Eotvos Lorand Tudomanyegyetem

Informatikai Kar

Numerikus Analızis Tanszek

Huros hangszer modellje es annak implementalasa

Stoyan Gisbert

Egyetemi tanar

Potempski Daniel Konrad

Programtervezo

Informatikus MSc

Budapest, 2012

Tartalomjegyzek

1. Bevezetes 3

1.1. Hangszerek fizikai modellezesenek nehany alkalmazasa . . . . . . . . . 4

1.2. Technikai megjegyzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. A zongora vazlatos felepıtese, mukodese 6

3. Az egyes osszetevok modelljei 8

3.1. A hur modelljevel kapcsolatos eddigi nehany eredmeny . . . . . . . . 8

3.2. A rezonans modelljenek felırasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.1. A rezonans feladata es felepıtese . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.2. Eddigi eredmenyek a fizikai modellek kutatasaban . . . . . . 11

3.2.3. Az egydimenzios modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.4. A ketdimenzios modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Az osszetevok osszekapcsolasanak modelljei 15

4.1. A hur es a rezonans kozvetlen osszekapcsolasa . . . . . . . . . . . . . 15

4.1.1. Az egydimenzios eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1.2. A ketdimenzios eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2. A hur es a rezonans osszekapcsolasa egy egyszeru hıdon keresztul . . 16

4.3. Az egyszeru hıdon keresztul valo osszekapcsolas egy valtozata . . . . 17

4.4. A gerjesztes modellezese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.4.1. Kezdeti ertekkel valo gerjesztes . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.4.2. A jobboldalon keresztul torteno gerjesztes . . . . . . . . . . . 18

5. Numerikus megvalosıtasok 19

5.1. A hur egy egyszeru modelljenek megvalosıtasa . . . . . . . . . . . . . 19

5.1.1. A vegesdifferencia modszer felırasa . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.1.2. Stabilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.3. Tesztek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2. Az egydimenzios rezonans egyszeru modelljenek megvalosıtasa . . . . 22

5.2.1. A vegesdifferencia modszer felırasa . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2.2. Stabilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2.3. A modszer tesztelese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3. A ketdimenzios rezonans egyszeru modelljenek megvalosıtasa . . . . . 24

5.3.1. A vegesdifferencia sema felırasa . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3.2. Stabilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3.3. A modszer tesztelese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.4. A biharmonikus operator sajatertek problemajanak numerikus meg-

oldasa befogott vekony izotrop lemez peremfeltetelei mellett . . . . . 31

5.5. A kozvetlen osszekapcsolas megvalosıtasa . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.5.1. Az egydimenzios eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.5.2. Az egydimenzios eset tesztelese . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.5.3. A ketdimenzios eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.6. A ketdimenzios eset tesztelese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.7. Az egyszeru hıdon keresztuli osszekapcsolas megvalosıtasa . . . . . . . 38

5.7.1. A sema ismertetese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.7.2. Teszteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.8. Az egyszeru hıdon keresztuli osszekapcsolas megvalosıtasanak valtozata 39

5.8.1. A sema ismertetese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.8.2. Teszteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6. A tovabbi kutatomunka lehetseges iranyai 42

6.1. Pontosabb fizikai modellek hasznalata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.2. Pontosabb numerikus modellek, tesztek hasznalata . . . . . . . . . . 42

7. Felhasznalt technologiak, eroforrasok, es az azokkal kapcsolatos ta-

pasztalatok 44

8. Eredmenyek osszefoglalasa 46

1. fejezet

Bevezetes

Jelen munka bizonyos hangszerek egyszeru fizikai modelljet ırja fel, majd ismerteti a

numerikus megvalosıtas mikentjet. A fizikai modelleket ismertetem, roviden vitatom

a bennuk rejlo lehetosegeket. Kozlok nehany lehetseges szamıtogepes megvalosıtast,

azok hibait, eredmenyeit, es ezeket is vitatom. A tovabbfejlesztes tobb lehetosegevel

zarok. A kidolgozas soran elsodlegesen a zongorara fokuszaltam, de a modell atviheto

a legtobb huros hangszerre. A megvalosıtasok, tesztek soran keletkezett programok

megtalalhatok a mellekelt adathordozon.

A Diplomamunka-tema bejelento lapon kituzott tobb celt nem valosıtottam meg,

masokat viszont reszletesen, tobb megoldasi lehetoseget is bemutatva dolgoztam ki.

A hangszer modelljei felallıtasakor nem vettem figyelembe a levegot es a nemlinearis

effektusokat, ugyanis a szakirodalmat kutatva kiderult, hogy elfogadott mind ket

jelenseg elhanyagolasa. Ez kulonosen igaz a hurok egymasra hatasara a levegon ke-

resztul. A nemlinearis jelensegekre viszont igaz, hogy van letjogosultsaguk [1], de

az ennyire pontos modellek meghaladjak eme diplomamunka kereteit. A mellekelt

programban a kettonel tobb hur esetet is implementaltam, ami azt mutatja, hogy az

ismertetett modellek termeszetszeruleg terjeszthetok ki erre az esetre. A modellek

lehetseges diszkretizacioira es azok tulajdonsagaira fordıtottam nagyobb hangsulyt.

Nem foglalkoztam a modellparameterek meghatarozasaval, mert ez leginkabb a le-

vego feljebb emlıtett hatasakor lett volna relevans. Meresi eredmenyekkel valo ossze-

vetes nem tortent, viszont analitikus eredmenyekkel igen. Csak a vizualis megje-

lenıtes problemajat oldottam meg.

Mindenek elott azonban felmerul a kerdes, hogy van-e gyakorlati haszna az ilyen

modelleknek.

3

1.1. Hangszerek fizikai modellezesenek nehany al-

kalmazasa

A valasz termeszetesen igen. Tobb teruleten is alkalmazhatok a modellek numerikus

megvalosıtasukkal egyutt.

Eloszor is a hangszerek mukodesenek megismerese nagyban segıtheti fejlesztesu-

ket. A legtobb hangszer tobb szaz eves fejlodes nyoman erte el jelenlegi formajat, leg-

inkabb sok-sok probalgatas utjan fejlesztettek oket. Igaz, volt amikor egyes reszletek

megallapıtasahoz (mint peldaul fuvos hangszerek lyukainak elhelyezkedese) komoly

szamıtasokat vegeztek. Az ilyen szamıtasok elterjedese sokat segıt a gyartoknak.

Nishiguchi szerint addig nem allıthatjuk, hogy tisztan ertjuk a zongora hangjanak

keletkezeset, amıg nem szimulaltuk azt hihetoen [27]. Ha ezt elfogadjuk, akkor a

numerikus megvalosıtasnak tobbszoros szerepe van a hangszerek fejleszteseben, ıgy

az altalunk vizsgalt huros hangszerek eseteben is ez a helyzet. Nem csak az elmeleti

modell helyesseget lehet ıgy bizonyıtani, de konnyebben kimutathato az egyes fizikai

parameterek megvaltoztatasanak hatasa is a hangra. Kifejezetten a gyartast segıto

eredmenyeket mutat be peldaul A. Stulov [28]-ban. Kıserletei soran numerikus szi-

mulaciokat is alkalmazott. A Tallini Zongoragyar a javasolt valtoztatasokat meg is

valosıtotta.

Masik fontos alkalmazasi terulet a fizikai modell alapu hangszintezis. A manapsag

elterjedt jel alapu szintezissel szemben nagy elonye [1] alapjan, hogy a modellpa-

rameterek az eredeti hangszer tulajdonsagait tukrozik. Igy a felhasznalo szamara

sokkal kezzelfoghatobb, hogy min is valtoztat, ha modosıtja a parametereket. Raa-

dasul ezekbol a parameterekbol kevesebb is eleg, mert az alkalmazott modell bizo-

nyos korlatokat szab. Hatranya az ilyen megkozelıtesnek a nagy szamıtasigeny, ami

egy valos ideju rendszer eseten kompromisszumokhoz vezet. Sajnos a valosidejuseg

megtartasa a modell egyszerusıtesehez, elnagyolasahoz, s ıgy a generalt hang az

eredetitol valo tavolodasahoz vezet.

Lehetseges azonban nem letezo hangszerek virtualis epıtese is, es ezeket hasznalni

uj hangok szintetizalasahoz. Egy fizikai modellen alapulo modalis szintezist meg-

valosıto keretrendszer a MOSAIC [25]. Ennek alapotlete, hogy minden rezgo szer-

kezet osszekapcsolhato modalis adatokkal. Ez persze csak akkor igaz, ha a modellek

mind linearisak. Tehat minden rezgo szerkezet egy modalis objektum. Ezeket az

objektumokat ossze lehet kotni tobbfele modon is. A rendszerhez tartoznak meg

gerjeszto objektumok valamint virtualis pick-upok.

Egy masik modszere az uj hangszınek eloallıtasanak [20]-ban van ismertetve.

Ennek lenyege, hogy ket, fizikai modellen alapulo hangszın kozotti interpolaciot

4

vegeznek. Az interpolacio ket modon mehet vegbe. Az egyik eset, amikor a ket

hangszın ugyanazzal a modellel van eloallıtva, csak a modellparameterek kulonboz-

nek. Ekkor egyszeruen a szoban forgo parametereket kell interpolalni. A masik eset,

amikor a modellek is kulonboznek. Ekkor kell talalni egy harmadik, altalanosabb

modellt, amely mindkettonek a kiterjesztese. Majd ezen belul a modellen belul kell

megtalalni az eredeti modelleknek megfelelo parametereket, es azokat interpolalni. A

tanulmany egy gyakorlati peldan mutatja be a modszert. A gitar es a zongora hangja

kozott hoznak letre a szerzok egy egyenletes atmenetet. A ket hangszer modellje csak

a gerjesztes modjaban kulonbozik, ezert csak azt kellett altalanosıtani. A modszer

erdekessege, hogy az extrapolacio is lehetseges.

1.2. Technikai megjegyzes

Mivel az altalam hivatkozott szakirodalom nagy resze angol nyelvu, ezert a fontosabb

szakszavak elso feltunesekor zarojelben kozlom az angol nyelvu megfelelot.

5

2. fejezet

A zongora vazlatos felepıtese,

mukodese

A zongorajatekos a billentyuk lenyomasaval egy bonyolult mechanika kozvetıtesevel

hozza mozgasba a kalapacsot. A kalapacs uti meg a hurt. A hurt a hıd (bridge)

koti ossze a rezonanssal (soundboard). A rezonans a zongora kemenyfa testebe van

beagyazva. A hurok egyik veget a tokebe (pin block) beagyazott hangoloszogek (pin),

masik veget a panceltoke (cast-iron frame) kiakaszto szogei (hitch pin) feszıtik. A

hur egy acelmagbol (core) all. A melyebb hurok egy-, vagy ketretegu rezfonatot

(copper wrapping) kapnak. Az angol nyelvu elnevezeseket [12]-bol vettem.

6

2.1. abra. A modern zongora fobb alkatreszei: 1-panceltoke, 2-fedel(elulso), 3-

tompıto, 4-tompıto, 5-fedel, 6-tompıtokar, 7-sostenuto sın, 8,9-pedalmechanizmus,

10-pedalrud, 11-pedalok, 12-hıd, 13-kiakaszto szog, 14-panceltoke, 15-rezonans, 16-

hur. Forras: http://www.wikipedia.hu

7

3. fejezet

Az egyes osszetevok modelljei

Ebben a fejezetben bemutatom a hangszer fo osszetevoinek modelljeit. Altalanos-

sagban harom tıpusu elembol all egy huros hangszer. Hurokbol, a hurok vibralasat

erosıto eszkozbol, ami legtobbszor falemez (zongora, csembalo) vagy fabol keszult

rezonalo doboz (gitar, hegedu, harfa), de lehet membran is (banjo). Mivel a zongora

modellezese az elsodleges celunk, ezert a falemez esetet vizsgaljuk. Szukseges meg a

hurt gerjeszteni valamilyen modon. Ez a harmadik elem, amely neha maga a jatekos.

Mi magat a gerjesztest fogjuk modellezni, nem a gerjeszto eszkozt.

3.1. A hur modelljevel kapcsolatos eddigi nehany

eredmeny

A hur modellje manapsag a legaprobb reszletekig kidolgozott. A legfobb eredmenyek

tobb muben is ossze vannak foglalva. En [1, 12, 26] alkotasokat veszem most ala-

pul. A hur legegyszerubb megkozelıtese regota ismert. Ez egy idealizalt eset, idealis

hurnak is szoktak nevezni. Az ilyen hur mozgasat nem tompıtja semmi, nem veszik

el az energiaja, nincs merevsege, azaz tokeletesen rugalmas, valamint csak az egyik

meroleges iranyba valo kiterest vizsgaljuk. Ebben az esetben a hur mozgasegyenlete

a jol ismert hullamegyenlet [12]:

∂2u

dt2= c2∂

2u

∂x2

ahol c =√

Θµ

, Θ a feszıtes merteke, µ a tomeg osztva az egysegnyi hosszal (vagy

tomegsuruseg), u(x, t) : [0, L] × [0, T ] → R (0 < L, T ∈ R) a keresett megoldas,

azaz a kiteres a hely es az ido fuggvenyeben. Levezetese megtalalhato tobbek kozott

[1, 12, 26]-ban. A szakirodalom Θ-t egysegesen T -vel jeloli. En ettol elterek, hogy

az idointervallum veget jelolhessem vele. Ha a hurra hato kulso erot is ki szeretnenk

8

fejezni, akkor az inhomogen

µ∂2u

dt2−Θ

∂2u

∂x2= f (3.1)

egyenletre jutunk, ahol f(x, t) : [0, L] × [0, T ] → R, adott [1]. Peremfeltetelkent

adottak:

u(0, t), u(L, t) (t ∈ [0, T ]).

A kezdeti ertekek pedig:

u(x, 0),∂u

∂t(x, 0) (x ∈ [0, L]).

Ha a peremfeltetelek lekotott vegeknek felelnek meg, azaz

u(0, t) ≡ 0, u(L, t) ≡ 0, (3.2)

akkor a sajatfrekvenciak a kovetkezok[12, 1]:

ωk = kcπ

L(k ∈ N+)

szogfrekvenciak eseten, es

fk = kc

2L(k ∈ N+)

a kiteresek frekvenciaja eseten. Amikor a felhangok frekvenciai ilyen egesz szamu

tobbszorosokbol allo sorozatot alkotnak, akkor harmonikusaknak hıvjuk oket. Ez

a tulajdonsag a zeneben fontos, hiszen a hangzatok (akkordok), es ıgy a kialakult

skalak alapjaul szolgal, emiatt a hangszerek hangolasanal is szerepe van. Viszont

amint kozelıtjuk a hur modelljet a valosaghoz, a sajatfrekvenciak kisebb-nagyobb

mertekben el fognak terni a harmonikusoktol. Ezt hıvja a szakirodalom inharmoni-

citasnak.

A legkorabban felfedezett tulajdonsag, ami inharmonicitast okoz, a valos hur

merevsege (stiffness). Az ilyen hur kicsit rudkent is viselkedik, azaz nem csak a

feszıtesebol, hanem a merevsegebol is adodik egy, az egyensulyi allapotba visszaterıto

ero. Az ilyen tulajdonsagot kifejezo negyedrendu derivalt szerepel a rud vagy ge-

renda (3.3) (idealizalt) mozgasegyenleteben, (ahol majd a −Θ∂2u∂x2

feszıtest kifejezo

masodrendu tag nem is szerepel). Ezt a negyedrendu derivaltat alkalmazva a

µ∂2u

dt2−Θ

∂2u

∂x2+ ESκ2∂

4u

∂x4= f

mozgasegyenletre jutunk, ahol µ = ρS, ρ a suruseg, S a keresztmetszet terulete, E

a Young-fele modulus, κ a forgas sugara (radius of gyration [26]).

A peremfeltetelek is valtoznak: a peremen is szukseges megadni derivaltat a

gerenda esetehez hasonloan. A fuggesztett esetnek megfelelo peremfeltetelek mellett

9

(paros helyderivaltak nullak, a nulladikat is beleertve) a kovetkezo sajatfrekvenciak

adodnak [12, 1]:

fk = kf0

√1 +Bk2 (k ∈ N+)

ahol B = π2ESκ2/ΘL2. Befogott vegek esetere ((3.2) es az elsorendu derivaltak

is nullak) [12, 26] kozolnek approximaciokat, melyek azt mutatjak, hogy a fenti

keplethez kepest lenyegeben egy konstans szorzo a kulonbseg. A merevseg nem

feltetlen homogen, hisz a zongorahurok eseteben a reztekercs bizonyos huroknal

ketretegu, es a belso korabban kezdodik, mint a kulso. Tehat a hur ekkor harom

kulonbozo merevseggel es tomegsuruseggel rendelkezhet.

Az inharmonicitas egyreszt megnehezıti a zongora hangolasat. Az egyes hang-

kozok a magasabb hangok fele haladva egyre tavolodnak egymastol. Masreszt az

inharmonicitas dusıtja a spektrumot, egyesek ezt ugy fogalmazzak meg, hogy ,,mele-

gebbe” teszi a hangzast, azaz javıtja a hangszınt. Ennek hallhatosagat vizsgalja [21],

es azt allapıtja meg, hogy a melyebb hangok eseten az ember szamara konnyebben

eszlelheto a jelenseg. A hurok sulyanak noveleset a melyebb hangoknal pont az in-

harmonicitas hatasanak minimalizalasa vegett oldottak meg a rezszal vagy rezszalak

korbetekercselesevel [5]. Hiszen ilyenkor a hur merevsege kisebb, mintha egy ugyan-

olyan tomegu, de tomor hurt hasznalnanak a gyartok. A nagyobb sulyra azert van

szukseg, mert a hurok kozti meretkulonbsegek korlatozottak, valamint a feszıtes

mertekeben sem lehetnek nagy kulonbsegek, hogy a toket ne erje kiegyensulyozatlan

erohatas [5]. A meretkulonbsegek persze egy koncertzongoranal joval nagyobbak le-

hetnek egy pianınohoz kepest, es ez meg is nyilvanul az inharmonicitas mertekeben

[12].

A hetvenes evek ota tudjuk, hogy a zongorahang spektrumaban leteznek egyeb

felhangok is, melyek inharmonicitasa korulbelul a negyede az elobb ismertetetteknek

[27]. Ezeket nevezi ma mar a szakirodalom ,,fantom felhangoknak” (phantom parti-

als) [27]. [3] szerint ezeket a hurban keletkezo longitudinalis rezgesek segıtsegevel le-

het magyarazni, sot a meresekkel jol egyezo modellt is ismertet. [2]-ben azt vizsgaljak

a szerzok, hogy az ilyen rezgesek hatasa mennyire hallhato, es szinten arra jutot-

tak, hogy a melyebb hangok eseten ervenyesulnek ilyen ertelemben a longitudinalis

vibraciok.

Termeszetesen figyelembe lehet venni a csillapıtast is, mely hur eseten okozhat a

korbefoglalo levego viszkozitasa, a hur belso feszultsege, es a hidakon leadott energia

elvesztese [12]. Erdekes, hogy a zongorahang nem folyamatos utemben hal el, hanem

ket reszre oszthato: ,,[...] a korai szakaszban gyorsabban hal el, mint a kesoiben”[1].

Szokas ezt ,,dupla elhalasnak” (two-stage decay) nevezni[1].

Csak a legegyszerubb (3.1) fizikai modellt vizsgaljuk a tovabbiakban.

10

3.2. A rezonans modelljenek felırasa

3.2.1. A rezonans feladata es felepıtese

A rezonans a hurok es a hıd mozgasi energiajanak egy reszet akusztikus energiava

alakıtja [12]. Azaz a hurok hangjat felerosıti. Szinte minden huros hangszer eseten ez

a fo feladata. Fontos megemlıteni, hogy sok huros hangszer eseten ezt nem csak egy

lap vegzi, hanem egy ,,lyukas doboz”. Ilyenek peldaul a (klasszikus ertelemben vett)

vonosok, a gitar, a harfa. Az ilyen tıpusu hangszertestek modellezese tulmutat jelen

munka keretein. A zongora eseten is elofordulo esettel foglalkozom, amikor csak egy

rezonalo lap van. Ez a modell a gitar kozelıtesere is hasznalhato ha megelegszunk

a magasabb frekvenciak keltesevel. Ezt a megallapıtasomat arra a tenyre alapozom,

hogy eme hangszer eseten az emlıtett frekvenciakat lenyegeben az elolap sugarozza

[12]. A bonyolultabb eset irant erdeklodo olvasonak javaslom a kovetkezo forrasokat:

[12, 9, 10].

A hurok altal kifejtett ero a hıdon keresztul eri a rezonanst. Ez az osszekap-

csolas tovabbıtja a rezgeseket de azt is okozza, hogy a hurokban levo feszultsegbol

adodo allando ero is hat a rezonansra. Ez a hurok altali allando terheles a zongorak,

pianınok eseteben olyan eros, hogy a gyengebb minosegueknel a rezonans akar el is

deformalodhat [12].

A zongora ill. pianıno rezonansanak felepıteset [12] alapjan ismertetem. A zon-

gora rezonansa nem teljesen lapos, a hıd alatt van egy 1–2 mm-es korona, valamint

a szeleken altalaban elvekonyodik. Anyagat tekintve parhuzamosan osszeragasz-

tott lucfenyo csıkokbol van. A csıkokra meroleges iranyban a rezonans hatoldalara

bordak vannak erosıtve. Ezek a farostok kisebb keresztiranyu merevseget hivatottak

potolni. Egy viszonylag friss kutatas meresei ramutatnak arra, hogy ezt a terheles

is segıti [24]. Erdekes kerdes, hogy hogyan van rogzıtve a rezonans. Ez [12]-ben

nincs reszletezve. A rezonans hurok feloli reszein szegely van, melyek segıtsegevel

a tuloldalon levo vastag fa zongoratesthez csavarozzak. A csavarok egymas kozotti

tavolsaga az en pianınom eseten kb. 20 cm. [22] emlıti meg, hogy a rezonanst elo

szoktak feszıteni oly modon, hogy a bordak ragasztasi felulete kicsit hajlıtott.

3.2.2. Eddigi eredmenyek a fizikai modellek kutatasaban

A rezonans modelljet a hur es a kalapacs modelljehez viszonyıtva keveset vizsgaltak

(hasonlo megallapıtast talalunk [14, 15]-ben is, a helyzet azota lenyegeben nem

valtozott), bar az utobbi tız evben ennek a kutatasa is felgyorsult. Az 1998-as

kiadasu [12] az alkatresz modalis analızisevel kapcsolatban lenyegeben csak negy

11

cikkre hivatkozik, melyek egyike sem tud felmutatni meresekkel jol egyezo numeri-

kus modellt. Ismereteim szerint azota sem sikerult ilyet eloallıtani annak ellenere,

hogy az utobbi idoszak kutatasait elnezve egyertelmu a fejlodes e teren is. Kezdetben

a rezonanst onmagaban (de a hıddal egyutt) vizsgaltak [11, 29, 13, 6, 14, 15], kesobb

elkezdtek vizsgalni a hurok terhelesevel is szamolva [23, 24]. A legutobbi kutatasok

arra is keresik a valaszt, hogy milyen hatassal van a sajatrezgesek alakulasara a

rezonans elofeszıtese [22]. Az onmagaban valo vizsgalatkor legtobbszor az eredeti

helyerol kiemeltek az alkatreszt, mıg a terheleseket figyelembe veve a hangszert

szinte erintetlenul vizsgaltak, az elofeszıtest viszont egy egyszerusıtett hangszeren

[22].

3.2.3. Az egydimenzios modell

Fizikailag a lemez egydimenzios megfeleloje a gerenda (bar) vagy rud (rod). Felfog-

hato ugy mint egy merevseggel rendelkezo hur. ,,Altalanossagban a feszıtes, mint

visszahuzo ero fontosabb a merevsegnel a hur eseten es a merevseg fontosabb a

gerenda eseten [...].” [26]. Mi most a gerendara es a lemezre is ugy tekintunk, ami-

ben nincs feszıtes, azaz az egyetlen ero, ami az egyensulyi allapotba viszi vissza, a

merevsegbol adodik. Ha egyeb jelensegeket (mint pl. a longitudinalis mozgasok, csil-

lapıtas) nem veszunk figyelembe, akkor a mi esetunkben a gerenda mozgasegyenlete

a kovetkezo alakot olti [26, 12]:

ρ∂2u

dt2+ Eκ2∂

4u

dx4= f (3.3)

ahol ρ a suruseget E a Young-fele modulust κ a forgas sugarat jeloli, u : Ω ×[0, T ] → R a keresett megoldas az Ω × [0, T ] tartomanyon, T ∈ R, Ω tartomany,

f : Ω×[0, T ]→ R adott. Az Ω tartomany egy zart [a, b] intervallum (a, b ∈ R, a < b).

Az egyenlet levezetese megtalalhato a [26, 12] muvekben. Nem homogen esetben a

jobboldal itt is egy kulso erot tud bevinni az egyenletbe.

A peremfeltetelek azonosak a (3.6)-ban leırtakkal az ottani megfontolasok alapjan.

Termeszetesen az itteni Ω tartomanyt kell figyelembe venni.

A kezdetiertekek a huregyenlethez hasonloan a kovetkezok:

u(x, 0),∂u

∂x(x, 0) (x ∈ [a, b]) (3.4)

Azaz kezdetben adottak a kiteresek es a sebessegek.

Felmerul a kerdes, hogy erdemes-e ezzel a modellel foglalkozni. Ez a modell

egyreszt segıtheti a ketdimenzios megoldasra jutast, masreszt ki tudja fejezni a

hurok egyfajta osszekapcsolasat, sot lehet a hıd modellje is. Ha a felırt gerendara

12

rakotunk hurokat, akkor az olyan, mintha nem vennenk figyelembe a rezonanst, de

a hidat igen. Ez egyreszt hasznos lehet olyan esetben, amikor csak a hur mozgasa

erdekel minket, de valamennyire realis felfuggesztessel. Masreszt segıtseget adhat

olyan kerdesek megvalaszolasara, amelyek a hur hıdra valo hatasat vizsgaljak. Vegul

nezetem szerint viszonylag jol le lehet ırni vele az unisono hurok osszekapcsolasat.

Ezek a hurok igen kozel vannak egymashoz (nehany millimeter).

A fenti esetek nem erdektelenek, hisz a szakirodalom alapjan kiderul, hogy a

kutato tarsadalom folyamatosan vizsgalja ezeket.

3.2.4. A ketdimenzios modell

A legegyszerubb ketdimenzios modell a rezonansra a vekony izotrop lemez. [24]

alapjan ez a modell kiegeszıtve a hidakkal es terhelessel egesz jo egyezest mutat

legalabb az elso harom sajatfrekvenciat tekintve, a sajatfuggvenyek viszont mar

kevesbe egyeznek.

A vekony izotrop lemez mozgasegyenlete [12, 26]:

ρs∂2u

dt2+

Eq3

12(1− ν2)∆2u = f (3.5)

ahol ρ a suruseg, E a Young-fele modulus, s a lemez vastagsaga, ν a Poisson arany,

∆2 a biharmonikus operator (∆ a Laplace operator, ∆ = ∇2), u : Ω× [0, T ]→ R a

keresett megoldas Ω×[0, T ] tartomanyon, T ∈ R, Ω ⊂ R2 tartomany, f : Ω×[0, T ]→R adott. Az egyenlet levezetese megtalalhato [26]-ban.

A biharmonikus operator kiırva:

∆2u =∂4u

∂x4+ 2

∂4u

∂x2∂y2+∂4u

∂y4

Megjegyzem tovabba, hogy a szakirodalom s-t h-val szokta jelolni, de mivel en

azt a diszkretizacio lepestavolsagara hasznalom, ezert mas karaktert valasztottam.

Arra valoban lehet remenyunk, hogy a nagy hullamhosszu rezgeseket viszonylag

jol visszaadja a modell, hiszen ezek joval nagyobbak a bordak tavolsaganal, a kisebb

hullamhosszok eseten viszont elkerulhetetlen az ortotrop eset es meg a bordak fi-

gyelembe vetele is, azaz inhomogen lesz a lemez [13]. Mindez abbol adodik, hogy az

igazi rezonans a nagy hullamhosszu rezgesek eseten merevebb lemezkent viselkedik,

mint a bordak egymas kozti tavolsaganal kisebb hullamhosszuak eseten [13].

Nem volt szo meg a peremfeltetelekrol. Ismereteim szerint ezt a kerdest a tu-

domany meg nem valaszolta meg. Egy a [12]-ben is ismertetett kutatas meresei a

pianıno eseteben egyfajta atmeneti esetet sugallnak a befogott es az alatamasztott

szeleknek megfelelo peremfeltetelek kozott. A legtobb tanulmany azonban befogott

13

szeleket feltetelez, mint peldaul [11, 13, 24]. A sajat pianınomat elnezve velemenyem

szerint ez a felteves nem all tul messze a valosagtol. Eleg ha csak a szegelyekre

gondolunk, igaz vannak reszek, ahol nincs szegely. A befogott szeleknek megfelelo

peremfeltetelek a kovetkezok:

u|Γ = 0

∂u

dt|Γ = 0

(3.6)

ahol Γ az Ω tartomany peremet jeloli. Most csak a negyzetes tartomanyt vizsgalom:

Ω = [a, b] × [a, b] (a, b ∈ R). Fontos vizsgalni a rezonans sajatfrekvenciait es sa-

jatfuggvenyeit. A kerdes a ∆2 operator sajatertek-problemaja. Valoban, ha (3.5)

megoldasat u(x, y, t) = Z(x, y)eiωt alakban keressuk f ≡ 0 eseten, akkor az

−12ρ(1− ν2)ω2

Es2Z(x, y) + ∆2Z(x, y) = 0

egyenlosegre jutunk [12]. Ezt atrendezve kapjuk a

∆2Z(x, y) =12ρ(1− ν2)ω2

Es2Z(x, y) (3.7)

azonossagot. A jobboldalon Z egyutthatoja konstans.

Sajnos az altalunk valasztott tartomany es peremfeltetelek eseten nem letezik

a feljebbi sajatertekproblema zart alakban felırhato megoldasa. Viszont ismertek

kozelıtesek, becslesek mind az ertekekre, mind a fuggvenyekre. Ilyeneket kozol [12, 7].

Bevezetem meg a szakirodalom altal gyakran hasznalt

D :=Es2

12ρ(1− ν2)

jelolest.

14

4. fejezet

Az osszetevok osszekapcsolasanak

modelljei

4.1. A hur es a rezonans kozvetlen osszekapcsolasa

Ebben a pontban egy olyan modellt ismertetek, mely a hur vegpontjat a rezonans

egy pontjaval kapcsolja ossze azaltal, hogy a ket pont gyorsulasat egyenlove teszi.

4.1.1. Az egydimenzios eset

Tekintsuk az (3.1) es (3.3) mozgasegyenleteket. Mindkettoben a jobboldalt tekintsuk

azonosan nullanak. Az azonos nevu valtozokat, felosztasokat indexeljuk a hur eseten

st-vel, a gerenda eseten r-rel. A gerenda egy adott xr,i pontjahoz fogjuk kapcsolni a

hur xst,L vegpontjat. Tegyuk fel, hogy

∂2ur∂t2

(xr,i, t) =∂2ust∂t2

(xst,L, t) (t ∈ [0, T ]). (4.1)

Ebbol az osszefuggesbol es a mozgasegyenletekbol kapjuk, hogy

Eκ2

ρ

∂4ur∂x4

(xr,i, t) = −Θ

µ

∂2ust∂x2

(xst,L, t) (t ∈ [0, T ]). (4.2)

4.1.2. A ketdimenzios eset

A hur es a lemez osszekapcsolasa erdekeben tekintsuk az (3.1) es (3.5) mozgasegyen-

leteket. Mindkettoben a jobboldalt tekintsuk azonosan nullanak. Az egydimenzios

esethez hasonloan fogunk eljarni. Az azonos nevu valtozokat, felosztasokat inde-

xeljuk a hur eseten tovabbra is st-vel, a lemez eseten pl-lel. A lemez egy adott

(xpl,i, ypl,j) pontjahoz fogjuk kapcsolni a hur xst,L vegpontjat. Tegyuk fel, hogy

∂2upl∂t2

(xpl,i, t) =∂2ust

∂t2(xst,L, t) (t ∈ [0, T ]). (4.3)

15

Ebbol az osszefuggesbol es a mozgasegyenletekbol kapjuk az

−D∆2upl(xpl,i, ypl,j, t) =Θ

µ

∂2ust∂x2

(xst,L, t) (t ∈ [0, T ]). (4.4)

azonossagot.

4.2. A hur es a rezonans osszekapcsolasa egy egy-

szeru hıdon keresztul

Ebben a reszben egy a [4]-ben kozolt modszert alkalmazom a mi modellunkre. [4]

a gitar hıdjat ugy modellezi, hogy az elulso lap a hıd altal fedett reszen integralt

szamıt. Ez az integral azt fejezi ki, hogy a hıd egyfajta atlagolast vegez. A modellben

a hıd tomege nem jelenik meg. Csak az egydimenzios esetet dolgozom ki.

Tekintsuk az (3.3), (3.1) mozgasegyenleteket, es hasznaljuk itt is a 4.1.1-beli

jeloleseket. Vezessuk be a G sulyfuggvenyt, mely a gerenda azon reszet jeloli ki,

amely folott szeretnenk integralni [4]-hez hasonloan.

G : [a, b]→ R,∫ b

a

G(x)dx = 1

Mi a legegyszerubb

G(x) =

0 ha x ∈ [a, v)

1w−v ha x ∈ [v, w]

0 ha x ∈ (w, b]

(4.5)

esettel foglalkozunk, ahol v, w ∈ [a, b] a hıd (es ıgy az ,,atlagolas”) ket szele (v < w).

A hur a gerendara a gerenda mozgasegyenletenek jobboldalan keresztul hat, ıgy az

a kovetkezokeppen nez ki [4]:

fr(x, t) = −Θ∂ust∂xst

(L, t)G(x). (4.6)

G elosztja a hur erohatasat a rezonator hıddal fedett reszen [4]. A gerenda a hurra

a kiteresen keresztul hat, de a hıd kozvetıtesevel [4]:

ust(L, t) =

∫ b

a

G(xr)ur(xr, t)dxr. (4.7)

[4] bizonyıtja az ilyen osszekapcsolas energiamegmaradasat.

16

4.3. Az egyszeru hıdon keresztul valo osszekap-

csolas egy valtozata

Hasznaljuk az elozo pont jeloleseit. Az elozo pontok alapjan adodik az otlet, hogy

a gerenda egy resze sebessegei folotti normalizalt integralt tegyuk egyenlove a hur

vegpontjanak sebessegevel. Azaz bizonyos ertelemben otvozzuk a 4.1.1-ben es a 4.2-

ben bemutatott modszereket. Formalisan megfogalmazva:∫ b

a

G(xr)∂2ur(xr, t)

∂t2dxr =

∂2ust∂t2

(t, L). (4.8)

Mind ket oldalon a masodrendu derivaltakat kifejezve a nekik megfelelo mozgase-

gyenletekbol kapjuk a kovetkezo egyenloseget:∫ b

a

G(xr)fr − Eκ2 ∂4ur

∂x4r

ρdxr =

fst + Θ∂2ustx2st

µ. (4.9)

4.4. A gerjesztes modellezese

A szakirodalom harom gerjesztest szokott megkulonboztetni a hur eseteben: pen-

getes, (kalapaccsal valo) utes, vonas. Pengetni peldaul gitart, harfat, banjot szoktak,

de a csembalo eseteben is errol beszelhetunk, csak ott nem kozvetlenul a jatekos

penget, hanem egy kozvetıto mechanika segıtsegevel egy pengeto (eredetileg ludtoll

volt). A zongora eseteben egy kalapacs uti meg a hurt. A kalapacsot a jatekos egy

bonyolult mechanikan keresztul tudja lengesbe hozni. Vonasrol a vonosok eseteben

beszelunk, bar a kortars zeneben sok mas eszkozt is szoktak vonni (peldaul fureszt,

cintanyert, gitar hurjat). A vonas modellezesevel annak bonyolultsaga miatt nem

foglalkozom. Ha az olvaso ezt az esetet meg szeretne ismerni, javaslom a [12] ossze-

foglalo muvet elindulaskent.

4.4.1. Kezdeti ertekkel valo gerjesztes

A legegyszerubb modja a hur gerjesztesenek, hogy a kezdeti ertekeket allıtjuk be

ugy, hogy a nekunk megfelelo esetet kozelıtsuk. [12] alapjan kozlom a vizsgalatunk

targyaul szolgalo ket esetet:

Pengetest akkor kozelıtunk, ha a kezdeti kiterest megvaltoztatjuk az egyensulyi

allapothoz kepest, a kezdeti sebessegek nullak. A kezdeti kiterest ugy kell meg-

hatarozni, hogy a hur kezdeti es egyensulyi kiterese egy haromszoget alkosson. A

pengetes helyetol is fugg hogy mely felhangok fognak szolni. Egy ilyen esetet mutat

be a 4.1 abra.

17

4.1. abra. Gerendara kapcsolt ket hur kozul az egyik pengetessel gerjesztve. A pi-

ros pontok a kezdeti kiterest mutatjak. Ahol nincsenek, ott a kezdeti kiteres azo-

nosan nulla volt. Diszkretizacios parameterek a kovetkezo fejezetben bevezetett

jelolesekkel: n = 20, m = 800. Az abra a k = 5080 idoreteget mutatja. A pen-

getett hur konstansai Θ = 1, µ = 1, a masik hure Θ = 1.58, µ = 1, a gerendae

Eκ2 = 0.5, ρ = 1. T = 1. A kapcsolodasi pontok rendre x6, x12.

Kalapaccsal utest akkor kozelıtunk ha a kezdeti kiteres az egyensulyi allapot,

viszont a sebesseg egy pontban nem nulla [12, 1].

4.4.2. A jobboldalon keresztul torteno gerjesztes

Jobb kozelıtest lehet elerni, ha (3.1)-nek az f jobboldalan egy, a gerjeszto eszkoz

(peldaul kalapacs, jatekos ujja) altal a hurra kifejtett erot alkalmazunk. A gitar

ujjal valo pengetesenek kulonbozo modelljeit megtalalhatjuk [8, 4] muvekben. A

kalapaccsal valo utes tobb modelljet megtalalhatjuk [1, 27, 16]-ban. A pengetes

eseten egyszerubb ezt az erot leıro fuggvenyeket talalunk, az utes eseten implicit

formulakat talalunk, melyek szamıtasa numerikus problemakat (instabilitasit is) fel-

vet. Az emlıtett numerikus problemakrol [1] ır.

18

5. fejezet

Numerikus megvalosıtasok

A megvalosıtasok soran a legegyszerubb, explicit vegesdifferencia semakkal dolgo-

zom. Hatranyuk, hogy a stabilitasuk sok idoreteget kıvan, elonyuk viszont az, hogy

parhuzamosıtasuk termeszetes modon adodik, bar a megvalosıtas soran ezt nem

hasznaltam ki. Tovabbi, meg fontosabb elonyuk, hogy a nagy frekvenciaju meg-

oldasokat jobban visszaadjak, mint az implicit modszerek. Az egesz fejezetre igaz,

hogy a tesztek soran igyekeztem minel egyszerubb fuggvenyeket hasznalni, ezert ahol

nem jelzem kulon, ott a mozgasegyenletek konstansait ugy hataroztam meg, hogy a

parcialis derivaltak egyutthatoi az 1 erteket kapjak. A tesztek eredmenyeit bemutato

tablazatokban a ,,Hiba”, maximalis hibat jelent, a ,,Sebesseg” pedig konvergencia-

sebesseget, mely az elozo, es az aktualis sor hibajanak aranya. Azert ez a konvergen-

ciasebesseg, mert az egy sorhoz tartozo approximacio egy dimenzio iranyaba valo

terbeli felosztasa osztopontjainak szama nalunk a fele az alatta levo sor esetehez

kepest.

5.1. A hur egy egyszeru modelljenek megvalosıtasa

5.1.1. A vegesdifferencia modszer felırasa

A hur eseteben tekintsuk a (3.1) mozgasegyenletet a hozzatartozo jelolesekkel. Az

[a, b] ill. [0, T ] intervallumot osszuk fel n ∈ N ill. m ∈ N reszre ekvidisztans modon.

Jeloljuk x0, x1, ..., xn-nel ill. t0, t1, ..., tm-nel az osztopontokat es h-val ill. τ -val a

szomszedos pontok kozti tavolsagot. Vilagos, hogy h = (b − a)/n ill. τ = T/m. A

hur eseteben csak az a = 0, b = L specialis esettel foglalkozom. Ekkor h = L/n.

uki -val jelolom u(xi, tk)-t illetve az azt approximalo valtozot, attol fuggoen, hogy hol

hasznalom.

A mozgasegyenlet alapjan a vegesdifferencia semahoz szukseg van a masodrendu

19

derivalt szokasos approximaciojara:

uktt,i,τ :=1

τ 2(uk−1

i − 2uki + uk+1i ) (5.1)

A lepestavolsag (itt most τ) jeloleset elhagyom, kiveve, ha nem egyertelmu. [17]

alapjan ez a differenciasema masodrendu approximaciot ad, felteve, hogy u(xi, t) ∈C4[0, T ].

A fentieket felhasznalva kapjuk a (3.1) diszkretizaciojat:

uktt,i −Θ

µukxx,i = f ji

(i = 1, 2, . . . , n− 1, k = 1, 2, . . . , n− 1)

Ebbol kifejezve uk+1i -et az

uk+1i = 2uki − uk−1

i +Θτ 2

µukxx,i +

τ 2

µfki

(i = 1, 2, . . . , n− 1, k = 1, 2, . . . , n− 1)

masodrendu explicit semara jutunk.

Hianyzik meg a k = 0 eset, azaz a k = 1 idoreteg kiszamıtasanak semaja. Ez

[18]-ban reszletesen le van vezetve, en csak vazlatosan kozlom az ottani levezetest.

Eloszor is azt kell latni, hogy

u1i − u0

i

τ=∂u

∂t(xi,

1

2) +O(τ 2) (i = 0, 1, . . . , n).

Ez adodik az u-nak az (xi, 1/2) koruli t iranyu sorfejtesebol [17]-ben reszletezett

modon. A masik otlet ugyancsak Taylor-sor alapjan adodik:

∂u

∂t(xi,

1

2) =

∂u

∂t(xi, 0) +

τ

2

∂2u

∂t2(xi, 0) +O(τ 2) (i = 0, 1, . . . , n).

A ket azonossagbol adodik, hogy az elozo baloldala megegyezik az utobbi jobbol-

dalaval. A masodrendu idoderivalt viszont kifejezheto a mozgasegyenletbol, es ıgy

approximalhato is, viszont a hibatag O(τh+τ 2) lesz. Vegul csak arra kell hivatkozni,

hogy τh ≤ (τ 2 + h2)/2 es ezzel belattuk a kovetkezo sema masodrenduseget [18]:

u1i = u0

i + τ∂u

∂t(xi, 0) +

τ 2

2µ(Θu0

xx,i + f 0i ) (i = 1, 2, . . . , n− 1).

3.1 peremfeltetelei, kezdetiertekei, jobboldala formalisan most azt jelentik, hogy

adottak az

u0i (i = 0, 1, . . . , n)

u01i :=

∂u

∂t(i = 0, 1, . . . , n)

uk0, ukn (k = 1, 2, . . . ,m)

ertekek.

20

n m Hiba Sebesseg

10 200 0.0135868

20 800 0.0034443 3.9447202

40 3200 0.000864103 3.98598312

80 12800 0.000216213 3.996535823

160 51200 5.4065·10−5 3.999130676

5.1. tablazat. A hur megvalosıtasanak hibaja (µ = 1, Θ = 1).

n m Hiba Sebesseg

10 200 0.0195229

20 800 0.00494192 3.950468644

40 3200 0.00123931 3.987638283

80 12800 0.000310067 3.996910345

160 51200 7.75317·10−5 3.999228703

5.2. tablazat. A hur megvalosıtasanak hibaja (µ = 1, Θ = 1.5).

5.1.2. Stabilitas

A modszer stabilitasanak vizsgalata a Neumann-fele modszerrel [18]-ban alaposan

reszletezve van. Az ottani eredmeny szerint a veges intervallumon vett stabilitas

elegseges feltetele a kovetkezo:|c|τh

< 1 (5.2)

ahol c =√

Θµ

.

5.1.3. Tesztek

Tobb tesztfuggvenyre kiprobaltam a modszert, ezek kozul egyet mutatok be, de a

feladatot ketfele modon parameterezem. Az elso parameterezes szerint homogen a

masodik szerint inhomogen egyenletre jutunk. A tesztfuggveny:

u = cos t cosx (x, t ∈ [0..2π]).

A megvalosıtasok hibajat az 5.1, 5.2 tablazatok tartalmazzak. Jol lathato a masod-

rendu konvergencia.

21

5.2. Az egydimenzios rezonans egyszeru modell-

jenek megvalosıtasa

5.2.1. A vegesdifferencia modszer felırasa

Tekintsuk [a, b] 5.1-ben talalhato felosztasat es annak jeloleseit. A gerenda (3.3)

mozgasegyenletet ezen a felosztason diszkretizalva szuksegunk van a masodrendu

differencialhanyados (5.1) approximaciojan tul a negyedrendu differencialhanyados

approximaciojara is. Ezt a [17]-ben kozolt Taylor-sorfejtesen alapulo modszerrel nem

nehez levezetni, a hivatkozott mu altal kozolt eredmeny:

ukxxxx,i,h :=1

h4(uki−2 − 4uki−1 + 6uki − 4uki+1 + uki+2). (5.3)

Ennel a jelolesnel is igaz, hogy ha a lepestavolsagot nem szukseges kiırni, akkor

elhagyom. Az emlıtett levezetesbol adodik, hogy az approximacio masodrendu u ∈C6([0, L]) eseten [17].

A gerenda mozgasegyenletenek diszkretizacioja ezek utan a kovetkezokeppen

ırhato fel:

ρuktt,i + Eκ2ukxxxx,i = fki

(i = 2, . . . , n− 2, k = 1, . . . ,m− 1).(5.4)

Ha kifejezzuk uk+1i -et, akkor a kovetkezo explicit semat kapjuk:

uk+1i = 2uki − uk−1

i − Eκ2τ 2

ρukxxxx,i +

τ 2fkiρ

(i = 2, . . . , n− 2, k = 1, . . . ,m− 1).

(5.5)

A k = 1-hez tartozo idoreteg kiszamolasahoz a kovetkezo semat alkalmazzuk:

u1i = u0

i + τ∂u

∂t(xi, 0)− Eκ2τ 2

2ρu0xxxx,i +

τ 2f 0i

2ρ

(i = 2, . . . , n− 2).

(5.6)

Ezt a semat a hullamegyenletehez hasonloan lehet levezetni, a masodrendusege is

hasonloan adodik. Ez utobbi esetben csak azt a tenyt kell alkalmazni, hogy a negyed-

rendu derivaltat approximalo sema (megfelelo differencialhatosag eseten) ugyanugy

masodrendu, mint a hullamegyenletnel alkalmazott masodrendu helyderivaltat app-

roximalo.

A kezdetiertekekkent es a peremfeltetelekkent (3.4) es (3.6) alapjan a kovetkezo

ertekek adottak:

u0i ,∂u

∂t(xi, 0) (i = 0, 1, . . . , n)

uk0, ukn,∂u

∂x(x0, tk) = 0,

∂u

∂x(xn, tk) = 0 (k = 0, 1 . . . ,m).

(5.7)

22

Adott meg fki (i = 0, 1, . . . , n, k = 0, 1 . . . ,m).

A kapott kepletekben a futo indexeket megvizsgalva kiderul, hogy az i = 1, n−1

helyek kiszamıtasat nem ırjak le. Ez nem veletlen, hisz a negyedrendu derivalt

otpontos semajat ezekre a pontokra nem tudjuk alkalmazni. Igy a peremen beluli

elso helyeket az adott idoretegben mar kiszamolt kornyezo pontok segıtsegevel kell

kozelıteni. Vegyuk peldaul az u1 erteket. u1 es u2-nek az x0 koruli Taylor-sorba

fejteset felhasznalva kapjuk a kovetkezo azonossagot:

1

h(−3

2u0 + 2u1 −

1

2u2) =

∂u

∂x(0)− 1

3h2∂

3u

∂x3(0) +O(h3) (5.8)

Mivel ∂u∂x

(0) a mi esetunkben 0, ezert u1-re rendezve az alabbi approximaciot kapjuk:

u1 =1

4(3u0 + u2) +O(h3) (5.9)

(A gerenda masik vegere az approximacio az elobbi kepletre szimmetrikus.) Tehat

a k. idoretegben az alabbi kozelıtest vegezzuk:

uk1 :=1

4(3uk0 + uk2) (5.10)

Most mar teljes a masodrendu vegesdifferencia modszerunk a mindket vegen befo-

gott gerenda mozgasegyenletenek megoldasara.

5.2.2. Stabilitas

A stabilitas ebben az esetben is vegezheto a [18]-ban reszletezett Neumann-fele

modszerrel, de a konkret kidolgozast ott mar nem talaljuk meg. Tekintsuk a (5.4)

semat, de most a jobboldal legyen azonosan nulla. Az i indexeket csereljuk le j-re,

es vezessuk be a szokasos i =√−1 jelolest. Vegezzuk el az ukj = Y k

j := λkeiϕk

helyettesıtest. Ezek utan

Y ktt,j =

Y k+1j − 2Y k

j + Y k−1j

τ 2=

1

τ 2λ(λ− 1)2Y k

j

(reszletesebben lasd [18]), valamint

Y kxxxx,j =

Y kj−2 − 4Y k

j−1 + 6Y kj − 4Y k

j+1 + Y kj+2

h4=

1

h4Y kj (eiϕ/2 − e−iϕ/2)4

=16

h4Y kj sin4 ϕ

2.

A kapott ertekeket a semaba behelyettesıtve es Y kj -val egyszerusıtve kapjuk a

1

τ 2λ(λ− 1)2 +

Eκ2

ρ

16

h4sin4 ϕ

2= 0

23

n m Hiba Sebesseg

10 200 0.100539

20 800 0.0274616 3.66107383

40 3200 0.0274616 3.839387076

80 12800 0.00182358 3.922284737

160 51200 0.00046029 3.961806687

5.3. tablazat. A gerenda megvalosıtasanak hibaja.

karakterisztikus polinomot. Vezessuk be az s := sin4 ϕ2, γ := τ

h2

√Eκ2

ρjeloleseket. A

karakterisztikus polinom gyokei ekkor

λ1,2 = 1− 8γ2s4 ± 4γ|s|√

4γ2s4 − 1.

A |λ1,2| ≤ 1 feltetel tehat 4γ2 ≤ 1 eseten teljesul. Ki kell szurni a tobbszoros gyokok

esetet, ami csak akkor all fenn, ha 4γ2 = 1 es |s| = 1. Tehat egy elegseges feltetel a

stabilitasra

4γ2 < 1. (5.11)

5.2.3. A modszer tesztelese

A kapott modszert tobb fuggvennyel teszteltem, ezek kozul csak egyet emelek ki:

u(x, t) = 12Eκ2

ρt2x2(1− x)2 (x ∈ [0, 1], t ∈ [0, 1])

A pontos megoldastol valo eltereseket, es a konvergenciasebessegeket mutatja be az

5.3 tablazat. Jol lathato a modszer masodrendu konvergenciaja.

5.3. A ketdimenzios rezonans egyszeru modellje-

nek megvalosıtasa

5.3.1. A vegesdifferencia sema felırasa

A ketdimenzios esetre atterve tekintsuk a (3.5) mozgasegyenletet. Legyen most Ω =

[a, b] × [a, b] (a, b ∈ R, a < b), amint azt mar eddig is feltettuk. Ennek a kovetkezo

ωh felosztasat fogjuk hasznalni:

ωh := (xi, yj) ∈ Ω : xi = a+ ih, yj = a+ jh, i = 0, 1, . . . , n, j = 0, 1, . . . , n

ahol n ∈ N, h = 1/n. Jeloljuk γh-val az ωh ∩ Γ halmazt, azaz a peremen nyugvo

pontokat. Az (xi, yj) : i, j = 1, n− 1 halmazt a tartomany belso peremenek fogom a

24

tovabbiakban nevezni. Ezen tul u(xi, yj), (ahol (xi, yj) ∈ ωh) rovidıtett jelolese ui,j.

A rovidıtett jeloles ebben az esetben is jelolheti ertelemszeruen az approximaciot is.

A [0, T ] (0 < T ) idointervallum felosztasa a szokasos.

A mozgasegyenletbol kitunik, hogy a vegesdifferenciak felırasahoz szukseg van

egy uj approximacios semara, mely a ∆2 operatorban szereplo vegyes derivaltat

kozelıti egy adott (xi, yj) (racs)pontban:

uxxyy,i,j,h :=1

h4·

(ui−1,j−1 − 2ui,j−1 + ui+1,j−1

−2ui−1,j + 4ui,j − 2ui+1,j

+ui−1,j+1 − 2ui,j+1 + ui+1,j+1)

(5.12)

A felıras tordelesevel azt probaltam erzekeltetni, hogy az x iranyu masodrendu app-

roximaciokra alkalmaztam az y iranyut. Ebbol konnyen lathato, hogy a kapott app-

roximacio is masodrendu, ha u ∈ C6,6([a, b]), mert vegul O(h4) hibatagot osztunk

h2-tel. A konnyebb olvashatosag kedveert az idoreteg megjeloleset elhagytam, h is

elhagyhato. Ezek utan a diszkretizalt ∆2 operator a k. idoretegben ıgy nez ki:

(∆2)ki,j,h := ukxxxx,i,j + 2ukxxyy,i,j + ukyyyy,i,j

Most mar minden eszkozunk meg van a diszkretizalt egyenlet felırasahoz:

ρsuktt,i,j +Es3

12(1− ν2)(∆2)ki,j = fki,j (5.13)

A kapott diszkretizalt sema explicit, hisz uk+1i,j -et kifejezve es az iment bevezetett

jelolest hasznalva kapjuk a modszer egy lepeset:

uk+1i,j :=

τ 2

ρsfki,j − τ 2D(∆2)ki,j + 2uki,j − uk−1

i,j

(i, j = 1, 2, . . . , n− 2, k = 1, 2, . . . ,m− 1).

A k = 1 idoreteget approximalo semat a hullamegyenlettel es az egydimenzios esettel

analog modon lehet levezetni es hasonloan lathato be a masodrenduseg is a diszkret

∆2h operator masodrenduseget is felhasznalva. A nevezett sema:

u1i,j := u0

i,j + τ∂u

∂t(xi, yj, 0) +

τ 2

2ρsfki,j −

τ 2

2D(∆2)ki,j

(i, j = 1, 2, . . . , n− 2, k = 1, 2, . . . ,m− 1).

Mivel a ∆2h diszkret operator semaja egy iranyba 5 pontos, az egydimenzios eset-

hez hasonloan itt is idoretegen beluli approximaciora szorulunk a peremhez legkoze-

lebbi belso pontok kiszamıtasahoz. Erre haromfele modszert is kiprobaltam.

25

Elsokent az egydimenzios esetben megismert (5.10) approximaciot alkalmaztam

mindig a normalis (azaz a peremre meroleges) iranyba. Mivel a sarkok eseteben ket

ilyen irany is lehetseges, ezert ott a ketto atlagat vettem, vagy ha ugy tetszik, a ket

semat osszeadtam es kifejeztem a kerdeses pontot.

Masodikkent is az (5.10) semat vettem alapul, de most nem csak a normalis

iranyba, hanem a perem vonalahoz kepest 45-os iranyba ugy, hogy a kerdeses pont

rajta legyen. Ez utobbi lehetosegbol ketto is van. Igy a mindosszesen harom appro-

ximacio atlagat vettem. A sarkok eseteben is harom approximacio atlagat vettem:

a ket normalis iranyut, es az atlora illeszkedot.

Harmadikkent egy uj, de meg mindig egydimenzios approximaciot vezettem le

negy pontra. A levezetes idejere terjunk vissza az egydimenzios jelolesekhez. A bal

oldali perem esetet vizsgalva a negy pont u0, u1, u2, u3. Az utobbi harom pont Taylor-

sorbafejteset folhasznalva adodik, hogy

u1 =1

18(11u0 + 9u2 − 2u3) +

1

3h∂u

∂x(0) +O(h4).

Itt ujra hivatkozhatunk arra, hogy a peremfeltetel miatt a jobboldal masodik tagja

0 es a kovetkezo negyedrendu approximaciot hasznaljuk:

u1 :=1

18(11u0 + 9u2 − 2u3).

Ezt a semat az elso approximalashoz hasonlo modon alkalmaztam, csak a sarkoknal

az atlo iranyaban.

Lehetseges meg az approximaciot elhagyni, es a peremfelteteleket ugy kifejezni,

hogy a peremen is es a ,,belso peremen” is 0 az ertek. Ez legyen a ,,nulladik” app-

roximacio.

5.3.2. Stabilitas

Most is vizsgalhatjuk Neumann-modszerrel a stabilitast. Tekintsuk az (5.13) diszkre-

tizaciot, megint csak azonosan nulla jobboldallal. A racsfuggvenynek most ketdimen-

ziosnak kell lennie, azaz ukj,l-ba most Y kj,l := λkeiϕ(p)jeiϕ(q)j -t fogjuk behelyettesıteni

p, q ∈ N, ϕ(r) = 2πrh (r ∈ N) [18]. p az x, q az y tengelyhez tartozik. Ekkor

Y ktt,j,l =

1

λτ 2(λ− 1)2Y k

j,l

Y kxxxx,j,l =

16

h4Y kj,l sin

4 ϕ(p)

2

Y kyyyy,j,l =

16

h4Y kj,l sin

4 ϕ(q)

2

Y kxxyy,i,l =

1

h4Y kj,l(e

iϕ(p) − 2 + e−iϕ(p))(eiϕ(q) − 2 + e−iϕ(q)) =

16

h4Y kj,l sin

2 ϕ(p)

2sin2 ϕ(q)

2

26

Vezessuk be az s(r) = sin ϕ2

(r ∈ N), γ =√

Dρs

τh2

jeloleseket. Elvegezve a behelyet-

tesıteseket es a Y kj,l-val valo egyszerusıtest, kapjuk az

ρs1

λτ 2(λ− 1)2 +D

16

h4(s2(p) + s2(q))2 = 0

egyenloseget. Ebbol adodik a karakterisztikus polinom egy szebb alakja:

λ2 −[2− 16γ2(s2(p) + s2(q))2

]λ+ 1 = 0

Ennek gyokei

λ1,2 = 1− 8γ2S2 ± 4γS√

4γ2S2 − 1

ahol S = s2(p) + s2(q). A diszkriminans γ ≤ 14

eseten lesz nem pozitıv, hiszen S2

0 es 4 kozott minden erteket folvesz, a 4-et is. Ilyen esetben |λ1,2| ≤ 1. Tobbszoros

gyok γ = 1/4, S = 2 esetben van. Ezeknek fenyeben a

γ <1

4

feltetel elegseges a modszer L2(ωh) stabilitasahoz.

5.3.3. A modszer tesztelese

A modszert tobb fuggvennyel teszteltem, ezek kozul kettore kozlok eredmenyeket.

Az elso idotol fuggetlen:

u(x, y, t) = (cos(x)− 1.0)(cos(y)− 1.0) (x, y ∈ [0, 2π], t ∈ [0, 2π]) (5.14)

A masodik az idotol is fugg:

u(x, y, t) = cos(t)(cos(x)− 1.0)(cos(y)− 1.0) (x, y ∈ [0, 2π], t ∈ [0, 2π]) (5.15)

Alapesetben m idoreteget szamoltattam, ha ettol valamiert eltertem, azt kulon jel-

zem. Az elso teszttel, amit kozlok, lenyegeben a ∆2 operator approximaciojanak

masodrenduseget vizsgalom: Tekintsuk az (5.14) tesztfuggvenyt. Hasznaljuk a ,,nul-

ladik” approximaciot. A tartomanyt az a := −h, b := 2π + h parameterekkel adjuk

meg. Tehat a tartomanyt kibovıtettuk egy terreteggel. Ekkor a tesztfuggveny a belso

peremen teljesıti a peremfelteteleket, a peremen mar az ertek is, es az elso derivalt is

pozitıv. Igy peremfeltetelkent az ott felvett ertekeket adjuk meg, a derivaltak most

nem jatszanak szerepet. Azaz a ket szelso terretegen megadtuk a pontos ertekeket.

Az n = 12 eset annak felel meg, mintha az n = 10 esetet vizsgalnank, csak a specialis

peremfeltetelunkkel. Ezert ezzel a felosztassal kezdtem, ıgy osszemerheto lesz a tobbi

eset tesztjenek kezdeti felosztasaval. Az eredmenyeket az 5.4 tablazat tartalmazza.

27

n m Hiba Sebesseg

12 576 0.605734

24 2304 0.113378 5.34260615

48 9216 0.0248762 4.55768968

96 36864 0.0058459 4.25532424

192 147456 0.00141777 4.12330632

5.4. tablazat. A diszkret (∆2)h operator hibaja.

n m Hiba Sebesseg

12 576 0.605734

24 2304 0.113378 5.34260615

48 9216 0.0248762 4.55768968

96 36864 0.0058459 4.25532424

192 147456 0.00141777 4.12330632

5.5. tablazat. A kibovıtett reteges modszer hibaja.

Ha a modszert ugy modosıtjuk, hogy a peremen levo ertekeket nullazzuk, akkor

mar egy a valosagban is hasznalhato, de elsorendu modszert kapunk. Ezt az esetet

az (5.14) fuggvennyel teszteltem. Az eredmenyek az 5.5 tablazatban talalhatoak.

Elsorendu modszert kapunk akkor is, ha a nulladik approximaciot alkalmazzuk

a termeszetes tartomanyra. Azaz legyen mostantol a := 0, b := 2π. Az ekkor kelet-

kezo eredmenyeket az 5.6 tablazattal mutatom be. Ugy tunik, mintha hosszutavon

a mostani eset gyorsabban konvergalna. Megis, ha a ket tablazat elso sorat ossze-

vetjuk, azt latjuk, hogy az elozo eset hibaja kisebb. Kiprobaltam meg egy az elozo

esettel osszevetheto szamıtast a kovetkezo parameterekkel: n = 94,m = 35344. Ek-

kor 0.224391 hibat kaptam. Tehat ebben az esetben is az elozo modszer gyozott, de

ugy tunik, az elteres nem szamottevo.

n m Hiba Sebesseg

10 400 2.13313

20 1600 1.15431 1.84796978

40 6400 0.56445 2.04501727

80 25600 0.2668 2.11562969

160 102400 0.131591 2.02749428

320 409600 0.0654146 2.0116

5.6. tablazat. Az approximaciot nem alkalmazo valtozat hibaja.

28

n m Hiba Sebesseg

10 400 0.26031

20 1600 0.0945783 2.7523

40 6400 0.00276223 3.4240

80 25600 0.00739048 3.7376

160 102400 0.0019137 3.869

320 409600 0.000486841 3.9309

5.7. tablazat. Az elso approximaciot alkalmazo valtozat hibaja az (5.14)

tesztfuggvenyen.

n m Hiba Sebesseg

10 400 0.173242

20 1600 0.0922018 1.8789

40 6400 0.0280774 3.2838

80 25600 0.00763911 3.6755

160 102400 0.00199065 3.8375

320 409600 0.000508023 3.9184

5.8. tablazat. Az elso approximaciot alkalmazo valtozat hibaja az (5.15)

tesztfuggvenyen.

Ezek utan vizsgaljuk azokat a valtozatokat, ahol alkalmaztunk approximaciot a

belso peremre. Az elso approximaciot alkalmazo valtozat hibajat mindket tesztfugg-

veny eseten kozlom az 5.7, 5.8 tablazatokban. Az (5.15) fuggveny eseten kiprobaltam

azt is, hogy mi tortenik, ha az idoretegeket tovabb szamolom. Azt tapasztaltam,

hogy a hibak egy ido utan nem nonek. A kıserletet ugy vegeztem, hogy az ed-

digi tablazatok egyes sorainak megfelelo parameterezesenkent szamoltam eloszor

m retegig, majd 2m retegig, majd 4m retegig etc. Addig vegeztem ezt, amıg ket

rakovetkezo esetben azonos hibat kaptam. Az utoljara kapott, ,,vegso” hibakat

az 5.9 tablazat tartalmazza. Mindharom tablazat azt mutatja, hogy modszerunk

masodrendu, sot nem veges ido eseten is tartja ezt.

A masodik approximaciot hasznalo eljaras hibajat csak az (5.15) fuggvennyel

torteno teszt eseteben kozlom az 5.10 tablazatban. A modszer hibaja nem tul je-

lentosen, de csokkent. Erdekes, hogy a konvergenciasebessegre ugyanez mondhato

el.

A harmadik approximaciot alkalmazo valtozatra vonatkozo eredmenyeket mind-

ket tesztfuggvenyre bemutatom az 5.11 es 5.12 tablazatokban. Ezeket osszevetve

az 5.7 es 5.8 tablazatokkal, meglepo eredmenyt talalunk: A magasabbrendu appro-

29

n m Hiba Sebesseg

10 400 2.8445

20 1600 0.477454 5.9576

40 6400 0.128435 3.7175

80 25600 0.0343368 3.7404

160 102400 0.000891134 3.8532

5.9. tablazat. Az elso approximaciot alkalmazo valtozat ,,vegso” hibaja az (5.15)

tesztfuggvenyen.

n m Hiba Sebesseg

10 400 0.173242

20 1600 0.0922018 1.8789

40 6400 0.0280774 3.2838

80 25600 0.00763911 3.6755

160 102400 0.00199065 3.8375

320 409600 0.000508023 3.9184

5.10. tablazat. Az masodik approximaciot alkalmazo valtozat hibaja az (5.15)

tesztfuggvenyen.

ximaciot alkalmazva nem kapunk jobb eredmenyt, igaz a konvergenciasebesseg javul.

n m Hiba Sebesseg

10 400 0.764936

20 1600 0.168977 4.5269

40 6400 0.0367815 4.5941

80 25600 0.00849313 4.3625

160 102400 0.00205143 4.11

320 409600 0.000504048 4.0699

5.11. tablazat. A harmadik approximaciot alkalmazo valtozat hibaja az (5.14)

tesztfuggvenyen.

30

n m Hiba Sebesseg

10 400 0.85577

20 1600 0.186419 4.5906

40 6400 0.039388 4.7329

80 25600 0.00902204 4.3658

160 102400 0.00216329 4.1705

320 409600 0.000529312 4.087

5.12. tablazat. A harmadik approximaciot alkalmazo valtozat hibaja az (5.15)

tesztfuggvenyen.

5.4. A biharmonikus operator sajatertek proble-

majanak numerikus megoldasa befogott ve-

kony izotrop lemez peremfeltetelei mellett

A korabbiakban bemutattam a ∆2 operatort approximalo diszkret ∆2h operatort.

Az altalunk vizsgalt Ω tartomany legyen tovabbra is a 3.2.4-ben definialt negyzetes

tartomany, felosztasa is legyen az eddigi ω. Irjuk fol ∆2h-t matrix alakban, azaz

keszıtsunk egy olyan A matrixot, amit ha egy olyan ~b vektorral szorzunk, amiben az

u : Ω→ R ui,j ertekei vannak, akkor az eredmenyben a ∆2h(ui,j) ertekek lesznek a

megfelelo helyeken (u ∈ D4(Ω), xi, yj ∈ ω, i, j = 0, 1, . . . , n). Ezzel visszavezettuk

az operator sajatertekproblemajat egy matrix sajatertekproblemajara.

Valasszuk most azt az esetet, amikor az (ui,j)ni,j=0 matrix, sorfolytonosan van

tarolva a szorzando b vektorban. Ebben a pontban mostantol ∆2h jelolheti a rep-

rezentalo A matrixot is. Az emlıtett matrixba be kell epıteni a peremfelteteleket

is. Valasszuk a legegyszerubb esetet, mikor is a nulladik approximaciot alkalmaz-

zuk. Ekkor a perempontoknak megfelelo sorok es oszlopok nullak lesznek. Ha eze-

ket elhagyjuk szimmetrikus matrixot kapunk, amit jeloljunk ∆2h-val, a vektorokat a

szokasos jobbiranyu nyıllal jelolom a valtozok folott.

A kapott matrixokkal felırhato a nulladik approximaciot alkalmazo modszerunk.

Az elso idoreteg kiszamıtasa a kovetkezokeppen alakul:

~u1 := ~u 0 + τ~u 01 +τ 2

2ρs~f 0 −Dτ

2

2∆2h~u

0 (5.16)

A k. idoreteg kiszamıtasa pedig ıgy nez ki k = 2, 3, . . . ,m.

~u k :=τ 2

ρs~f k + (2I −Dτ 2∆2

h)~uk−1 − ~u k−2 (5.17)

Mindket keplet eseten a vektorok (n+ 1)2, a matrixok (n+ 1)2× (n+ 1)2 meretuek.

~u l-ben az l. idoreteg adott vagy szamolt ertekei vannak (l = 0, 1, . . . , n). ~u 01 a

31

kezdeti ertekkent adott elso derivaltakat, ~f l a jobboldal l. idoreteg eseten adott

ertekeit tartalmazza sorfolytonosan. I az egysegmatrixot jeloli. A szimmetrikus ∆2h

matrix eseten a kepletek ugyanıgy neznek ki, csak a vektorok (n − 3)2, a matrixok

(n − 3)2 × (n − 3)2 meretuek. Ebben az esetben az ~u l eredmenyt termeszetesen ki

kell bovıteni a ket nullakat tartalmazo terreteggel. Ezzel a modszerrel a vartaknak

megfeleloen a mar ismertetett nulladik approximacios esettel azonos eredmenyeket

kaptam. Csak az elso tesztfuggvenyt vizsgaltam, feltetelezheto, hogy a masodikra is

azonos eredmenyeket kapnank.

Ennek a modszernek a tarigenye az O(n4) meretu matrix miatt joval nagyobb a

matrix nelkuli megoldashoz kepest (amikor csak O(n2) a tarigeny, ha nem taroljuk

az eredmenyt). Emiatt a gyakorlati jelentosege keves, viszont arra jo volt, hogy

leteszteltem a generalt ∆2h matrix helyesseget. Ugyanis a kesobbiekben ezt a matrixot

fogjuk meg hasznalni.

Lattuk, hogy a ∆2 biharmonikus operator sajatertekproblemajat numerikusan

megoldhatjuk ugy, hogy a ∆2h matrix sajatertekproblemajat oldjuk meg, sot, valoja-

ban eleg a ∆2h matrixot hasznalnunk. Mivel ez utobbi matrix szimmetrikus, sokkal

pontosabb numerikus modszerek alkalmazhatoak. Az emlıtett matrixszal kapott elso

nyolc sajatfuggvenyt n = 20 eseten az 5.1 abran mutatom be. Az alakok a [12]-ben

vazoltakkal osszhangban allnak. A kapott, es [12]-ben kozelıtett relatıv sajatfrek-

venciakat az 5.13 tablazat tartalmazza. Itt is latszik, hogy a ∆2h-val szamolt ertekek

jol kozelıtik a mas modszerrel szamoltakat. Erdekes megjegyezni, hogy nemely n

parameterre a masodik es harmadik sajatfuggveny nem az elvart alakot veszi fol,

hanem olyat, aminek nyugvo pontjai valamelyik atlora illeszkednek. A frekvenciak

viszont ekkor is a helyes iranyba valtoznak. Azt sem tudom megallapıtani, hogy a

felosztas surusegetol fugg, mert a problema peldaul n = 10 es n = 40 eseten is

elojon.

5.5. A kozvetlen osszekapcsolas megvalosıtasa

A modell felırasakor hasznalt jeloleseket alkalmazom itt is.

5.5.1. Az egydimenzios eset

A (4.2) egyenletbol diszkretizalassal kapjuk a

Eκ2

ρukxrxrxrxr,r,i = −Θ

µukxsxs,st,L (k = 1, 2, . . . ,m) (5.18)

semat, ahol

ukxsxs,st,L = ukxsxs,st,L−1 (k = 1, 2, . . . ,m) (5.19)

32

5.1. abra. A ∆2h matrix sajatfuggvenyei (n=20). A hozzatartozo relatıv

sajatfrekvenciak rendre 1.0, 2.0319, 2.0319, 3.0038, 3.6074, 3.6223, 4.5515, 4.5515.

n = 10 n = 20 n = 40 [12]-ben kozolt ertek√λ1λ1

1.0 1.0 1.0 1.0√λ2λ1

2.0 2.0319 2.0378 2.04√λ3λ1

2.0 2.0319 2.0378 2.04√λ4λ1

2.9748 3.0038 3.0067 3.01√λ5λ1

3.408 3.6074 3.6453 3.66√λ6λ1

3.4179 3.6223 3.6620 3.67√λ7λ1

4.3843 4.5515 4.578 4.58√λ8λ1

4.3843 4.5515 4.578 4.58

5.13. tablazat. A ∆2h matrix elso nyolc relatıv sajatfrekvenciaja kulonbozo n pa-

rameterekkel, es a [12]-ben kozolt kozelıto ertekek a befogott negyzet alaku lemez

eseten.

33

a [17, 18]-ben hasznalatos jeloles. Ez a jobboldalon levo approximacio csak elsorend-

ben kozelıti a hur vegen levo masodik derivaltat, de most ennyivel is megelegszunk.

ukr,i-t es uks,L-t is formalisan helyettesıthetjuk ukL-val, hisz a ket pont egy es ugyanaz

a feltetelezesunk szerint. Ezek utan ukL-t kifejezve kapjuk az

ukL =1

6Eκ2

ρh2+ Θ

µ

[Eκ2

ρh2(−ukr,i−2 + 4ukr,i−1 + 4ukr,i+1 − ukr,i+2) +

Θ

µ(2ukst,L−1 − ukst,L−2)

](k = 1, 2, . . . ,m) (5.20)

semat. Ezt a semat idoretegenkent a hur es a gerenda uj idoretegenek kiszamolasat

kovetoen alkalmazzuk.

5.5.2. Az egydimenzios eset tesztelese

Tekintsuk az

ust(x, t) = cos t(cosx− 1) (x ∈ [−π, π])

ur(x, t) = cos t(cosx− 1) (x ∈ [0, 2π])

(t ∈ [0, 2π])

(5.21)

tesztfuggvenyeket. Az eredmenyeket az 5.21 tablazat tartalmazza. Lathato, hogy a

konvergenciasebesseg tulsagosan oszcillal ahhoz, hogy masodrenduseget elhiggyuk.

A problema onnan adodik, hogy (5.19) csak elsorendu kozelıtest ad. Remenyteljes

viszont, hogy ez a sema csak a hur pontjaira tamaszkodik. Azert allıtom ezt, mert a

hur stabilitasanak (5.2) feltetele sokkal enyhebb, mint a gerenda (5.11) feltetele. A

ket feltetelbol adodik, hogy valaszthatjuk a hur h-jat a gerenda h-janak negyzetevel

aranyosan. A tovabbi jelolesbeli utkozesek elkerulese vegett ezt a parametert is inde-

xeljuk a megszokott modon attol fuggoen, hogy a hur vagy a gerenda felosztasaban

jatszik szerepet. (5.20) levezetesehez hasonloan nyerheto egy ezt az esetet is kezelo

sema:

ukL =1

6Eκ2

ρh4r+ Θ

µh2st

·[Eκ2

ρh4r

(−ukr,i−2 + 4ukr,i−1 + 4ukr,i+1 − ukr,i+2

)+

Θ

µh2st

(2ukst,L−1 − ukst,L−2

)](k = 1, 2, . . . ,m) (5.22)

Azt allıtottam, hogy elhetunk a hst = O(h2r) valasztassal, de a gyakorlatban

azt tapasztaltam, hogy ennel kevesebb is eleg. A hst = hr/2 valasztassal mar szep

eredmenyeket mutatott a szamolt konvergencia. Valtoztassunk egy kicsit az (5.21)

34

n m Hiba Sebesseg

10 200 0.1587164149

20 800 0.01761144795 9.0121161

40 3200 0.005164685888 3.4099746

80 12800 0.001392766061 3.7082221

160 51200 0.0004036602327 3.4503425

320 204800 0.0001078262967 3.7343616

640 819200 2.78252027·10−5 3.875130

1280 3276800 7.55379752·10−6 3.683604

5.14. tablazat. A kozvetlen egydimenzios osszekapcsolas maximalis hibaja es kon-

vergenciasebessege az (5.21) tesztfuggvenyekkel.

n m Hiba Sebesseg

10 400 0.85577

20 1600 0.186419 4.5906

40 6400 0.039388 4.7329

80 25600 0.00902204 4.3658

160 102400 0.00216329 4.1705

320 409600 0.000529312 4.087

5.15. tablazat. A kozvetlen egydimenzios osszekapcsolas maximalis hibaja es kon-

vergenciasebessege az (5.23) tesztfuggvenyekkel.

teszteseten:

ust(x, t) = cos t(cosx− 1) (x ∈ [0, π])

ur(x, t) = cos t(cosx− 1) (x ∈ [0, 2π])

(t ∈ [0, 2π])

(5.23)

Lathato, hogy csak a hur tartomanya valtozott, a diszkretizaciokor, ekkor h a felere

csokken, ha n-t nem valtoztatjuk. Ennek az esetnek a hibajat tartalmazza az 5.23

tablazat. Ez alapjan hiheto a masodrendu konvergencia. Annyit mindenkepp bi-

zonyıt, hogy a problema orvosolhato.

35

5.5.3. A ketdimenzios eset

Ahhoz, hogy a ketdimenzios esetre a semat viszonylag kompakt modon tudjam

kozolni, bevezetek ket jelolest:

(∆2upl)ki,j,h := h4(∆2)ki,j,h − 20ukpl,i,j,h

ukxstxst,n,h := h2ukxstxst,n,h − ukst,n,h

(k = 1, 2, . . . ,m)

Az indexekbol h itt is elhagyhato. A (4.4) egyenletbol diszkretizalassal kapjuk a

−D∆2hu

kpl,i,j =

Θ

µukxsxs,st,L (k = 1, 2, . . . ,m) (5.24)

semat. Itt is elmondhato, hogy a jobboldalon az approximacio csak elsorendu. Ha a

kozos pontot ebben az esetben is ukL-val jeloljuk es beszorzunk h4µ12ρ(1 − ν2)-tel,

nemi atrendezes utan kapjuk a

− Es2µ(∆2upl)ki,j = Θh212ρ(1− ν2)ukxstxst,n +

[20Es2µ+ ch212ρ(1− ν2)

]ukL

(k = 1, 2, . . . ,m)

egyenloseget. Ezt ukL-ra kifejezve kapjuk az explicit

ukL =1

20Es2µ+ ch212ρ(1− ν2)(−Es2µ(∆2upl)

ki,j −Θh212ρ(1− ν2)ukxstxst,n)

(k = 1, 2, . . . ,m) (5.25)

semat. Ezt is idoretegenkent a hur es a lemez kiszamıtasat kovetoen alkalmazzuk.

5.6. A ketdimenzios eset tesztelese

A modszert a kovetkezo tesztfuggvenyekkel probaltam:

upl(x, y, t) = cos t(cosx− 1)(cos y − 1) (x, y, t ∈ [0, 2π])

ust(x, t) = cos t(cos(x+ π)− 1)2 (x, t ∈ [0, 2π])(5.26)

A lemez numerikus modelljei kozul a harmadik approximaciot alkalmazo eseten

a hibakat es a konvergenciasebessegeket az 5.26 tablazat tartalmazza. A teszteset

vizualis szemlelteteset mutatja az 5.2 abra. Az egydimenzios esettol elteroen, most az

(5.19) sema elsorendusege nem jut tul nagy ervenyre, legalabbis a mert felosztasokon.

Ennek oka az lehet, hogy most a masodrendu sema tobb pontra tamaszkodik, mint

az egydimenzios esetben.

36

n m Hiba Sebesseg

10 400 0.466173

20 1600 0.135874 3.4309

40 6400 0.0315055 4.3127

80 25600 0.00718945 4.3822

160 102400 0.00173931 4.1335

320 409600 0.000430698 4.0384

5.16. tablazat. A harmadik approximaciot alkalmazo valtozat hibaja az (5.26)

tesztfuggvenyen.

5.2. abra. A harmadik approximaciot alkalmazo valtozat es hibajanak vizualizacioja

az (5.26) tesztfuggvenyen a k = 1528 idoreteg eseten. A kek es a sotetzold pontok

a szamolt ertekeket, a piros ill. vilagoszoldek a pontos ertekeket jelolik. A szamolt

ertekekhez tartozoak fedik a tobbit.

37

5.7. Az egyszeru hıdon keresztuli osszekapcsolas

megvalosıtasa

5.7.1. A sema ismertetese

Most is hasznaljuk a modell ismertetesekor hasznalt jeloleseket. A (4.6) egyenloseg

diszkretizalasahoz csak az elsorendu helyderivalt approximaciojara van szuksegunk.

Tegyuk ezt az

ukxst,n :=ukst,n − ukst,n−1

h(5.27)

elsorendu kozelıtessel. Ekkor a diszkretizalt jobboldalra kapjuk a kovetkezo

fkr,i := −ΘG(xr,i)ukxst,n

(i = 0, 1, . . . , n).

semat. Valojaban az i ∈ l ∈ 0, 1, . . . , n : a + lh < v ∧ w < a + lh indexekre

nem szukseges a konkret magvalosıtaskor kiszamolni, mert ott a sema nulla erteket

vesz fol. Az egyszeruseg kedveert tegyuk fel mostantol, hogy valamely c, d indexekre

v = a + ch, w = a + dh es vezessuk be a p := d − c jelolest. A hur vegpontjaban

az uj kiterest meghatarozo (4.7) egyenlosegben szereplo integralt most az osszetett

trapez szaballyal kozelıtsuk [19]:

ukst,n :=1

p

(1

2ukst,c +

d−1∑l=c+1

ukst,l +1

2ukst,d

). (5.28)

Kihasznaltam, hogy csak a (4.5) esettel foglalkozunk. A k. idoreteg szamıtasa most

a kovetkezokeppen alakul: Eloszor kiszamoljuk a hur ertekeit, majd abbol fkr -t,

ezutan a gerenda pontjait, es vegul alkalmazzuk az (5.28) semat a hur gerendaval

osszekapcsolt vegpontjara.

5.7.2. Teszteles

Mivel arra az estre, amikor a hur az x = 0 pontban van a gerendahoz kapcsolva,

egyszerubb volt tesztfuggvenyeket felırni, ezert erre a valtozatra mutatok be ered-

menyeket. Tehat a 4.2-ben vazolt feladat modosul annyival, hogy (4.7) helyett most

ust(0, t) =

∫ b

a

G(xr)ur(xr, t)dxr. (5.29)

38

n p m Hiba Sebesseg

10 3 200 0.1080820

20 5 800 0.0294497 3.6700544

40 11 3200 0.00758772 3.8812318

80 21 12800 0.00193223 3.9269238

160 41 51200 0.000487399 3.9643701

5.17. tablazat. A modosıtott feladat megoldasa az (5.30) tesztfuggvenyen.

legyen igaz. A tesztfuggvenyek legyenek a kovetkezok:

ur(x, t) = 12Eκ2

ρt2x2(1− x)2 (x, t ∈ [0, 1])

ust(x, t) = 12µEκ2

Θρ·[

1

3(v2 + vw + w2)− 1

2(v + w)(v2 + w2) +

1

5(v4 + v3w + v2w2 + vw2 + w4)

]·(

x+√

Θµt)2

(x, t ∈ [0, 1])

(5.30)

Konnyen ellenorizheto, hogy ezek a fuggvenyek a modosıtott feladatot megoldjak,

ha a hur a gerenda kozepehez van kotve, es v, w erre a kozeppontra szimmetrikusan

helyezkednek el, ezert ıgy vegeztem a teszteket. A teszt soran a gerenda a pontos

jobboldalt kapta, ıgy csak a gerenda hurra valo hatasa tukrozodik. Az ıgy szamolt

hibakat es konvergenciasebessegeket mutatja az 5.17 tablazat. p az elozo pontban

lett bevezetve.

5.8. Az egyszeru hıdon keresztuli osszekapcsolas

megvalosıtasanak valtozata

5.8.1. A sema ismertetese

Hasznaljuk 5.7 jeloleseit. Most csak azokkal a felosztasokkal foglalkozunk, amik

eseteben p paratlan, Jeloljuk l-lel a kapcsolodasi pontnak a gerenda diszkretizacio-

jaban felvett indexet. Azaz a gerenda xr,l pontja ,,folott” a kepzeletbeli hıdra kap-

csolodik a hur. Ekkor c = l − p/2 valamint d = l + p/2, ahol az osztas a maradekos

osztast jeloli. Tehat a hur a hıd kozepen kapcsolodik hozza. (4.9)-t diszkretizalva

39

kapjuk:

h

d−1∑i=c

Gi

fkr,i − Eκ2ukxrxrxrxr,r,iρ

=fkst,n + Θukxstxst,st,n

µ

(k = 1, 2, . . . ,m).

(5.31)

Az integralt most a Darboux-fele kozelıto osszegekkel approximaltam. ukst,n-t kife-

jezve adodik az

ukst,h =h2µ

Θ(p− 1)ρ

d−1∑i=c

fkr,i −Eκ2µ

Θ(p− 1)ρh2·

(ukr,c−2 − 3ukr,c−1 + 3ukr,c − ukr,c+1 − ukr,d−2 + 3ukr,d−1 − 3ukr,d + ukr,d+1

)− h2

Θfkst,n + 2ukst,n−1 − ukst,n−2

(k = 1, 2, . . . ,m)

(5.32)

sema. Tehat kaptunk egy uj semat a gerendanak a hurra torteno hatasanak kife-

jezesere.

5.8.2. Teszteles

A teszteset egyezzen meg a 5.7.2-ban ismertetettel. Azaz most is modosul a feladat

annyival, hogy a hur x = 0 feloli veget kapcsoljuk a hıdhoz. Erre az esetre a sema

hasonloan vezetheto le, mint az elozo pontban.

A szamolasi hibakat, es a konvergenciasebessegeket az 5.18 tablazat tartalmazza.

Az ATLASZ-on mert eredmenyek az utolso sorban nagyon elromlanak. Lehetseges,

hogy programozasi hiba volt, de az is lehet, hogy a kerekıtesi hibak torlodtak fol. A

sajat gepemen n = 320 es n = 640 sorokhoz tartozo hibak aranya meg 4.008 volt.

Tovabb nem szamoltattam.

40

n p m Hiba Sebesseg

20 9 800 0.0310652

40 17 3200 0.00767899 4.045

80 35 12800 0.00189032 4.0622

160 71 51200 0.000468709 4.033

160 71 51200 0.000468711

320 143 204800 0.000116728 4.0239788

640 287 819200 0.0000298277 3.9134093

1280 575 3276800 0.0000426785 0.6988929

5.18. tablazat. A modosıtott feladat megoldasa az (5.30) tesztfuggvenyen a

valtoztatott modszerrel. A hatodik sortol az ATLASZ-on mert eredmenyek vannak.

41

6. fejezet

A tovabbi kutatomunka lehetseges

iranyai

6.1. Pontosabb fizikai modellek hasznalata

A kulonbozo fizikai modellek ismertetesekor felvazoltam nehanyat, amit nem valo-

sıtottam meg. Ezek kozul mindet erdemes hasznalni. Megis kiemelek parat, amely

viszonylag keves munka befektetesevel megvalosıthato lehet.

Erdemes bevinni csillapıtasi tagokat a hur egyenletebe. Mivel a hur csillapıtasa

frekvenciafuggo, ezert ket tagot is be kell vinnunk: egy elso es egy harmadrendu

idoderivaltat [16]. Ilyen tagokat tartalmazo egyenletet talalunk [16]-ban.

A rezonans alakjanak pontosabb modellezese is konnyen megoldhato. A legke-

vesebb valtoztatast az igenyli az altalam megvalosıtott fizikai modellben, ha nem

negyzet, hanem teglalap alaku a lemez. Ennel nem sokkal tobb munkat igenyelne a

negyzet alaku lemez bal folso es jobb also sarkanak lemetszese egy-egy a szelekkel

45 fokot bezaro vonallal.

A dupla elhalas jelensegehez a hur nem csak a kalapacs utesevel parhuzamos

iranyu kitereset, hanem az arra meroleges kiterest is modellezni kell. Ezt reszletesen

kidolgozva [1]-ben talaljuk meg. Erre mar nem igaz, hogy keves munka aran meg-

valosıthato, ezert ez egy tavolabbi cel.

6.2. Pontosabb numerikus modellek, tesztek hasz-

nalata

A lemez eseten a ,,belso perem” kozelıteset is lehet javıtani peldaul ugy, hogy tobb

iranyu approximaciot vegzunk a masodrendu sema eseten is.

42

Az osszekapcsolasok eseten az (5.19) approximacio helyett masodrendut alkal-

mazva jobb eredmenyeket erhetunk el.

Az 5.7.2-ben talalhato teszt javıtasa ugy, hogy a hur gerendara valo hatasanak

a hibajat is tukrozze.

Ahol integralkozelıto formula is szerepel, ott pontosabbak hasznalata.

Lehetseges az explicit modszerek parhuzamosıtasa is. Egy-egy idoreteg kisza-

molasat oszthatjuk el tobb szalra. Az osszekapcsolasok kiszamolasa szinkronizacios

pont.

43

7. fejezet

Felhasznalt technologiak,

eroforrasok, es az azokkal

kapcsolatos tapasztalatok

A GSL (GNU Scientific Library) tudomanyos C fuggvenykonyvtarat hasznaltam

az 5.4-ben kozolt megoldasi modszer megvalosıtaskor. n = 160 parameter eseten

mar nem sikerult lefuttatni a szamıtast. Ami meglepo, hogy becsleseim szerint

eleg memoria allt rendelkezesre. Valoban a hibakereseskor azt tapasztaltam, hogy

a matrixot inicializalo GSL fuggveny nem kivetelt okozott (amint azt az elegtelen

mennyisegu memoria eseten tenne, es a programom is kezelne ezt az esetet), ha-

nem segmentation fault-ot idezett elo. Ebbol arra tudok kovetkeztetni, hogy ez a

GSL-nek rejtett hibaja. Azt tapasztaltam, hogy 1Gb-nal nagyobb teruletet igenylo

matrix eseten jon elo a hiba.

A diszkret biharmonikus operator sajatertekeinek, sajatvektorainak kiszamıtasat

GNU Octave-val vegeztem. Azon belul is a ritka matrixos reprezentaciot alkalmazo

eljarasokkal.

A programokat, mellyel a tobbi szamıtast vegeztem, C++ nyelven implementaltam.

A grafikus feluletet a QT keretrendszerrel valosıtottam meg, melybol kihasznaltam

az OpenGL beagyazast is a haromdimenzios megjelenıteshez.

Tobb kıserletet, tesztet vegeztem az ELTE ATLASZ (hpc) klaszteren. Azt ta-

pasztaltam, hogy a sajat gepemhez kepest korulbelul ketszer olyan gyorsan fu-

tottak le a szamıtasok. Az ott hasznalt pontosabb, 64 bites aritmetikabol adodo

kulonbsegek eszrevehetoek voltak, de nem voltak jelentosek. A kozolt eredmenyek a

sajat otthoni gepemen szamoltakat tukrozi, kiveve 5.18 tablazatban foglalt ertekek

egy resze.

A sajat gepem fobb parameterei: Ketmagos Intel(R) Core(TM) Duo T2400 1.83

44

GHz-es CPU, 984.4 MiB DDR2 memoria, de a jelen pont elso bekezdeseben targyalt

hiba kereseskor hozzaadtam meg egy 512 MB-os modult.

Az ATLASZ egy szamolo node-janak fobb parameterei[30]: 2 darab negymagos

Intel(R) Xeon(TM) E5520 CPU (2.27 GHz), 12GiByte RAM. A fejgep eseten a

RAM merete 75GiByte.

A szamıtasok az atlaszon azert futhattak az ATLASZ-on dupla sebesseggel, mert

joval gyorsabb a memoriaelerese, es a gyorsıtotarak merete is nagyobb. Persze a CPU

is kicsit magasabb frekvencian fut.

45

8. fejezet

Eredmenyek osszefoglalasa

Huros hangszerek, de kulonosen a zongora modellezesere sikerult tobb matema-

tikai modellt is folallıtani. A gerendat tartalmazo modell eseteben harom ossze-

kapcsolasi lehetoseget is ismertettem. A vizsgalatra kivalasztott modelleket diszk-

retizaltam vegesdifferencia modszerrel. Sikerult elegseges stabilitasi kriteriumokat

meghatarozni az egyes alkatreszek diszkretizaciojara. A tesztek segıtsegevel a valos

konvergenciat is mertem. Ez is bizonyıtasa a modszerek gyakorlati alkalmazhato-

saganak. Kiderult, hogy lehetseges masodrendu konvergenciasebesseget elerni ugy,

hogy bizonyos reszsemak elsorenduek, ha kulonbozo felosztasokat alkalmazunk az

egyes osszetevokre. Raadasul ez ugy lehetseges, hogy nem kell novelni az idoretegek

szamat az azonos felosztasu esethez kepest. A ket esetet konkret meressel ossze is

hasonlıtottam, mely a gyakorlat szamara kedvezo eredmenyt adott.

46

Irodalomjegyzek

[1] Balazs Bank: Physics-based Sound Synthesis of String Instruments Including

Geometric Nonlinearities, Ph.D. thesis, Budapest University of Technology and

Economics Department of Measurement and Infomration Systems, 2006.

[2] Balazs Bank, Heidi-Maria Lehtonen: Perception of longitudinal components in

piano string vibrations, Journal of the Acoustical Society of America, 128(3).

[3] Balazs Bank, Laszlo Sujbert: Generation of longitudinal vibrations in piano

strings: From physics to sound synthesis, Journal of the Acoustical Society of

America, 117(4), (2005), 2268–2278.

[4] Eliane Becache, Antoine Chaigne, Gregoire Derveaux, Patrick Joly: Numerical

simulation of a guitar, Computers and Structures, 83, (2005), 107–126.

[5] Richard E. Berg, David G. Stork: The Physics of Sound, Prentice-Hall, 1982,

ISBN 0-13-674283-1.

[6] J. Berthaut, M.N. Ichchou, L. Jezequel: Piano soundboard: structural behavior,

numerical and experimental study in the modal range, Applied Acoustics, 64,

(2003), 1113–1136.

[7] Malcolm J. Crocker: Handbook of acoustics, John Wiley & Sons, 1998, ISBN

0-741-25293-X.

[8] Giuseppe Cuzzocoli, Vincenzo Lombardo: A Physical Model of the Classical

Guitar, Including Player’s Touch, Computer Music Journal, 23(2), (1999), 52–

69.

[9] M. J. Elejabarrietta, C. Santamaria, A. Ezcurra: Air cavity modes in the re-

sonance box of the guitar: the effect of the sound hole, Journal of Sound and

Vibration, 252(3), (2002), 584–590.

47

[10] M. J. Elejabarrietta, C. Santamaria, A. Ezcurra: Fluid-structure coupling in the

guitar box: numerical and comparative experimental study, Applied Acoustics,

66, (2005), 411–425.

[11] K. A. Exley: Tonal properties of the pianoforte in relation to bass bridge me-

chanical impedance, Journal of Sound and Vibration, 9(3), (1969), 420–437.

[12] Neville H. Fletcher, Thomas D. Rossing: The Physics of Musical Instruments,

Springer-Verlag New York, Inc., second edition, 1998, ISBN 0-387-98374-0.

[13] N. Giordano: Simple model of a piano soundboard, Journal of the Acoustical

Society of America, 102(2), (1997), 1159–1168.

[14] N. Giordano: Mechanical impedance of a piano soundboard, Journal of the

Acoustical Society of America, 103(4), (1998), 2128–2133.

[15] N. Giordano: Sound production by a vibrating piano soundboard: Experiment,

Journal of the Acoustical Society of America, 104(3), (1998), 1648–1653.

[16] N. Giordano, M. Jiang: Physical Modeling of the Piano, EURASIP Journal on

Applied Signal Processing, 7, (2004), 926–933.

[17] Stoyan Gisbert, Tako Galina: Numerikus modszerek 2., ELTE-TypoTEX, 1995,

ISBN 963-7546-53-7.

[18] Stoyan Gisbert, Tako Galina: Numerikus modszerek 3., ELTE-TypoTEX, 1997,

ISBN 963-7546-77-4.

[19] Stoyan Gisbert, Tako Galina: Numerikus modszerek 1., TypoTEX Kiado, 2002,

ISBN 963-9326-20-8.

[20] Takafumi Hikichi, Naotoshi Osaka: Sound timbre interpolation based on physi-

cal modelling, Acoust Sci & Tech, 22(2), (2001), 101–111.

[21] Hanna Ja: Audibilty of the timbral effects of inharmonicity in stringed instru-

ment tones, Acoustics Research Letters Online, 2(3), (2001), 79–84.

[22] Adrien Mamou-Mani: Prestress effects on the eigenfrequencies of the sound-

boards: Experimental results on a simplified string instrument, Journal of the

Acoustical Society of America, 131(1), (2012), 872–877.

[23] Adrien Mamou-Mani, Joel Frelat, Charles Benainou: Numerical simulation of

a piano soundboard under downbearing, Journal of the Acoustical Society of

America, 123(4), (2008), 2401–2406.

48

[24] Thomas R. Moore, Sarah A. Zietlow: Interferometric studies of a piano sound-

board, Journal of the Acoustical Society of America, 119(3), (2006), 1783–1793.

[25] Joseph Derek Morrison, Jean-Marie Adrien: MOSAIC: A Framework for Modal

Synthesis, Computer Music Journal, 17(1), (1993), 45–56.

[26] Philip M. Morse: Vibration and Sound, American Institute of Physics, paper-

back edition, 1983, ISBN 0-88318-287-4.

[27] Isoharu Nishiguchi: Recent research on the acoustics of pianos, Acoust Sci &

Tech, 25(6), (2004), 413–418.

[28] A. Stulov: Physical modelling of the piano string scale, Applied Acoustics, 69,

(2008), 977–984.

[29] Hideo Suzuki: Vibration and sound radiation of a piano soundboard, Journal

of the Acoustical Society of America, 80(6), (1986), 1573–1582.

[30] Adam Maulis: Hardver Bemutatasa, http://www.caesar.elte.hu/hpc/atlasz-

hw.html, 2012.

49