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ECONOMETRIA
Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.
Autocorrelação
Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição.
Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006
Corte Transversal x Série Temporal
• Em geral, com dados em corte transversal, não haveria
razões a priori para acreditar que o termo de erro ui
referente a uma observação esteja correlacionado com o
termo de erro de outra observação (ex: empresas,
famílias, países observados em um mesmo momento no
tempo)
• Se tal ocorre denominamos autocorrelação espacial
• Observações em série temporal estão mais sujeitas à
autocorrelação (especialmente se o intervalo de tempo
observado é curto) – correlação serial
Questões
1. Qual a natureza da autocorrelação?
2. Quais são suas consequências teóricas e
práticas?
3. Como saber se a autocorrelação está presente
nos termos de erro ut? (observar subscrito t –
séries temporais)
4. Como corrigir o problema da autocorrelação?
Natureza do Problema
• Autocorrelação: correlação entre integrantes de séries
de observações ordenadas no tempo (como as séries
temporais) ou no espaço (como nos dados de corte
transversal).
• Premissa do Modelo de Regressão Linear Clássico:
jiuuE ji 0)(
Autocorrelação x Correlação Serial
• Autocorrelação – correlação defasada entre uma
dada série com ela mesma, defasada em algumas
unidades no tempo
• Correlação Serial – correlação defasada entre
duas séries diferentes
Ver figura 12.1
Por que ocorre correlação serial?
• Inércia – resultado de ciclos econômicos
• Viés de especificação (variáveis excluídas) – Ex:
modelo para análise da demanda por carne bovina (Y)
explicada por X2 = preço; X3 = renda do consumidor; X4
= preço da carne suína e t = tempo
– Se estimarmos:
– O termo de erro vt refletirá um padrão sistemático, criando
assim uma (falsa) correlação
tt uXXXY 4433221
tt vXXY 33221
tt uXv 44
Por que ocorre correlação serial?
• Viés de especificação (forma funcional incorreta) – Ex:
imagine que o modelo correto seja:
– Se estimarmos:
– O termo de erro vi refletirá o efeito do termo produção2 sobre
o custo marginal
iii u 2
i321 ProduçãoProduçãomarginal Custo
iit uv 2
3Produção
iii u Produçãomarginal Custo 21
Ver figura 12.2
Por que ocorre correlação serial?
• O fenômeno teia de aranha – ex: decisões de produção
agrícola que dependem do preço em t-1 e dos estoques
gerados no período anterior (que vem a ser o termo de
erro do período anterior causando autocorrelação)
• Defasagens – Ex: regressão de despesas de consumo
sobre renda com dados em séries temporais – as
despesas de consumo em um período dependem das
despesas no período anterior (hábitos de consumo,
psicológicos etc...)
Consumot = β1 + β2rendat + β3consumot-1 + ui
Por que ocorre correlação serial?
• “Manipulação” dos dados – médias trimestrais
“suavizam” dados tornando-os menos irregulares
podendo gerar termos de erro com padrões
sistemáticos; interpolação ou extrapolação de dados
idem
• Ausência de estacionariedade – uma série temporal é
estacionária se suas características (média, variância e
covariãncia) não variam ao longo do tempo.
Por que ocorre correlação serial?
ttt uXY 21 Forma de nível:
11211 ttt uXY Valores defasados:
ttt vXY 21 Fomra de primeira diferença:
Onde: vt = Δut = (ut – ut-1)
Pode-se demonstrar que vt é autocorrelacionado
Estimativa de MQO na presença de
Autocorrelação
• Imaginando que o termo de erro ut seja gerado pelo
mecanismo:
• Onde εt é um termo de erro do tipo ruído branco:
ttt uXY 21
111 ttt uu
00),cov(
)var(
0)(
2
s
E
stt
t
t
AR(1)
AR (1)
• Como ρ é uma constante entre -1 e +1, sob o esquema
AR(1), a variância de ut é ainda homocedástica
• Mas ut está correlacionado com períodos mais atrás
• Se |ρ| < 1 o processo AR(1) é estacionário
• Se |ρ| < 1 a covariância diminuirá a medida que
retrocedermos no tempo
2
22
1)()var(
tt uEu
2
2
1)(),cov(
s
sttstt uuEuu
s
stt uucor ),(
Estimativa de MQO na presença de
Autocorrelação
• Estimador MQO do coeficiente angular e sua variância:
• Sob o esquema AR(1) a variância do estimador é:
• Não é possível afirmar com antecedência qual das duas
variâncias é a menor.
2
2
222 )ˆvar(ˆ
tt
tt
xx
yx
2
1
2
22
2
1
2
2
12 2...221)ˆvar(t
ntn
t
tt
t
tt
t
ARx
xx
x
xx
x
xx
x
Estimativa de MQO na presença de
Autocorrelação
• Se continuarmos a usar MQO para estimar e
ajustarmos a variância levando em conta o AR(1), quais
as propriedades de ?
• é ainda linear e não tendencioso...
• Infelizmente, na classe dos estimadores lineares não
tendenciosos, ele não é o de variância mínima, ou seja,
não é eficiente.
• Como obter um estimador BLUE no caso da existência
de autocorrelação?
2
2
2
Estimador BLUE na presença de
Autocorrelação
Cxx
yyxxn
t tt
n
t ttttMQG
2
2
1
2 11
2
)(
))((ˆ
Dxx
n
t tt
MQG
2
2
1
2
2
)(
ˆvar
Consequências do uso do MQO na
presença de Autocorrelação
• Estimadores deixam de ser eficientes (continuam lineares, não
tendenciosos, consistentes e com distribuição normal assintótica)
• Os estimadores das variâncias são viesados – tendência de
subestimar os erros-padrão. Estatística t elevada. Mais provável
de rejeitar H0 (p.e. afirmar que os coeficientes são
estatisticamente significativos), mesmo que eles não sejam.
• A variância residual provavelmente subestimará o
verdadeiro σ2.
• Seremos levados a superestimar R2
• Os habituais testes de significância t e F não serão mais válidos.
)2/(ˆˆ 22 nu
Ver experimento de Monte Carlo pag. 368
Detecção da Autocorrelação
• Método Gráfico
– Plotar resíduos e resíduos padronizados no tempo
– Plotar resíduos com resíduos defasados
• Teste d de Durbin-Watson
– Premissas:
• O modelo de regressão inclui o termo de intercepto
• As variáveis X são não estocásticas ou fixadas em amostras repetidas
• Os termos de erro ut são gerados por um processo AR(1) – o teste não
detecta dependências de ordens superiores
• O modelo de regressão não utiliza como variável explicativa
dafasagens da variável dependente
• Não há falta de observações nos dados. A estatística d não leva em
conta a falta de observações.
ttktkttt uYXXXY 133221 ...
Detecção da Autocorrelação
nt
t t
nt
t tt
u
uud
1
2
2
2
1
ˆ
)ˆˆ(
Que expandido torna-se:
2
1
2
1
2
ˆ
ˆˆ2ˆˆ
t
tttt
u
uuuud
Teste d de Durbin-Watson
Detecção da Autocorrelação
Definindo ρ:
iguais menteaproximada são ˆ e ˆ como 2
1
2 tt uu
Teste d de Durbin-Watson
2
1
ˆ
ˆˆ12
t
tt
u
uud
2
1
ˆ
ˆˆ
t
tt
u
uu
Então:
4 0
em implica isso 1,1- como
ˆ12
d
d
Detecção da Autocorrelação
Teste d de Durbin-Watson
Fonte: http://www.virtualsurvey.com.br/arquivos/daiichi/modulo2/livr/aula4i.pdf
Detecção da Autocorrelação
• Mecânica do teste:
– Calcula-se a regressão por meio de MQO e obtém-se os
resíduos
– Calcula-se a estatística d
– Dados o tamanho da amostra e o número de variáveis
explanatórias, encontram-se os valores críticos dL e dU
– Segue-se a regra de decisão dada na tabela anterior.
• Problema do teste:
– Zona de indecisão
Teste d de Durbin-Watson
Detecção da Autocorrelação
• Seja
• Supondo que ut siga um processo AR(p)
• A hipótese nula a ser testada é:
Teste de Breusch-Godfrey (BG)
ttt uXY 21
tptpttt uuuu ...2211
0...: 210 pH
Detecção da AutocorrelaçãoTeste de Breusch-Godfrey (BG)
tu
tptptttt uuuXu ˆˆ...ˆˆˆˆˆ
221121
22 ~)( pRpn
Detecção da Autocorrelação
• Pontos práticos em relação ao teste:
1. Os regressores do modelo podem conter valores defasados
do regressando Y
2. O teste BG é aplicável mesmo que o termo de erro sigam
processos de médias móveis (MA) de ordem p
3. Se p = 1, significando auto-regressão de primeira ordem,
então o teste BG é chamado de teste M de Durbin
4. Uma falha do teste é que o valor p, a duração da defasagem,
não pode ser especificado a priori.
Teste de Breusch-Godfrey (BG)
O que fazer quando detectamos
Autocorrelação?
1. Verificar se se trata de autocorrelação pura e não de
um erro de especificação do modelo
2. Se for autocorrelação pura, recorrer a transformações
e ao método dos mínimos quadrados generalizados
(MQG)
3. Em grandes amostras empregar o método de Newey-
West para obter erros padrão robustos tanto a
heterocedasticidade como a autocorrelação.
Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
• Quando ρ é conhecido:
ttt
tt
ttttt
ttt
ttt
ttt
ttt
XY
uu
XXYY
uXY
uXY
uu
uXY
**
2
*
1
*
1t
1211
11211
11211
1
21
)( onde
)()1()(
11
Equação em diferenças
generalizadas, ou quase
Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Quando ρ é desconhecido:
• O método da primeira diferença
– Supor ρ = 0 => não há autocorrelação
– Supor ρ = 1 => a equação em diferenças generalizadas se
reduz à equação de primeira diferença
– A transformação de primeira diferença é adequada se ρ for
muito alto (> 0,8), ou o d de Durbin-Watson for muito baixo.
Regra prática: empregue a primeira diferença se d < R2
– Atenção: o modelo de primeira diferença não tem intercepto
ttt
tttttt
XY
uuXXYY
2
1121 )()()(
Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Quando ρ é desconhecido:
• O ρ com base na estatística d de Durbin-Watson
• A partir dessa estimativa transformar as variáveis como
sugerido na equação das diferenças generalizadas
21ˆ
d
Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Quando ρ é desconhecido:
• O ρ estimado a partir dos resíduos
• A partir dessa estimativa transformar as variáveis como
sugerido na equação das diferenças generalizadas
ttt vuu 1ˆˆ
Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Quando ρ é desconhecido:
• Método Newey-West para correção de erros-padrão
de MQO
– Válido apenas para grandes amostras
– Corrige não só a autocorrelação mas também a
heterocedasticidade
– Requer que se especifique qual o lag da correlação que se
quer corrigir nos erros