e Structur As

Gabriel Larotonda

Estructuras geomtricas para las

VARIEDADESDE BANACH

iDedicado a la memoria dengel Rafael Larotonda(1939-2005).

ndice general

Introduccin XI

I Estructuras Diferenciables 1

1 Clculo Diferencial e Integral 31.1. Operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Algunos teoremas tiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Diferenciabilidad en espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Operadores bilineales y cuadrticos . . . . . . . . . . . . . 71.3. Integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Aproximaciones, acotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1. Frmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Funciones Inversa e Implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1. Funcin Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2. Funcin Implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.2.1. Subespacios sin suplemento . . . . . . . . . . . . 161.A. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Variedades Diferenciables 212.1. Cartas y Atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Espacio y Fibrado tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1. Espacio tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2. Fibrado tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2.1. Fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2.2. Fibrados vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2.3. Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.3. Diferencial de una funcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3. Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1. Levantadas de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4. Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

iii

iv ndice general

2.4.1. Subvariedades no regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4.2. Subvariedades de un espacio de Banach . . . . . . . . . . 30

2.4.2.1. La esfera de un espacio de Hilbert . . . . . . . . 312.5. Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.1. Corchetes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.1.1. El corchete de Lie de campos en la esfera . . . . 342.5.1.2. El corchete de Lie en superficies de nivel . . . . 352.5.1.3. Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5.1.4. Derivaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.2. Campos f-relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.A. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Grupos de Lie 413.1. Teora general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1. Campos invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.2. Grupos a un parmetro y exponencial . . . . . . . . . . . 43

3.1.2.1. La exponencial del grupo . . . . . . . . . . . . . 433.1.3. La representacin adjunta y morfismos . . . . . . . . . . . 44

3.1.3.1. Homomorfismos y la naturalidad de exp . . . . . 453.2. Subgrupos de Lie-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3. Espacios homogneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.1. rbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4. Grupos lineales de matrices: un vistazo rpido . . . . . . . . . . . 52

3.4.1. El grupo lineal GL(n,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.2. El grupo de matrices unitarias . . . . . . . . . . . . . . . 543.4.3. El grupo ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.4. El grupo simplctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.5. Espacios homogneos de grupos de matrices . . . . . . . . . . . . 573.5.1. La variedad de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.5.2. Matrices positivas inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.A. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 El Grupo Lineal 634.1. El grupo de elementos inversibles, estructura local . . . . . . . . 64

4.1.1. Las representaciones L y R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.1.2. La diferencial del mapa exponencial . . . . . . . . . . . . 654.1.3. Factorizacin de la diferencial de exp . . . . . . . . . . . . 664.1.4. La serie de Baker-Campbell-Hausdorff . . . . . . . . . . . 67

4.1.4.1. Frmulas de Lie-Trotter . . . . . . . . . . . . . . 704.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.1. El lgebra de Lie de un subgrupo cerrado . . . . . . . . . 71

ndice general v

4.3. Subgrupos algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4. El grupo de isometras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4.1. El grupo unitario de un lgebra C . . . . . . . . . . . . . 804.4.1.1. Logaritmos de operadores unitarios . . . . . . . 81

4.5. El cono positivo de un lgebra C . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.5.1. Conos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.5.2. Descomposicin de Cartan y conmutadores . . . . . . . . 86

4.6. rbitas de similaridad y coadjuntas . . . . . . . . . . . . . . . . 874.6.1. La rbita de similaridad de un inversible autoadjunto . . 884.6.2. La rbita coadjunta de un operador autoadjunto . . . . . 884.6.3. La Grassmanniana como la rbita de un proyector . . . . 89

4.A. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5 El Fibrado TTM 975.1. Expresiones locales para TTM y sus proyecciones . . . . . . . . . 98

5.1.1. Proyecciones de TTM en TM . . . . . . . . . . . . . . . . 985.1.1.1. Fibrados verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.2. Subvariedades de un espacio lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.2.1. La esfera de un espacio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . 1005.2.2. Superficies de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.2.2.1. Fibrados verticales en subvariedades . . . . . . . 1045.3. El flip cannico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.4. Aceleraciones y 2-jets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.4.1. 2-jets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.A. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6 Conexiones y Sprays 1096.1. Sprays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.1.1. Geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.1.2. Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.2. Sprays cuadrticos o afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.2.1. Entornos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.3. Conexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.4. Conexin de Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.5. Sprays cannicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.6. La derivada covariante: derivar y proyectar . . . . . . . . . . . . 1246.7. Derivada covariante y transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . 127

6.7.1. Derivada covariante de levantadas . . . . . . . . . . . . . 1276.7.2. Transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.8. El tensor de curvatura y campos de Jacobi . . . . . . . . . . . . . 1306.8.1. Subvariedades de un espacio de Banach . . . . . . . . . . 131

vi ndice general

6.8.2. Campos de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.8.2.1. Campos de Jacobi versus exponencial . . . . . . 134

6.9. Ejemplos de sprays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.9.1. Espacios lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.9.2. La esfera de un espacio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . 135

6.9.2.1. Un spray no cuadrtico en la esfera . . . . . . . 1376.9.3. El grupo de inversibles de un lgebra de Banach . . . . . 1386.9.4. El grupo de operadores unitarios . . . . . . . . . . . . . . 1406.9.5. Operadores positivos e inversibles . . . . . . . . . . . . . 141

6.9.5.1. El spray trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.9.5.2. El spray cannico . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.9.6. La Grassmanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.A. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

II Estructuras Mtricas 147

7 Espacios de Mtrica Interior 1497.1. La distancia rectificable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.1.1. Espacios de mtrica interior . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.1.2. Geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.2. El teorema de Hopf-Rinow mtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.2.1. El teorema de Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.2.2. El teorema de Hopf-Rinow mtrico . . . . . . . . . . . . . 157

7.A. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8 Variedades de Finsler 1618.1. Mtricas de Finsler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.1.1. Funcionales longitud y energa . . . . . . . . . . . . . . . 1628.1.1.1. Las variedades de Finsler . . . . . . . . . . . . . 163

8.1.2. Normas acotadas y compatibles . . . . . . . . . . . . . . . 1638.1.2.1. Hopf-Rinow en variedades de Finsler . . . . . . . 168

8.2. Variedades de Finsler con spray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.3. Mtricas de Finsler va operadores acotados . . . . . . . . . . . . 1708.4. Mtricas invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.4.1. Mtricas invariantes y el spray cannico . . . . . . . . . . 1728.4.2. Espacios homogneos y mtricas cocientes . . . . . . . . . 1728.4.3. Operadores positivos con mtricas simtricas . . . . . . . 173

8.5. El teorema de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.A. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

ndice general vii

9 Variedades Riemannianas y pseudo-Riemannianas 1859.1. La derivada de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

9.1.1. La derivada de Levi-Civita de una subvariedad . . . . . . 1889.1.1.1. La Grassmanniana dentro de los autoadjuntos . 189

9.1.2. Sprays mtricos en espacios homogneos . . . . . . . . . . 1909.1.2.1. El spray mtrico del grupo de inversibles . . . . 1919.1.2.2. Geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9.2. Clculo de variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1939.2.1. Frmulas variacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

9.2.1.1. La variacin de la energa . . . . . . . . . . . . . 1979.3. Las geodsicas son localmente minimizantes . . . . . . . . . . . . 198

9.3.1. El lema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999.3.2. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999.3.3. Minimalidad de las geodsicas . . . . . . . . . . . . . . . . 200

9.3.3.1. Variedades Riemannianas dbiles . . . . . . . . . 2029.3.4. Las curvas continuas minimales . . . . . . . . . . . . . . . 2039.3.5. La esfera, grupos unitarios y la Grassmanniana . . . . . . 204

9.3.5.1. La esfera de un espacio de Hilbert . . . . . . . . 2049.3.5.2. El grupo de operadores unitarios . . . . . . . . . 2069.3.5.3. El grupo de unitarios con la norma uniforme . . 2109.3.5.4. El grupo de unitarios con una norma simtrica . 2129.3.5.5. La Grassmanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

9.4. Existencia global de geodsicas cortas . . . . . . . . . . . . . . . 2139.5. Convexidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179.6. Curvatura seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

9.6.1. Curvatura de grupos lineales y espacios homogneos . . . 2209.6.1.1. La esfera de un espacio de Hilbert . . . . . . . . 2209.6.1.2. El spray mtrico del grupo de inversibles . . . . 2219.6.1.3. El grupo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.6.1.4. Operadores positivos inversibles . . . . . . . . . 2229.6.1.5. La Grassmanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

9.6.2. Isometras y curvatura seccional . . . . . . . . . . . . . . 2249.6.2.1. Variedades planas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2259.6.2.2. Campos de Jacobi versus curvatura . . . . . . . 226

9.7. El teorema de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.7.1. La adjunta de la diferencial de exp . . . . . . . . . . . . . 2279.7.2. Curvatura no positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

9.A. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

viii ndice general

III lgebras de Operadores 235

A lgebras de Banach 237A.1. lgebras con involucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237A.2. Clculo funcional analtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

A.2.1. Propiedades del espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238A.2.1.1. Radio espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

A.2.2. El grupo de inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240A.2.3. Clculo funcional de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 242

A.3. Rango y radio numrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246A.3.1. El rango numrico y los grupos a un parmetro . . . . . . 249A.3.2. La relacin entre rango numrico y espectro . . . . . . . . 252

A.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

B lgebras C 255B.1. El radio espectral de un operador normal . . . . . . . . . . . . . 255B.2. Clculo funcional continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256B.3. Teorema de Gelfand y la representacin GNS . . . . . . . . . . . 258

B.3.1. El espacio de caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259B.3.2. La transformada de Gelfand en C-lgebras . . . . . . . . 260

B.3.2.1. Invariancia del espectro . . . . . . . . . . . . . . 261B.3.3. El Teorema de Gelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261B.3.4. Propiedades del clculo funcional continuo . . . . . . . . 263

B.3.4.1. Elementos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . 263B.3.4.2. Funciones montonas y convexas de operadores 264B.3.4.3. Los -morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

B.3.5. La representacin GNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265B.3.5.1. Funcionales positivas y estados . . . . . . . . . . 266B.3.5.2. Estados normizantes . . . . . . . . . . . . . . . . 268

B.3.6. La construccin de Gelfand, Naimark y Segal . . . . . . . 268B.3.6.1. Vectores normizantes . . . . . . . . . . . . . . . 270

B.4. Descomposicin polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270B.4.1. Descomposicin polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

B.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

C lgebras de von Neumann 273C.1. Clculo funcional Boreliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

C.1.1. Teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273C.1.2. Medida espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275C.1.3. Descomposicin polar en W-algebras . . . . . . . . . . . 275

C.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

ndice general ix

D Normas en lgebras de Operadores 277D.1. Ideales en B(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

D.1.1. Descomposicin en valores singulares . . . . . . . . . . . . 277D.1.1.1. Espacios de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . 279

D.1.2. Ideales de operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . 281D.1.3. Operadores compactos de Schatten . . . . . . . . . . . . . 285D.1.4. Desigualdad de Hlder, dualidades, norma Frobenius . . . 287D.1.5. El teorema de Lidskii y la propiedad cclica de la traza . . 288

D.2. Normas simtricas en lgebras C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289D.2.1. lgebras con traza finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

D.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Bibliografa 295

ndice alfabtico 301

ndice de smbolos 307

Introduccin

Nadie puede escribir un libro.

Para que un libro sea verdaderamente,

Se requieren la aurora y el poniente,

Siglos, armas, y el mar que une y separa.

J. L. Borges

E

ste texto nace con la idea de presentar una exposicin sistemtica delestudio de la geometra de los grupos de Lie-Banach y sus espacioshomogneos, con especial nfasis en las nociones mtricas de la geo-

metra diferencial, cuyo primer problema a nuestro entender es el de las curvasminimales.

Habitualmente, se presentan las conexiones, las geodsicas y otros objetosgeomtricos como derivados de una mtrica inevitablemente Riemanniana, sosla-yando el hecho de que una conexin es simplemente una eleccin de suplementosen cierto fibrado vectorial sobre la variedad, y que esto no implica necesariamen-te la existencia de un producto interno en este fibrado. La eleccin de estossuplementos se puede presentar, en particular, como un spray en la variedad(una familia de ecuaciones diferenciales ordinarias en el fibrado tangente), quepermite introducir de manera natural la nocin de geodsica como la solucinlocal de este sistema de ecuaciones. Este es el enfoque con el que queremos abor-dar los problemas de geometra que hacen a las curvas cortas y la curvatura:una perspectiva que nos permita trabajar en modelos sin limitaciones de dimen-sin, y sin supuestos sobre una estructura Hilbertiana o pre-Hilbertiana en elespacio vectorial que modela la variedad. En particular, estamos interesados enaquellos modelos que surgen de los grupos lineales y sus espacios homogneos,tanto en dimensin finita como infinita, donde puede observarse que, desde elpunto de vista del lgebra de operadores, las normas o mtricas a introducir nosuelen derivarse de una estructura Hilbertiana: el caso paradigmtico es la nor-ma uniforme del lgebra de operadores acotados, la cual no proviene de ningn

xi

xii Introduccin

producto interno, y no es equivalente a ninguna norma con estas caractersticasen el caso infinito dimensional. Este contexto de matrices y operadores es ricoen ejemplos que nos permiten introducir estas nociones de spray o conexin demanera concreta e independiente de la mtrica a partir de proyectores, idempo-tentes y esperanzas condicionales; en los ltimos aos esta manera de trabajar hatenido un desarrollo notable especialmente en el contexto de dimensin infinitavinculado con las lgebras C y las lgebras de von Neumann. Por otra parte,estas lgebras son ricas en normas simtricas (invariantes por la accin del grupode unitario, que es el grupo de isometras del espacio de Hilbert subyacente allgebra de operadores) y estas normas nos proveen de una importante cantidadde ejemplos de mtricas de Finsler en las variedades, es decir, elecciones conti-nuas de normas en el fibrado tangente de la variedad (nos desviamos aqu de lanocin clsica de mtrica de Finsler donde se supone que la norma introducidaes dos veces diferenciable fuera del origen y su Hessiano es definido positivo).Entre las clases ms relevantes de normas simtricas en operadores en un espaciode Hilbert, se hallan las normas de p-Schatten, que se computan como la normap usual de la sucesin de valores singulares del operador en cuestin; en estecontexto son conocidos una serie de resultados geomtricos vinculados con laconvexidad uniforme del espacio normado subyacente.

En la segunda parte del libro abordaremos la nocin de espacio de longitudo espacio de mtrica interior, que a partir del trabajo de Mikhail Gromov engupos hiperblicos [36], ha cobrado especial relevancia, en particular relacionadacon aquellos espacios que son de curvatura no positiva. En este contexto, ladistancia entre dos puntos se obtiene como el nfimo de las longitudes de arcosrectificables que los unen. Como estaremos interesados en la nocin de curvacorta, presentaremos la versin mtrica del Teorema Hopf-Rinow que establece laexistencia de geodsicas (entendidas como arcos rectificables de longitudmnima)en espacios localmente compactos.

Estudiaremos la relacin entre variedades de Finsler y espacios de mtricainterior, amalgamando los resultados de la primera parte del libro con la teoramtrica introducida en la segunda. Abordaremos las nociones de curvatura ycurvatura seccional, presentando la primera como derivada del spray, es decirindependiente de la mtrica, y estudiando la segunda como el puente que unela nocin de spray con la de geometra Riemanniana. La curvatura seccionalsepara los espacios Riemannianos en dos categoras importantes (no exhaustivas),segn estos tengan curvatura seccional positiva o negativa en todos sus puntos;el comportamiento de las curvas cortas es drsticamente distinto segn sea elcaso. Para ilustrar esta afirmacin, basta considerar dos ejemplos muy sencillos,como la circunferencia unitaria S1 R2 y una rama de hiprbola P R2, decurvatura seccional positiva y negativa respectivamente (aunque cabe aclarar

Introduccin xiii

que en el primer caso la curvatura es constante y en el segundo no lo es): deacuerdo al teorema de Cartan-Hadamard (que presentamos en este texto en elcontexto de variedades de Finsler con spray), en una variedad de curvatura nopositiva simplemente conexa, se da siempre este fennomeno de unicidad decurvas cortas.

Por otra parte el Teorema de Hopf-Rinow establece la equivalencia (en dimen-sin finita) entre completitud mtrica y completitud geodsica, garantizando laexistencia de curvas cortas que unen dos puntos dados. Sin embargo, hay ejem-plos sencillos de variedades Riemannianas de dimensin infinita donde ambosconceptos no son equivalentes. En casos concretos, herramientas desarrolladasad-hoc para el ejemplo permiten encarar el problema de manera exitosa y noslo determinar la existencia de geodsicas minimales, sino construirlas explci-tamente: presentaremos en este texto una serie de problemas y resultados sobreminimalidad de curvas que hasta ahora slo se hallan publicados en revistasespecializadas, concernientes tanto a variedades de dimensin infinita como avariedades de Finsler donde la norma no es diferenciable y por lo tanto no estdisponible el clculo de variaciones usual. Nos enfocaremos en ejemplos prove-nientes de la teora de operadores, especialmente aquellos que provienen de losllamados grupos de Lie-Banach clsicos, de las lgebras C y las lgebras devon Neumann, que juegan una parte importante en esta exposicin, no slo co-mo modelos geomtricos, sino tambin a traves de las tcnicas propias de laslgebras de operadores, que permiten abordar ciertos problemas de geometrade una manera novedosa.

Prerequisitos: Para la lectura de este texto estimamos suficiente que el lec-tor conozca en profundidad la geometra de curvas y superfices en el plano y enel espacio, como es abordada por ejemplo en el texto de do Carmo [21]. Respectode la teora de grupos y sus espacios homogneos, es recomendable que el lectortenga cierta familiaridad con las nociones topolgicas generales vinculadas a es-tos espacios, o por lo menos domine los aspectos bsicos de espacios topolgicosen general, como cubrimientos, bases de entornos, sucesiones, topologas cocien-te, etc.; si sumamos ciertas nociones bsicas de anlisis funcional, todos estostemas ocupan por ejemplo los primeros cuatro captulos del libro de Reed y Si-mon [62]. Los temas ms especializados de lgebras de operadores se encuentrandesarrollados para beneficio del lector en los apndices de este libro.

Agradecimientos: vaya mi agradecimiento expreso para todos aquellos ma-temticos que me mostraron en primera persona cmo pensar la geometra deesta manera singular, a travs de problemas concretos en lgebras de opera-dores; en particular Esteban Andruchow, Gustavo Corach y Lzaro Recht. Unagradecimiento especial para Cristian Conde, colega, amigo, editor y corrector

xiv Introduccin

desinteresado. Tambin quiero agradecer a Martn Miglioli que estudi y corri-gi minuciosamente el manuscrito. Por ltimo, no puedo dejar de mencionar lacontribucin de los dos evaluadores annimos del libro, que mediante sus obser-vaciones y correcciones hicieron sin duda de este un manuscrito mejor. De todaslas posibles faltas e imprecisiones que puedan quedar en el libro, slo puedo cul-par a mis limitaciones como escritor y matemtico, esperando que puedan sertolerables para el lector, o que sean enmascaradas por el entusiasmo que esperocompartan conmigo sobre los temas aqu abordados.

Parte I

Estructuras Diferenciables

E

n esta primera parte del libro, desarrollaremos herramientas geomtri-cas que no involucren la eleccin explcita de una norma o mtrica enla variedad diferenciable a estudiar. Como veremos, las variedades de

Banach tienen una gran riqueza geomtrica una vez que uno consigue introduciruna conexin o spray en ellas, independientemente de si esta proviene de unamtrica o no.

De particular relevancia son aquellas variedades que provienen del grupo deinversibles de un lgebra de Banach, y sus espacios homogneos. En los apndi-ces del libro introducimos las nociones bsicas del clculo funcional y la teorade operadores para poder trabajar con una familia de ejemplos que ilustren lasnociones y provoquen nuevas preguntas, siempre con el espritu de entender losobjetos de forma geomtrica, sin necesidad de usar coordenadas y por consi-guiente sin limitaciones de dimensin.

1

Captulo 1

Clculo Diferencial e Integral

Where ignorance is bliss, tis folly to be

wise.

Thomas Gray

C

omenzamos en este captulo con los fundamentos de la teora de ope-radores acotados en espacios de Banach, que nos permitirn intro-ducir nociones de diferenciacin e integracin. Luego presentamos

versiones infinito-dimensionales de los teoremas de la funcin inversa y de lafuncin implcita. Este captulo no debe tomarse como un captulo de prerequi-sitos, sino como una parte integral de nuestro acercamiento sin coordenadas a lageometra: revisaremos resultados clsicos del clculo con una mirada no clsica.Le debemos mucho de nuestra presentacin al excelente libro de Lang [47] degeometra Riemanniana.

1.1. Operadores lineales

Todos nuestros espacios vectoriales sern sobre R C. Sean E, F espacios nor-mados, o en particular espacios de Banach, es decir, espacio vectoriales normadoscompletos. Empecemos por recordar que T B(E, F) si T es lineal y adems esacotado en el siguiente sentido

sup

{Txx : x E, x 6= 0

}

4 Clculo Diferencial e Integral

el caso acotado se suele denominar a este nmero norma uniforme de T ,

T = sup{Txx : x E, x 6= 0

}= sup {Tx : x E, x 1}

o norma supremo. Notemos que el conjunto B(E, F) con la norma recin definidaes un espacio de Banach: en efecto es un espacio vectorial y no es difcil probarque es completo, usando (nicamente) la completitud de F.

Como veremos ms adelante en contextos especficos, la norma uniforme noes la nica manera de definir una norma en el conjunto de operadores lineales.

En el caso E = F se suele abreviar B(E, E) = B(E) al conjunto de endomor-fismos acotados y nos referiremos a ellos como operadores lineales acotadosactuando en E o directamente operadores acotados en E.

En el caso F = k el cuerpo base, al espacio E = B(E, k) se lo denominaespacio dual de E. No debe confundirse con el dual algebraico, que consiste detodas las funcionales lineales de E en k. Para distinguirlos, a veces se dice queE es el dual topolgico de E.

1.1.1. Algunos teoremas tiles

Listamos a continuacin algunas herramientas fundamentales. La primera esun teorema de separacin de objetos convexos en espacios normados mediantehiperplanos, que en el contexto de espacios de Banach enunciamos en una de susposibles formas equivalentes.

Teorema 1.1.1 (Teorema de Hahn-Banach). Sea E un espacio de Banach,

S E un subespacio.

Sea N : E R0 una funcional convexa, es decir si a, b k (k es R oC) son tales que |a|+ |b| 1, entonces

N(av + bw) |a|N(v) + |b|N(w) para todo v,w E.

Entonces si : S k es una funcional lineal tal que |(s)| N(s)para todo s S, existe E tal que = en S y || N en todo E.En particular, dado v E, existe E tal que (v) = v, = 1.

La prueba puede verse en el tomo I de Methods of modern mathematicalphysics", por Michael Reed y Barry Simon [62], Teorema III.5.

Teorema 1.1.2 (Teorema de la funcin abierta (Banach-Schauder)). Si E, F son

espacios de Banach y T B(E, F) es sobreyectiva, entonces T es abierta. Esdecir, si U E es abierto, entonces TU F es abierto.

1.2. Diferenciabilidad en espacios de Banach 5

Corolario 1.1.3. Si E, F son espacios de Banach y T B(E, F) es biyectivo,entonces la inversa T1 : F E es continua. Es decir T es un isomorfismotopolgico de espacios de Banach.

Teorema 1.1.4 (Teorema del grfico cerrado). Si E, F son espacios de Banach

y T : E F es lineal, entonces T B(E, F) si y slo siGr(T) = {(v, Tv) : v E} E F

es un subespacio cerrado.

El siguiente resultado debido a Banach y Steinhaus es conocido como prin-cipio de acotacin uniforme o por su sigla en castellano PAU.

Teorema 1.1.5 (Teorema de Banach-Steinhaus). Sea E un espacio de Banach

y F un espacio normado. Sea F una familia de operadores acotados de E en

F. Supongamos que para cada x E, el conjunto

{Tx : T F}

es acotado. Entonces el conjunto {T : T F} es acotado.El Teorema del grfico cerrado y el de la funcin abierta son equivalentes, y

todos son consecuencia del teorema de categora de Baire. Todos estos resultadosdel anlisis funcional pueden verse en la Seccin III.5 del libro de Reed-Simon[62].

1.2. Diferenciabilidad en espacios de Banach

Sean E, F espacios de Banach, y f : E F una funcin. Diremos que f esdiferenciable en v E si existe un operador lineal acotado Lv B(E, F) tal que

lmh0

1

hf(v + h) f(v) Lvh = 0. (1.1)

En ese caso al operador Lv lo denotaremosDfv fv, usualmente ledo comodiferencial de f en v. Observemos que, si f es diferenciable en v E, entonces

Lvx = lmt0

f(v + tx) f(v)

t

para todo x E.Toda funcin diferenciable es continua. Si f es diferenciable en todo v U

para algn abierto U E, diremos que f es diferenciable en U.


Si f : E F, g : F G son funciones diferenciables, entonces es fcil ver queg f : E G es una funcin diferenciable y que vale la regla de la cadena:

D(g f)v = Dgf(v)Dfv.

Observacin 1.2.1. Si f : E F es lineal y continua (es decir si f B(E, F)),entonces es fcil verificar que Df = f, es decir f es diferenciable en todo E y

adems Dfv(w) = f(w) para todo v,w E.Observacin 1.2.2. Si f : E F es diferenciable y T B(F,G) (con G otroespacio de Banach), entonces un caso particular de la regla de la cadena de muy

fcil demostracin es la siguiente identidad:

D(T f) = TDf.

Para poner un poco en contexto la definicin (1.1), se suele decir que f esdiferenciable Frchet (por Maurice Frchet). Hay nociones ms dbiles de dife-renciabilidad, como por ejemplo ser diferenciable Gteaux en v E (por RenGteaux), que significa que para todo h E, existe el lmite

dxf(h) = lmt0

1

|t|{f(v + th) f(v)} ,

y en este caso dxf(h) no tiene por qu ser lineal en h (ni acotado). En el casocomplejo el lmite se toma cambiando t R por z C y haciendo z 0.

Volviendo al caso que nos interesa (1.1), si f es diferenciable entonces tienesentido preguntarse sobre la continuidad de la funcin Df : E B(E, F) dadapor

Df(v) = Dfv,

es decir a la funcin que a cada vector le asigna la diferencial de f. Esta funcin,aunque su imagen consiste de operadores lineales, es usualmente no lineal (salvoque f sea una forma cuadrtica). Cuando es continua en un abierto U E,decimos que f es C1 en U.

Como G = B(E, F) es un espacio de Banach, nos podemos preguntar si lafuncin Df : E G es diferenciable en U. Si lo es, diremos que su diferencialD(Df) = D2f es la diferencial segunda de f. Observemos que

D2f : U B(E,G) = B(E,B(E, F)) ' B2(E E; F) = B2(E2; F),donde el ltimo trmino indica los operadores bilineales de EE en F. La identi-ficacin est dada por (T)(e1, e2) = (Te1)(e2) para e1, e2 E, que es de hechoun isomorfismo isomtrico. Denotaremos

D2fp(v,w) := (D2fpv)(w).

1.2. Diferenciabilidad en espacios de Banach 7

Una funcin es C2 si la asignacin p 7 D2fp es continua de E en B2(E2; F).En el caso clsico E = R2, que exista la diferencial segunda es ms fuerte quedecir que existen las derivadas parciales segundas, de hecho la existencia de ladiferencial segunda garantiza que adems de existir sean iguales las derivadascruzadas1: ver por ejemplo el libro de T. Apostol [12], Teorema 12.12.

Observacin 1.2.3. Si f : U F es una funcin dos veces diferenciable en p U,entonces D2fp es un operador bilineal simtrico. Es decir, para todo v,w Ese tiene

D2fp(v,w) = D2fp(w, v).

En efecto, que es bilineal surge de la propia definicin. Para ver que es simtrico,

sean v,w E. Consideremos, para cada F , la funcin auxiliar

g(x, y) = (f(p + xv+ yw)).

La funcin g : B k est definida en algn entorno abierto B de (0, 0) k k.Por hiptesis, existen Dg(0,0), D2g(0,0). EntoncesD2g(0,0) es una forma bilineal

simtrica. Esto nos dice que las derivadas cruzadas de g en el punto (0, 0) son

iguales

((D2fpw)v) =2g

yx=

2g

xy= ((D2fpv)w).

Como la identidad es cierta para cualquier F , se tiene la conclusin.En general, una funcin que tiene k diferenciales sucesivas en U E -y la

de orden k es una funcin continua- es una funcin Ck en U, y directamenteanotaremos f Ck(U); como antes, consideramos a Dkf como un operadormultilineal, es decir Dkfv Bk(Ek; F) para v E. Por lo recin observado, es unoperador multilineal simtrico.

Una funcin es C cuando sus diferenciales de todos los rdenes existen(tambin es usual decir que f es suave).

Observemos que si f B(E, F) entonces Df = f es constante, es decir paratodo v E se tiene Dfv = f. Luego todas las derivadas de orden superior sonnulas, D2f = D3f = = 0.

1.2.1. Operadores bilineales y cuadrticos

Dados E, F espacios de Banach, sea B2(E2; F) un operador bilineal. En-tonces el operador cuadrtico Q asociado a est dado por

Q(v) = (v, v)

1Gracias a Marcos Cossarini por hacerme notar este hecho


para todo v E. Observemos que Q(tv) = t2Q(v) para todo v E, t k.En general, dado n N, una funcin f : E F tal que f(tv) = tnf(v) para

todo t k, v E se dice homognea de grado n.La definicin de objeto cuadrtico que usaremos es la siguiente: diremos que

Q : E F es un operador cuadrtico si(v,w) := 1/2[Q(v +w) Q(v) Q(w)]

es bilineal. En particular Q(tv) = t2Q(v) para todo v B, t k, pero estacondicin no es suficiente. Es fcil ver queQ es continuo si y slo si es continuo,pues Q(v) = (v, v) para todo v E.Observacin 1.2.4. Todo operador cuadrtico continuo es acotado, es decir exis-

te una constante C 0 tal queQ(v) Cv2

para todo v E. Esto tiene una prueba directa: supongamos que Q es continua yno est acotada. Dado n N existe entonces vn E tal que Q(vn) > n2vn2.Como Q(0) = 0, debe ser vn 6= 0 para todo n. LuegoQ( vnnvn )

> 1para todo n. Como Q es continua, haciendo tender n a infinito se tiene una

contradiccin.

La conclusin de la observacin anterior tambin es consecuencia del siguienteresultado:

Lema 1.2.5. Si : E E F es bilineal y continua en cada variable porseparado, entonces existe C 0 tal que, para todo v,w E se tiene

(v,w) Cvw.En particular es continua.

Demostracin. Supongamos que x 7 y(x) := (x, y) (y E fijo) es un opera-dor acotado, y lo mismo ocurre con y 7 x(y) := (x, y), ahora con x E fijo.Consideremos la familia {x : x 1}. Entonces, para cada y E, se tiene

x(y) = (x, y) = y(x) Cyx Cy.Luego, por el principio de acotacin uniforme (Teorema 1.1.5), el conjunto {x :x 1} es acotado. Esto quiere decir que existe una constante C 0 tal que

supy1

x(y) = x C

1.3. Integracin 9

para todo x E tal que x 1. Esto nos dice que, para todo x, y tales quex 1 y y 1, se tiene (x, y) C. Usando la bilinealidad de se tienela conclusin.

Definiciones y consideraciones anlogas se tienen para formas cbicas, curti-cas, etc. es decir para formas que provienen de operadoresmultilineales simtricosde orden k N.

1.3. Integracin

Sea I = [a, b] R un intervalo, y f : I E una funcin. Diremos que f esuna funcin elemental si existe una particin de I en finitos intervalos disjuntosIj I y una coleccin de vectores {vj}j=1...n E tales que f|Ij = vj, es decir, si fes constante en cada intervalo de la particin. En ese caso definimos la integralde f sobre I como

I

f =

j=1...n

vj(Ij)

donde denota la medida usual en R.Diremos que una funcin f : I E es reglada si f es lmite uniforme de

funciones elementales, es decir si existe una sucesin de funciones elementalesfn : I E tales que, dado > 0, se tiene

fn fI := suptI

fn(t) f(t) < para todo n n0().

No es difcil probar que toda funcin continua f : I E es una funcin reglada.La integral de una funcin reglada se define como el lmite (en E) de las integrales

I

fn.

Este lmite no depende de la sucesin elegida para aproximar f.Una propiedad fundamental de la integral es la siguiente: si T B(E, F)

entonces

T

(I

f

)=

I

(T f).La verificacin es sencilla para funciones elementales, y luego se sigue de lacontinuidad de T la propiedad general.

Esta propiedad es particularmente til para reducir el problema a valoresreales o complejos si usamos funcionales del dual, es decir si usamos E =B(E, k) donde k = R o C segn el contexto. As, por ejemplo, si

I

( f) = 0

para toda E , se deduce por el teorema de Hahn-Banach que If = 0 E.


Observacin 1.3.1. Otra propiedad til es la siguiente. Sea f : [a, b] E regladay f(t) M, entonces

I

f I

f(t)dt (b a)M.

En efecto, esta propiedad es simplemente la desigualdad triangular cuando la

funcin es elemental, y se extiende a regladas tomando lmite.

1.4. Aproximaciones, acotaciones

Veamos algunos resultados tiles que combinan diferenciacin e integracin.

Definicin 1.4.1. Si E es un espacio vectorial, un conjunto C E es convexosi dados v,w C, entonces el segmento

tv+ (1 t)w, t [0, 1]

esta ntegramente contenido en C.

Proposicin 1.4.2 (Teorema del valor medio). Sean E, F espacios de Banach,

U E abierto convexo y f : U F una funcin C1. Dados x, y U,pongamos

M = maxt[0,1]

Dftx+(1t)y.

Entonces

f(x) f(y) Mx y.

Demostracin. Sea g(t) = f(tx+ (1 t)y), g : [0, 1] F. Observemos que g esen realidad C1 en un entorno abierto del intervalo [0, 1]. Entonces g : [0, 1] Fes una funcin continua, con lo cual es fcil ver que

g(1) g(0) =

10

g (t)dt.

Para convencernos, se puede considerar, dada F , la aplicacin real t 7(g(t)) para la cual vale claramente la propiedad, y como es arbitraria, se

tiene la propiedad enunciada para vectores de F (para ms detalles ver la prueba

del Teorema de Taylor a continuacin). Pasando en limpio

f(x) f(y) =

10

Dftx+(1t)y(x y)dt.

Usando la propiedad de la Observacin 1.3.1 tenemos la conclusin.

1.4. Aproximaciones, acotaciones 11

1.4.1. Frmula de Taylor

Recordemos que si f : E F es Ck y v E, pensamos a Dkfv (k N)como una forma multilineal simtrica. Para h E, usemos la notacin h(k) =(h, , h) Ek. Tenemos el siguiente teorema:

Teorema 1.4.3 (Frmula de Taylor). Sean E, F espacios de Banach, U Eun abierto convexo y f : U F una funcin Ck en U. Entonces dadosv, v + h U se tiene

f(v + h) = Pk(v, h) + Rkv(h),

donde Pk(v, h) es el polinomio de Taylor de grado k centrado en v y evaluado

en h dado por

Pk(v, h) = f(v) +Dfvh+ 1/2D2fvh

(2) + + 1(k 1)!

Dk1fvh(k1),

y la frmula del resto est dada por

Rkv(h) =1

(k 1)!

10

(1 t)k1Dkfv+thh(k) dt.

Demostracin. Por el teorema de Hahn-Banach, basta probar el teorema des-

pus de componer con cualquier funcional F , por la propiedad mencionadaen la Observacin 1.2.2. En ese caso el problema se reduce al Teorema de Taylor

aplicado a la funcin real g : [0, 1] R dada por g(t) = (f(v + th)), es decirg(1) = g(0) + g (0) + 1/2g (0) + + 1

(k 1)!g(k1)(0)

+1

(k 1)!

10

(1 t)k1g(k)(t)dt.

Definicin 1.4.4. Supongamos que f : U F es una funcin C. Entoncesdiremos que f es analtica en U, denotado f C(U) si para todo v U existeuna bola abierta B U centrada en v tal que

lmk

Rkv(h) = lmk

f(v+ h) Pk(v, h) = 0

para todo h B.


Observacin 1.4.5. Si Q : E F es un operador cuadrtico, se sigue que Q(v) =(v, v) para algn operador bilineal simtrico. Supongamos que Q es continuo,

entonces es continuo y por lo sealado en la Observacin 1.2.4, existe una

constante C 0 tal queQ(h)h = Q(h/h)h Ch

para todo h 6= 0. Entonces, como Q(x+ h) Q(x) 2(x, h) = Q(h) para todox, h E, se deduce que Q es diferenciable pues

Q(x+ h) Q(x) 2(x, h)h =

Q(h)h 0

cuando h 0.Observemos que la diferencial de Q es DQx = 2(x, ) que es en efecto un

operador acotado. Como la asignacin x 7 DQx = 2(x, ) es un operador linealy acotado, se deduce que Q es dos veces diferenciable con 1

2D2Qx = , es decir

D2Q es constante, con lo cual DnQ = 0 para todo n 3. Por ltimo, se deduceque para todo x E la expansin de Taylor de Q es simplemente su polinomiode orden 2, es decir

Q(x+ h) = Q(x) + 2(x, h) +Q(h)

para todo h E, lo que prueba que Q es C en E.Observacin 1.4.6. En general, dado un operador P Bk(Ek; F) (es decir P esmultilineal, simtrico y continuo de grado k), diremos que P es un polinomio

homogneo de grado k en el espacio de Banach E. Y un polinomio en E es una

suma finita de polinomios homogneos, posiblemente de distintos grados. En-

tonces el Teorema de Taylor se puede pensar como un teorema de aproximacin

de funciones por polinomios, y una funcin es analtica cuando es (localmente)

lmite de polinomios.

Lema 1.4.7. Sea f : E F dos veces diferenciable, y homognea de grado2, es decir f(tv) = t2f(v) para todo v E, t k. Entonces f es un operadorcuadrtico.

Demostracin. Sea v E. Como f(tv) = t2f(v), diferenciando respecto de ttenemos, por la regla de la cadena, Dftv((tv) ) = 2tf(v), es decir Dftv(v) =2tf(v). Diferenciando nuevamente respecto de t se tiene(

D2ftvv)(v) = 2f(v).

1.5. Funciones Inversa e Implcita 13

Evaluando en t = 0 se deduce que

f(v) = 1/2(D2f0v)(v)

lo que prueba que f proviene del operador bilineal (y simtrico) dado por

(v,w) = 1/4[(D2f0v)(w) + (D

2f0w)(v)]= 1/2D

2f0(v,w),

donde la ltima identidad se debe a que por existir D2f0, es simtrico.

Observacin 1.4.8. Obviamente el lema se generaliza para todo k N de maneranatural, luego un polinomio homogneo continuo de grado k est dado por una

funcin homognea f : E F de grado k -o sea f(tv) = tkf(v)- que es k vecesdiferenciable.

Todas estas definiciones se pueden localizar de la siguiente manera: supon-

gamos que f : U E F con U abierto y quef(tv) = tkf(v)

para t R suficientemente pequeo, v U. Entonces f coincide en algnentorno de 0 E con un polinomio homogneo continuo.

1.5. Funciones Inversa e Implcita

Los teoremas que vamos a enunciar en esta seccin son esencialmente ver-siones sin coordenadas de los teoremas clsicos, por lo tanto las pruebas lasomitimos (se pueden ver en la seccin [I, 5] del libro de Lang [47]).

1.5.1. Funcin Inversa

Salvo que se aclare lo contrario, un isomorfismo T : E F entre espacios deBanach es un operador T B(E, F) biyectivo y bicontinuo. En realidad -siempreque el dominio de T sea todo E- slo hace falta chequear que sea acotado ybiyectivo, pues el Teorema de la funcin abierta (Teorema 1.1.2) nos garantizaque la inversa ser continua.

Teorema 1.5.1 (Teorema de la funcin inversa). Sean E, F espacios de Ba-

nach, U E abierto y f : U F una funcin Ck, con k 1. Supongamosque para algn punto v U se tiene que Dfv : E F es un isomorfismo deespacios de Banach.

Entonces f es un isomorfismo local de clase Ck alrededor de v. Es decir,

existen abiertos A U E y B F entornos de v y f(v) respectivamente,tales que f|A : A B es un difeomorfismo de clase Ck.


Observacin 1.5.2. Con la notacin del teorema previo,

En particular, Dfx es inversible para todo x A, es ms si f1 : B Adenota la inversa de f|A, entonces por la regla de la cadena

(Dfx)1 = Df1f(x)

para todo x A.

El teorema no dice que tan grandes son los abiertosA,B pero esto en ciertos

casos se puede estimar si uno conoce explcitamente Df (ver el Lema 5.4

en [I,5] del libro de Lang [47]).

1.5.2. Funcin Implcita

Diremos que un subespacio cerrado F1 F de un espacio de Banach F partea F si existe otro subespacio cerrado F2 F tal que

F = F1 F2.

En ese caso diremos que F se parte.

Teorema 1.5.3 (Teorema de la funcin implcita). Sean E, F espacios de Ba-

nach, U E abierto y f : U F de clase Ck, k 1. Supongamos queexiste v U y un subespacio F1 que parte a F, tales que Dfv : E F1 es unisomorfismo y f(v) = 0.

Entonces existe un isomorfismo local g : F F1 F2 de clase Ck (al-rededor de 0 F) y abiertos A U, B F1 que contienen a v y (g f)(v)respectivamente, tales que g f|A : A B es un isomorfismo de clase Ck.Observacin 1.5.4. Una hiptesis relevante del teorema es el hecho de que la

imagen F1 de Dfv parte al espacio total. Esto est garantizado en dimensin

finita, y tambin por ejemplo si F1 es un subespacio cerrado de un espacio de

Hilbert. Como veremos ms adelante, en muchos casos no es tan sencillo garan-

tizar esta condicin (ver tambin el Teorema 1.5.8). Enunciamos a continuacin

otras versiones tiles del teorema.

Dado un producto A B llamaremos pr1 : A B A a la proyeccin a laprimera coordenada, anlogamente definimos pr2. Si Vi (i = 1, 2) son abiertos enespacios de Banach, diremos que g : V1V2 F es una proyeccin si existe un

1.5. Funciones Inversa e Implcita 15

difeomorfismo k de V1 en un abierto de F, k : V1 k(V1) F tal que g = kpr1.Esto es

V1 V2g

pr1 // V1

kzzvv

vvvvvvvv

F

Corolario 1.5.5 (Teorema de la funcin implcita v2). Sea U E abierto yv U. Supongamos que f : U F es una funcin Ck (k 1) tal que Dfv esun epimorfismo y su ncleo parte a E.

Entonces existen: un abierto U0 U que contiene a v, abiertos V1, V2en espacios de Banach, y un difeomorfismo de clase Ck, h : V1 V2 U0,tales que f h es una proyeccin.

El teorema de la funcin implcita se puede reformular si ya asumimos alespacio de salida partido como un producto de espacios de Banach, para poderpensar (al menos localmente) a la superficie de nivel de una funcin f(x, y) = ctecomo grfico de otra funcin g, es decir que

{(x, y) : f(x, y) = c} = Gr(g) = {(x, g(x))}

al menos localmente. Para escribir esto con precisin, necesitamos hacer algunasaclaraciones: si E, F,G son espacios de Banach y f : E F G es diferenciable,podemos considerar las derivadas parciales de la manera usual, es decir:

Para w F fijo, consideramos la funcin f1 : E G dada por f1(x) =f(x,w). Entonces esta funcin es diferenciable y a su diferencial en v Ela denotamos D1f(v,w).

Para v E fijo, consideramos la funcin f2 : F G dada por f2(y) =f(v, y). Entonces esta funcin es diferenciable y a su diferencial en w Fla denotamos D2f(v,w).

Lema 1.5.6. Sean U E, V F abiertos. Entonces f : U V G es declase Ck en UV, con k 1, si y slo si existen las dos derivadas parcialesD1f,D2f y son de clase Ck1.

Demostracin. Cambiando f por Dk1f basta probar el resultado para k = 1.

Si f es C1, entonces f1, f2 son C1 con lo cual Dif = Dfi son continuas para

i = 1, 2. Recprocamente, si Dif existen y son continuas, basta probar que f es

diferenciable y que

Df(p,q)(v,w) = D1f(p,q)v+D2f(p,q)w, (1.2)


para todo (p, q) U V , (v,w) E F. Esto es porque en ese caso est claroque Df es continua por ser una suma y composicin de funciones continuas, es

decir

Df = D1f pr1 +D2f pr2.Para ver que vale (1.2), tenemos el candidato a Df; escribimos la diferencia

f(p+ v, q+w) f(p, q) [D1f(p,q)v+D2f(p,q)w].

Separamos en dos trminos, sumando y restando f(p, q+w), D1f(p,q+w)v; por

ejemplo el primer trmino queda, acotando

f(p+ v, q+w) f(p, q+w)D1f(p, q+w)v+ [D1f(p,q+w)D1f(p,q)]v

Observando que (v,w) = v+ w v, el primer trmino tiende a cero aldividirlo por (v,w) por la existencia de D1f, y el segundo por la continuidadde D1f. La parte que queda involucra D2f y es similar.

Corolario 1.5.7 (Teorema de la funcin implcita v3). Sean E, F,G espacios

de Banach, U E, V F abiertos, f : UV G una funcin Ck con k 1.Sean (v,w) U V y z G tales que f(v,w) = z y supongamos que

D2f(v,w) : F Ges un isomorfismo de espacios de Banach.

Entonces existen: un abierto U0 U entorno de v y una (nica) funcing : U0 V de clase Ck con g(v) = w tales que

f(x, g(x)) = z

para todo x U0, y esta funcin g parametriza el conjunto {(x, y) : f(x, y) =z} U V en algn entorno abierto de (v,w).

1.5.2.1. Subespacios sin suplemento

Mencionamos aqu un resultado reciente (2009) concerniente a teoremas dela funcin implcita sin suplementos, que puede encontrarse en el trabajo [3] deJinpeng An y Karl-Hermann Neeb.

Teorema 1.5.8. Sean E, F,G espacios de Banach, U E, V F entornosabiertos del cero. Sean f : U V, g : V G funciones C1. Supongamos que

1.A. Problemas 17

f(0) = 0, g(0) = 0,

g f 0,ranDf0 = kerDg0,

ranDg0 G es un subespacio cerrado.Entonces existe un entorno W V, alrededor de 0 en F, tal que

g1(0) W = f(U) W.

Observacin 1.5.9. El teorema no pide que el rango de Dg0 parta a F, pero si

pide que sea un subespacio cerrado. Por otra parte, se deduce del teorema que

f : f1(f(U) W) U g1(0) Wparametriza localmente la superficie de nivel N = g1(0) V .

1.A. Problemas

1.I. Probar que si F es un espacio de Banach y E es un espacio normado, entoncesB(E, F) es un espacio de Banach.1.II. Dados p, q [1,+] tales que 1/p + 1/q = 1, y Tr : Mn(C) C la trazausual, se define la norma p de matrices como

Ap = Tr((AA)p/2)1/p.Probar la desigualdad de Hlder:

|Tr(AB)| Tr|AB| ApBqdonde A,B Mn(C).1.III. Dado 1 p


Sean x, y C y p 2, probar la siguientes desigualdades(|x + y|p + |x y|p)1/p (|x+ y|2 + |x y|2)1/2

21/2{2(p2)/p((|x|p + |y|p)2/p)}1/2= 21/q(|x|p + |y|p)1/p (1.3)

donde 1p+ 1

q= 1 (considerar las desigualdades de Jensen y Hlder).

Sean x, y C y 1 < p 2, la idea de este ejercicio es probar que:|x+ y|q + |x y|q 2(|x|p + |y|p)q1 (1.4)

Probar que (1.4) se reduce a

|1+ c|q + |1 c|q 2(1+ |c|p)q1 (1.5)con |c| 1.

Considerando c = ei, mostrar que es suficiente considerar = 0,es decir 0 c 1. Adems como (1.5) es trivial para c = 0 y c = 1,slo es necesario considerar 0 < c < 1.

Mediante la transformacin c = 1z1+z

con 0 < z < 1, reducir (1.5) a

S = 1/2[(1+ z)p + (1 z)p] (1+ zq)p1 0.

Expandiendo cada trmino de S en su serie de Taylor, probar que:

S =

k=1

(2 p)(3 p) . . . (2k p)

(2k 1)!z2kf(z, k, p)

donde

f(z, k, p) =

[1 z(2kp)/(p1)

(2k p)/(p 1)1 z2k/(p1)

2k/(p 1)

].

Usando que la funcin (1 zt)/t, para t > 0 y 0 < z < 1 es nodecreciente como funcin de t, establecer la desigualdad (1.5).

Probar las desigualdades de Clarkson: si x, y lp con p > 1 entoncesx+ ypp + x ypp 2p1(xpp + ypp), si p 2, (1.6)

x+ yqp + x yqp 2(xpp + ypp)q1, si 1 < p 2. (1.7)Sugerencia: Utilizar (1.3), (1.4) y la desigualdad de Minkowski

(

Asi )1/s + (

Bsi )

1/s (

(Ai + Bi)s)1/s

para Ai, Bi 0 y 0 < s = pq 1.

1.A. Problemas 19

1.V. Un espacio de Banach (X, .) se dice uniformemente convexo si para cada > 0, existe () > 0 tal que

x = y = 1, x y

implican 1/2 x+ y 1(). Probar que lp es uniformemente convexo si p > 1y estimar () en trminos de p.

1.VI. Probar que (Mn(C), p) es uniformemente convexo para 1 < p


1.XVI. Probar que si f : I E es reglada y T B(E, F), entoncesT

(I

f

)=

I

(T f).

1.XVII. Sea f : U E F analtica (Definicin 1.4.4). Sea p U, B = BR(0) demanera que Pk(p, v) f(p + v) puntualmente para todo v B.

Dado v B, considerando F y g(z) = (f(p + zv)) probar que g esuna funcin analtica en el sentido usual para |z| < 1+ R v, y calcularla serie de g alrededor de z = 0.

Probar que Pk converge uniformemente a f en p+ B.

1.XVIII. Sea A Mn(C), probar que las siguientes funciones son analticas:Inv : U Mn(C) Mn(C) dada por Inv(A) = A1 = n0(1 A)n,donde U = {A : A 1 < 1}.log : U Mn(C)Mn(C) dada por log(A) =n0 (1)n+1/n (A 1)n.exp : Mn(C)Mn(C) dada por exp(A) = eA =n0 1/n! An.

Probar que exp log = idU, log exp = id.1.XIX. Probar el Teorema de la funcin implcita v3 (Teorema 1.5.7).

Captulo 2

Variedades Diferenciables

He decidido en primer lugar, abocarme a

la tarea de construir la nocin de una

magnitud mltiplemente extendida, a

partir de nociones generales de magnitud.

Bernhard Riemann

P

resentamos en este captulo las nociones bsicas de variedades mo-deladas por espacios de Banach. Haremos uso de las herramientasdel clculo diferencial e integral introducidas en el captulo previo.

Tambin presentamos un breve repaso de grupos de Lie-Banach y sus espacioshomogneos, incluyendo algunos resultados recientes para espacios de dimensininfinita. El captulo concluye con una rpida presentacin de los grupos clsicosde matrices y sus espacios homogneos.

2.1. Cartas y Atlas

Dado un espacio de Banach fijo E y un espacio topolgico M, supongamosque tenemos una coleccin de abiertos U M que lo recubren, y una coleccinde mapas : U E de manera que (U) E es abierto y : U (U)es un homeomorfismo. Los pares (U,) se denominan cartas de M, y diremosque M es una variedad topolgica modelada por E si se verifica la condicinde compatibilidad siguiente: si (V,) es cualquier otra carta de M, entonces lafuncin de transicin 1 : E E es continua donde est definida,

1 : (U V) E E.Un atlas es una coleccin de cartas compatibles que cubre todo M.

21

22 Variedades Diferenciables

Observacin 2.1.1. Algunas veces es conveniente olvidar la topologa inicial de

M y dotar al espacio de una topologa usando las cartas, es decir, si tenemos un

cubrimiento del conjunto M por conjuntos U y funciones inyectivas tales que

(U) E es un conjunto abierto, entonces decretamos que los U son abiertos enM y esto induce una topologa all (esto tiene sentido siempre que las funciones

de transicin sean todas continuas).

Un ejemplo sencillo de la diferencia entre las topologas que puede obtenerse

es el dado por la Lemniscata en el plano R2: con la topologa de subespacio esun conjunto compacto, mientras que con la topologa que se le da al identificarlo

con la recta R mediante una nica carta, claramente es no compacto.

Definicin 2.1.2. Sea () alguna de las siguentes categoras:1. diferenciable,

2. Ck,

3. C o suave,

4. C o analtica.

Diremos que la variedad M es () si las funciones de transicin son (). Si N esotra variedad modelada por un espacio de Banach F, diremos que una funcin

f : M N entre variedades diferenciables es () si para todo par de cartas(U,), (U , ) de M y N respectivamente, la funcin f 1 : E F es ()en el abierto (U) E.

2.2. Espacio y Fibrado tangente

En esta seccin discutimos algunas maneras de presentar el fibrado tangentea una variedad diferenciable, y como las aplicaciones suaves entre variedadesinducen morfismos de los fibrados.

2.2.1. Espacio tangente

Dada una variedad diferenciable, el espacio tangente TpM en p M sepuede pensar de varias maneras equivalentes. Una bastante til para nuestrospropsitos es la siguiente: consideremos ternas (U,, v) donde (U,) es unacarta de M alrededor de p M y v E. Dos ternas (U,, v), (V, ,w) sonequivalentes en p M si

D( 1)

(p)v = w.

2.2. Espacio y Fibrado tangente 23

Esto define una relacin de equivalencia en aquellas ternas donde el abiertocontiene al punto p M, y las clases son los elementos de TpM. Si [(U,, v)]p TpM denota una clase, la aplicacin

: [(U,, v)]p 7 ves una biyeccin, que permite identificar TpM con el espacio de Banach E. Dadaun curva : (, )M diferenciable definida en algn entorno de 0 R, talque (0) = p, podemos calcular su velocidad en p usando una carta cualquiera(U,) alrededor de p, es decir

(0) := ( ) (0)

es la velocidad de en p. Por supuesto que muchas curvas pueden tener lamisma velocidad con lo cual tenemos que hacer una identificacin, diremos que(0), (0) representan el mismo vector tangente v TpM si (0) = (0) = p M y adems

( ) (0) = ( ) (0)para alguna de carta (U,) alrededor de p M. Esto define una relacin deequivalencia entre curvas que pasan por p, y de hecho la relacin no depende dela carta elegida. Para convencernos, sea (V, ) otra carta alrededor de p M, yobservemos que

( ) (0) = ( 1 ) (0) = D( 1)(p)( ) (0).

Suponiendo que y son equivalentes, reemplazando el ltimo trmino de laderecha por ( ) (0) y volviendo a agrupar se tiene

( ) (0) = ( ) (0).

El espacio tangente se puede pensar como el cociente por esta relacin, perocomo veremos, en los ejemplos usaremos una curva concreta. A la clase de unacurva la denotamos con []p. Observemos que, si ponemos

(s) = (t+ s)

esta es una curva enM para s suficientemente pequeo, que verifica (0) = (t);la clase de la denotamos [](t).

2.2.2. Fibrado tangente

Para definir el fibrado tangente conviene introducir algunas nociones genera-les, comenzando por fibrados.


2.2.2.1. Fibrados

Definicin 2.2.1. Un fibrado sobre una variedad diferenciable M consiste en

una terna (X,M,pi) dado por variedades diferenciables X,M y una funcin dife-

renciable pi : XM tal que, para cada p M,existe un entorno abierto U de p

existe una variedad diferenciable Z, y un difeomorfismo h : pi1(U) U Z, tales que pi = pr1 h.

Es decir, localmente pi es una proyeccin (haciendo honor a su nombre):

X

pi

h // U Z

pr1{{xxxxxxxx

M, o ms precisamente:

pi1(U)

pi

h // U Z

pr1yytt

tttttttt

M

2.2.2.2. Fibrados vectoriales

Con algunas especificaciones ms, donde el espacio X sea localmente trivia-lizable con un espacio de Banach fijo E, obtenemos un fibrado vectorial. Msprecisamente, sea E un espacio de Banach, entonces el fibrado (X,M,pi) es unfibrado vectorial, si existen

{Ui}iI cubrimiento por abiertos de M,

para cada i I hay una difeomorfismo i : pi1(Ui) Ui E tal quepi = pr1i, y en particular para cada p M, si llamamos ip := i|pi1(p),entonces

ip : pi1(p) E

es un isomorfismo,

para cada par i, j I, para cada p M, la funcin

jp 1ip : E Ees un isomorfismo de espacios de Banach (es decir es lineal, continua ybiyectiva),

para cada par i, j I, la funcin

Ui Uj 3 p 7 jp 1ip B(E)es diferenciable.

2.2. Espacio y Fibrado tangente 25

Las funciones i se denominan trivializaciones del fibrado, y la familia {(Ui, i)}es un cubrimiento trivializador. Las funciones jip := jp 1ip se llamanfunciones de transicin del fibrado. Una seccin s : M X del fibrado esuna funcin tal que pi s = idM.

2.2.2.3. Fibrado Tangente

En esta seccin pegamos los espacios tangentes usando la nocin de fibrado.

Definicin 2.2.2. Dada M una variedad diferenciable modelada por el espacio

de Banach E, definimos TM como la unin disjunta de todos los espacios tangen-

tes de M, y sea pi : TM M la proyeccin natural que asigna p M al vectorv TpM. Entonces (TM,M,pi) es un fibrado vectorial, el fibrado tangente deM, usualmente denotado simplemente TM. Se denota TU a la restriccin de este

fibrado a la preimagen pi1(U) de un abierto U M.Ms concretamente, sea TM = unionsqpMTpM y sea pi : TM M la proyeccin

cannica que a un elemento []p TpM lo manda al punto p M. Consideremos(Ui, i) un cubrimiento de M por cartas, pongamos

TUi = pi1(Ui) = unionsqpUiTpM

y consideramos la funcin i : pi1(Ui) Ui E dada pori : []p 7 (p, (i ) (0)).

Observemos que i es diferenciable puesto que Ui E tiene una carta globali idE que identifica

Ui E ' i(Ui) E E E,y en esta carta se tiene

(i idE) i([]p) = (i(p), (i ) (0)).Luego si (Uj, j) es otra carta y q Ui Uj, denotemos

ji := j 1i : i(Ui Uj) j(Ui Uj).En la presentacin con cartas de T(Ui Uj) se tiene

ji(x, v) = (ji(x), (Dji)xv)

para x i(Ui Uj), v E. Como x 7 (Dji)x es de clase Ck1 (suponiendoque la variedad sea Ck con k 1), se deduce que TM es una variedad de claseCk1.


2.2.3. Diferencial de una funcin

Dada una funcin diferenciable f : M N entre variedades, denotaremosf : TM TN

a la aplicacin que, si (U,) y (V, ) son cartas de M y N respectivamente,localmente est dada, para x (U) y v E ' TpM, por

f(x, v) = ( f 1(x), D( f 1)

xv),

que nuevamente es de clase Ck1 siempre que M,N, f sean de clase Ck (conk 1).

Pensando en trminos de clases de curvas, hay una manera til de presentarf que es la siguiente: si []p TpM es una clase con un representante : IMtal que (0) = p, entonces f : I N es una curva que pasa por f(p), y no esdifcil ver que

fp([]p) = [f ]f(p).Entonces en general, si nos restringimos a una carta (U,) de M, tenemos

la carta de TU dada por

= : []p 7 ((p), ( ) (0)),que da la identificacin TU ' U E ' (U)E. Es habitual decir entonces queun elemento de TU es sencillamente un par ordenado (x, v) con x (U) E yv E libre, y la proyeccin cannica en esta presentacin es simplemente pr1,es decir pi(x, v) = x.

2.3. Curvas

Si : I M es una curva Ck con I R abierto, se la puede pensar comouna curva entre variedades (el fibrado tangente a I se identifica naturalmentecon I R). La diferencial : TI = I R TM es una aplicacin Ck1.2.3.1. Levantadas de una curva

A la diferencial de una curva dada M, es conveniente pensarla como otracurva, pero a valores en TM, de la siguiente manera: el fibrado pi : I R Itiene una seccin cannica i dada por i(t) = (t, 1). Entonces definimos

:= i : I TM

2.4. Subvariedades 27

que es la levantada cannica de , que verifica pi = ,

I R // TMpi

I

i

OO

//

;;

ww

ww

ww

ww

w

M

Esta es una curva Ck1 a valores en TM. Notemos que en una carta local (U,)de M, la expresin para es

(t) = (( )(t), (t)),

donde (t) denota el vector de E dado por () (t). En general, una levantadade : IM es una curva : I TM, de clase Ck1 tal que pi = .2.4. Subvariedades

Supongamos que M es una variedad Ck modelada por el espacio de BanachE, y que este espacio se descompone como E = F1F2 con Fi espacios de Banach.

Sea N M un subconjunto, y supongamos que para cada n N hay unacarta (U,) de M que induce un isomorfismo de U con un producto de abiertosA1 A2 F1 F2, de manera tal que

(U N) = A1 {a2}

para algn punto a2 A2. Llamemos N = pr1 , entonces (U N,N) espor definicin una carta de N, N(U N) = A1 es un abierto de F1. No esdifcil ver que un cubrimiento de cartas de este tipo induce en N una estructuradiferenciable. Diremos que N M es una subvariedad regular, que tiene latopologa heredada de M como subespacio.

En general no es sencillo garantizar esta construccin, incluso en el casofinito dimensional (sin mencionar que en dimensin infinita puede ocurrir queun subespacio F1 no parta a E). Un ejemplo molesto ocurre en el caso de lalemniscata, donde ningn entorno de X = (0, 0) se puede identificar con R.

Otro ejemplo es el grupo a un parmetro con pendiente irracional en el toro,que tiene estructura de variedad diferenciable por ser difeomorfo con R, pero noes una subvariedad regular del toro. Especficamente, identificamos el toro con


S1S1 y consideramos la subvariedadW parametrizada como t 7 (eipit, eipit)para t R y R irracional fijo. Es fcil ver que W T es densa, con locual cualquier abierto de T , al cortarlo con W, nos devuelve infinitos segmentos.Dicho de otra forma, no hay manera de obtener el abierto A W que viene delintervalo (0, 1) en R, como interseccin de un abierto del toro con W.

Dos criterios tiles para decidir si N M es una subvariedad son los siguien-tes:

Proposicin 2.4.1. Sea f : M Z una funcin Ck (k 1) entre variedadesdiferenciables. Supongamos que f es una sumersin, es decir para todo p M, se tiene que fp : TpM Tf(p)Z es un epimorfismo y el ncleo ker fpparte a TpM.

Entonces, si z0 Z y N = f1(z0) M, con la topologa de subespacio, setiene que N es una subvariedad cerrada de M de clase Ck, con TpN ' ker fppara todo p N.

Demostracin. Que N es cerrado es trivial, supongamos que es no vaco. Dado

p N, si el espacio de Banach que modela M es E, tomamos una carta (U, )de M tal que (p) = 0 E, y llamamos U = (U) E. Tomemos ahora otracarta (W,) de Z tal que (z0) = 0 F. Tenemos por hiptesis que, para cadap N, f = f 1 : U F es una aplicacin Ck entre espacios de Banach,cuya diferencial es sobreyectiva y el ncleo parte a E, es decir

F kerDf0 ' E.

Por el Teorema de la Funcin Implcita v2 (Corolario 1.5.5), existe (achicando U

si fuese necesario) un difeomorfismo de clase Ck, h : V1V2 U con V1 abiertode F, V2 abierto del ncleo de Df0, y f h = pr1. Tomemos = h1 queresulta una carta deM con dominio U tal que f1 = pr1. Por construccin,(U) = V1 V2, pero adems como f 1(0, y) = 0, se deduce que

(U N) = 0 V2,

lo que prueba que N es subvariedad. Por ltimo, observemos que en esta presen-

tacin TpN ' 0 kerDf0, con lo cual se termina la prueba.La utilidad de este criterio se termina cuando no podemos hallar un suple-

mento para el ncleo de f. Sin embargo, en dimensin finita, en espacios deHilbert, y en ejemplos puntuales de espacios de Banach, es utilizable.

El prximo criterio es todava ms dbil, pues an en dimensin finita nopermite probar que un subconjunto es una subvariedad regular. La prueba laomitimos, queda como ejercicio.


Proposicin 2.4.2. Sea f : X Y una funcin Ck entre variedades, ysupongamos que f es una inmersin, es decir fp : TpX Tf(p)Y tiene rangocerrado que se parte.

Entonces para cada p X existe un abierto U X entorno de p y unabierto V Y entorno de f(p) tales que

f(U) es una subvariedad cerrada de Y.

f|U : U f(U) es un Ck difeomorfismo.El resultado parece muy lindo pero la clave de su inutilidad est en la loca-

lizacin de la conclusin. Es decir, no dice que f(X) Y es una subvariedad. Yla razn es muy simple: en general es falso aunque se verifiquen las hiptesis dela proposicin. Una vez ms recurrimos a la lemniscata y/o a la curva densa enel toro.

Localmente, la imagen de la parametrizacin, en pedazos pequeos, es unasubvariedad, en cualquiera de los dos casos. Pero si tomamos un abierto delespacio ms grande que sea entorno del punto de interseccin, y lo cortamos conla imagen de la parametrizacin, no conseguimos una carta de la subvariedad.

Hecha esta aclaracin, si uno puede probar de alguna otra forma que Z Y esuna subvariedad topolgica, el teorema previo da una forma de darle estructuradiferenciable compatible con la deM: hay que encontrar el espacio X y la funcinf : X Y tal que f(X) = Z, que verifique las hiptesis del teorema.

Volveremos a tocar el tema de estructuras diferenciables y subvariedadesregulares cuando estudiemos espacios homogneos de grupos de Lie-Banach, enla Seccin 3.3. De particular inters es un criterio para estudiar cuando un espaciohomogneo G/K X es subvariedad de X, que presentamos en el Lema 3.3.6.

2.4.1. Subvariedades no regulares

Observemos que la definicin de subvariedad regular es demasiado estrictapara espacios de Banach. Si un subespacio E F de un espacio de Banachno tiene suplemento topolgico, entonces no ser subvariedad regular. Podemosrelajar esta condicin para que si lo sea, y pedir nicamente (si E es el espaciode Banach que modela M y N M es un subespacio topolgico) que existaun subespacio cerrado F E tal que para todo punto p N exista una carta


(U,) de M que contenga a p tal que (U N) sea un abierto de F. A estasvariedades, que tienen la topologa de subespacio, las llamaremos subvariedadesembebidas. En este caso, el problema es encontrar buenos criterios que permitanprobar la existencia de una estructura de subvariedad, ya que el teorema de lafuncin inversa y sus derivados requieren -segn discutimos- de la existencia desuplementos lineales para ncleos o imgenes de las diferenciales de las funcionesinvolucradas. Un corolario no trivial del Teorema 1.5.8 de la funcin implcitade Ann y Neeb que se halla en el mismo trabajo [3] es el siguiente:

Teorema 2.4.3. Sea f : M Z una funcin Ck, k 1 entre variedadesdiferenciables, y dado z0 Z pongamos

N = f1(z0).

Supongamos que

Dfp es un epimorfismo para cada p N.

Existe un espacio de Banach E de manera que para todo punto p N,existe un entorno abierto Up E del cero y una funcin Ck, gp :Up N M, de manera que gp(0) = p, (Dgp)0 es un monomorfismoy ran(Dgp)0 = kerDfp.

Entonces N tiene una estructura de variedad diferenciable modelada por

E ' kerDfp, que la hace una subvariedad embebida de M.

2.4.2. Subvariedades de un espacio de Banach

Cuando M F con F un espacio de Banach, podemos presentar de formaconcreta la estructura de subvariedad, las curvas, los espacios tangentes, loscampos y otros objetos que introduciremos luego.

Como la inclusin i : M F es una funcin de clase Ck, podemos usar lasinversas de las cartas (U,) de M, que por definicin son aplicaciones de claseCk, := i 1 : W F con W E abierto en el espacio de Banach E quemodela M. Son inyectivas y con diferencial Dx inyectiva en cada x W, cuyorango es un subespacio cerrado de F que identificamos con T(x)M de la siguientemanera

[(U,, v)]p 7 Dxv,o equivalentemente si (t) = (tv) es una curva en M con (0) = p, identifica-mos

[]p 7 v.


Es necesario para ser subvariedad embebida que todo punto p M tenga algunabola abierta U F de manera que U M est parametrizado por alguna carta(W,). En el caso ms restrictivo de subvariedad, necesitamos que el rango deDx se parta en F.

Supongamos queM se presenta como superficie de nivel de una funcin suaveg, es decir: sean F,G espacios de Banach y sea g : F G una funcin Ck (k 2),consideremos el subconjunto

M = {v F : g(v) = 0}.

Suponemos que para cada p M, Dgp es un epimorfismo, y el espacio tangenteTpM se identifica con el subespacio cerrado kerDgp F, que a su vez se identificacon el espacio de Banach E que modela M. Esto ocurre por ejemplo si Dgp esun epimorfismo con ncleo que se parte para todo p M. En esta presentacin,si : W E F es una parametrizacin local de M (la inversa de una carta),se tiene g = 0 con lo cual

Dg(x)Dx = 0

para todo x W.Observacin 2.4.4. Dada una curva : IM F, est claro que (0) TpMcuando (0) = p, pero en general no es cierto que (0) TpM.

Un problema similar ocurre con la diferencial de una funcin X : M TM,que en este caso concreto se puede pensar como una aplicacin X : W E Ftal que X(x) T(x)M para todo p W; hay que pensar dnde yace Xpv paracada v E. Estos problemas los retomaremos en la seccin de derivada de Lie yluego cuando introduzcamos el segundo fibrado tangente TTM = T(TM).

2.4.2.1. La esfera de un espacio de Hilbert

En este texto, denotaremos con H a un espacio de Hilbert separable, a suproducto interno con , , y con a la norma asociada. En caso de que ladimensin de H sea finita, identificaremos H = Cn.

Para simplificar la discusin de esta seccin, supongamos que H es real.Consideremos S H la esfera unitaria,

S = {v H : v2 = 1},

con lo cual S es una superficie de nivel de la funcin analtica H(v) = v2,H : H R, cuya diferencial est dada por

DHp = 2p,


y su diferencial segunda es -constantemente- la forma bilineal simtrica

D2Hp = 2, .Observemos que la diferencial primera DHp : H R es un epimorfismo paracada p S, y adems que kerDHp = span(p) es un hiperplano cerrado, conlo cual es un subespacio que se parte (un suplemento natural es span(p) H).Luego S H es una subvariedad de codimensin 1 en H, con

TpS = span(p)

para todo p S. Estos subespacios se identifican todos, es decir, para p, q Sse tiene

E := TpS ' H/span(p) ' TqS ' H/span(q).Si el espacio de Hilbert es complejo, la funcional que se obtiene es la parte real delproducto interno, es decir DHp = 2Rep, , y se puede hacer un razonamientoanlogo.

2.5. Campos

Un campo vectorial en M es una funcin diferenciable X : M TM quees una seccin del fibrado en el sentido siguiente: X(p) TpM. Resumiendo,si pi : TM M es la aplicacin al punto base, entonces un campo verificapi X = idM.

Dado un campo cualquiera X y un punto p M, tiene sentido plantearse elproblema de hallar una curva : (a, b)M tal que{

(t) = X((t))(0) = p .

Esta es una ecuacin que se traduce usando cartas a una ecuacin diferencialordinaria en el espacio de Banach E. Suponiendo que X es Ck con k 1 (y queM es Ck+1 para que TM sea Ck y tenga sentido la definicin para X), la ecuacintiene, para cada p M, una solucin p : Ip M definida en algn intervalomaximal alrededor de 0 R.

Si ponemos Ip = (tp , t+p ), donde permitimos que t

+ = + y t = ,llamemos D(X) RM al dominio abierto

(t, p) tales que tp < t < t+p .

Entonces el flujo del campo X es la funcin : D(X)M que para cada p Mda la solucin de la ecuacin diferencial, es decir

(t, p) = p(t).

2.5. Campos 33

Este flujo es una funcin de clase Ck (k 1) siempre que X lo sea. La prueba deesto y de que D(X) es abierto puede verse en el Teorema 2.6 de la seccin [IV,2]del libro de Lang [47]. Tambin puede probarse que D(X) = R M cuandoM es compacta, pero no vale el resultado recproco (ver el Corolario 2.4 y laProposicin 2.5 de [47, IV,2]).

Si denotamos t(q) = (t, q), observemos que 0 = idM, luego si t essuficientemente peqeo t ser un difeomorfismo con su imagen, pero con pre-caucin porque el dominio de t no es en general todo M. Con precisin, setiene el siguiente resultado, cuya demostracin dejamos como ejercicio.

Proposicin 2.5.1. Fijado p0 M, si t es suficientemente pequeo (esdecir, si t Ip0), entonces existe un entorno abierto U M de p0 tal quet Ip para todo p U, y adems

t : p 7 (t, p)es un isomorfismo de U con un entorno abierto de (t, p0). Adems, dado

t R, si ponemos Dt(X) como el conjunto de puntos de M tales que (t, p) D(X), entonces Dt(X) es un abierto de M y

t(Dt(X)) = Dt(X) y 1t = t,

t+s = s t donde estn definidos (s, t R).

2.5.1. Corchetes de Lie

Dada M variedad Ck+1 y X, Y : M TM campos Ck, estos permiten definirun nuevo campo [X, Y], de clase Ck1, con las siguientes propiedades:

[X, Y] = [Y, X]

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X, Y]] = 0 (identidad de Jacobi).

El corchete [X, Y] tiene el sentido de derivada direccional de Y a lo largo de X-o al revs, salvo un signo-. Uno estara tentado de definir la derivada direccionalde Y a lo largo de X como

p 7 (Yp)(Xp)pero observemos que Y : M TM, entonces Yp : TpM TY(p)TM, con lo cualYp(Xp) no es un vector tangente en p M.


2.5.1.1. El corchete de Lie de campos en la esfera

Este problema que parece puramente formal, se entiende mejor cuando unopiensa en subvariedades de un espacio de Banach. Empecemos con un ejemploconcreto, a saber la esfera unitaria S de un espacio de Hilbert H. Un campoS TS lo podemos identificar claramente con una funcin X : S H con lacondicin adicional de que Xp TpS para todo p S, es decir

Xp, p = 0

para todo p S. Si componemos con una carta : W E H, donde E ' H/Res el espacio de Hilbert que modela S, tenemos la identidad

X(x), (x) = 0

para todo x W. Supondremos sin prdida de generalidad que 0 W, (0) =p S. Tomemos una curva W tal que (0) = 0 de manera de obtener unacurva = S que pasa por p, y reemplazando x por , derivamos ent = 0 para obtener (suponiendo que (0) = v TpS)

DXpv, p+ Xp, v = 0. (2.1)

En particular, si tomamos v = Xp TpS, se deduce que

DXpXp, p = Xp2.

Pero entonces, si suponemos que DXpXp TpS = span(p), obtenemos queXp = 0! Es decir que XpXp no es en general un elemento en TpM y por eso notiene sentido pensarlo como derivada direccional.

Para aclarar un poco ms lo que acabamos de decir, volvamos a la relacin(2.1), y ahora consideremos otro campo cualquiera Y : S TS. Qu tiene queocurrir para que

Xp(Yp) = DXp(Yp)

sea un elemento en TpS? Reemplazando v por Yp obtenemos

Xp, Yp = DXpYp, p = 0

con lo cual Xp debe ser ortogonal a Yp que es el caso trivial que no tiene ningninters. Es decir que en general Xp(Yp) no es un elemento de TpM.

Pero las cuentas que acabamos de hacer nos dan una pista: observemos lasimetra de la ecuacin

Xp, Yp+ DXpYp, p = 0.

2.5. Campos 35

Si intercambiamos Xp por Yp y restamos (ahora slo suponemos que X, Y soncampos en S), se cancelan los productos escalares y obtenemos

DYpXp DXpYp, p = 0,

relacin que nos dice que el vector

DYpXp DXpYp

si es un vector tangente a la esfera en p. Esto nos permite obtener un campo[X, Y] : S TS a partir de dos campos cualesquiera, que definiremos como

[X, Y](p) := DYpXp DXpYp

para p S.

2.5.1.2. El corchete de Lie en superficies de nivel

El hecho de que DYpXp DXpYp TpS para cada p S no es fortuito, esdecir, no guarda relacin con la estructura de la esfera. Por ejemplo, si

M = {v F : H(v) = 0}

es la superficie de nivel de una funcin H : F G suficientemente regular,dijimos que TpM se identifica con kerDHp para p M. Luego si X : M TMes un campo, lo podemos identificar con una funcin X : M F con la condicinadicional de que

DHp(Xp) = 0

para todo p M. Supongamos que p M es una curva con p0 = p y p0 = v TpM. Diferenciando esta relacin obtenemos

D2Hp(v, Xp) +DHp (DXpv) = 0.

Dado otro campo cualquiera Y, como Yp TpM podemos reemplazar para ob-tener

D2Hp(Yp, Xp) +DHp (DXpYp) = 0 (2.2)

para todo p M. Pero si suponemos que DXpYp TpM, entonces el segundotrmino se anula con lo cual debe guardarse la relacin particular

D2Hp(Xp, Yp) = 0

que como vimos en el ejemplo anterior es arbitraria, con lo cual DXpYp no es unelemento de TpM en general. Sin embargo, apelando nuevamente a la simetra


-y como D2Hp es simtrica si existe-, intercambiando X con Y en la ecuacin(2.2) y restando, se obtiene

DHp (DYpXp DXpYp) = 0

lo que nos indica que

[X, Y](p) := DYpXp DXpYp TpM.

2.5.1.3. Derivada de Lie

Volviendo al caso general, la expresin recin computada nos da la definicinde [X, Y]: se construye [X, Y] por medio de una carta, y en una representacinlocal (U,), si denotamos Y(p) = Yp, X(p) = Xp, se define

[X, Y](p) = DYp(Xp) DXp(Yp),

donde se debe entender que X, Y ahora representan los campos compuestos conla carta para pensarlos a valores en E.

El corchete [X, Y] tambin se suele denotar LXY, conocido como derivada deLie de Y en la direccin de X. El nombre tiene la siguiente interpretacin: si Xtdenota el flujo del campo X de clase Ck, entonces observemos que fijado p M,t : U V es un difeomorfismo para t suficientemente pequeo y U,V abiertosde M con U entorno de p. En consecuencia (t)q : TqM T(t,q)M es declase Ck1 y tiene sentido calcular

g(t) = (t)Y(t(p)) TpUpara t suficientemente pequeo. Esto es, evaluamos Y a lo largo de las trayectoriasdel campo X, luego lo traemos hacia atrs para que vuelva a ser un vector deTpU. Observemos que g(0) = Yp = Y(p), y que por construccin para t pequeog(t) TpM. Su derivada en t = 0 (que corresponde a pasar por el punto p conlas trayectorias del campo X) ser entonces un vector de TpM, que denotaremosas:

LXY(p) = ddt

t=0

(t)Y(t(p)).

Como adelantamos, LXY coincide con [X, Y]. Para verlo, hay que componercon una carta cualquiera, y observar que se trata de una identidad lineal del tipo

g(t) = A(t)v(t)

donde A(t) es un operador lineal para cada t fijo, y v(t) es un vector para cada tfijo, en el dominio de A(t). En consecuencia, se debe usar la regla del productopara derivar:

(Av) = A v +Av .

2.5. Campos 37

Ahora (s, q) es una funcin de dos variables, y (t) indica la diferencial res-pecto de la segunda variable. Estamos suponiendo que las funciones son (por lomenos) C2, as que al derivar respecto de la primera variable podemos intercam-biar el orden. Recordemos que

d

dss(q) = X(s,q)

por ser el flujo de X, en particular

d

dt

t=0

(t)(q) = Xq.

Luego, como A(t) = (t)t(p), se tiene A(0) = Xp. Obtenemos

d

dt

t=0

g = DXp(Yp) +DYp(Xp)

que es exactamente [X, Y](p). Ojo que esta notacin tiene sentido slo en unacarta pues ninguno de los dos sumandos (como campos de M y sus diferenciales)es un elemento de TpM.

Observacin 2.5.2. Adems de representar una derivada direccional, el corchete

de Lie de dos campos es una medida de conmutacin, como tal vez puede apre-

ciarse en la ltima presentacin usando flujos. De hecho, hay varios resultados

en esta direccin, mencionamos algunos. Sean X, Y campos en M; ahora ,

denotan los respectivos flujos.

Si [X, Y] = 0, entonces los flujos conmutan, es decir t s = s t. Msprecisamente

(t, (s, p)) = (s, (t, p))

en el sentido siguiente: donde existe una expresin, existe la otra y son

iguales.

Si G es un grupo de Lie conexo y [X, Y] = 0 para todo X, Y campos inva-

riantes a izquierda entonces G es un grupo conmutativo (ver el prximo

captulo sobre grupos de Lie-Banach).

(Frobenius) Si E TM es un subfibrado, entonces E es integrable -esdecir, existe una subvariedad inmersa N M tal que TN = E- si y slosi [X, Y] E para todo par de campos X, Y E. La topologa de N puedeser ms fina de la de M, como puede observarse en nuestro inseparable

ejemplo de la curva densa en el toro. Ver el Captulo VI del libro de Lang

[47] para una prueba del teorema.

Observemos que el teorema de Frobenius es una generalizacin a dimensionesmayores del teorema de existencia de curvas integrales.


2.5.1.4. Derivaciones

Es correcto -y til- pensar que todo campo X : M TM define una derivacinCk(M) Ck1(M) de la siguiente manera: si f Ck(M) -es decir, si f : M Res Ck-, ponemos

(Xf)(p) = pr2 fp(X(p)) Rpuesto que Tf(p)R = R R y la proyeccin a la segunda coordenada es la dife-rencial usual -en una carta de M- de la funcin f. Es decir, pasando a una cartaXf(p) es simplemente la derivada direccional de f en el punto p en la direccindel vector Xp,

(Xf)(p) = Dfp(Xp).

Que esto manda funciones Ck en Ck1 es evidente, la linealidad y la propie-dad de derivacin

X(fg) = X(f)g + fX(g)

se deducen pasando por una carta. Una propiedad fundamental de esta accines la siguiente: si U M es abierto y X : U TU es campo Ck con X 6= 0(donde por 0 entendemos la seccin nula en TM), entonces existe f Ck(U) talque X(f) 6= 0. Para verlo, tambin hay que pasar por una carta y usar el teoremade Hahn-Banach. Los detalles pueden verse en [V,1] del libro de Lang [47].

Se deduce de esta propiedad que un campo queda definido si se lo piensacomo derivacin. Luego definimos, dados X, Y campos, la derivacin

[X, Y]f = X(Y(f)) Y(X(f))

que define en consecuencia al campo [X, Y], y esta definicin coincide con laanterior. Las propiedades de derivacin se pueden escribir de la siguiente manera.Supongamos que f, g : M R son funciones y X, Y : M TM son campos.Entonces

LXf = Xf.LX(fg) = LX(f)g + fLX(g).LX(fY) = LX(f)Y + fLX(Y).LX([Y, Z]) = LY([X,Z]) + LZ([Y, X]).

La ltima es simplemente una reescritura de la identidad de Jacobi.

2.A. Problemas 39

2.5.2. Campos f-relacionados

Sean f : M N diferenciable, X : M TM, Y : N TN campos. Suponga-mos que para cada p M, se tiene

fp(X(p)) = Y(f(p)).

En ese caso diremos que X, Y estn f-relacionados y lo anotamos Y = fX. Si fes un difeomorfismo y X es un campo en M, entonces podemos definir

fX := f X f1

que resulta un campo en N, y de hecho X, fX estn f-relacionados. No es difcilprobar que, si X1, X2 son campos enM, Y1, Y2 son campos en N, y adems Xi, Yiestn f-relacionados (i = 1, 2), entonces [X1, X2] est f-relacionado con [Y1, Y2],y de hecho

f[X1, X2] = [fX1, fX2].

2.A. Problemas

2.I. Probar que si es irracional, entonces la imagen W de

(t) = (eipit, eipit) S1 S1

es densa en el toro S1S1. Elegir una base conveniente de la topologa del toro ycalcular la interseccin entreW y un elemento cualquiera de la base para probarque esta interseccin tiene infinitas componentes conexas.

2.II. Probar el criterio para subvariedades de la Proposicin 2.4.2.

2.III. Probar que si H es un espacio de Hilbert, entonces H es difeomorfo (conun difeomorfismo de clase C) a la bola unitaria

B = {v H : v < 1}.

Sugerencia: considere g(x) = x(1 x2)1/2. Es esta aplicacin analtica?2.IV. Sean X, Y : M TM campos y , sus respectivos flujos. Probar que si[X, Y] = 0, entonces los flujos conmutan,

(t, (s, p)) = (s, (t, p))

en el siguiente sentido: donde existe una expresin existe la otra y son iguales.

2.V. Si f, g, h Ck(M) y X, Y, Z : M TM son campos de clase C1, probar que


X(fg) = X(f)g + fX(g)

[X, fY] = X(f)Y + f[X, Y]

[X, [Y, Z]] = [Y, [X,Z]] + [Z, [Y, X]].

donde X(h)(p) = pr2 hp(X(p)) para h Ck(M) y p M.2.VI. Probar la Proposicin 2.5.1.

2.VII. Si f : M N es un difeomorfismo y fX := f X f1, probar queX : M TM y fX : N TN estn f-relacionados. Si Xi, Yi (i = 1, . . . , 2) estnf-relacionados, con Xi : M TM e Yi : N TN, probar que

f[X1, X2] = [fX1, fX2]

y concluir que [X1, X2] est f-relacionado con [Y1, Y2].

2.VIII. Sea f : M N una inmersin inyectiva. Si Y : N TN es un campotal que Yf(x) ran(fx) para todo x M, probar que existe un nico campoX : M TM tal que fX = Y.

Captulo 3

Grupos de Lie

Ojal supiera cmo hacer que los

matemticos se interesen en los grupos de

transformaciones y sus aplicaciones a las

ecuaciones differenciales. Estoy seguro,

absolutamente seguro, de que estas

teoras sern, en algn momento futuro,

reconocidas como fundamentales.

Sophus Lie, en una carta dirigida a

Adolf Mayer

D

efinimos un grupo de Lie-Banach G como una variedad diferenciabletal que las operaciones producto e inversa son diferenciables; esto sepuede resumir diciendo que la funcin (g, h) 7 gh1 es diferenciable

como funcin de GG en G. Pidiendo que el producto sea Ck, se puede deducirque la inversin es Ck, ver el problema 3.ii de este captulo.

3.1. Teora general

Usaremos Lg : G G, Rg : G G, Adg : G G p

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