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DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices PROF. ALAIN PECKER Equipe Enseignante CHARISIS T. CHATZIGOGOS SANDRINE JUSTERLERMITTE NICOLAS GREFFET LUCA LENTI PIERREALAIN NAZE IOANNIS POLITOPOULOS Année Académique 2009 2010

DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

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Ce receuil d'exercices est destiné aux élèves participant aux cours Dynamique des Structures et Dynamique des Ouvrages de l'ENPC. La plupart des exercices inclus dans le recueil seront étudiés et résolus par les élèves eux‐mêmes lors des séances des petites classes. Pour cette raison, on n'en fournit pas la solution détaillée mais uniquement quelques indications sur la démarche à suivre ainsi que les résultats finaux. Les exercices qui sont annotés avec une étoile ont servi comme sujets d'examenantérieurs.

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DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES

 Recueil d'Exercices     

PROF. ALAIN PECKER  

 Equipe Enseignante  CHARISIS T. CHATZIGOGOS SANDRINE JUSTER‐LERMITTE

NICOLAS GREFFET LUCA LENTI

PIERRE‐ALAIN NAZE  IOANNIS POLITOPOULOS

         

Année Académique 2009 ‐ 2010

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Table des matières

Preface ............................................................................................................................................. 5 Dynamique des Structures .............................................................................................................. 6 1  Systèmes à un degré de liberté ................................................................................................... 7 1.1  Poutre sur des appuis simples .............................................................................................. 7 1.2  Poutres sans masse avec surcharge ..................................................................................... 8 1.3  Chute de masse sur oscillateur simple ................................................................................. 9 1.4  Automobile sur route de rugosité sinusoïdeale ................................................................ 10 1.5  Modèle de frottement de Coulomb ................................................................................... 12 1.6  Spectres de réponse de sollicitations impulsives .............................................................. 13 1.7  Transformée de Fourier d'un accélérogramme et énergie ............................................... 14 1.8  Portique soumis à un chargement sismique ..................................................................... 15 1.9  Notions de transfert de spectres........................................................................................ 17 1.10  Etude d'un portique avec pont roulant* ......................................................................... 19 1.11  Oscillateurs généralisés et effet de forces longitudinales .............................................. 20

2  Systèmes à N degrés de liberté ................................................................................................. 21 2.1  Equation de mouvement de bâtiment rigide .................................................................... 21 2.2  Etude d'une barre sur 2 ressorts ........................................................................................ 22 2.3  Etude de la réponse dynamique d'une tuyauterie sous pression lors d'une rupture ...... 24 2.4  Etude d'une poutre cantilever supportant trois masses* ................................................. 26 2.5  Etude d'un portique de 2 étages soumis à un chargement sismique ............................... 27 2.6  Prise en compte de l'interaction sol‐structure .................................................................. 30 2.7  Dalle sur sol élastique couplée avec oscillateur de faible masse * .................................. 33 2.8  Comportement sismique de structure asymétrique * ...................................................... 35

Dynamique des Ouvrages .............................................................................................................. 37 1  Vibrations des poutres ‐ systèmes continus ............................................................................. 38 1.1  Etude simplifiée des vibrations d'une masse attachée à un câble tendu ........................ 38 1.2  Etude d'une poutre à masse répartie soumise à un chargement dynamique ................. 40 1.3  Etude d'une poutre à masse répartie avec une section variable ...................................... 42 1.4  Modes propres de poutres uniformes ............................................................................... 44 1.5  Chute de poutre en rotation .............................................................................................. 45 1.6  Modes propres de la Terre ................................................................................................. 46 1.7  Mode de vibration fondamental de pile de pont .............................................................. 47 1.8  Tassement de pile de pont* ............................................................................................... 48 1.9  Calcul de cheminée avec interaction sol‐structure ........................................................... 49

2  Propagation d'ondes .................................................................................................................. 50 2.1  Etude de la propagation des ondes suite à l'impact de 2 barres ...................................... 50 2.2  Propagation d'ondes sphériques ....................................................................................... 51 2.3  Propagation d'ondes dans un milieu stratifié (ondes SH) ................................................. 52 2.4  Propagation d'ondes dans un milieu stratifié (ondes P/SV) ............................................. 54 2.5  Propagation d'ondes à travers d'une interface solide ‐ fluide* ........................................ 55 2.6  Ondes réfractées dans une membrane * ........................................................................... 56

3  Interaction Sol‐Structure ........................................................................................................... 57

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3.1  Fondation de machines tournantes ................................................................................... 57 3.2  Interaction cinématique d'un radier rectangulaire rigide ................................................. 60

4  Interaction Fluide‐Structure ...................................................................................................... 62 4.1  Calcul de la masse ajoutée de 2 cylindres concentriques séparés par un fluide ............. 62 4.2  Calcul d'une barre partiellement immergée ...................................................................... 64

 

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Preface  Ce  receuil  d'exercices  est  destiné  aux  élèves  participant  aux  cours  Dynamique  des 

Structures et Dynamique des Ouvrages de l'ENPC. La plupart des exercices inclus dans le recueil seront étudiés et  résolus par  les élèves eux‐mêmes  lors des séances des petites classes. Pour cette raison, on n'en fournit pas la solution détaillée mais uniquement quelques indications sur la démarche à suivre ainsi que les résultats finaux.

Les exercices qui sont annotés avec une étoile ont servi comme sujets d'examen antérieurs.

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Partie I Dynamique des Structures

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1  Systèmes à un degré de liberté   1.1  Poutre sur des appuis simples    I.  Ecrire  les  équations  du  mouvement  du  système  rerpésenté  sur  la  Figure  1.  En 

supposant  la  poutre  sans masse,  le  système  présente  un  seul  degré  de  liberté  défini  par  la déflexion u  sous poids propre P . La rigidité de flexion de la poutre est EI  et sa longueur  L .  

Figure  1: Vibrations de poutres sans masse avec surcharge.

    II.  Déterminer la fréquence propre d'un poids  P  suspendu à un ressort au milieu d'une 

poutre sur appuis simples (cf. Figure 2). La rigidité de flexion de la poutre est  EI  et sa longueur vaut  L . Elle est supposée sans masse. La raideur du ressort vaut  k . 

 

Figure  2: Poids suspendu à une poutre sans masse par un ressort.

   Eléments de réponse  

I.  3

48= EIkL

 

II.  3

48=(48 )

EIkm EI L k

ω+

 avec  = Pmg 

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  1.2  Poutres sans masse avec surcharge  Refaire l'exercice précédente avec :   I. Le système représenté sur la Figure 3.   II. Le système représenté sur la Figure 4.

Figure  3: Poutre console sans masse avec surcharge.

  

Figure  4: Poutre biencastrée sans masse avec surcharge.

   Eléments de réponse  

I.  3

3= EIkL

  

II.  3

192= EIkL

 

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  1.3  Chute de masse sur oscillateur simple  Une masse  1m  est  suspendue  à un  ressort  k  et  se  trouve en équilibre  statique. Une 

deuxième masse  2m  chute d'une hauteur  h  et s'accole à  1m  sans rebond (figure 5).   I. Déterminer le mouvement  ( )u t  autour de la position d'équilibre statique de la masse 

1m .

Figure  5: Chute d'une masse sur un système masse‐ressort en équilibre statique.

   Eléments de réponse  

I.  2 2

1 2

2( ) = (1 cos ) sin

ghm g mu t t tk m m

ω ωω

− ++

 

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  1.4  Automobile sur route de rugosité sinusoïdeale    Question  A.  Une  automobile  est  modélisée  de  façon  simplifiée  par  une  masse 

concentrée m  reposant sur un système ressort‐amortisseur (Figure 6). L'automobile se déplace à vitesse constante  v  sur une route dont la rugosité est connue sous la forme d'une fonction de la position sur la route.

I. Déterminer l'équation du mouvement.

Figure  6: Mouvement idéalisé d'une automobile sur une route.

  

Figure  7: Mouvement d'une automobile sur un pont à plusieurs travées.

   Question B. Cette  automobile  se déplace maintenant  sur un pont  à plusieurs  travées 

dont  les piles sont distantes de 35m (cf. Figure 7). Le fluage à  long terme du pont a provoqué une déflexion de 15cm en milieu de chaque travée. Le profil de la chaussée peut être approché par une sinusoïdee d'amplitude 15cm et de période 35m. La masse de  l'automobile en charge est  de  800kg,  la  raideur  de  son  système  de  suspension  est  de  60000N/m  et  le  coefficient d'amortissement  visqueux  est  tel  que  le  coefficient  d'amortissement  du  système  vaut  40%. Déterminer :

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II. L'amplitude  ,0tu  du mouvement vertical  ( )tu t  quand l'automobile se déplace à 70km/h. 

 III. La vitesse du véhicule qui conduirait à une résonance pour  ,0tu . Eléments de réponse   I.  Travailler avec la méthode de formulation directe de l'équation d'équilibre.    II.  ,0tu  = 0.175m   III.  v  = 155.1km/h

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  1.5  Modèle de frottement de Coulomb  Des systèmes utilisés pour limiter les effets des séismes sur les structures permettent de 

dissiper  l'énergie par  frottement de Coulomb. Le dispositif est réglé pour  fonctionner sous un effort de précontrainte constant  N  et un coefficient de  frottement  μ . Un essai de vibration libre  (ou  de  lâcher)  est  effectué  pour  mesurer  la  fréquence  propre  fondamentale  et  le coefficient de frottement (cf. Figure 8). 

 I. Montrez que la décroissance de l'amplitude entre 2 cycles consécutifs  1( )i iu u +−  est 

constante et donnez sa valeur en fonction de  =fNuK

 où K  est la raideur de la structure. 

II. Calculez la fréquence fondamentale et  fu  d'après la Figure 8.

Figure  8: Réponse en vibration libre du dispositif de dissipation d'énergie par 

frottement.    Eléments de réponse   I. Etudier la vibration forcée du système sous la force de frottement.    II.  f  = 2Hz,  fu  = 0.38cm

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  1.6  Spectres de réponse de sollicitations impulsives  Calculer les spectres de réponses des sollicitations suivantes :   I. L'impulsion simple représentée sur la Figure 9.   II. L'impulsion sinusoïdeale de la Figure 10 en considérant  = 0ξ  et  < 2sT

Figure  9: Impulsion simple.

  

Figure  10: Impulsion sinusoïdeale.

   Eléments de réponse  

I. 1cos

21( , ) =2dPS T Te

ξ ξξξ

π

−−−  

 

II.2

02

2( ) = sin1 1d

P nS T β ππ β β

⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠

, pour  = < 12Tβ

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  1.7  Transformée de Fourier d'un accélérogramme et énergie  Montrer que  la  transformée de Fourier  ( )ωF  d'un accélérogramme  ( )gu t  et  l'énergie 

totale  ( )dtH  introduite dans l'oscillateur élémentaire non‐amorti sont liées par la relation: 

 2 ( )( ) = dt

mω H

F

La quantité  dt  représente la durée totale de l'accélérogramme.   Eléments de réponse Ecrire  l'énergie  totale  comme  la  somme  de  l'énergie  cinétique  et  l'énergie  potentielle 

dans l'oscillateur. 

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  1.8  Portique soumis à un chargement sismique  On désire dimensionner un portique en béton armé situé en zone sismique. Le portique 

est  représenté  sur  la  Figure  11.  On  ne  considérera  que  la  composante  horizontale  du mouvement sismique.

Les caractéristiques du portique sont les suivantes :       • Hauteur des poteaux : H  = 10m      • Portée de la poutre :  L  = 8m      • Largeur des poteaux :  l  = 0.40m      • Hauteur de la poutre : b  = 0.60m      • Epaisseur des poteaux et de la poutre:  t  = 0:25m.  La masse est supposée concentrée sur la poutre supérieure et vaut m  = 50t. On prendra 

un module d'Young du béton de E  = 30000MPa.

Figure  11: Portique en béton armé.

  

Figure  12: Spectre de réponse élastique PS92

  

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I. En supposant que la poutre est infiniment rigide par rapport aux poteaux, calculez les 2 

premières fréquences de la structure (horizontale et verticale).   II. Si on considére le spectre de réponse des régles PS92 avec  2= 2.5m/sna  (pour un sol 

dur S0).     • Quel est l'effort tranchant global de dimensionnement (à la base de la structure).      • Quelle est la contrainte de cisaillement de dimensionnement dans les poteaux ?      • En pensant à la répartition de moment dans un poteau bi‐encastré, donnez la valeur 

du moment de dimensionnement.      • Calculez le déplacement relatif (de la poutre par rapport au sol) imposé par le séisme 

de dimensionnement.    III. Mêmes questions pour le sol S3 (sédiments). Conclusions ?  Les valeurs numériques pour la définition du spectre de réponse pour chaque catégorie 

de sol sont données dans le Tableau suivant.

    Type de sol     BT  [s]     CT  [s]     DT  [s]     RA      RM   

 S0    0.15    0.30    2.67    1.0    2.5   S1    0.20    0.40    3.20    1.0    2.5   S2    0.30    0.60    3.87    0.9    2.25   S3    0.45    0.90    4.44    0.8    2.0  

   La pseudo‐accélération des  spectres élastiques des  règles PS92  vaut  :  PSA = ( )na Re T  

avec :  

    • Branche AB:  ( ) = ( )B

TRe T RA RM RAT

+ −  

    • Branche BC:  ( ) =Re T RM  

    • Branche CD:  ( ) = CTRe T RMT

 

    • Branche DE:  2( ) = C DT TRe T RMT

 

Eléments de réponse   I.  XT  = 1.434s,  ZT  = 0.057s.  II.  dS  = 0.068m,  maxV  = 32.75kN,  maxτ  = 490.3kPa,  maxM  = 163.5kNm.  III.  dS  = 0.163m,  maxV  = 78.45kN,  maxτ  = 1176.8kPa,  maxM  = 392.2kNm. 

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17 

  1.9  Notions de transfert de spectres   L'objectif de cet exercice est de présenter  les notions principales dans  la procédure de 

tranfert  des  spectres,  couramment  utilisé  dans  la  pratique  pour  la  justification  de  la  tenue d'équipement  secondaire.  A  cette  fin,  on  examine  le  portique  présenté  sur  la  Figure  13.  Le comportement dynamique de  cette  structure est modélisée par un oscillateur à un degré de liberté,  caractérisé  par  sa masse  0m   et  sa  rigidité  0k .  L'amortissement  de  la  structure  est négligé. La structure est soumise à une excitation de support impulsive comme suit : 

   ( ) = ( )gu t A tδ

 Dans l'expression précédente,  A  représente l'amplitude de l'impact (unités de vitesse) et  ( )tδ  est la fonction delta de Dirac.

Figure  13: Portique avec créneau.

   I. Calculer le déplacement horizontal au niveau du toit du portique.   II. Déterminer le déplacement horizontal maximal au niveau du toit du portique comme 

fonction du période propre du portique.   III. Dessiner les spectres de réponse en pseudo‐accélération, pseudo‐vitesse et 

déplacement de l'excitation de support considérée.   Partie  II. Dans  la suite, on va considérer qu'un créneau se trouve suspendu du plafond 

du portique. La masse du créneau est  1m  et est considérée beaucoup plus faible que  la masse du  portique  0m .  Par  conséquant,  on  supposera  que  la  présence  du  créneau  n'altére  pas  le mouvement du portique. La rigidité de  la connection du créneau est  1k  et  l'amortissement au niveau de la connection  1ξ .

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18 

IV. Calculer le déplacement horizontal du créneau quand le portique est soumis à 

l'excitation de support considérée.   V. Déterminer le déplacement horizontal maximal du créneau comme fonction du 

période propre du créneau.   VI. Dessiner les spectres de réponse en pseudo‐accélération, pseudo‐vitesse et 

déplacement qui fournissent la réponse maximale du créneau.   VII. Comparer les spectres obtenus pour l'excitation de support impulsive avec les 

spectres de réponse tranférés à la position du créneau. NOTE. Noter que la fonction de Dirac est définie comme suit : 

 = 0

( ) =0 0

tt

+∞⎧⎨ ≠⎩

et 

  ( ) d = 1t tδ+∞

−∞∫

 La fonction de Dirac et une fonction arbitraire  ( )f t  satisfont la relation suivante : 

   

0( ) ( ) d = ( )

tf t f tτ δ τ τ−∫

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  1.10  Etude d'un portique avec pont roulant*  Un portique supporte un pont roulant (voir Figure 14) auquel est suspendue une masse 

M  par  l'intermédiaire d'un câble souple. Le portique est soumis à une sollicitation sismique  ; cette sollicitation se traduit au niveau des poutres de roulement par un mouvement caractérisé par le spectre de réponse donné sur la Figure 15. 

 I. Donner les expressions analytiques des différentes branches du spectre de réponse.   II. Etablir l'équation du mouvement de la masse.   III. Calculer le déplacement horizontal maximal de la masse.

 

Figure  14: Portique avec pont roulant.   

Figure  15: Spectre de réponse au niveau des poutres de roulement.

  

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  1.11  Oscillateurs généralisés et effet de forces longitudinales  Considérons la poutre cantilever de la Figure 16 dont la masse par unité de longueur est 

( )m x   et  la  rigidité  en  flexion  ( )EI x .  La  poutre  est  soumise  à  une  charge  dynamique ( , ) = ( ) ( )p x t f x g t  ainsi qu'à une force longitudinale constante  N  à son extrémité. La déformée 

de la poutre est approximée par la relation :     ( , ) = ( ) ( )u x t x z tψ   (1)

  où  ( )xψ  est une fonction donnée. 

I. Utiliser la méthode des puissances virtuelles afin de Déterminer l'équation du mouvement du système. En particulier, montrer que le travail virtuel effectué par la force longitudinale  N  lors d'un déplacement virtuel  = ( )u x zδ ψ δ  est donnée par l'expression : 

 

  2

0= ( ) [ ( )] d

l

NW z t zN x xδ δ ψ ′∫   (2)

II. Déterminer la valeur de la force  N , appelée charge critique  crN  pour laquelle la 

rigidité apparente du système est nulle.

Figure  16: Poutre et coordonnée généralisée.

   Eléments de réponse  

II. 2

0cr 2

0

( )[ ( )] d=

[ ( )] d

l

l

EI x x xN

x x

ψ

ψ

′′

∫∫

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21 

2  Systèmes à N degrés de liberté    2.1  Equation de mouvement de bâtiment rigide  On considère le bâtiment parfaitement rigide de la Figure 17. Le bâtiment est fondé sur 

un sol mou au moyen d'un radier de surface  a b× . La hauteur du bâtiment est  h  et sa masse volumique  ρ . Le bâtiment est sollicité par un chargement dynamique dans le plan  x z− . Le sol est considéré élastique et peut être représenté par des ressorts verticaux  ( )zk , horizontaux  ( )xk  et de  rotation autour de  l'axe  y   ( )kφ . Déterminer  l'équation du mouvement du  système en considérant comme degrés de liberté : 

I. Le déplacement vertical, le déplacement horizontal et la rotation du point  A .   II. Le déplacement vertical, le déplacement horizontal et la rotation du point  A′ .   III. Comment est‐ce que l'équation du mouvement est modifiée dans les cas précédents 

si l'on considère l'effet du poids propre lors de la rotation du bâtiment ?

Figure  17: Bâtiment rigide sur sol mou.

   Eléments de réponse  

III.  Utiliser l'approximation : 2

cos = 1 ...2!φφ − +  

Page 22: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

22 

  2.2  Etude d'une barre sur 2 ressorts  Une barre de longueur  L  et de masse uniformément répartie  M  repose sur 2 ressorts 

de raideur  1K  et  2K  (cf. Figure 18).

Figure  18: Barre sur deux ressorts.

   I. Après avoir choisi 2 degrés de liberté permettant de décrire le mouvement vertical de 

la barre, calculer les matrices de masse et de rigidité et écrire les équations de mouvement de ce système. 

 II. Que devient la matrice de masse si on fixe une masse  0M  au 1/3 de la barre.   III. Calculer la matrice d'amortissement si on fixe un amortisseur C  à la barre.   IV. Calculer les fréquences et les modes propres de ce système pour K1 = K2 = K et  0M  = 

0.  Eléments de réponse  

I.  1

2

0/ 3 / 6= , =

0/ 6 / 3KM M

M KKM M

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 

 

II. / 3 4 / 9 / 6 2 / 9

=/ 6 2 / 9 / 3 / 9

M M M MM

M M M M′ ′+ +⎡ ⎤

⎢ ⎥′ ′+ +⎣ ⎦ 

 

III. 

2

2

1 1= .

1

C C C

C C C

x x xL L L

Cx x xL L L

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

 

Page 23: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

23 

IV.  Pulsations propres :  12= KM

ω ,  26= KM

ω . Modes :  1

1=

1⎛ ⎞

Φ ⎜ ⎟⎝ ⎠

,  2

1=

1⎛ ⎞

Φ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ 

Page 24: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

24 

  2.3    Etude  de  la  réponse  dynamique  d'une  tuyauterie  sous 

pression lors d'une rupture    Question  A. On  désire  vérifier  le  comportement  d'une  tuyauterie  sous  pression  d'un 

circuit  primaire  d'un  réacteur  nucléaire  à  la  suite  d'une  rupture  accidentelle.  La  rupture  se produit à la sortie d'un coude à 90 degrés situé à une distance  2L  d'un encastrement. après la rupture, le gaz éjecté exerce sur le tuyau une force parallèle à son axe (au niveau de la rupture) passant brusquement de 0 à  0 0 0= 1.26F P S  ( 0S  : section de la brèche et  0P  : pression du fluide contenu  dans  la  tuyauterie  avant  rupture).  En  première  approximation,  la  tuyauterie  est modélisée par une poutre de raideur  EI  et 2 masses concentrées situées en  =x L  et  = 2x L  de  valeurs  1 = 0.50 totM M   et  2 = 0.25 totM M   où  totM   est  la  masse  totale  du  tronçon  de tuyauterie  ( = = 460 )totM SL kgρ .  Les  applications  numériques  se  feront  avec  les caractéristiques suivantes :  

    •  2L  = 6m      •  E  = 210000MPa      •  R  = 12.5cm      •  e  =  R /10 = 1.25cm      •  I  =  3R eρ  = 7670cm 4       •  S  = 2 Reπ  = 98.2cm 2       •  0S  =  2Rπ  = 491cm 2       •  ρ  = 7.8t/m 3       •  0P  = 166bars = 1628kPa 

Figure  19: Modélisation simplifiée d'une rupture de tuyauterie sous pression.

   I. Calculer les matrices de flexibilité et de rigidité.   II. Donner les équations du mouvement.   

Page 25: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

25 

III. Calculer les fréquences et modes propres de ce système.   IV. Déterminer l'évolution dans le temps des déplacements des points A et B pour ce 

chargement (cf. Figure 19).   Question B. Dans la suite, on ne tiendra compte que d'un seul mode.   V. Préciser pour quelle valeur de déplacement la vitesse est maximale.   VI. Déterminer les forces statiques équivalentes qui permettent de dimensionner 

statiquement la tuyauterie.   VII. Déterminer les efforts tranchants et moments fléchissants dans les différentes 

sections en fonction du temps.   Eléments de réponse  

I.  3

16 56=5 27

EIKL

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

 

 

III. Pulsations propres :  1ω  = 40.2 rad/s,  2ω  = 207 rad/s. Modes propres :  1

1=

3.05⎛ ⎞

Φ ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1=

0.655⎛ ⎞

Φ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ 

 V. max B

yu  = 17.9m/s   

VI.  st0

st

1.07=

0.816

A

B

FF

F⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ 

 VII.  enc 0= 1.886V F ,  enc 0= 2.7M F L

Page 26: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

26 

  2.4  Etude d'une poutre cantilever supportant trois masses*  Une poutre cantilever supporte trois masses égales comme il est indiqué sur la Figure 20. 

Les  modes  propres  de  vibration  ainsi  que  les  fréquences  propres  ont  été  déterminés expérimentalement et sont donnés ci‐dessous : 

 

 0.054 0.283 0.957 3.61

= 0.406 0.870 0.281 , = 24.2 rad/s0.913 0.402 0.068 77.7

ω⎡ ⎤ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎢ ⎥Φ − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎝ ⎠

 Une charge harmonique est appliquée au noeud 2  = 3 sin( )P k tω  dans laquelle  1= 0.75ω ω .

Figure  20: Poutre cantilever.

   I.  Ecrire  l'expression  de  la  réponse  stationnaire  de  la  masse  1m ,  en  supposant  la 

structure non amortie.   II.  Evaluer  les déplacements de  toutes  les masses  à  l'instant de  réponse maximale  et 

tracer la déformée à cet instant.   III.  Reprendre  les  questions  ci‐dessus  avec  un  amortissement  de  10%  pour  tous  les 

modes.

Page 27: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

27 

  2.5    Etude d'un portique de  2  étages  soumis  à un  chargement 

sismique   On  désire  dimensionner  un  bâtiment  de  bureaux  ou  d'habitations  R+1  situé  en  zone 

sismique  (cf.  Figure  21).  Le  bâtiment  est  formé  d'un  portique  en  béton  armé  ayant  les dimensions suivantes :  

    • Hauteur d'un étage: H  =  1H  =  2H  = 3m      • Portée des poutres:  L  = 6m      • Section des poteaux : 25 ×  25(cm ×  cm)    La masse est supposée concentrée à chaque plancher, la masse surfacique valant 1t/m 2  

soit une masse par étage valant 36t. On prendra un module d'Young du béton de 30000MPa. On rappelle  que  la  force  nécessaire  pour  appliquer  un  déplacement  différentiel  à  une  poutre biencastrée de hauteur H , d'inertie  I  et de module E  vaut : 

 

  3

12=x xEIF u

H

 

Figure  21: Portique en béton armé.   

Page 28: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

28 

Figure  22: Spectre de réponse élastique PS92.

   I. En supposant que la poutre est infiniment rigide par rapport aux poteaux, calculez les 2 

premières  fréquences  correspondant aux modes propres horizontaux de  la  structure. Donnez les  déformées modales  correspondantes.  Calculez  le  coefficient  de  participation  et  la masse modale de chacun des modes. 

 II. Si on ne considère que  le premier mode et  le spectre S0 des règles PS92  (cf. Figure 

14b), quel est  l'effort tranchant global de dimensionnement et  le déplacement correspondant (on prend  na  = 2.5m/s 2 ).  

    • Quelle est la contrainte de cisaillement de dimensionnement dans les poteaux ?      • Donnez une valeur approchée du moment de dimensionnement des poteaux.    III. Considérez les 2 modes. Quelles sont donc, dans ce cas, les erreurs commises sur les 

déplacements et  l'effort  tranchant à  la base en négligeant  le  second mode  ? On précisera  la méthode utilisée pour la recombinaison des modes.

 La pseudo‐accélération des  spectres élastiques des  règles PS92  vaut  :  PSA = ( )na Re T  

avec :  

    • Branche AB:  ( ) = ( )B

TRe T RA RM RAT

+ −  

    • Branche BC:  ( ) =Re T RM  

    • Branche CD:  ( ) = CTRe T RMT

 

    • Branche DE:  2( ) = C DT TRe T RMT

 

 

Page 29: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

29 

Type de sol    BT  [s]     CT  [s]     DT  [s]     RA      RM   S0   0.15    0.30    2.67    1.0    2.5  S1   0.20    0.40    3.20    1.0    2.5  S2   0.30    0.60    3.87    0.9    2.25  S3   0.45    0.90    4.44    0.8    2.0  

   

Eléments de réponse  

I.  1ω  = 9.61r/s,  2ω  = 25.1r/s, 1

1=

0.62⎛ ⎞

Φ ⎜ ⎟⎝ ⎠

,  2

0.62=

1−⎛ ⎞

Φ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Coefficients de participation :  1a  = 1.17,  2a  = 2.75.

II. 1

2 = 3.66cm=

= 2.25cmu

Uu

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

,  dimV  = 99kN,  dimM  = 148kNm,  maxτ  = 2.38MPa

III.  2max u  = 3.67cm.

Page 30: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

30 

  2.6  Prise en compte de l'interaction sol‐structure   L'objectif  de  cet  exercice  est  de  mettre  en  évidence  les  effets  de  l'interaction  sol‐

structure sur le comportement dynamique et le dimensionnement des structures. L'exercice est inspiré par  les deux centrales nucléaires situées à San Onofre en Californie qui sont présentés sur  la  Figure  23(a).  Il  est  connu  que  le  période  propre  des  centrales  en  considérant  des conditions  de  base  encastrée  est  environ  0.15s  alors  que  le  période  propre  en  prenant  en compte de la fléxibilité du sol de fondation vaut environ 0.5s.

On étudie la réponse des centrales dans la direction horizontale avec le modèle simplifié présenté sur la Figure 23(b). La superstructure est modélisée comme un oscillateur à un degré de liberté de masse  Sm  et de rigidité  Sk .

 

  Figure  23: (a) Centrales nucléaires de San Onofre, Californie et (b) modèle simplifié pour 

analyse dynamique    Les centrales sont fondées au moyen d'un radier circulaire très rigide de rayon  r  et de 

masse  Fm  sur la surface d'un sol considéré comme milieu élastique homogène et isotrope avec module de cisaillement G , coefficient de Poisson ν , masse volumique  ρ  et épaisseur  = 2H r . Suivant  la  couche de  sol, on  rencontre  le  substratum  rocheux,  celui‐ci  considéré  comme une assise parfaitement rigide.

La présence du  sol est prise en compte dans  le modèle avec un  ressort équivalent de rigidité  FK   qui  dépend  linéairement  de  la  fréquence  comme  présenté  sur  la  Figure  ??.  La dépendence  sur  la  fréquence est  introduite au moyen du paramètre adimensionnel  α  défini par la relation suivante : 

  =s

rVωα

Page 31: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

31 

Dans  l'expression précédente, ω  est  la pulsation de  l'excitation et  sV   la vitesse des ondes de cisaillement  dans  la  couche  de  sol.  La  rigidité  du  ressort  équivalent  pour  une  fréquence d'excitation tendant vers zero (cas statique) est donnée par la relation suivante : 

  ,st8= 1 0.52F

Gr rKHν

⎛ ⎞+⎜ ⎟− ⎝ ⎠

On considère que  la structure est soumise à une excitation sismique caractérisée par le specte de réponse présenté sur la Figure 25, défini à 5% d'amortissement avec les valeurs suivantes :

 

   BT  [s]     CT  [s]     DT  [s]    RA      RM     PGA   0.25   0.45   3.0  1.0  2.5   2.5  

  La pseudo‐accélération vaut : PSA = ( )na Re T  avec :  

    • Branche AB:  ( ) = ( )B

TRe T RA RM RAT

+ −  

    • Branche BC:  ( ) =Re T RM  

    • Branche CD:  ( ) = CTRe T RMT

 

    • Branche DE:  2( ) = C DT TRe T RMT

 

Figure  24: Variation de  FK  par rapport à la fréquence.

  

Page 32: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

32 

Figure  25: Spectre de réponse de dimensionnement.

   I. Calculer l'effort tranchant maximal développé à la base de la structure en considérant 

des conditions de base encastrée. II. Calculer l'effort tranchant maximal à la base de la structure en tenant en compte de la 

souplesse du sol de fondation et en ne considérant que  le mode fondamental du système sol‐superstructure. Afin de prendre en compte de l'incertitude sur les propriétés mécaniques du sol de fondation, on considérera un paramétrage pour la valeur du module de cisaillement G  avec 

valeur moyenne  moy =G G ,  valeur minimale  min2=3

G G   et  valeur maximale  max3=2

G G .  Les 

amortissements modaux sont égaux à 5%. La rigidité du ressort équivalent  FK  doit être calibré de manière à correspondre au mode propre du système sol‐fondation‐superstructure.

III. Refaire la question précédente en considérant la contribution des deux modes. Paramètres numériques. Les calculs seront effectués avec les valeurs numériques suivantes:       •  Sm  = 100kt      •  Sk  = 175000MN/m      •  r  = 12.0m      •  Fm  = 0.2 Sm       • G  = 500MPa      • ν  = 0.3      •  ρ  = 0.002 kt/m 3    

Page 33: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

33 

  2.7    Dalle  sur  sol  élastique  couplée  avec  oscillateur  de  faible 

masse *   Question  A.  La  dalle  de  la  figure  26,  considérée  comme  étant  infiniment  rigide  est 

sollicitée  par  un moment  harmonique  eM   (par  exemple  à  cause  d'une machine  tournante présentant un balourd). On suppose que les mouvements horizontaux de la dalle sont bloqués et on étudie les petits mouvements dans le plan vertical  xO y  autour de la position d'équilibre statique. La dalle est appuyée sur un support souple qui peut être modélisé par une densité de raideur verticale (l'effort linéique dans le sol est :  = sf k v  ou  sk  est la densité de raideur et  v  est le déplacement vertical).

Figure  26: Dalle sur sol élastique.

   I. Choisir comme degrés de liberté la rotation et le déplacement vertical du centre de la 

dalle. Montrer que  les deux pulsations propres de  la dalle sont égales. Calculer  leur valeur, et l'amplitude de  la  réponse  stationnaire quand  la  fréquence de  l'excitation est  respectivement 

0eω ω ,  0=eω ω  et  0eω ω . On considérera que le taux d'amortissement critique est  1ξ . On notera m  la masse linéique de la dalle et  L  sa longueur.

Question B. On ajoute au système un pendule inversé rigide (figure 27). Il est attaché au 

milieu de la dalle par l'intermédiaire d'un ressort de rotation de raideur  kθ . La masse de la tige est négligée. On note M  et H  la masse à l'extrémité et la hauteur respectivement.

Figure  27: Dalle sur sol élastique avec oscillateur de faible masse.

  

Page 34: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

34 

II.  Ecrire  les  équations  de  mouvement  linéarisées  de  ce  système  couplé.  Donner 

l'expression  des matrices  de  raideur  et  de masse.  On  considère  que  MgH kθ   ( g   étant l'accélération  de  pesanteur). Montrer  que  dans  ce  cas  on  peut  négliger  le  poids  propre  du pendule.

Question C. En plus de  la relation ci‐dessus,  la masse et  la hauteur ont été choisies de 

sorte que 2

3

12 = 1MHmL

ε  et la raideur  kθ  est telle que la fréquence du pendule seul est égale à 

la raideur de la dalle,  0ω . III. Calculer  les modes propres  (pulsations propres et déformées modales) du  système 

couplé. IV.  Calculer  l'amplitude  de  la  réponse  établie  de  la  dalle  et  du  pendule  quand  la 

fréquence  de  l'excitation  est  0eω ω ,  0=eω ω ,  1=eω ω   et  2=eω ω   où  1ω ,  2ω   sont  les pulsations propres du système. On fera l'hypothèse que le taux d'amortissement critique modal ξ , est le même pour les deux modes propres et que  2ξ ε  . Tracer qualitativement la courbe de  l'amplitude de  la réponse établie en  fonction de  la pulsation de  l'excitation. Comparer par rapport à la réponse de la dalle seule en supposant que le taux d'amortissement critique est le même dans les deux cas.

Page 35: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

35 

  2.8  Comportement sismique de structure asymétrique *   On considère la structure de la Figure 28, qui se compose d'une plaque carrée en béton 

armé de dimensions  L L×  et de masse totale M , supportée par quatre poteaux en béton armé de  hauteur  h .  La  section  des  poteaux  est  carrée  :  les  sections  des  poteaux  1  et  2  sont  de dimensions a a×  et celles des poteaux 3 et 4 de dimensions b b× .

On considère que la rigidité de la plaque est très élevée par rapport à celle des poteaux. On peut donc supposer que la plaque se comporte comme corps rigide. De plus, on néglige les déformations axiale et de cisaillement dans les poteaux.

On considère finalement que la masse de la plaque est uniformément repartie dans son volume. La masse des poteaux est négligée.

Figure  28: Structure étudiée.

   I. Calculer la rigidité K  de chaque poteau (rapport de force horizontale sur déplacement 

horizontale en tête de chaque poteau). II. En choisissant comme degrés de  liberté les déplacements du centre de  la plaque  xu , 

zu  et  sa  rotation  autour de  l'axe  vertical  ϕ , écrire  les équations  linéarisées du mouvement. Donner l'expression des matrices de rigidité K  et de masse M .

III.  Calculer  les  fréquences  propres  et  les  déformées modales.  Tracer  les  déformées 

modales. IV. On suppose que tous les modes ont le même taux d'amortissement critique ξ  = 5% 

et  que  la  donnée  de  l'aléa  sismique  est  le  spectre  de  la  Figure  29.  Calculer  les maxima  des moments  xM ,  yM  dans le poteau 2 dus à un séisme suivant  y  pour chacun des modes.

V.  En  appliquant  les  règles de  recombinaison des  réponses modales  SRSS  calculer  les 

maxima des  xM  et  yM . 

Page 36: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

36 

 On effectuera les calculs avec les données suivantes : Spectre d'aléa sismique :   La pseudo‐accélération spectrale à 5% d'amortissement vaut  = ( )nPSA a Re T  avec :  

    • Branche AB:  ( ) = ( )B

TRe T RA RM RAT

+ −  

    • Branche BC:  ( ) =Re T RM  

    • Branche CD:  ( ) = CTRe T RMT

 

    • Branche DE:  2( ) = C DT TRe T RMT

 

 Paramètres numériques :         • Dimension de la plaque  L  = 5m.      • Hauteur des poteaux  h  = 3m.      • Dimension de la section des poteaux 1 et 2  a  = 0.3m.      • Dimension de la section des poteaux 3 et 4 b  = 0.5m.      • Masse totale de la plaque M  = 25t.      • Module d' Young du béton E  = 30000MPa.  Paramètres pour la définition du spectre :         • Accélération maximale du sol  na  = 1.5m/s 2 .      • Paramètre RA  = 1.0.      • Paramètre RM  = 2.5.      • Paramètre  BT  = 0.06s.      • Paramètre  CT  = 0.40s.      • Paramètre  DT  = 2.50s. 

Figure  29: Spectre d'aléa sismique 

Page 37: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

37 

  

      

Partie II Dynamique des Ouvrages

Page 38: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

38 

1  Vibrations des poutres ‐ systèmes continus   1.1   Etude  simplifiée des vibrations d'une masse attachée à un 

câble tendu    On  désire  étudier  les  vibrations  longitudinales  (traction‐compression)  d'une  masse 

attachée à un câble (cf. Figure 30). On note les quantités suivantes :       • Longueur du câble : 2 L       • Section du câble :  S       • Caractéristiques du câble :  E , ν ,  ρ .      • Masse du télécabine : M  

Figure  30: Masse attachée à un câble horizontal tendu.

  

Figure  31: Masse attachée à un câble vertical.

   I. Rappeler l'équation de la dynamique de ce système.   II. Ecrire  les  conditions  aux  limites. Quelles  seraient  les  conditions  aux  limites pour  la 

Figure 31 ? 

Page 39: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

39 

III. Donner l'expression permettant de calculer la fréquence fondamentale.   IV. Donner  les fréquences et  les déformées des premiers modes  lorsque  M LSρ  et 

M LSρ .   V. Dans ce dernier cas, vérifier l'orthogonalité des 2 premiers modes propres. Eléments de réponse  

III. 2tan =

p p

L L SLc c Mω ω ρ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

IV.  Si  0Lω →  :  0

0

( , ) = , 0 < <( , ) = (2 ), < < 2

x

x

u x t u x x Lu x t u L x L x L⎧⎨ −⎩

Si  0p

Lcω  :  0

0

( , ) = sin( / ), 0 < <( , ) = ( (2 ) / ), < < 2x

x

u x t u n x L x Lu x t u n L x L L x L

ππ

⎧⎨ −⎩

.

V.   0( , ) = sin( / 2 ), 0 < < 2xu x t u n x L x Lπ . 

Page 40: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

40 

  1.2    Etude  d'une  poutre  à  masse  répartie  soumise  à  un 

chargement dynamique    On  se  propose  de  calculer  l'ordre  de  grandeur  des  efforts  engendrés  par  un  impact 

d'avion  sur  une  tour  de  grande  hauteur.  Les  caractéristiques  de  la  tour  étudiée  sont  les suivantes :  

    • Hauteur totale : H  = 400m      • Section de la base :  S  = 60 ×  60 (m ×  m)      • Masse totale : M  = 300000t   La structure de  la  tour est  tubulaire et  l'épaisseur du  tube vaut 10cm. On prendra un 

module d'Young de l'acier égal à  E  = 200000MPa. La tour sera considérée comme une poutre de section constante ayant une masse uniformément répartie sur la hauteur de la poutre.

Figure  32: Evolution temporelle de la force d'impact : chargement simplifié.

  

Figure  33: Chargements réels pour plusieurs types d'avion.

  

Page 41: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

41 

I. Rappeler l'équation de la dynamique pour ce système.   II. Donner les équations permettant de calculer les fréquences propres et montrer que 

l'existence d'une solution non nulle conduit à une équation du type :    cos cosh 1 = 0k k +

où on précisera la signification du facteur  k .   

III. Montrez que  21 4= (1.875) EI

SHω

ρ est une pulsation propre. 

IV. A l'aide de la méthode de Rayleigh, donner une valeur approchée de la première fréquence propre. 

 V. On suppose qu'un avion d'une masse de  avionM  = 300t volant à une vitesse  avionv  = 

100m/s impacte la tour à mi‐hauteur. L'impact est modélisé par le chargement représenté sur la Figure 32 avec : 

  imp avion avion1=3

F T M vΔ

En  considérant  la déformée  approchée du premier mode, Déterminer  la masse  et  la  raideur généralisées puis calculer les données suivantes:  

    • Le vecteur force généralisée      • Le déplacement en tête      • L'effort tranchant global en pied      • Le moment de flexion global en pied   Comparer la contrainte axiale maximale induite par la flexion à la contrainte sous poids 

propre.   Eléments de réponse   IV.  Considérer la déformée de la poutre sous chargement uniforme. Il s'ensuit : 

  2 44= (1.878) EI

SHω

ρ

V.  Le chargement généralisé :  imp= 0.771f F ,  maxu  = 0.095,  dim max dim= (0)M u EI Mψ ′′ ⇒  

= 6.79GNm,  dim max dim= (0)V u EI Vψ ′′′− ⇒  = 33.9MN. 

Page 42: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

42 

  1.3    Etude  d'une  poutre  à  masse  répartie  avec  une  section 

variable   On  considère  une  cheminée  en  béton  armé  de  hauteur  180m,  de  section  circulaire 

creuse avec le rayon extérieur de 15m à la base et de 7.5m en tête. La structure de la cheminée est tubulaire et  l'épaisseur  e  du tube  (qui est constante sur  toute  la hauteur) vaut 0.75m  (cf. Figure 34). On prendra un module d'Young du béton armé égal à 25000MPa. Le poids volumique de béton armé est égal à 24kN/m 3 . On  suppose que  l'accélération de  la pesanteur vaut  g  = 10m/s 2 . La cheminée est considérée encastrée à la base et l'amortissement sera pris égal à 5%. Le rayon moyen et le moment d'inertie peuvent être donnés par les relations suivantes : 

  moy3.75= 7.125180

R x−

  3

moy( ) = ( )I x eR xπ  La déformée est approchée par la fonction suivante : 

 2 3

2 3

3( ) =2 2x xxL L

ϕ −

où  L  est  la hauteur de  la  cheminée et  x  est mesuré  à partir de  la base.  La  cheminée  sera considérée comme une poutre de section variable ayant une masse répartie sur la hauteur de la poutre en fonction de  x .

Figure  34: Schéma de la cheminée.

  

Page 43: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

43 

Figure  35: Spectre de réponse.

   En considérant la déformée approchée donnée ci‐dessus :   I. Déterminer la masse et la raideur généralisées ainsi que la charge généralisée induite 

par  un  tremblement  de  terre.  écrire  l'équation  d'équilibre  en  faisant  intervenir  la  pulsation propre du système ω  et le pourcentage d'amortissement critique ξ .

II. Calculer la première fréquence propre.   III. Sous un chargement défini à partir du spectre de réponse donné sur la Figure 35 avec 

une accélération maximale de 0.25 g , calculer :       • Le déplacement en tête.      • L'effort tranchant et le moment de flexion en pied et à mi‐hauteur de la cheminée.    Eléments de réponse   I. Masse généralisée :  m  = 4087000kg, Raideur généralisée :   k  = 7464600N/m Charge 

généralisée :   p  = ‐6966100  ( )gu t .   II.  f  = 0.215Hz.   III.  maxu  = 0.799m.   IV. Calculés par les dérivées de la déformée :  M (0) = 1.58GNm, M (90) = 0.32GNm, 

V (0) = 22.5MN, V (90) = 7.2MN. Calculés en fonction des forces d'inertie en considérant l'équilibre dynamique en vibration 

libre, avec amortissement nul :   M (0) = 1.27GNm, M (90) = 1.147GNm, V (0) = 10.1MN, V (90) = 8.18MN.

Page 44: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

44 

  1.4  Modes propres de poutres uniformes   I.  Calculer  les  trois  premières  fréquences  propres  de  vibration  et  les modes  propres 

associés d'une poutre uniforme encastrée à ses deux extrémités. On appellera  EI , m  la rigidité en  flexion et  la masse au mètre  linéaire de  la poutre de  longueur  L . On négligera  les termes d'inertie en rotation. 

 II. Reprendre le problème précédent en libérant une des extrémités de la poutre et en y 

attachant une masse ponctuelle M .   Eléments de réponse  

I.  4=i iEIk

mLω ,  1k  = 22.37,  2k  = 61.7,  3k  = 120.6. 

 II. Pour la condition aux limites à l'extrémité libre de la poutre, considérer l'équilibre de 

forces en y ajoutant la force d'inertie due à la masse ajoutée.

Page 45: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

45 

  1.5  Chute de poutre en rotation   La poutre représentée sur la Figure 36 se pivote  librement autour de son support  A  et 

chute sur son support  B  d'une hauteur h  (sans rebond). Calculer la vibration de la poutre.

Figure  36: Chute d'une poutre supportée à son extrémité.

   Eléments de réponse

  1 21 2

2 3 1 1 2( , ) = sin sin sin sin ...2

gh x xu x t t tL Lπ πω ω

π ω ω⎛ ⎞

− +⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 46: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

46 

  1.6  Modes propres de la Terre  L'objectif de cet exercice est de réaliser une analyse simplifiée des modes propres de la 

Terre. Pour ce faire, l'ensemble du globe est assimilé à une sphère élastique homogène isotrope caractérisée par :  

    • le rayon  R  = 6400 km      • la célérité des ondes  P  :  Lc  = 11km/s      • la célérité des ondes  S  :  Tc  = 4km/s   On considère de plus que les mouvements sont purement radiaux et ne dépendent que 

de  r , soit :    = ( ) ru u r e

On explicitera successivement :   I. La forme générale des modes.   II. Les conditions aux limites.   III. L'équation caractérisant les pulsations propres (on calculera quelques solutions et on 

Déterminera notamment la période propre du premier mode).   IV. Quels sont les autres modes possibles dans le cas réel ?   Eléments de réponse  

I.  2

d ( )( ) = = ( cos sin )dr

f r Bu r kr kr krr r r⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

,  =L

kcω

 

 II.  ( ) = 0rr Rσ    

III. 2 2

tan = 214

kRkRk Rλ μ

μ+−

,  =L

kcω

.

Page 47: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

47 

  1.7  Mode de vibration fondamental de pile de pont  Pour  la  conception  parasismique  d'un  pont  à  plusieurs  travées  on  désire  estimer  le 

premier mode de  vibration de  la pile  typique du pont.  Il  s'agit d'une pile en béton  armé de section  circulaire, modélisée  avec  le modèle  simplifié qui  est  représenté  sur  la  Figure  37.  Le modèle présente une masse concentrée  0m  à la tête de la pile et une masse repartie m  le long de  la  pile.  La  pile  est  considérée  encastrée  à  la  base.  L'inertie  en  rotation  du  tablier  est considérée nulle. On adoptera une poutre de type Euler ‐ Navier pour la modélisation de la pile (déformations de cisaillement négligées).

Figure  37: Pile de pont étudié.

   Le système met en évidence les caractéristiques suivantes :       • Hauteur h  = 13m.      • Diamètre de la pile D  = 2m.      • Masse concentrée  0m = 1200t.      • Masse volumique du béton  ρ  = 2.5t/m3.      • Module élastique du béton E  = 30000MPa.      • Amortissement du béton armé ξ  = 5%.    I. Calculer la fréquence du premier mode de vibration de la pile. Eléments de réponse   I.  f  = 0.856Hz.

Page 48: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

48 

  1.8  Tassement de pile de pont*   On considère la poutre de la Figure 38. La poutre modélise un pont en béton avec deux 

travées de longueur  L .

Figure  38: Tassement de pile de pont à deux travées.

   La rigidité en  flexion et  la masse  linéique du pont sont uniformes  le  long de  la poutre. 

L'appui B du pont subit à l'instant  0t  un déplacement donné par l'expression :     

0 0( , ) = sin ( )u L t u t tω −

I. Calculer  la réponse verticale du pont  :  ( , )u x t  pour  [0,2 ]x L∈  et  0 0[ , ]2

t t t πω

∈ + . On 

négligera la déformation axiale et la déformation de cisaillement.   DONNEES     • Masse linéique de la poutre m .      • Module d'Young du béton E .      • Moment d'inertie de la section  I .      • Pulsation du déplacement induit en B, ω .      • Amplitude du déplacement induit  0u .  Eléments de réponse   I.  Ecrire  la  réponse  de  la  poutre  comme  la  somme  d'un  terme  correspondant  au 

déplacement statique de la poutre et un terme correspondant à l'effet dynamique.

Page 49: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

49 

  1.9  Calcul de cheminée avec interaction sol‐structure   La cheminée de  la Figure   est modélisée avec un modèle de poutre de caractéristiques 

de masse et de rigidité uniformément réparties sur la hauteur de la cheminée.

Figure  39: Cheminée en interaction sol‐structure

   Afin  de  prendre  en  compte  l'interaction  sol‐structure,  on  introduit  à  la  base  de  la 

cheminée  une  masse  ponctuelle  représentant  la  masse  de  la  fondation  et  deux  ressorts reproduisant  l'impédance  de  translation  de  la  fondation  suivant  l'axe  x   et  l'impédance  de rotation autour de l'axe  y .

On étudiera  le mouvement horizontal de  la cheminée suivant  l'axe  x . On négligera  les déformations axiales et de cisaillement de la poutre. On négligera aussi l'inertie en rotation de la fondation. 

I.  Fournir l'expression permettant le calcul de la valeur exacte de la fréquence propre de la cheminée.

DONNEES.     • Hauteur de la cheminée H .      • Masse linéique de la cheminée m .      • Module d'Young du matériau de la cheminée  E .      • Moment d'inertie de la section de la cheminée  I .      • Masse de la fondation  FM .      • Raideur du ressort de translation  xK .      • Raideur du ressort de rotation  yyK . 

Page 50: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

50 

2  Propagation d'ondes   2.1    Etude  de  la  propagation  des  ondes  suite  à  l'impact  de  2 

barres   On  laisse tomber depuis une hauteur  chuteH  une barre B1 de hauteur  1H , module  1E , 

section  1S   et masse  volumique  1ρ   sur  une  seconde  barre  B2  de  hauteur  2H , module  2E , section  2S  et masse volumique  2ρ  qui est sur un support fixe. On étudiera le cas particulier : 

   1 2 1 2 1 2 2 1= = = = 10E E S S H Hρ ρ

Figure  40: Impact de 2 barres.

   I. Rappeler  l'équation de propagation des ondes de compression et  les conditions aux 

limites dans chacune des 2 barres.   II. Ecrire les conditions initiales au moment de l'impact des 2 barres.   III.  Analyser  la  propagation  d'ondes  dans  les  2  barres  avant  qu'elles  n'atteignent 

l'extrémité de chacune des barres.   IV. Décrire la réflexion aux extrémités des barres et caractériser le champ d'ondes qui en 

résulte.   Eléments de réponse

III. Il s'agit de deux ondes de compression écrites :  10=

2 p

vN ESc

Page 51: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

51 

2.2  Propagation d'ondes sphériques   Un milieu  infini  elastique  homogene  isotrope  (masse  volumique  ρ   et  coefficients  de 

Lame  λ ,  μ )  est  soumis  a  une  sollicitation  harmonique  ponctuelle.  On  se  placera  donc  en coordonnees spheriques.

I. Ecrire l'equation indefinie du mouvement.   II. En ne conservant que les termes radiaux des tenseurs de contrainte et de deformation 

rrσ ,  rrε  et du champ de deplacement  ru , donner la forme simplifiee de l'equation indefinie du mouvement et en deduire la solution du probleme en deplacement. 

 III.  En  ne  conservant  que  le  terme  radial  du  champ  de  deplacement  ru   mais  en 

considerant  tous  les  termes des  tenseurs de  contrainte et de deformation  (sans  toutefois de dependance en θ , ϕ ), donner  la forme plus complete de  l'equation  indefinie du mouvement. Montrer alors que la solution en deplacement s'ecrit comme la somme d'un terme de ((champ proche))  et  d'un  terme  de  ((champ  lointain)).  On  se  donne  la  divergence  d'un  tenseur  de deuxieme ordre en coordonnees spheriques : 

   

  ( ) 1= (2 cot )sin

rrrrr rr re

r r r rϕθ

θθ ϕϕ θ

σσσσ σ σ σ σ θθ θ ϕ

∂∂∂∇ ⋅ + + + − − +

∂ ∂ ∂

  ( ) 1= [( )cot 3 ]sin

rre

r r r rθϕθ θθ

θ θθ ϕϕ θ

σσ σσ σ σ θ σθ θ ϕ

∂∂ ∂∇ ⋅ + + + − +

∂ ∂ ∂

  ( ) 1= (3 2 cot )sin

rre

r r r rϕ ϕθ ϕϕ

ϕ ϕ ϕθ

σ σ σσ σ σ θ

θ θ ϕ∂ ∂ ∂

∇ ⋅ + + + +∂ ∂ ∂

Eléments de réponse  

II.  i( )0( , ) = kr tuu r t er

ω− ,  =2

k ρωλ μ+

 

 

III.  i( )0 1( , ) = i kr tuu r t k er r

ω−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 52: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

52 

  2.3  Propagation d'ondes dans un milieu stratifié (ondes SH)  Un  milieu  infini  élastique  homogène  isotrope  (masse  volumique  ρ ,  module  de 

cisaillement  μ )  contient une  couche  rectiligne élastique  infinie plus  rigide  (masse volumique ρ′ , module de  cisaillement  μ′ ). A  l'aide de  cette  couche plus  rigide, on  cherche  à  limiter  la propagation d'une onde plane harmonique (SH) écrite :  

  1 2i( )1

3 0

= = 0

= kx t

u u

u u e ω−

⎧⎪⎨⎪⎩

 Les coefficients  iR  et  iT  représentent les rapports d'amplitude en déplacement en réflexion et en transmission. Dans les questions qui suivent, on adoptera les notations suivantes : 

 

  = kk

μαμ′ ′

  i= k he e ′+

  i= k he e ′− −

  i

2= k hT T e ′′

Figure  41: Propagation d'ondes  SH  dans un milieu stratifié.

   I. Déterminer  le coefficient de  transmission  0T  de  l'onde à  travers  la couche  rigide en 

fonction des grandeurs α , e+ ,  e− .    

Page 53: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

53 

 II.  Déterminer  l'épaisseur  de  la  couche  conduisant  au  coefficient  de  transmission  2T  

minimal et donner l'expression analytique de ce dernier.   III. Quel est le résultat lorsque la couche rectiligne est moins rigide que le milieu infini et 

que le facteur α  vaut  11=αα

 ? 

 Eléments de réponse  

I.  2 2

4=(1 ) (1 )

Te e

αα α− +

′+ − −

 

 

II.  2

2=1

T αα

′+

Page 54: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

54 

  2.4  Propagation d'ondes dans un milieu stratifié (ondes P/SV)   Un milieu  infini  élastique  homogène  isotrope  (masse  volumique  ρ   ,  coefficients  de 

Lamé λ  et  μ ) contient une couche rectiligne élastique infinie plus rigide (masse volumique  ρ′ , coefficients de  Lamé  λ′  et  μ′ ). A  l'aide de  cette  couche plus  rigide, on  cherche  à  limiter  la propagation d'une onde plane harmonique de compression  P . Les coefficients  iR ,  iT ,  iR′  et  iT ′  représentent les rapports d'amplitude en déplacement en réflexion et en transmission en onde P  et en onde  SV  (respectivement). 

I. Déterminer le vecteur contrainte normale aux interfaces.   II. Ecrire les équations de continuité en déplacement et en contrainte normale. Quelles 

autres relations faut‐il écrire pour résoudre le problème ?   III. Que deviennent ces équations lorsque l'onde  P  a une incidence normale ?

Figure  42: Propagation d'ondes  P  et  SV  dans un milieu stratifié.

  

‐ Onde incidente P  : 

i( )1 21 0

i( )1 22 0

3

= cos

= sin= 0

k x k y t

k x k y t

u u e

u u eu

ω

ω

θ

θ

+ −

+ −

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

‐ Onde résultante  SV  : 

i( )1 21 2 0 2

i( )1 22 2 0 2

3

= cos

= sin

= 0

K x K y tT

K x K y tT

u T u e

u T u e

u

ω

ω

θ

θ

+ −′

+ −′

⎧ ′⎪⎪ ′⎨⎪⎪⎩

Page 55: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

55 

  2.5  Propagation d'ondes à travers d'une interface solide ‐ fluide*  Un milieu elastique assimilable a un semi espace de caracteristiques  ρ ,  SC ,  PC  (masse 

volumique, celerites des ondes de cisaillement et de compression) est surmonté par un  fluide parfait de  caracteristiques  wρ ,  FC ,. Ce  semi espace est  le  siège d'une onde de  compression harmonique se propageant avec un angle  0θ  par rapport a la verticale.

Figure  43: Propagation d'ondes à travers d'une interface solide ‐ fluide.

   I. Determiner  dans  chaque  milieu  les  differents  types  d'fondes,  directions  de 

propagations et amplitudes lorsque l'onde incidente heurte l'interface entre les deux milieux. 

Page 56: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

56 

  2.6  Ondes réfractées dans une membrane *  Un semi espace élastique est recouvert d'une membrane tendue comme  indiqué sur  la 

figure ci‐dessous. L'équation de vibration de la membrane soumise à une charge  1 3( , , )q x x t  par unité de surface est : 

 2 2 2

2 2 22 2 21 3

=u u uqx x T T t

ρ∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂

 Une onde longitudinale harmonique plane, d'amplitude  A  et de pulsation ω , heurte la surface du  semi  espace  ;  en  admettant  un  contact  parfait  entre  la  membrane  et  le  milieu  et  en supposant  la membrane  infiniment rigide dans son plan, Déterminer  les amplitudes des ondes réfractées.

Figure  44: Onde longitudinale heurtant à une membrane élastique.

  

Page 57: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

57 

3  Interaction Sol‐Structure   3.1  Fondation de machines tournantes  On  désire  estimer  le  mouvement  vibratoire  d'un  radier  supportant  une  machine 

tournante comportant un léger balourd (turboalternateur). La machine étant fixée directement à un  radier  rigide,  ceci nécessite de Déterminer  l'impédance du  sol  situé  sous  le  radier. Pour cela, un modèle simplifié dit de cône est adopté : le sol est représenté par un cône d'angle α  et de caractéristiques mécaniques homogènes  E , ν ,  ρ . De plus, on suppose que  le sol possède un  amortissement  de  type  hystérétique,  i.e.  que  les  contraintes  peuvent  s'écrire  dans  le domaine fréquentiel : 

   = (1 2i )Gτ ζ γ+

 Le  radier  est  de  géométrie  circulaire  de  rayon  R .  On  suppose  que  le  cône  se  déforme  en traction  ‐  compression  lorsque  le mouvement  du  radier  est  vertical  et  en  cisaillement  pur lorsque  le  mouvement  est  horizontal.  La  machine  tournante  applique  au  radier  une  force tournante s'exprimant sous la forme : 

   

 2

2

= cos= sin

x

y

f md tf md t

⎧ Ω Ω⎪⎨ Ω Ω⎪⎩

 La machine  tourne à une vitesse nominale de 50tour/s.  Les grandeurs  m  et  d   représentent respectivement la masse et l'excentrement du balourd. On étudiera les phases de montée et de descente en négligeant les phases transitoires et en ne regardant que le régime forcé : 

   0 < < 50 2 = 100π πΩ ×

 Les masses  de  la machine  et  du  radier  valent  respectivement  1M   =  100t  et  2M   =  1000t. L'amortissement matériel du sol sera négligé dans les questions I et II.

I.  Donnez  les  équations  différentielles  régissant  le  mouvement  horizontal  et  le 

mouvement vertical d'une tranche de sol situé à la profondeur  z . Comparez les.  Partie 2. Par la suite, seul le mouvement horizontal sera étudié. II.  Donnez  les  conditions  aux  limites.  Déduisez‐en  l'impédance  du  sol  (raideur  et 

amortissement)  si  l'amortissement  hystérétique  du  sol  ζ   est  négligé.  Les  résultats  seront adimensionnés par rapport à la raideur statique horizontale d'une fondation circulaire de rayon 

R  ( st8=2GRKν−). Donnez la valeur de l'angle α  qui vous semble la plus cohérente. 

 

Page 58: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

58 

III. Donnez  l'impédance  du  sol  lorsque  l'amortissement  hystérétique du  sol  n'est  plus négligé. 

 IV. Comparez le modèle de cône (α  > 0) et le modèle 1D  (α  = 0).   V.  Donnez  l'équation  du  mouvement  du  radier  supportant  la  machine  tournant 

fonctionnant à la vitesse Ω . Discutez l'amplitude et la phase du mouvement selon les valeurs de la vitesse de rotation de la machine. On négligera l'amortissement hystérétique du sol. 

 VI. On  isole maintenant  la machine du radier à  l'aide d'un support élastique de raideur 

K ′   et  d'amortissement  C′ . Donnez  l'équation  régissant  les mouvements  du  radier  et  de  la machine. 

Figure  45: Modélisation simplifiée du sol avec modèle de cône.

  

Figure  46: Modélisation simplifiée du sol avec modèle 1D .

  

Page 59: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

59 

Eléments de réponse  

II.  st(2 )( ) = 1 i

8K K ν πϖ ϖ−⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠, où  = R

cωϖ . 

 

III.  st st(2 ) (2 ) 2( ) = 1 i

8 8AK K K

Aν πζϖ ν π ζϖ ϖ

ϖ− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠, où  2= 0.5 1 4A ζ+ . 

 IV. Modèle 1D :  ( ) = i 1 2 iK GRϖ πϖ ζ+ .   

V. 1( ) =x xu t fA,  2 2

stst

(2 )= 1 i8

MRA Kc K

ν π⎛ ⎞− Ω+ −Ω⎜ ⎟

⎝ ⎠. 

 VI. Travailler avec un système à deux degrés de liberté.

Page 60: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

60 

  3.2  Interaction cinématique d'un radier rectangulaire rigide  On considère un radier rectangulaire parfaitement rigide de dimensions  L D× . Le radier 

est  sollicité  par  une  onde  incidente  uniforme  dans  la  direction  x ,  qui  se  propage  dans  la direction  y   avec  une  vitesse  Vα   et  induit  un  déplacement  dans  la  direction  x .  Alors  le mouvement du sol peut s'écrire comme intégrale de Fourier: 

 

 i ( ) d1( , ) = (i )

2

ytV

gxu y t A eω ω

αωπ

−+∞

−∞∫

 Ce mouvement  est  transmise  sur  le  radier  et  le met  en  vibration. Alors  il peut  s'écrire  aussi comme : 

 

 1

( , ) = ( ) ( )gx ix iu y t a t yγ∞

 où  les  fonctions  ( )i yγ   sont  les  modes  propres  du  radier  qui  satisfont  la  condition d'orthogonalité : 

 

 0

( ) ( ) d = 0,D

i ky y y i kγ γ ≠∫

Figure  47: Radier rectangulaire de grandes dimensions.

   I. Ecrire la fonction  1( )yγ  qui correspond au premier mode rigide (translation) du radier 

et la fonction  2 ( )yγ  qui correspond au deuxième mode rigide du radier (rotation rigide autour de l'axe  z ). 

Page 61: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

61 

II. En utilisant la condition d'orthogonalité calculer les coefficients  1 ( )xa t  et  2 ( )xa t .   III.  En ne  retenant que  le premier mode  rigide du  radier et en  considérant une onde 

incidente monochromatique, calculer  le  rapport entre  l'amplitude du mouvement  libre du sol par rapport à l'amplitude du mouvement transmise au radier. 

 Eléments de réponse  

III. 1= 2(1 cos )radier

sol

A kA k

− ,  = DkVα

ω.

Page 62: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

62 

4  Interaction Fluide‐Structure   4.1  Calcul de la masse ajoutée de 2 cylindres concentriques 

séparés par un fluide  On desire calculer  la matrice de masse ajoutee du systeme forme de 2 cylindres rigides 

de  rayons  respectifs  1R   et  2R   initialement  concentriques.  L'espace  entre  les  2  cylindres  est rempli d'un fluide de masse volumique  ρ . 

 Partie 1 I. Rappeler  les equations que doivent verifier  les champs de pression et de vitesse du 

fluide.   II. Rappeler les conditions aux interfaces entre le fluide et chacun des cylindres.   III. Montrer que le champs de pression peut s'écrire sous la forme: 

  ( , ) = cos sin cos sinc dp r ar brr r

θ θ θ θ θ+ + +

IV.  Déterminer  les  constantes  a ,  b ,  c ,  d   à  partir  des  accélérations  de  chacun  des cylindres. 

 V. En déduire  les forces exercées par le fluide sur chacun des cylindres et  la matrice de 

masse ajoutée.   Partie 2 Donner la matrice de masse ajoutée pour les cas particuliers suivants :   I. Réservoir cylindrique rempli de fluide.   II. Pile de pont de rayon  R  plonge dans un fluide.   III. Palier d'une machine tournante (épaisseur du film d'huile mince devant  le rayon du 

cylindre central et le rayon du cylindre extérieur).

Page 63: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

63 

Figure  48: système de deux cylindres rempli de liquide.

   Eléments de réponse   I‐IV.  

 2 22 1

,2 ,12 2 2 21 2 1 2

= x xR Ra U U

R R R Rρ ρ

−− −

 2 22 1

,2 ,12 2 2 21 2 1 2

= y yR Rb U U

R R R Rρ ρ

−− −

  ( )2 2

1 2,2 ,12 2

1 2

= x xR Rc U U

R Rρ

−−

  ( )2 2

1 2,2 ,12 2

1 2

= y yR Rd U U

R Rρ

−−

Page 64: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

 

64 

  4.2  Calcul d'une barre partiellement immergée   Utiliser  les  résultats  précédents  pour  calculer  les  fréquences  et modes  propres  d'une 

barre de hauteur H  = 1m, de masse M  = 1kg et de section  S  = 5cm 2  fixée à ces 2 extrémités à 2 ressorts horizontaux de raideur K  = 10kN/m et immergée sur une hauteur de 50cm.

Figure  49: Barre partiellement immergée.

     

Page 65: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

DYNAMIQUE DES STRUCTURES Année 2011

Séance 1 (01 Mars) Amphi 1 : Généralités sur la Dynamique des ouvrages Les différents types d’actions : exemples d'application et caractérisation Harmonique, périodique Impulsive

Entretenue Aléatoire

Les méthodes de mise en équation d'un problème de dynamique : Equilibre des efforts Equations de Lagrange Méthode des Puissances virtuelles Aperçu sur les méthodes de résolution Amphi 2 : Oscillateur linéaire à 1 DDL Présentation générale : relation force - déplacement ; amortissement : origine et modélisation

Vibration libre : amortie, non amortie Vibration forcée harmonique et fonction de transfert. Réponse impulsive : spectre de choc

Séance 2 (08 Mars) Amphi 3 : Oscillateur linéaire à 1 DDL

Réponse à une sollicitation quelconque : périodique (analyse fréquentielle par transformation de Fourier), quelconque (intégrale de Duhamel). Réponse sismique: spectre de réponse. Oscillateur généralisé à 1 DDL: fonction de forme du déplacement; méthode de Rayleigh.

PC1

Vibration libre: amortie, non amortie Vibration forcée harmonique

Séance 3 (15 Mars) Amphi 4 : Oscillateur linéaire à N DDL

Equation d'équilibre: discrétisation (exemple portique N étages), forces élastiques, amortissement, inertie. Détermination et propriétés des matrices masse, raideur

Page 66: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

Vibration libre système linéaire non amorti: fréquences propres, modes propres, méthode du quotient de Rayleigh pour mode fondamental. Propriétés des vecteurs propres

PC2

Réponse sismique: spectre de réponse.

Séance 4 (22 Mars) Amphi 5 : Oscillateur linéaire à N DDL

Vibration libre d'un système linéaire amorti: origine et modélisation de l'amortissement d'une structure: modal, orthogonal (Rayleigh, Caughey), non orthogonal (modes complexes). Réponse dynamique de l'oscillateur linéaire: analyse modale, calcul des efforts, déplacements, accélérations. Critère de choix du nombre de modes.

PC3

Vibration libre système linéaire non amorti: fréquences propres, modes propres,

Séance 5 (05 Avril) Amphi 6 : Oscillateur linéaire à N DDL

Réponse sismique de l'oscillateur linéaire: définition du chargement effectif, analyse modale - spectrale, analyse modale temporelle. Excitation multi-supports

PC4

Vibration libre d'un système linéaire amorti Réponse dynamique de l'oscillateur linéaire: analyse modale, calcul des efforts.

Séance 6 (12 Avril) Amphi 7 : Vibrations des poutres

Mise en équation générale de l'équilibre dynamique des poutres Vibration longitudinale des barres: modes propres Propagation d'ondes dans une barre élastique: modélisation des frontières absorbantes.

PC5 Réponse sismique de l'oscillateur linéaire

Examen : Mardi 26 Avril (8h30-11h30)

Page 67: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

Contrôle des connaissances:

• Contrôle continu en petite classe (15% participation) • Devoir à rendre (1) (25%) • Examen final (3 heures) (60%)

Validation du module: moyenne pondérée supérieure ou égale à 10.

Equipe enseignante: Alain PECKER, Charisis CHATZIGOGOS, Nicolas GREFFET, Sandrine JUSTER-LERMITTE, Luca LENTI, Pierre Alain NAZE, Ioannis POLIPOTOULOS. Nombre d’élèves : 104

Documents Pédagogiques:

• Livre: Dynamic of Structures ; Clough et Penzien (John Wiley) • Polycopié 2011

Devoir à faire chez soi : Remis aux élèves le 15 Mars, rendu par les élèves le 5 avril

Séance 1ère Partie 2ème Partie Amphi Petite Classe Amphi Petite Classe

1 (1) Généralités (2) Oscillateur 1 DDL :

Vibrations libres et forcées

2 (3) Oscillateur 1 DDL : Sollicitation quelconque Oscillateur généralisé

(1) Oscillateur 1 DDL

3 (4) Oscillateur N DDL: Modes propres (2) Oscillateur 1 DDL

4 (5) Oscillateur N DDL: Système amorti (3) Oscillateur N DDL

5 (6) Oscillateur N DDL: Réponse sismique (4) Oscillateur N DDL

6 (7) Poutres Vibration longitudinale (5) Oscillateur N DDL

7 Examen

Page 68: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

DYNAMIQUE DES OUVRAGES Année 2011

Séance 1 (03 Mai) Amphi 1 : Vibrations des poutres

Poutre en flexion et poutre en torsion: modes propres, vibrations forcées harmoniques. PC1 Vibrations longitudinales des poutres

Séance 2 (10 Mai) Amphi 2 : Propagation d'ondes dans le sol

Milieu infini: équation de propagation; identification des ondes S et P (théorème de Poisson); Ondes monochromatiques planes. Milieu stratifié: conditions de réflexion et réfraction (loi de Snell); polarisation. Mono-couche: cas particulier des ondes SH; modes propres, fonction de transfert.

PC2

Vibration de flexion des poutres

Séance 3 (17 Mai) Amphi 3 : Propagation d'ondes dans le sol / Interaction sol-structure

Ondes de Love et Rayleigh. Vitesse de phase et vitesse de groupe. Ondes sphériques: condition de Sommerfeld, amortissement radiatif Influence de l'interaction sol structure sur la réponse d'un ouvrage Formulation d'un problème d'ISS : interaction inertielle et interaction cinématique

PC3 Propagation des ondes planes

Page 69: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

Séance 4 (24 Mai) Amphi 4 : Interaction sol-structure

Méthode de sous- structuration; théorème de superposition de Kausel. Impédances des fondations: définition, forme générale, modèles analogiques (modèles de cône). Résolution pratique d'un problème d'ISS: analyse modale; analyse fréquentielle.

PC4

Ondes SH en milieu stratifié; fonction de transfert.

Séance 5 (31 Mai) Amphi 5 : Interaction fluide-structure

Formulation du problème: équation de propagation dans le fluide. Solide totalement immergé: calcul des pressions hydrodynamiques et mise en évidence de la notion de masses d'eau ajoutées; résonateur de Helmotz Plan d'eau avec surface libre: pressions hydrodynamiques le long du parement; solution de Westergaard.

PC5

Impédances des fondations

Séance 6 (07 Juin)

Amphi 6 : Oscillateur non linéaire Ductilité; spectre de réponse non linéaire; Analyse sismique d'un système non linéaire: analyse temporelle; méthode push-over et diagramme de capacité

PC6 Interaction sol-structure

Séance 7 Journée pédagogique Bureau d'études Date 1 : 14 Juin (8h30 -12h)

Page 70: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

Contrôle des connaissances:

• Contrôle continu en petite classe (20% participation)

• Bureau d'études (3 heures) (80%)

Equipe enseignante: Alain PECKER, Charisis CHATZIGOGOS, Nicolas GREFFET, Sandrine JUSTER-LERMITTE, Luca LENTI, Pierre Alain NAZE, Ioannis POLIPOTOULOS. Nombre d’élèves : ?? Documents Pédagogiques:

• Livres: Dynamic of Structures ; Clough et Penzien (John Wiley) Introduction à la Dynamique des Structures ; Le Tallec (Ed. Ellipse)

• Polycopié 2011 •

Devoir à faire chez soi Remis aux élèves le 17 mai; remis par les élèves le 14 juin lors de la journée pédagogique. Possibilité pour les élèves de s'associer par 2 mais issus du même groupe de TD.

Séance 1ère Partie 2ème Partie Amphi Petite Classe Amphi Petite Classe

1 (1) Poutres: Vibration flexion et torsion (1) Poutres

2 (2) Propagation ondes Ondes planes (2) Poutres

3 (3) Propagation d'ondes

Ondes sphériques Interaction sol-structure

(3) Ondes planes

4 (4) Interaction sol-structure (4) Ondes planes en milieu stratifié

5 (5) Interaction fluide-structure (5) Impédances fondations

6 (6) Oscillateur 1 DDL: Réponse non linéaire (6) Interaction sol-structure

7 ½ Journée pédagogique

Page 71: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

Énoncé du devoir de dynamique des ouvrages Année 2010-2011

Un Exemple d’Atténuation de Vibrations par Couplage Antirésonant

L’atténuateur de vibrations par couplage anti-résonant (Tuned Mass Damper, TMD) est un moyen de diminution de vibrations largement utilisé dans l’industrie. L’article ci-joint présente quelques exemples d’application de ce type de dispositif à des structures de génie civil. Nous allons illustrer son effet sur le comportement dynamique d’une structure en étudiant l’exemple suivant, inspiré de la tour Trump World Tower à New York présentée dans l’article ci-joint (pages 2,3). Il s’agit d’une tour de hauteur H=260 m. Ses dimensions dans le plan horizontal sont 50m x 25m. Nous allons étudier son comportement dynamique quand elle est excitée par le vent dans la direction de sa petite dimension. À cause de son élancement elle peut être modélisée, en première approximation, comme une poutre console de rigidité 131013.3 ×=EI Nm2 et de masse uniformément répartie m=82400 kg/m. On considère que le taux d’amortissement critique des deux premiers modes est égal à 2% et que la matrice d’amortissement peut se mettre sous la forme proposée par Raleigh (combinaisons linéaire des matrices de masse et de rigidité). On suppose que le vent excite la tour avec une force horizontale uniformément répartie dont l’amplitude maximale est p=200N/m2.

p H=260

50 m

25 m

Figure 1 : Modèle simplifié du Trump World Tower

1) Calculer les fréquences propres et les déformées modales pour des 3 premiers modes 2) Calculer la fonction de transfert entre l’excitation du vent et le déplacement en tête de la tour dans la plage

de fréquences entre 0 et 2Hz. Interpréter ces résultats à partir des résultats de la question 1. 3) Quel est le déplacement de la réponse établie en tête si la fréquence du vent est égale à la fréquence du 1er

mode de la tour ? Pour atténuer les vibrations induites par le vent on suspend au toit un pendule dont la fréquence est égale à la fréquence du 1er mode de la tour. Sa masse est égale à 2.8% de la masse totale de la tour et son amortissement est de 2%. 4) Déterminer la longueur du pendule

5) Calculer les fréquences propres et les déformées modales pour des 3 premiers modes (sans amortissement) 6) Calculer les fonctions de transfert entre l’excitation du vent et i) le déplacement en tête de la tour et ii) le déplacement du pendule, dans la plage de fréquences entre 0 et 2Hz. 7) Quel est le déplacement de la réponse établie en tête si la fréquence du vent est égale à la fréquence du 1er mode de la tour seule?

Page 72: DYNAMIQUE DES STRUCTURES DYNAMIQUE DES OUVRAGES Recueil d'Exercices

8) Quel est le déplacement de la réponse établie en tête si la fréquence du vent est égale à la fréquence du 1er mode de la tour seule si l’on augmente l’amortissement du pendule à 10%? 10) i) Déterminer les caractéristiques (raideur, masse et amortissement) d’un modèle à 2 DDL qui constitue une

très bonne approximation de la tour avec le pendule. Comparer les fonctions de transfert de ce modèle avec le modèle à plusieurs DDL.

Figure 2 : Modèle à 2 DDL ii) Expliquer l'allure des fonctions de transfert du modèle précédent à 2 DDL à partir d'un calcul analytique

en supposant que 1/ <<= εMm . Pour simplifier, vous pouvez faire l’hypothèse que le taux d’amortissement critique modal, ξ, est le même pour les deux modes propres du système et que )(εξ O=

On peut démontrer que dans le cas d’une excitation aléatoire dont le contenu fréquentiel est uniforme (bruit blanc) l’amplitude maximale de la réponse stationnaire est approximativement proportionnelle à la grandeur suivante :

∫∞

=0

2)( dffHσ

où )( fH est la fonction de transfert pour la grandeur qui nous intéresse. 11) Comparer les amplitudes du déplacement en tête de la tour soumise à une telle excitation (avec une répartition spatiale uniforme) dans le cas sans pendule et avec pendule en considérant les deux valeurs d’amortissement du pendule ci-dessus (2% et 10%).

M m

Force d'excitation

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Good Vi ' l

Damping systems are gaining popularity as an alternative

means of controlling the vibrations of civil structures by

improving the structures' ability to dissipate dynamic energy.

By Brian Breukelman, P.Eng., and evor Haskett

As advances in material technology and structural effi­ciency find reflection in structures that arc lighter, n1.ore slender, and more daring Jrchitecturally, design

teams must focus more than ever on contro]Jing vibration to ensure safe, cornfortable conditions. Engineers have tradition­ally controlled the vibrations of civil structures using a combi­nation of stiffi1ess and mass.

Recently, it has become popular to control the vibrations of struc-hues by another means: by improv­ing a structure's ability to dissipate dynamic energy. This abilitY is referred to as damping. For ease of use, the coefficient of damping is usually expressed in a nondimen­sional form as a percentage referred

to as the damping ratio. For steel structures a 1 percent damping ratio is often used, while a value closer to 2 percent might be appropriate for concrete buildings. As a rule of thumb, a 1 percent damping ratio in a structure would cause the ampli­tude of an initial deflection to be reduced by half within 11 cycles.

One example of a passive damping system em be seen in the Belbgio bridges~two pedestrian bridges constructed to connect Las Vegas's Bellagio resort with others nearby. The main spans of the bridges are 151 and 125 ft: ( 46 and 38 m) long. Supporting the bridges at their midpoints was not con­sidered a possibility. Additionally, the architectural scheme-

combined with the required cle::tr­ances for traffic and elevations of the abutments----forced the architect, Marnell Corrao Associates, of Las

Vegas, and the structural engineer, Martin & Peltyn, also of Las Vegas, to use a shallow bridge girder, about 5 ft (2 m) deep.

The vertical natural fiequencies of the pedestrian bridges, as deter­mined by the structural engineers, were in the range where pedestrians could have excited the bridges to resonance. The project team came to Rowan Williams Davies & Irwin (RWDI), Inc., of Guelph, Ontario, a sister company of Motioneering, Inc., also of Guelph, to determine the acceptability of the vibration levels under normal pedestrian r movements. Studies by RWDI deter­

! mined that the bridge users would at times sense the motion of the

There are three basic types of damping systems: passive, semi­active, and active. Typical passive damping systems include tuned mass dampers (TMDs), tuned sloshing water dampers, tuned liquid column dampers (n.cos), and viscous dampers. By making one of the

A massive steel sphere that will be installed in the Taipei Financial Center in 2002, shown in the model above, trans­forms the building's damping system into a prominent architectural feature.

bridge deck. Under certain circum­stances, such ~1s festivals or holiday gatherings, large amplitudes of

parameters of a passive system active-by controlling a TMD

\:Vith variable tuning by means of a computer and instrumenta­tion system, for example-a semlactive damper is produced. "f-ully active dampers make use of computers to control sensors and ach1ators on the structure to produce forces that counteract the extcrnrtlly applied forces.

bridge motion would be possible. TO absorb the energy resulting from such a situation, a

damping system consisting of six TMDS, each weighing 3,000 lb (1,360 kg), was designed and installed in each bridge. In addition to its mass, each TMD comprises springs and a vis­cous damper. It dis.~ip,'ltC."i the vibration energy experienced by the bridge through the viscous damper.

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After the bridges \Vcrc lifted into pbce the vertical fie­quencics \Vere measured, and the T,\HJS vvere then fine-tuned to 1.vork for those frequencies.1bts on the bridges :lfter the TMDS were operational indicated that the damping ratio of the bridges had been incre::tsed more than tenfold, fiom 0.6 per­cent to more than 8 percent.

The TMDS 1.vere installed within the space envelope of the bridge girders, so they arc hidden fi.·om the bridge users. The cornponents used in the design and construction vvill require little maintenance and \.Vere chosen for their lmv friction char­acteristics. This vv~1s amply demonstrated when a lone con­struction \Vorker crossing the bridge caused all of the TMDS to begin moving. The cost of the damping system was compara­ble to that of increasing the depth of the bridge girders, which was not :1 viable solution for these two bridges because of other design constraints. The TMDS have been operational on these bridges since J 999.

Another type of damping system is the TLCD. This damper operates on essentially the same theory as a TMD, except that the mass used for the system is water. AU-shaped tank is used to m::ttch the dynamic characteristics of the moving water to the requirements of [he structure. A dam.ping system of this type was recently commissioned for One Wall Centre, the tallest building in Vancouver, British Columbia ("Water Tanks Damp Motion in Vancouver High-Rise," Civil Engineering, June 2001). The 48-story multiuse building has t\VO specially shaped tanks, each containing about 50,000 gal (189,250 L) of water, in the tower's mechanical penthouse.

Wind tunnel testing by RWDI of the aerodynamic behavior of the tower showed that the elliptical shape of the building and the fact that the stronger winds tended to approach the narrO\V "front" of the building combined to produce high across-wind accelerations on the narrow axis of the tower. The structural engineer, Glotman Simpson Consulting Engineers, and the architect, Busby+ Associates, both oNancouver, inves­tigated a number of options that might obviate the need for a damping system. A series of structural models were produced with variations in both mass and stiffi1ess, and a number of shape changes were tested in the wind tunnel, but a desirable and cost-effective solution could not be found that would not conflict with other project criteria by, for example, changing the shape of the building's shadow or altering the views from the windows.

At the suggestion of Mal Sacks of Toronto-based TACET Engineering, RWDI proceeded to develop a TLCD concept for

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tbc project. Given that the higher-than-desired accelerat-ions resulted primarily from motion in one direction and that there was a generous arnount of space available, the engineers determined that a TLCD would be an effective and econorni­cal solution. A TLCD enjoys higher volumetric efficiency with respect to a given amount of liquid, and its behavior is more consistent across a wide range of excitation levels. It "\Vas also desirable to combine the damping system with the J 00,000 gal (378,500 L) of water that was required for fire suppres­sion. If the water was needed for a fire, the TLCD \Vould become inoperative, but it was felt that the resulting reduc­tion in occupant comfort would not be vie\\red negatively during a fire. The mechanical engineers dlso considered using the tanks for storing chilled water, but this idea did not prove to be viable for this project.

The TLCD tanks require the proper internal level of ener­gy dissipation for optimum performance, and a vertical sluice gate located in the center of each horizont::tl channel was chosen for this purpose. A 1:8 scale model of the TLCD \.Vas fabricated and tested in RWDt's laboratories to ensure that the theoretical b:.1sis for the numerical modeling of the TLCD­

structure interaction matched the physical behavior of the water in the tank. The effect of various sluice gate openings was also investigated.

Another prominent structure employing a damping sys­tem is the 850 ft (260 m) high Trump World Tower, recent­ly constructed in New York City on the former site of the United Engineering Center, which until 1997 housed ASCE's headquarters. The building is rectangular in plan and nearly twice as long as it is wide. The principal direction of response was across the narrow face. The response to wind was accentuated by the building's slenderness ratio-the ratio of its height to the width of its narrowest face-which is"'almost 11.

The architectural vision limited the aerodynamic modifica­tions that could be employed to control the building accelera­tions. A strong frame underpins the towering structure, but because of the slenderness of the design, the building's response to wind gusts is similar to that of a cantilevered beam. Consequently, during strong wind events, significant move­ment at the top of the building could occur, reflecting higher levels of acceleration than desired. The accelerations deter­mined for the upper occupied floors were found to be beyond the serviceability requirements generally adopted for residen­tial apartments.

Architectural and engineering design constraints created a need for a damping system to absorb the energy from pedestrian movements on the Bel!agio bridges. Three tuned mass dampers were installed within the girders on each side of each span.

Civil hnginccrin.~ DECEMBER 2001

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Mechanical Penthouse Cross Section

The TMD that W;ls designed to bring the acceleration levels \Vithin a comfortable range ·weighs in at a precedent-setting 600 tons (544 Mg), equal to about 2.8 percent of the relevant model mass. For reasons of f1tigue design and ease of mainte­nance, the design is based on a pendulum configuration, which largely avoids the use of components tbat entail a large meas­ure of contact friction, such as bearings. Because of the rela­tively long fundament;ll period of this structure-6.2 sec­onds-the required pendulum length was greater th;m the vertical clear space available. Therefore a stJcked, or double­hung, pendulum approach was taken. Llrgc hydraulic cyhn­ders, much like autonwbile shock absorbers, are positioned around the mass to dissipate, as heat, the energy evidenced as the velocity of the floor slab with respect to the TMD. To limit excessive amplitudes under low-probability wind events (storms with a mean recurrence greater than 30 years), a sec­ondary system becomes engaged beyond predefined displace­ments, which includes yet another set of shock absorbers, called snubbers. The TMD is located at the roof level and is enclosed in a dedic1ted reinforced-concrete room.

During the commissiolling phase of the damper, response time histories were recorded for both the building and the TMD to an initial TMD displacement. Calculations with these results confirmed that the system was capable of dissipating vibration energy at a level approaching a damping ratio of 7 percent, up from the lone building's equivalent damping ratio of 2 percent.

Probably Motioneering's most exciting project so far has been the Taipei Fin::mcial Center project, in Taipei, Taiwan. This commercial office building, at a planned height of 1,667 ft (508 m), is expected to be the next "world's tallest buiJding." Results ofnwm's wind engineering studies indicat­ed th~1t accelerations of the building's upper floors vmuld be 30 to 40 percent higher than desired for this office building.

A passive damping system was viewed as a cost-effective means of de;Jling with the high accelerations. When the archi­tect, C.Y. Lee & Partners, ofTaipei, revie\Ned some of the pre-

DECEMBER 2001 Ci11if .Engineering

At One Wall Centre, the water contained in two specially shaped tanks, seen in cross section, above left, provides the mass for the building's tuned liquid column damper and doubles as a fire suppression system.

liminary suggestions about how to envelop a large mass of steel near the top of the tower, creative ideas began to prolif­erate. The architect wondered whether the mass had to be of a particular shape, but the design team responded that it could in fact take any shape at all, the only caveat being that a mass of unusuJl shape might cost more. In the end, a unique con­cept was proposed: turn the 730 ton (660 Mg) TMD into an ~rchitectural component with a sculptural dimension: a sphere suspended by flexible steel cables that would be sur­rounded by three levels of restaurants, bars, and observation decks.

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Motionecring was asked to provide the complete damping system for this design/build project, and it spent several months performing the detailed engineering of the TMD,

which included determining the behavior of this passive sys­tem eluting cxrremc seismic events. The comptmy worked closely vvith the building's structural engineers, Evergreen Consulting Engineering, of Taipei, rtnd Thornton-TOrnrtsetti Engineers, of New York City. The drtmping system \Nill be

installed and commissioned in 2002. In addition to designing and supplying the 'J"MD fOr the

tnwer itself Motioneering is designing a TMD for the 197 ft (60 m) spire of the same project. As with many spires, btigue is the prevailing design issue. Dy increasing the level of energy dissipation in the spire by a significmt margin, it is expected that the fatigue life of the spire will be brought into line with the design lifC of the building itself

A control mechanism may be introduced next to a basic tuned damper device, coupled through sensors and actua­tors, to increase the level of energy dissipation that may be Jchieved for a given amount of rnass. One of the basic tenets of supplementary TMD dampers is that the level of damping that can be added to the systern. is directly (but not linearly) related to the mass of the add-on system. This holds true for levels of added mass up to several percent of the generalized mass of a fundamental structural sway mode, but with diminishing returns. Beyond that point, the theory fails to account for the significant level of interaction between the two systems.

By adding an intelligent control algorithm to a passive tuned darnper, the nature of its operation can be substantially altered. For example, such individual design parameters as the damping constant and the restoring stiffness can be modified to take into account various external factors, among them the amplitude of TMD oscillation and the accelerations of the uppermost floors. This sort of application is called semiactive, indicating that the device operates in much the same way as a spring-mass damper-like that in the Bellagio bridges-but that some level of online continuous optimization exists to increase its efiCctiveness. The control objectives might not be purely those of occupant comfort. An additional goal might be to minimize TMD motion during calm conditions to reduce both the frequency of maintenance cycles and fatigue wear on the mechanical components.

However, the dis~1dvantages of this semiactive approach tend to nullify any potential gains of a well-chosen control

The extreme slenderness of the Trump World Tower causes it to respond to wind gusts in much the same way as a cantilevered beam.

scheme. Every additioual working component bc)''cmd the bare minimum required for a basic TMD or Tl.CD brings with it :m additional cost and the potential for untimely hilure. Even the simplest control scheme requires sensors, a control mod­ule, and actuators of some type. With fevv exceptions, these devices require electric energy. TherefOre, in the event of a power loss, the semiactive components cease to operate. The passive damper system may sti.U \:Vork, but its performance may be f::J.r from optim:ll for the given conditions; ironically, the potential for a blackout is higher during the very storms for which the supplementary damper is designed. What is more, the mainten::mce of semiactive cornponellts and controllers \Vill probably require cross-disciplinary experience in electri­cal, systems, and contputer engineering, in addition to the req-· uisite mechanical and civil capabilities.

The remaining category of damper is that of a fully active system, and the number of permutations is limited only by the creativity of the engineer. A ftrst logical step is to begin with a basic TMD but include hydraulic rams or other leveraged mechanical actuators to f"iJrce the mass to move. Then the

Ciuil .Enginccrhtif DECUMBEH 2001

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forces that are determined to be appropri:1te by the control algorithm arc applied to the building. The only limitation is the relative displacement betv/een the darnpcr mass and the floor slab on which it is installed.An active tuned mass damper has the benefit th;lt it could still function as a passive TMD

when electric energy is not supplied to the system. Of course, there need not be a damper mass at all if the

control force can be applied to the building by some other means. Alternatives include components of the base isolation type that counteract seismic excitation (with perhaps some

effectiveness against wind) and active diagonal braces in the core structural system. Either way, the motivation for using an active damper usually reflects a desire to use less (or no) mass­that is, less space. Unfortunately, this intent can be difficult to realize in practice. The space reguired for a hydraulic power system, backup energy source, and other components fre­guently approaches that of the original passive system, although it might be possible to locate much of this eguip­ment elsewhere at a reduced opportunity cost.

Access for maintenance-and the cost of nuintenance­can also be an issue. Passive components (for exam.ple, the hydraulics on fire safety doors) tend to enjoy a nlllch longer service life than similarly styled active devices (automated doors for handicapped access). Thus the engineer who pre­scribes an active darnping solution is also selling, knowingly or otherwise, a lengthy service contract for the upkeep of the system.

One of the challenges in the supply of a damping system is the dimensional tolerance that must be achieved. A damping system is a machine with moving parts, and its continued func·­tion depends on the sustained operation of those parts. Despite the f.1ct th:1t a TMD is coupled to a civil structure, the tolerances

The Trump World Tower's tuned mass damper is enclosed in a reinforced-concrete room at the roof level.

are not those of the concrete fonnwork or steel skeleton of the building but rather those of m~H:hine parts. It is one thing to have a d:~mpcr package bid on by contractors \:vho may knO\v of this tighter toler:mce; it is quite another to request that the contractors responsible for the concrete form\·vork in the vicinity of the TMD achieve toler:~nccs that might be only a 1Oth of those to \:vhich they are accustomed. Experience has t;mght that this issue needs to be discussed in detail beforehand to avoid dlfficulties late in the installation process.

Before a tllned damper may be considered operationJl, it must be fine-tuned to the fi·equency of the completed buikl· ing. Increased aw:ucness of the availability of these supplem.en­tary damping systems has allmved structural engineers to con­sider them. early in the desif.,>n-an important development if space is to be allowed. The best time to install a damper is when the cranes arc still on-site to lift several hundred tons of mass to the top of the building.

During these early design stages, only ;m estimate of the natural frequencies of the building is possible. Because the per­formance of a tuned damper depends heavily on how well tuned the dam.per is, differences bet\veen predicted and actual structural frequencies can mean signific:~nt efficiency losses. If the damping device can be designed to allow on-site fi·equen­cy adjustments, then a visit to the completed structure wilJ allow proper tuning to be implemented.

The dissipation level of the damper may be nonlinear either by nature, as in a TLCD, or by design, for example, to control relative mass displacement in extreme wind events. Dampers can be tested on-site to ensure that the proper amount of damping force is present. This is a good check on the analyti­cal models used in the design.

Damping systems are becoming increasingly acceptable and useful tools in the hands of both structural engineers and architects. The ability to consider the energy dissipation of a structure in addition to its mass and stifFness will continue to pay dividends in designing dynamically sensitive structures. It is likely that many new types of damping systems will be developed and that ingenious methods of combining struc­tures with damping systems will em.erge. •

Bn'an Brcukclman, M.E,Sc., P.Eng., A1.ASCE, ~~~ the gcncralllta/IL~I;t'l' and 1/'evor Haskett, M.A .sc., a senior tedmical coordinatorjOr A4orion­eering, Inc., in Guelph, Ontario.

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