ipublscience/bauvlpetersen herunterladen. Die QueUen sind ebenfalls auf der Homepage (URL: http://www.bauv.unibw­muenchen.de!institut4Istahlbaul ) des Instituts fUr Konstruktiven Ingenieurbau unter "Mitarbeiter ~ em. Univ.-Prof. Dr.-Ing. E.h. Chr. Petersen" abgelegt. Man beachte bitte die dort abgelegten Inhaltsverzeiehnisse und Hinweise. Die Programme sind kompakt und kommentarlos abgefaBt, die Eingabeanweisungen sind jeweils im Buch im AnschluB an das Programmlisting zu finden und durch Beispiele erlautert. Vielleicht fiihlt sieh der eine oder andere Leser angeregt, die Programmeingabe durch MeniifUhrung und Dateieingabe zu erganzen, urn sich auf diese Weise den Grundstock einer eigenen Programmbibliothek anzulegen. Die Programme laufen auch unter dem Foige-Compiler DELPHI 5.0 Professional der Fa. Borland Inc. Das Buch gliedert sich in zwei Teile: In den Abschnitten 1 bis 22 werden - von den baumecha­nischen Grundlagen ausgehend - unterschiedliche baudynamische Aufgabenfelder bearbeitet; in den Abschnitten 23 bis 33 werden jene mathematischen Grundlagen - auf einer eher elementaren Basis vermittelt, die zur LOsung der dynamischen Probleme benotigt werden; hier findet der Leser eine groBere Anzahl von Programmen und Prozeduren zur numerischen Mathematik; letztere sind in allen Fiillen in Testprogramme eingebunden.

VI Vorwort

Uber die konkret bearbeiteten Probleme und iiber die Ausrichtung des Buches moge sich der Leser anhand des Inhaltsverzeichnisses und des Abschnittes I informieren. Er wird dabei feststellen, daB vieles ausgeklammert geblieben ist; das gilt z.B. fiir die weit entwickelten numerischen Berech­nungsmethoden mit ihren speziellen Rechentechniken, fiir die Themenbereiche Systemidentifika­tion, SchwingungsmeBtechnik, Erschiitterungs-, Llirrn- und Schallschutz und anderes mehr, wie Bodendynamik, Offshore-Bauwerke, Staudfunme, LD-Behiilter. - Das nachstehende Verzeichnis der Kapiteliiberschriften vermittelt einen Uberblick iiber die konkret behandelten Themen:

1. Probleme und Aufgaben der Baudynarnik 1 2. MaBsysteme - Regelwerke 5 3. Grundlagen der Dynamik 19 4. Bautechnische Anwendungen zur Dynarnik (Einfiihrung) 137 5. Einfreiheitsgrad-Schwinger (EFS) mit linearen Systemeigenschaften 283 6. Einfreiheitsgrad-Schwinger (EFS) mit nichtlinearen Systemeigenschaften 369 7. Mehrfreiheitsgrad-Schwinger (MFS) mit linearen Systemeigenschaften 399 8. Schwingungen biegeweicher Seile und Stangen 441 9. Schwingungen der Stabtragwerke - Teil I: Basisverfahren 465 10. Schwingungen der Stabtragwerke - Teil II: Sonderfragen 529 11. Finite Methoden der Tragwerksberechnung 569 12. Aerodynarnische Schwingungsanregung 593 13. Seismische Schwingungserregung (Erdbeben) 657 14. Bewertung dynarnischer Materialbeanspruchung 693 15. Bewertung von Vibrationen (Schall, Llirrn, Erschiitterungen, Schwingungen, SttiBe) 705 16. Stahl- und Elastomer-Federn 737 17. Maschinenfundamente 765 18. Schwingungsdiimpfer 821 19. FuBgangerbriicken 851 20. Briickendynarnik 867 21. Erganzende Kapitel zur Baudynarnik - Teil 1901 22. Erganzende Kapitel zur Baudynamik - Teil II 949 23. Programm-Routinen in TURBO PASCAL (Anhang A) 1019 24. LOsung transzendenter und algebraischer Gleichungen (Anhang B) 1031 25. MatrizeniDeterminantenlEigenwerte und Eigenvektoren (Anhang C) 1039 26. Numerische Differentation - Numerische Integration (Anhang D) 1069 27. Numerische Zeitschrittverfahren fiir Anfangswertprobleme I (Anhang E) 1077 28. Numerische Integrationsverfahren fiir Anfangswertprobleme II (Anhang F) 1103 29. Kinematik der Schwingungen - Darstellung in der komplexen Zahlenebene (Anhang G) 11: 30. FOURIER-Reihenentwicklung periodischer Funktionen (Anhang H) 1145 31. FOURIER-Integralentwicklung aperiodischer Funktionen (Anhang I) 1155 32. DFRlIDFR - DFT/IDFT - FFTIIFFT (Anhang J) 1167 33. Zufallsgrofien - Zufallsprozesse (Anhang K) 1193

Der Verfasser dankt dem Baulektorat des Vieweg-Veriages, vertreten durch Herrn Dipl.-Ing. Peter Neitzke, fiir die Ubernahme des Buches in sein Programm und fiir die gute Zusammenarbeit. Urn den Kaufpreis des Buches - auch fiir Studenten - in einem erschwinglichen Rahmen zu halten, wur­de es yom Verfasser druckfertig erstellt. Hierbei haben ihn bei den zeichnerischen Arbeiten Frau Heiderose Standke und bei der Abfassung des Manuskriptes seine ehemalige und jetzige Sekretarin Frau Deike Krug bzw. Frau Barbel Hill dankenswerterweise tatkraftig unterstiitzt. Fiir durchgangige Hilfestellung dankt der Verfasser auch seinem Mitarbeiter, Herrn Dipl.-Ing. Ferdinand Reif. - Das Buch widme ich meinen Kinderfamilien mit Laura und Henri.

Neubiberg bei Miinchen im Juli 1996 Christian Petersen

Inhaltsverzeichnis VII

Inhaltsverzeichnis Seite

1. Probleme und Aufgaben der Baudynamik 1

2. Ma6systeme - Regelwerke 5

2.1. Vorbemerkungen 5 2.2. Skalare und Vektoren - Begriffe und Zeichen 6 2.3. BasisgroBen 6 2.4. Begriff der Dimension 7 2.5. Abgeleitete Groi3en 7 2.6. Unterschied zwischen Masse und Gewicht 8 2.7. Bezug zum ehemaligen technischen MaBsystem 10 2.8. Regelwerke fUr Einheiten und Formelzeichen 11 2.9. Regelwerke zur Baudynamik 12 2.10. Bibliographische Hinweise 14

Schrifttum 14

3. Grundlagen der Dynamik 19

3.1. Korper und Bewegung - Definition von Masse und Massentragheitsmoment 19 3.2. Kinematik der ebenen Bewegung in kartesischen, natiirlichen und polaren

Koordinaten 21 3.2.1. Theorie 21 3.2.2. Beispiele 27

3.3. Kinetik der Punktmasse 31 3.3.1. Kinetische Grundgesetze von NEWfON-Prinzip von D'ALEMBERT 31 3.3.2. Impulssatz 33 3.3.3. Beispiele 34

3.4. Kinetik der Starrk6rpermasse 38 3.5. Energiesatz (Arbeitssatz) 41 3.5.1. Kinetische Energie bei translatorischer und rotatorischer Bewegung 41 3.5.2. Potentielle Energie 42 3.6.3. Energiesatz in abgeschlossenen und nicht abgeschlossenen Systemen 43

3.5.4. Beispiele 44 3.6. LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen (2. Art) 51 3.6.1. Generalisierte Koordinaten qi 51 3.6.2. Nichtkonservative und konservative Krafte bzw. Systeme 53 3.6.3. Gravitationskraft und Federkraft und deren potentielle Energie 54 3.6.4. Generalisierte Krafte Qi 55 3.6.5. LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen (2. Art) 56 3.6.6. Beispiele 57

3.7. Bewegungshemmung dUTCh Reibung 64 3.7.1. Grundlagen der Festk6rperreibung [5] 64 3.7.2. Beispiele und Zuschiirfungen 67 3.7.3. Anhalte fUr Reibungszahlen 68 3.7.4. Fluidreibung 70

3.7.4.1. Viskositiit 70

VIII Inhaltsverzeichnis

3.7.4.2. BERNOULLI-Gleichung 71 3.7.4.3. Stramungswiderstand 72 3.7.4.4. Beispiele 74

3.8. Dampfung 76 3.8.1. Vorbemerkung 76 3.8.2. Modellbildung 77 3.8.3. Visko-elastisches Stoffverhalten bei sprungartiger Spannungs- bzw. Verzerrungs-

anderung 79 3.8.3.1. MAXWELL-Modell (Bild 71a) 79 3.8.3.2. VOIGT-KELVIN-Modell (Bild 72a) 80 3.8.3.3. BURGER-Modell (Bild 73a) 81 3.8.3.4. Erweiterung der Modelle 82

3.8.4. Visko-elastisches Stoffverhalten bei harmonischer Spannungs- bzw. Verzerrungs-anderung: Viskose Diimpfung 82

3.8.4.1. HOOKE-Modell (Bild 75) 82 3.8.4.2. NEWTON-Modell (Bild 76) 82 3.8.4.3. MAXWELL-Modell (Bild 78) 83 3.8.4.4. VOIGT-KELVIN-Modell (Bild 80) 84 3.8.4.5. Komplexe Steifigkeit 86

3.8.5. Visko-elastisches Stoffverhalten im Versuch 87 3.8.6. RelaxationszeitlRetardierungszeit und ihre Spektren 88 3.8.7. Speicher- und Verlustmodul- Verlustfaktor 92 3.8.7.1. MAXWELL-Modell 92 3.8.7.2. VOIGT-KELVIN-Modell, Bild 96 96 3.8.7.3. Verallgemeinerte Modelle 96

3.8.8. Anmerkungen - Erganzungen - Beispiele 98 3.8.9. Dissipation in Baukonstruktionen 100

3.8.9.1. Dissipation: Diimpfung - Duktilitat 100 3.8.9.2. Hysteretische Dampfung 104 3.8.9.3. Dampfungswerte fUr Baukonstruktionen 108 3.8.9.4. Diimpfungsursachen 110 3.8.9.5. Nichtlineare Diimpfungsmodelle 112 3.8.9.6. Duktilitatsmodelle 118 3.8.9.7. Beispiele und Ergiinzungen 121

Schrifttum 130

4. Bautechnische Anwendungen zur Dynamik (Einmhrung) 137

4.1. Massenmomente 2. Ordnung starrer Karper 137 4.1.1. Massenmomente 2. Ordnung ebener Starrkarper - Beispiele 137 4.1.2. Massenmomente 2. Ordnung beliebiger Starrkarper 145

4.2. Freie Fallbewegung - Absturzlasten 151 4.3. Flugbewegung von einer Sprungschanze aus - Bau und Betrieb von Sprungschanzen 152 4.3.1. EinfUhrendes Beispiel 152 4.3.2. Schanzenbaunorm des Internationalen Skiverbandes - Grundlagen 153 4.3.3. Zur Theorie der aerodynamischen Skiflugbahn-Berechnung 154

4.4. Fahrzustiinde auf Gleisen und StraBen im Bereich von Kriimmungen - Fahrdynamische Trassierungselemente (Einfiihrung) 156

4.4.1. Allgemeine Hinweise 156 4.4.2. Uberfahren einer Kuppe - Durchfahren einer Wanne 156

Inhaltsverzeichnis IX

4.4.3. Abschatzung des Schwingbeiwertes beim Oberfahren einer Briicke 157 4.4.4. OberhOhung im Bahnbau 158 4.4.5. Fliehkriifte auf Eisenbahnbriicken 161 4.4.6. OberhOhung im StraBenbau 163 4.4.7. Ubergangsrampe - Obergangsbogen 164

4.5. Fliegende Bauten 166 4.5.1. Allgemeine Hinweise 166 4.5.2. Hochgeschiifte mit schienengebundenen Fahrzeugen 167 4.5.3. Fliegerkarussell 171 4.5.4. Bodenkarussell 172 4.5.5. Karusselle mit mehreren Bewegungen 173 4.5.6. Riesenriider 176

4.6. Schwingungserregung durch Maschinen 177 4.6.1. Erregung durch Unwuchten 177 4.6.2. Erregung durch Kurbelantrieb 177 4.6.3. Schwingungserreger 180

4.7. Pendel- Pendelschwinger 180 4.7.1. Mathematisches Pendel 180 4.7.2. Luftschaukel (Schiffschaukel) 182 4.7.3. Physikalisches Pendel 183 4.7.4. Pendel flir Schwingungsdiimpfer 184 4.7.5. Kriingungsschwingungen eines Pontons 185 4.7.6. Glockenschwingungen 186

4.8. Grundfequenz einfacher Stabwerke 189 4.8.1. Einflihrung - Begriffe 189 4.8.2. Riickfiihrung einfacher Stabwerke auf das Modell des einliiufigen Schwingers 191

4.8.2.1. Grundfrequenzformel 191 4.8.2.2. Federzahl- Nachgiebigkeitszahl 192 4.8.2.3. Berechnung der Grundfrequenz aus der Eigenlastdurchbiegung 195 4.8.2.4. Oberlagerungsformel nach DUNKERLEY 195 4.8.2.5. Einfacher Balken mit konstanter Massebelegung und mittiger Punktmasse 197 4.8.2.6. Kragbalken mit konstanter Massebelegung und Punktmasse am freien Ende 201 4.8.2.7. Rechteckrahmen 203

4.8.3. Berechnung der Grundfrequenz einfacher Stabwerke mittels der RA YLEIGH-Formel 206

4.8.3.1. Berechnungsanweisung flir biegesteife Balkenschwinger 206 4.8.3.2. Kragbalken mit konstanter Steifigkeits- und Massebelegung - Beriicksichtigung

des Einflusses Theorie II. Ordnung 208 4.8.3.3. Kragbalken mit zwei Stabbereichen konstanter Steifigkeits- und Massebelegung210 4.8.3.4. Kragbalken mit konischer Erstreckung und unterschiedlichen Querschnitts-

formen 211 4.8.4. Berechnung der Grundfrequenz einfacher Stabwerke mittels der

MORLEIGH-Formel 214 4.8.5. Iterative Zuschiirfung 217

4.9. Eigenfrequenzen und Eigenformen ebener Stabwerke 220 4.9.1. Einfiihrung 220 4.9.2. Schwinger mit einem Freiheitsgrad 223

4.9.2.1. Theorie 223

X Inhaltsverzeichnis

4.9.2.2. Beispiele 224 4.9.3. Schwinger mit zwei Freiheitsgraden 227

4.9.3.1. Theorie 227 4.9.3.2. Beispiele 229

4.9.4. Schwinger mit mehreren Freiheitsgraden 236 4.9.4.1. Frequenzdeterminante 236 4.9.4.2. Verfahren der KrafteinfluBzahlen (VdK) 238 4.9.4.3. Verfahren der VerformungseinfluBzahlen (VdK) 240 4.9.4.4. Erste Eigenform-Orthogonalitiit 241 4.9.4.5. Beispiele 242

4.9.5. Schwinger mit mehreren Freiheitsgraden in matrizieller Darstellung 247 4.9.5.1. Vorbemerkung 248 4.9.5.2. Verkniipfung von Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix 248 4.9.5.3. Verfahren der Steifigkeitsmatrizen 249 4.9.5.3.1. Einfiihrung 249 4.9.5.3.2. Erste und zweite Eigenform-Orthogonalitiit 249 4.9.5.3.3. Freie Schwingungen 251 4.9.5.3.4. Fremderregte Schwingungen 252 4.9.5.3.5. Beispiel: Zweimassenschwinger 252

4.9.5.4. RAYLEIGH-Quotient 257 4.9.5.5. Formeln nach SOUTHWELL und DUNKERLEY 259

4.10. StoB - StoBbelastung 262 4.10.1. Einteilung der StoBeinwirkungen 262 4.10.2. Impuls - Impulsanderung 263 4.10.3. AufprallstoB fester Karper 264 4.10.3.1. NEWfONsche StoBtheorie 264 4.10.3.2. Beispiele zur NEWfONschen StoBtheorie 268 4.10.3.3. AufprallstoB auf elastisch reagierende Systeme 273 4.10.3.4. Beispiele zum AufprallstoB auf elastisch reagierende Systeme 277

Schrifttum 279

5. Einfreiheitsgrad-Schwinger (EFS) mit Iinearen Systemeigenschafien 283

5.1. Vorbemerkungen 283 5.2. Freie Schwingungen des ungedampften Systems 283 5.3. Freie Schwingungen des viskos gediimpften Systems 285 5.3.1. BewegungslOsung 285 5.3.2. Logarithmisches Dekrement 287

5.4. Erzwungene Schwingungen des viskos gediimpften EFS-Systems infolge harmonischer Erregung 290

5.4.1. Arten der Erregung 290 5.4.2. Bewegungsgleichungen bei Kraft-, Unwucht- und Basiserregung 290 5.4.3. Stationare Schwingungen bei Krafterregung 292 5.4.3.1. BewegungslOsung 292 5.4.3.2. Zur Messung der Dampfung 297 5.4.3.3. Energiebilanz, Arbeit und Leistung in Abhiingigkeit von der Erregerfrequenz 298 5.4.3.4. Dampfungshysterese und spezifische Diimpfung 301 5.4.3.5. Zusammenfassung der DiimpfungskenngraBen bei viskoser Diimpfung 302

5.4.4. Stationiire Schwingungen bei Unwuchterregung 302 5.4.5. Stationiire Schwingungen 303

Inhaltsverzeichnis XI

5.4.6. Beispiele und Erganzungen 305 5.4.6.1. Krichschwingung 305 5.4.6.2. "Negative" Dampfung 307 5.4.6.3. Arbeit und Leistung bei Unwucht - und Basiserregung 307 5.4.6.4. Schwingungsisolierung (Prinzip) 309 5.4.6.4.1. Vorbemerkungen 309 5.4.6.4.2. Aktive Schwingungsisolierung 310 5.4.6.4.3. Passive Schwingungsisolierung 312 5.4.6.4.4. Zahlenbeispiel 312

5.4.6.5 Seismische Aufnehmer 314 5.5. Erzwungene Schwingungen des viskos gedampften EFS-Systems infolge periodischer

Errregung 317 5.5.1. LOsung im Reellen 317 5.5.2. LOsung im Komplexen 318 5.5.3 Beispiele 319

5.6. Ein- und Ausschwingvorgange des viskos gedampften EFS-Systems 323 5.7. Erzwungene Schwingungen des viskos gedampften EFS-Systems infolgea periodischer

Erregung 325 5.7.1. Vorbemerkungen 325 5.7.2. Schwingungen des ungedampften EFS-System infolge impuls- und sprungartiger

Erregung - Schwingungsanalyse im Zeitbereich 326 5.7.2.1. Lastarten - LOsungsschema 326 5.7.2.2. Einheitsimpuls 1=1 (Bild 61a) 327 5.7.2.3. Einheitssprung F= 1 (Bild 61b) 328 5.7.2.4. DUHAMEL-Faltungsintegrale 329 5.7.2.5. Rechteckimpuls 332 5.7.2.6. Sprungimpuls mit geradlinigem Abfall 333 5.7.2.7. StoBspektrum (Schockspektrum) 334 5.7.2.8. Ubertragungsverfahren 336 5.7.2.9. Basiserregung 337

5.7.3. Schwingungen des viskos gedampften EFS-Systems infolge impuls- und sprungartiger Erregung - Schwingungsanalyse im Zeitbereich 337

5.7.3.1. EinfluBfunktionen - DUHAMEL-Integrale 337 5.7.3.2. Ubertragungsverfahren 339

5.7.4. Schwingungen des viskos gedampften EFS-Systems infolge aperiodischer Erregung - Schwingungsanalyse im Frequenzbereich 345

5.7.4.1. LOsung im Reellen 345 5.7.4.2. LOsung im Komplexen 346 5.7.4.3. Berechnung der Schwingungsreaktion mittels der Diskreten FOURIER-

Transformation (DFRJIDFR-DFT/IDFT) 350 5.8. Ezwungene Schwingungen des viskos gedampften EFS-Systems infolge stochastischer

Erregung 356 5.8.1. Vorbemerkungen 356 5.8.2. Schwingungsreaktion auf einen eindimensionalen ErregerprozeB 358 5.8.3. System mit geringer Diimpfung: Schmalbandige Schwingungsreaktion 360 5.8.4. Beispiel und Erganzungen 361

5.9. EFS-Systeme mit hysteretischer Dampfung 365 Schrifttum 366

XII InhaItsverzeichnis

6. Einfreiheitsgrad-Schwinger (EFS) mit nichtlinearen Systemeigenschaften 369

6.1. Vorbemerkungen - Aufgaben und Probleme 369 6.2. Differenzverfahren 372 6.3. Freie Schwingungen eines Korperpendels - Glockenschwingungen 373 6.4. Freie und fremderregte Schwingungen eines EFS mit nichtlinearer Federkennlinie 375 6.5. Hinweise zur analytischen Uisung nichtlinearer Schwingungen 379 6.6. Freie und fremderregte Schwingungen eines EFS mit kinematisch-nichtlinearer

Riickstellwirkung 382 6.7. Freie fremderregte und selbsterregte Schwingungen eines EFS mit COULOMBscher

Reibung 385 6.7.1. Bewegungsgleichung 385 6.7.2. Freie Schwingungen - Analytische Uisung 386 6.7.3. Freie Schwingungen - Numerische Uisung 388 6.7.4. Fremderregte Schwingungen - Numerische Uisung 391 6.7.5. Selbserregte Schwingungen - Analytische Uisung 393

6.8. Physikalisch-nichtlineare Riickstellwirkung 396 Schrifttum 397

7. Mehrfreiheitsgrad-Schwinger (MFS) mit Iinearen Systemeigenschaften 399

7.1. Einleitung 399 7.2. Modalanalyse (Eigenformmethode) 401 7.2.1. Grundlagen des Verfahrens 401 7.2.2. Berechnung der Eigenlosung (Modalmatrizen) 402 7.2.3. Freie Schwingungen nach Einpragung von Anfangsauslenkung oder/und

Anfangsgeschwindigkeiten 406 7.2.4. Durch dynamische Lasten induzierte Schwingungen 411 7.2.5. Durch Basiserregung induzierte Schwingungen 416 7.2.6. Stochastische Einwirkungen 422 7.2.7. Modale Dampfung - Proportionale Dampfung (RA YLEIGH-Dampfung) 423 7.2.8. Anmerkungen - Ergiinzungen - Beispiele 425

7.3. Direkte Integration der Bewegungsgleichungen 430 7.3.1. Vorbemerkungen 430 7.3.2. Zweifreiheitsgrad-Schwinger 431 7.3.3. Mehrfreiheitsgrad-Schwinger 434

7.4. SchnittgroBen 437 Schrifttum 440

8. Schwingungen biegeweicher Seile und Stangen 441

8.1. Einfiihrung 441 8.2. Lineare Theorie der schwingenden Saite 442 8.3. Beispiele zur linearen Saitenschwingtheorie 444 8.4. Nichtlineare Theorie der schwingenden Saite 447 8.5. Schwingungstheorie durchhangbehafteter Seile 450 8.5.1. Vorbemerkungen 450 8.5.2. Grundgleichungen der allgemeinen Seilschwingungstheorie 451 8.5.3. Eigenschwingungen von Seilen mit geringem Durchhang 453

8.5.3.1. Grundgleichungssystem 453 8.5.3.2. Uisung des Grundgleichungssystems: Eigenschwingungen 456

Inhaltsverzeichnis

8.5.3.3. Interpretation der Eigenschwingungslosungen Schrifttum

9. Schwingungen der Stabtragwerke • Teil I: Basisverfahren

XIII

458 463

465

9.1. Vorbemerkungen 465 9.2. Einfuhrung 465 9.3. Grundgleichung der Eigenschwingungen biegesteifer Stabe und Stabwerke nach Theorie

I und II. Ordnung 466 9.4. Eigenschwingungen biegesteifer Stabe und Stabwerke nach I. Ordnung 468 9.4.1. Uisungssystem (Eigenlosung der homogenen Differentialgleichung) 468 9.4.2. Eigenfrequenzen und Eigenformen ebener Stabwerke 469 9.4.2.1.Differentialgleichungsverfahren 469

9.4.2.1.1. Hinweise zur Vorgehensweise 469 9.4.2.1.2. Starr eingespannter Stab mit freiem Ende 470 9.4.2.1.3. Grundstabe 471 9.4.2.1.4. Drehfederelastisch eingespannter Stab mit feiem Ende 472 9.4.2.1.5. Dreh- und verschiebungsfederelastisch eingespannter Stab mit freiem Ende 474 9.4.2.1.6. Federelastsich gestutzte Stabe 475

9.4.2.2. Verfahren der Ubertragungsmatrizen 476 9.4.2.2.1. Feldmatrix 476 9.4.2.2.2. Berechnungsmethodik 477 9.4.2.2.3. Beispiele 480 9.4.2.2.4. Anmerkungen - Erganzungen 482

9.4.2.3. KraftgroBenverfahren 487 9.4.2.3.1. Allgemeines 486 9.4.2.3.2. Stabenddrehwinkel 487 9.4.2.3.3. Beispiele 488

9.4.2.4. VerformungsgroBenverfahren 494 9.4.2.4.1. EinfUhrung 494 9.4.2.4.2. Grundformeln fur den beidseitig biegesteif angebundenen Stab (Bild 51) 495 9.4.2.4.3. Grundformeln fUr den einseitig biegesteig und einseitig gelenkig angebundene

Stab 496 9.4.2.4.4. Grundformeln fUr den beidseitig gelenkig angebundenen Stab (Bild 54) 497 9.4.2.4.5. Grundformeln fUr den einseitig biegesteig angebundenen und einseitig freien

Stab (Kragbalken) 497 9.4.2.4.6. Beispiele: Durchlauftrager und Rechteckrahmen (6 Beispiele) 498 9.4.2.4.7. Anmerkungen und Erganzungen 508

9.4.3. Erste und zweite Eigenform-Orthogonalitat 510 9.5. Schwigungen infolge Fremderregung 514 9.5.1. Vorbemerkungen 514 9.5.2. Modalanalyse (Eigenformmethode) 516

9.5.2.1. Grundlagen des Verfahrens - Harmonische Erregung 516 9.5.2.2. Beispiel: Kragtrager 517 9.5.2.3. Durch asperiodische Lasten induzierte Schwingungen 519 9.5.2.4. Beispiele und Erganzungen 522

Schrifttum

527

XIV Inhaltsverzeichnis

10. Schwingungen der Stabtragwerke - Teil II: Sonderfragen 529

10.1. Vorbemerkungen 529 10.2. Eigenschwingungslosung fUr unterschiedliche Stabformen - Biegeschwingungen 529

10.2.1. Einfiihrung 529 10.2.2. Eigenbiegeschwingungen des schubstarren Stabes 530 10.2.2.1. Grundgleichung des schubstarren Stabes 530 10.2.2.2. Eigenschwingungen des langskraftfreien Stabes (Th. I. Ordn.) 532 10.2.2.3. Eigenschwingungen des durch konstante Langskraft belasteten Stabes

(Th. II. Ordn.) 534 10.2.2.3.1. Einleitung 534 10.2.2.3.2. Lasung der Grundgleichung bei Einwirkung einer konstanten Druckkraft 535 10.2.2.3.3. Grundstabe - Stabwerke bei Einwirkung einer konstanten Druckkraft 536 10.2.2.3.4. Obertragungsmatrix und Steifigkeitsmatrix bei Einwirkung einer konstante

Druckkraft 539 10.2.2.3.5. Stabschwingungen bei Einwirkung einer konstanten Zugkraft 540

10.2.2.4. EinfluB der Drehtragheit 541 10.2.2.5. Elastische Bettung 542

10.2.3. Eigenbiegeschwingungen des schubweichen Stabes 543 10.2.3.1. Grundgleichung des schubweichen Stabes 543 10.2.3.2. Eigenschwingungen des beiderseitig gelenkig gelagerten Stabes 548 10.2.3.3. Zur allgemeinen Lasung des Eigenschwingungsproblems schubweicher Stabe 553

10.3. Langs- und Torsionsschwingungen 554 10.4. Erzwungene Schwingungen - Komplexe Steife 557

10.4.1. EinfUhrung 557 10.4.2. Komplexe Steife - Hysteretische Dampfung 557 10.4.3. Stabwerksschwingungen mit hysteretischer Dampfung 559 10.4.4. Beispiel 565

Schrifttum 567

11. Finite Methoden der Tragwerksberechnung 569

11.1. Vorbemerkungen 569 11.2. Finite-Differenzen-Methode (FDM) 569

11.2.1. Methodik 569 11.2.2. Einstellen-Differenzenformeln 570 11.2.3. Randbedingungen der Stabbiegetheorie I. und II. Ordnung 571 11.2.4. Beispiele 573

11.3. Finite Element-Methode (FEM) 577 11.3.1. Allgemeines 577 11.3.2. Herleitung der Elementmatrizen - Basiskonzept 578 11.3.3. Zug-Druck-Stab 581 11.3.4. Biegestab 583 11.3.4.1. Ermittlung der Matrizen L, B. und E 583 11.3.4.2. Element - Steifigkeitsmatrix 585 11.3.4.3. Element - Massenmatrix 586 11.3.4.4. Element - Belastungsmatrix 586 11.3.4.5. Ergiinzungen 586

11.3.5. Beispiel 588 Schrifttum 591

Inhaltsverzeichnis xv

12. Aerodynamische Schwingungsanregung 593

12.1. Vorbemerkungen 593 12.2. Wind - Windkrafte 593

12.2.1. Windsysteme (Bild 1) 593 12.2.2. Atmospharische Grenzschicht - Windgeschwindigkeit 595 12.2.3. Extremwertverteilung der Starkwinde 597 12.2.4. Berechnungswind - Lastannahmen - Aerodynamische Beiwerte 599

12.3. Boeninduzierte Schwingungen 600 12.3.1. Einleitung: Boenreaktionsfaktor 600 12.3.2. Boenreaktionsfaktor - Deterministische Modellierung 601 12.3.3. Boenreaktionsfaktor - Stochastische Modellierung im Zeitbereich 602 12.3.4. Boenreaktionsfaktor - Stochastische Modellierung im Frequenzbereich 604 12.3.4.1. Intensitat und Spektrum der Windturbulenz 604 12.3.4.2. Ubertragungstheorie - Berechnungskonzept 610 12.3.4.3.Anmerkungen 614

12.4. Wirbelinduzierte Schwingungen 616 12.4.1. Das stromungsmechanische Phanomen der WirbelstraBe 616 12.4.2. Potentialtheoretisch simulierte WirbelstraBe 618 12.4.3. Zur Entwicklung des baupraktischen Querschwingungsnachweises 621 12.4.4. Nachweis der Querschwingungen mittels der Modalanalyse (Eigenformmethode) 624 12.4.5. Schadensfall und SchluBfolgerungen 629 12.4.6. Aerodynamische GegenmaBnahmen 633 12.4.7. Schornsteine in Gruppenanordnung 634 12.4.8. Ovalling 635 12.4.9. Wirbelinduzierte Schwingungen als Stabilitatsproblem 636 12.4.9.1. Vorbemerkungen 636 12.4.9.2. Struktur-Fluid-Oszillator 637 12.4.9.3. Querschwingungen stabfOrmiger Strukturen mit scharfkantigem Profil 639

12.5. Bewegungsinduzierte Schwingungen 640 12.5.1. Vorbemerkungen 640 12.5.2. Galloping - Biegeschwingungen 641 12.5.2.1. Einsetzgeschwindigkeit 641 12.5.2.2. Anmerkungen und Erganzungen 644

12.5.3. Flatterschwingungen 645 12.5.3.1. Einsetzgeschwindigkeit 645 12.5.3.2. Anmerkungen und Erganzungen 648

Schrifttum 649

13. Seismische Schwingungserregung (Erdbeben)

13.1 Ursache und Verteilung von Erdbeben 13.2 Kennzeichnung der Starkbeben 13.2.1 Vorbemerkungen 13.2.2 Seismologische Kennzeichnung der Beben 13.2.3 Bautechnische Kennzeichnung der Beben

13.2.3.1 Einfiihrung 13.2.3.2 Antwortspektrum 13.2.3.3 Leistungsspektrum

13.3 Bautechnische Regelwerke - Berechnungsgrundlagen

657

657 660 660 660 664 664 664 670 670

XVI

13.3.1 Vorbemerkungen 13.3.2 DIN 4149 (07.57) 13.3.3 DIN 4149 (04.81) 13.3.4 KTA 2201 (06.90) 13.3.5 Entwurf EUROCODE 8 (ENV 1998, 10.94)

13.4 Antwortspektrum-Verfahren 13.4.1 Vorbemerkungen 13.4.2 Einfreiheitsgradsysteme (EFSe) 13.4.3 Mehrfreiheitsgradsysteme (MFSe)

13.5 Baupraktische Berechnungskonzepte 13.6 Bauliche Ausbildung

Schrifttum

14. Bewertung dynamischer Materialbeanspruchung

14.1. Vorbemerkungen 14.2. WOHLER-Linie-Smith-Diagramm 14.3. Konzepte zum Nachweis der Dauer- (Schwing-)festigkeit 14.3.1. Nennspannungskonzept 14.3.2. Kerbspannungskonzept 14.3.3. Strukturspannungskonzept 14.3.4. Kerbgrundkonzept 14.3.5. Bruchmechanikkonzept

14.4. Konzepte zum Nachweis der Betriebs- (Schwing-)festigkeit Schrifttum

Inhaltsverzeichnis

670 670 671 671 672 674 674 674 675 683 685 686

693

693 693 694 694 695 696 697 699 700 703

15. Bewertung von Vibrationen (Schall, Lann, Erschiitterungen, Schwingungen, Stone) 705

15.1. Vorbemerkungen 705 15.2. Einfiihrung in die Theorie des ebenen Wellenfeldes 705 15.2.1. Ausbreitungsgeschwindigkeit eines ebenen Wellenfeldes 705 15.2.2. Wellenwiderstand 709 15.2.3. Energetische GroBen im Wellenfeld 710 15.2.4. Wellen-Strahlungsdruck 711 15.2.5. Energieabsorption innerhalb eines Wellenfeldes 712

15.3. Kugel- und zylinderformige Wellenfelder 713 15.4. Schallwellen 713 15.4.1. Spektrale Darstellung der FeldgroBen 713 15.4.2. Schallpegel 714 15.4.3. Lautstarkepegel und bewerteter Schallpegel 717 15.4.4. Beispiele und Erganzungen 719 15.4.5. Lautheit und Lastigkeit von Liirm 720

15.5. Erschiitterungen 723 15.5.1. Einfiihrung 723 15.5.2. Erschiitterungeinwirkungen auf Menschen 724 15.5.2.1. Allgemeine Hinweise - VDI-Ri 2057 724 15.5.2.2. DIN 4150 T2: Einwirkung auf Menschen in Gebauden 727

15.5.3. Erschiitterungseinwirkungen auf Einrichtungen und Maschinen 730 15.5.4. Erschiitterungseinwirkungen auf Gebaude und Gebaudeteile 730

Schrifttum 731

Inhaltsverzeichnis XVII

16. Stahl- und Elastomer-Fedem 737

16.1. Aligemeines 737 16.2. Stahlfedern 739 16.2.1. Federstahl 739 16.2.2. Zylindrische Druckfedern 740 16.2.3. Zylindrische Zugfedern 744 16.2.4. Tellerfedern 744

16.3. Elastomer-Federn 745 16.3.1. Werkstoff 745 16.3.2. Shore-Hiirte/Statischer Schub- und Elastizitiitsmodul 747 16.3.3. Statische Federeigenschaften 749 16.3.3.1. Schubfedersteifigkeit 749 16.3.3.2. Druckfedersteifigkeit 750 16.3.3.3. Formelsammlung fur einfache Elastomer-Federn 751

16.3.4. Dynamische Federeigenschaften - Dampfung 751 16.3.5. Experimenteller Befund 754 16.3.6. Hinweise zur Ausfuhrung von Elastomer-Federn 756

16.4. Feder-, Diimpfungs- und Damm-Materialien 758 16.5. Beispiele und Ergiinzungen: Maschinenfundamente 758

Schrifttum 762

17. Maschinenfundamente 765

17.1. Aufgabenstellung 765 17.2. Grundlagen schwingungsisolierter Maschinenfundierungen 766 17.3. Erregerkriifte periodisch arbeitender Maschinenanlagen 769 17.3.1. Vorbemerkungen 769 17.3.2. Kritische Drehzahl elastischer Wellen 770 17.3.3. Von rotierenden Wuchtk6rpern ausgehende Kriifte - Unwucht - Auswuchtgiite 772 17.3.4. Geradeschub - Kurbelantrieb - Zylindermaschinen 774 17.3.5. Beispiele und Ergiinzungen 777

17.4. Erregerkriifte nicht-periodisch arbeitender Maschinenanlagen 784 17.5. DIN 4024 784 17.6. Blockfundamente 784 17.6.1. Vorbemerkungen 784 17.6.2. Federgestiitzte, doppelt-symmetrische Blockfundamente 785 17.6.3. Federungs- und Diimpfungswerte unterschiedlicher Lagermittel 789 17.6.4. Federungs- und Diimpfungswerte bodengestiitzter Fundamente 790 17.6.4.1. Wechselwirkung zwischen Fundament und Boden 790 17.6.4.2. Elementare Ansiitze nach RAUSCH und EHLERS 791 17.6.4.3. Ansiitze nach der Halbraumtheorie 792

17.6.5. Beispiele und Ergiinzungen 795 17.6.6. Auslegung tiefabgestimmter Maschinenfundamente 803 17.6.6.1. Allgemeine Auslegungshinweise 803 17.6.6.2. Auslegung der Federung 805

17.7. Tischfundamente (Turbinenfundamente) 808 17.8. Hammerfundamente 809 17.8.1. Fundamentformen 809

XVIII Inhaltsverzeichnis

17.8.2. Berechnungsansatze 810 17.8.3. Beispiel 813

Schrifttum 814

18. SchwingungsdampCer 821

18.1. Einleitung - Begriffe 821 18.2. Schwingungsdampfer - Passive Systeme 821 18.2.1. Schwingungsdampfer mit viskoser Diimpfungscharakteristik 821

18.2.1.1. Theorie - Parameterstudien 821 18.2.1.2. Schwingungstilger 827 18.2.1.3 Optimierungskriterien 828 18.2.1.4. Federloser Diimpfer 831

18.2.2. Konstruktive Ausfiihrung von Schwingungsdiimpfern 832 18.2.2.1. "Kinetisch iiquivalente" Masse 832 18.2.2.2. Bemessung und Ausbildung der Feder- und Diimpferelemente 834

18.2.3. Beispiele 838 18.2.4. Ergiinzungen 845

18.3. Schwingungsdiimpfer - Aktive Systeme 846 Schrifttum 847

19. FuBgangerbriicken 851

19.1. Vorbemerkungen 851 19.2. Biomechanik des Gehens und Laufens 851 19.3. Gruppen- und Synchronisationseffekt 854 19.4. Vertriiglichkeitsgrenzen 856 19.5. Berechnungsvorschlag 858 19.6. Beispiele 860 19.7. FuBgiingerbauwerke 862

Schrifttum 863

20. Briickendynamik 867

20.1. Schwingfaktor j - Annaherung an die Problemstellung 867 20.1.1. Erste Anniiherung an das Problem 867 20.1.2. Zweite Anniiherung an das Problem 868 20.1.3. Ditte Annaherung an das Problem 868 20.1.4. Vierte Anniiherung an das Problem 870

20.2. Historische Anmerkungen 871 20.3. Zum baupraktischen Anatz des Schwingfaktors j 874 20.3.1. Vorbemerkungen 874 20.3.2. Eisenbahnbriicken 875 20.3.3. StraBenbriicken 878 20.3.3.1. Allgemeines 878 20.3.3.2. Grundfrequenz von StraBenbriicken 879 20.3.3.3. EinfluBparameter auf den Schwingbeiwert 880

20.4. Beispiele 881 Schrifttum 896

21. Erganzende Kapitel zur Baudynamik - Teil I 901

21.1. Sprodbruch in redundanten Tragwerken (Kapitei 1) 901 21.1.1. StoBbeanspruchung nach Bruch eines Bauteils 901

InhaI tsverzeichnis XIX

21.1.2. Beispiele 904 21.2. StoBbeanspruchung bei elastisch-plastischem Tragverhalten - Einfiihrung (KapiteI2)906

21.2.1. Einwirkung einer Sprungkraft auf einen EFS mit elastisch-plastischer Rtickstell-funktion - analytische LOsung 906

21.2.2. Einwirkung einer Sprungkraft oder Impulskraft auf einen EFS mit elastisch-plastischer Rtickstellfunktion - numerische LOsung 910

21.3. StoBbeanspruchung in Baukonstruktionen (KapiteI3) 917 21.3.1. Vorbemerkungen 917 21.3.2. AufprallstoB auf e1astisch reagierende Tragwerke 918

21.3.2.1. StoBzahl 918 21.3.2.2. Beispie1e - SchluBfolgerungen 921 21.3.2.3. Wellengleichung - Wellenlosung 925

21.3.3. StoBarten - StoBwirkungen 929 21.3.4. PrallstoB durch sttirzende oder springende Personen 930 21.3.5. Schutznetze 931 21.3.6. AnprallstoB durch Fahrzeuge 932 21.3.7. AnprallstoB durch Schiffe 933 21.3.8. Flugzeugabsturz 935 21.3.9. Explosionsbe1astung 937 21.3.10 Waffenwirkung - Zivilschutz 939 21.3.11. Flugzeugknalle - AbschuBknalle 939 21.3.12. Ober den Baugrund induzierte Schwingungen und StaGe 940 21.3.12.1. Vorbemerkungen 940 21.3.12.2. Grundlagen der Bodendynamik 940 21.3.12.3. Konstruktiver Erschiitterungsschutz 943 ~~ ~

22. Erglinzende Kapitel zur Baudynamik . Teil II 949

22.1. Tragwerke mit Seilabspannungen (Kapitell) 949 22.1.1. Bauformen 949 22.1.2. Abstrebung - Abspannung 949 22.1.3. Statische und dynamische Federsteifigkeit durchhangender Horizontalseile 952

22.1.3.1. Aufgabenstellung 952 22.1.3.2. Statische Federsteifigkeit des durchhangenden Horizontalseiles 952 22.1.3.3. Dynamische Federsteifigkeit des durchhangenden Horizontalseiles 954

22.1.4. Statische und dynamische Federsteifigkeit durchhangender Schragseile 958 22. 1.4. lStatische Federsteifigkeit druchhangender Schragseile 958 22.1.4.2. Dynamische Federsteifigkeit durchhangender Schragseile 961 22.1.4.3. Erganzungen und Beispiel 963

22.1.5. Parametererregte Seilschwingungen 967 22.1.5.1. Schwingungsphanomen 967 22.1.5.2. Anmerkungen 973

22.1.6. Dynamische Berechnung abgespannter Maste 977 Schrifttum 982

22.2. Tragwerke mit Seilabhangungen (KapiteI2) 985 22.2.1. Bauformen 985 22.2.2. Schragseilbriicken [1-6] 986 22.2.3. Hangebrticken 989 22.2.4. Durchhangendes Horizontalseil mit Biegesteifigkeit 990

xx

22.2.4.1. Vorbemerkungen 22.2.4.2. Eigenschwingungen

22.2.5. Hangedacher 22.2.6. Freileitungen

22.2.6.1. Allgemeine Hinweise 22.2.6.2. SchnellhOhe bei Eisabfall 22.2.6.3. Erganzende Hinweise zur Thematik Seilschwingungen

Schrifttum 22.3. Turmartige Bauwerke (KapiteI3)

22.3.1. Vorbemerkungen 22.3.2. Mfinchner Fernsehturm 22.3.3. Anmerkungen - Erganzungen

Schrifttum 22.4. Glockentiirme (KapiteI4) 22.4.1. Vorbemerkungen 22.4.2. Glockenkrafte (Glockenlagerkrafte) 22.4.3. Experimenteller Befund 22.4.4. Zur konstruktiven Auslegung 22.4.5. Beispiel: Glockenturm in Mauerwerk

Schrifttum

23. Programm-Routinen in TURBO PASCAL (Anhang A)

23.1. Allgemeines (AI) 23.2. Elementare Funktionen (A2)

23.2.1. Standardfunktionen (A2.1) 23.2.2. Logarithmusfunktion (A2.2) 23.2.3. Potenzfunktion (A2.3) 23.2.4. Trigonometrische Funktionen (A2.4) 23.2.5. Inverse trigonometrische Funktionen (Arcusfunktionen) (A2.5) 23.2.6. Hyperbolische Funktionen (A2.6) 23.2.7. Inverse hyperbolische Funktionen (Areafunktionen) (A2.7) 23.2.8. FakuItat (A2.8) 23.2.9. Binomialkoeffizient n fiber m (A2.9) 23.2.10. Normierte GAUSS-Funktion (A2.10)

23.3. Erganzende Anmerkungen (A3) Schrifttum

24. LOsung transzendenter und algebraischer Gleichungen (Anhang B)

24.1. Allgemeines (B.l) 24.2. LOsung transzendenter Gleichungen (B.2) 24.2.1. Verfahren Regula falsi (B.2.1) 24.2.2. Beispiele (B.2.2)

24.3. LOsung algebraischer Gleichungen (B.3) 24.3.1. Gleichungen 2. und 3. Grades (B.3.1) 24.3.2. NEWfON-Verfahren (B.3.2) 24.3.3. Beispiele (B.3.3)

Schrifttum

25. Matrizen/Determinanten/Eigenwerte und Eigenvektoren (Anhang C)

Inhaltsverzeichnis

990 990 995 996 996 997 999

1000 1003 1003 1004 1005 1010 1012 1012 1013 1014 1015 1015 1018

1019 1019 1020 1020 1021 1022 1022 1023 1024 1025 1025 1026 1026 1028 1028

1031

1031 1031 1031 1032 1035 1035 1036 1037 1038

1039

Inhaltsverzeichnis XXI

25.1. Allgemeines (C.1) 1039 25.2. Definitionen (C.2) 1039 25.3. Matrizentransposition (C.3) 1040 25.4. Matrizenaddition und Matrizensubtraktion (C.4) 1041 25.5. Matrizenmultiplikation (C.5) 1042 25.6. Rang einer Matrix (C.6) 1045 25.7. Determinante einer quadratischen Matrix (C.7) 1046 25.8. Inverse einer quadratischen Matrix (C.8) 1049 25.9. Lasung linearer Gleichungssysteme (C.9) 1052 25.9.1. Vorbemerkung (C.9.1) 1052 25.9.2 GAUSSsches Eliminationsverfahren (C.9.2) 1052 25.9.3. GAUSS-SEIDELsches Iterationsverfahren (C.9.3) 1055

25.10. EigenwertelEigenvektoren einer quadratischen Matrix (C.1O) 1057 25.10.1. Spezielles Eigenwertproblem (C.1O.1) 1057 25.10.2. Allgemeines Eigenwertproblem (C.1O.2) 1060 25.10.3. Numerisches Verfahren zur Lasung spezieller Eigenwertprobleme symmetrischer

Matrizen (C.1O.3) 1060 25.10.3.1. Vorbemerkungen (C.1O.3.1) 1060 25.1O.3.2.lterationsverfahren nach v. MISES (C.1O.3.2) 1061 25.10.3.3. Transformationsverfahren nach JACOBI (C.10.3.3) 1064 25.10.3.4. Anmerkung (C.I0.3.4) 1065 25.10.3.5. AImlichkeitstransformation zur Eigenfrequenzberechnung bei Mehrfreiheits-

gradschwingern (C.1O.3.5) 1065 Schrifttum 1067

26. Numerische Differentation - Numerische Integration (Anhang D)

26.1. Allgemeines (D.I) 26.2. Numerische Differentation (D.2) 26.3. Numerische Integration (Numerische Quadratur) (D3)

Schrifttum

27. Numerische Zeitschrittverfahren fUr Anfangswertprobleme I (Anhang E)

27.1. Allgemeines (E.l) 27.2. Verfahren nach EULER-CAUCHY (E.2) 27.2.1 Algorithmus (E.2.1) 27.2.2. Beispiele (E.2.2) 27.2.3. Abbruchfehler (E.2.3)

27.3. Verfahren nach HEUN und RUNGE-KUTTA fUr Differentialgleichungen 1. Ord-

1069

1069 1069 1072 1076

1077

1077 1077 1077 1078 1081

nung (E.3) 1082 27.4. Verfahren nach RUNGE-KUTTA fUr Differentialgleichungen 2. Ordnung (E.4) 1085 27.4.1. Algorithmus (E.4.1) 1085 27.4.2. Beispiele (E.4.2) 1087

27.5. Verfahren nach RUNGE-KUTTA fUr Differentialgleichungssysteme 2. Ordn.(E.5) 1093 27.5.1. Algorithmus (E.5.1) 1093 27.5.2. Beispiele (E.5.2) 1094

27.6. Prediktor-Korrektor-Verfahren (E.4) 1100 Schrifttum 1102

28. Numerische Integrationsverfahren fUr Anfangswertprobleme II (Anhang G) 1103

XXII Inhaltsverzeichnis

28.1 Allgemeines (F.l) 1103 28.2 Zentrales Differenzenverfahren (F.2) 1103 28.3 Verfahren von HOUBOLT (F.3) 1105 28.4 Verfahren von PARK (F.4) 1106 28.5 Intervallweise konstante und lineare Annaherung der Beschleunigung (F.5) 1107 28.5.1 Berechnungsformeln (F.5.1) 1107 28.5.2 Verfahren von NEWMARK (F.5.2) 1109 28.5.3 Programmierung des NEWMARK-Verfahrens und Beispiele (F.5.3) 1110 28.5.4 Verfahren von WILSON (F.5.4) 1119

28.6 Anmerkungen und Erganzung (F.6) 1122 28.7 Numerische Zeitschrittintegration nichtlinearer Schwingungsprobleme (F.7) 1126 28.7.1 Vorbemerkungen (F.7.1) 1126 28.7.2 Exemplarische Behandlung eines geometrisch-nichtlinearen Einfreiheitsgrad-

Schwingers 1127 28.7.3 Exemplarische Behandlung eines physikalisch-nichtlinearen Einfreiheitsgrad-

Schwingers 1128 28.8 Erganzung: Differenzenformeln 1132

Schrifttum 1134

29. Kinematik der Schwingungen • Darstellung in der komplexen Zahlebene(Anhang G) 1137

29.1. Harmonische Funktion (G.l) 1137 29.2. Uberlagerung harmonischer Funktionen gleicher Frequenz (G.2) 1139 29.3. Uberlagerung harmonischer Funktionen unterschiedlicher Frequenz (G.3) 1140 29.4. Beispie1e (G.4) 1143

30. FOURIER.Reihenentwicklung periodischer Funktionen (Anhang H) 1145

30.1. FOURIER-Reihenentwicklung mit der Periode 2p (H.l) 1145 30.2. FOURIER-Reihenentwicklung mit der Periode T='br/w - Reelle Fassung (H.2) 1147 30.3. FOURIER-Reihenentwicklung mit der Periode T= 'br/w - Komplexe

Fassung (H.3) 1151 30.4. Konvergenz der FOURIER-Reihenentwicklung (H.4) 1153

31. FOURIER.lntegralentwicklung aperiodischer Funktionen (Anhang n 1155

31.1. Ubergang von der FOURIER-Reihe zum FOURIER-Integral (1.1) 1155 31.2. FOURIER-Transformation - Reelle Fassung (1.2) 1156 31.3. FOURIER-Transformation - Komplexe Fassung (1.3) 1157 31.4. FOURIER-Transformierte der k-ten Ableitung von x(t) (1.4) 1158 31.5. Beispiele (1.5) 1159 31.6. Wechselbeziehung zwischen FOURIER-Reihe und FOURIER-Integral (I.6) 1162

32. DFR/IDFR· DFT/lDFT - FFT/IFFT (Anhang J) 1167

32.1. Algorithmus der Diskreten FOURIER-Reihenentwicklung (DFR) (J.1) 1167 32.2. Beispiele zur Diskreten FOURIER-Reihenentwicklung (DFR) (J.2) 1171 32.3. Inverse Diskrete FOURIER-Rei he (IDFR) (J.3) 1176 32.4. NYQUIST-Frequenz (J.4) 1178 32.5. Signalanalyse 1180 32.5.1. Allgemeine Hinweise (J.5.1) 1180 32.5.2. Fenstertechnik (J.5.2) 1183 32.5.3. DFT eines aperiodischen Signals (J.5.3) 1186

Inhaltsverzeichnis

32.6. FFf-Prozedur in TURBO PASCAL (J.6) Schrifttum

XXIII

1189 1190

33. Zufallsgro6en - Zufallsprozesse (Anhang K) 1193

33.1. Vorbemerkungen (K.l) 1193 33.2. Wahrscheinlichkeit (K.2) 1193 33.2.1. Warscheinlickeit fur das Eintreten eines Elementarereignisses (K.2.1) 1193 33.2.2. Wahrscheinlichkeit fur das Eintreten miteinander verkniipfter Ereignisse (K.2.2)1194

33.2.2.1. Wahrscheinlichkeit fur das Produkt der Ereignisse A und B (K.2.2.1) 1194 33.2.2.2. Wahrscheinlichkeit fur die Summe der Ereignisse A und B (K.2.2.2) 1195

33.3. Statistik eindimensionaler ZufallsgroBen (K.3) 1196 33.3.1. Haufigkeitsverteilung (K.3.1) 1197 33.3.2. Parameter empirischer Verteilungen (K.3.2) 1198 33.3.3. Beispiel (K.3.3) 1201 33.3.4. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion eindimensionaler ZufallsgroBen(K.3.4) 1203 33.3.5. Funktionen und Zufallsvariablen (K.3.5) 1204 33.3.6. Spezielle Verteilungen eindimensionaler ZufallsgroBen (K.3.6) 1205

33.3.6.1. Aligemeines (K.3.6.1) 1205 33.3.6.2. GAUSS-Verteilung (K.3.6.2) 1206 33.3.6.3. RAYLEIGH-Verteilung 1207

33.4. Statistik zweidimensionaler ZufallsgroBen (K.4) 1208 33.4.1. Haufigkeitsverteilung (K.4.1) 1208 33.4.2. Parameter empirischer Verteilungen (K.4.2) 1209 33.4.3. Beispiele (K.4.3) 1213 33.4.4. Dichte- und Verteilungsfunktion zweidimensionaler ZufallsgroBen (K.4.4) 1214

33.5. Eindimensionaler ZufallsprozeB (K.5) 1217 33.5.1. Scharmittelung (K.5.1) 1217 33.5.2. Zeitmittelung (K.5.2) 1219 33.5.2.1. Zeitmittelwerte (K.5.2.1) 1219 33.5.2.2. Autokorrelationsfunktion (K.5.2.2) 1221

33.5.3. Autoleistungsspektrum (K.5.3) 1222 33.5.3.1. Vorbemerkungen - FOURIER-Transformation (K.5.3.1) 1222 33.5.3.2. Fundamentalbeziehung von WIENER-KHINTCHINE (K.5.3.2) 1223

33.5.4. Unterschiedliche Typen eindimensionaler Prozesse (K.5.4) 1226 33.5.4.1. Harmonischer ProzeB (sinusformige Zeitfunktion) (K.5.4.1) 1226 33.5.4.2. Oberblick tiber unterschiedliche Zufallsprozesse (K.5.4.2) 1228 33.5.4.3. Anmerkung zu den verwendeten Begriffen und Definitionen (K.5.4.3) 1228 33.5.4.4. Beispiele und Erganzungen (K.5.4.4) 1229

33.6. Zweidimensionaler Zufallsprozess (K.6) 1232 33.7. Numerische Analyse stochastischer Prozesse (K.7) 1235 33.7.1. Haufigkeitsverteilung (K.7.1) 1235 33.7.2. Autokorrelationsfunktion (K.7.2) 1236 33.7.3. Autoleistungsspektrum (K.7.3) 1237 33.7.3.1. Indirekte Berechnung von S(f) (K.7.3.1) 1237 33.7.3.2. Direkte Berechnung von S(f) (K.7.3.2) 1241 33.7.3.3. Beispiel (K.7.3.3) 1244 33.7.3.4. FFf-Programm zur Berechnung des Autoleistungsspektrums (K.7.3.4) 1247

33.8. GAUSS-ProzeB (K.8) 1248 33.8.1. Einfuhrung (K.8.1) 1248

XXIV Inhaltsverzeichnis

33.S.2. Verteilung der Oberschreitungen der Klassengrenze (K.S.2) x =; pro Zeiteinheit 1249

33.S.3. Verteilung der Spitzenwerte (Arnplituden) (K.S.3) 1252 33.S.3.1. Allgemeiner ProzeJ3 (K.S.3.1) 1252 33.S.3.2. Veranschaulichung des Parameters No/Nl (KS.3.2) 1254 33.S.3.3. Schmalbandiger ProzeJ3 (KS.3.3) 1255

33.S.4. Verteilung der Extremwerte (KS.4) 1256 Schrifttum

Sachwortverzeichnis 1261

Verzeichnis der im Buch enthaItenen Programme in TURBO PASCAL

PE01.P AS exponentielle Jegression _log_ dekrement PE02.P AS massenmomente _ 2ter _ ordnung PE03.P AS EFS _ uebertragungsverfahren PE04.PAS EFS_DFR_IDFR_DFf_IDFf PE05.PAS schwingungen _ eines _EFS _ mit_nichtlinearer _ Kennlinie PE06.P AS freie _ schwingungen _ eines _ EFS _ mit_ COULOMBscher Jeibung PE07.P AS mehrfreiheitsgrad _schwinger_1 PEOS.P AS mehrfreiheitsgrad _schwinger _2 PE09.P AS mehrfreiheitsgrad _schwinger _3 PE 1O.P AS mehrfreiheitsgrad _schwinger _4 PE11.P AS numerische_integration _ mehrfreiheitsgrad _schwinger PE12.PAS schubweicher _ balken_ eigenfrequenz PE13.PAS hammer fundament ZFS - -PE14.PAS schwingungsdaempfer PE15.P AS plastische _ stossreaktion _ EFS PE l6.P AS plastische _stossreaktion _ EFS _numerische Joesung PE17.PAS test_signumfunktion PElS.PAS tesUJOtenzfunktion PE19.PAS test tanfunktion PE20.P AS test cotfunktion PE21.PAS test sinhfunktion PE22.P AS test coshfunktion PE23.P AS test tanhfunktion PE24.P AS test cothfunktion PE25.PAS test fakultaet PE26.P AS test fakultaet PE27.PAS test binominalkoeffizient PE28.P AS test_ normierte _ GAUSZ _ Funktion_1 PE29.P AS test_ normierte _ GAUSZ _ Funktion _2 PE30.P AS tesUoesung_ transzendente ~leichung PE31.P AS tesUoesung_ algebraische ~leichung_5ten ~rades PE32.P AS tesUoesunL quadratische ~leichung PE33.P AS tesUoesung_ kubische ~leichung PE34.P AS test_loesung_ algebraische _gleichung_ newton _ verfahren PE35.P AS test_ matrizen _transposition PE36.P AS test_ matrizen _transposition

128 147 341 355 378 390 405 408 413 418 434 550 812 824 90S 913

1021 1022 1023 1023 1024 1024 1024 1024 1025 1025 1026 1027 1027 1032 1033 1035 1035 1036 1040 1040

Inhaltsverzeichnis XXV

PE37.PAS test_matrizen_addition 1041 PE38.PAS test matrizen addition 1041 - -PE39.PAS test_ matrizen _ multiplikation 1043 PE40.PAS test_matrizen_multiplikation 1044 PE41.PAS test_matrizen_vektor_multiplikation 1041 PE42.PAS test_determinante 1048 PE43.PAS test matrizen inversion 1051 - -PE44.P AS testJoesungJineares ~leichungssystem ~auss 1054 PE45.P AS testJoesungJineares ~leichungssystem _seidel 1056 PE46.P AS test_ eigenwerte _ eigenvektoren _von _ mises 1063 PE47.PAS test_eigenwerte_eigenvektorenjacobi 1064 PE48.PAS test_numerische _differentiation 1070 PE49.PAS test_numerische_differentitation 1071 PE50.PAS test_simpson_integration 1072 PE51.PAS test_simpson_integration 1073 PE52.PAS testJombergjntegration 1074 PE53.PAS heun 1 1083 PE54.P AS ruku 1 1084 PE55.PAS ruku 2 1086 PE56.P AS ruku 3 1095 PE57.P AS newmark jntegration _ mehrfreiheitsgrad _schwinger _1 1111 PE58.P AS newmark jntegration _ mehrfreiheitsgrad _schwinger _2 1115 PE59.P AS schwingungen _ eines _ EFS _ mit_ nichtlinearer _ kennlinie _ newmark 1128 PE60.PAS DFR DFT 1170 PE61.PAS IDFR IDFT 1177 PE62.P AS test FFT 1189 PE63.P AS statistik 1 1200 PE64.PAS statistik 2 1210 PE65.PAS stochastik 1 1239 PE66.P AS stochastik 2 1243 PE67.PAS autoleistungsspektrum_FFT 1247