E-book Carreiras Militares...NBR 6118:2003 fala sobre diretrizes para durabilidade das estruturas de concreto, ou seja, o que se deve levar em consideração para que se tenha uma

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SUMÁRIO

1. QUESTÕES COMENTADAS DE CONCURSOS DA AERONÁUTICA............................3

2. QUESTÕES COMENTADAS DE CONCURSOS DA MARINHA...................................9

3. QUESTÕES COMENTADAS DE CONCURSOS DO EXÉRCITO.................................16

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1. QUESTÕES COMENTADAS DE CONCURSOS DA AERONÁUTICA

MATERIAIS DE CONSTRUÇÃO

(ENGENHARIA CIVIL – EAOEAR – AERONÁUTICA – 2013) Na construção civil, a cal tem

emprego extremamente variável, servindo para argamassas (de assentamento e de

revestimento), pintura, misturas asfálticas, materiais isolantes, misturas solo-cal,

estuques etc. Na construção predial, o principal uso da cal dá-se como aglomerante em

argamassas mistas de cimento, cal e areia. A especificação da cal hidratada para

argamassas está prescrita nas normas técnicas, que definem três tipos de cal. Relacione

a coluna da direita com a da esquerda entre a classificação da cal e a definição do que

trata o código e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.

(1) Cal hidratada comum

(2) Cal hidratada especial

(3) Cal hidratada comum com carbonatos

( ) CIT – I.

( ) CIT – II.

( ) CIT – III.

a) 1 – 2 – 3

b) 2 – 1 – 3

c) 2 – 3 – 1

d) 3 – 1 – 2

Grau de dificuldade: fácil

Resolução:

De acordo com YAZIGI (2009), as normas técnicas definem três tipos de cal:

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- CIT-I: cal hidratada especial (tipo 1)

- CH-II: cal hidratada comum (tipo II)

- CH-III: cal hidratada comum com carbonatos (tipo III).

Resposta: B

(ENGENHARIA CIVIL – EAOEAR – AERONÁUTICA – 2014) Na época em que Tibério era

Imperador Romano, entre 23 e 37 d.C., um certo artesão inventou um tipo maleável de

vidro, que poderia ser flexionado, martelado como metal e atirado ao chão sem quebrar.

O inventor, levado a presença do Imperador, demonstrou as qualidades notáveis do

novo vidro. Tibério, por motivos desconhecidos, ordenou a morte do inventor no

próprio local. Assim, uma das grandes descobertas da humanidade foi perdida por quase

2 mil anos. O vidro de segurança, desenvolvido no século XX, possui quase todas as

qualidades do vidro da época de Tibério, pois classifica-se em:

a) laminado, serrado e aramado.

b) amarrado, temperado e serrado.

c) temperado, laminado e aramado.

d) temperado, laminado e recozido.

Grau de dificuldade: fácil

Resolução: De acordo com a NBR 7199, os vidros de segurança classificam-se em:

temperado, laminado e aramado.

Resposta: C

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PROJETO E DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO

(COMANDO DA AERONÁUTICA – OFICIAIS ENGENHEIROS DA AERONÁUTICA – 2012) A

NBR 6118:2003 fala sobre diretrizes para durabilidade das estruturas de concreto, ou

seja, o que se deve levar em consideração para que se tenha uma estrutura em concreto

que apresente uma boa vida util. Marque a única alternativa que não aborda

“mecanismos preponderantes de deterioração relativos ao concreto”.

a) Lixiviação por ação de aguas puras, carbônicas agressivas ou ácidas que dissolvem e

carreiam os compostos hidratados da pasta de cimento.

b) Expansão por ação de águas e solos que contenham ou estejam contaminados com

sulfatos, dando origem a reações expansivas e deletérias com a pasta de cimento

hidratado.

c) Reações deletérias superficiais de certos agregados decorrentes de transformações

de produtos ferruginosos presentes na sua constituição mineralógica.

d) Despassivação por elevado teor de íon cloro (cloreto).

Grau de dificuldade: Fácil

Alternativa A: CORRETA. Segundo a ABNT NBR 6118-2003, a lixiviação por ação de águas

puras, carbônicas agressivas ou ácidas que dissolvem e carreiam os compostos

hidratados da pasta de cimento, está entre os mecanismos de deterioração relativos ao

concreto.

Alternativa B: CORRETA. Segundo a ABNT NBR 6118-2003, a expansão por ação de

águas e solos que contenham ou estejam contaminados com sulfatos, dando origem a

reações expansivas e deletérias com a pasta de cimento hidratado, está entre os

mecanismos de deterioração relativos ao concreto.

Alternativa C: CORRETA. Segundo a ABNT NBR 6118-2003, as reações deletérias

superficiais de certos, agregados decorrentes de transformações de produtos

ferruginosos presentes na sua constituição mineralógica, estão entre os mecanismos de

deterioração relativos ao concreto.

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Alternativa D: INCORRETA. Segundo a ABNT NBR 6118-2003, a despassivação por

elevado teor de íon e cloro (cloreto) está entre os “mecanismos preponderantes de

deterioração da armadura” e não do concreto.

Resposta: D

ENGENHARIA HIDRÁULICA E SANITÁRIA

(ENGENHEIRO CIVIL – AERONÁUTICA – 2017) Analise as afirmações abaixo e assinale

aquela que corresponde às condições de instalação dos aquecedores de acumulação.

(a) O ramal de alimentação de água fria deve ser executado de modo a conter tubulação

suplementar ao dreno, que permita o esvaziamento do aquecedor.

(b) Quando alimentado por gravidade, o aquecedor deve ter o seu nível inferior abaixo

do nível superior da derivação no reservatório de água fria.

(c) A tubulação de alimentação da água fria deve ser feita com material resistente à

temperatura máxima admissível da água quente.

(d) Estes aquecedores não devem ser dotados de dreno e a entrada da tubulação de

água quente deve ser provida de respiro.

Segundo a NBR 7198: 1993, Projeto e execução de instalações prediais de água quente,

em seu item 5.1.3 traz as condições de instalação devem atender para aquecedores de

acumulação:

a) o ramal de alimentação de água fria deve ser executado de modo a não

permitir o esvaziamento do aquecedor, a não ser pelo dreno;

b) Quando alimentado por gravidade, o aquecedor deve ter o seu nível inferior

abaixo do nível superior da derivação no reservatório de água fria;

(...)

f) a tubulação de alimentação da água fria deve ser feita com material

resistente à temperatura máxima admissível da água quente;

g) estes aquecedores devem ser dotados de dreno.

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Alternativa A: CORRETA. O ramal de alimentação de água fria deve ser executado de

modo a não permitir o esvaziamento do aquecedor, a não ser pelo dreno.

Alternativa B: INCORRETA. Quando alimentado por gravidade, o aquecedor deve ter o

seu nível superior abaixo do nível inferior da derivação no reservatório de água fria.

Alternativa C: INCORRETA. A tubulação de alimentação da água fria deve ser feita com

material resistente à temperatura máxima admissível da água quente.

Alternativa D: INCORRETA. Estes aquecedores não devem ser dotados de dreno e a

entrada da tubulação de água quente deve ser provida de respiro.

(ENGENHEIRO CIVIL – AERONÁUTICA – 2017) Em relação à disposição de condutores, é

permitido que os condutos fechados contenham condutores de mais de um circuito,

exceto quando:

(a) as seções nominais dos condutores de fase estiverem contidas dentro de um

intervalo de três valores normalizados sucessivos.

(b) os circuitos pertencerem à mesma instalação, se originando do mesmo dispositivo

geral de manobra e proteção.

(c) os circuitos de força, de comando e/ou sinalização forem de um mesmo

equipamento.

(d) todos os condutores forem isolados cada um segundo sua própria tensão nominal.

Grau de dificuldade: intermediário

Segundo a NBR 5410:2008, Instalações elétricas de baixa tensão, em seu tem 6.2.10.2

admite-se que os condutos fechados contenham condutores de mais de um circuito nos

seguintes casos, quando as quatro condições seguintes forem simultaneamente

atendidas:

-Os circuitos pertencerem à mesma instalação, isto é, se originarem do mesmo

dispositivo geral de manobra e proteção;

-As seções nominais dos condutores de fase estiverem contidas dentro de um

intervalo de três valores normalizados sucessivos;

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-Todos os condutores tiverem à mesma temperatura máxima para serviço

contínuo; e

-Todos os condutores forem isolados para a mais alta tensão nominal presente.

Alternativa A: INCORRETA. As seções nominais dos condutores de fase estiverem

contidas dentro de um intervalo de três valores normalizados sucessivos.

Alternativa B: INCORRETA. Os circuitos pertencerem à mesma instalação, isto é, se

originarem do mesmo dispositivo geral de manobra e proteção;

Alternativa C: INCORRETA. Todos os condutores tiverem a mesma temperatura máxima

para serviço contínuo.

Alternativa D: CORRETA. Todos os condutores forem isolados para a mais alta tensão

nominal presente.

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2. QUESTÕES COMENTADAS DE CONCURSOS DA MARINHA


(ENGENHARIA CIVIL – CORPO DE ENGENHEIROS DA MARINHA – MARINHA DO BRASIL

– 2017) Sobre os materiais utilizados na construção civil, faça o que se pede.

a) Indique 1 (um) tipo de tinta que é utilizada como retardante de incêndio em uma

edificação.

b) Explique a função dos aditivos incorporadores de ar no concreto fresco e no

concreto endurecido.

c) Cite 1 (um) tipo de madeira utilizada na execução de uma estrutura de madeira

para a cobertura de uma edificação.

d) Cite 4 (quatro) tipos de agregados.

e) Cite 3 (três) tipos de aglomerantes.


Resolução:

a) Tinta retardante ou tinta antichama.

b) No concreto fresco, os aditivos incorporadores de ar são utilizados para reduzir

a quantidade de água de mistura e para melhorar a trabalhabilidade. Contudo,

no concreto endurecido ocorre a redução das suas resistências mecânicas.

c) Pode-se utilizar, por exemplo, a Peroba rosa, Maçaranduba ou Eucalipto.

d) Areia, brita, seixo rolado, argila expandida.

e) Cal, cimento, gesso.

PROJETOS E SERVIÇOS PRELIMINARES

(ENGENHARIA CIVIL – CORPO DE ENGENHEIROS DA MARINHA – MARINHA DO BRASIL

– 2015) Em um lote de 2000 metros quadrados deve ser projetado um edifício comercial

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de 8 pavimentos com dimensões iguais. Considerando que o projeto do edifício adotará

coeficiente de aproveitamento igual a 2:

a) Calcule a área construída total do edifício, em m².

b) Calcule a área de projeção da edificação no lote, em m².

c) Verifique se o empreendimento projetado atende à taxa de ocupação máxima

de 70% determinada pela Prefeitura local.


Resolução:

a) CA = Área construída total / Área total do lote

2 = Área construída total / 2000, logo, Área construída = 4000m²

b) Como todos os pavimentos têm áreas iguais, a área de projeção da

edificação no lote será a Área construída total dividida pelo número de

pavimentos. Assim, a área de projeção da edificação no lote = 4000 / 8 =

500m²

c) A taxa de ocupação é a porcentagem do terreno que pode ser ocupado pela

projeção da edificação.

TO = (área total construída do primeiro pavimento + área excedente dos

outros pavimentos) / área total do lote. Como todos os pavimentos têm

áreas iguais, não existe área excedente.

TO = 500 / 2000 = 0,25 = 25%

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Como 25% < 70%, o empreendimento atende a taxa de ocupação máxima de 70%.

EIXOS MECÂNICOS

(MARINHA – 2016) Um eixo circular macico, de 50mm de diâmetro e 1,20m de

comprimento é submetido à ação de um momento torsor de 4,6kNm em cada

extremidade. Considerando que o eixo é feito de um material elastoplástico com tensão

de escoamento ao cisalhamento de 150MPa e módulo de elasticidade tranversal de 80

GPa, qual é o ângulo de torção do eixo?

a) 7,89°

b) 8,12°

c) 8,18°

d) 9,59°

Grau de dificuldade: difícil

Resolução: Para resolver esta questão, deve-se ter conhecimento relativo ao

comportamento plástico dos eixos, como se encontra no livro de Beer-Jonhston (1995,

p. 265).

Deve-se lembrar que, enquanto a tensão de cisalhamento não exceder a tensão de

escoamento τe, é válida a Lei de Hooke, e a distribuição das tensões na seção transversal

é linear, logo: 𝜏"á$ =&'(

ou seja 𝑇* =(+𝜏*

Determinando a inércia polar J igual a ,-.

/0 = ,∙2,24

.

/0= 6,1359 ∙ 10;

com o raio c = d/2 e com 𝜏* = 150𝑀𝑃𝑎 logo Te=3,681554kNm, assim é possível calcular

o valor da rotação da seção transversal.

Mas sabendo que 𝑇 = >/𝑇* B1 −

D>EFG'H/I, portanto, substituindo obtém-se EFG

'H/= 4 −

3 &&G= 4 − /(>,L2)

/,LN= 0,25

Logo FG'

= 0,630 e portanto 𝜌* = 0,63(25𝑚𝑚) = 15,8𝑚𝑚

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Sabe-se que o ângulo de torção ao escoamento é assim definido: ∅* =&GS(T=

/,LND44∙D,02(L,D/4U∙D2VW)(N2∙D2X)

= 90,0 ∙ 10;/rad

Com base na relação FG'= \G

\ é possível calcular o valor do ângulo de torção do eixo

𝜙 = \GFG '⁄

= U2,2∙D2V`

2,L/2= 142,85 ∙ 10;/rad

Transformam-se em graus da seguinte maneira:

𝜙 = (142,85 ∙ 10;/𝑟𝑎𝑑) B360

2𝜋𝑟𝑎𝑑I = 8,18°

Resposta: C

EIXO HIPERSTÁTICO – GERSON

(MARINHA – 2015) Analise a figura a seguir

A barra da figura acima tem rigidez à torção variável, como indicado, e é engastada nas

extremidades A e C Determine:

a) As reações de apoio em A e C (6 pontos)

b) O diagrama de momentos de torção (2 pontos)

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Dados: É dada a relação TefgTefh

= 3, onde G é o módulo de elasticidade transversal do

material e It é o módulo de inércia à torção da seção.

Formulário:

𝜑 =𝑇𝑙𝐺𝐼m


Resolução: A questão pede os valores das reações no engaste. Nota-se que a estrutura

é hiperestática, pois as condições de equilíbrio não são suficientes para determinar o

valor das torções nos dois trechos de eixos.

ITEM a) Aplica-se, portanto, a condição de equilíbrio e a de compatibilidade para

solucionar o problema:

Condição de equilíbrio: ∑𝑇 =

0𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑇D +𝑇0 − 𝑇2 = 0

Condição de compatibilidade: 𝜑 =

𝜑D +𝜑0 = 0

Com𝜑D = −&u∙0vTefg

; 𝜑0 = +𝑇D x0vTefg

+ vTefh

y = 0 → 𝜑 = −&u∙0vTefg

+ 𝑇D x0vTefg

+ vTefh

y →

𝑇D =&u∙0v

Tefg{g|}~fg

|}~fh

𝑇D =&u∙0v

{0v|}~fg}~fh= &u∙0

{0}~fg}~fh= &u∙0

[0/]= 0

4𝑇2

Lembrando que: 𝑇D +𝑇0 − 𝑇2 = 0logo 𝑇0 = 𝑇2 − 𝑇D Logo, 𝑇0 =/4𝑇2

ITEM b) Com base no resultado do item a é possível representar abaixo o diagrama do

momento de torção.

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ENGENHARIA HIDRÁULICA E SANITÁRIA

(ENGENHEIRO CIVIL – MARINHA – 2017) Com relação a uma instalação hidrossanitária

predial, faça o que se pede.

(a) Explique como ocorre o fenômeno conhecido como “golpe de aríete”.

(b) Cite 2 (dois)equipamento /elementos da instalação hidráulica que podem apresentar

a ocorrência do golpe de aríete.

(c) Cite 2 (dois) fatores que são responsáveis por tensionamentos em tubulações.

(d) Qual dispositivo deverá ser instalado em lugares propícios a alagamentos para evitar

o retorno do esgoto da rede pública para o interior da edificação.


Resolução:

(a) Explique como ocorre o fenômeno conhecido como “golpe de aríete”.

Golpe de aríete é a designação que se dá às variações de pressão decorrentes de

variações da vazão, causadas por alguma perturbação que se impõe ao fluxo de líquidos

em condutos.

(b) Cite 2 (dois) equipamentos /elementos da instalação hidráulica que podem

apresentar a ocorrência do golpe de aríete.

Dentro de um sistema hidráulico predial, o golpe de aríete pode ocorrer em bombas de

recalque, máquinas de lavar roupa, válvulas de descarga, registros de esfera, registros

de gaveta, entre outros.

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(c) Cite 2 (dois) fatores que são responsáveis por tensionamentos em tubulações.

O golpe de aríete pode ser resultado das ações de abertura ou fechamento de registros

e parada de bombas recalque causadas por desligamento ou queda de energia.

(d) Qual dispositivo deverá ser instalado em lugares propícios a alagamentos para evitar

o retorno do esgoto da rede pública para o interior da edificação.

A válvula de retenção para esgoto tem por finalidade impedir o refluxo de esgotos

públicos, bem como o acesso de animais (roedores). Este material é dotado de anéis de

vedação na tampa superior e na portinhola, que devem estar posicionados de forma

correta para um bom funcionamento.

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3. QUESTÕES COMENTADAS DE CONCURSOS DO EXÉRCITO


(ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO – EXÉRCITO – IME – 2018) A maioria

das estruturas de grande porte existentes no Brasil são de concreto armado. Neste tipo

de material, os cimentos hidráulicos ou resistentes à água são fundamentais. Esses

cimentos são constituídos basicamente de cimento Portland e suas modificações, sendo

as reações químicas entre os seus compostos e a água responsáveis pelas propriedades

do concreto produzido. Neste contexto, cite quais são os principais constituintes do

clínquer do cimento Portland e suas influências no cimento.


Resolução: O clínquer é formado por quatro constituintes principais: alita, belita,

aluminato cálcico e ferroaluminato tetracálcico. A alita é responsável pelo

desenvolvimento das resistências mecânicas dos cimentos nas primeiras idades. A belita

é responsável pelo desenvolvimento de resistências às idades mais avançadas. O

aluminato cálcico é um dos responsáveis pelo endurecimento inicial do cimento. Já o

ferroaluminato tetracálcico confere ao cimento resistência à corrosão.

ORÇAMENTO DE OBRAS

(ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO – EXÉRCITO – IME – 2015) Um órgão

da Administração Pública está estudando a viabilidade técnica e econômica da

construção de um empreendimento com valor estimado de R$100 milhões e prazo de 5

anos. Tendo em vista que o órgão precisa garantir os recursos no orçamento federal

para custear a obra, é necessário fazer uma estimativa prévia do custo do

empreendimento ano a ano. Ainda não dispondo de um cronograma detalhado, a

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equipe do estudo de viabilidade decidiu adotar uma distribuição padrão dos custos ao

longo da construção. Considerando que, para a execução de uma obra de engenharia, o

pico de utilização do recurso se dá a 56% do prazo total e o valor recomendado para o

coeficiente de forma é de 1,65, elabore a curva S da execução da obra.


Resolução:

Valor estimado: R$100 milhões

Prazo: 5 anos

Considerando:

• distribuição padrão dos custos

• pico de utilização do recurso se dá a 56% do prazo total

• coeficiente de forma é de 1,65

A questão indica que é necessário fazer uma estimativa prévia do custo do

empreendimento ano a ano, portanto o intervalo para construção será anual,

totalizando 5 anos.

Como a curva S tem uma distribuição padrão dos custos, tem-se que a equação dessa

curva será dada por:

% acum (n) = 1 – [1 –(n/N) Log I] S

Onde:

% acum(n)= Percentual acumulado até o período n;

n = número do período

N = prazo (total de períodos do projeto)

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I = ponto de inflexão (indica onde o projeto atingirá o ponto máximo e ocorrerá a

mudança da concavidade da curva) – na equação deve ser considerado o valor do

número inteiro, sem considerar o percentual

S = coeficiente de forma (depende do rítmo da obra)

Portanto, para a questão tem-se que:

n varia de 1 a 5 anos

N = 5 anos

I = 56

S = 1,65

Ano 1: % acum (1) = 1 – [1 –(1/5) Log 56] 1,65 = 0,097 = 9,7%

Ano 2: % acum (1) = 1 – [1 –(2/5) Log 56] 1,65 = 0,310 = 31%

Ano 3: % acum (1) = 1 – [1 –(3/5) Log 56] 1,65 = 0,581 = 58,1%

Ano 4: % acum (1) = 1 – [1 –(4/5) Log 56] 1,65 = 0,845 = 84,5%

Ano 5: % acum (1) = 1 – [1 –(5/5) Log 56] 1,65 = 1,000 = 100%

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6

% A

CUM

ULA

DO

MESES

CURVA S

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PROJETO E DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO

(Engenharia de Fortificação e Construção – IME – 2014) Uma viga biapoiada de concreto

armado de 4 m de vão livre suporta em equilíbrio uma carga uniformemente distribuída

de 15kN/m. Sua seção é constante, reta e retangular de 150mm x 450mm. Na seção de

momento fletor máximo, com o uso do diagrama retangular simplificado para tensões

de compressão do concreto, determine:

a) a altura da linha neutra;

b) a armadura longitudinal de tração (valor, número de barras e bitola do aço);

c) a altura útil da viga;

d) o braço de alavanca;

e) as deformações últimas do concreto e do aço;

f) o domínio para o estado limite último;

g) o detalhamento da seção transversal.

Dados:

- resistência característica do concreto à compressão: fck = 35 MPa;

- coeficiente de minoração da resistência do concreto: γc = 1,4;

- resistência característica do aço ao escoamento: fyk = 500 MPa;

- coeficiente de minoração da resistência do aço: γs = 1,15;

- cobrimento do concreto: c = 25 mm;

- diâmetro da armadura transversal: ɸw = 5 mm.

Grau de dificuldade: Difícil

Resolução: Trata-se de um problema de dimensionamento de viga sob flexão. Deve-se

iniciar o problema determinando o máximo momento de projeto atuante na estrutura

adotando as equações de equilíbrio estático. Por se tratar de uma viga bi apoiada sob

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carga distribuída ao longo de todo o vão, podemos calcular o máximo momento fletor

pela equação que se segue:

𝑀"v$ =𝑄𝑙0

8 = 15 × 40

8 = 30𝐾𝑁.𝑚

Cálculo do momento de projeto

𝑀- = 𝑀"v$ × 𝛾 = 30 × 1,4 = 42𝐾𝑁.𝑚

Deve-se neste momento calcular a altura útil (d) a partir da seguinte equação:

𝑑 = ℎ − 𝑐 − ɸw → d = 45 − 2,5 − 0,5 → d = 42cm

A adoção do diagrama retangular simplificado significa que o dimensionamento deve

ser feito no estádio III. Adotando o domínio 3, onde o concreto encontra-se na ruptura

e o aço tracionado em escoamento. Neste domínio há um aproveitamento máximo dos

dois materiais.Com isso é possível calcular a posição da linha neutra adotando as

relações de deformação como se segue:

𝜀'(𝜀' + 𝜀)

=3,5

3,5 + 𝜀-

𝜀- =𝑓-𝐸

=500

1,15210000 = 0,00207

𝜀'𝑥 =

𝜀𝑑 − 𝑥 →

3,5𝑥 =

2,0742 − 𝑥 → 5,57𝑥 = 147 → 𝑥 = 26,40𝑐𝑚

A posição da linha neutra é então dada por:

𝑥 = 26,40𝑐𝑚

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Para determinar a armadura longitudinal de tração é preciso calcular a área de aço (𝐴)

a partir das seguintes equações:

𝛽$" =𝜀'

(𝜀' + 𝜀)=

3,53,5 + 𝜀-

𝜀- =𝑓-𝐸

=500

1,15210000 = 0,00207

Logo, 𝛽$" = /,4

/,40,2<= 0,6284

Conhecido o valor de 𝛽$" deve-se calcular o valor de 𝛽$ para o problema proposto

adotando a seguinte equação:

𝑀- = 0,68 × 𝑏 × 𝑑² × 𝛽$ × 𝑓'- × (1 − 0,4 × 𝛽$)

4200 = 0,68 × 15 × 𝑑² × 𝛽$ ×35

10 × 1,4 × (1 − 0,4 × 𝛽$)

4200 = 46059𝛽$ − 18423,75𝛽$² dividindo por 4200 temos:

4,39𝛽$0 − 10,97𝛽$ + 1= 0

Adotando a fórmula de Bhaskara temos:

𝛥 = (−10,97)0 − 4 × 4,39 × 1

𝛥 = 102,7

−𝑏 ± √𝛥2𝑎 =

10,97 ± 10,1348,78

𝛽$¢ = 2,40𝑁ã𝑜𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒

𝛽$¢¢ = 0,1 < 𝛽$" atende!

Como o valor encontrado para 𝛽$ foi menor que 0,259 é maior que zero o

dimensionamento é feito no domínio 2 como se segue:

𝑀𝑑 = 0,68 × 𝑏 × 𝑑0 × β$ × 𝑓'- × (1 − 0,4 × β$) + A¢ × 𝜎¢(𝑑 − 𝑑¢)

4200 = 0,68 × 15 × 420 × 0,1 ×35

10 × 1,4 ×(1 − 0,4 × 0,1) + A¢ ×

50010 × 1,15 (42

− 3)

22

4200 = 4318,27 + A¢ × 1695,7

A¢ =4200 − 4318,27

1695,65 → A¢ = 0,00𝑐𝑚²

Conhecido o valor de A¢ , pode-se calcular o valor da área de aço(As), adotando a seguinte

equação:

0,68 × 𝑏 × 𝑑 × β$ × 𝑓'- × (1 − 0,4 × β$) + A¢ × 𝜎¢ − 𝐴 × 𝜎 = 0

0,68 × 30 × 42 × 0,1 ×35

10 × 1,4 × (0,96) + 0 ×500

10 × 1,15 − 𝐴 ×500

10 × 1,15 = 0

205,632 − 𝐴 × 43,48 = 0

𝐴 =205,63243,48

𝐴 = 4,73𝑐𝑚²

A taxa de armadura é calculada por:

𝜌 =𝐴𝑏 × 𝑑 =

4,7315 × 42 = 0,751%

A taxa de armadura mínima exigida pela ABNT NBR 6118 é de 0,15%

Deve-se então adotar: 𝛷12,5 → 𝐴 =,×D0,4²

>= 1,23𝑐𝑚0 → 4 Φ de 12,5mm

Resposta:

a) 𝑥 = 26,40𝑐𝑚

b) 𝐴 = 4,73𝑐𝑚² → 4 Φ de 12,5 mm

c) d = 42cm

d) z = 38,125 cm

e)𝜀' = 0,0035 𝑒𝜀 = 0,00207

f) Domínio 2

g)

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MÉTODO DAS FORÇAS

(ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO – IME – BANCA AVALIADORA – 2014)

Determine a carga P (emkN) da estrutura acima para que sua flecha no meio do vão seja

igual a 20 mm. Adote para a viga o valor da rigidez à flexão EJ constante e igual a

100.000kNm2.


Dica do autor: Mudar a estrutura original pode ser um artifício útil, desde que a pessoa

que esteja fazendo isso tenha bastante prática com esse tipo de estratégia. Vale lembrar

que não é obrigatória essa simplificação, mas permite uma redução do volume dos

cálculos. Isso significa menor cansaço mental que, para esse tipo de provas bastante

extensas, representa um recurso a mais.

Resolução: Nota-se que a estrutura a ser analisada apresenta simetria tanto nos vínculos

(ambos de engaste), quanto no carregamento (com duas cargas concentradas P na

mesma direção e com distâncias iguais das extremidades da viga). Antes de proceder ao

cálculo dos esforços solicitantes, procede-se com a determinação geométrica da

estrutura:

24

g = be - bn

Onde:

g = grau hiperestático,

be = número de barras simples e de barras vinculares existentes na estrutura;

bn = número de barras necessárias para que a estrutura em estudo seja determinada.

Como mostrado no desenho abaixo, be = 6 barras vinculares (3 por cada engaste);

bn = 3 x C com C = n. de chapas, logo bn=1 e o grau hiperestático

g = 6 – 3 = 3

Para resolver a questão, neste caso, utiliza-se o método das forças. Pela determinação

geométrica, a estrutura apresenta três graus de hiperestaticidade, mas devido às

simetrias (geométrica e de carga), existe uma única incógnita, pois a reação

hiperestática horizontal é nula, sendo que não existe nenhuma carga horizontal. Assim

sendo, a estrutura triplamente hiperestática pode ser reduzida e simplificada com uma

outra estrutura hiperestática que represente metade da estrutura original. Uma das

opções é de trabalhar com a estrutura hiperestática simplificada pela simetria mostrada

abaixo.

25

A estrutura isostática (sistema principal) é obtida removendo o vínculo de rotação

aplicado na extremidade em decorrência dos engastes e deixando um patin à direita.

Consequentemente, a incógnita é representada pelo único momento X1, aplicado na

extremidade esquerda da viga simplificada, assim como mostrado na figura abaixo:

Desfrutando o princípio dos esforços, escreve-se a equação de compatibilidade e

resolve-se a equação linear em uma única incógnita 𝑋D

𝛿D2 + 𝛿DD𝑋D = 0

𝛿D2 = D¯e ∫ 𝑀D ∙ 𝑀2

S2 𝑑𝑥e 𝛿DD =

D¯e ∫ 𝑀D ∙ 𝑀D

S2 𝑑𝑥

Sabendo que o DMF do sistema principal como o hiperestático aplicado X1 é mostrado

a seguir,

E com o DMF do sistema principal com o momento unitário aplicado no nó C,

26

é possível calcular 𝛿D2 e 𝛿DD

𝛿D2 =1𝐸𝐼 ±

26[1 ∙ (2 ∙ 0 + 2) + 1(2 ∙ 2 + 0)] +

26[1 ∙ (2 ∙ 2 + 2) + 1 ∙ (2 ∙ 2 + 2)]²

=6𝐸𝐼

𝛿DD = 0L[1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + 1(2 ∙ 1 + 1)] + 0

L[1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1)] = >

¯e

L¯e+ >³h

¯e= 0 logo 𝑋D = −

L>= −1,5𝑘𝑁

Sendo assim, pelo princípio de sobreposição dos efeitos (PSE), o DMF da estrutura

original da estrutura simplificada pela simetria é o seguinte:

Portanto, com base nesse último DMF e aplicando uma carga unitária na extremidade

direita da estrutura, assim como mostrado na figura abaixo com relativo DMF,

27

É possível calcular o valor do deslocamento no meio da barra por uma carga unitária.

Para calcular o valor da flecha no meio do vão, considera-se uma carga unitária aplicada

na extremidade direita. Multiplicam-se os diagramas dos momentos fletores da

estrutura real com carregamento verdadeiro e da estrutura fictícia com carga igual a

um, lembrando que EI=100.000kNm2, obtém-se o seguinte cálculo

𝛿D2 =1𝐸𝐼 ±−

1,56[0 + 1,5(2 ∙ 0 + 1,5)] +

0,56[1,5 ∙ (0 + 0,5) + 2 ∙ (2 ∙ 0,5 + 0)]

−26[2 ∙ (2 ∙ 0,5 + 0,5) + 4 ∙ (2 ∙ 0,5 + 0)]² =

−1𝐸𝐼

(1,5/ + 1,375 + 18)

=166𝐸𝐼 ≅ 2, 6

¶ ∙ 10;4𝑚

Ou seja, quando no meio da estrutura é aplicada uma carga unitária P, o valor da flecha

é de 0,026¶𝑚𝑚.

Logo, sendo válida a condição do PSE, o valor de P pelo qual se atinge uma flecha de

20mm será obtido pela seguinte formulação:

12, 6¶

=𝑃20 → 𝑃 =

202, 6¶

= 7,5𝑘𝑁

Acima, representa-se a linha elástica da estrutura simplificada.

Resposta: P = 7,5kN

(ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO – IME – 2015)

28

A figura acima apresenta um pórtico plano simples em equilíbrio formado por o pilar CB

que suporta a viga AC. O pilar recebe, ao longo de toda sua altura, uma carga horizontal

uniformemente distribuída de 8kN/m e a viga suporta uma carga concentrada de 40kN

no meio do vão. Considerando os valores de rigidez à flexão da viga e do pilar

respectivamente iguais a 48000kNm2 e 24000kNm2, determine o valor da rotação, em

radianos, do apoio A.

DADOS

Integral de

Mohr:


Dica do autor: Nota-se que o valor da rotação é negativo. Isso faz sentido, visto que o

tipo de carregamento e estrutura faz com que a deformação no apoio A seja horária.

Repara-se também que a rigidez da viga é o dobro do valor do pilar. Isso pode ajudar na

manipulação matemática do sistema, transformando o sistema em um cálculo mais

“simples”.

Resolução: Antes de proceder ao cálculo dos esforços solicitantes, procede-se com a

determinação geométrica da estrutura:

29

g = be - bn

Onde:

g = grau hiperestático,

be = número de barras simples e de barras vinculares existentes na estrutura;

bn = número de barras necessárias para que a estrutura em estudo seja

determinada.

Como mostrado no desenho ao

lado,

be = 5 barras vinculares

(3 para o engaste + 2 para o apoio

fixo);

bn = 3 x C com C = 1 (n. de chapas),

logo

bn = 3

g = 5 – 3 = 2

Figura 1: Determinação geométrica da estrutura

Para resolver a questão, neste caso, utiliza-se o método das forças. Pela determinação

geométrica, a estrutura apresenta dois graus de hiperestaticidade, portanto, existem

duas incógnitas. Uma das opções é trabalhar com a estrutura isostática representada a

seguir. A estrutura isostática é obtida colocando uma rótula interna em C e removendo

o vínculo de rotação no engaste do nó B, transformando em um apoio fixo.

Consequentemente, as incógnitas são representadas respectivamente por os dois

momentos X1 e o X2, assim como mostrado na figura abaixo:

30

Aplicando o princípio dos esforços, escrevem-se as duas equações de compatibilidade e

resolve-se o sistema linear em 𝑋D e 𝑋0

𝛿D2 + 𝛿DD𝑋D + 𝛿D0𝑋0 = 0

𝛿02 + 𝛿0D𝑋D + 𝛿00𝑋0 = 0

𝛿D2 = D¯e ∫ 𝑀D ∙ 𝑀2

S2 ∙ 𝑑𝑥enquanto 𝛿02 =

D¯e ∫ 𝑀0 ∙ 𝑀2

S2 ∙ 𝑑𝑥

𝛿DD = D¯e ∫ 𝑀D ∙ 𝑀D

S2 ∙ 𝑑𝑥enquanto 𝛿00 =

D¯e ∫ 𝑀0 ∙ 𝑀0

S2 ∙ 𝑑𝑥

𝛿D0 = D¯e ∫ 𝑀D ∙ 𝑀0

S2 ∙ 𝑑𝑥e com 𝛿0D = 𝛿D0

Portanto, é possível calcular 𝛿D2; 𝛿02; 𝛿DD; 𝛿00 e 𝛿D0

Acima, representam-se os diagramas dos momentos fletores para as hiperestáticas e

o carregamento.

31

𝛿D2 = −1

(𝐸𝐼)·{−4 ∙

14 ∙ 40 ∙ 1 + −

1(𝐸𝐼)¸

{−4 ∙14 ∙ 40 ∙ 1 = −

40(𝐸𝐼)·

−9

(𝐸𝐼)¸

𝛿DD =D

(¯e)¹x4 ∙ D

/ ∙ 1 ∙ 1y + D

(¯e)ºx3 ∙ D

/ ∙ 1 ∙ 1y = >

(¯e)¹+ D

(¯e)º

𝛿D0 = 𝛿0D =1

(𝐸𝐼)·[0] +

1(𝐸𝐼)¸

{3 ∙16 ∙ 1 ∙ 1 =

12(𝐸𝐼)¸

𝛿00 =D

(¯e)¹[0] + D

(¯e)ºx3 ∙ D

/ ∙ 1 ∙ 1y = D

(¯e)º

Logo, o sistema resolutivo é:

⎩⎪⎨

⎪⎧¿

43(𝐸𝐼)·

+1

(𝐸𝐼)¸À𝑋D +

12(𝐸𝐼)¸

𝑋0 =40(𝐸𝐼)·

+9

(𝐸𝐼)¸1

2(𝐸𝐼)¸𝑋D +

1(𝐸𝐼)¸

𝑋0 =9

(𝐸𝐼)¸

Sabendo que (𝐸𝐼)· = 48000kNm2 e (𝐸𝐼)¸ = 24000kNm2, ou seja, (𝐸𝐼)· = 2(𝐸𝐼)¸ logo,

o sistema pode ser reescrito de forma simplificada:

ÁB46+ 1I𝑋D +

12𝑋0 =

402+ 9

12𝑋D + 𝑋0 = 9

os valores de 𝑋D e 𝑋0 são, respectivamente, 17,294kNm e 0,353kNm.

Portanto, para obter o valor da rotação em A, aplica-se um momento horário unitário

no nó A e multiplica-se o DMF da estrutura isostática com carregamento real, com o

DMF da estrutura auxiliária.

32

Multiplicando os diagramas dos momentos das estruturas isostáticas,

𝜃 =1

(𝐸𝐼)·±{4 ∙

16 ∙ 1 ∙ 17,293 + {−4 ∙

14 ∙ 40 ∙ 1² = −

9(𝐸𝐼)·

Lembrando que (𝐸𝐼)· = 48000kNm2, o valor final de 𝜃 é de – 0,000593138 radianos.

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E-book Carreiras Militares...NBR 6118:2003 fala sobre diretrizes para durabilidade das estruturas de concreto, ou seja, o que se deve levar em consideração para que se tenha uma