卒 業 論 文

磁気浮上システムの製作と

PID制御による制御系設計に関する研究

石川工業高等専門学校 電気工学科

学籍番号 011230

橋本 哲幸

主任指導教員 河合 康典 助手

2006年 2月 22日

Copyright c© 2006 by hashimoto tetsuyuki

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hashimoto tetsuyuki

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要 旨

本研究では, 磁気浮上システムの製作を行い, PID制御による制御系設計をおこない, 製

作したシステムに適用し, 鉄球を安定に浮上させる.

はじめに, 磁気浮上システムの装置を作成し, そのシステムのパラメータを測定する.

次に, 磁気浮上システムを数学的モデルに変換し, MATLABを用いて, 最も基本的な制御

則である PID制御を用いてシミュレーションする.

最後に, シミュレーションを用いて作成したコントローラーの値をRTLinuxに入力し, 磁

気浮上システムを動作させる. さらに, コントローラーを微妙に変化させていきシステムを

さらに安定化させる.

　

i

目 次

第 1章 はじめに 1

1.1 研究の背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

第 2章 磁気浮上システムのモデリング 2

2.1 磁気浮上システムの概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 数学的モデルの導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 仮定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.2 線形化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 パラメータの測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

第 3章 PID補償による制御系設計 10

3.1 ステップ 1　　制御対象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 ステップ 2　　 P補償 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 ステップ 3　　 PD補償 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4 ステップ 4　　 PID補償 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

第 4章 実装実験 18

4.1 準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 実験結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

第 5章 おわりに 21

謝辞 22

参考文献 23

ii 図 目 次

図 目 次

2.1 磁気浮上システムの概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 鉄心の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 フレームの概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4 磁気浮上システムのブロック線図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 電磁石の特性測定回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 ギャップ-直流電流特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1 磁気浮上システムの周波数特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 磁気浮上システムの極配置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 P補償による磁気浮上システムの周波数特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 P補償による磁気浮上システムの極配置 (閉ループ系) . . . . . . . . . . . . . 12

3.5 P補償による磁気浮上システムのナイキスト軌跡 . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.6 PD補償による磁気浮上システムの周波数特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.7 PD補償による磁気浮上システムの極配置 (閉ループ系) . . . . . . . . . . . . 14

3.8 PD補償による磁気浮上システムのナイキスト軌跡 . . . . . . . . . . . . . . 14

3.9 PID補償による磁気浮上システムの周波数特性 . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.10 PID補償による磁気浮上システムの極配置 (閉ループ系) . . . . . . . . . . . 15

3.11 PID補償による磁気浮上システムのナイキスト軌跡 . . . . . . . . . . . . . . 15

3.12 感度関数-相補感度関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.13 PID補償による磁気浮上システム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.14 制御入力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.15 出力偏差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1 配線図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 磁気浮上システム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 制御入力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.4 出力偏差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

iii

4.5 周波数特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.6 制御入力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.7 出力偏差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

iv 表 目 次

表 目 次

2.1 電磁石の特性測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 モデルパラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1

第 1章

はじめに

1.1 研究の背景

高速に移動あるいは回転する物体の支持や真空中や高温・低温中といった特殊環境での支

持では，従来の接触式の支持機構を用いると振動・騒音・摩擦・摩耗（潤滑）の問題により

性能に限界が生じる. このような問題を解決するものとして磁気浮上システムに代表される

非接触支持機構が期待されており, 現在様々な分野において盛んに研究がおこなわれている.

リニアモーターカもそのような磁気浮上システムの一つであり, 非接触支持のために高速

走行が可能になる上に騒音などの公害問題の解決にもつながっている. リニアモーターカの

代表的なものとしては愛・地球博の交通機関として活躍していたリニモ,ドイツのTransrapid

などがある.

1.2 目的

磁気浮上システムとは, 鉄球などの対象物を非接触で安定に浮上させるシステムである.

本研究では, 最も基本的な制御則である PID補償を用いて磁気浮上システムを構築し, 実際

に製作したシステムに適用し, 鉄球を安定に浮上させる.

1.3 構成

本稿では, 本研究で製作している磁気浮上システムを説明し, そのシステムを数学的モデ

ルに変換する. 製作した装置のパラメータを測定し, MATLABを用いてシミュレーション

する. そのシミュレーションによって求まったコントローラーを製作した装置に適用し鉄球

を浮上させる.

2 第 2 章 磁気浮上システムのモデリング

第 2章

磁気浮上システムのモデリング

2.1 磁気浮上システムの概要

磁気浮上システムは, コイルに電流を流し電磁石にすることで, その吸引力で鉄球を浮か

せる. このシステムは, コイル-鉄球間の距離をセンサで読み取り, その目標値との誤差を無

くすようにフィードバックコントローラにより吸引力を変化させ, 鉄球を一定値に, 浮上さ

せる装置です. 磁気浮上システムは, Fig. 2.1のように構成されている

Fig. 2.1: 磁気浮上システムの概要

・電磁石の製作:

Fig. 2.2の鉄芯を用い, その内側に直径 0.8 [mm]の導線を約 3000回巻いたが, アンプが

作動しなかったので約 800回に減らした. 原因はコイルのインダクタンスが大きすぎたと考

えられる.

2.2. 数学的モデルの導出 3

・フレームの製作:

Fig. 2.3に示す大きさでアルミフレームを用いている.

MISUMI アルミフレーム HFS6

・センサ:

OMRON 形 ZX-LT010

・アンプ:

Copley Controls Corp, JSP-090-10

20

2510mm

95

90

20

Fig. 2.2: 鉄心の概要 Fig. 2.3: フレームの概要

2.2 数学的モデルの導出

2.2.1 仮定

• 鉄心には磁気飽和, ヒステリシスはない.

• 鉄心の透磁率は無限大である.

• 鉄心中に生じるうず電流は無限大である.

• コイルのインダクタンスは平衡点近傍で一定であり速度起電力の項は無視できる.

これらの仮定のもとで, 磁気浮上システムは以下の式で記述される.

・運動方程式

Md2x(t)

dt2= Mg − fmag(t) (2.1)

4 第 2 章 磁気浮上システムのモデリング

・電磁石吸引力式

fmag(t) = k

(I + i(t)

X + x(t) + x0

)2

(2.2)

・電気回路方程式

Ldi(t)

dt+R(I + i(t)) = E + e(t) (2.3)

2.2.2 線形化

テイラー展開の基本式は

f(x) =∞∑

n=0

f (n)

n!x(n)

= f(0) + ff (1)(0)

1!x+ · · ·

f(x, y) = f(x(0), y(0)) +∂∂x

f (1)(x(0), y(0))

1!x+

∂∂y

f (1)(x(0), y(0))

1!y

となる.

・電磁石吸引力式のテイラー展開

(2.2)式より

∂f

∂x= k

(−(I + i(t))2(X + x(t) +X0)′

(X + x(t) + x0)4

)

= k

(−(I + i(t))22(X + x(t) +X0)

(X + x(t) + x0)4

)

= k

( −2(I + i(t))2)

(X + x(t) + x0)3

)

= k−2K(I + i(t))2)

(X + x(t) + x0)3

∂f

∂i= k

2(I + i(t))

(X + x(t) + x0)2

∂f(0, 0)

∂x=

−2kI2

(X + x0)2

∂f(0, 0)

∂i=

2kI

(X + x0)2

2.2. 数学的モデルの導出 5

f(x, y) = kI2

(X + x0)2− 2kI2

(X + x0)3x(t) +

2kI

(X + x0)2i(t) (2.4)

となる.

・定常値

(2.3)式より微分の値が 0のとき

RI = E (2.5)

となる.

(2.1)式, (2.2)式より変数は 0となるから

Mg = kI2

(X + x0)2(2.6)

となる.

・線形化された運動方程式と電気回路方程式

(2.1)式に (2.4)式, (2.6)式を代入すると

Mgd2x(t)

dt2=

2kI2

(X + x0)3x(t) +

2kI

(X + x0)2i(t)

となる. ここで,

Kx :=2kI2

(X + x0)3, Ki :=

2kI

(X + x0)2(2.7)

とする. よって以下の方程式が得られる

Mgd2x(t)

dt2= Kxx(t)− Kii(t) (2.8)

また, (2.3)式, (2.5)式より

Ldi(t)

dt+Ri(t) = e(t) (2.9)

となり, (2.8)式, (2.9)式をラプラス変換

x(s)

i(s)=

−Ki

Ms2 −Kx(2.10)

i(s)

e(s)=

1

Ls+R(2.11)

よって, (2.10)式, (2.11)式より

P (s) =x(s)

e(s)=

−Ki

(Ms2 − Kx)(Ls +R)(2.12)

6 第 2 章 磁気浮上システムのモデリング

となる.

(2.12)式より, Fig. 2.4のように表すことが出来る. 以上で制御対象の数学的モデルが得

られた. このモデルに対して制御系設計を行う.

L s Ki ssM

R Kx

e i yr

Fig. 2.4: 磁気浮上システムのブロック線図

2.3 パラメータの測定

電磁石の吸引力 f は通常, 次式のように与えられる.

f = k

(i

x

)2

(2.13)

ここで,

i :電磁石に流れる電流

x :電磁石と鉄球のギャップ

k :定数

しかし (2.13)式でギャップが 0になると吸引力 f は無限大になってしまう. しかし実際に

はギャップが 0であっても吸引力 fは有限の値をとるので次式を電磁石の吸引力をあらわす

式とした.

f = k

(i

x+ x0

)2

(2.14)

電磁石の吸引力を表す式 (2.14)の定数 k, x0を求めるために以下の方法を用いた.

本研究に使用する鉄球を用いて電磁石と鉄球のギャップ-直流特性を調べた. 測定は, Fig.

2.5のように電磁石と鉄球の間に紙などをはさみ鉄球を電磁石に吸いつけ電磁石の印加電圧

を徐々に下げていき, 鉄球が落下する瞬間の電流を測定した. 結果を Fig. 2.6に示す.

ギャップは 5 [mm]としたいのでそのときの電流値を読むと, I=2.41 [A]となる.

2.3. パラメータの測定 7

Fig. 2.5: 電磁石の特性測定回路

Table 2.1: 電磁石の特性測定

ギャップ [mm] 直流電流 [A]

1 1.10

2 1.34

3 1.52

4 1.96

5 2.41

6 3.05

7 3.75

8 4.60

8 第 2 章 磁気浮上システムのモデリング

Fig. 2.6: ギャップ-直流電流特性

次に (2.14)式を変形して次式を得る.

i =

√f

kx+

√f

kx0 (2.15)

この式により鉄球の質量M が一定, つまり吸引力 f が一定のときギャップ- 直流電流特性

は直線になるはずである. しかしFig. 2.6をみるとギャップと電流電流の関係は直線になっ

ていない. そこでこの関係をギャップ 5[mm]における接線により線形近似して, この接線の

傾きと切片より定数 k, x0を求める. このようにして求まった値は次の通りである.

k = 10.817 × 10−6　 [Nm/A2]

x0 = −0.5850× 10−3　 [m]

以上によりギャップ 5[mm]で線形近似した電磁石の吸引力は次式のようになる.

f = 10.817 × 10−6

(i

x− 0.5850 × 10−3

)2

　 [N] (2.16)

(2.16)式をみるとx0が負の値なので x = 0.5850× 10−3の時に吸引力は無限大となってし

まうが, これは (2.16)式が電磁石とギャップ 5[mm]のときに吸引力をギャップ-直流電流特性

より線形近似して求めたことにより起こったのだと考えられる. 実際にはギャップ 5 [mm]

の近傍での特性がわかればよいので問題はないと考えられる.

2.3. パラメータの測定 9

また, (2.7)式より,

Kx =2kI2

(X + x0)3=

2× 10.817 × 10−6 × (2.41)2

(5.00× 10−3 − 0.5850× 10−3)3= 1.4601 × 103　 [N/m]

Ki =2kI

(X + x0)2=

2× 10.817 × 10−6 × 2.41(5.00× 10−3 − 0.5850× 10−3)2

= 2.6748　 [N/A]

となる.

LとRはインダクタンス測定器を使い求めた.

L = 33.5× 10−3　 [H]

R = 1.004　 [Ω]

数学モデルのパラメータを表 2.2に示す.

Table 2.2: モデルパラメータ

パラメータ 値 単位

M 0.335 [Kg]

X 5.00× 10−3 [m]

I 2.41 [A]

k 10.817 × 10−6 [Nm2/A2]

x0 −0.5850× 10−3 [m]

Kx 1.460× 103 [N/m]

Ki 2.675 [N/A]

L 33.5× 10−3 [H]

R 1.004 [Ω]

10 第 3 章 PID補償による制御系設計

第 3章

PID補償による制御系設計

PID補償では, 偏差の比例 (Proportional), 積分 (Integral), 微分 (Derivative) の線形結合に

よって操作量が決定される. PIDコントローラーは

KPID(s) = KP +KI

s+KDs = Kp

(1 +

1

TIs+ TDs

)

で与えられる. ここで TI = KP /KI は積分時間, TD = KD/KP は微分時間と呼ばれる. ここ

では, P補償, PD補償, PID補償での設計を通して, それぞれの役割を確認していく.

ステップ 1 制御対象

磁気浮上システムのボード線図を描き, 周波数特性を調べる. 極配置により安定性を

調べる.

ステップ 2 P補償

ゲイン交差周波数ωgcを進めるように, P補償を考えゲインKP を決める. 今回の磁気

浮上システムでは ωgcが 10以上になるようなゲインKP を選ぶ.

ステップ 3 PD補償

系を安定化させるため, 微分動作を付加したPD補償を考えゲインKDを決める. 位相

余裕が得られるようにゲインKDを選ぶ.

ステップ 4 PID補償

PD補償により安定化した系に対して, 定常特性を改善するために, 微分動作を付加し

た PID補償を考えゲインKI を決める.

3.1. ステップ 1　　制御対象 11

3.1 ステップ1　　制御対象

制御対象として, 磁気浮上系 P (s)を考えます.

P (s) =−Ki

(Ms2 − Kx)(Ls+R)× (−1)

ここで P (s)に (−1)がかかっているのは今回の磁気浮上系では入力電圧を＋方向に大きくすると電磁石と鉄球の距離は小さくなり, 逆に入力電圧を小さくすれば距離は大きくなる

ため, これを補正するための係数である.

-120

-100

-80

-60

-40

Magnitude (dB)

100

101

102

103

-270

-225

-180

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Fig. 3.1: 磁気浮上システムの周波数特性

-50 0 50-1

-0.5

0

0.5

1Pole-Zero Map

Real Axis

Imaginary Axis

Fig. 3.2: 磁気浮上システムの極配置

磁気浮上システムのボード線図と極配置をそれぞれ Fig. 3.1, Fig. 3.2に示す. このとき,

磁気浮上システムは不安定な極を１つ持つ. よって磁気浮上システムは不安定なシステムで

ある.

3.2 ステップ2　　P補償

P補償について考える. P補償は, 比例ゲインKP (定数)を用いてコントローラーを

KP (s) = KP

とおいたものである. この比例ゲインKP は, ボード線図において, 位相は変化させずに, ゲ

インのみを全周波数帯域で 20 logKP 押し上げる働きをする.

P補償したボード線図を Fig. 3.3に示す. 実線は P補償の場合であり, 破線は制御対象の

ボード線図である. 実線と点線を比較してみると, 比例ゲインKP = 1000としているから,

12 第 3 章 PID補償による制御系設計

全周波数帯域で位相は変化させずに, ゲインのみ 20 log 1000 = 60[dB]だけ上に押し上げあ

られることが確認できる.

-100

-50

0

Magnitude (dB)

100

101

102

103

-270

-225

-180

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Fig. 3.3: P補償による磁気浮上システムの周波数特性

-100 -50 0-20

-10

0

10

20Pole-Zero Map

Real Axis

Imaginary Axis

Fig. 3.4: P補償による磁気浮上システムの極

配置 (閉ループ系)

-2 -1.5 -1 -0.5 0-1

-0.5

0

0.5

1Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

Fig. 3.5: P補償による磁気浮上システムのナ

イキスト軌跡

実行結果から開ループ伝達関数の不安定極が一つあり (Π = 1), Fig. 3.5より, ナイキス

ト軌跡が点 (-1,0)のまわりを時計方向に１回りしていること (N = 1)から, ナイキスト安定

判別法より, Z = N +Π = 1 + 1 = 0なので, P補償した磁気浮上システム (KP = 1000) は

不安定であることがわかる. また, Fig. 3.4から不安定極が 2つあることから, P補償した磁

気浮上システムは不安定であることがわかる.

3.3. ステップ 3　　 PD補償 13

3.3 ステップ3　　PD補償

系の安定化と過渡特性の改善のために, PD補償を考える.

KPD(s) = KP +KDs = KP (1 + TDs)

PD補償は折点角周波数ω = 1/TDまでゲインは,20 logKP [dB]で, これより上の周波数帯域

から+20[dB/dec]の傾斜でゲインが増加していく. これにともなって折点角周波数より上の

帯域で位相が進むため, 過渡特性の改善に役立つ.

しかし, 理想的な微分器は実現が困難であり, また微分動作はノイズを増幅してしまうこ

ともあるので, 今回は位相進み補償を考える.

KPD(s) = KPTDs+ 1

αTDs+ 1

ここで α < 1である. α→ 0とすれば, PD補償に一致する.

-100

0

Magnitude (dB)

10-1

100

101

102

103

104

105

-270

-225

-180

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Fig. 3.6: PD補償による磁気浮上システムの周波数特性

Fig. 3.6の実線は PD補償であり, 破線は P補償のボード線図である.

各ゲインは, KP = 1000, TD = 0.1, α = 0.004としたので, Fig. 3.6より折点角周波

数 ω = 1/TD = 10までのゲインは P補償のときと大体同じで, 1/TD < ω < 1/αTD ( =

10 < ω < 2500)の周波数帯域でゲインが増加している. また同じ帯域で位相が進んでいる

ことも確認できる.

14 第 3 章 PID補償による制御系設計

-3000 -2000 -1000 0 1000-150

-100

-50

0

50

100

150Pole-Zero Map

Real Axis

Imaginary Axis

Fig. 3.7: PD補償による磁気浮上システムの

極配置 (閉ループ系)

-3 -2 -1 0-2

-1

0

1

2Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

Fig. 3.8: PD補償による磁気浮上システムの

ナイキスト軌跡

実行結果より開ループ伝達関数の不安定極はがひとつ (Π = 1), Fig. 3.8より, ナイキス

ト軌跡が点 (-1,0)のまわりを, 反時計方向に１回りしている (N = −1)よってZ = N +Π =

−1+1 = 0なので,ナイキスト安定判別法よりPD補償した磁気浮上系 (KP = 1000, TD = 0.1,

α = 0.004) は安定であることがわかる. Fig. 3.7からもみてわかるように右半平面に極を持

たないことからも安定であることがわかる.

3.4 ステップ4　　PID補償

PI補償と PD補償をあわせることで, 定常特性と過渡特性の両方を改善するコントロー

ラーが得られる.

KPID(s) = KP +KI

s+KDs = KP

(1 +

1

TIs+ TDs

)

PID補償では低周波域でのゲインの傾斜は-20[dB/dec]であり, 折点角周波数ω = 1/TI で

のゲインの値は (折れ線近似で) 20 logKP [dB]となる. また, 折点角周波数 ω = 1/TDまでは

ゲインは 20 logKP [dB]で, これより上の周波数帯域から+20[dB/dec]の傾斜のゲインが増

加していく. これに伴って折点角周波数より上の帯域で位相が進む.

今回は, PD補償の変わりに位相進み補償をもちいたので,

KPID(s) = KPTDs+ 1

αTDs+ 1+

KI

s

となる.

3.4. ステップ 4　　 PID補償 15

-100

0

100

Magnitude (dB)

10-1

100

101

102

103

104

105

-270

-225

-180Phase (deg)

Bode DiagramGm = -4.98 dB (at 12.3 rad/sec) , Pm = 4.98 deg (at 137 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

Fig. 3.9: PID補償による磁気浮上システムの周波数特性

Fig. 3.9の実線は PID補償であり, 破線は PD補償のボード線図である.

各ゲインは, KP = 1000, TD = 0.1, KI = 10000で, α = 0.004としたので, 折点角周波数

ω = 1/TI = KI/KP = 10 以下の低周波でのゲインの傾斜は, −20[dB/dec]となっている事が確認できる. 同じ帯域での位相は, 遅れていることが確認できる. また, ω = 10より上の

周波数帯域では PD補償と同じようになっていることも確認できる.

また, ゲイン交差周波数は 136[rad/sec], 位相交差周波数は 226[rad/sec] となっており, そ

れぞれゲイン余裕Gmは 7.3[dB], 位相余裕 Pmは 4.98[deg]となった.

-3000 -2000 -1000 0 1000-150

-100

-50

0

50

100

150Pole-Zero Map

Real Axis

Imaginary Axis

Fig. 3.10: PID補償による磁気浮上システム

の極配置 (閉ループ系)

-3 -2 -1 0-3

-2

-1

0

1

2

3Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

Fig. 3.11: PID補償による磁気浮上システム

のナイキスト軌跡

実行結果から開ループ伝達関数の不安定極が１つあり (Π = 1), Fig. 3.11からナイキスト軌

跡が点 (-1,0)のまわりを反時計方向に1回まわり (N = −1),よってZ = N+Π = −1+1 = 0

16 第 3 章 PID補償による制御系設計

であるので,ナイキストの安定判別法よりPID補償した磁気浮上系 (KP = 1000, KI = 10000,

TD = 0.1, α = 0.004) は安定であることがわかる. また, Fig. 3.10より右半面に極を持たな

いことが読み取れることからも安定である事がわかる.

10−1

100

101

102

103

104

105

−150

−100

−50

0

50

100

Fig. 3.12: 感度関数-相補感度関数

また, パラメータ変動に対する外乱抑制・目標値追従に関する性能をよくするためには,

感度関数 S(s)を小さくするとよい. 一方, 雑音除去のなどの観点からは, 相補感度関数 T (s)

は小さいほうが望ましい. ところが, 感度関数と相補感度関数は, 関係式 S(s) + T (s) = 1を

満たさなければならないため, S(s)と T (s)を同時に小さくすることはできない.

しかし, 実際の制御系では感度関数と相補感度関数を小さくしたい周波数帯域が異なって

いる. 一般に, 感度関数を小さくしたいのは低周波域であり, 相補感度関数を小さくしたい

のは高周波域である.

ここで,

S(s) =1

1 + P (s)K(s)

T (s) =P (s)K(s)

1 + P (s)K(s)

と表せる.

Fig. 3.12の実線は感度関数, 破線は相補感度関数のボード線図である. S(s)は低周波域

で小さくなっており, T (s)は高周波域で小さくなっている.

3.4. ステップ 4　　 PID補償 17

s

KI(s)

Transfer Fcn1

a*TD.s+1

KP*[TD 1](s)

Transfer Fcn

Step

Scope1

Scope

K*u

MatrixGain7

K*u

MatrixGain6

K*u

MatrixGain5

K*u

MatrixGain4

K*u

MatrixGain3

K*u

MatrixGain2

1s

Integrator2

1s

Integrator1

1s

Integrator

Fig. 3.13: PID補償による磁気浮上システム

0 0.5 1-100

0

100

t [s]

u[V

]

Fig. 3.14: 制御入力

0 0.5 1-0.01

0

0.01

t [s]

y[m

]

Fig. 3.15: 出力偏差

Fig. 3.13のようなSIMULINKモデルを作成し,シミュレーションを行う. このSIMULINK

を実行したときの制御入力と出力をそれぞれ Fig. 3.14, 3.15に示す.

PID補償 (KP = 1000, TD = 0.1, KI = 10000, α = 0.004)は, 偏差が 0に収束しているこ

とがわかる.

18 第 4 章 実装実験

第 4章

実装実験

4.1 準備

Fig.4.1のように配線する.

Fig. 4.1: 配線図

4.2. 実験結果 19

4.2 実験結果

シミュレーションで安定化したコントローラー (KP = 1000, KD = 100, TD = 0.1, α =

0.004) の値をRTLinuxに入力する. 制御周期は 1[msec]でおこなう.

Fig. 4.2: 磁気浮上システム

0 1 2 3 4 5-200

-100

0

100

200

t [s]

u[V

]

Fig. 4.3: 制御入力

0 1 2 3 4 5-4

-2

0

2

4x 10

-3

t [s]

y[m

]

Fig. 4.4: 出力偏差

Fig. 4.2は, 動作させたときの装置です. また, そのときの制御入力と出力偏差をそれぞれ

Fig. 4.3, 4.4に示す.

このとき, 制御入力が 100[V]以上出ている原因は, AD/DAボードの性能が悪いか, コン

トローラーが高調波の雑音を増幅している可能性があると考えられる. 実際には, 制御入力

が 0～5[V]までしかでないようにプログラムしている. また, 出力の偏差にはまだばらつき

がみられた.

これらを改善できるようなコントローラーをシミュレーションを参考にして作成する.

20 第 4 章 実装実験

-100

0

100

Magnitude (dB)

10-1

100

101

102

103

104

105

-270

-225

-180

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Fig. 4.5: 周波数特性

改善したコントローラー (KP = 735, TD = 0.05, KI = 4000, α = 0.01) の周波数特性を

Fig. 4.5に示す. 破線は改善前, 実線は改善後のシステムのボード線図を示す.

0 1 2 3 4 5-200

-100

0

100

200

t [s]

u[V

]

Fig. 4.6: 制御入力

0 1 2 3 4 5-4

-2

0

2

4x 10

-3

t [s]

y[m

]

Fig. 4.7: 出力偏差

このコントローラーを用いて装置を動作させたときの制御入力と出力偏差をそれぞれFig.

4.6, 4.7に示す.

制御入力は Fig. 4.3に比べ振動を少し抑えることができた. また, 出力偏差は Fig. 4.4に

比べてばらつきが少なくなった.

よって, 最初に設計したコントローラーに比べ安定したコントローラーを作成することが

出来た.

21

第 5章

おわりに

　本稿では, 本研究で製作している磁気浮上システムを説明し, そのシステムを運動方程式

などをもとに数学的モデルに変換した. そして, その製作した装置のパラメータを測定し,

MATLABを用いてシミュレーションした. そのシミュレーションによって求まったコント

ローラーを製作した装置に適用し鉄球を安定に浮上させた.

22 謝辞

謝辞

本研究を進めるにあたり, 様々な指導をしてくださった河合康典 助手に心より深く感謝

いたします.

そして, 日頃から様々なご協力をいただいた 米田典正 氏, 寺西由佳 氏の河合研究室のメ

ンバーに感謝します.

最後に,これまでの研究生活を可能にし,暖かく見守っていただいた両親に深く感謝します.

23

参考文献

　

[1] 樋口, 自動制御理論, 森北出版, 1989.

[2] 杉江,藤田, フィードバック制御入門, コロナ社, 1999.