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Dynamisc - mis.mpg.de · Hin sic h tlic h des Iden tit atsproblems b einhaltet dies da ein System w ahrend einer gegeb enen Zeitphase k eine strukturelle Anderungen erleidet sondern

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Page 1: Dynamisc - mis.mpg.de · Hin sic h tlic h des Iden tit atsproblems b einhaltet dies da ein System w ahrend einer gegeb enen Zeitphase k eine strukturelle Anderungen erleidet sondern

Max�Planck�Institut

f�ur Mathematik

in den Naturwissenschaften

Leipzig

Dynamische Systeme

Ein �Uberblick

by

J�urgen Jost

Lecture notes no�� � ����

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Max�Planck�Institute for Mathematics in the Sciences � Leipzig

Lecture Notes

Dynamische Systeme

Ein �Uberblick

J�urgen Jost

��� Mai ����

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Inhaltsverzeichnis

� Einleitung �

��� Wesentliche Fragestellungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Quantitative und qualitative Eigenschaften � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� Stabilit�at von dynamischen Systemen� Bifurkationen und generischen Eigen�

schaften �

��� Einige allgemeine Begri�e � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Autonome Systeme von gew�ohnlichen Di�erentialgleichungen � � � � � � � � � � � ���� Beispiele� Bifurkation in Abh�angigkeit von einem

Parameter � � R � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Diskrete und kontinuierliche Systeme�

Die Poincaresche Wiederkehrabbildung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Stabilit�atsfragen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Bifurkationen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Die Hopfbifurkation � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Generische Eigenschaften � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Lotka�Volterra�Gleichungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Stabile� unstabile und Zentrumsmannigfaltigkeiten � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Diskrete Invarianten dynamischer Systeme ��

��� Die Topologie von Graphen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Floerhomologie � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Conleytheorie� Beispiele und allgemeine Resultate � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Einige topologische Begri�e � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Der Conleyindex � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Kohomologischer Conleyindex � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Fortsetzungseigenschaft des Conleyindex � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Der diskrete Conleyindex � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Entropie� Information und Komplexit�at �

��� W�R�aume �Wahrscheinlichkeitsr�aume� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Ergodizit�at � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Isomorphie und Konjugation � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Entropie und Information � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Topologische Entropie � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Komplexit�at und intrinsische Skalen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

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� Einleitung

��� Wesentliche Fragestellungen

Ein dynamisches System ist ein System� dessen Zustand sich in der Zeit �andert� das aberseine Identit�at bei all diesen Zustands�anderungen bewahrt� Ein dynamisches System durchl�aufteinen Pfad im Zustandsraum� welcher alle Pfade enth�alt� die das System prinzipiell durch�laufen kann� w�ahrend es seinen Zustand entsprechend der dynamischen Vorschrift �andert�Exogene Parameter� d�h� diejenigen Parameter� die nicht intrinsisch durch den dynamischenProze� bestimmt werden� schlie�en die Anfangsbedingungen ein sowie m�oglicherweise auchParameter� von denen die dynamische Vorschrift abh�angt� Der Pfad� den das dynamische Sy�stem im Zustandsraum durchl�auft� h�angt also von diesen Parametern ab� und Pfade k�onnen oftanhand dieser Parameter klassi�ziert werden� Das Zustandsraumportr�at stellt diese Pfadef�ur alle zul�assigen derartigen Parameter dar� Die Zeit des dynamischen Prozesses kann hierbeistetig oder diskret sein� im ersteren Fall wird verlangt� da� die dynamische Regel zu stetigenZustands�anderungen f�uhrt �was auch schon im Konzept des Pfades zum Ausdruck gebrachtwird�� im letzteren Fall m�ussen zul�assige Zustands�anderungen ebenfalls bestimmten Bedingun�gen gen�ugen�

In dieser allgemeinen Situation lassen sich schon einige grundlegende Fragen formulieren�

�� Das Isomorphieproblem�

Was sind die geeigneten Kriterien� um zwei dynamische Systeme miteinander zu vergleichenund sie als isomorph anzusehen� wenn sie bei diesen Kriterien die gleichen Werte aufweisen�

Wir werden an qualitativen Eigenschaften anstelle von quantitativen interessiert sein� undwir wollen diese qualitativen Aspekte durch kontinuierliche oder diskrete Invarianten be�schreiben� Isomorphe Systeme m�ussen daher die gleichen Werte f�ur alle diese Invariantenaufweisen� Eine der wichtigsten Invarianten f�ur dynamische Systeme ist die Entropie�

�� Das Identit�atsproblem�

Dies bezieht sich auf die zeitliche Entwicklung eines gegebenen Systems anstatt auf denVergleich zweier verschiedener Systeme� Wie l�a�t sich ein System S�t��� zur Zeit t� beob�achtet� mit dem gleichen System S�t��� zur Zeit t� beobachtet� identi�zieren� Das Problembesteht darin� da� S�t�� qualitativ von S�t�� verschieden sein kann� da w�ahrend der Ent�wicklung von t� nach t� strukturelle �Anderungen stattgefunden haben k�onnen� Die Fragebesteht dann darin herauszu�nden� welche Arten von strukturellen �Anderungen w�ahrendder Entwicklung eines Systems m�oglich sind und welche ausgeschlossen werden k�onnen�beispielsweise durch Betrachtung geeigneter Invarianten� die w�ahrend der Entwickung kon�stant bleiben m�ussen �Erhaltungsgr�o�en��

Eng mit den beiden vorstehenden verbunden ist ein drittes Problem� n�amlich

�� Das Stabilit�atsproblem�

Wann ist das qualitative Verhalten eines dynamischen Systems unemp�ndlich gegen�uberkleinen St�orungen�

F�ur das Isomorphieproblem bedeutet dies� da� ein System� welches aus einem gegebenendurch eine kleine St�orung eines Parameters hervorgeht� zu diesem isomorph bleibt� Hin�sichtlich des Identit�atsproblems beinhaltet dies� da� ein System w�ahrend einer gegebenenZeitphase keine strukturelle �Anderungen erleidet� sondern qualitativ invariant bleibt�

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Das dies jedoch h�au�g nicht zutri�t� mu� man auch die m�oglichen strukturellen Ver�ande�rungen untersuchen� die sich bei der Variation eines Parameters oder w�ahrend der zeit�lichen Entwicklung ergeben k�onnen� Auf einer neuen Stufe l�a�t sich dann fragen� welcheTypen struktureller Ver�anderungen stabil gegen�uber kleinen St�orungen oder generisch indem Sinne sind� da� sie in typischen Situationen auftreten� �Die vorstehende Diskussionenth�alt einige Begri�e� die noch einer pr�azisen mathematischen De�nition bed�urfen��

Ein weiteres Problem betri�t

�� Das statistische Verhalten dynamischer Systeme� Was sind die dynamischen Eigenschafteneines Systems bei durchschnittlichen Anfangsbedingungen oder Parameterwerten�

Wieviel allgemeing�ultige Information l�a�t sich aus der Beobachtung einer einzigen Entwick�lung des Systems f�ur eine feste Wahl von Anfangsbedingungen oder Parametern gewinnen�

Die dynamischen Vorschriften k�onnen neben deterministischen auch stochastische Kom�ponenten enthalten� und der Ein�u� letzterer sollte ebenfalls untersucht werden�

Die Ergodentheorie besch�aftigt sich mit einem besonders wichtigen Aspekt des statistischenVerhaltens dynamischer Systeme� n�amlich der folgenden Frage�

�X��� sei ein Ma�raum� und T � X � X sei ma�treu und bijektiv �m�oglicherweise bis aufMengen vom Ma� ��� Das Ergodenproblem besteht darin� Bedingungen anzugeben� unterwelchen das zeitliche Mittel einer me�baren Funktion f � X � R�

limn��

n

n��X���

f�T �x�

existiert �T � �� T � ��� � T � Mal� und mit dem r�aumlichen MittelZX

f�y���dy�

�ubereinstimmt� zumindest f�ur ��fast alle x�

Schlie�lich interessiert uns

�� Das asymptotische Verhalten� Man fragt hier danach� was mit dem dynamischen Systempassiert� wenn die Zeit gegen Unendlich strebt�

Oftmals ergeben sich charakteristische Muster� wie anziehende Fixpunkte� periodischeBahnen� seltsame Attraktoren etc�� sowie instabile Gleichgewichtsmuster� die die verschie�denen Attraktoren trennen� Auf diese Weise werden die Anfangsbedingungen durch diedynamische Entwicklungsvorschrift in eine Anzahl unterschiedlicher qualitativer Muster

�uberf�uhrt� In diesem Sinne k�onnen dynamische Systeme als Inputklassi�katoren angesehenwerden� Das mathematische Problem besteht dann darin� diejenigen Muster zu klassi�zie�ren� die f�ur eine vorgegebene dynamische Vorschrift entstehen k�onnen� und die strukturel�len Beziehungen und �Uberg�ange zwischen ihnen anzugeben�

��� Quantitative und qualitative Eigenschaften

Eine wichtige Klasse von zeitkontinuierlichen dynamischen Systemen wird durch Systeme vongew�ohnlichen Di�erentialgleichungen gegeben� Diese Klasse weist einen gro�en Reichtum an in�teressanten qualitativen Ph�anomenen auf und wird uns i�F� reichhaltiges Beispielmaterial liefern�Ein m�oglicher Ansatz zur Behandlung eines Systems gew�ohnlicher Di�erentialgleichungen be�steht nat�urlich darin� zu versuchen� es explizit zu l�osen� Ob dies m�oglich ist� h�angt typischerweise

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von der Existenz �expliziter oder versteckter� Symmetrien ab� mit deren Hilfe sich sogenann�te Erhaltungsgr�o�en konstruieren lassen� also Gr�o�en� die w�ahrend der zeitlichen Entwicklungdes Systems konstant bleiben� Systeme mit der maximal m�oglichen Anzahl unabh�angiger Er�haltungsgr�o�en hei�en vollst�andig integrabel� Sie werden insbesondere durch die Theorie vonHamilton und Jacobi erfa�t�Die Invarianz dieser Erhaltungsgr�o�en f�uhrt zu wesentlichen Einschr�ankungen an das m�oglichedynamische Verhalten� oder� andersherum ausgedr�uckt� ein �in einem zu pr�azisierenden Sinne�typisches dynamisches System l�a�t sich nicht explizit l�osen� Poincare hat als erster begonnen�stattdessen qualitative Eigenschaften der zeitlichen Entwicklung und des asymptotischen Ver�haltens allgemeiner Klassen dynamischer Systeme zu untersuchen�

� Stabilit�at von dynamischen Systemen� Bifurkationen und ge�

nerischen Eigenschaften

In diesem Kapitel werden wir das grundlegende Thema der qualitativen Erhaltung und derqualitativen Ver�anderung insbesondere an Systemen von gew�ohnlichen Di�erentialgleichungenerl�autern�

��� Einige allgemeine Begri�e

Ein Flu� �Semi�u�� ist eine Familie

Ft � X � X

von Abbildungen einer Menge X �Zustands� oder Phasenraum� in sich selbst� f�ur t � R �t � ���mit

�i� F� � Id

�ii� Ft�s � Ft � Fs f�ur alle t� s � R �t� s � �� ��Halb�� Gruppeneigenschaft��

t wird hierbei als Zeitparameter angesehen� F�ur einen gegebenen Anfangszustand x� untersuchenwir den Proze�

x�t� �� Ftx��

der den Anfangszustand in den Zustand zur Zeit t �uberf�uhrt�Die Abbildung

t �� x�t�

hei�t Trajektorie� und fx�t� � t � R�t � ��g hei�t Bahn oder Orbit von x��x� hei�t station�ar� falls

x�t� � x� f�ur alle t�

Allgemeiner hei�t eine Trajektorie oder Bahn periodisch� falls

x�t� �� � x�t� f�ur ein � � � und alle t�

�ii� impliziert

x�t� s� � Ftx�s��

d�h� y�t� �� x�t� s� ist der Zustand zur Zeit t des Prozesses mit Anfangszustand y��� � x�s��

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Im diskreten Fall betrachten wir stattdessen die Iterierten einer gegebenen Abbildung

F � X � X�

xn�� � F �xn� f�ur n � Z�n � N��

Ein wichtiges Beispiel eines diskreten dynamischen Systems entsteht� wenn man die Zeit���Abbildung

F � F�

eines �Semi��Flusses wie oben betrachtet� In diesem Falle sind

x�n� � Fn x�

die Werte des Flusses zu ganzzahligen Zeitpunkten�

��� Autonome Systeme von gew�ohnlichen Di�erentialgleichungen

f � �f�� ���� fd� � Rd � Rd sei eine Abbildung der Klasse C�� Wir betrachten das System vongew�ohnlichen Di�erentialgleichungen

�xi�t� � f i�x��t�� ���� xd�t�� f�ur i � �� ���� d�

mit �xi � ddtxi�

Ein solches System hei�t autonom� weil f nicht explizit von t abh�angt �allerdings implizit� da xvon t abh�angt��Nach dem Satz von Picard�Lindel�of wird hierdurch ein lokaler Flu� in dem Sinne de�niert� da�f�ur jeden Anfangszustand x� die L�osung x�t� dieses Systems auf einem Zeitintervall

�T � t � T� f�ur ein T � ��

existiert�Falls f i�x�� � � f�ur i � �� ���� d� so ist x� ein station�arer Punkt unseres lokalen dynamischenSystems� Um das lokale Verhalten in der Umgebung eines derartigen station�aren Punktes zuuntersuchen� linearisieren wir das Problem bei x� und studieren zun�achst das lokale Verhaltendes linearisierten Problems und versuchen dann� herauszu�nden� ob sich das letztere Verhaltenauf das urspr�ungliche Problem �ubertr�agt�Wir k�onnen o�E�

x� � �

annehmen� Wir untersuchen daher das linearisierte Problem

�x�t� � Ax�

mit A �

��f i

�xj�x��

�i�j�������d

� x � �x�� ���� xd��

Wir betrachten den Fall d � � �Wir untersuchen zuerst den Fall� wo A zwei reelle Eigenwerte � und � besitzt und daherdiagonalisiert werden kann� Nach einem linearen Koordinatenwechsel wird unser System zu

�x��t� � �x��t�

�x��t� � �x��t��

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also

x��t� � e��tx����

x��t� � e��tx�����

Falls � und � beide negativ sind� so konvergiert x�t� mit exponentieller Geschwindigkeit gegen�� w�ahrend im Falle� wo � und � beide positiv sind� x�t� exponentiell w�achst� In beiden F�allenbewegt sich x�t� l�angs der Kurven

�x���� � konst� �x���� �

weil

�x��t����

�x��t����

konstant bleibt�Im ersten Fall ist x � � ein stabiler Fixpunkt f�ur t��� w�ahrend er im zweiten Fall f�ur t��instabil ist� Die beiden F�alle vertauschen die Rollen unter Zeitumkehr t� �t�

�� � �� � � �� � �� � � �� � � � ��

Knotenpunkt Sattelpunkt

Falls � � � � �� so ist der Fixpunkt � weder stabil noch instabil� weil jeder Anfangspunktauf der x��Achse gegen � konvergiert� w�ahrend alle anderen Anfangspunkte unter dem Flu�divergieren�Schlie�lich betrachten wir den Fall� wo A zwei komplex konjugierte Eigenwerte � i besitzt�Nach einem linearen Koordinatenwechsel erhalten wir das System

�x�t� �

� �

�x�t��

also

x�t� � e�t�

cost sint� sint cost

�x����

Falls � �� so bewegt sich x�t� auf einer Spirale nach �� w�ahrend es im Falle � � auf einersolchen Spirale expandiert� wohingegen es sich f�ur � � auf einem Kreis um � bewegt�Der letzte Fall� also � �� ist grunds�atzlich anders als die anderen F�alle� weil er nicht strukturellstabil in dem Sinne ist� da� eine beliebig kleine St�orung von � � das qualitative Verhaltenver�andert� Noch schlimmer ist� da�� w�ahrend in den anderen F�allen das qualitative Verhalten desurspr�unglichen Systems in der N�ahe des Fixpunktes � mit demjenigen des linearisierten Systems

�ubereinstimmt� dies im Falle � � nicht mehr gilt�

Denition� Der Fixpunkt � hei�t hyperbolisch� falls kein Eigenwert des linearisierten Systemsverschwindenden Realteil hat�

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� � �� � �� � � � �� � �� �

Das dynamische Verhalten in der N�ahe eines hyperbolischen Fixpunktes ist also strukturell sta�bil� Diese Aussage werden wir nachfolgend genauer belegen�

Im zeitdiskreten Fall kann man die Zeit���Abbildungen der obigen Beispiele betrachten� Manerh�alt also lineare Abbildungen der Form

x� �� e��x�

x� �� e��x�

oder �x�

x�

��� e�

�cos sin� sin cos

��x�

x�

��

wobei x � � wieder ein Fixpunkt ist�Analog zur De�nition im zeitkontinuierlichen Fall formulieren wir

Denition� Eine lineare Abbildung A � Rd � Rd hei�t hyperbolisch� wenn sie maximalen Ranghat und wenn keiner der Eigenwerte von A den Absolutbetrag � hat�

Es sei f � M � M eine Abbildung� p � M hei�t periodischer Punkt von f der Periode n� fallsfn�p� � p� Ein periodischer Punkt von f der Periode n ist also ein Fixpunkt von fn�

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��� Beispiele� Bifurkation in Abh�angigkeit von einemParameter � � R�

A� Zeitkontinuierliche Systeme

I�f� ist immer x � x�t�� y � y�t�� �x � ddtx�t� etc�� f�ur t � R� wir schreiben �x� y� anstelle von

�x�� x��

�� �x � �x� � �

� � �

� � �

� � �

x � � ist Fixpunkt� weder anziehend noch ab�sto�end

x � �p� Fixpunkte�x �

p� anziehend�

x � �p� absto�end

Ein Fixpunkt entsteht bei � � � und spaltet sich f�ur � � � in einen anziehenden und einenabsto�enden Fixpunkt auf�

�� �x � �x� � �x �� x��x� � ���

� � �

� � �

� � �

x � � ist Fixpunkt� anziehend

x � � ist Fixpunkt� anziehend

x � �p� sind anziehende Fixpunktex � � ist absto�ender Fixpunkt

Der anziehende Fixpunkt spaltet sich auf in zwei anziehende und einen absto�enden Fix�punkt�

�� �x � y � x�x� � y� � ��

�y � �x� y�x� � y� � �� ��� �� ist Fixpunkt f�ur alle �

� � � � ��� �� ist global exponentiell anziehender Fixpunkt� denndann ist

d

dtlog�x� � y�� � ���x� � y� � �� � �� � ����

also log�x� � y�� � ��t� log�x���� � y����� x� � y� � e��t�x���� � y�����

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� � � � ��� �� ist weiterhin global anziehender Fixpunkt� da f�ur �x� y� � ��� �� ddtlog�x��

y�� � �� allerdings nicht mehr exponentiell anziehend�

� � � � ��� �� ist absto�ender Fixpunkt� und eine periodische Bahn entsteht f�ur x��y� ��� Diese ist anziehend� denn f�ur x��y� � � ist nach ��� d

dtlog�x��y�� � �� f�ur x��y� � �

dagegen ddtlog�x� � y�� � ��

Das bei �x� y� � ��� �� linearisierte System

�x � y � �x

�y � �x� �y

hat Eigenwerte �� i� welche also f�ur � � � verschwindenden Realteil haben� F�ur � � � hatdas urspr�ungliche System qualitativ das gleiche Verhalten wie das linearisierte� f�ur � � �gilt dies wenigstens noch in einer �von � abh�angigen � Umgebung von ��� ��� w�ahrend f�ur� � � das Verhalten der beiden Systeme verschieden ist�

Dieses Beispiel ist ein Beispiel einer Hopfbifurkation� bei welcher beim �Ubergang von einemanziehenden zu einem absto�enden Fokus eine periodische Bahn entsteht� W�ahrend dieSituation bei � � � nicht strukturell stabil ist� ist die Hopfbifurkation als solche strukturellstabil� in einem noch zu pr�azisierenden Sinne�

�� �x � y�y � x� x� � �y

��� �� und ��� �� sind immer Fixpunkte�

��� �� ist Sattelpunkt� da f�ur � � � Flu�linien im �� und �� Quadranten in der N�ahe von��� �� von diesem Punkt weglaufen� im �� und �� Quadranten dagegen angezogen werden�und f�ur kleines j�j diese Situation qualitativ erhalten bleibt�

F�ur � � � bleibt �y bei Spiegelung an der y�Achse invariant� w�ahrend �x das Vorzeichenwechselt� Hieraus bekommt man das folgende Diagramm f�ur � � ��

λ=0Insbesondere gibt es f�ur den Sattel�punkt ��� �� eine homokline Bahn� alseine� die von ��� �� ausgehend wiederdorthin zur�uckl�auft�

F�ur � � � zeigt das zugeh�orige Vektorfeld st�arker zur x�Achse hin� f�ur � � � dagegenst�arker von der x�Achse weg als f�ur � � �� Daher werden beispielsweise f�ur � � � dieBahnen st�arker zur x�Achse hingezogen� schneiden diese also jeweils fr�uher als f�ur � � ��w�ahrend f�ur � � � der ungekehrte E�ekt auftritt� Man erh�alt die folgenden Diagramme

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λ<0

anziehender Fixpunkt bei ��� ��

λ>0

absto�ender Fixpunkt ��� �� �die Si�tuation f�ur � � � ergibt sich durch dieInversion

x �� x� y �� �y� t �� �t

aus derjenigen f�ur � � ��

Insbesondere ist die homokline Bahn f�ur � � � nicht mehr vorhanden� �Eine Bahn� dievon einem Fixpunkt ausgehend� wieder zu diesem zur�uckkehrt� hei�t homoklin� eine Bahnzwischen zwei verschiedenen Fixpunkten heteroklin��

B� Zeitdiskrete Systeme

Dynamisches Bild�Man projiziert abwechselnd senkrecht auf den Graphen von f und waagerecht auf die Diagonale

Fixpunkte entsprechen den Schnittpunkten des Graphen von f mit der Diagonalen� Sie sindanziehend �absto�end�� wenn der Graph im Schnittpunkt einen Steigungsbetrag kleiner �gr�o�er�als � hat�Wir untersuchen nun die Iteration einer Abbildung

f� � R � R�

die von einem Parameter � � R abh�angt�

��

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�� f��x� � x� x� � �

� � � � Fixpunkte bei

x � �p��

x �p�� absto�end

x � �p�� anziehend

f�ur � � ��absto�end f�ur � � ��

f��x�

xp��p�

� � � � Fixpunkt bei x � �� weder anziehend noch absto�end

f��x�

x�

��

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� � � � kein Fixpunkt

f��x�

x

�� f��x� � x� x� � �x

� � � anziehender Fixpunkt bei x � �� absto�ende Fixpunkte bei �p�� � � Fixpunkt bei x � �

� � � absto�ender Fixpunkt bei x � �

�� f��x� � x� � �x bei � � �

� ist immer isolierter Fixpunkt f�ur f�� anziehend f�ur � � �� absto�end f�ur � � �� Einweiterer Fixpunkt liegt bei x � � � �� also x � � f�ur � � �� Insbesondere ist � lokal dereinzige Fixpunkt von f�� Wir betrachten nun f�� �

f���x� � x�� � ��� ���� � � � �x� �x�� � x��x� ��

�f�� hat nun au�er � noch weitere Fixpunkte� n�amlich die L�osungen von

��� ����� � � �x� �x�� � x��x� �� � ����

Der von � unabh�angige Anteil� x��x � �� hat neben einer einfachen Nullstelle bei x � �eine doppelte Nullstelle bei x � �� F�ur x in der N�ahe von � ist der von � abh�angige Term�welchen wir f�ur � in der N�ahe von � als St�orterm au�assen� durch ���� dominiert� Daherhat ��� f�ur � � � keine weitere� f�ur � � � aber zwei verschiedene L�osungen in der N�ahe von�� F�ur � � � hat f�� einen anziehenden Fixpunkt bei x � �� w�ahrend f�ur � � � bei x � �ein absto�ender Fixpunkt vorliegt� und es zum Ausgleich noch zwei anziehende Fixpunktein der N�ahe gibt� Diese letzten sind aber keine Fixpunkte f�ur f�� also Punkte der Periode� f�ur f�� Hier liegt also eine Bifurkation mit Periodenverdoppelung vor�

��

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��� Diskrete und kontinuierliche Systeme�Die Poincar�esche Wiederkehrabbildung

Wir haben schon gesehen� da� man trivialerweise aus einem zeitkontinuierlichen dynamischenSystem durch Betrachtung der Zeit���Abbildung ein zeitdiskretes System gewinnen kann� Es gibtjedoch noch eine andere M�oglichkeit f�ur einen derartigen �Ubergang� n�amlich die PoincarescheWiederkehrabbildung bei einer periodischen Bahn � eines di�erenzierbaren Flusses �x� t� ��f t�x� auf einer di�erenzierbaren Mannigfaltigkeit M �Wir betrachten eine zu der Bahn � transversale Hyper��ache in M durch einen Punkt y� � ��y� habe die Periode T � d�h�

y� � fT �y���

Es l�a�t sich dann zeigen� da� f�ur jedes x � S� welches gen�ugend nahe an y� ist� ein T �x� nahe Tmit der Eigenschaft existiert� da�

fT �x��x� � S�

Die Abbildung

P � x �� fT �x��x�

liefert dann eine Abbildung einer Umgebung U von x in S nach S� die Poincaresche Wieder�kehrabbildung� P hat einen Fixpunkt in x� und die gleichen Regularit�atseigenschaften wie derFlu�� P vergi�t das Verhalten des Flusses l�angs der periodischen Bahn� welches ohnehin trivialist und dar�uber hinaus typischerweise die Voraussetzungen kompliziert� weil die LinearisierungDfT �y�� in Richtung der periodischen Bahn zumindest im autonomen Fall den Eigenwert �hat und darum keine Hyperbolizit�atsvoraussetzung erf�ullt� und kodiert das Verhalten in dentransversalen Richtungen�

Denition� M sei eine di�erenzierbare Mannigfaltigkeit� U �M o�en� f � U � f�U� �M einDi�eomorphismus� y� �M ein periodischer Punkt der Periode n� i�e�

fn�y�� � y��

y� hei�t hyperbolischer periodischer Punkt f�ur f � falls Dfn�y�� � Ty�M � Ty�M eine hyperboli�sche lineare Abbildung ist� Eine Bahn hei�t dann hyperbolische periodische Bahn� falls alle ihrePunkte hyperbolisch sind�

y� ist also genau dann ein hyperbolischer periodischer Punkt� wenn es ein hyperbolischer Fix�punkt von fn ist�

Denition� f t � M � M sei di�erenzierbarer Flu� mit periodischer Bahn �� y� � �� Ist y� einFixpunkt� so hei�t y� hyperbolisch� falls Df t�y�� � Ty�M � Ty�M f�ur alle t � � hyperbolischist� Ist y� kein Fixpunkt� sondern periodisch mit Periode T � �� so hei�t y� hyperbolischerperiodischer Punkt� falls DfT �y�� � Ty�M � Ty�M � als einfachen Eigenwert und sonst keinenEigenwert von Betrag � hat� Die Bahn � hei�t hyperbolisch� wenn alle Punkte aus � hyperbolischsind�

y� ist genau dann ein hyperbolischer Punkt f�ur den Flu� f t� wenn es ein hyperbolischer Fixpunktder zugeh�origen Poincareschen Wiederkehrabbildung ist�

��

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�� Stabilit�atsfragen

Denition� f � M �M sei eine stetig di�erenzierbare Abbildung einer di�erenzierbaren Man�nigfaltigkeit� p �M Fixpunkt von f � p hei�t hyperbolisch� falls die Ableitung von f im Punktep

Df�p� � TpM � TpM

eine hyperbolische lineare Abbildung ist�

Satz von Hartman�Grobman� p �M sei hyperbolischer Fixpunkt der Abbildung f � M �Mwie in vorstehender De�nition� Dann gibt es Umgebungen U�� U� von p in M und Umgebungen

V�� V� von � in TpM und einen Hom�oomorphismus

h � U� � U� � V� � V�mit der Eigenschaft� da� das Diagramm

U�f���� U�

h

��y ��yhV�

Df�p����� V�

kommutiert�

f ist also lokal topologisch konjugiert zu seiner Linearisierung Df�p� in einem hyperbolischenFixpunkt im Sinne der folgenden

Denition� Zwei Abbildungen f � M � M� g � N � N hei�en topologisch konjugiert� falls einHom�oomorphismus h � M � N existiert� f�ur den das Diagramm

Mf���� M

h

��y ��yhN

g���� N

kommutiert� d�h� wenn f � h�� � g � h ist�

Denition� Eine Ck�� � k � ���Abbildung f � M � M hei�t C��� � � � k� strukturellstabil� wenn f eine Umgebung U in der C��Topologie besitzt mit der Eigenschaft� da� jedesg � U zu f topologisch konjugiert ist�

Man beachte hierbei� da� zwei unterschiedliche Kategorien auftreten� n�amlich di�erenzierba�re und stetige Abbildungen� und da� weder gefordert wird� da� jede Abbildung in einer C��Umgebung von f zu f topologisch konjugiert ist� noch� da� sich die Konjugation durch einenDi�eomorphismus bewerkstelligen l�a�t� Beides w�aren zu starke Forderungen f�ur die nachfolgendbeschriebenen Resultate�Bei der ersten dieser st�arkeren Forderung m�u�te man beispielsweise zulassen� da� isolierte Fix�punkte in gr�o�ere punktweise invariante Mengen konjugiert� w�ahrend bei der zweiten Forderungbeispielweise in dem unten beschriebenen Sinne die Fl�usse zu den Di�erentialgleichungssystemen

�x� � x�

�x� � x�

��

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und

�x� � x�

�x� � �� ��x�

f�ur � � � auch im Falle � � nicht mehr konjugiert w�aren�

Satz� p sei Fixpunkt der C��Abbildung f � M �M � und Df�p� � TpM � TpM habe maximalen

Rang� Dann ist f genau dann lokal strukturell stabil in einer Umgebung von p� wenn p hyperbo�

lisch ist�

Die positive Richtung dieses Satzes folgt aus dem Satz von Hartman�Grobman� denn letztererbesagt� da� f im hyperbolischen Fall konjugiert zu seiner Linearisierung ist� und zwei hyperbo�lische lineare Abbildungen sind genau zueinander konjugiert� wenn die Anzahl der Eigenwertevom Betrage � � �und damit auch diejenige der Eigenwerte vom Betrage � �� gleich ist und dieDeterminanten auf den entsprechenden R�aumen das gleiche Vorzeichen haben� was o�ensichtlichstrukturell stabile Bedingungen sind�Die negative Richtung ist ebenfalls nicht schwer zu zeigen� indemman nicht�hyperbolische lineareAbbildungen betrachtet� welche einerseits zu hyperbolischen gest�ort werden k�onnen� andererseitsaber ein von diesen qualitativ verschiedenes Verhalten zeigen�Analoge Konstruktionen und Resultate sind im zeitkontinuierlichen Fall m�oglich� Zwei Fl�ussesind topologisch konjugiert� wenn die Bahnen durch einen Hom�oomorphismus ineinander �uberf�uhrtwerden k�onnen� wobei auf jeder Bahn eine Unparametrisierung der Zeit erlaubt ist� Insbesonderek�onnen sich daher die Perioden von periodischen Bahnen unter einer topologischen Konjugation

�andern� Der Satz von Hartman�Grobman f�ur Fl�u�e besagt entsprechend� da� ein Flu� mit einemhyperbolischen Fixpunkt zu seiner Linearisierung in diesem Fixpunkt konjugiert ist�

�� Bifurkationen

Denition� �f������� o�en in Rn� sei eine von einem Parameter � abh�angige �und r malstetig nach � di�erenzierbare� Familie von Abbildungen f� � M � M der Klasse C�� �� � �hei�t Bifurkationspunkt� wenn f�� nicht lokal C��strukturell stabil ist� Wir sagen� da� bei einemBifurkationspunkt �� eine strukturell stabile n�parametrische Bifurkation vorliegt� wenn f�ur jedeFamilie �g����� die in einer gen�ugend kleinen C��Umgebung von �f����� liegt� ein � � � undeine Unparametrisierung � �� ��� sowie eine stetig von � abh�angige Familie �h����� lokalerHom�oomorphismen existieren� derart� da�

g���� � h��� � f� � h�f�ur j�� ��j � � gilt�

Die strukturelle Stabilit�at h�angt typischerweise von der Anzahl n der Parameter ab� R� Thomhat f�ur gen�ugend kleine Werte von n alle strukturell stabilen Bifurkationen klassi�ziert und dieseTheorie auf entwicklungsbiologische Fragestellungen angewandt� Auch die qualitative Erkl�arungbestimmter sozialwissenschaftlicher Ph�anomene durch eine derartige Bifurkationsanalyse ist dis�kutiert worden� wobei allerdings oft die exakte Bestimmung der Bifurkationsparameter schwierigist� Der Vorteil der Theorie� in diesem Kontext auch Katastrophentheorie genannt� liegt aberdarin� da� man die genaue funktionale Abh�angigkeit der beobachteten von den sie beein�us�senden Gr�o�en nicht zu kennen braucht� um zu einer qualitativen Beschreibung von m�oglichen�Uberg�angen� Gestaltwechseln� Umbr�uchen etc� zu gelangen� Zumindest bietet die Theorie exaktanalysierbare und gegen St�orungen stabile Modellsituationen� die als Analogien zum Verst�and�nis weniger exakt fa�barer Ph�anomene aus dem sozialwissenschaftlichen Bereich dienen k�onnen�

��

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Allerdings wird die Theorie oft unkritisch angewandt� und es werden insbesondere h�au�g quali�tative Analogien mit kausalen Erkl�arungen verwechselt�

��� Die Hopfbifurkation

Wir wollen� ankn�upfend an ein schon in ��� eingef�uhrtes Beispiel� einen wichtigen Typ einerBifurkation genauer besprechen� n�amlich die Hopfbifurkation�

Hier entsteht durch Variation eines reellen Parameters beim �Ubergang von einem anziehenden zueinem absto�enden Fixpunkt eine periodische Bahn� Wir wollen dies an einem Beispiel erl�autern�Wir betrachten im R� das System von gew�ohnlichen Di�erentialgleichungen

�x � y � x �x� � y� � �

�y � �x� y �x� � y� � �

in Abh�angigkeit von dem Parameter � R���� �� ist f�ur alle ein Fixpunkt�F�ur � � ist dieser Fixpunkt global exponentiell anziehend�Dies zeigt sich leicht mittels der Lyapunovfunktion log�x� � y���eine Lyapunovfunktion ist eine Funktion� die l�angs jeder Flu�linie streng monoton fallend ist��

d

dtlog�x� � y�� � ���x� � y� � � � � � ��

log�x� � y�� f�allt also l�angs jeder Flu�linie� mithin auch x� � y�� und daher mu� jede Flu�linienach ��� �� laufen�Dies ist eine strukturell stabile Situation� die sich bei kleinen St�orungen von nicht qualitativ

�andert�

F�ur � � ist ��� �� immer noch global anziehend� allerdings nicht mehr exponentiell� Es giltweiterhin

d

dtlog�x� � y�� � � f�ur �x� y� � ��� ���

aber dieser Ausdruck ist nun nicht mehr von � weg beschr�ankt� Die Situation f�ur � � ist nichtmehr strukturell stabil�

F�ur � � ist ��� �� absto�end� und es gibt eine periodische Bahn x�� y� � � welche anziehendist� Es gilt

d

dtlog�x� � y��

�� � f�ur x� � y� �

� � f�ur x� � y� �

Die Situation ist in der N�ahe von ��� �� strukturell stabil�

Wir erhalten also eine von abh�angige Familie von periodischen Bahnen� die beim �Ubergangvon � � zu � � aus dem Fixpunkt herauslaufen� Diese Familie periodischer Bahnen stellteine strukturell stabile Verzweigung dar� d�h� auch bei St�orungen des obigen Systems mu� eseine derartige Familie geben�Wir wollen� um dies besser zu verstehen� noch einmal das eingangs schon einmal diskutiertelinearisierte System betrachten�

�x � y � x

�y � �x� y�

��

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Die Eigenwerte sind � i� mit

Imagin�arteil � ��

aber Realteil � � f�ur � ��

Hier sind f�ur � � alle Bahnen periodisch� n�amlich KreiseAbbildungum ��� ��� w�ahrend es f�ur � � keine einzige periodische Bahn gibt� Hier konzentriert sich alsodie ganze Familie bei einem einzigen Parameterwert� w�ahrend sie sich bei dem gegen�uber demlinearen durch einen Term h�oherer Ordnung gest�orten System auf verschiedene Parameterwerteverteilt� Die Situation bei � � ist also nicht strukturell stabil� aber das Verhalten der ganzenFamilie� da� n�amlich beim �Ubergang von einem anziehenden zu einem absto�enden Fixpunkteine Familie periodischer Bahnen entsteht� ist es�

��� Generische Eigenschaften

Man m�ochte gerne eine pr�azise Fassung davon haben� da� eine Eigenschaft P typisch f�ur eineparametrisierte Klasse dynamischer Systeme ist� Der Ansatzpunkt sollte die Forderung sein� da�i� f�ur jedes �� in dem Parameterraum � eine beliebig kleine St�orung � von �� existiert mit derEigenschaft� da� die Eigenschaft P f�ur den Parameterwert � erf�ullt ist� und da� ii�� falls P f�ur�� � � gilt� dies auch f�ur jede gen�ugend kleine St�orung � von �� gilt�Dies bedeutet� da� die Menge ��P � derjenigen Parameter aus �� f�ur die P gilt� dicht und o�enin � ist�Es stellt sich heraus� da� es sinnvoll ist� diese Forderung etwas abzuschw�achen�

Denition� Eine Teilmenge �� eines vollst�andigen metrischen Raumes � hei�t generisch� fallssie einen abz�ahlbaren Durchschnitt o�ener und dichter Teilmengen von � enth�alt� und in diesemFalle hei�en Elemente aus �� generische Parameterwerte� wenn � als Parameterraum auftritt�

Wir suchen also keine o�ene und dichte Menge� sondern einen abz�ahlbaren Durchschnitt der�artiger Mengen� Der Grund hierf�ur liegt in dem Satz von Baire� da� in einem vollst�andigenmetrischen Raum jeder abz�ahlbare Durchschnitt o�ener und dichter Mengen wieder dicht ist�

�� Lotka�Volterra�Gleichungen

In diesem Abschnitt wollen wir einige der besprochenen Ph�anomene f�ur Systeme gekoppelterDi�erentialgleichungen noch einmal an einer konkreten Beispielklasse erl�autern� den Systemenvom Lotka�Volterra�Typ� die in der Biologie und �Okologie einige Anwendungen und vor alleminhaltlich konkrete Interpretationen gefunden haben�Das allgemeine System vom Lotka�Volterra�Typ f�ur n Populationen ist

�xi � xi�ai �

nXj�i

bijxj� f�ur i � �� ���� n���

xi bezeichnet hier die Gr�o�e der i�ten Population� sollte also nichtnegativ sein� und ai ist dieintrinsische Wachstums� oder Abnahmerate dieser Population bei Abwesenheit aller anderen Po�pulationen� w�ahrend bij die St�arke des Ein�usses der j�ten auf die i�te Population angibt� Hierbeiist ai also positiv �negativ�� falls xi eine inh�arente Tendenz zum Wachstum �zur Abnahme� be�sitzt� w�ahrend bij positiv �negativ� ist� wenn xj das Wachstum von xi f�ordert �behindert�� alsowenn sich die i�te Population z�B� von der j�ten Population ern�ahrt �gefressen wird�� bij und bjisind gleichzeitig negativ� wenn die beiden Populationen miteinander in Konkurrenz stehen�

��

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Wir wollen nun einen der einfachsten F�alle studieren� und zwar das zweidimensionale R�auber�Beute�Modell ohne Konkurrenz innerhalb der beiden Arten� gegeben durch

�x� � x��a� � b��x�� �x� ist die Beute����

�x� � x��a� � b��x�� �x� ist der R�auber� �

Hierbei ist

a� � � �die Beutepopulation w�achst bei Abwesenheit von R�aubern�

a� � � �die R�auberpopulation nimmt bei Abwesenheit von Beute ab�

b�� � � �die Beute wird von den R�aubern gefressen�

b�� � � �die Anwesenheit von Beute l�a�t die R�auberpopulation wachsen��

Nat�urlich sind wir nur an L�osungen mit

xi�t� � � f�ur i � �� � und alle t � �

interessiert�Wir beginnen mit einigen o�ensichtlichen Beobachtungen�

�x�� x�� � ��� �� ist ein Fixpunkt�

Dieser Fixpunkt ist ein Sattelpunkt� wie man unschwer an dem linearisierten System abliest� Diex��Achse ist n�amlich eine Bahn� auf der die L�osung durch x��t� � x����e

a�t� x��t� � � w�achst�w�ahrend die x��Achse eine kontrahierende Bahn gem�a� x��t� � �� x��t� � x����e

a�t ist� weila� � ��Daher bleibt insbesondere der positive Quadrant x��t� � �� x��t� � � invariant�Ein interessanterer Fixpunkt �ndet sich bei

�x� � � a�b��

� �x� � � a�b��

����

Alle anderen Bahnen im positiven Quadranten sind periodisch und umlaufen diesen Fixpunktentgegen dem Uhrzeigersinn�Dies folgt unmittelbar aus der Beobachtung� da� f�ur

V �x��x��� �� b����x� log x� � x��� b����x� log x� � x������

d

dtV �x��t�� x��t�� � �a� �x�

x�� b�� �x� � a�

�x�x�

� b�� �x�

� � von ���

gilt� so da� V �x�� x�� eine Konstante der Bewegung ist� V nimmt sein eindeutiges Maximum in��x�� �x�� an� und deswegen sind die Kurven V �x�� x�� Kreise um diesen Punkt�Die Bewegung auf einem derartigen Kreis verl�auft entgegen dem Uhrzeigersinn� weil beispiels�weise im Falle x��t� � �x�� x��t� � �x�� �x��t� � �� �x��t� � � gilt�

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x�

x�

x�

x�

Auf der Linie x� � �x� �Isokline� gilt �x��t� � �� und f�ur x� � �x� ist �x��t� � ��Das Di�erentialgleichungssystem f�uhrt dazu zu periodischen Oszillationen der R�auber� und Beu�tepopulationen�Falls T die Periode einer solchen Oszillation ist� gilt

� � log x��T �� log x���� �

TZ�

d

dtlog x��t�dt �

Z T

��a� � b��x��t��dt

und daher

T

TZ�

x��t�dt � � a�b��

� �x�����

und analog

T

TZ�

x��t�dt � � a�b��

� s�����

so da� die zeitlichen Mittel der oszillierenden Populationen durch die Werte im Gleichgewichts�punkt gegeben sind�Insbesondere kann man aus dieser Beobachtung die Auswirkungen einer Variation eines der Ko�e�zienten in ��� durch �au�ere Ein��usse auf die zeitlichen Mittel der beiden Populationen ablesen�

Das Verhalten des vorstehenden Systems mit seiner Familie von periodischen Bahnen ist nichtstabil unter kleinen St�orungen� denn es handelt sich hier genau um diejenige Situation� die wirauch schon bei der Diskussion der Hopfbifurkation kennengelernt haben�Falls wir hier auch intraspezi�sche Konkurrenz einf�uhren und unser System �andern zu

�x� � x��a� � b��x� � b��x��

�x� � x��a� � b��x� � b��x�����

mit

b�� � � �die Mitglieder der ersten Population konkurrieren um Nahrung�

b�� � ��

so �andert sich auch das qualitative Verhalten�Neben ��� �� erhalten wir nun einen zweiten Fixpunkt auf der positiven x��Achse� n�amlich�� a�

b��� ��� Dieser Fixpunkt ist stets anziehend f�ur x� denn im Falle x��t� � �� erhalten wir

die sog� logistische Gleichung

�x��t� � x��a� � b��x�� mit a� � �� b�� � ��

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Ob dieser Fixpunkt auch f�ur x� anziehend ist� h�angt von dem Vorzeichen von �x��t� f�ur kleineWerte von x��t� und x��t� � � a�

b��ab� ob also

a�b�� � a�b�� � ��

In diesem Falle gibt es keinen weiteren Fixpunkt im positiven Quadranten� und es gilt f�ur jedeL�osung

limt��

x��t� � ��

d�h� die R�auber sterben aus�Falls jedoch

a�b�� � a�b�� � ��

so ist

�x� �a�b�� � a�b��b��b�� � b��b��

� �

�x� �a�b�� � a�b��b��b�� � b��b��

� �

ein Fixpunkt im positiven Quadranten�Mit V �x�� x�� wie in ���� berechnen wir nun

d

dtV �x��t�� x��t�� � �b��b����x� � x��t��

� � b��b����x� � x��t��� � ��

und diese Ableitung ist positiv au�er f�ur �x�� x�� � ��x�� �x��� Dies bedeutet� da� V �x��t�� x��t��auf jeder Bahn w�achst� und ein Gleichgewicht liegt nur im Maximum vor� also in dem Fixpunkt��x�� �x��� Die Bahnen im positiven Quadranten laufen alle spiralf�ormig entgegen dem Uhrzeiger�sinn auf diesen Fixpunkt zu�

���� Stabile� unstabile und Zentrumsmannigfaltigkeiten

In diesem Abschnitt wollen wir ein pr�aziseres Instrumentarium zur Aufdeckung und Analyse vonnichtgenerischen Ph�anomenen bei dynamischen Systemen entwickeln� Ungl�ucklicherweise ist dieetablierte Terminologie derart� da� der Ausdruck

�stabil hier in einem anderen Sinne als vorher

verwandt wird�

Wir betrachten zun�achst eine C��Abbildung

f � U � Rd

U ist eine o�ene Umgebung von y� � Rd � mit einem hyperbolischen Fixpunkt in y�� also

f�y�� � y��

und die Ableitung

Df�y��

hat keinen Eigenwert vom Betrage �� Wir betrachten wie �ublich die Iterationen fn� Die stabileMannigfaltigkeit M s�y�� besteht dann aus allen Punkten x � U mit fnx � U f�ur alle n und

fnx� y�

f�ur n��� Da es sich bei y� nach Annahme um einen hyperbolischen Fixpunkt handelt� kannman� sofern man U gen�ugend klein w�ahlt� sogar auf die zweite Bedingung verzichten� braucht also

��

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nur zu verlangen� da� die Bahn fnx U nicht verl�a�t� Die Punkte� die nicht von dem Fixpunkt y�angezogen werden� werden abgesto�en� Die instabile Mannigfaltigkeit Mu�y�� besteht allerdingsnicht aus allen Punkten� die abgesto�en werden� sondern nur aus denjenigen� die asymptotischaus y� kommen� in dem folgenden Sinne� y �Mu�y��� wenn eine Folge �xn�n�N � U mit fxn �xn�� f�ur n � N und

xn � y

f�ur n � � existiert� Wiederum kann man im hyperbolischen Fall auf die letzte Bedingungverzichten� sofern man U gen�ugend klein w�ahlt�Im Falle� wo f ein Di�eomorphismus ist� ist die instabile Mannigfaltigkeit von f gerade diestabile Mannigfaltigkeit von f��� wie man aus der vorstehenden De�nition erkennt�Um sp�ater auch den Fall nicht�hyperbolischer Fixpunkte analysieren zu k�onnen� erweist es sichals zweckm�a�ig� die nachfolgenden Aussagen unter der allgemeineren Bedingung� da� es f�ur ein� � � keinen Eigenwert vom Betrag � der Linearisierung der Abbildung im Fixpunkt x� gibt�zu formulieren� Diese Eigenschaft wird ��Pseudohyperbolizit�at genannt�Damit wir in der nachfolgenden Notation y� � Rd mit � � Ty�R

d identi�zieren k�onnen� nehmenwir einfach y� � � an�

Satz von Hadamard�Perron �uber stabile und unstabile

Mannigfaltigkeiten�

Es sei U eine o�ene Umgebung von � � Rd �f � C��U�Rd �

mit

f�y�� � ��

Es sei � � ��Die Ableitung Df��� habe keinen Eigenwert vom Betrag �� Es seien V s

� � Vu� die Unterr�aume

von T�Rd �� Rd � die den Eigenwerten vom Betrag � � bzw� � � entsprechen� und es seien

As�u � Df�y�jV s�u�

�Wir w�ahlen mittels elementarer linearer Algebra eine Norm k�k auf dem Rd

mit

kAsk � �� k�Au���k � ���

und setzen f�ur R � �

U�R� �� fx � Rd � kxk � Rg�U s�u�R� �� fx � V s�u

� � kxk � Rg�Ist dann � � �� so ist f�ur gen�ugend kleines R � � die stabile Mannigfaltigkeit

M s��� ���n��

f�nU��nR� � fx� � U�R� � fnx� � U��nR� f�ur alle ng

Graph einer C��Abbildung

s � U s�R�� Uu�R�

mit

s��� � �� D s��� � ��

��

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Ist � � �� so ist f�ur gen�ugend kleines R � � die instabile Mannigfaltigkeit

Mu��� ���n��

fnn�

���

f��U����nR�

�fx� � Rd � es existiert eine Folge �xn�n�N � Rdmit fxn � xn��

und xn � U���nR� f�ur alle n � Ngder Graph einer C��Abbildung

u � Uu�R�� U s�R�

mit u��� � �� D u��� � ��

Ist f von der Klasse Ck� so sind dies auch die Abbildungen s�u�

Die vorstehenden Aussagen verallgemeinern sich ohne Schwierigkeiten auf �endlich dimensionale�di�erenzierbare Mannigfaltigkeiten� und auch auf Banachr�aume� sofern diese di�erenzierbareFunktionen mit kompaktem Tr�ager besitzen�Eine Beweismethode f�ur den vorstehenden Satz beruht auf der Graphentransformationsmethodevon Hadamard� In der nachfolgenden Skizze betrachten wir den Fall � � �� Hierzu betrachtetman f�ur gen�ugend kleines R � �

L� �� f� � Uu�R�� U s�R�

Lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante � � und ���� � �gF�ur � � L� betrachten wir den Graphen

���� �� f�x� ��x��� x � Uu�R�g�welcher wegen der Bedingung an die Lipschitzkonstante von � in U�R� liegt� Man zeigt dann�da� f L� in sich abbildet� in dem Sinne� da� f�ur � � L� f���� � U�R� wiederum Graph einerAbbildung aus L� ist� welche wir mit f� bezeichnen wollen� Als Kontraktion von L� bez�uglichder C��Norm hat f dann einen Fixpunkt in L�� und dies ist gerade die gesuchte Abbildung u�Da f durch seine LinearisierungDf��� approximiert wird� staucht f den Graphen von � in derstabilen Richtung V s und zerrt ihn in der unstabilen Richtung V u� Daher werden Ableitungenvon � durch f verkleinert� und u erweist sich als di�erenzierbar mit D u��� � �� Au�erdemwird f�ur �x�� x�� � Uu�R� � U s�R� der Abstand zu �x�� u�x��� � Uu�R� � U s�R� durch fum einen Faktor � � verkleinert� Dies f�uhrt dazu� da� fn�x�� x��� wenn es in U�R� verbleibt�gegen einen Punkt auf dem Graphen von u konvergiert� und man den Graphen von u mitTn��

fnU�R� �oder genauer mit dem oben angegebenen Ausdruck f�ur Mu���� identi�zieren kann�

Die stabile und die unstabile Untermannigfaltigkeit und damit auch die Abbildungen s und u

im vorstehenden Satz sind eindeutig bestimmt� Dies ist nicht mehr der Fall im nachfolgenden

Satz �uber die zentral�stabile und die zentral�unstabile

Mannigfaltigkeit�

Es m�ogen die Voraussetzungen des vorstehenden Satzes gelten� Im Falle � � � gibt es f�ur

gen�ugend kleines R � � eine di�erenzierbare Abbildung

�s � U s�R�� Uu�R�

��

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mit �s��� � ��D �s��� � �� deren Graph M�s���� die�zentral�stabile Mannigfaltigkeit�� lokal

invariant unter f in dem Sinne ist� da�

fM�s��� � U�R� �M�s���

f��M�s��� � U�R� �M�s����

Au�erdem ist f lokal anziehend f�ur f�� in dem Sinne� da� f�ur xn �nT

���f��U�R� der Abstand

von xn zu M�s��� f�ur n�� gegen � strebt�

Im Falle � � � gibt es f�ur gen�ugend kleines R � � eine di�erenzierbare Abbildung

�u � Uu�R�� U s�R�

mit �u��� � �� D �u��� � �� deren Graph M�u���� die�zentral�unstabile Mannigfaltigkeit��

lokal invariant unter f in dem Sinne ist� da�

fM�u��� � U�R� �M�u����

Au�erdem ist M�u��� lokal anziehend f�ur f in dem Sinne� da� f�ur

xn �n�

���

f��U�R�

der Abstand von fnxn zu M�u��� f�ur n�� gegen � strebt� M�s��� enth�alt die stabile Mannig�

faltigkeit M s����M�u��� die instabile Mannigfaltigkeit Mu����Die stabile Mannigfaltigkeit geh�ort zu den Eigenwerten der Linearisierung� deren Betrag � �ist� die zentral�stabile zu denjenigen vom Betrag � �� Entsprechendes gilt f�ur die unstabile unddie zentral�unstabile Mannigfaltigkeit �Eigenwerte � � bzw� � ��� Die Dynamik in der stabilenMannigfaltigkeit ist exponentiell kontrahierend� in der instabilen Mannigfaltigkeit exponentiellexpandierend� Beide Dynamiken lassen sich also einfach und �ubersichtlich beschreiben�Der Durchschnitt

M���� � M�s��� �M�u���

hei�t Zentrumsmannigfaltigkeit� Sie ist tangential an den Unterraum von T�Rd �� Rd � der zuden Eigenwerten von Df��� vom Betrag � geh�ort� Die Zentrumsmannigfaltigkeit beschreibt dienichttrivialen Aspekte der Dynamik� Sind V �� V � die Unterr�aume von T�Rd � die den Eigenwertenvom Betrag � bzw� � � entsprechen� U��R� �� fx � V � � kxk � Rg� U � �� fx � V � � kxk � Rg�so ist eine Zentrumsmannigfaltigkeit in der Situation der vorstehenden S�atze durch eine C��Abbildung

� � U��R�� U ��R�

mit ���� � �� D ���� � � gegeben� deren Graph lokal invariant unter der Dynamik ist�

Wie angedeutet� gelten die vorstehenden S�atze auch in Banachr�aumen� also im unendlichdi�mensionalen Fall� H�au�g ist jedoch auch in derartigen unendlichdimensionalen Situationen dieZentrumsmannigfaltigkeit endlichdimensional� Dies bedeutet� da� sich die Dynamik durch nurendlich viele Freiheitsgrade beschreiben l�a�t� Dies entspricht dem Versklavungsprinzip der Syn�ergetik� einer physikalischen Theorie von H� Haken�

��

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Analoge Resultate gelten f�ur zeitkontinuierliche Systeme

�x� t� �� f t�x� �x � U � Rd � t � R�

Man erh�alt dies� indem man zun�achst die vorstehenden S�atze auf die Zeit���Abbildung

f�x� �� f��x�

anwendet und sich dann �uberlegt� da� die dort ausgesprochenen Invarianzeigenschaften nichtnur f�ur n � N� sondern auch f�ur t � � gelten�

Wir wollen die Aussagen nun an Systemen gew�ohnlicher Di�erentialgleichungen erl�autern�

�w � g�w� �����

mit w � Rd und einem Parameter � aus einer Umgebung von � � R� Es sei g��� �� � � f�ur alle�� Wir betrachten die Linearisierung

�w � Aw mit A ���

�wg��� ������

ds� du� dz seien die Summen der Vielfachheiten der Eigenwerte von A als L�osungen der charakte�ristischen Gleichung det�A��Id� � �� mit Realteil kleiner� gr�o�er� gleich �� und wir identi�zierendie zugeh�origen Unterr�aume des T�Rd �� Rd mit Rds �Rdu �Rdz � Die Dynamik ist dann konjugiertzu derjenigen von

�x ���x� �� f�ur x � Rdz�u �� u f�ur u � Rds���

�v �v f�ur v � Rdu

mit einer aus g zu bestimmenden Funktion �� Die Dynamik von u und v ist denkbar einfach�n�amlich

u�t� � e�tu���

v�t� � etv����

Alles Interessante spielt sich also auf der Zentrumsmannigfaltigkeit ab� die hier zu Rdz gewordenist� Da aber typischerweise das Problem gerade darin besteht� das System ��� in das System ���zu konjugieren� kehren wir zu ��� zur�uck und schreiben es nach einer linearen Koordinatentrans�formation in der Form

�x � A�x� h�x� y� �����

�y � A�y � k�x� y� ���

Wir nehmen zun�achst an� da� der Parameter � nicht auftritt �der allgemeine Fall wird sp�aterdurch einen einfachen Trick auf diesen zur�uckgef�uhrt werden�� also

�x � A�x� h�x� y����

�y � A�y � k�x� y��

Die Zerlegung sei derart� da� x � Rdz � und alle Eigenwerte von A� den Realteil �� y � Rd� �d� �ds � du� und alle Eigenwerte von A� einen von � verschiedenen Realteil haben�

��

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Die Zentrumsmannigfaltigkeit wird nun durch eine Gleichung

y � �x�

beschrieben� Da diese Gleichung invariant unter dem Flu� sein mu�� erhalten wir durch Ableitennach t die Gleichung

��� � � �x ��x�� �y � ��x��A�x� h�x� �x�� ��A� �x� � k�x� �x��� �� �� ��x� � mit ��x� �

d

dx �x���

Aus dieser Gleichung l�a�t sich nun eine Taylorentwicklung f�ur die Zentrumsmannigfaltigkeitherleiten� Die Dynamik auf der Zentrumsmannigfaltigkeit wird dann durch die Gleichung

�x � A�x� h�x� �x�����

gegeben� Die Gleichung

y � �x���

hei�t Versklavungsgleichung� Die Gleichung ��� beschreibt die wesentlichen Freiheitsgrade desSystems und hei�t reduzierte Gleichung� Um Beispiele zu behandeln� ist es n�utzlich� die imAnschlu� an ��� gemachte Bemerkung durch das folgende Lemma zu pr�azisieren�

Lemma� Die Funktionen h und k in � seien von der Klasse Cm�m � N�� Dann ist auch in

�� von dieser Klasse� Gilt ferner f�ur � � Cm

�����x� � ��jxjm� f�ur jxj � ��

so ist

j �x� � ��x�j � ��jxjm� f�ur jxj � �

Beispiele�

��

�x � �xy��y � �y � x� f�ur x� y � R�

Die Linearisierung in ��� �� ist

�x � �

�y � �y�

Die y�Richtung ist also stabil� w�ahrend die x�Richtung zentral ist und somit einer genauerenAnalyse bedarf� Bei der linearisierten Gleichung bleibt die x�Achse punktweise invariant�aber wir werden sehen� da� dies f�ur das urspr�ungliche nichtlineare Problem nat�urlich nichtmehr gilt� Die Versklavungsgleichung y � �x� f�uhrt nach ��� zu

�x �x� ��x� � �x�� x� � �

Mit ��x� � x� gilt

�����x� � ��x�

��

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somit nach dem Lemma

y � �x� � x� � ��jxj��und durch Einsetzen erhalten wir f�ur die Dynamik auf der Zentrummannigfaltigkeit

�x � �x� � ��jxj���Somit ist im Gegensatz zum linearisierten Problem f�ur unser Ausgangsproblem der Null�punkt ein globaler Attraktor�

��

�x � �x��y � �y f�ur x� y � R�

Hier sieht man direkt� da� der Nullpunkt ein globaler Attraktor ist� Dieses Beispiel solluns aber dazu dienen� das Ph�anomen der Nichteindeutigkeit der Zentrumsmannigfaltigkeitaufzuweisen� F�ur beliebige Konstanten � � ist n�amlich die Kurve

y � �x�� �� ��

������e� �

�x� f�ur x � �

� f�ur x � �

�e��

�x� f�ur x � �

�u�invariant und liefert somit eine Zentrumsmannigfaltigkeit� Das Beispiel zeigt auch� da�auch bei reell analytischen Gleichungen Zentrumsmannigfaltigkeiten nicht unbedingt reellanalytisch sein m�ussen� Verfeinerungen dieses Beispieles zeigen sogar� da� sie nicht einmalvon der Klasse C� sein m�ussen�

Wir kehren nun zu der Situation zur�uck� wo der Parameter � auftritt und f�ugen in diesen Falleinfach als zus�atzliche Gleichung

�� � �

hinzu und fassen deswegen � als auf gleicher Stufe mit x stehend auf� Die Versklavungsgleichungwird also nun zu

y�t� � �x�t�� ���

und die reduzierte Gleichung ist

�x � A�x� h�x� �x� ��� ���

��

�x � �x� x� � xy

�y � �y � y� � x� ��� x� y � R�in der N�ahe von x � y � � � �� Die Zentrumsmannigfaltigkeitsgleichung

y � �x� ��

f�uhrt nun auf

� � �x�

�x� ��

��� �y

� ��x� x� � x ��

�x� �� � � � x�� � �� ��x� ���

��

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Mit ��x� �� � �x� ist

�����x� �� � ���jxj � j�j���

und nach dem Lemma daher

�x� �� � �x� � ���jxj � j�j��� f�ur �� x� ��

Einsetzen in die reduzierte Gleichung liefert

�x � �x� �x� � ���jxj � j�j�� f�ur �� x� �

Somit wird die Struktur des Flusses in der N�ahe von � � �� x � � durch

�x � �x� �x�

bestimmt� Die Bifurkation an der Stelle � � �� n�amlich der �Ubergang von einem stabilen Fix�punkt f�ur � � � zu zwei stabilen und einem unstabilen f�ur � � �� �ndet also auf der Zentrums�mannigfaltigkeit statt� wie auch aus der allgemeinen Theorie folgt�

� Diskrete Invarianten dynamischer Systeme�

Die Theorien von Conley und Floer

Der grundlegende Gedanke dieses Kapitels ist� einem dynamischen System diskrete topologischeInvarianten zuzuordnen� um qualitative Unterschiede zwischen Systemen in unterschiedlichenWerten dieser Invarianten widerzuspiegeln� um also dynamische Systeme klassi�zieren und un�terscheiden zu k�onnen� Das Ideal� da� n�amlich diese Invarianten stets zwischen nichtisomorphenSystemen unterscheiden k�onnen� l�a�t sich zwar nicht vollst�andig erreichen� aber die in diesemKapitel vorgestellten Invarianten erm�oglichen es trotzdem� sehr subtile Unterschiede festzustel�len�Nat�urlich ist die Theorie an bestimmte Voraussetzungen gebunden� und sie funktioniert ambesten f�ur dynamische Systeme auf kompakten Zustandsr�aumen� Der Grundgedanke ist klarausgef�uhrt in der Theorie von Morse �uber Gradienten��usse auf Riemannschen Mannigfaltig�keiten und die Theorien von Conley und Floer stellen wesentliche Verallgemeinerungen undVerfeinerungen dieses Ansatzes dar�

��� Die Topologie von Graphen

In diesem Abschnitt wollen wir an einem elementaren Beispiel einige wichtige Gedanken erl�autern�

� sei ein Graph� bestehend aus einer Menge V von Knoten und einer Menge E von Kanten� DieKanten seien gerichtet� so da� wir in jedem Knoten die ausw�arts gerichteten von den einw�artsgerichteten Kanten unterscheiden k�onnen�

��

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Die Eulercharakteristik von � ist de�niert als

���� �� !V �!E�

also als Anzahl der Knoten minus Anzahl der Kanten�Ein Knoten v hei�t kritisch� wenn die Anzahl der ausw�arts gerichteten Kanten in v verschiedenvon � ist�Der Index eines kritischen v ist de�niert als

i�v� ��

��� falls es keine ausw�arts gerichtete Kante gibt

�� falls es mehr als eine solche Kante gibt

Schlie�lich de�nieren wir noch die Vielfachheit eines kritischenv mit i�v� � � als

m�v� �� Anzahl der ausw�arts gerichteten Kanten minus ��

Dann gilt�

Satz�

���� � m� �m��

mit

m� ��!fv kritisch� i�v� � �gm� ��

Xv krit�

i�v���

m�v�

falls die Vielfachheitm�v� � � f�ur alle kritischen v mit i�v� � �� so istm� � !fv kritisch� i�v� ��g�Der entscheidende Gehalt dieses leicht zu beweisenden Satzes ist� da� sich die Berechnung einerglobalen topologischen Invarianten von �� n�amlich der Eulercharakteristik� auf die Bestimmunglokaler Gr�o�en in bestimmten Knoten� n�amlich den kritischen� reduzieren l�a�t� Dies ist auch daswesentliche Prinzip in den Theorien von Morse und Floer�

��� Floerhomologie

X sei eine kompakte di�erenzierbare Mannigfaltigkeit�f � X � R eine glatte Funktion�x� � X hei�t kritischer Punkt f�ur f � falls der Vektor der ersten Ableitungen von f in x�verschwindet�

Df�x�� � ��

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In einem kritischen Punkt x� l�a�t sich die Matrix der zweiten Ableitungen D�f�x�� unabh�angigvon der Wahl lokaler Koordinaten de�nieren� und x� hei�t nichtausgeartet� falls kein Eigenwertvon D�f�x�� verschwindet�In diesem Fall ist der Index von x� de�niert als

i�x�� �� Anzahl der negativen Eigenwerte von D�f�x���

Wir machen nun die folgenden Annahmen�

�� Kein kritischer Punkt von f ist ausgeartet�

�� Der Raum der Flu�linien f�ur den negativen Gradienten�u�� d�h� der L�osungskurven von

�x�t� � �Df�x�t�� f�ur t � R�

limt���

x�t� � p� limt��

x�t� � q�

zwischen den beiden kritischen Punkten p und q ist entweder leer oder hat die Dimension

i�p�� i�q��

�Es l�a�t sich zeigen� da� diese Bedingungen f�ur generische glatte Funktionen f erf�ullt sind��Diese Annahmen haben zur Folge� da� keine Flu�linien zwischen kritischen Punkten von gleichemIndex existieren� w�ahrend im Falle

i�p� � i�q� � �

die Anzahl der Flu�linien von p nach q endlich ist �da jede Flu�linie selbst eindimensional ist�hat der Raum der Flu�linien dann die Dimension ���In diesem letzteren Fall setzen wir

��p� q� �� �Anzahl der Flu�linien von p nach q� mod �

��p� q� ist also �� wenn es eine ungerade Anzahl von Flu�linien von p nach q gibt� und � sonst�Wir de�nieren nun einen Randoperator ��F�ur einen kritischen Punkt p vom Index i�p� � i sei

�ip ��X

q kritisch

i�q��i�p���

��p� q�q

�wir summieren hier in dem von den kritischen Punkten von f erzeugten Vektorraum mit Z��Koe�zienten� d�h� es ist z� B�

�a�q� � a�q�� � �b�q� � b�q�� �q�� q� kritische Punkte�

a�� a�� b�� b� � Z����a� � b��q� � �a� � b��q� �

wobei hier die Summe in den Klammern in dem K�orper Z� statt�ndet �d�h� es wird mod �addiert�� w�ahrend die Summe zwischen den Klammern formal ist��Es werden also die Flu�linien von p zu kritischen Punkten q mit i�q� � i�p� � � gez�ahlt �mod���Dann gilt

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Satz� Floer� �i�� � �i � � f�ur alle i�Erl�auterung

��i�� � �i�p � �i����ip�

� �i��

�� X

i�q��i�p���

��p� q�q

A

�X

i�q��i�p���

��p� q�

�� X

i�r��i�p���

��q� r�r

A �

Die Aussage des Satzes ist also� da� diejenigen Flu�linien von p nach r� f�ur i�r� � i�p� � �� diedurch einen anderen kritischen Punkt q hindurchlaufen� stets paarweise auftreten� alsoX

q

��p� q���q� r� � � mod � f�ur alle p und r�

q

r

p p

q

r

r

q� q�

� � � � �p

Auf der Grundlage dieses Satzes lassen sich nun Homologiegruppen de�nieren�Es ist

ker �i � f"a� p� � i�p�� � i� a� � Z�gmit � �"a� p�� � �

�� "a� �p� � � ist linear erweitert worden� g

und

im �i � fq mit i�q� � i� �� die sich schreiben

lassen als q � ��"a�p��g

�i � �i�� � � impliziert dannim �i�� � ker �i

�falls p der Rand von etwas anderem ist� so ist sein eigener Rand ���

��

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Denition� Die i�te Homologiegruppe von X ist de�niert als

Hi�X�Z�� �� ker �i�im �i��

�alle R�ander werden also zu Null gesetzt��

Satz� Die Gruppen Hi�X�Z�� h�angen nicht von der Wahl der Funktion f � X � R ab welcheaber die obigen Annahmen �� und �� erf�ullen mu�� und de�nieren daher topologische Invarianten

der di�erenzierbaren Mannigfaltigkeit X�

Die i�te Bettizahl von X ist de�niert als

bi�X� �� dimHi�X�Z���

und die Eulercharakteristik ist

��X� ��Xi

����ibi�X��

also die Wechselsumme der Bettizahlen�

Nat�urlich l�a�t sich die Eulercharakteristik auch rein topologisch de�nieren� beispielsweise mitHilfe einer Triangulierung� und es gilt dann der Satz� da� diese De�nition zum gleichen Ergebniswie die obige f�uhrt� Wie bei der Eulercharakteristik eines Graphen sehen wir� da� sie sich auslokalen Gr�o�en berechnen l�a�t� hier Beziehungen zwischen kritischen Punkten der Indexdi�erenz�� Streng gesprochen sind diese Gr�o�en nicht wirklich lokal� da sie zwei verschiedene Punktemiteinander in Beziehung setzen� aber es gilt auch

Satz� mi sei die Anzahl der kritischen Punkte von f vom Index i� Dann gilt

mj � bj f�ur alle j�

sowie Xj

����imj � ��X��

Wir wollen nun einige Beispiele betrachten� in denen wir die Bettizahlen bi � dimHi�X�Z��berechnen�

��

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r

q

p� p�

X di�eomorph zu S�

�p� � q

�p� � q

��p� � p�� � �q

� �

ker �� � fp� � p�gim �� � fqg

�q � �r � �ker �� � fqgim �� � f�g�r � � � ker �� � frg

H��X�Z�� � ker �� ist ��dimensional�

b� � �

H��X�Z�� � ker ���im �� ist ��dimensional�

b� � �

H��X�Z�� � ker ���im ��ist ��dimensional�

b� � �

X Torus

p p

q�q�

q� q�

rr

�p � �q� � �q�� � ker �� � fpg� im �� � f�g�q� � �q� � �r� � ker �� � fq�� q�g� im �� � f�g�r � � ker �� � frg

H��X�Z�� �ker �� ist ��dim� b� � �

H��X�Z�� �ker ���im ��ist ��dim� b� � �

H��X�Z�� �ker ���im ��ist ��dim� b� � �

��

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Wir haben den Randoperator �� der die kritischen Punkte einer generischen glatten Funktionf � X � R zueinander in Beziehung setzt� benutzt� um die Homologiegruppen Hi�X�Z�� zude�nieren� F�ur die nachfolgende Diskussion der Theorie von Conley werden wir auch relativeHomologiegruppen ben�otigen� F�ur diesen Zweck sei A eine kompakte Teilmenge der kompak�ten di�erenzierbaren Mannigfaltigkeit X� und f � X � R sei eine glatte Funktion mit derEigenschaft� da� Flu�linien zwar in A einm�unden� aber nicht aus A herauslaufen k�onnen� d�h�wenn

�x�t� � �Df�x�t�� f�ur alle t � Rund x�t�� � A f�ur ein t� � R � f��g ist�

so ist auch x�t� � A f�ur alle t � t��

Dann erhalten wir einen Randoperator �A� indem wir in den vorstehenden Konstruktionen nurdiejenigen kritischen Punkte ber�ucksichtigen� die in XnA liegen� also f�ur einen kritischen Punktp � XnA

�Ap ��X

q krit� Pkt� in XnA

i�q��i�p���

��p� q� q

setzen� Wegen der obigen Bedingung verlaufen alle Flu�linien zwischen den auftretenden p undq ebenfalls ganz in XnA� Mit Hilfe dieses Randoperators erhalten wir dann die relativen Koho�mologiegruppen

Hi�X�A�Z�� �� ker �Ai�im �Ai��

Die Konstruktion l�a�t sich noch etwas verallgemeinern�A � Y � X seien kompakt� und f � X � R erf�ulle�

�i� Ist f�ur eine Flu�linie� also

�x�t� � �Df�x�t�� �t�x�t�� � A f�ur ein t� � R � f��g�

so gibt es kein t � t� mit x�t� � Y nA��ii� Ist f�ur eine Flu�linie

x�t�� � Y� x�t�� � Xn o

Y � mit �� � t� � t� ���

so gibt es t� � t� � t� mitx�t�� � A�

Flu�linien k�onnen also einerseits nach �i� nicht wieder aus A in den Rest von Y zur�ucklaufenund k�onnen andererseits nach �ii� das Innere von Y nur durch A verlassen�In dieser Situation betrachten wir f�ur einen kritischen Punkt p � Y nA

�Y�Ap ��X

q�Y nA kritisch

i�q��i�p���

��p� q� q

und de�nierenHi�Y�A�Z�� �� ker �Y�Ai �

im �Y�Ai��

��

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Bemerkung� Floerhomologie l�a�t sich auch mit Koe�zienten in Z anstatt nur in Z� de�nieren�Hierzu mu� man Orientierungen einf�uhren� um den Flu�linien� die kritische Punkte der Index�di�erenz � miteinander verbinden� ein Vorzeichen �� zuordnen zu k�onnen� Die Terme ��p� q�in der De�nition von � k�onnen dann also positive und negative Werte annehmen� wenn dieFlu�linien mit Vorzeichen gez�ahlt werden� Dann l�a�t sich wiederum � � � � � zeigen� dieGrundlage f�ur die Einf�uhrung der Homologiegruppen� Die Behandlung der Orientierungen istjedoch nicht ganz einfach� und wir verzichten an dieser Stelle auf genauere Ausf�uhrungen undverweisen stattdessen auf Schwarz #��$� Jost #�$�

F�ur Anwendungen in der Variationsrechnung ist die folgende Beobachtung sehr n�utzlich� ZurKonstruktion des Randoperators � und damit der Homologiegruppen braucht man nicht wirk�lich die Indices kritischer Punkte berechnen zu k�onnen� das Einzige� was ben�otigt wird� ist dieIndexdi�erenz zwischen kritischen Punkten� um feststellen zu k�onnen� welche Flu�linien manz�ahlen mu�� Man braucht also nur einen relativen� aber keinen absoluten Index�

��� Conleytheorie� Beispiele und allgemeine Resultate

X sei metrischer Raum� F � X � R � X Flu�� x�t� �� F �x� t�� Wir bezeichnen t � R als Zeit�F�ur y � X setzen wir �y� ��

Tt�R

y����� t��� ��y� ��Tt�R

y��t�����

F�ur N � X sei

I�N� �� fy � N � y�R� � Ngdie Menge derjenigen Punkte von N � die f�ur alle positiven und negativen Zeiten in N verbleiben�N � X hei�t invariant� falls

I�N� � N�

Eine Morsezerlegung einer kompakten invarianten Menge besteht aus endlich vielen disjunkten�kompakten� invarianten Teilmengen Ni von N� i � �� ���� n� den sogenannten Morsemengen� dieeine sogenannte zul�assige Anordnung �N�� N�� ���� Nn� zulassen� f�ur die f�ur alle

y � Nnn�i��

Ni

Indizes i � j mit

�y� � Ni� ��y� � Nj

existieren�F�ur i � j sei

Nij �� fy � N � �y�� ��y� � Ni �Ni�� � ��� �Njg�

In einer zul�assigen Anordnung einer Morsezerlegung kann Nij gegenjS

��iN� ausgetauscht wer�

den� und umgekehrt� um eine andere Morsezerlegung mit einer zul�assigen Anordnung zu erhalten�

Wir betrachten in R� das System von Di�erentialgleichungen

�x � y

�y � �y � x�x� ���x � ��

��

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mit Parametern �� � � R� � � ��Dieses System hat f�ur jedes � genau die Punkte ��� ��� ��� �� und ��� �� als Fixpunkte� Das ge�nauere Verhalten h�angt allerdings von � ab�

Die Linearisierung bei ��� �� ist

�� � ��

�� � �� � ��

Die zugeh�orige Matrix

A� �

�� �� �

hat Eigenwerte ��� ��� �q

��

� �� also einen positiven und einen negativen reellen Eigenwert�

Daher ist ��� �� f�ur alle � ein Sattelpunkt�Die Linearisierung bei ��� �� ist

�� � �

�� � �� � ��� ���

Die zugeh�orige Matrix

A� �

�� �

�� � �

hat Eigenwerte ��� ����q

��

� �� � � F�ur � � � sind diese rein imagin�ar� f�ur �� � ������ reellund von gleichem Vorzeichen� Daher liegt f�ur �� � ������ ein Knoten �Quelle f�ur � � �

p�� ��

Senke f�ur � � ��p�� �� vor� f�ur � � �� � ��� � �� dagegen eine Spirale� Das Verhalten f�ur� � � bedarf noch einer genaueren Analyse� da wir schon gesehen haben� da� im Falle zweierrein imagin�arer Eigenwerte ein nicht hyperbolischer Fixpunkt vorliegt und die Linearisierungein qualitativ anderes Verhalten als das urspr�ungliche System zeigen kann�

Die Linearisierung bei ��� �� ist

�� � �

�� � �� � ���� ���

mit analogem Verhalten wie bei ��� ��� Es liegt also wiederum f�ur alle � ein Sattelpunkt vor�Wir betrachten nun zuerst den Fall � � �� � � �� In diesem Fall gibt es zwei Symmetrien� dieunser System invariant lassen�

��

t� �tx� x

y � �y

��

t� �tx� �� x

y � y�

��

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Man erkennt hieraus unschwer� da� au�er in den Fixpunkten die Bahnen die x�Achse und dieGerade x � � senkrecht schneiden� Zwischen x � � und x � � und f�ur x � � wird die x�Achsevon den Bahnen von unten nach oben durchschnitten� und

der Schnittpunkt mit der x�Achse ist der Punktminimalen x�Wertes auf der Bahn� in den an�deren Bereichen ist es umgekehrt� F�ur y � �wird die Gerade x � � von den Bahnen vonlinks nach rechts durchschnitten� und dieserSchnittpunkt ist ein lokales Maximum f�ur diey�Koordinate� w�ahrend es f�ur y � � sich wie�derum umgekehrt verh�alt�

Aus diesen Tatsachen und Symmetrieargumenten erkennen wir� da� es eine Bahn oberhalb der x�Achse von dem Fixpunkt ��� �� zu dem Fixpunkt ��� �� gibt� und eine Bahn unterhalb der x�Achsevon ��� �� nach ��� ��� �Bahnen� die zwei verschiedene Fixpunkte miteinander verbinden� hei�enheteroklin�� Zwischen diesen beiden Bahnen verlaufen geschlossene Bahnen� die den Fixpunkt��� �� umlaufen� Die au�erhalb liegenden Bahnen sind dagegen unbeschr�ankt�Wir wenden uns nun dem Fall � � �� � � � zu� �Der Fall � � �� � � � � �� zeigt nachVertauschung der Rollen der Fixpunkte ��� �� und ��� �� qualitativ das gleiche Verhalten�� DieSymmetrie �� bleibt hierbei erhalten� nicht aber die Symmetrie ��Aus den beiden heteroklinen Bahnen im Fall � � � entsteht f�ur � � � eine homokline Bahn� dievom Fixpunkt ��� �� ausgehend� die x�Achse zwischen x � � und x � � schneidet und wiedernach ��� �� zur�uckl�auft� Von dieser Bahn werden wieder geschlossene Bahnen eingeschlossen�die um den Fixpunkt ��� �� herumlaufen� was sich aus Symmetriegr�unden ergibt� Die anderenBahnen sind alle unbeschr�ankt�

Bemerkenswert ist� da�� obwohl f�ur � � � wiebemerkt� bei ��� �� ein nicht hyperbolischer Fix�punkt vorliegt� das Verhalten der Bahnen in derN�ahe dieses Fixpunktes qualitativ genauso wiebeim linearisierten System aussieht�

Wir gehen nun zum Fall � � �� � � � �uber� der Fall � � � ist hierzu symmetrisch� Mit wachsen�dem � verschiebt sich der Schnittpunkt der von ��� �� in den ersten Quadranten auslaufendenBahn mit der x�Achse weiter nach rechts� Au�erdem geht die Symmetrie �� verloren� Der Fix�punkt bei ��� �� wird hyperbolisch� und zwar im Falle � � � � �

p�� � eine Spirale� Eine dieser

von ��� �� ausgehenden Spiralkurven l�auft in den Fixpunkt ��� ��� Alle anderen Bahnen sindunbeschr�ankt�

��

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W�achst � nun bis zu einem kristischen Wert ��� so entsteht eine heterokline Bahn von ��� ��nach ��� �� zus�atzlich zu der heteroklinen Bahn von ��� �� nach ��� ��� Alle anderen Bahnen sindwieder unbeschr�ankt�

W�achst � weiter� so erh�alt man schlie�lich je eine heterokline Bahn von ��� �� nach ��� �� undnach ��� ��� Alle anderen Bahnen sind wieder unbeschr�ankt� Im Falle � � � ist dies schon dieSituation f�ur alle � � ��

Im Falle � � �� � � � besteht also die maximale kompakte invariante Menge N aus den beidenheteroklinen Bahnen und der von diesen berandeten Menge� die aus periodischen Bahnen unddem Fixpunkt in der Mitte besteht� Es gibt keine nichttriviale Morsezerlegung von N �Im Falle � � �� � � � besteht ein solches N aus zwei Komponenten N �� N ��� N � enth�alt die homo�kline Bahn zu ��� �� und wie vorher die eingeschlossene Menge periodischer Bahnen einschlie�lichdes Fixpunktes ��� ��� w�ahrend N �� nur den isolierten Fixpunkt ��� �� enth�alt� Nichttriviale Mor�sezerlegungen w�aren N� � N �� N� � N �� oder N� � N ��� N� � N ��Im Falle � � �� � � � � �� besteht N aus der heteroklinen Bahn C von ��� �� nach ��� �� sowie

��

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dem Punkt ��� ��� Die nichttrivialen Morsezerlegungen sind�

N� � fCg� N� � f��� ��gN� � f��� ��g� N� � fCgN� � f��� ��g� N� � f��� ��g� N� � f��� ��gN� � f��� ��g� N� � f��� ��g� N� � f��� ��gN� � f��� ��g� N� � f��� ��g� N� � f��� ��gN� � f��� ��� ��� ��g� N� � f��� ��gN� � f��� ��g� N� � f��� ��� ��� ��g�

Im Falle � � �� � � �� besteht N aus den heteroklinen Bahnen C� von ��� �� nach ��� �� und C�

von ��� �� nach ��� ��� Die nichttrivialen Morsezerlegungen sind�

N� � fC�g� N� � f��� ��gN� � f��� ��g� N� � fC�gN� � f��� ��g� N� � f��� ��g� N� � f��� ��g�

Im Falle � � �� � � �� schlie�lich besteht N aus den beiden heteroklinen Bahnen C�� C� von��� �� nach ��� �� und ��� ��� Die nichttrivialen Morsezerlegungen sind�

N� � f��� ��g� N� � f��� ��g� N� � f��� ��gN� � f��� ��g� N� � f��� ��g� N� � f��� ��gN� � f��� ��g� N� � f��� ��� ��� ��gN� � fC�g� N� � f��� ��gN� � f��� ��g� N� � fC�g�

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Morsezerlegungen

�x � y

�y � �y � x�x� �

���� � x�

a� � � �

�� ���

���

n x�� �

b� � � �� �

�� ���

���

��

��� � �� �

����� � �� �

����� �� � �

c� � � �c

�� ������ � �� �

��n�� �

o

d� �� ���� � �� �

����� � �� �

Eine kompakte Menge N � X hei�t isolierende Umgebung� und I � N hei�t isolierteinvariante Menge� falls

I�N� � o

N �� Inneres von N� �

Anders ausgedr�uckt ist S � X eine isolierte invariante Menge� falls es invariant ist und eineo�ene Umgebung besitzt� deren Abschlu� au�er S keine weiteren invarianten Mengen enth�alt�Ein Paar �M��M�� kompakter Mengen mitM� �M� hei�t Indexpaar f�ur die isolierte invarianteMenge S� falls

�i� M�nM� ist isolierende Umgebung von S mit M� � S � ���ii� Falls y �M�� y�#�� t$� �M�� so ist y�#�� t$� �M��

�iii� Falls y �M� und y�t� �M� f�ur ein t � �� so existiert � � t� � t mit y�#�� t�$� �M�� y�t�� �M��

M� ist die Austrittsmenge aus M� f�ur den Flu�� �ii� bedeutet� da� der Flu� nicht aus M�

nach M� zur�uckkehren kann� und �iii�� da�� falls eine Flu�linie M� verl�a�t� sie durch M� hin�durchf�uhren mu��

Satz� S sei eine isolierte invariante Menge� �N�� ���� Nn� eine zul�assige Anordnung einer Mor�

sezerlegung von S� Dann gibt es eine Morseltrierung� d�h� kompakte Mengen

M� �M� � ��� �Mn

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derart� da� f�ur i � j�Mi���Mj�

stets ein Indexpaar f�ur Nij ist�

Insbesondere ist �M��Mn� ein Indexpaar f�ur S� und �Mi���Mi�ist ein Indexpaar f�ur Ni�

Satz� Falls �M��M��� �M���M

��� Indexpaare f�ur die gleiche isolierte invariante Menge S sind�

so sind M��M�und M �

��M ��homotopie�aquivalent�

Denition� Der Conleyindex der isolierten invarianten Menge S ist de�niert als der Homo�topietyp #M��M�

$� wobei �M��M�� ein beliebiges Indexpaar f�ur S ist�

Satz� M� � M� � ��� � Mn sei eine Morse�ltrierung f�ur die isolierte invariante Menge S�Dann gilt f�ur die relativen Bettizahlen b��Mj���Mj�

nXj��

X�

b��Mj���Mj�t� �

X�

b��M��Mn�t� � �� � t�Q�t�

als Potenzreihe in der Unbestimmten t� wobei Q�t� ein Polynom mit nichtnegativen ganzzahligen

Koe�zienten ist�

Satz� I�� I� seien disjunkte isolierte invariante Mengen�

Dann ist I� q II� eine isolierte invariante Menge� und es gilt

h�I� q I�� � h�I�� � h�I���

��� Einige topologische Begri�e

Die nachfolgende kurze Zusammenfassung dient insbesondere dem n�achsten Abschnitt�

Wir betrachten Paare �X�A�� A � X abgeschlossen� und setzen zur Abk�urzung X � �X� ���

f � �X�A� � �Y�B� sei stetig mit f�A� � B�

Wir de�nieren die Homotopie�aquivalenz�

f� � f� � �X�A� � �Y�B� �� �F � �X�A� � I � �Y�B� �I � #�� �$�

mit F �x� t� � ft�x� f�ur t � �� �

�X�A� � �Y�B� �� �f � �X�A� � �Y�B�� g � �Y�B�� �X�A�

mit f � g � idY � g � f � idX �

�X�x���x� � X� hei�t punktierter Raum� Aus �X�A� erh�alt man den punktierten Raum X�A�indem man alle x � A zu einem Punkt identi�ziert�

�x � y �� x � y oder x� y � A� #A$ � �Aquivalenzklasse eines x � A�

X�A � �X� �� #A$�X�� � �X q p� p�� p � X��

f � �X�A� � �Y�B� induziert #f $ � X�A� Y�B durch #f $#x$ �� #f�x�$��X�A� � �Y�B� X�A � Y�B�X�A steht i�F� f�ur die Homotopieklasse von X�A

��

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�X�x�� � �Y� y�� �� X q Y�fx�� y�g �Zusammenkleben in den

ausgezeichneten Punkten x�� y���

�� �� x�x� x Punkt�A � X hei�t starker Deformationsretrakt von X� falls es eine stetige Funktion r � X� #�� �$� Xgibt mit

r�x� t� � x �x � A

r�x� �� � A �x � X

r�x� �� � x �x � X�

�� Der Conleyindex

In diesem Abschnitt wollen wir einige technische Aspekte des Conleyindex besprechen� und aufdiese Weise k�onnen wir auch unser Instrumentarium zur Behandlung von Beispielen erweitern�Wir wollen spezielle isolierende Mengen konstruieren� die sog� isolierenden Bl�ocke�

Denition� f � X � R � X sei Flu�� S � X hei�t lokaler Schnitt� falls f�ur ein � � � �x� t� ��f�x� t� �� x�t� ein Hom�oomorphismus von S����� �� mit o�enem Bild in X ist� Eine abgeschlos�sene Menge B � X mit nichtleerem Inneren hei�t isolierender Block f�ur f � falls es disjunkte lokaleSchnitte S� gibt� derart� da�

�i� �S�nS�� �B � ��ii� f�S� � ���� ��� �B � f�S� � #�� ��� �B�iii� f�S� � ���� ��� �B � f�S� � ���� �$� �B�iv� F�ur jedes x � �Bn�S� � S�� ex� �� � � mit f�x� #���� ��$� � �B� f�x����� �

S�� f�x� ��� � S�

��

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B

S�

S�

isolierender Block

kein isolierender Block isolierender Block

B sei isolierender Block� Wir setzen

b �� �B

b� �� B � S� � b

� �� bn�b� � b��A� �� fx � B� f�x� t� � B �t � �gA� �� fx � B� f�x� t� � B �t � �gI �� A� �A�A �� A� �A�a� �� A� � b � b��

Lemma� b� b�� A�� A� a�� �� I sind abgeschlossen� a� liegt im Innern von b� bzgl� d� Top� v�

S�� I liegt im Innern von B� I ist eine maximale isolierte invariante Menge in der isolierenden

Umgebung B�

I

A�

A�

S�

S�

��

a�b�

a�b�

b� ist starker Deformationsretrakt von BnA�� b� von BnA�� b�na� ist hom�oomorph zu b�na��Setzt man

��x� �� supft � � � f�x� #�� t$� � S� � �g�

��

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so de�niert

r � BnA� #�� �$ � BnA��x� t� �� f�x� ��x�t�

starke Deformationsretraktion von BnA� auf b�� und r���� bildet b�na� hom�oomorph auf b�na�ab�

Satz� Jede Umgebung einer isolierten invarianten Menge enth�alt einen isolierenden Block f�ur

diese Menge�

Isolierende Bl�ocke k�onnen durch die folgenden beiden Prozesse verkleinert werden�

��� U sei o�ene Umgebung von a� in b�� Y �� b�nU � F�ur y � B sei ��y�B� �� Komponentevon f�y�R� �B� die y enth�alt� B� �� Bn S

y�Y��y�B� ist dann ebenfalls isolierender Block�

mit b�� � U �

��������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������

� ��

b�

b��� �z �

� �z �

a�

���

��� Es sei T � infx�B

fj��x�B�j � �� L�ange des max� Intervalls I � R mit � � I� f�x� I� � B�g�B� �� Bnf�b�� #�� T ��

���������������������������������������������

���������������������������������������������

�����

�����

�����

�����

Lemma� B�� B� seien isolierende Bl�ocke f�ur T �

Dann ist B��b�� � B��b

�� �

�Homotopie�aquivalenz

��

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Denition� Conleyindex von I �� #B�b�$ �Homotopieklasse von B�b�� B isolierende Umgebungvon I��

Satz� I�� I� seien disjunkte isolierte invariante Mengen

I �� I� q I� isolierte invariante Menge�

h�I� q I�� � h�I�� � h�I���

Satz� N sei isolierende Umgebung der isolierten invarianten Menge I�Gilt h�I� � ��� so ist I � �� d�h� N enth�alt eine vollst�andige Bahn des Flusses�

Beweis� h��� � �� �

Satz� B isolierender Block �B� b�� Indexpaar�

Satz� �M��M�� und �M ���M

��� seien Indexpaare f�ur die isolierte invariante Menge I� Dann ist

M��M� �M ���M

���

Korollar� H��M��M�� �� H��M ���M

��� �

Z � Y � X seien kompakte R�aume� Dann gibt es die lange exakte Kohomologiesequenz

�� H��X�Y �� H��X�Z� � H��Y�Z�

�� H��X�Y �� H��X�Z� � H��Y�Z�

�� H��X�Y �� ��

Alle Kohomologiengruppen seien endlich erzeugt� Wir setzen

bj�X�Y � � � rk Hj�X�Y �

�j�X�Y�Z� �� rk �Bild �j�

Lemma� � � A�a�� A�

a�� A� � ��� sei exakte Sequenz von linearen Abbildungen zwischen

Vektorr�aumen� �k � N rk A� � rk A� � rk A� � ���� ����k rk A� ����krk �Bild �k� � �

Beweis� � � V �W linear rk V � rk �ker �� � rk �Bild ���

Exaktheit rk �ker aj� � rk �Bild aj��� rkAj � rk �Bild aj��� � rk �Bild aj�mit rkA� � rk �Bild a�� folgt Beh�Lemma�

mPj��

����j�bj�X�Y �� bj�X�Z� � bj�Y�Z��� ����m�m�X�Y�Z� � �

����m���m���X�Y�Z������m�m�X�Y�Z� � ����mbm�X�Y � ��������mbm�X�Z�� ����mbm�Y�Z�

��

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P �t�X� Y � � �Xm��

bm�X�Y �tm

Q�t�X� Y� Z� � �Xm��

�m�X�Y�Z�tm

Multiplikation von ��� mit ����mtm u� Summation�

Q�t�X� Y� Z� � �tQ�t�X� Y� Z� � P �t�X� Y �� P �t� Y� Z� � P �t� Y� Z� ����

Satz� Mn � Mn�� � ��� � M� � M� sei Filtrierung von M�� z�B� Morse�ltrierung der Morse�

zerlegung �N�� ���� Nn�der isolierten invarianten Menge I

nX

j��

P �t�Mj���Mj� � P �t�M��Mn� � �� � t�Q�t�

mit Q�t� �n��Pj��

Q�t�Mj���Mj �Mn�

Polynom in t mit nichtnegativen ganzzahligen Koe�zienten�

Beweis� ���� f�ur Mj�� �Mj �Mn� j � �� ���� n� � P �t�Mj���Mj� � P �t�Mj �Mn� � P �t�Mj���Mn� � �� � t�Q�t�Mj���Mj �Mn��Summation �uber j ergibt die Behauptung� �

Wir setzen nun

P �t� h�I�� �� P �t�M��M���

falls �M��M�� Indexpaar f�ur die isolierte invariante Menge I ist�

Korollar� I isolierte invariante Menge� �N�� ���� Nn� zul�assige Anordnung einer Morsezerlegung

von I

nP

j��P �t� h�Nj�� � P �t� h�I�� � �� � t�Q�t��

Q�t� Polynom mit Koe�zienten aus N� �

�x � �rf�x�� f habe nur isolierte kritische Punkte p�� ���� pn auf der kompakten Mf� M �Ni � fpig bilden Morsezerlegung �noch nicht notwendig in zul�assiger Anordnung��F�ur x � M ist entweder x�t� x oder f�x�t�� � f�x� f�ur t � �� Im ersten Fall ist f konstantauf �x�� ��x� und �x�� ��x� erf�ullen dann rf�y� � ��Also ist entweder rf�x� � � oder f���x�� � f��x���Eine derartige Anordnung� da� f�pi� � f�pj� f�ur i � j� ist zul�assig�Nach dem Morselemma ist der Flu� in der Umgebung eines nicht entarteten kritischen Punktesin lokalen Koordinaten x � Rd gegeben durch

�x� � A�x� � g��x�

�x� � A�x� � g��x�

mit g���� � g����� � �

jg�j� jg��j � �

��

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f�ur jxj � �� wobei � beliebig klein bei geeigneter Koordinatenwahl ist� und es ist f�ur

x ��x�� x�� � Rd� � Rd� � Rd

hx�� A�x�i � ��jx�j�hx�� A�x�i � �jx�j� f�ur ein � � ��

Es sei Q �� fx � Rd � jx�j � �g�F�ur x � �Q jx�j � � oder jx�j � ��

F�ur x � Q� jx�j � jx�j d

dtjx�j� � �hx�� A�x� � g��x�i � ��jx�j�

f�ur �� � ��

F�ur x � Q� jx�j � jx�j d

dtjx�j� � �jx�j��

M� � Q� M� � fx � Q� jx�j � �g bildet daher Indexpaar�

und es ist P �t� h�pi�� � td�i

sowie �M��M�� � �Dd�i � �Dd�i ��

�M� �� ist Indexpaar f�ur M� und es folgt aus der allgemeinen Theorie mit

P �t� h�M�� �dX

j��

bj�M�tj

nXi��

td�i �

dXj��

bj�M�tj � �� � t�Q�t�

mj �� !fkrit� Punkte pi mit d�i � jg � bj�M��

Bemerkung� X sei kompakt� � X � R stetig� Wir setzenX� �� fx � X � �x� � �g f�ur � � R��� �� max

x�X �x� � �� � ��� � �n f�ur reelle Zahlen ��� ���� �n�

Mi �� X�i �Mi � � f�ur �i � minx�X

�x���

Dann ist X � M� �M� � ��� �Mn Filtrierung von X durch Subniveaumengen von �

nXj��

Xm��

bm�Mj���Mj�tm �

Xm��

bm�M��Mn�tm � �� � t�Q�t�

Dies ist eine Lokalisierung im Bilde� Um auch im Urbild X zu lokalisieren� wie z�B� in derMorsetheorie� benutzt man einen Flu�� Allerdings l�a�t sich auch ohne Zuhilfenahme eines Flussesde�nieren� was ein kritischer Punkt einer stetigen Funktion � X � R ist� und sogar eine Artvon Index eines solchen kritischen Punktes�x� � X ist nicht kritisch f�ur genau dann� wenn eine Umgebung U von x� in X existiert miteiner stetigen Abbildung

% � U � #�� �$ � X

mit

�%�x� t�� monoton fallend in t � #�� �$ f�ur alle x � U

�%�x� ��� � �x�� f�ur alle x � U�

Um den Index eines kritischen Punktes x� von zu de�nieren� setzen wir

X��x�� �� fx � X � �x� � �x��g�

��

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Der Index ist dann der Homotopietyp von

�X��x�� � fx�g��X��x��

�� Kohomologischer Conleyindex

I isolierte invariante Menge� �M��M�� IndexpaarCH��I� �� H��M��M�� �Koe�zienten in Z oder Z� �

Beispiele�

�� I � � CH���� � �

�� I hyperbolischer Fixpunkt mit instabiler Mannigfaltigkeit der Dimension n

CHk�I� �

�Z f�ur k � n

� sonst

Satz� McCord� CH��Inv �N�� � Z Inv�N� enth�alt Fixpunkt�

�a� n � � �

M� Morseindex �

�b� n � �

M� � � Morseindex �

��

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aber

��

anziehende periodische Bahn und hyperbolischer Fix�punkt von Index �

CHk�I� �

�Z f�ur k � �

� sonst

gleicher Conleyindex wie in �b�� aberanderer Index des Fixpunktes

In diesem Falle ist eine feinere Aufspaltung m�oglich�

I� � periodische Bahn � CH��I�� � H��S�� �

�Z f�ur k � �� �

� sonst

I� � Fixpunkt � CH��I�� � H��S��Pkt���

�Z f�ur k � �

� sonst

�� instabile periodische Bahn�

rot� M�

CHk�I�

�Z f�ur k � �� �

� sonst

�� I sei invariante Menge� welche normal hyperbolisch f�ur einen di�erenzierbaren Flu� f ist�d�h� die Linearisierung habe keinen zu I transversalen Eigenvektor zu einem Eigenwert mitRealteil �� Die lokale instabile Mannigfaltigkeit ist dann homotop zu einem Vektorb�undel�Dieses sei vom Rang n und orientierbar� Dann gilt nach dem Isomorphiesatz von Thom�

CHk�I� � Hk�n�I�

Korollar� I sei hyperbolische periodische Bahn mit einer orientierten instabilen Mf� der

Dimension n� �� Dann ist

CHk�I� �

�Z f�ur k � n� n� �

� sonst�

Dies umfa�t die periodischen Bahnen in den Beispielen ��� ��

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�� Umgekehrt impliziert jedoch ein Conleyindex wie im Korollar noch nicht die Existenz einerperiodischen Bahn�Beispiel�

rot� M��� Fixpunkte �Index � bzw� �� mit �heteroklinen Bahnen

�� hyperbolische periodische Bahn mit zweidimensionaler lokaler instabiler Mannigfaltigkeit�welche hom�oomorph zu einem M�obiusband� also nicht orientierbar ist�

Durch Zusammenziehen des Randes eines M�obiusbandes zu einem Punkt erh�alt man �RP� �Pkt��

CHk�I�Z�� �

�Z� f�ur k � �� �

� sonst�

Allgemeine Beispiele lassen sich durch den Thom�Isomorphismus mit Z��Koe�zienten ver�stehen�

��� Fortsetzungseigenschaft des Conleyindex�

f� � X � R � X Familie von Fl�ussen�stetig in � � � � kompakter� lokal zusammenziehbarer� zusammenh�angender metrischer Raummit Metrik d��� ���

Lemma� N sei isolierende Umgebung f�ur f�� ��� � �� �� � � �� � � mit d��� ��� � � � N isolierende Umgebung f�ur f��

Dies gilt nicht mehr f�ur Indexpaare�

Satz� Vor� wie in Lemma

h�Inv��N�� � h�Inv���N���Inv��N� �� invariante Menge von N bzgl� des Flusses f��

F � X � �� R � X � � ist Flu� auf X � � und hei�t

�x� �� t� �� �f��x� t�� �� parametrisierter Flu�

N � X � �� N� �� N � �X � f�g�

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Denition� �i � �� i � �� �� Ii isolierte invariante Menge f�ur f�i �I� und I� sind durch Fortsetzung verbunden� falls eine isolierende Umgebung N � X � � desparametrisierten Flusses mit Inv�i�N�i� � Ii �i � �� �� existiert �invariante Menge von N�i

bzgl� f�i�

Satz� Falls I� und I� durch Fortsetzung verbunden sind� gilt h�I�� � h�I���

Allgemeinere Formulierung�

X kompakter metrischer Raum� Auf den Raum % der Fl�usse � X � R � X sei die kompakt�o�ene Topologie gegeben� d�h�

n � �� n konvergiert gleichm�a�ig auf kompakten Mengen

in X � R gegen �

% ist in dieser Topologie vollst�andig�

N � X sei abgeschlossen mito

N � ��U�N� �� ff � % � N ist isolierende Umgebung f�ur fgU�N� ist o�en in % �s� Lemma�A�X� �� fV � X�V abgeschlossengS �� f�f� I� � I ist isolierte invariante Menge f�ur f � %g� %�A�x�

N � X abgeschlossen�o

N � ��

�N � U�N�� S

f �� �f� If �� If maximale invariante Teilmenge von N bzgl� f

Projektion �� � S� %

�� � �N � id � U�N�� U�N�

S trage nun die durch die Menge �N �U�� U � U�N� o�en� erzeugte Topologie�

Satz� �� � S� % ist lokaler Hom�oomorphismus� d�h� �S�%� �� ist Garbe�

Satz� �f�� I�� und �f�� I�� m�ogen in der gleichen Komponente von S liegen� Dann stimmen die

entsprechenden Conleyindices �uberein�

��� Der diskrete Conleyindex

Wir betrachten eine stetige Abbildung f � X � X eines topologischen Raumes X�F�ur ein Intervall J � Z� i�e� eine Menge der Form J � fm�m��� ����M ���Mg�m�M � Z� hei�t

� � J � X

eine L�osung von f � falls��n� � f���n� ����

sofern n� �� n � J � Ist � � J und ���� � x� so hei�t � L�osung durch den Punkt x�F�ur N � X setzen wir

I��N� �� fx � X � fn�x� � N f�ur alle n � �g �vorw�artige invariante Menge�

I��N� �� fx � X � � L�osung � � fn � �g � X mit ���� � xg�r�uckw�artige invariante Menge�

I�N� �� I��N� � I��N� �invariante Menge�

��

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Falls f � X � X ein Hom�oomorphismus ist� so ist

I�N� � fy � X � fn�y� � N �n � ZgEin kompaktes N � X hei�t isolierende Umgebung� undI�N� isolierte invariante Menge� falls

I�N� � o

N �

M � N hei�t positiv invariant bzgl� N � falls

f�M� �N �M�

Beispiele�

f � R� � R�

�x� y� �� ��x��

�y�

����������������

����������������

����������������

����������������

M� � Boxschra�ert� M�

� ist isolierter invarianter Punkt

Hk�M��M�� �

�Z f�ur k � �

� sonst

����������������

����������������

����������������

����������������

M �� � beide Boxen

M �� schra�ert

Hk�M ���M

��� �

�Z f�ur k � �� �

� sonst

Im diskreten Fall h�angt die Kohomologie eines Indexpaares f�ur eine isolierte invariante Mengealso von der Wahl dieses Indexpaares ab� Daher ist eine Verfeinerung der Konstruktion erfor�derlich�Ein Paar �M��M�� von kompakten Teilmengen M� � M� � N der isolierenden Umgebung derisolierten invarianten Menge I�� I�N�� hei�t Indexpaar von I in N �bzgl� f�� falls

�i� I liegt im Innern von M�nM�

�ii� M� und M� sind positiv invariant bzgl� N

�iii� M�nM�� f�M�nM�� �o

N

��

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Ist also x �M�� so ist entweder x �M�nM� oder x �M�n�M�nM���

Im ersten Fall ist f�x� � o

N nach �iii� und damit f�x� � M� nach �ii�� Also kann f�x� nur imzweiten Fall au�erhalb von M� liegen� Insbesondere gilt� Ist x � M�� f�x� �M� � so ist x �M�

�Anders formuliert� f�M�nM�� � M��� Ist nun x � M�� so ist nach �ii� entweder f�x� � M�

oder f�x� au�erhalb von N und damit auch au�erhalb von M�� In diesem Sinne kann M� alsAustrittsmenge angesehen werden�

Die isolierende Umgebung N der isolierten invarianten Menge I wird bei diesen Konstruktionenals gegeben angesehen� Es l�a�t sich dann die Existenz von Indexpaaren von I in N bzgl� f zeigen�

Wir haben die Inklusionf�M��n�M� � f�M��� � f�M���

denn f�ur ein Indexpaar ist f�M�nM�� �M�� Also ist M��f�M�� � M��f�M��� Daher erhaltenwir durch Ausschneidung von f�M�� einen Isomorphismus

r � H��M� � f�M��� M� � f�M���� H��M��M���

in der Alexander�Spanier�Kohomologie�Au�erdem induziert

f � �M��M��� �M� � f�M���M� � f�M���

eine Abbildungf� � H��M� � f�M���M� � f�M���� H��M��M���

Wir de�nieren dann die Indexabbildung zu dem Indexpaar �M��M�� als

f�M��M��� f� � r�� � H��M��M��� H��M��M���

Es sei V ein graduierter Vektorraum mit einem Endomorphismus f � V � V � der die Graduie�rung erh�alt �also Grad f � ��Wir setzen

g ker�f� �� �ff�n��� � n � Ngg im�f� �� �ffn�V � � n � Ng

f induziert dann einen Monomorphismus

f � � V�g ker�f� � V�g ker�f��

Ein Monomorphismus f � V � V induziert einen Isomorphismus

f �� � g im�f�� g im�f��

Die Leray�Reduktion eines Endomorphismus f � V � V ist dann

Lf �� �f ���� � LV � LV

�LV � g im�f ���I sei isolierte invariante Menge mit Indexpaar �M��M��� Der zugeh�orige kohomologische Con�leyindex von I ist dann de�niert als

CH��I� �� CH��M��M�� �� �LH��M��M��� Lf�M��M�

Da� der Index einer isolierten invarianten Menge I wohlde�niert ist� folgt aus dem nachfolgenden

��

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Satz� I sei isolierte invariante Menge f�ur die stetige Abbildung f � X � X

i� Dann existiert ein Indexpaar �M��M�� f�ur I�

ii� Der kohomologische Conleyindex CH��M��M�� h�angt nicht von der Wahl dieses Index�paares ab�

Falls f die Zeit���Abbildung eines Flusses ist� so l�a�t sich zu einer isolierten invarianten Mengedes Flusses ein Indexpaar �M��M�� konstruieren� welches auch ein Indexpaar f�ur f ist und f�urwelches die obigen Abbildungen r� f� � H��M��f�M���M��f�M���� H��M��M�� zueinanderhomotop sind und folglich f�M��M�

die Identit�at ist� Daher kann der kohomologische Conleyindexf�ur den Flu� mit dem Conleyindex bzgl� der Zeit���Abbildung identi�ziert werden�

Beispiele�

�� Die Hufeisenabbildung von S� Smale�

������������������������������������

������������������������������������

��������

������������

������������

���������

���������

���������

���������

������

������

��������

������������

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���������

���������

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������������

������������

������������

���������

���������

���������

���������

���������

���������

���������

���������

���������

���������

B

f�D�f�A�

A

f�B�f�C�

CD

� f���

� f���

M� � Quadrat ABCDM� � schra�erter Bereich von M�

f�M�� � Hufeisenf�M�� � rot schra�erter Bereich

M�M� � H� � �

H� � Z�

f�M��M�� H��M��M��� H��M��M��

�� � �� �� �� � �f�M��M�

�� � � CH��M��M�� � ��� ��

��

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�� G�Hufeisenabbildung

����������������

����������������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

M��M�� f�M��� f�M�� analog wie in���aber jetzt ist

f�M��M�� H��M��M��� H��M��M��

�� � �

� �� � ��

also �f�M��M��� � �f�M��M�

und CH��M��M��Q� � �Q � �id� �Mit Koe�zienten in Z w�areder Conleyindex wieder � � da � id � Z� Z kein Isomorphismus ist��

��

������������

������

��������������

��������

������������

������������

������������

������������

������������

������������

������������

������������

��������

��������

��������

��������

������������

������������

������������

������������

��������

��������

������������

������������

������������

������������

������������

��������

��������

��������

��������

��������

������������

��������

��������

��������

��������

������������

��������

��������

��������

������������

����������������������������������������

����������������������������������������

������������������������

������������������������

M��M�� f�M��� f�M�� analog wie in ��

f�M��M�� H��M��M��� H��M��M��

�� � � � �

� �� �� � � �

� �� � � � �

CH��M��M��Q� � �Q � id�

��

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� Entropie� Information und Komplexit�at

��� W�R�aume �Wahrscheinlichkeitsr�aume�

Dieser Abschnitt stellt einige technische Grundlagen f�ur das Folgende zusammen�

X sei eine Menge� Eine ��Algebra von Teilmengen von X ist eine Menge B von Teilmengen vonX mit�

�i� X � B�ii� ist B � B� so auch XnB�iii� ist Bn � B f�ur alle n � N� so auch

Sn�N

Bn�

Aus diesen Eigenschaften folgt auch�

�iv� � � B

�v� sind B�� ���� Bm � B� so auchmTj��

Bj�

�X�B� wird dann als me�barer Raum bezeichnet�Ein Wahrscheinlichkeitsma� �W�Ma�� auf �X�B� ist eine Funktion

� � B � #�� �$

mit�

�i� ��Sn�N

Bn� �Pn�N

��Bn�� falls Bi�Bj � � f�ur alle i � j� d�h� wenn die Mengen Bn paarweise

disjunkt sind

�ii� ��X� � � �

Aus �i� folgt auch�

�iii� ���� � � �

��� Ergodizit�at

Allgemeine Voraussetzung�

T � X � X sei eine ma�treue Transformation eines Wahrscheinlichkeitsraumes �X�B� ��� d�h�f�ur alle E � B ist T��E � B und ��T��E� � ��E��Dann gilt der

Poincar�esche Wiederkehrsatz�

Es sei E � B mit ��E� � �� Dann bilden die Iterierten �T n�n�N fast jedes x � E unendlich oft

nach E ab�

Beweis� F �� E ��T

N��

�Sn�N

T�nE � E�

��

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F�ur jedes x � F existieren beliebig gro�e m � N mit Tmx � E� und die Iterierten von T bildendaher ein solches x beliebig oft nach E ab�

Da T����S

n�N

T�nE� ��S

n�N��

T�nE ��S

n�N

T�nE und ma�treu ist� folgt

���n��

T�nE

�� �

���

n�N

t�nE

�f�ur alle N

� �

���

N��

��n�N

T��E

und wegen E ��Sn��

T�nE daher

��F � � ��E��

q�e�d�

Ist T��E � E f�ur ein E � B� so ist auch T���XnE� � XnE� und das dynamische Verhalten vonT auf X l�a�t sich daher reduzieren auf dasjenige von T auf den beiden Teilmengen E und XnE�Falls � � ��E� � ��X��� ��� vereinfacht dies die Situation� w�ahrend man im Falle ��E� � �oder ��E� � � die Nullmenge E bzw� XnE weglassen kann� ohne im ma�theoretischen Sinneetwas am Verhalten von T zu �andern�

Denition� T hei�t ergodisch� falls f�ur jedes E � B mit T��E � E entweder ��E� � � oder��E� � � ist�

Satz� T ist genau dann ergodisch� wenn jedes f � L���� mit f�Tx� � f�x� f�ur fast alle x � Xfast �uberall� konstant ist�

Beweis�� � Durch Betrachtung der Mengen

E�k� n� �� fx � X � ��nk � f�x� � ��n�k � ��g �k � Z� n � N��Diese Mengen bleiben bis auf Nullmengen unter T invariant� falls f�Tx� � f�x� f�ur fast allex� und daher ist ihr Ma� entweder � oder �� Da f�ur festes n � N X die disjunkte Vereinigungder Mengen E�k� n�� k � Z� ist� hat genau eine von ihnen das Ma� �� f�ur k � k�n�� E ��Tn�N

E�k�n�� n� hat dann ebenfalls Ma� �� und f ist konstant auf E� somit fast �uberall auf X�

�� � Es gelte T��E � E f�ur ein E � B� Dann ist die charakteristische Funktion �E aus L����

und �E�Tx� � �E�x� f�ur alle x � X� somit �E � const� und daher �E � � oder �� Daher ist��E� �

R�Ed� � � oder ��

q�e�d�Beispiele�

�� S� � fjzj � �g � C mit dem Lebesgue��� Hausdor� � Haar��Ma�

T � S� � S�

z �� a � z f�ur a � S�

ist genau dann ergodisch� wenn a keine Einheitswurzel ist�

�� Bernoullishift

Y �� f�� �� ���� � � �g��� Zustandsraum��

�p�� ���� p���� mit pi � � �i und���Pi��

pi � �� liefert W�Ma� p auf Y �

��

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X �� Y Z �� Raum der zweiseitigen Folgen mit Werten in Y �� B erzeugt von Mengen derForm A � f�xn�n�Z � xm � Y f�ur m � n� oder m � n�� xn� � An�xn��� � An���� ���� xn� �An�g� nn�� � Ai � Y� mit durch p bestimmtem Produktma� � � also

�fx � xi� � j�� ���xik � jkg � pj�pj� ��� � pjk �ji � Y �i�Shift � � X � X

�xn�n�Z �� �yn�n�Z mit yn � xn��

ist dann ma�treu auf X�

Beh� � ist ergodisch

Beweis� Es sei E � B mit ���E � E� Zu � � � �nden wir dann A der oben beschriebenenForm mit ��E�A� � �� Daher

j��E�� ��A�j � ��

A wie oben� n� � n� � n�� B � ��n�A� Dann ist ��B� � ��A� und

��B �A� � ��B���A� � ��A���

Wegen ��E � E ist

��E�B� � ����n�E���n�A� � ��E�A�Daher auch ��E��A �B�� � �� und

j��E�� ��A �B�j � ��

und

j��E�� ��E��j � j��E�� ��A �B�j� j��A �B�� ��E��j� ��� j��A�� � ��E��j� ��� ��A�j��A� � ��E�j� ��E�j��A� � ��E�j� ��

��E� � ��E�� ��E� � � oder ��

q�e�d�

�� Markovshift�

X � Y Z und � wie in ��� aber anderes invariantes Ma��

A � �aij�i�j�������n�� mit aij � � �i�j�n��Pj��

aij � � f�ur alle i�

Dann ex�

p � �p�� ���� pn��� mit pi � � �i�n��Pi��

pi � � �

pA � p� d�h�n��Pi��

piaij � pj �j��

�Afx � xi � j�� xi�� � j�� ���� xi�k � jkg �� pj�aj�j� ���ajk��jk

�pj� gibt die Wahrscheinlichkeit des Symbols j� und aj�j���die �Ubergangswahrscheinlich�

keit vom Symbol j� zum Symbol j��� an��

��

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�A l�a�t sich zu W�Ma� auf �X�B� fortsetzen�� l�a�t �A invariant und hei�t �p�A��Markovshift�

��� ist Spezialfall von �� mit aij � pj f�ur alle i� j�

� ist auf �X�B� �A� ergodisch� A ist irreduzibel� d�h� �i� j �m � N mit a�m�ij � � �Am �

�a�m�ij � f�ur m � N��

Satz� Birkho�scher Ergodensatz

f � L�����

�n

n��Pi��

f�T ix� konvergiert f�ur f� a� x zu einem f� � L����� mit f� �T � f� f� �u� undRf�d� �R

fd��Ist T ergodisch� so ist f� konstant f� �u� und daher

f� �

Zfd� f� �u�

Anders formuliert Ist T ergodisch� so gilt f�ur alle f � L����

limn��

n

n��Xi��

f�T ix� �

Zfd� f�ur f� a� x

Analog gilt f�ur einen ergodischen kontinuierlichen Semi�� Flu� �Tt�t��

limT��

T

TZ�

�Ttx�dt �

ZX

fd� f�ur f� a� x zeitliches � r�aumliches Mittel��

Satz� Von�Neumannscher Ergodensatz

f � Lp���� � � p �� �f� � Lp���� f� � T � f���

n

n��Xi��

f�T ix�� f� in Lp���

Korollar� T ergodisch � �A�B � B

limn��

n

n��Xi��

��T�iA �B� � ��A���B�

Beweis�� � f � �A im Birkho�schen Ergodensatz

n

n��Xi��

�A�Tix�� ��A� f� �u�

n

n��Xi��

�A�Tix��B � ��A��B f� �u�

n

n��Xi��

��T�iA �B�� ��A���B� �Satz �uber dominierte Konvergenz�

�� � Es sei T��E � E f�ur ein E � B�

A �� B �� E �n

n��Pi��

��E�� ��E��

��E� � ��E�� ��E� � � oder �� q�e�d�

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Denition� �i� T hei�t schwach mischend

�� �A�B � B � limn��

n

n��Xi��

j��T�iA �B�� ��A���B�j � �

�ii� T hei�t stark mischend

�� �A�B � B � limn��

��T�nA �B� � ��A���B��

stark mischend schwach mischend ergodisch�

Umkehrungen gelten i� a� nicht�

Beispiel Drehung von S� um den Faktor a ist ergodisch� falls a keine Einheitswurzel ist �s�o���aber nicht schwach mischend� da f�ur gen�ugend kleine Intervalle A�B f�ur die meisten i T�iA�B ��� also ��T�iA �B� � �� ��A���B� � ��

��� Isomorphie und Konjugation�

Allgemeine Voraussetzung� �Xi�Bi� �i� W�R�aume � Ti � Xi � Xi ma�treu� i � �� �

Denition� �i� T� und T� hei�en isomorph� wenn Mi � Bi mit

�i�Mi� � � und Ti�Mi� �Mi f�ur i � �� �

sowie ein invertierbares� ma�treues

� M� �M�

mit

T�x � T� x f�ur alle x �M�

existieren�

�ii� Falls nicht notwendig invertierbar ist� hei�t T� Faktor von T���Beispiel� S� T ma�treu S Faktor von S � T �A�B � B hei�en ma��aquivalent� falls ��A�B� � �� Der Raum &B der �Aquivalenzklassen bildetBorelsche ��Algebra mit induziertem Ma� &� �&�� &B� � ��B���� &B� &�� hei�t Ma�algebra�Eine ma�treue Abbildung � � X� � X� induziert einen Homomorphismus von Ma�algebren

&��� � � &B�� &���� � &B�� &���&B ������B

Denition� T� und T� hei�en konjugiert� wenn ein Ma�algebren�Isomorphismus

% � � &B�� &���� � &B�� &���mit

% &T��� � &T��� % existiert�

Wenn % nur als Homomorphismus vorausgesetzt wird� hei�t T� semikonjugiertes Bild von T��

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��� Entropie und Information

Allgemeine Voraussetzungen� �X�B� �� W�Raum� T � X � X ma�treu � fA�� ���� Ang Zerlegung von X�d�h� ��Ai� � � �i� Ai �Aj � � f�ur i � j�

��XnnSi��

Ai� � �

Entropie von

H�� �� �nPi��

��Ai� log� ��Ai�

� fA�� ���� Ang� � � fB�� ���� Bmg Zerlegungen von X�

� Zerlegung � � �� fAi �Bj � i � �� ���� n� j � �� ����mg

Entropie von T bzgl� �

h�� T � �� h��� T � �� limk��

kH� � T�� � ���T�k���

Die Existenz dieses Limes folgt aus

��

H� � �� ��Xi�j

��Ai �Bj� log� ��Ai �Bj�

��Xi

��Ai�Xj

��Ai �Bj�

��Ai�log�

��Ai �Bj�

��Ai�

�Xi�j

��Ai �Bj� log� ��Ai�

��Xj

Xi

��Ai���Ai �Bj�

��Ai�log�

��Ai �Bj�

��Ai�

�Xi

��Ai� log� ��Ai�� daXj

��Ai �Bj� � ��Ai�

��Xj

�Xi

��Ai �Bj�� log��Xi

��Ai �Bj��

�H���

da die Funktion �x log x konkav ist� also

�Pi

aixi log xi � ��Pi

aixi� log�Pi

aixi� f�urP

ai � ��

� � ai � �

f�ur alle i

� H��� �H��� daXi

��Ai �Bj� � ��Bi�

�Subadditivi�at�

und

�� H�T��� � H�� f�ur ma�treues T �

also

��

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��

H� � T�� � ���T��k������ � H� � ��� � T�k����H� � ��� � T�����

F�ur �k �� H� � ���T�k��� gilt also

�k�� � �k � �� f�ur k� � � N

und somit f�ur festes i � N und n � �i� j mit � � j � i

�nn� �j�i

���i�i

� �j�i

��ii�

alsolimn��

�nn� �i

i�

und daherlimn��

�nn� inf

i

�ii� lim

n��

�nn�

also die Existenz des Limes�

Entropie von T �h�T � �� h��T � �� sup

�h�� T ��

Die Entropie von T ist Isomorphie� und Konjugationsinvariante von T � Ist T� Faktor von T�� soist h�T�� � h�T��� da man aus jeder Zerlegung von X� dann eine von gleicher Entropie in X�

erzeugen kann�

Der Zusammenhang dieses Konzeptes mit der Informationstheorie ist der folgende�p�dx� sei eine Wahrscheinlichkeitsdichte daf�ur� ein Teilchen im Punkt x � X zu �nden� B seidie ��Algebra der bzgl� p�dx� me�baren Mengen� und f�ur A � B ist dann

��A� ��

ZA

p�dx��

Die Entropie ist hier

H�X� p� � �Zp�dx� log� p�x�

Im diskreten Fall werden nat�urlich Integrale durch Summen ersetzt�Falls X � f�� ���� �g und p�i� � �

� f�ur alle i � X ist� so haben wir

H�X� p� � ��X

i��

p�i� log� p�i� � log� � ��

und dies bringt gerade die Tatsache zum Ausdruck� da� man zur Beschreibung der Elementeaus X als Bin�arzahlen � Zi�ern� d�h� � Bits� ben�otigt�

Falls jedoch beispielsweise

p��� ��

�� p��� �

�� p��� �

� p��� �

��� p��� � ��� p��� �

���

��

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so ist

H�X� p� � ��

�log�

�� �

�log�

�� �

log�

� �

��log�

��� �

��log�

��� ��

Wir k�onnen die Elemente aus X z�B� durch die Bin�arketten�� ��� ���� ����� ������� ������� ������� ������ beschreiben� und die durchschnittliche �bzgl� p�L�ange dieser Ketten ist ��Im Vergleich mit der gleichm�a�igen Verteilung hat also die jetzige Verteilung eine kleinere Entro�pie�H�X� p� dr�uckt also die durchschnittliche Information aus� die wir durch Messung von x gewin�nen�Ebenso dr�uckt H�� die durchschnittliche Information aus� die wir gewinnen� wenn wir messen�in welcher der Mengen Ai sich das Teilchen x be�ndet� Wir verzichten also auf die genaueInformation von x und behalten nur noch die Information �uber diejenige Menge Ai � � die xenth�alt�Nat�urlich ist dann die Information� also die Entropie� umso geringer� je gr�ober die Zerlegung ist�Wenn wir nun eine ma�treue Transformation T � X � X haben und nicht nur messen� in welcherMenge Ai � sich x be�ndet� sondern auch� in welcher Menge Ai � sich Tx be�ndet� d�h�in welchem T��Aj � T�� sich be�ndet� so erhalten wir dadurch insgesamt eine genauereInformation �uber x� Wir wollen jedoch nur diejenige Information messen� die wir zus�atzlichgewinnen� wenn wir schon wissen� in welchem Ai sich x be�ndet und dann feststellen� in welchemAj sich Tx be�ndet� und dies ist

�H� � T����

Die asymptotische zus�atzliche Information� die wir bekommen� wenn wir schon wissen� in wel�cher Menge aus sich x� Tx� ���� T k��x be�nden und dann feststellen� wo sich T kx be�ndet� istdann genau die Entropie von T bzgl� � Die Entropie von T entsteht dann� indem wir die Zerle�gung so w�ahlen� da� wir aus diesen Messungen asymptotisch die maximal m�oglich Informationerhalten�

Nach dem Vorstehenden ist die folgende Bemerkung wohl o�ensichtlich und vielleicht sogar �uber���ussig�

Ein entscheidender Punkt bei der De�nition von h�T � ist� da� wir erst den Grenzwert k � �und erst danach das Supremum �uber alle Zerlegungen bilden� W�urden wir n�amlich zuerst dasSupremum von H�� �uber alle bilden� so w�urden wir im kontinuierlichen Fall immer � alsResultat erhalten� denn die gewonnene Information k�onnte dann durch fortgesetzte Verfeinerungder Zerlegung beliebig vergr�o�ert werden� Ein wesentlicher Gedanke des Entropiebegri�s undder Gehalt des unterstehenden Satzes von Kolmogorov�Sinai ist nun� da� durch Anwendung desdynamischen Systems� d�h� durch Iteration der Abbildung T � eine gegebene Zerlegung derartverfeinert wird� da� man asymptotisch s�amtliche verf�ugbare Information gewinnen kann� DasErgebnis bleibt �in den interessanten F�allen� im Limes endlich� weil man durch die Anzahl k derBeobachtungen oder Iterationen teilt�Da� man den Logarithmus zur Basis � in der De�nition der Entropie w�ahlt� hat die Norma�lisierung zur Folge� da� die Entropie � � wird� wenn sich asymptotisch in jedem Schritt dieBeobachtungsgenauigkeit verdoppelt�

Die tats�achliche Berechnung der Entropie wird erm�oglicht durch den

��

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Satz von Kolmogorov�Sinai� T sei eine invertierbare ma�treue Transformation des W�

Raumes �X�B� ��� A sei eine endliche Teilalgebra von B� erzeugt von einer Zerlegung � mit

��n���

T nA � B bis auf Nullmengen �

Dann ist

h�T � � h�� T ��

Falls sogar

��n��

T�nA � B bis auf Nullmengen

so ist

h�T � � ��

Ein wie im vorstehenden Satz hei�t Erzeuger von B bzgl� T �Aufbauend auf Resultaten von Rohlin bewies Krieger� da� eine ergodische ma�treue AbbildungT auf einem Lebesgueraum mit endlicher Entropie stets einen endlichen Erzeuger besitzt� DerSatz von Kolmogorov�Sinai erlaubt dann die Berechnung der Entropie von T �

Beispiele

�� F�ur id � �X�B� ��� �X�B� �� gilth�id� � ��

da h�id� � � limn��

�nH�� � � f�ur alle �

�� Ist T � �X�B� ��� �X�B� �� periodisch� d�h�T k � id f�ur ein k � N�so ist ebenfalls

h�T � � �� da nach �� � � h�T k� � kh�T ��

Insbesondere hat jede ma�treue Abbildung eines endlichen Raumes verschwindende Entro�pie�

��

T � S� � S�

z �� az f�ur a � S�

Falls a eine Einheitswurzel ist� ist h�T � � � nach ��

Falls a keine Einheitswurzel ist� ist �a�n�n�N dicht in S��

A bestehe aus �� S� und dem oberen und unteren Halbkreis� Da �a�n�n�N dicht in S� ist�

geh�ort jeder Halbkreis und damit auch jedes andere Intervall in S� zu�Wn��

T�nA� Also ist

�Wn��

T�nA � B� und somit h�T � � � nach dem zweiten Teil des Satzes von Kolmogorov�

Sinai�

��

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�� Der zu Y � f�� �� ���� � � �g� �p�� ���� p���� geh�orende Bernoullishift T hat Entropie

����Xj��

pj log� pj

Beweis� Es seiAj �� f�xn�n�Z � x� � jg

A�� ���� A��� bilden dann eine Zerlegung von X � Y Z� die hiervon erzeugte Teilalgebrahei�e A� Es ist

��n���

T nA � B�� Produkt���Algebra� �

Nach dem Satz von Kolmogorov�Sinai ist

h�T � � h�T�A��

Zur Berechnung von h�T�A� betrachten wir Mengen der Form

Ai� � T��Ai� � ��� � T��k���Aik��

� f�xn�n�Z � x� � i�� ���� xk�� � ik��g�

Das Ma� einer solchen Menge ist pi� � pi� � ���pik���

Daher ist

kH�A� T��A� ��� � T�k��A�

� ��

k

���Xi������ik��

��

pi� � ���pik��log�pi� ���pik��

� ��

k

Xi������ik��

pi� ���pik���log pi� � ���� log pik��

� ����Xi��

pi log pi�

und wegen h�T�A� � limk��

kH�A� ��� � T�k��A� folgt die Behauptung�

�� F�ur einen Markovshift berechnet man die Entropie zu

�Xi�j

piaij log� aij�

Dies ist die durchschnittliche Information� die man �uber das n�achste Symbol gewinnt� wennman eine beidseitig unendliche Symbolkette mit den gegebenen �Ubergangswahrscheinlich�keiten von links nach rechts liest� Die Summation �uber i dr�uckt dabei die Mittelung �uberdie beispielsweise zur Zeit t � � m�oglichen vorliegenden Symbole aus� und die Summation

�uber j beinhaltet dann die jeweilige Wahrscheinlichkeit f�ur das n�achste Symbol �zur Zeitt � �� wenn wir diskrete Einheitszeitschritte zugrunde legen�� Kennt man also das Symboli zur Zeit t � �� so ist die Unsicherheit �uber das n�achste Symbol dann

�Xj

aij log� aij �

��

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Insbesondere h�angt dies nicht von den zu fr�uheren Zeiten aufgetretenen Symbolen ab�sondern nur von dem Symbol i zur Zeit t � �� Dies ist die sogenannte Markoveigenschaft�da� n�amlich das zuk�unftige Geschehen nur von dem gegenw�artigen Zustand� nicht abervon fr�uheren vergangenen Zust�anden mehr abh�angt�

Falls aij � pj f�ur alle i und j ist� liegt ein Bernoullishift vor� denn dann h�angt die Wahr�scheinlichkeit des Auftretens f�ur das n�achste Symbol nicht von dem gegenw�artigen Symbolab� und die obige Formel f�ur die Entropie reduziert sich zu derjenigen f�ur den Bernoullis�hift� n�amlich

�Xj

pj log� pj� weilXi

pi � � ist�

Konjugierte Transformationen haben die gleiche Entropie� Die Entropie kann also dazu dienen�nicht konjugierte Transformationen zu unterscheiden� Es ist sehr bemerkenswert� da� f�ur Ber�noullishifts die Entropie schon eine vollst�andige derartige Invariante ist� Es gilt n�amlich der

Satz von Ornstein� Zwei Bernoullishifts mit gleicher Entropie sind konjugiert und daher auchisomorph��

Der Zustandsraum kann hierbei ein Lebesgueraum sein� also isomorph zu einem W�Raum� wel�cher eine disjunkte Vereinigung von h�ochstens abz�ahlbar vielen Punkten y�� y�� ��� mit positivemMa� pn von yn und einem Intervall #�� s$� s � ��P

n

pn� mit dem �ublichen Lebesguema� ist�

�� Topologische Entropie

T � X � X sei stetige Abbildung eines kompakten Hausdor�raumes�Statt wie in bei der De�nition der ma�theoretischen Entropie mit me�baren Zerlegungen vonX zu arbeiten� verwenden wir nun o�ene �Uberdeckungen U von X� Eine andere �UberdeckungV hei�t Verfeinerung von U � wenn jedes V � V in einem U � U enthalten ist� F�ur zwei �Uber�deckungen U und V besteht wie vorher U �V aus allen nichtleeren Mengen der Form U �V mitU � U � V � V� Schlie�lich hei�t eine o�ene �Uberdeckung U � Teil�uberdeckung von U � wenn

fU � U �g � fU � Ug�

d�h� wenn U alle Elemente von U � enth�alt� Wichtig ist hierbei nat�urlich die Bedingung� da� U �ebenfalls eine �Uberdeckung von X ist�F�ur eine o�ene �Uberdeckung U de�nieren wir die Entropie als

H�U� �� log� �Minimum der Kardinalit�aten aller

Teil�uberdeckungen von U��

Das Wort�Entropie wird hier nur verwandt� um die Analogie mit der Entropie einer Zerle�

gung zum Ausdruck zu bringen� Wenn man einmal den Unterschied zwischen einer Zerlegungund einer �Uberdeckung au�er Acht l�a�t� w�urde dies dem Fall entsprechen� wo alle Elementeder Zerlegung � fA�� ���� Ang das gleiche Ma� �

nhaben� In diesem Fall wird nat�urlich der

gr�o�tm�ogliche Wert f�ur eine Zerlegung durch n Mengen realisiert� n�amlich log� n� Diese Bemer�kung macht den weiter unten formulierten Satz plausibel� da� n�amlich die zur ma�theoretischenEntropie ganz analog �mittels �Uberdeckungen statt Zerlegungen� de�nierte topologische Entro�pie von T das Supremum der ma�theoretischen Entropien h��T � bzgl� aller W�Ma�e � auf X ist�

Die Elemente von U werden als m�ogliche Beobachtungen oder Kategorien angesehen� im Ge�gensatz zur obigen ma�theoretischen Entropie ordnen wir allerdings jetzt den Beobachtungen

��

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keine Wahrscheinlichkeiten mehr zu� Au�erdem arbeiten wir jetzt mit �Uberdeckungen anstattZerlegungen� d�h� die Beobachtungen k�onnen jetzt einander �uberlappen und brauchen nicht dis�junkt zu sein� Da� wir mit �Uberdeckungen arbeiten� bedeutet� da� wir sicherstellen� da� jedesElement in X von mindestens einer Beobachtung erfa�t werden kann� oder zu mindestens einerKategorie geh�ort�Wenn wir nun mindestens m Mengen U�� ���� Um aus U brauchen� um X zu �uberdecken� wennalso

H�U� � log�m

ist� so k�onnen wir dies mit der ma�theoretischen Entropie vergleichen� indem wir jedem Ui diegleiche Wahrscheinlichkeit �

nzuordnen �wobei wir im Moment davon absehen� da� wegen des

m�oglichen �Uberlappens zwischen Menge Ui und Uj�i � j� die Axiome einer Wahrscheinlichkeits�verteilung dann nicht erf�ullt sind�� so wird auch die entsprechende ma�theoretische Entropie

�mXi��

mlog�

m� log�m�

Wenn dagegen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten verschieden gew�ahlt wurden� so w�are die ma��theoretische Entropie kleiner�In diesem Sinne gehen wir also jetzt davon aus� da� wir eine maximale Unkenntnis besitzen�da� also zun�achst jede Beobachtung gleich wahrscheinlich ist� oder anders ausgedr�uckt� da� wirdiejenige Wahrscheinlichkeitsverteilung f�ur die Beobachtungen zugrunde legen� deren Entropiemaximal ist� Dieses Prinzip �ubertr�agt sich dann auch auf die Entropie der Abbildung T � wie einunten zitierter Satz aussagt�

Wie bei der Behandlung der ma�theoretischen Entropie zeigt man� da�

h�U � T � �� limn��

nH

�n���k��

T�kU�

existiert und de�niert die topologische Entropie von T als

htop�T � �� supU

h�U � T ��

Man �uberlegt sich unschwer� da� die topologische Entropie unter topologischer Konjugationinvariant bleibt� im Sinne von

Satz� Ti � Xi � Xi seien Hom�oomorphismen der kompakten Hausdor�r�aume Xi� i � �� �� �X� � X� ein Hom�oomorphismus� mit T� � T� � Dann ist

htop�T�� � htop�T���

Falls V eine Verfeinerung von U ist� so gilt

H�V� � H�U�

und daher auchh�V� T � � h�U � T ��

Falls also �Un�n�N eine Familie von �Uberdeckungen mit der Eigenschaft ist� da� jeweils Un��eine Verfeinerung von Un ist und jedes U durch ein geeignetes Un verfeinert wird� so gilt

htop�T � � limn��

h�Un� T ��

��

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Tr�agt nunX eine Metrik d und ist �Un�n�N eine Familie von einander verfeinernden �Uberdeckun�gen �d�h� Un�� verfeinert Un f�ur alle n wie oben� mit

diam �Un�� �

�wobei der Durchmesser diam Un das Supremum der Durchmesser der Elemente von Un ist�berechnet mittels der Metrik d�� so wird jede �Uberdeckung U durch ein Un verfeinert� und esgilt also

htop�T � � limn��

h�Un� T ��Dies deutet an� da� es n�utzlich ist� Bowen folgend� Entropie unter Verwendung einer Metrik dauf X zu de�nieren�Hierzu de�niert man f�ur x� y � X� und einen Hom�oomorphismus T � X � X eine dynamischeFolge von Metriken

dn�x� y� �� sup�kn��

d�T kx� T ky�

und schlie�t aus der vorstehenden Bemerkung� da�

htop�T � � lim��

limn��

nlog� �minimale Anzahl von

Abstandskugeln vom Radius �

bzgl� dn� die X �uberdecken��

Insbesondere h�angt also die Gr�o�e auf der rechten Seite nicht von der Metrik d ab �wobei Ximmer als kompakt vorausgesetzt wird�� Dies kann man sich auch dadurch klarmachen� da� die�se Gr�o�e f�ur gleichm�a�ig �aquivalente Metriken gleich ist und auf einem kompakten Raum zweibeliebige Metriken gleichm�a�ig �aquivalent sind�

Eine Abstandskugel ist eine Menge der Form

Bn�x� �� �� fy � X � d�T kx� T ky� � � f�ur � � k � n� �g�Man k�onnte genausogut o�ene Kugeln verwenden� aber f�ur das Nachfolgende sind abgeschlosseneKugeln ein klein wenig praktischer�Eine Teilmenge F von X hei�t �n� �� aufspannend� falls zu jedem y � X ein x � F existiert mit

dn�x� y� � ��

alsod�T kx� T ky� � � f�ur � � k � n� ��

Zur Interpretation dieses Begri�es ist es n�utzlich� Bahnen fx� Tx� ���� T n��xg der L�ange n vonPunkten aus X unter der Abbildung T zu betrachten� Wenn man Abst�ande nur mit Pr�azision� messen kann� lassen sich also die Bahnen zweier Punkte x� y mit

dn�x� y� � �

nicht trennen� Eine �n� ���aufspannende Menge F enth�alt also zu jedem Punkt y � X einenPunkt x � F � dessen Bahn der L�ange n sich von derjenigen von y nicht durch Messungen mitPr�azision � unterscheiden l�a�t�Die Mittelpunkte einer �Uberdeckung von X durch Kugeln vom Radius � bzgl� dn bilden alsoeine solche �n� ���aufspannende Menge� und die obige Minimalzahl derartiger Kugeln� die X

�uberdecken� ist dann

r�n� �� �� Minimum der Kardianlit�aten von

�n� �� aufspannenden Mengen�

��

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Nach unserer obigen Interpretation ist also r�n� �� ein Ma� f�ur die Anzahl der Bahnen fx� Tx� ���� T n��xgder L�ange n mit Pr�azision ��Also ist

htop�T � � lim��

limn��

nlog� r�n� ���

Schlie�lich bezeichnen wir eine Menge E � X als �n� ���getrennt� falls f�ur irgendzwei verschiedenex� y � E ein k � f�� ���� n � �g mit

d�T kx� T ky� � �

existiert� und setzen

s�n� �� �� Maximum der Kardinalit�aten von

�n� ���getrennten Mengen�

Es gilts�n� �� � r�n� ���

da eine �n� ���getrennte Menge von maximaler Kardinalit�at schon �n� ���aufspannend sein mu��weil man andernfalls noch ein weiteres Element aus X �nden k�onnte� welches von derjenigender gegebenen Menge �n� ���getrennt w�are�Andererseits ist

s�n� �� � r�n� �����

denn wir k�onnen eine beliebige �n� �����aufspannende Menge F w�ahlen und dann zu jeder �n� ���getrennten Menge E und x � E genau ein y � F mit

dn�x� y� � ���

�nden� weil F �n� �����aufspannend ist� und zwar derart� da� hierbei verschiedenen Elementenaus E auch verschiedene Elemente aus F entsprechen� weil E �n� ���getrennt ist�s�n� �� kann nat�urlich ebenfalls als Ma� f�ur die Anzahl der Bahnen fx� ���T n��xg der L�ange nmit Pr�azision � angesehen werden�

Insgesamt folgt aus diesen Ungleichungen zwischen r und s� da�

htop�T � � lim��

limn��

nlog� s�n� ���

Diese verschiedenen Charakterisierungen von htop�T � sind n�utzlich f�ur die Berechnung dieserGr�o�e�

Schlie�lich zitieren wir noch den

Satz� T � X � X sei Hom�oomorphismus des kompakten metrischen Raumes X� Dann ist

htop�T � � supfh��T � � � T �invariantes Borelsches

W �Ma� auf X g�Z�B� folgt hieraus aufgrund unserer obigen Berechnung der ma�theoretischen Entropie direkt�da� der Bernoullishift auf der Menge

Y � f�� �� ��� � � �g die topologische Entropie log� � hat� denn ����Pj��

pj log pj wird unter den Be�

dingungen � � pj � � und���Pj��

pj � � genau dann maximal� wenn pj ���f�ur alle j ist�

In diesem Zusammenhang gilt der folgende

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Satz� Katok� T � X � X sei Hom�oomorphismus des kompakten metrischen Raumes X�� sei

T �invariantes� ergodisches� Borelsches W �Ma� auf X� F�ur n � N� � � �� � � � sei r��n� �� �� dieminimale Anzahl von Kugeln vom Radius � bzgl� der Metrik dn� deren Vereinigung mindestens

das ��Ma� �� � besitzt� die also X bis auf eine Menge h�ochstens vom Ma� � �uberdecken� Dannist

h��T � � lim��

lim��

limn��

nlog� r��n� �� ���

Es gilt auch

Satz� Jeder Hom�oomorphismus des Kreises S� hat verschwindende topologische Entropie�

Dies beweist man z�B�� indem man zeigt� da� jeder Hom�oomorphismus von S� zu einer Drehungtopologisch konjugiert ist� welche dann ma�theoretische Entropie Null besitzt�

Die vorstehenden Konstruktionen lassen sich allerdings auch f�ur etwas allgemeinere Abbildungenals Hom�oomorphismen durchf�uhren� Beispielsweise k�onnen wir die n�fache �Uberlagerung

�m � S� � S�

betrachten �beispielsweise fassen wir S� als den Einheitskreis in C auf und schr�anken z �� zm

auf S� ein��F�ur diese Abbildung verhalten sich s�n� �� und r�n� �� wie �mn� und es gilt daher

htop��m� � log�m � ��

Es ist nicht allzu schwer zu zeigen� da� f�ur jede Lipschitzabbildung

T � X � X

eines kompakten metrischen Raumes mit Lipschitzkonstante

L�T � �� supx�y�X

d�Tx� Ty�

d�x� y�

die Entropie durchdim �X�max��� log� L����

beschr�ankt ist� wobei die Dimension dim �X� geeignet de�niert ist� nat�urlich so� da� sie im Falle�wo X eine di�erenzierbare Mannigfaltigkeit ist� mit der �ublichen Dimension �ubereinstimmt�Hierzu de�niert man b��� als die minimale Kardinalit�at einer �Uberdeckung von X durch Kugelnvom Radius � und setzt dann

dim �X� �� lim sup��

log b���

j log �jDie Entropie einer stetigen Abbildung eines kompakten Zustandsraumes ist nur dann positiv�wenn sie in jedem Schritt neue Information erzeugt� Eine M�oglichkeit� wie man diese Erzeu�gung von Information veranschaulichen kann� ist� zu einer gegebenen �Uberdeckung oder Zerle�gung �je nachdem� ob wir die topologische oder ma�theoretische Entropie betrachten� Punktex � y zu betrachten� die nicht in verschiedenen Mengen liegen� also nicht durch eine durch die�Uberdeckung oder Zerlegung erm�oglichte Beobachtung getrennt werden k�onnen� Damit durchT Information erzeugt wird� mu� es ein n � N mit der Eigenschaft geben� da� T nx und T ny inverschiedenen der betrachteten Mengen liegen� da� also die dynamischen Iterierten von x undy irgendwann durch Beobachtung auseinandergehalten werden k�onnen� Man kann dies auch als

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sensitive Abh�angigkeit von den Anfangsbedingungen im Sinne einer chaotischen Dynamik inter�pretieren� Ein wesentlicher Punkt ist aber� da� sich der Abstand zwischen T nx und T ny nichtmit wachsendem n immer weiter vergr�o�ern kann� weil der zugrunde liegende Zustandsraumkompakt ist� Es mu� also neben den auseinanderlaufenden Iterierten auch zusammenlaufendegeben� Dieses Wechselspiel macht chaotische Dynamiken interessant und reizvoll�

Wenn man nur die Bahn eines einzigen Punktes x � X unter der Iteration von T betrachtet�kann man die Informationserzeugung so au�assen� da� T nx nicht irgendwann eine regelm�a�i�ge Abfolge der betrachteten Mengen U�� ���� Um durchl�auft� sondern da� man nie allein aus derKenntnis der Aufenthaltsmengen von x� Tx� ���T nx schon die Aufenthaltsmenge von T n��x vor�aussagen kann� Andernfalls w�urde wiederum asymptotisch keine neue Information mehr erzeugt�und die Entropie von T w�urde verschwinden�

�� Komplexit�at und intrinsische Skalen

Bei Abbildungen positiver Entropie auf kompakten Zustandsr�aumen gibt es kein intrinsischesL�angenma�� weil die Entropie nur dann positiv sein kann� wenn in�nitesimale Information immerweiter vergr�o�ert wird �� Daher haben z�B� alle Gradienten��usse auf kompakten Zustandsr�aumenverschwindende Entropie�Wir wollen daher nun einen Begri� einf�uhren� welcher Abbildungen bewerten kann� die ver�schwindende Entropie besitzen� und f�ur diese einen intrinsischen Skalenfaktor bestimmen kann��X� d� sei metrischer Raum� typischerweise kompakt� und

T � X � X

sei eine stetige Abbildung�� sei positiv� und es wird die Rolle eines Skalenfaktors �ubernehmen� E � X hei�t wie vorher��getrennt� falls

d�x� y� � �

f�ur alle x� y � E mit x � y gilt� und

s��� �� maxf Kardinalit�at �E� � E � X ��getrennt g

sei die gr�o�tm�ogliche Anzahl ��getrennter Elemente in X� E � X hei�t ��divergent� falls f�urirgendzwei Elemente x � y � E mit d�x� y� � � und jedes n� � N ein n � n� mit

d�T nx� T nx� � �

existiert� Die De�nition ist so formuliert� da� jede ��getrennte Menge automatisch ��divergentist� Der entscheidende Punkt ist jedoch� da� Elemente� die urspr�unglich n�aher als � beisammensind� durch die dynamische Iteration voneinander getrennt werden m�ussen��Eine Variante dieser De�nition w�urde verlangen� da� f�ur alle x � y � E mit d�x� y� f�ur allegen�ugend gro�e n � N

d�T nx� T nx� � �

gilt� da� also die Elemente nach gen�ugend vielen Iterationen immer getrennt bleiben� dies scheintjedoch in vielen F�allen zu einschr�ankend zu sein��

�Kein intrinsisches L�angenma� gibt es auch f�ur sog� selbst�ahnliche Strukturen� d�h� Gebilde� die sich bei

Umskalierungen nicht �andern� Manche Fraktale haben diese Eigenschaft� und dies ist ein Grund f�ur manche

Verwandschaften zwischen der Theorie chaotischer Systeme und derjenigen der Fraktale�

��

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Es sei dann���� �� maxf Kardinalit�at �E� � E � X �� divergent g�

Wie oben bemerkt� ist jede ��getrennte Menge auch ��divergent� und somit ist

���� � s����

Wir de�nieren die Komplexit�at von T � X � X dann als

c�T � �� sup��

log����

s����

c�T � ist also immer nicht negativ�Im Gegensatz zur Entropie wird hier das Supremum i�a� nicht f�ur � � � realisiert� sondern f�ureinen positiven Wert von �� Dieses � gibt dann die Gr�o�enordnung gr�o�tm�oglicher Komplexit�atvon T an�Die Komplexit�at c�T � verschwindet� wenn T kontrahierend ist� d�h� falls

d�Tx� Ty� � d�x� y� f�ur alle x� y � X�

Bei Gradienten��ussen wird Komplexit�at bei kritischen Punkten p von positivem Index erzeugt�Ein solches p bleibt fest unter dem Flu�� hat aber Nachbarpunkte� die in verschiedene Richtungenweglaufen� i�a� umso mehr� je gr�o�er der Index ist� auch wenn dies keine v�ollig allgemeing�ultigeTatsache ist� da man unschwer Spezialf�alle angeben kann� in denen dies nicht in dieser Form gilt�Ein � gr�o�tm�oglicher Komplexit�at w�are in diesem Fall etwa von der Gr�o�enordnung des durch�schnittlichen Abstandes verschiedener solcher kritischer Punkte� � darf nicht zu gro� gew�ahltwerden� weil sonst Punkte nicht dynamisch trennbar w�aren� und nicht zu klein� weil es sonstverh�altnism�a�ig zu viele schon ��getrennte Punkte g�abe� also der Nenner s��� zu gro� w�are�Jedenfalls stellen kritische Punkte von h�oherem Index diejenigen Stellen dar� in denen im Sinneder De�nition Komplexit�at erzeugt wird� oder� anders ausgedr�uckt� in deren Umgebung man diemeiste Information �uber das qualitative Verhalten des dynamischen Systems gewinnt�

c�T � ist invariant unter Isometrien� aber i�a� nicht unter Hom�oomorphismen von X� Durch dieWahl der Metrik erzwingen wir n�amlich eine gleichm�a�ige Gr�o�enordnung � f�ur ganz X� Diesmag nicht immer w�unschenswert sein� und so formulieren wir nun ein Komplexit�atskonzept f�urAbbildungen topologischer R�aume� welches variable Skalenfaktoren erlaubt�X sei also jetzt ein kompakter topologischer Raum�

T � X � X

wiederum stetig�F�ur eine �Uberdeckung U von X sei

��U� �� Minimum der Kardinalit�aten aller Teil�uberdeckungen von U �

dies fassen wir als Analogon zu der obigen Gr�o�e s��� auf�Zu einer �Uberdeckung U de�nieren wir nun eine dynamische �Uberdeckung

UT ���

Un�U�n��N

�n���n��n��������

�U� � T�n�Un� � T��n����U�n���� � ����

Falls x� y � X in dem gleichen der hier auftretenden Schnitte enthalten sind� also

T nx� T ny � Un f�ur n � � und n � n�� n� � �� ����

��

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und wenn dies f�ur jeden Schnitt� d�h� f�ur jede Wahl der Un gilt� so k�onnen sie nicht durch diedynamische Iteration getrennt werden� Die verschiedenen Elemente von UT entsprechen also denM�oglichkeiten der dynamischen Trennung der Punkte aus X�Wir de�nieren nun die �topologische�Komplexit�at von T als

��T � �� supU o�ene

Uberdeckung von X

��UT ���U�

Eine �Uberdeckung� f�ur welche dieses Supremum angenommen wird� ist dann eine �Uberdeckungmaximaler Komplexit�at� Die Gr�o�e der einzelnen Elemente � einer derartigen �Uberdeckung lie�fert uns jetzt die lokale Skalenordnung gr�o�ter Komplexit�at von T � und im Gegensatz zu demvorherigen metrischen Konzept ist diese nunmehr variabel� ��T � ist im Gegensatz zu c�T � inva�riant unter Hom�oomorphismen von X�

Im Gegensatz zur Entropie ist die hier de�nierte Komplexit�at eine relative Gr�o�e insofern� als derQuotient zweier Quantit�aten gebildet wird� von denen die eine die statische Trennungseigenschaftdes Raumes und die andere die dynamische Trennungseigenschaft des Prozesses mi�t� Man kannnat�urlich auch das Teilen durch s��� oder ��U� als Normalisierung au�assen� in Analogie dazu�da� man in der De�nition der Entropie durch einen Faktor teilt� der die Anzahl der dynamischenIteration mi�t� Schlie�lich ist die hier de�nierte Komplexit�at eine intensive Gr�o�e in dem Sinne�da� die disjunkte Vereinigung mehrerer identischer Systeme die gleiche Komplexit�at besitzt wiejedes einzelne dieser Systeme�

�sofern wir diese Gr�o�e messen k�onnen� beispielsweise bei Vorliegen einer Metrik oder eines Ma�es

��

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