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Speaker: 吳牧恩
2012.03.19
預測市場 (Prediction Market)
Outline Today
Kelly Criterion
Prediction Market
Pari-mutuel Market
DPM
Market Scoring Rule
LMSR
Decision Market
你賭哪一局?
賭局1.
丟一枚硬幣，人頭出現機率為50%，賠率為1 (壓1元贏了可拿回1+1=2元)
賭局2.
丟一枚硬幣，人頭出現機率為60%，賠率為1 (壓1元贏了可拿回1+1元)
聰明賭徒都知道，要玩賭局2！
這次你賭哪一局 ?
賭局1.
丟一枚硬幣，人頭出現機率為50%，賠率為1.5 (壓1元贏了可拿回1.5+1=2.5元)
期望獲利： 50%(1+1.5) + 50%(0)=1.25
賭局2.
丟一枚硬幣，人頭出現機率為60%，賠率為1 (壓1元贏了可拿回1+1=2元)
期望獲利： 60%(1+1) + 40%(0)=1.2
但是你要怎麼賭?
丟一枚硬幣，人頭出現機率為60%，賠率為1 (壓1元贏了可拿回1+1=2元)
壓所有錢的20%
獲利期望值: 60%(1+1*20%) + 40%*(1-20%) = 1.04
壓所有錢的30%
獲利期望值: 60%(1+1*30%) + 40%*(1-30%) = 1.06
…
壓所有錢的100%
獲利期望值: 60%(1+1*100%) + 40%*(1-100%) = 1.2
結論：全壓最好嗎?
賭一次，贏了就走! 可 能 嗎 ? 乾脆賭很多次，假設可以賭100次好了~
賭局1.
丟一枚硬幣，人頭出現機率為50%，賠率為1.5 (壓1元贏了可拿回1.5+1=2.5元)
賭法1：每次都梭哈(全壓)，連續壓100次?
賭法2：每次都壓10% ，連續壓100次?
賭局2.
丟一枚硬幣，人頭出現機率為60%，賠率為1 (壓1元贏了可拿回1+1=2元)
連續壓100次的最佳賭法 ，
每次都壓所有錢的20% = 期望淨利(60% 1+1 −1)
賠率 (1)
聰明賭徒都懂的 -- Kelly Criterion
𝑋𝑡 ∶ 時間𝑡時我所擁有的資金。
b : 壓1元、贏了可拿回b+1元。
f：所壓賭注佔資金的比例。
若第t次贏，則 𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1 1 + bf
若第t次輸，則 𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1 1 − f
問題：假設要玩T次，f 要選多少，會使得XT 期望值最大?
聰明賭徒都懂的 -- Kelly Criterion
RECALL: 若第t次贏，則 𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1 1 + bf
若第t次輸，則 𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1 1 − f
假設玩了T 次，T 次裡面共贏了𝑤次，輸了𝑙次 也就是T = 𝑤 + 𝑙
則 𝑋𝑇 = 𝑋0 1 + bf 𝑤 1 − f 𝑙
問題：f 該怎麼選，會使得 XT 有最大期望值?
Kelly Criterion
REVIEW: 若第t次贏，則 𝑋𝑡 = 𝑋𝑡-1 1 + bf
若第t次輸，則 𝑋𝑡 = 𝑋𝑡-1 1 − f
假設玩了T次，T次裡面共贏了w次，輸了l次(T = w + l)
𝑋𝑇 = 𝑋0 1 + bf 𝑤 1 − f 𝑙
log𝑋𝑇
𝑋0
1
𝑇=
𝑊
𝑇log(1 + bf) +
𝑙
𝑇 log(1 − f)
As 𝑇 → ∞, 𝑊
𝑇 → 𝑝 and
𝑙
𝑇 → 1 − 𝑝
f =𝑝 1+b −1
b =
期望淨利賠率
Kelly Criterion (兩匹馬)
賭馬問題：
2匹馬賽跑，誰會是冠軍?
若你認為第 i匹馬 得到冠軍的機率為 pi
第 i匹馬 得到冠軍 的賠率為 bi
假設你有一筆錢，而且你對你認為的機率p很有信心，你要怎麼賭?
Key: Kelly Criterion
Kelly Criterion (兩匹馬競賽)
𝑋𝑇 = 𝑋0 1 + b1f1 − f2𝑤1 1 + b2f2− f1
𝑤2
若比賽T次，第一匹馬贏了W1次，第二匹馬贏了W2次。
log𝑋𝑇
𝑋0
1
𝑇=
𝑊1
𝑇log(1 + b1f1− f2) +
𝑤2
𝑇 log(1 + b2f2− f1)
As 𝑇 → ∞,𝑊
1
𝑇 → 𝑝1 and
𝑤2
𝑇 → 𝑝2
Optimization: f1 = 𝑝1 and f2 = 𝑝2
Note: 怎麼賭? 竟然跟賠率 (bi) 無關~
Kelly Criterion: Bidding Your Belief！
Kelly Criterion (n匹馬 競賽) n 匹馬賽跑，賭誰是冠軍嗎?
假設第i匹馬得到冠軍的機率為pi
第i匹馬得到冠軍的賠率為bi
假設你有一筆錢，要賭T次 (T = w1+ w2+…+wn)，你要怎麼賭?
𝑋𝑇 = 𝑋0 1 + bifi − f𝑗𝑛𝑗=1;𝑗≠𝑖
𝑤𝑖𝑛𝑖=1
Optimization: fi = 𝑝𝑖 for 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
Bidding Your Belief！
有利的賭注叫投資，不利的賭注叫賭博！
作為一個賭徒，當你下海時，您，真的知道自己在賭什麼嗎?
風險中立者: Risk-Neutral
風險愛好者: Risk-Lover
風險規避者: Risk-Averse
四種賭法，哪種最好? (Ref:天才數學家的秘密賭局)
全部下注法
賭性堅強！
加倍下注法
輸: 1,2,4,8,…
贏: 1,1,1,…
定額下注法
ex: 我有一萬塊，每次都壓100塊
凱利下注法
Kelly Criterion的應用 John Larry Kelly, Jr. (1923 – 1965),
A New Interpretation of Information Rate
@ Bell system Technical Journal, 1958
APP:
21點的必勝策略
資金管理、股市、衍生性金融商品、運動賭博
Prediction Market
Call Market Auction
Continuous Double Auction (CDA)
Pari-mutuel Market (PM)
Dynamic Pari-mutuel Market (DPM)
Market Scoring Rule (MSR)
未來事件交易所 (X Future)
明天凌晨 暴龍 v.s.尼克 ?
Call Market Auction
Stock market before 1800.
在某一段時間內(ex: 10 mins)
營業員收集所有要買股票(多少價位買多少)、賣股票(多少價位賣多少)的資訊
時間結束後
營業員人工搓合使得買賣成交
重複
Continuous Double Auction (CDA) 股票市場、期貨、選擇權
The term “continuous”: there is no waiting period anymore
Bid-Ask spread: the gap between best ask and best bid
Continuous Double Auction with Market Maker
(CDAwMM)
The same with CDA,
except there exist a market maker.
M.M. is always willing to buy at some price pb and sell at
some price ps
M.M. is useful especially in thin market (淺碟市場)
because they provide liquidity.
Pari-mutuel Market
兩匹馬競賽，誰會得到冠軍?
兩種可能情形： A B
下注：
比賽結束: A得到冠軍
+
Pari-mutuel Market
兩匹馬競賽，誰會得到冠軍?
兩種可能情形： A B
下注： $ 200 $800
比賽結束: A得到冠軍
𝟐𝟎𝟎+𝟖𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎= 𝟓 (賭1 塊錢，可拿回5元；
賠率為4)
Pari-mutuel Market
n 匹馬競賽，看誰可以得到冠軍?
在停止下注前，假設市場壓在第 i 匹馬上的賭金為 𝑀𝑖
比賽結果： 第 i* 匹馬得到冠軍
則壓在第 i* 匹馬上的賭注，每一塊錢可贏回
𝑀1+𝑀2+⋯+𝑀𝑛
𝑀i∗
Pari-mutuel Market 的優缺點
優點：
Infinite liquidity for buying
只要有錢，想買多少就買多少。
莊家沒有風險
缺點：
每匹馬贏冠軍的 ”每股價格” 永遠是$1元。
無法顯示大家認為的平均 (No Information Aggregation)
在比賽結束前，無法判斷每股的期望報酬。
直到最後一次下注，才可計算每匹馬的賠率為多少
沒有動機引誘下注，除非等到最後一刻停止下注前。
或是百分之百確定哪匹馬會贏得冠軍
Dynamic Pari-mutuel Market
Pari-mutuel Market
每匹馬贏冠軍的每股價格永遠是$1元。
Dynamic Pari-mutuel Market
每股價格隨著市場下注所佔比例而變動。
越多人買價格越高；相對少人買的股票價格越低。
每股即時價格 (Instantaneous Price)反映市場上大家認為的機率
(Information Aggregation)。
每股即時價格代表 買 “無限小” (infinitesimal) 的股票所要花的錢。
Dynamic Pari-mutuel Market
兩匹馬競賽，誰會得到冠軍?
價格(Pri) 隨著賭注而變化
報酬(Pay)直到最後一刻才會知道
兩種可能情形 A B
每股價格 Pri A Pri B
每股報酬： Pay A Pay B
總注金額： Mon A Mon B
已購買股數： Num A Num B
Dynamic Pari-mutuel Market ---
--- 每股價格如何決定?
Pri (n) 表示
若已經買了n股，再多買 “一點點(infinitesimal)股數” 所要花的錢
購買n股所需花的錢為 Pri 𝑛 𝑑𝑛𝑛
0
Dynamic Pari-mutuel Market ---
輸家的錢重新分配
贏家的報酬:
原來下注的錢 + 輸家的錢按照股數平均分配
A贏的賠率: Pay A = Mon B / Num A
買𝜀股的 每股期望報酬:
𝐸 𝜀股的期望報酬
𝜀
= Pr 𝐴 𝐸 Pay 𝐴 𝐴] − 1 − Pr 𝐴 Pri 𝐴
“風險中立者” 會一直買~ 一直買~ 直到 𝐸 𝜀股的期望報酬
𝜀=0
“風險規避者” 在𝐸 𝜀股的期望報酬
𝜀=0之前就會停止購買
Information Aggregation
If 𝐸 𝜀股的期望報酬
𝜀 > 0
“風險中立者” 會買多少股?
計算 n 使得 Pr 𝐴 𝐸 Pay 𝐴 𝐴] − 1 − Pr 𝐴 Pri 𝐴 𝑛 = 0
市場大家認為的機率MPr(A)
MPr 𝐴 𝐸 Pay 𝐴 𝐴] − 1 − MPr 𝐴 Pri 𝐴 = 0
MPr 𝐴 =Pri 𝐴
Pri 𝐴+Pay 𝐴 (假設 𝐸 Pay 𝐴 𝐴] = Pay 𝐴)
考慮定價方式 Pri A=Pay B; Pri B=Pay A
MPr 𝐴 =Mon 𝐴 × Num𝐴
Mon 𝐴 × Num𝐴 + Mon 𝐵 × Num𝐵
推得 Price Function Pri(n)
若購買 n股 需要花m元，𝑚 = Pri 𝐴 𝑛 𝑑𝑛𝑛
0
𝑑𝑚
𝑑𝑛= Pri 𝐴 𝑛 ∶= Pay 𝐵 =
Mon𝐴+𝑚
Num 𝐵
m(n) = Mon A×[𝑒𝑛
Num 𝐵 − 1]
Pri A(n)= 𝑑𝑚
𝑑𝑛=
Mon 𝐴
Num 𝐵𝑒
𝑛
Num 𝐵
Dynamic Pari-mutuel Market
市場上流通的股數 (Outstanding Shares) 𝑞 = 𝑞1, 𝑞2, . . . , 𝑞𝑛
Cost Function: 𝐶 𝑞 = 𝑞12 + 𝑞2
2 +⋯+ 𝑞𝑛2
若目前市場上流通股數為𝑞，trader想要購買股數 𝑟 = 𝑟1, 𝑟2, . . . , 𝑟𝑛
，則需花$ 𝐶 𝑞 + 𝑟 − 𝐶 𝑞 元。
股票i 的價格: 𝜕𝐶(𝑞)
𝜕𝑞𝑖
=𝑞𝑖
𝑞12+𝑞
22+⋯+𝑞
𝑛2
大家認為股票i 贏的機率 𝑞𝑖2
𝑞12+𝑞
22+⋯+𝑞
𝑛2
贏家i 的每股報酬 𝐶 𝑞𝑓
𝑞𝑖
Hanson’s Market Scoring Rule (MSR)
Sequential Game
一個時間點一位玩家下注
M.M. 首先 bid 他自己認為的機率 p0
Player 依序 bid 他們自己認為的機率。
假設第i次 bid的機率為pi
比賽結果揭曉後，根據MSR，前一位player給付上一位player報酬。
兩匹馬的競賽：S(p)=(S1(p), S2(p)) Time: 0,1,2,…,T
Time 0: M.M. bid 𝑝0 =1
2,1
2 𝑆2(𝑝0) - 𝑆2(𝑃𝑇)
Time 1: the 1st player bid 𝑝1 = (1
3,2
3) 𝑆2(
1
3,2
3) - 𝑆2(
1
4,3
4)
Time 2: the 2nd player bid 𝑝2 =1
4,3
4 𝑆2(
1
4,3
4) - 𝑆2(𝑝3)
… Time t 𝑆2(𝑃𝑡) - 𝑆2(𝑃𝑡−1)
Time T: the Tth player bid 𝑝𝑇 =2
5,3
5 𝑆2(𝑃𝑇) - 𝑆2(𝑃𝑇−1)
比賽結果揭曉，若第二匹馬獲得冠軍。
根據 MSR計算每位玩家的報酬。
Market Scoring Rule 假設 r 是真實的機率，沒有人知道
賭徒要想辦法賭 𝒑 使得 𝒓𝒊𝒏𝒊=𝟏 𝑺𝒊(𝒑) 最大
但沒人知道 r 長什麼樣子
事實上，當 p 跟 r 越接近， 𝒓𝒊𝒏𝒊=𝟏 𝑺𝒊(𝒑) 越大
但什麼叫做p 跟 r 越接近? (KL divergence)
Logarithm Market Scoring Rule (LMSR) 𝑆 𝑝 = 𝑆1 𝑝 , 𝑆2 𝑝 ,… , 𝑆𝑛(𝑝)
𝑆𝑖 𝑝 = 𝑎 + 𝑏 log(𝑝), 其中 𝑎 跟 𝑏 為常數
LMSR具有 incentive compatible 的特性，也就是 “賭真的賺最多” (Truthful Bidding (TB))
假設賭徒認為的機率是𝑝，想要藉由”賭假的機率r”賺取更多利潤。
𝑝𝑖𝑛𝑖=1 𝑆𝑖(𝑝) ≥ 𝑝𝑖
𝑛𝑖=1 𝑆𝑖(𝑟) for 𝑟 ≠ 𝑝
Cost Function based Logarithm Market
Scoring Rule
市場上流通的股數 (Outstanding Shares) 𝑞 = 𝑞1, 𝑞2, . . . , 𝑞𝑛
Cost Function: 𝐶 𝑞 = 𝑏 log 𝑒𝑞1 𝑏 + 𝑒𝑞2 𝑏 +⋯+ 𝑒𝑞𝑛 𝑏
若目前市場上流通股數為𝑞，trader想要購買股數r，則需花$ 𝐶 𝑞 + 𝑟 − 𝐶 𝑞 元。
贏的股票每股可贏回1元。
股票i 的價格: 𝜕𝐶(𝑞)
𝜕𝑞𝑖
=𝑒𝑞𝑖 𝑏
𝑒𝑞1 𝑏 +𝑒𝑞2 𝑏 +⋯+𝑒𝑞𝑛 𝑏
大家認為股票i 贏的機率 = 股票i的價格
Comparison
No Risk (M.M.) Liquidity Information Aggregation
Call Market Auction ○
CDA ○ ○
CDAwMM ○ ○
PM ○ ○
DPM ○ ○ ○
MSR Bounded ○ ○
