e II” MATERIALE OTTENUTO PER UNIONE DI DUE O PIU ... · MATERIALE COMPOSITO Meccanic • piccolo spessore • forte anisotropia del materiale per quanto riguarda: • proprietà

Lezioni sull’analisi FEM di strutture in materiale compositoh

e I

I”

MATERIALE COMPOSITO (DEFINIZIONE OPERATIVA)

MATERIALE OTTENUTO PER UNIONE DI DUE O PIU’ MATERIALI,CHIMICAMENTE E/O FISICAMENTE DISTINTI A LIVELLO

Mecc

an

ich CHIMICAMENTE E/O FISICAMENTE DISTINTI A LIVELLO

MACROSCOPICO ED INSOLUBILI, AVENTE PROPRIETA’TECNOLOGICAMENTE MIGLIORI RISPETTO A QUELLE DEICOMPONENTI SOTTO UNO O PIU’ ASPETTI

Str

utt

ure

0

05

-6

COMPONENTI SOTTO UNO O PIU ASPETTI

stit

a d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“


e I

I”

COMPOSITI NATURALI

MOLTI TESSUTI NATURALI POSSONO ESSERE FATTI RIENTRARE

Mecc

an

ich NELLA DEFINIZIONE PRECEDENTE:

•LEGNO•OSSA

Str

utt

ure

0

05

-6

•MUSCOLI

ESEMPIO: CANNE DI BAMBU’, COSTITUITE DA FIBRE DI CELLULOSA AD

stit

a d

elle

cdem

ico

20 ALTA RESISTENZA ORIENTATE IN SENSO PARALLELO ALL’ASSE,

ANNEGATE IN UNA MATRICE POROSA AVENTE FUNZIONI DI COLLEGAMENTO.

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“


e I

I”

PRIME APPLICAZIONI DEI MATERIALI COMPOSITI

ANTICO EGITTO: FABBRICAZIONE MATTONI CON ARGILLA MISCHIATA A

Mecc

an

ich PAGLIA TRITATA.

L’ARGILLA, COSTITUENTE BASE DEL MATTONE, HA UN’OTTIMA

Str

utt

ure

0

05

-6

RESISTENZA A COMPRESSIONE, MA UNA SCARSA RESISITENZA ATRAZIONELA PAGLIA CONSENTE DI MIGLIORARE LA RESISTENZA A TRAZIONEDEL MATTONE

stit

a d

elle

cdem

ico

20 DEL MATTONE

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“


e I

I”

MATERIALI COMPOSITI MODERNI

SONO GENERALMENTE COSTITUITI DALL’UNIONE DI UN MATERIALE DI RIEMPIMENTO (MATRICE) CON UNO DI RINFORZO E POSSONO ESSERE CLASSIFICATI IN BASE ALLA FORMA

Mecc

an

ich (MATRICE) CON UNO DI RINFORZO E POSSONO ESSERE CLASSIFICATI IN BASE ALLA FORMA

DI QUEST’ULTIMO:

• A FIBRE GLI UNICI AVENTI UNA LARGA DIFFUSIONE AL MOMENTO

Str

utt

ure

0

05

-6

DIFFUSIONE AL MOMENTO ATTUALE SONO I COMPOSITI A FIBRE

stit

a d

elle

cdem

ico

20

•A PARTICELLE (PARTICULATE)•A FIOCCHI (FLAKES)

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“


e I

I”

PRINCIPALI CARATTERISTICHE PECULIARI DI UNA STRUTTURA IN MATERIALE COMPOSITO

Mecc

an

ich

• piccolo spessore• forte anisotropia del materiale per quanto riguarda:

• proprietà elastiche

Str

utt

ure

0

05

-6

p p• resistenza

• elevate prestazioni in termini di rigidezza e resistenza• maggiori difficoltà di analisi rispetto ad un materiale isotropo, con:

stit

a d

elle

cdem

ico

20 gg p p

• riduzione dei casi per i quali è possibile una soluzione analitica• maggiore ricorso a metodi numerici, quali il FEM

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“


e I

I”

MACROMECCANICA DELLA LAMINA

• STUDIA IL COMPORTAMENTO MACROSCOPICO

Mecc

an

ich STUDIA IL COMPORTAMENTO MACROSCOPICO

DELLA LAMINA, CONSIDERATA COME UN CORPO ELASTICO, OMOGENEO, ANISOTROPO (ORTOTROPO)

Str

utt

ure

0

05

-6

( )

stit

a d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

• FORNISCE LE RELAZIONI TRA STATI DI TENSIONE

Co

rso

di

“

E DEFORMAZIONE, NEI DIVERSI POSSIBILI SISTEMI DI RIFERIMENTO

Lezioni sull’analisi FEM di strutture in materiale composito

MACROMECCANICA DELLA LAMINAh

e I

I”

MACROMECCANICA DELLA LAMINA

TIPI DI RELAZIONE σ−ε

Mecc

an

ich

⎪⎫

⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧ xx

εε

σσ

Notazione

Str

utt

ure

0

05

-6 { } { }

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨=

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨=xy

z

y

xy

z

y

γεε

ετσσ

σ

stit

a d

elle

cdem

ico

20

⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩ zx

yz

zx

yz

γγ

ττ

L di H k

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c Legge di Hooke

Matr. di rigidezza

“Pro

gett

az

{ } [ ] { }{ } [ ] { }σε

εσ⋅=⋅=

SC Per materiali che ammettano

un potenziale elastico:C C

Co

rso

di

“

Matr. di cedevolezzaCij = Cji


e I

I”

MATERIALI ANISOTROPI

Gli l i d ll i i [C] d [S] i

Mecc

an

ich • Gli elementi delle matrici [C] ed [S] sono tutti

indipendenti tra loro

Str

utt

ure

0

05

-6st

ita d

elle

cdem

ico

20

• Per caratterizzare completamente un materiale anisotropo sono necessarie 21 costanti elastiche indipendenti

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c indipendenti

• Per fortuna i materiali completamente anisotropi sono rari; la maggior parte dei materiali presenta

“Pro

gett

az sono rari; la maggior parte dei materiali presenta

alcune SIMMETRIE nella distribuzione spaziale delle proprietà meccaniche

Co

rso

di

“


MATERIALI CON UN PIANO DI SIMMETRIA (MONOCLINI)h

e I

I”

MATERIALI CON UN PIANO DI SIMMETRIA (MONOCLINI)

• Se il piano ortogonale all’asse Z è di simmetria, la relazione σ−ε deve restare la stessa cambiando il versodell’asse Z.• Dato che cambiando il verso dell’asse Z le componenti di deformazione γyz e γzx cambiano di segno,

Mecc

an

ich Dato che cambiando il verso dell asse Z le componenti di deformazione γyz e γzx cambiano di segno,

mentre le componenti di tensione σx, σy, σz e τxy non cambiano di segno, per garantire l’invarianza devono annullarsi nella matrice [C] i termini che legano tra loro tali componenti.

Str

utt

ure

0

05

-6

Z13 costanti indipendenti

stit

a d

elle

cdem

ico

20

⎪⎫

⎪⎧

⎥⎤

⎢⎡

⎪⎫

⎪⎧ xx

CCCCCCCCCCC εσ 161514131211

=0

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨xy

z

y

xy

z

y

CCCCCCCCCCCC

γεε

τσσ

464544

36353433

2625242322

-Z

“Pro

gett

az

⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣

=⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩ zx

yz

zx

yz

CCC

γγ

ττ

66

5655

Co

rso

di

“


MATERIALI CON TRE PIANI DI SIMMETRIA (ORTOTROPI)h

e I

I”

MATERIALI CON TRE PIANI DI SIMMETRIA (ORTOTROPI)Si dimostra che i piani devono essere tra loro ortogonali.• Sono particolarmente adatti a rappresentare il comportamento della lamina a fibre parallele.

Piano

Mecc

an

ich

Piano

parallelo alle fibre

3 (dir. ortogonale al piano medio)

Str

utt

ure

0

05

-6

Piano medio

2 (dir. ortogonale alle fibre)

stit

a d

elle

cdem

ico

20

Piano normale alle fibre 1 (dir. parallela alle fibre)

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

• Per questi materiali esiste un sistema di riferimento privilegiato, detto SISTEMA PRINCIPALE, i cui assi ll li ll tt i t i d i i i di i t i d i i l l i f

“Pro

gett

az sono paralleli alle rette intersezione dei piani di simmetria ed in cui la relazione σ−ε assume una forma

semplice; tale sistema è solitamente indicato con 1-2-3, per distinguerlo dal sistema generico indicato con X-Y-Z

Co

rso

di

“


e I

I” • Nel sistema di riferimento principale la relazione σ−ε assume la forma:

Mecc

an

ich

⎪⎫

⎪⎧

⎥⎤

⎢⎡

⎪⎫

⎪⎧ xx CCC εσ 131211 000

Str

utt

ure

0

05

-6

⎪

⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪

⎨⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

=⎪

⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪

⎨xy

z

y

xy

z

y

CCCC

γεε

τσσ

44

33

2322

00000000

stit

a d

elle

cdem

ico

20

⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩ zx

yz

xy

zx

yz

xy

CC

γγγ

ττ

66

55

44

0

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

• Il materiale può essere quindi caratterizzato con 9 costanti indipendenti

“Pro

gett

az

Co

rso

di

“


MATERIALI ORTOTROTROPIh

e I

I”

MATERIALI ORTOTROTROPIRELAZIONE σ−ε IN TERMINI DI COSTANTI INGEGNERISTICHE

⎥⎤

⎢⎡ −− 3121 0001 νν

EEE

Mecc

an

ich

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

−−

−−

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

2

13

32

21

12

321

2

1

1

0001

σσ

νν

νν

εε EEE

EEE

Str

utt

ure

0

05

-6

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎪⎪

⎪⎪

⎨12

3

2

12

32

23

1

13

12

3

2

001000

0001

ττσ

νν

γγε

G

EEE

stit

a d

elle

cdem

ico

20

⎪⎪

⎭⎪⎪

⎩

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎪

⎪

⎭⎪⎪

⎩ 31

23

23

12

31

23

100000

010000 ττ

γγ

G

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c ⎥⎦

⎢⎣ 131

00000G

• Le 9 costanti indipendenti possono essere viste come:3 d li di Y (di 1 2 3)

“Pro

gett

az • 3 moduli di Young (dir. 1, 2 e 3)

• 3 moduli di taglio• 3 coefficienti di Poisson

• Per simmetria infatti deve essere: 311332232112 νννννν

===

Co

rso

di

“

313221 EEEEEE===


LIMITAZIONI SULLE CARATTERISTICHE DEI MATERIALIh

e I

I”

LIMITAZIONI SULLE CARATTERISTICHE DEI MATERIALI

• Esistono alcune limitazioni sui valori che le costanti di un materiale possono assumere affinché il materiale stesso abbia senso fisico

Mecc

an

ich

MATERIALI ISOTROPI

00 EGE

Str

utt

ure

0

05

-6

( ) 012

;0 >+

=>ν

GE

( ) 0213

>E 2

11 <<− ν

stit

a d

elle

cdem

ico

20 ( )213 − ν

MATERIALI ORTOTROPI

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

0, >ijij SC1

0, 3131

<⋅>−−

jiij

GEνν

“Pro

gett

az

021 133221322331132112 >⋅⋅⋅−⋅−⋅−⋅− ννννννννν

Co

rso

di

“


LAMINA ORTOTROPA IN STATO PIANO DI TENSIONEh

e I

I”

• Si tratta di un modello molto importante in quanto i compositi sono generalmente utilizzati sotto forma di elementi di piccolo spessore, per i quali l’ipotesi di stato piano di tensione risulta soddisfacente; esistono però situazioni, trattate a parte, che richiedono analisi 3D.

Mecc

an

ich • Nel sistema principale, la relazione σ−ε assume la forma seguente:

ν

ττσ

⎥⎤

⎢⎡

===

21

23133

01

0

Str

utt

ure

0

05

-6 { } [ ] { }σετσσ

ν

γεε

⋅=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−

−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧So

EE

EE

12

2

1

21

12

2

21

1

12

2

1

1

01

0

stit

a d

elle

cdem

ico

20

εννν

ννσ

γ

⎫⎧⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⋅−⋅

⋅−⎫⎧

⎭⎩

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

⎭⎩

EE

G

2112

121

2112

1

12

12

12

011

100

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

{ } [ ] { }εσγεε

ννννν

τσσ

⋅=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⋅−⋅−⋅

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧Qo

G

EE

12

2

1

12

2112

2

2112

212

21122112

12

2

1

00

011

“Pro

gett

az ⎦⎣

• Le matrici di rigidezza e cedevolezza comprendono 4 costanti indipendenti

Co

rso

di

“


RELAZIONE σ−ε IN UN S R GENERICOh

e I

I”

RELAZIONE σ ε IN UN S.R. GENERICO

13Z θ

Mecc

an

ich

2 X

Y

• Si consideri un SR generico (XYZ) ottenuto ruotando di

Str

utt

ure

0

05

-6

• Si consideri un SR generico (XYZ), ottenuto ruotando di un angolo θ attorno all’asse “3” del SR principale (123); le tensioni nel nuovo SR potranno essere ottenute in base alle ben note relazioni di trasformazione dei tensori:

stit

a d

elle

cdem

ico

20

)sen();cos( ϑϑ == nm

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

{ } [ ] { }1231

2

1

22

22

22

22

)();(

σστσσ

τσσ

⋅=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−To

nmmnmnmnmnmnnm

xyzy

x

“Pro

gett

az 12ττ ⎭⎩⎥⎦⎢⎣⎭⎩ nmmnmnxy

Co

rso

di

“


e I

I”

• Una relazione analoga vale per il tensore delle deformazioni, tenendo conto che la relativa componente di taglio, εxy, è pari a metà della componente ingegneristica, γxy

001 εε ⎫⎧⎤⎡⎫⎧

Mecc

an

ich

{ } [ ] { }

{ } [ ] { }200010001

εεεεε

γεε

⋅=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

Ro xyzxyz

xy

y

x

xy

y

x

Str

utt

ure

0

05

-6

{ } [ ] { }123123 εε ⋅= R

stit

a d

elle

cdem

ico

20

{ } [ ] { }1231 εε ⋅= −Txyz

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

{ } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { }12311

1231 εεεε ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= −−− RTRTRR xyzxyz

“Pro

gett

az

Co

rso

di

“


• E’ adesso immediato costruire la relazione σ−ε nel generico SRh

e I

I”

• E adesso immediato costruire la relazione σ−ε nel generico SR.

{ } [ ] { } [ ] [ ] { }[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { } [ ] { }

xyz

QRTRQT

QTT

εε

εσσ

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅=⋅=−−

−−

11

1231

1231

Mecc

an

ich [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { } [ ] { }xyzxyz QRTRQT εε ==

• La matrice di rigidezza nel sistema generico ha la seguente forma:

Str

utt

ure

0

05

-6 [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

QQQQQQQQQ

Q

stit

a d

elle

cdem

ico

20

le cui componenti sono date da:

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−+⎪⎪⎪⎪⎫

⎪⎪⎪⎪⎧

1122224422

224224

224224

22

11

44242

QQ

nmnmnmnmnmmnmnnmnnmm

QQQ

“Pro

gett

az

( ) ( )( ) ( )

( )⎪⎪⎭

⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎨⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣ −−−−−−−−

−+=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

33

22

12

222222222

223223

223223

33

23

13

12

222

4

QQQ

nmnmnmnmmnmnnmmnmnmnnmmnmnnmmnnm

nmnmnmnm

QQQQ

Co

rso

di

“ ( ) ⎥⎦⎢⎣⎪⎭⎪⎩ 33 2 nmnmnmnmQ


e I

I”

13

Y

Z θ

Mecc

an

ich

2 X

Str

utt

ure

0

05

-6st

ita d

elle

cdem

ico

20

OSSERVAZIONE: Nel SR principale la relazione σ−ε assume una forma semplice, mentre nel SR generico essa risulta simile a quella di un materiale anisotropo. I termini della matrice sono però ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

QQQQQ

γεε

τσσ

12

2

1

33

2221

1211

12

2

1

0000

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c funzione di 4 soli parametri, mentre in un materiale anisotropo i parametri indipendenti sarebbero 6.

⎭⎩⎥⎦⎢⎣⎭⎩ Q γτ 123312 00

“Pro

gett

az

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

⋅⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

=⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

y

x

y

x

QQQQQQ

εε

σσ

232221

131211

Co

rso

di

“

⎪⎭

⎬⎪⎩

⎨⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎪⎭

⎬⎪⎩

⎨

xy

y

xy

y

QQQ γτ 333231


ASPETTI PARTICOLARI DEL COMPORTAMENTO DELLA LAMINA ORTOTROPAh

e I

I”

• Lamina sollecitata in modo che le direzioni principali dello stato di deformazione (o tensione) coincidanocon il SR principale della lamina (123)

Mecc

an

ich

00

0ˆ

12

1122

1

=≠⋅−=

≠=

γενε

εε1

Str

utt

ure

0

05

-6

012γ

⎪⎬

⎫⎪⎨

⎧⋅⎥

⎥⎤

⎢⎢⎡

=⎪⎬

⎫⎪⎨

⎧00 112111

εε

σσ

QQQQ2

stit

a d

elle

cdem

ico

20

⎪⎭

⎬⎪⎩

⎨⋅⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

=⎪⎭

⎬⎪⎩

⎨000

00

2

33

22212 εσQ

QQ

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

• In questo caso τ12=0 e le direzioni principali delle tensioni coincidono con quelle delle deformazioni e con gli assi del SR 123.

“Pro

gett

az

• In generale, se le direzioni principali dello stato di deformazione (tensione) coincidono con gli assi del SR principale del materiale (123), esse coincidono anche con le direzioni principali dello stato di tensione (deformazione).

Co

rso

di

“

• Questo comportamento è analogo a quello ben noto di un qualsiasi materiale isotropo, per il quale le direzioni principali dello stato di tensione sono sempre coincidenti con quelle dello stato di deformazione.


• Lamina sollecitata in modo che le direzioni principali dello stato di deformazione (o tensione) non coincidanoh

e I

I”

00

≠≠x

εε

• Lamina sollecitata in modo che le direzioni principali dello stato di deformazione (o tensione) non coincidanocon il SR principale della lamina (123)

X 1

Mecc

an

ich

⎫⎧⎤⎡⎫⎧ QQQ εσ

00

=

≠

xy

y

γ

ε

Y

Str

utt

ure

0

05

-6 ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

0333231

232221

131211

y

x

xy

y

x

QQQQQQQQQ

εε

τσσ

2

stit

a d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

• In questo caso τxy è diverso da 0 e le direzioni principali delle tensioni non coincidono con quelle delle deformazioni

• In generale se le direzioni principali dello stato di deformazione (tensione) non coincidono con gli assi del

“Pro

gett

az • In generale, se le direzioni principali dello stato di deformazione (tensione) non coincidono con gli assi del

SR principale del materiale (123), esse non coincidono neppure con le direzioni principali dello stato di tensione (deformazione).

Co

rso

di

“


e I

I” • Di conseguenza, se si sollecita la lamina nella direzione delle fibre essa mostra un comportamento01 ≠σ

σ1

Mecc

an

ich direzione delle fibre essa mostra un comportamento

analogo a quello di un materiale isotropo, allungandosi nella direzione del carico e contraendosi in direzione trasversale

0

00

122

1

==≠

τσσ

Str

utt

ure

0

05

-6

000

12

2

1

=≠≠

γεε

stit

a d

elle

cdem

ico

20

0≠xσ

σx

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

• Se invece la si sollecita in una direzione inclinata rispetto alle fibre, essa mostrerà anche 0

0

≠

==

x

xyy

ε

τσ

“Pro

gett

az inclinata rispetto alle fibre, essa mostrerà anche una deformazione di taglio, deformandosi come in figura

00

≠

≠

xy

y

x

γ

ε

Co

rso

di

“


e I

I”

• La figura illustra la variazione di due costanti ingegneristiche del materiale, il modulo di Young in direzione “x” (E )

13

Y

Z θ

Mecc

an

ich modulo di Young in direzione x (Ex)

ed il modulo di taglio nel sistema “xy” (G.xy) al variare dell’angolo θ del SR “xy” con il SR principale del materiale. Si nota come G presenti una

2 X

Str

utt

ure

0

05

-6

Si nota come Gxy presenti una variazione simmetrica con massimo a 45°, mentre Exy presenta una variazione graduale; da notare che Exy non assume necessariamente valore massimo o5 E+4

stit

a d

elle

cdem

ico

20 necessariamente valore massimo o

minimo agli estremi dell’intervallo.4 E+4

[MPa

] E1=46270 MPaE2=5939 MPa

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

2 E+4

3 E+4

i di E

last

icità

ExGxy

“Pro

gett

az

1 E+4Mod

uli

Co

rso

di

“

0 E+00 15 30 45 60 75 90

Angolo inclinazione fibre θ [°]


MACROMECCANICA DEL LAMINATOh

e I

I”

MACROMECCANICA DEL LAMINATO

SISTEMI DI RIFERIMENTO• Nello studio dei laminati si usa solutamente un SR scelto caso per caso in base alla geometria del pezzo ed in

Mecc

an

ich generale non coincidente con i SR principali delle singole lamine

• Ciascuna lamina è caratterizzata dall’angolo che l’asse “1” del suo SR principale fa con la direzione di riferimento, in genere con l’asse “X” del SR del laminato.

Str

utt

ure

0

05

-6

Z

stit

a d

elle

cdem

ico

20

SR del laminato

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

Y

“Pro

gett

az

XSR principale della

lamina

Co

rso

di

“

1θ

lamina

Lezioni sull’analisi FEM di strutture in materiale compositoTIPI SPECIALI DI LAMINATI

he I

I”

• SIMMETRICI: per ogni lamina con inclinazione θ ne esiste un’altra con la stessa inclinazione in posizione simmetrica rispetto al piano medio

Mecc

an

ich

p. medio

45° 0° 30° 90° 30° 0° 45°

Str

utt

ure

0

05

-6 • ANTISIMMETRICI: per ogni lamina con inclinazione +θ ne esiste un’altra con inclinazione -θ in posizione simmetrica rispetto al piano medio

stit

a d

elle

cdem

ico

20

45° 0° -30° 90° 30° 0° -45°

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

p. medio

• EQUILIBRATI: per ogni lamina con inclinazione +θ ne esiste un’altra con inclinazione -θ in posizione l i i

“Pro

gett

az qualsiasi

45° -45° 30° 90° 60° -30° -60°

Co

rso

di

“

p. medio


l i i i i i d l di l i d

he I

I”

• “CROSS PLY”: laminati costituiti da una alternanza di lamine a 0° ed a 90°.

0° 90° 0° 90° 0° 90° 0°

Mecc

an

ich

p. medio

• “ANGLE PLY”: laminati costituiti da una alternanza di lamine a +θ ed a −θ.

Str

utt

ure

0

05

-6

30° -30° 30° -30° 30° -30° 30°

stit

a d

elle

cdem

ico

20

p. medio

• “QUASI ISOTROPI”: laminati simmetrici costituiti da un uguale numero di lamine a 0°, +45°, -45° e

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c QUASI ISOTROPI : laminati simmetrici costituiti da un uguale numero di lamine a 0 , 45 , 45 e 90° (in qualsiasi ordine); devono essere costituiti da almeno 8 lamine ed hanno proprietà elastiche nel piano medio indipendenti dalla direzione.

“Pro

gett

az

90° -45° 0° 45° 45° 0° -45° 90°

Co

rso

di

“

p. medio


DESIGNAZIONE DEI LAMINATIh

e I

I”

DESIGNAZIONE DEI LAMINATI

• La disposizione delle lamine (sequenza di impacchettamento o di “lay-up”) del laminato viene specificata attraverso una designazione convenzionale, in cui le orientazioni delle diverse lamine sono riportate nell’ordine in cui appaiono attraversando lo spessore

Mecc

an

ich nell ordine in cui appaiono attraversando lo spessore.

• Esempio:

0°

Str

utt

ure

0

05

-6

[0/+45/-45/90]oppure

45°

-45°]90/45/0[ ±

stit

a d

elle

cdem

ico

20

90°

• Esistono poi speciali convenzioni volte a rendere la designazione più sintetica. Per laminati simmetrici si usa

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c il pedice S, dopo aver indicato metà delle lamine:

0°

“Pro

gett

az

45°

45°S]45/0[

Co

rso

di

“

0°


e I

I”

• Nel caso in cui il piano medio attraversi una lamina, questa viene soprasegnata:

0°

45°p medio

Mecc

an

ich soprasegnata:

45°

90°s]09/45/0[p. medio

Str

utt

ure

0

05

-6 -30°

45°

0°

stit

a d

elle

cdem

ico

20

• Per laminati antisimmetrici si usa il pedice “Q” dopo aver indicato metà delle lamine; si noti la

45°

[(-30/45)2]Q

-30°

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c possibilità di indicare sequenze ripetute attraverso parentesi ed un pedice numerico che indica il n° di ripetizioni:

[( 30/45)2]Q

-45°

45°

“Pro

gett

az

-45°

30°

Co

rso

di

“

30°


e I

I”

TEORIA CLASSICA DELLA LAMINAZIONE

Mecc

an

ich • Permette di analizzare il comportamento globale dei laminati, studiando la relazione tra carichi applicati e

deformazioni e lo stato di sollecitazione

• Si base sulle seguenti ipotesi:

Str

utt

ure

0

05

-6

• Le lamine sono perfettamente connesse tra loro, con interfaccia rigida a taglio• Una linea ortogonale al piano medio prima della deformazione si mantiene tale anche dopo la deformazione (Kirchoff-Love)

stit

a d

elle

cdem

ico

20 • La prima ipotesi ha come conseguenza la continuità degli spostamenti e delle deformazioni attraverso

l’interfaccia• La seconda ipotesi è desunta dalla teoria dei gusci sottili e presuppone di trascurare la deformabilità a taglio del laminato

i id h i l i i li i i di lidi à d ll i d i i ili li bili l d i

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c • E’ necessario considerare che i classici limiti di validità della teoria dei gusci sottili applicabili nel caso dei materiali isotropi (spessore inferiore ad 1/10 delle altre dimensioni caratteristiche) possono non essere sufficientemente restrittivi nel caso dei materiali compositi, in quanto il rapporto tra rigidezza a taglio e rigidezza nel piano medio è, per questi materiali, assai inferiore a quello di un materiale convenzionale.

“Pro

gett

az

Co

rso

di

“


e I

I”

X

S OS A O O

Mecc

an

ich

Y

SPOST. PIANO MEDIOu0= spost. in dir “X”v0= spost. in dir “Y”w0= spost. in dir “Z”β i di “X”

Str

utt

ure

0

05

-6

Z

X

u0

βx=rot. in dir. “X”βy=rot. in dir. “Y”

• Calcolo spostamenti lungo lo spessore:

stit

a d

elle

cdem

ico

20 X

Z

w0

βxx

wx ∂

∂= 0β

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c βx

yw

y ∂∂

= 0β

“Pro

gett

az

( )

( ) wx

wzuzuzu x

∂∂

∂⋅−=⋅−=

0

000

β

β

Co

rso

di

“ ( )y

wzuzuzv y ∂∂

⋅−=⋅−= 000 β


e I

I”

• Calcolo deformazioni

Deformazione piano di

Deformazione nello

Mecc

an

ich medio

Curvatura piano medio

spessore

Str

utt

ure

0

05

-6

( )

( )

xxx

wvzv

kzxwz

xu

xzuz

∂∂∂

⋅+=∂

∂⋅−

∂∂

=∂

∂=

2

020

20

)(

)( εε

stit

a d

elle

cdem

ico

20 ( )

( )

yyy

wvuzvzu

kzywz

yv

yzvz

∂∂+

∂∂+

∂

⋅+=∂

∂⋅−

∂∂

=∂

∂=

02

00

0200

2)()(

)(

γ

εε

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c ( )

xyxy

xy

kzyx

zxyxy

z

⋅+=

=∂∂

⋅−∂

+∂

=∂

+∂

=

0

000 2)()(

γ

γ

“Pro

gett

az

In forma sintetica: ⎪⎬

⎫⎪⎨

⎧

⋅+⎪⎬

⎫⎪⎨

⎧

=⎪⎬

⎫⎪⎨

⎧

y

x

y

x

y

x

kk

z0

0

εε

εε

Co

rso

di

“

⎪⎭

⎬⎪⎩

⎨⎪⎭

⎬⎪⎩

⎨⎪⎭

⎬⎪⎩

⎨

xy

y

xy

y

xy

y

k0

0

γγ


d f i li i ll d ll di i i i

he I

I”

OSSERVAZIONE 1: La deformazione è lineare e continua nello spessore, ma, a causa della discontinuità nei valori delle caratteristiche elastiche tra una lamina e l’altra, la tensione è discontinua

ε E σ

Mecc

an

ich +

x =

Str

utt

ure

0

05

-6 -

stit

a d

elle

cdem

ico

20

OSSERVAZIONE 2: Se si applica uno stato di deformazione uniforme (membranale) si osserva che lo stato di tensione può avere una componente flessionale. A causa della variazione delle caratteristiche elastiche nello spessore possono pertanto prodursi accoppiamenti tra deformazioni membranali (flessionali) e componenti di tensione flessionali (membranali).

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c te s o e ess o a ( e b a a ).

ε E σ

“Pro

gett

az

x =0≠M

Co

rso

di

“


DEFINIZIONE CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE GENERALIZZATEh

e I

I” X

• Sollecitazioni membranali

Mecc

an

ich

Nx

Nxy

Str

utt

ure

0

05

-6

Y

Z

stit

a d

elle

cdem

ico

20

Ny

• Sollecitazioni flessionali

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

X

M

“Pro

gett

az

Y

Mx

Mxy

Co

rso

di

“ Y

ZMy


• Assumendo che il laminato sia composto di “n ” lamine e facendo uso della nomenclatura riportata in figura:h

e I

I”

• Assumendo che il laminato sia composto di nl lamine e facendo uso della nomenclatura riportata in figura:

⎫⎧⎫⎧⎫⎧ hN 2/ σσ

Mecc

an

ich

⎞⎛

=⋅⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∑ ∫∫=− −

n

k

z

zxy

y

xh

hxy

y

x

xy

y

x

dzdzNNN

l k

k1

2/

2/ 1 τσσ

τσσ

zk-1 zklamina “k”h

Str

utt

ure

0

05

-6 [ ] [ ] =⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧= ∑ ∫∫∑ ∫

==−−−

n

k

z

zxy

y

xz

zxy

y

x

k

n

k

z

zxy

y

x

k dzzkkk

dzQdzQl k

k

k

k

l k

k1

0

0

0

1111 γ

εε

γεε Z

stit

a d

elle

cdem

ico

20

[ ] ( ) [ ] ( ) =⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

⎠⎝ ⎭⎩⎭⎩⎭⎩

∑∑ − − y

xn

kkky

xn

kkkk

xyxyxy

kk

zzQzzQl

k

l

1

220

0

11

0

121ε

ε

γγ

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

[ ] [ ] ⎪⎬

⎫⎪⎨

⎧⋅+⎪

⎬

⎫⎪⎨

⎧⋅=

⎪⎭

⎪⎩

⎠⎝⎪⎭

⎪⎩

⎠⎝ ==

xx

xyk

xyk

kk

BA

k

0

10

1 2

εε

γ

“Pro

gett

az [ ] [ ]

⎪⎭

⎬⎪⎩

⎨+⎪⎭

⎬⎪⎩

⎨=

xy

y

xy

y

kkBA

0

0

γε

d

[ ] ( )∑=

−−⋅=ln

kkkkijij zzQA

11

Co

rso

di

“ dove :[ ] ( )∑

=−

−⋅=l

k

n

kkkijij zzQB

1

2212

1


• Analogamente per caratteristiche di tipo flessionale si ottiene:h

e I

I”

• Analogamente, per caratteristiche di tipo flessionale si ottiene:

=⋅⋅⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=⋅⋅

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧=

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧

∑ ∫∫n z

y

xh

y

x

y

x

dzzdzzMM

l k2/

σσ

σσ

Mecc

an

ich

[ ] ⎪⎬

⎫⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎩

⎪⎭

⎪⎩

⎪⎭

⎪⎩

∑ ∫

∫∫=− −

n z x

k zxy

hxyxy

dzzQ

M

l k

k12/ 1

εε

ττ

Str

utt

ure

0

05

-6

[ ]

⎟⎞

⎜⎛

⎪⎫

⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧

=⋅⋅⎪⎭

⎬⎪⎩

⎨= ∑ ∫=

−

n z xz x

k zxy

yk

k

dzzQ

kk

k

0

11

ε

γε

stit

a d

elle

cdem

ico

20

[ ]

⎫⎧⎫⎧

=⎟⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜⎜

⎝

⋅⋅⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨+⋅⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨= ∑ ∫∫

=−−

n

k

z

zxy

y

xz

zxy

y

x

k dzzkkdzzQ

l k

k

k

k1

2

0

0

0

11 γε

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

[ ] ( ) [ ] ( ) =⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅= ∑∑

==−−

xy

y

xn

kkk

xy

y

xn

kk

kkk

zzQzzQl

k

l

kk1

33

0

0

0

1

2211 3

121

γεε

“Pro

gett

az

[ ] [ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅=

⎭⎩⎭⎩

y

x

y

x

yy

kkk

DB 0

0

εε

d

[ ] ( )∑=

−−⋅=

l

kk

n

kkijij zzQB

1

2212

1

Co

rso

di

“ ⎪⎭

⎪⎩

⎪⎭

⎪⎩ xyxy k0γ dove :

[ ] ( )∑=

−−⋅=

l

k

n

kkkijij zzQD

1

3313

1


RELAZIONE GENERALE TRA CAR DI SOLLECITAZIONE E DEF NIh

e I

I”

RELAZIONE GENERALE TRA CAR. DI SOLLECITAZIONE E DEF.NI

⎪⎫

⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧

NN xox

εε

Mecc

an

ich

{ }{ }

{ }{ }⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎪

⎪⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎪

⎪⎪⎪⎪

⎬⎪

⎪⎪⎪⎪

⎨ kkMN

MNN

x

xy

yo

x

xy

y

00 εγε

Str

utt

ure

0

05

-6

{ } { }⎭⎩

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩

⎭⎩

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎩ kk

MM

xy

y

x

xy

y

x

stit

a d

elle

cdem

ico

20

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

kDBBA

MN 0ε

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c { } [ ] [ ] { }⎭⎩⎥⎦

⎢⎣⎭⎩ kDBM

[A] : relazione tra sollecitazioni membranali e deformazioni del piano medio

“Pro

gett

az [A] : relazione tra sollecitazioni membranali e deformazioni del piano medio

[D] : relazione tra sollecitazioni flessionali e curvature

[B] : relazione tra sollecitazioni membranali e curvature e tra sollecitazioni membranali e deformazioni

Co

rso

di

“ [B] : relazione tra sollecitazioni membranali e curvature e tra sollecitazioni membranali e deformazioni del piano medio (termine misto)


FORMA ASSUNTA DALLE MATRICI [A], [B] E [D]h

e I

I”[ ], [ ] [ ]

000000

00

XXXXXX

XXXX

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

Mecc

an

ich

[ ]00000

altriglituttiAXXXX

−−−−−

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣

ortotropoomogeneomat.

Str

utt

ure

0

05

-6

[ ]

""

simmetricinonsimmetricinonBiequilibrat

plycross−

−−

omogeneomat

p

stit

a d

elle

cdem

ico

20 [ ]

[ ]simmetrici

simmetricinonsimmetricinonB

−

−−−ortotropo

omogeneomat.

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c [ ]

riciantisimmet

altriglituttiD

−

−−ortotropo

omogeneomat.

“Pro

gett

az

"" plycross −−

• Dalla tabella risulta che i soli laminati “cross-ply” simmetrici, dotati cioè di un numero dispari di lamine hanno

Co

rso

di

“

un comportamento deformativo assimilabile a quello di un corpo fatto di materiale omogeneo ortotropo; per tutti gli altri sono presenti termini aggiuntivi, che danno ad esempio accoppiamenti tra sollecitazioni flessionali e deformazioni membranali


• Questi termini aggiuntivi producono spesso comportamenti inusuali; a titolo di esempio, il termine B13

he I

I”

Questi termini aggiuntivi producono spesso comportamenti inusuali; a titolo di esempio, il termine B13introduce un accoppiamento tra sollecitazioni membranali in direzione “x” (Nx) e torsioni (kxy); in conseguenza di ciò, il laminato sottoposto a trazione lungo “x” subirà, oltre ad un allungamento, anche una torsione.

Mecc

an

ich

Nx

Str

utt

ure

0

05

-6st

ita d

elle

cdem

ico

20

k

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c kxy

“Pro

gett

az

Co

rso

di

“


• E’ tuttavia interessante osservare che l’importanza di tali termini aggiuntivi va rapidamente decrescendo alh

e I

I”

• E tuttavia interessante osservare che l importanza di tali termini aggiuntivi va rapidamente decrescendo al crescere del numero delle lamine; pertanto un laminato con molte lamine (15-20) si comporta sostanzialmente come se fosse fatto di un materiale omogeneo ortotropo; la giustificazione appare evidente dalla figura

Laminato a 2 lamine

Mecc

an

ich

ε E σ

Str

utt

ure

0

05

-6

x =01 ≠M

stit

a d

elle

cdem

ico

20

Laminato a 4 lamine

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

ε E σ

Laminato a 4 lamine

“Pro

gett

az

x =12 MM <

Co

rso

di

“


e I

I”

TENSIONI INTERLAMINARI

• La Teoria Classica della Laminazione (TCL) non si occupa di valutare le componenti di tensione dirette lungo lo spessore del laminato ritenute di entità trascurabile; tuttavia esistono alcune situazioni nelle quali tali

Mecc

an

ich lo spessore del laminato, ritenute di entità trascurabile; tuttavia esistono alcune situazioni nelle quali tali

componenti possono assumere valori elevati e risultare il fattore determinante per la resistenza del pezzo.

• Tali situazioni si verificano soprattutto ai bordi liberi del laminato (tanto che il meccanismo responsabile del loro insorgere viene spesso indicato con il termine “effetto di bordo”) ma possono riscontrasi anche in altre

Str

utt

ure

0

05

-6

loro insorgere viene spesso indicato con il termine effetto di bordo ), ma possono riscontrasi anche in altre situazioni, come carichi concentrati, variazioni di geometria etc.

• L’insorgere di tali stati di tensione è solitamente legato al diverso modo di deformarsi che le lamine che compongono il laminato mostrerebbero se fossero tra loro indipendenti

stit

a d

elle

cdem

ico

20 compongono il laminato mostrerebbero, se fossero tra loro indipendenti.

• Tali deformazioni di corpo libero produrrebbero uno stato di spostamento non congruente tra le diverse lamine, per recuperare il quale è necessario che le lamine stesse si scambino delle forze; questo scambio si verifica principalmente in prossimità dei bordi liberi dando luogo a stati di tensione agenti sulla interfaccia tra

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c verifica principalmente in prossimità dei bordi liberi, dando luogo a stati di tensione agenti sulla interfaccia tra le lamine, detti tensioni interlaminari.

• Al fine di illustrare i concetti esposti, prenderemo in esame i due principali meccanismi attraverso i quali possono prodursi tensioni interlaminari al bordo libero di un laminato:

“Pro

gett

az possono prodursi tensioni interlaminari al bordo libero di un laminato:

• Differenza nei coefficienti di Poisson (Poisson mismatch)• Differenza nelle deformazioni di taglio (Shear disagreement)

Co

rso

di

“


“POISSON MISMATCH”h

e I

I”

• Si tratta di un fenomeno osservabile in particolare al bordo di laminati “crosss-ply”;

z

Mecc

an

ich

y

90°

0°

Str

utt

ure

0

05

-6

90°

0°

stit

a d

elle

cdem

ico

20

• Si supponga di sottoporre il laminato ad una deformazione uniforme lungo “x”; se le lamine fossero libere si cotrarrebbero lateralmente nel modo indicato in figura, dato che ν12 > ν21.

z

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

90°εy=-ν21εx

“Pro

gett

az

y0°

εy=-ν12εx

Co

rso

di

“


• Il ripristino della congruenza potrà essere ottenuto attraverso tensioni σ di trazione nella lamina a 0° e dih

e I

I”

• Il ripristino della congruenza potrà essere ottenuto attraverso tensioni σy di trazione nella lamina a 0 e di compressione nella lamina a 90°.• Tali stati di tensione, non essendo dovuti a carichi esterni, saranno auto-equilibrati sull’intero spessore del laminato e saranno sostanzialmente uniformi ad una certa distanza dal bordo libero.

Mecc

an

ich z

90° σy<0

Str

utt

ure

0

05

-6

y0° σy>0

stit

a d

elle

cdem

ico

20

• Questi stati di tensione devono annullarsi sul bordo libero; pertanto, per assicurare l’equilibrio della lamina in prossimità di esso devono intervenire tensioni tangenziali di tipo τzy.

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

zBordo libero

“Pro

gett

az

τzy

Co

rso

di

“ y

σy


• Una più dettagliata analisi delle condizioni di equilibrio mostra poi come le rette di azione della σy e della τzy

he I

I”p g q p y zy

siano diverse, per cui è necessario un momento di reazione attorno all’asse “x”; tale momento viene fornito da una distribuzione di tensioni di tipo σz aventi risultante nulla.• Le tensioni σz e τzy sono dette “interlaminari” e corrispondono a delle forze scambiate tra le lamine attraverso l’interfaccia. σ

Mecc

an

ich z

90°

σy

Str

utt

ure

0

05

-6

yτzy

stit

a d

elle

cdem

ico

20

σz

• In sostanza, dal punto di vista fisico la lamina a 90° viene “spinta” e quella a 0° viene “tirata” da forze autoequilibrate scambiate attraverso l’interfaccia in direzione “y” in prossimità del bordo libero; tali forze

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c autoequilibrate scambiate attraverso l’interfaccia in direzione “y” in prossimità del bordo libero; tali forze producono, ad una certa distanza dal bordo, lo stato di tensione σy che compensa la tendenza ad una diversa contrazione laterale. z

“Pro

gett

az

90°εy=-ν21εx

Co

rso

di

“

y0°εy=-ν12εx


• Il tipico andamento delle tensioni interlaminari in prossimità del bordo libero per un laminato “cross-ply” è h

e I

I”

riportato nella figura; si può osservare come la σz risulti distribuita in modo da produrre una risultante nulla e, soprattutto, come essa risulti singolare in corrispondenza dell’interfaccia, analogamente a quanto si verifica all’apice di un difetto (anche è necessario precisare che il grado di singolarità è diverso).

Mecc

an

ich

Tensione

Str

utt

ure

0

05

-6

τyz

σz

stit

a d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

0

“Pro

gett

az

Distanza dal bordo liberoSpessore del laminato

01

Co

rso

di

“


“SHEAR DISAGREEMENT” zh

e I

I”

SHEAR DISAGREEMENT• Si tratta di un fenomeno osservabile in particolare al bordo di laminati “angle-ply”; 45°

Mecc

an

ich

y-45°

45°

Str

utt

ure

0

05

-6

• Si supponga di sottoporre il laminato ad una tensione uniforme lungo “x”; se le lamine fossero libere, non

-45°

stit

a d

elle

cdem

ico

20 essendo sollecitate secondo il loro SR principale si deformerebbero nel modo indicato in figura.

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“

45° -45°


• Il ripristino della congruenza potrà essere ottenuto attraverso tensioni τ agenti in senso opposto nelle lamineh

e I

I”

• Il ripristino della congruenza potrà essere ottenuto attraverso tensioni τxy agenti in senso opposto nelle lamine a +45° ed a -45°; in pratica è necessario ottenere γxy=0 ed a tale scopo, non essendo il SR “xyz” principale del materiale, deve essere τxy diverso da 0 (vedi anche la sezione sulla macromeccanica della lamina).• Tali stati di tensione, non essendo dovuti a carichi esterni, saranno auto-equilibrati sull’intero spessore del laminato e sostanzialmente uniformi ad una certa distanza dal bordo libero

Mecc

an

ich laminato e sostanzialmente uniformi ad una certa distanza dal bordo libero.

y

Str

utt

ure

0

05

-6

45° -45°

γxy=0

x

stit

a d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

τxy=0

Co

rso

di

“


• Questi stati di tensione devono annullarsi sul bordo libero; pertanto per assicurare l’equilibrio della lamina inh

e I

I”

• Questi stati di tensione devono annullarsi sul bordo libero; pertanto, per assicurare l equilibrio della lamina in prossimità di esso devono intervenire tensioni tangenziali di tipo τzx.

zBordo libero

Mecc

an

ich

τ

Str

utt

ure

0

05

-6 y

τxyτzx

stit

a d

elle

cdem

ico

20

• Dal punto di vista fisico, analogamente al caso precedente, le lamine vengono sottoposte a taglio da forze autoequilibrate scambiate attraverso l’interfaccia in direzione “x” in prossimità del bordo libero

y

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

45° -45°

γ =0

x

“Pro

gett

az γxy=0

Co

rso

di

“

Deformate di corpo libero


• Il tipico andamento delle tensioni interlaminari in prossimità del bordo libero per un laminato “angle ply” èh

e I

I”

• Il tipico andamento delle tensioni interlaminari in prossimità del bordo libero per un laminato angle-ply è riportato nella figura; si può osservare come la τzx risulti anch’essa singolare in corrispondenza dell’interfaccia.

Mecc

an

ich

τxz

Str

utt

ure

0

05

-6st

ita d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

Distanza dal bordo libero0 1

“Pro

gett

az Distanza dal bordo libero

Spessore del laminato

Co

rso

di

“


MODELLI FEM TIPICI PER STRUTTURE IN COMPOSITOh

e I

I”

MODELLI FEM TIPICI PER STRUTTURE IN COMPOSITO

Elementi Elementi 1 elemento nello

Mecc

an

ich “omogenei” “stratificati”spessore.

Analisi generale tensioni e def.ni

Str

utt

ure

0

05

-6

Elementi

stit

a d

elle

cdem

ico

20

“shell”

Più elementi

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

nello spessore. Studio di casi particolari

“Pro

gett

az

Elementi “solid”

Co

rso

di

“


MODELLI FEM CON ELEMENTI OMOGENEIh

e I

I”

MODELLI FEM CON ELEMENTI OMOGENEIM

ecc

an

ich Elementi “shell”

Str

utt

ure

0

05

-6 1 elemento nello spessore

stit

a d

elle

cdem

ico

20

Materiale: omogeneo su tutto lo spessore, proprietà:

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c p , p portotropo “equivalente”

“Pro

gett

az

Analisi generale del comportamento deformativo. Analisi dello stato di tensione

Co

rso

di

“ Analisi dello stato di tensione in zone di “plane stress”


FORMA ASSUNTA DALLE MATRICI [A], [B] E [D]h

e I

I”[ ], [ ] [ ]

000000

00

XXXXXX

XXXX

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

Mecc

an

ich

[ ]00000

altriglituttiAXXXX

−−−−−

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣

ortotropoomogeneomat.

Str

utt

ure

0

05

-6

[ ]

""

simmetricinonsimmetricinonBiequilibrat

plycross−

−−

omogeneomat

p

stit

a d

elle

cdem

ico

20 [ ]

[ ]simmetrici

simmetricinonsimmetricinonB

−

−−−ortotropo

omogeneomat.

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c [ ]

riciantisimmet

altriglituttiD

−

−−ortotropo

omogeneomat.

“Pro

gett

az

"" plycross −−

Tuttavia, un laminato con molte lamine (15-20) si comporta sostanzialmente come se fosse fatto di un

Co

rso

di

“

materiale omogeneo ortotropo


MODELLI FEM CON ELEMENTI OMOGENEIh

e I

I”


MODELLI FEM CON ELEMENTI OMOGENEIM

ecc

an

ich Elementi solid

Str

utt

ure

0

05

-6

Più elementi nello spessore (in genere, più

elementi per lamina)

stit

a d

elle

cdem

ico

20

Materiale: omogeneo

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c Materiale: omogeneo ortotropo (variabile da

lamina a lamina)

“Pro

gett

az

Studio di aspetti ti l i ( t i i

Co

rso

di

“ particolari (es. tensioni interlaminari)


MODELLI FEM CON ELEMENTI STRATIFICATIh

e I

I”

MODELLI FEM CON ELEMENTI STRATIFICATIM

ecc

an

ich Elementi “shell”

Str

utt

ure

0

05

-6 1 elemento nello spessore

stit

a d

elle

cdem

ico

20

Materiale: omogeneo ortotropo (variabile da

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c ortotropo (variabile da lamina a lamina)

“Pro

gett

az

Analisi generale del comportamento deformativo. Analisi dello stato di tensione

Co

rso

di

“ Analisi dello stato di tensione in zone di “plane stress”


MODELLI FEM CON ELEMENTI STRATIFICATIh

e I

I”


MODELLI FEM CON ELEMENTI STRATIFICATIM

ecc

an

ich Elementi solid

Str

utt

ure

0

05

-6

1 elemento nello spessore

stit

a d

elle

cdem

ico

20

Materiale: omogeneo ortotropo (variabile da

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c p (lamina a lamina)

“Pro

gett

az

Analisi generale del comportamento deformativo. Adatto per laminati che non

Co

rso

di

“ prispettino l’ipotesi di “piccolo”

spessore


e I

I” QUANDO UN LAMINATO E’ SOTTILE?

Mecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6

QUANDO SI PUO’ USARE LA SIMMETRIA?

stit

a d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“


CONSIDERAZIONI DI SIMMETRIAh

e I

I”

CONSIDERAZIONI DI SIMMETRIA

Una proprietà di simmetria, per poter essere utilizzata nell’analisi strutturale, deve valere per:• geometria

Mecc

an

ich • geometria

• vincoli• carichi (può valere anche l’anti-simmetria)• proprietà del materiale Generalmente non considerata esplicitamente perché per un

materiale isotropo è sempre verificata

Str

utt

ure

0

05

-6

materiale isotropo è sempre verificata

Piano di simmetria speculare della geometria

Effetto della riflessione Effetto della riflessione con fibre parallele o ortogonali al piano di simmetria

stit

a d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“

Simmetria di riflessione utilizzabile solo in casi particolari


CONSIDERAZIONI DI SIMMETRIA: Simmetria polareh

e I

I”

CONSIDERAZIONI DI SIMMETRIA: Simmetria polareM

ecc

an

ich

Effetto della riflessioneAsse di simmetria polare

Str

utt

ure

0

05

-6

p

stit

a d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“


Simmetria di riflessioneh

e I

I”

Simmetria di riflessioneLa struttura viene tagliata in corrispondenza del piano di simmetria

Mecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6

XYPiano di simmetria

stit

a d

elle

cdem

ico

20

Z

XY

VINCOLI SUI NODI

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c ZCarichisimmetrici

Carichiantisimm

“Pro

gett

az simmetrici

Uz=0ROTx=0

antisimm.Uy=0Ux=0

Co

rso

di

“ xROTy=0

xROTz=0


e I

I”M

ecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6st

ita d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“


e I

I”

SHELL 63 – NON STRATIFICATO PER ANALISI LINEARI ENON LINEARI

Mecc

an

ich

ET,1,63(o 93 o 181) R 1 SP

Spessorel i

ET,1,63(o 93 o 181) R 1 SP

Spessorel i

Str

utt

ure

0

05

-6

R,1,SP lamina R,1,SP lamina

MATERIALE OMOGENEO ORTOTROPO

stit

a d

elle

cdem

ico

20

C***C*** MATERIALE LAMINEC***

MATERIALE OMOGENEO ORTOTROPO

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

MP,EX,1, 23000MP,EY,1, 20700MP,EZ,1, 10000MP,PRXY,1, 0.15MP,PRYZ,1, 0.15

“Pro

gett

az MP,PRXZ,1, 0.15

MP,GXY,1, 4000MP,GYZ,1, 4000MP,GXZ,1, 4000

Co

rso

di

“


e I

I”

SHELL 99 – STRATIFICATO PER ANALISI LINEARI

Mecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6st

ita d

elle

cdem

ico

20

ET,1,99,,,,,,,,1 C*** C*** DEFINIZIONE STRATIFICAZIONE

Keyopt (8) = 1 memorizzazionerisultati per tutte le lamine

ET,1,99,,,,,,,,1 C*** C*** DEFINIZIONE STRATIFICAZIONE


zio

ne A

ssis

An

no

aca

c C DEFINIZIONE STRATIFICAZIONEC*** R,1,NL,,,,,,,,,,, RMORE, RMORE,1,0,SP/NL,1,90,SP/NL

N° lamineImposta il valore di defaultper le costanti 7-12

Ripetere la scheda fino al C l t t d ll t tifi i

C DEFINIZIONE STRATIFICAZIONEC*** R,1,NL,,,,,,,,,,, RMORE, RMORE,1,0,SP/NL,1,90,SP/NL


Ripetere la scheda fino al C l t t d ll t tifi i

“Pro

gett

az

Mat. 1° lamina

Inclinazione1° lamina

Spessore1° lamina c.s.

2° lamina

Completamento della stratificazione Mat. 1° lamina



2° lamina

Completamento della stratificazione

Co

rso

di

“ 1 lamina 1 lamina


e I

I”

SHELL 91 – STRATIFICATO PER ANALISI NON LINEARI

Mecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6

N° massimo lamineN° massimo lamine

stit

a d

elle

cdem

ico

20

ET,1,91,50,1,,,,,,1 C*** C*** DEFINIZIONE STRATIFICAZIONE C***


N massimo lamine

ET,1,91,50,1,,,,,,1 C*** C*** DEFINIZIONE STRATIFICAZIONE C***


N massimo lamine

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c C***R,1,NL,,,,,,,,,,, RMORE, RMORE,1,0,SP/NL,1,90,SP/NL


Ripetere la scheda fino al Completamento della stratificazione

C***R,1,NL,,,,,,,,,,, RMORE, RMORE,1,0,SP/NL,1,90,SP/NL



“Pro

gett

az

Mat. 1° lamina



2° lamina

Completamento della stratificazione Mat. 1° lamina



2° lamina

Completamento della stratificazione

Co

rso

di

“


e I

I”

SHELL 181 – STRATIFICATO E NON STRATIFICATO PER ANALISI LINEARI E NON LINEARI

Mecc

an

ich LINEARI E NON LINEARI

Str

utt

ure

0

05

-6st

ita d

elle

cdem

ico

20

ET,1,181,,,,,,,,1 C***

Keyopt (8) = 1 memorizzazionerisultati per tutte le lamine ET,1,181,,,,,,,,1

C***

Keyopt (8) = 1 memorizzazionerisultati per tutte le lamineKeyopt (8) = 1 memorizzazionerisultati per tutte le lamine

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c C*** DEFINIZIONE STRATIFICAZIONEC*** SECTYPE,1,SHELL SECDATA,SP/NL,1,0 SECDATA,SP/NL,1,90


C*** DEFINIZIONE STRATIFICAZIONEC*** SECTYPE,1,SHELL SECDATA,SP/NL,1,0 SECDATA,SP/NL,1,90

Ripetere la scheda fino al Completamento della stratificazione Ripetere la scheda fino al Completamento della stratificazione

“Pro

gett

az

C*** C*** ATTIVA LA STRATIFICAZIONE INTRODOTTAC*** SECNUM,1

Mat. lamina

Inclinazionelamina

Spessorelamina

C*** C*** ATTIVA LA STRATIFICAZIONE INTRODOTTAC*** SECNUM,1

Mat. lamina

Inclinazionelamina

Spessorelamina

Mat. lamina

Inclinazionelamina

Spessorelamina

Co

rso

di

“ , lamina lamina lamina , lamina lamina lamina lamina lamina lamina


e I

I”

ACCORGIMENTI SPECIFICIIn primo luogo, è opportuno ricordare che le proprietà del materiale sono definite nel SR del singolo elemento, per cui è necessario controllare accuratamente la disposizione spaziale di quest’ultimo in modo che coincida, in ogni punto del modello con le effettive direzioni principali del materiale o con il SR desiderato per il laminato.

A tale scopo si richiede in primo luogo di “allineare” la normale uscente di tutti gli elementi la quale può avere orientamenti diversi a seconda

Mecc

an

ich A tale scopo si richiede in primo luogo di allineare la normale uscente di tutti gli elementi, la quale può avere orientamenti diversi a seconda

delle modalità di creazione, utilizzando uno dei seguenti due comandi:•ANORM,xxx,0 che consente di allineare la normale di tutte le aree attive e degli elementi in esse presenti a quella dell’area xxx•ENORM, xxx che consente di allineare la normale di tutti gli elementi attivi in accordo con quella dell’elemento xxx

La effettiva disposizione delle normali agli elementi può essere controllata con il comando:

Str

utt

ure

0

05

-6

•/NORMAL,,1, seguito dal comando EPLOT

Una volta ottenuta una corretta disposizione delle normali agli elementi, occorre procedere ad allinearne i sistemi di riferimento. A tale scopo è possibile utilizzare i seguenti comandi:•LOCAL,N,... crea un opportuno SR locale attribuendogli il numero identificativo “N”•ESYS N definisce “N” come il SR cui saranno allineati (paralleli) gli assi dei SR degli elementi che saranno creati nel seguito

stit

a d

elle

cdem

ico

20 •ESYS, N definisce N come il SR cui saranno allineati (paralleli) gli assi dei SR degli elementi che saranno creati nel seguito.

Se necessario, la procedura può essere ripetuta per orientare diversamente gli elementi appartenenti alle diverse zone del modello. La disposizione effettiva ottenuta può poi essere controllata tramite le istruzioni da “menu” o con il comando:•/PSYMB,ESYS,1

I f di “ t i ” è ibil tili il d

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c In fase di “post-processing” è possibile utilizzare il comando:•LAYER,nper visualizzare i risultati relativi alla lamina “n-esima”. Per “default” vengono rappresentati i risultati relativi alle superfici esterne del laminato.

Si può inoltre usare il comando:•SHELL, TOP (o MID o BOT)

“Pro

gett

az ( )

per selezionare la rappresentazione dei risultati relativi alla superficie superiore (o mediana o inferiore) della lamina.

Infine, è possibile fare uso del comando:•RSYS, xxxper selezionare il sistema di riferimento in cui rappresentare tensioni e deformazioni, allineandolo eventualmente con quello principale della singola lamina

Co

rso

di

“ singola lamina


e I

I”

ESEMPIO DI CONFRONTO FEM DATI SPERIMENTALI

Mecc

an

ich Lastra in tessuto a fibre ortogonali

Str

utt

ure

0

05

-6

Regioni con fibre parallele al piano di osservazione

Regioni con fibre parallele al piano di osservazione

stit

a d

elle

cdem

ico

20

5 m

m5

mm

5 m

m

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

re to

tale

= 5

.5re

tota

le =

5.5

re to

tale

= 5

.5

“Pro

gett

az

Spes

sor

Regioni con fibre ortogonali al

Spes

sor

Spes

sor

Regioni con fibre ortogonali al

Co

rso

di

“

piano di osservazionepiano di osservazione


e I

I”

PROVA DI TRAZIONE

Mecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6st

ita d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“


e I

I”

PROVA DI FLESSIONE

Mecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6st

ita d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“


e I

I”

RISULTATI PROVE DI TRAZIONE

Mecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6st

ita d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“


e I

I”

RISULTATI PROVE DI FLESSIONE

Mecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6

-2500

-2000

]

1-0°1-22°30'1-45°

stit

a d

elle

cdem

ico

20

-1500

-1000Car

ico,

P [N

] 1 451-67°30'1-90°

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

-500

“Pro

gett

az 0

-8-7-6-5-4-3-2-10

Spostamento, δ [mm]

Co

rso

di

“


e I

I”

MODELLO FEM PROVA DI TRAZIONE

Mecc

an

ich

Vincolo di

Pressione uniforme

Vincolo di

Pressione uniforme

Str

utt

ure

0

05

-6

Vi l ti li

Vincolo di uguaglianza sugli spostamenti “Y”(comando CP)

Vi l ti li

Vincolo di uguaglianza sugli spostamenti “Y”(comando CP)

stit

a d

elle

cdem

ico

20 Vincolati gli

spostamenti in direzione “X” e “Z”

Vincolati gli spostamenti in direzione “X” e “Z”

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Incastro completoIncastro completo

Co

rso

di

“


e I

I”

CRITERIO DI ROTTURA (TSAI-WU)

Mecc

an

ich

C***C*** Tensioni di rottura laminaC***SR1=300SR2=280

D fi i i d i t i t ti i l i

C***C*** Tensioni di rottura laminaC***SR1=300SR2=280

D fi i i d i t i t ti i l i

Str

utt

ure

0

05

-6

SR3=110SR12=55SR23=55SR31=55

====

Definizione dei parametri contenenti i valori delle Tensioni di rottura a trazione e taglio secondo le direzioni principali del materiale

SR3=110SR12=55SR23=55SR31=55

====

Definizione dei parametri contenenti i valori delle Tensioni di rottura a trazione e taglio secondo le direzioni principali del materiale

stit

a d

elle

cdem

ico

20

/POST1

C***C*** CRITERIO DI ROTTURAC***

/POST1

C***C*** CRITERIO DI ROTTURAC***

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c CFC,1,S,XTEN,SR1FC,1,S,YTEN,SR2FC,1,S,ZTEN,SR3FC,1,S,XY,SR12FC,1,S,YZ,SR23FC 1 S XZ SR31

Tensioni di rottura a trazione nelle 3 direzioni principali del materiale

Tensioni di rottura a taglio nelle 3 direzioni principali del materiale

CFC,1,S,XTEN,SR1FC,1,S,YTEN,SR2FC,1,S,ZTEN,SR3FC,1,S,XY,SR12FC,1,S,YZ,SR23FC 1 S XZ SR31

Tensioni di rottura a trazione nelle 3 direzioni principali del materiale

Tensioni di rottura a taglio nelle 3 direzioni principali del materiale

“Pro

gett

az FC,1,S,XZ,SR31

C***C*** RAPPRESENTAZIONE RISULTATIC***PLESOL,S,TWSIPLESOL,S,TWSR

Rappresentazione grafica dell’andamentodei due parametri di Tsai-Wu

3 d e o p c pa de ate a eFC,1,S,XZ,SR31C***C*** RAPPRESENTAZIONE RISULTATIC***PLESOL,S,TWSIPLESOL,S,TWSR

Rappresentazione grafica dell’andamentodei due parametri di Tsai-Wu

3 d e o p c pa de ate a e

Co

rso

di

“


MODELLO FEM MULTI-STRATO LINEAREh

e I

I”

MODELLO FEM MULTI STRATO LINEAREM

ecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6st

ita d

elle

cdem

ico

20

250

300

350

0°-90°45°

MODELLO MULTI-STRATO LINEARE

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

150

200

250ns

ione

[MPa

]22°30'-67°30'MEF 0°MEF 22°30'MEF 45°

“Pro

gett

az

50

100

Te

Co

rso

di

“

00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Deformazione


e I

I”

MODELLO DI PLASTICITA’ ANISOTROPA

Mecc

an

ich

c***c***σσ

Str

utt

ure

0

05

-6

c*** Tensioni snervamento laminaC***SN1=500 ! tensione snervamento elevata fittiziaSN2=500 ! per evitare snervamento in direzione fibreSN3=500 SN12=27 ! tensione snervamento a taglio

c*** Tensioni snervamento laminaC***SN1=500 ! tensione snervamento elevata fittiziaSN2=500 ! per evitare snervamento in direzione fibreSN3=500 SN12=27 ! tensione snervamento a taglio

σSNArctan(Ep)σSNArctan(Ep)

stit

a d

elle

cdem

ico

20 SN12=27 ! tensione snervamento a taglio

SN23=27SN31=27EP1=1000 ! modulo plastico fittizio direzione fibreEP2=300 ! modulo plastico stimato a taglioC***

Scelta modello plasticità

SN12=27 ! tensione snervamento a taglioSN23=27SN31=27EP1=1000 ! modulo plastico fittizio direzione fibreEP2=300 ! modulo plastico stimato a taglioC***


ε

Arctan(E)

ε

Arctan(E)

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

C*** PROPRIETA' ELASTO-PLASTICHE ANISOTROPEC***TB,ANISOTBDATA,1,SN1,SN2,SN3,EP1,EP1,EP1TBDATA,7,SN1,SN2,SN3,EP1,EP1,EP1TBDATA 13 SN12 SN23 SN31 EP2 EP2 EP2

Tensioni snervamento a trazione nelle 3 dir. princ. materialeModuli plastici corrispondenti

c.s. a compressione

C*** PROPRIETA' ELASTO-PLASTICHE ANISOTROPEC***TB,ANISOTBDATA,1,SN1,SN2,SN3,EP1,EP1,EP1TBDATA,7,SN1,SN2,SN3,EP1,EP1,EP1TBDATA 13 SN12 SN23 SN31 EP2 EP2 EP2

Tensioni snervamento a trazione nelle 3 dir. princ. materialeModuli plastici corrispondenti

c.s. a compressione

“Pro

gett

az TBDATA,13,SN12,SN23,SN31,EP2,EP2,EP2

Tensioni snervamento a taglio Moduli plastici corrispondenti

TBDATA,13,SN12,SN23,SN31,EP2,EP2,EP2

Tensioni snervamento a taglio Moduli plastici corrispondenti

Co

rso

di

“


MODELLO FEM MULTI-STRATO PLASTICITA’ ANISOTROPAh

e I

I”

MODELLO FEM MULTI STRATO PLASTICITA ANISOTROPAM

ecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6st

ita d

elle

cdem

ico

20

250

300

350

0°-90°45°

MODELLO MULTI-STRATO ANISOTROPO

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

150

200

250

nsio

ne [M

Pa]

22°30'-67°30'MEF 0°MEF 22°30'MEF 45°

“Pro

gett

az

50

100

Ten

Co

rso

di

“

00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

Deformazione


MODELLO DI PLASTICITA’ SECONDO HILLh

e I

I”

S lt t i ltili l di if i tS lt t i ltili l di if i t

MODELLO DI PLASTICITA SECONDO HILLM

ecc

an

ich

C***C*** DEFINIZIONE CURVA DI SNERVAMENTO A 45°C***TB,MISO,1,1,7 TBPT 0 00225 27

Scelta rappresentazione multilineare per la curva σ−ε di riferimentoMateriale

N° punti curva σ−ε

C***C*** DEFINIZIONE CURVA DI SNERVAMENTO A 45°C***TB,MISO,1,1,7 TBPT 0 00225 27

Scelta rappresentazione multilineare per la curva σ−ε di riferimentoMateriale

N° punti curva σ−ε σ

σi

σ

σi

Str

utt

ure

0

05

-6

TBPT,,0.00225,27TBPT,,0.01,67TBPT,,0.02,88TBPT,,0.03,98TBPT,,0.04,106TBPT,,0.05,110

ε σDefinizione curva σ−ε di riferimentoper punti

TBPT,,0.00225,27TBPT,,0.01,67TBPT,,0.02,88TBPT,,0.03,98TBPT,,0.04,106TBPT,,0.05,110

ε σDefinizione curva σ−ε di riferimentoper punti

σiσi

stit

a d

elle

cdem

ico

20 TBPT,,0.06,112

C***C*** DEFINIZIONE SNERVAMENTO ANISOTROPO SECONDO HILLC***TB HILL 1

Scelta modello plasticitàTBPT,,0.06,112

C***C*** DEFINIZIONE SNERVAMENTO ANISOTROPO SECONDO HILLC***TB HILL 1


εεi εεi

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c TB,HILL,1 TBDATA,1,10.0,10.0,10.0,0.93,0.93,0.93

R t t l T i di t i l

Rapporto tra la Tensione di snerv. a taglio e la Tens. snerv. della curva riferimento per le 3 dir. materiale

TB,HILL,1 TBDATA,1,10.0,10.0,10.0,0.93,0.93,0.93

R t t l T i di t i l

Rapporto tra la Tensione di snerv. a taglio e la Tens. snerv. della curva riferimento per le 3 dir. materiale

“Pro

gett

az Rapporto tra la Tensione di snerv. a trazione e la

Tens. snerv. della curva riferimento per le 3 dir. princ. materiale

Rapporto tra la Tensione di snerv. a trazione e la Tens. snerv. della curva riferimento per le 3 dir. princ. materiale

Co

rso

di

“


MODELLO FEM MULTI-STRATO PLASTICITA’ ANISOTROPAh

e I

I”

MODELLO FEM MULTI STRATO PLASTICITA ANISOTROPAM

ecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6

350

stit

a d

elle

cdem

ico

20

250

300

350

0°-90°45°

MODELLO MULTI-STRATO HILL

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

150

200

250

nsio

ne [M

Pa]

22°30'-67°30'MEF 0°MEF 22°30'MEF 45°

“Pro

gett

az

50

100

Ten

Co

rso

di

“

00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

Deformazione


e I

I”M

ecc

an

ich

300

a] Multi strato lineare

Str

utt

ure

0

05

-6 200

250ot

tura

, σxR

[MPa

Multi-strato lineareMulti-strato anisotropoMulti-strato HillMono-strato HillDati sperimentaliMulti-strato Hill (Eq. 4.4)

stit

a d

elle

cdem

ico

20

100

150

ne n

omin

ale

a ro

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

0

50Tens

io

“Pro

gett

az

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Angolo inclinazione provino-carico [°]

Co

rso

di

“


e I

I”

MODELLO FEM PROVA DI FLESSIONE

Mecc

an

ich

Vincolati gli Vincolati gli

Str

utt

ure

0

05

-6

spostamenti in direzione “Z”

Vincolo di uguaglianza sugli spostamenti “Z”(comando CP)

spostamenti in direzione “Z”

Vincolo di uguaglianza sugli spostamenti “Z”(comando CP)

stit

a d

elle

cdem

ico

20 (comando CP)(comando CP)

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

Carico uniformemente distribuito

Carico uniformemente distribuito

“Pro

gett

az

Co

rso

di

“


e I

I” MODELLO FEM MULTI-STRATO LINEARE

Mecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6

-2500

-20000°-90°22°30'-67°30'45°

stit

a d

elle

cdem

ico

20

-1500

-1000Car

ico,

P [N

]

45MEF 0°MEF 22°30'MEF 45°

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c

-500

C

“Pro

gett

az

0-9-8-7-6-5-4-3-2-10

Spostamento, δ [mm]

Co

rso

di

“


e I

I”M

ecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6st

ita d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“


e I

I”M

ecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6st

ita d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“


e I

I”M

ecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6st

ita d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“


e I

I”M

ecc

an

ich

Str

utt

ure

0

05

-6st

ita d

elle

cdem

ico

20

zio

ne A

ssis

An

no

aca

c“P

rog

ett

az

Co

rso

di

“

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e II” MATERIALE OTTENUTO PER UNIONE DI DUE O PIU ... · MATERIALE COMPOSITO Meccanic • piccolo spessore • forte anisotropia del materiale per quanto riguarda: • proprietà